Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Transcript

1 Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς συντελεστές υπολογισµός της απόκρισης γραµµικών και χρονικά αµετάβλητων συστηµάτων γραµµικά φίλτρα Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ

2 Ορισµός Ο Μετασχηµατισµός Ζ µιας ακολουθίας x() διακριτού χρόνου ορίζεται από την σχέση: X ( ) x( ) Η µιγαδική µεταβλητή ονοµάζεται Μιγαδική συχνότητα e jω Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 2

3 Αντίστροφος Μετασχηµατισµός Ζ x() Z [X()] 2πj C X() d C είναι ένας κλειστός δρόµος που περικλείει την αρχή των αξόνων του µιγαδικού επιπέδου και βρίσκεται µέσα στη περιοχή σύγκλισης Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 3

4 ( jω ) ( ) X e Αναγκαιότητα Η ύπαρξη DTFT µιας ακολουθίας x() προϋποθέτει να είναι απολύτως συγκλίνουσα. jω x e x( ) Q < π.χ. η u() δεν έχει DTFT Η γενίκευση του DTFT µε αντικατάσταση του όρου e jω e r jω jω X ( ) x( ) Οδηγεί στο -trasform που συγκλίνει ανάλογα µε το µέτρο της µιγαδικής µεταβλητής Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 4 e

5 Παράδειγµα Να υπολογιστεί ο Μετασχηµατισµός Ζ της ακολουθίας Από τον ορισµό του µετ/µού Ζ θα έχουµε x ( ), 0.8, 0.64,... X ( ) x( ) Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ ( ) X 2 ( ) (0.8 ) (0.8 )... X X( ) 0.8 Note: <

6 Μιγαδικό επίπεδο -To πεδίο ορισµού της Χ() Im() επίπεδο- Re() e jω µοναδιαίος κύκλος Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 6

7 Περιοχή Σύγκλισης regio of covergece (ROC) Το σύνολο των τιµών του που ο Χ() υπάρχει ονοµάζεται περιοχή σύγκλισης Kαθορίζεται από δύο θετικούς αριθµούς R x+ και R x- : R x- < <R x+ Im() ROC R x+ Η µορφή του ROC είναι πάντα ένας ανοιχτός ή κλειστός δακτύλιος Re() R x - Το επίπεδο, και ένα γενικό ROC Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 7

8 Παράδειγµα Υπολογισµός -µετ/σµού της u() X( ) x( ) π.χ. Εάν επιλέξουµε από το επίπεδο την τιµή 2 έχουµε ότιησειρά Χ(2) Χ() 2 δηλ. συγκλίνει γιατί η τιµή 2 ROC < > εάν Εποµένως η Περιοχή Σύγκλισης (ROC) βρίσκεται έξω από ένα κύκλο ακτίνας Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ

9 Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 9 -trasform για ακολουθίες θετικού και αρνητικού χρόνου x () a u() για >0 a a, a a... a a a ) ( ) ( > < x X a ROC

10 Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 0 x 2 () - b u(--) για χρόνους ( -) ) ( ) ( ) ( m m m m m b b b b x X b b b b b < < b, ] [...] [ 2 ROC b

11 x ()a u() για >0 X( ) a για a< < x 2 () -b u(--) για χρόνους ( -) X 2 ( ) Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ b για 0< <b Το συµπέρασµα απότηµελέτη των δύο παραπάνω ακολουθιών είναι ότι ενώ για ab, οι µετασχ., είναι ίδιοι: Χ ()X 2 (), oι αντίστοιχες ακολουθίες x () και x 2 () είναι διαφορετικές. Αντίθετα, τα δύο ROC διαφέρουν

12 . ύο διαφορετικά σήµατα µπορεί να έχουν ίδιο -µετ/σµό 2. H ROC είναι αναγκαία πληροφορία. Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 2

13 Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 3 Παράδειγµα Έστω το σήµα x()α u()-b u(--) έχουµε : 2 :, :, ) ( 0 b a b a b ROC b a ROC a b a X < < + < + >

14 Πόλοι-µηδενισµοί ιδιότητες του ROC Οι ρίζες του παρονοµαστού και οι ρίζες του αριθµητού µίας συνάρτησης Χ() ονοµάζονται αντίστοιχα πόλοι και µηδενισµοί της Χ() Ισχύει ότι το ROC δεν µπορεί να περικλείει ένα πόλο της Χ() Tο ROC είναι µία συνεκτική περιοχή δηλ. δεν µπορεί να αποτελείται από σύνολο επί µέρους τµηµάτων. Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 4

15 Πίνακας Μετασχηµατισµών Ζ και περιοχών σύγκλισης δ ( ) u ( ) > a u ( ) a > a u ( ) 2 ( ) > a u( ) < b u( ) b < b - a a u( ) - 2 ( a ) > a Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 5

16 Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 6

17 Moday 3 Oct. Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 7

18 Αντίστροφος µετασχηµατισµός Ζ x() Z [X()] 2πj C X() d Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 8

19 Αντίστροφος µετασχηµατισµός Μέθοδος Ολοκληρωτικών υπολοίπων Όπου: Για µια ακολουθία x() βάσει του θεωρήµατος των ολοκληρωτικών υπολοίπων του Cauchy έχουµε: x() Re p και Re p s[ i s[ i Z 2πj { } X() X() d X ( )] X ( )] C ( m )! lim [( p i για για lim p p i πόλους X ( )] πόλους res[x() ης Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 9 i ) d d m m [ X ( )( m p ] τάξεως τάξεως i ) m ]

20 H ( ) 2 Παράδειγµα ( )( 0.5) 2 2 h [ ] Res ( )( 0.5) p p 0.5 h() H() Z H ( ) h() + + Res 2 ( )( 0.5) Re s ( )( 0.5) h [ ] p, p p m Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 20

21 Αντίστροφος µετασχηµατισµός Μέθοδος ανάπτυξης σε δυναµοσειρά Εκτελούµε την διαίρεση (log divisio) Παράδειγµα : Να βρεθεί ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Ζ της ( ) X ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) X +.2 Αρα x()0,, -.2,.44, Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 2

22 Αντίστροφος µετασχηµατισµός Μέθοδος ανάπτυξης σε µερικά κλάσµατα Η µέθοδος αυτή αποτελεί την πιο διαδεδοµένη και βασίζεται στην µετατροπή της Χ() σε απλά κλάσµατα. M Εάν η Χ() έχει την µορφή : ( ) X b + b b o a... a ηανάπτυξησε µερικά κλάσµατα υλοποιείται µε ταεξήςβήµατα. b% + + b% b% Εκφράζουµε τηνχ() ως εξής X ( ) + N + a a Εκτελούµε ανάπτυξη σε µερικά κλάσµατα στο πρώτο µέρος του Χ() και λαµβάνουµε: R + P N MN k ( ) X k k k 0 M N N N M N o N k Ck N k 0 C k k Και τελικά N k R M N k Z + C kδ( k) p k k 0 Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 22

23 Αντίστροφος µετασχηµατισµός Μέθοδος ανάπτυξης σε µερικά κλάσµατα Παράδειγµα Να βρεθεί η x() όταν ( ) 2 X X( ) ( ) 3 3 Πόλοι:, 3 x x /3 Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 23

24 x( ) a u( ), > 0 X ( ), a < < a x( ) a u( ), X ( ), < a a X( ) Εάν : Εάν : Εάν : < x( ) u( ) u( ) < < x( ) u( ) u( ) < x( ) u( ) + u( ) Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 24

25 ( ) X ( ) Αντίστροφος µετασχηµατισµός Μέθοδος ανάπτυξης σε µερικά κλάσµατα- Παράδειγµα2 ( ) ( 2) A B C X ( ) A B C 4 4 [ 2 ] X ( ) x [ ] δ[ ] + u [ ] u [ ] Tabulated -trasforms Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 25

26 Αντίστροφος µετασχηµατισµός Μέθοδος ανάπτυξης σε µερικά κλάσµατα- Παράδειγµα3 ιπλός πόλος () 2 ( 0.9 ) ( ) : >0.9 X X() ( ) ( ) h() u()+5/9 (+) u(+) (-0.9) u() Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 26

27 Αντίστροφος µετασχηµατισµός από την εξίσωση διαφορών- Παράδειγµα ( ) ( ) Θεωρώντας ότι H h αντιστοιχεί σε ένα σύστηµα, η κρουστική απόκριση του συστήµατος θα µας δίνει την h(). Παράδειγµα Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 27

28 ( ) H ( ) ( ) Y ( )( 2) X Έχουµε : ( ) H ( )( 2 ) ( ) ( )( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y X Y X Y X 2 3 Y( ) X ( ) από την οποία προκύπτει : 2y( ) 3y( ) y( 2) x( 3) για x( ) δ ( ) 2h( ) 3h( ) + h( 2) δ ( 3) h( 0) 0 h( ) 0 + h( 2) 0 h( 3) 2 h 4.5h 3 0.5h ( ) ( ) ( ) Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 28

29 Ιδιότητες Μετασχηµατισµού Ζ Γραµµικότητα Αν η x() έχει µετασχηµατισµό τονx() και η y() έχει µετασχηµατισµό τονy() µε περιοχές σύγκλισης R και R αντίστοιχα τότε : x ( ) + ( ) Z ( ) + ( ) ax by ax by y Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 29

30 Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 30 Kαθυστέρηση -µετατόπιση στο χρόνο Αν η x() έχει µετασχηµατισµό τον X() τότε : ( ) ( ) m x m X 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( X X δ δ δ δ Παράδειγµα:

31 Ιδιότητες Μετασχηµατισµού (συνέχεια) Συµπεριφορά για Αν η x() έχει µετασχηµατισµό τον X() lim ( ) lim X( ) x Παράδειγµα To σύστηµα H( ) 0.8 Στην σταθερή κατάσταση έχει είσοδο την u(). ( ) έχουµε: lim y( ) lim H ( ) lim Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 3

32 Ιδιότητες Μετασχηµατισµού (συνέχεια) Θεώρηµα συνέλιξης Εάν x [ ] X ( ) και τότε : x [ ] X ( ) 2 2 [ ]* [ ] ( ) ( ) x x X X 2 2 [ ] [ ] και [ ] [ ]* [ ] x h y x h Παράδειγµα [ ] y ( ) 2 3 ( ) ( ) ( ) y [ ] X + και H X H δηλαδή όπως και προηγουµένως Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 32

33 Άλλες ιδιότητες Μετασχηµατισµού Ζ (συνέχεια) Αντιστροφή στο χρόνο Αν x() X() Τότε x(-) Χ( - ) Παράγωγος Αν X() είναι ο µετασχηµατισµός µιας ακολουθίας x(), τότε ο µετασχηµατισµός της x() ισούται µε : ( ) x Z ( ) dx d Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 33

34 Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 34

35 au ( ) Z Παράδειγµα Να υπολογιστεί ο µετ/σµός της > a εποµένως θα είναι και x a u ( ) ( ) Z u( ) > a a a χρησιµοποιώντας την ιδιότητα της αντιστροφής στο χρόνο Z au( ) < a a Και τελικά µε την ιδιότητα της παραγώγου προκύπτει ότι x a u ( ) ( ) Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 35 a d a < a 2 d a a ( )

36 Ιδιότητες Μετασχηµατισµού Μετασχηµατισµός του επιπέδου s στο επίπεδο (Laplace ) X() 0 x() είναι ο µετασχηµατισµός του ψηφιακού σήµατος x() Το σήµα x() παριστάνεται σαν σήµα συνεχούς χρόνου x sampled (t) x( T ) δ ( t T ) k 0 k 0 x( k) δ ( k) και έχει µετασχηµατισµό Laplace X s (s) k 0 x( T ) e Ts Mε σύγκριση των παραπάνω : e Ts Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 36

37 e Ts επειδή sd+jω e Td και ΩΤ εάν d0 δηλ. οάξοναςjω του επιπέδου s απεικονίζεται στο µοναδιαίο κύκλο του επιπέδου. εάν d<0 < δηλ. το αριστερό ηµιεπίπεδο του επιπέδου s απεικονίζεται στο εσωτερικό του µοναδιαίου κύκλου του επιπέδου. jω επίπεδο-s Im() επίπεδο- d Re() µοναδιαίος κύκλος Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 37

38 Σχέση µετασχηµατισµού- και Fourier Μετασχηµατισµός DTFT Μετασχηµατισµός - ( jω ) ( ) X e x e X ( ) x( ) - 0 jω Αν µια δυναµοσειρά x() έχει µετασχηµατισµό- τον X() και µετασχηµατισµό Fourier (DTFT) τον X(e jω ) τότε : X(e jω ) X() e Aπό τη σχέση αυτή υπολογίζεται η απόκριση συχνότητας (µετασχηµατισµός Fourier - DTFT) jω Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 38

39 O -µετασχ/µός στη µελέτη LTI- συστηµάτων -H συνέλιξη στο χρόνο µετατρέπεται σε πολλαπλασιασµό στο χώρο της µιγαδικής µεταβλητής -Ανάλογα προς την απόκριση συχνότητας ορίζεται η συνάρτηση µεταφοράς ενός συστήµατος Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 39

40 Remider: απόκριση συχνότητας Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 40

41 Defiitio: συνάρτηση µεταφοράς H() Z{h()} Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 4 h()

42 Υπολογισµός της απόκρισης συχνότητας από τον µετασχηµατισµό - Παράδειγµα ίνεται η H() Να βρεθεί η H(e jω ) για π ω 4 jω jω e + H(e ) jω e συνω + jηµω συνω + jηµω συν 45 + jηµ45 συν 45 + jηµ j j µηδενισµός e jπ/4 πόλος 2.63e j67.5 o Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 42

43 Γεωµετρικός υπολογισµός Απόκρισης συχνότητας (DTFT) Παράδειγµα H() H(ω) e e jω jω Επίπεδο e jω Η ω ωπ ω0 π 2π 3π ω Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 43

44 Απόκριση Συχνότητας (συνέχεια) Υπολογισµός του X(e jω ) Χ(e jω ) 2 Χ(e jω )Χ * (e jω ) Χ(e jω )Χ (e jω ) X()X( ) e jω Η ιδιότητα αυτή διευκολύνει πολύ τον υπολογισµό της απόκρισης πλάτους, που ακολουθεί στο επόµενο παράδειγµα. Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 44

45 Απόκριση Συχνότητας - Παράδειγµα Να υπολογιστεί η απόκριση του ( ) H Βήµα ο : H()H( ) Βήµα 2 ο : υπολογίζουµε για ω ( ) H e j e ω j 2 2 ( ) ( ) 2+ 2συν 2ω συνω ( συν ω) Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 45