Inteligenta Artificiala Universitatea Politehnica Bucuresti Anul universitar
|
|
|
- Γαλήνη Αβραμίδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Inteligenta Artificiala Universitatea Politehnica Bucuresti Anul universitar Adina Magda Florea si curs.cs.pub.ro
2 Curs nr. 2 Strategii de rezolvare a problemelor Reprezentarea solutiei problemei Strategii de cautare de baza: nivel, adancime, nivel iterativ (ID), bidirectionala Strategii de cautare informate: best first, cost uniform, A*, cautare euristica cu memorie limitata
3 1. Reprezentarea solutiei problemei Reprezentare prin spatiul starilor Reprezentare prin grafuri SI/SAU Echivalenta reprezentarilor Caracteristicile mediului de rezolvare Pentru a reprezenta si gasi o solutie: Structura simbolica Instrumente computationale Metoda de planificare
4 1.1. Rezolvarea problemei reprezentata prin spatiul starilor Stare Spatiu de stari Stare initiala Stare/stari finala/finale (S i, O, S f ) Solutia problemei Caracteristicile mediului
5 8-puzzle S i S f (a) Stare initiala (b) Stare finala SUS - Mutare patrat liber in sus STINGA - Mutare patrat liber la stinga JOS - Mutare patrat liber in jos DREAPTA - Mutare patrat liber la dreapta (c) Operatori S i STINGA JOS DREAPTA S S S (d) Tranzitii posibile din starea S i
6 1.2 Rezolvarea problemei reprezentata prin grafuri SI/SAU (P i, O, P e ) Semnificatie graf SI/SAU Nod rezolvat Nod nerezolvabil Solutia problemei
7 Graf SI/SAU Nod SAU Noduri SI Noduri SAU
8 Turnurile din Hanoi A B C A B C (a) Stare initiala (b) Stare finala n = 3 A la C O - operator de descompunere n = 2 n = 2 A la B B la C n = 1 A la C n = 1 A la C n = 1 A la B n = 1 C la B n = 1 B la A (c) Arborele SI/SAU de descompunere in subprobleme n = 1 B la C n = 1 A la C
9 1.3 Echivalenta reprezentarilor Tranzitie din S j in S f S j S k S j, S k - stari intermediare (a) Spatiul starilor Tranzitie din S j in S - stare finala f S k Tranzitie din S k in S f (b) Descompunerea problemei in subprobleme
10 1.4 Caracteristicile mediului Observabil / neobservabil Discret / continuu Finit / infinit Determinist / nedeterminist
11 2. Strategii de cautare de baza Criterii de caracterizare Completitudine Optimalitate Complexitate Capacitatea de revenire Informare Conventii: nod necunoscut, evaluat, expandat, FRONTIERA, TERITORIU
12 Costuri ale cautarii Cost parcurgere (cost aplicare operatori) Cost Computational Cost total Cost control (cost evaluare stari) Neinformat Informat Grad de informare
13 2.1. Cautari neinformate in spatiul starilor Algoritm NIV: Strategia cautarii pe nivel in spatiul starilor 1. Initializeaza listele FRONTIERA {S i }, TERITORIU {} 2. daca FRONTIERA = {} atunci intoarce INSUCCES 3. Elimina primul nod S din FRONTIERA si insereaza-l in TERITORIU 4. Expandeaza nodul S 4.1. Genereaza toti succesorii directi S j ai nodului S 4.2. pentru fiecare succesor S j al lui S executa Stabileste legatura S j S daca S j este stare finala atunci i. Solutia este (S j, S,.., S i ) ii. intoarce SUCCES Insereaza S j in FRONTIERA, la sfarsit 5. repeta de la 2 sfarsit.
14 Caracteristici cautare pe nivel Algoritmul presupune spatiul de cautare arbore si nu graf Pentru un spatiu de cautare graf se insereaza pasul 3 3. daca S FRONTIERA TERITORIU atunci repeta de la 2 Strategia cautarii in adancime in spatiul starilor Intr-o reprezentare a solutiei problemei prin spatiul starilor adancimea unui nod se defineste astfel: Ad(S i ) = 0, unde S i este nodul stare initiala, Ad(S) = Ad(S p )+1, unde S p este nodul predecesor nodului S.
15 Algoritm ADANC(AdMax): Strategia cautarii in adancime in spatiul starilor 1. Initializeaza listele FRONTIERA {S i }, TERITORIU {} 2. daca FRONTIERA = {} atunci intoarce INSUCCES 3. Elimina primul nod S din FRONTIERA si insereaza-l in TERITORIU 3. daca Ad(S) = AdMax atunci repeta de al 2 4. Expandeaza nodul S 4.1. Genereaza toti succesorii directi S j ai nodului S 4.2. pentru fiecare succesor S j al lui S executa Stabileste legatura S j S daca S j este stare finala atunci i. Solutia este (S j,.., S i ) ii. intoarce SUCCES Insereaza S j in FRONTIERA, la inceput 5. repeta de la 2 sfarsit.
16 Caracteristici cautare in adancime Cautare in adincime cu nivel iterativ (ID) pentru AdMax=1, m executa ADANC(AdMax) Caracteristici cautare in adancime cu nivel iterativ Cautare de tip backtracking Cautare bidirectionala Care strategie este mai buna?
17 2.2. Cautari neinformate in grafuri SI/SAU Adancimea unui nod Ad(S i ) = 0, unde S i initiala, este nodul problema Ad(S) = Ad(S p ) + 1 daca S p este nod SAU predecesor al nodului S, Ad(S) = Ad(S p ) daca S p este nod SI predecesor al nodului S.
18 Algoritm NIV-SI-SAU: Strategia cautarii pe nivel in arbori SI/SAU. 1. Initializeaza listele FRONTIERA {S i }, TERITORIU {} 2. Elimina primul nod S din FRONTIERA si insereaza-l in TERITORIU 3. Expandeaza nodul S 3.1. Genereaza toti succesorii directi S j ai nodului S 3.2. pentru fiecare succesor S j al lui S executa Stabileste legatura S j S daca S j reprezinta o multime de cel putin 2 subprobleme atunci /* este nod SI */ i. Genereaza toti succesorii subprobleme S k j ai lui ii. Stabileste legaturile intre nodurile S k j S j iii. Insereaza nodurile S k j in FRONTIERA, la sfirsit altfel insereaza S j in FRONTIERA, la sfirsit
19 4. daca nu s-a generat nici un succesor al lui S in pasul precedent (3) atunci 4.1. daca S este nod terminal etichetat cu o problema neelementara atunci Eticheteaza S nerezolvabil Eticheteaza cu nerezolvabil toate nodurile predecesoare lui S care devin nerezolvabile datorita lui S daca nodul S i este nerezolvabil atunci intoarce INSUCCES /* problema nu are solutie */ Elimina din FRONTIERA toate nodurile care au predecesori nerezolvabili
20 4.2. altfel /* S este nod terminal etichetat cu o problema elementara */ Eticheteaza S rezolvat Eticheteaza cu rezolvat toate nodurile predecesoare lui S care devin rezolvate datorita lui S daca nodul S i este rezolvat atunci i. Construieste arborele solutie urmarind legaturile ii. intoarce SUCCES /* s-a gasit solutia */ Elimina din FRONTIERA toate nodurile rezolvate si toate nodurile care au predecesori rezolvati 5. repeta de la 2 sfarsit.
21 2.3. Complexitatea strategiilor de cautare B - factorul de ramificare al unui spatiu de cautare 8-puzzle Numar de miscari: 2 m pt colt = 8 3 m centru lat = 12 4m centru 24 miscari B = nr. misc. / nr. poz. p. liber = 2.67 Numar de miscari: 1 m pt colt = 4 2 m centru lat = 8 3m centru 15 miscari B = 1.67
22 Complexitatea strategiilor de cautare B - factorul de ramificare d- adancimea celui mai apropiat nod solutie m lungimea maxima a oricarei cai din spatiul de cautare Rad B noduri, B 2 pe niv 2, etc. Numarul de stari posibil de generat pe un nivel de cautare d este B d T - numarul total de stari generate intr-un proces de cautare, d adancime nod solutie T = B + B B d = O(B d )
23 Complexitatea strategiilor de cautare Cautare pe nivel Numar de noduri generate B + B B d = O(B d+1 ) Complexitate timp, spatiu Cautare in adancime Numar de noduri generate B*m daca nodurile expandate se sterg din TERITORIU Complexitate timp, spatiu
24 Complexitatea strategiilor de cautare Cautare backtracking Numar de noduri generate m daca se elimina TERITORIU Complexitate timp, spatiu Cautare cu nivel iterativ Numar de noduri generate d*b+(d-1)*b (1)*B d = O(B d ) Complexitate timp, spatiu B=10, d=5 N(BFS)=111110, N(IDS) =
25 b = 10 1 mil. noduri/sec 1000 bytes/nod Adancime Nr noduri Timp Memorie milisec 107 KB milisec 10.6 MB sec 1 GB min 103 GB h 10 TB zile 1 petabytes ani 99 petabytes
26 Complexitatea strategiilor de cautare Criteriu Nivel Adanci me Adanc. limita Nivel iterativ Bidirec tionala Timp B d B d B m B d B d/2 Spatiu B d B*d B*m B d B d/2 Optima litate? Da Nu Nu Da Da Comple ta? Da Nu Da daca m d Da Da B factor de ramificare, d adancimea solutiei, m adancimea maxima de cautare (AdMax)
27 3. Strategii de cautare informate Cunostintele euristice pot fi folosite pentru a creste eficienta cautarii in trei moduri: Selectarea nodului urmator de expandat in cursul cautarii. In cursul expandarii unui nod al spatiului de cautare se poate decide pe baza informatiilor euristice care dintre succesorii lui vor fi generati si care nu Eliminarea din spatiul de cautare a anumitor noduri generate
28 3.1 Cautare informata de tip "best-first" Evaluarea cantitatii de informatie Calitatea unui nod este estimata de functia de evaluare euristica, notata w(n) pentru nodul n Presupuneri pentru functia w(n) Strategia de cautare a alpinistului Strategia de cautare best-first
29 Algoritm BFS: Strategia de cautare "best-first" in spatiul starilor 1. Initializeaza listele FRONTIERA {S i }, TERITORIU {} 2. Calculeaza w(s i ) si asociaza aceasta valoare nodului S i 3. daca FRONTIERA = {} atunci intoarce INSUCCES 4. Elimina nodul S cu w(s) minim din FRONTIERA si insereaza-l in TERITORIU 5. daca S este stare finala atunci i. Solutia este (S,.., S i ) ii. intoarce SUCCES 6. Expandeaza nodul S 6.1. Genereaza toti succesorii directi S j ai nodului S 6.2. pentru fiecare succesor S j al lui S executa Calculeaza w(s j ) si asociaza-l lui S j Stabileste legatura S j S
30 daca S j FRONTIERA TERITORIU altfel atunci introduce S j in FRONTIERA cu w(s j ) asociat i. Fie S j copia lui S j din FRONTIERA sau TERITORIU ii. daca w(s j ) < w(s j ) atunci atunci iii. altfel ignora nodul S j 7. repeta de la 3 sfarsit. - Elimina S j din FRONTIERA sau TERITORIU (de unde apare copia) - Insereaza Sj cu w(sj) asociat in FRONTIERA
31 Varianta alternativa pentru pasul altfel i. Fie S j copia lui S j din FRONTIERA sau TERITORIU ii. daca w(s j ) < w(s j ) atunci - Distruge legatura S j S p, cu S p pred. lui S j - Stabileste legatura S j S, si actualizeaza costul lui S j la w(s j ) - daca S j este in TERITORIU - atunci elimina S j din TERITORIU si insereaza S j in FRONTIERA iii. altfel ignora nodul S j 7. repeta de la 3 sfarsit.
32 Cazuri particulare Strategia de cautare "best-first" este o generalizare a strategiilor de cautare neinformate - strategia de cautare pe nivel w(s) = Ad(S) - strategia de cautare in adincime w(s) = -Ad(S) Strategia de cautare de cost uniform j 1 w(s ) = cost_ arc(s,s ) j k k+ 1 k= i Minimizarea efortului de cautare cautare euristica w(s) = functie euristica
33 3.2 Cautarea solutiei optime in spatiul starilor. Algoritmul A* w(s) devine f(s) cu 2 comp: g(s), o functie care estimeaza costul real g*(s) al caii de cautare intre starea initiala S i si starea S, h(s), o functie care estimeaza costul real h*(s) al caii de cautare intre starea curenta S si starea finala S f. f(s) = g(s) + h(s) f*(s) = g*(s) + h*(s)
34 Componentele functiei euristice din algoritmul A* S i g(s) S f(s) h(s) S f
35 Calculul lui f(s) Calculul lui g(s) Calculul lui h(s) Trebuie sa fie admisibila g(s) = cost_ arc(s,s ) k= i k k+ 1 O functie euristica h se numeste admisibila daca pentru orice stare S, h(s) h*(s). Definitia stabileste conditia de admisibilitate a functiei h si este folosita pentru a defini proprietatea de admisibilitate a unui algoritm A*. n
36 A* admisibil Fie un algoritm A* care utilizeaza cele doua componente g si h ale functiei de evaluare f. Daca (1) functia h satisface conditia de admisibilitate (2) cost_ arc(s,s') c pentru orice doua stari S, S', unde c > 0 este o constanta si costul c este finit atunci algoritmul A* este admisibil, adica este garantat sa gaseasca calea de cost minim spre solutie. Completitudine
37 Implementare A* Strategia de cautare "best-first" se modifica: 2. Calculeaza w(s i )=g(s i ) + h(s i ) si asociaza aceasta valoare nodului S i 3. daca FRONTIERA = {} atunci intoarce INSUCCES - nemodificat 4. Elimina nodul S cu w(s) minim din FRONTIERA si insereaza-l in TERITORIU - nemodificat altfel i. Fie S j copia lui S j din FRONTIERA sau TERITORIU ii. daca g(s j ) < g(s j ) atunci
38 Caracteristicile euristicii algoritmului A* Fie doi algoritmi A*, A1 si A2, cu functiile de evaluare h 1 si h 2 admisibile, g 1 =g 2 f 1(S) = g 1(S) + h 1(S) f 2(S) = g 2 (S) + h 2 (S) Se spune ca algoritmul A2 este mai informat decat algoritmul A1 daca pentru orice stare S h (S) > h (S) 2 1 cu S S f Monotonie h(s) h(s') + cost_arc(op,s,s') pentru orice op,s si S' S diferit de Sf
39 Determinarea functiei de evaluare f 8-puzzle h (S) = 8 1 i i=1 t (S) h (S) = Problema comis-voiajorului 8 h (S) = cost_ arc(s,s) 1 i Distanta(t 2 i i=1 h2(s) = costul arborelui de acoperire de cost minim al oraselor neparcurse pana in starea S )
40 Problema misionarilor si canibalilor VEST EST VEST EST n V m (S i )=0 n E m (S i )=3 n V m (S f )=3 n E m (S f )=0 n V c (Si )=0 n E c (S i )=3 n V c (Sf )=3 n E c (S f )=0 (a) Stare initiala (b) Stare finala
41 Problema misionarilor si canibalilor f 1(S) = g(s) + h 1(S) f 2 (S) = g(s) + h 2(S) E h 1(S) = n (S) h (S) = n (S) / 2 2 E f 3(S) = g(s) + h 3(S) h 3 (S) = n n 0 E E (S) (S) daca daca daca barca este pe malul de VEST si barca este pe malul de EST si n E (S) = 0 n n E E (S) (S) 0 0
42 Relaxarea conditiei de optimalitate a algoritmului A* O functie euristica h se numesteε-admisibila daca * h(s) h (S) +ε cu ε > 0 Algoritmul A* care utilizeaza o functie de evaluare f cu o componenta h ε -admisibila gaseste intotdeauna o solutie al carei cost depaseste costul solutiei optime cu cel multε. Un astfel de algoritm se numeste algoritm A* ε - admisibil iar solutia gasita se numeste solutie ε - optimala.
43 Relaxarea conditiei de optimalitate a algoritmului A* 8-puzzle = + h (S) = h (S) + 3 T(S) f (S) g(s) h (S) T(S) = 8 i= 1 Scor[t (S)] i Scor[t i (S)] = daca patratul t succesorul corect din starea finala pentru orice pozitie a lui pentru t i i in starea S nu este urmat de aflat la centrul mozaicului t i diferita de centru
44 Cautare euristica cu memorie limitata - IDA* Avantaje si dezavantaje A* IDA* Cautarea in adancime este modificata a.i. sa utilizeze o limita de cost (LimCost) in loc de o limita a adancimii (AdMax) Fiecare iteratie expandeaza nodurile din interiorul unui contur de cost LimCost pentru a vedea care sunt nodurile de pe urmatorul contur Si 0+h f= g+h LimCost Daca esueaza (nenatural) se actualizeaza LimCost la min f al nodurilor din cele neexpandate anterior
45 Cautare euristica cu memorie limitata - Best First Recursiv Best first cu spatiu liniar Implementare recursiva Tine minte valoarea f a celei mai bune cai alternative care porneste din orice nod anterior nodulului curent Gaseste solutia de cost minim daca h este admisibila dar are complexitatea spatiu O(B*d)
46 inf S1 447 S S3 S S5 S6 S7 S S9 526 S10 S inf S1 447 S2 393 S3 S S5 S6 417 S S S S13 450
47 inf S1 447 S S3 S S5 S6 S7 S S9 447 S10 S S S S BestFR(S) Strategia Best First recursiv /* intoarce solutie sau INSUCCES */ BFR(Si, inf)
48 Algoritm BFR(S, f_lim): Strategia Best First recursiv /* Intoarce o solutie (nod) sau INSUCCES si o noua limita de cost f_limit */ 1. daca S stare finala atunci intoarce S 2. Genereaza toti succesorii S j ai lui S 3. daca nu exista nici un succesor atunci intoarce INSUCCES, inf 4. pentru fiecare succesor Sj repeta f(s j ) max(g(s j ) + h(s j ), f(s)) 5. Best S j min, nodul cu valoarea f(s j ) minima dintre succesori 6. daca f(best) > f_lim atunci intoarce INSUCCES, f(best) 7. Alternat f(s j min2 ), a 2-a val f(s j ) cea mai mica 8. Rez, f(best) BFR(Best, min(f_lim, Alternat)) 9. daca Rez INSUCCES atunci intoarce Rez, f(best) 10. repeta de la 5 sfarsit.
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Curs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Integrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Curs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Proiectarea Algoritmilor 2. Scheme de algoritmi Divide & Impera
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Proiectarea Algoritmilor 2. Scheme de algoritmi Divide & Impera Cuprins Scheme de algoritmi Divide et impera Exemplificare
SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Criptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Laborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu
INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:
Subiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Algoritmica grafurilor XI. Cuplaje in grafuri. Masuri de calitate. Numere Ramsey
Algoritmica grafurilor XI. Cuplaje in grafuri. Masuri de calitate. Numere Ramsey Mihai Suciu Facultatea de Matematică și Informatică (UBB) Departamentul de Informatică Mai, 16, 2018 Mihai Suciu (UBB) Algoritmica
4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
MARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
riptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Proiectarea Algoritmilor 4. Scheme de algoritmi Programare dinamica
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Proiectarea Algoritmilor 4. Scheme de algoritmi Programare dinamica Bibliografie Cormen Introducere în Algoritmi cap.
Aplicatii in jocuri. Catalin Stoean
Aplicatii in jocuri Catalin catalin.stoean@inf.ucv.ro http://inf.ucv.ro/~cstoean Catalin Jocurile ca probleme de cautare Jocurile sunt fascinante, iar scrierea de programe care sa le joace este chiar si
Sisteme liniare - metode directe
Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K
Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
![Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].](/thumbs/72/67648751.jpg "Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].")
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Curs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015
Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma
Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Subiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
CURS 11. Rădăcină unei ecuatii: Cum se defineste o rădăcină aproximativă?
CURS 11 Rezolvarea ecuaţiilor transcendente Fie ecuatia: f(x)=0 algebrică - dacă poate fi adusă la o formă polinomială transcendentă dacă nu este algebrică Ecuaţii algebrice: 3x=9; 2x 2-3x+2=0; x5=x(2x-1);
Cursul 11. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri.
Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri 17 decembrie 2016 Cuprinsul acestui curs Cuplaje Cuplaj perfect, maxim, maximal Cale
Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Laborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale
Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul
METODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare
METODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil Laborator: Mădălina-Andreea
decembrie 2016 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamilto
Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamiltoniene decembrie 2016 Grafuri Noţiuni fundamentale D.p.d.v. matematic, un graf este o structură G = (V, E) formată din o mulţime de noduri
RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR
1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea
1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
VII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
CURS 11: Programare dinamică - I - Algoritmica - Curs 11 1
CURS 11: Programare dinamică - I - Algoritmica - Curs 11 1 Structura Ce este programarea dinamică? Etapele principale în aplicarea programării dinamice Relații de recurență: dezvoltare ascendentă vs.dezvoltare
EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Teme de implementare in Matlab pentru Laboratorul de Metode Numerice
Teme de implementare in Matlab pentru Laboratorul de Metode Numerice As. Ruxandra Barbulescu Septembrie 2017 Orice nelamurire asupra enunturilor/implementarilor se rezolva in cadrul laboratorului de MN,
III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul
Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea
Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică
Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Dorel Lucanu Faculty of Computer Science Alexandru Ioan Cuza University, Iaşi, Romania dlucanu@info.uaic.ro PA 2014/2015 D. Lucanu (FII - UAIC) Programare
1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
V O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
Grafuri planare Colorarea grafurilor. Curs 12. Grafuri planare. Colorarea grafurilor. Polinoame cromatice. 23 decembrie 2016.
Grafuri planare Polinoame cromatice 23 decembrie 2016 Definiţii şi exemple Grafuri planare Un graf G este planar dacă poate fi desenat în plan astfel încât muchiile să nu se intersecteze decât în nodurile
prin egalizarea histogramei
Lucrarea 4 Îmbunătăţirea imaginilor prin egalizarea histogramei BREVIAR TEORETIC Tehnicile de îmbunătăţire a imaginilor bazate pe calculul histogramei modifică histograma astfel încât aceasta să aibă o
* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Algoritmi genetici. 1.1 Generalităţi
1.1 Generalităţi Algoritmii genetici fac parte din categoria algoritmilor de calcul evoluţionist şi sunt inspiraţi de teoria lui Darwin asupra evoluţiei. Idea calculului evoluţionist a fost introdusă în
Tehnici de Optimizare
Tehnici de Optimizare Cristian OARA Facultatea de Automatica si Calculatoare Universitatea Politehnica Bucuresti Fax: + 40 1 3234 234 Email: oara@riccati.pub.ro URL: http://riccati.pub.ro Tehnici de Optimizare
Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy
Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,
Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili
Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru
Noţiuni introductive
Metode Numerice Noţiuni introductive Erori. Condiţionare numerică. Stabilitatea algoritmilor. Complexitatea algoritmilor. Metodele numerice reprezintă tehnici prin care problemele matematice sunt reformulate
ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR
Bazele cercetării operaţionale. Noţiuni generale ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR În general, pentru situaţiile care necesită la rezolvare un oarecare efort mintal (şi un caz tipic este cel al celor din economie),
z a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie
FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri
2CP Electropompe centrifugale cu turbina dubla
2CP Electropompe centrifugale cu turbina dubla DOMENIUL DE UTILIZARE Capacitate de până la 450 l/min (27 m³/h) Inaltimea de pompare până la 112 m LIMITELE DE UTILIZARE Inaltimea de aspiratie manometrică
Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
I. Noţiuni introductive
Metode Numerice Curs 1 I. Noţiuni introductive Metodele numerice reprezintă tehnici prin care problemele matematice sunt reformulate astfel încât să fie rezolvate numai prin operaţii aritmetice. Prin trecerea
II. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g.
II. 5. Problee. Care ete concentraţia procentuală a unei oluţii obţinute prin izolvarea a: a) 0 g zahăr în 70 g apă; b) 0 g oă cautică în 70 g apă; c) 50 g are e bucătărie în 50 g apă; ) 5 g aci citric
Grafuri. Liviu P. Dinu University of Bucharest Faculty of Mathematics and Computer Science
Grafuri Liviu P. Dinu University of Bucharest Faculty of Mathematics and Computer Science Sumar Definiții Reprezentări Parcurgere în lățime Parcurgere în adîncime Drumuri în grafuri. Conexitate Matricea
Transformata Laplace
Tranformata Laplace Tranformata Laplace generalizează ideea tranformatei Fourier in tot planul complex Pt un emnal x(t) pectrul au tranformata Fourier ete t ( ω) X = xte dt Pt acelaşi emnal x(t) e poate
FLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT. x 4
FLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT Se numeşte reţea de transport un graf în care fiecărui arc îi este asociat capacitatea arcului şi în care eistă un singur punct de intrare şi un singur punct de ieşire.