Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty. uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui

Transcript

1 Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui ΟΡΙΟ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 23/6/16 opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop Δ.Ε.ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ Ψηφιακή Επιμέλεια : Μ.Ι.ΣΤΡΟΥΜΠΟΥΛΗ asdfghjklzxcvbnmqwertyuiopas dfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdf ghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfgh jklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjkl zxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcv bnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnm qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw

2

3 Τελευταία ενημέρωση 23/6/2016 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

4 ΕΡΩΤΗΣΗ 1 η Ποιές συναρτήσεις λέγονται ίσες; Απάντηση Δύο συναρτήσεις g και f λέγονται ίσες όταν: 2007 και 2012(επαν),2016: Θέμα 1 ο Α2 (4Μ και 2Μ,4M ) Έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και Για κάθε x A ισχύει f(x)=g(x). και γράφουμε f=g. Έστω τώρα f,g δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α,Β αντίστοιχα και Γ ένα υποσύνολο του Α Β, δηλ. Γ (Α Β). Αν για κάθε x Γ ισχύει f(x)=g(x) τότε λέμε ότι οι f,g είναι ίσες στο Γ. Γεωμετρική ερμηνεία ΕΡΩΤΗΣΗ 2 η Να ορισθούν οι πράξεις των συναρτήσεων Απάντηση Έστω f, g συναρτήσεις με Π.Ο.=Α τότε έχουμε: Το άθροισμα S=f+g με S(x)= (f+g)(x)=f(x)+g(x) και Π.Ο.=Α Η διαφορά D=f-g με D(x)= (f-g)(x)=f(x)-g(x) και Π.Ο.=Α Το γινόμενο P=f g με P(x)= (f.g)(x)=f(x) g(x) και Π.Ο.=Α Το πηλίκο R=f/g με R(x)= (f/g)(x)=f(x)/g(x) και Π.Ο.={xεA/g(x) 0} Αν f,g έχουν διαφορετικό Π.Ο. δηλαδή Α,Β αντίστοιχα τότε οι πιο πάνω πράξεις ορίζονται στο Α Β ενώ η διαίρεση f/g στο Γ={xεΑ Β/g(x) 0 }. Σημείωση Η C f είναι συμμετρική της C f ως προς τον χχ 2012(επαν): ΘΕΜΑ 1 ο Σ-Λ (2Μ)

5 Ερώτηση 3 η Τι ονομάζουμε σύνθεση της f με την g. Απάντηση Αν f,g είναι δύο συναρτήσεις με Π.Ο. τα Α,Β αντιστοίχως τότε ονομάζουμε σύνθεση της f με την g και τη συμβολίζουμε με g f, τη συνάρτηση με τύπο (gof)(x)=g(f(x)). Το πεδίο ορισμού της gof αποτελείται από τα x D f =A για τα οποία ισχύει ότι f(x) D g =B. Άρα D gof ={x A/f(x) B} Προφανώς για να ορίζεται η gof θα πρέπει f(a) B. Αναλόγως για την fog έχουμε : D fog ={x B/g(x) A}. Εφαρμογή: Έστω f(x)= x + 3, g(x)= 5 x. Να βρεθεί η σύνθεση της f με την g. Λύση

6 Ερώτηση 4 η Να γραφτεί αν ισχύει η αντιμεταθετική και η προσεταιριστική ιδιότητα στη σύνθεση των συναρτήσεων. Απάντηση ΠΡΟΣΟΧΗ!: Η ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΔΥΟ ΣΥ- ΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ ΠΑΝΤΑ, ΓΕΝΙΚΑ fog gof. ΠΡΟΣΕΤΑΙΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ : Ισχύει στη σύνθεση δύο συναρτήσεων δηλ. ho(fog)=(hof)og. Εφαρμογή: Έστω f(x)= x + 3, g(x)= 5 x. Nα βρεθεί η σύνθεση της g με την f. Λύση 2004(επαν), 2005(επαν) και 2010(επάν)-2015: ΘΕΜΑ 1 ο Σ-Λ

7 Ερώτηση 5 η Τι ονομάζεται γνησίως αύξουσα και τι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση. Απάντηση Έστω f συνάρτηση με Π.Ο. το Α. Θα λέμε ότι η f είναι: α) Γνησίως αύξουσα αν για κάθε x 1, x 2 A με x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) παρατηρούμε ότι η C f συνεχώς ανεβαίνει και συμβολίζεται με f στο Α. β) Γνησίως φθίνουσα αν για κάθε x 1, x 2 A με x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ) παρατηρούμε ότι η C f συνεχώς κατεβαίνει και συμβολίζεται με f στο Α.

8 ΠΡΟΣΟΧΗ Η μονοτονία μιας συνάρτησης αναφέρεται σε ένα διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων δηλ. f στο Α=[α, β] ή (α, β]ή (, α) ή [α, + ) ενώ είναι λάθος να γράψουμε ότι η f στο R*=(-,0) (0, + ) διότι το R * είναι ένωση δύο διαστημάτων και όχι ένα διάστημα. π.χ. f(x)= 1 x, π.ο.= R * παρατηρώ ότι η f στο (-, 0), f στο (0,+ ) και όχι f στο R * ( ) Ερώτηση 6 η Τι ονομάζονται ακρότατα συνάρτησης; Απάντηση Έστω f: συνάρτηση με π.ο.= Α, θα λέμε ότι η f: α. παρουσιάζει τοπικό μέγιστο αν ισχύει: f(x) f(x o )=y o για κάθε x, που είναι γύρω από το x o. 2012: ΘΕΜΑ 1 ο Α3 (4Μ)

9 Παρατηρώ ότι το M(x o,y o ), είναι το ψηλότερο σημείο για μια περιοχή του x o. To y o =f(x o )= τοπικό μέγιστο x o =θέση τοπικού μέγιστου. β. παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο αν ισχύει: f(x) f(x o ) για κάθε x γύρω από το x o. Παρατηρώ ότι το M(x o,y o ) είναι το χαμηλότατο σημείο για μια περιοχή του x o. Το y o =f(x o )= τοπικό ελάχιστο Σημείωση x o =θέση τοπικού ελάχιστου. 2010(επαν)-2014: ΘΕΜΑ 1 Ο Α3 (3Μ) 2011(επαν):Σ-Λ (2Μ) Το y o =f(x o ) θα λέμε ότι είναι ολικό α. μέγιστο αν f(x) f(x o )=y o για κάθε x A =Π.O. β. ελάχιστο αν f(x) f(x o )=y o για κάθε x A. 2009: ΘΕΜΑ 1 ο Σ-Λ (2Μ)

10 Εφαρμογή Στο σημείο M(1,8) η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο ενώ στο σημείο Ν(7,-3) παρουσιάζει ολικό ελάχιστο. Ποιες ανισώσεις ισχύουν; Απάντηση 2005(επαν): ΘΕΜΑ 1 ο Α2 (4Μ) ΕΡΩΤΗΣΗ 7 η Τι ονομάζεται συνάρτηση 1-1 (ένα προς ένα); Απάντηση Μια συνάρτηση f: A R λέγεται 1-1 όταν για οποιαδήποτε x 1,x 2 A ισχύει: αν x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) (από την αντιθετοαντιστροφή) αν f(x 1 )=f(x 2 ) x 1 =x 2 Γεωμετρική ερμηνεία 2003(επαν) και 2011: ΘΕΜΑ 1 ο Σ-Λ (2Μ) 2009(επαν): ΘΕΜΑ 1 ο Σ-Λ (2Μ) Διαπιστώνω ότι για κάθε y αντιστοιχεί ένα χ, δηλαδή αν φέρω οριζόντιες τότε τέμνω τη γραφική παράσταση σε ένα μόνο σημείο.

11 Σημείωση Όλες οι συναρτήσεις είναι: 1-1 ; Απάντηση Όχι διότι θα έπρεπε για διαφορετικό x (x 1 x 2 ) να έχουμε διαφορετικά y (f(x 1 ) f(x 2 )), δηλ. δεν θα πρέπει να υπάρχουν διαφορετικά σημεία της C f με την ίδια τεταγμένη. π.χ. f(x)=x 21 1 f(1) = 1 2 = 1 { f( 1) = ( 1) 2 f(1)= f(-1) = 1 Άρα η f(x)=x 2 : όχι 1-1 Πράγματι : μια τυχαία οριζόντια τέμνει την C f σε δύο σημεία. 2016,2012,2006(επαν.) : ΘΕΜΑ 1 ο Σ-Λ (2Μ) Ουσιαστικά θα λέμε ότι μία συνάρτηση f θα είναι 1-1 αν για κάθε y f(a) η εξίσωση y=f(x) έχει μία λύση ως προς χ. Η έννοια της 1-1 αναφέρεται και σε σύνολα που είναι είτε ένα διάστημα, είτε ένωση διαστημάτων, δηλαδή έχει νόημα να πούμε ότι η f 1-1 στο R * =(-, 0) (0, + ). ΕΡΩΤΗΣΗ 8 η Ποια είναι η σχέση της έννοιας 1-1 με την είναι της μονοτονίας; Απάντηση Αν f: γνησίως μονότονη στο Α τότε f: 1-1 Πράγματι αν π.χ. f τότε για κάθε x 1 <x 2 f(x 1 )>f(x 2 ) Δηλαδή για x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) f: (επαν) Θέμα 1 ο

12 Αν φέρω οριζόντιες στην C f τότε αφού η f θα τέμνει αυτήν μόνο μια φορά άρα f 1-1. Π.χ. Αν f: 1-1 τότε όχι αναγκαστικά και f: γνησίως μονότονη στο Α. i. f(x)= 1 x / R* 2008(επαν.) και 2002: ΘΕΜΑ 1 ο Σ-Λ (2Μ -1Μ) ενώ η f: 1-1 στο R * είναι λάθος να πούμε ότι η f: στο R * = (-, 0) (0, + ) διότι το R * είναι ένωση διαστημάτων πράγμα για το οποίο η μονοτονία δεν ορίζεται. ii. f(x)={ x, x 0 1, x < 0 x ενώ f: 1-1 στο R έχουμε f στο (-, 0) και f στο [0,+ ).

13 Σημείωση: 2002: ΘΕΜΑ 1 ο Σ-Λ (2Μ) Η f: 1-1 τότε και f: γνησίως μονότονη Η f: γνησίως μονότονη τότε η f: 1-1 Σ - Λ Σ - Λ ΕΡΩΤΗΣΗ 9 η Τι ονομάζεται αντίστροφη συνάρτηση; Απάντηση 2015 (επαν): ΘΕΜΑ 1 ο Α2 (4Μ) Έστω f : συνάρτηση (δηλαδή για κάθε x έχω ένα y) με f: 1-1 (για κάθε y έχω ένα x) τότε λέμε ότι η f: αντιστρέφεται και η αντίστροφη της θα συμβολίζεται με f -1, η οποία θα είναι και αυτή μια συνάρτηση. Αν f: A f(a) όπου Α= Π.Ο. και f(a)= Σύνολο Τιμών με x f y=f(x) τότε f -1 : f(a) A όπου f(a)= Π.Ο. της f -1 A=Σύνολο Τιμών της f -1 με y f 1 x= f -1 (y). Oπότε ισχύει: 2008: ΘΕΜΑ 1 ο Σ-Λ (2Μ) f 1 (y) = f 1 (f(x)) = x, για κάθε χ Α και f(x) = f (f 1 (y)) = y, για κάθε y f(α) Δηλαδή αν Μ(x,y) C f Μ (y,x) C f 1 άρα οι C f και C f 1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x (διχοτόμος της 1 ης και 2 ης γωνίας). π.χ. f(x)=lnx, x>0, g(x)=e x, x R 2004(επαν) και2011: ΘΕΜΑ 1 ο Σ-Λ (2Μ)

14 Σημείωση: 2005: ΘΕΜΑ 1 ο Σ-Λ (2Μ) Προφανώς αν C f τέμνει την y=χ σε κάποιο σημείο, στο ίδιο σημείο θα την τέμνει και η C f 1 και το ανάποδο. Δηλ. οι εξισώσεις f(x)=x και f 1 (x) = x είναι ισοδύναμες. ΠΡΟΣΟΧΗ: μπορεί οι C f, C f 1 να τέμνονται και εκτός της y=x. Π.χ. f: [0, + ) R με f(x) = 1 χ 2 f: (, 1] R με f 1 (x) = 1 χ ΜΟΝΟ ΑΝ f ΣΤΟ D f (ΑΣΚΗΣΗ) τα κοινά σημεία των C f και C f 1 θα βρίσκονται πάνω στην ευθεία y=x οπότε οι εξισώσεις { f 1 (x) = f(x) f 1 είναι ισοδύναμες με την f(x)= x!!! (x) = x x π.χ. f(x) = {, x 0 2 x 2, x > 0 2x, x 0 f 1 (x) = { x, x > 0

15 ΜΟΝΟ ΑΝ f ΠΕΡΙΤΤΗ (ΑΣΚΗΣΗ) τα κοινά σημεία της C f με την y=-χ,αν υπάρχουν, είναι τα ίδια με τα κοινά σημεία της C f 1 με την y=-χ. Δηλ. οι εξισώσεις f(x)=-x και f 1 (x) = x είναι ισοδύναμες. ΜΟΝΟ ΑΝ f ΣΤΟ D f ΚΑΙ f ΠΕΡΙΤΤΗ (ΑΣΚΗΣΗ) τα κοινά σημεία των C f και C f 1 θα βρίσκονται πάνω στην ευθεία y=-x οπότε οι εξισώσεις { f 1 (x) = f(x) f 1 (x) = x 3 π.χ. f(x) = x 3 f 1 (x) = { x3, x 0 3 x 3, x > 0 είναι ισοδύναμες με την f(x)= -x!!!

16 ΕΡΩΤΗΣΗ 10 η ΟΡΙΑ Να συμπληρωθούν οι παρακάτω προτάσεις 1. Αν lim x xo f(x) > 0 τότε.για x 2013 Θέμα 1 ο Σ-Λ(2Μ-1Μ) 2. Αν lim x xo f(x) < 0 τότε.για x 2015(επαν),2016 Θέμα 1 ο 2010, 2006 και 2002 Θέμα 1 ο Σ-Λ(2Μ-1Μ) 3. Αν οι f,g έχουν όριο στο x o και ισχύει f(x) g(x) κοντά στο x o τότε 4. Το.. χ για κάθε χ R Θέμα 1 ο 5. To lim x 0 ημx x =. ημax 6. To lim x 0 =., lim ax x 0 ημax x =., lim x 1 ημ(x 1) x 1 = συνx 1 7. lim x 0 =... x 8. lim x 0 συναx 1 ax συναx 1 =, lim x 0 =.. συν[α(x 1)] 1 lim x 1 =.. x 1 9. Αν lim x x0 f(x) = l lim x x0 [f(x) l] = x 2016(επαν),2013, 2009 Θέμα 1 ο 2008(επαν): Θέμα 1 ο

17 ΕΡΩΤΗΣΗ 11 η α. Να δείξετε ότι: 1)lim x xo ημx = ημx o, 2) lim x xo συνx = συνx o. β. Ποια η αναγκαία και ικανή συνθήκη ώστε να ορίζεται το lim x xo f(x). ΑΠΑΝΤΗΣΗ Το lim x xo f(x)=l R lim x xo + f(x) = lim x xo f(x) = l δηλαδή τα πλευρικά όρια να είναι ίσα. Αν το D f = [x o, + ) τότε ορίζεται ότι: lim f(x) = lim f(x) x x o x x o : Θέμα 1 ο ΕΡΩΤΗΣΗ 12 η Να γραφτούν οι πράξεις των ορίων. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Τα παρακάτω ισχύουν μόνο αν τα lim x xo g(x), lim x xo f(x) υπάρχουν: 1. lim x xo [f(x) + g(x)] = lim x xo f(x) + lim x xo g(x) 2. lim x xo [κ f(x)] = κ lim x xo f(x), κεr. 3. lim x xo [f(x) g(x)] = lim x xo f(x) lim x xo g(x) 4. lim x xo [ f(x) g(x) ] = lim x xo f(x) lim x x o g(x), lim x x o g(x) lim x xo f(x) = lim x xo f (x) 2004(επαν): Θέμα 1 ο κ 6. lim x xo f(x) κ = lim x xo f(x), f(x) 0 κοντά στο x o, κ 2, κ N.

18 2005: Θέμα 1 ο Σημείωση Προσοχή αν το lim χ χ0 [f(χ) + g(χ)] υπάρχει τότε δεν είναι απαραίτητο ότι και τα lim χ χ0 f(χ), lim χ χ0 g(χ) υπάρχουν. Αν lim x xo f(x) = l δεν είναι απαραίτητο ότι υπάρχει και το lim χ χ0 f(χ). 2016(επαν): Θέμα 1 ο (4Μ) ΕΡΩΤΗΣΗ 13 η Να γραφτεί το κριτήριο παρεμβολής και η γεωμετρική ερμηνεία. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω f, g, h συναρτήσεις με : h(x) f(x) g(x) κοντά στο x o τότε και το lim x xo f(x) = l. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ και : lim x xo h(x) = lim x xo g(x) = l Παρατηρούμε ότι πολύ κοντά στο x o η C g βρίσκεται ψηλότερα της C f και αυτή με τη σειρά της ψηλότερα από την C h.

19 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να λυθεί το όριο lim(x ημ 1 ) x 0 x Αν lim f(x) = 0 και υπάρχει το x xo lim χ χ0 f(χ) τότε lim χ χ0 f(χ) = 0 ΛΥΣΗ Γνωρίζω ότι: x ημ 1 x = x ημ 1 x 2002: Θέμα 1 ο Σ-Λ(1Μ) ημ 1 x 1 x ημ 1 x 1 x x x ημ 1 χ x Αλλά lim x 0( x ) = 0 } Από κριτήριο παρεμβολής ισχύει : lim x 0 x = 0 lim x 0 x ημ 1 x = 0. Γνωρίζω ότι: f(x) f(x) f(x) Αλλά lim x 0( f(x) ) = 0 } Από κριτήριο παρεμβολής ισχύει : lim x 0 f(x) = 0 lim x 0 f(x) = 0. ΕΡΩΤΗΣΗ 14 η A. Να συμπληρωθούν : 1 1. lim lim 1 x xo (x x o ) 2ν x x ο + (x x o ) 2ν+1=., 1 lim x xο (x x o ) 2ν+1 = lim x 0 =., lim 1 x 2ν x 0 + =., x2ν+1 1 lim x 0 =. 2ν+1 x

20 B. Να συμπληρωθούν οι πίνακες : Αν στο x 0 R Το όριο της f α R α R Το όριο της g Το όριο της f + g Αν στο x 0 R Το όριο της f α > 0 α < 0 α>0 α< Το όριο της g Το όριο της f. g ΕΡΩΤΗΣΗ 15 η Να γραφτούν όλες οι απροσδιόριστες μορφές ορίων. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Επειδή f g = f + ( g) και f = f 1, απροσδιόριστες μορφές για g g τα όρια της διαφοράς και του πηλίκου συναρτήσεων είναι οι: 2015(επαν) (+ ) (+ ) 0 0, ± (- ) ( ) ± Οι απροσδιόριστες μορφές ορίων για τα όρια της πρόσθεσης και του πολ/μού συναρτήσεων είναι οι: (+ ) + ( ) και 0 (± ) Σημείωση Αν lim x x0 f(x) = + τότε f(x) > 0 για χ κοντά στο χ : Θέμα 1 ο Αν lim x x0 f(x) = τότε f(x) < 0 για χ κοντά στο χ 0. Αν lim x x0 f(x) = 0 και f(x) < 0 για χ κοντά στο χ 0 τότε lim x x0 1 f(x) = Αν lim x x0 f(x) = 0 και f(x) > 0 για χ κοντά στο χ 0 τότε lim x x0 1 f(x) = (επαν) : Θέμα 1 ο : Θέμα 1 ο

21 Αν lim x x0 f(x) = ± τότε lim x x0 1 f(x) = 0. Αν lim x x0 f(x) = τότε lim x x0 ( f(x)) = (επαν)-2014 : Θέμα 1 ο ΕΡΩΤΗΣΗ 16 η Να συμπληρωθούν τα όρια: lim x + x ν = 2013(επαν) : Θέμα 1 ο.., αν ν = άρτιος lim x xν = {.., αν ν = περιττός 1 lim x + =., νεn* xν 1 lim x =., νεn* xν ΕΡΩΤΗΣΗ 17 η 1. Έστω τα πολυώνυμα : P(x)=α ν x ν +α ν-1 x ν-1 + +α 0, α ν 0 & Q(x)= β κ x κ +β κ-1 x κ-1 + +β 0 με β κ 0. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: α) lim x ± P(x) =. β) lim x ± f(x) = Σημείωση lim x ± P(x) Q(x) = 2014(επαν) : Θέμα 1 ο Αν f μία συνάρτηση, ορισμένη στο (α,χ 0 ) ( χ 0,β), τότε ισχύει η ισοδυναμία : lim χ x 0 f(x) = lim χ x + 0 f(x)=± lim χ x0 f(x) = ±

22 2.Να συμπληρωθούν τα παρακάτω όρια και να γίνουν οι αντίστοιχές γραφικές παραστάσεις. Αν α> 1 τότε : lim x α x =.. lim x + α x =.. lim x 0 + log a x = lim x + log a x = 2007 : ΘΕΜΑ 1 ο Σ-Λ (2Μ)

23 β) Αν 0<α<1 τότε: 2014(επαν) : Θέμα 1 ο lim x αx = lim x + αx = 2012(επαν) : ΘΕΜΑ 1 ο Σ-Λ (2Μ) lim log x 0 + α x = lim log α x = x + Σημείωση Ενώ τo lim x 0 ημx x = 1, τo lim x ± ημx x = 0, αφού : ημx x = 1 x. ημχ 1 x. 1 ημx x 1 x 1 x ημx x 1 x με lim x ± ( 1 ) = lim x x ± ( 1 ) = 0 άρα από το κριτήριο x ημx παρεμβολής και lim = 0 x ± x 2011: Θέμα 1 ο

24 ΕΡΩΤΗΣΗ 18 η ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα x 0 ; Να γραφτεί η γεωμετρική ερμηνεία. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω f: συνάρτηση και x 0 ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x 0 αν: lim x x0 f(x) = f(x 0 ) 2010(επαν)-2015 : ΘΕΜΑ 1 ο Α2 (6Μ-4Μ) Γεωμετρική ερμηνεία Από την C f έχω ότι το { lim x x 0 f(x) = λ } lim f(x 0 ) = λ x x0 f(x) = f(x 0 ) Παρατηρούμε ότι στο x 0 η C f δεν διακόπτεται (συνεχόμενη γραμμή).

25 ΕΡΩΤΗΣΗ 19 η α. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα x 0 ε Π. Ο. ; β. Ποιές είναι οι συναρτήσεις που είναι συνεχείς στο Π. Ο. τους ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ α. Μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα x 0 του Π. Ο. της όταν : Δεν υπάρχει το όριο της στο x 1. (βλέπε σχήμα). Υπάρχει το όριο της στο x 0, αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της, f(x 0 ), στο σημείο x 0 (βλέπε σχήμα). β. Οι συναρτήσεις που είναι συνεχείς στο Π. Ο. τους είναι : Οι πολυωνυμικές P(x) = a ν x ν + + α 1 x + a 0, συνεχείς στο R. Οι ρητές f(x) = P(x) συνεχείς στο Α={x R/Q(x) 0 }. Q(x) Οι τριγωνομετρικές f(x) = ημx, συνx συνεχείς στο R. Οι εκθετικές και οι λογαριθμικές f(x) = a x, 0< a 1 g(x) = log a x συνεχείς στο Π. Ο. τους.

26 ΕΡΩΤΗΣΗ 20 η Οι πράξεις συνεχών συναρτήσεων δίνουν συνεχείς συναρτήσεις; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αν οι f, g συναρτήσεις στο x 0, τότε είναι συνεχείς στο x 0 και οι συναρτήσεις : f + g, c f, c R, f g, Με την προϋπόθεση να ορίζονται στο x 0. f n g, f και f 2007 : ΘΕΜΑ 1 ο Σ- Λ (2Μ) Ακόμα ως προς τη σύνθεση έχουμε : Αν η f είναι συνεχής στο x 0 D f και η g συνεχής στο f(x 0 ) D g τότε η σύνθεση gοf είναι συνεχής στο x 0. ΕΡΩΤΗΣΗ 21 η Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β), όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α, β). Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β], όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α,β) και επιπλέον : lim x α + f(x) = f(α), lim x β f(x) = f(β). 2004(επαν): ΘΕΜΑ Α2 (6Μ) : ΘΕΜΑ Α2 (4Μ)

27 ΕΡΩΤΗΣΗ 22 η Να διατυπωθεί το θεώρημα Bolzano και να γραφτούν οι άμεσες συνέπειες. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 2014(επαν): ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΜΑ Α2 (4Μ) Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σ ένα διάστημα [α, β]. Αν : η f είναι συνεχής στο [α, β] και f(α) f(β) < 0 τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 ϵ (α, β) τέτοιο ώστε f(x 0 ) = 0, δηλαδή υπάρχει μία, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης f(x)=0 στο ανοικτό διάστημα (α, β). Γεωμετρική Eρμηνεία Θεωρήματος Bolzano Παρατηρούμε ότι f(α)<0 ενώ f(β)>0 και επειδή η f είναι συνεχής στο [α,β], δηλ. η C f είναι συνεχόμενη γραμμή τότε σίγουρα θα τέμψει τον χχ τουλάχιστον μία φορά.

28 Προφανώς αν: Έχουμε f(x) 0 και f συνεχής στο [α,β] τότε η f έχει σταθερό πρόσημο στο [α,β], δηλ. f(χ)<0 ή f(χ)>0 για κάθε χ [α,β] και 2013(επαν): Θέμα 1 ο Σ- Αν ρ 1, ρ 2, ρ 3,, ρ ν οι διαδοχικές ρίζες μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [α,β] τότε η f διατηρεί το πρόσημο της, μεταξύ 2 διαδοχικών ριζών. Για να βρούμε το πρόσημο αυτό απλά επιλέγουμε μία τυχαία τιμή χ i μεταξύ 2 διαδοχικών ριζών και υπολογίζουμε το f(χ i ).Ότι πρόσημο θα έχει το f(χ i ), θα έχει και η f μεταξύ αυτών των 2 διαδοχικών ριζών και 2013 ΘΕΜΑ 1 ο Σ-Λ (2Μ) Αν υπάρχει ξ (α,β) με f(ξ)=0 και f(α)>0 δεν είναι απαραίτητο να είναι και f(β)<0.

29 Αν υπάρχει ξ (α,β) με f(ξ)=0 δεν είναι απαραίτητο να είναι και f(α).f(β)< (επαν): Θέμα 1 ο ΕΡΩΤΗΣΗ 23 η Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών. ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ (Θ.Ε.Τ.) (ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΘΕΩΡHΜΑΤΟΣ BOLZANO) Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σ ένα διάστημα [α, β]. Αν : η f είναι συνεχής στο [α, β] και f(α) f(β) τότε για κάθε αριθμό (η) μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 ϵ (α, β) τέτοιο ώστε f(x 0 ) = η. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω f(α) < f(β). Τότε θα ισχύει: f(α) < η < f(β). Έστω η συνάρτηση g(x)=f(x)-η, χ [α, β] με : : ΘΕΜΑ 1 ο (9Μ-7Μ) g συνεχής στο [α,β] και g(α) g(β) < 0 αφού g(α)=f(α)-η< 0 και g(β)=f(β)-η> 0 Άρα από Θ.Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 ϵ (α, β) τέτοιο ώστε g(x 0 ) = 0 f(x 0 ) η = 0 f(x 0 ) = η.

30 ΕΡΩΤΗΣΗ 24 η Να γραφτεί η γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος των Ενδιάμεσων Τιμών. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αφού ο αριθμός (η) είναι μεταξύ του f(α) και του f(β) τότε σίγουρα η ευθεία y=η θα τέμνει την C f σε τουλάχιστον ένα σημείο. Προφανώς αν η C f δεν ήταν συνεχής τότε μπορεί να μην είχαμε κανένα κοινό σημείο με την ευθεία : y=η

31 ΕΡΩΤΗΣΗ 25 η Πότε λέμε ότι η εικόνα μιας συνάρτησης f είναι ένα διάστημα; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω f μία συνεχής μη σταθερή συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ. Το σύνολο τιμών της f, το f(δ) είναι ένα διάστημα. 2002(επαν) και 2006 και 2007(επαν) : ΘΕΜΑ 1 ο Προφανώς το f( [α,β] )=[κ,λ]. Παρατηρούμε ότι η f δεν είναι συνεχής στο χ 0 και άρα η εικόνα της f στο [α,β] είναι 2 διαστήματα τα [κ,f(α)], (f(β),λ].

32 ΕΡΩΤΗΣΗ 26 η Να διατυπωθεί το Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης τιμής. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [α,β] τότε η f παίρνει στο [α,β] μία μέγιστη τιμή Μ και μία ελάχιστη τιμή m. Δηλαδή υπάρχουν χ 1, χ 2 [α, β] τέτοια ώστε m=f(χ 1 ), M= f(χ 2 ) και ισχύει :m f(x) M, για κάθε χ [α, β]. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ 2016 : ΘΕΜΑ 1 ο Σ-Λ (2Μ) Παρατηρούμε ότι όλες οι τιμές της f(χ) βρίσκονται στο διάστημα [m,μ], το οποίο και αποτελεί το σύνολο τιμών της f με Πεδίο Ορισμού το [α,β]. Σημείωση Είναι σημαντικό να πληρούνται όλες οι προϋποθέσεις για να ισχύει το Θεώρημα Μεγίστης και Ελαχίστης τιμής, δηλ. η f να ορίζεται και να είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β]. Π.χ. αν η f ορίζεται στο [α,β] και είναι συνεχής στο (α,β] τότε δεν είναι απαραίτητο ότι θα πάρει μία μέγιστη και ελάχιστη τιμή. 1 Πράγματι : f(x) = { x, αν χ (0,1] 1, αν χ = : ΘΕΜΑ 1 ο (1Μ) Σ-Λ

33 Το πεδίο ορισμού της f είναι το [0,1],ενώ η f είναι συνεχής στο (0,1], οπότε βλέπουμε, στο σχήμα πιο κάτω, ότι δεν έχει μέγιστο η f. ΕΡΩΤΗΣΗ 27 η Ποιο το Σύνολο Τιμών μιας γνησίως μονότονης και συνεχούς συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αν μία συνάρτηση f είναι γν.αύξουσα και συνεχής σε ένα διάστημα (α,β) τότε το Σ.Τ. της στο διάστημα αυτό είναι το (Α,Β) με Α = lim χ α + f(x) και Β = lim χ β f(x) 2007(επαν) : ΘΕΜΑ 1 ο f: (α, β) f (Α, Β)

34 Αν μία συνάρτηση f είναι γν. φθίνουσα και συνεχής σε ένα διάστημα (α,β) τότε το Σ.Τ. της στο διάστημα αυτό είναι το (Β,Α) με Α = lim χ α + f(x) και Β = lim χ β f(x) 2010: ΘΕΜΑ 1 ο Σ-Λ (2Μ) f: (α, β) f (Β, Α)