Cover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation.

Transcript

1 Cover Page The handle holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Angelakis, Athanasios Title: Universal adelic groups for imaginary quadratic number fields and elliptic curves Issue Date:

2 Σύνοψη Η παρούσα διδακτορική διατριβή εστιάζει σε δύο ερωτήματα τα οποία αρχικά δεν φαίνεται να συσχετίζονται. Ητοι, (1) Ποιά είναι η μορφή της απόλυτης αβελιανής ομάδας Galois A K ενός φανταστικού τετραγωνικού σώματος αριθμών K, ως τοπολογική ομάδα; (2) Ποιά είναι η μορφή της ομάδας των adelic σημείων μιας ελλειπτικής καμπύλης πάνω από το Q, ως τοπολογική ομάδα; Για την πρώτη ερώτηση, η εστίαση στις αβελιανές ομάδες Galois μας παρέχει την θεωρία κλάσεων σωμάτων ως εργαλείο για την ανάλυση της A K. Οι παλαιότερες δουλειές στο θέμα αυτό των Kubota και Onabe, παρέχουν μία όχι άμεση περιγραφή του δυικού Pontryagin (Pontryagin dual) της A K σε όρους απείρων οικογενειών, σε κάθε πρώτο p, με την επωνημία Ulm invariants (Ulm αναλλοίωτες). Η αμεσότητα της προσέγγισής μας με βάση τη θεωρία κλάσεων σωμάτων, αποδεικνύει ότι η A K περιέχει μία υποομάδα U K πεπερασμένου δείκτη, ισομορφική με την ομάδα μονάδων Ô της προπεπερασμένης πλήρωσης του Ô, του δακτυλίου των ακεραίων του K, και μας παρέχει μία εντελώς συγκεκριμένη περιγραφή της τοπολογικής ομάδας U K η οποία είναι σχεδόν ανεξάρτητη από το φανταστικό τετραγωνικό σώμα K. Πιο συγκεκριμένα, για όλα τα φανταστικά τετραγωνικά σώματα αριθμών εκτός των Q(i) και Q( 2), έχουμε U K = U = Ẑ 2 Z/nZ. Η εξαίρετη φύση του Q( 2) έλειπε από τις εργασίες των Kubota και Onabe, και τα θεωρήματά τους έπρεπε να διορθωθούν με βάση αυτό. 97 n=1

3 98 Σύνοψη Περνώντας από την «καθολική» υποομάδα U K στην A K, οδηγούμαστε σε ένα πρόβλημα επέκτασης ομάδας για adelic ομάδες το οποίο μπορεί να «λυθεί» περνώντας σε μία κατάλληλη επέκταση πηλίκου ομάδων το οποίο εμπλέκει το μέγιστο Ẑ-ελεύθερο πηλίκο U K/T K της U K. Με τον όρο «λυθεί» εννοούμε ότι για κάθε K το οποίο είναι ικανά μικρό ώστε να επιτρέπει σαφείς υπολογισμούς κλάσεων σωμάτων για το K, αποκτούμε έναν πρακτικό αλγόριθμο για να υπολογίσουμε την splitting συμπεριφορά της ε- πέκτασης ομάδων. Στην περίπτωση όπου η επέκταση υπολοίπου είναι totally non-split, το συμπέρασμα είναι πως η A K είναι ισομορφική ως τοπολογική ομάδα με την καθολική ομάδα U. Αντίστροφα, κάθε splitting του p-μέρους του πηλίκου επέκτασης σε έναν περιττό πρώτο p οδηγεί στην ομάδα A K η οποία δεν είναι ισόμορφη με την U. Για τον πρώτο 2, η κατάσταση είναι ιδιαίτερη, αλλά πιο ελεγχόμενη λόγω της πληθώρας θεωρημάτων που αφορούν τα 2-μέρη των τετραγωνικών ομάδων κλάσεων. Βασιζόμενοι σε αριθμητικούς πειραματισμούς, έχουμε αποκτήσει μία βασική κατανόηση της κατανομής των τύπων ισμομορφισμού της A K για διάφορα K, κι αυτό οδηγεί σε προκλητικές εικασίες όπως «100% όλων των φανταστικών τετραγωνικών σωμάτων με αριθμό κλάσεων πρώτο αριθμό, έχουν A K ισόμορφη με την καθολική ομάδα U». Στην περίπτωση της δεύτερης ερώτησής μας, η οποία εμφανίζεται ως ερώτηση στο [CK14, Section 9, Question 1] με την οπτική της ανάκτησης ενός σώματος αριθμών K από την ομάδα των adelic σημείων E(A K ) μιας κατάλληλης ελλειπτικής καμπύλης πάνω από το K, μπορούμε ευθής αμέσως να εφαρμόσουμε τα καθιερωμένα εργαλεία για τις ελλειπτικές καμπύλες πάνω από σώματα αριθμών με μία μέθοδο η οποία ακολουθεί τις γραμμές του προσδιορισμού της δομής του Ô με την οποία ασχοληθήκαμε στην πρώτη ερώτησή μας. Αποδεικνύεται ότι στην περίπτωση όπου K = Q, η οποία αντιμετωπίζεται στο Κεφάλαιο 4, η ομάδα των adelic σημείων «σχεδόν όλων» των

4 ελλειπτικων καμπυλών πάνω από το Q είναι ισόμορφη με μία καθολική ομάδα E = R/Z Ẑ Z/nZ η οποία κατά μία έννοια είναι όμοια εκ φύσεως της U. Ο λόγος της καθολικότητας των ομάδων των adelic σημείων ελλειπτικών καμπυλών έγκειται στην τάση των ελλειπτικών καμπυλών να έχουν αναπαραστάσεις Galois στην ομάδα των σημείων πεπερασμένης τάξης που ορίζονται στο Q οι οποίες ε- ίναι πολύ κοντά στο να είναι μεγιστικές. Για K = Q, η μεγιστικότητα των αναπαραστάσεων Galois μιας ελλειπτικής καμπύλης E, σημαίνει ότι η E είναι μία καμπύλη Serre, κι έχει πρόσφατα αποδειχθεί από τον Nathan Jones [Jon10] ότι «σχεδόν όλες» οι ελλειπτικές καμπύλες πάνω από το Q είναι καμπύλες Serre. Στην πραγματικότητα, η καθολικότητα της E(A K ) απαιτεί κάτι λιγότερο από την μεγιστικότητα των αναπαραστάσεων Galois, και το αποτέλεσμα είναι ότι απαιτείται κάποια προσπάθεια να κατασκευαστούν οικογένειες ελλειπτικών καμπυλών με μη-καθολική ομάδα adelic σημείων. Παρέχουμε ένα παράδειγμα τέτοιας οικογένειας στο τέλος του Κεφαλαίου 4. n=1 99

5