Μάθημα 5-6: Στάσιμες πολυμεταβλητές χρονοσειρές και μοντέλα Διασυσχέτιση Διανυσματικά αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Δίκτυα από πολυμεταβλητές χρονοσειρές

Transcript

1 Μάθημα 5-6: Στάσιμες πολυμεταβλητές χρονοσειρές και μοντέλα Διασυσχέτιση Διανυσματικά αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Δίκτυα από πολυμεταβλητές χρονοσειρές Αιτιότητα κατά Granger Ασκήσεις

2 Ανάλυση μονομεταβλητής χρονοσειράς αυτοσυσχέτιση στασιμότητα x y y x ln y ln y

3 Ανάλυση διμεταβλητής χρονοσειράς συσχέτιση μεταξύ τους στασιμότητα?

4 Διασυσχέτιση Δύο στοχαστικές διαδικασίες χρονοσειρά { x, y} n { X },{ Y} και οι πραγματοποιήσεις τους δίνει τη διμεταβλητή Δια-συνδιασπορά (cross-covariance) XY ( ) Cov[ X, Y ] E[( X X )( Y Y )] n Δειγματική c ˆ XY ( ) XY ( ) ( x x)( y y) δια-συνδιασπορά n Διασυσχέτιση (cross-correlaion) Δειγματική διασυσχέτιση r XY XY XY ( ) ( ) cxy ( ) ( ) ˆ XY ( ) s s X X Y Y Η δια-συνδιασπορά δεν είναι άρτια συνάρτηση ( ) ( ) αλλά ισχύει ( ) ( ) XY YX Επίσης ισχύει XY ( ) XY XY

5 διασυσχέτιση X: USA Y: UK Σημαντική διασυσχέτιση Σημαντική διασυσχέτιση r r (0) Corr( X, Y ) XY Όρια σημαντικότητας z / / : οι USA και UK αποδόσεις είναι συσχετισμένες την ίδια μέρα () Corr( X, Y ) : οι USA αποδόσεις είναι συσχετισμένες με τις UK αποδόσεις την επόμενη μέρα XY Οι USA αποδόσεις επιδρούν στις UK αποδόσεις a n

6 διασυσχέτιση X: USA Y: UK Όρια σημαντικότητας z / / a n Χρονοσειρές δεικτών (με ισχυρή αυτοσυσχέτιση): ισχυρή διασυσχέτιση Χρονοσειρές αποδόσεων (με ασθενή ή μηδενική αυτοσυσχέτιση): ασθενή διασυσχέτιση Ισχυρή αυτοσυσχέτιση μπορεί να προκαλέσει ψευδή διασυσχέτιση προλεύκανση της κάθε μιας χρονοσειράς ώστε να έχει μηδενική αυτοσυσχέτιση

7 Παράδειγμα : Δύο ανεξάρτητες AR() διαδικασίες Η διμεταβλητή χρονοσειρά { x, y} n προέρχεται από δύο ανεξάρτητες AR() διαδικασίες X 0.95X Z Y 0.85Y W Z ~ WN(0, ), W ~ WN(0, ) Z W Προλεύκανση: ) Προσαρμογή μοντέλου AR() στην { x } n και στην { y } n ξεχωριστά ) Χρησιμοποίησε τις χρονοσειρές των υπολοίπων { } n και { w } n z Μετά την προλεύκανση δε φαίνεται να υπάρχουν στατιστικά σημαντικές διασυσχετίσεις

8 Παράδειγμα : Δύο εξαρτημένες AR() διαδικασίες - Η πρώτη AR() διαδικασία «οδηγεί» τη δεύτερη AR() διαδικασία. X 0.95X Z Y 0. 5X 0.85Y W Z ~ WN(0, ), W ~ WN(0, ) Z W Μετά την προλεύκανση r ( ),,,3 XY είναι στατιστικά σημαντικά το X συσχετίζεται με το (και όχι το αντίθετο) Y η{ X } επιδρά στην { } (αιτιότητα κατά Granger) Y

9 Παράδειγμα 3: Δύο εξαρτημένες AR() διαδικασίες - Οι δύο AR() διαδικασίες είναι αλληλο-εξαρτημένες. X X Z Y 0.6X 0.3Y W. 0.5Y Z ~ WN(0, Z ), W ~ WN(0, W ) Μετά την προλεύκανση, υπάρχουν στατιστικά σημαντικές αυτοσυσχετίσεις για θετική και αρνητική υστέρηση το συσχετίζεται με το και το X Y Y X και { Y } Αλληλοεξάρτηση των { }

10 Μοντέλα VAR Τάξη Για μονομεταβλητή χρονοσειρά, αυτοπαλίνδρομο μοντέλο τάξης, AR() X 0 X Z Z ~ WN(0, ) Z Για διμεταβλητή χρονοσειρά, διανυσματικό αυτοπαλίνδρομο μοντέλο τάξης, VAR() Z ~ WN(0, Z) X X Y Z,0,, Y X Y W,0,, Σε μορφή πινάκων X a,0,, X Z,0 Y a,0,, Y W Η διαδικασία VAR() είναι σταθερή (sable) (στάσιμη, saionary) αν οι ιδιοτιμές του Α είναι κατά απόλυτη τιμή < X A AX Z 0

11 Μοντέλα VAR Τάξη Για διμεταβλητή χρονοσειρά, διανυσματικό αυτοπαλίνδρομο μοντέλο τάξης, VAR() Z ~ WN(0, Z) X X Y Z,0,, i i,, i i i Y X Y Z,0,, i i,, i i i Σε μορφή πινάκων X a,0,,,, X,,,, X Z Y a,0,,,, Y,,,, Y W X A AX Z 0 i i i Η διαδικασία VAR() είναι σταθερή (sable) αν οι ιδιοτιμές του Α είναι κατά απόλυτη τιμή < A A A A I A 0 I I 0

12 Παράδειγμα : Δύο ανεξάρτητες AR() διαδικασίες Η διμεταβλητή χρονοσειρά { x, y} n προέρχεται από δύο ανεξάρτητες AR() διαδικασίες X 0.95X Z Y 0.85Y W Z ~ WN(0, ), W ~ WN(0, ) VAR() X A0 A X Z X Χ Y 0 A 0 0 A Z Z W Z W Παράδειγμα : Δύο εξαρτημένες AR() διαδικασίες - X 0.95X Z Y 0. 5X 0.85Y W VAR() X A0 A X Z X Χ Y A0 0 0 A Z Z W Παράδειγμα 3: Δύο εξαρτημένες AR() διαδικασίες - X X Z Y 0.6X 0.3Y W. 0.5Y VAR() X A0 A X Z X Χ Y 0 A 0 0 A Z Z W

13 Πολυμεταβλητές χρονοσειρές και δίκτυα Τα μοντέλα VAR() και η διασυσχέτιση επεκτείνονται για K μεταβλητές (πολυμεταβλητή χρονοσειρά Κ μεταβλητών), συμβολισμός VAR Κ () Παράδειγμα: VAR 3 () X, X, Z, X, X, Z, X ] X Z 3, 3, 3, X X X X,, 3, X A X Z

14 Παράδειγμα: VAR 3 () X, X, Z, X X, X, Z, X X X 3, ] X 3, Z 3, X Πίνακας διασυσχέτισης R(τ) Κατώφλι σημαντικότητας R(0) R() R() Αυθαίρετο κατώφλι. Στατιστική σημαντικότητα / n σταθμισμένες συνδέσεις π.χ. στάθμιση () r ij Δίκτυο (για διασυσχέτιση υστέρησης ),, 3, απλές συνδέσεις X A X Z Πίνακας γειτνίασης Α(τ) 0 0 A(0) A() 0 0 A() 0 3

15 Παράδειγμα: VAR 5 () X X X X X X,, 3, 4, 5, X A X Z Πίνακας διασυσχέτισης R(τ) R(0) R() A Πίνακας γειτνίασης Α(τ) A(0) A()

16 Παράδειγμα: Αποδόσεις 4 χρηματαγορών χωρών αποδόσεις x log( y ) log( y ) X: ΑUS Υ: GRE rxy rxy (0) 0.58 () 0.0 r ( ) 0.9 XY

17 Παράδειγμα: Αποδόσεις 4 χρηματαγορών χωρών Πίνακας διασυσχέτισης για υστέρηση, R() Πίνακας γειτνίασης Α() R() A()

18 Παράδειγμα: Αποδόσεις 3 χρηματαγορών χωρών Πίνακας γειτνίασης Α(0) Πίνακας γειτνίασης Α() δίκτυο διασυσχέτισης 3 κόμβοι κατευθυνόμενες συνδέσεις από () r ij

19 Μερική διασυσχέτιση Μονομεταβλητή χρονοσειρά Είναι τα X και X + (γραμμικά) συσχετισμένα? r rx () r( X, X ) 0 Είναι τα X και X + (γραμμικά) συσχετισμένα? r rx () r( X, X ) 0 Είναι τα X και X + άμεσα (γραμμικά) συσχετισμένα?, r( X, X X ) 0 Διμεταβλητή χρονοσειρά Είναι τα X και Υ + (γραμμικά) συσχετισμένα? rxy () r( X, Y ) 0? Είναι τα X και Y + άμεσα (γραμμικά) συσχετισμένα? r( X, Y?) Λύση με χρήση μοντέλου

20 Αιτιότητα κατά Granger (Granger causaliy) Η ιδέα της αιτιότητα κατά Granger X Y Υπάρχει αιτιότητα κατά Granger Χ Υ όταν η πρόβλεψη της Y βελτιώνεται όταν το μοντέλο παλινδρόμησης περιλαμβάνει και την X Διμεταβλητή χρονοσειρά { x, } n y μεταβλητή οδηγός (driving variable): X μεταβλητή απόκρισης (resonse variable): Y Μοντέλο, περιορισμένο μοντέλο (resriced model, R-model) δεν περιέχει τη Χ i i R, er, R i y a y e { } ~ WN(0, ) Μοντέλο, μη-περιορισμένο μοντέλο (unresriced model, U-model) περιέχει τη Χ i i bx i i U, eu, U i i y a y e { } ~ WN(0, ) Δείκτης αιτιότητας κατά Granger (Granger causaliy index, GCI) X Y GCI X s Var( ˆR, ) Y ln ln s e Var( eˆ ) R U U, GCI XY 0 X Y υπάρχει αιτιότητα κατά Granger από Χ στο Υ GCI XY 0 X Y δεν υπάρχει αιτιότητα κατά Granger από Χ στο Υ

21 Έλεγχος σημαντικότητας του δείκτη αιτιότητας κατά Granger GCI 0? Έλεγχος σημαντικότητας XY Αν δεν υπάρχει αιτιότητα κατά Granger από Χ στο Υ τότε η συνεισφορά της X στο μη-περιορισμένο θα πρέπει να μην είναι σημαντική Άρα οι όροι της X στο U-μοντέλο θα πρέπει να μην είναι στατιστικά σημαντικοί Η : b 0, i,, 0 i Η : b 0 για κάποιο i,, i Στατιστικό ελέγχου (έλεγχος Snedecor-Fisher, F-es): R U (SSE SSE ) / F U SSE / ndf SSE (sum of squared errors): άθροισμα των τετραγώνων των σφαλμάτων ndf (number of degrees of freedom): αριθμός βαθμών ελευθερίας ndf ( n ) αριθμός εξισώσεων αριθμός συντελεστών

22 Πολυμεταβλητή χρονοσειρά μεταβλητή οδηγός (driving variable): X Μοντέλο, περιορισμένο μοντέλο (resriced model, R-model) δεν περιέχει τη Χ i i Ai zi R, er, R i i y a y e { } ~ WN(0, ) Μοντέλο, μη-περιορισμένο μοντέλο (unresriced model, U-model) περιέχει τη Χ y a y A z bx e i i i i i i i Δείκτης αιτιότητας κατά Granger με δέσμευση (Condiional Granger causaliy index, CGCI) X Y Z CGCI s eˆ R R, X Y Z ln ln s ( ˆ U eu, { x, y, z, z,, z } n K μεταβλητές,, K, Var( ) Var ) i i μεταβλητή απόκρισης (resonse variable): Y υπόλοιπες παρατηρούμενες μεταβλητές (confounding variables): Z Z { Z, Z,, ZK } U, { eu, } ~ WN(0, U )

23 Έλεγχος σημαντικότητας του δείκτη CGCI CGCI 0 X Y Z? Έλεγχος σημαντικότητας Η : b 0, i,, 0 i Η : b 0 για κάποιο i,, i Στατιστικό ελέγχου (έλεγχος Snedecor-Fisher, F-es): R U (SSE SSE ) / F U SSE / ndf SSE (sum of squared errors): άθροισμα των τετραγώνων των σφαλμάτων ndf (number of degrees of freedom): αριθμός βαθμών ελευθερίας ndf ( n ) K αριθμός εξισώσεων αριθμός συντελεστών