Descriere CIP a Bibliotecii Naționale a României SOFONEA, Galaftion Rezistența materialelor /

Transcript

1 Galafion SOFONEA Adrian arius PASCU REZSTENȚA ATERALELOR Universiaea Lucian Blaga din Sibiu 006

2 Coprigh 006 Toae drepurile asupra acesei lucrări sun reervae auorilor. Reproducerea inegrală sau parțială a exului sau figurilor din aceasă care ese posibilă numai cu acordul prealabil scris al auorilor. Descriere CP a Biblioecii Naționale a României SOFONEA, Galafion Reisența maerialelor / Galafion Sofonea, Adrian arius Pascu. Sibiu: Ediura Universiății Lucian Blaga din Sibiu, 007 Bibliografie SBN () Pascu, Adrian arius 59.(075.8) Tehnoredacare: Adrian arius PASCU

3 C U P R N S pag. PROBLEE ALE REZSTENȚE ATERALELOR 5.. Obiecul şi problemele reisenței maerialelor 5.. Terminologie 7.. Clasificarea corpurilor în reisența maerialelor 7.. poee de baă ale reisenței maerialelor 9.5. Siguranța în funcționare. Coeficienți de siguranță. Reisențe admisibile.5.. Condiții de reisență.5.. Condiții de rigidiae.5.. Condiții de sabiliae.6. Înrebări es. FORȚE EXTEROARE Ş FORȚE NTEROARE 7.. Forțe exerioare. Clasificare 7.. Reacțiuni 9.. Forțe inerioare 0.. Funcții de eforuri.5. Relații diferențiale înre sarcini şi eforuri 6.6. Reguli pracice penru rasarea diagramelor de eforuri 9.7. Diagrame de eforuri.7.. Bare drepe soliciae de forțe axiale.7.. Bară (grindă) dreapă soliciaă la încovoiere.7... Bară (grindă) în consolă.7... Bară (grindă) simplu reemaă Diagrame de eforuri la arbori.7.. Diagrame de eforuri la bare curbe.7.5. Diagrame de eforuri la bare drepe.8. Înrebări es Probleme propuse 5. COPORTAREA ECANCĂ A ELEENTELOR DE REZSTENȚĂ 55.. Tensiuni 55.. Tensiuni pe un elemen de volum 56.. Sarea plană de ensiune 58.. Deformații şi deplasări ăsurarea deformațiilor Aspecul fiic 6.7. Încercarea la racțiune Epruvea aşina de încercări mecanice şi aparae de măsură Diagrama încercării la racțiune 6.8. Caracerisicile elasice şi mecanice ale maerialelor 6

4 .9. Diferie forme de curbe caracerisice Curba caracerisică convențională Curba caracerisică a oțelului la compresiune Curba caracerisică a oțelului la răsucire Curbe caracerisice la maeriale care nu asculă de legea lui Hooke Expresii analiice penru curba caracerisică idealiaă 70.. Legea generaliaă a lui Hooke 7.. Înrebări es 75.. Probleme propuse 76. ĂR GEOETRCE ALE SECȚUNLOR 8.. Noțiuni generale 8.. Aria secțiunii 8.. omene saice 8.. omene de inerție 8... Relații de definiție 8... Variația momenelor de inerție față de axe paralele 8.5. Aplicații omenele de inerție cenrale ale unui drepunghi omenele de inerție cenrale ale secțiunii circulare Secțiunea inelară sau coroana circulară Secțiunea compusă din două drepunghiuri având axa O axă de simerie Rae de inerție odule de reisență Înrebări es 9.9. Probleme propuse 9 5. SOLCTĂR AXALE Tensiuni şi deformații Calculul de reisență la înindere compresiune Bare cu variație de secțiune. Secțiune periculoasă Calculul barelor vericale luând în considerare greuaea proprie Presiune de conac Suprafața plană în conac Suprafețe cilindrice în conac Suprafețe mici în conac Siseme de bară saic nedeerminae Noțiuni generale Bare având deformațiile împiedicae de legăuri Bare cu eforuri inițiale Bare cu secțiuni neomogene Eforuri daoriă dilaărilor împiedicae 5.7. Înrebări es Probleme propuse 8

5 6. RĂSUCREA BARELOR DREPTE 6.. Generaliăți 6.. Tensiuni şi deformații la răsucirea barelor drepe de secțiune circulară şi inelară 6.. Calculul de reisență al barelor de secțiune circulară Energia de deformație la răsucirea barelor de secțiune circulară şi inelară Calculul arcurilor elicoidale cu pas mic 6.6. Răsucirea barelor de secțiune drepunghiulară 6.7. Răsucirea barelor cu pereți subțiri, deschise Răsucirea barelor cu pereți subțiri, închise Generaliarea relațiilor de calcul la răsucire 6.0. Înrebări es 6.. Probleme propuse 5 7. ÎNCOVOEREA BARELOR DREPTE Ş CURBE nroducere Tensiuni şi deformații în bare drepe soliciae la încovoiere pură Calculul de reisență la încovoiere Forme raționale de secțiuni penru încovoiere Tensiuni angențiale în secțiunile barelor (grinilor) soliciae la încovoiere simplă Variația ensiunilor angențiale la diferie secțiuni Lunecarea longiudinală şi împiedicarea ei Forfecarea în piesele cu secțiunea mică Calculul de reisență al îmbinărilor Bare de egală reisență soliciae la încovoiere simplă Bare de secțiune circulară Bare de secțiune drepunghiulară Înrebări es Probleme propuse SOLCTĂR COPUSE Noțiuni inroducive Sarea limiă Tensiunea echivalenă Teoriile clasice de reisență Teoria ensiunii normale maxime Teoria alungirii specifice maxime Teoria ensiunii, angențiale maxime Teoria energiei oale de deformație Teoria energiei specifice de variație a formei Pariculariăți ale eoriilor de reisență Sarea plană de ensiune Aplicarea eoriilor de reisență la bare Aplicarea eoriilor de reisență la sarea de forfecare pură Crierii de alegere a eoriilor de reisență 9

6 8.7. Calculul de reisență al barelor supuse la soliciări compuse Înindere sau compresiune excenrică Calculul de reisență al arborilor de secțiune circulară şi inelară soliciați la încovoiere şi răsucire Calculul de reisență al barelor de secțiune oarecare supuse unor soliciări compuse Înrebări es Probleme propuse 05 ANEXE 07 Anexa. Reisențe admisibile 07 Anexa,a. Reisențe de calcul la sare limiă 09 Anexa. Valorile consanelor E, G, ν şi α Anexa. Coeficienții de siguranță Anexa. ărimi geomerice ale secțiunilor Anexa 5. Presiunea maximă de conac 9 Anexa 6. Elemene geomerice la răsucire Anexa 7. Oțel cornier cu aripi egale Anexa 8. Oțel cornier cu aripi neegale Anexa 9 Oțel 5 Anexa 0. Oțel U 6 Anexa. Oțel T 7 Anexa. Oțel Z 8 SOLUȚ LA PROBLEELE PROPUSE 9 BBLOGRAFE 5

7 . PROBLEELE REZSTENȚE ATERALELOR.. Obiecul şi problemele reisenței maerialelor Reisența maerialelor ese o disciplină de culură ehnică generală, siuaă înre şiințele fiico maemaice şi disciplinele de specialiae ale inginerului. Ea ese o coninuare logică a mecanicii eoreice, o devolare a aceseia prin inroducerea în calcule a caracerisicilor mecanice şi elasice ale maerialelor. Reisența maerialelor are ca obiec sabilirea meodelor şi procedeelor de calcul ale eforurilor, ensiunilor şi deformațiilor ce apar în diferie punce ale elemenelor de reisență, când asupra acesora acționeaă forțe, precum şi sabilirea şi uiliarea relațiilor dinre eforuri şi dimensiunile secțiunii. Reolvarea problemelor în cadrul reisenței maerialelor are în vedere urmăoarele rei aspece :. aspecul saic, prin care se sabilesc, pe baa legilor mecanicii, relații înre forțele exerioare şi eforuri (forțe inerioare) şi respeciv relații înre eforuri şi ensiuni;. aspecul geomeric, prin care se analieaă deformațiile corpului sub acțiunea sarcinilor;. aspecul fiic, prin care se deermină pe cale experimenală relațiile de legăură (legile) dinre forțe şi deformații, precum şi caracerisicile mecanicoelasice ale maerialului respeciv. Reisența maerialelor reolvă urmăoarele rei caegorii de probleme: a) probleme de verificare, prin care se deermină dacă un elemen de reisență cu anumie dimensiuni îndeplineşe sau nu, sub acțiunea forțelor, condițiile de reisență, rigidiae şi sabiliae; b) probleme de calcul a sarcinii capabile, prin care, cunoscându se maerialul şi caracerisicile sale mecanice şi elasice, dimensiunile şi modul de soliciare ale elemenului de reisență, se deermină valoarea sarcinilor pe care le poae supora; c) probleme de dimensionare, prin care se sabilesc dimensiunile opime ale pieselor proiecae. Fiecare din acese probleme se reolvă prinr un calcul de reisență. La baa calculului de reisență sau două crierii: 5

8 . de bună funcționare, ceea ce presupune asigurarea la piesa proiecaă a: a) reisenței; b) rigidiății; c) sabiliății.. de eficiență, care urmăreşe ca piesa proiecaă să repreine soluția cea mai economică posibilă în privința consumului de maerial şi de manoperă. Din acese două crierii se observă înrepărunderea ehnicului (primul crieriu) cu economicul (al doilea crieriu). Penru ca un calcul de reisență să poaă fi considera corespunăor rebuie ca acesa să îndeplinească simulan cele două crierii. Primul crieriu presupune: a) Fiecare elemen de reisență al unui ansamblu rebuie să reise uuror soliciărilor ce apar în acesa pe oaă duraa de exploaare şi de aceea condiția de reisență se impune prima. În aces scop în Reisența maerialelor se învață cum să se aleagă maerialul corespunăor, forma secțiunii cea mai avanajoasă şi se sabilesc relații înre secțiunea ransversală şi soliciări, în aşa fel ca la soliciările maxime, eforurile care apar în secțiunea respecivului elemen de reisență să fie inferioară celei ce produce ruperea. b) Condiția de rigidiae impune valori limiă pe care să le aingă deformațiile elemenelor de reisență ale unui ansamblu în impul soliciării maxime, în exploaare. De aceea Reisența maerialelor sabileşe relații înre secțiunea ransversală a corpului şi deformațiile ce apar daoriă acțiunii forțelor şi ele servesc la calculul de reisență (verificare, calculul capaciății de încărcare şi dimensionare). Capaciaea corpurilor de a avea deformații mici sub acțiunea forțelor se numeşe rigidiae. c) Condiția de sabiliae impune menținerea formei inițiale de echilibru sabil al elemenului de reisență, sub acțiunea forțelor. De mule ori în pracică apar cauri când dimensiunile elemenului de reisență saisfac condițiile de reisență şi rigidiae impuse penru soliciarea maximă, însă la forțe inferioare îşi pierd sabiliaea formei inițiale de echilibru. Fenomenul se manifesă prin apariția bruscă a unei deformații foare mari care poae duce, adesea, la ruperea respecivului elemen de reisență şi disrugerea înregii consrucții. Exemplul clasic de pierderea sabiliății formei de echilibru ese caul unei bare drepe lungi şi subțiri (vele) comprimae. Penru forțe mici bara îşi păsreaă forma recilinie. Dacă se măreşe forța, la o anumiă valoare a aceseia, bara se încovoaie brusc, puând să se rupă. Fenomenul ese cunoscu sub numele de flambaj la compresiune sau pierderea sabiliății, iar forța la care a avu loc fenomenul se numeşe forță criică de flambaj. 6

9 .. Terminologie Reisența maerialelor uilieaă noțiuni specifice ale alor discipline cum ar fi maemaica, fiica, mecanica,ehnologia maerialelor ec, dar şi simboluri şi noțiuni proprii. În țara noasră sun o serie de sandarde care definesc noțiunile reisenței maerialelor dinre care menționăm: STAS 96/8 Reisența maerialelor. Terminologie şi simboluri; STAS 87/86 Tensomerie. Terminologie; SR EN 00 /99 aeriale mealice. Încercarea la racțiune. Parea ; SR EN 00 /99 aeriale mealice. Încercarea la racțiune. Parea ; STAS 008/78 Calculul elemenelor din oțel. S au amini doar câeva din sandarde penru a sublinia că erminologia, simbolurile şi noțiunile uiliae în Reisența maerialelor sun reglemenae şi uiliarea acesora ese obligaorie. Terminologia specifică se va inroduce progresiv, pe parcursul cursului şi se va repea, ceea ce va uşura asimilarea ei... Clasificarea corpurilor în reisența maerialelor Din oaliaea caracerisicilor elemenelor de reisență, în Reisența maerialelor, se rețin numai acele caracerisici necesare calculului de reisență făcând absracție de celelale. În aces scop corpurile se schemaieaă în modele maemaice ce au anumie caracerisici mecanice şi elasice. Ca urmare, corpurile se vor încadra în urmăoarele cinci modele: fir, bară, membrană, placă şi bloc. Prin acese modele Reisența maerialelor schemaieaă, prinr o meodă de calcul, numeroase organe de maşini şi elemene de consrucții şi deci, calculul de reisență are o largă generaliare. În rapor cu geomeria lor, corpurile se împar în rei grupe: a) Corpurile cu fibră medie, cele ce au una din dimensiuni, lungimea, mul mai mare decâ celelale două, lățimea şi grosimea. Ele se definesc prin: axa longiudinală ce poae fi dreapă, curbă, linie frână, ec. secțiunea ransversală ce poae fi consană sau variabilă în lungul axei longiudinale. Din aceasă grupă fac pare: firele care po fi soliciae numai la înindere şi nu opun pracic nici o reisență soliciărilor ransversale sau de compresiune; barele care reisă aâ la soliciări axiale câ şi ransversale. 7

10 După desinație şi modul de soliciare barele poară diferie denumiri specifice: iranți când sun soliciae la înindere, sâlpi când sun soliciae la compresiune, grini când sun soliciae la încovoiere, arbori când sun soliciae, în special, la orsiune. Prin fibră medie sau axă se înțelege locul geomeric al cenrelor de greuae al secțiunilor plane normale, pe axa barei (sau a firului), iar prin secțiune normală, secțiunea plană perpendiculară pe axă. b) Corpurile cu suprafață mediană au una din dimensiuni grosimea relaiv mică în rapor cu celelale două lățimea şi lungimea. Din aceasă grupă fac pare membranele şi plăcile. embranele, ce au grosimea foare mică, nu reisă la sarcini ransversale sau de compresiune ci numai la sarcini de înindere. Plăcile, plane sau curbe, po prelua şi sarcini ransversale şi de compresiune. Exemple de plăci: capace şi pereți de reervoare, cupole, planşee, ec. iar de membrane: pâna de cor, membrane amorioare ec. c) Blocuri sau corpuri masive, care au dimensiunile de acelaşi ordin de mărime. Exemple : bilele şi rolele de rulmen, blocurile de fundații, ec. Calculele de reisență diferă de la o grupă la ala, ele fiind cele mai simple la fire şi la bare drepe, cresc în complexiae la barele curbe şi cadre, devenind deosebi de complicae la plăci şi blocuri. Reisența maerialelor preină modul de deerminare a eforurilor, ensiunilor şi deformațiilor în cele mai simple şi des uiliae corpuri şi din aces moiv sudiul barei drepe, de secțiune consană sau variabilă, formeaă baa şi ese raaă în cea mai mare pare din curs. odelul unei bare drepe (fig..,a) se schemaieaă ca în fig..,b. Asfel, modelul barei conține axa barei, de lungime L rasaă cu linie groasă în figură şi secțiunea ransversală, drepunghiulară în aces ca, de lățime b şi înălțime h. Sisemul de axe aaşa modelului, ese un sisem riorogonal drep cu axa Ox axa barei şi sisemul O, axele cenrale principale ale secțiunii. 8

11 Fig.. În general oae acese modele se po numi elemene de reisență. În cele ce urmeaă, penru noțiunea generală de elemen de reisență se va folosi simbolul ER penru forma singular şi (ER) penru forma plural. Un elemen de reisență poae fi confecționa din diferie maeriale şi cu diferie dimensiuni. Comporarea (ER) la acțiunea sarcinilor depinde aî de dimensiunile şi forma secțiunii ransversale, câ şi de anumie caracerisici mecanice şi elasice ale maerialului. Reolvarea problemelor de reisență implică uiliarea aâ a dimensiunilor geomerice câ şi modul de încărcare, caracerisicile elasice şi mecanice ale maerialului fiecărui ER... poee de baă ale reisenței maerialelor Penru a puea sabili relațiile de calcul simple, în Reisența maerialelor se folosesc anumie ipoee referioare aâ la srucura maerialelor câ şi la comporarea lor sub acțiunea sarcinilor aplicae. Acese ipoee sun uneori în concordanță cu realiaea, iar aleori ele repreină simplificări ale fenomenelor reale, care duc la reulae verificae experimenal şi deci accepabile penru scopul reisenței maerialelor. poeele de mai jos sun de baă şi în afară de acesea s au făcu sau se vor mai face şi ale ipoee specifice în anumie capiole. Ca primă ipoeă expusă a fos schemaiarea corpurilor în fire, bare, membrane, plăci şi blocuri. 9

12 poeele de baă ale reisenței maerialelor sun:. poea mediului coninuu, prin care se admie că maerialul ER se consideră un mediu coninuu ce ocupă înregul spațiu delimia de volumul său. Aceasă ipoeă corespunde saisfăcăor maerialelor amorfe dar nu corespunde realiății la cele crisaline. poea ese necesară inrucâ mărimile din reisența maerialelor, cum sun ensiunile, deplasările, deformațiile, ec. po fi scrise ca funcții coninue de punc şi nu ca funcții discree specifice penru fiecare crisal sau pariculă, permițând folosirea calculului şi meodelor analiei maemaice.. poea mediului omogen, prin care se admie că maerialul ER are în oae puncele din volumul său aceleaşi mărimi fiice. Nici aceasă ipoeă nu concordă în oaliae cu realiaea în special în caul beonului, lemnului şi chiar al mealelor. Asfel, la meale prin diverse raamene ermice sau mecanice se creeaă cruse dure şi caracerisici mecanice diferie de ale mieului.. poea ioropiei. aerialele se consideră iorope când au pe oae direcțiile aceleaşi caracerisici elasice E, G şi ν. În ca conrar maerialele se consideră aniorope. În reisența maerialelor, oae maerialele se consideră iorope. V. poea elasiciății perfece. Dacă ensiunile nu depăşeşc anumie valori limiă, maerialele uiliae de ingineri se consideră perfec elasice. Cea ce înseamnă că deformațiile produse de sarcini se anuleaă odaă cu anularea sarcinilor. V. poea proporționaliății înre ensiuni şi deformații specifice. Penru soliciări în domeniul elasic se consideră că înre ensiuni şi deformații specifice exisă o relație liniară, adică ese valabilă legea lui Hooke. V. poea deplasărilor mici. În afară de unele excepții, în Reisența maerialelor se consideră că deformațiile ER sun foare mici în rapor cu dimensiunile acesuia. poea ese foare imporană înrucâ ecuațiile de echilibru saic se po scrie raporând forțele la sarea inițială nedeformaă a ER. To pe baa acesei ipoee, în calculele analiice, ermenii ce conțin deformații specifice sau deplasări la pueri superioare se po neglija în rapor cu ermenii la puerea înâi (eoria de ordinul înâi). V. poea proporționaliății dinre deformații specifice şi deplasări. În domeniul elasic se consideră că înre deformațiile specifice şi deplasări exisă o relație liniară. poea ese o consecință a ipoeei deformațiilor mici. V. poea secțiunilor plane (Bernoulli). Secțiunile plane şi normale pe axa barei rămân plane şi normale şi după deformarea produsă de sarcini. Aceasă ipoeă se verifică experimenal pe conurul barelor şi se admie valabilă şi în ineriorul acesora. 0

13 Fig.. Asfel în caul barei din figura. a, supusă la înindere, secțiunea BC se deplaseaă în B~C~ dar rămâne plană şi normală pe axa barei. La fel penru bara din figura. b supusă la încovoiere secțiunea AB se deplaseaă şi se roeşe în poiția B~C~, dar rămâne plană şi normală pe axa barei. X. Principiul lui Sain Venan. Dacă se înlocuiesc forțele care acționeaă pe o porțiune mică a ER cu un al sisem de forțe echivalen din punc de vedere saic cu primul, noua disribuție a forțelor produce în locul de aplicare diferențe apreciabile față de prima dar rămâne fără efec, sau cu efec neglijabil, la disanțe mari de locul de aplicare a forțelor. X. Principiul suprapunerii efecelor. Prin aplicarea unei sarcini asupra unui ER până la limia prescrisă de proporționaliae a maerialului, eforurile, ensiunile, deformațiile şi deplasările ce se produc în ER depind exclusiv de mărimea acelei sarcini şi nu sun influențae de efecele alor sarcini aplicae anerior sau concomien. Aces principiu ese o consecință a legii lui Hooke (deformațiile sun proporționale cu sarcinile) şi a ipoeei deformațiilor mici ce indică eoria de ordinul înâi..5. Siguranța în funcționare. Coeficienți de siguranță. Reisențe admisibile. În reolvarea problemelor de reisența maerialelor, (ER) dimensionae sau verificae li se po impune anumie condiții, care să le asigure o bună funcționare pe oaă duraa de uiliare. Acese condiții sun : a) condiții de reisență; b) condiții de rigidiae; c) condiții de sabiliae.

14 .5.. Condiții de reisență Spunem că un ER ese corespunăor, din punc de vedere al condițiilor de reisență, aunci când ensiunile care se produc în acesa, daoriă sarcinilor, nu depăşesc anumie limie, sabilie convențional, dar corelae cu caracerisicile mecanice ale maerialului din care ese confecționa ER. Valoarea convențională aleasă în calcul, pe baa pracicii, penru ensiunea maximă care se poae produce înr o piesă, în condiții dae de maerial şi de soliciare se numeşe reisență admisibilă. Ținând seama de deformațiile care se produc, până la rupere, maerialele se împar în două grupe: enace, care se deformeaă mul înaine de rupere (ex : oțelurile de reisență mică şi mijlocie); fragile, care nu se deformeaă sau se deformeaă foare puțin, fără producerea fenomenului de gâuire înaine de rupere (exemplu : fona, sicla, oțelul de reisență mare, ec.). Reisența admisibilă poae fi definiă în comparație cu o sare limiă, periculoasă, care rebuie eviaă. La maerialele enace, care au limia de curgere σc, reisența admisibilă se defineşe prin relația: σc σ a (.a) c c unde: cc ese coeficienul de siguranță față de limia de curgere. Alegând în calcul un coeficien de siguranță corec, se va evia aingerea limiei de curgere, deci producerea de deformații mari, care po scoae piesa din funcțiune. La maerialele fragile reisența admisibilă se defineşe în funcție de reisența la rupere : σr σ a (.b) c r unde: cr ese coeficienul de siguranță față de reisența la rupere. Verificările efecuae pe diferie (ER) au arăa care ar rebui să fie valorile cele mai porivie penru coeficienții de siguranță şi deci şi penru reisențele admisibile. Spre exemplu, dacă ne referim la oțel reisența admisibilă rebuie să fie inferioară nu numai limiei de curgere ci şi limielor de elasiciae şi proporționaliae. La alegerea coeficienului de siguranță rebuie să ținem seamă de urmăorii facori:

15 a) Naura maerialului şi ehnologia de fabricație. Fiecare maerial are anumie caracerisici mecanice care deermină reisența admisibilă. Coeficienul de siguranță ese cu aî mai mare cu câ maerialul ese mai neomogen. Asfel, penru fonă coeficienul de siguranță ese mai mare decâ penru oțel, la beon, lemn, coeficienul de siguranță ese mai mare decâ la meale. Srucura neuniformă a maerialului, exisența cruselor de urnare, forjare, laminare sun facori ehnologici care au efec negaiv asupra reisenței admisibile şi deci vom lua în calcul un coeficien de siguranță mai mare. b) Felul soliciării. Prin efecuarea de încercări mecanice (înindere, compresiune, încovoiere, ec.) s a consaa că maerialele au caracerisici mecanice diferie în funcție de modul de soliciare. Unele maeriale au ouşi reisențe admisibile egale penru diferie soliciări de exemplu, oțelul penru înindere, compresiune, încovoiere. c) odul de acțiune a sarcinilor în imp. La soliciări ale ER cu sarcini saice coeficienul de siguranță ese mai mic decâ la sarcini variabile în imp sau la sarcini aplicae cu şoc. S a consaa experimenal că un maerial cu reisența de rupere σr, supus unor soliciări variabile în imp se rupe la valori σ max inferioare lui σ r. Acesui fenomen i s a da numele de oboseală a maerialului. Valoarea limiă superioară a lui σ max la care maerialul reisă la un număr foare mare de cicluri (ex cicluri) fără a se rupe se numeşe reisență la oboseală. d) odul de evaluare a sarcinilor şi de realiare a ipoeelor de calcul. Cu câ sarcinile sun mai incer evaluae, cu câ ipoeele şi schemele de calcul au un grad mai mare de aproximare, cu aâ reisențele admisibile rebuie să fie mai mici şi coeficienții de siguranță mai mari. e) Duraa de folosire a piesei. Penru piese cu duraă scură de funcționare, se po lua coeficienți de siguranță mai mici, deci reisențe admisibile mai mari. f) Temperaura. Temperaurile înale sau scăue influențeaă negaiv reisențele admisibile. Penru (ER) imporane care vor lucra la emperauri ridicae sau joase, reisența admisibilă se alege în funcție de caracerisicile mecanice la emperaura respecivă..5.. Condiții de rigidiae Funcționarea unor piese ese posibilă numai aunci când deformațiile lor nu depăşesc anumie limie. Ca exemplu: un arbore ce are deformații mari la încovoiere provoacă o uură premaură a lagărelor. Din aceasă cauă în calculul de reisență se impun anumie limie penru mărimea deformațiilor şi se spune că ER rebuie să răspundă unor anumie condiții de rigidiae dae.

16 .5.. Condiții de sabiliae La problemele de sabiliae elasică, deşi condițiile de reisență sun saisfăcue, la anumie valori ale sarcinilor, numie valori criice, piesele îşi po pierde echilibrul sabil, fap ce duce la disrugerea lor. Acese (ER) rebuie să saisfacă condițiile de sabiliae, adică sarcinile aplicae să fie inferioare celor criice. Câeva valori orienaive ale reisențelor admisibile sun preenae în Anexa. Se poae observa că reisențele admisibile la încovoiere sun de obicei cu 0 0% superioare celor de racțiune, pe când cele de la forfecare şi răsucire sun 60 80% din cele de racțiune. O excepție de la aceasă regulă face fona, ce are reisențe admisibile la compresiune de...5 ori mai mari decâ la racțiune..6. Înrebări es. Ce condiții rebuie să îndeplinească un elemen de reisență?. Ce se înțelege prin reisență?. Ce ese rigidiaea?. Care sun crieriile uiliae penru clasificarea elemenelor de reisență? 5. Ce sun barele? Dar firele? Care ese deosebirea dinre bară şi fir? 6. Ce probleme reolvă reisența maerialelor? 7. Definiți axa barei? Definiți secțiunea unei bare? 8. Ce sun plăcile? Dar membranele? 9. Care sun elemenele caracerisice plăcilor? 0. Ce ese un corp masiv? Dați exemple de asemenea corpuri.. Cum se clasifică sarcinile dinamice?. În reisența maerialelor forțele sun vecori liberi, legați sau alunecăori?. Ce ese o deplasare?. Ce deosebire ese înre deplasare şi deformație? 5. Ce ipoeă inroduce reisența maerialelor față de mecanica eoreică? 6. Ce ese un maerial iorop? Dar omogen? 7. Ce ese un maerial aniorop? Dar neomogen? 8. Care sun uniățile de măsură penru urmăoarele mărimi? a. forță concenra aplicaă; b. sarcină disribuiă pe o lungime, respeciv pe o suprafață; c. momen concenra aplica; d. momen disribui;

17 9. Reisența admisibilă a unui maerial ese: a. o valoare convențională aleasă a ensiunii maxime produse înr o piesă în funcție de maerial şi soliciare; b. o mărime ce se deermină experimenal; c. o valoare a ensiunii care produce ruperea maerialului; d. o valoare a forței aplicae unui maerial până la care acesa reisă; e. o valoare a ensiunii până la care maerialul nu începe să curgă; f. o valoare a ensiunii până la care un maerial poae fi solicia, fără ca în acesa să apară fisuri. 0. Care ese obiecul Reisenței maerialelor? a. cunoaşerea caracerisicilor mecanice ale unui maerial; b. sabilirea unor relații de calcul penru sudiul reisenței, rigidiății şi sabiliății diverselor srucuri; c. deerminarea condițiilor de echilibru; d. deerminarea caracerisicilor mecanice ale maerialelor; e. calculul de proiecare a unei srucuri; f. reolvarea oricărei probleme de la puncele b, c şi d.. Ce ese un maerial iorop? a. un maerial care are aceleaşi proprieăți în oae direcțiile; b. un maerial care se supune legii lui Hooke; c. un maerial care preină în o volumul său aceeaşi valoare a unei anumie consane fiice; d. un maerial care ocupă în mod coninuu o spațiul ocupa de volumul său; e. un maerial la care E G; f. un maerial care are aceleaşi proprieăți pe rei direcții perpendiculare înre ele.. Ce ese elasiciaea liniară? Dar neliniară?. Care sun ipoeele de baă în reisența maerialelor?. În ce consă principiul suprapunerii efecelor forțelor? 5. Enunțați principiul lui Sain Venan? 6. Enunțați ipoea lui Bernoulli. 7. Ce ese reisența admisibilă? Dar coeficienul de siguranță? Ce facori influențeaă acese mărimi? 5

18 6

19 . FORȚE EXTEROARE Ş FORȚE NTEROARE.. Forțe exerioare. Clasificare Consrucțiile inginereşi sun realiae din unul sau mai mule (ER). În Reisența maerialelor se analieaă fiecare ER sau subansamblu numai în siuația de echilibru sub acțiunea forțelor exerioare, aşa că valoarea orsorului forțelor exerioare, ce acționeaă asupra unui ER sau subansamblu, ese odeauna egal cu ero. În cele câe urmeaă prin forță se va înțelege noțiunea de forță generaliaă: forță sau momen. În Reisența maerialelor noțiunea de forță exerioară cuprinde aâ forțele aplicae pe suprafața ER câ si cele disribuie pe înreaga masă a maerialului cum sun: greuaea, forțele de inerție, forțele elecromagneice, daoriă dilaării împiedicae, ec., precum şi forțele de legăură dinre (ER) numie reacțiuni. Forțele exerioare se po clasifica asfel: a) după naura lor: sarcini sau forțe acive; reacțiuni sau forțe de legăură. b) după locul de aplicare: de suprafață sau de conur, ce se aplică în exeriorul ER; de volum sau masice, ce sun disribuie în înregul volum al ER. c) dup ă mărimea suprafeței pe care se aplică, forțele de suprafață po fi: concenrae, ce se consideră aplicae înr un punc şi consiuie o schemaiare a forțelor disribuie pe o suprafață foare mică, în rapor cu suprafața (ER), (fig..,a); disribuie, ce se reparieaă uniform sau cu inensiae variabilă pe o suprafață sau în lungul unei linii (fig..,b). Forțele concenrae se măsoară în N, kn, N, ec. iar cele disribuie pe suprafață se măsoară în N/m sau Pa, N/mm sau Pa, kn/m, ec. iar cele disribuie în lungul unei linii în N/m, kn/m, ec. 7

20 Fig.. Sarcinile aplicae (ER) po fi clasificae asfel: a) După proveniență: sarcini permanene, ce şi păsreaă inensiaea consană (exemplu: greuaea proprie a ER); sarcini uile formae din acelea ce reulă din rolul funcțional al ER (exemple: greuaea auovehiculelor penru un pod, încărcăura penru mijloacele de ranspor, fo rța de aşchiere penru scule, ec.); sarcini accesorii ce apar în impul funcționării (exemple: forțe de inerție, forțe de frecare, dilaare împiedicaă, ec.); sarcini accidenale, ce acționeaă inermien şi neregula (exemple: acțiunea vânului, greuaea ăpeii, ec.); sarcini exraordinare, ce acționeaă înâmplăor dar po avea efec caasrofal (exemple: incendiile, exploiile, inundațiile, curemurele de pămân, ec.). Sarcinile permanene, uile şi accesorii se numesc sarcini fundamenale. b) După modul de acțiune în imp se po clasifica în: sarcini saice, ce se aplică len iar apoi îşi păsreaă inensiaea consană (fig..,a); sarcini dinamice, ce se aplică cu vieă variabilă relaiv mare şi care po fi: sarcini aplicae brusc, ce produc şoc (fig..,b); sarcini variabile în imp a căror inensiae variaă periodic după o anumiă lege, (fig..,c). c) După poiția sarcin ii pe ER sarcină fixă, ce acționeaă în acelaşi loc pe oaă duraa funcționării consrucției (exemplu: greuaea proprie); vehicul pe un pod). sarcină mobilă, a cărei poiție ese variabilă (exemplu: greuaea unui 8

21 Fig.... Reacțiuni Reacțiunile sau forțele de legăură repreină acțiunea mecanică a legăurilor ER cu ale (ER) şi iau naşere la acț iunea sarcinilor asupra ER respeciv. Legăurile, anuleaă unul sau mai mule grade de liberae ale ER, resrângându i posibiliățile de mişcare. Conform axiomei legăurilor, efecul legăurii unui ER, supus acțiunii sarcinilor, poae fi înodeauna înlocui prin reacțiuni (forțe de legăură), corespunăoare, ce se deermină din condițiile de echilibru. Când numărul ecuațiilor de echilibru disince ese egal cu cel al reacțiunilor ER consiuie un sisem saic deermina, iar când numărul ecuațiilor de echilibru ese mai mic decâ numărul reacțiunilor, sisemul ese saic nedeermina. Gradul de nedeerminare ese da de diferența dinre numărul reacțiunilor şi numărul ecuaților de echilibru. Ridicarea nedeerminării, se realieaă în Reisența maerialelor, prin inroducerea condițiilor geomerice de deformare. Felul legăurilor care po apărea la capăul unei bare şi modul de înlocuire cu reacțiuni sun redae în abelul.. Evaluarea sarcinilor şi deerminarea reacțiunilor consiuie una din problemele imporane ale reisenței maerialelor. Spre deosebire de mecanica eoreică, în Reisența maerialelor forțele sun vecori legați de puncul de aplicație. Schimbarea puncului de aplicație a forței nu schimbă sarea de echilibru dar poae modifica sarea de soliciare a ER. 9

22 Soliciare Denumire Legăura mecanică Simbol Reacțiuni reaem simplu mobil ghidaj Tabelul. dublu plană ariculație cilindrică simplă ghidaj simplu încasrare ariculație sferică spațiu ariculație cilindrică şi ghidaj ariculație cilindrică încasrare.. Forțe inerioare Forțele inerioare sau eforurile se produc în ineriorul ER când acesa ese acționa de forțe exerioare. Penru deerminarea eforurilor, Reisența maerialelor uilieaă meoda secțiunilor, a lui Cauch. Aceasă meodă ese echivalenă cu eorema echilibrului părților: dacă un ER ese în echilibru sub acțiunea unui sisem de 0

23 forțe, aunci şi o pare oarecare din aces corp ese, de asemenea în echilibru sub acțiunea forțelor corespunăoare acesei părți. Aceasă meodă consă în: secționarea imaginară a ER, în locul unde urmeaă să fie deerminae forțele inerioare (eforurile) aferene; repreenarea, pe porțiunile ER obținue, a forțelor exerioare şi a celor inerioare aferene; scrierea ecuațiilor de echilibru penru sarcinile exerioare şi eforuri, repreenae penru una din porțiunile ER secționa. Se consideră o bară oarecare acționaă de un sisem de forțe F, F...F n (fig..a), care se secționeaă cu un plan imaginar Q, normal pe axa barei. Prin secționare se obțin două părți: şi. Cele două părți ale barei se echilibreaă prin forțele inerioare disribuie p, ce se produc pe fețele de separație A (fig..,b). Forțele disribuie pe suprafața A a părții, se reduc în cenrul de greuae O la o forță reulană R şi un momen reulan 0. Acesea consiuie oodaă efecul părții asupra părții. Deci, forțele p de pe fața A a părții sun echivalene cu orsorul de reducere în 0 a forțelor ce acționeaă asupra părții (fig..c). La fel, dacă se repreină parea ; acțiunea părții asupra părții ese echivalenă, în O, cu reulana R şi momenul reulan 0. Fig.. Acțiunea părții, asupra părții ese egală şi de sens conrar cu acțiunea părții asupra părții (conform principi ului acțiunii şi reacțiunii) şi reulă:

24 R R R şi Elemenele orsorului de reducere în cenrul de greuae a secțiunii al forțelor ce acționeaă asupra părții din sânga sun egale şi de sens conrar cu elemenele orsorului de reducere, în acelaşi punc, al forțelor ce acționeaă asupra părții din dreapa. Elemenele R, 0, şi respeciv R, 0 ce asigură echilibrul fiecărei părți se numesc forțe inerioare. Acesea sun, oodaă, reulana şi respeciv momenul reulan al forțelor inerioare elemenare ce se produc înre pariculele celor două părți la acțiunea sarcinilor. Prin separarea, prinr un plan imaginar, a celor două părți forțele inerioare au fos ranspuse în caegoria forțelor exerioare şi luae în considerare ca aare. Proiecând elemenele orsorului de reducere în O, pe axele de coordonae, se obțin şase componene: rei forțe: N, T, T şi rei momene:,, (fig..,d). Componenele N, T, T,,, se numesc eforuri secționale sau eforuri din secțiune şi le vom numi EFORTUR. Fiecare efor are o denumire, îi corespunde o deplasare (deformație) şi produce o soliciare simplă asupra barei. Forța normală sau forța axială N (fig..,d), ese egală cu suma algebrică, luaă cu semn schimba, a proiecțiilor pe axa x, a uuror forțelor siuae în sânga (sau la dreapa, luae cu acelaşi semn) secțiunii considerae: N F x F. (.) x unde înseamnă că se iau forțele de pe parea sângă, iar, forțele de parea dreapă. Forța normală se consideră poiivă când produce soliciarea de înindere, care lungeşe bara şi negaivă când produce soliciarea de compresiune, care scureaă bara. Forța ăieoare T, respeciv T, ese egală cu suma proiecțiilor pe axele 0 şi respeciv 0, din planul secțiunii, luae cu semn schimba, a uuror forțelor siuae la sânga (sau la dreapa cu acelaşi semn) secțiunii considerae: F F ; T F F. (.) T Forța ăieoare T ese poiivă dacă deplaseaă secțiunea în sens conrar axei 0, în planul x0, iar T în sens conrar axei 0. Forțele ăieoare produc soliciarea de forfecare sau ăiere. omenul încovoieor, respeciv, ese egal cu suma momenelor în rapor cu axa 0, respeciv 0, din planul secțiunii, a uuror cuplurilor de forțe şi momenelor forțelor, siuae la sânga (sau la dreapa luae cu minus) secțiunii considerae:

25 şi. (.) omenele încovoieoare produc soliciarea de încovoiere. Deformația produsă de momenul încovoieor ese de roire a secțiunii în jurul axei respecive:, în jurul axei O şi respeciv în jurul axei O. omenul se consideră poiiv, când comprimă fibra superioară şi îninde pe cea înferioară, iar ese poiiv când comprimă fibra din parea poiivă a axei O şi îninde fibra din parea negaivă (fig..). omenul de răsucire ese egal cu suma algebrică a momenelor forțelor şi a cuplurilor siuae la sânga secțiunii(sau la dreapa luae cu semn minus) față de axa Ox: x. (.) x omenul de orsiune ese poiiv aunci când forțele sau cuplurile din sânga secțiunii roesc în sens orar, iar cele din dreapa în sens aniorar. Preența simulană în secțiunea barei a două sau mai mule eforuri produc, în bară, o soliciare compusă. În general, se deermmină eforurile de pe fața din dreapa secțiunii (O din fig..,d) şi în aces ca se reduc forțele din parea sângă a secțiunii. Când ese mai simplu să se reducă forțele din parea dreapă aunci se obțin eforurile de pe fața din sânga, care au însă sensuri opuse față de cele deerminae în primul ca. Dacă s au dedus forțele de pe parea din sânga a secțiunii şi rebuie raporae la fața din dreapa aunci acesora li se schimbă semnul. Fig.. De reținu că repreenarea ineracțiunii, prin forțe aplicae în O, ese o repreenare convențională simplă a fenomenului complex de ineracțiune înre cele două părți, (fig..,b).

26 numai forțele din acea pare (din sânga sau din dreapa); secțiunii; Observație: Se po obține, mai simplu, eforurile din secțiune procedând asfel: a) se analieaă în ce pare a secțiunii sun mai puține forțe şi se ia în considerare b) se descompune fiecare forță, din acea pare, după direcț iile axelor în secțiune; c) se reduce fiecare componenă obținuă din forțe, în cenrul de greuae al d) se însumeaă proiecțiile forțelor şi ale momenelor corespunăoare penru fiecare axă în pare, ținând seama de regula de semne, obținându se asfel: N suma proiecțiilor forțelor pe axa Ox; T suma proiecțiilor forțelor pe axa O; T suma proiecțiilor forțelor pe axa O; suma proiecțiilor momenelor pe axa O; suma proiecțiilor momenelor pe axa O; suma proiecțiilor momenelor pe axa Ox... Funcții de eforuri Valorile eforurilor din secțiune (N, T, T,,, x ) variaă în lungul barei, în funcție de modul de încărcare şi de forma barei. Una din problemele principale, ale calculului de reisență, ese cunoaşerea valorilor eforurilor din fiecare secțiune ransversală. Asfel, se exprimă variația fiecărui efor în funcție de coordonaele puncelor axei şi se obține câe o funcție de eforuri. Penru o bară dreapă, ce are axa orienaă, după Ox, funcțiile de efor exprimă în dependență de abscisa x a secțiunii: N N(x); T T (x);... (x). Variația eforurilor în lungul axei barei, sub acțiunea sarcinilor fixe, poae fi urmăriă cel mai bine pe diagramele de eforuri. Acesea sun repreenări grafice ale funcțiilor de eforuri în funcție de abscisa secțiunii x de pe axa barei. Diagrama de efor se obține prin rasarea unei linii subțiri care să unească puncele ce saisfac ecuația funcției eforului respeciv. Aceasa se se repreină în lungul unei linii de referință, rasaă cu linie groasă, paralelă şi de lungime egală cu axa barei. Asfel, penru fiecare efor se raseaă câe o diagramă.

27 Fig..5 În pracică se înâlnesc frecven bare drepe sau curbe plane, ce sun încărcae cu forțe conținue în planul de simerie longiudinal al barei. În figura (.5,a), s a repreena o asfel de bară unde s a noa cu xo planul forțelor. S au deermina reacțiunile şi apoi eforurile din secțiunea aflaă la abscisa x de reaemul. În figura (.5,b) s a repreena bara respecivă pe care s au figura reacțiunile şi respeciv eforurile inerioare din secțiunea de abscisă x. În aces ca paricular se po deermina eforurile: a) forța axială, egală cu suma algebrică a proiecțiilor forțelor exerioare aplicae în sânga (sau în dreapa) secțiunii considerae pe axa barei; b) forța ăieoare, TT, egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe axa O a uuror forțelor siuae la sânga (sau la dreapa) secțiunii considerae; c) momenul încovoieor,, egal cu suma algebrică a momenelor forțelor în rapor cu axa O, a uuror forțelor şi momenelor siuae în sânga (sau în dreapa) secțiunii considerae. 5

28 În mod uual, penru rasarea diagramelor de eforuri penru sarcini conținue înr un singur plan, se foloseşe schema plană din figura (.5,d). Eforurile secționale, din sânga respeciv din dreapa secțiunii, se repreină ca în figura.5,d. Fig..6 Regula de semn e penru sarea plană, ese daă în figura.6: forța axială N, ese poiivă când lungeşe elemenul de bară (fig..6,a) şi negaiv ă când scureaă elemenul de bară. forța ăieoare T, ese poiivă când are endința să roească în sens orar elemenul de bară (fig..6,b); momenul încovoieor, se consideră poiiv când roeşe cele două fețe laerale, curbând fibrele, asfel ca fibrele superioare să se scuree iar cele inferioare să se lungească (fig..6,c)..5. Relații diferențiale înre sarcini şi eforuri Trasarea diagramelor de eforuri poae fi mul uşuraă dacă se cunosc aâ funcțiile de eforuri câ şi relațiile diferențiale înre eforuri şi diferie sarcini. Penru a sabili relațiile diferențiale dinre sarcini şi eforuri se consideră un elemen de bară curbă plană, asupra căruia acționeaă un sisem de sarcini conținue în planul axei barei. Elemenul de bară, de lungime infini mică ds, are raa de curbură r, iar unghiul forma de cele două secțiuni ese d α. Lungimea elemenului ese ds r d α (fig..7,a). Asupra elemenului ds se consideră că acționeaă sarcinile: q, uniform disribuiă pe lungimea ds, a elemenului; F şi e, concenrae şi acționând în secțiunea ce rece prin puncul 0. Aşa cum s a arăa şi la observațiile de la., acese sarcini rebuie descompuse după direcțiile axelelor de coordonae şi se consideră că acționeaă asupra axei barei. În figura (.7,b) s a repreena modul de acțiune al sarcinilor. To în figura (.7,b) s au 6

29 repreena eforurile: N, T, în secțiunea O şi respeciv N + ΔN, T+ΔT şi +Δ în secțiunea A. Conform meodei secțiunilor (a lui Cauch) dacă elemenul inițial ese în echilibru aunci şi porțiunea din elemen de lungime ds, va rebui să fie în echilibru. Fig..7 Se po scrie în aces ca ecuațiile: X 0 ( N + ΔN) cosdα N ( T + ΔT) sin dα + X + px ds 0, Y 0 ( T + ΔT) cosdα T + ( N + ΔN) sindα + Y + pds 0, O 0 ( + Δ) ( N + ΔN) r ( cosdα) ds ( T + ΔT) r sin dα p ds e 0. (.5) ΔT + N Înrucâ unghiul dα ese foare mic se aproximeaă: ΔN T dα + X + p sindα ds 0; d α şi cosdα. Dacă se neglijeaă produsele infiniților mici relațiile (.5) devin: dα + Y + p ds 0; (.6) Δ T r dα e X 0. Acese relații conțin ermeni de mărime finiă şi de mărime infini mică. Dacă se neglijeaă ermenii infiniți mici față de ermenii finiți se obțin ecuațiile: Δ N X, ΔT Y, Δ (.7) Neglijarea ermenilor infini mici se poae face (şi rebuie să se facă) numai în drepul sarcinilor concenrae. Din relațiile (.7) reulă: în drepul unei sarcini e 7

30 concenrae cel puțin un efor are un sal egal cu valoarea componenei sarcinii concenrae pe direcția respecivă. Spre exemplu, în drepul unei forțe concenrae longiudinale X, în diagrama de forțe axiale va apare un sal egal cu valoarea componenei X, în drepul unei forțe concenrae ransversale Y, în diagrama forțelor ăieoare va rebui să exise un sal egal cu valoarea componenei Y, iar în drepul unui momen concenra e, în diagrama momenelor încovoieoare apare un sal egal cu valoarea momenului e. Dacă, pe elemenul ds, nu sun aplicae sarcini concenrae ( X0, Y0 şi e 0) aunci relațiile (.7) rebuie să conțină numai ermenii cu infiniți mici. În aces ca şi variația eforurilor rebuie să fie infini mică, aşa că se consideră: Δ N dn, ΔT dt, Δ d. Ținând seama de acese relații şi că dsr d, din (.6) se obține: dn T dt N d px, p, T. (.8) ds r ds r ds În caul barelor dre pe (r ; reulă ds dx) şi în absența forțelor axiale relațiile (.8) devin: d dt T, p. (.9) dx dx Pe baa acesor relații reulă: derivând expresia momenului încovoieor în rapor cu variabila x se obține expresia forței ăieoare; derivând expresia forței ăieoare în rapor cu variabila x se obține expresia sarcinii disribuie cu semnul minus. Derivând încă o daă prima relație şi ținând seama de a doua, se obține: d dt p. dx dx Observații: a) Relațiile (.8), (.9) şi (.0) sun relații diferenț iale ale func țiilor de eforuri N(x), T(x) ş i (x). Diagramele de eforuri repreină inegralele acesor expresii. b) Relația (.0) araă că ecuația forței ăieoare se poae obține, fie din inegrarea expresiei sarcinii, fie din Fig..8 derivarea expresiei momenului încovoieor. 8 (.0)

31 sun: T Y Z + p T Z Z c) Dacă sarcinile sun conținue în planul xo (fig..8) ecuațiile de echilibru dx + dx + p asfel se obține: ( T + dt ) Z Z Z dx dx d dt T, p dx d dx T dx dx Y p. 0, ( d ) 0 Y Y (.) (.,a) (.,b).6. Reguli pracice penru rasarea diagramelor de eforuri Penru caul când forțele ransversale sun nule (Y 0; p 0), din relațiile (.0) se obține: T C, C x +. (.) T C i C p Deci, când forțele ransversale sun nule, forța ăieoare ese consană iar momenul încovoieor variaă liniar (fig..9,a şi b). C şi C sun consane de inegrare şi repreină forța ăieoare, respeciv momenul încovoieor, la limia din sânga sau din dreapa secțiunii considerae. Dacă pe o porțiune de bară se aplică o forță ransversală uniform disribuiă Fig..9 (pc.) aunci din relațiile (.0) se obține: x (variație liniară), C + C x p x (variație parabolică). (.) Penru aces ca, s au repreena câeva moduri de variație a forței ăieoare şi momenului încovoieor, penru o porțiune de bară (fig..0). Relația a doua (.0) araă că forța ăieoare ese egală cu pana la curba momenelor încovoieoare. Din figurile.9 şi.0 se observă că pe porțiunea unde: 9

32 T > 0 crese, T < 0 scade, T rece prin ero T 0 c. max sau min, (.) Fig..0 Dacă se ține seama de relațiile (.7), în caul acțiunii sarcinilor concenrae, reulă că unei variații bruşe a forței ăieoare îi corespunde o schimbare bruscă a panei momenului încovoieor. Aşadar, diagrama de momene are un punc de schimbare a panei angenei (se frânge) în drepul sarcinii ransversale concenrae. 0

33 Pe lângă regulile menționae mai sus, penru rasarea diagramelor de eforuri, ese necesar să se respece urmăoarele eape: a) se elibereaă bara de legăuri, se repreină reacțiunile şi se deermină valorea acesora din ecuațiile de echilibru ; b) se alege un sens de parcurs al barei, adică o origine axei Ox şi sensul aceseia, care poae fi de la sânga la dreapa sau de la dreapa la sânga, de sus în jos sau de jos în sus ec.; c) se sabilesc funcțiile de eforuri, adică expresiile N(x), T(x) şi (x) penru fiecare ronson de bară; d) penru fiecare efor exisen se raseaă câe o linie de referință groasă, paralelă cu axa barei şi de aceeaşi lungime cu aceasa; e) forțele axiale, forțele ăieoare şi momenele de răsucire poiive se repreină la scară deasupra liniei de referință; momenele de încovoiere poiive se repreină sub linia de referință; f) repreenarea eforurilor în diagrame se face prin rasarea unor segmene de dreapă perpendiculare pe linia de referință, ce repreină la scară, valoarea eforului respeciv..7. Diagrame de eforuri Diagramele de eforuri sun necesare penru deerminarea secțiunii periculoase şi de aceea se raseaă înodeauna penru oae barele soliciae. Pe diagrame se observă imedia aâ soliciările câ şi secțiunile cele mai soliciae (periculoase), precum şi valorile exreme ale eforurilor..7.. Bare drepe soliciae de forțe axiale În acese cauri forțele exerioare ce acționeaă în lungul barei se reduc la reulane a căror supor ese chiar axa barei.

34 figura.. N s 0; Aplicația.. Să se rasee diagrama de eforuri penru bara cu încărcarea din Eforurile sun: N d N s 5P; N d N s P; N d N s 5P; N d N5 s P; N5 d N6 s 6 d P; N 0. Fig.. Aplicația.. Un sâlp verical solicia de sarcina axială P500 kn ese forma din două ronsoane şi se sprijină pe un bloc de beon. Aâ sâlpul, pe cele două ronsoane câ şi fundația au secțiuni consane şi lungimile din figura.. Greuaea disribuiă pe lungimea ese de q 5 kn/m, pe porțiunea, q 5 kn/m, iar a fundației de q 90 kn/m. Să se rasee daigramele de eforuri. Fig.. Înr o secțiune oarecare, la abscisa x, forța axială ese:, N(x ) P q x N x x, deci, variaă liniar. N kn, N kn Valorile exreme sun: N 500 kn, N kn. Înr o secțiune oarecare pe ronsonul forț a axială are expresia: N(x ) P q l q x, iar valorile exreme vor reula: Înr o secțiune pe porțiunea fundației forța axială ese daă de expresia: N(x ) P q l q l q x, iar valorile exreme sun: N kn, N x 5 x 90 x 905 kn. Diagrama de variație a eforurilor axiale ese redaă în dreapa barei.

35 .7.. Bară (grindă) dreapă soliciaă la încovoiere Penru începu se vor considera barele drepe soliciae de forțe exerioare vericale siuae în unul din planele de simerie longiudinale ale barei. În aces ca în secțiunile ransversale ale barei, la acțiunea sarcinilor se produc: forțe axiale, forțe ăieoare şi momene de încovoiere Bara (grindă) în consolă La barele în consolă (încasrae la un capă şi libere la celălal) diagramele de eforuri se po rasa şi fără calculul prealabil al reacțiunilor. În aces ca se consideră originea sisemului de referință în capăul liber, iar reacțiunile vor fi egale cu valorile eforurilor din încasrare. Aplicația.. Bara încasraă la un capă şi încărcaă la celălal cu o sarcină concenraă (fig..). În figura (.,a), bara are capăul liber în dreapa, iar în figura (.,b), capăul liber ese în sânga. Fig.. Penru bara din figura (.,a), funcțiile de eforuri sun: Tx P c. x P x (variaă liniar) şi are valorile 0 0 şi P L. Penru bara din figura (.,b) eforurile sun: Tx P c. x P x, 0 0 şi P L. Observație: Forțele ăieoare sun egale în valoare absoluă, dar diferă ca semn.

36 (fig..). Aplicația.. Bara în consolă soliciaă de o forță ransversală uniform disribuiă În secțiunea x eforurile sun: Tx p x (dreapă), x p x x/ p x / (parabolă), iar valorile exreme reulă: T 0; 0 T p L; 0; 0 p L /. Fig.. Fig..5 Reacțiunile din încasrare sun: V p L; p L /. Aplicația.5. Bară în consolă soliciaă de o forță liniar disribuiă (fig..5). Încărcarea ese deerminaă de inensiaea maximă a sarcinii p 0. Sarcina oală pe bară ese de p p L/, iar inensiaea sarcinii înr o secțiune oarecare, la disanța x de capă, ese: x p p0. L T x x 0 Eforurile în secțiunea x sun: x p x x L 0 ( p + p), 0 p 0 x x p x x p0 x 6 x. L Se observă că forța ăieoare variaă după o parabolă de gradul, iar momenul încovoieor după o parabolă de gradul. În cele două capee ale barei eforurile vor avea valorile: T 0 0, 0 0, T p 0 L/, p 0 L/, iar reacțiunile vor fi:

37 V L p, 0 Observații: p L 0. a) Forța ăieoare înr o secțiune oarecare x ese egală cu suprafața diagramei forțelor disribuie pe lungimea Ox; b) omenul încovoieor înr o secțiune x ese produsul înre reulana forțelor pe lungimea Ox şi disanța de la secțiunea x, la reulană Bara (grinda) simplu reemaă Bara simplu reemaă are la un capă un reaem simplu iar la celălal o aricu lație. În ariculație se vor considera două componene ale reacțiunii şi anume V pe vericală şi H pe orională. În reaemul simplu apare o singură reacțiune şi anume o forță normală pe suprafața de reemare. Disanța dinre cele două reaeme, ese L şi se numeşe deschiderea barei (grinii). Aplicația.6. Bara simplu reemaă soliciaă de o forță concenraă Q ce acționeaă oblic (fig..6). Se descompune forța Q î n componenele: P Q cosα şi H Q sinα. Reacțiunile au valorile: H H Q sinα; V P b/l şi V P a/l. Înr o secțiune oarecare x, siuaă în sânga sarciniii Q eforurile sun: N V x 0; T x V P b/l; x x P b x/l. Forța axială şi forța ăieoare au valori consane, N d 0; Td V P b/l, 0; s P a b/l. Considerând originea în (pornind din parea dreapă) se obțin eforurile în secțiunea x: Q sinα; Nx H Tx P a/l, x V x P a x /L. Eforurile în secțiunile şi sun: N s N d Nx Q sinα; T s T d V P a/l; Fig..6 0; d P a b/l. 5

38 Observații: a) Forța axială are valoare consană şi diferiă de ero înre ariculație şi puncul de aplicație al forței Q; b) Forța ăieoare are valoare consană, egală cu valoarea reacțiunii V pe porțiunea, are un sal egal cu valoarea componenei vericale P în drepul forței Q, iar pe porțiunea are valoare consană şi egală şi de sens opus reacțiunii V ; c) omenul încovoieor are variație liniară pe ambele porțiuni (unde forțele ăieoare sun consane) şi ese maxim în drepul forței concenrae (unde forța ăieoare rece prin ero). Dacă poiția forței ese variabilă pe bară, se poae deermina poiția penru care se poae produce cel mai mare momen încovoieor, numi momen maximmaximorum. Aceasa se obține înlocuind b L a, în ecuația momenului maxim, derivând în rapor cu a şi considerând derivaa egală cu ero: d da d da L a L P L ( ) P a ( L a) 0 max din care reulă disanța a penru care se obține momenul cel mai mare. Aceasa se produce când sarcina acționeaă la mijlocul barei: a L/ (fig..7). În aces ca, din caua simeriei, reacțiunile sun: V V P/. Eforurile în secțiunea x (din sânga) sun: T x V P/, x V x P x/. iar în secțiunea x (din dreapa): T x V P/, x V x P x /. Fig..7 omenul încovoieor maxim, în secțiunea din drepul forței ese: P L max. 6

39 Aplicația.7. Să se deermine poiția a două forțe concenrae P P, mobile pe o bară simplu reemaă, care produc momenul maxim maximorum (fig..8). Reacțiunea din reaemul ese: V L R x. L expresia: omenul maxim ese în drepul forței P, şi are Fig..8 max L V x a + R L ( L a L x + a x). omenul maxim maximorum se obține penru valoarea lui x ce anuleaă derivaa expresiei momenului încovoieor maxim: d R max dx L adică penru x a/. ( x + a) 0, Penru x a/ reulă momenul maxim maximorum: max max L a ( P + P ) ( ). Observație: Dacă pe o bară se mişcă un convoi de forțe concenrae P, P, k (.5) P,..P k,...p n, (fig..9) în care P k ese forța ce are valoarea cea mai mare din imediaa vecinăae a reulanei, momenul maxim se va produce în drepul aceseia. Noând cu x disanța de la mijlocul barei la reulana forțelor aflae pe bară şi cu a disanța dinre reulană şi forța P, se poae calcula reacțiunea V şi apoi momenul maxim: L R x V, L k L max V + x a Pi c i i k R L a L a x x Pi c L i i în care s a noa cu Pi sarcinile aflae la sânga forței Pk, iar cu c i disanța de la forța P k la forțele P. i. 7

40 Fig..9 Prin derivare şi anularea derivaei momenului maxim se obține disanța x a/ penru care se produce max max : k R ( L a max ) P c mam i i i. Aplicația.8. Bară simplu reemaă, soliciaă de sarcini ransversale uniform disribuie (fig..0). Încă rcarea fiind simerică reacțiunile sun: V V p L/. x V p L /8. max Eforurile înr o secțiune x sun: Tx V p x p (L/ x), (variaă liniar); x p x x/ p x (L x)/, (variaă parabolic). Valorile în puncele de reemare sun: T V p L/, 0, T V p L/, 0. La disan ța x 0 L/; T 0 şi deci Observație: Fig..0 Dacă se noeaă cu P p L, sarcina de pe bară, se observă că momenul maxim ( max p L /8) ese jumăae din momenul maxim produs de sarcina concenraă P care ar acționa la mijlocul barei, când max P L/ (vei fig..7). 8

41 9 Aplicația.9. Bară simplu reemaă soliciaă de o sarcină ransversală ce variaă liniar (fig..). Reacțiunile au valorile:. L Valoarea sarcinii în secțiunea x ese: L p L L p V, 6 L p L L p L V. L x p p x Eforurile în secțiunea x sun: Fig.. L x p 6 L p p x V T x x, (parabolă de gradul ), x, 6L x L p x L x x p x 6 L p x p x x V x x (parabolă de gradul ). Valorile eforurilor reaeme 0, în sun: T max T V p L/6, T min T V Din condiția: p L/, 0. 0 L x p 6 L p T 0 x, reulă abscisa secțiunii unde momenul încovoieor are valoarea maximă: L 0,557 L x 0, iar momenul maxim, reulă: 9 L p x 6 x L p 0 0 max.

42 Aplicația.0. Bară simplu reemaă soliciaă de un cuplu e, (fig..). V T V Reacțiunile din reaeme sun: L e. Eforurile în secțiunea x respeciv x sun: T V L x V x e L x V x e L e X X,(consană), x,(variație liniară), X,(variație liniară). Fig.. omenul încovoieor ese ero în reaeme (x 0 şi x 0) şi are valorile exreme la sânga şi respeciv la dreapa secțiunii şi sun: a L s V a e, V b e. b L d În drepul cuplului, diagrama momenelor încovoieoare are un sal egal cu valoarea cuplului : de la e a L b. L e, la e Aplicația.. Bară încasraă la un capă, reemaă la celălal cu ariculație inermediară, soliciaă de o forță concenra ă (fig..). Ariculația inermediară ransmie numai eforuri angențiale şi normale dar nu ransmie momene încovoieoare. Ținând seama de aceasă siuație, bara se poae separa, în drepul ariculației, în două grini. Reacțiunile inermediare, din ariculație, sun ocmai eforurile din secțiunea respecivă. Valoarea reacțiunii V ese: P b V P, b + b iar valoarea reacțiunii din ariculația, care ese ocmai forța ăieoare din secțiune ese: T P V P/ Fig.. 0

43 Porțiunea ese o bară în consolă acționaă la capăul liber de forța T. În aces ca se obțin eforurile: P P Td Ts V, Td Ts T, P b 0 V b P a,, 0, T a. Observație: După ce bara se separă în două părți, în drepul ariculației inermediare, problema rasării diagramelor de eforuri se reduce la cauri cunoscue ale barelor reulae din separare..7.. Diagrame de eforuri la arbori Arborii sun bare încărcae cu forțe ale căror direcții nu rec prin axa barei, sau asupra lor acționeaă cupluri de forțe siuae în plane perpendiculare pe axa barei. Forțele sau cuplurile de forțe se ransmi la arbori prin roți dințae, roți de curea, pârghii, cuplaje, ec. Valoarea momenului de răsucire se calculeaă fie în funcție de disanța de la suporul forței la axa arborelui (brațul forței), fie în funcție de puerea şi urația ce rebuie ransmisă. Dacă un arbore ransmie o puere P *, daă în kw, la o urație n, în ro/min, aunci momenul de orsiune reulă din relația: P asfel că: ω [ knm] π n 0, P [ kw] [ min] 0 π n ro /. (.6) Dacă puerea se dă în W momenul de orsiune reulă în Nm. Când puerea ese daă în CP (cai puere), penru a obține momenul de orsiune, se uilieaă relația: [ knm] P [ CP] [ min] 7,0 n ro /. (.7) omenul de orsiune se consideră poiiv când vecorul momen de răsucire din sânga are sensul axei Ox, sau când roeşe secțiunea din sânga față de cea din capăul din dreapa în sensul burghiului drep.

44 din Aplicația.. Să se rasee diagramele de pueri şi de momene de orsiune penru un arbore drep ce primeşe o puere PP* 0 kw la o urație n 5 ro/min prin roaa () şi o disribuie asfel: 5% la roaa (), 0% la roaa (), şi resul la roaa (). Puerile pe cele rei inervale sun: P 0,5 P,5 kw P ( 0,5+ 0, ) P 5,5 kw P 0,5 0, P,5. ( ) kw Fig.. Variația puerii ese daă în diagrama PP * figura.. Valorile momenelor de orsiune pe cele rei inervale sun: 0 P 0 5, 0, 9 knm, π n π 5 0 P 0 5 5, 0, knm, π n π 5 0 P 0, 5 0, knm. π n π 5 Diagrama de variație a momenelor de răsucire, ese repreenaă în fig... Observație: Preluarea puerii prin roaa mediană şi ransmierea aceseia la roțile dispuse de o pare şi de cealală a roții mooare consiuie una din cele mai eficiene moduri de încărcare a arborelui. În aces mod puerea se disribuie în mod aproape egal aâ în sânga câ şi în dreapa roții mooare. Dacă roaa mooare se află la unul din capeele arborelui, în vecinăaea aceseia acționeaă înreaga puere de 0 kw, respeciv înregul momen de răsucire, 0, + 0, 0,76 knm. În aces ca arborele rebuie dimensiona la un momen de răsucire aproape dublu..7.. Diagrame de eforuri la bare curbe În Reisența maerialelor se analieaă sarea de eforuri în barele curbe plane de curbură consană. În acese cauri bara ese un arc de cerc. Ca şi la barele drepe, la cele curbe se alege un sens de parcurs care se marcheaă prinr un unghior (arc de cerc ce are la un capă un punc de pornire şi la celălal o săgeaă).

45 Penru rasarea diagramelor de eforuri se uilieaă relațiile (.7) şi (.8), iar diagramele se haşureaă cu linii normale pe bară. Valorile eforurilor se calculeaă penru anumie valori ale unghiului α. Aplicația.. Să se rasee diagramele de eforuri penru bara curbă din figura.5. Funcțiile de eforuri şi valorile acesora în puncele cele mai imporane sun dae sub formă abelară, iar diagramele de eforuri sun preenae în figura.6 α N P cosα P 0 P 0 TP sinα 0 P 0 P P R ( cos α) 0 P R P R P R Fig..5 Fig Diagrame de eforuri la bare drepe Aplicația.. Să se rasee diagramele de eforuri penru bara din figura.7. Reolvare: Se elibereaă bara de legăuri, prin inroducerea forțelor corespunăoare legăurilor barei. Ariculația din puncul va fi înlocuiă prin două forțe V şi respeciv H0, iar reaemul simplu din puncul prin forța V. Fig..7

46 Se deermină valoarea şi sensul forțelor din legăuri (se calculeaă reacțiunile), după care se verifică valorile obținue. Deerminarea celor două necunoscue se realieaă uiliând urmăoarele ecuații: 0, penru deerminarea lui V ; 0, penru deerminarea lui V ; 0,6 0 0,5 V, 50 0,6 0, , ,6 0,5 V 50 kn;, V 0, , ,6 0, + V 50 0,6 0,7 0 0, 0 kn;,, 0 Verificarea reacțiunilor V şi V se realieaă prin uiliarea relației: F 0 V + V , Se alege un sens de parcurgere al barei (sensul de măsurare a coei x), penru a precia poiția planului imaginar de secționare. Se recomanda să se aleagă sensul de parcurs de la capăul barei spre ineriorul ei. Se adopa aceasă modaliae de parcurgere a barei penru a se obține relații de calcul a eforurilor cî mai simple. În caul acesei aplicații, s a ales ca sens de parcurs al barei sensul dinspre sânga spre dreapa (fig..8). În caul acesei aplicații nu va exisa diagrama de forțe axiale, deoarece nu exisă nicio sarcină exerior aplicaă pe direcția axei barei. eforurilor: T x x penru: T T Penru inervalul [ 0;0, m] 0; 0 x 0; 0 0 k N; penru: s s x x 9 ; 0,m 0 k N; knm; x avem urmăoarele legi de variație a Fig..8

47 Observație: S a noa T s penru că în puncul () se g ăseşe o forță concenraă şi ca aare forța ăieoare rebuie calculaă la sânga şi la dreapa puncului de aplicare a forței. [ ] x 0;0,m Penru inervalul (fig..9), variație a eforurilor: T x x 0 + V ; 0 penru: x 0 T dr 0 dr penru: ( 0, + x ) + x ; kn; x 0,m T 0 k N; 9 knm; knm; V Penru inervalul 5 x [ 0;0,6 m] (fig. variație a eforurilor: T x x 0 + V 50 x 0 7 penru: x 0 T 0 k N; penru: knm; ; x ( 0, + x ) + V ( 0, + x ) 50 x ; x 0,6m T 5 0 k N; 5 knm; valori avem urmăoarele legi de Fig..9.0), avem urmăoarele legi de Fig..0 Observație: Se observă că la exremiățile inervalului 5 forțele ăieoare au cu semne diferie, deci în aces inerval exisă avea valoarea ero. Trebuie deerminaă cu exaciae momenul încovoieor va avea un exrem în aces punc. Dacă se noeă coordonaa acesui punc cu x 0 vom avea: V 0 Tx V 50 x 0 x 0, m; x0 x0 0 ( 0,7 + x0 ) + V ( 0, + x0 ) 50 x0 0, x 0, + V 0,8 50 knm ; 0 x 0 un punc în care forța ăieoare va poiția acesui punc deoarece 5

48 6 Ulimul inerval al barei va fi parcurs de la dreapa la sânga, fiind mul mai uşor de scris legile de variație a eforurilor. Asfel penru inervalul 5.), avem urmăoarele legi de variație a eforurilor: Tx V ; V x penru: 0 T T 5 x 0 5 x kn; ; 0 kn; penru: 0 knm; x knm; 0,m [ ] x 0;0, m Fig.. Cu valorile asfel calculae se raseaă diagramele de eforuri. Acese diagrame sun p reenae în figura.. Observații: a) în puncele unde pe bară exisă sarcini concenra aplicae (forțe sau momene), în diagramele corespunăoare acesor sarcini, apar saluri ale valorilor eforurilor. Acese saluri sun egale cu valoarea sarcinilor concenra aplicae şi în sensul acesor sarcini. (puncele, şi penru forța ăieoare) În acese punce mărimea eforurilor se deermină la sânga şi la dreapa puncului. b) în puncele unde forța ăieoare are un sal diagrama de momene are o disconinuiae ( se frânge ). Fig.. c) pe inervalul unde sarcina ese disribuiă uniform ( 5) forța ăieoare variaă liniar iar momenul are o variație parabolică. d) pe inervalele unde nu avem sarcină disribuiă, forța ăieoare ese consană iar momenul are o variație liniară ( şi 5). e) în puncul unde forța ăieoare nu are sal dar rece de la o valoare consană la o variație liniară, diagrama de momene nu ese frână. Trecerea de la variația (fig.

49 liniară a momenului la variația parabolică se face fără ca angena la diagramă în puncul respeciv, fără ca momenul să aibă valori diferie la sânga şi la dreapa puncului. f) pe inervalul 5, în puncul unde forța ăieoare ese ero, digrama de momene are o valoare exremă (maxim în aces ca deoarece T, care ese derivaa momenului, ese poiivă în sânga şi apoi negaivă). g) momenul de încovoiere înr un capă liber de bară ( şi ) ese înodeauna ero. Aplicația.5. Să se rasee diagramele de eforuri penru bara din figura.. Reolvare: Se elibereaă bara de legăuri, prin inroducerea forțelor corespunăoare legăurilor barei. Ariculația din puncul va fi înlocuiă prin două forțe V şi respeciv H0, iar reaemul simplu din puncul prin forța V. Fig.. Deerminarea celor două necunoscue se realieaă uiliând urmăoarele ecuații: 0, penru deerminarea lui V ; 0, penru deerminarea lui V ;,8 0 V 7 5,8,8, , 0 5,8 5, , V 5, kn; 7, , V , , 0 + 5,8, V 8,57 kn; 7 Verificarea reacțiunilor V şi V se realieaă prin uiliarea relației: F 0 V + V 0 5,8 5, + 8, Se alege un sens de parcurgere al barei (sensul de măsurare a coei x), penru a precia poiția planului imaginar de secționare. Se recomanda să se aleagă sensul de parcurs de la capăul barei spre ineriorul ei. Se adopa aceasă modaliae de parcurgere a barei penru a se obține relații de calcul a eforurilor cî mai simple. Şi în caul acesei aplicații, penru începu s a ales ca sens de parcurs al barei sensul dinspre sânga spre dreapa (fig..). 7

50 8 Ca şi în caul aplicației anerioare, nici de aceasă daă nu va exisa diagrama de forțe axiale, deoarece nu exisă nicio sarcină exerior aplicaă pe direcția axei barei. eforurilor: T x Penru inervalul V 5 x x penru: x 0 penru: T x V T 5, kn; 0 ; ; 5 x x,8m 8,57 kn; 6 knm; x ; [ 0;,8 m] x avem urmăoarele legi de variație a Fig.. Observație: Se observă că la exremiățile inervalului forțele ăieoare au valori cu semne diferie, deci în aces inerval exisă un punc în care forța ăieoare va avea valoarea ero. Trebuie deerminaă cu exaciae momenul încovoieor va avea un exrem în aces punc. T x0 x0 poiția Dacă se noeă coordonaa acesui punc cu x 0 vom avea: V 5, 0 V 5 x0 0 x0,057 m; 5 5 x0,057 V x0 5 x0 x 5,, Penru inervalul x [ 0;,8 m] variație a eforurilor: T x V V 5,8; penru: x 0 penru: x T 8,57 kn;,8 (,8 + x ) 5,8 + x ; 6kNm ; x,8m 8,57 kn; T s 6 knm; acesui punc deoarece x0 5,9 knm ; (fig..5), avem urmăoarele legi de Fig..5

51 Observație: S a noa s penru că în puncul () se găseşe un momen concenra aplica şi ca aare momenul de încovoiere rebuie calcula aâ la sânga şi la dreapa puncului de aplicare a a aceseui momen. Penru inervalul [ 0;, m] variație a eforurilor: T x x V 5,8; V penru: x 0 T penru: x,m knm; 8,57 dr T s x (fig..6),,8 (,8 +,8 + x ) 5,8 +,8 + x 0; kn; 6kNm ; 8,57 kn; avem urmăoarele legi de Fig..6 Observație: S a noa Ts penru că în puncul () se găseşe o forță concenraă şi ca aare forța ăieoare rebuie calculaă la sânga şi la dreapa puncului de aplicare a forței. Ulimul inerval al barei va fi parcurs de la dreapa la sânga, fiind mul mai uşor de scris legile de variație a eforurilor. Asfel.7), avem urmăoarele legi de variație a eforurilor: Fig..7 T x x 0; penru: 0 x penru: x 0 T T 0 dr kn; knm; ; x,m kn; knm; penru inervalul 5 [ 0;, m] x (fig. Cu valorile asfel diagramele de diagrame sun calculae se raseaă eforuri. Acese preenae în fig..8 Fig..8 9

52 .8. Înrebări es.. În ce consă meoda secțiunilor? Câe eforuri secționale cunoaşeți? Ce ese o soliciare simplă? Dar o soliciare compusă? Dați exemple de diferie soliciări şi specificați din ce caegorie fac pare.. Ce ese orsiunea? Ce ese încovoierea pură? Care ese deosebirea înre racțiune şi compresiune?. Care ese diferența dinre eforuri şi ensiune? 5. Ce relații exisă înre eforurile secționale şi sarcini? Scrieți acese relații penru caul barelor drepe şi a barelor curbe. 6. Care ese convenția de semne penru eforurile secționale? 7. Ce sun diagramele N, T, î, şi? Cum se consruiesc acese diagrame? 8. Enunț ați ece reguli uiliae la rasarea diagramelor de eforuri N, T, î, şi. 9. Unde î ese maxim? Dar minim? 0. Care din urmăoarele afirmații sun corece? a. Dacă T < 0, î creşe; b. Dacă T 0, î scade; c. T > 0, î ese maxim; d. T > 0, î creşe; e. f. Dacă T 0 pe ona A B, î ese consan pe aceasă onă; Dacă p 0, T ese maxim; g. h. Dacă p ese consan, T ese consan; Dacă p kx+k, aunci T kx +kx +cx?. Defini ți N şi T la barele curbe.. Înr o ariculație lipsiă de momene concenra aplicae, care din urmăoarele afirmații adevăraă? a. î > 0; b. î < 0; c. î 0?. Care sun eapele de lucru la rasarea diagramelor de eforuri N, T, î, şi.. Ce se înțelege prin momen maxim maximorum şi cum se calculeaă? 5. Când în drepul unei forțe momenul de încovoiere ese maxim? 6. Ce ese un efor secțional? Ce eforuri secționale cunoaşeți? 7. Ce sun sarcinile exerioare? Care sun crieriile de clasificare a acesor sarcini? 8. Care sun uniățile de măsură penru urmăoarele mărimi: 50

53 a. forță concenra aplicaă; b. sarcină disribuiă; c. momen concenra aplica; d. momen disribui; e. sarcină disribuiă pe o lungime; f. sarcină disribuiă pe o suprafață. 9. Clasificați sarcinile dinamice. 0. Ce se înțelege prin eforuri?. În ce consă meoda secțiunilor? Care sun eforurile secționale pe care le cunoaşeți?. Scrieți relația diferențială înre sarcini şi eforuri penru caul barelor plane. Comenarii.. Care sun eapele de calcul ce rebuiesc urmae penru rasarea diagramelor de eforuri? 5

54 .9. Probleme propuse. Să se rasee diagramele de eforuri şi să se preciee secțiunea periculoasă penru berele din figura.9. a b c d e f g Fig..9 h 5

55 . Să se rasee diagramele de eforuri şi să se preciee secțiunea periculoasă penru berele din figura.0. a b c d e f g Fig..0 h 5

56 5

57 . COPORTAREA ECANCĂ A ELEENTELOR DE REZSTENȚĂ.. Tensiuni Dacă un ER ese supus acțiunii unor forțe exerioare în ineriorul acesuia vor apare forțe de aracție sau de respingere suplimenare care au endința de a păsra forma sa inițială. Dacă acese forțe nu ar exisa ER nu ar fi capabil să supore încărcările exerioare. Să considerăm o bară, în echilibru, acționaă de un sisem de forțe exerioare (F, F,..., F n ) (fig..,a). Forțele exerioare au endința de a modifica forma barei iar forțele inerioare se opun deformației barei. Fig.. Să presupunem că am secționa bara cu un plan Q normal pe axa barei (Ox). Pe fiecare elemen de suprafață ΔA x, de pe suprafața de separație, va acționa câe o forță inerioară ΔR. Toae forțele ΔR de pe înreaga suprafață de separație, mențin părțile şi împreună cu planul Q. Forța inerioară ΔR poae fi descompusă în rei componene paralele cu axele Ox, O şi O: respeciv ΔN x, ΔT, ΔT. ărimea forței inerioare ΔR poae fi diferiă pe suprafață şi să depindă de Δ R poiția ariei ΔA. nensiaea forței pe elemenul de arie ΔA ese egală cu raporul. Dacă reducem aria finiă ΔA la o arie infinieimală din jurul unui punc, se obține o nouă mărime de inensiae numiă ensiune. Asfel se obține ensiunea normală σ x : ΔN x dn x σ lim x A 0 ΔA, (.,a) Δ da 55 ΔA

58 şi corespunăor ensiunile angențiale: ΔT dt lim x A 0 ΔA ΔT τ, τ lim Δ da ΔA 0 ΔA x dt. (.,b) da Tensiunile normale sun poiive, dacă produc înindere şi negaive, dacă produc compresiune. Tensiunile angențiale sun produse de forțele conținue în planul Q al secțiunii. Acesea se consideră poiive când roesc elemenul de volum în sens orar, şi respeciv negaive când roesc aniorar. Tensiunile se măsoară în uniăți de forță pe uniae de arie Pa, Pa, GPa, N/mm, kn/mm, ec. ărimile σ şi τ nu sun vecori (deoarece ele se obțin din raporarea unor forțe elemenare la o suprafață elemenară), ci sun mărimi ensoriale şi ca aare, rebuie avu grijă să li se aplice regulile de operare specifice ensorilor. Tensiunile normale se noeaă cu un singur indice cel al axei normale la secțiune, iar ensiunile angențiale cu doi indici: primul indice araă axa normală la secțiune iar al doilea, axa paralelă cu ensiunea... Tensiuni pe un elemen de volum Dacă decupăm din bară (fig..) un elemen infinieimal cu ajuorul unor plane imaginare paralele cu planurile O, Ox, xo, ce au disanțele înre ele dx, d, d, se obține un paralelipiped elemenar (fig..,a). Acesa se consideră că repreină un punc din ER. Pe fața din sânga a acesui elemen vor acționa ensiunile σ x, τ x şi τ deerminae cu relațiile (.). Forțele elemenare de pe aceasă față sun: dn σ da σ d d, dt dt x τ τ x x x da τ da τ x x x d d, d d. Penru analia sării de ensiune adopăm ipoea: forțele elemenare ce acționeaă pe cele două arii elemenare, ale unui elemen infini mic, paralele înre ele, sun egale şi de sens conrar, adică dacă pe fața din sânga elemenului exisă forțele elemenare σ x da, τ x da şi τ x da aunci şi pe fața din dreapa elemenului, de aceeaşi arie da, vor acționa aceleaşi forțe elemenare σ x da, τ x da şi τ x da de sens conrar. Aunci reulă că pe fețele elemenului infinieimal de volum vor acționa ensiunile ca în figura (.,b). 56

59 Fig.. Cele 9 componene: σ x, σ, σ, τ x, τ x, τ x, τ x, τ, τ, caracerieaă în înregime sarea de ensiune în jurul unui punc O. Acesea sun mărimi ensoriale (diferie de mărimile scalare şi vecoriale) şi se repreină prin ensorul ensiune. σ x τ x τ x T σ τ x σ τ. τ x τ σ (.) Tensorul ensiune ese un ensor de ordinul doi, ce conține, pe cele 6 fețe ale elemenului de volum, cele 9 componene menționae mai sus. Pe fiecare față a elemenului de volum se află câe o componenă σ, paralelă cu axa normală la față şi câe două componene τ, conținue în planul secțiunii şi paralele cu cele două axe ale secțiunii. Elemenul infinieimal sub acțiunea forțelor elemenare ese în echilibru şi de aceea forțele normale rebuie să fie două câe două coliniare egale în mărime şi de sens conrar, iar sisemul de forțe angențiale rebuie să fie de asemenea în echilibru. Asfel, forțele angențiale rebuie să fie egale, în mărime şi de sens opus, două câe două iar momenul față de cenrul elemenului să fie nul: dx d τ x d d τ x dx d 0. Prin simplificare cu dx d d va reula: τ x τ x. Dacă punem condiții similare şi penru ensiunile de pe celelale fețe paralele înre ele, din figura (.,b) se obțin relațiile: τ x τ x, τ τ, şi τ x τ x. (.) Acease relații repreină dualiaea ensiunilor angențiale şi precieaă că: pe fețele perpendiculare ale unui elemen infinieimal po exisa simulan ensiunile angențiale τ x şi τ x. Acesea sun conținue în planuri ce corespund fețelor 57

60 elemenului de volum şi produc două câe două cupluri egale în mărime şi de sens opus. De aceea ele rebuie să fie simerice față de muchia comună a celor două fețe. Din relațiile (.) reulă că din cele 9 componene ale ensorului (.) numai 6 sun disince şi deci ensorul ensiune ese simeric față de diagonala principală... Sarea plană de ensiune În mule din problemele inginereşi se înâlneşe caul paricular al sării generale de ensiune, când ER ese încărca cu forțe coplanare în echilibru, şi în aces ca pe suprafața liberă de sarcini, nu exisă sarcini normale şi paralele cu acesea. De asemenea, ținând seama de condiția de echilibru, pe o față paralelă cu prima şi aflaă la disanță infini mică (d), forțele vor fi nule. În aces ca oae forțele sun coplanare şi sarea de ensiune corespunăoare se numeşe sare plană de ensiune (fig..,a) şi ea poae fi repreenaă simplifica ca în figura (.,b) Fig.... Deformații şi deplasări Sarea de ensiune s a analia ca efec al forțelor inerioare şi în mod similar se va analia modificarea dimensiunilor. Prin deformație se înțelege modificarea dimensiunii ER. odificarea lungimii se numeşe lungire, când ER ese înins şi respeciv scurare, când acesa ese comprima. Lungirile şi respeciv scurările se noeaă cu Δl, Δx, Δ, Δ, ec. Prin deformație unghiulară se înțelege modificarea unghiurilor (drepe) şi se noeaă cu Δϕ; Δθ, ec. 58

61 Penru a simplifica şi evidenția mai clar sudiul deformațiilor, să considerăm un elemen plan OABC decupa dinr un ER solicia plan. Sarea plană de ensiune poae fi consideraă ca fiind suprapunerea a rei sări de ensiune: două sări de ensiune normală (fig..,b şi c) şi una de forfecare pură (fig..,d). Fiecare din acese sări de ensiune produc, deformații caracerisice. Sarea de ensiune din figura (.,b) modifică lungimea elemenului, asfel că elemenul cu dimensiunile inițiale (linie înrerupă) se schimbă şi ia forma elemenului repreena cu linie groasă. Acese schimbări sun deformații liniare, Δ x şi Δ (deformațiile liniare se măsoară în mm sau μm), unde Δ x ese o alungire, iar Δ o conracție. Similar se deformeaă elemenul penru sarea de ensiune din figura (.,c), cu lungirea Δ şi conracția Δ x. Deoarece deformațiile liniare nu po caraceria bine deformațiile unui ER, penru că depind de dimensiunile acesuia se uilieaă noțiunile de deformații specifice. Se defineşe deformație specifică liniară pe o direcție raporul dinre alungirea (scurarea) elemenului şi lungimea inițială a acesuia pe direcția respecivă. Penru elemenele din figura (.,b,c) se obțin urmăoarele alungiri specifice: ʹ Δʹx ε x şi dx ʹʹ Δʹʹ d şi scurări (conracții) specifice: ε ʹ Δʹ d şi ε ʹʹ x ε, (.,a) Δʹʹx (.,b) dx Tensiunile angențiale deformeaă elemenul ca în figura (.,c,). Sub acțiunea ensiunilor angențiale elemenul îşi modifică numai unghiul drep dar lungimile laurilor rămân aceleaşi. odificarea unghiului drep se noeaă cu γ x. Deoarece unghiul γ x, ese foare mic, deformația specifică unghiulară, se poae defini asfel: γ x gγ x ʹʹʹ Δ l, dx şi se numeşe lunecare specifică. Deformațiile specifice liniare şi cele unghiulare sun adimensionale. În lucrările ehnice de specialiae lungirile specifice se dau în μm/m sau în %, iar lunecările specifice po fi exprimae în μm/m sau în radiani. Deformațiile specifice sun ensori ca şi ensiunile. (.) 59

62 Fig.. Drumul parcurs de un punc al ER de la poiția sa inițială corespunăoare unui ER neîncărca la poiția finală, după soliciare se numeşe deplasare. Deplasările sun mărimi vecoriale. Deplasarea, în mod uual, poae reula din urmăoarele paru ipuri generale: a) ranslația înregului ER; b) roația înregului ER; c) schimbarea dimensiunilor ER; d) modificarea unghiurilor ER. Primele două deplasări sun deplasări ale rigidului, iar ulimele două ipuri sun cauae de deformația ER. Deplasările rigidului s au sudia la cinemaică. În Reisența maerialelor se vor sudia numai deplasările produse prin deformarea ER..5. ăsurarea deformațiilor Tensiunile şi deformațiile specifice sun mărimi absrace şi ca aare ese imposibil, din punc de vedere fiic, să fie măsurae. Se po, însă, măsura deformații finie. Deformațiile finie se po măsura penru lungimi finie de pe suprafața (ER). Dacă deformația se măsoară pe o lungime relaiv mică, se poae evalua o deformație medie pe uniaea de lungime care poae fi luaă ca o valoare aproximaivă a deformației specifice înr un punc de măsură. Pe aceasă baă lungirea specifică poae fi aproximaă cu raporul dinre lungirea (scurarea) măsuraă pe o mică lungime la lungimea respecivă. 60

63 Deformațiile unghiulare sun mul mai dificil de măsura; acesea au valori foare mici şi rebuie măsurae pe un elemen câ mai mic de pe suprafața ER. Penru măsurarea lungirilor specifice exisă mai mule meode (mecanice, opice, elecrice). În problemele de Reisența maerialelor se cer deerminarea deformațiilor specifice după direcțiile principale. La piesele simple şi supuse la soliciări simple se cunosc direcțiile principale şi în asfel de cauri se măsoară deformațiile specifice după acese direcții. Sun însă foare mule cauri în care nu se cunosc nici direcțiile principale şi nici deformațiile specifice principale. Penru acese cauri se măsoară lungirile (scurările) după rei direcții ceea ce conduce la eliminarea măsurării lunecării specifice, γ x, care ese mai dificil de măsura. La începu s au măsura lungirile cu ajuorul exensomerelor mecanice, apoi s a uilia amplificarea opică penru a se uşura ciirea cu ochiul liber a deformațiilor mici. În preen se folosesc raducoare, care uilieaă penru măsurarea deformației variația reisenței, a inducanței, a capaciății, a efecului pieoelecric, ec. Penru măsurarea deformației specifice pe rei direcții înr un punc se uilieaă un grup de raducoare monae pe acelaşi supor. Cele mai larg răspândie sun cele la care unghiurile α, β şi γ (fig..5,a şi b) sun muliplu de 5 şi ele po fi aranjae în roee dela (fig..5,b) cu α β γ 60 sau roee în evanai (fig..5,a) cu α β γ 0. De asemenea se mai uilieaă des roea în evanai cu α β 5 şi γ 90. Fig..5 Analia sării de deformație, pe baa deformațiilor deerminae cu ajuorul unei roee se poae face pe cale analiică sau grafică. 6

64 .6. Aspecul fiic Analia ensiunilor, respeciv a deformațiilor s a sudia separa, independen una de ala şi fără a se ține seama de caracerisicile fiico mecanice ale maerialului din care ese confecționa ER. În realiae, însă, ensiunile şi deformațiile depind una de ala şi inerdependența ese în funcție direcă de proprieățile fiico mecanice ale maerialului ER. În reisența maerialelor se analieaă sarea de ensiune şi respeciv sarea de deformație a corpurilor în echilibru. Echilibrul în reisența maerialelor, numi echilibru saic, diferă de echilibrul din mecanică care presupune accelerație nulă. ER sub acțiunea forțelor, în echilibru, se deformeaă şi deci unele părți ale sale se vor mişca față de alele. işcarea va fi acceleraă până ce se ainge o anumiă deformație. Procesul de deformație va lua sfârşi când forțele inerne, cauae de deformație, ajung să fie suficien de mari penru a echilibra acțiunea forțelor exerioare. Când aces sadiu ese ains ER va fi din nou în echilibru. Dacă forțele inerioare nu vor puea fi aâ de mari încâ să oprească deformațiile, ER se va rupe. Încărcarea se numeşe saică dacă forțele sun asfel aplicae încâ creşerea deformațiilor ese mică şi se poae presupune că efecul accelerației ese neglijabil pe duraa procesului de deformare. Un asemenea proces se numeşe proces cvasi saic. În cele ce urmeaă se va înțelege prin încărcare saică, procesul cvasi saic produs de sarcini. Aspecul fiic în reisența maerialelor repreină relațiile de legăură înre ensiuni şi deformații. Acese relații precum şi proprieățiile fiico mecanice ale maerialelor se sabilesc pe cale experimenală (prin încercări mecanice)..7. Încercarea la racțiune.7.. Epruvea Legăura dinre ensiuni şi deformații se poae sabili, mai simplu şi convenabil, pe un ER lung în care exisă o sare uniaxială de ensiune. Penru aceasa se consideră o epruveă (fig..6) acționaă axial, la cele două capee, de forțele F (fig..6,a). Sarea uniaxială de ensiune se observă pe elemenul de volum, decupa din bară (fig..6,c). 6

65 Fig..6 Ecuația de echilibru penru parea din sânga a epruveei (fig..6,b) ese: F σ da 0. A Accepând ipoea că ensiunile normale sun uniform disribuie pe înreaga secțiune (σ c.) din ecuația de echilibru de mai sus se obține F σ A0, din care reulă: F σ. (.5) A0 Încercarea la racțiune a mealelor se poae efecua pe o epruveă cilindrică din oțel ca cea din figura (.6,a), conform SR EN 000 ; 99. Aceasa are acelaşi diameru pe lungimea calibraă Lc. Pe aceasă lungime se marcheaă două repere la disanța L0, numiă lungimea înre repere. Lungimea epruveei se consideră ca fiind lungimea înre repere L0. Alungirea elemenului dx ese: Δ dx ε dx, iar alungirea epruveei (înre cele două repere ) va fi: L L0 L 0 Δdx 0 0 ε dx. Accepând ipoea că lungimea specifică ese aceeaşi pe oaă lungimea calibraă (ε c.), din relația de mai sus se obține: ΔL Δ ε L ; ε. (.6) L 0 L aşina de încercări mecanice şi aparae de măsură Capeele epruveelor au diverse forme, alese corespunăor dispoiivelor de fixare ale maşinii de încerca. aşina de încerca ese o presă specială ce asigură creşerea lenă a forței axiale F şi măsurarea precisă a valorii aceseia în condiții de vieă de încărcare prescrisă. 6

66 Alungirea epruveei (înre repere) se măsoară, cu un apara numi exensomeru, concomien cu măsurarea forței axiale. Exensomerul se fixeaă pe epruveă prin două perechi de cuție de fixare: o pereche fixă şi cealală mobilă. Acesea se prind pe epruveă în drepul reperelor (la disanța L0)..7.. Diagrama încercării la racțiune În impul creşerii sarcinii se ciesc, simulan, valorile inermiene ale sarcinii, respeciv ale alungirii. ule laboraoare dispun de insalații ce înregisreaă diagrama forță alungire. Diagrama încercării la racțiune F f(δl), înregisraă de căre aparaură sau repreenaă pe baa măsurăorilor, penru oțel moale, are forma din figura (.7,a). Penru a obține diagrama σ f(ε), se uilieaă relațiile (.5) şi (.6); se împare sarcina F la aria inițială A0 şi respeciv alungirea ΔL la lungimea inițială L0. Repreenând grafic daele obținue, în sisemul de axe; abscisă alungirile specifice ε şi ordonaă ensiunile σ, se obține curba caracerisică a maerialului. Penru oțel, aceasa araă ca în figura (.7,b). Penru calculul de reisență preină ineres o pare din curba caracerisică şi anume OPECC A..8. Caracerisicile elasice şi mecanice ale maerialelor Curba caracerisică are o serie de punce deosebie, numie limie, ce definesc urmăoarele mărimi caracerisice: a) Limia de proporționaliae, marcaă pe curbă de puncul P, ese ensiunea Fp maximă până la care exisă liniariae înre ensiuni şi deformații ( σ p ). Ecuația A onei de proporționaliae (a porțiunii OP) ese: σ E ε, şi se numeşe Legea lui Hooke. Aceasa araă că, până la limia de proporționaliae alungirile specifice sun proporționale cu ensiunile. 0 (.7) Caracerisica E se numeşe modul de elasiciae longiudinal (modulul lui Young). Fiecare maerial are o valoare unică a acesei caracerisici, ce ese o măsură a rigidiății maerialului respeciv. Asfel oțelurile, indiferen de caliaea acesora, au în medie; EOL 0 GPa, iar aluminiul EAL 75 GPa. 6

67 Fig..7 Valorile modulelor de elesiciae şi ale caracerisicilor elasice penru diferie maeriale sun dae, în abele (vei anexa ). Numai două mareiale au curba caracrrisică cu onă de proporționaliae, oțelul şi lemnul. Acesea `asculă de legea lui Hooke`. Celelale maeriale au caracerisici curbilinii. Deoarece ese uil să se uiliee legea lui Hooke şi la acese maeriale, prin SR EN 000,; 99, se definesc ermeni specifici penru modulul de elasiciae. Aici se vor defini numai: b) odulul de elasiciae convențional liniar, care ese raporul dinre ensiune şi alungirea specifică corespunăoare, la mealele care preină o porțiune elasică liniară a curbei caracerisice de racțiune; σ E. ε (.8) Penru ale maeriale ese necesar să se consule SR EN 000,; 99. c) Limia de elasiciae, marcaă pe curba caracerisică prin puncul E (fig..7,b), ese valoarea ensiunii maxime, până la care maerialul ese perfec elasic: FE σ e. A 0 (.9) Experiențele au arăa că nu exisă nici un maerial perfec elasic, adică după descărcarea de forță nu revine la lungimea inițială. Toae maerialele, chiar la o soliciare relaiv mică, preină, o deformație permanenă. Valoarea acesei deformații depinde de mărimea sarcinii aplicae. d) Limia de curgere (aparenă), marcaă pe curba caracerisică prin puncul C (fig..7,b) şi ese valoarea ensiunii la care alungirea creşe cu oae că sarcina se păsreaă aproape consană (fig..7,b): 65

68 σ c F A c 0. În SR EN 000 ; 99 limia de curgere se noeaă şi cu Rc. (.0) După aingerea limiei de curgere epruvea coninuă să se deformee plasic, fără creşerea ensiunii. Curba caracerisică are un raseu oscilan, înre limia de curgere superioară σcs şi limia de curgere inferioară σci. Valoarea medie a oscilațiilor se poae aproxima prinr o dreapă, ce se numeşe palier de curgere CC (fig..7). Deformația plasică ce se produce penru palierul de curgere (CC ) ese, la oțel moale, de ori mai mare decâ la cea elasică (abscisa puncului E). Deformația plasică din perioada curgerii apare ca urmare a lunecării relaive înre faliile formae şi înclinae la 5 față de axa epruveei, fără slăbirea coeiunii dinre falii. Din aceasă cauă, la aingerea limiei de curgere, apar linii fine înclinae, de culoare mai închisă, la 5 față de axa epruveei, numie linii Lüders Cernov. Liniile se înmulțesc formând beni, care se lățesc progresiv până ce cuprind oaă porțiunea calibraă a epruveei. Liniile repreină urmele planelor de lunecare a maerialului, în care ensiunile angențiale sun maxime (τmax σc /). După ce liniile Lüders au acoperi înreaga porțiune calibraă a epruveei ensiunea începe să crească împreună cu deformația. Pe curba caracerisică, aceasă porțiune ese repreenaă de curba CA (fig..7) şi ese numiă onă de înărire. Dacă dinr un punc de pe aceasă onă, în loc să se coninue încărcarea, se descarcă len din puncul, în cursul descărcării se obține o relație liniară înre σ şi ε. Porțiunea O ese o dreapă paralelă cu OP (fig..7,b). La reîncărcarea epruveei se parcurge dreapa O, asfel că maerialul se comporă elasic până în puncul. Deci, puncul repreină o nouă limiă de elasiciae a maerialului, superioară celei deerminae la începu. Aceasă operație, de mărire a limielor σp σe σc σ se numeşe ecruisare. e) Reisența la rupere a maerialului, marcaă pe curba caracerisică prin puncul A (fig..7,b) ese valarea maximă a ensiunii şi se noeaă cu σr (Rm în SR EN 000 ; 99) F σ r σmax A unde: A 0 max 0, π d0 ese aria secțiunii inițiale. 66

69 f) La epruveele confecționae din oțel moale (enace) când sarcina se apropie de valoarea Fmax, se produce gâuirea epruveei. În locul de gâuire secțiunea scade până când se produce ruperea bruscă, cu gomo (fig..). După apariția gâuirii, sarcina F aplicaă epruveei scade, ceea ce ese repreena pe curba caracerisică prin ona AB (fig..7). Fig..8 ăsurând diamerul epruveei la o încărcare oarecare de pe porțiunea AB (după apariția gâuirii) şi calculând aria corespunăoare se poae deermina gâuirea specifică. A ψ A 0 0 A. Penru o epruveă rupă gâuirea la rupere ese; A0 A u Z 00[ %] A unde: 0 (.,a) (.,b) π du Au ese aria secțiunii de rupere. g) Aşeând cele două bucăți ale epruveei rupe, cap la cap, se poae măsura lungirea ulimă înre repere, Lu şi se poae deermina alungirea specifică la rupere (conform SR EN 000 ; 99); Lu L0 ΔL u Ar εr. (.) L L 0 0 h) Experimenal s a evidenția că o daă cu alungirea unei bare (epruvee) apare o micşorare a secțiunii numiă conracție ransversală. S a consaa că penru domeniul liniar elasic aceasă conracție ese proporțională cu alungirea specifică. Ca aare la o alungire specifică a epruveei cu εx corespunde o conracție ransversală proporțională cu alungirea εx: ε ε ε ν ε, r x unde: ν ese coeficienul de conracție ransversală sau coeficienul lui Poisson. Coeficienul lui Poisson ese o consană elasică de maerial. Valoarea acesuia ese cuprinsă înre 0,6 şi 0, şi ese daă în abele. Dacă deformația ese plasică, corpul nu şi modifică volumul şi ν 0,5. ărimile; limia de curgere (σc), reisența la rupere (σr), alungirea la rupere (εr), şi gâuirea la rupere (Z) se numesc caracerisici mecanice ale maerialului. 67

70 Consanele; modulul de elasiciae longiudinal (E), coeficienul de conracție ransversală (ν), limia de proporționaliae (σp), limia de elasiciae (σe) se numesc caracerisici elasice ale maerialului. Cunoaşerea acesora are o imporanță deosebiă penru folosirea corecă a maerialelor în calculul de reisență. Penru OL 7 caracerisicile mecanice şi elasice, după STAS , sun; E 0GPa σr Pa σc 0...0Pa ν 0,...0,8 ε 5...6% σe σp 00Pa r Z %.9. Diferie forme de curbe caracerisice.9.. Curba caracersică convențională Pe duraa încercării la racțiune a epruveei, aria secțiunii ransversale a aceseia se micşoreaă daoriă conracției ransversale. Tensiunea reală, deerminaă cu relația: F σ, (.) A va da valori mai mari decâ cele obținue din relația (.5), înrucâ A < A0. Diagrama dependenței funcționale obținuă pe baa relației (.) se numeşe curba caracerisică reală (linia înrerupă din fig..9). Diagrama rasaă pe baa ecuației (.5) se numeşe curbă caracersică convențională. Daoriă fapului că în relația (.5), aria inițială A0 ese o consană, curba caracerisică convențională are valori inferioare curbei reale. Înrucâ diferențele înre cele două curbe sun exrem de mici până la limia de curgere, şi cum în calculele de reisență se foloseşe porțiunea de curbă până la limia de curgere se preferă curba caracerisică convențională..9.. Curba caracerisică a oțelului la compresiune Penru efecuarea încercării la compresiune a oțelului se uilieaă epruvee care au diamerul egal cu înălțimea conform STAS d0 h mm. În urma încercării la compresiune a epruveelor din oțel s a consaa că se obțin aceleaşi valori, ca şi la racțiune, penru mărimile σp, σe, σc şi E. 68

71 La oțelurile de reisență mică nu se realieaă ruperea: epruvea urinduse cu aâ mai mul cu câ creşe forța (fig..0) şi încărcarea se consideră erminaă când h h0 /. Fig Curba caracerisică a oțelului la răsucire Efecuând încercarea la răsucire a unei epruvee din oțel şi rasând curba caracerisică (ensiunea angențială în funcție de lunecarea specifică) se obține o curbă caracerisică ca în figura., similară celei de la racțiune. Pe aceasă curbă se po defini; limia de proporționaliae τp, limia de elasiciae τe, limia de curgere τc, reisența la rupere τr şi lunecarea la rupere γr. Parea recilinie, OP a acesei curbe, are ecuația; τ G γ (.) care poară numele de legea lui Hooke penru soliciarea de răsucire (a doua lege a lui Hooke). Caracerisica G, se numeşe modul de elasiciae ransversal şi penru oțel are valoarea G 8 GPa. Fig..0 Fig.. 69

72 .9.. Curbe caracerisice la maeriale care nu respecă legea lui Hooke Celor mai mule din maeriale le corespund curbele caracerisice curbilinii fără nici o porțiune recilinie. Asfel, fona, alama, cuprul, beonul, cauciucul au curbe caracerisice ca în figura (.,a), iar alele cum ar fi fibrele exile ca în figura (.,b). Fona are curba caracerisică curbilinie aâ penru racțiune câ şi penru compresiune. Se observă că fona reisă mai bine la compresiune decâ la înindere (fig..). Beonul, ese maerialul cel mai des uilia de consrucori la compresiune, deoarece are reisența la racțiune foare mică..0. Expresii analiice penru curba caracerisică idealiaă Numai o porțiune din curba caracerisică şi anume OP (fig..7,b), penru oțel şi lemn ese descrisă de ecuația σe ε. Asfel cea mai mare pare din curba caracerisică a oțelului şi oae curbele caracerisice penru celelale maeriale nu sun descrise prin ecuații liniare. Fig.. Fig.. Înrucâ în reisența maerialelor sun necesare, penru calcul, ecuații simple, explicie ale dependenței σf(ε), curba caracerisică a fos aproximaă prinr o curbă caracerisică idealiaă numiă diagramă schemaiaă. Diagrama schemaiaă se obține prin rasarea unei linii, frâne sau curbe, câ mai apropiae de curba caracerisică reală, dar care să aibă o ecuație câ mai simplă. Ca urmare se uilieaă frecven urmăoarele schemaiări: prin linii drepe şi/sau, prin linii curbe coninue. 70

73 La schemaiarea prin linii drepe se admie că limia de proporționaliae coincide cu limia de curgere a maerialului. În figura. s a repreena schemaiarea prin linii drepe a maerialelor elasoplasice ideale, sau diagrama schemaiaă ip Prandl şi care corespunde cel mai bine penru oțelurile de reisență mică şi mijlocie. Schemaiarea s a făcu prin două drepe: σ E ε (.5) penru domeniul elasic (ε εc) şi σ σc c. (.6) penru domeniul plasic (ε > εc). În caul maerialelor care nu saisfac legea lui Hooke, curba caracerisică poae fi asimilaă cu o curbă coninuă (fig..5) având relația: Fig.. n σ ε, (.7) E C unde Ec şi n sun consane ce se deermină asfel ca funcția adopaă să fie câ mai apropiaă de curba reală, sabiliă experimenal. Asfel, penru coordonaele a două punce A(ε, σ) şi B(ε, σ), din ecuația (.5) se obțin valorile consanelor: E C n n σ σ, (.8) ε ε Schemaiări similare celor de mai Fig..5 sus se po face şi penru curbe caracerisice corespunăoare încercării la compresiune sau la orsiune. ε Ln ε n. (.9) σ Ln σ.. Legea generaliaă a lui Hooke Legea lui Hooke, exprimaă prin relațiile (.7) şi (.) a fos deerminaă pe cale experimenală penru o soliciare simplă, respeciv penru o sare monoaxială de ensiune. 7

74 Aceasa va fi generaliaă penru sarea spațială de ensiune. Penru aceasa se consideră un elemen de volum paralelipipedic infini mic, pe fețele căruia acționeaă, succesiv, ensiunile principale σ, σ şi σ conform figurii.6. Fig..6 a) când σ > 0 iar σ σ 0, ensiunea σ produce urmăoarele deformații; o ʹ ʹ alungire specifică, ε, pe direcția lui σ şi două scurări specifice ε şi pe direcțiile şi. Ținând seama de (.) şi (.) deformațiile specifice reulă: ʹ ʹ ʹ ν ε σ; ε ε ν ε σ ; E E b) când σ > 0 iar σ σ 0, ensiunea σ produce pe cele direcții deformațiile; o lungire specifică ʺ ε pe direcția lui σ şi două scurări specifice ʹ ʺ ε şi ε ʺ ε pe celelale două direcții, dae de relațiile:,, ε σ,,,,,, ν ; ε ε ν ε E E σ ; c) când σ > 0 iar σ σ 0, ensiunea σ produce pe cele direcții deformațiile; o lungire specifică şi ʺ ε ʺ ε, dae de relațiile: σ E pe direcția lui σ şi două scurări specifice după celelale direcții ν ε ε ν ε E σ. ε,,,,,,,,,,,, ; Dacă acționeaă simulan cele rei ensiuni principale deformațiile specifice oale reulă prin însumarea efecelor de mai sus (conform principiului suprapunerii efecelor):,,,,,, ε ε + ε + ε [ σ ν ( σ + σ )], E,,,,,, ε ε + ε + ε [ σ ν ( σ + σ )], (.0) E,,,,,, ε ε + ε + ε [ σ ν ( σ + σ )]. E Dacă axele Ox nu coincid cu direcțiile principale aunci ensiunile normale de pe acese direcții produc lungirile specifice: ʺ ε 7

75 ε ε ε x E E E [ σ ν ( σ + σ )] x [ σ ν ( σ + σ )] [ σ ν ( σ + σ )]. x x iar ensiunile angențiale produc lunecările specifice;,, (.,a) τx τ τx γ x, γ, γ x. (.,b) G G G Relețiile (.0) şi (.) exprimă legea lui Hooke generaliaă. Elemenul de volum infini mic dv dx d d, din figura., prin soliciare îşi modifcă volumul. Acesa devine: dv + Δ dv dx ( + ε x ) d ( + ε ) d ( + ε Neglijând infiniții de ordin superior expresia volumului modifica ese: dv + ΔdV dx d d ( + ε + ε + ε ) dv ( + ε + ε + ε ), iar variația volumului reulă: Δ dv ( ε x + ε + ε ) dv. x Raporul înre variația de volum şi volumul inițial, numiă deformația volumică specifică, ese: V ΔdV ε dv x + ε + ε. ε (.) Înlocuind deformațiile specifice εx, ε şi ε cu expresiile (.) se obține: ν ε V ( σx + σ + σ ). (.,a) E σ m Ținând seama că ensiunea medie ese: σ x se obține: e + σ + σ ν σ E, σ K. ). x (.) m V m (.) K Expresia (.) poară denumirea de ecuația lui Poisson, iar consana: E ( ν) se numeşe modul de elasiciae cubică. σ m Relația (.) ese similară legii lui Hooke şi poae fi scrisă sub forma: K ε V. (.5) (.6) 7

76 În caul paricular al sării plane de ensiune (σ τx τx τ τ 0), legea lui Hooke generaliaă devine; ε ε ε γ x x E E ν E τx. G ( σ ν σ ) x ( σ ν σ ) ( σ + σ ) x x,,, (.7) În mod similar ecuațiilor (.7), din ecuațiile (.) se poae deduce legea lui Hooke penru sarea plană de deformație (ε γ γ γx γx 0). În pracica inginerească se cere foare des să se deermine ensiunile funcție de deformațiile măsurae penru sarea plană. În aces ca din sisemul (.7), se obține: σ σ τ x x E ν E ν G γ x ( ε + ν ε ). ( ) ε x + ν ε x ),, Înre consanele elasice E, G şi ν exisă urmăoarea relație de legăură: E ( + ν G. Penru oțel, cu EOL 0 GPa şi ν 0,, reulă; GOL 8GPa. (.8) (.9) 7

77 .. Înrebări es. Ce ese alungirea? Dar lungirea?. Ce ese deformația specifică?. Ce ese scurarea? Dar scurarea specifică?. Ce ese lunecarea? Dar lunecarea specifică? 5. Ce ese conracția ransversală? 6. Ce ese ensiunea? Ce repreină mărimile σ şi τ? 7. Care ese uniaea de măsură penru ensiune? 8. Ce reguli de semne cunoaşeți penru ensiunile σ şi τ? 9. Ce repreină indicii urmăoarelor ensiuni: σx şi τx? 0. În ce consă aspecul fiic al unei soliciări?. Ce ese curba caracerisică?. Scrieți expresia maemaică a legii lui Hooke.. Care ese uniaea de măsură penru E? Dar penru ε?. De ce sarea de ensiune ese o mărime ensorială? 5. În ce consă eoria dualiății ensiunilor angențiale? 6. Scrieți legea lui Hooke generaliaă în caul sării spațiale de ensiune. 7. Scrieți relația lui Poisson. 8. Care ese legăura dinre E, G şi υ la un maerial iorop? Dar în caul lemnului? 9. Ce ese energia specifică de deformație? Dar energia elemenară? Dar energia oală? 0. Care ese expresia energiei poențiale specifice de deformație oală în caul sării spațiale de ensiune? Dar în caul sării plane de ensiune?. Ce ese energia de deformație modificaoare de volum? Dar de formă?. Care ese eorema lucrului mecanic virual penru corpurile elasice?. Enunțați eorema minimului energiei poențiale oale.. Enunțați eorema lui Casigliano. 5. Enunțați eorema lui ohr axwell. 6. Ce se înțelege prin lungire de rupere? 7. Definiți scurarea şi scurarea specifică. 8. Definiți lunecarea şi lunecarea specifică. 9. Ce ese conracția ransversală? 0. Ce ese ensiunea? Cu ce se noeaă şi care ese uniaea de măsură a aceseia?. Ce repreină indicii penru urmăoarele două mărimi σx şi τx?. Ce ese curba caracerisică? 75

78 . Scrieți expresia maemaică a legii lui Hooke şi expliciați ermenii ce inervin.. Care ese uniaea de măsură penru modulele de elasiciee E şi G? 5. În ce consă principiul dualiății ensiunilor angențiale?.. Probleme propuse. Penru sările plane de ensiune din figura.7 (valorile fiind dae în [Pa]), se cere să se deermine: a. ensiunile principale; b. direcțiile principale; c. să se repreine mărimile deerminae pe elemene roie. a b c d e Fig..7. Penru sările plane de ensiune din figura.8 (valorile fiind dae în [Pa]), se cere să se deermine: a. ensiunile principale; b. direcțiile principale; c. să se repreine mărimile deerminae pe elemene roie. a b c d e Fig..8. Penru sările plane de ensiune din figura.9 (valorile fiind dae în [Pa]), se cere să se deermine: a. ensiunile principale; b. direcțiile principale; c. ensiunile pe fața înclinaă; d. să se repreine mărimile deerminae pe elemene roie. 76

79 a b c d e Fig..9. Penru sările plane de deformație caraceriae prin deformațiile măsurae în [μm/m] dae în figurile.0 şi., se cere să se deermine: a. deformațiile specifice principale; b. direcțiile principale; c. să se repreine mărimile deerminae pe elemene roie şi deformae. a b c Fig..0 a b c Fig.. 5. Penru sările plane de ensiune din figura. (valorile fiind dae în [Pa]), se cere să se deermine: a. ensiunile principale; b. direcțiile principale; c. deformațiile specifice principale, dacă se cunoaşe că E 0 GPa şi ν 0,8; d. să se repreine mărimile deerminae pe elemene roie şi deformae. 77

80 a b c d e Fig.. 6. Penru sările plane de ensiune din figura. (valorile fiind dae în [Pa]), se cere să se deermine: a. ensiunile principale; b. direcțiile principale; c. ensiunile pe fața înclinaă; d. deformațiile specifice principale, dacă se cunoaşe că E 0 GPa şi ν 0,8; e. deformațiile specifice pe fața înclinaă; f. să se repreine mărimile deerminae pe elemene roie şi deformae. a b c d e Fig.. 7. Penru sările plane de deformație din figura. (valorile fiind dae în [μm/m]), se cere să se deermine: a. deformațiile specifice principale; b. direcțiile principale; c. ensiunile principale dacă se cunoaşe că E 0 GPa şi ν 0,8; d. să se repreine mărimile deerminae pe elemene roie şi deformae. a b c Fig.. 78

81 8. Pernru sările plane de deformație din figura.5 (valorile fiind dae în [μm/m]), se cere să se deermine: a. deformațiile specifice principale; b. direcțiile principale; c. ensiunile principale dacă se cunoaşe că E 0 GPa şi ν 0,0; d. să se repreine mărimile deerminae pe elemene roie şi deformae. a b c Fig..5 79

82 80

83 . ĂR GEOETRCE ALE SECȚUNLOR.. Noțiuni generale În calculul de reisență se uilieaă mărimi ce depind de forma şi mărimea secțiunii ransversale a barei. Acesea se numesc mărimi sau caracerisici geomerice ale secțiunilor şi sun: aria, momenele saice, momenele de inerție, modulele de reisență şi raele de inerție. Penru sudiul acesor mărimi se secționeaă imaginar bara cu un plan normal pe axă (secțiune ransversală) şi se uilieaă un sisem de axe riorogonal drep, cu axa Ox în lungul barei, cu originea în cenrul de greuae al secțiunii şi cu axele O şi O în planul secțiunii (fig..). Înrucâ originea sisemului ese în cenrul de greuae a secțiunii axele O şi O se numesc axe cenrale. În anexa se dau relațiile de calcul penru mărimile geomerice ale unor secțiuni frecven uiliae în calculele de reisență... Aria secțiunii În jurul unui punc din planul secțiunii se poae lua un elemen de arie da d d. formule: dab d, respeciv dah d penru drepunghi, sau da π r dr penru cerc, ec. Aria secțiunii se va obține din relația: A da. A Dar, în cele ce urmeaă se vor folosi penru elemenul de arie şi ale Ariile secțiunilor barelor (profilelor) sandardiae sun dae în abele din anexe. Relația (.) se va uilia penru deerminarea ariilor secțiunilor oarecare. (.).. omene saice În reisența maerialelor se folosesc momene saice ale suprafețelor față de axele şi, definie de expresiile: 8

84 S Z S da, S da, (.) da, S A A în care A şi A sun părți ale ariei A. omenele saice, ale înregii secțiuni față de axele şi, paralele cu axele cenrale şi, sun: A da, în care 0+, 0+ (fig..,b). (.,a) da 0 da, da 0 da, A A A A Prin aplicarea eoremei momenului saic (a lui Varignon), A se obțin formulele ce definesc poiția cenrului de greuae față de sisemul de axe O, ales inițial: 0 A da da A i A A i i, 0 A da da A i A Față de axele cenrale momenele saice ale înregii secțiuni sun nule: Z da 0, S da 0 A A A i i (.) S. (.) Fig.. Daoriă fapului că axele de simerie sun şi axe cenrale, momenele saice ale înregii secțiuni față de acese axe sun nule. Eviden că, momenul saic penru o pare din secțiune, față de axele de simerie, nu ese nul. omenele saice se măsoară în mm, cm, m. 8

85 .. omene de inerție... Relații de definiție Se definesc urmăoarele momene de inerție geomerice: a. axiale față de axa O, şi respeciv O (fig..,b): Z da, Y da, (.5) A A A o P r da. + A b. cenrifugale (în planul O ): da, P + da da + da + A A A. (.7) Înrucâ r +, din (.7) reulă: ( ) poiivă, iar, şi r sun mărimi poiive, reulă c. polare (față de cenrul de greuae O): Deci, momenul de inerție polar ese egal cu suma momenelor de inerție axiale, în rapor cu axele orogonale ce rec prin polul considera. Înrucâ elemenul de arie ese o mărime că momenele de inerție axiale şi polare sun mărimi sric poiive. Fig.. omenul de inerție cenrifugal, ce ese produsul dinre elemenul de arie da şi două coordonae (, ) şi ca aare poae fi poiiv, negaiv sau egal cu ero. Penru secțiunile ce au cel puțin o axă de simerie (axa O în figura.) exisă odeauna, la ordonaa, două elemene de arie aflae simeric față de axa de simerie (O): unul de abscisă poiivă (+) şi alul negaivă ( ) asfel că, penru oaă aria secțiunii, se obține: da 0 A. Deci, momenul de inerție cenrifugal față de un sisem de axe din care cel puțin una ese axa de simerie ese nul. omenele de inerție se măsoară în mm, cm, m. (.6) 8

86 ... Variația momenelor de inerție față de axe paralele Penru secțiunea din figura (.,b) se consideră cunoscue momenele de inerție axiale, şi cenrifugale față de sisemul de axe cenral O. Elemenul de arie da, în sisemul de axe O, paralele față de O (fig..,b), are coordonaele:, 0 + În rapor cu sisemul de axe O momenele de inerție au expresiile: da + 0 da da + 0 da + A A A A da ( + ) ( + ) da da, Efecuând inegralele şi ținând seama de relațiile (.), (.), (.5) şi (.6) se obține: ( ) da da 0 da 0 da da, A A A A A ( ) 0 A 0 0 A A da + 0 da + 0 da A A A A A, A, A. Deci, momenul de inerție în rapor cu o axă paralelă ese egal cu suma dinre momenul față de axa cenrală paralelă şi produsul dinre aria suprafeței cu păraul disanței dinre axe. omenul de inerție cenrifugal față de axele paralele ese egal cu suma dinre momenul de inerție față de axele cenrale proprii şi produsul dinre arie cu coordonaele cenrului de greua e al ariei în nou l sisem. Deci, valoarea şi semnul momenului de inerție cenrifugal ese hoărâă de semnul produsului coordonaelor cenrului de greuae a secțiunii în noul sisem. Fig.. De aceea, la deerminarea momenelor de inerție cenrifugale rebuie să acordăm aenția cuveniă semnelor coordonaelor cenrelor de greuae a secțiunilor componene. Penru a ilusra aces fap s a considera secțiunea compusă din figura.. 8 da. (.9)

87 Înrucâ axele cenrale ale celor două drepunghiuri sun axe de simerie, momenele de inerție cenrifugale față de axele proprii, ale fiecărui drepunghi, sun nule. Față de sisemul de axe cenral, O, se deermină momenul de inerție prin însumarea prduselor oi oi Ai corespunăoare. Ținând seama de semnele coordonaelor cenrelor de greuae ale fiecărei figuri, în sisemul de axe O reulă: A A ( 0, + 0) ; < 0, ( +, ); < 0 Deci, în aces ca, momenul cenrifugal al secțiunii (descompusă în două drepunghiuri (fig..), are semnul minus. omenele de inerție ale unei secțiuni compuse din n secțiuni simple de arii Ai (sau A descompusă în n secțiuni simple Ai), față de sisemul de axe O (de regulă sisem de axe cenrale), se calculeaă cu relațiile: n i n i ( + A ), i ( + A ), i i i 0i 0i (.0) secțiuni de arie Ai față de axele cenrale proprii (Oiii), paralele cu axele O iar oi, oi, sun coordonaele cenrelor de greuae Oi în sisemul de O. Tensorul momenelor de inerție ese: T 0 n 0 i 0 ( + A ). ii i 0i 0i unde:,, sun momenele de inerție axiale, respeciv cenrifugale ale fiecărei i i ii 0 ; omenul de inerție polar: P + + ; eoda grafică, a cercului lui ohr, se poae uilia şi penru deerminarea mărimilor: u, v, uv (de parameru α),,, α ec. dacă se procedeaă analog ca în.5. Ținând seama că momenul de inerție cenrifugal față de un sisem de axe ce conține o axă de simerie ese nul, reulă că axa de simerie ese o axă principală iar a doua axă principală ese perpendiculară pe axa de simerie în cenrul de greuae. 85

88 .5 Aplicații.5. omenele de inerție cenrale ale unui drepunghi (fig..5) Axele O sun axe cenrale principale de inerție (axe de simerie). Se alege elemenul de arie da b d, la ordonaa. Înlocuind în prima relație (.5) se obține: h / da A h / b d b h h b h Procedând în mod similar față de axa O se obțin formulele: b h b h,, 0.. (.) omenul de inerție cenrifugal ese nul deoarece axele şi sun axe de simerie (vei..)..5.. omenele de inerție cenrale ale secțiunii circulare (fig..6) Se alege sisemul de axe cenrale principale cu originea în cenrul cercului şi elemenul de arie da π r dr. Fig..5 Fig..6 Aplicând relația (.7), se obține momenul de inerție polar: d / p 0 r da π r A 0 deci, P π d. π d dr (.) 86

89 Înrucâ axele şi sun axe diamerale (ecuaoriale) ale cercului, exisă egaliaea şi din (.) se obține: P πd 6, 0. (.).5.. Secțiunea inelară sau coroană circulară (fig..7) Considerând că aceasă secțiune ese compusă dinr un cerc de diameru D, din care se scade al cerc de diameru d, momenul de inerție polar se obține: P D d π d d D (.) Fig..7 se obține: Raporul În mod similar penru momenele de inerție axiale, π D 6 d D (.5) d k ese un facor consruciv al secțiunii D inelare, asfel că momenele de inerție polare, respeciv axiale sun funcție numai de diamerul exerior D şi se poae scrie ( k ) şi ( k ) π D 6 p π D. (.5,a) 87

90 .5.. Secțiunea compusă din două drepunghiuri având axa O axă de simerie (fig..8) a. Poiția cenrului de greuae în sisemul de axe O reulă: G 0, G cm 6 + În figura.8 s au rasa axele principale O şi s au coa poițiile cenrelor de greuae ale secțiunilor simple. b. omenele de inerție față de axele cenrale sun dae de relațiile urmăoare În aces ca 0,deoarece exisă o axă de simerie. 6 i i oi 6 i + Ai oi cm ( + A ) cm ( ) Fig Rae de inerție Prin definiție, mărimile geomerice i şi i, (.6) A A se numesc rae de inerție (girație). Relațiile de definiție (.6) se po aplica oricăror momene de inerție axiale:,, u, v,, ec. i u u i omenul de inerție față de axa roiă u, dacă şi, are expresia: + cos + α + i cos α sin cos α + din care, înlocuind expresiile (.6), se obține: α sin Alegând pe raa u un punc Q de coordonae: i i i i OQ cosα + cosα, OQ sin α sin α, i i u şi înlocuind în relația (.,a) se obține ecuația unei elipse: α, (.6,a) u 88

91 i + i, numi ă elipsă de inerție. Semiaxele aceseia sun raele de inerț ie principale. (.7) Penru rasarea elipsei de inerție, se marcheaă valorile calculae cu formulele (.6) ale mărimilor i şi i asfel: i pe axa şi i pe axa ; asfel că după rasare elipsa are o formă alungiă, ca şi a secțiunii. Penru secțiunea drepunghiulară, prin aplicarea relației (.6) reulă relații penru raele de inerție: i i A A b h b h b h b h h b În caul secțiunii circulare se obține:,. (.8) π d d i (.9) A 6 π d i iar penru secțiunea inelară reulă: i π 6 D D d d π D d i k. (.0) Raele de girație se exprimă în uniăți de lungime (m, cm, mm). D.7. odule de reisență La calculul modulelor de reisență se consideră că axele O şi O sun axe cenrale principale. ărimile geomerice: W şi max W, (.) max se numesc module de reisență față de axa O, respeciv O. În relațiile de mai sus respeciv max ese: disanța celui mai îndepăra punc al secțiunii față de axa O, respeciv față de axa O. ă rimea, P W P, R max max, (.) 89

92 se numeşe modul de reisență polar. Rmax ese disanța înre cenrul de greuae (polul secțiunii) şi cel mai îndepăra punc față de pol. W W În caul secțiunilor drepunghiulare, modulele de reisență axiale reulă: W max max b h b h h b b h 6, b h. 6 Penru secțiunea circulară, modulele de reisență axiale sun: π d 6 π d d W, (.) max iar modulul de reisență polar va fi: W W W P p (.) P π d π d. (.5) R d 6 În caul secțiunii inelare (fig..7) se obțin formulele: W π D 6 π D d D d D π D 6 π D ( k ). ( k ), (.6) Din analia formulelor (.6), în comparație cu (.) şi (.5p), rebuie remarca şi reținu fapul că modulele de reisență ale secțiunilor compuse nu se po obține prin însumarea modulelor de reisență ale figurilor componene, ci numai prin aplicarea relațiilor (.) şi (.). 90

93 .8. Înrebări es. Care ese eorema momenului saic?. Când momenele saice sun ero?. Scrieți relațiile lui Seiner.. Când momenul cenrifugal 5. Definiți raa de inerție. ese nul? 6. Definiți modulul de reisență polar. 7. Definiți modulul de reisență axial. 8. Care sun uniățile de măsură penru urmăoarele mărimi geomerice: a. omen saic; b. omen de inerție; c. Raă de inerție; d. odul de reisență? 9. Să se definească raa de inerție. 0. Definiți modulul de reisență axial.. Definiți modulul de reisență polar.. Care sun uniățile de măsură penru urmăoarele mărimi geomerice: a. momene saice; b. momene de inerție; c. rae de inerție; d. arie; e. module de reisență. 9

94 .9. Probleme propuse. Penru secțiunile preenae în figura.9 se cere să se deermine: a. momenele de inerție principale cenrale şi polar; b. direcțiile principale; c. modulele de reisență axiale şi polar; d. raele de inerție şi să se rasee elipsa de inerție. a b c d e f Fig..9 9

95 . Să se deermine disanțele a, a, a, dinre profilele ce formeaă secțiunile din figura.0, asfel încâ momenele de inerție principale cenrale să fie egale înre ele. Corespunăor acesor momene de inerție să se deermine modulele de reisență şi raele de inerție ale acesor secțiuni. a b Fig..0 c. Penru secțiunile preenae în figura. se cere să se deermine: a. momenele de inerție principale cenrale şi polar; b. direcțiile principale; c. modulele de reisență axiale şi polar; d. raele de inerție şi să se rasee elipsa de inerție. a b c Fig... Penru secțiunile preenae în figura. se cere să se deermine: a. momenele de inerție principale cenrale şi polar; b. modulele de reisență axiale şi polar; c. raele de inerție şi să se rasee elipsa de inerție. 9

96 a b c Fig.. 5. Penru secțiunile preenae în figura. se cere să se deermine: a. momenele de inerție principale cenrale şi polar; b. modulele de reisență axiale şi polar; c. raele de inerție şi să se rasee elipsa de inerție. a b c d e f g h Fig.. 9

97 5. SOLCTĂR AXALE 5.. Tensiuni şi deformații O bară ese soliciaă axial, dacă în secțiunile ei ransversale se devolă numai forțe axiale N, care po fi consane sau variabile. Valoarea forței axiale, în drepul unei secțiuni, ese egală cu suma proiecțiilor pe axa barei, a uuror forțelor siuae la sânga sau la dreapa secțiunii considerae. Penru sudiul eforurilor se recomandă să se repreine diagrama forțelor axiale penru deerminarea secțiunii (sau secțiunilor) periculoase. Forțele axiale sun considerae poiive când produc soliciarea de înindere şi negaive când produc soliciarea de compresiune a secțiunii ransversale. Forța axială ese reulana uuror ensiunilor normale care se devolă înr o anumiă secțiune ransversală. Penru a deermina ensiunile, se consideră o bară soliciaă axial, de lungime L, confecționaă dinr un maerial omogen şi iorop şi care are o secțiune ransversală consană, cu aria A. Prin aplicarea unei forțe axiale N bara se lungeşe cu caniaea ΔL. O secțiune oarecare BC, siuaă la abscisa x se deplaseaă cu caniaea Δx. Conform ipoeei lui Bernoulli o secțiune plană şi normală pe axa barei înaine de deformație rămâne plană si normală pe axa barei după deformațieă, reulă că oae puncele secțiunii BC se deplaseaă axial cu aceeaşi valoare Δx c. şi: ε Δx x x c. Conform legii lui Hooke, alungirii specifice consane, îi corespund ensiuni normale consane; σ E ε. Prin ipoeă am considera maerialul iorop, deci modulul de elasiciae ese consan (E c.) şi ca urmare reulă σ c. Deci, ensiunile sun repariae uniform pe suprafața secțiunii ransversale (fig.5.,b). Din ecuația de echilibru scrisă penru parea din sânga a barei (fig.5.,b) reulă: N σ da σ da σ A. A A 95

98 Fig. 5. Din aceasă ecuație se obține valoarea ensiunii normale penru soliciarea la înindere sau compresiune: σ N. A Sarea de ensiune, în aces ca, ese o sare uniaxială (fig. 5.,c). (5.) Înrucâ se consideră că maerialul saisface legea lui Hooke, deformația specifică penru soliciări axiale, are expresia: σ N E E A ε. Valoarea alungirii, respeciv a scurării oale a barei ese: N L L ε L E A Δ. (5.) (5.,a) Dacă pe lungimea barei mărimile N, E, şi A sun variabile, sau consane pe anumie porțiuni ale barei, alungirea se calculeaă cu relația: N N L Δ L dx sau ΔL. (5.,b) E A L E A Alungirea (scurarea) ΔL ese cu aâ mai mică cu câ produsul EA ese mai mare şi de aceea produsul EA se numeşe modul de rigidiae la înindere compresiune. Relațiile deduse mai sus şi cele ce se vor deduce mai jos sun valabile aâ penru soliciarea la înindere câ şi penru cea de compresiune. Barele de lungime mare soliciae la compresiune rebuie verificae la flambaj (vei. 5). Fenomenul de flambaj (numi şi pierderea sabiliății elasice), se produce înaine ca ensiunile produse de soliciarea la compresiune să aingă valoarea σ a. De aceea nu se po calcula la compresiune decâ barele scure, a căror lungime nu înrece de 5 ori dimensiunea cea mai mică a secțiunii ransversale; L 5, d min L 5 d min iar penru se va face calculul la flambaj (vei 5). (5.) 96

99 5.. Calculul de reisență la înindere compresiune Relațiile deduse mai sus se uilieaă penru reolvarea problemelor Reisenței maerialelor; verificare, capaciae de încărcare şi dimensionare. Reolvarea acesor probleme se face respecând aâ în condiția de reisență (σ max σ a ) câ şi cea de rigidiae (ε max ε a sau ΔL ΔL ). Reisența admisibilă (σ max a a ) respeciv deformația admisibilă (ε a, ΔL a ) depind de facorii analiați în.5. Reisențele admisibile penru câeva maeriale sun dae în Anexa. Ținând seama de acese considerene se deduc, pe probleme, formulele de calcul. a. Verificarea unei piese soliciaă de un efor axial, consă în deerminarea ensiunii maxime respeciv a deformației maxime şi compararea valorii obținue cu cea admisibilă. Valoarea reulaă rebuie să nu depăşească pe cea admisibilă adică: σ ef din condiția de reisență: Nmax σa A ef din condiția de rigidiae: N N L ε max ε a sau Δ Lmax ΔLa. (5.5,a) E A E A (5.5) În prima relație (5.5) prin A ef se înțelege valoarea ariei efecive a secțiunii. În figura 5. se dau ariile efecive penru câeva secțiuni. Fig. 5. negaliățile din formulele (5.5) nu sun oal resricive, în sensul că se po depăşi cu...5 % valorile limiă (σ a, εa, ΔL a ). Penru a îndeplini condiția de uiliare eficienă a barei se recomandă ca valoarea efecivă a ensiunii sau a deformației să nu fie inferioare valorii de 80 % din valoarea admisibilă. 0,8 σ 0,8 ε 0,8 ΔL Dacă bara îndeplineşe simulan condițiile: a a σ ε a max max ΔL,05 σ,05 ε max a a,,,05 ΔL vom spune că BARA REZSTĂ. a. (5.5,c) 97

100 Dacă o singură mărime calculaă din relațiile (5.5) depăşeşe cu 5% valoarea admisă aunci BARA NU REZSTĂ. În caul în care oae mărimile calculae sun inferioare valorii de 80% din cele admisibile BARA ESTE SUPRADENSONATĂ. Aâ în caul în care bara nu reisă câ şi în caul în care ese supradimensionaă se va calcula valoarea sarcinii capabile. b. Capaciaea de încărcare se calculeaă aâ penru barele la care nu se cunoaşe valoarea încărcării câ şi penru acelea ce au fos verificae şi n au corespuns sarcinii impuse, fie că erau subdimensionae sau/şi supradimensionae. Cunoscând dimensiunile secțiunii ransversale ale barei, maerialul din care ese confecționaă (σa) şi condițiile de deformare (εa, ΔLa), forța axială maximă se deermină cu una din formulele: N N din condiția de reisență; σ, cap A ef a (5.6,a) din condiția de rigidiae: E Aef ΔLa E εa sau Ncap. (5.6,b) L cap A ef Dacă se ține seama de ambele condiții (de reisență şi de rigidiae) reulă două valori diferie penru sarcina capabilă. Din acesea se ia în considerare valoarea cea mai mică. Din calcul reulă valori fracționale sau cu mule cifre. Dar, în pracica inginerească se folosesc valori normae (valori prevăue în norme sau sandarde), ce au puține cifre şi sun, de regulă, înregi. Deci, inginerul rebuie odeauna să aleagă valoarea forței, asfel ca bara să reise, să fie uiliaă eficien, iar valoarea forței să fie cea normaă. Asfel; 0,8 P P,05 P. (5.7) capmin capmin c. Dimensionarea ese problema cea mai dificilă, şi consă în deerminarea dimensiunilor secțiunii ransversale ale barei asfel încâ aceasa să reise soliciărilor impuse. Prima operație, penru dimensionare, ese aflarea eforului normal maxim. Aceasa reulă din diagrama forței axiale. Apoi, se alege maerialul penru bară şi se adopă valoarea reisenței admisibile, respeciv a deformației admisibile. A 98 nec Aria necesară a secțiunii ransversală se calculeaă cu relațiile: din condiția de reisență: N max, σ a (5.8,a)

101 A nec din condiția de rigidiae; Nmax L Nmax sau A nec. (5.8,b) E ε E ΔL a a Ca şi la capaciaea de încărcare şi aici po reula două valori diferie penru arie. De aceasă daă se ia în considerare valoarea cea mai mare penru a fi saisfăcue simulan cele două condiții. De asemenea şi aici dimensiunile ransversale ale barelor sun normae şi rebuie odeauna să se aleagă, valoarea sandardiaă. În aces scop se aleg forma şi dimensiunile secțiunilor dae în abele cu profile sandardiae (vei fig. 5.). 5.. Bare cu variație de secțiune. Secțiune periculoasă În numeroase cauri, din moive consrucive, aria secțiunii ransversale variaă în lungul barei. Spre exemplu în figura (5.,a) ese preenaă o plabandă cu secțiunea ransversală drepunghiulară de lățime b şi grosime h slăbiă în secțiunea de o gaură cu diamerul d şi soliciaă de o forță axială N. Tensiunile produse nu au aceeaşi valoare în fiecare secțiune ransversală. Tensiunile în secțiunea, ce se găseşe la depărare de secțiunea slăbiă, sun mai mici decâ în secțiunea. Secțiunea în care iau naşere cele mai mari ensiuni normale se numeşe secțiune periculoasă. Calculele de reisență, în aces ca, se fac penru secțiunea periculoasă. Penru bara din figura 5. secțiunea periculoasă ese secțiunea, ce are aria minimă. Valoarea medie a ensiunii în aceasă secțiune se deermină cu relația: N N σ 0, Fig. 5. Aef ( b d) h şi se numeşe ensiune nominală. Prin măsurări ensomerice s au deermina valorile reale ale ensiunilor în bara cu secțiune variabilă. S a sabili că ensiunile nu se reparieaă uniform pe suprafața secțiunii ransversale, ci au o variație parabolică ca în figura (5.,b), cu valoarea maximă la marginea găurii. 99

102 00 În Teoria elasiciății se demonsreaă că ensiunea în secțiunea periculoasă, la ordonaa de axa Ox, ese daă de relația: N d d σ + + b h 8 iar ensiunea maximă, la marginea găurii, penru, d ese: N σmax σ0, b h unde: N σ0 ese ensiunea nominală din secțiunea neslăbiă. b h Sări de soliciare asemănăoare se produc şi în drepul alor variații de secțiune. În figura (5.,a,b) s au reda ale două exemple de variație a secțiunii ransversale. În acese cauri ensiunea normală maximă apare la marginea secțiunii ransv ersale, în drepul cres ăurii (fig. 5.,a) şi în drepul racordării (fig. 5.,b). Găurile, racordările, cresăurile, ec. care produc o modificare bruscă a secțiunii barei, influențeaă disribuția ensiunii normale, se numesc concenraori Fig. 5. de ensiune. σ max unde: Penru caul general ensiunea normală maximă se deermină cu relația: α k N σ0 α k (5.9) A αk > ese coeficienul eoreic de concenrare al ensiunilor sau coeficien de formă. ărimea coficienților de concenrare a ensiunilor se ia din manualele inginereşi în funcție de dimensiunile secțiunii şi de mărimea şi configurația concenraorilor. Aplicația 5.. Pe o bară de secțiune drepunghiulară de (00x) mm ese asamblaă o plabandă prin inermediul a rei niuri de diameru d8 mm (fig.5.5). Bara ese soliciaă la înindere de forța P 50 kn. Se cere să se verifice bara în ipoea că forța P se reparieaă uniform pe cele niuri, dacă σ a 50 Pa şi α k. Reolvare: Tensiunea maximă din secțiunea a barei ese: N 50 0 σ max 5Pa < σa. A 00 ef

103 σ max Fig. 5.5 Tensiunea nominală din secțiunea, reulă: N A ef ,Pa <,05 σ 00 8 Înrucâ, prin ipoeă, forța P se reparieaă uniform pe cele rei niuri reulă că o forță P/ a recu de la bară la plabandă, prin niul din secțiunea. În secțiunea a mai rămas / P, asfel că ensiunea normală în bară ese: σ max N A ef ,Pa < σa Deci, secțiunea periculoasă ese secțiunea, unde se verifică condiția impusă ca σ ef <,05 σ a, prinr o depăşire a ensiunii admisibile cu numai,6 %. a. Aplicația 5.. Să se verifice bara din figura 5.7 soliciaă la înindere de o forță P kn şiind că σ 50 Pa, neglijând influența concenraorilor de ensiune ( ). σ max α k Fig. 5.6 Asfel, ensiunea normală maximă din secțiunea reulă: α P A ef iar în secțiunea : σ max α k P A ef 0 π 0 0,Pa < σ 0 6,8Pa < σ π 0 0 Deci bara ese corec dimensionaă înrucâ în ambele secțiuni se respecă condiția (5.5,c). k a. a. a 0

104 5.. Calculul barelor vericale luând în considerare şi greuaea proprie În caul barelor de lungimi mari, care sun în poiție vericală, calculul la soliciări axiale, se face luând se în considerare şi greuaea proprie. Să considerăm o bară vericală, prismaică de lungime L şi cu rigidiae EA, confecționaă dinr un maerial omogen, cu greuaea specifică γ. Bara ese încasraă la un capă şi ese soliciaă la înindere de o forță P şi de greuaea proprie conform figurii 5.8. Înr o secțiune oarecare siuaă la abscisa x de capăul liber al barei,valoarea forței axiale ese: Fig. 5.7 N P + γ A x (5.0) şi are variație liniară. Valorile exreme ale forței sun: N P, N 0 P + γ A L. Valoarea ensiunii normale înr o secțiune oarecare ese: N P σ + γ x σ0 + γ x, (5.) A A iar valoarea maximă a ensiunii ese în drepul secțiunii : P σ + γ L σ0 + γ L, (5.) A în care ensiunea minimă s a noa cu σ o P/A. Din relația (5.) se obține: penru dimensionare: P A nec σ γ L ; (5.) a penru verificare: P σ max + γ L ; A P cap ef penru calculul capaciății de încărcare; A σ γ L. ef ( ) a Alungirea, respeciv scurarea barei vericale lungi se obține asfel: 0 (5.) (5.5)

105 σ P dx εx dx dx x + γ dx E E A Δ, sau: ΔL L Δdx L E P A P L γ L + γ x dx + E A 0 0 în care G γ A L, ese greuaea barei. G P + L E A realia asfel ca ensiunile efecive să fie cuprinse în domeniul:,05 σ σ 0,8 σ. (5.6) În pracica inginerească se uilieaă bare cu variații în repe, eficien calculae. În aces mod, cu oae că forța axială creşe de la valoarea P la P+G, ronsoanele se po a ef a Penru exemplificare se consideră bara din figura 5.8, formaă din rei ronsoane cu lungimile L, L, L. Dimensionarea barei, ținând seama de condiția de reisență, se face asfel: N 0 P, A nec P σ γ L. a N Se adopă A şi apoi se calculeaă: P + G P + γ A L, apoi se adopă A. A A Fig. 5.8 N nec σa γ L, Generaliând, dimensionarea se face cu formula; inec P + σ i 0 a γ i γ A i i L L i i a i P + 0 σ γ i G i L i. (5.7) 0

106 Dacă ronsoanele sun realiae din maeriale diferie în formula (5.8) se ia valoarea ensiunii admisibile cea mai mică din valorile penru cele două maeriale în conac (a se vedea 5.5.). Eforul maxim la conacul dinre cele două ronsoane ese: i i N P + γ A L P + G. (5.8) i 0 i i i 0 i Alungirea respeciv scurarea barei formae din ronsoane reulă prin însumarea alungirilor (scurărilor) fiecărui ronson, Asfel, prin aplicarea succesivă a formulei (5.6) se obține: Gi i Ni + ΔL Li. (5.9) E A i i 5.5. Presiunea de conac În calculele de reisență la compresiune ese necesară deerminarea modului cum sun ransmise sarcinile aplicae, adică a modului de considerare a presiunii de conac. Aceasa ese consideraă o ensiune normală pe suprafața de conac, ce se devolă pe suprafața de aplicare a sarcinilor. Dacă presiunea de conac ainge valori prea mari, ce depăşesc limia admisibilă a unui maerial în conac, se produce disrugerea prin srivire, a elemenului respeciv. De aceea, când forța se ransmie înre doua (ER) din maeriale diferie se va ține seama în calcul, de reisența admisibilă cea mai mică la compresiune a maerialelor în conac. Relațiile de calcul ale presiunii de conac diferă în funcție de felul suprafeței de conac (plană, cilindrică, sferică, ec) Suprafața plană de conac Penru suprafețe plane de conac se admie o disribuție uniformă a presiunii de conac, egală cu ensiunea normală pe aceasă suprafață. În aces ca reisența la srivire ese; P pef p a σac, (5.0) A în care σ ac ese reisența admisibilă la compresiune, cea mai mică, a maerialelor în conac. 0

107 Aplicația 5.. Să se verifice sâlpul din figura 5.9, şiind că ese confecționa din aluminiu cu p aal 5 Pa. Acesa apasă pe o placă de oțel cu p aol 00 Pa care apoi se sprijină pe un bloc de beon cu p abe 0 Pa şi oul pe pămân. Presiunea admisibilă penru pămân ese de p Pa. Se cunoaşe; γal 7 kn/m, γ OL 78,5 kn/m şi γ beon kn/m. Reolvare: Forța la conacul dinre sâlpul de aluminiu şi placa de oțel reulă: Fig. 5.9 N apăm π 0,5 P + γ AL VAL kN, iar presiunea de conac ese: N 0 0 P, P s 0,96Pa < Aef 50 aal Forța la conacul dinre oțel şi beon va fi: π 0,5 N N + γ OL VOL 0+ 78,5 0,0 0kN. Observații: Greuaea plăcii de oțel ese neglijabilă față de cea a sâlpului şi nu se ia în considerare. Presiunea de conac în ese: P s N 0 0 A 5 π ef, Pa < P. abe Forța axială dinre beon şi pămân se obține: N N + V + kn γ be be 0 50, 08, iar presiunea de conac ese: P s N 08 0 A 00 ef, 9 Pa < P. apam Deci, calculele de reisență penru aces sâlp sun corece, deoarece în oae onele de conac nu se depăşeşe presiunea admisibilă a maerialului celui mai puțin reisen. Se mai observă că greuaea plăcii de oțel ese neglijabilă față de sarcină, greuaea sâlpului şi greuaea fundației. 05

108 5.5.. Suprafețe cilindrice în conac În caul îmbinărilor cu niuri, bolțuri, buloane, ec. suprafețele în conac dinre (ER) au forme cilindrice. În figura (5.0,a) se consideră o îmbinare cu un ni. Forța P se ransmie de la ER la prin inermediul niului de diameru D şi lungime L. Fig. 5.0 Dacă se presupune că inensiaea forței ese aceeaşi pe oaă grosimea L a elemenelor respeciv aunci pe fiecare suprafață elemenară, da L D dα, se va ransmie o forță elemenară normală, (fig. 5.0); D dn p da p L dα, ce depinde de disribuția presiunii de conac. Disribuția reală depinde de elemenul de imbinare (ni sau şurub) modul de asamblare (nedemonabilă sau demonabilă) şi se poae deermina experimenal. Dacă se consideră disribuția p p o cosα, ce aproximeaă foare bine pe cea reală, aunci din ecuația de echivalență dinre forță şi presiune se obține; π π L D P dn cos ( p da) cos π α α π p cos d cos L D p0, α α α din care reulă valoarea presiunii maxime în conac, P P p 0,7. D L π D L (5.) În calculele inginereşi se consideră că forța P se disribuie uniform pe suprafața D L (fig. 5.0,e, f), adică: P P pa D L sau p max. (5.) D L 06

109 Presiunea de conac admisibilă, în caul suprafețelor cilindrice fixe, se ia: p a (...,5) σ ac, ac a (5.) iar dacă cele două piese cilindrice rebuie să aibă o mişcare relaivă una față de ala, cum ese fusul în lagăr, se ia: p a (0,5... 0,8) σ ac. (5.,a) Asfel, penru OL 7 cu σ σ 50 N/mm, presiunea admisibilă se poae lua înre valorile p a Pa. Aplicața 5.. Să se verifice la srivire îmbinarea cu niuri de la aplicația 5. (fig. 5.5) dacă p a,5 σ a, Pa. Reolvare: Forța pe un ni, ținând seama de ipoea că forța se disribuie uniform pe fiecare ni (a se vedea 7.), ese: P 50 P 50kN. Presiunea de conac ese: P 50 0 pef D L 8, 5 Pa. Înrucâ p ef,5 <,05 p a 6, Pa, ÎBNAREA REZSTĂ Suprafețe mici în conac Asemenea suprafețe exisă la conacul dinre bilele sferice, cilindrice, buoiaş, ec. şi suprafețele de aşeare ale acesora. În acese cauri, daoriă suprafețelor de reemare foare mici, prin care se ransmi forțele, se produc presiuni de conac deosebi de mari. Sub acțiunea forțelor de conac mari cele două corpuri se deformeaă local (se uresc). În caul a două bile sferice, apăsae una căre cealală cu forța P, acesea se deformeaă, obținându se o suprafață circulară de conac, cu diamerul a (fig.5.). Presiunea maximă de conac a fos sabiliă de H. Her, luând în considerare urmăoarele ipoee: diamerul a, al suprafeței de conac, ese mic în comparație cu diamerele d şi d ale bilelor; maerialele celor două corpuri au deformații liniar elasice; presiunile de conac sun normale pe suprafața de Fig. 5. conac. 07

110 În aces ca presiunea maximă devolaă pe axa cenrelor celor două bile se calculeaă cu formula dedusă de H. Her (cu ajuorul eoriei elasiciății): E max, (5.) + E p 0,975 E P E d + d d d iar dacă cele două corpuri sun confecționae din acelaşi maerial; p 0,6 d + d d d max P E. (5.,a) În anexa 5 de la sfârşiul cursului se dau şi formule de calcul ale presiunii maxime de conac penru cele mai frecvene cauri înâlnie în pracica inginerească. Fig. 5. Experimenal s a consaa că presiunea maximă de conac poae depăşi cu mul limia de curgere a maerialului fără ca ER să se disrugă. Fenomenul se explică prin fapul că în ona cenrală de conac, unde se ainge p max, maerialul se află în sare riaxială de compresiune uniformă (vei.7 ). Valorile presiunii admisibile în caul conacului pe suprafețe foare mici, penru fone şi oțeluri se dau în abelul 5.. aerialul σ r [Pa] p a [Pa] Fona Oțel carbon căli Oțel alia căli Oțel de rulmenți 800 Tabelul 5.. Aplicația 5.5. Să se calculee forța capabilă care o poae prelua un rulmen de presiune cu 8 bile (fig. 5.) cu diameru d 6 mm, ce are căile de rulare concave cu raa d R 8mm. Se cunoaşe E 0 GPa şi p a,8 GPa. obține: P cap 8 08 Reolvare: Uiliând formula din anexa 5 (nr. ) penru oțel de rulmenți se pmax n 0,6,8 0,6 d d d d 0 Se adopă: P kn. E,06kN

111 5.6. Siseme de bare saic nedeerminae Noțiuni generale Până acum s au analia eforurile şi ensiunile dinr o bară saic deerminaă. În pracica inginerească sun ansamble şi subansamble formae din siseme de bare. Acese siseme po fi saic deerminae sau saic nedeerminae. La sisemele saic deerminae reacțiunile, respeciv eforurile din secțiune, se po deermina din ecuațiile de echilibru. În aces ca numărul ecuațiilor saice ese egal cu numărul necunoscuelor. Când numărul necunoscuelor (reacțiuni sau/şi eforuri) ese mai mare decâ numărul ecuațiilor de echilibru saic, sisemul se numeşe saic nedeermina. Diferența dinre numărul necunoscuelor şi numărul de ecuații saice, consiuie gradul de nedeerminare al sisemului. Penru reolvare în aces ca, se adaugă la ecuațiile saice un număr de ecuații de deformație egal cu gradul de nedeerminare al sisemului. Acese ecuații suplimenare se obțin din analia aspecului geomeric şi de compaibiliae al sisemului de bare. Sisemele saic nedeerminae soliciae axial po fi cauae de: emperaurii barelor; legăuri ce împiedică deformarea produsă de sarcini sau de modificarea eforuri (ehnologice sau de asamblare) ce se produc în sisemele de bare; uiliarea în consrucția unei bare a mai mulor maeriale cu caracerisici fiico mecanice diferie. În oae acese cauri problemele saic nedeerminae se po reolva parcurgând urmăoarele rei aspece: a) aspecul saic; scriind ecuațiile de echilibru saic se sabilesc necunoscuele sisemului şi se află gradul de nedeerminare; b) aspecul geomeric se scrie un număr de ecuații de deformații egal cu gradul de nedeerminare; c) aspecul fiic se exprimă deformațiile de la puncul b) în funcție de eforurile sau ensiunile din bară. Asfel după parcurgerea celor rei aspece, din aspecul saic şi cel fiic se obțin ecuațiile necesare care prin reolvare, dau soluțiile problemei saic nedeerminae în eforuri, în ensiuni sau în deformații. 09

112 5.6.. Bare având deformațiile împiedicae de legăuri Aplicația 5.6. Bara încasraă (sau ariculaă), la cele două capee (fig. 5.). Se consideră bara dreapă, prismaică încasraă sau ariculaă la cele două capee şi încărcaă cu sarcina axială P înr un punc siua la disanța a de încasrarea (respeciv la b de încasrarea ) Reolvare: Reacțiunile în cele două reaeme sun H şi H. a) Aspecul saic: H + H P (sisem simplu saic nedeermina); b) Aspecul geomeric: Δa + Δb 0 (deformația oală a barei rebuie să fie nulă): c) Aspecul fiic: H a H P + b 0, E A E A din care se obține: H P a E + b E şi apoi H P H. A A Fig. 5. Având valorile reacțiunilor se poae rasa diagrama de variație a forțelor axiale şi apoi se poae efecua calculul de reisență. H Dacă E A E A E A b a P şi H P. L L Aplicația 5.7. Sisem de bare paralele. şi L a + b, aunci; Se consideră bara de mare rigidiae () () suspendaă prin rei bare vericale, prismaice de lungimi şi rigidiăți diferie. Sarcina vericală P acționeaă la disanța c de puncul (fig. 5.). Reolvare: a) Aspecul saic (ecuațiile de echilibru sun): N+ N + N P, N (a + b) + N b P c. 0 Fig. 5.

113 Δ N E b) Aspecul geomeric, corespunăor sării de deformație al barelor ese: ΔL ΔL ΔL a b L. c) Aspecul fiic (adică exprimând alungirile funcție de eforuri) se obține: L b N L a + b N L + 0. A a E A a E A Aceasă ulimă ecuație împreună cu cele două ecuații de echilibru consiuie un sisem de rei ecuații din care se po deermina eforurile N, N şi N din bare. Aplicația 5.8. Sisem de bare ariculae, simerice. Fie sisemul de bare prismaice, coplanare, ariculae şi acționae în A de forța P. Bara mediană are lungimea L şi rigidiaea E A iar cele laerale L L/cosα şi respeciv E A (fig. 5.5). deformațiilor mici) Δα ese foare mic față de unghiul α. L ΔL cosα. Δ Reolvare: a) Aspecul saic: N sin α N sin α 0, N + (N + N ) cos α P. b) Aspecul geomeric: neglijând modificarea unghiului α după deformație (conform ipoeei Înre deformațiile ΔL şi ΔL exisă relația: L N cos α N A c) Aspecul fiic se scrie: N L cos α E A Din cele rei ecuații reulă: P N E A +, cos α E A. N P N N. cosα Dacă E A E A aunci se obține: P N P cos α N şi N. N + cos α + cos α Din formulele de mai sus se observă că N deermină, în aces ca, numai funcție de N: P cap (+cos α) N (+cos cap α) A σ a. > Fig. 5.5 N, asfel că sarcina capabilă se

114 5.6.. Bare cu eforuri inițiale Lungimile barelor din sisemele saic nedeerminae se sabilesc pe considerene geomerice. Dacă lungimile unor bare diferă de valorile nominale conform oleranțelor de execuție ale reperelor, aunci acesea se po mona numai după ce au fos lungie sau scurae forța. Prin aceasa se inroduc eforuri suplimenare în sisem, reulae din monajul forța. Un sisem de bare ce conține eforuri înaine de a fi acționa de sarcinile penru care a fos consrui, se numeşe sisem cu eforuri inițiale. Valorile eforurilor inițiale se po deermina adăugând la ecuațiile de echilibru, ecuații de deformație obținue din sudiul geomeriei sisemului. În aplicațiile analiae mai jos valorile impreciiilor de monaj, respeciv ale deformațiilor reulae la monaj sun mici, asfel că acesea sun liniar elasice. Aplicația 5.9. Siseme de bare ariculae concurene cu imperfecțiune la monaj. La sisemul plan de bare ariculae din figura 5.6 bara cenrală ese mai scură cu lungimea a. În urma monajului forța, în bara mediană se va produce o forță axială de înindere iar în cele laerale forțe axiale de compresiune. Reolvare: a) Aspecul saic: N sin α N sin α, N (N + N ) cos α. ΔL ΔL + cos α b) Aspecul geomeric: a. c) Aspecul fiic: N L N L a. E A E A cos α Din cele rei ecuații în eforuri se obține: a E A N E A L L + E A cos α, N N N. cosα Fig. 5.6

115 5.6.. Bare cu secțiuni neomogene În consrucțiile inginereşi se uilieaă (ER) alcăuie din două sau mai mule maeriale, ce au caracerisici fiico mecanice diferie. Elemenele componene ale barei formeaă un sisem ce se comporă ca un o omogen. Exemple de asemenea (ER) sun: sâlpi din beon arma, cablurile bimealice ec. În figura 5.7 se dă o bară prismaică alcăuiă din rei maeriale diferie (E A, E A, E A ) solidariae. În aces ca: a) aspecul saic ese: N + N + N P, ε ε ε, b) aspecul geomeric ese: c) aspecul fiic va fi: Fig. 5.7 N N N. E A E A E A Prin reolvarea ecuațiilor în eforuri reulă: P E A P E A, N A + E A + E A E A + E A + E N E N N i E A P E A + E A + E A Generaliând se obține formula penru eforuri: P Ei A E A i şi din aceasa reulă ensiunea în maerialul i al barei: σ σ E i N A i i P Ei.. A E Dacă aspecul fiic se scrie sub forma: σ, E E σ. A, (5.5) (5.6) din aceasa se obțin relațiile: E E E E σ σ σ, σ σ σ,... (5.7) E E E E

116 Deci, ensiunea ce se produce înr un maerial depinde de ensiunile din celelale maeriale şi de modulele de elasiciae ale acesor maeriale şi nu depinde de aria secțiunilor. Ca aare, penru a reula consrucții eficiene ese necesar să se îndeplinească simulan condițiile: σ ef σ a, σ ef σ a, σ ef σ a, ec. ce se poae realia numai dacă: σ a σa σ a. E E E (5.8) Aceasă condiție nu se poae îndeplini decâ în mod excepțional. Relația (5.8) se uilieaă penru deerminarea ensiunilor admisibile ale celorlale maeriale. Valorile ensiunilor admisibile de calcul se deermină ținând con că acesea po fi egale sau inferioare valorii ensiunii admisibile dae penru maerialul respeciv. Aplicația 5.0. Să se deermine sarcina capabilă penru un cablu forma din 9 fir e de oțel (σ a 00 Pa, E l 0 GPa) şi 90 fire de aluminiu (σ a 0 Pa, E 70 GPa). Firele au diamerul de d mm. Reolvare: Tensiunile admisibile d e calcul sun: 0 a a 0 E 70 ʹ σ a 0 Pa, σ σ 90Pa. E Se observă că pornind de la σ a 00 Pa se obține σ ' inaccepabil. Acum se poae calcula sarcina capabilă cu relația: P N ʹ cap + N cap σ ʹ a A P 70N. Se adopă: P0 kn. + σ a A ( ) π a 0 Pa, deci Eforuri daoriă dilaărilor împiedicae O bară dreapă de lungime L, ce se poae dilaa liber, prin încălire uniformă se lungeşe (fig. 5.8,a) cu ΔLα L Δ (5.9) în care α ese coeficienul de dilaare liniară (vei anexa ), iar Δ 0 ese creşerea emperaurii.

117 Alungirea specifică din bară ese; ΔL ε α Δ L Fig. 5.8 (5.0) Când bara are ariculații fixe sau ese încasraă la ambele capee (fig. 5.0,b), ce împiedică dilaarea, în bară se produce o forță axială de compresiune. Aceasă forță rebuie să scuree bara cu lungirea produsă de creşerea emperaurii (fig. 5.8,c şi d), adică cu: N L ΔL α Δ L, E A din care se obține formula penru forța axială de compresiune: N α E A Δ Ca aare în bară va exisa ensiunea: N σ α E Δ. A (5.) (5.) Când bara ese formaă din mai mule ronsoane prismae din maeriale diferie (L, A, E, Α, L, A, E, Α,...), forța axială din bară reulă: a) Din aspecul saic; N N N N... (5.) b) Din aspecul geomeric se obține relația: (ΔL) T (ΔL) N a (5.) în care a ese spațiul desina dilaării (fig. 5.). c) Aspecul fiic penru aces ca ese: α N L L Δ a. E A (5.5) Relațiile (5.) şi (5.) sun necesare şi suficiene penru deerminarea eforurilor în barele cu dilaare împiedicaă. 5

118 Aplicația 5.. Profilul 0 (A 5,5 cm, E0 GPa, α 0 6 C ) s a mona ca în figura 5.9, la emperaura de 5 C şi s a lăsa un spațiu de dilaare a mm. Să se deermine eforul şi ensiunea din bară la emperaura de 5 C. Reolvare: Spațiul necesar dilaării libere ese: ΔLα Δ L ,6 mm. Înrucâ ΔL,6 mm > a mm, dilaarea ese împiedicaă. Fig. 5.9 Deci sisemul ese saic nedeermina. Ecuațiile din cele rei aspece sun: a) N H H, b) ( ΔL) T ( ) ΔL a, c) α Δ a.. din care reulă: H N α Δ H 6,7kN, N N L L E A a L E A N 6,7 0 σ ef 0,8Pa < σa 50Pa. A Observație: Eforurile şi ensiunile ce iau naşere daoriă dilaării impiedicae sun suplimenare şi se însumeaă cu cele produse de sarcinile uile. 6

119 5.7. Înrebări es. Ce ensiuni apar pe secțiunea unei bare supusă la racțiune? Cum sun ele repariae?. Definiți modulul de rigidiae la racțiune compresiune.. Ce ese conracția ransversală?. Ce înțelegeți prin secțiune periculoasă? 5. Care sun principalele punce ale curbei caracerisice σ ε? 6. Definiți modulul de elasiciae E. 7. Care ese deosebirea înre racțiune şi compresiune? 8. Ce ese un sisem saic nedeermina? Ce ese gradul de nedeerminare şi cum se calculeaă? 9. Cum influențeaă emperaura sisemele saic deerminae? Dar pe cele saic nedeerminae? 0. Cum influențeaă imperfecțiunile de monaj eforurile şi ensiunile din bare la siseme saic deerminae?. Ce se înțelege prinr un sisem de bare saic deermina? 7

120 5.8. Probleme propuse. Să se dimensionee barele din figura 5.0 şiind că sun confecționae din oțel cu σa50 Pa. După dimensionare să se deermine lungirea sau scurarea acesora. a Fig. 5.0 b. Bara orională de rigidiae foare mare preenaă în figura 5. ese ariculaă în puncul B şi susținuă de iranul AC. Ascupra srucurii ese aplicaă pe vericală o sarcină P60 kn. Se cere să se dimensionee iranul AC şiind că acesa rebuie confecționa din două corniere cu lauri egale şi să se calculee deplasarea pe vericală a puncului D. Fig. 5.. O grindă rigidă AB ese susținuă în poiție orională (ca în figura 5.) de două fire (unul de oțel şi celălal de cupru). Se cere să se deermine poiția sarcinii P6 kn asfel încâ după încărcare bara să rămână o orională. Penru aceasă poiție, să se deermine ensiunile ce iau naşere în cele două fire, precum şi deplasarea pe vericală a barei AB. Fig. 5.. O bară de lungime L 800 m soliciaă la racțiune de o forță P 00 kn se realieaă în două variane: cu secțiune consană şi cu secțiune în două repe (fig. 5.). Se cere să se găsească relația dinre lungimile l şi l asfel, încâ economia de maerial ce se obține înre cele două variane să fie maximă. Se cunosc: γ78,5 kn/m şi σa0 Pa. 8

121 5. O bară din OL de secțiune inelară (fig. 5.), de lungime L, ese soliciaă la racțiune de o sarcină P00 kn. Şiind că se cunosc γ78,5 kn/m şi σ a0 Pa, se cere să se deermine: a. dimensiunile secțiunii ransversale ale barei penru L 06 m; b. lungirea barei înr o secțiune x şi lungirea oală. Fig. 5. Fig Să se dimensionee sâlpul din figura 5.5 şiind că ese realia din fonă cu σ 00Pa, γ 77kN / m, ce se sprijină pe o placă de oțel cu afo Fo σ 50Pa,,5kN / m, aol OL 78 γ acesea pe un bloc de beon cu σ 5Pa abe, γ 0kN / m, şi înreg ansamblul pe pămân σ apam 0, Pa be de greuaea proprie., ținând seama şi Fig. 5.5 Fig

122 7. Reaemul mobil al unui pod ese realia din două role cu diameru d00 mm şi lungime L900 mm (fig. 5.6), aşeae pe o placă de oțel. Presiunea admisibilă pe suprafața de conac dinre cilindrii şi placă ese p a 00 Pa. Se cere să se calculee valoarea forței P pe care o poae supora reaemul mobil al podului. 8. Să se verifice bara din figura 5.7 şiind că ese confecționaă din aluminiu cu σa70 Pa şi are o secțiune inelară cu d0,8d. Fig. 5.7 Fig Să se verifice bara din figura 5.8 şiind că ese confecționaă din fonă cu σar70 Pa, σacomp0 Pa şi E0 GPa. 0. Să se deermine sarcinile capabile să le supore srucurile din figura 5.9, dacă se cunosc: σcol0 Pa, EOL0 GPa, σcal00 Pa, EAl70 GPa. Se impune un coeficien de siguranță c,6. a Fig. 5.9 b. Să se deermine sarcina capabilă să o supore un cablu confecționa din 6 fire de oțel (σcol90 Pa, EOL0 GPa) şi 8 fire de aluminiu (σcal0 Pa, EAl70 GPa) dacă diamerul unui fir ese d mm şi se impune un coeficien de siguranță c,6.. Să se deermine sarcina capabilă să o supore un cablu confecționa din 6 fire de oțel (σcol0 Pa, EOL00 GPa), 8 fire de cupru (σccu0 Pa, ECu0 GPa) şi 86 fire de aluminiu (σcal0 Pa, EAl70 GPa) dacă diamerul unui fir ese d5 mm şi se impune un coeficien de siguranță c,6.. Să se deermine ensiunile ce iau naşere în barele din figura 5.0 dacă acesea sun încălie uniform cu 00 C față de emperaura de monaj. Se cunosc: ECu0 GPa, αcu,7 0 5 C EAl0 GPa, αal, 0 5 C. 0

123 Fig. 5.0 Fig. 5.. Doi cilindri de oțel şi respeciv cupru, având forma şi dimensiunile preenae în figura 5., sun comprimați de o sarcină P00 kn. Se cere să se deermine ensiunile din cilindrii şi scurarea acesora (EOL0 GPa, ECu0 GPa). 5. Să se deermină sarcina capabilă să o supore un cablu confecționa din 7 fire de oțel (EOL0 GPa; σaol60 Pa) şi 7 fire de aluminiu (E Al70 GPa; σ 0 Pa), şiind că diamerul unui fir ese d mm. 6. Penru bara de secțiune circulară din figura 5., soliciaă de sarcina Q0 kn în puncul B şi de o forță necunoscuă P în puncul A, se cere să se deermine: a. valoarea sarcinii P asfel încâ ensiunea normala ce apare în fiecare segmen a barei sa fie aceiaşi; b. valoarea sarcinii P asfel încâ ensiunea de pe porțiunea AB să fie egală în modul cu ensiunea de compresiune de pe porțiunea BC. Să se specifice în fiecare ca dacă sarcina P ese de racțiune sau de compresiune. aal Fig Să se deermine sarcina capabilă să o supore sisemul de bare concurene din figura 5. confecționa din oțel cu σaol50 Pa. Penru aceasă sarcină să se deermine eforurile şi ensiunile ce apar în fiecare bară, precum şi deplasarea pe vericală a puncului de concurență a barelor. 8. Penru sisemul de bare concurene din figura 5. confecționa din oțel cu σaol0 Pa. se cere să se deermine eforurile şi ensiunile ce apar la monaj, dacă s a consaa că bara din mijloc ese mai lungă cu,5 mm.

124 Fig. 5. Fig Să se deermine eforurile şi ensiunile ce apar în barele srucurii din figura 5.5 dacă acesa ese încăli uniform cu o emperaură ΔT00 C față de emperaura de monaj, în urmăoarele două cauri: a. ținând seama numai de variația de emperaură; b. luând în considerare aâ efecul sarcinii P câ şi al diferenței de empraură. Fig. 5.5 Fig Să se verifice bara din figura 5.6 ținând con şi de greuaea proprie, dacă ese confecționaă din fonă cu σar00 Pa, σacomp50 Pa, E70 GPa şi γ7 kn/m.

125 6. RĂSUCREA BARELOR DREPTE 6.. Generaliăți O bară ese soliciaă la răsucire când eforul din orice secțiune ransversală a barei ese un momen de orsiune (răsucire). omenul de răsucire dinr o secțiune oarecare, ese egal cu suma uuror momenelor forțelor siuae la sânga sau la dreapa secțiunii considerae. ( Pi R i + xi ) în care, Pi sun forțele exerioare normale pe axa barei, Ri disanțele de la axă la suporții forțelor, şi xi sun momenele exerioare orienae după direcția axei Ox. Dacă bara ransmie o puere P*, în kw, la urația n, în roații pe minu, aunci valoarea momenului de orsiune ese: P [ kw] [ ] 0 π n ro/min. Când valoarea momenului de orsiune variaă în lungul barei, penru calculul de reisență, se recomandă rasarea diagramelor de momene de orsiune şi preciarea secțiunii (sau secțiunilor) periculoase. În domeniul de aciviae al inginerului mecanic se înâlnesc foare frecven aplicații ale răsucirii barelor drepe ca de exemplu: arbori, osii mooare, şuruburi ec. (6.) (6.) 6. Tensiuni şi deformații la răsucirea barelor drepe de secțiune circulară şi inelară Se considera o bară dreapă de secțiune circulară şi consană în lungul ei realiaă dinr un maerial coninuu, omogen, iorop şi care saisface legea lui Hooke. Pe suprafața barei se raseaă cercuri şi generaoare, care formeaă o rețea de drepunghiuri curbilinii, dinre care se consideră drepunghiul elemenar ABCD. Consideram secțiunea () siuaă la disanța dx de seciunea (), (fig.6.,a).

126 Fig. 6. După aplicarea momenului de răsucire, bara se deformeaă după cum ese repreenaă în figura (6.,b). Analiând deformația barei se consaă că: a) cercurile aflae în plane ransversale rămân o cercuri conţinue în aceleaşi plane ransversale, iar disanţa dinre acesea nu se modifică semnificaiv (se confirmă ipoea lui Bernoulli, penru puncele de pe suprafaţa exerioară şi se exinde şi la puncele de la ineriorul barei); b) elemenele drepunghiulare de pe suprafaţa laerală se ransformă în paralelograme ale căror lauri îsi păsrea ă lungimea; modifică în elici; c) cele două generaoare (fibre) rămân paralele una față de ala, dar se Asfel că, orice elemen drepunghiular de pe suprafața barei se deformeaă prin lunecare pură înr un paralelogram (fig.6.,c). Unghiul drep se modifică cu lunecarea specifică maximă, definiă de relația (.8): γ Δe lim Δx 0 Δx 0 de dx. Fig. 6. Arcul Δe, ese deplasarea prin lunecare a oricărui punc A sau B în A şi respeciv în B. Asfel, cercul () se roeşe cu arcul Δe AA BB, față de cercul (). Unghiul cu

127 care se roeşe secțiunea () față de secțiunea (), care se află la disanța dx de secțiunea (), se numeşe deformație unghiulară sau roire relaivă şi se noeaă cu dϕ (fig. 6.). Se poae scrie: Δ e AAʹ BBʹ R d ϕ γ reulă: dϕ γ 0 R R θ, dx în care mărimea : dϕ dx θ, se numeşe roire specifică. 0 dx. În mod similar, penru arcul ă, afla la disanța r față de axa barei, se obține: ʹ r dϕ γ dx, din care se deduce lunecarea specifică la raa r dϕ γ r r θ. dx (6.) (6.) Înrucâ maerialul barei se consideră coninuu, omogen, iorop şi elasic, roirea elemenară dϕ are aceeaşi valoare penru oae puncele unei secțiuni. Deci dϕ, fiind consană pe oaă secțiunea ransversală şi roirea specifică θ rămâne consană pe oaă lungimea dx. Asfel din relația (6.) reulă că lunecarea specifică variaă liniar în funcție de r. Are valoare nulă pe axa barei şi maximă (γ0 R θ) pe conurul exerior. Daoriă deformațiilor de lunecare în bară se produc ensiuni angențiale, care se po deermina, penru soliciări în domeniul liniar elasic, cu ajuorul legii lui Hooke: τ G γ G r θ. (6.5) Considerăm un elemen de arie da afla la disanța R d/ (deci pe conurul exerior al barei, (fig 6.,a) şi pe aceasa o ensiune angențială τ având o direcție oarecare. Aceasa are componenele τxs angenă la conur şi τsx radială. Conform dualiății ensiunilor angențiale unei ensiuni τxs îi va corespunde o ensiune τsx pe suprafața exerioară a barei. Deoarece nu s au lua în considerare forțe de frecare axiale, pe suprafața exerioară a barei, care să producă ensiunea τsx, aceasa ese nulă. Deci, ensiunile angențiale conținue în secținea ransversală sîn perpendiculare pe raă şi variaă proporțional cu aceasa. Conform legii dualiății ensiunilor angențiale, perechea ensiunii τxs ese ensiunea τsx şi ese conținuă în planul axial (fig.6.,a), adică: τ τ τ θ G r. xs sx (6.5, a) 5

128 Scriind ecuația de echivalență dinre eforul şi ensiunile din planul secțiunii ransversale vom obține: r ( τ da) A si înlocuind pe τ din expresia (6.5) se obține: θ G r r da A A da θ G În relația de mai sus s a ținu seama că: p, p. (6.6) ese momenul de inerție polar (vei 5.) Înlocuind mărimile θ G din (6.6) cu expresia reulaă din (6.5) se obține formula ensiunii angențiale la răsucirea barelor de secțiune circulară: τ r, (6.7) p din care se poae consaa că ensiunea angențiă variaă liniar în funcție de raă. Din relața (6.7), ce ese repreenaă grafic în figura (6.,a), reulă că ensiunile angențiale sun maxime pe conurul exerior al barei: τ max R, (6.8) W p p în care Wp ese modulul de reisență polar şi ese da de relația (vei 5.7): p W p. R max Formula penru roirea specifică reulă din expresia (6.6) şi ese: θ. G p (6.9) (6.0) Deci, roirea specifică ese direc proporțională cu momenul de răsucire şi invers proporțională cu produsul G P şi care se numeşe rigidiaea la răsucire a barelor de secțiune circulară şi inelară. Roirea specifică se măsoară în rad/m, sau grade/m. Deformația unghiulară a barei de lungime L sau roirea relaivă a barei, noaă cu Δϕ, ce repreină unghiul cu care se roeşe secțiunea finală față de cea inițială, se obține din relația (6.) şi (6.0), asfel: dx Δϕ d ϕ θ dx L L. (6.) L G p Dacă bara ese omogenă, de secțiune consană şi eforul ese consan pe oaă lungimea L, prin inegrarea relației (6.), se obține: 6

129 Δ ϕ L G p (6.,a) iar dacă valorile mărimilor de sub inegrala (6.) sun consane pe porțiuni din lungimea barei, aunci relația (6.) devine: i li Δϕ. G pi (6.,b) Deşi relațile (6.7), (6.8), (6.0) şi (6.) au fos deduse penru secțiunea circulară se po demonsra la fel şi penru secțiunea inelară. p În formulele (6.6)...(6.), sun menționae mărimile p si Wp care au expresiile: π d π d, Wp, (6.,a) 6 penru secțiunea circulară şi: p π D π D ( k ), Wp ( k ) (6.,b) 6 d k D penru secțiunea inelară, unde. 6.. Calculul de reisență la răsucire al barelor de secțiune circulară Calculul de reisență la răsucire presupune reolvarea problemelor de verificare, sarcină capabilă şi de dimensionare. Aces calcul are la baă formula radițională consacraă a condiției de reisență: τ max τ a, (6.) câ şi cea de rigidiae: θ max θ a sau Δϕ max Δϕ, (6.) în care τmax se obține din formula (6.8), θmax cu formula (6.0) şi Δϕ cu una din formulele (6.). Valorile reisenței admisibile la răsucire τa, respeciv θa sau Δϕa se sabilesc penru fiecare ER în funcție de maerial, condiții de exploaare, rol funcțional, mod de apreciere al forțelor ec. 7

130 τ max 8. Problema de verificare se reolvă folosind formulele: τ a W p max θ θ a sau Δϕmax Δϕ G p G p (6.5,a). (6.5,b) În funcție de reulaele obț inue se vor da verdicele: a. BARA REZSTĂ, dacă oae valorile calculae (τ, θ, sau Δϕ) sun inferioare celor admisibile şi cel puțin una ese mai mare decâ 0,8 din cea admisibilă; b. BARA NU REZSTĂ, dacă cel puțin o valoare ese mai mare cu mai mul de 5% din cea admisibilă; c. BARA ESTE SUPRADENSONATĂ, dacă oae valorile deerminae sun inferioare valorii de 0,8% din cea admisibilă. În caurile b, c se calculeaă sarcina capabilă.. Problemele de capaciae de încărcare se reolvă cu relațiile: W τ, (6.6,a),cap,cap p G θ sau p a a,cap G p Δϕa. (6.6,b) L Dinre valorile obținue se ia în considerare valoarea cea mai mică; aceasa se va uilia în coninuare penru adoparea unei valori rounjie, înregi care să saisfacă condiția: 0,8 < <,05.,cap,cap. Reolvarea problemelor de dimensionare, implică mai înâi deerminarea momenului max (din diagrama de momene), apoi se alege maerialul şi se adopă, τa respeciv θa sau Δϕa şi penru secțiunea circulară din relațiile (6.8) şi (6.,a) se obține formula: d 6 max nec, π τa (6.7,a) iar din formulele (6.0), (6.), (6.,a), penru condiția de rigidiae se obțin formulele: d L max nec π G θ sau dnec. (6.7,b) a π G Δϕa Penru barele de secțiune inelară se adopă raporul k D/d şi din relațiile (6.8), (6.0), (6.), (6.,b), se obține: D 6 max nec π τa ( k ), (6.8,a)

131 si respeciv: max D nec sau a D L nec π G θ ( k ) π G Δϕ ( k ) max. (6.8,b) Când se iau în considerare aâ condiția de reisență câ şi cea de rigidiae, reulă două valori penru diamerul ER. Se adopă valoarea cea mai mare prin rounjire. Aplicația 6.. Să se dimensionee un arbore din oțel (G 8, 0 Pa, τa 80 Pa, θa grad/m) care ransmie o puere de P * 0 kw la o urație de n 00 ro/min. Arbor ele se va calcula în cele două cauri: a). secțiune circulară; b). secțiune inelară k D/d 0,8. Reolvare: omenul de orsiune se deermină ca fiind: 0 P π n 0 0, knm π 00 a). Secțiunea circulară: ,0 mm, π τa π 80 ` d 0 π G θ a π π ʺ d nec a 56,67 mm. Se adopă d 60 mm. Observație: Nu se poae adopa o valoare mai mică (d 55 mm) decâ cea calculaă penru că la verificarea, în condiția de rigidiae se obține: θ max 6, π G D π π b) Secțiunea inelară: 6 π τ 6 6, 0 80 D a θ ( k ) π ( 0,8 ), 0 ( k ) π ( 0,8 ),8 o / m >,05 θ 5,65 mm 0 80 π 6 D π G a 8 0 Se adopă: D 65 mm, d 5 mm. a 6,66mm Economia de maerial, prin uiliarea acesei secțiuni inelare ese de: ( 65 5 ) A A ,75%. 60 A. 9

132 Aplicația 6.. Să se dimensionee arborele din fgura 6. încasra la capee şi solicia de un momen de orsiune 0 knm. Tensiunea admisibiă ese de τa 0 Pa, Reolvare: iar d 0,75D. Aspecul saic ese: +, iar aspecul geomeric se scrie: Δϕ + Δϕ + Δϕ 0 din care reulă aspecul fiic: a a + + G G P ( ) G P a P 0. Simplificând ermenii asemenea şi înlocuind d 0,75D, reulă: 0, Nm, + + ( + 0,75) 0, , 5 69 Nm Diamerele necesare penru arbore sun: 6 π σ π 0 d nec a şi reulă: d D 0,75,0mm. 6 π σ π 0 Dnec a 5,57mm, 9,6mm. Se adopă valorile: D 50 mm, d 7,5 mm. Fig Energia de deformație la răsucirea barelor de secțiune circulară şi inelară Considerând un volum elemenar din bară, daoriă acțiunii ensiunilor angențiale τ şi a lunecării specifice elemenare γ, se produce lucrul mecanic elemenar specific (fig. 6.): dl τ dγ. 0

133 Soliciarea fiind în domeniul liniar elasic τ G γ, dτ asfel că dγ, iar lucrul mecanic elemenar va fi G egal cu energia de deformație, conform ipoeei că în domeniul elasic înreg lucrul mecanic efecua prin încărcarea barei se acumuleaă în volumul aceseia sub formă de energie de deformație: τ dl du τ dγ dτ. G Fig. 6. Grafic aces lucru mecanic, respeciv energia de deformație elemenară sun repreenae prin rapeul haşura din figura 6.. Energia specifică de deformație înmagainaă în elemenul de volum uniar când ensiunea creşe len de la 0 la τ va avea forma urmăoare: U τ du 0 τ 0 dτ τ τ G G iar cea acumulaă în volumul elemenar ese: du U τ dv G dv. Penru bara dreapă de secțiune circulară: τ r, p r A p π d da, dv da dx, (6.9) aşa că energia de deformație acumulaă în bara de secțiune circulară, de lungime L, soliciaă la răsucire va avea valoarea: τ dx dx U du dv r da. V V G L G A (6.0) L G p Dacă bara ese omogenă, de secțiune circulară consană şi soliciaă pe oaă lungimea de acelaşi, aunci energia de deformație acumulaă va avea valoarea: L 6 L U. (6.) G G d p Dacă bara ese de secțiune inelară cu facorul dimensional deformație va avea expresia: U 6 L π G D ( k ) p k d D, energia de. (6.,a)

134 6.5. Calculul arcurilor elicoidale cu pas mic se va obține o forță P ş i un un momen P R. aceasa se obțin eforurile: N P sinα ; T P cosα ; i Arcul elicoidal se confecționeaă dinr o sârmă de oțel avînd diamerul d care se înfăşoară pe un cilindru sub forma unei spirale. Disanța D/ de la axa cilindrului la axa sârmei înfăşurae, se numeşe raă de înfăşurare. Asupra arcului acționeaă o forță P de a lungul axei cilindrului. Dacă forța se va reduce în cenrul de greuae al unei spire Descompunînd forța P şi momenul după axa spirei şi perpendicular pe P R cosα ; P R sinα. La arcurile elicoidale cu pas mic unghiul de înfăşurare al spirei are valori mci, asfel că se poae face aproximarea: sinα 0 ; cosα în aces ca eforurile din orice secțiune a arcului sun: D P R P şi T P. (6.) Tensiunea angențială produsă de forța ăieoare ese foare mică în comparație cu cea produsă de momenul de orsiune, asfel că se va lua în calcul numai efecul momenului de orsiune. Va reula: 6P D 8 P D τ max. (6.) W π d π d p Relația (6.) se uilieaă în calculul de reisență penru: verificare, capaciae de încărcare, dimensionare, Din aceasă relație se obține diamerul spirei: d nec 8 P D τ π a Reisența admisibilă a oțelurilor penru arcuri (OLC55A, OLC65A, OLC75A, OLC85A, 5S7A, 60S5A, 5CRA), se ia : τa Pa. (6.) Deformația arcului se defineşe ca fiind scurarea sau lungirea acesuia sub acțiunea unei solici ări (fig.6.5) ş i se numeşe săgeaă. Relația de deerminare a săgeții se obține considerând egaliaea dinre lucrul mecanic al forțelor exerioare aplicae şi energia poențială de deformație acumulaă în

135 volumul arcului. inând seama că relația (6.0), în care se fac subsiuirile: P D ; L π D, egaliaea L U devine : P f dx, G L respeciv: P f p P D 6 D n π π G d din care reula formula penru săgeaă: 8 P D f G d n., Aplicația 6.. Să se verifice arcurile suspensiei din figura 6.6, soliciae de o forță P, kn, dacă elemenele arcurilor sun D 6 mm, d 8 mm, n0 spire, D 80 mm, d0 mm, n8 spire. P + P P, Reolvare: a) Aspecul saic: b) Aspecul geomeric: P f L, iar energia de deformație ese daă de Fig. 6.5 f f, Fig. 6.6 c) Aspecul fiic: 8 P D n 8 ( P P ) D G d G d din care reulă: n P 00 D n D n N. P d + d P P P τ, 9 N, Tensiunile angențiale în cele două spire reulă: 8 P D ,77Pa < a, π d π 8 max τ (6.5)

136 8 P D τ max 97,65Pa< τ π d π 0 a. Deci, SUSPENSA REZSTĂ. Observație: Deoarece ensiunile maxime din arcuri sun apropiae de valoarea admisibilă se poae spune că aceasă suspensie a fos proiecaă economic Răsucirea barelor de secțiune drepunghiulară Teoria generală a răsucirii barelor de secțiune oarecare a fos elaboraă de Barré de Sain Venan şi are la baă o demonsrație complicaă. poea secțiunilor plane, verificaă şi uiliaă penru secțiunile circulare şi inelare nu mai corespunde la barele de secț iune oarecare. Acesea se deplaneaă prin răsucire. Pe suprafața unei bare de secțiune drepunghiulară, în sare nesoliciaă (fig.6.7,a), se raseaă linii drepe echidisane, paralele şi perpendiculare pe axa barei. Se obține o rețea de drepunghiuri. Fig. 6.7 După soliciarea la răsucire, bara se deformeaă ca în fig.6.7,b, la care se observă că: a) drepunghiurile din imediaa vecinăae a muchiilor barei îşi păsreaă forma, deci în acese punce deformaț iile şi ensiunile sun nule; b) drepunghiurile aflae în imediaa vecinăae a mijlocului fețelor îşi schimbă cel mai mul forma, devenind paralelograme. Deci, în apropierea mijlocului laurilor lunecările vor fi maxime şi ca aare aici se vor produce ensiunile maxime. Disribuția ensiunilor angențiale, deerminaă de Sain Venan, ese preenaă în figura 6.6. Variația ensiunilor angențiale nu ese liniară pe nici o direcție. În colțurile drepunghiului şi în axa de simrie Ox, ensiunile angențiale sun nule. Penru secțiunile drepunghiulare cu raporul h/b mic se poae considera că ensiunile angențiale de pe conur variaă parabolic. Fig. 6.8

137 Dacă h/b ese mare (profile subțiri) se poae considera că τ ese consan pe laura mare şi variaă liniar pe grosime. Relațiile de calcul deduse de Barré de Sain Venan, sun: Penru ensiunea angențială maximă ce se produce pe mijlocul laurii mari a drepunghiului: τ max τ, (6.6) k h b Penru ensiunea angențială la mijlocul laurii mici ese: τ, k τmax Penru roirea specifică, a barelor de secțiune drepunghiulară: θ k G h b (6.7) (6.8) În relația de mai sus s a noa cu b laura mai mică a secțiunii drepunghiulare iar k, k, k, depind de raporul h/b al laurilor.valorile acesor coeficienți sun dae în abelul (6.). Tabelul 6. h/b,0,50,75,0,5,0,0 5,0 6,0 8,0 k 0,08 0,9 0, 0,9 0,6 0,58 0,67 0,8 0,9 0,99 0,07 k 0, 0,66 0,96 0, 0,9 0,9 0,6 0,8 0,9 0,99 0,07 k,000 0,9 0,86 0,8 0,795 0,766 0,75 0,75 0,7 0,7 0,7 Penru valori mari ale raporului h/b (h/b 0) se poae lua: k k /, iar relațiile (6.7) şi (6.9) devin: τ max ; θ. h b G h b (6.9) Dacă vom noa cu: W k h b, (6.0,a) şi pe care o numim, caracerisica geomerică de reisență la răsucirea barelor de secțiune drepunghiulară şi cu: k h b, (6.0,b) numiă caracerisica geomerică de rigidiae la răsucirea barelor de secțiune drepunghiulară, relațiile (6.6) şi (6.8) devin: τ max, W (6.6,a) şi θ max G, (6.8,a) 5

138 ceea ce permie generaliarea calculului şi penru ale forme de secțiuni. Expresiile caracerisicilor geomerice de reisență W şi de rigidiae, penru ale forme de secțiuni, sun dae în Anexa nr.6. Calculul roirii relaive Δϕ se va face cu relațiile: dx i Li Δϕ sau Δϕ G G L i 6 Aplicația. 6.. Bara de secțiune drepunghiulară din figura 6.9 ese confecționaă din oțel (G 8GPa). Să se deermine ensiunea maximă şi roirea relaivă oală dacă ese soliciaă de un momen de orsiune 0 knm. Reolvare: Tensiunea maximă se produce la mijlocul laurii mari a drepunghiului şi ese egală cu: τ τ k h b , max 57,7Pa; iar ensiunea angențială la mijlocul laurii mici ese: τ τ 0,86 57,7 9,6Pa. k Fig. 6.9 În relațiile de mai sus s au înlocui k 0, şi k 0,86 penru h/b,5, (Anexa 6). Roirea relaivă oală va fi L Δϕ G Δϕ,680 0 L G k h b rad 0,96, , unde, k 0,96 o penru h/b,5, (Anexa 5). o Aplicația 6.5. Să se deermine forța capabilă şi săgeaa corespunăoare aceseia la un arc elicoidal confecționa din sârmă păraă de laură a 8 mm, n 8 spire şi D 60 mm, dacă τa 0 Pa şi G 8 GPa. W k k Reolvare: b b 0,08 8 0, 8 06,5 mm 557,5 mm Aplicând relațiile (6.0) şi (6.) obținem: τa W 0 06,5 Pcap 86,5 N ; P 800 R 0 obține:., Considerând egaliaea L U (vei 6.) în caul secțiunii drepunghiulare se N

139 f π d n G π 0, ,5, mm Răsucirea barelor cu pereți subțiri, deschise Prin bare cu pereți subțiri deschise se înțeleg profilele laminae sub formă L, T, U,, sau ale forme obținue prin laminare sau prin îndoire şi/sau sudare din beni de ablă laminaă. În aceasă caegorie inră profilele ce au elemene de grosime mică (h 0 b) şi nu închid goluri (secțiunea ese simplu conexă) sau dacă închid un gol au cel puțin o generaoare nesudaă. Se consideră bara din figura 6.0 soliciaă la răsucire. Elemenele ce compun bara sîn cele două ălpi şi inima. Problema se raeaă descompunând bara în rei drepunghiuri componene şi din cele rei aspece reulă: a) Din aspecul saic: + +, i Fig. 6.0 b) Din aspecul geomeric: θ θ θ θ c) Din aspecul fiic: + + G G G G + + ( ) G d Din aceasă relație reulă caracerisica geomerică de rigidiae la răsucirea barelor cu pereți subțiri, profil deschis: d + + i b i i. (6.) 7

140 8 În caul profilelor subțiri laminae se ia: α ( + + ) bi i i, d în care α la profilele cornier, α,..., la profilele U iar α, la profilele. Din relația aspecului fiic se obține: i i, d asfel că ensiunea maximă pe conurul elemenului i reulă: b i i i τi max i. W b i d d i i Deci, ensiunea maximă ese funcție de grosimea i a profilului. Reulă că ensiunea cea mai mare (dinre τ i) va exisa în elemenul de grosimea cea mai mare (max): τ max max. (6.) W d ărimea d α W d bi max max i se numeşe caracerisică geomerică de reisență la răsucire a profilului cu pereți subțiri, profil deschis şi ese similară modulului de reisență polar de la secțiunea circulară., (6.) Din aspecul fiic se poae scrie: G θ, d şi respeciv: L dx G d i L G d. (6.) i Δ ϕ (6.5) Aplicația 6.6. Să se calculee momenul de răsucire capabil să l supore secțiunea din figura 6. şi corespunăor acesuia, roirea specifică (secțiunea se compune din două profileu 0 fără să fie sudae înre ele). Se cunoaşe: τa0 Pa. Reolvare: Caracerisicile geomerice ale secțiunii sun:

141 ,5 d b i [ 0,85 + ( 7,5 0,85),5 ] 7, cm d 7, W d 5,66 cm. b max,5 omenul de orsiune capabil reulă: cap τ W 566, , Nm. a d Se adopă: 800 Nm. Roirea specifică corespunăoare ese: θ 0 7, / m. G d 8 0 7, 0 π, Fig Răsucirea barelor cu pereți subțiri, închise Considerăm o bară ubulară cu pereți subțiri, ce are secțiunea ransversală de formă oarecare, dar consană în lungul barei (fig.6.,a). Noăm cu Ω aria închisă de fibra medie a profilului secțiunii, cu s lungimea fibrei medii şi cu grosimea pereelui. Sub acțiunea momenului de orsiune, în secțiune se produc ensiuni angențiale paralele la linia medie a profilului. Se admie că la grosmi mici ale pereelui acese ensiuni sun repariae uniform pe oaă grosimea pereelui. Aceasă ipoeă concordă cu aâ mai bine cu realiaea cu câ grosimea pereelui ese mai mică. olăm din bară un elemen de lungime dx (fig. 6.,b). Din aceasa deaşăm o fâşie longiudinală cuprinsă înre generaoarele şi. Pe fețele fâşiei apar ensiuni angențiale care saisfac legea dualiății ensiunilor angențiale (fig. 6.,b). Din condiția de echilibru a forțelor elemenare se obține: τ dx τ dx, din care reulă că în orice punc al secținii ransversale produsul τ ese consan: τ τ τi i c. (6.6) 9

142 Fig. 6. Aces produs se numeşe flux al ensiunilor angențiale. Deci valoarea ensiunilor angențiale ese maximă unde grosimea pereelui ese minimă şi are valoarea minimă unde grosimea pereelui ese maximă. Din relația de echilibru a elemenului obținem: r τ da A r τ ds, 0 unde s a noa cu r brațul eforului angențial dt răsucire O şi da ds. Din figură se observă că r ds dω τ da, de la acesa la cenrul de, adică aria riunghiului elemenar corespunăor lungimii de arc ds pe fibra medie. Cu aceasă noație momenul de răsucire reulă : τ r ds τ Ω, S iar expresia ensiunii angențiale ese: τ Ω. Tensiunea maximă care se produce în drepul grosimii celei mai mici, ese: (6.7,a) τ max (6.7) min Ω W[ în care: Wî min Ω, (6.8) ese caracerisica geomerică de reisență la răsucire a barelor cu pereți subțiri profil închs. 0

143 Penru deerminarea roirii specifice se scrie egaliaea dinre lucrul mecanic exerior, produs prin aplicarea momenului de răsucire, pe un elemen de lungime dx L, cu energia de deformare poențială acumulaă în elemen θ τ dv G. Înlocuind pe τ din relația (6.,a) şi pe dv ds, se obține: ds θ G Ω G, (6.9) [ în care mărimea: i Ω ds Ω s (6.0) ese caracerisica geomerică de rigidiae la răsucire a barelor cu pereți subțiri profil închis. Relațiile (6.) şi (6.5) sun formulele lui R. Bred. Dacă grosimea pereelui ese consană în lungul fibrei medii aunci se obține: s G Ω θ. Analog ca la celelale srucuri roirea relaivă se deermină cu relația: Δϕ dx i G G L L [ [ i (6.). (6.) Aplicație 6.7. Penru bara din oțel (G 8 GPa, şi τ a 90 Pa) cu secțiunea din figura 6. se cer: a) caracerisicile geomerice la răsucire, profil deschis şi profil închis; b) momenul de orsiune capabil; c) roirile specifice maxime corespunăoare momenelor de orsiune calculae; pe secțiune. d) ensiunile angențiale şi diagramele de variație Reolvare: a) caracerisici geomerice: profil deschis: Secțiunea daă se descompune în drepunghiuri subțiri. Fig. 6.

144 La arce de cerc lungimea drepunghiului ese egală cu desfăşuraa pe fibra medie. α bi i d 9,89 Wd 8,cm, ( 8 0,6 + π 5, 0,6 +, ) 9,89cm, d d max profil închis:. Se duce fibra medie şi se calculeaă aria închisă de aceasa: π 5, Ω 0,6 8,6 + 5,cm, Wi Ω min 5, 0,6 6,cm Ω 5, i cm. s 0,6 8,6 π 5, + +, 0,6 0,6 În ulima relație s înseamnă lungimea fibrei medii: cap,d cap,i b) omenele de orsiune capabile: τ τ a a W W Se adopă: d 0,75 knm; i,5 knm. θ θ τ τ τ maxd maxi dmax di d i 90 8, , 0 0,78kNm,,6kNm. c) Roirile specifice maxime se deermină cu relațiile (6.) şi (6.0) şi se obține: G i G d i 6 0, ,89 0 6, , 0, rad / mm 5,9 rad / mm 0,9 o / m, / m. d) Se deermină ensiunile angențiale cu relațiile (6.) şi respeciv (6.7): profil deschis: W d d d d 0,75 0 8, 0 profil închis: W i 6 6 0,75 0 9,89 0 6,5 0 6, 0 9,6Pa, 5 6 5,7Pa 89,Pa, i i max i 6 i,5 0 i Ω 5, 0 τ,67pa. o,

145 Observație: Comparând momenele de orsiune capabile se observă că la acelaşi consum de maerial profilul închis reisă de 9,8 ori (,6/0,78) mai mul decâ profilul deschis, iar dacă se compară roirile specifice se observă că bara realiaă din profil deschis ese mul mai elasică, de aproximaiv 6 ori. Adoparea uneia sau aleia din soluții se va face în funcție de scopul urmări şi anume: penru srucuri rigide se adopă profilul închis; penru srucuri elasice se adopă profilul deschis, care admie deformații mari fără a se depăşi ensiunea angențială admisibilă Generaliarea relațiilor de calcul la răsucire Analiând forma idenică a relațiilor (6.8), (6.6,a), (6.) şi (6.7) penru calculul ensiunilor angențiale maxime la răsucirea barelor drepe, a relațiilor (6.0), (6.8,a), (6.) şi (6.9) penru deerminarea roirilor specifice şi respeciv (6.), (6.0), (6.5) şi (6.) se po scrie relații unice şi anume: max τ max τa, W max θ max θa, G Δϕ dx L (6.) (6.) i i Δϕa. (6.5) L G G Dacă în acese relații se înlocuiesc W şi cu caracerisicile geomerice la răsucire corespunăoare fiecărei forme de secțiune şi anume: la secțiunea circulară: π d W Wp, 6 π d p. la secțiunea inelară cu facorul dimensional k d/d: π D W Wp ( k ), 6 π D p ( k ).

146 W la secțiunea drepunghiulară (h > b): W k k h h b b,, la bare cu pereți subțiri, profil deschis (b>> ): W Wd, d max α b, unde: α penru oae secțiunile cu excepția profilelor sandardiae penru care avem, α,.., penru profilul U, α, penru profilul. W la barele cu peree subțire profil închis: W Ω, i[ Ω ds min Ω s [, în care Ω ese aria închisă de fibra medie iar s ese lungimea fibrei medii Înrebări ese. Ce sare de ensiune se devolă înr un punc de pe suprafața exerioară a unei bare soliciaă la orsiune?. De ce la şasiurile auocamioanelor se folosesc profile cu conur deschis?. Doi arbori sun confecționați din acelaşi maerial (τaτa) şi ransmi aceiaşi puere (PP) dar au urațiile în raporul n 5n. Care ese raporul diamerelor d/d? Cum explicați reulaul obținu?. Care sun elemenele caracerisice ale unui arc elicoidal cilindric? 5. La ce soliciări ese supusă spira unui arc? 6. Care ese puncul cel mai solicia al secțiunii spirei arcului elicoidal cilindric cu spiră srânsă? 7. Care ese expresia consanei elasice a unui arc elicoidal cilindric cu spiră srânsă?

147 6.. Probleme propuse. Să se dimensionee arborele din fig. 6. care ese solicia de un momen de orsiune 0 knm dacă ese confecționa din oțel cu G8 GPa şi τa00 Pa. Să se deermine roirea relaivă oală a arborelui.. Să se ridice nedeerminarea şi să se dimensionee arborele din fig. 6.5, şiind că ese confecționa din oțel cu G8 GPa τa00 Pa şi θa /m. Fig. 6. Fig Arborele cu secțiune circulară variabilă încasra la ambele capee şi soloiciaa ca în fig. 6.6 ese realia din oțel cu G8 GPa τa0 Pa. Secere să se verifice aces arbore şiind că roirea specifică maximă admisă ese θa /m.. Bara de oțel ese fixaă înr un ub de bron ca în fig Cunoscând modulele de elasiciae ransversale penru cele două maeriale (GOL8 GPa şi GBr8 GPa), se cere să se deermine: a. ensiunile angențiale maxime ce apar în cele două maeriale; b. roirea relaivă a secțiunilor siuae la disamța L800 mm. Fig. 6.6 Fig Îmbinarea a două țevi uiliae la foraj se face cu ajuorul unei reducții fileae ca în fig Se cere să se deermine diamerul exerior (D) necesar penru reducție dacă ensiunea maximă ce apare în țevi ese τmax70 Pa, iar reisența admisibilă a maerialului reducției ese τa0 Pa. 5

148 Fig Cuplajul din fig. 6.8 ese realia cu pene paralele b x h x 6 mm şi şuruburi. Se cere să se deermine: a. omenul capabil al arborelui cu diamerul φ 80, dacă τ a70 Pa; b. Lungimea necesară penelor, dacă τap80 Pa; c. Numărul necesar de şuruburi, dacă momenul capabil de ransmisie, dacă τ as80 Pa d. penru reducție dacă ensiunea maximă ce apare în țevi ese τmax70 Pa, iar reisența admisibilă a maerialului reducției ese τ a0 Pa. Fig Un arbore de lungime L m având secțiunea elipică (fig 6.0), confecționa din oțel cu G8 GPa τa600 Pa ese solicia de un momen de orsiune knm. Se cere să se deermine ensiunile în puncele A şi B. 8. O bară avand secțiunea preenaă în fig. 6. ese soliciaă de un momen de orsiune,5 knm. Se cere să se deermine: a. ensiunile angențiale ce apar pe aceasă secțiune; b. să se rasee diagramele de variație a acesor ensiuni; c. să se deermine roirea specifică maximă, dacă G8 GPa. 6

149 9. Penru bara realiaă din două profile U (τa600 Pa ) aşeae ca în fig. 6., se cere să se deermine: a. momenele de orsiune capabile (profil deschis şi profil închis); b. roirile specifice corespunăoare momenelor de orsiune deerminae; c. ensiunile angențiale corespunăoare momenelor deerminae şi să se rasee diagramele de variație a acesor ensiunilor angențiale pe secțiune. Fig. 6.0 Fig. 6. Fig Barele cu secțiunile preenae în fig. 6. sun confecționae din oțel cu G8 GPa τa90 Pa. se cere să se deermine: a. momenele de orsiune capabile (profil deschis şi profil închis); b. roirile specifice corespunăoare momenelor de orsiune deerminae; c. ensiunile angențiale corespunăoare momenelor deerminae şi să se rasee diagramele de variație a acesor ensiunilor angențiale pe secțiune. a b c Fig. 6.. Să se dimensionețe un arc de secțiune circulară confecționa din oțel (G8 GPa τa00 Pa) cu n spire, dacă aces arc rebuie să supore o sarcină P kn, şiind că se impune o săgeaă maximă fmax mm. (se va ține seama numai de soliciarea de răsucire). 7

150 . Ansamblul forma din două arcuri elicoidale de escțiune circulară, monae în serie (fig. 6.) având caracerisicile D80 mm, n0 spire şi respeciv D 60 mm, n 6 spire ese solicia de o sarcină P0 kn. Se cere: a. să se deermine diamerul sârmei penru cele două arcuri (τa00 Pa); b. să se deermine deplasarea pe vericală a puncului de aplicație al forței. Fig. 6.. Bara orională de rigidiae foare mare (fig. 6.5) ese ariculaă în puncul C. Arcul ese mai scur cu Δ8 spire. Şiind că D00 mm, n8 spire d 5 mm şi respeciv D 60 mm, n6 spire, d5 mm, se cere să se deermine: a. eforurile din cele două arcuri la monaj; b. roirea barei AB în urma monajului; c. sarcina maximă pe care poae să o supore monajul, dacă τ a00 Pa. Fig

151 7. ÎNCOVOEREA BARELOR DREPTE 7.. nroducere O bară ese soliciaă la încovoiere, când în secțiunile aceseia exisă numai momene încovoieoare. În majoriaea caurilor, soliciarea la încovoiere ese produsă de forțe ransversale (care acționeaă pe axa barei). În acese cauri în secțiunile ransversale se produc aâ momene încovoieoare câ şi forțe ăieoare, iar soliciarea se numeşe încovoiere simplă. În cadrul acesui capiol se admie că fiecare forță rece prin cenrul de greuae al secțiunii ransverale şi nu produce o soliciare suplimenară de orsiune. omenul încovoieor soliciă bara asfel încâ îninde fibrele dinr o pare şi le comprimă pe cele de pe parea opusă, producând în secțiune ensiuni normale. Forța ăieoare soliciă bara la forfecare, producând în secțiune ensiuni angențiale. În funcție de naura eforurilor inerioare ce apar în bară, soliciarea poae fi: încovoiere pură, când în secțiunea ransversală a barei exisă numai momene încovoieoare; încovoiere simplă, când în secțiunea ransversală a barei exisă aâ momene încovoieoare câ şi forțe ăieoare. După poiția în spațiu a forțelor ransversale, soliciarea la încovoiere poae fi: încovoiere plană, când oae forțele sun înr un singur plan cenral principal de inerție; încovoiere oblică, când oae forțele aplicae aparțin unui singur plan cenral longiudinal, diferi de planele principale cenrale de inerție; încovoiere srâmbă, când forțele aplicae sun dispuse în două sau mai mule plane cenrale. Soliciarea de încovoiere simplă ese cea mai înâlniă în aplicațiile inginereşi. 9

152 7.. Tensiuni şi deformații în bare drepe soliciae la încovoiere pură plană 50 Se consideră o bară dreapă a cărei secțiune ransversală ese simerică în rapor cu planul verical x0, soliciaă la încovoiere pură, de un momen de încovoiere dirija după axa 0 (fig.7.,a). Bara ese confecționaă din maerial coninuu omogen şi iorop, având caracerisica liniar elasică (deformațiile sun elasice şi proporționale cu ensiunile). Prin deformare, după aplicarea momenului încovoieor, ipoea secțiunilor plane verificaă experimenal penru puncele de pe conur se exinde la oae puncele din secțiune (secțiunile plane şi normale pe axa barei înaine de deformare, vor fi plane şi normale pe axa barei şi după deformare). De asemenea se admie că oae sarcinile aplicae sun conținue inr un plan principal cenral de inerție (planul x0). Din bara consideraă se deaşeaă un elemen de lungime dx (fig.7.b). Înaine de aplicarea momenului încovoieor, fibrele elemenului AD, BC, N, sun drepe şi paralele cu axa barei 0x. Secțiunile de la capeele elemenului (AB, CD), sun plane şi perpendiculare pe axa barei. După soliciare (se aplică momenul încovoieor ), bara se va deforma (fig.7..c), asfel încâ fibrele elemenului devin curbe, iar secțiunile AB şi CD se vor roi una față de cealală cu unghiul dϕ. În urma deformării numai unele fibre îşi vor păsra lungimea inițială. Acese fibre poară denumirea de fibre neure şi formeaă o suprafață neură. Suprafața se consideră plană şi se numeşe plan neuru. Când 0, fibrele superioare ale planului se scureaă, iar cele inferioare planului se lungesc. Linia de inersecție a planului neuru cu un plan longiudinal verical (x0), ce conține axa barei, poară numele de fibră neură, axa neură, sau fibra medie. Fig. 7. O fibră oarecare, N, siuaă la ordonaa de planul neuru, are înaine de deformare lungimea dx N OP r dϕ.

153 Din aceasă relație se defineşe roirea secțiunii: dϕ x ω d r. După deformarea barei, fibra N dx, va avea lungimea: dx + Δdx ă N ă (r+) dϕ, iar alungirea va fi: Δdx dϕ. Lungirea specifică reulă: ʹ ʹ Δ ds N N ds N ( r + ) dϕ r dϕ r dϕ r ε. (7.) Tensiunea normală σ, care ia naşere în secțiune, la ordonaa, (în drepul fibrei N), conform legii lui Hooke, va fi: σ ε E E. (7.) r Penru a obține relația dinre momenul încovoieor şi ensiunile produse pe suprafața secțiunii ransversale se scriu ecuațiile de echivalență. În aces ca paricular, când oae forțele elemenare σ da sun paralele înre ele şi normale pe suprafața secțiunii ransversale, acese ecuații sun : σ da 0, σ da 0, σ da. (7.) (A) (A) (A) Dacă se ține seama de expresia (7.) acesea devin : E da 0, da 0, da. (7.) (A) Din relațiile obținue se consaă urmăoarele : înrucâ: da 0, (A) axa neură rece prin cenrul de greuae al secțiunii ransversale, deoarece numai față de o axă cenrală momenul saic al unei suprafețe ese egal cu ero. Deci, originea sisem ului de referință coincide cu cenrul de greuae al secțiunii ransversale: Din: da 0, (A) reulă că axele O şi O rebuie să fie axe principale de inerție ale secțiunii ransversale: De la 5.: da, (A) ( A) r (A) ese momenul de inerție axial față de axa neură O, a înregii secțiuni ransversale. 5

154 Axele secțiunii (O şi O) recând prin cenrul de greuae şi O fiind axă de simerie, sun axe cenrale principale de inerție. Dacă se inerseceaă suprafața neură cu un plan normal se obține axa de încovoiere a secțiunii (axa O). Ținând seama de cele deduse mai sus, roirea secțiunii ese definiă de relația : r E ω. (7.5) Deci, roirea secțiunii ese egală cu curbura ( r ) şi ese direc proporțională cu momenul încovoieor şi invers proporțională cu rigidiaea la încovoiere (E ). Dacă în relația (7.5) se ține seama de relația (7.), expresia ensiunii normale devine: σ. (7.6) Aceasa ese formula lui L.. H. Navier şi araă că valoarea ensiunii normale la încovoiere ese o funcție liniară față de ordonaa puncului, raporaă la axa neură. Relația lui Navier exprimă o disribuție liniară a ensiunilor: ero în axa neură şi valori maxime şi minime în fibrele exreme (fig. 7.,c). Tensiunea maximă din secțiune ese : max max W σ. În formula (7.7) s a inrodus mărimea geomerică (vei 5.7): W, max care se numeşe modul de reisență axial. W σ şi Fig. 7. (7.7) (7.8) Deşi relația lui Navier a fos dedusă şi corespunde soliciării la încovoiere pură, se uilieaă şi la calculul ensiunilor normale la barele soliciae la încovoiere simplă. Dacă axa de încovoiere nu ese axă de simerie, aunci se deermină aâ ensiunea maximă de înindere câ şi cea maximă de compresiune: În relațiile de mai sus W şi W sun modulele de reisență definie de relațiile (7.9,b), (fig.7.). W şi σ W (7.9,a) W (7.9,b) 5

155 7.. Calculul de reisență la încovoiere Relațiile deduse mai sus se uilieaă penru reolvarea problemelor de reisența maerialelor: de verificare, de calculul capaciății de încărcare şi de dimensionare. Reolvarea acesor probleme se face respecând condiția de reisență σ max σ a. Relațiile penru calculul de reisență la încovoiere se deduc din relația (7.8) şi sun: de verificare: imax σ a W σ max, (7.0) icap de calculul capaciății de încărcare : W, (7.) W nec ef σ a de dimensionare : imax. σ a (7.) Relațiile (7.0), (7.) şi (7.) se aplică penru secțiunea cea mai soliciaă (secțiunea periculoasă). În caul barelor (grinilor) de secțiune consană, aceasa corespunde cu secțiunea în care momenul încovoieor ese maxim în valoare absoluă. La barele (grinile) cu variație de secțiune în repe, se deermină pe baa diagramei de momene încovoieoare, penru fiecare segmen, câe o secțiune periculoasă penru care se face apoi calculul de reisență. În secțiunea ransversală a barei po exisa concenraori de ensiune, care modifică disribuția liniară a ensiunilor după cum ese preena în figura 7.. În acese cauri relația (7.8) d ă numai valoarea ensiunii `nominale`σn, iar valoarea ensiunii maxime ese funcție şi de un coeficien de concenrare a ensiunilor α şi se calculeaă cu relația: k Fig. 7. σ max α i k σ n α k max (7.) Valorile coeficienților de concenrare a ensiunilor sun dae în manualele inginereşi. Valorile acesor coeficienți sun cu aâ mai mari cu câ disconinuiățile geomerice sun mai pronunțae. De efecul concenrării ensiunilor rebuie ținu seama cu precădere în caul maerialelor fragile. 5

156 7.. Forme raționale de secțiuni penru încovoiere O bară (grindă) reisă cu aâ mai bine, la soliciarea de încovoiere cu câ modulul de reisență axial W ese mai mare. Valoarea modulului de reisență axial depinde nu numai de mărimea secțiunii ci şi de forma ei. Forma secțiunii ese cu aâ mai rațională cu câ modulul de reisență are o valoare mai mare penru un consum de maerial câ mai mic. Alfel spus, o secțiune ese cu aâ mai rațională cu câ raporul dinre modulul de reisență axial şi aria secțiunii ese mai mare. În ab. 7. se dau valori ale acesui rapor penru câeva forme uuale de secțiuni. Tabelul 7. Forma secțiunii W 0,5 D 0,67 h 0,6 h 0, h A Din aces abel reulă că secțiunile profilelor laminae şi U, uiliae foare mul la consrucțiile mealice, sun mul mai raționale decâ secțiunile circulare şi drepunghiulare. În caul acesor profile secțiunea majoriaea maerialului se afl ă acolo unde ensiunile au valori mari (fig. 7.). Acese profile rebuiesc soliciae de momene încovoieoare ce au direcția axei principale, adică au şi (fig. 7.). În ca conrar (când momenul acționeaă după axa 0), înrucâ momenul de inerție (/0../0), capaciaea de reisenă la încovoiere a profilului ese minimă. ese rațional uiliaă înrucâ Fig. 7. Secțiunile circulare şi părae au module de reisenă axiale mai mici, deoarece se află mul maerial dispus în apropierea axei neure, unde ensiunile normale sun mici. Secțiunea circulară preină avanajul de a reisa la fel de bine în rapor cu orice axă cenrală şi de aceea ese uiliaă în special la arbori de maşini. În aces ca forele îsi mențin poiția în spațiu, în schimb se roeşe arborele, care rebuie să reise la fel în orice poiție. 5

157 În caul maerialelor care reisă mai bine la compresiune decâ la înindere (ex. fona) sun mai raționale acele secțiuni care nu preină simerie față de axa de încovoiere (exemplu secțiunea T, secțiunea rapeoidală fig. 7.5). Fig. 7.5 Bara confecționaă din maeriale fragile rebuie asfel aseaă încâ ensiunile cele mai mari rebuie să fie la compresiune şi nu la racțiune. În aces ca rebuie îndeplinie aâ condițiile de reisenă la racțiune câ şi cele la compresiune. i i σ σa ; σac σ. (7.) Z Făcând raporul acesor două relații se obțin dimensiunile opime ale secțiunii: σ σ a. ac (7.5) Aplicația 7.. Penru bara din figura 7.6, care poae fi realiaă în variane consrucive, oae de aceeasi greuae, se cere să se deermine sarcina capabilă ce o poae supora fiecare variană, dacă ensiunea admisibilă ese σa 50 Pa şi a 0 mm. Fig. 7.6 Reolvare: Penru cele rei cauri ariile secțiunilor sun egale, iar modulele de reisenă axiale au valorile: a a W, W, 6 W a 5a 5a a ( a) 77. Din condiția de reisență: a 0 55

158 i max p L W σa, 8 reulă valoarea forței penru cele rei variane consrucive: 8 a cap σa,8n / mm,8kn / m 6 L a cap σa 5,6N / mm 5,6kN / m L a cap σa 9,8N / mm 9,8kN / m. 0 L p p p Secțiunea corespunăoare varianei a reia reisă cel mai bine la soliciarea de încovoiere, variana ese de,85 ori mai reisenă decâ variana înâi. Deci alegând judicios forma secțiunii se po obține reduceri imporane de maerial. Aplicația 7.. Să se dimensionee o bară din fonă cu σ a 0 Pa şi σ ac 90 Pa, de lungime l 00 mm şi având secțiunea în formă de T, cu foră P kn, (fig.7.7). b 9, soliciaă de o Reolvare: În puncele şi respeciv ale secțiunii ensiunea maximă va rebui să fie cel mul egală cu ensiunea admisibilă de înindere şi respeciv cea de compresiune. Fig. 7.7 σ i i σa σ σ Ordonaele şi măsurae de la axa neură (axa care rece prin cenrul de greuae) reulă din expresiile: ac b h h σ σ σ σ + h h + b + h + h + b h + 9h ( b + h) a ( b + h) 8 ( b + h) + b h + h ( b + h) a ( b + h) 8 ( b + h) Din relația 7.5 se obține: a ac sau b b + b h + 9h + 8b h + 9h Din aceasă relație reulă: + b h + b b b + 8 b h + 9 h b 6 bh + 9h 0, cu soluția compaibilă cu problema: b h... 56

159 Cu aceasă soluție dimensiunile secț iunii, exprima e în funcție de grosimea, sun urmăoarele: b 9: h : :. omenul de inerție al secțiunii ese: () + () ( 9) iar modulele de reisen ă axiale sun: W nec şi + W + (9) Din condiția de reisenă la încovoiere ima σ max a,5mm Deci BARA REZSTĂ. 57 x W σa, se obține grosimea: Se adopă: 5 mm: b 05 mm: h 5 mm. Aplicația 7.. Să se verifice bara din figura 7.8, confecționaă din fonă, cu reisența admisibilă la racțiune σa 75 Pa şi reisența admisibilă la compresiune σac 0 Pa. Fig. 7.8 Reolvare: Poiția axei neure față de baa inferioară ese: g mm, iar: 0 9 mm omenul de inerție axial reulă: + 9 (,5,) (,9 ),67cm iar modulele de reisență axială sun:,67 W,,88cm,,,67 W,90cm., 9 Prin calculul de verificare (comparare a ensiunilor exreme din puncele () şi () cu ale ensiunilor admisibile), se obține: σ p l 800 max max,pa W 8W 8,88 0 max p l 800 max,0 W 8W 8,90 0 < σ σ Pa < σ a ac.

160 7.5. Tensiuni angențiale în secțiunile barelor (grinilor) soliciae la încovoiere simplă În secțiunea ransversală a unei bare (grindă), soliciaă la încovoiere simplă acționeaă eforurile: momen încovoieor şi forță ăieoare. Bara simplu reemaă, încărcaă cu forța ransversală P, (fig. 7.9,a), ese soliciaă la încovoiere simplă. Din aceasă bară se ioleaă un elemen de lungime dx (fig.7.9,b). În secțiunile ransversale iau naşere eforurile T, şi respeciv T şi +d. Se admie că secțiunea barei ese simerică față de axa O (fig. 7.9c) şi consană pe oaă lungimea L. Bara ese confecționaă dinr un maerial omogen şi iorop care saisface legea lui Hooke. Forța ăieoare ese dirijaă în lungul axei O. omenele încovoieoare şi + d vor produce în cele două secțiuni ensiunile normale σ, respeciv σ + dσ, disribuția acesora pe secțiune ese daă de relația lui Navier: i d σ, respeciv i + i + dσ şi ese preenaă în figura (7.9,d). σ, (7.6) 58 Fig. 7.9

161 Forța ăieoare T produce ensiuni angențiale. Repariarea acesora în secțiune nu se cunoaşe încă. Tensiunea angențială, în drepul puncelor de pe conur rebuie să fie angenă la conur. Dacă înr un punc de pe conur ensiunea angențială τ ar avea o direcție oarecare (fig. 7.9c), aunci acesa s ar descompune în două componene: una τx angenă la conur şi ala τxr normală la conur. Componenei τxr ar rebui să i corespundă, conform principiului dualiății ensiunilor angențiale, o ensiune τrx siuaă pe suprafața exerioară a barei şi orienaă în lungul barei. Înrucâ bara ese soliciaă la încovoiere simplă şi nu se aplică barei asfel de forțe de frecare, longiudinale, reulă că cele două componene τrx şi τxr (de pe suprafața exerioară şi din secțiunea ransversală) sun nule. Reulă că ensiunea angențială τ ese egală cu componena τx (τ τn), ceea ce înseamnă că în puncele din vecinăaea conurului exisă numai ensiuni angențiale angene la conur. Considerăm o linie BC paralelă cu axa de încovoiere O (siuaă la ordonaa de aceasa). Noăm cu A aria secțiunii ransversale de sub linia BC. Lungimea segmenului BC se noeaă cu b. În puncele B şi C ensiunile angențiale τ sun angene la conur şi po fi descompuse înr o componenă τx perpendiculară pe axa de încovoiere O şi o componenă τx paralelă cu axa de încovoiere. Conform ipoeei lui D.. Juravski se admie că valorile componenei τx sun egale în drepul uuror puncelor de pe linia BC. Se consideră un plan paralel cu axa barei, care conține segmenul BC b. Aces plan (BCC B ) inerseceaă elemenul dx după o suprafață drepunghiulară cu dimensiunile b şi dx. Pe parea de sub planul considera ( sub ordonaa ) acționeaă aâ ensiunile angențiale τx cauae de acțiunea forței ăieoare T, câ şi ensiunile normale σ şi σ+dσ cauae de acțiunea momenului încovoieor în sânga şi +d în dreapa. Ecuația de proiecții a eforurilor de pe elemenul de sub planul BCC B pe axa Ox, ese: ( σ + dσ) da σ da τ b dx A A x 0 şi ținând seama de relațiile (7.6), ecuația devine: + di i i da da + τx b dx 0, A A valoarea ensiunii angențiale ese: τ x b d dx i da A. 59

162 Ținând seama că d T ese forța ăieoare din secțiune şi dx da A momenul saic al suprafeței A, ( de sub linia BC) față de axa O, se obține: τ τ x τ x T S b relație cunoscuă sub numele de formula lui Juravski. sun nule penru că A 0., (7.7) Din formula lui Juravski reulă că, valoarea ensiunii angențiale dinr o anumiă secțiune ransversală depinde de valoarea raporului S/b, ceea ce înseamnă că τx ese o funcție de ordonaa. Pe marginea inferioară şi superioară a secțiunii acese ensiuni S ese 7.6. Variația ensiunilor angențiale la diferie secțiuni 60 a) Secțiunea drepunghiulară. În aces ca lățimea b ese consană pe înălțimea secțiunii. ărimile din formula lui Juravski au valorile: Fig. 7.0 b h ; h A ( ) b; h e ( + ); b h S A e ( ) b h S ( ). 8 h Înlocuind acese mărimi în relația (7.7), se obține: (7.8) b h T ( ) T S h T T τ 8 ( ) ( ) (7.9) b b h b h h A h b unde s a noa cu A b h aria secțiunii ransversale. Relația (7.9) araă că ensiunile angențiale variaă parabolic pe înălțimea secțiunii. Tensiunea angențială maximă reulă în drepul axei neure, penru 0 şi are valoarea:

163 T τ max. A (7.0) Deci, valoarea maximă a ensiunii angențiale, în caul forfecării barelor de secțiune drepunghiulară, ese cu 50% mai mare decâ valoarea obținuă prin calcul convențional la forfecare. (vei 7). b) Secțiune circulară. Se consideră o secțiune circulară de diameru d (fig 7.). Penru calculul momenului saic, se consideră un elemen de arie da, de lățime b şi înălțimea d, afla la ordonaa. Lățimea BC a secțiunii A ese: d b sin α d sin α, d iar ordonaa cos α, asfel că: d d sin α dα. Fig. 7. Aria elemenară reulă: d da b d S A sin α dα. omenul saic al secțunii A, de sub ordonaa va fi: da A α α Ținând seama că: π d d d cosα ( π d 6 sin d α) dα sin d ; ; sin α cos α, reulă valoarea ensiunii angențiale: d T sin α 6sin α T τ ( ). (7.) d d A d d sin α 6 Valoarea ensiunii angențiale maxime se obține ca şi penru secțiunea drepunghiulară penru 0 şi are valoarea: T τ. A α. (7.) Relația (7.) ne araă că ensiunile angențiale variaă o parabolic ca în caul secțiunii drepunghiulare. 6

164 Aplicația 7.. Să se rasee diagramele de variație a ensiunilor angențiale penru secțiunea din figura 7.. Fig. 7. Reolvare: ărimile geomerice ale secțiunii necesare sun: S 90 cm, A D S 0 B C S S 9 7 G B S S + 6, 6cm cm,. Uiliând relația (7.7) se deermină ensiunile angențiale τ x: A D τ τ 0, x x B B C T S τ x τx 9, Pa, b B Bi Ci T S τ x τx 8,99 Pa, b τ T S b i G G x i 9,70 Pa. Repreenarea acesor ensiuni ese daă în fig

165 7.7. Lunecarea longiudinală şi împiedicarea ei Se consideră două bare idenice suprapuse care au secțiunea ransversală drepunghiulară (fig 7.,a). Ansamblul forma din cele două bare simplu reemae la capee se încarcă cu o forță ransversală P. După cum barele sun imbinae sau nu (prin pene, niuri, şuruburi, ec) po să apară doua sări disince de ensiune: a) Barele nu sun imbinae, asfel că ele se deformeaă independen una față de cealală. Dacă forța de frecare, dinre cele două bare, ese mică şi se poae neglija, aunci cele două suprafețe în conac alunecă una față de cealală. Fenomenul se numeşe lunecare longiudinală şi ese caua de alungirea, prin încovoiere, a fibrelor de jos ale barei superioare şi scurarea fibrelor de sus ale barei inferioare. Considerând că cele două bare se deformeaă idenic, momenul încovoieor capabil al sisemelor de bare neîmbinae ese: cap σ a W b h. Fig. 7. b) Barele sun îmbinae, asfel că ele lucreaă ca o singură bară compusă soliciaă la încovoiere. În aces ca îmbinările împiedică lunecarea longiudinală (fig. 7.,c). Bara compusă rigidiaă ese mai reisenă decâ ansamblul celor două bare nerigidiae şi în aces ca momenul încovoieor capabil ese: 6

166 6 cap σ a W σ a ( h) b b h σa 6. Reulă că, prin uiliarea barelor suprapuse, ce au lunecarea longiudinală impiedicaă, se obțin bare mai reisene. În ehnică se uilieaă frecven bare compuse (cu inima plină, realiae prin sudură, niuire, ec.). În funcție de mărimea momenului încovoieor, penru consrucțiile mealice se adopă, de obicei, urmăoarele soluții: se uilieaă profile laminae penru momene încovoieoare relaiv mici ( sau[] ); se uilieaă bare compuse din plabeni şi profile laminae penru valori inermediare ale momenului încovoieor (fig.7.,a); se uilieaă grini cu ăbrele penru momene încovoieoare foare mari (fig.7.,b). Fig. 7. Calculul barelor cu secțiuni ransversale compuse presupune reolvarea a două probleme de reisență: a) Dimensionarea secțiunii barei numai la încovoiere pură, asfel ca bara compusă să reise la momenul încovoieor maxim (de obicei se adopă forma şi dimensiunile secțiunii ransversale şi apoi se verifică). b) Dimensionarea îmbinării dinre elemenele compuse, asfel încâ să se asigure reisența îmbinărilor la lunecare longiudinală. Penru a face calculul de reisență al elemenelor de îmbinare se consideră bara compusă din două elemene idenice (fig.7.). Lunecarea relaivă a celor două elemene suprapuse, în planul AB, ese daoraă ensiunilor angențiale, ce apar în aces plan. Forța produsă de ensiunile angențiale τx, pe o disanță elemenară dx, numiă forța de lunecare elemenară ese: dn τx b dx, L unde: τx reulă din relația lui Juravski (7.7), iar b ese lățimea barei în planul de lunecare. dn N L L Înlocuind valoarea lui T S b T S b dx τx se obține: dx. Pe o lungime L de bară, forța de lunecare ese: dnl L L T S dx. (7.)

167 N Dacă bara are secțiunea consană: S L T dx T Ω, L unde: Ω dx L S T, ese suprafața diagramei forței ăieoare de pe lungimea L. Penru orice secțiune compusă din mai mule elemene se pune odeauna problema lunecării longiudinale şi a împiedicării ei. Fig. 7.5 La barele din lemn împiedicarea lunecării longiudinale se poae realia prin pene ransversale (fig.7.,c) sau prin încleiere. La barele mealice se po realia secțiuni compuse împiedicând lunecarea longiudinală prin niuire, sudură sau prin şuruburi (fig. 7.5). 7.8 Forfecarea în piesele cu secțiunea mică Acțiunea simulană a două forțe egale şi de sens conrar, perpendiculare pe axa barei, asemenea lamelor unei foarfece (fig.7.6,a), soliciă bara la forfecare sau ăiere. Asemenea soliciări au loc în niuri, capse, şifuri, suduri de colț, precum si în caurile de ăiere, şanțare ec. Sarea de ensiune generaă de acțiunea forțelor ca în figura (7.6,a) ese desul de complicaă, înrucâ soliciarea de forfecare ese însoțiă de înindere, compresiune şi încovoiere. Calculul exac, în aces ca, ese desul de laborios şi nu ese analia în cursul de Reisența maerialelor. De aceea, în pracica inginerească, penru piesele de cu secțiune îngusă (h mic), când disanța e, dinre liniile de acțiune a celor două forțe, ce produc forfecarea, ese mică, celălale soliciări se neglijeaă. În aces ca asupra 65

168 secțiunii se consideră că acționeaă numai efecul forței ăieoare planul secț iunii. τ da τ da τ A T F, conținuă în Sub acțiunea forței ăieoare se produc ensiuni angențiale τ şi deformații unghiulare γ (lunecări). În caul pieselor de secțiune mică se admie ipoea de repariție uniformă a ensiunilor angențiale pe secțiunea ransversală. În baa acesei ipoee, din ecuația de echilibru penru forța din sânga a barei (fig. 7.6,b şi c), se deduce: T, A din care reulă relația; T τ, A A ce se uilieaă, în condiția τ τ, în calculul de reisență al secțiunilor înguse. τa (0,5...0,8) σa, τas 0,65 σ. a. τr 0,85 σ. r a (7.) Când secțiunea nu mai poae fi consideraă îngusă, ensiunea angențială nu poae fi consideraă consană şi deci relația (7.) nu poae fi uiliaă. Caul va fi sudia ulerior la încovoierea simplă (vei 9.5). Reisența admisibilă la forfecare penru niuri, şifuri, pene, buloane, ec. se ia: iar penru sudurile de colț: (7.5,a) (7.5,b) În Anexa se dau valorile penru reisențele admisibile la forfecare la maerialele cele mai uiliae. În caul şanțării se consideră: (7.5,c) Aplicația 7.5. Să se calculee forța necesară penru şanțarea unei găuri circulare, d 5 mm, înr o piesă din ablă având grosimea mm, din oțel cu τ r 0,85 σr max 0, ,5Pa, A d π 5 π 565,5 mm T τ A 58,5 565,5 6 0 N. r Se adopă: P0 kn., σ r 50 Pa. În caul soliciării la forfecare deformațiile şi deplasările produse de soliciare nu preină ineres pracic. Dacă ensiunea maximă nu depăşeşe limia de proporționaliae şi deformațiile sun mici (γ gγ), deplasarea a (fig.7.6,b) reulă: τ T e a e γ e, (7.6) G G A 66

169 unde G ese modulul de elasiciae ransversal, iar produsul G A ese rigidiaea la forfecare. 7.9 Calculul de reisență al îmbinărilor Calculul de reisență al îmbinărilor, se face din condiția ca reisența elemenelor de îmbinare să fie mai mare sau cel mul egală cu forța de lunecare longiudinală R [ N L, asfel: a) Penru îmbinări cu pene ransversale (fig.7.,c): τ b c, a N Le (7.7) unde s a noa cu: τa ensiunea admisibilă penru maerialul penelor; c lățimea penelor uiliae la îmbinarea barelor; b lățimea barei în secțiunea de lunecare; NLe forța de lunecare longiudinală corespunaoare disanței e dinre două pene. Din relația de sus se calculeaă pasul e, la care se vor mona penele (dacă au fos alese în prealabil dimensiunile acesora, sau lățimea penelor dacă s a ales pasul e, în prealabil, cu ajuorul relației: τ a S e T dx b. e (7.8) b) Penru caul îmbinărilor cu şuruburi sau niuri (fig.7.,a) relația (7.7) devine: π d S n τa i T dx, (7.9) L relație din care se obține diamerul d (diamerul inerior al şuruburilor sau diamerul niurilor dacă s a ales pasul) sau se obține pasul la care se vor mona şuruburile, respeciv niurile dacă se alege în prealabil diamerul (n, ese numărul de niuri din secțiunea consideraă, iar i ese numărul de planuri de forfecare penru niuri sau şuruburi). c) Penru îmbinari sudae, relația de calcul ese: τ a S a L T dx i, (7.0) L unde: a ese grosimea sudurii; τas ese ensiunea admisibilă penru cordonul de sudură; 67

170 i numarul de cordoane de sudură din secțiunea consideraă. Grosimea cordonului de sudură va fi: τ as S T dx L a. (7.) L Penru caul în care grosimea cordonului de sudură reulă mul mai mic decâ grosimea sudurii sandardiae (care ese în funcție de grosimea minimă a plabandelor de suda) se adopă sudura pe porțiuni (fig.7.5.c) şi relația (7.7) devine: τ as a L s S T dx e În aceasă relație se înlocuieşe a cu grosimea sudurii sandardiae şi se obține lungimea sudurii necesare Lsnec. Pasul e la care se execuă: la lungimea sudurii calculaă Lsnec, se adaugă de două ori grosimea sudurii, deoarece începuul şi sfârşiul sudurii nu au aceleaşi caracerisici mecanice ca cele eoreice luae în calcul. L s Ls, nec + a.. (7.) Aplicația 7.5. Să se deermine sarcina maximă care poae să o supore bara din fig.7.7, ținând seama numai de soliciarea de încovoiere dacă σ a 50 Pa şi să se dimensionee sudura dacă τas00 Pa. Reolvare: omenul de inerție axial ese: 0 8 7, cm Fig. 7.7 omenul saic al unei ălpi care poae luneca va fi: S 0 80cm. Sarcina capabilă ese: 8W σ L a q cap iar modulul de reisență axial: W W max N 77 mm. 895cm Se adopă: q700 kn/m. Penru calculul îmbinării sudae se aplică relația (7.7) şi se obține: 68

171 a S π τ as L L S dx τ ,mm; T L as L 0 L S q x dx τ as q L 8 Deoarece grosimea cusăurii a, reieşiă din calcul ese mul mai mică decâ cea corespunaoare din STAS (a0 mm) se adopă a 0 mm şi pasul e 50 mm şi se face calculul penru sudura pe porțiuni (relația 7.0): S τas a Ls T dx, τ as a L s S e q L iar lungimea sudurii va fi: S τ L q 8 L, Lsnec 9 as 579,8mm. Se adopă sudura pe porțiuni cu pasul e 50 mm şi lungimea cusăurii Ls Lsnec + a 600 mm (fig.7.7). Aplicația 7.6. Să se rasee diagramele de variație a ensiunilor în secțiunea periculoasă penru bara din figura 7.8 şi să se dimensionee sudura şiind că τas 80 Pa. Reolvare: arimile geomerice ale secțiunii sun: 6 9,6 5, 8 W,7cm,,8 cm, S 0, max S S 6 08,,, cm, S S + 0, 6 5, 9 cm. G 69

172 70 Fig. 7.8 Tensiunile penru secțiunea din încasrare sun: i,max 0 50 σ max 5,8Pa, W,7 0 i,max 0 50 σ 0,Pa, 0 τ x τ 0; T S b 0, x,98pa; T S 0, 0 τ x 9,85Pa, b 6 0 T S G 0 5,9 0 τ Gx 8,9Pa, b 6 0 iar variația lor ese redaă în figura (7.8,b). Dimensionarea sudurii se face cu relația (7.0) şi se obine: S T S 0 0, T dx,9mm τ L τ a as l as a 6mm Deoarece grosimea sudurii ese mul mai mică decâ cea sandardiaă ( ), se dimensioneaă sudura pe porțiuni alegând pasul e L/ 5 mm, cu relația (7.): S τas a Ls T dx e

173 sau S Ω, Te Lsnec τas a,mm Se adopă Ls Lsnec+ a mm. Deci, penru bara daă se fac două cusăuri la capee de Ls mm. 7.0 Bare de egală reisență soliciae la încovoiere simplă În general barele se dimensioneaă la încovoiere pe baa momenului încovoieor maxim, uiliându se bare prismaice (de secțiune consană pe oaă lungimea barei). Folosirea barelor prismaice (de secțiune consană pe oaă lungimea barei), se recomandă penru încărcări complicae, cu mule sarcini penru care reulă o diagramă de momene cu mai mule valori exreme ce nu diferă mul înre ele. Dimensionarea rațională a barelor soliciae la încovoiere se face asfel ca ensiunea maximă din orice secțiune a barei să fie egală cu reisțența admisibilă. Asfel de bare poară denumirea de bare de egală reisență la încovoiere. ai jos se analieaă două exemple de asemenea bare Bare cu secțiunea circulară Se consideră o bară simplu reemaă soliciaă de o forță concenraă P (fig.7.9,a). omenul încovoieor variaă liniar având valoarea maximă în drepul forței concenrae (fig.7.9,b), iar înr o secțiune oarecare ese da de relația: P b x. L Din condiția de egală reisență la încovoiere: σ max σ a, W reulă: W i nec, σ a sau ținând seama de secțiunea circulară şi de expresia momenului: d P b x π σ L, a (7.) 7

174 ceea ce ne dă legea de variație a diamerului în lungul barei, care ese o variație după o curbă de gradul rei (fig.7.9.c) şi care are diamerul maxim: d P a b max (7.) π σa L În pracică nu po fi realiae asfel de bare (arbori) în condiții de eficiență şi ca aare se adopă soluția barei cu mai mule ronsoane, de diamere diferie (fig.7.9,d). Penru calculul diamerelor minime necesare la capeele barei (care din legea de variație ar fi ero), se dimensioneaă la forfecare: A nec T τ, de unde reulă: d şi d nec nec a 6 P b π τ L, a (7.5,a) 6 P a π τ L. (7.5,b) Fig. 7.9 Penru ale moduri de încărcare, legea de variație a diamerului barei ese daă de relația: π d sau: d σ i, a π σ. i (7.6) a a Bare de secțiune drepunghiulară Barele de secțiune drepunghiulară de egală reisență la încovoiere se execuă menținând consană una din dimensiunile secțiunii. 7

175 Se consideră o bară în consolă încărcaă cu o sarcină P (fig.7.0,a). omenul încovoieor înr o secțiune oarecare la abscisa x ese: P x. odulul de reisență al secțiunii drepunghiulare ese: W b h. 6 Punând condiția de egală reisență penru orice secțiune x: b h. σ i max σ a, se obține: i W 6 σa A nec Fig. 7.0 Dacă se menține consană lățimea b, aunci înălțimea h, a secțiunii reulă din relația: P x h. b σ a Deci, în aces (7.7) ca bara rebuie sa aibă înălțimea după o variație parabolică (fig.7.0.b). Dacă se menține consană înălțimea h, reulă: 6 P x b h σ a, (7.8) iar bara rebuie să aibă lățimea variabilă liniar (formă riunghiulară, fig.7.0,c). În pracică, o asfel de bară se realieaă din fâşii de lățime b0 care se pun una pese ala, reulând bara cunoscuă sub numele de arcul în foi. Lățimea bo se calculeaă din condiția de reisență la forfecare a capăului barei: T τ sau a b 0 T τ h. a 7

176 7.. Înrebări es. Ce ese încovoierea?. Ce ese încovoierea pură? Dar încovoierea simplă?. Ce ese încovoierea plană? Dar încovoierea oblică, respeciv srâmbă?. Ce ensiuni se produc la încovoierea pură plană? Dar la cea simplă plană? 5. Ce ese suprafața neură? Dar axa neură? Dar fibra medie? 6. Unde apare ensiunea maximă σ la o bară încovoiaă? 7. Cum variaă ensiunea τ la forfecarea pieselor de grosime mică? 8. De ce se măreşe numărul de niuri calculae cu 0%? 9. Scrieți şi explicați relația lui Navier. 0. Scrieți şi explicați relația lui Jurawski.. Care sun secțiunile raționale la grinile încovoiae?. Ce ese lunecarea longiudinală?. Ce ese o grindă de egală reisență? Ce caracerisici are?. Ce ese arcul în foi? Care ese modelul lui fiic? 5. Trasați diagrama de variație a ensiunilor σ pe înălțimea unei grini supusă la încovoiere plană pură. 7

177 7.. Probleme propuse. Să se dimensionee grinda din fig. 7. şiind că ese confecționaă dinr un profil (σa50 Pa).. Să se deermine sarcina capabilă p, ce o poae supora grinda din fig. 7., şiind că ese confecționaă din două profile U0 (σa50 Pa). Fig. 7. Fig. 7.. Să se dimensionee grinda din fig. 7. şiind că se cunosc: p8 kn/m, a50 mm şi σa50 Pa.. Să se verifice grinda din fig. 7. şiind că ese confecționaă dinr un profil 0 (σa50 Pa). Fig. 7. Fig Să se dimensionee grinda din fig. 7.5 dacă aceasa ese confecționaă din oțel cu σa50 Pa. 6. Să se deremine sarcina capabilă să o supore grinda din fig. 7.6 dacă se cunoaşe fapul că a50 mm şi σa50 Pa. Fig. 7.5 Fig

178 7. Să se verifice grinda preenaă în fig. 7.7, şiind că σa50 Pa. Fig. 7.7 Fig Grinda din fig. 7.8 ese confecționaă din două profile U0. Cele două profile po fi aşeae în cele două variane a) şi b). Se cere să se deermine sarcina capabilă să o supore grinda penru fiecare din cele două variane consrucive, şiind că σ a50 Pa.. să se preciee care din cele două variane ese mai eficienă. 9. O grindă de lungime l m încărcaă cu o sarcină uniform disribuiă p5 knm ese suspendaă cu akuorul a două cabluri de o bara orională a unui uilaj de ridicare (fig. 7.9). Se cere să se deermine disanța x de la capeele grinii la puncele de legare a cablurilor, asfel încâ ensiunea maximă din grinda confecționaă din profil 0 să aibă o valoare minimă. Penru aceasă valoare a lui x, să se deermine ensiunea maxim ă din grindă. 0. O grindă confecționaă din profil 0 ese suspendaă prin inermediul unul cablu (fig. 7.0). Capeele cablului sun prinse la o disanță a0,07l de capeele grinii. Şiind că p5 knm şi l m se cere să se deermină ensiunile corespunăoare puncelor A şi B. Să se compare reulaele obținue cu valoare ensiunilor maxime de la problema anerioară. Fig. 7.9 Fig O grindă confecționaă din profil 0 ese încasraă la un capă şi liberă la celăla şi soliciaă de o sarcină conținuă în planul verical, P kn (fig. 7.). Se cere să se deermine valoarea maximă a ensiunii ce apare în aceasă grindă.. Un sâlp realia din profil 0 ese solicia de o frță P00 kn, aplicaă conform fig. 7.. Se cere să se verifice aces sâlp, şiind că σ a50 Pa. 76

179 Fig. 7. Fig. 7. Fig. 7.. Să se dimensionee sâlpul de înălțime mică din fig. 7., şiind că ese confecționa din fonă cu σa0 Pa, σac00 Pa. De asemenea se cunosc: P0 kn, P5 kn şi a,5b.. Grinda preenaă în fig. 7. ese confecționaă din profil L 0x0x şi ese solociaă de o sarcină P ce acționeaă în plan verical. Şiind că σa50 Pa şi τa0,8σa. Se cere să se deermine din condiția de reisență valoarea sarcinii P aunci când aceasa ese aplicaă în puncul respeciv în puncul. Fig Să se dimensionee grinda din fig. 7.5 şiind că ese confecționaă dinr un maerial cu σa80 Pa, iar valoarea sarcinii P ese de 5 kn. 6. Grinda din fig. 7.6 ese confecționaă din fonă (σa0 Pa, σac00 Pa) şi ese soliciaă de o forță P5 kn. Să se dimensionee grinda şiind că a500 mm. Fig. 7.5 Fig Grinda din fig. 7.7 ese confecționaă din două profile L 60x60x0. Cunoscând fapul că maerialul din care ese confecționaă grinda are σa50 Pa, iar sarcina care o soliciă ese p0 kn/m, se cere să se deermine lungimea maximă a grinii, asfel încâ ensiunea din grindă să nu depăşească valoarea admisibila. 77

180 8. Grinda în consolă din fig. 7.8 ese confecționaă din fonă cu σ a0 Pa, σac00 Pa. Cunoscând lungimea grinii L m, se cere să se deermine sarcina capabilă să o supore aceasă grindă. Fig. 7.7 Fig O grindă în consolă de lungime L500 mm ese soliciaă de o forță P0 kn. Grinda ese confecționaă din plabeni ce sun asamblae înre ele cu niuri şi corniere L 00x00x ca în fig Se cere să se deermine diamerul niurilor uiliae precum şi pasul de niuire penru plabenile inerioare şi exerioare. 0. Să se dimensionee sudura necesară realiării grinii din figura 7.0, şiind că P0 kn şi τas95 Pa. Cordonul de sudură rebuie să se realiee în sudură disconinuă cu pasul e650 mm pe porțiunea şi pascu e550 mm pe porțiunea. Fig. 7.9 Fig Să se verifice pisonul din fig. 7. şiind că în cilindru ese o presiune pi5 Pa. Se cunosc dimensiunile pieselor componene: D0 mm, d mm, d6 mm şi h mm, precum şi ensiunea admisibilă la srivire τ as60 Pa şi ensiunea admisibilă la forfecare τf50 Pa.. Unui ub de oțel având urmăoarele dimensiuni: D00 mm, h0 mm, L500 mm îi sun sudae la capee două plăci rigide, conform fig. 7.. La unul din capee ubul are muchia prelucraă la 5. Se cere să se deermine valoarea maximă a scăderii de emperaură la care poae fi supus ansamblul, asfel încâ cordoanele de sudură să nu se rupă. Se cunosc reisența la forfecare a sudurii τ as80 Pa şi coeficienul de dilaare ermică a oțelului α OL,5x0 6 grad. 78

181 Fig. 7. Fig. 7.. Două palbeni având lățimea h0 mm şi grosimea g5 mm sun sudae cap la cap prinr un cordon de sudură în rei variane (fig. 7.). Cunoscând ensiunile admisibile ale cordonului de sudură (σas70 Pa, τas55 Pa)precum şi forța care soliciă cele două plabeni (P5 kn), se cere să se deermină ensiunile ce apar în cordonul de sudură în fiecare di cele rei cauri. Să se preciee care variana ese mai eficienă. Fig. 7.. Să se deermine momenul de orsiune capabil să l supore ansamblul din fig. 7. şiind că şiful ce leagă buucul roții de arbore ese confecționa dinr un maerial cu reisența admisibilă la forfecare τa80 Pa. 5. Discul de grosime 0 mm ese suda de un arbore cu diamerul D80 mm. Se cere să se deermine momenul de frânare maxim ce poae fi ransmis de la disc la arbore şiind că sudura are reisența admissibilă τas70 Pa. Fig. 7. Fig

182 6. Să se deermine forța necesară şanțării unui disc cu diamerul D00 mm realia dinr o ablă grosimea g mm, dacă se cunoaşe că maerialul ablei are τ r0 Pa. 80

183 8. SOLCTĂR COPUSE 8.. Noțiuni inroducive Până acum s au sudia soliciările simple ale (ER). În pracica inginerească sun frecvene caurile când sun preene simulan două sau mai mule soliciări simple. Preența simulană în secțiunea unui elemen de reisență a două sau mai mulor eforuri produce o soliciare compusă. În caul soliciărilor compuse fiecare efor va produce în secțiune câe o ensiune, respeciv deformație, mărimi ce se po calcula cu formulele învațae la soliciările simple. Se pune însă problema însumării acesor ensiuni respeciv deformații şi sabilirii penru acese cauri, a sării limiă. În decursul impului, reisența maerialelor s a srădui să dea un răspuns la aceasă înrebare care să poaă fi confirmaă de pracică. Aces răspuns nu ese univoc şi aceasa se va vedea în coninuare. 8.. Sarea limiă La puncul., s a arăa că ipoeele reisenței maerialelor sun aproximări necesare penru a puea cuprinde fenomenul fiic complex în relații maemaice simple. De mule ori se depăşeşe limia de proporționaliae, uneori de elasiciae şi chiar, în anumie cauri, cea de curgere producându se deformații permanene (neelasice respeciv nereversibile). Se ajunge asfel în siuația când se spune despre ER că nu reisă. Fapul că nu reisă nu implică nicidecum că ER se rupe ci depăşirea unei sări limiă. Se spune că un ER a ains sarea limiă când acesa nu mai îndeplineşe condițiile ehnice impuse de exploaarea normală, adică funcționarea acesuia devine imposibilă. Sările limiă se po clasifica în două grupe: sări limiă de epuiare oală a capaciății porane, care se poae caraceria prin: 8

184 a) ruperea ER; b) aingerea limiei de curgere pe înreaga secțiune a ER; c) apariția fenomenului de insabiliae elasică (flambaj). sări limiă de cedare funcțională, care se caracerieaă prin: a) apariția unor deformații elasice sau neelasice mai mari decâ cele permise; b) apariția unor vibrații inadmisibile. Buna funcționare a ER ese compromisă de exisența oricăreia din sările limiă de mai sus. Ruperea se produce, în general la maerialele fragile şi ese cea mai gravă. La maerialele ducile se produc mai înâi, deformații plasice mari, ce se po observa şi se po lua măsuri de eviarea lor. La fel de periculoasă ese şi insabiliaea elasică a (ER). şi a doua sare limia ese inaccesibilă deoarece face imposibilă funcționarea. 8.. Tensiunea echivalenă Verdicul da de ingineri că un ER nu reisă, înseamnă că s a depăşi o anumiă sare limiă. În cele ce urmeaă prin sare limiă se va considera aingerea unei caracerisici mecanice sau elasice a maerialului până la care se consideră îndeplinie ipoeele de baă ale reisenței maerialelor, respeciv sun aplicabile relațiile din eoria elasiciății. Prin aceasa se resrânge noțiunea de sare limiă la domeniul liniar elasic. Penru a se deermina sarea limiă se consideră cinci crierii:. ensiunea normală maximă;.. V. alungirea specifică maximă; ensiunea angențială maximă; energia specifică oală de deformație maximă; 8 V. energia specifică de schimbarea formei maximă. Acese cinci crierii s au impus din două moive: a) Prin încercări la înindere compresiune se po deermina valorile caracerisicilor mecanice corespunăoare sării limiă ce nu rebuie depăşie; b) Înre ensiunea limiă deerminaă la înindere sau compresiune (ce nu rebuie depăşiă) şi cele cinci crierii, prin care se deermină sarea limiă, se po sabili relații simple. Dacă considerăm limia de proporionaliae drep sare limiă, celelale crierii de sare limiă se po scrie funcție de σ p :

185 σp σp σp + ν σ max σ p ; ε p ; τ p ; Up ; Ufp σp (8.) E E E Sarea spațială de ensiune dinr un punc al ER poae fi echivalaă, prin ipoeă, cu o sare monoaxială de ensiune. Echivalarea se face uiliând un crieriu din cele cinci. Aces lucru poae fi sineia prin figura de mai jos: Fig. 8. Dacă se cunoase sarea limiă la soliciarea de înindere sau compresiune se po enunța cele cinci eorii de reisență clasice prin care se sabilesc condițiile în care se ainge sarea limiă înr un punc al unui elemen de reisență solicia spațial. Verificarea sării limiă se face deerminând, penru o sare de ensiune criică dinr un punc, pe baa ipoeei de reisență admisă, a unei ensiuni convenționale, numiă ensiune echivalenă, care rebuie să saisfacă relația: σ. (8.) ech σ L negaliaea aceasa poae fi scrisă la limiă şi sub forma de egaliae: σ c L σ ech, unde: c > ese coeficienul de siguranță corespunăor. Înrucâ ensiunea echivalenă ese funcție de sarea de ensiune dinr un punc al ER, iar sarea limiă depinde prin coeficienul de siguranță de sarea reală de ensiune (σ, σ, σ) reulă că sarea limiă se poae exprima prinr o funcie: S(σ, σ, σ) 0 (8.) ce repreină o suprafață în sisemul de axe (σ, σ, σ). Asfel, sarea de ensiune dinrun punc al ER se poae repreena prinr un punc în sisemul (Oσ, σ, σ). Coordonaele puncului sun, în aces ca ensiunile σ, σ şi σ adică ensiunile principale din puncul respeciv al ER. Dacă puncul P(σ, σ, σ) se află în ineriorul suprafeței (8.), respeciv sarea de ensiune ese inferioară sării limiă, se spune ca ER reisă, iar dacă ese siua în exeriorul suprafeței (8.) ese o sare de ensiune periculoasă (nu reisă). (8.) 8

186 8.. Teoriile clasice de reisență În funcție de cei cinci parameri aleşi penru aingerea sării limiă avem cinci eorii (ipoee) de reisență Teoria ensiunii normale maxime Formulaă inițial de Galileo Galilei şi reformulaă de Rankine. Se ainge sarea limiă înr un punc al unui ER aunci când ensiunea normală maximă din acel punc ajunge să fie egală cu ensiunea normală limiă de la sarea de înindere sau compresiune simplă a maerialului ER respeciv. σ σ σ Lc Lc Lc Fig. 8. Aceasă eorie se poae exprima şi prin relațiile: σ σ σ σ σ σ L L L,,. care se po repreena prinr un cub penru sarea spațială (fig.8.,a) sau un păra penru sarea plană de ensiune (fig.8.,b). Dacă σ L σ Lc (respeciv al păraului). (8.5), originea sisemului ale axe nu se află în cenrul cubului Aceasă eorie nu corespunde comple realiății deoarece penru sarea de compresiune ridimensională ( σ σ σ ), penru care corpul nu poae fi disrus, rebuie să reule σ Lc. σl De asemenea, în caul forfecării, penru care ensiunea limiă ese corespunde puncului K, din ineriorul păraului şi nu puncului B, care ese limia conform acesei eorii. τl σ L /, ce 8

187 Daoriă acesor neconcordanțe, eoria ensiunilor normale maxime poae fi folosiă, cu precauție, numai penru sări de ensiune la care ruperea se face prin smulgere (ese o eorie de smulgere). Penru sarea de ensiune cea mai defavorabilă dinr un punc al ER, ensiunea echivalenă, conform eoriei ensiunii normale maxime, ese: { σ ; σ σ } σl σ. (8.6) ech max ; 8... Teoria alungirii specifice maxime Aceasă eorie a fos emisă de Barré de Sain Venan. Conform acesei eorii se consideră că disrugerea elemenului de reisența ese cauaă de lungirile specifice maxime. Înr un punc al unui ER se ainge sarea limiă când alungirea specifică maximă εmax, din acel punc, ajunge să fie egală cu valoarea alungirii specifice limiă de la înindere sau compresiune simplă. σl ε max εl, E sau exprimând prin ensiuni: σ σ σ LC LC LC σ σ σ ν ( σ ν ( σ ν ( σ + σ + σ ) σ + σ ) σ ) σ L L L,,. (8.7) Fig. 8. Relațiile (8.7) exprimă suprafața limiă care ese în aces ca, un paralelipiped înclina (fig.8.,a). Penru sarea plană de ensiune se obține rombul din figura (8.,b), ce reulă din secționarea paralelipipedului cu planul σ 0. Unghiul α, cu care sun înclinae laurile rombului, de la eoria a a față de păraul ce repreină prima eorie ese da de relația: arcg(ν) Aceasă eorie are aproape aceleaşi deficiențe ca şi prima. De aceea se poae aplica, cu bune reulae la maeriale casane, ca o ipoeă de smulgere. 85

188 Tensiunea echivalenă, în aces ca penru sarea spațială se exprimă prin relația: σ ν ( σ + σ ) σ ech max σl (8.8) σ ν ( σ + σ ) 8... Teoria ensiunii angențiale maxime A fos formulaă de Coulomb şi conform acese eorii sarea limiă apare prin lunecări în planul în care acționeaă ensiunea angențială maximă. Sub forma acuală a fos reformulaă de Tresca. Conform acesei eorii sarea limiă înr un punc al unui ER se ainge aunci când ensiunea angențială maximă ajunge sa fie egală cu valoarea ensiunii angențiale (τl) de la soliciarea de înindere sau compresiune simplă. Aceasa eorie se poae exprima prin: σl τ, max condiție ce ese îndepliniă de: τ τ τ, τ τ L L L τ τ τ τ L L L,. Ținând seama că σ σ σ σ τ ± ; τ ± şi se obține: σ σ σ σ L L L σ σ σ σ σ σ σ σ L L L,,. angențiale sun nule (fig.8..a) şi nu se produc lunecări. Conform acesei ipoee, în acese cauri, nu se ainge sarea limiă şi ER nu ese disrus. Concluia ese adevaraă numai penru compresiune uniformă riaxială, dar nu corespunde cu realiaea penru îninderea uniformă riaxială. 86 τ σ ± σ Relațiile (8.9) repreină, penru semnul egal înre ensiuni, o prismă hexagonală regulaă deschisă la capee. Axa prismei ese risecoarea σ σ σ Suprafața reulă deschisă la ambele capee deoarece aâ penru compresiune riaxială σ σ σ câ şi penru înindere riaxială σ σ σ, ensiunile σl σl (8.9)

189 Sarea plană, ce ese o secțiune cu planul σ 0 (fig. 8.) ese repreenaă prinr un hexagon neregula AEFCGH (fig.8.,b) şi corespunde, penru eoria şi diferă de aceasa penru σ σ < 0 σ σ > 0 cu. În caul forfecării pure, când σ σ τmax, ese repreenaă de puncul K de coordonae σ L σl şi. Fig. 8. Aceasă eorie a fos verificaă experimenal şi s a consaa că ea corespunde cu realiaea cu excepția sării de ensiune apropiaă de înindere riaxială, când daoriă fapului ca ensiunile angențiale sun mici, nu se produc lunecări. Nici eoria a a nu ese perfecă penru că: a) nu ține seama de influența ensiunii normale în planul de lunecare; b) nu ține seama de reisența diferiă a maerialelor la înindere şi compresiune; c) neglijeaă efecul ensiunii inermediare (în calcul se iau numai două ensiuni principale). Condiția de reisență penru aceasă eorie, se exprimă prin relația: σ σ σ σ σ σ σ σ. {( );( );( } L ech max ) ech Dacă se ține seama că σ > σ > σ, condiția de reisență devine: σ σ σ σ, L şi deci ese independenă de valoarea ensiunii normale inermediare σ. (8.0) 87

190 8... Teoria energiei oale de deformație Aceasa eorie a fos formulaă de Haigh şi se enunță asfel: înr un punc al unui ER se ainge sarea limiă aunci când energia de deformație specifică ajunge sa fie egală cu valoarea energiei de deformație specifică corespunaoare soliciării de înindere sau compresiune simplă, adică: U U L. inegaliaea: Exprimând acese energii de deformație, în funcie de ensiuni, se obține σl ( σ + σ + σ ν ( σ σ + σ σ + σ σ) Ε Ε, sau simplificând prin (E) reulă: σ + σ + σ ν ( σ σ + σ σ + σ σ σ, (8.) ) relație ce exprimă un elipsoid. Fig. 8.5 ech σ + σ + σ ν ( σ σ + σ σ + σ σ) L Penru sarea plană de ensiune se repreină prinr o elipsă ce rece prin puncele EFGH (fig.8.5). Aceasă eorie de reisență ese de smulgere. Ese uiliaă numai penru sări de ensiune apropiae de sarea riaxială de înindere: σ + σ + σ > 0 Tensiunea echivalenă, în aces ca, se exprimă cu relația: σ σ (8.) L Teoria energiei specifice de variație a formei A fos formulaă de care Huber Henck ises şi ia în considerare numai energia specifică de variație a formei. Conform acesei eorii, înr un punc al unui ER se ainge sarea limiă când energia de deformație specifică de schimbare a formei, din acel punc, ajunge sa fie egală cu energia specifică de schimbare a formei corespunăoare sării limiă de la soliciarea de înindere sau compresiune simplă. U, f UfL sau, exprimând în funcție de ensiuni se obține: 88

191 + ν 6Ε + ν [( σ σ ) + ( σ σ ) + ( σ σ ) ] σ iar după simplificări se obține: + σ + σ σ σ σ σ σ σ σl σ. (8.) Ε L, Fig. 8.6 Relația (8.5) repreină un cilindru deschis la ambele capee, având ca axă bisecoarea σ σ σ (fig.8.6,a). Secțiunea normală la axa cilindrului ese un cerc, iar secțiunea făcuă cu planul σ 0, corespunăoare sării plane de ensiune, ese o elipsă circumscrisă hexagonului neregula de la eoria a a, fig. 8.6b. Tensiunea echivalenă în aces ca se exprimă cu formula: σ. (8.) ech σ + σ + σ σ σ σ σ σ σ) σl Aceasă eorie ese apropiaă de realiae cu excepția sării riaxiale uniforme de înindere. Ese superioară eoriei a a deoarece ține seama şi de ensiunea inermediară Pariculariări ale eoriilor de reisență Sarea plană de ensiune Înlocuind în relațiile de mai sus σ 0 reulă sarea plană de ensiune caraceriaă numai prin ensiunile principale σ şi σ. Relațiile penru ensiunile echivalene devin: 89

192 ) σ ) σ ech ) σ V) σ V) σ ech ech max ech ech max σ σ σ { σ ; σ } σl, { σ ν σ ; σ ν σ } σ + σ + σ σ L, ν σ σ σ σ σ L. σ L σ, L, (8.5) Fig. 8.7 În figura 8.7 s au repreena prin acese relații: păraul ABCD conform eoriei ; rombul LNP conform eoriei a a; hexagonul neregula AEFCGHA conform eoriei a a; elipsa ERFSGTHUE conform eoriei a V a; elipsa EVFCGWHAE conform eoriei a V a. Din aceasă figură se observă că în puncele de pe axe, adică la înindere sau compresiune simplă oae ipoeele de reisență coincid. Suprafața haşuraă inerioară repreină sările plane σ,σ care nu depăşesc sarea limiă după oae ipoeele, iar suprafața haşuraă exerioară repreină sările de ensiune care, după oae ipoeele, conduc la depăşirea sării limiă. Suprafața nehaşuraă repreină ona în dispuă înre diferiele eorii de reisență Aplicarea eoriilor de reisență la bare normale 90 În caul paricular al barelor, în secțiunile cărora po exisa numai ensiuni σ σ x şi angențiale τ τ x + τ x, ensiunile principale se obțin cu relația:

193 σ σ, ± σ + τ, care înlocuie în relațiile (8.7), penru ν 0, dau formulele: ) σ ) σ σ ech ) σ V) σ V) σ ech ech ech ech 0,5 ( σ + ech 0,5 σ + 0,65 σ σ σ + τ + ( + ν) τ + τ σ + τ ν + ν ( σ + σ σ L L. σ, σ ) σ + τ + τ σ L, σ L, +,6 τ σ L, (8.6) Aplicarea eoriilor de reisență la sarea de forfecare pură Penru sarea de forfecare pură, când luând ν 0, acesea devin:. σ τ τ, deci τ. σ ech. σ V. σ V. σ ech ech ech ech L ( + ν) τ τ σ τ σ ( + ν) σ L L L deci L deci deci τ σ L L τ τ L L L, deci σ σ σl 0,769 σ + ν 0,5 σ, τ L σl 0,577 σl. L τ înlocuind în relațiile (8.7) şi σl 0,6 σ ( + ν) L, L, (8.7) Admițând că legea lui Hooke poae fi exinsă până la limia de curgere, se poae exprima limia de curgere la orsiune în funcție de limia de curgere la racțiune sau compresiune, conform eoriilor de reisența, asfel:. τ σ, c. τ c. τ V. τ V. σ c c 0,769 σ c c 0,5 σ c, 0,6 σ c, c 0,577 σ c,. (8.8) 9

194 8.6 Crierii de alegere a eoriilor de reisență 9 În general penru maerialele enace se folosesc eoriile de rupere prin lunecare, adică eoria V sau, iar penru maerialele casane se uilieaă eoriile de rupere prin smulgere, respeciv eoria sau eoria. Ordinea indicaă a eoriilor ese de prefera. Experimenal s a consa că modul de rupere depinde în mare măsură de sarea de ensiune la care ese supus ER. Din acese considerene se recomandă alegerea eoriei de reisență în funcție de semnul ensiunii medii: σ + σ + σ σ m şi anume: a) penru σ m < 0, se alege o eorie de rupere prin lunecare, adică eoria V sau eoria ; sau eoria. σ m > 0 b) penru, se alege o eorie de rupere prin smulgere, adică eoria De asemenea, penru alegerea eoriilor de reisență se poae uilia crieriul lui Davidenko Fridmann. Conform acesui crieriu se defineşe sarea mecanică de soliciare prin raporul: σech() σ σ m, (8.9) σ () σ ν ( σ + σ ) ech [ ] rapor ce repreină pana unei drepe ce rece prin origine înr un sisem de axe Oστ. Diagrama din figura 8.8, se obține penru orice maerial penru care s a deermina experimenal σl şi τl. Drepele de pană m preenae în figură, penru diferie valori ale sării mecanice de soliciare, sun: dreapa, cu pana m0, ce se obține penru σ σ σ 0, repreină înindere uniformă după rei axe; > dreapa, cu pana 0<m<0,5 o soliciare daă de (înindere după direcții); σ > σ > σ > dreapa, cu pana m0,5 o soliciare de înindere simplă σ > 0, σ σ 0 ; σ 0. dreapa, cu pana m0,769 o soliciare de forfecare pură: σ 0; dreapa 5, cu pana m,67, o soliciare de compresiune simplă, σ σ 0, σ < 0. 0

195 Penru a alege eoria de reisență ce rebuie uiliaă, după aces crieriu, se calculeaă pana drepei cu relația (8.9) şi se raseaă dreapa respecivă pe fig. 8.8, apoi se procedeaă asfel: Fig. 8.8 a) dacă dreapa rasaă aie înâi vericala σσl, înseamnă că ruperea se va produce prin smulgere, se impune să se aleagă o eorie de smulgere (eoria sau ); b) dacă dreapa rasaă aie înâi orionala ττl, aunci ruperea se va produce prin lunecare şi se impune să se aleaga o eorie de rupere prin lunecare (eoria V sau ). 8.7 Calculul de reisență al barelor supuse la soliciări compuse Prin soliciare compusă se înțelege acțiunea simulană asupra barei a două sau mai mule eforuri, cauri ce se înâlnesc frecven în aplicațiile inginereşi. Dar fiecare efor produce câe o ensiune, unele ensiuni normale, alele angențiale. Daoriă acesui fap, soliciările compuse se po sudia având în vedere ensiunile ce le produc. După ipul de ensiune produsă, eforurile ce produc soliciarea compusă se grupeaă în urmaoarele rei grupe: a) N şi ( şi ) ce produc ensiuni normale; b) T (T şi T) şi ce produc ensiuni angențiale; c) N şi T sau N şi, şi, şi, N,,, ce produc aâ ensiuni normale câ şi angențiale. În caurile a şi b când ensiunile au aceeaşi direcție acesea se însumeaa algebric, iar când au direcții diferie se însumeaă geomeric. În caul c, cele două ipuri de ensiuni σ şi τ nu se însumeaă algebric şi nici geomeric ci numai folosind una din eoriile de reisență (cea corespunaoare). După forma secțiunii grupa c de soliciare compusă se subdivieaă, penru analiă în două subgrupe: bare de secțiune circulară sau inelară şi bare de secțiune oarecare. 9

196 8.7.. Înindere sau compresiune excenrică 9 Soliciarea de înindere sau compresiune excenrică se produce în barele încărcae cu o forță paralelă cu axa baei (caul a). Fig. 8.9 Considerăm o bară, încarcaă în puncul A, de coordonae şi cu forța P, paralelă cu o 0 axa barei (fig.8.9). Reducând forța P în cenrul de greuae al secțiunii se obțin eforurile: forța axială, N P, momenul încovoieor, având componenele: P şi P, 0 0 unde: 0 şi 0 sun coordonaele puncului de aplicare al forței P. Acese eforuri produc, înr un punc oarecare, de coordonae şi a secțiunii, ensiunile: σ N A, ʹ ʹʹ σ i şi σ i. Acese ensiuni având aceeaşi direcție, paralelă cu axa barei se vor însuma algebric: ʹ ʹʹ N σ σ + σ + σ +. A σ Înlocuind valorile eforurilor, ensiunea oală ese: N P + A 0 P + 0 Ținând seama că i şi i A N A ( + A înr un punc al secțiunii se obține din relația: N ( + A i + i A 0 A + 0 )., repreină raele de inerție, ensiunea 0 0 σ ). (8.0) Axa neură ce corespunde puncelor penru care σ 0, se obține prin anularea paraneei, adică din ecuația: , (8.) i i

197 ce repreină ecuația unei drepe având ăieurile pe axele O şi O: i i, 0, N 0, N. (8.) 0 Din relațiile (8.) reulă că ăieurile axei neure pe axele de inerție principale au semne conrare coordonaelor puncului de aplicație al forței. Înseamna că axa neură va rece prin cadranul opus cadranului în care se află puncul de aplicație al forței. Aplicația 8.. Să se deermine sarcina capabilă să o supore sâlpul din figura 8.0 confecționa dinr un profil 0, din OL 7 cu σ a 50 Pa. Să se rasee diagrama de variație a ensiunilor pe secțiune. Reolvare: ărimile geomerice penru profilul 0 (vei anexa 9) sun A69,cm, i,9 cm, i,56 cm, şi b 5 mm. Coordonaele puncului de aplicare a forței, față de sisemul de axe ales sun 0 0 mm şi 0 60mm. Puncul cel mai solicia (ensiune maximă în valoare absoluă), ese puncul (cel mai depăra punc din cadranul forței), de coordonae 50mm şi 6,5 mm. Din relația (8.) scrisă penru puncul se obține: P σa A i i 50 69, , ,6 cap 0 Adop: Pcap 5 kn. 0 6,kN N 0 σ (+ A i nersecția axei neure cu axele de coordonae sun: i 9 9,mm, 0 ; 50 0 i 5,6 0,9mm, N N 0 Tensiunile exreme penru puncele şi reulă: Fig i ) 69, ,5 60 (+ + ) 9 5,6, σ 8,Pa 95

198 σ σ N (+ A i 0 + i ) 69, ,5 60 ( ) 9 5,6., Pa Poiția axei neure şi variația ensiunilor ese daă în fig Calculul de reisență al arborilor de secțiune circulară şi inelară soliciați la încovoiere şi răsucire Dinre ER soliciae compus în care se produc aâ ensiuni normale câ şi angențiale o frecvență deosebi de mare în aplicațiile inginereşi o au arborii, osiile mooare, şuruburile, ec. Fig. 8. Arborii sun organe de maşini care ransmi prin inermediul roților dințae, a roților de curea sau a cuplajelor, momene de orsiune şi sun soliciați la încovoiere simplă. Calculul de reisență al arborilor se face ținând seama numai de momenele de încovoiere şi de orsiune, neglijând efecul forței ăieoare. Daoriă acesor momene ensiunile normale şi angențiale maxime ce se produc în secțiunile ransversale periculoase se deermină în relațiile: i σ max şi τ max. W W Având în vedere că la o secțiune circulară sau inelară, maxime, exprimae numai în funcție de modulul de reisență axial, sun: i σ max şi τ max. W W p W W p, ensiunile Deoarece, aâ la încovoiere câ şi la orsiune acese ensiuni sun maxime în cele mai depărae punce față de axa neură (O în fig. 8.), penru acese punce se calculeaă ensiunea echivalenă. Uiliând eoria de reisență (, 8.6) se obține: σ ech σ + + τ + W (W ) W W ech. 96

199 ech În care, în caul eoriei, s a noa cu: +, i mărime ce se numeşe momen încovoieor echivalen. omenul echivalen ese un momen de încovoiere convențional, calcula cu ajuorul unei eorii de reisență prin care se echivaleaă o soliciare compusă de încovoiere şi orsiune, numai penru arborii de secțiune circulară sau inelară, cu o soliciare de încovoiere. Procedând în mod analog cu oae relațiile (8.6) reulă urmaoarele expresii penru momenul încovoieor echivalen:... V. V. ech ech ech ech ech 0,5 ( 0,5 i i i i i ,65, + 0,65 + 0,75 i + i ), +, (8.),. Uiliând relațiile (8.) se obține valoarea momenului încovoieor echivalen. Acesa se uilieaă în calculul de reisență ca şi cum arborele ar fi solicia numai la încovoiere de căre un momen având valoarea lui ech. Asfel, calculul de reisență la arbori de secțiune circulară şi inelară soliciați de i şi va fi analog cu cel preena la încovoiere şi anume: a) problemele de verificare: ech σ ech σa, (8.) W d echcap b) problemele de capaciae de încărcare: σ W, a c) problemele de dimensionare: (8.5) ech ech nec sau D π σ nec a ( k ) π σ. (8.6) a În caul arborilor, ensiunea admisibilă se ia mai mică şi anume σa σa, deoarece s a neglija efecul forței aieoare şi fapul că arborele ese solicia şi la oboseală. Aplicația 8.. Să se dimensionee arborele din figura (8.,a), confecționa din OL 50 cu σa 80 Pa şiind că are secțiune inelară cu d 0,8 D. 97

200 98 Reolvare: Forțele P şi Q de la periferia celor două roți se reduc în cenrele roților respecive, reulând schema de încărcare din figura (8.,b), prin care arborele ese solicia de forțele P şi Q la încovoiere (se neglijeaă soliciarea de forfecare) şi de momenele, P R şi Q R la orsiune. Din ecuația de echilibru x 0 se deermină sarcina Q: P R 0 0,, Q kn. R 0, omenele de orsiune sun:,knm, + P R, + 0 0,,6kNm, 0, iar diagrama momenelor de orsiune ese repreenaă în figura (8.,c). Reacțiunile din lagăre sun: 0 + 0, V 8kN, şi 0 0, + 0,8 V 6kN,, iar momenele de încovoiere: şi V 0, 8 0,,6kNm V 0, 6 0,,kNm. Diagrama momenelor de încovoiere ese repreenaă în figura (8.,d). Fig. 8. Secțiunea periculoasă, unde se face calculul de reisență ese secțiunea () unde i şi au valori maxime (în valoare absoluă) şi penru aceasă secțiune momenul echivalen ese: ech V i + 0,75,6 + 0,75,,57kNm Diamerul necesar deermina de relația 8.6, penru secțiune inelară ese: 6 ech, ,mm π σ ( k ) π 80 ( 0,8 ). D nec a Se adopă: D 95 mm şi d 76 mm..

201 Deoarece s a adopa o valoare inferioară celei calculae se va face obligaoriu verificarea penru a se vedea dacă nu s a depăşi cu mai mul de 5% σa. σ max σ π D max efc ech ( k ) π 95 ( 0,8 ) 8,65Pa<,05 σ,57 0 a 6 8Pa Calculul de reisență al barelor de secțiune oarecare supuse unor soliciări compuse Eforurile ce produc ensiuni normale înr o secțiune a barei sun forța axiala şi momenul încovoieor. Tensiunile normale au direcția axei asfel că se po însuma algebric în orice punc al secțiunii. Valorile acesor ensiuni înr un punc oarecare al secțiunii po fi calculae cu una din relațiile: N σ, σ A σ σ N + A,,. (8.7) Tensiunile normale maxime, ce se produc în secțiunea periculoasă şi în puncele cele mai îndepărae de axa neură se calculeaă cu una din relațiile: σ σ σ max max max N A W relațiile: max, σ + W N + A W max, + W W. max, (8.8) Tensiunea angențială produsă de momenul de răsucire se calculeaă cu una din τ, τ,, k h b Ω τ (8.9) d în funcție de forma secțiunii barei, drepunghiulară, profil subțire închis sau deschis, sau: τ, W 99

202 de la generaliarea relațiilor de calcul la răsucire. În oae acese cauri rebuie avu în vedere că acese ensiuni sun maxime pe conurul exerior al secțiunii şi au direcția angenă la conur. Forța ăieoare produce ensiuni angențiale ce se calculeaă cu formulele lui Juravski: T S τ x şi b ʹ T S τ x. (8.0) Tensiunile angențiale dinr un punc oarecare al secțiunii dacă au direcții diferie se vor însuma geomeric cu relația: τ τ + τ + τ τ cos α, (8.) f f unde: α ese unghiul forma de cele două ensiuni. Înrucâ ensiunile angențiale maxime τx şi τ sun pe conurul exerior, unde iau valori maxime şi sun angene la conur, penru oae puncele de pe conur unghiul α poae fi 0 o sau 80 o. Asfel că pe conurul secțiunii ensiunile angențiale se însumeaă algebric. În general însumarea se face în puncele secțiunii în care cele două ensiuni sun maxime şi au acelaşi sens (α 0 o ): T S 0 τ max τ + τ max x + (8.) W b Penru barele lungi, ensiunile angențiale produse de forța ăieoare au valori mici, în comparație cu τ şi ca aare nu se va lua în considerare efecul forței aieoare ci numai cel al momenului de răsucire, asfel că: τ τ max. max W (8.) Ordinea operațiilor în calculul de reisență al barelor de secțiune oarecare ese urmaoarea: a) Se raseaă diagramele de eforuri, se evidențiaă secțiunile periculoase (unde eforurile sun maxime) şi se noeaă valorile eforurilor din fiecare secțiune periculoasă. În caul calculului de capaciae de încărcare ese bine ca în loc de valori să se scrie expresiile lierare ale eforurilor; b) Se efecueaă calculul de reisență ceru de problema respecivă şi anume: calculul de verificare al barei: consă în calcularea şi rasarea diagramei de variație a ensiunilor penru fiecare efor din secțiunea periculoasă. Penru puncele secțiunii cu ensiuni maxime se calculeaă ensiunile echivalene ce se compară cu ensiunea admisibilă; 00

203 sarcina capabilă: În aces ca rebuie ca eforurile şi ensiunile sa fie exprimae în funcție de sarcina P, necunoscuă, apoi din condiția σ max σ a se deermină sarcina capabilă P. Aces calcul ese posibil numai dacă expresiile eforurilor po fi exprimae în funcție de un singur parameru şi anume forța P. Dimensionarea barei soliciae compus ese de fap o predimensionare unde se consideră: σ ( 0,5...0,9 σ, (8.) ap ) a şi se calculeaă dimensiunile secțiunii ținând seama numai de eforul preponderen. Se adopă dimensiunile şi apoi se face verificarea luând în considerare ensiunile produse de oae soliciările din secțiunea periculoasă. Aplicația 8.. Să se verifice bara din figura 8. şiind că ese confecționaă din OL 70 cu σa80 Pa. Fig. 8. Fig. 8. Reolvare: Diagramele de eforuri sun repreenae sub bară şi se observă că secțiunea periculoasă ese secțiunea din încasrare (secțiunea B) valorile eforurilor fiind: T kn, i 6 knm, 0, knm. ărimile geomerice necesare sun: 6 9,6 5, 8 S 0, ( oi + 0i A i ) cm, S S cm S 6 0,8,,, S G S + 0,6 5,9cm, b,6 W d,8cm, 0,8 ( 6 0, ,6 ),6cm, max 0

204 ,6 W di,7cm. i 0,6 Tensiunile corespunaoare soliciărilor din secțiunea periculoasă sun: la încovoiere: 6 i i 6 0 ( 8) σ σ 5,9Pa, 0 6 i 6 0 ( 0) σ σ,pa, 0 τ τ τ τ la forfecare: x τx 0 T S b 0, x τx T S b x0 x,x0 6xx0 x i τxi i T S b 0 5, G G G la rasucire: 6 0, 0 τ max,9pa, W,8 0 d 6 0, 0 τ i,9pa. W,7 0 di 8,9Pa,,985Pa, 9,85Pa, Diagramele de variație a ensiunilor, pe secțiunea periculoasă sun repreenae în figura 8.. Calculând ensiunile echivalene cu una din eoriile de reisență (eoria a V a) şi comparând cu reisența admisibilă se obțin: σ σ σ σ ech ech echi echg σ σ σ ech ech echi G σ σ σ + τ + τ + τ i 5,9,, +,9 55,7Pa + (,9 +,985) + (9,85+,9) τ (8,9 +,9),8Pa < σ Deci, bara reisă. a < σ a 0,Pa 69,Pa < σ a < σ a 0

205 Aplicația 8.. Să se deermine momenele capabile să le supore secțiunea periculoasă a barei din figura 8.5, dacă i şi σa 50 Pa. Fig. 8.5 Reolvare: ărimile geomerice necesare sun: 0 5 9,, W 06,cm max 7,5 W Ω min 9,7,7 0, 7,8cm. Deoarece cele mai soliciae punce ale secțiunii sun cele de pe liniile şi (vei diagramele ensiunilor) sarcinile capabile se vor deermina cu ajuorul unei eorii de reisență (eoria în aces ca) scrisă penru acesea: σ ech σ + τ din care se obține, σa W W,cap W + 6 W W i + W 50 06, 7,8 i 0 7, , Se adopă: i cap 6 knm şi cap knm. i W 6 + W 6,0kNm., 0

206 8.8. Înrebări es. Ce sun eoriile de reisență?. Ce se înțelege prin ensiune echivalenă?. Ce eorii (ipoee de rupere) de reisență cunoaşeți?. Enunțați eoria ensiunilor normale maxime. 5. Enunțați eoria deformaților specifice maxime. 6. Enunțați eoria ensiunilor angențiale maxime. 7. Care sun expresiile ensiunilor echivalene în cele cinci cauri la soliciarea barelor? 8. Definiți soliciarea compusă. 9. Cum se clasifică soliciările compuse după naura ensiunilor din secțiunea unei bare? 0. Penru care din siuațiile de mai jos (soliciare şi secțiune ransversală) calculul de reisență se poae face cu relația: σ ech W a. Torsiune cu înindere secțiune circulară; b. Încovoiere plană simplă şi orsiune secțiune drepunghiulară; c. Încovoiere plană simplă şi orsiune secțiune circulară şi inelară; d. Încovoiere oblică cu forță ăieoare şi orsiune secțiune circulară şi inelară; e. Încovoiere oblică cu forță ăieoare şi orsiune secțiune drepunghiulară; f. Încovoiere oblică pură şi orsiune secțiune circulară şi inelară; g. Încovoiere obligă cu orsiune şi înindere secțiune circulară şi inelară.. Ce ese compresiunea excenrică? Cu cine ese echivalenă? îech σ. Încovoierea simplă plană ese soliciare compusă sau nu?. Care sun expresiile momenului încovoieor echivalen penru diferie eorii de reisență?. Care sun eapele de calcul la dimensionarea arborilor drepți supuşi la încovoiere şi orsiune? 5. De ce se neglijeaă de cele mai mule ori efecul forțelor ăieoare? a ; 0

207 8.9. Probleme propuse. Să se dimensionee arborele din fig. 8.6, dacă se impune ca acesa să aibă o secțiune inelară cu d0,8d şi să fie confecționa din oțel cu σa0 Pa.. Arborele din fig. 8.7 ransmie prin roaa mooare puerea PP* kw la o urație n00 ro/min. Să se dimensionee aces arbore şiind că σ a0 Pa.. Să se dimensionee arborele de secțiune inelară (d0,8d) din fig. 8.8 şiind că ese confecționa din oțel cu σa0 Pa. Fig. 8.6 Fig. 8.7 Fig Să se verifice grinile coie din fig 8.9 şiind că sun confecționae din oțel cu σa0 Pa. Se cunosc valorile sarcinilor a. P,5 kn, P 0,75 kn; b. P0 kn, P,5 kn, P, kn. a Fig. 8.9 b 5. Să se verifice bara din fig 8.0 dacă ese confecționaă dinr un maerial cu σa5 Pa. 6. Să se verifice bara coiă din fig 8. dacă ese confecționaă dinr un maerial cu σa0 Pa. 05

208 Fig. 8.0 Fig Un cuți de srung are forma şi dimensiunile din fig. 8.. Cunoscând valorile forțelor ce acționeaă asupra vârfului cuțiului (P,5 kn, P 0,75 kn), se cere să se acesa, dacă ese confecționaă dinr un maerial cu σa90 Pa. 8. Să se verifice arborele cardanic din fig. 8. şiind că la axul din puncul A acesa primeşe un momen de orsiune, knm. Se cunosc diamerul arborelui d0 mm, α0 şi σa0 Pa Fig. 8. Fig Să se deermine sarcinile capabile să le supore srucura cu secțiunea preenaă în fig. 8., dacă ese confecționaă dinr un maerial σa00 Pa. Fig

209 Anexa Tabelul Reisențe admisibile Penru unele maeriale folosie în consrucția de maşini aerialul Grupa Simbol STAS Caracerisici mecanice σ r Pa σ c Pa A n % Reisențe admisibile saică la racțiune [Pa] pulsană alernan simrică Compr. σ ac σ a Celelale reisențe admisibile Încov. σai σ a Răsucire τa σ Oțel carbon Oțel corbon de cali. Oțel alia OL 7 OL OL 5 OL 60 x OlC 0 xx OLC5 xx OLC5 8C0 oc CN5 500/ min ,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, a 0,6 0,65 0,6 0,65 0,6 0,65 0,6 0,65 0,6 0,65 0,6 0,65 0,6 0,65 0,6 0,65 0,6 0,65 0,6 0,65 Forfec. τ σ af a 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 07

210 Anexa Tabelul (coninuare) Oțel urna în piese OT 0 OT ,,,, 0,6 0,65 0,6 0,65 0,8 0,8 Fone grafi lamelar Fc00 Fc ,5,5., Fone grafi lmodul. Fgn5 5 Fgn ,5,5,0, **,0, ** Aliaje nefer.de urnare BT AmT67 ATgSi / ,0,0,0,0,0,, 0,7 0,7 0,7 Observație: x călire şi revenire joasă; xx îmbunăăți; * penru probe cu diamerul de 0 mm.piese cu crusă de urnare; **, la soliciare ;, la soliciare ;, la soliciare. 08

211 Anexa a Tabelul Reisențe de calcul la sarea limiă în Pa N/mm (Sas ). Laminae din oțel arca oțelului Limia de curgere minimă R csaur 0, γ m Reisența de calcul pr. înindere, compresiune şi încovoiere <6 mm 6 < < 0 mm <6 mm 6 < < 0 mm OL 0 00, OLT 5 0 0, OL 7, RCA 7 0 0,0 0 0 OLT ,0 0 0 OL 80 70, OCS 65 55, OL , RCA 5, RCS , OCS , OCS , OCS , Valoarea limiei de curgere, respeciv a reisenței de calcul (penru grosimi >0) se obțin din relațiile urnăoare: R c R în care: cm R cm R s; R c γ m, ese media arimeică a limiei de curgere; s abaerea medie păraică sandard; γ coeficienul din abelul de mai sus. m. Piese din oțel carbon şi de caliae urnae sau forjae sau din fonă urnaă Soliciarea Înindere din încovoiere Compresiune din incov. sau din forță axială Simbol Coef. γ m OT0 OT50 OLC5 Față de R i Fc50 Fc0 0 R i 5 60 R, R Forfecare R f 0, ,6 5 5 Presiune locală R, , Presiune diamerală R d 0,

212 . Profile şi able laminae Anexa a Tabelul (coninuare) Soliciarea Simbol Coef. γ m OLT5 OL7, RCA7 OLT5 OL, OCS OL5, OCS5, RCA5, RCB5 OCS55 OCS58 0 Înindere, compresiune, încovoiere R, Forfecare R f 0, Presiune locală de conac Presiune pe plan diameral Înindere, compresiune, încovoiere R 0, R d 0,0 8 8, 9, 0,6 5 Reisențe de calcul penru profile ş able cu grosimi 6mm R, Forfecare R f 0, Înindere, compresiune, încovoiere Înindere, suduri neconrolae Compresiune s R i s R i R c s Reisențe de calcul penru cordoane de sudură, , , Forfecare R f 0, Forfecare R f 0, Reisențe de calcul penru cordoane de sudură la profile laminae cu grosimi Înindere, suduri conrolae Înindere, suduri neconrolae Compresiune s R i s R i R c s 6mm, , , Forfecare R f 0, Observație: Sudură cap la cap; Sudură de colț.

213 Anexa Valorile caracerisicilor E, G, ν şi α aerial E [ GPa ] G [ ] α 0 ν GPa [ C ] Oțel carbon ,6 0,9 Oțel alia ,5 0, Oțel urna nerecop Oțel inoxidabil ,5 0, 5 8 Fonă cenuşie şi albă , 0,7 0 Fonă perliică maleabilă Aluminiu , 0, Duraluminiu (Al Cu g) , 0, Aliaje de AL cu siliiciu ,7 8 Aliaje de AL cu magne ,5 6 Cupru lamina la rece , 0, 6 7 Alamă , 8 0 Bron , 0,5 8 Plumb 7 7 0, 0,5 9 Lemn de brad în lungul fibrelor 9, Lemn de sejar în lungul fibrelor,5 6,5 5 Lemn perpendicular pe fibre,5 6,5 Beon cu σ r 0 0 Pa 5 7 0,6 0,8 9 Beon arma comprima 8 0,8 0, 0 Beon arma încovoia 0 0,8 0, 0 Zidărie de cărămidă,5 Piară de calcar, grani 9 Siclă , 0,7 8 Celuloid,,7 0,6 0,8 0,5 0,5 6 7 Răşini epoxidice, Bacheli 6 0,7 0,5 0,8 Polisiren 5 0 Polieilenă,5 70 Perinax,5 Texoli fibre 6 0, Cauciuc 0, 0,6 0,00 Observa:ie: 0,00 La fonă E şi G scad odaă cu creşerea soliciări. 0,5 6

214 Coeficienți de sigurană la soliciarea monoaxială şi emperaură normală Anexa Soliciarea Coeficienul de siguranță faşă de : Cedarea maerialului prin: odul Felul Deformare Rupere Oboseală Flambaj Deformare enace σcsauσ 0,, Înindere Rupere enace Rupere fragilă Saică Variabilă periodică Compresiune Cicluri simerice Cicluri pulsane la înindere Cicluri pulsane la compresiune Deformare enace Flambaj Rupere enace Rupere fragilă Oboseală Flambaj Deformare enace Oboseală enace Rupere fragilă Oboseală fragilă Deformare enace Oboseală enace Rupere fragilă Oboseală fragilă Flambaj σ σ σ σ r σ r σ, σ c sau 0 sau c 0, σ r σ r σ σ f σ sau c 0, σ o σ r σ o σcsauσ 0, σ o σ r σ o σ f,,, Observație: După Wellinger Diemann, Fesigkeisberechnung, Alfred KrönermVerlag; Față de sarcina criică de flambaj elasic.

215 ÃR GEOETRCE Anexa ECȚUNEA Axele principale: şi Axele cenrale: şi. Drepunghi înclina ARA A DSTANȚE AXE pânã la puncele exreme de la axele principale OENTE DE NERȚE PRNCPALE fațã de axele inițiale alese ODULE DE REZSTENȚÃ W, W max max RAZE DE NERȚE i / A, i / A 5 A b h h + b h b A + cosα h b cosα+ sinα h + b h b A + sin α h b sinα+ cosα o α 0 Penru:, i i h + b h b + h + b h b + cosα cosα. Drepunghi cu gol simeric Ah (B b) B max h max B b h B b h i i W B b 6B W B b 6B h h B + Bb + b h Anexa (coninuare)

216 . Păra cu gol simeric. Secțiuni compuse simerice 5. Secțiuni compuse simerice 5 A H h A(B H b h) AB H+b h u H H v H B B H b h ( B H b h) H, B ( ) ( BH + bh ) b h+ B H B+ b H u v h B H b h B H b h ( ) ( ) B H h + B b h B B H + b b h B H + b h B ( H h) + ( B + b) h ( B + b) H b ( H h) B h + b h + B b + BH b bh + W W W W W W W H h 6H W W H h u v 6H i i i i i v H + h W B H b h 6H B H b h W 6B W B H b h B H b h BH + bh 6H ( ) ( ) + ( + ) 6( B+ b) ( B+ b) H b( H h) ( ) B H h B b h 6 B+ b

217 6. Secțiune dublu T 7. Secțiune Z 8. Cornier 5 A(B+b+g) A(BH bh) A(BH bh) ( ) + gh + h ( ) B + b H + ( B + b + + gh) H e e ' e H B g cosα+ sinα H h B g sinα+ cosα H H g sinα+ cosα H BH bh ( BH bh) BH bh ( BH bh) B, H e cosα+ sin α ( ) e cosα sin α B + b+ gh ( )( ) B B g ( )( ) b b g + α BH bh g h + B B + B ( B g)( H ), ( B g) + ± arcg ( ) + + B b + g H h( g) + BH ( B )( H ) bh ( b )( h ) α arcg Anexa (coninuare) W W i i W i i B+ b + gh 6B, W B + b + gh A ( B + b + gh) W, e e, i A BH bh BH bh W W ( ) e max e max A 5

218 9. Triunghi 5 A bh h h bh 6 Anexa (coninuare) W bh W bh h 8 0. Romb A bh b h bh 8 bh 8 W bh W bh, i h b, i 8 8. Trape A B b h B+ b h B+ b b+ B B + Bb+ b h B+ b 6 Penru rape isoscel h B + B b + Bb + b 8 ( ) W i W, h + + 6( B+ b) ( B Bb b ) 6

219 . Coroana circularã (k d/d) 5 π ( ) nel subțire A D k A π( D ) D d D D d πd 6 ( k ) π D d 6. Secor inelar R r ( ϕ sin ϕ). Segmen de cerc A ( R r ) ϕ Secor de inel subțire A R m ϕ A ϕ sinϕ R sinϕ R r 0 ϕ R r 0 r cosϕ R 0 sinϕ 0 Rm ϕ R m sinϕ Rsin ϕ R sin ϕ o ϕ sinϕ R o Rcosϕ o ( ) 8 R r sin ϕ sin ϕ 8 9ϕ R r sin ϕ 9( R+ r) ϕ R m ( ϕ sin ϕ) R m ϕ+ sin ϕ sin ϕ ϕ ϕ AR + sin ϕcosϕ ( ϕ sinϕ sin ϕ ) 9ϕ sinϕ Anexa (coninuare) W i πd W i D + d ( k ) ( ) D W W π D D+ i i W R r 8R W, W ( ) i R r i A ϕ sin ϕ sin ϕ ϕ sin ϕ 8ϕ AR sin ϕcos ϕ W, W, W ϕ sin ϕ i R sin ϕcosϕ ϕ sin ϕ i A 7

220 5. Semicoroanã circularã 5 A D d π 8 D π D D D d d D d 8 D d 8 Dd D d 8π D + d π 6 π 9π Anexa (coninuare) πd W ( k ) 6 W, W i D + d, i A 6. Coroanã elipicã ( A ab a b π b π ab ab ( ) W π a ab ( ab ) a π ab ab ( ) W π b ab ( ab ) 7. Hexagon regula A 5, R R R 5 6 R W W 5 R i i R R 5 8

221 PRESUNEA AXĂ DE CONTACT Anexa 5. Schema corpurilor în conac A B Pmax d + d d + d dd dd 06, + PE d d dd. d d dd d + d dd 06, PE d d dd. d d 06, PE d. d + α d d PE d 5. d d d α PE d d dd Anexa 5 9

222 6. (coninuare) d d + α d d PE d d dd 7. d d + α d d PE d d dd 8. d d α PE d , d d PE L d + d dd 0. d 059, P E d L 0

223 ELEENTE GEOETRCE LA RĂSUCRE Anexa 6 Forma secțiunii ransversale. Coroană circulară de reisențã W [cm ] Caracersicile geomerice de rigidiae [cm ] Locul unde ese τmax W D 6 d D π D d D π pe conurul exerior. Segmen de cerc 8, W D H, 9 D 7, D H D 5, A D penru < < 8 H. Cerc fãrã segmen W D 6, H D 8 0, H+ 07, D D 6 6, H D A. Cerc scobi 5. Drepunghi b<h r/ R W αr R β 0 0,05 0, 0, 0, 0,6 0,8,0,5 α,57 0,89 0,8 0,8 0,76 0,66 0,5 0,8 0, β,57,56,56,6, 0,9 0,6 0,8 0,07 A W k b h k b h τ B A k τ A h/b,5,5,75,0, k 0,08 0, 0, 0,9 0,6 0,58 0,67 0,8 0,9 0,99 0,07 0, 0, k 0, 0,7 0,96 0, 0,9 0,9 0,6 0,8 0,9 0,99 0,07 0, 0, k,0 0,9 0,859 0,80 0,795 0,766 0,75 0,75 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 Anexa 6

224 6. Triunghi echilaeral (coninuare) W b h 0, 99 h b 80 5, 98 A 7. Hexagon regula W 089, h 0, 5h A 8. Ocogon regula W 085, h 0, 08h A 9. Elipsă πab πnb W a unde: n b 0. Coroanã elipicã W ( c ). Profil subțire deschis nb a b unde c a b a n b πab a + b :, ( π c ) W h i > b i i bh i πnb n + b max b h A nb n + i i A la mijlocul drepunghi ui cu bmax. Arc de grosime consanã W s s lungimea arcului s la mijlocul laurii. Profil subțire închis W Ω min Ωaria închisã de fibra medie s Ω Ω ds si i s ese lungimea fibrei medii în drepul lui min

225 OȚEL CORNER CU ARP EGALE (STAS 80) Anexa 7 i raă de inerție A (indicele dă axa în rapor cu care s au calcula) momene de inerție, W module de reisență, Dimensiunile secțiunii Aria secțiunii asa liniară r r Disanța axelor [cm] ărimile saice penru axele de încovoiere x x şi u u v v a*a*g, [mm] [cm ] [kg/m] [mm] [mm] e u v v x [cm ] Wx W [cm ] 0*0*,5,,5,0 0,6, 0,90 0,7 0, 0,6 0,58 0,77 0,7 0, 0, 0,8 0*0*,7,78 5,5 0,88,,,05,8 0,85 0,89,85, 0,75 0,6 0,58 0*0*,08, 6,,8,58,0,7,55, 7,09,5,85,7 0,78 0*0*5,79,97 6,6,8,6, 5,,9,0 8,60,5,6,7 0,77 50*50*5,80,77 7,5,0,5,98,76,0,05,5 7,,90,5,59 0,97 50*50*6 5,09,7 7,55,5,5,0,77,8,6,50 0,,89 5,,6 0,97 60*90*6 6,9 5, 8,69,,9,,8 5,9,8 6,,9 9,,95,7 60*60*8 9,6 7,0 8,77,,50, 9, 6,89,80 6,,6,,86,6 70*70*7 9,0 7,8 9,5,97,95,79,7, 8,, 67,,67 7,5 6,7,6 80*80*8,0 9,6 0 5,6 5,66,9,8 7,,6, 5,06 9,8 9,6,55 00*00*0 9, 5,0 6,8 7,07,99,5 77,6,0 80,8 7,9 8,,95 0*0*0, 8, 6,5, 8,9,69, 6,0,67 97,6 9 7,5,6 0*0* 7,6 9, 5 7,5,98 9,90 5,6 5, ,8,0 09 5, 8 50,5,7 50*50*6 5,7 5,9 6 8,9 0,6 6,07 5, 99 88,7, ,7 9 6,,9 60*60*,,0 7 8,5,7, 6,0 5, ,8,9 66 6,0 68,,6 60*60*6 9, 8,5 7 8,5,55, 6, 5, , , ,, ix i [cm] OBSERVAȚE asa ese calculaă penru dimensiunile nominale pe baa densiății de 7,85 kg/dm. u [cm ] iu [cm] v [cm ] Wv [cm ] iv [cm]

226 Anexa 8 OȚEL CORNER CU ARP NEGALE (STAS 5 80) momene de inerție, W module de reisență, i raă de inerție A (indicele dă axa în rapor cu care s au calcula) Dimensiunile secțiunii a*b*g Aria secțiuni asa liniară [mm] [cm ] [kg/m] [mm] [mm] r r ărimile saice penru axele de încovoiere Unghiul Disanța axelor de [cm] x x u u v v înclinare a axelor ex e v v u u u g(ϕ) x Wx ix W i u iu v iv [cm ] [cm ] [cm] [cm ] [cm ] [cm] [cm ] [cm] [cm ] [cm] 80*65*8,0 8,66 9,7,7 5,59,65,79,9,05 0,65 68,,,9 0, 8,,9 88,0,8 0,,5 00*75*9 5,,8 0 5,5,9 6,9 5,5,,6, 0,59 8,5, 7,0,7,7 8,7 7,8,59 OBSERVAŢE: -omenul de inerţie (), modulul de reisenţă (W), raa de giraţie (i) sun raporae la axele de încovoiere respecive. - asa ese calculaă penru dimensiunile nominale pe baa densiăţii de 7,85 kg/dm.

227 ANEXA 9 OȚEL (STAS ) momene de inerție, W module de reisență, i raă de inerție A (indicele dă axa în rapor cu care s au calcula) Sibol Dimensiuni [mm] Aria secțiunii ărimi geomerice inerțiale S Simbol h b g R r [cm ] W i W i [cm ] [cm ] [cm] [cm ] [cm ] [cm] [cm ] ,77,9, 7, ,5,0 6,9,00 0,9, ,6,5,7 0,6 7,,0,,88,07 9, ,5 5,,, 8 5,7,8,5 7,,, ,0 5,7, 8, 57 8,9 5,6 6, 0,7,0 7, ,8 6,,8, ,0 5,7,8,55 68, ,6 6,9, 7, ,0 8, 9,8,7 9, ,0 7,5,5,5 0 8,00 7 6,0, * 0 98,9 8,,9 9, ,80 6,,0 6 * 0 06,80 8,7 5, 6, ,59,7, * 60,77 9, 5,6 5, 570 0, 88 5,0, 57 6 * 8 * 80 9,85 0, 6, 6, , 6 6,,5 6 8 * ,8 0,8 6,5 69, ,9 5 7,, * 0 6,9,5 6,9 77, , ,7,67 57 * 6 * 60 9,05,0 7,8 97, , 88, * ,0, 8, ,7 60 9, OBSERVAŢE: * Acese profile nu mai sun prevăue în STAS

228 ANEXA 0 OȚEL U (STAS 56 80) momene de inerție, W module de reisență, i raă de inerție A (indicele dă axa în rapor cu care s au calcula) Sibol Dimensiuni [mm] Aria secțiunii ărimi geomerice inerțiale S e Simbol U h b g R r [cm ] U W i W i [cm ] [cm ] [cm] [cm ] [cm ] [cm] [cm ] [cm] 5 * , 6, 0,6,9 9,,75, 6,,7 5 6,5 65 5,5 7,8 9,0 57,5 7,7,5, 5,07,5 0,6, 6, ,76,0,06 6,5, 9, 6,6, 5,9, ,6,5,5 05,,9 9, 8,9,7,5, ,7,5 7,0 6 60,7,6,,,59 6,, ,7 5 0, , 5,5 6,7,8,75 5,, ,5 0,0 5,5, , 85, 8,,89 68,8, ,68 5,5 8, ,95,,0 89,6, ,5,6 6, ,70 8 7,0,0 0 * , 6,5 7, ,5 97,6 0 6, * ,5,6 6,5, , 8 9,6, 79, 6 * ,60 7 8, ,99 7 7,7,56,6 6 * , , , ,8,90 6,70 0 OBSERVAŢE: * Acese profile nu mai sun prevăue în STAS

229 ANEXA OȚEL T (STAS ) momene de inerție, W module de reisență, i raă de inerție A (indicele dă axa în rapor cu care s au calcula) Denumirea Dimensiuni [mm] Secțiunea Greuaea e ărimi geomerice inerțiale Denumirea T ah gr r r A G T [cm ] [N/m] [cm] [cm ] W [cm ] i [cm] [cm ] W [cm ] i [cm] * 0,5, 0,88 0,58 0,8 0,7 0,58 0,0 0,0 0, *,/ * 5 5,65,9 0,7 0,87 0,9 0,7 0, 0, 0,5,/ * 0,6,77 0,85,7 0,80 0,87 0,87 0,58 0,6 0 5,5,77,96, 5,8,8,8,58,9 0, ,5 5,66,,9,0,6,6 6,06,,0 5 OBSERVAŢE: * Acese profile nu mai sun prevăue în STAS

230 OŢEL Z momene de inerție, W module de reisență, ANEXA i raă de inerție A (indicele dă axa în rapor cu care s au calcula) Denumirea Dimensiuni [mm] Secțiunea Greuae ărimi geomerice inerțiale Denumirea a Z h a g r r A G Z [cm ] [N/m] [cm ] W [cm ] i [cm] [cm ] W [cm ] i [cm] ,0 6,0,0,0 9,,9 0,98, 9,0 5,7, ,5 6,5,5 5,5,0 5, 50,9,0 58,0,0,9 0 OBSERVAŢE: Greuaea eoreică ese calculaă cu greuaea specifică de 78,5 N/dm. 8

231 NDCAȚ Ş RĂSPUNSUR LA PROBLEELE PROPUSE Cap. Forțe exerioare şi forțe inerioare Problema a Reacțiuni: V0,67P, V,P. Eforuri: T0,67P, Ts,P, TdrP, Ts0,67P, Tdr 0,P, Ts 0,P, Tdr,P, T5P. 0, Pa, 0,67Pa, 0,Pa, 50. Problema b Reacțiuni: V0,5P, V 0,5P. Eforuri: Ts P, Tdr 0,5P, T0,5P, T P, Ts 0,5P, Tdr0,5P.,5Pa,,5Pa, 0, Pa. Problema c Reacțiuni: V 0, 0. Eforuri: T0, Ts P, Tdr0, Tdr P, Ts0, T0. Pa, Pa, 0, 0. Problema d Reacțiuni: V P. Eforuri: T0, T0, Ts P, TdrP, TP. Pa, s Pa, s Pa Pa, 0. Problema e Reacțiuni: VP, V0. Eforuri: Ts P, TdrP, TsTdr0, T P, Ts P, Tdr0, T50. Pa, Pa, 0, Pa, 5 Pa. Problema f Reacțiuni: V0, V0. Eforuri: T0, T0, Ts0, Tdr P, Ts P, TdrP, T5sP, T5dr0. 0, 0, 0, Pa, 50. 9

232 Problema g Reacțiuni: VP, VP. Eforuri: Ts0, Tdr P TsP, Tdr0 T0, Ts P, TdrP, T50. Pa, Pa, Pa, 0, 5Pa. Problema h Reacțiuni: VP, VP. Eforuri: TP, Ts0, TdrP TsP, Tdr0, T0, T5P. 0, Pa, Pa, s Pa, drpa, 50. Problema a Reacțiuni: V,7 [N], V7,8 [N]. Eforuri: Ts [N], Tdr,7 [N], T 7,8 [N], T0, T,8 [N], T5s 5,8 [N], T5dr 7,8 [N], x0, [m]., [Nm], 0, 0,,86 [Nm], 58,6 [Nm], x0, [Nm]. Problema b Reacțiuni: V0 [N], V0 [N]. Eforuri: Ts0 [N], Tdr80 [N], Ts 0 [N], Tdr0, T0, T 0 [N], T50, x0,6 [m]. 6 [Nm], 5 [Nm], 0, 9 [Nm], 5 5 [Nm], x08 [Nm]. Problema c Reacțiuni: V76,6 [N], V, [N]. Eforuri: T76,6 [N], Ts 7, [N], Tdr60 [N], T, [N], Ts, [N], Tdr 7, [N], T560 [N], x0,9 [m]. 0, 7 [Nm], 66,5 [Nm], 5, [Nm], 50, x07, [Nm]. Problema d Reacțiuni: V08 [N], V [N]. Eforuri: Ts 50 [N], Tdr58 [N], T [N], T0, T [N], x0, [m]. 50 [Nm], 0, 0, s,9 [Nm], dr,9 [Nm], x05,8 [Nm]. Problema e Reacțiuni: V8,06 [N], V65,9 [N]. Eforuri: Ts 5 [N], Tdr66,06 [N], Ts 58,9 [N], Tdr7 [N], T 5 [N], T7 [N], x0, [m]. 8 [Nm], 9, [Nm], 0, x05,6 [Nm]. 0

233 Problema f Reacțiuni: H60,6 [N], V6, [N], V7,9 [N]. Eforuri: N NNNN560,6 [N], T 6, [N], Ts 5 [N], Tdr6,9 [N], T 5 [N], T, [N], T5s, [N], T5dr 6, [N], x0,8 [m]. 0, [Nm], 0,,75 [Nm], 500,96 [Nm], x0,8 [Nm]. Problema g Reacțiuni: H5,96 [N], V70 [N], 95 [Nm]. Eforuri: N NNNN5 5,96 [N], T0 [N], T0 [N], T 70 [N], T 70 [N], x0,05 [m]. 0, 9 [Nm], [Nm], 95 [Nm], x050,5 [Nm]. Problema h Reacțiuni: H95 [N], V, [N], V5, [N]. Eforuri: N0, Ns60 [N], Ndr 5 [N], NN 5 [N], Ts0, Ts, [N], Ts 9,6 [N], Tdr60,6 [N], T0, T60,6 [N], x00,67 [m]. 0, 7,7 [Nm], 0, 0, x0,6 [Nm]. Cap. Comporarea mecanică a elemenelor de reisență Problema σ Pa σ Pa σ m Pa τ Pa α a b sau 90 c d e a 68,75 57,65 5 6,65 75,69 b 9,65 90,5 55 5,5 67,5 c,85 08,5 55 5,5 65,59 d,68 85, 5 0, 8,56 e 9, 7,57 50, 67,5

234 Problema σ Pa σ Pa σ m Pa τ Pa α σ α Pa σ α+ 90 Pa τ α Pa a 7,08 7, 50 67,08 58,8 65,59, 65,5 b 8, 68, 0 58, 7,5 0,98 9,0 58,0 c,0 9,0 0 6,0 9, 78,07 8,07,9 d, ,85,,0 0, 7,68 e 0,0,0 50 5,0 9,5 5,5 7,8,7 Problema ε [ μm / m] ε [ μm / m] ε m [ μm / m] γ α [ μm / m] a 09 6, 6 5 6,8 b 7,7 07,0, 80,7 5,060 c 57,8 0,5 66,7 7,,8 d 9, 9, 50 58,,87 e 8,0 7,,9 700, 9,5 f, 00 66,67 5, 0 Problema σ σ [ Pa] Pa σ m Pa τ Pa 5a 8,0 08, 0 78,0 0 5b 8,85 8,85 0 8,85 0 5c 95,, , 55 5d,9 5,90 0 8,90 0 5e,97 6,0 65 6,0 65 Problema ε [ μm / m] ε [ μm / m] ε [ μm / m] ε m [ μm / m] α [ μm / m] 5a 7, 578,9 80,0 0,9 95, 5b 57, 57, 0 0 0, 5c, 57, 6,7 88,6 9, 5d 60,, 80 0,9 0 5e 9, 59,9 7,9,9 77,0 γ

235 Problema σ Pa σ Pa σ m Pa τ Pa α σ α Pa σ α+ 90 Pa τ α Pa 6a 95,, , 8,56 7,86 9, 5,67 6b , 8,7 0 6c , 7,9 8, 6d 07,6 7,6 5 6,6 75,7 5, e 6,, 5 9,,98, 6,88 7,78 Problema [ μm / m] ε ε [ μm / m] ε [ μm / m] ε m [ μm / m] γ [ μm / m] ε α [ μm / m] ε + γ α α 90 [ μm / m] [ μm / m] 6a 9 9,5 58,6 56, 5 79, 595,5 6b 577, 7 9,9 957, , 80 6c 7, 8 7, 78, , 55 6d 6 759,6, 0,7 8 9, e ,,6 87 8, 69, 85 Problema ε [ μm / m] ε [ μm / m] ε m [ μm / m] [ μm / m] 7a 67,8 60,5 6,67 9 6,8 7b 05,9 0, ,8 9,6 7c a 666,7 00,, 5,5 5 8b 8,5,7 5, 66, 55,76 8c 790, 590, , 69,6 γ α Problema σ Pa σ Pa σ m Pa τ Pa 7a,9 98, 7,75 06, 7b 79,8 0,56 9,6 50,0 7c 7,9 6,80 5,9 8,05 8a 6, 8,65 8,88 87,5 8b 58,9 8,7 5,8,66 8c, 8,08 9,6,

236 Cap. ărimi geomerice ale secțiunilor Problema cm cm W cm W cm i cm i cm a 57 79,5 76 5,5,07 b 6 7,5 78,875 5,5,0 c 57,5 806, 95,69,5,,8 d , 60,76,9 e 06,7 66,7 607,8 5,,7,5 f 79 55, 80,77 57,77,75, Problema a a 07,6 mm; 07 cm 8 cm i,9 cm.. W ; W ; i Problema b a 7, mm; W 07 cm ; W 86,5 cm ; i i, cm.. Problema c a 80, mm; 07 cm 668 cm i i, cm.. W ; W ; Problema α cm cm i cm i cm a ,0 7,79,096 b 58, 87,7 8,,98,6 c ,5 8,777,50 Problema cm cm W cm W cm i cm i cm a 9 99, 7, 6,8,88 b ,8 6,67,76,9 c ,7,79

237 Problema cm cm W cm 5a ,87 0,9,0 5b ,7,60 5c ,6 5, 5d ,8 8,5 6, 5e ,,0 5f ,6,75 5g ,0 9,9,58 5h ,8 8,6,05 W cm i cm i cm Cap. 5. Soliciări axiale Problema a d 0 mm; Δl,5 mm. Problema b d mm; Δl 0,5866 mm. Problema Se adopă profil L 50 x 50 x 5; vb,5 B mm. Problema x,958 [m]; 07,6Pa Cu ; σ ΔL 0,897 mm (penru 0GPa, Problema L l 00m. σ 50,6Pa; OL E Cu vei Anexa ). Problema 5 D 0 mm; d 00 mm; γ A x Δl x P + x 86, mm. E A 5

238 Problema 6 D 60 Fo mm; d m Fo 8 m; dol 60 mm; dbe 860 mm; Problema 7 6 Pmax 8 kn. Problema 8 H 6, 7kN ; σ max 68, 6 Pa; Bara reisă (penru E AL 70 GPa, vei Anexa ). Problema 9 H 9, kn; σ max 7 Pa f σ a; Bara nu reisă. Problema 0a kn pcap 8. m Problema 0b kn pcap 5,. m Problema P 5 cap kn. Problema P 50 cap kn. Problema 00, Pa; σ OL 5, 09 Pa. σ Cu Problema 7, 6 Pa; σ OL 6, 6 Pa. σ OL Problema 5 Pcap 50 kn; Problema 6 a) P0 kn (compresiune), P6 kn (racțiune) Problema 7 Pcap 50 kn; σ σ 87, Pa ; σ 9 Pa; Δl, mm.

239 Problema 8 N N 5, 7 kn; N 6, 6 kn ; σ σ 8, 9 Pa ; σ 8, 76 Pa. Problema 9 a). N N, 7 kn; N 9, kn ; σ σ 7, 5 Pa ; σ 5 Pa; b). N N 0, kn; N 8, kn ; σ σ 0, 955 Pa ; σ 6 Pa f σa; Sisemul de bare nu reisă simulan la acțiunea forțeişi emperaurii. Problema 0 H 67, 5 kn ; H 7, 05 k N ; σ max 9, 6 Pa ; σ min 5, 7 Pa. Cap. 6 Răsucirea barelor drepe Problema Secțiuni posibile periculoase sun secțiunea inelară sau cea circulară cu diamerul d. Se obține pe secțiunea inelară: D88,6 mm, iar pe secțiunea plină d 7, mm. Se adopă: D90 mm, d7mm, d 8 mm. Cu acese valori se calculeaă roirea relaivă: Δϕ,89 o. Problema Ridicând nedeerminarea se obține 0,609 şi 0,69. Secțiuni posibile periculoase sun sau 5. Se obțin dimensiunile: din condiția de reisență: d7,5 mm, D88,5 mm; din condiția de rigidiae: d75,5 mm, D85,96 mm. Se adopă: D95mm şi d76mm. Problema Problema ese saic nedeerminaă. Prin ridicarea nedeerminării uiliând cele rei aspece (saic, geomeric şi fiic), se obține: 0,055 şi,955. Penru secțiunea periculoasă pe porțiunea () (5). Se obțin urmăoarele dimensiuni: din condiția de reisență: d0,89 mm; din condiția de rigidiae: d0,9 mm. Se adopă dmm. (pr d0 mm reulă τ max 7, 6 Pap, 05τ a. ) 7

240 Problema Problema ese saic nedeerminaă şi avem, conform cele rei aspece (saic, geomeric şi fiic):. + ;. Δϕ Δϕ; L L G G. p p de unde se obține cu p 5708mm ;i p 6mm : 0,59 ;i 0,607. a) Tensiunile în cele două maeriale sun; τ 0, 9 Pa; τ 76, Pa şi τ min 6, 0 Pa.. Repreenarea ese redaă în fig.r.. b) Roirea relaivă a celor două secțiuni siuae la disanța L una față de cealală va fi: L L 0, Δϕ G p G p o 0, 05086rad, 9. Problema 5 Se adopă D6 mm Problema 6 a) cap 7,07 knm. Se adopă 7k Nm. b) Din condiția de forfecare: p p sr sr condiția d F L b τ a d reulă: L 6,7 mm. Se adopă L7mm. Analog se calculeaă L 09, mm şi se adopă L 0 mm. Presiunea de conac pe pană va fi: F L h F L h 5, Pa < σ ; asr 5, 0Pa < σ. asr π d Fig.R. c) cunoscând reisența la forfecare a unui şurub τ 908 N, în D n R f, reulă n 5,5 şuruburi. Se adopă n6 şuruburi. R d a 8