Transformata Laplace

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Transformata Laplace"

Άγνη Κουβέλης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Tranformaa Laplace GOM mai 8 Tranformaa Laplace În cele ce urmează vom udia ranformaa Laplace, care din punc de vedere maemaic nu ee decâ o inegrală improrie şi cu parameru (vezi formula ()), dar are numeroae aplicaţii Capiolul din maemaică care udiază proprieăţile ranformaei Laplace e numeşe Calculul operaorial Definiţii Definiia Se numeşe funcţie original funcţia f : R C care aiface condiţiile: f () =,< f ee derivabilă peporţiuni M > şi σ afel încâ: f () <Me σ (σ e numeşe indice de creşere a funcţiei f) Definiia Tranformaa Laplace a funcţiei original f :[, ) C ee funcţia: F () := Z e f () d () Teorema Inegrala care defineşe funcţia de variabilă complexă F ee convergenă înemiplanul{ C Re >σ } şi uniform convergenă pe mulţimea { C Re >σ + ε, arg [ π/+α, π/ a]} penru orice α şi ε poziivi Remarca Vom noa L{f ()} () :=F () Proprieăţi Teorema F ee o funcţie olomorfă pedomeniulău Z de definiţie şi derivaa a e calculează : F () = e ( f ()) d L{αf ()+βg ()} () =αf ()+βg() L{f (a)} () = a L{f ()} a (chimbarea de cară) L{e a f ()} () =F ( a) (ranlaţia în complex) 4 L{f ( a) u ( a)} () =e a F () (ranlaţialadreapaînreal) 5 L{f ( + a) u()} () =e a F () R a e f () d (ranlaţialaângaînreal) 6 L{f ()} () =F () f (+) (derivarea originalului) 7 L f (n) () ª () = n F () n f (+) n f (+) f (n ) (+) 8 L{( ) n f ()} () =F (n) () (derivarea ranformaei) n R o 9 L f (u) du () = F () (inegrarea originalului) L f() () = R F (u) du (inegrarea ranformaei) lim F () =f (+) (eorema valorii iniţiale)

2 Tranformaa Laplace lim F () =lim f ()(eorema valorii finale) L{(f g)()} () =F () G (), unde (f g)() := R f (τ) g ( τ) dτ ee convoluţia funcţiilor f şi g Se deduce uşor urmăorul abel de ranformae: f() F () u () r in co e a in e a a Γ(r+) r+ + + ( a) + Exerciiul Foloind ace abel şi formulele - ă e calculeze ranformaa Laplace a urmăoarelor funcţii : f () =( a) u ( a) f () = u ( a) f () = co 4 f () = n in, g () = n co 5 f () = eb e a 6 f () = (co a co b) 7 f() = in 8 f () = e in 9 f () = eb e a π Soluţii: n: Aplicând formula o 4 şi ranformaa Laplace a lui (vezi abelul, linia, penru r =) avem ucceiv: L ( a) u ( a) () =e a L ª () =e a Γ() a! = e = e a : Deoarece =( a) +a ( a)+a, aplicând aceleaşi formule ca la exerciţiul preceden şiformularezulă: L u ( a) ª () =L n³( o ³ a) +a ( a)+a u ( a) () = +a + a e a Aplicăm formula 8 penru n =şi ranformaa Laplace a funcţiei co : L{co } () = d d (L{co } ()) = ³ d d + = ( + ) = ( + ) ( + ) 4 Penru a calcula mai rapid, foloim formulele lui Euler şi calculăm ranformaa Laplace a funcţiei h () =g () +if () Avem h () = n co + i n in = n e i ³ Aunci conform formulei 8 şi liniei 7 din abel: L{h ()} () =( ) n (n) j =( ) n ( ) n n! (+j) = n! n Privind caovariabilăreală, rezulă că ( j) n+ ( + ) n+ L{g ()} () =n! Re(+i)n, L{f ()} () =n! Im(+i)n (Adică L{g ()} () =n! n C ( + ) n+ ( + ) n+ n n +Cn 4 n 4 4 şi analog ( + ) n+ L{f ()} () =n! C n n Cn n +, formule care, daoriă proprieăţilor funcţiilor olomorfe, un valabile penru ( + ) n+ orice cu Re >) e 5 Aplicăm înâi formula apoi linia 7 din abel şi calculăm inegrala care apare: L b e a () = R L e b e aª (u) du = R ³ u b u a du =ln u b u a =ln a b (am ţinuconcă lim u ln u b u a =ln=) 6 Aplicând aceleaşi formule şi linia 5 din abel rezulă: L (co a co b) () = R ³ u u +a u u +b du = ln u +a u +b =ln +b +a 7 L ª R in () = n o u + du n =arcgu = o π arcg =arcg e 8 L e in () =L in in () = R ³ (u+) + u + du = = arcg u+ arcg u =arcg + arcg =arcg =arcg L () = R L (u) du = R ³ Γ(/) du = e b e a π e b e a π,> u() =, funcţia reapă aluiheaviide,< π Γ(/) (u b) / (u a) /

3 GOM Tranformaa Laplace u b u a = a b (am aplica formulele,, şi linia din abel penru r =/, şi am ţinu con că Γ (/) = π) Exerciiul Să ededucă formula penru ranformaa Laplace a funcţiilor periodicedeperioadă T şi apoi ă ecalculeze ranformaa Laplace a urmăoarelor funcţii (deenând şi graficul funcţiilor original), având perioada indicaă: f () = in,t = π f () =, [, ),T = ½, << f () =,T = 4, << 4 f() =ign(in(π)),t = Soluţii: Dacă f are perioada T aunci criem inegrala din definiţia ranformaei Laplace ca umă de inegrale pe inervale de lungime egală cu perioada şi facem în fiecare inegrală chimbare de variabilă afel încâ inervalul de inegrare ă fie [,T]: Z Z (n+)t L{f ()} ()= e f () d = e f () d = = n= Z T n= nt e (nt +τ) f (nt + τ) dτ = Ã Z!Ã T! X = e τ f (τ) dτ e nt = n= Z T e nt e τ f (τ) dτ = n= R T e τ f (τ) dτ e T (Shimbarea de variabilă afo = nt + τ, amţinucondefapulcădacă f ee periodică de perioadă aunci f (nt + τ) =f (τ) penru orice număr n N şi penru orice τ R Am foloi şi formula penru uma unei progreii geomerice P n= qn = q, cu q = e ) Deoarece T = π formula de mai u devine: L{f ()} () = π/ e in d Penru a calcula inegrala de la e π/ numărăor foloim formulele lui Euler şi obţinem: Z π/ e in d = Z π/ e +i e i d = µ e (i ) π/ j j j e (j+) = j = µ e πj π/ j j = e π/ j Înlocuind obţinem: L{ in } () = +e π/ + + e πj π/ j j + µ j + + j = e π/ + ch π µ j + = + j = +e π/ + = L{f ()} () = e R e d = ³ e Grafic penru e (+) = = + e ( e ) O L{f ()} () = e ³ R e d R ( 4) e d Grafic penru = = +e e = ch

4 Tranformaa Laplace 5 5 Graficul penru ³ R 4 L{f ()} () = e e d R e = ( e ) ( e ) = e (+e ) = h Grafic penru4 Penru inverarea raformaei Laplace menţionăm urmăoarea eoremă: Teorema Dacă F ee o funcţie complexă de variabilă complexă care aiface condiţiile: ee olomorfă în emiplanul Re >σ, lim F () =, uniform în rapor cu arg penru orice cu Re a>σ, inegrala R a+j F () d ee abolu convergenă, a j aunci funcţia f definiă deformula(mellin-fourier): f() = Z a+j F () e d πi a j ee o funcţie original şi L{f ()} () =F () Penru deerminarea inverei un uile urmăoarele două eoreme a lui O Heaviide: Teorema 4 Dacă F ee o funcţie raţională cugradulnumărăorului mai mic decâ gradul numiorului: F () = P () Q () şi Q are rădăcinile,,, n cu ordinele de mulipliciae α,, α n aunci funcţia original f ee daă de: f () = nx k= lim ( k ) α k F () e (α k ) (α k )! k Teorema 5 convergenă) Dacă F () = P a k k= k (penru >R)auncif() =P a k k= (k )! k (eria fiind abolu şi uniform Aplicaţii Inegrarea unor ecuaţii diferenţiale cu coeficienţi conanţi Fie ecuaţia diferenţială liniară neomogenă,cu coeficienţi conanţi: a n x (n) ()+a n x (n ) ()+ + a x ()+a x () =f () () Ne propunem ă deerminăm oluţia x :[, ) R care verifică condiţiile iniţiale: x () = x,x () = x,,x (n ) () = x n () 4

5 GOM Tranformaa Laplace Penru aceaa aplicăm la ecuaţia daă ranformaa Laplace, şi noăm L{f ()} () =F (), L{x ()} () =X () Aplicând proprieăţile (,6) rezulă ecuaţia operaorială aociaăecuaţiei diferenţiale (()) şi condiţiilor iniţiale (()): Ã X n! Ã n X n k! X a k k X () x k a n i n k i = F () (4) Din aceaă ecuaţie rezulă k= X () = k= i= P ³ n k i n k= x Pn k k i= a n i P n k= a k k + P n k= a k k F () Aplicând la prima fracţie eorema 4 a lui Heaviide iar la a doua fracţie aceeaşi eoremă şi formula convoluţiei () obţinem oluţia x () Exemplul Fie ecuaţia ocilaorului liniar: x ()+ x () =f () (5) cu condiţiile inţiale: x () = x,x () = x (6) Aplicând meoda de mai u obţinem ecuaţia operaorială: ( + )X () x x = F () de unde: X () = x + x + + F () + Din abelul de ranformae rezulă: x ()=x co + x in + f () in = = x co + x in + Z f (τ)in( ( τ)) dτ Inegrarea unor ieme de ecuaţii diferenţiale liniare de ordin înâi cu coeficienţi conanţi Fieuniemdeecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi conanţi cri ub formă maricială: x () =A x ()+b() unde A ee o marice păraă deordinn, x () ee o marice coloană formaă din funcţiile necunocue x i,i=,n, b () o marice coloană formaădinn funcţii dae b i,i=,n Ne propunem ă aflăm oluţia iemului care verifică condiţiile iniţiale x i () = x i,i=,n( x va fi maricea coloană acondiţiilor iniţiale) Aplicăm şi aci ranformaa Laplace, şi noând maricea uniae de ordin n cu I n, ranformaa Laplace a lui x () cu X (), ranformaa Laplace a lui b cu B rezulă : I n X ()+x = A X ()+B() de unde X () =(A I n ) x (A I n ) B () Penru a afla oluţia aplicăm ranformaa Laplace inveră şi ţinem con de abelul de ranformae, proprieăţile (-) şi eoremele lui Heaviide Inegrarea unor ecuaţii diferenţiale cu coeficienţi variabili Se aplică meodadacăecuaţia diferenţială penru ranformaă emaiimplă decâ cea iniţială Exemplu (vezi [], pag 8): Să eafle oluţia ecuaţiei x () +x () =, x() = Aplicând ranformaa Laplace şi noând L{x ()} () =X (), pe baza formulelor de derivare a ranformaei şi originalului rezulă ecuaţia : X () = + Inegrând aceaă ecuaţie rezulă X () = + C Dar din eorema rezulă că C =, de unde aplicând eorema IaluiHeaviide,x() = 6 4 Rezolvarea unor ecuaţii inegrale şi inegro-diferenţiale Ecuaţii de forma: Z Ax ()+ x ( τ) g (τ) dτ = f () unde A, B un conane iar f, g un funcţii cunocue La ecuaţia de mai u aplicm ranformaa Laplace şi rezulă ecuaţia AX ()+BX () G () =F () de unde obinem ranformaa X (),şi aplicând eoremele lui Heaviide obţinem funcţia necunocuă x () 5

6 Tranformaa Laplace Ecuaţii de forma: Z Ax ()+ x ( τ) g (τ) dτ = f () penru care ecuaţia care deermină ranformaa ee: A (X () x (+)) + BX () G () =F () 5 Ecuaţii şi ecuaţii diferenţiale cu argumen decala Ecuaţii de forma y ()+Ay ( ) u( ) + By ( ) u ( ) = f () Aplcând ranformaa Laplace şi ţinând con de ranlaţiile în complex rezulă: Y ()+Ae Y ()+Be Y () =F () (7) Din aceaă formulă rezulă: µ a Y () =F () ce b de (8) unde a, b, c, d e deermină prinidenificare Dezvolândfracţiile în erie, privie ca uma unor progreii geomerice, rezulă: Ã! Y () =F () a c n e n b d n e n Din formula precedenă rezulă: Ecuaţii de forma y () = n= n= (ac n bd n ) f ( n) u ( n) n= y ()+Ay ( ) u( ) = f () În ace caz raţionamenul ee analog cu cel de mai u, ecuaţia (7) devenind: Y ()+Ae Y () =F () de unde rezulă Y () = F () a e Adouafracţieedezvolă ca o progreie geomerică, prima după puerile lui şi rezulă Y () = P n= b ³ n P e n n n= an, deundeepoaeobţine y () aplicând eorema II Heaviide şi ranlaţia n în complex 6 Calculul unor inegrale Inegrale de forma R f () d, R Z f() f () d = d, R n f () d, n N La acee inegrale e aplică formulele: Z Z F () d, n f () d =( ) n+ F (n) () La ale ipuri de inegrale e poae aplica ranformaa Laplace inroducând un parameru şi calculând ranformaa Laplace a funcţiei afel obţinue, inverând ordinea de inegrare Apoi e deermină funcţia original şi dând lui o valoare convenabilă e obţine valoarea inegralei Remarca Tranformaa Laplace e poae foloi şi la aflarea oluţiei unor ecuaţii cu derivae parţiale, vezi de exemplu [] pag656, exemplul 4) Bibliografie [] Borilav Crici and All Maemaici Speciale Ediura Didacica i Pedagogica, Bucurei, 98 [] Ion Gh Şabac Maemaici Speciale, volume I Ediura Didacica i Pedagogica Bucurei, 98 a, b, c, d e obţin din egaliaea 6 +Az+Bz = a cz b dz

Σχετικά έγγραφα

SEMINAR TRANSFORMAREA LAPLACE. 1. Probleme. ω2 s s 2, Re s > 0; (4) sin ωt σ(t) ω. (s λ) 2, Re s > Re λ. (6)

SEMINAR TRANSFORMAREA LAPLACE. Probleme. Foloind proprieaea de liniariae, ă e demonreze urmăoarele: in σ(, Re > ; ( + penru orice C. co σ( h σ( ch σ(, Re > ; ( +, Re > ; (3, Re > ; (4. Să e arae că penru