Metaeuristici inspirate de natură
|
|
- Ισίδωρος Βαρουξής
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Metaeuristici inspirate de natură Metaeuristici Swarm Intelligence comportamentul inteligent al mulțimilor ACO - Ant Colony Optimization - Modelul coloniei de furnici PSO - Particle Swarm Optimization - Modelul ansamblului de particule (sau a stolului de păsări) ABC - Artificial Bee Optimization Modelul roiului de albine Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 1
2 Metaeuristici Metaeuristica ansamblu de concepte algoritmice (building box) care permit definirea unor metode euristice ce pot fi aplicate mai multor tipuri de probleme este un cadru general de rezolvare a problemelor care poate fi adaptat ușor pentru diferite probleme particulare Metaeuristică inspirată de natură: Ideile de rezolvare a problemelor sunt preluate din modul în care se desfășoară anumite procese în natură Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 2
3 Swarm intelligence Swarm intelligence = domeniu care cuprinde tehnici inteligente bazate pe comportamentul colectiv al unor sisteme cu autoorganizare și fără control centralizat Termen introdus în 1989 de Gerardo Beni si Jing Wang in contextul sistemelor de roboți Tehnicile din swarm intelligence se bazează pe mulțimi de agenți caracterizati prin: Reguli simple de funcționare Interacțiuni locale Absența unor structuri de control centralizat Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 3
4 Exemple de sisteme naturale având astfel de caracteristici: Colonii de furnici Roiuri de albine Stoluri de păsări Bancuri de pești Reprezintă modele pentru tehnici de rezolvare a unor probleme de optimizare sau de analiză a datelor Swarm intelligence Imagini de la Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 4
5 Sursa de inspirație: comportarea furnicilor în procesele de Căutare a hranei -> rezolvarea unei probleme de optimizare: identificarea drumului optim între hrana și cuib Organizare a coloniei -> rezolvarea unei probleme de grupare a datelor: separarea hranei de corpurile furnicilor moarte sau a larvelor după dimensiuni sau segregarea furnicilor aparținând unor specii diferite Elemente cheie: Comunicare indirectă prin intermediul unor substanțe chimice numite feromoni; acest proces de comunicare este denumit stigmergie Stabilirea similarității dintre furnici pe baza mirosului (o furnică recunoaște dacă o altă furnică face parte din același cuib sau nu) Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 5
6 Rolul feromonilor: experimentul podului dublu [Deneubourg, 1990] Specia de furnici analizata: Argentine - Două căi de acces între cuib și hrană - Inițial furnicile aleg la întâmplare una dintre căi - La fiecare parcurgere a drumului furnicile depun feromoni - Drumul mai scurt este parcurs de mai multe ori așa că va acumula o cantitate mai mare de feromoni Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 6
7 Rolul feromonilor: experimentul podului dublu - Dacă există diferență între cantitatea de feromoni depusă pe cele doua trasee, furnicile vor prefera traseul marcat mai intens - Treptat din ce în ce mai multe furnici vor alege traseul cu mai mulți feromoni contribuind și mai mult la sporirea cantității de feromoni (feedback pozitiv) Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 7
8 Rolul feromonilor: experimentul podului dublu - Cantitatea de feromon nu crește permanent ci poate și să scadă ca efect al unui proces de evaporare - Procesul de evaporare este util în cazul aparițiilor unor schimbari în mediu Ilustrare: Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 8
9 Rezolvarea unei probleme de optimizare Ant Colony Optimization Idee: soluția problemei este identificată folosind o mulțime de furnici artificiale (agenți) care schimbă informatți privind calitatea soluției Exemplu: problema comis-voiajorului Intrare: graf etichetat corespunzator conexiunilor dintre orașe și costurilor corespunzătoare parcurgerii unei comexiuni Ieșire: o ordine de parcurgere a orașelor caracterizata prin cost total minim Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 9
10 ACO pentru problema comis voiajorului: - Se utilizează o populație de furnici care sunt implicate intr-un proces iterativ - La fiecare iterație fiecare furnică parcurge câte un traseu in graful asociat problemei. La parcurgerea traseului furnicile respecta urmatoarele reguli: - Nu trec de două ori prin același nod - Decizia de a alege o muchie este aleatoare, iar probabilitatea de selecție depinde atât de costul muchiei cât și de cantitatea de feromon asociata muchiei - După construirea traseelor se actualizează cantitatea de feromoni corespunzătoare muchiilor astfel încat muchiilor ce fac parte din trasee de cost mic să li se asocieze o cantitate mai mare de feromoni. Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 10
11 Structura generală a algoritmului Notații: tmax = număr iterații; a=număr agenți (furnici); i p = indice nod P = probabilitate de tranziție, L = cost traseu, tau = concentrație feromoni Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 11
12 Variante: Obs: variantele diferă între ele în principal prin modul de calcul al probabilității de tranziție și regula de actualizare a concentrației de feromoni Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 12
13 Particularități ale variantei inițiale (Ant Systems) Problema comis voiajorului Reprezentarea soluției: (i 1,i 2,,i n ) permutare a mulțimii de indici ai orașelor Probabilități de tranziție (furnica k trece la momentul t de la orașul i la orașul j) Lista oraselor nevizitate inca de furnica k Concentrația de feromon corespunzătoare arcului (i,k) Factor invers proporțional cu costul arcului (i,k) Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 13
14 Particularități ale variantei inițiale (Ant Systems) Actualizarea concentrației de feromoni (la sfârșitul fiecărei iterații) evaporare feromon constantă Lungimea traseului parcurs de furnica k Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 14
15 Particularități ale altor variante: Max-Min Ant System (MMAS): - concentrația de feromoni corespunzătoare fiecărui arc este limitată la valori cuprinse într-un interval - la sfârșitul fiecărei iterații se modifică concentrația de feromoni doar pentru arcele corespunzătoare celui mai bun traseu Ant Colony System (ACS) - utilizează și o ajustare locală a concentrației de feromoni aplicată ori de câte ori este vizitat un arc (pe lângă ajustarea globală similară cu cea ce la variantă Max-Min): valoarea initiala a concentratiei Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 15
16 Exemple de aplicatii Modelul coloniei de furnici Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 16
17 Aplicații în probleme reale: - Probleme de rutare în rețele de telecomunicații (optimizare în medii dinamice) - Probleme de stabilire a rutelor pentru vehicule - Probleme de planificare a task-urilor Companii care au aplicat ACO în rezolvarea problemelor: (routing/schedule of airplane flights, supply chain networks) (vehicle routing) Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 17
18 Utilizare în gruparea datelor. Folosește ca sursă de inspirație - procesul prin care furnicile separă larvele după dimensiuni sau furnicile moarte (Lumer &Faieta, 1994) - Modul în care furnicile identifică furnicile aparținând altei specii care pătrund în cuibul lor (AntClust Labroche, 2002) Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 18
19 AntClust algoritm pentru gruparea datelor [Labroche, 2002] Colonia de furnici Furnica Cuib (furnici de acelasi tip) Tip de miros Intalnirea a doua furnici Crearea unui cuib Migrarea furnicilor intre cuiburi Eliminarea unei furnici din cuib Proces de grupare a datelor Data Cluster (clasa de date similare) Prag de similaritate Compararea a doua date Initierea unui cluster Transfer de date de la un cluster la altul Eliminarea unei date dintr-un cluster Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 19
20 Pentru gruparea a n date sunt folosite n furnici fiecare caracterizată prin: O dată asociată, x O etichetă corespunzătoare clusterului, L Un prag de similaritate, T Un contor al întâlnirilor cu alte furnici, A O măsură a dimensiunii cuibului (percepția proprie), M O măsură a gradului de acceptare de către celelalte furnici, M + Structura algoritmului AntClust Faza de învățare a pragului de similaritate Faza întâlnirilor Faza de rafinare a clusterilor Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 20
21 Calcul neuronal si evolutiv - Curs Modelul coloniei de furnici Faza de învățare a pragului: Pt fiecare furnică, pragul T se calculează pe baza similarității medii și a celei maxime cu celelalte date 2 )), ( ( avg )), ( ( max j i S j i S T j j i + = = = n k k k k j k i x x x x n j i S 1 min max 1 1 ), ( Arii de similaritate Date
22 Faza întâlnirilor aleatoare: Se selectează aleator k M perechi de furnici Când furnica i întâlnește furnica j, se calculeaza similaritatea S(i,j) și se analizează: Situatie de acceptare If S(i,j)>Ti and S(i,j)>Tj then furnicile se accepta reciproc altfel se resping Se aplică un set de reguli pe baza cărora se modifică eticheta furnicii și valorile mărimilor care exprimă percepția furnicii în privința cuibului din care face parte Situatie de respingere Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 22
23 Reguli de acceptare: Regula 1 Regula 1: Daca se intalnesc doua furnici neetichetate ele vor forma un nou cuib Regula 2: Daca o furnica neetichetata intalneste una etichetata atunci este inclusa in acelasi cuib Regula 2 Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 23
24 Reguli de acceptare: Regula 3: La întâlnirea a două furnici din același cuib se incrementează parametrii M și M + Regula 5: La întâlnirea a două furnici din cuiburi diferite furnica având M mai mic este atrasă în celălalt cuib iar parametrii M ai ambilor furnici sunt decrementați. Incrementare inc( v ) = (1 α ) v +α Decrementare dec( v ) = (1 α)v α (0,1) parametru M si M + apartin lui [0,1) Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 24
25 Regula de respingere: Regula 4: Dacă se întâlnesc două furnici din același cuib care se resping atunci: Furnica cu valoare mai mica pentru M + este eliminată din cuib iar parametrii săi sunt resetați parametrul M al celeilalte furnici este mărit iar parametrul M + este micșorat Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 25
26 Structura algoritmului Modelul coloniei de furnici Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 26
27 Exemplu AntClust KMeans Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 27
28 Modelul ansamblului de particule Algoritm dezvoltat inițial de James Kennedy şi Russell Eberhart pentru optimizarea funcţiilor neliniare (1995) Sursa de inspirație: comportarea stolurilor de păsări, bancurilor de pești, roiuri de albine -> sunt asimilate unui ansamblu de particule care se deplasează în spațiul de căutare pentru a identifica optimul Biblio: Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 28
29 Modelul ansamblului de particule Idee: Se folosește un ansamblu de particule a căror poziții sunt din domeniul funcției obiectiv și care sunt modificate printr-un proces iterativ La fiecare iterație se stabilește noua poziție a fiecărei particule în funcție de: Poziția curentă a particulei Cea mai bună pozitie întâlnită de către particulă (local best) Cea mai buna poziție întâlnită de către ansamblu (global best) Structura generală: Inițializare poziții particule REPEAT calcul viteze actualizare pozitii UNTIL <condiție de oprire> Ilustrare: Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 29
30 Modelul ansamblului de particule Regula de ajustare a poziției particulelor Cea mai bună poziție a particulei i Cea mai bună poziție a ansamblului de particule Valori aleatoare din (0,1) Componenta j a poziției particulei i la momentul t Componenta j a vitezei particulei i la momentul (t+1) Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 30
31 Modelul ansamblului de particule Variante Introducerea unui factor de inerție (w) și a unui factor constrictiv pentru a limita creșterea vitezei (gamma) Utilizarea vecinătăților pentru calculul celui mai bun element (p b se determină luând în considerare doar vecinii lui i). Exemplu de topologie: circulară Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 31
32 Modelul roiului de albine Artificial Bee Colony (ABC) [Karaboga, 2005] Sursa de inspirație: comportamentul inteligent al albinelor în procesul de identificare a surselor de hrană (nectar) Utilizează o populație de albine constituită din trei categorii: Albine alocate unei surse de hrană (lucrătoare) Albine observatoare Albine cercetașe Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 32
33 Modelul roiului de albine Albine lucratoare (employed foragers) Sunt asociate unei surse de hrana (miere) pe care o exploatează Poseda informatie privind calitatea sursei de hrana (pe care o transmit și unora dintre albinele observator) Albine observator (onlookers): Colectează informatii de la albinele lucrătoare și după ce identifică o sursă de hrană devin albine lucrătoare Albine cercetaș (scouters) Explorează în mod aleator spațiul de căutare pentru a identifica noi surse de hrană Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 33
34 Modelul roiului de albine Pas 1: Se inițializează aleator locațiile din spațiul de căutare unde sunt plasate albinele lucrătoare Pas 2: Cât timp e satisfacută condiția de continuare se execută: Albinele lucrătoare transmit informații privind calitatea locației în care se află către albinele observator; fiecare albină observator selectează o locație; selecția se bazează pe o distribuție de probabilitate determinată de valorile scorurilor asociate; Albinele lucrătoare explorează vecinătatea locației în care se află și se mută într-o altă locație vecină dacă aceasta este mai bună; dacă o albină lucrătoare nu descoperă într-un număr limită de pași o configurație mai bună atunci ea este relocată într-o poziție determinată de o albină cercetaș Albinele cercetaș își schimbă aleator poziția Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 34
35 Detalii: Modelul roiului de albine Notații: NB = număr de albine lucrătoare, NO = număr de albine observator, f = funcția scor, n = dimensiunea problemei Alegerea noii locații de către o albină observator se face prin selecție proporțională folosind distribuția de probabilitate P( x ) i = NB j= 1 f ( x ) i f ( x Modificarea pozitiei unei albine lucrătoare i se bazează pe: j ) j j j j vi = xi ( t) + φij ( xi ( t) xk ( t)), j = 1, n unde k este indicele unei albine lucrătoare aleasa aleator, parametru aleator in [-1,1] φ ij este un Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 35
36 Modelul roiului de albine Detalii: Dacă configurația v i este mai bună decât x i (t) atunci x i (t+1) va fi v i, altfel rămâne x i (t) Observație. Intr-un algoritm ABC există mai multe tipuri de selecție: Selecție globală (bazată pe distribuția de probabilitate definită pe slide-ul anterior) folosită de catre albinele observator pentru a identifica regiuni promițătoare Selecție locală (bazată pe calculul și analiza unei configurații vecine v i ) realizată atât de albinele lucrătoare cât și de către albinele observator Selecție aleatoare realizată de către albinele cercetaș care sunt relocate în poziții stabilite aleator Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 36
37 In loc de concluzii Calcul neuronal si evolutiv - Curs 12 37
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Curs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Integrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Optimizare cu colonii de furnici 1
Optimizare cu colonii de furnici 1 Catalin Stoean catalin.stoean@inf.ucv.ro http://inf.ucv.ro/~cstoean 1 Evolutie si inteligenta artificiala. Paradigme moderne si aplicatii, R. Stoean, C. Stoean Inspiratia
4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
riptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Laborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu
INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:
Curs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili
Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru
5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Criptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Laborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale
Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul
MARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Subiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
5.1. Noţiuni introductive
ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul
RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Subiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
FLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT. x 4
FLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT Se numeşte reţea de transport un graf în care fiecărui arc îi este asociat capacitatea arcului şi în care eistă un singur punct de intrare şi un singur punct de ieşire.
Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
prin egalizarea histogramei
Lucrarea 4 Îmbunătăţirea imaginilor prin egalizarea histogramei BREVIAR TEORETIC Tehnicile de îmbunătăţire a imaginilor bazate pe calculul histogramei modifică histograma astfel încât aceasta să aibă o
Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy
Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,
Algoritmi genetici. 1.1 Generalităţi
1.1 Generalităţi Algoritmii genetici fac parte din categoria algoritmilor de calcul evoluţionist şi sunt inspiraţi de teoria lui Darwin asupra evoluţiei. Idea calculului evoluţionist a fost introdusă în
Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Scoruri standard Curba normală (Gauss) M. Popa
Scoruri standard Curba normală (Gauss) M. Popa Scoruri standard cunoaştere evaluare, măsurare evaluare comparare (Gh. Zapan) comparare raportare la un sistem de referință Povestea Scufiței Roşii... 70
Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:
Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,
Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
V O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Algoritmica grafurilor XI. Cuplaje in grafuri. Masuri de calitate. Numere Ramsey
Algoritmica grafurilor XI. Cuplaje in grafuri. Masuri de calitate. Numere Ramsey Mihai Suciu Facultatea de Matematică și Informatică (UBB) Departamentul de Informatică Mai, 16, 2018 Mihai Suciu (UBB) Algoritmica
riptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 21.2 - Sistemul de criptare ElGamal Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Scurt istoric
2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER
2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare Copyright Paul GASNER Definiţii Un decodor pe n bits are n intrări şi 2 n ieşiri; cele n intrări reprezintă un număr binar care determină în mod unic care
Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
VII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 4. Măsurarea parametrilor mărimilor electrice
Laborator 4 Măsurarea parametrilor mărimilor electrice Obiective: o Semnalul sinusoidal, o Semnalul dreptunghiular, o Semnalul triunghiular, o Generarea diferitelor semnale folosind placa multifuncţională
CIRCUITE INTEGRATE MONOLITICE DE MICROUNDE. MMIC Monolithic Microwave Integrated Circuit
CIRCUITE INTEGRATE MONOLITICE DE MICROUNDE MMIC Monolithic Microwave Integrated Circuit CUPRINS 1. Avantajele si limitarile MMIC 2. Modelarea dispozitivelor active 3. Calculul timpului de viata al MMIC
SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice
4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici oltmetre electronice analogice oltmetre de curent continuu Ampl.c.c. x FTJ Protectie Atenuator calibrat Atenuatorul calibrat divizor rezistiv R in const.
II. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g.
II. 5. Problee. Care ete concentraţia procentuală a unei oluţii obţinute prin izolvarea a: a) 0 g zahăr în 70 g apă; b) 0 g oă cautică în 70 g apă; c) 50 g are e bucătărie în 50 g apă; ) 5 g aci citric
Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Analiza bivariata a datelor
Aaliza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor! Presupue masurarea gradului de asoiere a doua variabile sub aspetul: Diretiei (aturii) Itesitatii Semifiatiei statistie Variabilele omiale Tabele
Elemente de bază în evaluarea incertitudinii de măsurare. Sonia Gaiţă Institutul Naţional de Metrologie Laboratorul Termometrie
Elemente de bază în evaluarea incertitudinii de măsurare Sonia Gaiţă Institutul Naţional de Metrologie Laboratorul Termometrie Sonia Gaiţă - INM Ianuarie 2005 Subiecte Concepte şi termeni Modelarea măsurării
Proiectarea Algoritmilor 2. Scheme de algoritmi Divide & Impera
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Proiectarea Algoritmilor 2. Scheme de algoritmi Divide & Impera Cuprins Scheme de algoritmi Divide et impera Exemplificare
a. 0,1; 0,1; 0,1; b. 1, ; 5, ; 8, ; c. 4,87; 6,15; 8,04; d. 7; 7; 7; e. 9,74; 12,30;1 6,08.
1. În argentometrie, metoda Mohr: a. foloseşte ca indicator cromatul de potasiu, care formeazǎ la punctul de echivalenţă un precipitat colorat roşu-cărămiziu; b. foloseşte ca indicator fluoresceina, care
Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Sisteme liniare - metode directe
Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K
Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie
FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri
EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
11.2 CIRCUITE PENTRU FORMAREA IMPULSURILOR Metoda formării impulsurilor se bazează pe obţinerea unei succesiuni periodice de impulsuri, plecând de la semnale periodice de altă formă, de obicei sinusoidale.
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
3. ALGORITMI GENETICI
3. ALGORITMI GENETICI Un algoritm genetic efectuează operaţii specifice în cadrul unui proces de reproducere guvernat de operatori genetici. Noile soluţii sunt create prin selecţia şi recombinarea cromozomilor
Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică
Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Dorel Lucanu Faculty of Computer Science Alexandru Ioan Cuza University, Iaşi, Romania dlucanu@info.uaic.ro PA 2014/2015 D. Lucanu (FII - UAIC) Programare
Aparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1
Aparate de măsurat Măsurări electronice Rezumatul cursului 2 MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 1. Aparate cu instrument magnetoelectric 2. Ampermetre şi voltmetre 3. Ohmetre cu instrument magnetoelectric
Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
CURS 11. Rădăcină unei ecuatii: Cum se defineste o rădăcină aproximativă?
CURS 11 Rezolvarea ecuaţiilor transcendente Fie ecuatia: f(x)=0 algebrică - dacă poate fi adusă la o formă polinomială transcendentă dacă nu este algebrică Ecuaţii algebrice: 3x=9; 2x 2-3x+2=0; x5=x(2x-1);
Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu,
Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu, Iaşi Repere metodice ale predării asemănării în gimnaziu
Curs 4. RPA (2017) Curs 4 1 / 45
Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 4 RPA (2017) Curs 4 1 / 45 Cuprins 1 Analiza structurală a reţelelor Petri Sifoane Capcane Proprietăţi 2 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Reţele workflow 3
2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
CURS 11: Programare dinamică - I - Algoritmica - Curs 11 1
CURS 11: Programare dinamică - I - Algoritmica - Curs 11 1 Structura Ce este programarea dinamică? Etapele principale în aplicarea programării dinamice Relații de recurență: dezvoltare ascendentă vs.dezvoltare
METODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare
METODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil Laborator: Mădălina-Andreea
Inteligenta Artificiala Universitatea Politehnica Bucuresti Anul universitar
Inteligenta Artificiala Universitatea Politehnica Bucuresti Anul universitar 2010-2011 Adina Magda Florea http://turing.cs.pub.ro/ia_10 si curs.cs.pub.ro Curs nr. 2 Strategii de rezolvare a problemelor
Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25
Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.
9 Testarea ipotezelor statistice
9 Testarea ipotezelor statistice Un test statistic constă în obţinerea unei deducţii bazată pe o selecţie din populaţie prin testarea unei anumite ipoteze (rezultată din experienţa anterioară, din observaţii,
Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Câmp de probabilitate II
1 Sistem complet de evenimente 2 Schema lui Poisson Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) 3 4 Sistem complet de evenimente Definiţia 1.1 O familie de evenimente
Zgomotul se poate suprapune informaţiei utile în două moduri: g(x, y) = f(x, y) n(x, y) (6.2)
Lucrarea 6 Zgomotul în imagini BREVIAR TEORETIC Zgomotul este un semnal aleator, care afectează informaţia utilă conţinută într-o imagine. El poate apare de-alungul unui lanţ de transmisiune, sau prin
( ) () t = intrarea, uout. Seminar 5: Sisteme Analogice Liniare şi Invariante (SALI)
Seminar 5: Sieme Analogice iniare şi Invariane (SAI) SAI po fi caracerizae prin: - ecuaţia diferenţială - funcţia de iem (fd) H() - funcţia pondere h - răpunul indicial a - răpunul la frecvenţă H(j) ăpunul