Χρονοσειρές Μάθημα 1

Transcript

1 Χρονοσειρές Μάθημα Περιεχόμενα - Στασιμότητα, αυτοσυσχέτιση, μερική αυτοσυσχέτιση, απομάκρυνση στοιχείων μη-στατικότητας, έλεγχος ανεξαρτησίας για χρονικές σειρές - Γραμμικές στοχαστικές διαδικασίες: αυτοπαλινδρομούμενη (AR), κινούμενου μέσου (MA), μικτή (ARMA) - Προσαρμογή στάσιμων μοντέλων AR, MA και ARMA σε χρονικές σειρές - Μη-στάσιμα γραμμικά μοντέλα χρονικών σειρών - Πρόβλεψη χρονικών σειρών - Φασματική ανάλυση χρονικών σειρών - Μη-γραμμική ανάλυση χρονικών σειρών με στοχαστικά μοντέλα - Μη-γραμμική ανάλυση χρονικών σειρών και δυναμικά συστήματα Βιβλία - The Aalysis of Time Series, A Iroducio, Chafield C., Sixh ediio, Chapma & Hall, 4 - Iroducio o ime series ad forecasig, Brockwell P.J. ad Davis R.A., Secod ediio, Spriger, - No-Liear Time Series, A Dyamical Sysem Approach, Tog H., Oxford Uiversiy Press, Noliear Time Series Aalysis, Kaz H. ad Schreiber T., Cambridge Uiversiy Press, 4

2 φυσιολογία Πραγματικές χρονοσειρές μονοδιάστατη χρονοσειρά μηχανική ηλεκτρονική μόνο μια χρονοσειρά περιορισμένο μήκος γεωφυσική οικονομία μη-στασιμότητα θόρυβος

3 Ορισμοί / συμβολισμοί Παρατηρούμενο μέγεθος μεταβλητή [variable] Χ Οι τιμές του παρατηρούμενου μεγέθους αλλάζουν με κάποια μικρή ή μεγάλη τυχαιότητα (στοχαστικότητα) τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) [radom variable] Χ Οι παρατηρήσεις γίνονται συνήθως με συγκεκριμένο χρονικό βήμα χρόνος δειγματοληψίας [samplig ime]. Για κάθε χρονική στιγμή θεωρούμε την τιμή x της τυχαίας μεταβλητής Χ. Το σύνολο των τιμών της μεταβλητής x για κάποια χρονική περίοδο (σε μονάδες δειγματοληψίας) (μονοδιάστατη) χρονοσειρά [(uivariae) ime series] x { x, x,, x } Αν υπάρχουν ταυτόχρονες παρατηρήσεις περισσότερων από μιας μεταβλητής πολυδιάστατη χρονοσειρά [mulivariae ime series] Στη μονοδιάστατη ή πολυδιάστατη χρονοσειρά εφαρμόζουμε μεθόδους και τεχνικές για να αντλήσουμε πληροφορίες για το σύστημα που την παράγει ανάλυση χρονοσειρών [ime series aalysis] Η χρονοσειρά μπορεί να θεωρηθεί ως πραγματοποίηση μιας στοχαστικής ή καθοριστικής διαδικασίας (δυναμικό σύστημα) X

4 close idex volume close idex close idex Δείκτης και όγκος συναλλαγών Χρηματιστηρίου Αξιών Αθηνών (ΧΑΑ) 7 ASE idex, period ASE idex, period ASE idex, period x 5 ASE volume, period mohs Πρόβλεψη? Ποια είναι η τιμή του δείκτη αύριο? Μεθαύριο? Δυναμικό σύστημα Στοχαστική διαδικασία? Ποιος είναι ο μηχανισμός της ελληνικής χρηματιστηριακής αγοράς?

5 Geeral Idex of Comsumer Prices Γενικός δείκτης τιμών καταναλωτή (GICP) Geeral Idex of Comsumer Prices, period Ja - Aug Τάση? Εποχικότητα / περιοδικότητα? Αυτοσυσχέτιση? Αυτοπαλινδρόμηση? Πρόβλεψη?

6 umber of suspos umber of suspos umber of suspos Ετήσιες ηλιακές κηλίδες Aual suspos, period Aual suspos, period Aual suspos, period Ποιος είναι ο μηχανισμός / σύστημα / διαδικασία που δημιουργεί τις ηλιακές κηλίδες? Είναι περιοδικό σύστημα + θόρυβος? Είναι στοχαστικό σύστημα? Είναι χαοτικό σύστημα? Γνωρίζοντας τον αριθμό ηλιακών κηλίδων ως το 995, ποιος θα είναι ο αριθμός τους το 996 και μετά? Ποιος θα είναι ο αριθμός των ηλιακών κηλίδων το??

7 Σύγκριση μοντέλων Αυθεντική πρόβλεψη

8 Τι σύστημα παράγει μια πραγματική χρονοσειρά; x(i) preical EEG Πραγματική χρονοσειρά ical EEG Πιθανά στοχαστικά μοντέλα sochasic ime i secods ime i secods 4 ime idex i Πιθανά καθοριστικά μοντέλα periodic + oise low dimesioal chaos high dimesioal chaos ime i secods ime i secods ime i secods

9 Βρύση που στάζει (drippig waer fauce, UC Saa Cruz). x x x 3 ( x3, x) ( x, x ) Cruchfield e al, Scieific America, 986 Παρουσίαση του θέματος: Πείραμα / μετρήσεις Η παρατήρηση της βρύσης που στάζει έδειξε πως για κάποια ταχύτητα ροής, οι σταγόνες δεν τρέχουν σε σταθερά χρονικά διαστήματα. Το διάγραμμα διασποράς των δεδομένων έδειξε ότι το στάξιμο των σταγόνων δεν είναι τυχαίο. διάγραμμα ( i, i ) διασποράς απεικόνιση Heo x x ( xi, xi, xi ) s.4s.3s i i i παρατηρούμενη μεταβλητή x s w w i θόρυβος i i i χάος

10 Τάση [red]: αργή μεταβολή των τιμών x Στασιμότητα - τάση Πλαστική παραμόρφωση Καθοριστική τάση [deermiisic red]: κάποια συνάρτηση του χρόνου μ = f() Προσαρμογή με πολυώνυμο βαθμού Προσαρμογή με πολυώνυμο βαθμού 5

11 differece of logs idex relaive chage firs differece Στοχαστική τάση [sochasic red]: τυχαία αργή μεταβολή μ Y : η παρατήρηση ενός μεγέθους σε χρόνο y, y,, y - χρονοσειρά S&P μετασχηματισμός S&P5, firs differeces S&P5, relaive chages S&P5, differece of logs μεταβολή τιμής x y y σχετική μεταβολή τιμής y x y y μεταβολή λογαριθμού τιμής x l y l y

12 f Y (y) f X (x) idex firs differece Y : η τιμή ενός μεγέθους y, y,, y χρονοσειρά Χρονική συσχέτιση Στοχαστική διαδικασία Y X 6 S&P5 S&P5, firs differeces μεταβολή τιμής 4-5 x y y fy ( y) 3.5 x -3 Gaussia pdf superimposed o S&P5 6 5 fx ( x) Gaussia pdf superimposed o S&P5 reurs Στατική περιγραφή περιθώρια κατανομή Δυναμική περιγραφή? Χρονική συσχέτιση Y X

13 Κατανομές και ροπές στοχαστικής διαδικασίας Η στοχαστική διαδικασία περιγράφεται από την περιθώρια και τις κοινές κατανομές Z f ( y) f ( y, ) Y Y περιθώρια κατανομή, Z f ( y, y ) f ( y, y,, ) Y, Y Y κοινή κατανομή μεταβλητών,, 3 Z f ( y, y, y ) f ( y, y, y,,, ) Y, Y, Y 3 Y κοινή κατανομή 3 μεταβλητών Y yf y y Ροπή πρώτης τάξης (μέση τιμή) (, )d Ροπή δεύτερης τάξης Κεντρική ροπή δεύτερης τάξης Ροπές μεγαλύτερης τάξης Y Y y y f ( y, y,, )dy d y (, ) Y Y ( Y )( Y ) (, ) (, ) αυτοδιασπορά [auocovariace] Γενικά η κατανομή και οι ροπές μπορεί να αλλάζουν σε κάθε χρονικό βήμα

14 Στασιμότητα Αυστηρή στασιμότητα [sric-sese saioariy] Οι κατανομές είναι σταθερές στο χρόνο (ισοδύναμα όλες οι ροπές είναι σταθερές) Z,,, 3 Z Z f ( y) f ( y, ) f ( y) Y Y Y f ( y, y ) f ( y, y ) Y, Y Y, Y f ( y, y, y ) f ( y, y, y ) Y, Y, Y 3 Y, Y, Y 3 3 σταθερές Z Ασθενή στασιμότητα [wide-sese saioariy] Οι δύο πρώτες ροπές είναι σταθερές στο χρόνο Y YY, (, ) ( ) Y Y (, ) (, ) ( ) σταθερές Z σταθερή μέση τιμή και αυτοδιασπορά και για τ= Y () σταθερή διασπορά () Y () Y

15 Αυτοσυσχέτιση Στάσιμη χρονοσειρά X Αυτοδιασπορά X X X X X ( )( ) ( ) () Διασπορά X X Αυτοσυσχέτιση () () () ( ) ( ) () Συμβολισμός: () () Παρατηρήσεις: k k και k k και k k Πίνακας αυτοδιασπορών Χρονική συσχέτιση μεταβλητών της σε υστέρηση τ. Μετράει τη «μνήμη» της X Πίνακας αυτοσυσχετίσεων X

16 3 X X Κάποιες βασικές στοχαστικές διαδικασίες ανεξάρτητες ισόνομες τ.μ. [idepede ad ideically disribued, iid] P( X x, X x,, X x ) P( X x ) P( X x ) P( X E X Y λευκός θόρυβος [whie oise, WN], ασυσχέτιστες τ.μ. E XX i j ij τυχαίος περίπατος [radom walk, RW] Y Y X X X X E Y Y, Y,, Y Y X iid E Y E Y E X E X? x ) Η διασπορά αυξάνει γραμμικά με το χρόνο!

17 4 X Για κάθε τάξη p: Γκαουσιανή (κανονική) στοχαστική διαδικασία f ( x, x,, x ) X, X,, X p p είναι p-διάστατη Γκαουσιανή κατανομή Η κανονική κατανομή καθορίζεται πλήρως από τις δύο πρώτες ροπές Παράδειγμα Στοχαστική διαδικασία: Είναι ασθενώς στάσιμη; αυστηρή στασιμότητα ασθενής στασιμότητα E[ X ] E[ A]E[si( )] X Asi( ) A τ.μ. E[ A] Var[ A] ~ U[, ] E[ XX ] E A si( )si( ( ) )... cos( ) Οι ροπές πρώτης και δεύτερης τάξης δεν εξαρτώνται από το χρόνο.? θ και A ανεξάρτητα

18 Δειγματική αυτοδιασπορά / αυτοσυσχέτιση x, x,, x χρονοσειρά Δειγματική μέση τιμή x x αμερόληπτος εκτιμητής της μέσης τιμής μ της χρονοσειράς? Δειγματική αυτοδιασπορά Άλλη εκτίμηση αυτοδιασποράς Μεροληπτικοί εκτιμητές: ( ) ( x ) () ( ) () ( xx x ) c x x c E[ c ] ( )Var[ x] E[ c] Var[ x] c x x,,, c( ) Δειγματική αυτοσυσχέτιση r( ) r() c() r ~ N(,Var[ r ]) Για μεγάλο : Var[ r ] ( m m m m 4 mm ) m Var[ r ] m πολύ μεγάλο m Συμβολισμός c() c η μεροληψία αυξάνει με την υστέρηση τ Συμβολισμός r() r τύπος Barle

19 Aυτοσυσχέτιση λευκού θορύβου x, x,, x χρονοσειρά λευκού θορύβου, r ~ N(, )? Έλεγχος σημαντικότητας αυτοσυσχέτισης H : H : r R r z / Aπορριπτική περιοχή: / z Ζώνη μη-σημαντικής αυτοσυσχέτισης: a/ Παράδειγμα για στάθμη σημαντικότητας για =.5 Για μια χρονοσειρά παρατηρήσεων δίνονται οι πρώτες αυτοσυσχετίσεις Έλεγχος τυχαιοποίησης για τη σημαντικότητα αυτοσυσχέτισης Υποθέτοντας ότι η χρονοσειρά είναι τυχαία (Η :ρ=): Var[ r ].5 για =.5, το 95% των αυτοσυσχετίσεων αναμένουμε να βρίσκεται στο διάστημα ρ, ρ και ρ τ για τ=3,4,