min Προσαρμογή AR μοντέλου τάξη p, εκτίμηση παραμέτρων Προσδιορισμός τάξης AR μοντέλου συσχέτιση των χωρίς τη συσχέτιση με

Transcript

1 = φ + φ + + φ + Προσδιορισμός τάξης AR μοντέλου Προσαρμογή AR μοντέλου - μερική αυτοσυσχέτιση για υστέρηση τ: = φ + w, = φ + φ + w,, = φ + φ + φ + w,3,3 3,3 3 ˆ φ, kk, τάξη, εκτίμηση παραμέτρων συσχέτιση των χωρίς τη συσχέτιση με ˆ φ = εκτίμηση του Η τάξη είναι αν και για k> φ τ,,,, για μοντέλο AR(τ) φ,,, φ σ τ + τ (πτώση από μη-μηδενική σε μηδενική μερική αυτοσυσχέτιση) - κριτήρια πληροφορίας κριτήριο πληροφορίας του Akaike, AIC Εκτίμηση παραμέτρων - μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων (ordiary leas squares, OLS) - μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας (maimum likelihood mehod) mi φ,, φ διασπορά σφάλματος προσαρμογής AIC( ) = l( s ) + = + ( y φ φ )

2 Παράδειγμα Ρυθμός μεταβολής του ακαθάριστου εθνικού προϊόντος (ΑΕΠ) των ΗΠΑ (τετραμηνιαίες τιμές, ο τετράμηνο 947 ο τετράμηνο 99). Η εποχικότητα έχει διορθωθεί (αφαιρώντας τον εποχικό κύκλο)..4.3 GP of USA: icremes.5.4 icr.gp(usa): auocorrelaio στάσιμη?.. r(τ).3.. συσχετίσεις μικρής διάρκειας? τ icr.gp(usa): arial auocorrelaio icr.gp(usa): AIC τάξη AR μοντέλου? φ,.. -. AIC() AR(3)?

3 εκτίμηση παραμέτρων ˆ μ OLS εκτίμηση ˆ.77 μ = ˆ φ =.35 ˆ φ =.8 ˆ φ 3 =.4 ˆ φ = ˆ μ ˆ φ ˆ φ ˆ φ =.47 ( ) 3 ˆ = = 4,,76 3 σφάλματα ή υπόλοιπα (residual) εκτίμησης ˆ s ˆ ˆ = = σ =.989 s ˆ = σ =.98 προσαρμοσμένο AR(3) = icr.gp(usa): AR(3) fi.4 icr.gp(usa): AR(3) fi (). () ime ime Διάγνωση καταλληλότητας ˆ είναι τα υπόλοιπα ανεξάρτητα έλεγχο ανεξαρτησίας στα { } = +

4 { },,, Πρόβλεψη με AR μοντέλα +, +, ˆ ˆ +, +, πρόβλεψη (), (), πρόβλεψης T βημάτων μπροστά (T-se ahead forecas) [ ] ( T) =Ε,, + T AR() = φ + φ + + φ T = T = =Ε = ( ) +,,, + φ φ φ + e () = () = Σφάλμα πρόβλεψης [ ] Αν T ( T) ~ Ν(, σ ) % διάστημα πρόβλεψης () = φ + φ() + φ + φ + ( ) e () = () = φ () + w = φw + w [ ] = ( + ) Var e () φ σ μ w Var e () = σ () ±.96σ w

5 Παράδειγμα μεταβολή ΑΕΠ των ΗΠΑ {,,, },,, (), (),, (6) προσαρμόζουμε το AR(3) icr.gp(usa): AR(3) redicio.4 icr.gp(usa): AR() redicio

6 Αξιολόγηση της επίδοσης μοντέλου σε πρόβλεψη - αντεπικύρωση (cross validaio) - σύνολο εκμάθησης ή εκπαίδευσης (raiig ή learig se) σύνολο ελέγχου ή επικύρωσης (es ή validaio se) μέσο τετραγωνικό σφάλμα (mea square error, mse) προβλέψεις σφάλματα πρόβλεψης Τ-βημάτων ( T), ( T),, ( T) + T e ( T) = ( T) + T e ( T) = ( T) T T ( + ) T T mse( T) = ej( T) = j T j( T) T + j= T + j= ρίζα του μέσουτετραγωνικούσφάλματος(roo mea square error, rmse) ( + ) T T rmse( T) = ej( T) = j T j( T) T + j= T + j= κανονοικοποίηση του rmse (ormalied roo mea square error, rmse) rmse( T ) = T + T +,, +, +, T ( j+ T j( T) ) j= T ( j+ T ) j=

7 Παράδειγμα μεταβολή ΑΕΠ των ΗΠΑ icr.gp(usa): AR(3) redicio -=5 σύνολο εκμάθησης {,,, } 6. σύνολο ελέγχου {,,, } = 5 rmse().9.8 T= T= icr.gp(usa): AR(3) redicio -=3 σύνολο εκμάθησης σύνολο ελέγχου {,,, } 46 {,,, } = rmse()..9.8 T= T=

8 Πρόβλεψη μη-στάσιμων χρονοσειρών με ARIMA Μεθοδολογία Bo-Jekis. γράφημα χρονοσειράς και αυτοσυσχέτισης ασήμαντες αυτοσυσχετίσεις λευκός θόρυβος κανένα γραμμικό μοντέλο = =. Επιλέγεται η τάξη του AR, ARMA μοντέλου για τη { } 3. Προσαρμόζεται το μοντέλο AR() ή ARMA(,q) στη και ελέγχεται η { } καταλληλότητα του (αν τα υπόλοιπα είναι ανεξάρτητα) { } = 4. Με το επιλεγμένο μοντέλο γίνονται προβλέψεις της και μετασχηματίζονται στην αρχική χρονοσειρά { y } = = y y Πρόβλεψη Τ= () y () = y + () Πρόβλεψη Τ= () y () = y () + () ισχυρές αυτοσυσχετίσεις που φθίνουν αργά μη-στάσιμη χρονοσειρά πρώτες διαφορές y Πρόβλεψη Τ ( T ) y ( T) = y ( T ) + ( T)

9 Παράδειγμα Ημερήσιος δείκτης ΧΑΑ από // 3//7, πρόβλεψη ως 3/3/8 6 ASE daily ide ASE ide: auocorrelaio 5.8 { y,, y } 496 close ide 4 3 r(τ).6.4. = y y y years.6 ASE reurs τ. ASE reurs: auocorrelaio {,, } 496 = 496 close ide reurs years r(τ) τ

10 τάξη AR μοντέλου. ASE reurs: arial auocorrelaio -9.5 ASE reurs: AIC φ, AIC() Αξιολόγηση πρόβλεψης, σύνολο ελέγχου //8-3/3/8 = 48 =544.5 ASE differeces: RMSE T= T=.5 ASE reurs: RMSE T= T= T= ASE ide: oe se ahead redicio ASE AR() AR(3) rmse() rmse() close ide days

11 Πρόβλεψη με αφετηρία 3//7 και ως 3/3/8 =496 T =,,, ASE reurs: AR(3) redicio horio geeral ide y (T), AR(3) 54 5 ASE reurs: AR(3) redicio horio reurs of ide close ide geeral ide (T), AR(3) days days = AR() = AR(3) 3 Οι συντελεστές είναι κοντά στο!