ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Ατί προλόγου: Το προτειόμεο Κριτήριο Αξιολόγησης δε φέρετι στη θεωρί που πιτείτι στο ο κι ο θέμ, λλά φορού τ θέμτ διβθμισμέης δυσκολίς ( ο κι 4 ο ) κι δίου τη ευκιρί στους εξετζόμεους κάου επάληψη σε δομικά μέρη της εξετστές ύλης. ΘΕΜΑ Ο Α. Α lim κι η συάρτηση είι συεχής στο χ 8 4 Ν υπολογίσετε το άθροισμ S Β. Δίετι το πολυώυμο P ( λ 4λ) ( λ 4) + λ + λ R, R Α (λ) είι η συάρτηση του βθμού του Ρ() δείξετε ότι lim λ lim λ lim λ. λ λ λ Γ. Α γι τη συάρτηση : R R ισχύου i. συεχής στο ii. () + () + γι κάθε R δείξετε ότι () - Δ. Δίοτι οι συρτήσεις, g γι τις οποίες ισχύει + g γι κάθε R Ν δείξετε ότι οι, g είι συεχείς στο o ΘΕΜΑ Ο Α. Ν δείξετε ότι η εξίσωση 5 5- έχει το πολύ μί ρίζ πολύτως μικρότερη του. Β. Δίετι η συάρτηση συεχής στο [, β], πργωγίσιμη στο (, β) με () β (β) <<β Ν * Ν δείξετε ότι η εξίσωση: () () έχει τουλάχιστο μι ρίζ στο (, β) Γ. Α οι συρτήσεις, g είι συεχείς στο R κι ισχύει () t dt g() t dt, γι κάθε R. N δείξετε ότι: () g() ΘΕΜΑ Ο Α. Έστω η συάρτηση με συεχή δεύτερη πράγωγο στο R. Α η προυσιάζει στ σημεί κι τοπικά κρόττ δείξετε ότι dt e e ()

2 Β. Α η συάρτηση : R R έχει συεχή πράγωγο κι είι - δείξετε ότι β β ) ( ) d ( ) ( ) β β) β d β β d, β dt (R) ΘΕΜΑ 4 Ο A. Έστω η συάρτηση : R R με συεχή πράγωγο στο R κι () > γι τη οποί ισχύει ( y) y γι κάθε, y R. Ν δείξετε ότι: ) () γι κάθε R. β) Η συάρτηση είι γησίως ύξουσ. B. Δίετι η συάρτηση :[,] R η οποί είι συεχής κι ισχύει: ( ) d + 4 ()d. Ν βρείτε: ) το ολοκλήρωμ I [ ] d β) το τύπο της γ) το εμβδό του χωρίου που περικλείετι πό τη, τη εφπτομέη της στο A (, () ) κι το άξο y y. C

3 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Ο Α. Επειδή η είι συεχής στο χ έχουμε lim Θέτουμε με 8 lim g κι g lim Η () γίετι: ()8 () ( 8) g ( 8) g + lim [( 8) g + ] οπότε S () + () + () () ( 8 ) 8 Β. Δικρίουμε τις περιπτώσεις i. Α λ 4λ λ ( λ 4) λ ( λ )( λ + ) ( λ) λ κι λ κι λ τότε ii. Α λ 4λ λ ( λ 4) λ ( λ )( λ + ) λ ή λ ή λ τότε ) Α λ έχουμε Ρ () 4 + κι (λ) β) Α λ έχουμε Ρ () 4 κι (λ) γ) Α λ - έχουμε Ρ () κι δε ορίζετι η (λ) δηλ. ( λ) λ λ λ κι lim ( λ) lim ( λ) lim ( λ) λ λ (,) (, ) (, ) (, + ) λ Γ. Επειδή η είι συεχής στο έχουμε lim ( o) lim γιτί θέσουμε όπου το έχουμε () + + ` Γι κάθε κι είι ( ) + lim lim lim γιτί + + ()

4 Δ. Α θέσουμε όπου το έχουμε + g g είι + g κι Όμως lim ( ) lim lim δηλ. lim κι σύμφω με το κριτήριο πρεμβολής κι η συεχής στο Επίσης g + g κι g g ( ) κι σύμφω με το κριτήριο πρεμβολής limg Δηλ. lim g g κι η g συεχής στο. ΘΕΜΑ Ο Α. Έστω η συάρτηση () κι, (-,) : ( ) ( ) με < I) Η είι συεχής στο [, ] II) Η είι πργωγίσιμη στο (, ) III) ( ) ( ) κι σύμφω με το θ. Rolle υπάρχει (, ) : ( ). Άτοπο γιτί () (-) (+) ( +), γι κάθε (, ) (-,) Άρ η εξίσωση έχει το πολύ μι ρίζ πολύτως μικρότερη του. Β. Έστω η συάρτηση h I. H h είι συεχής στο [, β] II. Η h είι πργωγίσιμη στο (, β) III. Είι h () ( β) h(β) β β κι h () h (β) β ( β) που ισχύει β.β : h () χ v κι σύμφω με το θ. Rolle υπάρχει Όμως h Η () γίετι v v ( ) v ( ) v v v ( ) v ( ) ( ) v ( ) δηλ. η εξίσωση v, έχει μι τουλάχιστο ρίζ στο (, β). Γ. Έστω η συάρτηση h ( ) () t dt g () t dt R Έχουμε () t dt g() t dt () t dt g() t dt

5 h γι κάθε h R δηλ. η h προυσιάζει στo σημείo ελάχιστο κι σύμφω με το θ. Fermat h () () + h t dt g t dt t dt g t dt ( ) + g ( ) γι κ ά θε R H () γίετι + g g Όμως () () () () ΘΕΜΑ Ο Α. Επειδή η προυσιάζει τοπικά κρόττ στ σημεί κι έχουμε () Είι ( ) ( ) ( d e e ) d e e d + ( e ) d [ ] + e e d + e e + e ( ) e ( ) [ ] e d ( ) Β. ) θέτουμε u ( u) κι ( u) du d κι '' '' Α τότε ( u) u Α ( β) τότε ( u) ( β) u β '' ( β ) β β ( ) d u u du β) Θέτουμε u ( u) κι ( u) du d Α τότε u - () Α β τότε u - (β) ( β) ( β) u du β β β d β β κι d u ( u) du [ u ( u) ] d ΘΕΜΑ 4 Ο () Α. ) Α θέσουμε όπου y το έχουμε [ ] () κι γι κάθε

6 () () είι: γι κάθε, R. () () () ( ) Είι lim lim lim ( ) γι κάθε R. Δηλδή () γι κάθε R. β) Από το ) είι () γι κάθε R κι επειδή η είι συεχής διτηρεί πρόσημο στο R. Όμως () > κι () > γι κάθε R. Δηλδή η είι γησίως ύξουσ. Β. ) Έχουμε I [ ] d [ + ] d d d d d d + + () Θέτουμε u κι ( ) d du d du d udu Α τότε uo Α τότε u κι d u (u)udu u (u)du () d. Η σχέση () γίετι I ( ) d ()d ( ) d 4 ()d + +. β) Έχουμε [ ( ) ] [ ( ) ] > Δηλδή [ ( ) ] γι κάθε [,]. Α υπάρχει [,] ώστε, τότε σύμφω με το ) θ ισχύει I> > άτοπο. γι κάθε [,] () γι κάθε [,]. κι ( ). A θέσουμε όπου το έχουμε γ) Έχουμε () κι () γι κάθε [,]. Δηλδή (). Η εξίσωση της εφπτομέης της C στο A (, () ) είι: y () ()( ) y ( ) y. Α Ε το ζητούμεο εμβδό τότε: E () y d d d d d [ ] [ ] [ ] τ.μ.