ΛΥΣΕΙΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 09/03/14

Transcript

1 ΛΥΣΕΙΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 09/0/4 ΖΗΤΗΜΑ ο Α) θεωρία Β) θεωρία Γ) Λ, Σ, Σ, Λ, Λ ΖΗΤΗΜΑ ο (i) Αρκεί να δειχτεί ότι B 4Γ 0 Άρα: ( λ) ( λ) 4(4λ 6) 4λ λ 6λ 4 λ 6λ 4 Δ= ( 6) Άρα: λ 6λ 4 0, για κάθε λ R Α Β λ λ λ Κέντρο K,, λ, Ακτίνα ρ= Α Β 4Γ λ 6λ (ii) Για λ=: Κ(,), ρ= (iii) 4 Στοιχεία της παραβολής: ρ 4 ρ ρ Ε,0 (,0) ρ δ: και άξονας συμμετρίας ο Η εξίσωση της εφαπτομένης δίνεται από τη σχέση ρ( ), όπου (, ) (, ) Άρα (ε): ( ) ( ) 0 Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα

2 (iv) Βρίσκω την απόσταση του Κ(,) από την (ε):+-=0 και την συγκρίνω με την ακτίνα ρ Α0 B 0 Γ 0 d(κ, ε) =0 Α Β Άρα: d(κ, ε) ρ Άρα η (ε) τέμνει τον κύκλο σε σημεία, τα οποία είναι αντιδιαμετρικά. (v) Η εφαπτομένη ( ε ) είναι κάθετη στην ακτίνα ΚΡ, Κ(,), Ρ(, ) λ ΚΡ, δεν ορίζεται, άρα η ΚΡ είναι κάθετη στον άξονα και έχει 0 εξίσωση = (ή αλλιώς, αφού τα Κ,Ρ έχουν την ίδια τετμημένη, βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία, =) Επομένως, η ( ε ) θα είναι ευθεία // που περνάει από το Ρ, άρα ( ε ) : (ε) : 0 (ε ) : 0 Λύνοντας το (Σ) προκύπτει Άρα το σημείο τομής των (ε),( ε ) είναι το Α(, ) (vi) Η ( ε ) : τέμνει τον στο B(0, ), ενώ η (ε):--=0 τέμνει τον στο Γ(0,-) Άρα B (,0) det Γ (, ) 0 B, Γ ( ) Ε= det(b, ΑΓ) 7 4 τετρ. μονάδες = (7 4 ) τετρ. Μονάδες Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα

3 ή το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο αφού επομένως E (B)(ΒΓ ) ε με (ΑΒ) ( 0) ( ) ΒΓ= (0 0) ( ) ( ) Άρα πάλι το Ε= ( ) (7 4 ) τ. μονάδες ΖΗΤΗΜΑ ο (i) Οι εξισώσεις γράφονται στη μορφή Α+B+Γ=0, δηλ. ( λ ) λ 0 και ( λ ) 0 Στην πρώτη οι συντεστές των, δηλ. τα λ+ και λ μηδενίζονται για λ=-, λ=0 αντίστοιχα, άρα όχι ταυτόχρονα Επομένως, η η παριστάνει ευθεία ( ε ) Στην δεύτερη ο συντεστής του είναι το 0 άρα πάλι παριστάνει ευθεία ( ε ) (ii) Λύνω το (Σ) των εξισώσεών τους με ορίζουσες λ λ D λ 4 λ λ λ λ 4 (λ 4)(λ ) λ D D λ λ λ λ (λ ) λ 4 λ λ Διερεύνηση αν D 0, δηλ. λ και λ -4 το (Σ) έχει μοναδική λύση D (λ ) D λ 0, 0 D (λ 4)(λ ) λ 4 D (λ 4)(λ ) Τότε οι ευθείες θα τέμνονται και σημείο τομής το (, ) 0 0 λ 4 αν D=0 τότε λ=-4 ή λ= για λ=-4 D 0, D 0 άρα το (Σ) αδύνατο. Δηλ. οι ευθείες είναι παράλλης. Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα

4 Πράγματι για λ=-4 ( ε ) : 4 0, ( ε ) : 0, για λ= οι ευθείες γίνονται: ( ε ) : 0 και ( ε ) : Άρα ταυτίζονται (ή αλλιώς το (Σ) έχει άπειρες λύσεις αφού D D 0 ) (iii) Σημείο τομής το Άρα και λ 4 λ 4 ( 0, 0) λ λ 4, 4 λ 4 0 (iv) για λ=-: ( ε ) 0, ( ε )4 0 0 Αφού το Μ είναι μέσο του ΑΒ άρα B B M 4 B 8 B B M B 4 Το Α θα επαληθεύει την ( ε ), δηλ. 0 και το Β θα επαληθεύει την ( ε ), δηλ. B B 0 Η λύση του (Σ) των τεσσάρων εξισώσεων δίνει 4,, B 4, B 7, άρα Α(4,), Β(4,-7) Τα Α,Β είναι σημεία της ( ε ), άρα 7 0 λ ΑΒ, δεν ορίζεται άρα ε : (ή αλλιώς, αφού έχουν την ίδια τετμημένη τότε =4) Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 4

5 ) ( ) ρ. Η ευθεία του (iii) είναι η ε ) (v) c : ( d(κ,) ( ) Για να εφάπτεται πρέπει ρ d(κ, ε) ( 4 +=0 ΖΗΤΗΜΑ 4 ο (i) 4, άρα ρ=4 δηλ. ρ= ρ ρ Επομένως E,0 (,0 ), δ :. Κορυφή της παραβολής το Ο(0,0) και άξονας συμμετρίας ο (ii) για ή Δηλ. έχουμε σημεία Θ (4,4) και Θ (4, 4) Οι αντίστοιχες εφαπτομένες θα είναι: ( ε ) : 4 ( 4) ( ε ) : ( 4) ( 4) Άρα η ζητούμενη ευθεία είναι η ++4=0 0 0 (iii) (ε): ++4=0 για : 0. Άρα τέμνει τη (δ) στο Ρ, για =0: =-4 Άρα τέμνει τον στο Ν(-4,0) Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα

6 (iv) Ε(,0), Θ(4,-4), Ρ, (, 4), 4 9 det( E, ) (v) (ε): ++4=0, Ε(,0) 0 4 d(e, ε) ΤΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΗΘΗΚΑΝ ΟΙ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ: ΓΑΣΠΑΡΑΤΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΙΜΠΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΝΙΚΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΝΤΑΝΤΙΝΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΣΙΤΑΡΙΔΗΣ ΣΠΥΡΟΣ Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 6