Π ρ ό λ ο γ ο ς. Το βιβλίο αυτό γράφτηκε με στόχο την πληρέστερη προετοιμασία των μαθητών μας.

Transcript

1

2 Π ρ ό λ ο γ ο ς Το ιλίο υτό γράφτηκε με στόχο τη πληρέστερη προετοιμσί τω μθητώ μς. Περιέχει συοπτική θεωρί,πρωτότυπες σκήσεις λλά κι θέμτ εξετάσεω τω τελευτίω ετώ του σχολείου μς. Ελπίζουμε ποτελέσει χρήσιμο εγχειρίδιο κι γι ρκετούς συδέλφους. Φιλοδοξούμε διευρύουμε υτή τη προσπάθει κι σε άλλους τομείς. Ευχριστούμε το Σύλλογο Γοέω κι Κηδεμόω γι τη χρημτοδότηση της έκδοσης. Οι μθημτικοί του 3 ου ΓΕΛ ΞΑΝΘΗΣ

3

4 Γεική επιμέλει: Μπρκλιός Γ. Φλώρου Κ. Τυπογρφικές διορθώσεις: Βουρίτης Γ. Μπρκλιός Γ. Τζεμπρϊλίδου Ε. Φιλολογική επιμέλει : Περπερίδου Α. 3

5 Θ ε ω ρ ί Ο Ι Π Ρ Α Ξ Ε Ι Σ Κ Α Ι Ο Ι Ι Δ Ι Ο Τ Η Τ Ε Σ Τ Ο Υ Σ = ( ) ( +) ( ) + = + + ( ) = ( ) + = ( ) = = ( +) ( + ) 3 3 = ( ) ( ++ ) ( ++ γ) = + +γ + + γ+ γ = = ή = κι Δ Ι Α Τ Α Ξ Η Π Ρ Α Γ Μ Α Τ Ι Κ Ω Ν Α Ρ Ι Θ Μ Ω Ν > >, ομόσημοι > >, ετερόσημοι < < γι κάθε R. = μόο =. + = = κι =. Γι θετικούς ριθμούς, κι γι θετικό κέριο ισχύει: > >. Α, είι ομόσημοι ριθμοί, τότε < >. 4

6 Διάστημ Αισότητ Συμολισμός < [, ) [, + ) < (, ) [, ] Α Π Ο Λ Υ Τ Η Τ Ι Μ Η, =, < = = + + κι = = γι. Α θ >, τότε = θ = θ ή = θ = = ή = Α ρ >, τότε d (,) = <ρ ρ< <ρ >ρ < ρ 5 ή >ρ, <ρ ( ρ +ρ) ρ< < + ρ,, ή >ρ ( ρ) ( +ρ+ ) < ρ > + ρ

7 Ρ Ι Ζ Ε Σ Π Ρ Α Γ Μ Α Τ Ι Κ Ω Ν Α Ρ Ι Θ Μ Ω Ν Α, τότε η είι η μη ρητική λύση της εξίσωσης =. = = κι. = Α κι >., τότε ( ) = Α,, τότε ισχύου: ) = ) =,. γ) = κι =. δ) µ = µ ε) ρ µ ρ = µ Α >, µ κέριος κι θετικός κέριος, τότε: µ µ =. Ε Ξ Ι Σ Ω Σ Ε Ι Σ ου Β Α Θ Μ Ο Υ += = Α, τότε η εξίσωση έχει μοδική λύση τη =. Α = κι, τότε η εξίσωση είι δύτη. Α = κι =, τότε η εξίσωση είι όριστη. Η εξίσωση άρτιος = a, Ν κι R περιττός > < > < =± Αδύτη = = 6

8 Ε Ξ Ι Σ Ω Σ Ε Ι Σ ου Β Α Θ Μ Ο Υ ++γ = (,, γ R κι ) = 4γ ± Α >, τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες άισες, = Α =, τότε η εξίσωση έχει μι ρίζ διπλή = =. Α <, τότε η εξίσωση είι δύτη. Α η εξίσωση ++γ = ( ) έχει δύο ρίζες άισες,, τότε: + = S= γ = P= Μί εξίσωση ου θμού με άθροισμ ριζώ S κι γιόμεο P είι η : S+ P= Πργοτοποίηση του τριωύμου + + γ ( ) Α >, τότε ++γ=( ) ( ), είι οι ρίζες του) ( ++γ= +, τότε το τριώυμο δε πργοτοποιείτι. Α =, τότε Α <. Α Ν Ι Σ Ω Σ Ε Ι Σ ου Β Α Θ Μ Ο Υ +> > Α >, τότε Α <, τότε Α = > <, τότε η ίσωση γίετι > >,, η η ίσωση ίσωση ληθεύει γι είι δύτη κάθε R 7

9 Α Ν Ι Σ Ω Σ Ε Ι Σ ου Β Α Θ Μ Ο Υ Πρόσημο τριωύμου ++ γ Α > ++γ Ομόσημο Ετερόσημο του του Α = Α < Ομόσημο του γ Ομόσημο του Ομόσημο του ++γ Ομόσημο του + Α Κ Ο Λ Ο Υ Θ Ι Ε Σ Αριθμητική πρόοδος ) = ω + ) = + ( ) ω γ) S = ( +) = [ + ( ) ω] δ),, γ διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου, κι μόο +γ =. Γεωμετρική πρόοδος + ) = λ ) = λ λ γ) S = γι λ. λ δ),, γ διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, κι μόο = γ. 8

10 Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Συάρτηση πό έ σύολο Α σε έ σύολο Β λέγετι μι διδικσί (κός) με τη οποί κάθε στοιχείο του συόλου Α τιστοιχεί σε έ κριώς στοιχείο του συόλου Β. Εύρεση του πεδίου ορισμού f () =, πρέπει A(). A() f () = A(), πρέπει A(). f () =, πρέπει A () >. A() Γ Ρ Α Φ Ι Κ Η Π Α Ρ Α Σ Τ Α Σ Η Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Η Σ Θεωρούμε το σημείο ( ) Μ, του συστήμτος συτετγμέω. Το συμμετρικό του Μ ως προς το άξο y y είι το Μ (, ). Το συμμετρικό του Μ ως προς το άξο είι το Μ (, ). Το συμμετρικό του Μ ως προς το O(,) είι το Μ (, ). 3 Το συμμετρικό του Μ ως προς τη διχοτόμο της ης 3 ης γωίς του συστήμτος συτετγμέω είι το Μ (, ). Το σύολο τω σημείω (, f ()) 4 Μ, A (όπου Aτο πεδίο ορισμού της f ) του συστήμτος συτετγμέω λέγετι γρφική πράστση ( C f) της f. 9

11 Η Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Η f() = + Α πρστθεί γρφικά, είι ευθεί. Γρφική πράστση > < = Η y = +, πρστθεί γρφικά τέμει το y y στο σημείο Α (,). Οι ευθείες με εξισώσεις y= + κι y + Είι πράλληλες, =. Είι κάθετες, =. Τέμοτι,. = ( )

12 Η Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Η f() = ( ) Η γρφική της πράστση είι προλή. Α >, το γράφημ της φίετι στο σχήμ κι ισχύει ότι f () γι κάθε R. Α <, το γράφημ της φίετι στο σχήμ κι ισχύει ότι f () γι κάθε R. Κορυφή της προλής είι το σημείο O (,). Ο άξος y yείι άξος συμμετρίς της γρφικής της πράστσης. Η Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Η f() = ++γ ( ) Η γρφική της πράστση είι προλή. Έχει πάτ κορυφή το σημείο K,. 4 Η ευθεί = είι ο άξος συμμετρίς της κμπύλης της. Α η C f τέμει το άξο, τ σημεί τομής της θ είι τ A(,), (,) B, όπου, οι ρίζες του τριωύμου ++ γ. Η κμπύλη της συάρτησης f τέμει το άξο y y στο σημείο Γ, γ. ( )

13 Α >, το γράφημά της έχει τη μορφή του σχήμτος κι ισχύει ότι f (), +, 4 εώ η συμπεριφορά της πεικοίζετι στο πρκάτω πίκ: f () min Α <, το γράφημ της έχει τη μορφή του σχήμτος κι ισχύει ότι f (),, 4 εώ η συμπεριφορά της πεικοίζετι στο πρκάτω πίκ: f () 4 ma +

14 Α σ κ ή σ ε ι ς Ο Ι ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ. Ν χρκτηρίσετε ως σωστή ή λθσμέη κθεμί πό τις κόλουθες προτάσεις: ) Α πργμτικός ριθμός, τότε ισχύει: = = ή =. ) Γι οποιουσδήποτε πργμτικούς ριθμούς,, γ ισχύει: γ =γ, τότε =. γ) Α φυσικός ριθμός μικρότερος του 4, ώστε ( ) ( ), τότε = 3. δ) Γι οποιουσδήποτε πργμτικούς ριθμούς, y ισχύει ότι y =. y ε) Γι οποιοδήποτε πργμτικό ριθμό ισχύει. Έστω 3 3 ( ) = 3( ) y : 3 y Α = με = κι ) Ν ποδείξετε ότι A=. y=. 3 + ) Ν ποδείξετε ότι = Α. + γ) Ν ποδείξετε ότι: i) ( + ) ( ) +Α= ii), Α=. δ) Ν ποδείξετε ότι τ τετράγω με πλευρές Α κι Α τίστοιχ έχου διφορά περιμέτρω ίση με 4Α. 3. ) Α κέριος κι περιττός, τότε κι ο είι περιττός. ) Ν ποδείξετε ότι δε υπάρχει κέριος ω, ώστε οι ριθμοί ω +ω κι είι τίστροφοι. ω 3

15 ΔΙΑΤΑΞΗ 4. Ν χρκτηρίσετε ως σωστή ή λθσμέη κθεμί πό τις κόλουθες προτάσεις: ) Γι οποιουσδήποτε πργμτικούς ριθμούς, με, <, τότε <. ) Γι οποιουσδήποτε πργμτικούς ριθμούς,, + >, τότε ισοδύμ ισχύει ότι ή. γ) Γι οποιουσδήποτε πργμτικούς ριθμούς,, > κι γ>δ, τότε γ>δ. δ) Γι οποιουσδήποτε πργμτικούς ριθμούς,,, [, ), τότε <. ε) Γι οποιουσδήποτε θετικούς πργμτικούς ριθμούς, κι οποιοδήποτε θετικό κέριο ισχύει η ισοδυμί: > >. 5. Δίετι η πράστση Α= ) Ν ποδείξετε ότι: i) Α, ii) Α + 3. ) Ν υπολογίσετε το, ( )( ) γ) Ν ποδείξετε ότι Α+ + =. A + >+ γι κάθε. 6. Α,, γ θετικοί ριθμοί, ώστε > κι γ>, ποδείξετε ότι: + +γ ) > ) < +γ γ) γ<( γ ) δ) ( + ) < 7. Α, ομόσημοι πργμτικοί ριθμοί, ποδείξετε ότι: ) γ) + 3+ > ) ( + ) + ( + ) > > δ) 4 γ >..

16 Α ΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 8. Ν χρκτηρίσετε ως σωστή ή λθσμέη κθεμί πό τις κόλουθες προτάσεις: ) Στο διπλό σχήμ η πόστση ΑΒ ισούτι με, όπου R η τετμημέη του σημείου Α. ) Γι οποιουσδήποτε πργμτικούς ριθμούς, R με >, ισχύει ότι =. γ) Γι οποιουσδήποτε πργμτικούς ριθμούς, R,ισχύει ότι + > +. δ) Γι οποιουσδήποτε πργμτικούς ριθμούς, R ισχύει ότι d (, ) =. ε) Γι οποιουσδήποτε πργμτικούς ριθμούς,,ρ R με ρ> ισχύει ότι ( ) d, <ρ ρ< < +ρ. 9. Α < < 3, τότε ποδείξετε ότι: ) = 4 ) γ) = = + + δ) ( 3 )( + ) = Α R με d(,) <, τότε ποδείξετε ότι: ) < < 3. ) 4 < 5. γ) = δ) < 3+ < Έστω, R με <<<. Ν ποδείξετε ότι: = ) ( ) ) γ) = < δ) ( ) =. 5

17 ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ν χρκτηρίσετε ως σωστή ή λθσμέη κθεμί πό τις κόλουθες προτάσεις: ) Γι οποιοδήποτε πργμτικό ριθμό με < ισχύει ( ) =. ) Α, ρ οποιοιδήποτε θετικοί κέριοι κι οποιοσδήποτε θετικός ρ µ µρ πργμτικός ριθμός, τότε ισχύει = γ) Ισχύει ότι =. δ) Ισχύει ότι =. 5 8 ε) Ισχύει ότι = Ν ποδείξετε ότι: ) = +. ) = 3. γ) ( 8 ) ( 8 5) = δ) = ε) =. 4. Θεωρούμε τη πράστση ( ) A= ) Ν ποδείξετε ότι: A= ) Ν υπολογίσετε τη τιμή της πράστσης Α γι =. γ) Α, ποδείξετε ότι: i) A= 4 ii) A < +. 3 A 6

18 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 5. Ν χρκτηρίσετε ως σωστή ή λθσμέη κθεμί πό τις κόλουθες προτάσεις: ) Η εξίσωση λ =λ με πράμετρο είι δύτη, λ=. ) Η εξίσωση = έχει λύση, <. γ) Η εξίσωση = 3 έχει δύο λύσεις. δ) Η εξίσωση += είι τυτότητ, ==. ε) Οι ριθμοί κι + είι τίθετοι, =. 6. Δίοτι δύο προϊότ Α, Β. ) Α το προϊό Α πουληθεί με έκπτωση 5%, τότε η τιμή του διμορφώετι στ 4,5. Ποι είι η ρχική τιμή του προϊότος Α; ) Α το προϊό Β επιρυθεί με φόρο %, τότε πωλείτι 7,5. Ποι είι η ρχική τιμή του προϊότος Β; 7. Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) = 3 ) = 4 γ) = δ) + 3 = ε) + 3 = 3+ στ) = + ζ) + 3 = η) = 3 3 θ) = ι) =. 7

19 8. Δίοτι,, γ R με <<γ<. ) Ν γρφεί η πράστση Α= + γ + γ χωρίς πόλυτες τιμές. ) Ν ποδείξετε ότι ( ) γ γ + γ + + =. γ 3 γ γ) Α ισχύει ότι d (, ) = d (, γ ), ποδείξετε ότι +γ=. δ) Ν ποδείξετε ότι + 3 γ κι υπολογίσετε τη τιμή του, ώστε + + γ = + 6 4γ. 9. Δύο κιητά κιούτι με τη ίδι φορά πάω σε έ ευθύγρμμο δρόμο κι τη χροική στιγμή t = sec πέχου 4m. Το έ κιητό πλησιάζει το άλλο κι το φτάει έπειτ πό χρόο tsec. Α οι τχύτητες τω δύο κιητώ είι 4m/sec κι 3m/sec, ρείτε τη πόστση του σημείου συάτησης πό τις ρχικές θέσεις τω δύο κιητώ.. Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) = 6 ) ( ) + 7( ) = γ) ( + ) 3 = δ) ( 8) 35( 8) + =. 3 8

20 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ. Ν χρκτηρίσετε ως σωστή ή λθσμέη κθεμί πό τις κόλουθες προτάσεις: ) Η εξίσωση +=, με πράμετρο R,έχει μί διπλή ρίζ, = 4. ) Μί εξίσωση ου θμού με άθροισμ ριζώ 3 κι γιόμεο ριζώ 5 είι η 3+ 5=. γ) Η εξίσωση + 3=, με πράμετρο R,έχει δύο ρίζες πργμτικές κι άισες. δ) Η εξίσωση πργμτικές ρίζες. + + =, με πράμετρο { } ε) Μί λύση της εξίσωσης είι η =. R, δε έχει + = με πράμετρο { } R,. Θεωρούμε τη εξίσωση 3 4=, R, (), η οποί έχει γιόμεο ριζώ ίσο με -6. ) Ν ποδείξετε ότι = ή =. ) Ν υπολογίσετε το άθροισμ τω ριζώ της εξίσωσης (). γ) Ν υπολογίσετε τις ρίζες της εξίσωσης (). 3. Ν ποδείξετε ότι κθεμί πό τις πρκάτω εξισώσεις έχει ) πργμτικές ρίζες. Υπάρχου τιμές τω πρμέτρω,, γ, ώστε οι ρίζες υτές είι διπλές ; + = + += ) ( ) γ) +γ γ =. 9

21 4. Στο διπλό σχήμ δίετι ορθογώιο πρλληλόγρμμο ΑΒΓΔ με (ΑΒ)= ( + 5) m, (ΒΓ)=( + ) m κι (ΝΓ)= m. Α Μ μέσο του ΑΒ κι το εμδό του πετγώου ΑΜΝΓΔ είι 75m, υπολογίσετε το μήκος. 5. Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) = ) ( + ) + = γ) + + = δ) ( ) ( ) + + = ε) 4 =. 6. Ν λύσετε τις εξισώσεις: + ) + = + + ) + =+, R { } γ) + =, R { }. 7. Η περίμετρος του ορθογωίου τρπεζίου ΑΒΓΔ του διπλού σχήμτος είι 6cm. Ν υπολογίσετε το ύψος του ΑΔ, το εμδό του είι cm. 8. Δίοτι τρεις διδοχικοί κέριοι,, γ με <<γ<. ) Α =, εκφράσετε τους κερίους, γ συρτήσει του. ) Α το άθροισμ τω τετργώω τω,, γ είι ίσο με 4, υπολογίσετε τους τρεις ριθμούς,, γ.

22 Α ΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 9. Ν χρκτηρίσετε ως σωστή ή λθσμέη κθεμί πό τις κόλουθες προτάσεις: ) Οι κοιές λύσεις τω ισώσεω 4 κι 3 6 είι. ) Η ίσωση + > 3 λύετι εφρμόζοτς τη ιδιότητ > θ. γ) Η ίσωση + < 4 είι δύτη. δ) Η ίσωση > είι τυτότητ., τότε [,] ε) Α Δίοτι οι ισώσεις: ( ) 4> ( + 3) 3( ) 4( ) ) Ν λύσετε τη ίσωση (). ) Ν λύσετε τη ίσωση (). () () γ) Ν ρείτε τις κοιές λύσεις τω δύο ισώσεω. 3. ) Ν λύσετε τη εξίσωση: = 3 ) i) Ν λύσετε τη εξίσωση: + = +, R {} ii) Γι ποιες τιμές του έχει λύση η εξίσωση (); 3. Ν λύσετε τις ισώσεις: ) 3 + < 4 () ) γ) 3 < 5 δ) < Η περίμετρος του ορθογωίου πρλληλογράμμου του σχήμτος είι μεγλύτερη τω cm. ) Ν υπολογίσετε τις τιμές του. ) Ν ποδείξετε ότι ΑΒ + ΒΓ> 6cm.

23 34. Η ίσωση ρ, > Ν υπολογίσετε τους κι ρ. ρ έχει λύσεις (, ] [ 4, + ). 35. Το εμδό του ορθογωίου πρλληλογράμμου του σχήμτος είι μετξύ τω 3cm κι τω 7 cm. Ν υπολογίσετε τις τιμές που πίρει ο θετικός πργμτικός ριθμός. Α ΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 36. Ν χρκτηρίσετε ως σωστή ή λθσμέη κθεμί πό τις κόλουθες προτάσεις: ) Α το τριώυμο ++ γέχει μί ρίζ διπλή, τότε ισχύει ++γ =,. ) Α το τριώυμο ++ γέχει ρίζες, R κι το τριώυμο +δ+ε έχει ρίζες, 3 R, τότε ++γ = +δ+ε 3 όπου R { } κι, γ, δ, ε R., γ) Δίετι το τριώυμο ++ γ, ώστε + 8γ<. Τότε ισχύει ++γ > γι κάθε R. δ) Το τριώυμο + + γ έχει δύο ρίζες, πργμτικές κι άισες με <. Τότε ισχύει ότι +γ ε) Το τριώυμο ++ γ + [, ]. 3 είι θετικό γι κάθε (,4) μόο. Τότε έχει ρίζες τους ριθμούς - κι 4 κι έχει ρητικές τιμές γι κάθε (, ) ( 4, + ).

24 37. Ν γράψετε τις εξισώσεις-ισώσεις ή τ συστήμτ εξισώσεω - ισώσεω που προκύπτου πό τις κόλουθες προτάσεις: ) ++γ >,, γι κάθε ) ++γ<,, γι κάθε R. R. γ) Το τριώυμο ++ γ,, έχει στθερό πρόσημο γι κάθε R. δ) ++γ,, γι κάθε ε) ++γ,, γι κάθε R. R. στ) Το τριώυμο ++ γ,, πίρει θετικές κι ρητικές τιμές, ότ R. ζ) Το τριώυμο ++ γ,, έχει μί ρίζ διπλή κι είι μεγλύτερο ή ίσο πό το γι κάθε R. η) Το τριώυμο ++ γ,, έχει μί ρίζ διπλή θετική κι είι μικρότερο ή ίσο πό το γι κάθε R. θ) Το τριώυμο ++ γ,, είι ρητικό στο διάστημ (, ), όπου, οι πργμτικές ρίζες του τριωύμου. ι) Το τριώυμο ++ γ,, έχει δύο ρίζες, πργμτικές κι άισες με < κι είι ρητικό γι κάθε (, ) (, + ). + (), λ R, 4 η οποί έχει δύο ρίζες, πργμτικές κι άισες. 38. Δίετι η εξίσωση ( λ ) + ( λ λ) = ) Ν υπολογίσετε τις τιμές του λ. ) Γι ποι τιμή του λ ισχύει + 3; = γ) Ν ποδείξετε ότι οι ρίζες, έχου θετικό άθροισμ. δ) Ν λύσετε τη ίσωση >. 3

25 ε) Ν ρείτε εξίσωση ου θμού με ρίζες ρ = + κι ρ =. λ στ) Ν ποδείξετε ότι ζ) i) Ν ποδείξετε ότι δε είι δυτό οι ρίζες της () είι τίθετες. ii) Ν υπολογίσετε τη τιμή του λ, ώστε οι ρίζες της () είι τίστροφες. η) Γι ποιες τιμές του λ η μί ρίζ της εξίσωσης () είι η = ; 39. Ν υπολογίσετε τις τιμές του λ R {}, ώστε η ίσωση ( λ+ ) +λ λ< είι τυτότητ. 4. ) Ν ποδείξετε ότι: κ + λκ+ λ > γι κάθε κ R κι λ R { }. ) Έστω κ, λ R { }. Ν ρείτε το πρόσημο της πράστσης κ λ A = + + : λ κ i) κ, λ ομόσημοι, ii) κ, λ ετερόσημοι. 4. Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση λ + ( 3λ ) + λ = δε είι δύτη γι κάθε λ R. 4. Ν υπολογίσετε τις τιμές του R, ώστε επληθεύοτι τυτόχρο κι οι δύο ισώσεις: 5+ 3 κι ( ) <. 43. Έστω ότι d (,) < λ () με λπργμτικό ριθμό. λ 4 () έχει δύο ρίζες πργμτικές κι άισες. ) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση + ( λ+ ) + ( λ+ ) = ) Υπάρχου τιμές του λ που ικοποιού τη () κι ισχύει + + λ, όπου, οι ρίζες της εξίσωσης (); 4 4 4

26 44. Θεωρούμε το τριώυμο T= ( + ) + ) Ν ρείτε τις ρίζες του Tσυρτήσει του., R. T ) Ν πλοποιήσετε τη πράστση. T γ) Υπάρχει R, ώστε = ; δ) Έστω η δικρίουσ του ρχικού τριωύμου T. Έχει ρίζες πργμτικές έ άλλο τριώυμο T με δικρίουσ = ; ε) Γι ποι τιμή του το τριώυμο T= ( + ) + έχει δύο ρίζες άισες, που το τετράγωο της μις ισούτι με τη δεύτερη, που έχει θετική τιμή; 45. Έστω < <. ) Ν γρφεί η πράστση: A= + + χωρίς πόλυτ. + ) Ν λύσετε τη ίσωση:. γ) Ν λύσετε τη εξίσωση: = δ) Ν ποδείξετε ότι: + ( ) 5 + =. + ε) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση d (, ) d(, ) = έχει λύσεις τις = κι =. στ) Α επιπλέο (, γ) < d( γ, ) d. < κι <γ<, ποδείξετε ότι: ζ) Ν υπολογίσετε το + = +. η) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση + + = έχει δύο ρίζες 4 πργμτικές κι άισες. θ) Ν ποδείξετε ότι ( +) +> <. γι κάθε > ή

27 Α ΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ 46. Ν χρκτηρίσετε ως σωστή ή λθσμέη κάθε μί πό τις κόλουθες προτάσεις: ) Η διφορά της ριθμητικής προόδου ( ) με + = 3 είι το 3. ) Ο εκτοστός όρος της ριθμητικής προόδου,,, 3... είι το 99. γ) Το 8 είι όρος της ριθμητικής προόδου 3,,,3... δ) Η ριθμητική πρόοδος, +, +,... έχει διφορά ίση με. ε) Α < κι ω <, τότε ο ιοστός όρος υτής της ριθμητικής προόδου είι ρητικός. είι ω = 4, στ) Α η διφορά μις ριθμητικής προόδου ( ) * τότε γι κάθε Ν ισχύει ότι + = 8. ζ) Α,, γ, δ διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου, τότε ισχύει +γ=+ δ. 47. Οι ριθμοί, +, + 3 με Zείι διδοχικοί όροι ριθμητικής, ώστε =. Ν υπολογίσετε: ) το. προόδου ( ) ) το όρο. 5 + γ) το άθροισμ Θεωρούμε το άθροισμ S + ( + ) + ( + 4) +...( + 98) =, R. ) Πόσους όρους έχει το άθροισμ υτό; ) Α S=, υπολογίσετε τη τιμή του. γ) Α = 4, υπολογίσετε τη τιμή του θροίσμτος. δ) Α 5 S<, υπολογίσετε τις τιμές του. 49. Θεωρούμε τη ριθμητική πρόοδο ( ) ) Ν ποδείξετε ότι 4 = 6 3. ) Α + 5 (), ρείτε τη πρόοδο. 4 3 = 6 με = 5. γ) Με τη προϋπόθεση ότι ισχύει η (), εξετάσετε το είι όρος της προόδου ( )

28 5. Θεωρούμε τη κολουθί ( ) της οποίς ο ιοστός όρος δίετι πό τη σχέση = + 3, γι κάθε * Ν. ) Ν ρείτε τη τιμή του ω, ώστε = ω ) Ν ποδείξετε ότι η ( ) +. είι ριθμητική πρόοδος. γ) Ν ρείτε το ελάχιστο πλήθος τω πρώτω όρω που πιτούτι, ώστε το άθροισμ + + γίει γι πρώτη φορά ρητικό. * 5. Δίετι η ριθμητική πρόοδος,,,...,, όπου Ν κι είι στθερός ριθμός. ) Ν υπολογίσετε τη διφορά της προόδου συρτήσει του. ) Ν υπολογίσετε συρτήσει του το ο όρο της προόδου, =. γ) Α = 6, υπολογίσετε τη τιμή του. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ 5. Ν χρκτηρίσετε ως σωστή ή λθσμέη κάθε μί πό τις κόλουθες προτάσεις: * ) Η γεωμετρική πρόοδος,,,... R έχει λόγο. 3 με ) Ο ος όρος της γεωμετρικής προόδου ( ) = κι, είι. = = 9 γ) Ο δέκτος όρος γεωμετρικής προόδου ( ) 7, η οποί ορίζετι + δρομικά ως εξής: = 3 κι =, ισούτι με. 3 δ) Σε μι γεωμετρική πρόοδο με θετικό λόγο, 7 = > κι 4 =, ο πέμπτος όρος είι ο 8. ε) Ο γεωμετρικός μέσος τω ριθμώ κι 4 είι μόο το. 53. Δίετι μι γεωμετρική πρόοδος ( ) όρος της είι 6. Ν υπολογίσετε : ) το όγδοο όρο της. ) το άθροισμ τω έξι πρώτω όρω της., ώστε 8 = 5 κι ο τρίτος 8

29 54. Μι μθήτρι διάσε έ εξωσχολικό ιλίο ως εξής: η ημέρ: σελίδ η ημέρ: σελίδες 3 η ημέρ: 4 σελίδες κ.ο.κ. ) Ν υπολογίσετε πόσες σελίδες έχει διάσει τη 9 η ημέρ. ) Α η άγωση του ιλίου ολοκληρώθηκε σε 9 ημέρες, ρείτε: i) Πόσες σελίδες έχει το ιλίο. ii) Πόσες κόμη σελίδες είχε κόμη διάσει η μθήτρι μετά το τέλος της 6 ης ημέρς. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 55. Ν χρκτηρίσετε ως σωστή ή λθσμέη κάθε μί πό τις κόλουθες προτάσεις: ) Α f () = +, τότε f ( ) =., ) Α f () =, τότε f (3) =. 3, > 4 γ) Α f () = , τότε f ( t ) = t + 3t+ 4 γι κάθε t. δ) Έστω f () = +,τότε το πεδίο ορισμού της f είι το [,]. 56. Ν ρείτε τ πεδί ορισμού τω συρτήσεω: 3 ) f () = ) f () = γ) δ) f () = f () = Δίετι η συάρτηση f () = ) Ν ρείτε το πεδίο ορισμού της συάρτησης f. f( ) ) Α >, λύσετε τη ίσωση: f 8 ( ) +.

30 3 γ) Ν ποδείξετε ότι f ( ) =. 58. Έστω f () =. ) Ν υπολογίσετε τους f ( ), f ( 3) κι ρείτε το πεδίο ορισμού f ( ) + της συάρτησης g( ) =. f ( 3) ) Ν λύσετε τη εξίσωση f () =. γ) Ν ρείτε το πεδίο ορισμού της συάρτησης h() = f () δ) Α <, λύσετε τη εξίσωση f () = +. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 59. Ν χρκτηρίσετε ως σωστή ή λθσμέη κάθε μί πό τις κόλουθες προτάσεις: B έχου άξο συμμετρίς το. έχου άξο συμμετρίς τη διχοτόμο της ης - 3 ης γωίς του συστήμτος συτετγμέω, τότε = 3κι = 8. γ) Α η κμπύλη της συάρτησης f τέμει το άξο στ σημεί A(,) κι B(,), τότε τ, είι λύσεις της εξίσωσης f ( ) = κι τίστροφ. δ) Γι ρω τ, γι τ οποί η γρφική πράστση της συάρτησης f ρίσκετι κάτω πό το άξο, λύω τη ίσωση f >. ) Τ σημεί A(,) κι (,) ) Α τ σημεί A (,) κι B( 8, 3) ( ) στ) Τ σημεί ( ) 9 Το πεδίο ορισμού της συάρτησης f, της οποίς η γρφική πράστση φίετι στο διπλό σχήμ, είι A f = (,3) [ 4, + ) A, κι B(,) έχου κέτρο συμμετρίς το (,) κι μόο = ή =. O,

31 Μ, Z, είι εγκλωισμέο στη επιφάει του ορθογωίου πρλληλογράμμου ΑΒΓΔ του σχήμτος. 6. Το σημείο (,3 ) Ν υπολογίσετε τις τιμές του. 6. Δίετι η συάρτηση f () = ) Ν ρείτε τ σημεί τομής της C f με τους άξοες κι y y. ) Ν ρείτε τ γι τ οποί η C f ρίσκετι πάω πό τη C g, g() = + 3. γ) Ποιο είι το κοιό σημείο τω C f, Cg, όπου g η συάρτηση του \ () ερωτήμτος. 6. Δίετι η συάρτηση f () = +, R. Η γρφική πράστση της f διέρχετι πό το σημείο A (,4). ) Ν ρείτε το πεδίο ορισμού της συάρτησης f. ) Ν υπολογίσετε τη τιμή του. γ) Ν ποδείξετε ότι η C f ρίσκετι γι κάθε του πεδίου ορισμού της πάω πό το άξο. δ) Σε ποιο σημείο η C f τέμει το άξο y y ; ε) Ν λύσετε τη εξίσωση f () 3= Δίετι η συάρτηση f () = + 3. ) Ν ρείτε το πεδίο ορισμού της συάρτησης f. ) Ν ποδείξετε ότι η C f δε τέμει το άξο y y. γ) Ν ποδείξετε ότι γι κάθε του πεδίου ορισμού της f η γρφική πράστση της συάρτησης f ρίσκετι κάτω πό τη γρφική πράστση της συάρτησης g, όπου g( ) + 4 =. 3

32 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f() = Ν χρκτηρίσετε ως σωστή ή λθσμέη κάθε μί πό τις κόλουθες προτάσεις: ) Η γρφική πράστση της ευθείς με εξίσωση y = 3+ σχημτίζει γωί o 6 με το άξο. ) Οι ευθείες με εξισώσεις y= λ, λ R, διέρχοτι πό το σημείο A (,). γ) Η γρφική πράστση της ευθείς με εξίσωση y = +, <, σχημτίζει μλεί γωί με το άξο. δ) Α η γρφική πράστση της ευθείς με εξίσωση y = + διέρχετι πό το σημείο A(, ), τότε = 3. ε) Οι ευθείες με εξισώσεις y = + κι y= 4 είι μετξύ τους πράλληλες. ζ) Η συάρτηση f, της οποίς η γρφική πράστση φίετι στο πρκάτω σχήμ,, έχει τύπο f () =., > 65. Δίετι η ευθεί (ε) με εξίσωση y = +, που η γρφική της o πράστση σχημτίζει γωί 45 με το άξο κι διέρχετι πό το σημείο A (,). ) Ν ποδείξετε ότι = κι =. ) Α η ευθεί (ε) διέρχετι πό το σημείο M ( κ, κ+ ), υπολογίσετε τη τιμή του κ. γ) Ν σχεδιάσετε τη γρφική πράστση της (ε). 3

33 66. Ν ρείτε το τύπο της συάρτησης f της οποίς το γράφημ φίετι στο σχήμ. 67. Το πρπάω ορθογώιο πρλληλόγρμμο έχει διστάσεις κι 4. ) Ποιες είι οι τιμές που πίρει η μετλητή ; ) Έστω yη περίμετρος του ε λόγω ορθογωίου. Ν ρεθεί η συάρτηση της μορφής y = + (ε) της περιμέτρου του. γ) Ν γίει η γρφική πράστση της ευθείς (ε) του () ερωτήμτος. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f() = ( ) 68. Ν χρκτηρίσετε ως σωστή ή λθσμέη κάθε μί πό τις κόλουθες προτάσεις: ) Α η γρφική πράστση της συάρτησης f () = ρίσκετι στο ο κι ο τετρτημόριο του συστήμτος συτετγμέω, τότε ισχύει ότι <. 3

34 ) Δίοτι οι συρτήσεις f () = κι g () = κι οι γρφικές 4 τους πρστάσεις C κι C που υπάρχου στο πρκάτω σχήμ. Η C είι η γρφική πράστση της συάρτησης f () =. γ) Υπάρχει σημείο Μ της γρφικής πράστσης της συάρτησης f () = με συτετγμέες (, ) δ) Το γράφημ της συάρτησης f () Μ. = ( ) τετρτημόριο του συστήμτος τω συτετγμέω. ρίσκετι στο 3 ο ε) Α γι τη συάρτηση f () = ισχύει ότι () f, τότε <. 3, στ) Το γράφημ της συάρτησης f () = ρίσκετι 3, > στο ο κι 4 ο τετρτημόριο του συστήμτος συτετγμέω. ζ) Γι τη συάρτηση f () = ισχύει ότι f (), γι κάθε R. 3 η) Το σημείο A(,4) ήκει στη γρφική πράστση της συάρτησης f () = 4. θ) Α το σημείο (, + ) συάρτησης Β είι σημείο της γρφικής πράστσης της f () =, τότε =. ι) Α το σημείο ( κ λ) f () = ( ), τότε κι το σημείο ( κ λ) Α, ήκει στη κμπύλη της συάρτησης Β, ήκει σε υτή. 33

35 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f() = ++γ ( ) 69. Στο σχήμ υπάρχει η γρφική πράστση της συάρτησης ( ) f () = ++γ. Ν χρκτηρίσετε ως σωστή ή λθσμέη κάθε μί πό τις κόλουθες προτάσεις: ) < ) Η ευθεί = 9 είι άξος συμμετρίς της κμπύλης. γ) γ = 5 δ) Οι ρίζες της εξίσωσης ++γ = είι κι 5. ε) 9 4 = στ) f () [ 9, + ) ζ) Υπάρχει, ώστε ++γ =. η) Υπάρχου δύο διφορετικά του πεδίου ορισμού της συάρτησης f, ώστε f () = 9. θ) Ισχύει ότι =, = 4 κι γ = 5. f <, ότ (,5) ι) () κ) =. 34

36 7. Η κμπύλη της συάρτησης f () = ++ γ 35 ( ) έχει σχεδιστεί στο πρπάω σχήμ. Ν χρκτηρίσετε ως σωστή ή λθσμέη κάθε μί πό τις κόλουθες προτάσεις: ) = 3 ) γ) Η εξίσωση ++γ = έχει μί ρίζ διπλή, τη = 3. δ) γ = 9 ε) f () (,] στ) Η ίσωση f () > είι τυτότητ. ζ) =, = 6 κι γ = 9. η) Ισχύει ότι : ++γ = ( + 3 ) Δίετι η συάρτηση () = ( κ+ ) + ( κ +κ) κ R 4 της οποίς η γρφική πράστση τέμει το άξο σε δύο διφορετικά σημεί. ) Ν υπολογίσετε τις τιμές του κ. f, ( ) ) Υπάρχου κ R, ώστε 3S 4P 3 ; ( Όπου S το άθροισμ κι Pτο γιόμεο τω ριζώ της εξίσωσης f () = ). γ) Α η τετμημέη της κορυφής του γρφήμτος της f είι ίση με, υπολογίσετε τη τετγμέη της κορυφής της.

37 Θ έμτ εξετάσεω προηγούμεω ετώ 7. Δίοτι οι συρτήσεις f() = 3+ λ κι g () = + 5+ μ με λ,μ R. ) Α το σημείο Κ(-,6) ήκει στη γρφική πράστση της f κι επιπλέο ισχύει f () g() = μ+ 5, υπολογίσετε τις τιμές τω πρμέτρω λ κι μ. ) Α λ= κι μ=-4, ρείτε τ διστήμτ στ οποί: i) η C f ρίσκετι κάτω πό το άξο, ii) η C g ρίσκετι πάω πό το άξο. 73. Δίετι η συάρτηση f() = + (λ+ )+ λ, με λ R. Γωρίζουμε ότι η εξίσωση f () = έχει μί ρίζ διπλή. ) Ν ποδείξετε ότι λ=. ) Ν ποδείξετε ότι f() > γι κάθε R. γ) Α, είι οι ρίζες της εξίσωσης f () = 5, ρείτε: i) το άθροισμ + κι το γιόμεο τω δύο ριζώ ii) μί εξίσωση ου θμού με ρίζες ρ = + κι ρ =. δ) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση f() + ( + 3+ ) = έχει μοδική λύση τη = Δίετι η συάρτηση f () =. ) Ν υπολογίσετε τ f ( ), f ( ) κι ρείτε το πεδίου ορισμού της συάρτησης g() = f ( ) + 3 f ( 3) ) Ν λύσετε τη εξίσωση f () =. γ) Δίετι η συάρτηση h() = 6. Ν ρείτε τις τιμές του, γι τις οποίες η γρφική πράστση της f είι πάω πό τη γρφική πράστση της h.. 36

38 75. ) Οι ριθμοί 3, 4, + είι διδοχικοί όροι μις ριθμητικής προόδου με διφορά ω. i) Ν ποδείξετε ότι = 4. ii) A ο έκτος όρος της είι το 3, υπολογίσετε το πρώτο όρο κι τη διφορά ω της προόδου ) Δίετι η συάρτηση f () =. 3 i) Ν ρεθεί το πεδίο ορισμού της f. ii) Ν ποδείξετε ότι : 4 3 f () + f (4) = Δίετι η συάρτηση f () = λ+λ, λ R. ) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση f () = έχει, γι κάθε λ R, δύο ρίζες άισες. ) Α, οι ρίζες της εξίσωσης f () =, ρείτε τις τιμές = τουλ R γι τις οποίες ισχύει + 3. γ) Γι λ=, ρείτε : i) τις τιμές του γι τις οποίες η γρφική πράστση της f είι πάω πό το άξο. ii) Ν ρείτε τις τιμές του ληθεύει γι κάθε λ R, ώστε η ίσωση f () > R. 37

39 77. Δίετι η συάρτηση f () =. 7 ) Ν ρείτε το πεδίο ορισμού της f. ) Ν ρείτε τ σημεί τομής της γρφικής πράστσης της f με το άξο. γ) Ν λύσετε τη ίσωση < 7. δ) Ν ρείτε το διάστημ στο οποίο η γρφική πράστση της f είι κάτω πό το. 78. Δίετι η εξίσωση ( + ) ( 3λ 4) +λ 7= λ με λ. ) Ν δείξετε ότι γι κάθε τιμή του λ R με λ η εξίσωση έχει δύο ρίζες άισες. ) Α, οι ρίζες της εξίσωσης, ρεθού οι τιμές τουλ, 3 ώστε + >. λ+ ( ) γ) Ν ρεθεί η τιμή τουλ, ώστε η εξίσωση έχει δύο ρίζες τίθετες. 79. Δίετι η εξίσωση + ( λ+ ) + ( λ+ 5) = με λ R. ) Ν ρείτε τις τιμές του λ, γι τις οποίες η πρπάω εξίσωση έχει δύο πργμτικές ρίζες άισες. ) Α, είι οι δύο άισες ρίζες της πρπάω εξίσωσης, εκφράσετε σ συάρτηση του λ τις πρστάσεις: A= +, B=, Γ= +. γ) Ν ρείτε το λ, ώστε ισχύει = 5. 38

40 f. 3 ) Ν ποδείξετε ότι το πεδίο ορισμού της συάρτησης f είι : A f =,, Δίετι η συάρτηση 4 () = ( ) + ( ] [ ) ) Ν ποδείξετε ότι ο τύπος της συάρτησης f, πλοποιηθεί, γράφετι: f () = +. γ) Ν ρείτε τις συτετγμέες του σημείου τομής της γρφικής πράστσης της συάρτησης g() = ( ) f () με το άξο του συστήμτος συτετγμέω. δ) Ν ρείτε το συμμετρικό σημείο Α, του σημείου Α (,3) ως προς το άξο y y κι δείξετε ότι το Α ήκει στη γρφική πράστση της συάρτησης gτου (γ) ερωτήμτος. 8. Έστω ότι ο πργμτικός ριθμός κ ποτελεί λύση της ίσωσης κ 4κ < (). Ν ποδείξετε ότι: ) < κ< 6. ) Η ίσωση () έχει τις ίδιες λύσεις με τη ίσωση ( k,) 4 d <. + έχει δύο λύσεις,,πργμτικές 4 κι άισες, γι τις οποίες ισχύει + +. γ) Η εξίσωση + ( κ 6) = 8 δ) Η εξίσωση κ + κ 6 + κ κ+ +κ = κ+ 7 έχει μόο μί λύση. 39