Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
|
|
- Μαία Ακρίδας
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y = f(x) S Y (f(x 0 ), ε) d 2 (f(x), f(x 0 )) < ε d 1 (x, x 0 ) < ε x S X (x 0, ε) y = f(x) f(s X (x 0, ε)). f 1 : f(x) X este continuă pe f(x): y 0 = f(x 0 ) f(x), S X (f 1 (y 0 ), ε), S Y (f(x 0 ), ε) aşa ca f 1 (S Y (f(x 0 ), ε)) = S X (x 0, ε) : x S X (x 0, ε) d 1 (x, x 0 ) < ε d 2 (f(x), f(x 0 )) < ε f(x) S Y (f(x 0 ), ε) x f 1 (S Y (f(x 0 ), ε)). Observaţie. i) Reciproca nu este adevărată: f : (R, d u ) (( 1, 1), d u ), f(x) = x 1+ x, x R este homeomorfism al lui (R, d u) pe (( 1, 1), d u ), dar nu este izometrie: x, y R astfel ca f(x) f(y) x y. ii) Funcţia limitativă a lui Baire f : (R, d) ([ 1, 1], d u ), f(x) = x 1+ x, x R 1, x = 1, x = este o izometrie între (R, d) şi ([ 1, 1], d u ), unde d(x, y) = f(x) f(y), x, y R (deci (R, d) poate fi identificat cu ([ 1, 1], d u )). Compararea topologiilor Definiţie. Fie X, d 1, d 2, τ d1, τ d2. Spunem că topologia τ d1 este mai puţin fină decât topologia τ d2 (sau τ d2 este mai fină decât τ d1 ) dacă τ d1 τ d2. Notăm aceasta prin τ d1 τ d2. Observaţie. Relaţia de fineţe pe mulţimea topologiilor induse de metrici pe un spaţiu X este o relaţie de ordine parţială deoarece este definită cu ajutorul incluziunii între clase de mulţimi. Exemplu. Fie R, d u, d 0. Atunci τ du τ d0 (deoarece τ du τ d0 = P(R)). Prin urmare, topologia discretă este cea mai fină topologie care se poate introduce pe un spaţiu. Teoremă. X, d 1, d 2. Atunci τ d1 τ d2 aplicaţia identică i : (X, d 2 ) (X, d 1 ) este continuă pe X. Demonstraţie. i : (X, d 2 ) (X, d 1 ) este continuă pe X D τ d1 i 1 (D) = D τ d2 τ d1 τ d2 τ d1 τ d2. 1
2 Definiţie. Spunem că două metrici d 1, d 2 definite pe un acelaşi spaţiu sunt echivalente dacă induc aceeaşi topologie (τ d1 = τ d2 ). Observaţie. τ d1 = τ d2 τ d1 τ d2 şi τ d2 τ d1 aplicaţia identică i : (X, d 2 ) (X, d 1 ) este bicontinuă i : (X, d 2 ) (X, d 1 ) este homeomorfism. Teoremă. Fie X, d 1, d 2. i) Dacă există m, M > 0 astfel ca ( ) md 1 (x, y) d 2 (x, y) Md 1 (x, y), x, y X, atunci metricile d 1 şi d 2 sunt echivalente ( τ d1 = τ d2 ). ii) Mai mult, dacă d 1 şi d 2 provin din norme, atunci τ d1 = τ d2 dacă şi numai dacă are loc ( ). Exemplu. Fie X = R k şi distanţele următoare pe R k definite pentru x, y k R k prin d 1 (x, y) = (x i y i ) 2, d 2 (x, y) = max x i y i, d 3 (x, y) = k x i y i.,k Vom arăta că aceste trei metrici sunt echivalente, deci induc aceeaşi topologie (topologia uzuală) pe R k. Într-adevăr, d 2 (x, y) = max x i y i d 1 (x, y) =,k kmax,k k (x i y i ) 2 (x i y i ) 2 = kmax x i y i = kd 2 (x, y),,k deci d 2 (x, y) d 1 (x, y) kd 2 (x, y), x, y R k, de unde τ d1 = τ d2. Apoi, d 2 (x, y) = max x i y i d 3 (x, y) =,k x, y R k, de unde τ d2 = τ d3. k x i y i kmax x i y i = kd 2 (x, y),,k Funcţii uniform continue. Definiţie. O funcţie f : A (X, d 1 ) (Y, d 2 ) se numeşte uniform continuă pe A dacă pentru ε > 0, δ(ε) > 0 astfel încât x, y A, cu d 1 (x, y) < δ, avem d 2 (f(x), f(y)) < ε. Observaţie. f este continuă pe mulţimea A X dacă f este continuă în orice punct din A : x 0 A, ε > 0, δ(ε, x 0 ) > 0 astfel încât x A, cu d 1 (x, x 0 ) < δ, avem d 2 (f(x), f(x 0 )) < ε. 2
3 Observăm astfel că proprietatea de uniformă continuitate înseamnă îndeplinirea proprietăţii de continuitate cu acelaşi δ pentru toate punctele mulţimii. Dacă δ depinde efectiv de trecerea de la un punct la altul, atunci f nu este uniform continuă. Folosind definiţia, se poate arăta imediat: Teoremă. (caracterizare cu şiruri a uniformei continuităţi) O funcţie f : A (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este uniform continuă pe A dacă şi numai dacă (x n ) n, (y n ) n A, cu d 1 (x n, y n ) 0, avem d 2 (f(x n ), f(y n )) 0. n n Observaţie. Orice funcţie uniform continuă pe o mulţime este evident continuă pe acea mulţime. Reciproca nu este în general adevărată. De exemplu, funcţia f : (0, 1] R, f(x) = 1 x, x (0, 1], este continuă, dar nu este uniform continuă pe (0, 1]. Propoziţie. Orice funcţie lipschitziană f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este uniform continuă pe X. Demonstraţie. Deoarece f este lipschitziană pe X, L > 0 astfel încât d 2 (f(x), f(y)) Ld 1 (x, y), x, y X. Prin urmare, ε > 0, δ(ε) = ε L > 0 astfel încât x, y X, cu d 1 (x, y) < δ, avem d 2 (f(x), f(y)) Ld 1 (x, y) < L ε L = ε, ceea ce înseamnă că f este uniform continuă pe X. Reciproca nu este în general adevărată. De exemplu, funcţia f : R + R +, f(x) = x, x R + este uniform continuă, dar nu este lipschitziană pe R +. Teoremă (caracterizarea pe componente a funcţiilor vectoriale cu norma euclidiană) Fie f : A R p R q, f = (f 1, f 2,..., f q ). Atunci f este uniform continuă pe A dacă şi numai dacă toate funcţiile de coordonate f i, i = 1, q sunt uniform continue pe A. Demonstraţie. Necesitatea. Dacă f este uniform continuă pe A, atunci ε > 0, δ(ε) > 0 astfel încât x, y A, cu x y < δ, avem f(x) f(y) < ε, de unde, cu atât mai mult, i = 1, q, ε > 0, δ(ε) > 0 astfel încât x, y A, cu x y < δ, avem f i (x) f i (y) f(x) f(y) < ε, deci toate funcţiile de coordonate f i, i = 1, q sunt uniform continue pe A. Suficienţa. Dacă toate funcţiile de coordonate f i, i = 1, q sunt uniform continue pe A, atunci, i = 1, q, ε > 0, δ i (ε) > 0 astfel încât x, y A, cu x y < δ i, avem f i (x) f i (y) < ε q. Prin urmare, ε > 0, δ = min δ i > 0 astfel ca x, y A, cu x y < δ, avem f(x) f(y) uniform continuă pe A. q,q f i (x) f i (y) < ε q q = ε, ceea ce arată că f este 3
4 Observaţie. Analog se obţine: Teoremă. Fie f : A R p R q, f = (f 1, f 2,..., f q ). Atunci f este lipschitziană pe A dacă şi numai dacă toate funcţiile de coordonate f i, i = 1, q sunt lipschitziene pe A. Aplicaţii liniare. Vom prezenta în cele ce urmează o clasă importantă de aplicaţii continue. Definiţie. O funcţie T : R k R l se numeşte aplicaţie liniară ( sau operator liniar) dacă: { i) T (x + y) = T (x) + T (y), x, y R k (aditivitatea), ii) T (λx) = λt (x), x R k, λ R (omogenitatea). Propoziţie. Dacă T : R k R l, T = (T 1, T 2,..., T l ) este un operator liniar, atunci: i) T (0) = 0; ii) T (x y) = T (x) T (y), x, y R k ; iii) j = 1, l, funcţiile de coordonate T j : R k R sunt aplicaţii liniare. Demonstraţie. i) Din definiţie, T (0) = T (0) + T (0), deci T (0) = 0. ii) x R k, T (0) = T (x) + T ( x), de unde T (x) = T ( x). Prin urmare, T (x y) = T (x) T (y), x, y R k. iii) Afirmaţia se verifică imediat pe componente. Observaţie. Fie (e 1, e 2,..., e k ) baza canonică a lui R k, iar (f 1, f 2,..., f l ) baza canonică a lui R l. Dacă T : R k R l, T = (T 1, T 2,..., T l ) este un operator liniar, atunci, x = (x 1, x 2,..., x k ) R k, T (x) = T ( k x i e i ) = k x i T (e i ). i = 1, k, T (e i ) R l, deci T (e i ) = l j=1 Prin urmare, T (x) = k ( l a j i x if j ) = j=1 a ij f j. l ( k a ij x i )f j. j=1 Calcule matriciale ne permit să obţinem că operatorul liniar T are forma T (x) = A T x, x R k, unde matricea a 11 a 12...a 1k A T = a 21 a 22...a 2k... M l,k(r) se numeşte matricea asociată aplicaţiei liniare T. a l1 a l2...a lk Reciproc, orice aplicaţie T : R k R l, T (x) = Ax, x R k, cu A M l,k (R), este un operator liniar. 4
5 Prin urmare, o aplicaţie T : R k R l este operator liniar dacă şi numai dacă T (x) = Ax, x R k, cu A M l,k (R). Exemplu. Aplicaţiile liniare T : R k R l sunt de forma T (x) = = (a 11 x 1 + a 12 x a 1k x }{{ k, a } 21 x 1 + a 22 x a 2k x k,..., a }{{} l1 x 1 + a l2 x a lk x k ), }{{} T 1(x) T 2(x) T l (x) x = (x 1, x 2,..., x k ) R k. Aplicaţiile liniare T : R k R sunt de forma T (x) = a 1 x 1 + a 2 x a k x k, x = (x 1, x 2,..., x k ) R k. Aplicaţiile liniare T : R R sunt de forma T (x) = ax, x R, cu a R fixat. Propoziţie. (Operaţii cu aplicaţii liniare) 1) Dacă T, S : R k R l sunt aplicaţii liniare, atunci: i) T + S este aplicaţie liniară şi A T +S = A T + A S ; ii) λ R, λt este aplicaţie liniară şi A λt = λa T ; 2) Dacă T : R k R l, S : R l R m sunt aplicaţii liniare, atunci S T : R k R m este aplicaţie liniară şi A S T = A S A T. Propoziţie. Orice aplicaţie liniară T : R k R l este lipschitziană (deci uniform continuă şi deci continuă). Demonstraţie. x R k, T (x) = k x i T (e i ) k T (e i ) x i k T (e i ) x = L x, deci, x, y R k, T (x) T (y) = T (x y) } {{ } =L L x y. Mulţimi compacte. Definiţie. i) Un spaţiu metric (X, d) se numeşte compact dacă din orice acoperire a sa cu deschişi: X = D i, D i τ d, i I, se poate extrage o subacoperire finită: X = p D ij, {i 1,..., i p } I. j=1 ii) O mulţime A (X, d) se numeşte compactă dacă privită ca subspaţiu ((A, d /A A )), este compact. Propoziţie. Orice submulţime finită a unui spaţiu metric este compactă. Demonstraţie. Dacă A = {x 1,..., x k } D i,, D i τ d, i I, atunci j = 1, k, i j I astfel ca x j D ij, deci familia {D ij } j=1,k este o subacoperire finită a lui A. 5
6 Teoremă. Orice submulţime compactă a unui spaţiu metric este mărginită şi închisă. Observaţie. În Rk cu metrica euclidiană are loc şi reciproca, deci o mulţime este compactă dacă şi numai dacă este mărginită şi închisă. În spaţii metrice obişnuite, reciproca nu are loc: În R înzestrat cu metrica discretă: δ(r) = 1 <, deci R este mărginită, este şi închisă, dar nu este compactă. Întradevăr, dacă am presupune prin reducere la absurd că este compactă, cum R = x R {x} = x R S(x, 1), ar rezulta că R = p S(x i, 1) = p {x i }, fals. Teoremă. Orice submulţime închisă a unui spaţiu metric compact este compactă. Demonstraţie. Fie A (X, d), A închisă, X compact. Dacă A D i, D i τ d, i I, întrucât ca τ d, rezultă că din X = ( D i ) ca, obţinem X = ( p D ij ) ca, de unde A p D ij, ceea ce înseamnă că mulţimea A este j=1 j=1 compactă. Consecinţă. Într-un spaţiu metric compact, mulţimile închise coincid cu mulţimile compacte (la fel cum, într-un spaţiu metric complet, mulţimile închise coincid cu cele complete). Teoremă. Fie (X, d) un spaţiu metric. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) (X, d) este compact; ii) F = {F i } o familie de mulţimi închise cu proprietatea intersecţiei finite (adică orice intersecţie finită de mulţimi din F este nevidă), avem F i. Mulţimi secvenţial compacte (compacte prin şiruri) Definiţie. Spunem că: i) un spaţiu metric (X, d) este secvenţial compact (compact prin şiruri) dacă orice şir de puncte din X conţine un subşir convergent la un punct din X. ii) o mulţime A (X, d) este secvenţial compactă (compactă prin şiruri) dacă privită ca subspaţiu este secvenţial compact. Teoremă. O mulţime A dintr-un spaţiu metric (X, d) este compactă dacă şi numai dacă este secvenţial compactă. Teoremă. Dacă (X, d 1 ) şi (Y, d 2 ) sunt spaţii metrice compacte, atunci spaţiul metric produs (Z = X Y, d), d(z 1, z 2 ) = d 2 1 (x 1, x 2 ) + d 2 2 (y 1, y 2 ), z 1 = (x 1, y 1 ), z 2 = (x 2, y 2 ) X Y, este compact. 6
7 Demonstraţie. Vom arăta, echivalent, că (X Y, d) este secvenţial compact. Fie deci (z n ) n X Y, z n = (x n, y n ), x n X, y n Y, n. Deoarece (X, d 1 ) este compact iar (x n ) n X, x nk x X. Întrucât (Y, d 2) este compact iar (y nk ) k Y, y nkl y Y. Prin urmare, (z nkl ) l X Y, z nkl = (x nkl, y nkl ) X Y (x, y) = z. Observaţie. Rezultatul anterior are loc pentru un produs cartezian finit de k spaţii metrice compacte. Consecinţă. Orice interval închis din R k [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ]... [a k, b k ], a i, b i R, a i < b i, i = 1, k este mulţime compactă. Probleme propuse. I. 1. Fie f : (0, 1 3 ] (0, 1 3 ], f(x) = x2. Arătaţi că f este o contracţie, dar f nu are nici un punct fix în spaţiul metric ((0, 1 3 ], d u). Explicaţi rezultatul. 2. Fie (A = [0, ), d u ), f(x) = 1 1+x 2. Arătaţi că f este o contracţie pe A şi aflaţi punctul său fix. 3. Fie f : R 2 R 2, f(x, y) = (x y, x + y), (x, y) R 2. a) Arătaţi că funcţia f este lipschitziană pe R 2. b) Determinaţi imaginea prin f a cercului C((0, 0), 1). 4. Cercetaţi dacă funcţia f : R 2 R, f(x, y) = sin x 2 + y 2 este lipschitziană pe R Arătaţi că funcţiile f : R R următoare sunt lipschitziene pe R: a) f(x) = sin x; b) f(x) = cos x; c) f(x) = arctgx. 6. Studiaţi uniforma continuitate a funcţiilor următoare: i) f(x) = e x, x R; ii) f(x) = ln x, x (0, ); iii) f : R 2 R, f(x, y) = 2(x + y) sin x + cos y; iv) f : R 2 R 2, f(x, y) = (3x, y x). II. 1. Arătaţi că în (R, d u ), subspaţiile (0, 1) şi [0, 1] nu sunt homeomorfe. 2. Arătaţi că (R, d 0 ) nu este homeomorf cu (R, d u ). 3. Arătaţi că orice funcţie uniform continuă f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) transformă şiruri Cauchy tot în şiruri Cauchy. 4. Fie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) un homeomorfism al lui X pe Y. Arătaţi că dacă (Y, d 2 ) este complet şi f este uniform continuă pe X, atunci (X, d 1 ) este complet. 5. Arătaţi că dacă f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) şi g : (Y, d 2 ) (Z, d 3 ) sunt uniform continue, atunci g f : (X, d 1 ) (Z, d 3 ) este uniform continuă. 7
8 6. Arătaţi că orice funcţie definită pe un spaţiu metric discret cu valori într-un spaţiu metric oarecare este uniform continuă. 7. Arătaţi că dacă (X, d 1 ) este spaţiu metric complet, iar f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este izometrie, atunci şi (Y, d 2 ) este complet. 8. Fie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) o aplicaţie bijectivă. Arătaţi că f este homeomorfism dacă şi numai dacă f(a) = f(a), A X. 8
f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραTeorema lui Peano de existenţă
Universitatea Alexandru Ioan Cuza Lucrare de licenţă Teorema lui Peano de existenţă locală Student: Cosmin Burtea Coordonator ştiinţific: Prof. Ioan I.Vrabie 2 Prefaţă Lucrarea de faţă tratează problema
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραFuncţii Ciudate. Beniamin Bogoşel
Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότερα3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R
3 FUNCTII CONTINUE 3.. Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale. 3... Saţiul euclidian R Pentru N *, fixat, se defineşte R = R R R = {(x, x,, x : x, x,, x R} de ori De exemlu, R = {(x, y: x, yr} R 3
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραJ F (ρ, ϕ, θ) = cos ϕ ρ sin ϕ 0. Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis
3) Coordonate sferice Fie funcţia vectorială F : R + [ π, π] [0, π) R 3, F (ρ, ϕ, θ) = (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ). Observăm că F exprimă legătura dintre coordonatele carteziene şi coordonatele
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραPROGRAMARE MATEMATICĂ SPAŢII NORMATE INFINIT DIMENSIONALE
PROGRAMARE MATEMATICĂ ÎN SPAŢII NORMATE INFINIT DIMENSIONALE COLECŢIA: ANALIZĂ MODERNĂ ŞI APLICAŢII CONSTANTIN ZĂLINESCU PROGRAMARE MATEMATICĂ ÎN SPAŢII NORMATE INFINIT DIMENSIONALE E D I T U R A A C
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραAlgebră liniară CAPITOLUL 3
Algebră liniară CAPITOLUL 3 TRANSFORĂRI LINIARE 3.. Definiţia transformării liniare Definiţia 3... Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. O funcţie u: V W se numeşte transformare
Διαβάστε περισσότεραGeometrie afină. Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 13 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 24 Proiecţii
Διαβάστε περισσότεραCURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n
CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n A. Arusoaie arusoaie.andreea@gmail.com andreea.arusoaie@info.uaic.ro Facultatea de Informatică, Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 30 Octombrie 2017 Structura
Διαβάστε περισσότεραCURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.
Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραGeometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Διαβάστε περισσότεραPuncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.
Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότερα7.1 Exerciţii rezolvate Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Întrebări de autoevaluare... 74
MC. 5 AUTOEVALUARE Cuprins MC. Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor 5. Exerciţii rezolvate............................................ 5. Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri...............................
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este
o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραIntegrale cu parametru
1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul
Διαβάστε περισσότεραVarietăţi algebrice. 1.1 Definiţia spaţiului proiectiv şi primele proprietăţi
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Varietăţi algebrice 1 Spaţiul proiectiv 1.1 Definiţia spaţiului proiectiv şi primele proprietăţi Fie n N şi E un spaţiu vectorial de dimensiune
Διαβάστε περισσότεραProbleme pentru clasa a XI-a
Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =
Διαβάστε περισσότεραSpaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.
Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραSeminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0
Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότερα1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...
1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale
Διαβάστε περισσότεραTeorema de punct fix a lui Banach
CURSUL 8 Teorema de punct fix a lui Banach Teorema de punct fix a lui Banach, cunoscută şi sub denumirea de principiul contracţiilor, este un instrument important în teoria spaţiilor metrice; ea garantează
Διαβάστε περισσότεραCriterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 4 FUNCŢIONALE LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE
CAPITOLUL FUNCŢIONALE LINIAE BILINIAE ŞI PĂTATICE FUNCŢIONALE LINIAE BEIA TEOETIC Deiniţia Fie K X un spaţiu vecorial de dimensiune iniă O aplicaţie : X K se numeşe uncţională liniară dacă: ese adiivă
Διαβάστε περισσότεραSiruri de numere reale
Siruri de numere reale efinitie. Un sir de elemente dintr-o multime M este o functie x : N M (sau x : N k M unde N k = {k, k +,...}). Un sir x : N M il vom nota cu (x n ) n N sau (x n ) n unde x n = x(n)
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Διαβάστε περισσότεραINTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0
INTERPOLARE Se dau punctele P 0, P 1,..., P n in plan sau in spatiu, numite noduri si avand vectorii de pozitie r 0, r 1,..., r n. Problemă. Să se găsească o curbă (dintr-o anumită familie) care să treacă
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραSala: 2103 Octombrie 2014 CURS 1: ALGEBRĂ. Fie K corp comutativ cu elementul neutru la înmulţire notat prin 1 iar 0 la adunare.
Sala: 2103 Octombrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 1: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραO generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραContract POSDRU/86/1.2/S/ POSDRU ID * Bucureşti 2012
Contract POSDRU/86/1.2/S/62485 Algebră Liniară POSDRU ID 62485 * Bucureşti 212 Prefaţă Algebra liniară şi geometria analitică stau la baza pregătirii matematice universitare, oferind modelări bazate pe
Διαβάστε περισσότερα1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45
Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ
Διαβάστε περισσότερα2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...
Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραNOŢIUNI INTRODUCTIVE
1 NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1.1. Spaţiul vectorial R n Mulţimea R n reprezintă mulţimea tuturor n-uplelor (x 1,..., x n ) cu x 1,..., x n numere reale, adică R n = {(x 1,..., x n ) : x 1,..., x n R}. Un n-uplu
Διαβάστε περισσότεραLecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu
Lecţii de Analiză Matematică Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu 2 Cuprins Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii 7. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale......... 7.2 Şiruri fundamentale.
Διαβάστε περισσότεραVladimir BALAN. Algebră Liniară, Geometrie Analitică, şi Elemente de Geometrie Diferenţială. Student Web Copy. = Bucureşti 2011 =
Vladimir BALAN Algebră Liniară, Geometrie Analitică, şi Elemente de Geometrie Diferenţială = Bucureşti 2011 = Prefaţă Acest material include noţiunile, rezultatele teoretice de bază, precum şi probleme
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, 5 martie 18 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1 Problemele tip grilă (Partea A pot avea unul
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραModulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII
Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse
Διαβάστε περισσότεραNicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI
Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότερα