ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Linear Programming)

Transcript

1 κεφάλαιο ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Linear Programming). Εισαγωγή Ορισμός.. Γραμμικός προγραμματισμός (linear programming) είναι το όνομα της μεθοδολογίας που χρησιμοποιείται για τη λύση προβλημάτων που έχουν σκοπό τη μεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση μιας γραμμικής συνάρτησης που υπόκειται σε περιορισμούς υπό μορφή γραμμικών ανισοτήτων. Ο γραμμικός προγραμματισμός αναπτύχθηκε το , κάτω από την πίεση των αναγκών του Β Παγκόσμιου Πολέμου. Ο γραμμικός προγραμματισμός (τον οποίο θα αναφέρουμε με συντομία σαν LP) έχει μεγάλη σημασία για τους οικονομολόγους, και ειδικά το δυϊκό πρόβλημα του LP. Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε τη γεωμετρική προσέγγιση του LP και τη μέθοδο SIMPLEX λύσης προβλημάτων LP. Επίσης, θα αναφέρουμε το βασικό θεωρητικό υπόβαθρο της δυϊκής μεθόδου. Ορισμός..2 Ένα πρόβλημα LP έχει την εξής μορφή: Να μεγιστοποιηθεί ή να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση: z=c x +c 2 x 2 (αντικειμενική συνάρτηση) υπό τους (m) περιορισμούς

2 κεφάλαιο α x + α 2 x 2 b α 2 x + α 22 x 2 b 2 α m x + α m2 x 2 x 0, x 2 0 b m Η συνάρτηση z λέγεται αντικειμενική συνάρτηση και το σύνολο των παραπάνω ανισοτήτων λέγονται περιορισμοί. Η περιοχή στην οποία ικανοποιούνται όλες οι ανισότητες λέγεται εφικτή περιοχή..2 Γεωμετρική Προσέγγιση Λύσης Απλών Προβλημάτων LP Μέθοδος γραφικής παράστασης γραμμικών ανισοτήτων Θεωρούμε την ανισότητα Αx+By<C ή Ax+By>C Βρίσκουμε τη γραφική της παράσταση ως εξής: Βήμα Βρίσκουμε τη γραφική παράσταση της εξίσωσης Ax+By=C, ως εξής: για x=0, για y=0 Βρίσκουμε τη γραμμή που περνά από τα σημεία Αν η ανισότητα έχει τη μορφή: Αx+By C ή Ax+By C, τότε το γράφημα της εξίσωσης δεν είναι διακεκομμένο και η περιοχή στην οποία ικανοποιείται η ανισότητα περιλαμβάνει την ευθεία γραμμή που παριστάνει την εξίσωση. 30

3 Γραμμικός Προγραμματισμός Βήμα 2 Εκλέγουμε ένα σημείο ελέγχου (test point) και αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του στην ανισότητα. Συνήθως το σημείο ελέγχου είναι το (0,0). Βήμα 3 Το γράφημα της αρχικής ανισότητας περιλαμβάνει το ημιεπίπεδο που περιέχει το σημείο ελέγχου, αν το σημείο αυτό ικανοποιεί την ανισότητα, ή το ημιεπίπεδο που δεν περιέχει το σημείο ελέγχου, αν η ανισότητα δεν ικανοποιείται από το σημείο αυτό. ίνουμε το παρακάτω παράδειγμα λύσης ενός προβλήματος LP με τη γεωμετρική προσέγγιση. Παράδειγμα.2. Μια εταιρεία κατασκευάζει δύο προϊόντα, Α και Β. Η εταιρεία έχει δύο εργοστάσια ηλεκτρονικών μηχανημάτων τα οποία από κοινού κατασκευάζουν τα δύο προϊόντα στις παρακάτω ποσότητες (την ώρα): Εργοστάσιο Εργοστάσιο 2 Προϊόν Α 0 20 Προϊόν Β Η εταιρεία λαμβάνει μια παραγγελία για 300 τεμάχια του Α προϊόντος και 500 τεμάχια του Β. Οι δαπάνες λειτουργίας των δύο εργοστασίων Α και Β είναι ευρώ και ευρώ την ώρα, αντίστοιχα. α) Να σχηματισθεί το πρόβλημα LP για την ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους της παραγγελίας. β) Να βρεθεί το σημείο στο οποίο ελαχιστοποιείται το κόστος, όπως επίσης το ελάχιστο κόστος. Λύση Υποθέτουμε ότι u και u 2 είναι ο αριθμός των ωρών κατά τις οποίες εργάζονται τα δύο εργοστάσια για να ικανοποιήσουν την παραγγελία του πελάτη. 3

4 κεφάλαιο Παράγονται: 0u +20u 2 τεμάχια του Α και 25u +25u 2 τεμάχια του Β. Ισχύει: 0u +20u 2 300, 25u +25u 2 500, γιατί ζητούνται 300 τεμάχια του Α και 500 τεμάχια του Β. Ισχύει επίσης u 0, u 2 0 Το συνολικό κόστος λειτουργίας των δύο εργοστασίων είναι: 0.000u u 2 Ζητούμε να ελαχιστοποιήσουμε το κόστος 0.000u u 2 (αντικειμενική συνάρτηση), κάτω από τις συνθήκες (περιορισμούς): 0u +20u u +25u 2 500, u 0, u 2 0 Το παρακάτω σχήμα δείχνει το μέρος του επιπέδου το οποίο ικανοποιεί όλες τις ανισότητες (το μέρος αυτό λέγεται εφικτή περιοχή). 32

5 Γραμμικός Προγραμματισμός ιάγραμμα.2 Κατασκευή εφικτής περιοχής σε LP πρόβλημα (παράδειγμα.2.) Τα σημεία Α(0,20), Β(u, u 2 ) και Γ(30,0) λέγονται κορυφές της εφικτής περιοχής (corner points). Για να βρεθεί η λύση στο πρόβλημα του παραδείγματος.2., χρησιμοποιούμε το παρακάτω θεώρημα: Θεώρημα.2. Αν υπάρχει το καλύτερο διατεταγμένο ζεύγος (u, u 2 ), δηλ. το ζεύγος εκείνο που ελαχιστοποιεί ή μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση, τότε οι τιμές u και u 2 θα είναι οι συντεταγμένες (u, u 2 ) ενός (ή περισσότερων) σημείου από τις κορυφές της εφικτής περιοχής. Βρίσκουμε το σημείο Β, λύνοντας το σύστημα: 33

6 κεφάλαιο 25u +25u 2 =500 ή u +u 2 =20 0u +20u 2 =300 u +2u 2 =30 ή u =20 u 2 ή u =20 u 2 u +2u 2 =30 20 u 2 +2u 2 =30 u =20 u 2 ή u =20 u 2 20+u 2 =30 u 2 =30 20=0 ή u =0 u 2 =0 Αντικαθιστούμε τα σημεία Α(0,20), Β(0,0) και Γ(30,0) στην αντικειμενική συνάρτηση z=0.000u u 2 Έχουμε: Α(0,20) z= = B(0,0) z= = Γ(30,0) z= = Είναι φανερό ότι το σημείο Α(0,20) ελαχιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση z. Το σημείο Α(0,20) λέγεται λύση του προβλήματος LP του παραδείγματος Η Μέθοδος Simplex Λύσης Προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού ίνουμε τους εξής ορισμούς: Ορισμός.3. Ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού είναι σε συνήθη μορφή (standard form), αν το μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος είναι στη μορφή: Να μεγιστοποιηθεί η αντικειμενική συνάρτηση P=c x +c 2 x 2 + +c n x n, υπό τους (m) περιορισμούς του τύπου 34

7 Γραμμικός Προγραμματισμός α x +α 2 x α n x n b, και x 0, x 2 0,..., x n 0 b 0 Ορισμός.3.2 Υποθέτουμε ότι έχουμε το πρόβλημα: Να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση P=8x+6y, x+y 0 2x+3y 5 } (.3.) Βοηθητικές μεταβλητές (slack variables) λέγονται οι μεταβλητές s, s 2 που χρησιμοποιούνται για να μετατραπούν οι ανισότητες (.3.) στις ισότητες: x+y+s =0, s 0, s 2 0, 2x+3y+s 2 =5 Θεωρούμε το LP πρόβλημα: Να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση P=8x+6y : x+y 0, 2x+3y 5, x 0, y 0. Μεταφράζουμε το πρόβλημα στον ακόλουθο κατάλληλο τύπο: Να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση 8x 6y+P=0, : x+y+s =0, 2x+3y+ +s 2 =5. Το πρόβλημα γράφεται ως εξής: Να ελαχιστοποιηθεί το Ρ, έτσι ώστε: 35

8 κεφάλαιο x+y+s =0 2x+3y +s 2 =5 (.3.2) 6x 8y +p = 0 Θέτουμε τους συντελεστές των εξισώσεων (.3.2) σε έναν πίνακα που τον ονομάζουμε αρχικό πίνακα simplex (initial simplex tableau) (.3.3) Ορισμός.3.3 Στον αρχικό πίνακα Simplex (.3.3) οι στήλες 3 η, 4 η και 5 η έχουν ένα στοιχείο ίσο με και τα άλλα στοιχεία ίσα με 0. Οι στήλες αυτές λέγονται βασικές στήλες και οι μεταβλητές που αντιστοιχούν στις στήλες αυτές, δηλ. οι s, s 2 και Ρ, λέγονται βασικές μεταβλητές. Μέθοδος εύρεσης αρχικής εφικτής λύσης: Από τον αρχικό πίνακα simplex εξάγεται η αρχική εφικτή λύση, θέτοντας τις μη βασικές μεταβλητές x, y ίσες με μηδέν. Η αρχική εφικτή λύση είναι: x=0, y=0, s =0, s 2 =5, P=0..4 Λύση Προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού με τη Μέθοδο SIMPLEX Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα: Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση P=3x+2y+z (.4.) x+z 200, y+2z 400, (.4.2) 2x+y

9 Γραμμικός Προγραμματισμός Αρχίζουμε την εφαρμογή της μεθόδου SIMPLEX, εκφράζοντας το παραπάνω πρόγραμμα σαν το σύστημα των εξής εξισώσεων, εισάγοντας τις βοηθητικές μεταβλητές s, s 2, s 3. x + + z + s = 200 y + 2z + s 2 = 400 2x + y + s 3 = 600 3x 2y z +P = 0 Ο αρχικός πίνακας SIMPLEX (initial simplex tableau) είναι: (.4.3) Η αρχική βασική εφικτή λύση είναι: x=0, y=0, z=0, s =200, s 2 =400, s 3 =600, P=0. Ζητούμε να δημιουργήσουμε ένα δεύτερο πίνακα στον οποίο η τιμή Ρ θα είναι μεγαλύτερη του 0. Πρώτο, εξετάζουμε αν η αρχική βασική εφικτή λύση είναι η καλύτερη. Αυτό το καθορίζει το κριτήριο της μεγιστοποίησης (maximility test), το οποίο είναι το εξής: Κριτήριο της μεγιστοποίησης: Ένας πίνακας simplex θα δίνει την καλύτερη λύση αν και μόνο αν η τελευταία γραμμή, που αντιστοιχεί στην αντικειμενική συνάρτηση, δεν περιέχει αρνητικά στοιχεία. Η τελευταία γραμμή του πρώτου πίνακα είναι [ ] Συνεπώς, συνεχίζουμε την κατασκευή του δεύτερου πίνακα SIMPLEX. Αυτό γίνεται με τη βοήθεια της στήλης-οδηγού, η οποία είναι μια στήλη που αντιστοιχεί σε μια μεταβλητή που θέλουμε να γίνει βασική μεταβλητή, 37

10 κεφάλαιο δηλ. η στήλη να έχει μόνο ένα στοιχείο ίσο με το οποίο λέγεται στοιχείοοδηγός και όλα τα άλλα ίσα με 0. Οι παρακάτω δύο κανόνες καθορίζουν πώς εκλέγουμε τη στήλη-οδηγό και το στοιχείο-οδηγό (Pivot column and pivot element). Εκλογή της στήλης-οδηγού Η στήλη που έχει το πιο αρνητικό στοιχείο στην τελευταία γραμμή είναι η στήλη-οδηγός. Η μεταβλητή που αντιστοιχεί στη στήλη αυτή είναι η εισερχόμενη μεταβλητή (entering variable). Εκλογή του στοιχείου-οδηγού Για κάθε στήλη, εκτός από την τελευταία, με θετικό στοιχείο στη στήληοδηγό, υπολογίζουμε το κλάσμα με αριθμητή τον αριθμό στην τελευταία στήλη και παρανομαστή τον αριθμό στη στήλη-οδηγό. Η γραμμή-οδηγός είναι η γραμμή με το μικρότερο μη αρνητικό κλάσμα. Το στοιχείο-οδηγός είναι η τομή της στήλης-οδηγού και της γραμμής-οδηγού. Η στήλη-οδηγός, σύμφωνα με το κριτήριο της μεγιστοποίησης, είναι η στήλη: x Για να βρεθεί η γραμμή-οδηγός, υπολογίζουμε τα κλάσματα. Το μικρότερο κλάσμα είναι το. Άρα, το στοιχείο-οδηγός είναι το στη στήλη-οδηγό. Τώρα, με στοιχειώδεις πολλαπλασιασμούς γραμμών (όπως στη μέθοδο απαλοιφής Guuss) πηγαίνουμε στο δεύτερο πίνακα: Επαναλαμβάνουμε εδώ τον ο πίνακα: 38

11 Γραμμικός Προγραμματισμός στοιχείο-οδηγός x y z s s 2 s 3 P R R R R 3 + ( 2)R R R 4 + 3R στήλη-οδηγός Το κριτήριο μεγιστοποίησης αποτυγχάνει^ άρα, κατασκευάζουμε το 2 ο πίνακα, με στοιχείο-οδηγό το, γιατί : στοιχείο-οδηγός x y z s s 2 s 3 P R R R 2 + ( )R 3 R R R 4 + 2R 3 στήλη-οδηγός το και ο 3 ος πίνακας, μετά τις στοιχειώδεις πράξεις R 2 +( )R 3 και R 4 +2R 3, είναι: στοιχείο-οδηγός. Άρα, το στοιχείο οδηγός είναι x y z s s 2 s 3 P R R R 2 R R στήλη-οδηγός 39

12 κεφάλαιο Το κριτήριο της μεγιστοποίησης αποτυγχάνει. Η στήλη-οδηγός είναι η z Ισχύει:. Άρα, το στοιχείο-οδηγός είναι το 4 και κατασκευάζουμε τον 4 ο πίνακα, με μια μόνο στοιχειώδη πράξη, την, γιατί πρέπει να μετασχηματίσουμε το στοιχείο-οδηγό στην τιμή για να εφαρμόσουμε ευκολότερα τις στοιχειώδεις πράξεις απαλοιφής: στοιχείο-οδηγός x y z s s 2 s 3 P R R +( )R 2 R R R 3 +2R 2 R R 4 +2R 2 στήλη-οδηγός Το κριτήριο μεγιστοποίησης αποτυγχάνει. Κατασκευάζουμε τον 5 ο πίνακα με τις πράξεις R +( )R 2, R 3 +2R 2 και R r +2R 2 : (Το στοιχείο-οδηγός διατηρείται το ίδιο: 4 =): 4 x y z s s 2 s 3 P 0 50 R R R R

13 Γραμμικός Προγραμματισμός Το κριτήριο μεγιστοποίησης επιτυγχάνει, γιατί η τελευταία γραμμή περιέχει μη αρνητικά στοιχεία. Ο 5 ος πίνακας είναι ο τελευταίος και η λύση του προβλήματος είναι: x=50, y=300, z=50, s =s 2 =s 3 =0, P=00 Άρα, η μέγιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι Ρ=00 και αυτή επιτυγχάνεται, όταν x=50, y=300 και z=50..5 Το υϊκό Πρόβλημα του Γραμμικού Προγραμματισμού Θα δώσουμε τον ορισμό του δυϊκού προβλήματος του Γραμμικού Προγραμματισμού. Ορισμός.5. Αν ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού έχει τη μορφή: Να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση P=DX, BX C, X 0, τότε το δυϊκό του πρόβλημα (dual problem) είναι: Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση P=C U Β U D U 0, όπου U είναι ένας πίνακας-στήλη, του ιδίου μεγέθους, όπως ο πίνακας C. Παράδειγμα.5. Θεωρούμε το πρόβλημα: Να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση Ρ=4x+2y 5x+y 5, 5x+3y 0, x 0, y 0. 4

14 κεφάλαιο Βρίσκουμε τον κύριο πίνακα Μ του οποίου η τελευταία γραμμή έχει στοιχεία τους συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης και οι άλλες γραμμές προέρχονται από τους συντελεστές των περιορισμών: Ο ανάστροφος του πίνακα Μ είναι: Το δυϊκό πρόβλημα είναι: Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση P=5u+0v 5u+5v 4 u+3v 2 u 0, v 0 Το δυϊκό πρόβλημα λύεται με τη συνήθη μέθοδο (SIMPLEX). Παράδειγμα.5.2 Να γραφεί το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού (LP) με τη χρήση πινάκων: Να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση P=7x+5y x+3y 2, 2x+y 4, x+y 6, x 0, y 0. (.5.) 42

15 Γραμμικός Προγραμματισμός Υποθέτουμε ότι D είναι ο πίνακας-γραμμή των συντελεστών της συνάρτησης P, Β είναι ο πίνακας των συντελεστών των πρώτων (3) περιορισμών, Χ είναι ο πίνακας-στήλη των αγνώστων x και y και C είναι ο πίνακας-στήλη των σταθερών μερών των περιορισμών. Τότε έχουμε: D=[7,5], Το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να γραφεί ως εξής, με τη βοήθεια πινάκων: Να ελαχιστοποιηθεί η παράσταση P=Dx BX C, X 0. Ακολουθεί το (β) σκέλος του παραδείγματος.5.2 β) Να γραφεί το δυϊκό πρόβλημα του προβλήματος του σκέλους (α) του παραδείγματος.5.2 Σχηματίζουμε τον πίνακα Τ ο οποίος έχει τις 3 πρώτες γραμμές συμπληρωμένες με τους συντελεστές των (3) περιορισμών του αρχικού προβλήματος του (α) σκέλους και την (4 η ) γραμμή συμπληρωμένη με τους συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης Ρ. Έχουμε: Ο ανάστροφος του πίνακα Τ είναι: Το δυϊκό πρόβλημα του σκέλους (α) είναι: 43

16 κεφάλαιο Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση P=2u+4u+6w u+2v+w 7, 3u+v+w 5, u 0, v 0, w 0. Η λύση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού, το οποίο είναι δυϊκό ενός άλλου ομοίου προβλήματος στην καθιερωμένη μορφή (standard form), επιτυγχάνεται με τα συνήθη μέσα (SIMPLEX). Ο τελικός πίνακας παράγει τη λύση στο αρχικό πρόβλημα, γιατί η μεταβλητή P στο δυϊκό πρόβλημα είναι η ίδια, όπως η μεταβλητή P στο αρχικό πρόβλημα. Ας θεωρήσουμε το ακόλουθο παράδειγμα του προβλήματος της δίαιτας και του δυϊκού του. Παράδειγμα.5.3 Πρόβλημα δίαιτας: υϊκό πρόβλημα Ένας διαιτολόγος προετοιμάζει ένα γεύμα, που αποτελείται από κοτόπουλο και ρύζι. Η κάθε μερίδα γεύματος περιέχει τουλάχιστον 5 γραμμάρια πρωτεΐνης και 0 εκατομμυριοστά του γραμμαρίου από σίδηρο. Το κάθε πιάτο με το κοτόπουλο περιέχει 5 γραμμάρια πρωτεΐνης, 5 εκατομμυριοστά του γραμμαρίου από σίδερο και 4 γραμμάρια λίπους. Το κάθε πιάτο με το ρύζι περιέχει γραμμάριο πρωτεΐνης, 3 εκατομμυριοστά του γραμμαρίου από σίδηρο και 2 γραμμάρια λίπους. Ζητείται να ελαχιστοποιηθεί η ποσότητα του λίπους σε κάθε μερίδα γεύματος. Να βρεθεί ο αριθμός των πιάτων με το κοτόπουλο και των πιάτων με το ρύζι που πρέπει να σερβιριστούν για να ελαχιστοποιηθεί η ποσότητα του λίπους σε κάθε γεύμα. Το πρόβλημα έχει την εξής μορφή: Κοτόπουλο Ρύζι Σύνολο x y Πρωτεΐνη 5 5 Σίδηρος Λίπος

17 Γραμμικός Προγραμματισμός Η αντικειμενική συνάρτηση είναι: P=4x+2y. Οι περιορισμοί είναι: 5x+y 5, 5x+3y 0, x 0, y 0. Το αρχικό πρόβλημα και το δυϊκό του έχουν τη μορφή: Αρχικό πρόβλημα Να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση P=4x+2y 5x+y 5, 5x+3y 0, x 0, y 0. υϊκό πρόβλημα Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση P=5u+0v 5u+5v 4, u+3v 2, u 0, v 0. Ο αρχικός πίνακας του δυϊκού προβλήματος είναι u v s s 2 P R R R Το κριτήριο μεγιστοποίησης (maximality test) αποτυγχάνει. Η στήλη-οδηγός είναι η v Ισχύει:, άρα το στοιχείο-οδηγός είναι το 3. Κατασκευάζουμε το δεύτερο πίνακα με την πράξη R 2 3, γιατί πρέπει να μετασχηματίσουμε το στοιχείο-οδηγό στην τιμή και να εφαρμόσουμε ευκολότερα τις στοιχειώδεις πράξεις απαλοιφής: 45

18 κεφάλαιο u v s s 2 P R R +( 5)R 2 2 R R R 3 +(0)R 2 u v s s 2 P 0 R R R R στήλη-οδηγός u: στοιχείο-οδηγός 0 3 γιατί ( ) < ( ) u v s s 2 P 3 R R R = R 2 +( 3 )R 20 3 R 3 +( 5 3 )R u v s s 2 P 3 R R R Η λύση του δυϊκού προβλήματος είναι u=, u= 5 5, Ρ = 7. Η τιμή Ρ=7 είναι η μέγιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης του δυϊκού προβλήματος και η ελάχιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης του αρχικού προβλήματος. Ισχύει η ακόλουθη σημαντική παρατήρηση: Παρατήρηση η : Οι βέλτιστες τιμές των x και y για το αρχικό πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού βρίσκονται στην τελευταία γραμμή του τελικού πίνακα του δυϊκού προβλήματος στις στήλες των βοηθητικών μεταβλητών. Στην περίπτωση του παραπάνω παραδείγματος ισχύει x= και 5 y=

19 Γραμμικός Προγραμματισμός (Η απόδειξη της παρατήρησης αυτής υπερβαίνει το διδακτικό σκοπό του παρόντος βιβλίου). Παρατήρηση 2 η Η δυϊκή μέθοδος αποτελείται από τα εξής μέρη:. Μετασχηματισμός του αρχικού προβλήματος στο δυϊκό πρόβλημα. 2. Λύση του δυϊκού προβλήματος με τις καθιερωμένες μεθόδους (SIM- PLEX). 3. Ερμηνεία του τελικού πίνακα του δυϊκού προβλήματος, για να βρεθεί η λύση του αρχικού προβλήματος. Για να γίνουν κατανοητά τα (3) βήματα, θα παρατεθούν τα παρακάτω παραδείγματα. Παράδειγμα.5.4 Το δυϊκό πρόβλημα του παραδείγματος.5. είναι, όπως αναφέραμε: Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση P=2u+4v+6w u+2v+w 7, 3u v+w 5, u 0, v 0, w 0. Ο αρχικός πίνακας είναι: u v w s s 2 P R R +( )R 2 R R R 3 +(6)R 2 σύμφωνα με το κριτήριο μεγιστοποίησης έχουμε: στήλη-οδηγός: w 6 47

20 κεφάλαιο Στοιχείο-οδηγός: (που αντιστοιχεί στο κλάσμα 5 ) Ο δεύτερος πίνακας είναι: u v w s s 2 P R R R Το κριτήριο μεγιστοποίησης ικανοποιείται (maximality test), γιατί η τελευταία γραμμή του πίνακα έχει όλα τα στοιχεία μη αρνητικά. Ερμηνεία του τελικού πίνακα: Η λύση του δυϊκού προβλήματος είναι: w=5, v=0, u=0, P=30. (Η w=5 αντιστοιχεί στη στήλη w που έχει ένα μόνο στοιχείο ίσο με ). Η λύση του αρχικού προβλήματος είναι: x=0, y=6, P=30. Παράδειγμα.5.5 Να λυθεί το παρακάτω πρόβλημα με τη δυϊκή μέθοδο. Να ελαχιστοποιηθεί η αντικειμενική συνάρτηση P=2x+3y+4z 2x+3y+4z 4, 3x+y+z 6, x 0, y 0, z 0. Σχηματίζουμε τον πίνακα Τ, όπως στο παράδειγμα

21 Γραμμικός Προγραμματισμός Ο ανάστροφος πίνακας T είναι: Το δυϊκό πρόβλημα είναι: Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση P=4u+6v 2u+3v 2, 3u+v 3, 4u+v 4, u 0, v 0. Ο αρχικός πίνακας είναι: u v s s 2 s 3 P R R +( 3)R 2 R R R 3 +( )R 2 R R 4 +(6)R 2 Η στήλη-οδηγός είναι η αντιστοιχούσα στο στοιχείο v. Το στοιχείο-οδηγός είναι το που αντιστοιχεί στη γραμμή R 2 και στη στήλη v. Ο δεύτερος πίνακας (ταμπλό) είναι: u v s s 2 s 3 P R R R R Το κριτήριο μεγιστοποίησης ικανοποιείται. Η λύση του αρχικού προβλήματος είναι: 49

22 κεφάλαιο x=0, y=6, z=0, P=8. Η λύση αυτή βρίσκεται στην τελευταία γραμμή του τελευταίου πίνακα του δυϊκού προβλήματος, στις στήλες s, s 2, s 3. Η λύση του δυϊκού προβλήματος είναι: u=, v=3, P=8 Η λύση αυτή βρίσκεται στην τελευταία στήλη του τελευταίου πίνακα του δυϊκού προβλήματος και αντιστοιχεί στη στήλη u η οποία έχει ένα μόνο στοιχείο ίσο με και τα άλλα στοιχεία ίσα με 0, και στη στήλη v η οποία έχει μόνο ένα στοιχείο ίσο με, όμοια με τη στήλη u..5. Λύση προβλήματος παρ..4 με τα πακέτα EXCEL SOLVER και QM for Windows Θεωρούμε το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού της παρ..4: Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση P=3x+2y+z x+z 200 y+2z 400 2x+y 600 x 0, y 0, z 0 Το πρόβλημα αυτό θα λυθεί με τα πακέτα EXCEL SOLVER και QM for Windows. Oι παρακάτω οθόνες 6 και 7 δείχνουν τη λύση με τα δύο πακέτα. Σημείωση: Το πρόσθετο πακέτο του EXCEL: EXCEL QM δεν περιέχει λύση του προβλήματος LP, γιατί το πρόβλημα αυτό λύνεται από το πακέτο EXCEL SOLVER. 50

23 Γραμμικός Προγραμματισμός Οθόνη 6 Λύση του προβλ. παρ..4 με το πακέτο EXCEL SOLVER. Εισαγωγή δεδομένων και αποτελέσματα Οθόνη 7 Λύση του προβλ. παρ..4 με το πακέτο QM for Windows 5

24 κεφάλαιο Πίνακας.6 Προβλήματα Γραμμικού Προγραμματισμού στη Συνήθη Μορφή (Standard Form) Υπενθυμίζουμε ότι ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού (L.P.) είναι στη συνήθη μορφή (standard form), όταν ικανοποιούνται οι τρεις ακόλουθες συνθήκες:. Η αντικειμενική συνάρτηση (objective function) είναι η συνάρτηση που πρέπει να μεγιστοποιηθεί. 2. Οι μεταβλητές x, y, z, w είναι όλες μη αρνητικές, δηλ. είναι όλες μεγαλύτερες ή ίσες από το Οι άλλοι περιορισμοί (constraints) πρέπει να έχουν τη μορφή: (γραμμικό πολυώνυμο) α όπου η σταθερά α είναι μη αρνητική. Η μέθοδος Simplex ακολουθεί τα εξής βήματα για τη λύση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού στη συνήθη μορφή.. Ορισμός του προβλήματος διά μέσου ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων με την εισαγωγή βοηθητικών μεταβλητών (slack variables) στις ανισότητες των περιορισμών (constraints) και με τη διατύπωση της αντικειμενικής συνάρτησης (objective function) σε κατάλληλη μορφή. 2. Κατασκευή του αρχικού πίνακα simplex (initial simplex tableau). 3. Εφαρμογή του κριτηρίου μεγιστοποίησης (maximality test). Αν η βασική εφικτή λύση ικανοποιεί το κριτήριο, το πρόβλημα έχει λυθεί. Αν όχι, μετάβαση στο βήμα 4. 52

25 Γραμμικός Προγραμματισμός 4. Κατασκευή ενός νέου πίνακα simplex, ακολουθώντας την ακόλουθη σειρά ενεργειών: α) εκλογή της στήλης-οδηγού (pivot column), β) εκλογή της γραμμής-οδηγού (pivot row). Η γραμμή-οδηγός είναι η γραμμή που αντιστοιχεί στο μικρότερο μη αρνητικό κλάσμα με αριθμητή το σταθερό όρο που αντιστοιχεί στη γραμμή και παρονομαστή το αντίστοιχο στοιχείο της γραμμής. γ) εκλογή του στοιχείου-οδηγού (pivot entry) και εκτέλεση των στοιχειωδών πράξεων, μετατροπή σε μηδέν των άλλων στοιχείων της στήλης-οδηγού εκτός του στοιχείου-οδηγού. 5. Μετάβαση στο βήμα 3. Συνέχιση των βημάτων 3, 4, 5 μέχρι την εύρεση λύσης που θα ικανοποιεί το κριτήριο μεγιστοποίησης. Παρατήρηση 3 η Είναι δυνατό να βρεθεί η μη ύπαρξη λύσης ενός προβλήματος LP. Αν παρατηρηθούν τα κλάσματα του βήματος 4(b) και όλα τα κλάσματα αυτά είναι αρνητικοί αριθμοί, τότε το πρόβλημα LP δεν έχει λύση. Ένα τέτοιο παράδειγμα προβλήματος Γ.Π. χωρίς λύση είναι το ακόλουθο. Παράδειγμα.6. Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση m=x+2y 3x 2y 8, 3x y 24. Λύση Κατασκευάζουμε τον πρώτο πίνακα SIMPLEX. x y s s 2 m

26 κεφάλαιο Η στήλη-οδηγός είναι η y 2 2 γιατί το 2 είναι ο πιο αρνητικός αριθμός στην τελευταία γραμμή. Για να βρεθεί η γραμμή-οδηγός θεωρούνται τα δύο κλάσματα. Παρατηρούμε ότι τα δύο αυτά κλάσματα είναι αρνητικά. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει αριθμός που είναι στοιχείο-οδηγός. Συνεπώς, δεν υπάρχει λύση στο πρόβλημα. Το ακόλουθο σχήμα δείχνει την περιοχή των εφικτών λύσεων (graph of the feasible solutions). Η αντικειμενική συνάρτηση m=x+2y μπορεί να γίνει όσο μεγάλη είναι επιθυμητό, με την εκλογή όσο μεγαλύτερων τιμών των x και y είναι επιθυμητό. Συνεπώς, η αντικειμενική συνάρτηση δεν έχει μέγιστη τιμή. 54

27 Γραμμικός Προγραμματισμός ιάγραμμα.6. ιάφορες τιμές της συνάρτησης m=x+2y. εν υπάρχει μέγιστη τιμή της συνάρτησης m=x+2y.7 Προβλήματα Γραμμικού Προγραμματισμού υπό μη Συνήθη Μορφή Τα προβλήματα LP υπό μη συνήθη μορφή είναι δύο ειδών:. Ελαχιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης υπό περιορισμούς της μορφής: (γραμμικό πολυώνυμο) α, όπου (α) είναι μη αρνητικός αριθμός και όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές. 2. Μεγιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης, υπό μερικούς από τους περιορισμούς της μορφής (γραμμικό πολυώνυμο) α, όπου (α) είναι μη αρνητικός αριθμός και, υπό μερικούς από τους περιορισμούς της μορφής (γραμμικό πολυώνυμο) α, όπου (α) είναι μη αρνητικός αριθμός. 55

28 κεφάλαιο Για την η ομάδα προβλημάτων ισχύει η εξής πρόταση, η οποία μας οδηγεί στη λύση τους: Πρόταση Ας θεωρήσουμε ότι S είναι ένα πεπερασμένο σύνολο αριθμών και S είναι το σύνολο όλων των αρνητικών αριθμών που αντιστοιχούν σε όλους τους αριθμούς του συνόλου S. Αν p είναι ο μικρότερος αριθμός στο σύνολο S, τότε p είναι ο μεγαλύτερος αριθμός στο σύνολο S. Αυτό ισχύει διότι: p x για κάθε x S συνεπάγεται: p x για κάθε x S Το συμπέρασμα αυτό συνεπάγεται ότι, αν το πρόβλημα είναι η ελαχιστοποίηση της P, μπορούμε να λύσουμε το αντίστοιχο πρόβλημα που μεγιστοποιεί την P. Παράδειγμα.7. Να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση P=5x+7y x+5y 0, x+3y 2, x 0, y 0. Το πρόβλημα μπορεί να μετασχηματισθεί στο εξής: Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση P= 5x 7y x+5y 0, x+3y 2, x 0, y 0. Η βέλτιστη λύση του μετασχηματισμένου προβλήματος είναι ταυτόχρονα η βέλτιστη λύση του αρχικού προβλήματος: Παράδειγμα.7.2 Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση P=x 4y 56

29 Γραμμικός Προγραμματισμός x+2y 40, x 3y 20, x 0, y 0. Χρησιμοποιούμε τις βοηθητικές μεταβλητές s και s 2 για να μετασχηματίσουμε τις ανισότητες σε ισότητες. Έχουμε: Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση P= x 4y x+2y+s =40, x 3y s 2 =20 ή x+3y+ +s 2 = 20 Ο πίνακας SIMPLEX είναι x y s s 2 P R R +R 2 R ( )R 2 R R 3 +R 2 Το πρόβλημα είναι να εξαλειφθεί ο αρνητικός αριθμός 20 στην τελευταία στήλη. Λύση Προσπαθούμε να βρούμε έναν αρνητικό αριθμό στην ίδια γραμμή στην οποία βρίσκεται ο αρνητικός αριθμός της τελευταίας στήλης. Η πρώτη στήλη έχει έναν αρνητικός αριθμό στην ίδια γραμμή στην οποία βρίσκεται ο αρνητικός αριθμός της τελευταίας στήλης. Εκλέγουμε την πρώτη στήλη σαν στήλη-οδηγό. Τα αντίστοιχα κλάσματα είναι: Το μικρότερο θετικό κλάσμα είναι το. Συνεπώς, εκλέγουμε τον αριθμό σαν στοιχείο-οδηγό. Ο πίνακας γίνεται μετά την εκτέλεση των πράξεων: 57

30 κεφάλαιο R +R 2, ( R 2 ), R 3 +R 2. x y s s 2 P R R R Όλοι οι αριθμοί της τελευταίας στήλης (εκτός του τελευταίου) είναι θετικοί. (Είναι δυνατό να επαναληφθεί η παραπάνω διαδικασία δύο φορές, για να επιτευχθεί να μετασχηματισθεί η τελευταία στήλη σε στήλη με όλους τους αριθμούς, εκτός του τελευταίου, θετικούς). Παρατήρηση 4 η Τα βήματα της μεθόδου Simplex για τη λύση προβλημάτων LP σε μη συνήθη μορφή είναι τα εξής:. Αν το πρόβλημα είναι να ελαχιστοποιηθεί η αντικειμενική συνάρτηση P, τότε το πρόβλημα μετασχηματίζεται στα εξής: Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση P. 2. Αν κάποιος περιορισμός είναι της μορφής: (γραμμικό πολυώνυμο) α, πολλαπλασιάζεται ο περιορισμός επί ( ), για να λάβει τη μορφή (γραμμικό πολυώνυμο) α. Τότε κατασκευάζεται ο πρώτος πίνακας Simplex. 3. Αν δεν εμφανίζεται αρνητικός αριθμός στην τελική στήλη (εκτός της τελευταίας θέσης), ακολουθεί ο αλγόριθμος της λύσης το βήμα Αν ένας αρνητικός αριθμός εμφανίζεται στην τελευταία στήλη (εκτός της τελευταίας θέσης), μετασχηματίζεται σε θετικό αριθμό με τα εξής βήματα: α) Εκλέγεται ένας αρνητικός αριθμός στην ίδια γραμμή όπως ο αρνητικός αριθμός στην τελευταία στήλη. Η στήλη του αρνητικού αριθμού γίνεται η στήλη-οδηγός. β) Υπολογίζονται όλα τα κλάσματα, περιλαμβανόμενων και εκείνων που αντιστοιχούν σε αρνητικούς αριθμούς στη στήλη-οδηγό. Η γραμμήοδηγός είναι η γραμμή με το μικρότερο κλάσμα. γ) Εκτελούνται οι στοιχειώδεις πράξεις μετασχηματισμού του πίνακα simplex με βάση το στοιχείο-οδηγό. 58

31 Γραμμικός Προγραμματισμός 5. Ακολουθεί ο αλγόριθμος της λύσης το βήμα Τώρα ο πίνακας simplex είναι στη συνήθη μορφή. Συνεπώς, μπορεί να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος simplex για τα προβλήματα στη συνήθη μορφή, για να λυθεί το πρόβλημα. Παράδειγμα.7.3 Να ελαχιστοποιηθεί P=x+y 2x y 30, x+y 50. Λύση Το πρόβλημα μετασχηματίζεται ως εξής: Να μεγιστοποιηθεί P= x y 2x+y 30, x y 50. Ο πρώτος πίνακας είναι ο εξής: x y s s 2 P R R +R 2 R ( )R R R 3 +R 2 Υπάρχουν 2 αρνητικοί αριθμοί στην τελευταία στήλη. Εκλέγουμε τον αριθμό 50. Η στήλη-οδηγός είναι η αντίστοιχη στη μεταβλητή y. Τα δύο κλάσματα είναι: 30 = 30 και 50 = 50. Επειδή ο αριθμός 50 είναι ο μόνος θετικός, το στοιχείο-οδηγός είναι το. Ο δεύτερος πίνακας είναι: 59

32 κεφάλαιο x y s s 2 P R ( ). R R R 2 R R R 3 +2(R ) Εκλέγουμε τη στήλη-οδηγό την Τα κλάσματα είναι: x 2 Το θετικό κλάσμα είναι το 80. Συνεπώς, το στοιχείο-οδηγός είναι το ( ) στην πρώτη γραμμή. Ο τρίτος πίνακας είναι ο εξής: x y s s 2 P Το κριτήριο μεγιστοποίησης ικανοποιείται. Συνεπώς, η βέλτιστη λύση είναι: x=80, y=30 Η τιμή της αντικ. συνάρτησης είναι P= 20. Συνεπώς, οι τιμές x=80, y=30 είναι οι τιμές που ελαχιστοποιούν την P..7. Ασκήσεις Ι, Κεφαλαίων και 2 Άσκηση. Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση P=5x +0x 2, 2x +x 2 0, x +3x 2 0, x,x

33 Γραμμικός Προγραμματισμός Άσκηση.2 Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση P=3x +2x 2, 5x +2x 2 20, 3x +2x 2 6, x 0, x 2 0. Άσκηση.3 Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση P=2x +3x 2 : 2x +x 2 2, x +x 2 5, 0 x 2 6, x 0, x 2 0. Άσκηση.4 Να λυθεί το ακόλουθο πρόβλημα και το δυϊκό του. Να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση m=4x+2y 5x+y 5, 5x+3y 0, x 0, y 0. Άσκηση.5 Να λυθεί το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού και το δυϊκό του. Να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση P=40x+30y x+y, 3x+y 3, 2x+y 2, x 0, y 0. 6

34 κεφάλαιο Άσκηση.6 Να λυθεί το ακόλουθο πρόβλημα με τη γεωμετρική μέθοδο. Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση P=50x +80x 2 x +2x 2 32, 3x +4x 2 84, x 0, x Ασκήσεις II, Κεφαλαίων και 2.8. Η Γεωμετρική προσέγγιση λύσης Άσκηση Να βρεθεί, αν τα ζεύγη (x,y) ικανοποιούν τη δεδομένη ανισότητα. α) x+y>4, (,2), (2,2) β) x+7y 8, (,), (0,0) Άσκηση 2 Να βρεθεί, αν τα ζεύγη (x,y) βρίσκονται στην υπεράνω περιοχή, στην κάτω περιοχή ή επί της δεδομένης γραμμής που παριστάνεται με την εξίσωση: α) x+y=4, (0,0), (,7) β) x 3y=, (, ), (, ) Άσκηση 3 Να γίνει το γράφημα της δεδομένης ανισότητας με τη σκίαση εκείνων των σημείων που ικανοποιούν την ανισότητα. α) 2x+3y 2, β) x+3y> 6, γ) 4x+3y 2. Άσκηση 4 Να γίνει το γράφημα του συστήματος των γραμμικών ανισοτήτων α) 2x+y 4, β) 2x+y 6, x+y<5, x+y 4, x 0, y 0, x 0, y 0. 62

35 Γραμμικός Προγραμματισμός γ) 4x+y 8, δ) x+y 0, x+y 5, x+2y 2, 6x+y 6, 2x+y 2, x 0, y 0, x 0, y 0. Άσκηση 5 Ένας διαιτολόγος του νοσοκομείου Χ προετοιμάζει ένα γεύμα που αποτελείται από κρέας και ρύζι. Το γεύμα πρέπει να περιέχει τουλάχιστον 45 γραμμάρια (g) πρωτεΐνης και τουλάχιστον 5 μικρογραμμάρια (mg) σιδήρου. Κάθε μερίδα κρέατος περιέχει 45g πρωτεΐνης και 9mg σιδήρου. Κάθε μερίδα ρυζιού περιέχει 9g πρωτεΐνης και 6mg σιδήρου. Να εκφρασθεί το πρόβλημα σαν ένα σύστημα ανισοτήτων και να βρεθεί γραφικά η λύση του. Άσκηση 6 Ένα εργοστάσιο κατασκευάζει μικρές και μεγάλες συσκευές προετοιμασίας τοστ (τοστιέρες). Το κόστος κάθε μικρής τοστιέρας είναι 20 ευρώ και το κόστος κάθε μεγάλης τοστιέρας είναι 40 ευρώ. Το εργοστάσιο δεν μπορεί να κατασκευάσει περισσότερες από 00 τοστιέρες και ο διευθυντής του εργοστασίου έχει στη διάθεσή του για την κατασκευή αυτή το πολύ 2400 ευρώ. Να εκφρασθεί το πρόβλημα σαν ένα σύστημα ανισοτήτων και να βρεθεί γραφικά η λύση του. Άσκηση 7: Πρόβλημα μεταφοράς ύο τύποι πλοίων, πλοία μεταφοράς εμπορευμάτων και πλοία μεταφοράς containers, ναυλώνονται από μια μεγάλη εταιρεία για τις εξαγωγές των εμπορευμάτων της. Το σύνολο των διαθέσιμων πλοίων είναι 00. Κάθε πλοίο μεταφοράς εμπορευμάτων χρειάζεται 30 ναύτες και κάθε πλοίο μεταφοράς containers χρειάζεται 0 ναύτες. Το σύνολο των διαθέσιμων ναυτών είναι Να εκφρασθεί ο κάθε περιορισμός σαν μια ανισότητα. Να βρεθεί γραφικά η λύση του προβλήματος. Άσκηση 8: Πρόβλημα μεταφοράς Ένα μικρό εργοστάσιο ποδηλάτων έχει ένα πρατήριο λιανικής πώλησης και επιπρόσθετα πωλεί μια ποσότητα ποδηλάτων σε μια μεγάλη αλυσίδα καταστημάτων. Ένα φορτηγό εκτελεί τις παραγγελίες και απαιτούνται 3 ώρες, για να κάνει το ταξίδι με επιστροφή στο πρατήριο λιανικής πώλησης, 63

36 κεφάλαιο και 4 ώρες, για να κάνει το ταξίδι με επιστροφή στην αποθήκη της αλυσίδας καταστημάτων. Το κόστος του ταξιδιού με επιστροφή στο πρατήριο λιανικής πώλησης είναι 00 ευρώ και το κόστος του ταξιδιού με επιστροφή στην αποθήκη της αλυσίδας καταστημάτων είναι 200 ευρώ. Το κέρδος από κάθε πλήρες φορτίο του φορτηγού που πωλείται διά μέσου του πρατηρίου είναι 500 ευρώ και το κέρδος από κάθε πλήρες φορτίο του φορτηγού που πωλείται διά μέσου της αλυσίδας καταστημάτων είναι 800 ευρώ. Πόσες παραδόσεις πλήρων φορτίων μπορούν να προγραμματισθούν κάθε εβδομάδα σε κάθε κατάστημα, για να μεγιστοποιήσουν το κέρδος του εργοστασίου, αν το φορτηγό εργάζεται το πολύ 48 ώρες την εβδομάδα και το κόστος μεταφοράς μπορεί να φθάσει το πολύ 2000 ευρώ. Άσκηση 9: Πρόβλημα LP υπό μη συνήθη μορφή Ένα μικρό διυλιστήριο παράγει το πολύ lt πετρελαίου καύσης την ημέρα. ύο τύποι πετρελαίου παράγονται, πετρέλαιο καύσης για το εμπόριο (Ι) και πετρέλαιο καύσης για σπίτια (ΙΙ). Οι συνθήκες της παραγωγής είναι ότι ο αριθμός των lt του πετρελαίου (Ι) είναι τουλάχιστον 3 φορές ο αριθμός των lt του πετρελαίου (ΙΙ). Αν το κέρδος του διυλιστηρίου για κάθε lt πετρελαίου (Ι) είναι 0,34 ευρώ και για κάθε lt πετρελαίου (ΙΙ) είναι 0,22 ευρώ, να βρεθεί πόσα lt από κάθε τύπο πετρελαίου πρέπει να παραχθούν κάθε ημέρα για να μεγιστοποιήσουν το κέρδος. Άσκηση 0 Να μεγιστοποιηθεί η αντικειμενική συνάρτηση z=4x+0y x+4y 2, x+3y 0, x 0, y 0. Να βρεθεί το γράφημα του συνόλου των εφικτών λύσεων, τα σημεία (x,y) των κορυφών του πολυγώνου και το σημείο της κορυφής που δίνει τη βέλτιστη λύση. 64

37 Γραμμικός Προγραμματισμός Να βρεθεί η γεωμετρική λύση των ασκήσεων και 2. Άσκηση Να ελαχιστοποιηθεί η αντικειμενική συνάρτηση z=20x+8y x+6y 8, 2x+3y 2, x 0, y 0. Άσκηση 2 Να ελαχιστοποιηθεί η αντικειμενική συνάρτηση z=20x+8y 2x+3y 0, 4x+7y 28, x 0, y 0. Άσκηση 3: Πρόβλημα παραγωγής εργοστασίου Ένα εργοστάσιο παράγει πολύφωτα με επίστρωση χρυσόσκονης (Ι) και με επίστρωση ασημόσκονης (ΙΙ). Ένα πολύφωτο τύπου (Ι) χρειάζεται, για την κατασκευή του, 2 ώρες επίστρωσης, ώρα για εργασίες περάτωσης κατασκευής και 3 ώρες συναρμολόγησης. Ένα πολύφωτο τύπου (ΙΙ) χρειάζεται, για την κατασκευή του, 2 ώρες επίστρωσης, 2 ώρες περάτωσης κατασκευής και ½ ώρες συναρμολόγησης. Το τμήμα επίστρωσης μπορεί να εργάζεται 200 ώρες, το τμήμα περάτωσης κατασκευής μπορεί να εργάζεται 20 ώρες και το τμήμα συναρμολόγησης μπορεί να εργάζεται 80 ώρες. Αν το κέρδος κάθε πολύφωτου τύπου (Ι) είναι 50 ευρώ και το κέρδος ενός πολύφωτου τύπου (ΙΙ) είναι 30 ευρώ, να βρεθεί η ποσότητα κάθε τύπου πολύφωτου που πρέπει να κατασκευασθεί, για να μεγιστοποιηθεί το κέρδος του εργοστασίου. Άσκηση 4 Ο οργανισμός μπάσκετ των Ηνωμένων Πολιτειών Αμερικής αποτελείται από δύο κατηγορίες ομάδων που η κάθε μία έχει 7 ομάδες μπάσκετ. Υποθέτουμε ότι κάθε ομάδα παίζει με κάθε άλλη ομάδα στην κατηγορία που ανήκει (x) φορές και με κάθε ομάδα στην άλλη κατηγορία (y) φορές. Ισχύει η σχέση 6x+7y=62 65

38 κεφάλαιο Επίσης, ισχύουν οι ακόλουθοι δύο περιορισμοί λόγω της νομοθεσίας του αμερικανικού μπάσκετ: x>y y 4. α) Να βρεθεί η περιοχή των εφικτών λύσεων των δύο ανισοτήτων. β) Να βρεθούν τα δύο ζεύγη των ακέραιων αριθμών στην περιοχή των εφικτών λύσεων που ικανοποιούν τη σχέση 6x+6y=62. γ) Γιατί ο Αμερικανικός Οργανισμός μπάσκετ προτιμά τη μία λύση περισσότερο από την άλλη; Αιτιολογήστε την άποψή σας. Άσκηση 5: Πρόβλημα μεταφοράς τουριστών Μία αλυσίδα τουριστικών γραφείων πούλησε 2500 εισιτήρια για την παγκόσμια έκθεση αυτοκινήτων. Το πακέτο ταξιδιού του Σαββατοκύριακου περιλαμβάνει το αεροπορικό εισιτήριο και υπάρχει η δυνατότητα εκλογής ενός από δύο τύπους αεροπλάνων για τις πτήσεις charter. Ο τύπος Ι αεροπλάνου μπορεί να μεταφέρει 50 επιβάτες και ο τύπος ΙΙ αεροπλάνου μπορεί να μεταφέρει 200 επιβάτες. Κάθε πτήση του αεροπλάνου τύπου Ι κοστίζει 2,000 ευρώ και κάθε πτήση του αεροπλάνου τύπου ΙΙ κοστίζει 5,000 ευρώ. Η αλυσίδα των τουριστικών γραφείων δεν μπορεί να ενοικιάσει περισσότερα από 5 αεροπλάνα. Πόσα αεροπλάνα από τον κάθε τύπο μπορούν να ενοικιασθούν για να ελαχιστοποιήσουν το κόστος; Άσκηση 6: ιοίκηση ξενοδοχειακών μονάδων Οι οργανωτές ενός συνεδρίου πρέπει να εξασφαλίσουν διαμονή για τουλάχιστον 600 συνέδρους. Έχουν 2 τύπους δωματίων διαθέσιμους, δωμάτια πανσιόν με τρία κρεβάτια και δωμάτια ξενοδοχείου με δύο κρεβάτια. Για την προσφορά φαγητού έχουν υπολογίσει να διαθέσουν 20 ευρώ καθημερινά για κάθε ένα σύνεδρο που διαμένει σε πανσιόν και 40 ευρώ καθημερινά για κάθε ένα σύνεδρο που διαμένει σε ξενοδοχείο. Οι οργανωτές δεν πρέπει να ξοδέψουν περισσότερο από ευρώ για διατροφή κάθε ημέρα. Αν το καθημερινό κόστος για ένα δωμάτιο πανσιόν είναι 40 ευρώ και 60 ευρώ για ένα δωμάτιο ξενοδοχείου, πόσα δωμάτια από κάθε τύπο διαμονής πρέπει οι οργανωτές να εξασφαλίσουν για τους συνέδρους για να ελαχιστοποιήσουν το κόστος; 66

39 Γραμμικός Προγραμματισμός Άσκηση 7 Να βρεθεί η περιοχή των εφικτών λύσεων, τα σημεία των κορυφών και το σημείο που μεγιστοποιεί τη συνάρτηση z=4x+5y 2x+3y 2, 3x+y, x 0, y 0. Άσκηση 8 Να προστεθούν βοηθητικές μεταβλητές στις ακόλουθες ανισότητες για να τις μετατρέψουν σε εξισώσεις: α) x+2y 4, β) x y+z 8, x y 5, x+y z 2. Άσκηση 9 Να βρεθεί αν τα παρακάτω προβλήματα LP είναι σε συνήθη μορφή: α) Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση z=3x+4y x+y 5, 2x y 6, x 0, y 0. β) Να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση z=3x+5y 2x+3y 0, x+2y 5, x 0, y 0. γ) Να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση z=5x y x+3y 0, 3x+y 8, x 0, y 0. 67

40 κεφάλαιο Άσκηση 20 Στα ακόλουθα προβλήματα LP να βρεθεί ο πρώτος πίνακας Simplex. Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση z=3x+4y : α) x+2y 0, 3x+y 8, x 0, y 0. β) Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση z=x+5y 3x+8y, 4x 5y 4, 2x+7y 6, x 0, y 0. Στις ασκήσεις 2 και 22 να βρεθούν οι βασικές μεταβλητές, οι μη βασικές μεταβλητές και η βασική εφικτή λύση που αντιστοιχεί στον πίνακα simplex. Άσκηση 2 Άσκηση 22 x y s s 2 m x y z s s 2 s 3 m Στις ασκήσεις 23 και 24 να βρεθεί το αρχικό πρόβλημα LP (χωρίς τις βοηθητικές μεταβλητές) με την υπόθεση ότι ο πίνακας είναι ο πρώτος της μεθόδου Simplex. 68

41 Γραμμικός Προγραμματισμός Άσκηση 23 Άσκηση Στα προβλήματα 25, 26 και 27 να βρεθεί το στοιχείο οδηγός και να εκτελεσθούν οι στοιχειώδεις πράξεις, για να κατασκευασθεί ο δεύτερος πίνακας simplex. Άσκηση 25 Άσκηση 26 Άσκηση 27 x y s s 2 P x y s s 2 P x y z s s 2 s 3 P

42 κεφάλαιο Να λυθούν τα προβλήματα 28, 29, 30, 3 με τη μέθοδο Simplex. Άσκηση 28 Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση P=x+2y+3z x+2y+z 40, x+y+z 30, x 0, y 0, z 0. Άσκηση 29 Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση P=3x+4y+2z x+5y+3z 5, x+2y+2z 20, x 0, y 0, z 0. Άσκηση 30 Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση P=x+3y+4z x+3y 300 x+ +z 50 x+2y+ z 200. Άσκηση 3 Μια αεροπορική εταιρεία προσφέρει έκπτωση στα εισιτήρια πρώτης θέσης στους επιβάτες οι οποίοι δε φέρουν αποσκευές. Το εισιτήριο με έκπτωση λέγεται «εκτελεστικό» εισιτήριο. Το αεροπλάνο για το οποίο προσφέρεται το «εκτελεστικό» εισιτήριο έχει 90 θέσεις. Η τιμή του εισιτηρίου πρώτης θέσης είναι 30 ευρώ, η τιμή του «εκτελεστικού» εισιτηρίου είναι 270 ευρώ και η τιμή του εισιτηρίου οικονομικής θέσης είναι 40 ευρώ. Το κόστος της εταιρείας για ένα εισιτήριο πρώτης θέσης είναι 50 ευρώ, για ένα «εκτελεστικό» εισιτήριο είναι 50 ευρώ και για ένα εισιτήριο οικονομικής θέσης είναι 50 ευρώ. Η αεροπορική εταιρεία πρέπει να έχει διαθέσιμες 0 κυβικές παλάμες (0 dm 3 ) αποθηκευτικών χώρων για κάθε επιβάτη πρώτης 70

43 Γραμμικός Προγραμματισμός θέσης και 5 κυβικές παλάμες (5 dm 3 ) για κάθε επιβάτη οικονομικής θέσης. Αποφασίσθηκε ότι το κόστος κάθε πτήσης δε θα υπερβαίνει τα 22,500 ευρώ και οι αποθηκευτικοί χώροι δεν μπορούν να υπερβαίνουν τις 350 κυβικές παλάμες (350 dm 3 ). Πόσα εισιτήρια κάθε είδους πρέπει να πουληθούν για να μεγιστοποιήσουν το κέρδος; Άσκηση 32: Πρόβλημα ανάθεσης αρμοδιοτήτων (Προγραμματισμού εργασιών) Το ιατρικό τμήμα του ήμου μιας πρωτεύουσας Ευρωπαϊκού Κράτους θέλει να διαθέσει τις υπηρεσίες των αυτοκινήτων πρώτων βοηθειών αποτελεσματικά. Για το σκοπό αυτό χώρισε την πόλη σε ζώνες και η καθεμία από αυτές εξυπηρετείται από ένα κεντρικό σημείο στάθμευσης των αυτοκινήτων πρώτων βοηθειών (Ελληνικό Σύστημα ΕΚΑΒ). Υπάρχουν 3 τύποι αυτοκινήτων πρώτων βοηθειών. Ο πρώτος τύπος καλύπτει 2 ζώνες. Ο δεύτερος τύπος καλύπτει 3 ζώνες και ο τρίτος τύπος καλύπτει 4 ζώνες. Ο συνολικός αριθμός των αυτοκινήτων πρώτων βοηθειών είναι 72. Ο μέσος χρόνος αντίδρασης σε ένα περιστατικό είναι 5 λεπτά για τον πρώτο τύπο αυτοκινήτων, 7 λεπτά για το δεύτερο τύπο αυτοκινήτων και 0 λεπτά για τον τρίτο τύπο αυτοκινήτων. Ο συνολικός χρόνος αντίδρασης δεν πρέπει να είναι μεγαλύτερος από 800 λεπτά. Να βρεθεί ο αριθμός κάθε τύπου αυτοκινήτων πρώτων βοηθειών που απαιτείται, για να μεγιστοποιήσει τον αριθμό των ζωνών της πόλης που καλύπτονται. Άσκηση 33: Πρόβλημα προγραμματισμού ποσού πληρωμών δανείων Μια τράπεζα γεωργικών συνεταιρισμών (αντίστοιχη προς την Αγροτική Τράπεζα) παρέχει δάνειο που πρέπει να αποπληρωθεί σε τρεις δόσεις πληρωμών P, P 2 και P 3. Το άθροισμα των 3 πληρωμών δεν πρέπει να είναι μεγαλύτερο από ευρώ. Το μεταβλητό επιτόκιο είναι 9% στην πρώτη πληρωμή, 8% στη δεύτερη πληρωμή και 6% στην τρίτη πληρωμή. Ο συνολικός τόκος δεν πρέπει να υπερβαίνει τα ευρώ. Η πρώτη πληρωμή δεν πρέπει να είναι μεγαλύτερη από ευρώ. Η παρούσα αξία τού δανείου είναι P=0,9 P +0,8 P 2 +0,7 P 3. Να βρεθεί το ποσό της κάθε πληρωμής, για να μεγιστοποιηθεί η παρούσα αξία του δανείου. 7

44 κεφάλαιο Άσκηση 34 Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση m=4x+5y 2x+3y 2, 3x+y, x 0, y 0. Άσκηση 35: Πρόβλημα ανάθεσης εργασιών (Assignment problem) Μια εταιρεία συμβούλων πολεοδομίας και πωλήσεων έχει τρεις τύπους συμβουλευτικών ομάδων, για να αναλαμβάνουν διαφορετικά είδη εργασιών. Ο τύπος Ι αποτελείται από μηχανικό, αρχιτέκτονα και 3 συμβούλους πωλήσεων. Ο τύπος ΙΙ αποτελείται από 3 μηχανικούς, αρχιτέκτονα και 3 συμβούλους πωλήσεων. Ο τύπος ΙΙΙ αποτελείται από 4 μηχανικούς, 2 αρχιτέκτονες και 2 συμβούλους πωλήσεων. Υπάρχουν διαθέσιμοι 00 μηχανικοί, 40 αρχιτέκτονες και 00 σύμβουλοι πωλήσεων για να γίνουν μέλη των ομάδων. Αν η μέση εβδομαδιαία αμοιβή κάθε ομάδας είναι ευρώ για την ομάδα Ι, ευρώ για την ομάδα ΙΙ και ευρώ για την ομάδα ΙΙΙ, πόσες ομάδες από κάθε τύπο πρέπει να σχηματισθούν, για να μεγιστοποιήσουν το κέρδος της εταιρείας..8.2 Προβλήματα υπό μη συνήθη μορφή Άσκηση 36 Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση P= x+3y 5x+2y 00 y 0 x 0. Άσκηση 37 Να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση P=2x 4y 2x+6y 8, 2x+3y 6. 72

45 Γραμμικός Προγραμματισμός Άσκηση 38 Να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση P=x+z x+2y 8, x z 4, y +4z 4. Άσκηση 39 Μια μεγάλη εταιρεία διύλισης πετρελαίου εξάγει από το αργό πετρέλαιο διάφορα ορυκτά, όπως σίδηρο, προκειμένου το πετρέλαιο να χρησιμοποιηθεί για βιομηχανικούς και οικιακούς σκοπούς. Σε ένα τμήμα του διυλιστηρίου υπάρχουν 3 δεξαμενές. Ο συνολικός όγκος του αργού πετρελαίου που περνά από τις τρεις δεξαμενές δεν είναι περισσότερος από 5 εκατομμύρια λίτρα. Από τη δεξαμενή 3 δεν περνά περισσότερο από εκατομμύριο λίτρα αργού. Ένας από τους κύριους στόχους της διαδικασίας διύλισης είναι η εξαγωγή ορυκτού σιδήρου από το αργό πετρέλαιο. Από κάθε λίτρο πετρελαίου εξάγεται η εξής ποσότητα σιδήρου: στη δεξαμενή εξάγεται 0,2gr, στη δεξαμενή 2 εξάγεται 0,5gr, στη δεξαμενή 3 εξάγεται 0,gr. Πρέπει να εξαχθούν τουλάχιστον,5 εκατομμύρια gr σιδήρου. Το κόστος εξαγωγής σιδήρου από κάθε λίτρο αργού είναι 0,0 ευρώ για τη δεξαμενή, 0,5 ευρώ για τη δεξαμενή 2 και 0,20 ευρώ για τη δεξαμενή 3. Να βρεθεί ο αριθμός των λίτρων αργού πετρελαίου που πρέπει να περάσει από κάθε δεξαμενή, για να ελαχιστοποιηθεί το κόστος..8.3 Το δυϊκό πρόβλημα του Γραμμικού Προγραμματισμού Στις παρακάτω ασκήσεις να γραφούν τα προβλήματα LP με χρήση πινάκων. Υποθέτουμε ότι ισχύει x 0, y 0 και z 0. Άσκηση 40 Να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση P=4x+2y 3x+2y 4, 4x 5y 9. 73

46 κεφάλαιο Άσκηση 4 Να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση P=2x+4y 3x+5y 8, x+3y 4, 2x 6y 7. Άσκηση 42 Να βρεθούν οι ανάστροφοι πίνακες των παρακάτω πινάκων: α) β) γ) δ) ε) στ) z=[3 0 6] Άσκηση 43 Να γραφεί το δυϊκό πρόβλημα του προβλήματος της άσκησης 40. Άσκηση 44 Να γραφεί το δυϊκό πρόβλημα του προβλήματος της άσκησης 4. Στις παρακάτω ασκήσεις, 45, 46, 47, 48, 49 και 50, να λυθεί κάθε πρόβλημα LP με το μετασχηματισμό στο δυϊκό του πρόβλημα. Υποθέτουμε ότι x 0, y 0, z 0 και w 0. Άσκηση 45 Να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση P=x+2y 2x+y 0, 3x+y 2. 74

47 Γραμμικός Προγραμματισμός Άσκηση 46 Να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση P=4x+3y x+2y, x+y 0. Άσκηση 47 Να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση P=x+2y+z 3x+2y+z 2, x+z 8, 2x+5z 0. Άσκηση 48 Να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση P=3x+4y+2z+3w x+y+w 8, 2x+z 7, y+z+w 9, 2x+y+2w 6. Άσκηση 49 Να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση P=x+2y+z 3x+2y+z 2, x+z 8. Άσκηση 50 Να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση P=9x+2y x+3y 6 x+y 2. 75

48 κεφάλαιο Άσκηση 5 α) Να γραφεί το ακόλουθο πρόβλημα LP με τη χρήση πινάκων. β) Να γραφεί η αντικειμενική συνάρτηση και οι περιορισμοί του δυϊκού προβλήματος του ερωτήματος (a). Να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση P=2x+3y+4z+t x 2y+z+t 6, 3x+3y z+2t 2, 4x y+4t 5, x 0, y 0, z 0, t 0. 76