a = M + 2m(1 - #$%") όπου! g η επιτάχυνση της βαρύτητας.
|
|
- Βαράκ Δοξαράς
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Στην διάταξη του σχήµατος 1 η ορθογώνια σφήνα µάζας Μ, εφάπτεται µε την υποτείνουσα έδρα της λείου οριζόντιου εδάφους και φέρει στην κορυφή της µικρή και ευκίνητη τροχαλία το αυλάκι της οποίας περιβάλλεται µε αβαρές και µη εκτατό νήµα, Το ένα άκρο του νήµατος είναι σταθερό το δε άλλο του άκρο συνδέται µε σώµα Σ µάζας m, το οποίο µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή στην κεκ λιµένη έδρα της σφήνας, γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα. Να δείξετε ότι αν το σύστηµα αφεθεί ελεύθερο, η σφήνα θα κινείται στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους µε επιτάχυνση a, της οποίας το µέτ ρο δίνεται από την σχέση: a = mgµ" 1 - #$" όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: H σφήνα υπό την επίδραση των δυνάµεων που δέχεται από το σώµα και το νήµα µετακινείται οριζοντίως σε σχέση µε το ακίνητο έδαφος και µάλι στα η µετακίνηση της προκαλεί µείωση του µήκους του οριζόντιου σκέλους του νήµατος. Όµως η µείωση αυτή είναι ίση µε την αύξηση του µήκους του κεκλι µένου σκέλους του νήµατος, που σηµαίνει ότι η προς τα κάτω σχετική µετατό πιση του σώµατος ως προς την κεκλιµένη έδρα της σφήνας έχει ίδιο µέτρο µε την µετατόπιση της σφήνας στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. Αυτό ισοδυνα Σχήµα 1 µεί µε το ότι το µέτρο της σχετικής επιτάχυνσης a " του σώµατος ως προς την σφήνα είναι ίσο µε το µέτρο της επιτάχυνσης a της σφήνας στο σύστηµα αναφο ράς του εδάφους. Εξετάζοντας το σώµα ένας παρατηρητής που µετέχει της κινήσεως της σφήνας µη αδρανειακός παρατηρητής διαπιστώνει ότι αυτό δέχεται το βάρος του w που αναλύεται στην παράλληλη προς την έδρα συνι
2 στώσα w και στην κάθετη προς την έδρα συνιστώσα w y, την δύναµη στήριξης N από την έδρα που είναι κάθετη σ αυτήν, την τάση T του νήµατος που το συγκρατεί και τέλος την αδρανειακή δύναµη D Alembert -m a που κατευθύνε ται αντίθετα προς την κίνηση της σφήνας. Εφαρµόζοντας ο παρατηρητής αυτός για το σώµα τον δευτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατα την διεύθυνση της σχετικής του κίνησης ως προς την σφήνα, παίρνει την σχέση: w + ma"#$ - T = ma mgµ" + ma#$" - T = ma T = mgµ" - ma1 - #$" 1 Eξάλλου για τον παρατηρητή αυτόν το σώµα κατα την κάθετη προς την κεκλι µένη έδρα διεύθυνση y ισορροπεί, οπότε µπορεί να γράφει την σχέση: N + maµ" = mg#$" N = mg"#$ - maµ$ Eξετάζοντας ο παρατηρητής την σφήνα διαπιστώνει ότι αυτή ισορροπεί υπό την επίδραση του βάρους της M g, της κατακόρυφης δύναµης στήριξης A από το λείο οριζόντιο έδαφος, της τάσεως R του κεκλιµένου σκέλους του νήµατος, της τάσεως Q του οριζόντιου σκέλους του νήµατος, της δύναµης επαφής N ' από το σώµα που είναι αντίθετη της δύναµής N και τέλος της αδρανειακής δύναµης D Alembert -M a. Eφαρµόζοντας για την σφήνα συνθήκη ισορροπίας κατά την οριζόντια διεύθυνση παίρνει την σχέση: Q - R'- Ma + N' = Q - R"#$ - Ma + N'µ$ = 3 Επειδή η τροχαλία που είναι στερεωµένη στην κορύφη της σφήνας έχει αµελη τέα µάζα και το νήµα είναι αβαρές ισχύει Q=R=T, οπότε η 3 γράφεται: T - T"#$ - Ma + Nµ$ = T1 - "#$ + Nµ$ = Ma 4 Συνδυάζοντας τις σχέσεις 1, και 4 παίρνουµε: mgµ" + ma#$" - ma1 - #$" + mg#$" - maµ"µ" = Ma mgµ" + ma#$" - ma - mgµ"#$" - ma#$ " + ma#$" + +mg"#$µ$ - maµ $ = Ma mgµ" + ma#$" - ma + ma#$" = Ma mgµ" = Ma + ma - ma#$" a = mgµ" 1 - #$" 5 Παρατήρηση: O ακίνητος επί του εδάφους παρατηρητής αδρανειακός παρατηρητής αντιλαµ βάνεται ότι το σώµα κίνειται κατά την διεύθυνση µε επιτάχυνση a της οποίας το µέτρο είναι:
3 a = a "# - a = a - a"$ = a1 - "$ 6 εφαρµόζοντας δε κατά την διεύθυνση τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτω να παίρνει την σχέση: 6 mgµ" - T = ma # mgµ" - T = ma1 - #$" T = mgµ" - ma1 - #$" 7 O ίδιος παρατηρητής αντιλαµβάνεται ότι το σώµα κατα την διεύθυνση y κινεί ται µε επιτάχυνση a y ίση µε a y, διότι η σχετική του επιτάχυνση κατά την διεύθυνση αυτή είναι µηδενική, το δε µέτρο της είναι: a y = a y = a"µ# Σύµφωνα δε µε τον δευτερο νόµο της κίνησης του Νεύτωνα µπορεί ο παρατηρη τής να γράφει την σχέση: mg"#$ - N = maµ$ N = mg"#$ - maµ$ 8 Τέλος ο παρατηρητής αυτός εφαρµόζοντας τον δευτερο νόµο κίνησης του Νεύ τωνα για την σφήνα, παίρνει την σχέση: Q - R'+N' = Ma Q - R"#$ + N'µ$ = Ma T - T"#$ + Nµ$ = Ma T1 - "#$ + Nµ$ = Ma 9 Oι σχέσεις 7, 8 και 9 είναι ίδιες µε τις σχέσεις 1, και 4 που βρήκε ο µη αδρανειακός παρατηρητής. P.M. fysikos Στην οροφή ενός κιβωτίου µάζας M, έχει στερε ωθεί αβαρές νήµα µήκους L, στο άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σφαιρίδιο µάζας m. Tο κιβώτιο βρίσκεται ακίνητο πάνω σε λείο ορι ζόντιο δάπεδο, το δε σφαιρίδιο είναι επίσης ακίνητο µε το νήµα κατα κόρυφο. Kάποια στιγµή ασκείται στο σφαιρίδιο ορίζοντια δύναµη βρα χείας διάρκειας, που του προσδίνει οριζόντια ταχύτητα v στο σύστη µα αναφοράς του εδάφους. Να βρεθούν: i H µέγιστη απόκλιση του νήµατος από την κατακόρυφη διεύθυνση, ii η µέγιστη επιτρεπόµενη τιµή του µέτρου της ταχύτητας v και iii η ταχύτητα του σφαιρίδιου όταν το νήµα ξαναγίνει κατακόρυφο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας.
4 ΛYΣH: i Την στιγµή t που η εκτροπή του νήµατος από την κατακόρυφη διεύθυνση έχει λάβει την µεγαλύτερη τιµή της φ ma το σφαιρίδιο έχει µηδε νική σχετική ταχύτητα ως προς το κιβώτιο, που σηµαίνει ότι η ταχύτητά του στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους είναι ίδια µε την αντίστοιχη ταχύτητα του κιβωτίου. Εξάλλου το σύστηµα κιβώτιο-σφαιρίδιο είναι µηχανικά µονωµένο κατά την οριζόντια διεύθυνση, διότι δεν δέχεται εξωτερικές δυνάµεις κατά την διεύθυνση αυτή το βάρος του κιβωτίου και του σφαιριδίου, καθώς και η αντίδραση του δαπέδου αποτελούν κατακόρυφες εξωτερικές δυνάµεις για το σύστηµα. Άρα η ορµή του συστήµατος διατηρείται σταθερή κατά την οριζόντια διεύθυνση, που σηµαίνει ότι µπορούµε να γράψουµε την σχέση: mv = mv + MV V = mv m + M 1 Σχήµα όπου V η κοινή ταχύτητα του σφαιριδίου και του κιβωτίου την χρονική στιγµή t. Eφαρµόζοντας εξάλλου για το σύστηµα σφαιρίδιο-κιβώτιο τo θεώ ρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας παίρνουµε την σχέση: Mgh K + + mv = mv + MV + Mgh + mgl - L"#$ K ma όπου h K η απόσταση του κέντρου µάζας του κιβωτίου από το επίπεδο αναφο ράς της βαρυτικής δυναµικής ενέργειας. Η παραπάνω σχέση µε βάση την 1 γράφεται: mv mv = m + M $ # " m + M v = mv m + M + 4gLµ # $ + mgl1 - ' ma " ma v - mv ' m + M = 4gLµ # $ " ma ' Mv m + M = 4gLµ # $ " ma # " µ ma = v # m + M ' $ ' 4gL $ M ' # µ " ma = v $ ' m + M gml ii H γωνία φ ma είναι αποδεκτή εφ όσον ισχύει:
5 µ " # ma 1 $ ' v m + M gml 1 v gml m + M 3 Από την 3 προκύπτει ότι η µεγαλύτερη τιµή που επιτρέπεται να λάβει το µέτρο της ταχύτητας v είναι: v ma = gml m + M iii Ας δεχθούµε ότι την στιγµή που το νήµα ξαναγίνεται κατακόρυφο το µεν σφαιρίδιο έχει ως προς το ακίνητο έδαφος ταχύτητα v και το κιβώτιο ταχύτητα V. Τα διανύσµατα των ταχυτήτων αυτών είναι οριζόντια και οι αλγεβρικές τους τιµές, συµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ορµής θα ικανοποιούν την σχέση: mv = mv + MV mv - v = MV 4 Tην ίδια στιγµή το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας µας επιτρέ πει να γράψουµε την σχέση: mv = mv + MV mv - mv = MV mv + vv - v = MV 5 Διαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις 4 και 5 παίρνουµε: v + v = V η οποία συνδυαζόµενη µε 4 δίνει: mv - v = Mv + v m - Mv = v v = m - M $ # v " 6 Aπό την 6 προκύπτει ότι η ταχύτητα v είναι οµόροπη της v, όταν m>m και αντίρροπή της v, όταν m<m. Eάν m=m, τότε v = δηλαδη το σφαιρίδιο στιγµιαία ακινητοποιείται στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. Παρατήρηση: Tα έργα των αντίθετων δυνάµεων T και T ', που εξασκεί το νήµα στο κιβώτιο και στο σφαιρίδιο αντιστοίχως, έχουν άθροισµα ίσο µε µηδέν. Πράγµατι, εάν θεωρήσουµε µια στοιχειώδη µετατόπιση του συστήµατος, κατά την εξέλιξη της οποίας το σφαιρίδιο µετατοπίζεται κατά ds και το κιβώτιο κατά ds ', τότε τα αντίστοιχα έργα των T και T ' θα είναι T d S και T 'd S ', οπότε το συνολικό τους έργο θα είναι:
6 dw = T d S + T 'd S ' = T d S + - T d S ' = T d S - d S ' Oµως το διάνυσµα d S - d S ' αποτελεί την στοιχειώδη σχετική µετατόπιση του σφαιριδίου ως προς το κιβώτιο, η οποία όµως είναι κάθετη στην T, οπότε το εσωτερικό γινόµενο T d S - d S ' είναι µηδενικό, δηλαδή ισχύει dw=. P.M. fysikos Θεωρούµε το προηγούµενο σύστηµα κιβώτιο-νήµασφαιρίδιο και δεχόµαστε ότι την στιγµή t= που αφήνεται ελευθερο εκ της ηρεµίας το νήµα είναι τεντωµένο και βρίσκεται αριστερά της κατακόρυφης που διέρχεται από το σηµείο εξάρτησής του Ο, σχηµατί ζοντας γωνία φ µε αυτήν. i Να δείξετε ότι το µέτρο της ταχύτητας v του σφαιριδίου στο σύ στηµα αναφοράς του κιβωτίου µεταβάλλεται σε συνάρτηση µε την γωνία φ που σχηµατίζει το νήµα µε την κατακόρυφη διεύθυνση σύµ φωνα µε την σχέση: v = gl ' "#$ - "#$ µ $ + ii Εάν φ =π/ να βρείτε την τάση του νήµατος την στιγµή που το νήµα γίνεται κατακόρυφο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛYΣH: i Tο σύστηµα κιβώτιο-σφαιρίδιο είναι µηχανικά µονωµένο κατά την οριζόντια διεύθυνση, διότι δεν δέχεται εξωτερικές δυνάµεις κατά την διεύθυνση αυτή το βάρος του κιβωτίου και του σφαιριδίου, καθώς και η αντίδ ραση του δαπέδου αποτελούν κατακόρυφες εξωτερικές δυνάµεις για το σύστη µα. Άρα η ορµή του συστήµατος διατηρείται σταθερή κατά την οριζόντια διεύθυνση, που σηµαίνει ότι µπορούµε κάθε χρονική στιγµή t να γράψουµε την σχέση: = Mv K + mv 1 όπου v K η ταχύτητα του κιβωτίου στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους κατά την στιγµή t και v η οριζόντια συνιστώσα της αντίστοιχης ταχύτητας v του σφαιριδίου. Εξάλλου εάν v είναι η σχετική ταχύτητα του σφαιριδίου ως προς το κιβώτιο το διάνυσµά της θα είναι κάθετο στο νήµα σχ. 3 και η οριζόντια συνιστώσα της v θα ικανοποιεί την σχέση: v = v - v K v = v + v K οπότε η 1 γράφεται: = Mv K + mv + v K v K = - mv 3
7 Eφαρµόζοντας για το σύστηµα σφαιρίδιο-κιβώτιο τo θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας παίρνουµε την σχέση: mv K + mv + mv y - mgl"#$ = -mgl"#$ Mv K + mv + mv y = mgl"#$ - "#$ Mv K + mv + v K + mv y = mgl"#$ - "#$ Σχήµα 3 Mv K + mv + mv K + mv v K + mv y = mgl"#$ - "#$ v K + mv + v y + mv v K = mgl"#$ - "#$ +mv µ " = mgl#$" - #$" 3 v K + mv + mvv K "#$ = mgl"#$ - "#$ M+m - mv $ # + mv - m v " = mgl'-' mv + v M+m - mv = glm+m"#$-"#$ Mv + mv - v = gl"#$ - "#$ Mv + mv y = gl"#$ - "#$ Mv + mv µ " = gl#$" - #$" v = gl ' "#$ - "#$ µ $ + 4 όπου v y η κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας v ίση µε την κατακό ρυφη συνιστώσα v y της ταχύτητας v.
8 ii Για ένα παρατηρητή του συστήµατος αναφοράς του κιβωτίου το σφαιρίδιο κινείται υπό την επίδραση του βάρους του w, της τάσεως T του νήµατος και της αδρανειακής δύναµης D Alembert -m a K η οποία είναι οριζόντια, διότι η επιτάχυνση a K του κιβωτίου στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους είναι οριζόν τια σχ. 4. Την στιγµή που το νήµα είναι κατακόρυφο ο παρατηρητής εφαρµό Σχήµα 4 ζοντας για το σφαιρίδιο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά την διεύ θυνση του νήµατος παίρνει την σχέση: T - mg = mv /L T = mv /L + g 5 Όµως την στιγµή αυτή είναι φ= και για φ =π/ η 4 δίνει: v 1 - $ = gl # " M + οπότε η 5 γράφεται: gl T = m# " ML = gl M $ + g = mg# " M + 1 $ T = mg# m " M + 3 $ P.M. fysikos Στο προηγούµενο πρόβληµα να δείξετε τα έξής: i H αλγεβρική τιµή της επιτάχυνσης a K του κιβωτίου στο σύσηµα αναφοράς του εδάφους µεταβάλλεται σε συνάρτηση µε την γωνία φ σύµφωνα µε την σχέση: a K = ml -"#$ d $ d$ + µ$ ' dt dt + ii Να δείξετε ότι η γωνία φ ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση:
9 d m"µ #$ d + dt "µ + ' dt + g L "µ ' "µ + = iii Για µικρή αρχική απόκλιση φ του νήµατος από την κατακόρυφη διεύθυνση, να δείξετε ότι η µετατόπιση του κιβωτίου στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση: K = ml 1 - "#$t µε = g $ L 1 + m M ΛYΣH: i Στο προηγούµενο πρόβληµα αποδείχθηκε ότι η αλγεβρική τιµή της ταχύτητας v K του κιβωτίου στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους ικανοποιεί κάθε στιγµή t την σχέση: " # ' v K = - mv όπου v η σχετική ταχύτητα του σφαιριδίου ως προς το κιβώτιο και φ η γωνία που σχηµατίζει το νήµα µε την κατακόρυφη διεύθυνση κατά την θεω ρούµενη χρονική στιγµή t. Παραγωγίζοντας την 1 ως προς τον χρόνο t παίρνουµε την αλγεβρική τιµή της επιτάχυνσης a K του κιβωτίου στο σύστη µα αναφοράς του εδάφους, δηλαδή θα έχουµε: 1 a K = dv K dt = d dt - mv $ # = " -m # " dv dt $ Σχήµα 5 Εάν για την κίνηση του σφαιριδίου ως προς το κιβώτιο χρησιµοποιήσουµε πολικές συντεταγµένες r, θ, τότε η ταχύτητα v µπορεί να εκφρασθεί σε συνάρτηση µε το µοναδιαίο εφαπτοµενικό διάνυσµα e, που η κατεύθυνσή του σε κάθε σηµείο συµβατικά δηλώνεται µε την η φορά κατά την οποία η πολική γωνία θ αυξάνεται ή το ίδιο η γωνία φ µειώνεται. Έτσι θα έχουµε: " v = L d $ ' " e # dt = -L d $ ' e # dt 3 Όµως από το σχήµα 5 για το µοναδιαίο διάνυσµα e παίρνουµε την σχέση:
10 e =- e "#$ i + e µ j e =- "#$ i + µ j 4 όπου i, j τα µοναδιαία διανύσµατα των καρτεσιανών αξόνων και y. Συνδυ άζοντας τις σχέσεις 3 και 4 έχουµε: " v = -L d $ ' - i + +µ j # dt v " d i +v y j = L $ ' i - +µ j # dt " v = L d $ ' dv # dt dt = L " d " d $ # dt ' - L+µ $ ' 5 # dt Mε βάση την 5 η γράφεται: a K = -ml, d d /. "#$ - µ dt ' dt a K = ml -"#$ d $ d$ + µ$ ' dt dt + 6 ii Για ένα παρατηρητή του συστήµατος αναφοράς του κιβωτίου το σφαιρίδιο κινείται υπό την επίδραση του βάρους του w, της τάσεως T του νήµατος και της αδρανειακής δύναµης D Alembert F = -m a K η οποία είναι οριζόντια, Σχήµα 6 διότι η επιτάχυνση a K του κιβωτίου στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους είναι οριζόντια σχ. 6. Eφαρµόζοντας o παρατηρητής αυτός για το σφαιρίδιο τον δεύ τερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά την διεύθυνση της εφαπτοµένης της κυκ λικής τροχιάς που διαγράφει ως προς αυτόν, παίρνει την σχέση: m dv dt = -F + w m d " d $ -L ' = -F + mg+µ dt # dt ml d 6 dt = -ma K"#$ - mgµ
11 L d dt = - ml"#$, -"#$ d d. + µ + dt ' dt -. / gµ L d dt = ml"#$ d ' dt - ml d +µ "#$' dt - g+µ ' 1 - m"# $ d $ m+µ$ "#$ d$ = - ' dt dt - g L +µ$ # $ µ " ' d " mµ" +" # d" = - dt $ dt' - g L µ" µ " d " d" = -mµ" #$" + dt ' dt - g µ" L d m"µ #$ d + dt "µ + ' dt + g L "µ ' "µ + = 7 Παρατήρηση: H σχέση 7 µπορεί να προκύψει µε παραγώγιση ως προς τον χρόνο t της σχέσεως: v = gl ' "#$ - "#$ µ $ + που αποδείχθηκe στην προηγούµενη άσκηση, iii Για µικρή αρχική απόκλιση φ του νήµατος από την κατακόρυφη διεύ θυνση µπορούµε µε ικανοποιητική προσέγγιση να δεχθούµε ηµφ φ, συνφ 1 και φdφ/dt, οπότε η 7 παίρνει την µορφή: µε d dt + m " d $ ' # dt d dt + g L " $ # ' = + g LM = d dt + " = 8 = g " $ ' = g " L # M L 1 + m $ ' # M Mε αρχικές συνθήκες φt==φ και [dφ/dt]t==, η διαφορική εξίσωση 8 δέχεται λύση της µορφής:
12 = "#$t d dt = - "#µ"t L d dt = - L"#µ"t v = - L"#µ"t οπότε η 1 γράφεται: v K = ml"#µ"t$ ' "ml#µ"t d K dt = "ml#µ"t d K = ml "µ#td#t 9 Oλοκληρώνοντας την 9 παίρνουµε την µετατόπιση K αλγεβρική τιµή του κιβωτίου στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους, δηλαδή θα είναι: K = - ml "#$t + C Aν δεχθούµε για το κιβώτιο ως αρχική συνθήκη K t==, τότε η σταθερά ολοκληρώσεως C θα είναι ίση µε φ ml/m+m και η πιο πάνω σχέση παίρνει την µορφή: K = - ml "#$t + ml = ml K 1 - "#$t P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος 7 η ράβδος µάζας Μ και µήκους L είναι αρθρωµένη στο σώµα Σ µάζας m, που µπορεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος. i Όταν στο σώµα εξασκείται οριζόντια δύναµη F αυτό κινείται µε σταθερή επιτάχυνση a και τότε η ράβδος κινείται παραµένοντας συνε χώς υπό σταθερή κλίση φ ως προς την κατακόρυφη διεύθυνση. Να βρείτε την δύναµη F και την γωνία φ, θεωρώντας γνωστά τα µεγεθη Μ, m και a. ii Eάν επί του σώµατος δεν δρα η δύναµη F και η ράβδος κρατείται υπό κλίση φ ως προς την κατακόρυφη διεύθυνση, να βρεθεί η επι τάχυνση εκκίνησης του σώµατος, όταν το σύστηµα αφεθεί ελευθερο. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=ΜL /3 της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το άκρο της και είναι κάθετος στην ράβδο επιτάχυνση g της βαρύτητας και. ΛΥΣΗ: i Εφ όσον η ράβδος παραµένει υπό σταθερή κλίση ως προς την κατα κόρυφη διεύθυνση η κίνησή της είναι µεταφορική, που σηµαίνει ότι κάθε στιγ
13 µή όλα της τα σηµεία θα έχουν την ίδια επιτάχυση, δηλαδή ίση µε a. Επί της ράβδου ενεργεί το βάρος της M g και η δύναµη από την άρθρωση που αναλύε ται στην οριζόντια συνιστώσα Q και στην κατακόρυφη συνιστώσα Q y. Σύµφω να µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύουν για την ράβδο οι σχέ σεις: Q = Ma " Q = Ma " 1 Mg - Q y = # Q y = Mg # Σχήµα 7 Εξάλλου στο σώµα Σ ενεργεί το βάρος του m g, η κατακόρυφη δύναµη στήριξης N από το λείο οριζόντιο έδαφος και η δύναµη από την άρθρωση, που αναλύεται στην οριζόντια συνιστώσα Q ' αντίθετη της Q και στην κατακόρυφη συνιστώ σα Q ' y, αντίθετη της Q y. Εφαρµόζοντας για το σώµα τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση: 1 F - Q' = ma F = Q + ma F = Ma+ ma F = M+ ma Eπειδή η ράβδος δεν περιστρέφεται η συνολική ροπή περί το κέντρο µάζας της C όλων των δυνάµεων που δέχεται είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει η σχέση: L Q "#$ - Q L y µ$ = "# = Q 1 Q y "# = Ma Mg = a g ii Εάν a, a C ειναι οι επιταχύνσεις του σώµατος Σ και του κέντρου µάζας C της ράβδου αντιστοίχως την στιγµή t= που το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο, θα ισχύει η σχέση: a C = a O + '" OC = a # + '" OC 4 όπου ' η αντίστοιχη γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου. Eφαρµόζοντας την στιγ 3
14 µή t= για την ράβδο τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: " O = I O #' Mg L µ" = ML 3 #' '= 3g"µ# L 5 Σχήµα 8 Eάν i είναι το µοναδιαίο διάνυσµα του οριζόντιου άξονα O, η διανυσµατική σχέση 4 παίρνει την µορφή: $ a C = -a i + L 3g"µ# L ' $ i = -a + 3g"µ# ' 4 i 6 Όµως ο δεύτερος νόµος κίνησης του Νεύτωνα δίνει για το κέντρο µάζας C της ράβδου την σχέση: 6 Q = Ma C $ Q = M -a + 3g"µ# ' 7 4 O ίδιος νόµος δίνει για το σώµα Σ την σχέση: Q = ma η οποία συνδιαζόµενη µε την 7 δίνει την σχέση: $ ma = M -a + 3g"µ# ' M+ ma 4 = 3Mg"µ# 4 a = 3Mg"µ# 4M+ m P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος 9 το σώµα Σ έχει µάζα Μ και µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή πάνω σε οριζόντιο δάπε
15 δο. Στο σώµα έχει πακτωθεί λεπτή κατακόρυφη ράβδος αµελητέας µάζας, στην κορυφή O της οποίας έχει προσδεθεί το ένα άκρο αβα ρούς νήµατος µήκους L στο άλλο άκρο του οποίου έχει στερεωθεί σφαιρίδιο µάζας m. Eκτρέπουµε το σφαιρίδιο από την θέση ισορρο πίας του, ώστε το νήµα να σχηµατίσει µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ και αφήνουµε το σύστηµα ελεύθερο. Να βρεθεί η τάση του νήµατος: i αµέσως µετά την έναρξη της κίνησης του συστήµατος και ii την στιγµή που το νήµα γίνεται κατακόρυφο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i Kατά την κίνηση του συστήµατος το σώµα Σ και το σφαιρίδιο δε χονται µόνο κατακόρυφες εξωτερικές δυνάµεις, που σηµαίνει ότι η ορµή του συστήµατος κατα τον οριζόντιο άξονα διατηρείται σταθερή, δηλαδή κάθε στιγ µή ισχύει η σχέση: Mv + mv = v = -Mv /m 1 όπου v η ταχύτητα του σώµατος Σ που ο φορέας της είναι οριζόντιος και v η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας του σφαιριδίου στο σύστηµα αναφοράς του δαπέδου. Η 1 αναφέρεται στις αλγεβρικές τιµές των διανυσµάτων v και v και µας επιτρέπει να αναφερθούµε στις µεταβολές τους dv Σ και dv που αντι στοιχούν µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt, για τις οποίες θα ισχύει: dv = -Mdv /m dv dt = - M dv m dt a = -Ma /m Σχήµα 9 όπου a η επιτάχυνση του σώµατος Σ και a η οριζόντια συνιστώσα της επιτά χυνσης του σφαιριδίου στο σύστηµα αναφοράς του δαπέδου. Εξετάζοντας το σφαιρίδιο ένας παρατηρητής που µετέχει της κινήσεως του σώµατος Σ µη αδρανειακός παρατηρητής διαπιστώνει ότι αυτό διαγράφει κυκλική τροχιά κέντρου O και ακτίνας L υπό την επίδραση του βάρους του w, της τάσεως T του νήµατος και της αδρανειακής δύναµης D Alembert F = - m a, της οποίας ο φορέας είναι οριζοντιος. Την στιγµή t= της έναρξης της κινήσεως του συστή µατος ο µη αδρανειακός παρατηρητής αναγνωρίζει µηδενική κεντροµόλο επιτά
16 χυνση για το σφαιρίδιο, διότι την στιγµή αυτή η σχετική του ταχύτητα ως προς το Σ είναι µηδενική και εποµένως µπορεί να γράφει την σχέση: T + F r - w r = T + Fµ" - w#$" = T + m a "µ# - mg$# = 3 Την ίδια στιγµή ο παρατηρητής αναγνωρίζει για το σφαιρίδιο επιτρόχια επιτά χυνση a εφαπτοµενική επιτάχυνση της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στο νήµα, η δε οριζόντια συνιστώσα της αποτελεί την αντίστοιχη συνιστώσα a " της σχετικής επιτάχυνσης του σφαιριδίου ως προς το σώµα Σ, δηλαδή ισχύει: a " = a - a # a " = -Ma # /m - a # = - M/m + 1a # a " = M/m + 1 a # 4 Ο παρατηρητής εφαρµόζοντας την στιγµή t= τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατα την διεύθυνση της εφαπτοµένης της τροχιάς παίρνει την σχέση: 4 w + F = ma mgµ"+ F#$" = m a ' /#$" mgµ" + m a # $" = m $" ' M m + 1, a # + mgµ"#$" = m M ' m a, + ma, #$ " mgµ"#$" = M+ m - m#$ " a mgµ"#$" = M+ mµ " a a = mg"µ#$# M+ m"µ # 5 Συνδυάζοντας τις σχέσεις 3 και 5 παίρνουµε: T + m gµ " #$" M+ mµ " - mg#$" = mµ $ T = mg"#$ - ' M+ mµ $ T = mg"#$ M+ mµ $ -mµ $ + M+ mµ $
17 T = mmg"#$ M+ mµ $ 6 ii Tην στιγµή που το νήµα γίνεται κατακόρυφο η επιτάχυνση του σώµατος Σ στο σύστηµα αναφοράς του δαπέδου είναι µηδενική, διότι την στιγµή αυτή δεν δέχεται καµιά οριζόντια δύναµη, που σηµαίνει ότι µηδενική θα είναι και η αδρα νειακή δύναµη D Alembert που αντιλαµβάνεται ο επί του σώµατος παρατηρη τής. Έτσι την στιγµή αυτή ο παρατηρητής είναι αδρανειακός και εφαρµόζοντας τον δευτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνει την σχέση: T - mg = mv " / L T = mg + mv " / L 7 όπου v " η αντίστοιχη σχετική ταχύτητα του σφαιριδίουv ως προς το σώµα, της οποίας ο φορέας είναι οριζόντιος και η αλγεβρική της τιµή ικανοποιεί την σχέ ση: 1 v " = v - v # Συνδυάζοντας τις σχέσεις 7 και 8 έχουµε: v " = -Mv # /m - v # = - M/m + 1v # 8 T = mg + m# M " m + 1 $ L = m g + # M " m + 1 $ v' + - L, - v' 9 Eξάλλου για το σύστηµα σώµα-σφαιρίδιο συµφωνα µε το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας παίρνουµε την σχέση: Σχήµα 1 -mgl"#$ = -mgl + Mv + mv 1 mgl1 - "#$ = Mv + m - Mv ' m + mgl1 - "#$ = Mv 1 + M + ' m m gl1 - "#$ = Mv m + M
18 v = m gl1 - "#$ M m + M 1 Η 9 λόγω της 1 γράφεται: T = m g + g M + # " m + 1 $ m 1 - '. - M m + M, - / T = mg[ 1 + m/m "#$] P.M. fysikos Μια εύκαµπτη και οµογενής αλυσίδα µήκους L, συγκρατείται στο ένα άκρο της ώστε ένα τµήµα αυτής να βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο τραπέζι, ενώ το υπόλοιπο τµήµα αυτής µήκους α α<l να κρέµεται κατακορύφως. Κάποια στιγµή η αλυσίδα αφήνε ται ελεύθερη, οπότε αρχίζει να κινείται. i Nα εκφράσετε την ταχύτητα και την επιτάχυνση κάθε κρίκου του κατακόρυφου τµήµατος της αλυσίδας σε συνάρτηση µε το µήκος του τµήµατος αυτού. ii Να εκφράσετε σε συνάρτηση µε το µήκος την οριζόντια και την κατακόρυφη συνιστώσα της δύναµης που εξασκεί η γωνία του τραπε ζιού στην αλυσιδα και διατηρεί την µορφή της σε σχήµα αντεστραµ µένου L. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i Εξετάζουµε την αλυσίδα κατά µια τυχαία στιγµή t που το µήκος του κατακόρυφου τµήµατός της είναι y. Εάν v είναι το µέτρο της ταχύτητας των κρίκων της αλυσίδας την στιγµή αυτή, τότε συµφωνα µε το θεώρηµα διατήρη σης της µηχανικής ενέργειας θα ισχύει η σχέση: -µg = µl v - µg y - g = Lv - y g v = g L y - µε " y " L 1 όπου µ η µάζα ανά µονάδα µήκους γραµµική πυκνότητα της αλυσίδας. Διαφο ρίζοντας την 1 παίρνουµε: = Lvdv - gydy = Lv dv dt - gy dy dt = Lv d y dt - gyv d y dt = g y µε " y " L L
19 Στην σχέση η δευτερη παράγωγος της µεταβλητής y ως προς τον χρόνο d y/dt αποτελεί την αλγεβρική τιµή της επιτάχυνσης των κρίκων του κατακό ρυφου τµήµατος της αλυσίδας. Σχήµα 11 ii Είναι σηµαντικό να παρατηρήσουµε ότι η δύναµη που δέχεται η αλυσίδα από την γωνία του τραπεζιού παίζει κυρίαρχο ρόλο στο να διατηρεί η αλυσίδα κατα την διάρκεια της κίνησής της σχήµα αντεστραµµένου L και θα αποτε λούσε σφάλµα η παράλειψή της στην περίπτωση που θα επιχειρούσε κάποιος να µελετήσει την κίνηση της αλυσίδας µε βάση τον δευτερο νόµο της κίνησης του Νευτωνα. Ας συµβολίσουµε µε F, F y την οριζόντια και την κατακόρυφη συνι στώσα αντιστοίχως της δύναµης αυτής κατά την χρονική στιγµή t και µε P, P y τις αντίστοιχες συνιστώσες της ορµής της αλυσίδας. Σύµφωνα µε τον δεύτε ρο νόµο του Νευτωνα υπό την γενικευµένη µορφή του µπορούµε να γράψουµε τις σχέσεις: F = dp dt = d [-µ L - yv ] F dt = -µ # L - y " dv dt - vdy $ dt και F = -µ L - y d y F y + w y dt + µ dy $ # " dt = dp y dt = d dt µyv F y + µgy = µ # v dy " dt + y dv $ dt 3 F y = -µgy + µ dy $ # " dt + µy d y dt 4 Συνδυάζοντας την σχέση 3 µε τις 1 και παίρνουµε: F = -µ L - y g L y + µ g L y - F = µg L -Ly + y - µε " y " L 5 Συνδυάζοντας εξάλλου την σχέση 4 µε τις 1 και παίρνουµε:
20 F y = -µgy + µ g L y - + µy g L y F y = µg L -Ly + y - µε " y " L 6 Από 5 και 6 προκύπτει: F = F y = µg L -Ly + y - µε " y " L P.M. fysikos
, της οποίας το µέτρο ικανοποιεί τη σχέση:
Στην κορυφή της κεκλιµένης έδρας µιας ορθογώνιας σφήνας µάζας M, η οποία ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος, αφήνεται µικ ρός κύβος µάζας m. Nα δείξετε ότι η σφήνα κινείται στο σύστη µα αναφοράς του
Διαβάστε περισσότεραi) Nα δείξετε ότι, κάθε στιγµή οι ταχύτητες των δύο πιθήκων ως προς το ακίνητο έδαφος είναι ίσες.
Δύο πιθηκάκια της ίδιας µάζας αναρριχώνται εκ της ηρεµίας κατά µήκος των τµηµάτων του αβαρούς σχοινιού, που διέρχεται από τον λαιµό µιας σταθερής τροχαλίας (σχ. ). H τροχαλία έχει αµελητέα µάζα και µπορεί
Διαβάστε περισσότεραΟµογενής ράβδος µάζας m και µήκους L, κρατεί ται οριζόντια ακουµπώντας σε σταθερή ακίδα που απέχει απόσταση x από το κέντρο µάζας C της ράβδου.
Οµογενής ράβδος µάζας m και µήκους L, κρατεί ται οριζόντια ακουµπώντας σε σταθερή ακίδα που απέχει απόσταση x από το κέντρο µάζας C της ράβδου. i) Να βρεθεί η απόσταση x, ώστε την στιγµή που η ράβδος αφήνεται
Διαβάστε περισσότεραi) Nα βρείτε την επιτάχυνση του κέντρου της τροχαλίας τ 1.
Στην διάταξη του σχήµατος 1) οι τροχαλίες τ 1 και τ έχουν την ίδια µάζα Μ που θεωρείται συγκεντρωµένη στην περι φέρειά τους και την ίδια ακτίνα R. Στο αυλάκι της σταθερής τροχα λίας τ έχει περιτυλιχθεί
Διαβάστε περισσότεραΔίνεται η ροπή αδράνειας I=mL 2 /3 της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της, η επιτάχυνση! g της βαρύτητας και ότι π 2!10.
Oµογενής ράβδος σταθερής διατοµής, µάζας m και µήκους L, µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της. Όταν η ράβδος βρίσκεται στην θέση ευσταθούς ισορροπίας της εφαρµόζεται
Διαβάστε περισσότεραΘεωρούµε στερεό σώµα που εκτελεί ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς επίπεδη κίνηση.
Θεωρούµε στερεό σώµα που εκτελεί ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς επίπεδη κίνηση. i) Εάν Κ είναι το στιγµιαίο κέντρο περιστροφής του στερεού κάποια στιγµή και C η αντίστοιχη θέση του κέντρου µάζας
Διαβάστε περισσότεραόπου Μ η µάζα της Γης την οποία θεωρούµε σφαίρα οµογενή, G η παγκόσµια σταθερά της βαρύτητας και L!
Είναι γνωστό ότι, όταν ένα σώµα κινείται µέσα στο βαρυτικό πεδίο της Γης υπό την επίδραση µόνο της Νευτώνειας έλξεως, η τροχιά που διαγράφει το κέντρο µάζας του είναι επίπεδη και µάλιστα το επίπεδό της
Διαβάστε περισσότεραi) Nα βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου Κ της τροχαλίας την στιγµή t=0 αµέσως µετά την θραύση του νήµατος.
H τροχαλία του σχήµατος () µάζας m και ακτίνας R, ισορροπεί εξαρτηµένη από τα νήµατα ΑΒ και ΓΔ τα οποία είναι ισο κεκλιµένα ως προς την οριζόντια διεύθυνση κατα γωνία φ. Κάποια στιγµή κόβουµε το νήµα ΑΒ
Διαβάστε περισσότερα(τρίτος νόµος του Νεύτωνα) και την πλάγια αντίδραση του οριζόντιου εδάφους, η οποία αναλύεται στην τριβή ολίσθησης T!
Επί της κεκλιµένης έδρας µιας ορθογώνιας και ισοσκελούς σφήνας µάζας m, η οποία ισορροπεί πάνω σε οριζόντιο έδαφος, αφήνεται µικρός κύβος µάζας m. Μεταξύ του κύβου και της σφήνας δεν υπάρχει τριβή, ενώ
Διαβάστε περισσότεραQ του νήµατος που το συγκρατεί, συµφωνα δε µε τον δεύτερο νό µο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει η σχέση: της τάσεως!
Αβαρής ράβδος αποτελείται από δύο συνεχόµενα τµήµατα ΟΑ και ΑΒ που είναι ορθογώνια µεταξύ τους. Το άκρο Ο της ράβδου είναι αρθρωµένο σε οριζόντιο έδαφος το δε τµήµα της ΟΑ είναι κατακόρυφο και εφάπτεται
Διαβάστε περισσότερααπό τον κατακόρυφο τοίχο, της οποίας ο φορέας είναι οριζόντιος και την δύναµη επα φής N!
Οµογενής συµπαγής κύβος ακµής α και µάζας m, ισορροπεί ακουµπώντας µε µια ακµή του σε κατακόρυφο τοίχο και µε µια του έδρα σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, όπως φαίνεται στο
Διαβάστε περισσότεραΈνα σώµα µε µεγάλη µάζα Μ, κινείται µε σταθερή
Ένα σώµα µε µεγάλη µάζα Μ, κινείται µε σταθερή ταχύτητα µέτρου V 0 πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος κατευθυνόµενο προς κατακόρυφο τοίχο. Το σώµα κάποια στιγµή συγκρούεται ελα στικά και µετωπικά µε µια µπάλα
Διαβάστε περισσότερατων Α και Β αντιστοίχως είναι παράλληλες (σχ. 12) που σηµαί Σχήµα 11 Σχήµα 12
Δύο ακριβώς όµοιες λεπτές ράβδοι OA και AB µήκους L και µάζας m, αρθρώνονται στο σηµείο Α το δε άκρο Ο της ΟΑ αρθρώνεται σε σταθερό υποστήριγµα, ενώ το άκρο Β της ΑΒ µπο ρεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο
Διαβάστε περισσότερα. Αυτό σηµαίνει ότι το κέντρο µάζας κινείται ευθύγραµµα µε σταθερή επιτάχυνση a! = F!
Οµογενής κυκλικός δίσκος µάζας m και ακτίνας, βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος µε τον άξονα συµµετρίας του κατα κόρυφο. Εάν σ ένα σηµείο της περιφέρειας του δίσκου εξασκείται συνεχώς µια σταθερή
Διαβάστε περισσότερα. Εάν η σφαίρα κυλίεται πάνω στο δοκάρι να βρείτε: i) την επιτάχυνση του δοκαριού και του κέντρου της σφαίρας, στο σύστηµα αναφοράς του δαπέδου και
Οµογενής σφαίρα µάζας m και ακτίνας R είναι ακίνητη πάνω σε οριζόντιο δοκάρι µάζας Μ και µήκους L, που µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή επί οριζοντίου δαπέδου. Η σφαίρα εφάπτεται στο δεξιό άκρο Β του δοκαριού
Διαβάστε περισσότεραi) τον λόγο των µαζών των δύο σφαιριδίων, ώστε αυτά µετά την κρού ση τους να φθάνουν στις αρχικές τους θέσεις και
Δύο αβαρή και µη εκτατά νήµατα του ίδιου µή κους είναι στερεωµένα στο ίδιο σηµείο Ο, ενώ στις ελεύθερες άκρες των νηµάτων είναι δεµένα δύο σφαιρίδια, µε µάζες 1 και. Eκτρέ πουµε τα σφαιρίδια από την θέση
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΗ: Έστω O η θέση ισορροπίας του σφαιριδίου. Στη θέση αυτή το σφαι ρίδιο δέχεται το βάρος του w!, τη δύναµη F
Ένα ιδανικό ελατήριο σταθεράς k κόβεται σε δύο τµήµατα µε µήκη L και L. Η µία άκρη κάθε τµήµατος συνδέεται στέρεα µε µικρό σφαιρίδιο µάζας m και οι ελέυθερες άκρες τους στερεώνονται σε ακλόνητα σηµεία
Διαβάστε περισσότεραii) Να δείξετε ότι το σφαιρίδιο εκτελεί µια µη αρµονική περιοδική ταλάντωση, της οποίας να υπολογίσετε την περίοδο.
Το σύστηµα του σχήµατος αποτελείται από δύο όµοια ελατήρια στα θεράς και φυσικού µήκους α, των οποίων οι άξονες βρίσκονται πάνω στην ευθεία ΑΒ, όπου Α, Β είναι δύο ακλόνητα σηµεία του επιπέδου. Εκτρέπουµε
Διαβάστε περισσότερατα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx, Oy, Oz αντιστοί χως. Η αντίστοιχη στροφορµή L!
Στο ένα άκρο ράβδου µήκους L και αµελητέας µά ζας, έχει στερεωθεί σφαιρίδιο µάζας m. Η ράβδος είναι ακίνητη πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο Οxy, µε το σφαιρίδιο στο σηµείο, και το άλλο της άκρο στο σηµείο
Διαβάστε περισσότεραi) το πλάτος ταλάντωσης του καροτσιού µετά την ενσωµάτωση του σφαιριδίου σ' αυτό και
Ένα καροτσάκι που περιέχει άµµο, συνολικής µάζας M, εκτελεί οριζόντια αρµονική ταλάντωση σε λείο επίπεδο, µε τη βοήθεια ιδανικού οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k. Ένα σφαιρίδιο µάζας m
Διαβάστε περισσότεραEφαρµόζοντας στο τρίγωνο OAΣ το θεώρηµα του συνηµιτόνου παίρνουµε:
ΘΕΜΑ 6o Η κυκλική τροχαλία του σχήµατος (1) έχει µάζα Μ και ακτίνα R, είναι σε επαφή µε οριζόντιο δάπεδο (ε), ενώ στον άξονά της έχει πακτωθεί αβαρής ράβδος µήκους L, στο ελεύθερο ακρο της οποίας έχει
Διαβάστε περισσότεραΈνα διαστηµόπλοιο µάζας M, κινείται στο διά στηµα µε σταθερή ταχύτητα V!
Ένα διαστηµόπλοιο µάζας M, κινείται στο διά στηµα µε σταθερή ταχύτητα V 0. O πιλότος του θέλει ν αλλάξει τη διεύθυνση κίνησης του διαστηµόπλοιου, ώστε η νέα διεύθυνση να γίνει κάθετη προς την αρχική. Για
Διαβάστε περισσότεραΤροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς ολίσθηση κατά µήκος οριζόντιου αυλακιού, το δε κέντρο µάζας του C έχει σταθερή ταχύτητα v!
Τροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς ολίσθηση κατά µήκος οριζόντιου αυλακιού, το δε κέντρο µάζας του C έχει σταθερή ταχύτητα v C. Σε σηµείο της περιφέρειας του τροχου έχει αρθρωθεί το ένα άκρο Β µιας λεπτής
Διαβάστε περισσότεραii) Nα υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του συστήµατος σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Δίνεται η επιτάχυνση! g της βαρύτητας.
Στην διάταξη του σχήµατος () η ράβδος ΑΒ είναι οµογενής, έχει µήκος L και µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξο να, που διέρχεται από σηµείο Ο ευρισκόµενο σε απόσταση 3L/4 από το άκρο της Α. Η τροχαλία
Διαβάστε περισσότερα) ω ω. L λίγο πριν. . Nα βρεθούν:
Δύο σφαιρίδια A, B µάζας m το καθένα συνδέονται µεταξύ τους µε αβαρές και µη εκτατό νήµα µήκους L, ηρεµούν δε πάνω σε οριζόντιο τραπέζι ευρισκόµενα σε απόσταση α
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 1 K = K = m 2. ! = v 2 + v 1 R + r (3) H (1) λόγω της (3) γράφεται: R - v 2. + v 1. v 2. r > 0 (4) ! v K. + v 1 )R - v 2. = v 2. - v.
Το καρούλι του σχήµατος κυλίεται χωρίς ολίσ θηση πάνω σε οριζόντιο δοκάρι, που ολισθαίνει επί οριζοντίου έδα φους µε ταχύτητα v η οποία έχει την κατεύθυνση του δοκαριού. Η κύλιση του καρουλιού επιτυγχάνεται
Διαβάστε περισσότερααπό την άρθρωση και της δύναµης επαφής από τον τοίχο που αναλύεται στην στατική τριβη T!
Tο ένα άκρο A οµογενούς ράβδου AB αρθρώνεται σε οριζόντιο επίπεδο, ενώ το άλλο της άκρο Β εφάπτεται κατακόρυ φου τοίχου, µε τον οποίο η ράβδος παρουσιάζει συντελεστή οριακής τριβής µ. H άρθρωση της ράβδου
Διαβάστε περισσότερα! =A'B=C!! C! = R" (1)
Οµογενής κύβος ακµής α ισορροπεί επί ακλό νητης σφαιρικής επιφάνειας ακτίνας R, µε το κέντρο µάζας του ακριβώς πάνω από την κορυφή Α της επιφάνειας. Εάν µεταξύ του κύβου και της σφαιρικής επιφάνειας υπάρχει
Διαβάστε περισσότερα, σταθερής κατεύθυνσης, της οποίας το µέτρο µεταβάλλεται µε τον χρόνο t, σύµφωνα µε την σχέση:
Σώµα µάζας m σχήµατος ορθογώνιου κιβωτίου, ισορροπεί πάνω σε τραχύ οριζόντιο επίπεδο και στην άνω επιφάνειά του έχει τοποθετηθεί σώµα µάζας m/. Κάποια στιγµή που λαµβάνε ται ως αρχή µέτρησης του χρόνου
Διαβάστε περισσότεραi) την ενέργεια που πρέπει να προσφερθεί στο σφαιρίδιο,
Tο σφαιρίδιο του σχήµατος ισορροπεί πάνω στο λείο οριζόντιο δαπεδο, ενώ τα οριζόντια ελατήρια είναι τεντωµένα. H απόσταση των σηµείων στήριξης των δύο ελατηρίων είναι 3α, ενώ τα ελατήρια έχουν το ίδιο
Διαβάστε περισσότεραΟµογενής σφαίρα µάζας m και ατίνας R, ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγµή ενεργεί στην σφαίρα οριζόντια ώθηση!!
Οµογενής σφαίρα µάζας και ατίνας R, ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγµή ενεργεί στην σφαίρα οριζόντια ώθηση βραχείας διάρκειας, της οποίας ο φορέας βρίσκε ται άνωθεν του κέντρου της
Διαβάστε περισσότεραακτινικής διεύθυνσης και στην οριακή τριβή T!"
Λεπτή κυκλική στεφάνη ακτίνας R και µάζας m, ισορρο πεί εφαπτόµενη σε δύο υποστηρίγµατα A και Γ, όπως φαίνεται στο σχήµα (1. Eάν ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ της στεφάνης και των υποστη ριγµάτων
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Γ! 2η οµάδα λυµένων παραδειγµάτων
ΜΕΡΟΣ Γ η οµάδα λυµένων παραδειγµάτων Στις άκρες αβαρούς και λεπτής ράβδου µηκούς L, έχουν στερεωθεί δύο όµοιες σφαίρες, µάζας m και ακτίνας R, το δε σύστηµα στρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα περί
Διαβάστε περισσότεραδιέρχεται από το σηµείο τοµής Ο των φορέων του βάρους w! της ράβδου και της οριζόντιας αντίδρασης A!
Η οµογενής ράβδος ΑΒ του σχήµατος έχει βά ρος w και στηρίζεται διά του άκρου της Α σε τραχύ κεκλιµένο επί πεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, ενώ το άλλο της άκρο Β ακουµπάει σε λείο κατακόρυφο
Διαβάστε περισσότεραA! Κινηµατική άποψη. Σχήµα 1 Σχήµα 2
A Κινηµατική άποψη Θεωρούµε στερεό σώµα σε τυχαία κίνηση, η οποία εξέταζεται από ένα αδρα νειακό σύστηµα αναφοράς ΟXYZ. Εφοδιάζουµε το σώµα µε κινητό σύστηµα συντεταγµένων xyz ακλόνητα συνδεδεµένο µε αυτό,
Διαβάστε περισσότερακαι όταν φθάσει στο σηµείο Γ αρχίζει να κινείται στο κυκλικό του τµήµα που έχει την µορφή λείου τεταρτο κυκλίου ακτίνας R.
Το σώµα Σ του σχήµατος (α) έχει µάζα και µπορεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος. Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m κινείται αρχικά πάνω στο οριζόντιο τµήµα του σώµατος µε ταχύτητα v 0 και όταν φθάσει
Διαβάστε περισσότεραπου περιγράφεται από την σχέση:! R = -mk! v
Mικρό σώµα µάζας m βάλλεται από σηµείο Ο του οριζόντιου εδάφους κατακόρυφα προς τα άνω, µε ταχύτητα µέτρου v. Στην διάρκεια της κίνησής του το σώµα δέχεται από τον ατµοσφαιρι κό αέρα αντίσταση R, που περιγράφεται
Διαβάστε περισσότεραΣχήµα 20. οι οριζόντιες συνιστώσες των ταχυτήτων v! προσπτώσεως και ανακλάσεως αντιστοίχως του σφαιριδίου, T!
Ένα στερεό σώµα εκτελεί επίπεδη κίνηση και δύο σηµεία αυτού βρίσκονται κάποια στιγµή t στις θέσεις Α(,) και Β(,α) του επιπέδου κίνησής του (x,y) Εάν οι ταχύτητες των σηµείων αυτών έχουν το ίδιο µέτρο v
Διαβάστε περισσότεραµε φορά προς το κυρτό µέρος του σύρµατος (σχήµα α) η οποία µαζί µε την ακτινική συνιστώσα w!
Το κυκλικό σύρµα του σχήµατος έχει µάζα m/ και είναι κρεµασµένο από κατακόρυφο σπάγκο αµελητέας µάζας αλλά επαρκούς αντοχής. Δύο όµοιες σηµειακές χάντρες, καθε µιά µε µάζα m, αφήνονται ταυτόχρονα από την
Διαβάστε περισσότεραπου δέχεται από την παράπλευρη επιφάνεια του κώνου, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στην επιφάνεια αυτή, αφού θεωρείται λεία και των δυνάµεων T
Mιά κυκλική σπείρα εύκαµπτης αλυσίδας βάρους w, είναι τοποθετηµένη πάνω σε λείο ορθό κώνο ύψους h, του οποίου η βάση έχει ακτίνα R (σχ. 9). O κατακόρυφος άξονας του κώνου διέρ χεται από το κέντρο της αλυσίδας
Διαβάστε περισσότεραi) Να δείξετε ότι: F max = (m 1 + m 2 όπου! g η επιτάχυνση της βαρύτητας.
Δύο σώµατα Σ και Σ µε αντίστοιχες µάζες m και m, είναι στερεωµένα στις άκρες ενός κατακόρυφου αβαρούς ελατηρίου, όπως φαίνεται στο σχήµα. Εξασκούµε στο σώµα Σ κατακόρυφη δύναµη µε φορά προς τα κάτω, της
Διαβάστε περισσότεραi) Nα βρείτε την ταχύτητα του κέντρου της στεφάνης αµέσως µετά την κρού ση, η οποία θεωρείται βραχείας διάρκειας.
Mια κυκλική στεφάνη ακτίνας R, της οποίας η µάζα θεωρείται συγκεντρωµένη στην περιφέρεια της, κυλίεται ισοταχώς πάνω σε οριζόντιο επίπεδο το δε κέντρο της έχει ταχύτητα v. Kάποια στιγµή η στε φάνη προσκρούει
Διαβάστε περισσότεραi) τον λόγο των µαζών των δύο σφαιριδίων, ώστε αυτά µετά την κρού ση τους να φθάνουν στις αρχικές τους θέσεις και
Δύο αβαρή και µη εκτατά νήµατα του ίδιου µή κους είναι στερεωµένα στο ίδιο σηµείο Ο, ενώ στις ελεύθερες άκρες των νηµάτων είναι δεµένα δύο σφαιρίδια, µε µάζες 1 και. Eκτρέ πουµε τα σφαιρίδια από την θέση
Διαβάστε περισσότεραii) ii) Nα καθορίσετε το είδος της ισορροπίας της ράβδου.
Oµογενής ράβδος Γ, βάρους w και µήκους L, είναι αρθρωµένη στο ένα άκρο της όπως φαίνεται στο σχήµα (), ενώ το άλλο άκρο της είναι δεµένο σε νήµα που διέρχεται από µικρή ακίνητη τροχαλία O, η οποία βρίσκεται
Διαβάστε περισσότεραii) Nα βρείτε την µέγιστη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου.
Oµογενής ράβδος σταθερής διατοµής, µάζας m και µήκους L, µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της. Όταν η ράβδος βρίσκεται στην θέση ευσταθούς ισορροπίας εφαρµόζεται στο
Διαβάστε περισσότερα(ΘΕΜΑ 17ο)
Εισαγωγικά: Με το πρόβληµα της αλληλεπίδρασης δύο µαζών, µέσω αβαρούς και µη εκτατού νήµατος παρουσία οµογενούς βαρυτικού πεδίου, είχα ασχοληθεί και στο παρελθόν παρουσιάζοντάς το στην ιστοσελίδα µου µε
Διαβάστε περισσότεραόπου Α το πλάτος της ταλάντωσης, φ η αρχική της φάση και ω η γωνιακή της συχνότητα. Οι σχέσεις (2) εφαρµοζόµενες τη χρονική στιγµή t=0 δίνουν:
Tο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου είναι στερεωµένο στο οριζόντιο έδαφος, ενώ το άλλο του άκρο είναι ελεύθερο. Mικρό σφαιρίδιο, µάζας m, αφήνεται σε ύψος h από το άκρο Β. Το σφαιρίδιο πέφτοντας
Διαβάστε περισσότερα# $ + L " = ml " ml! = ML " $ + ml " $ L " = ML/2(M + m) # $ (1) Eξάλλου, εάν L' α, L' σ είναι οι τελικές αποστάσεις του κέντρου µάζας C του
Mία σανίδα, µήκους L καί µάζας M, βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο ένα άκρο της σανίδας πατάει άνθ ρωπος µάζας m και αρχίζει να κινείται προς το άλλο άκρο της. Kατά πόσο θα µετατοπιστεί η
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑ Α! του σώ µατος ισχύει η σχέση: η επιβατική ακτίνα ως προς το σηµείο P του τυχαίου υλικού σηµείου του στερεού µάζας m i και v!
ΘΕΩΡΗΜΑ Α Ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής στερεού σώµατος, θεωρούµενης περί ένα σηµείο του ή της επεκτάσεώς του και αναφερόµενης σε κάποιο αδρανειακό σύστηµα, είναι κάθε στιγµή ίσος µε την συνολική ροπή
Διαβάστε περισσότεραΟ δεύτερος νόµος του Νεύτωνα για σύστηµα µεταβλητής µάζας
Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα για σύστηµα µεταβλητής µάζας Όταν εξετάζουµε ένα υλικό σύστηµα µεταβλητής µάζας, δηλαδή ένα σύστη µα που ανταλλάσσει µάζα µε το περιβάλλον του, τότε πρέπει να είµαστε πολύ
Διαβάστε περισσότεραΥλικό σηµείο µάζας m, κινείται εντός δυναµικού πεδίου δεχόµενο ελκτική κεντρική δύναµη F!
Υλικό σηµείο µάζας, κινείται εντός δυναµικού πεδίου δεχόµενο ελκτική κεντρική δύναµη F (), η οποία ακολουθεί τον νόµο του αντιστρόφου τετραγώνου της απόστασης από το ελκτι κό κέντρο Ο, δηλαδή περιγράφεται
Διαβάστε περισσότερα(σχ. 1). Εφαρ µόζοντας για την µεταφορική συνιστώσα της κύλισης του δίσκου τον
Oµογενής λεπτός δίσκος ακτίνας R και µάζας m, ακινητεί επί οριζόντιου εδάφους µε το οποίο παρουσιάζει συντελεστή οριακής τριβής µ το δε επιπεδό του είναι κατακόρυφο,. Κάποια στιγµή εφαρµόζεται στο κέντρο
Διαβάστε περισσότεραιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος
ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος Σύνολο Σελίδων: οκτώ (8) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Σάββατο 24 Φλεβάρη 2018 Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1 Α.4
Διαβάστε περισσότερατης οποίας ο φορέας σχηµατί ζει γωνία φ=π/6 µε την κατακόρυφη διεύθυνση και ανακλάται µε αντίστοιχη γωνία φ=π/4.
Οριζόντιος δίσκος µάζας Μ ισορροπεί στηριζόµε νος στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο στηρίζεται στο έδαφος (σχήµα 1). Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m, προσκρούει
Διαβάστε περισσότεραi) Xρησιµοποιώντας το θεώρηµα µηχανικής ενέργειας-έργου να δείξε τε ότι η διαφορική εξίσωση της κίνησής του έχει την µορφή:
Ένας γραµµικός αρµονικός ταλαντωτής µάζας m παρουσιάζει σταθε ρά απόσβεσης b, η δε γωνιακή ιδιοσυχνότητα ω 0 της ελεύθερης και αµείωτης ταλάντωσής του ικανοποιεί την σχέση ω 0 >b/m. i) Xρησιµοποιώντας
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η λεπτή, ομογενής ράβδος ΟΑ του σχήματος έχει μήκος, μάζα και μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο ακλόνητο άξονα (άρθρωση) που διέρχεται
Διαβάστε περισσότεραιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α
ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Ενας δίσκος στρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Η τιµή
Διαβάστε περισσότερα( ) ω ( ) = 0. Aπό τις σχέσεις (2) προκύπτει ή ότι το διάνυσµα v K. είναι κάθετο στα διανύσµα τα r A
Θεωρούµε στερεό σώµα που εκτελεί ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς επίπεδη κίνηση και έστω (S) η κύρια* τοµή του στερεού κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t. Να δείξετε ότι το αντίστοιχο προς την κύρια
Διαβάστε περισσότεραιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α
ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Η γωνιακή επιτάχυνση ενός οµογενούς δίσκου που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, που διέρχεται από το κέντρο
Διαβάστε περισσότεραi) Να δείξετε ότι αν για µια τιµή της γωνίας θ η ράβδος ισορροπεί, η ισορροπία αυτή είναι αδιάφορη.
Η ράβδος του σχήµατος έχει µήκος L, βάρος w και στηρίζεται διά του άκρου της Α επί λείου τοίχου, ενώ το άλλο άκρο της Β ακουµπά ει σε λεία κοίλη επιφάνεια. Η τοµή της επιφάνειας µε κατακόρυφο επίπεδο που
Διαβάστε περισσότεραΔυναµική της κίνησης συστήµατος δύο σωµατιδίων
Δυναµική της κίνησης συστήµατος δύο σωµατιδίων Θεωρούµε δύο σωµατίδια Σ και Σ µε αντίστοιχες µάζες m και m, των οποίων τα διανύσµατα θέσεως ως προς την αρχή Ο ενός αδρανειακού συστή µατος αναφοράς Oxyz
Διαβάστε περισσότεραi) Nά δείξετε ότι το νήµα θα χαλαρώσει και ότι το σφαιρίδιο θα συγκρουσθεί µε την οροφή.
Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m, είναι στερεωµένο στο ένα άκρο απολύτως ελαστικού νήµατος φυσικού µήκους L =3mg/k και σταθεράς k, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας, του οποίου το άλλο άκρο έχει στερεωθει σε
Διαβάστε περισσότεραEάν L 1, L 2 είναι τα αντίστοιχα φυσικά µήκη των ελατηρίων ε 1 και ε 2 τότε για την απόσταση ΑΒ των σηµείων στήριξης των ελατηρίων θα έχουµε:
Tο µικρό σώµα του σχήµατος (1) έχει µάζα m και συγκρατείται στο λείο οριζόντιο έδαφος σε τέτοια θέση, ώστε τα ελατήρια ε 1 και ε να είναι τεντωµένα κατά α απο την φυσική τους κατάσταση. i) Eάν k, k είναι
Διαβάστε περισσότεραv = r r + r θ θ = ur + ωutθ r = r cos θi + r sin θj v = u 1 + ω 2 t 2
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΉΣ Ι ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΕΙΑΣ, 9 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 019 ΚΏΣΤΑΣ ΒΕΛΛΙΔΗΣ, cvellid@phys.uoa.r, 10 77 6895 ΘΕΜΑ 1: Σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα u κατά µήκος οριζόντιας ράβδου που περιστρέφεται
Διαβάστε περισσότεραΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ
ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία
Διαβάστε περισσότεραKινηµατική άποψη της επίπεδης κίνησης
Kινηµατική άποψη της επίπεδης κίνησης Θα λέµε ότι ένα στερεό σώµα εκτελεί επίπεδη κίνηση, όταν οι αποστάσεις των υλικών του σηµείων από ένα ορισµένο επίπεδο αναφοράς (ε), παραµέ νουν αµετάβλητες µε το
Διαβάστε περισσότερα. Εάν η κρούση της ράβ δου µε το οριζόντιο έδαφος είναι τελείως ελαστική, να βρείτε:
Μια λεπτή λαστιχένια ράβδος ΑΒ µήκους L και µάζας m, εκτελεί ελεύθερη πτώση χώρίς να περιστρέφεται και κάποια στιγµή το άκρο της Α συναντά λείο οριζόντιο έδαφος. Την στιγµή αυτή η ράβδος έχει κλίση φ ως
Διαβάστε περισσότεραΌταν υπάρχει ΑΚΙΝΗΤΟ σηµείο
Όταν υπάρχει ΑΚΙΝΗΤΟ σηµείο ) Οµογενής κύλινδρος µάζας m, ακτίνας R φέρει λεπτή εγκοπή βάθους είναι τυλιγµένο νήµα αµελητέου πάχους. R r=, στην οποία Το άλλο άκρο του νήµατος έχει δεθεί σε οροφή όπως στο
Διαβάστε περισσότεραΘεωρούµε σύστηµα δύο σωµατιδίων Σ 1 και Σ 2 µε αντίστοιχες µάζες m 1 και m 2, τα οποία αλληλοεπιδρούν χωρίς όµως να δέχονται εξωτερικές δυνάµεις.
Θεωρούµε σύστηµα δύο σωµατιδίων Σ και Σ µε αντίστοιχες µάζες m και m, τα οποία αλληλοεπιδρούν χωρίς όµως να δέχονται εξωτερικές δυνάµεις. i) Nα δείξετε ότι η σχετική ορµή P του ενός, λογουχάρη του Σ ως
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013
ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1- Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 12. Ένας οριζόντιος ομογενής δίσκος ακτίνας μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο
Διαβάστε περισσότεραδιέρχεται από το σηµείο Ο της ράβδου, υπό την επίδραση των βαρών m 1 από τον άξονα περιστροφής, που αναλύεται στην οριζόντια συνιστώσα!
Θεωρήστε οριζόντια ράβδο αµελητέας µάζας, η οποία µπορεί να περιστρέφεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα κάθετο στη ράβδο. Στα άκρα της υπάρχουν δυο διαφορετικές σηµειακές µάζες m, m, που οι αντίστοιχες
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤ. & ΤΕΧΝ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤ. & ΤΕΧΝ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Α1.
Διαβάστε περισσότεραπου δέχεται το άλλο είναι κεντρική µε κέντρο την θέση Ο του ακινήτου σωµατιδίου. Για την αλγεβρική τιµή της F # " F είναι ελκτική δύναµη,
Δύο σωµατίδια αλληλοεπιδρούν µε δυνάµεις, οι οποίες απορρέουν από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας του συστήµα τος των δύο σωµατιδίων, η οποία έχει την µορφή: U = -U e -/ όπου η απόσταση των σωµατιδίων και
Διαβάστε περισσότεραη αντίστοιχη ταχύτητα του οχήµατος, θα ισχύει η σχέση:! 0 = m! v + M! V! md! v /dt = -Md!
Tο νήµα µαθηµατικού εκκρεµούς µήκους L, είναι στερεωµένο στην οροφή µικρού οχήµατος µάζας M, το οποίο µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή πάνω σε οριζόντιο επίπεδο (σχήµα 1). i) Eάν το σφαιρίδιο του εκκρεµούς
Διαβάστε περισσότεραNα δείξετε τις εξής προτάσεις:
Nα δείξετε τις εξής προτάσεις: i) Εάν ένα υλικό σηµείο µάζας m κινείται πάνω σ ένα άξονα x x, ώστε κάθε στιγµή η ταχύτητά του v και η αποµάκρυνσή του x ως προς µια αρχή Ο του άξονα, να ικανοποιούν τη σχέση:
Διαβάστε περισσότερααπό τα σύρµατα λόγω της συµµετρίας τους ως προς την µεσοκάθετο θα δίνουν συνι σταµένη δύναµη F µε κατεύθυνση προς το Ο, που σηµαίνει ότι το σφαιρίδιο
Mικρό σφαιρίδιο µάζας m, είναι στερεωµένο στην µια άκρη δύο ακριβώς όµοιων λεπτών συρµάτων, των οποίων οι άλλες άκρες συνδέονται προς δύο σταθερά σηµεία Α και Β λείου ορι ζόντιου δαπέδου που βρίσκονται
Διαβάστε περισσότεραόπου y το µήκος του σχοινιού στο κατακόρυφο σκέλος του σωλήνα, v το κοινό µέτρο των ταχυτήτων v!
Ένας σωλήνας µεγάλου µήκους έχει καµφθεί σε ορθή γωνία και είναι στερεωµένος, ώστε το ένα σκέλος του να είναι οριζόντιο και το άλλό κατακόρυφο, όπως φαίνεται στο σχήµα 1). Ένα σχοινί µήκους L, του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό
ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. γ. Α. δ. Α3. γ. Α4. γ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό ΘΕΜΑ B B1. Σωστή απάντηση είναι η
Διαβάστε περισσότεραΈνθετη θεωρία για την αδρανειακή δύναµη D Alempert
Ένθετη θεωρία για την αδρανειακή δύναµη D Alempert Είναι γνωστό ότι ο δεύτερος νόµος κίνησης του Νεύτωνα ισχύει µόνο για τα λεγόµενα αδρανεικά συστήµατα αναφοράς, δηλαδή για τα συστήµατα εκείνα που είναι
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική Στερεού Ασκήσεις Εμπέδωσης
Μηχανική Στερεού Ασκήσεις Εμπέδωσης Όπου χρειάζεται, θεωρείστε δεδομένο ότι g = 10m/s 2. 1. Μία ράβδος ΟΑ, μήκους L = 0,5m, περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που περνάει από το ένα άκρο της Ο, με σταθερή
Διαβάστε περισσότεραΔιαγώνισμα Γ Λυκείου Θετικού προσανατολισμού. Διαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος. Σάββατο 24 Φεβρουαρίου Θέμα 1ο
Διαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος Σάββατο 24 Φεβρουαρίου 2018 Θέμα 1ο Στις παρακάτω προτάσεις 1.1 1.4 να επιλέξτε την σωστή απάντηση (4 5 = 20 μονάδες ) 1.1. Ένας δίσκος στρέφεται γύρω από άξονα που
Διαβάστε περισσότερατης µορφής:! F = -mk! r
Ένα µικρό σώµα µάζας m, κινείται επί κυκλικής τροχιάς ακτίνας α µέσα σε δυναµικό πεδίο, ελκόµενο από σταθερό ση µείο Ο που αποτελεί το κέντρο της τροχιάς, µε δύναµη F της µορφής: F -mk όπου το διάνυσµα
Διαβάστε περισσότεραi) Nα δείξετε ότι αν το σύστηµα αφεθεί ελεύθερο η τροχαλία τ 1 δεν µπορεί να κυλίεται, άλλά µόνο να ισσρροπεί ή να ολισθαίνει.
Στην διάταξη του σχήµατος η τροχαλία τ 1 έχει µάζα m 1 και ακτίνα R και στο αυλάκι της έχει περιτυλιχθεί αβαρές νήµα, το οποίο διέρ χεται από τον λαιµό της µικρής τροχαλίας τ στο δε άκρο του έχει δε θεί
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6β. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα
Κεφάλαιο 6β Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Ροπή Ροπή ( ) είναι η τάση που έχει μια δύναμη να περιστρέψει ένα σώμα γύρω από κάποιον άξονα. d είναι η κάθετη απόσταση του άξονα περιστροφής
Διαβάστε περισσότεραΘεωρούµε δύο υλικά σηµεία µε µάζες m 1, m 2 τα οποία αλληλοεπιδ ρούν µε βαρυτική δύναµη, που ακολουθεί τον νόµο της παγκόσµιας έλξεως του Νεύτωνα.
Θεωρούµε δύο υλικά σηµεία µε µάζες m, m τα οποία αλληλοεπιδ ρούν µε βαρυτική δύναµη, που ακολουθεί τον νόµο της παγκόσµιας έλξεως του Νεύτωνα. i) Εάν είναι το διάνυσµα θέσεως του ενός υλικού σηµείου σε
Διαβάστε περισσότερατην αρχή Ο του ΟΧY, που είναι ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς. Εάν
Ένα στερεό σώµα εκτελεί επίπεδη κίνηση, όταν οι αποστάσεις των υλικών του σηµείων από ένα ορισµένο επίπεδο αναφοράς (ε, παραµένουν αµετάβλητες µε τον χρόνο. Για την µελέτη της επίπεδης κίνησης στερεού
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση,
Διαβάστε περισσότεραπερί το κέντρο της σφαίρας, ονοµάζεται δε τριβή κυλίσεως. Tο µέτρο της τρι βής κυλίσεως είναι προφανώς ανάλογο του µέτρου της N,!
Θεωρούµε µια βαρειά σφαίρα, η οποία ισορροπεί επί σχετικά µαλακού εδάφους, ώστε να προκαλεί σ αυτό µια µικρή παραµόρφωση. Λόγω της συµµετρίας που παρουσιάζει η παραµόρφωση αυτή, ως προς την κατακόρυφη
Διαβάστε περισσότερα[50m/s, 2m/s, 1%, -10kgm/s, 1000N]
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο - ΜΕΡΟΣ Α : ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΡΟΥΣΕΙΣ 1. Σώμα ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Βλήμα κινούμενο οριζόντια με ταχύτητα μέτρου και το με ταχύτητα, διαπερνά το σώμα χάνοντας % της κινητικής του
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/03/2017 (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 206-207 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 9/03/207 (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό
Διαβάστε περισσότεραθα επιβρα δύνεται. Επειδή η F! /Μ και θα ισχύει η σχέση: /t!
Ξύλινο κιβώτιο µάζας M κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο µε ταχύτητα µέτρου v 0. Ένα βλήµα µάζας m, κινούµενο αντίρροπα προς το κιβώτιο προσπίπτει σ αυτό µε ταχύ τητα µέτρου v 0 και εξέρχεται από
Διαβάστε περισσότεραii) Έαν αρχικά ο δίσκος κρατείται στην θέση, όπου η ΟΚ είναι οριζόν τια και αφεθεί ελευθερος να βρεθούν οι επιταχύνσεις a!
Ένας κυκλικός δίσκος ακτίνας R φέρει κυκλική οπή ακτίνας R/, της οποίας το κέντρο Κ βρίσκεται σε απόσταση R/ από το κέντρο Ο του δίσκου, µπορεί δε να κυλίεται σε µη λείο οριζόντιο έδαφος. i) Εκτρέπουµε
Διαβάστε περισσότεραΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης)
ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης) Ένας ομογενής οριζόντιος δίσκος, μάζας Μ και ακτίνας R, περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο ακλόνητο άξονα z, ο οποίος διέρχεται
Διαβάστε περισσότεραπου δέχονται οι τροχοί αυτοί αποτελούν κινητήριες δυνάµεις για το αυτοκί νητο, δηλαδή είναι δυνάµεις οµόρροπες προς την κίνησή του, ένω οι τριβές T!
Tο κέντρο µάζας ενός επιβατηγού αυτοκινήτου απέχει από το οριζόντιο έδαφος απόσταση h. Δίνεται η µάζα Μ του αυτοκινήτου η µάζα m και η ακτίνα R κάθε τροχού, η επιτάχυνση g της βαρύτητας και οι αποστάσεις
Διαβάστε περισσότεραi) Να γράψετε τη διαφορική εξίσωση κίνησης του σώµατος και να δείξετε ότι δέχεται λύση της µορφής:
Μικρό σώµα µάζας m στερεώνεται στο ένα άκρο οριζόντιου ιδα νικού ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο προσδένε ται σε κατακόρυφο τοίχωµα όπως φαίνεται στο σχήµα. Το σώµα µπορεί να ολισθαίνει πάνω
Διαβάστε περισσότεραΦΥΕ14-5 η Εργασία Παράδοση
ΦΥΕ4-5 η Εργασία Παράδοση.5.9 Πρόβληµα. Συµπαγής οµογενής κύλινδρος µάζας τυλιγµένος µε λεπτό νήµα αφήνεται να κυλίσει από την κορυφή κεκλιµένου επιπέδου µήκους l και γωνίας φ (ϐλέπε σχήµα). Το ένα άκρο
Διαβάστε περισσότεραιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ Ενδεικτικές Λύσεις Κυριακή 28 Φλεβάρη 2016 Θέµα Α
ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ Ενδεικτικές Λύσεις Κυριακή 28 Φλεβάρη 2016 Θέµα Α Α.1. Ενα στερεό σώµα περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα. Εάν διπλασιαστεί η στροφορµή
Διαβάστε περισσότεραΗ κινητική ενέργεια K σωµατιδίου µάζας m, που κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας R, ακολουθεί την σχέση:
Η κινητική ενέργεια K σωµατιδίου µάζας m, που κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας R, ακολουθεί την σχέση: K=λs όπου λ θετική και σταθερή ποσότητα και s το µήκος της διαδροµής που διάνυσε το σωµατίδιο. Να
Διαβάστε περισσότερατου νήµατος που συγκρατεί το Α, σύµφωνα δε µε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα υπό την γενικευµένη µορφή του, θα ισχύει η σχέση:
Στην διάταξη του σχήµατος () οι δύο σταθερές τροχαλίες τ και τ έχουν αµελητέα µάζα και το νήµα που διέρχεται από τα αυλάκια τους είναι αβαρές και µη εκτατό. Στις άκρες του νήµατος είναι στερεωµένα τα σώµατα
Διαβάστε περισσότερα