9 Testarea ipotezelor statistice

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "9 Testarea ipotezelor statistice"

Transcript

1 9 Testarea ipotezelor statistice Un test statistic constă în obţinerea unei deducţii bazată pe o selecţie din populaţie prin testarea unei anumite ipoteze (rezultată din experienţa anterioară, din observaţii, din teorie, sau din cerinţe legate de calitatea produselor, etc). De multe ori această ipoteză este o afirmaţie referitoare la valoarea parametrului necunoscut al densităţii populaţiei, spre exemplu media sau dispersia populaţiei. Rezultatul testării este apoi folosit pentru luarea unei anumite decizii, cum ar fi decizia de cumpărare a unui anumit automobil (bazată pe testul priving consumul de carburant), de administrare a unui anumit medicament (bazată pe testul privind eficienţa acestuia), de aplicare a unei anumite strategii de marketing (bazată pe testul privind reacţia consumatorilor la această strategie), etc. Testarea unei ipoteze statistice este procedeul prin care folosind informaţia dintr-o selecţie a populaţiei se ajunge la o decizie asupra ipotezei în cauză. Dacă informaţia dată de selecţie este consistentă cu ipoteza, atunci se acceptă ipoteza, iar în caz contrar aceasta este respinsă. Pentru a înţelege modul de aplicare a testului statistic, considerăm următorul exemplu. Exemplul 9.1 Dorim să cumpărăm 100 km de cablu de un anumit tip,cu condiţia că specificaţia producătorului că acest cablu are o rezistenţă deruperede = 0 =200kg este îndeplinită. Aceasta reprezintă testareaipotezei (numită ipoteza nulă) = 0 = 200. Decidemsănucumpărăm cablul dacă testul statistic arată căvaloareareală = 1 200, deoarece aceasta arată căacesttipdecabluareorezistenţă laruperemaimică decât cea dorită. Valoarea 1 se numeşte ipoteza alternativă a testului. Formalizăm aceasta prin 0 : = : 200 Dacă rezultatul testului sugerează căipotezanulă 0 este adevărată, vom accepta această ipoteză, iar în caz contrar o vom respinge (şi vom accepta deci ipoteza alternativă 1 ). Trebuie avut însă în vedere că verificarea cu siguranţă a ipotezei considerate este imposibilă în practică(cu excepţia cazului când se poate selecta întreaga populaţie), şi deci verificarea ipotezelor statistice trebuie avută în vedere probabilitatea luării unei decizii greşite: vom nota prin probabilitatea de a respinge ipoteza nulă 0 când de fapt aceasta este adevărată. Valoarea se numeşte nivelul de semnificaţie al testului. Selectând în mod aleator 25 de role de cablu, şi tăiând câte o bucată dinfiecare, obţinem un eşantion de volum =25din populaţia considerată. Dacă semăsoară rezistenţa la rupere a fiecărei bucâţi de cablu, obţinem spre exemplu rezistenţamediederupere = 197 kg şi abaterea pătratică medie =6kg. Ne punem problema dacă diferenţa = 3 este datorată anumitor factori aleatori (erori de măsurare, spre exemplu), sau dacă ea este semnificativă pentru populaţia studiată. Dacă presupunemcărezistenţa cablului este o variabilă aleatoare normală N 2,înipotezacă = 0 = 200 (adică dacă ipoteza nulă este adevărată), variabila aleatoare = 0 este o variabilă aleatoarestudentcu 1 grade de libertate. Deoarece în acest caz este iportantă respingerea ipotezei nule când valoarea medie a eşantionului este mică (când cablul nu are rezistenţa dorită), pentru un nivel de semnificaţie =5%fixat, folosind Anexa 3 determinăm valoarea constantei astfel încât () = ( ) = =005, obţinând = 171 (deoarece valoarea , pentru a determina pe folosind Anexa 3, folosim faptul că distribuţia Student este simetrică faţă deorigine,şi determinăm astfel încât ( ) =1 005 = 095 adică =171. Valoarea lui este deci = = 171. A se vedea Figura 15). Ideea testului este următoarea: dacă ipotezanulăesteadevărată, probabilitatea ca o valoare calculată alui să fie maimică decât = 171 este =005 (probabilitatea este aproape nulă). Deci, dacă pentru selecţia considerată observăm ca valoarea este mai mică decât = 171, afirmăm că ipotezanulănupoatefi adevărată şi respingem această ipoteză, adică acceptăm ipoteza alternativă. Dacă însă, atunciacceptăm ipoteza nulă. În cazul concret prezentat avem 1 1 Înlocuim = 1++ (media selecţiei) şi = = = 6 = 5 = =1( ) 1 (dispersia selecţiei) prin valorile observate =197şi =6. 61

2 F (c) =α = F ( c) =α =0.05 c = c =1.71 Figure 15: Funcţia de densitate a distribuţiei Student este simetrică faţă de origine. şi deci respingem ipoteza nulă = 0 = 200 şi acceptăm ipoteza alternativă = Exemplul anterior ilustrează etapele parcurse în elaborarea unui test statistic, şi anume: 1. Se formulează ipotezanulă( = 0 în exemplul anterior) 2. Se formulează ipoteza alternativă ( 0 în exemplul anterior) 3. Se alege un nivel de semnificaţie dorit (spre exemplu 5% 1%, 01%, etc) 4. Se determină ovariabilă aleatoare ˆΘ = ( 1 ) ce depinde de parametrul necunoscut al populaţiei, dar a cărei distribuţie nu depinde de. Folosind distribuţia variabilei aleatoare ˆΘ se determină valoarea critică ( ( ) = în exemplul anterior) 5. Pentru valori 1 ale eşantionului, se determină valoarea observată ˆ = ( 1 ) alui ˆΘ. 6. Se acceptă sau se respinge ipoteza nulă, în funcţiedevalorileconcretealuiˆ şi (în exemplul anterior, se respinge ipoteza nulă dacă ) 9.1 Diferite ipoteze alternative Să presupunem parametrul necunoscut al populaţiei studiate este, şi că ipotezanulătestatăeste = 0. principiu, în acest caz există trei ipoteze alternative, şi anume: În (1) 0 (2) 0 (3) 6= 0 (1) şi(2) se numesc ipoteze alternative unilaterale, iar(3) se numeşte ipoteză alternativă bilaterală. În cazul ipotezei alternative (1), valoarea critică trebuie aleasă ladreaptalui 0,pentrucă în acest caz valorile din ipoteza alternativă seaflă ladreaptalui 0 (a se vedea Figura 16). Regiunea pentru care se acceptă ipoteza nulă (la stânga lui înacestcaz)senumeşte regiune de acceptare, iar regiunea pentru care se respinge ipoteza nulă (la dreapta lui înacestcaz)senumeşte regiune de respingere. Valoarea care separă aceste regiune se numeşte valoare critică. În mod similar, în cazul ipotezei (2), valoarea critică trebuie aleasă lastangalui 0, iar în cazul ipotezei alternative (3), valorile critice 1 şi 2 trebuie alese de o parte şidealtaalui 0. Toate cele trei ipoteze alternative prezentate apar în probleme practice, cum ar fi: - atunci când este important ca valoarea lui să nudepăşească o valoarea maximă admisă 0 (spre exemplu tensiunea maximă de alimentare a unui circuit electric), se alege ipoteza alternativă (1) - atunci când este important ca valoarea lui să nufie maimică decât o valoare minimă admisă 0 (ca în exmplul anterior), se alege ipoteza alternativă (2) - atunci când este important ca valoarea lui să aibă exact dimensiunea dorită (spre exemplu diametrul unui şurub trebuie să aibă o dimensiune precisă pentru a putea fi înfiletat), se alege ipoteza alternativă (3). 62

3 Regiune de acceptare (Se accepta ipoteza nula) θ 0 c c θ 0 Regiune de acceptare (Se accepta ipoteza nula) Regiune de acceptare (Se accepta ipoteza nula) c 1 θ 0 c 2 Figure 16: Cele trei tipuri de ipoteze alternative: (1) 0 (sus), (2) 0 (mijloc) şi (3) 6= 0 (jos). 9.2 Erori în testarea ipotezelor În testarea ipotezelor apare riscul a două tipuri de decizii eronate: (I) Respingerea ipotezei nule atunci când ea este adevărată (numită eroare de tip I). Notăm cu probabilitatea unei erori de tip I, adică (se respinge 0 0 este adevărată) = (II) Acceptarea ipotezei nule atunci când ea este falsă (numităeroaredetipii).notăm cu probabilitatea unei erori de tip II, adică (se acceptă 0 0 este falsă) = Cu toate că nu putem elimina apariţia acestor două tipurideerori,putemalegeniveleacceptabiledeapariţie a acestor erori, şi. Spre exemplu, să considerăm cazul testării ipotezei = 0 în cazul ipotezei alternative = 1 0 (celelate cazuri sunt similare). Alegem o valoare critică corespunzătoare, şi pentru un eşantion fixat 1 calculăm valoarea ˆ = ( 1 ) pentru o anumită funcţie (spre exemplu, în cazul în care reprezintă media, alegem ( 1 )= = 1++ ). Dacă ˆ respingem ipoteza nulă, iar dacă ˆ o acceptăm. Valoarea ˆ este valoarea observată a variabilei aleatoare ˆΘ = ( 1 ), deoarece 1 sunt valorile observate ale selecţiei 1. În cazul unei erori de tip I, ipoteza nulă este respinsă deşi ea este adevărată (adică = 0 ), şi deci probabilitatea acestei erori este ³ ˆΘ (1 ) = 0 = iar se numeşte nivelul de semnificaţie al testului. În cazul unei erori de tip II, ipoteza nulă este acceptată deşi ea este falsă (adică = 1 ), şi deci probabilitatea acestei erori este ³ ˆΘ (1 ) = 1 = iar =1 se numeşte puterea testului ( este probabilitatea de a respinge ipoteza nulă atunci când ea este falsă). Probabilităţile şi din formulele anterioare depind de valoarea lui, şi este dorit ca valoarea lui să fie astfel aleasă încât ambele probabilităţi să fie cât mai mici. Acest lucru nu este însă posibil, deoarece pentru ca probabilitatea să fie minimă, trebuie ales cât mai mare (spre dreapta lui 0 ), şi atunci probabilitatea creşte. În practică, se alege o valoare convenabilă pentru (spre exemplu =5%sau 1%), se determină valoarea lui, şi apoi se calculează valoarea lui. Dacă valoarea obţinută este prea mare, atunci se repetă testul, considerând o selecţie de volum mai mare. Dacă ipoteza alternativă nuestedeforma = 1 ci de una din formele (1) (3), atunci probabilitatea este o funcţie de (numită caracteristică deoperare). Graficul acestei funcţii (numit curbă caracteristică) permite determinarea probabilităţii pentru o anumită valoarea a lui (şi al volumului al selecţiei). 63

4 9.3 Test pentru media a unei populaţii normale cu dispersie cunoscută Presupunem că populaţia N 2 este normală cudispersie 2 cunoscută, şi considerăm spre exemplu cazul testului 0 : = 0 1 : 6= 0 pentru media a populaţiei (cazul ipotezelor alternative 0, respectiv 0 este similar). Dacă 1 este o selecţie a populaţiei N 2, rezultă că media de selecţie = 1++ ³ este o variabilă aleatoare normală N 2 cu medie şi dispersie 2.Dacăipoteza nulă esteadevărată (adică = 0), variabila aleatoare = 0 N (0 1) este o variabilă aleatoare normală standard. Pentru un nivel de semnificaţie fixat, determinăm punctul 2 cu proprietatea că aria de sub densitatea normală standard, la dreapta acestui punct, este egală cu2, adică Φ 2 = 2 =1 2 unde Φ este funcţia de distribuţie normală standard (a se vedea Anexa 1 sau Anexa 2). Folosind faptul că distribuţia normală standardestesimetricăfaţă deorigine,obţinem că dacă ipoteza nulă este adevărată, atunci Ã! =1 sau echivalent (rezolvând dubla inegalitate în raport cu ) µ =1 Testul este deci următorul: pentru valori observate 1 ale selecţiei ³ 1, se³ calculează media = 1++.Dacăvaloarea calculată aparţine regiunii de respingere se respinge ipoteza nulă (şi deci se acceptă ipoteza alternativă 6= 0 ), iar în caz contrar se acceptă ipoteza nulă = 0. Definim -valoarea testului ca fiind egală cu cel mai mic nivel de semnificaţie pentru care se respinge ipoteza nulă pentruuneşantion 1 fixat. În cazul prezentat, aceasta revine la ³ adică =2 1 Φ ³ 0 = 0 ± 2 2 = 0 Φ. Ã 0! =1 2 Exemplul 9.2 Fie o populaţie cu o distribuţie normală având dispersie cunoscută 2 =9. Folosind un eşantion de volum =10cu medie să se testeze ipoteza nulă = 0 =24în cazul ipotezei alternative (a) 0 (b) 0 (c) 6= 0 Considerăm nivelul de semnificaţie =5%. Un estimator al mediei este = iar dacă ipotezanulă este adevărată, atunci este o variabilă aleatoarenormalăcumedie =24şi dispersie =09, şi folosind Anexa 2 se determină valoarealui după cum urmează. 2 64

5 Cazul (a). În acest caz, determinăm valoarea lui astfel încât =24 = =005, adică µ 24 ( = 24) = Φ =1 = Folosind Anexa 2 se determină nulă este acceptată, iar dacă 2556 ea este respinsă. Puterea testului este dată de =1645, şi deci =2556. Dacămediaeşantionului 2556, ipoteza () = = 24 = = 24 =1 Φ µ Cazul (b). În acest caz, determinăm valoarea lui astfel încât µ 24 ( = 24) = Φ = = Folosind Anexa 2 se determină = 1645, şi deci =2244. Dacămediaeşantionului 2244, ipoteza nulă este acceptată, iar dacă 2244 ea este respinsă. Puterea testului este () = µ = 24 = Φ 09 Cazul (c).cum distribuţia normală estesimetricăfaţă de origine, determinăm constantele 1 şi 2 astfel încât să fie egaldepărtate faţă demedia 0 =24, adică vomconsidera 1 =24 şi 2 =24+ şi determinăm constanta astfel încât µ µ =24 = Φ Φ =1 = Folosind Anexa 2, obţinem 09 =1960, sau =186, şi deci 1 = = 2214 şi 2 = = Dacă media aeşantionului este cuprinsă între 1 şi 2, acceptăm ipoteza nulă, iar în caz contrar o respingem. Puterea testului este () = = = 24 µ µ = Φ +1 Φ În practică, dacă creştem volumul al eşantionului (spre exemplu de la =10la = 100), valoarea erorii () =1 () scade. În funcţie de problema în cauză, volumul al selecţiei se alege astfel încât valoarea erorii () să fie acceptabilă (încazcontrar,sealegeuneşantion de volum mai mare şi se repetă testul). 9.4 Test pentru media a unei populaţii normale cu dispersia necunoscută Presupunem că populaţia N 2 este normală cu dispersie 2 necunoscută, şi considerăm spre exemplu cazul testului 0 : = 0 1 : 6= 0 pentru media a populaţiei (cazul ipotezelor alternative 0, respectiv 0 este similar). Cum dispersia 2 a populaţiei este necunoscută, procedăm în mod q similar cazului dispersiei cunoscute, înlocuind P 1 abaterea pătratică medie (necunoscută) prin estimatorul = 1 =1 2, unde 1 este o selecţie de volum din populaţia. Variabila aleatoare rezultată = 0 65

6 are în acest caz o distribuţie Student cu 1 grade de libertate, şi procedând în mod analog cazului anterior, determinăm punctul 2 1 astfel încât aria de sub densitatea Student cu 1 grade de libertate, la dreapta acestui punct este egală cu 2,adică 2 1 =1 2 unde este funcţia de distribuţie Student cu 1 grade de libertate (se va folosi Anexa 3). Testul este următorul: pentru valori observate 1 ale selecţiei 1 se calculează valoarea = 0 q unde = 1++ şi = iar în caz contrar aceasta este acceptată. 1 1 P =1 ( ) 2. Dacă se respinge ipoteza nulă = 0, Exemplul 9.3 Testând rezistenţa la rupere a unor frânghii pentru un eşantion de volum =16, s-a determinat valoarea medie = 4482 kg şi abaterea pătratică medie =115kg. Presupunând că rezistenţa la rupere este o variabilă aleatoarenormală, să setestezeipoteza = 0 = 4500 kg. Considerăm nivelul de semnificaţie =5%.Dacăipotezanulăesteadevărată, atunci variabila aleatoare = 0 = 4500, este are o distribuţie student cu 1=15grade de libertate. Cum în această problemă este important dacă media are (sau nu) valoarea minimă admisă 0 = 4500, alegem ca ipoteză alternativă 0 = Determinăm valoarea critică astfel încât ( = 4500) = =005. FolosindAnexa3determinăm = 175. Valoarea observată a variabilei aleatoare în cazul eşantionului selectat este = = =, acceptăm ipoteza nulă = 0 = 4500 kg. 9.5 Test pentru dispersia 2 a unei populaţii normale Presupunem că populaţia N 2 este normală şi dorim să testăm = Deoarece 0 : 2 = : 2 6= 2 0 (cazul ipotezelor alternative 2 2 0, respectiv este similar). Vom considera în acest caz statistica ( 1) 2 = 2 0 Dacă ipoteza nulă esteadevărată, atunci populaţia are dispersie 2 0,şi deci = ( 1) = X µ =1 0 2 are o distribuţie 2 cu 1 grade de libertate. Considerăm punctele 2 1 şi alese astfel ariile de sub densitatea 2 cu 1 grade de libertate, la dreapta acestor puncte, sunt 2,respectiv1 2,adică ³ 2 1 ³ =1 şi = 2 2 unde reprezintă funcţia de distribuţie a variabilei 2 cu 1 grade de libertate (Anexa 4). Pentru un nivel de semnificaţie fixat, testul este următorul: q pentru valori observate 1 ale selecţiei P 1 se calculează valoarea = ( 1)2 1, unde = =1 ( ) 2 şi = 1++. Dacă ³ se respinge ipoteza nulă 2 = 2 0, iar în caz contrar aceasta este acceptată. 66

7 Exemplul 9.4 Folosind un eşantion dintr-o populaţie normală, de volum =15având dispersie 2 =13,săse testeze ipoteza nulă 2 = 2 0 =10în cazul ipotezei alternative 2 = 2 1 =20. Considerăm un nivel de semnificaţie =5%.Dacăipotezanulăesteadevărată, atunci variabila aleatoare =( 1) = =142 este o variabilă aleatoare 2 cu 1=14grade de libertate. Folosind Anexa 4 cu 1=14grade de libertate determinăm valoarea constantei astfel încât ( )= =005, sau echivalent ( ) =1 =095. Obţinem =2386. În cazul eşantionului selectat obţinem valoarea =14 2 =14 13 = =, şi deci în acest caz acceptăm ipoteza nulă 2 = 2 0 =10. Observaţia 9.5 Atât în cazul testului pentru media unei populaţii normale cu dispersie necunoscută, cât şi în cazul testului pentru dispersia unei populaţii normale, pentru a calcula puterea testului este nevoie de tabele suplimentare (pentru distribuţia Student, respectiv pentru distribuţia 2 ). În acest curs nu vom studia aceste probleme. 9.6 Test pentru proporţia unei populaţii Presupunem că suntem interesaţi în testarea unei anumite caracteristici a populaţiei. Pentruoselecţie 1 apopulaţiei, notând cu numărul de observaţii ce îndeplinesc caracteristica respectivăşi cu proporţia necunoscută a populaţiei ce verifică caracteristica, rezultă că variabila aleatoare Bin ( ) are o distribuţie populaţia binomială cu parametrii şi,şi din teorema limită centrală rezultă că pentru valori mari ale volumului selecţiei, variabila aleatoare = p (1 ) este aproximativ o variabilă aleatoare normală standard. Pentru a testa deci ipoteza 0 : = 0 1 : 6= 0 procedând ca şi în cazurile anterioare, obţinem următorul test. Pentru valori observate ale eşantionului şi pentru un nivel de semnificaţie fixat, se calculează valoarea corespunzătoare = 0 a variabilei aleatoare ; dacă 2 2 se respinge ipoteza nulă, iar în caz 0(1 0) contrar se aceasta este acceptată. 67

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - curs 3. 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2. 2 Teorema limitǎ centralǎ 5. 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7

Statisticǎ - curs 3. 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2. 2 Teorema limitǎ centralǎ 5. 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7 Statisticǎ - curs 3 Cuprins 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2 2 Teorema limitǎ centralǎ 5 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7 4 Estimarea punctualǎ a unui parametru; intervalul

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - curs 4. 1 Generalitǎţi privind ipotezele statistice şi problema verificǎrii ipotezelor statistice 2

Statisticǎ - curs 4. 1 Generalitǎţi privind ipotezele statistice şi problema verificǎrii ipotezelor statistice 2 Statisticǎ - curs 4 Cuprins 1 Generalitǎţi privind ipotezele statistice şi problema verificǎrii ipotezelor statistice 2 2 Inferenţǎ statisticǎ privind media populaţiei dacǎ se cunoaşte abaterea standard

Διαβάστε περισσότερα

prin egalizarea histogramei

prin egalizarea histogramei Lucrarea 4 Îmbunătăţirea imaginilor prin egalizarea histogramei BREVIAR TEORETIC Tehnicile de îmbunătăţire a imaginilor bazate pe calculul histogramei modifică histograma astfel încât aceasta să aibă o

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

5 Statistica matematică

5 Statistica matematică 5 Statistica matematică Cuvântul statistică afostiniţial folosit pentru a desemna o colecţiededatedesprepopulaţie şi situaţia economică, date vitale pentru conducerea unui stat. Cu timpul, Statistica a

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB 1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

Statistică descriptivă Distribuția normală Estimare. Călinici Tudor 2015

Statistică descriptivă Distribuția normală Estimare. Călinici Tudor 2015 Statistică descriptivă Distribuția normală Estimare Călinici Tudor 2015 Obiective educaționale Enumerarea caracteristicilor distribuției normale Enumerarea principiilor inferenței statistice Calculul intervalului

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

TESTAREA IPOTEZELOR STATISTICE

TESTAREA IPOTEZELOR STATISTICE Capitolul 9 TESTAREA IPOTEZELOR STATISTICE D acă în capitolul anterior au fost epuse principalele aspecte ale teoriei selecţiei, în acest capitol vom trata modalitatea de aplicare a teoriei în testarea

Διαβάστε περισσότερα

3 Distribuţii discrete clasice

3 Distribuţii discrete clasice 3 Distribuţii discrete clasice 3.1 Distribuţia Bernoulli Probabil cel mai simplu tip de variabilă aleatoare discretă, variabila aleatoare Bernoulli modelează efectuareaunui experiment în care poate apare

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

DistributiiContinue de Probabilitate Distributia Normala

DistributiiContinue de Probabilitate Distributia Normala 8.03.011 STATISTICA -distributia normala -distributii de esantionare lectia 7 30 martie 011 al.isaic-maniu www.amaniu.ase.ro http://www.ase.ro/ase/studenti/index.asp?item=fisiere&id=88 DistributiiContinue

Διαβάστε περισσότερα

NOTIUNI DE BAZA IN STATISTICA

NOTIUNI DE BAZA IN STATISTICA NOTIUNI DE BAZA IN STATISTICA INTRODUCERE SI DEFINITII A. PARAMETRI SI STATISTICI Parametru valoare sau caracteristica asociata unei populatii constante fixe notatie - litere grecesti: media populatiei

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

ESTIMAREA PARAMETRILOR STATISTICI. Călinici Tudor

ESTIMAREA PARAMETRILOR STATISTICI. Călinici Tudor ESTIMAREA PARAMETRILOR STATISTICI Călinici Tudor 1 Obiective educaţionale Înţelegerea procesului de estimare Însuşirea limbajului specific pentru inferenţa statistică Enumerarea estimatorilor fără bias

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Notaţii si noţiuni preliminare Variabila aleatoare: X,Y,U,V,etc., descrisă de funcţie de repartiţie. Variabila aleatoare este asaociată unei populaţii statistice;

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

V O. = v I v stabilizator

V O. = v I v stabilizator Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Lp 8 Rezumat. Capitolul 6. PROBLEMA TESTĂRII IPOTEZELOR Ipoteză ştiinţifică - Ipoteză statistică Ipoteză ştiinţifică

Lp 8 Rezumat. Capitolul 6. PROBLEMA TESTĂRII IPOTEZELOR Ipoteză ştiinţifică - Ipoteză statistică Ipoteză ştiinţifică Dragomirescu L. Lucrari practice de biostatistica. Editia a III-a revazuta si adaugita, 103 263 pp. Editura Agronomica, Bucuresti, 2003. Lp 8 Rezumat Capitolul 6. PROBLEMA TESTĂRII IPOTEZELOR În ştiinţele

Διαβάστε περισσότερα

VII.2. PROBLEME REZOLVATE

VII.2. PROBLEME REZOLVATE Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

POPULAŢIE NDIVID DATE ORDINALE EŞANTION DATE NOMINALE

POPULAŢIE NDIVID DATE ORDINALE EŞANTION DATE NOMINALE DATE NUMERICE POPULAŢIE DATE ALFANUMERICE NDIVID DATE ORDINALE EŞANTION DATE NOMINALE Cursul I Indicatori statistici Minim, maxim Media Deviaţia standard Mediana Cuartile Centile, decile Tabel de date

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR

Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

Exemple de probleme rezolvate pentru cursurile DEEA Tranzistoare bipolare cu joncţiuni

Exemple de probleme rezolvate pentru cursurile DEEA Tranzistoare bipolare cu joncţiuni Problema 1. Se dă circuitul de mai jos pentru care se cunosc: VCC10[V], 470[kΩ], RC2,7[kΩ]. Tranzistorul bipolar cu joncţiuni (TBJ) este de tipul BC170 şi are parametrii β100 şi VBE0,6[V]. 1. să se determine

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener 1 Caracteristica statică a unei diode Zener În cadranul, dioda Zener (DZ) se comportă ca o diodă redresoare

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

1.7 Mişcarea Browniană

1.7 Mişcarea Browniană CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA PROCESELOR STOCHASTICE 43 1.7 Mişcarea Browniană Mişcarea Browniană a fost pentru prima dată observată de către botanistul scoţian Robert Brown în 1828, când a observat

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective: TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

1 Formula Black-Scholes

1 Formula Black-Scholes Formula Black-Scholes. Modele de creştere (investiţii bancare, creşterea populaţiei, etc) Unul din cele mai simple modele de creştere este cel al creşterii exponenţiale. În acest model, notând cu cantitatea

Διαβάστε περισσότερα

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Scoruri standard Curba normală (Gauss) M. Popa

Scoruri standard Curba normală (Gauss) M. Popa Scoruri standard Curba normală (Gauss) M. Popa Scoruri standard cunoaştere evaluare, măsurare evaluare comparare (Gh. Zapan) comparare raportare la un sistem de referință Povestea Scufiței Roşii... 70

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011 Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)

Διαβάστε περισσότερα

Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili

Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru

Διαβάστε περισσότερα

Stabilizator cu diodă Zener

Stabilizator cu diodă Zener LABAT 3 Stabilizator cu diodă Zener Se studiază stabilizatorul parametric cu diodă Zener si apoi cel cu diodă Zener şi tranzistor. Se determină întâi tensiunea Zener a diodei şi se calculează apoi un stabilizator

Διαβάστε περισσότερα

Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:

Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument: Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016 16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex

Διαβάστε περισσότερα

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică. Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA DATELOR EXPERIMENTALE

ANALIZA DATELOR EXPERIMENTALE INGINERIA TRAFICULUI 1-1 Lucrarea IT-1 ANALIZA DATELOR EXPERIMENTALE - Testul Kolmogorov-Smirnov - Un eperiment (fenomen) a cărui realizare diferă semnificativ atunci când este repetat în aceleaşi condiţii

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

Erori statistice Puterea testului statistic Mărimea efectului. Marian Popa

Erori statistice Puterea testului statistic Mărimea efectului. Marian Popa Erori statistice Puterea testului statistic Mărimea efectului Marian Popa 2011 Enunţarea ipotezei cercetării (H1) QI mediu al elevilor olimpici este mai mare Enunţarea ipotezei de nul (H0) QI mediu al

Διαβάστε περισσότερα

Zgomotul se poate suprapune informaţiei utile în două moduri: g(x, y) = f(x, y) n(x, y) (6.2)

Zgomotul se poate suprapune informaţiei utile în două moduri: g(x, y) = f(x, y) n(x, y) (6.2) Lucrarea 6 Zgomotul în imagini BREVIAR TEORETIC Zgomotul este un semnal aleator, care afectează informaţia utilă conţinută într-o imagine. El poate apare de-alungul unui lanţ de transmisiune, sau prin

Διαβάστε περισσότερα

PRELEGEREA XII STATISTICĂ MATEMATICĂ

PRELEGEREA XII STATISTICĂ MATEMATICĂ PRELEGEREA XII STATISTICĂ MATEMATICĂ I. Teste nonparametrice Testele nonparametrice se aplică variabilelor măsurate la nivel nominal sau ordinal. Ele se aplică pe eşantioane mici, nefiind nevoie de presupuneri

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

2 Variabile aleatoare

2 Variabile aleatoare Variabile aleatoare În practică, variabilele aleatoare apar ca funcţii ce depind de rezultatul efectuării unui anumit experiment. Spre exemplu, la aruncarea a două zaruri, suma numerelor obţinute este

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie

Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα