M.H.Yaqubov, M.A.Nəcəfov Ekstremum məsələləri. Bakı:

Transcript

1 Eli redtoru:professor K.Q.Həsəov Rəçilər:fii-riit elləri dotoru,professor H.F.Quliev ı Dövlət Uiversiteti Fii-riit elləri iədi,doset Ş.Ş.Yusubov ı Dövlət Uiversiteti M.H.Yqubov, M.A.Nəcəfov Estreu əsələləri. ı: Vəsit üutəhsil ətəblərii şgirdləri və riit üəlliləri, riit itissı verə li ətəbləri tələbələri üçü əərdə tutulub, od hə də olipid hırlıq ərhələləridə istifdə olu bilər.

2 Müəlliflərdə Diferesil hesbıı tətbiq etədə estreu əsələlərii həlliə həsr oluuş Msiu və iiu əsələləri ( ı, Çşıoğlu, 999) dlı vəsiti əşridə eçə vtd idiə qədər hə li ətəb üıllilərii, hə də üutəhsil ətblərii üəllilərii ürciətidə dı olub i, vəsitə böü rq vr. Mürciətlərdə üsusuilə ru oluurdu i, diferesil hesbı tətbiq olud həll olu əsələləri sı rtırılsi və diferesil hesbıı öəi ilə həll edilə əsələlər də əlvə edilsi. Həi rulrı əərə lrq bu itbd diferesil hesbı tətbiq edilədə həll olu əsələləri və, çlışlrı sı rtırılıb,diferesil hesbıı tətbiqiə id əsələlər əlvə edilib. Məludur i, diferesil hesbı tətbiqi ilə həll olu əsələlər üç qrup bölüür: şərtsi estreu əsələləri, bərbərli tipli əhduduət şərtləri ol əsələlər(şərti estreu əsələsi və Lqrj əsələsi), bərbərli və bərbərsili tipli şərtlər ol əsələlər. Mütəəssislərlə əsləhətləşələrdə sor belə qərr gəldi i, itbd üutəhsil ətəblərii urı siif şgirdlərii də bş düşə biləcələri şəildə şərti estreu əsələləri verilsi. u əqsədlə uğu böləi əvvəlidə şərti estreu əsələsii üui qouluşu verilir, Lqrj fusisı dil edilir və ii sərbəst dəişə hlıd şərti stsior öqtədə siu və iiuu olsı hqqıd fi şərt verilir. ir dh qed ediri i, diferesil hesbıı tətbiq etədə həll edilə əsələləri, deə olr i, hısıı diferesil hesbıı öəi ilə həll etə olr. Acq, əss

3 əqsəd bud ibrətdir i, bu əsələləri üutəhsil ətəblərii şğı siif şgirdləri də, əi fusiı törəəsi lışı eçiləə qədər, həll edə bilsi. Müəlliflər rı-rı əsələləri həllərii dh lşıqlı olsı üçü verdiləri əsləhətlərə görə itbı eli redtoru professor K.Q.Həsəov, rəçiləri professor H.F.Qulievə və doset Ş.Ş.Yusubov iətdrlıqlrıı bildirir.

4 Sdə ühiələrlə həll olu əsələlər əi əsələ və isllrd ə böü və ə içi qiəti tpılsı eleetr ühiələrdə həll oluur. urd belə əsələlərdə bəiləri həll edilir.. Veriliş > ədədii elə ii hissəə bölü i, birici hissəi vdrtı ilə iicii ii islii cəi ə içi olsu. Hissələrdə birii ilə işrə etsə, digəri olr və deəli, i elə seçə lıdır i, cəi ə içi olsu. Adıdır i, urd görüür i, cəi ə içi olsı üçü ollıdır. Qed. Göstəri i, birici hissə cəi ə içi qiəti olur. olduqd d. Uuluğu ol əftili ii hissəə elə bölü i, bu hissələrdə düələ vdrtlrı shələri cəi ə içi olsu. irici hissəi uuliğu olrs, digərii uuluuğu, düəldilə vdrtlrı shələri cəi ( - ) olr, li, olduğud, lırıq i, olduqd, əi əftili ii bərbər hissəə böldüdə düəldilə vdrtlrı shələri cəi ə içi olr. 4

5 . fusisıı o, olduqd ə böü və ə içi qiətii tpı. Fusiı cos şəlidə sq, dıdır 4 i,ə böü qiəti cos olduqd lır. cos olduğud və, olduğud lırıq i, veriliş fusiı ə böü qiəti, ( ). 4 Fusiı ə içi qiətii isə, prçsıı uc öqtələridə olduğu qiətlər içərisidə trq lıdır., olduğud, fusiı, prçsıd ə işi qiəti fusisıı, 4. = prçsıd ə böü və ə işi qiətii tplı olduğud fusiı ( )( ) şəlidə q olr və dıdır i, ou ə işi qiəti,, prçsıd ə böü olduqd lıır. qiəti tpq üçü bu prçı uc öqtələridə qiətləri hesblq: ( ) () 4., Deəli fusiı prçsıd ə böü qiəti ( ) () Dübucqlı üçbucğı tetlərii cəi sbit olub ə bərbərdir. Üçbucq ecə olduqd hipoteu ə içi olr? 5

6 Ktetləri birii qəbul etsə, əsələi şərtiə görə o biri tet olr. Pifqor teoreiə əssə burd lıır i, od hipoteu ( ) olr. ( ) olduğud, burd lıır i, olduqd hipoteu ə içi olr. olduqd o biri tet də olduğud lırıq i, tetlərii cəi sbit ol dübucqlı üçbucqlr içərisidə hiputeuu ə içi ol bərbərlı dübucüqlı üşbucqdır. 6

7 Çlışlr 4. fusisıı ə içi qiətii tpı. 8 fusisıı,. si cos böü və içi qiətlərii tpı. fusisıı, içi qiətlərii tpı fusisıı, olduqd ə prçsıd ə böü və prçsıd ə böü və ə içi qiətlərii tpı. 5. cos si fusisıı, prçsıd ə böü və ə içi qiətlərii tpı. 6. öü tərəfi, içi tərəfi b ol dübucqlıı böü tərəfi ə qədər lırs içi tərəf o qədər rtır. u dəişə ə qədər olduqd dübucqlıı shəsi ə böü olr? 7. Perietrləri ei ol dübucqlılr içərisidə shəsi ə böü olı hsıdır? 7

8 Əss təliflər u bölədə isbt olu teoreler sorı bölələrdə verilə əsələləri diferisil hesbıı tətbiq etədə həll etəə i verir. Teore. Solu sd üsbət dəişəi cəi sbit isə, olrı hsili ə böü qiətii vuruqlr bərbər olduqd lır. İsbti: Dəişələri,,..., ilə işrə etsə, əsələ rii olrq...,..., > şəlidə ılr. u əsələi...,..., >, >, >, >, > əsələləri iləsiə dil edə ( ususi hld, olduqd bıl əsələ lır ).... işrə edə və tutq i, ( )... dəişəi üəə qd ilə seçilib:. və Od.... Adıdır i, ( ) Deəli, ( ).... ( ) ( ) 8

9 9 eləlilə, dəişədə sılı ol fusiı estreuuu tpılsı əsələsi sd birdəişəli fusilrı estreulrıı tpılsı əsələsiə gətirildi. Alıış reuret üsibətlərdə ) ( -i təi edə bilə üçü ) ( -i tpq: ) (. Deəli, ) (. Od ) ( ) ( ) ( ) ( Adıdır i, fusisı ə böü qiətii olduqd lır və ) (. Od ) ( ) ( Məludur i, 4, əfi ol,,..., ədədləri üçü Koşi bərbərsilii dl və ()

10 bərbərsilii doğrudur, hə də bərbərli lı... olduqd lıır. u bərbərsiliə əssə lırıq i, və bərbərli, əi olduqd doğrudur. eləlilə, fusisıı qiətləri -ü şır və olduqd -ə bərbər olur. Deəli,, əi Od ) ( 4 () bərbərsiliii tətbiq etsə, lrıq i, və bərbərli, əi 4 olduqd doğrudur. urd, urıdı ii ühiə prql lrıq i,

11 urd, üsusi hld 4 ( ) 4 ( )... və, götürələ lrıq:...,,,..., 4. () götürdüdə,,..., dəişələri... şərtii ödəəlidir. Deəli, qəbul edib, lırıq i,. Od,,..., dəişələri... şərtii ödəəlidir, əi qəbul edib lırıq i, və. eləlilə, lırıq i, ə böü qiət... olduqd lıır. Qed. Məfi ol,,..., ədədləri üçü ()

12 ərbərsiliii doğruluğu ütəlif üsullrl (iə qədər) isbt oluub. Qed. Teorei dh sdə üsull və qıs isbt etə olr. Verilə üsuld əss əqsəd dəişədə sılı fusiı estreuuu tpılsı əsələsii sd bir dəişəli fusilrı estreulrıı tpılsı gətirildiii göstərədir. u üsull ço əsələi həllii sdə əsələləri həlliə gətirə olr. elə əsələlərdə bir eçəsi şğıd həll oluub. Teore. Solu sd üsbət dəişələri hsili sbit isə, olrı cəi ə içi qiətii topllr bərbər olduqd lır. İsbti: Məsələ, rii olrq, >, >,..., >,... A şərtlərii ödəə,,..., dəişələri üçü cəii ə içi qiətii tpq deədir.... () bərbərsiliidə lıır i, A və bərbərli lı = =...= olduqd ödəir. Deəli,... cəi A -d içi deil və = =...= = A olduqd bərbərdir, əi i... A... Nəticə: Müsbət, ədədləri üçü. Doğrud d olduğud, teoreə əssə, A.

13 cəi ə içi qiəti, əi olduqd lır. Deəli,. Aşğıd isbt edəcəii teore -ci teoreə əsslır və ou üuiləşəsidir. Teore. ir eçə üsbət dəişəi cəi sbit isə, olrı üəə üsbət rsiol dərəcələrii hsili, bu dəişələr uğu dərəcələri ilə ütəsib olduqd ə böü qiət lır, əi... ( >, >,..., > ) isə p p p... hsili ə böü qiətii p p p... olduqd lır. İsbti: Əvvəlcə p p p,...,, qüvvətləri üsbət t ədədlər ol hl bq. Adıdır i, p p p... hsili ilə p p p p p p... hsili,...,, dəişələrii ei qiətidə ə böü qiət lır. Soucuu vuruq p vuruq p vuruq p p p p p p p p p p hsili şəlidə q. u hsildə p p p... sd vuruq vr və olrı cəi sbitdir: p p p p p p p p p p p p p p p

14 urd, -ci teoreə əssə lırıq i, p p p hsili və deəli, hə də p... p... p p p p hsili olduqd ə böü qiət lır. İdi isə fər edə i, ortq ərəcə gətirə: burd,..., böü qiətii p,...,, p p əsr ədədlərdir. Olrı p, p,..., p,, - t ədədlərdir hsili ə hsili ə böü qiət ldıqd lır. Soucu isə urıdı ühiələrə əssə, ə böü qiəti... və olduqd, əi p p olduqd lır. Nəticə:... p p p,... p hsili ə içi qiətii olduqd lır. >, >,..., > isə p... p p 4

15 Dii proqrlşdır üsulu hqqıd -ci teorei isbtıd tətbiq edilə se, dii proqrllşdır dl üsulu tətbiqidir. u üsul, rii proqrlşdır böləsidə tətbiq olu üsullrd biridir və əssə, həllii ərhələlərə bölə üü ol əsələlərə tətbiq oluur. Üsulu əss hiətii şğıdı əsələ üəridə ih edə: Tutq i, iqdrd l və teoloji proses vrdır. elə i, i -ci teoloji prosesə qədər l rılrs f qədər gəlir verər. iqdrd lı teoloji proseslər rsıd elə bölə tələb oluur i, sil gəlir əldə olusu. Məsələi rii odelii qurq. Tutq i, -ci teoloji prosesə, -ciə və s. -ciə Od şərtə görə, -ci teoloji prosesdə ci teoloji prosesdə f f... qədər l rılıb. f qədər və s., - f qədər gəlir lır və üui gəlir f olr. Əldə ol lı hısıı plsı əərdə tutulduğud lırıq i,... ollıdır və dıdır i,,,...,. eləlilə, əsələ rii olrq şğıdı ii deilə bilər:...,,,..., (4) şərtlərii ödəə f,,..., -ləri elə seçəli i,,..., f f... f, (5) 5

16 cəi ə böü (siu) qiət lsı (ili əsələ). Məsələi həlliə eçədə əvvəl ii əss ftı qed edə. iricisi, (4) şərtləri dilidə (5) fusisıı ə içi (iiu) qiətii tpılsı əsələsiə də bq olr. Li bu hld f,,..., -i - f,,..., -lə əvə etələ əsələi - f,,..., tpılsı gətirə olr. İicisi, (4) şərtii sol tərəfi əərə əttidir, əi bu şərt topllrı cəidir, f,,..., -i ə böü qiətii,,..., dəişələriə,,..., -lərə əərə ətti fusisı isə hər biri lı bu dəişələri biridə sılı ol topllrı cəidir. Idi də bu əsələi həlliə eçə. uu üçü ou əsələlər iləsiə dil edə: Itiri iqdrd l və itiri sd teoloji proses üçü iqdrd lı həi teoloji proseslər rsıd elə böləli i, sil gəlir əldə edilsi. u d rii olrq,,,..., (6) şərtləri dilidə (7) cəii ə böü qiətii tpılsı deədir. Qed edə i,, olduqd (6), (7) əsələr iləsidə (4), (5) ili əsələsi lıır. Adıdır i, (6), (7) əsələsidə sil gəlir hə əldə ol lı (əi - i ), hə də teoloji prosesləri sıd (əi -d) sılıdır. uu əərə lrq, 6

17 ( ) f( ) f ( )... f ( ) (8)...,,,..., işrə edə., (6), (7) əsələsidə -cı prosesə qədər, f -ə l ırq. Od bu prosesdə lı gəlir bərbərdir və,,..., örəli proseslərə iqdrd l qlr. ıl əsələ üçü dii proqrlşdır üsuluu hiəti od ibrətdir i, bşlğıcdı lı (əi - i) iqdrıd və -cı prosesə ə qədər l rılsıd (əi -də ) sılı olrq qlış iqdrd l ql teoloji proses rsıd ə şı (optil) plır. Od, qəbul etdiii (8) işrəsiə əssə - iqdrd ld - sd teoloji prosesdə lı sil gəlir ( ) -ə bərbər olr. eləlilə, -cı prosesə qədər l ırdıqd sd prosesdə f ( (9) ) iqdrd gəlir lır. Məqsəd teoloji prosesdə sil gəlir lqd ibrətdir olduğud, -i, prçsıd (əi -l rsıd) dəişələ elə seçə i, (9) üui gəliri siu olsu. Tutq i, -i belə qiəti (və olrd biri) dir. Deəli, f f - () 7

18 Digər tərəfdə, (8)-ə əssə, iqdrd ld prosesdə lı sil gəlir () lırıq i, f -ə bərbər olduğud,,, () () reurret üsibətiə ell təlii deilir. Təli fusisıı qruetiiə əərə reurret olduğud, ou həll etə üçü bşlğıc şərt verə lıdır. u şərt də (8) üsibətidə götürələ lıır. Doğurd d, üçü f f( ) olduğud, () təlii f( ) bşlğıc şərti dilidə həll olulıdır. Od üçü f və f( ) olduğud -i f f( ) cəii ; prçsıd ə böü qiəti ii təi ediri. əlu olduğud sor () təliidə qəbul edib f Müsibətidə,..., -i təi ediri və s. Ou d qed edə i,, -i təi ediləsi hər dəfə birdəişəli fusiı siuu tpqd ibrətdir və bu, dii proqrlşdır üsuluu əss üsbət cəhətidir. Dh dəqiq desə, dii proqrlşdır üsulu ilə dəişəli fusiı üəə oblstd siuu tpılsı əsələsi 8

19 sd birdəişəli fusilrı üəə prçlrd siulrıı tpılsı əsələsiə gətirildi. Məsələi həllii bş çtdırq üçü əldə ol lı teoloji proseslər rsıd ə şı pl qdsıı, əi sil gəlir götürə üçü... şərtii ödəə,,..., -ləri ecə seçiləsi qdsıı verə. (8) üsibətiə əssə ili əsələdə sil gəliri göstərir. urd birici övbədə görüüri,,,..., -i -l rsıd ol -lər üçü təi ediri və uğu ediri. və,,,..., -i qed -i isə lı, götürələ təi ediri -ı qed ediri. Qed olu ə şı bölgüdə -ci teoloji prosesə rıl lı iqdrıı göstərir. Od, teoloji proses üçü iqdrd l qlır. (8) üsibətidə, qəbul edib tpırıq. Sor, qəbul edib -ı tpırıq və s., bu qd ilə dv edərə,..., -ı tpırıq. Qurul,,...,, plı ili əsələdə ə şı (optil) pl olur. urd,,...,. 9

20 Hədəsə əsələləri. Uuluğu ol prçı hissəə elə bölü i, olrı uuluqlrıı vdrtlrı cəi ə içi olsu. Prçlrı uuluqlrıı,,..., işrə edə. Od əsələ rii olrq... i,...,,,..., şəlidə ılır. u əsələi də i,,,..., əsələləri iləsiə dil edə. i......, işrə edə və tutq i, qed oluub: (Qed edə i,dəişələrdə hər hsı birii qed etə olr. Üuilii pod topllrı erii dəişələ ou olduğuu qəbul edə biləri). Adıdır i,. Od... və i... i... i... i Qəbul etdiii işrəə əssə dildəi ötəriə -ə bərbərdir. Deəli,. i eləlilə, dəişəli fusiı ə içi qiətii tpılsı əsələsi sd bir dəişəli fusilrı ə içi qiətlərii tpılsı əsələsiə gətirildi.

21 Alıış reurret üsibətlərdə -i təi edə. Adıdır i, i. Od 4 i i i urd görüür i, 4 və bərbərli olduqd lıır. Deəli,,. Adıdır i, i i Yəi (ə içi qiət olduqd lıdığıd),. u qd ilə dv etdirələ lrıq i,, və üsusi hld, olduqd,, əi i

22 Məsələi t həll etə üçü qiətlərii tpq lıdır.,,..., -i də olduğud.... Od götürüb, və deəli, geriə qıtsq,.... Odur i, ( ) götürsə, lrıq i, ( ) və s. u qd ilə lırıq i,.. eləlilə, lriq i,...,,..., şərti dilidə içi qiəti,... cəi ə... olduqd lır və bu qiət - bərbərdir.. İsbt edi i, shələri ei ol üçbucqlr içərisidə perietri ə içi olı bərbərtərəfli üçbucqdır. Üçbucğı tərəflərii,, ilə işrə etsə, ou shəsi S düsturu ilə hesblır. urd lıır i,

23 6S Digər tərəfdə -i 4 şəlidə q üüdür və ötəriədəi topllrı hsili sbitdir ( 6 S -ə bərbərdir). Deəli, ötəriədəi topllrı cəi ə içi qiəti, -ci teoreə əssə, olduqd lır, əi cəii ə içi qiət lsı üçü,,,, dəişələri bərbərlilərii ödəəlidir. u üsibətləri biricisidə lırıq i,. Ou -ci üsibətdə ıb sdələşdirsə, olr. Od və -cü üsibət də üçü ödəər, əi üçbucq bərbərtərəfli ollıdır.. İsbt edi i, dirə riciə cəiliş bərbərlı üçbucqlr içərisidə shəsi və perietri ə içi ol bərbərtərəfli üçbucqdır. Çevrəi rdiusuu r, üçbucğı oturcğıı, o çəiliş hüdürlüü -lə, A tərəfii çevrəə touduğu öqtəi F ilə işrə edə (Şəil ).

24 Od S. AFO -d AF r r. AD və AFO üçbucqlrı oşr olduğud, Deəli, AF, r S r r AF r. r. r S üsbət əiət olduğud oul S dəişəi ei qiətidə ə içi qiət lır, əi S -lə S isə ə böü qiət lır. Li, və F A O D Şəil. r -i ei qiətidə ə içi, r S r 4 r r r r r r r S r r r olduğud, -ci teoreə əssə ə böü qiəti S r r olduqd, əi r olduqd lır. Deəli, S və S ə içi qiəti, r olduqd lır. Oturcğı r r və hüdürlüü r ol bərbərlı üçbucğı tərəfləri də r olduğud, lırıq i, üçbucq bərbərtərəfli olduqd shəsi ə içi olur.od S pr düsturu əssə (p- 4 C

25 üçbucğı rıperietridir) lırıq i, belə üçbucğı perietri də ə içi olur. 4. Rdiusu R ol rıdirə diliə bərbərlı üçbucq çəilişdir. elə i, bərbər tərəflərdə biri dietr üəridədir, digəri isə vətərdir. u üçbucqlrd hsıı oturcğı ə böüdür? Yrıdirə AE, üçbucq isə AC olsu (şəil ). A AC, C işrə edə. D AC çəə və ilə E -i birləşdirə. AD və DC dübucqlı üçbucqlrıid lırıq i, AD. Digər tərəfdə AE və AD dübucqlı üçbucqlrı oşr olduğud, AD A, əi A AE AD AE urd, AD. Deəli, R R R. R Alıış əsri sürətidəi hsil üçü R R olduğud, -cü teoreə əssə, A. D C E Şəil. R olduqd, əi 5

26 4R olduqd, R hsili ə böü qiət lır. Od 4 R. Deəli, belə üçbucqlr içərisidə tərəfləri 4R ol üçbucğı oturcğı ə böüdür. 5. Dirə setoruu qövsüə elə tou çəi i, ou prçsı ilə rdiuslrı utılrıı əələ gətirdii üçbucğı shəsi ə içi olsu. Setoru rdiusu R, ərəi bucğı olsu (Şəil ). Qövsü üəridə götürülüş itiri D öqtəsidə A D M N Şəil. tou şəib AO üçbucğıı qurq və ou ql bucqlrıı və -lə işrə edə. OD A olduğud, S AO A R. Li AD Rctg, D Rctg olduğud O 6

27 S AO R cos R ctg ctg R si si si si si R cos( ) cos cos ( ). urd görüür i, S -i ə içi olsı üçü cos, əi ollıdır. u o deədir i, üçbucq bərbərlı ollıdır və ou qurq üçü bucğıı təböləii çəib qövslə əsişdii öqtədə tou çəə lıdır. 6. İi tərəfiə görə shəsi ə böü ol üçbucq quru. -ci üsul. Veriliş tərəflər və b olsu. MN dü ətti üəridə (şəil 4) AC b prçsı ırq və ərəi A M A A A C N Şəil 4. öqtəsidə, rdiusu A ol çevrə çəə. Çevrə üəridə götürülüş itiri öqtəi C ilə birləşdirələ sosu sd A C, A C və s. üçbucqlrı lrıq., və s. öqtələridə MN -ə perpediulr edirə və tutq i, A MN. Od A, A və s. lıış üçbucqlrı hüdürlüləri olr. Adıdır i, A A, A A və s. Deəli, 7

28 S AC A AC A AC S AC S AC A AC A AC S AC və s. Yəi ii tərəfi veriliş üçbucqlr üəridə shəsi ə böü ol dübucqlı üçbucqdır. -ci üsul. Çevrə üəridə ol itiri öqtəsi üçü S A C A AC si AC bsi AC urd görüür i, AC 9 olduqd, əi öqtəsi ilə üst-üstə düşdüdə shə ə böü olur. 7. Oturcqlrı və təpə bucqlrı ei ol üçbucqlr içərisidə perietri ə böü olı tpı. -ci üsul. AC üçbucğı bq(şəil 5). Tutq i, AC b və bucğı əludur. Siuslr teoreidə istifdə edərə biləri: si A sia p b c b b si si si A cos si A sia b b b b si si cos b b si A si c b və A A Şəil5. b C 8

29 olduğud si A. Odur i, perietr ə böü Qiətii A olduqd lır. Od A C şərtidə lırıq i, A C, əi AC üçbucğı bərbərlı olduqd perietr ə böü olr. -ci üsul. Üçbucğı oturcğı AC b, təpə bucğı olsu. Qəbul etə olr i, üçbucğı təpəsi hər hsı çevrəi b uuluqlu vətərii gərdii qövsü üəridədir.(şəil 6). işrə edə və təpəsidə AC -ə D perpediulrıı edirə. AD, DC işrə etsə, lrıq i, b D, S AC 4 b cos cos 4 si urd görüür i, AC üçbucğı shəsii ə böü olsı üçü cos əi, tg tg b b cos cos AC D tg tg si A ollıdır. Od hə də ollıdır, əi D perpediulrı hə də bucğıı təböləi ollıdır. u isə lı AC üçbucğı bərbərlı olduqd üüdür. D Şəil 6. A D F Şəil 7. E E C 9

30 8. Veriliş AC üçbucğıı C tərəfi üəridə E öqtəsii elə seçi i, D və F təpələri uğu olrq, A və AC üəridə ol ADEF prleloqrıı shəsi ə böü olsu (Şəil 7). u əsələ, Evlidi şlğıclr ( Əsslr ) əsəridə siu id egə əsələdir. DE tərəfii ilə, AC üçbucğıı hüdürlüüü H ilə, DE üçbucğıı hüdürlüüü h ilə işrə edə. AC və DE üçbucqlrıı oşrlığıd lırıq i, H b H AC b. urd, h. h b Hb Prleloqrı shəsi S olduğud, b b b fusisıı ə böü əsələ qiətii tpılsı gətirilir. b b olduğud, - ci teoreə əssə lırıq i, ə böü qiət b olduqd, b əi olduqd lıır. u isə o deədir i, DE tərəfi AC üçbucğıı ort ətti olduqd prleloqrı shəsi ə böü olur. 9. Dirə və o A öqtəsidə tou dü ətt verilişdir. u du əttə prlel elə C vətəri eçiri i, AC üçbucğıı shəsi ə böü olsu. Dirəi rdiusu R, C A vətəridə ou ərəiə qədər ol əsfə olsu (Şəil 8). C vətəri A -d eçə dü əttə prlel olduğud, AC O üçbucğı bərbərlıdır. Od D C Şəil 8.

31 və D C R S R R R R. R R R olduğud, -cü teoreə əssə shə üçü böü qiət -i lır. u təlidə R R R təliidə təi etdidə lıır. Qed. Çevrəi ərəi AC üçbucğıı ricidə ql hlı rşdırdı.. Oturcqlrı və təpə bucqlrı ei ol üçbucqlr içərisidə hsıı təpə bucğıı təböləi ə böüdür? Məsələi şərtiə görə bu üçbucqlrı təpə bucqlrı ei qövsə söəir. u üçbucqlrı oturcqlrı A C olsu (Şəil 9). Ou ort F öqtəsidə DC perpediulrıı qldırq və A ou utısıı çevrəi əs D E tərəfdə əsdii öqtəi K ilə işrə edə. K -d AC qövsüü əsə itiri KF K prçsıı çəə. Adıdır i, Şəil 9. AC və AF üçbucqlrıd C və F bucqlrı bərbərdir. CD ilə EF isə bu üçbucqlrı təpə bucqlrı təbölələridir (İsbt edi). ud əlvə, CK hə də dietridir. O görə CK FK. şq sölə desə, CD DK EF EK. Li EK DK olduğud burd

32 lırıq i, CD EF. AC üçbucğı bərbərlı olduğud lırıq i, oturcğlrı və təpə bucqlrı ei ol üçbucqlr içərisidə bərbərlı üçbucğı təpə bucğıı təböləi ə böüdür.. Oturcğlrı və təpə bucğlrı ei ol üçbucqlr verilişdir. İsbt edi i, bərbərlı üçbucğı həi təpədə çı ediı, bu A bucq or olduqd ə içi, iti E olduqd isə ə böüdür. ud əvvəli D C əsələdəi ii qəbul etə olr i, bu üçbucğlrı təpə O bucqlrı hər hsı çevrədə ei qövsə söəir. Əvvəlcə təpə bucğı or ol hl bq. u hld Şəil. çevrəi ərəi bu üçbucqlrı ricidə qlır (şəil ). elə üçbucqlrd bərbərlı olı AC ilə, itiri birii isə EC ilə işrə edə. AC üçbucğı bərbərlı olduğud, A təpəsidə edirilə perpediulr C -i D öqtəsidə rı bölür, əi AD prçsı AC üçbucğıı ediıdır. Od ED də EC üçbucğıı ediıdır. Adıdır i, OE AD DO və OE DO DE. urd AD DE, əi A bucğı or olduqd bərbərlı A üçbucğı ediı ə içidir. E İdi isə təpə bucğı O iti ol hl bq. A bucğı iti olduqd çevrəi D C Şəil.

33 ərəi AC bərbərlı üçbucğı dilidədir (Şəil ). Şəildə dıdır i, DO OE DE və OE OA. urd, AD DE.. ir iti bucğı ol dübucqlı üçbucğı riciə və diliə çəiliş çevrələri rdiuslrıı isbətii tpı. - ı hsı qiətidə bu isbət ə içidir? Xricə və dilə çəiliş çevrələri rdiuslrıı R və r ilə işrə edə. C olsu. Od (şəil ). E Məludur i, dübucqlı üçbucğı riciə çəiliş O α çevrəi ərəi A C hipoteuu ort öqtəsidə, Şəil. diliə çəiliş çevrəi ərəi isə təbölələri əsişə öqtəsidədir. u ssələrə ssə, lırıq: EC rctg, E rctg, 4 R E EC rctg ctg 4 si 4 r r cos cos cos 4 4 4

34 Deəli, R r cos 4 və isbəti ə içi qiəti cos olduqd,əi 4 olduqd lıır. 4. Oturcqlrı və təpədəi bucqlrı ei ol üçbucqlrd hsıı shəsi ə böüdür? I üsul. elə üçbucqlrd itiri birii AC ilə işrə edə (Şəil ). A H C Şəil. Şərtə görə C. AC.C tərəfiə ediriliş hüdürlü AH olsu. AH, HAC işrə edə: S AC C AH AH. AH və ACH dübucqlı üçbucqlıd AH Hctg, AH CHctg. u üsibətləri 4

35 bərbərləşdirib, lrıq: Deəli, şərti dilidə H HC C olduğuu d əərə lsq, cos cos AH. tg tg si cos cos və əsələ si cos cos ifdəsii ə böü qiətii S AC tpılsı gətirilir. biləri: cos cos urd görüür i, cos cos ə böü qiəti şərtii əərə lrq. A E cos cos cos cos D C F olduqd lır. Şəil 4. Od hə də. Deəli, üçbucq bərbərlı olduqd shəsi ə böü olur. II üsul. Təpə bucqlrı və oturcqlrı ei olduğud, bu üçbucqlrı hısıı təpəsi oturcğı vətər ii gərdii qövsü üəridədir (şəil 4). Vətəri C ilə işrə edə. C - i ort öqtəsidə qövsü əsəə qədər AD perpediulrıı qldırq. Od AC bərbərlı üçbucğıı lrıq. Göstərə i, AC üçbucğıı shəsi ə böüdür. uu üçü CA qövsü üəridə A -d fərqli itiri E öqtəsi götürüb EF C çəə. 5

36 AD EF olduğud, S AC C AD C EF S AEC. u isə o deədir i, oturcqlrı və təpə bucqlrı ei ol üçbucqlr içərisidə bərbərlı üçbucğı shəsi ə böüdür. 4. İsbt edi i, itiri dübucqlı üçbucğı tetlərii cəi ou hipetouuu -ə hsilidə böü deil. Dübucqlı üçbucğı tetlərii, b, hipetouuu c ilə işrə etsə, b b c b olduğud əlu bərbərsiliidə lırıq i, b b, əi b b c və bərbərli b olduqd lıır. 5. İi tərəfi veriliş üçbucqlr içərisidə hsıı shəsi ə böüdür? Tərəflərdə biri AC prçsı olsu.ou A ucud ərəi A A D öqtəsidə, rdiusu isə C digər tərəfə bərbər ol çevrə çəə.(şəil5). u çevrə üəridə Şəil 5. itiri öqtəsii A götürə və ou A, C öqtələri ilə birləşdirə. O 6 M Şəil 6.

37 Alıış AC üçbucğıı ii tərəfi veriliş tərəflərdir. u üçbucğı shəsi AC D -ə bərbərdir. AC verildiidə shəi ə böü olsı üçü D ə böü ollıdır. perpediulr olduqd üçbucğı shəsi ə böü olur. D -i ə böü qiəti isə D rdius bərbər olduqd lıır. u isə o deədir i, D hüdürlüü A tərəfi ilə üst-üstə düşdüdə, əi A tərəfi AC -ə perpediulr olduq üçbucğı shəsi ə böü olur. 6. Şquli divrd portret sılışdır. Ou şğı ucu döşəədə əsfədə, urı ucu isə b əsfədədir. Fotoprtı obetivi döşəə üəridə olql, divrd hsı əsfədə qoullıdır i, portret ə böü bucq ltıd görüsü? Məsələi şərtiə görə OA, O b, A b. OM, AM işrə edə (şəil 6). Deəli, əsələ - bucğıı seçədə ibrətdir. AOM və OM dübucqlı üçbucqlrıd b tg AMO, tg MO Od b b tg tg MO AMO. b b üçü rtdıqcd tg rtır.odur i, b bucğıı ə böü qiətii tpq üçü əsriə b ə böü qiət verə -i tpq lıdır. u əsr isə 7

38 b ə içi qiət ldıqd ə böü qiət lır. Soucu b isə, (: -ci teorei əticəsi), əi b olduqd ə içi qiət lır. -i bu qiəti üçü b b tg (Qed edə i, od si və burd b b -i hesblq dh sdır). 7. Dirəi diliə tərəflərii vdrtlrı cəi ə böü ol üçbucq çəi. Siuslr teoreiə görə Rsi, b Rsi, c Rsi, burd, b, c üçbucğı tərəfləri,, isə olrı qrşılrıdı bucqlrdır. u üçbucğı tərəflərii vdrtlrı cəi 4R si si si əsələ -dir və deəli,,, şərti dilidə si si si fuissıı ə böü qiətii tpılsı gətirilir. u fusiı cos cos si ( ) cos cos cos şəilidə və cos cos cos şəilidə q. Soucuu cos cos cos cos - əərə həll edə:

39 cos həqiqi ədəd olduğud, cos 8 4 cos 8 ollıdır. urd,. Deəli, -i ə 4 böü qiəti cos olduqd, əi olduqd lıır. Oşr çevirələri cos cos si ( ) şəlidə ql d prsq lrıq i,. eləlilə, lrıq i, üçbucğı bucqlrı olduqd, əi üçbucq bərbərtərəfli olduqd tərəflərii vdrtlrıcəi ə böü olur və bu qiət 9R - bərbərdir. Dördbucqlılrl bğlı ol bir ço əsələləri, o cülədə estreu əsələlərii həllidə ühü rol o bir eçə düstur çırq. I. Tərəfləri, b, c, d və qrşı bucqlrıı cəi ol qbrıq döürdbucqlıı shəsii tpq. Adıdır i (Şəil 7), S bsi cd si Od 4S bsi cd si () ud əlvə, osiuslr teoreii AC və ACD üçbucqlrı tətbiq edərə, biləri: A d Şəil 7. b D c C 9

40 c urd lırıq i, b d bcos cd cos. b c d bcos cd cos () Alıış (), () bərbərlilərii hər iisii vdrt üsəldib toplq. Sdə çevirələrdə sor lrıq: b c d 6S 4 b 4c d 8bcd cos, 6S 4 b 4c d b c d 8bcd cos, u bərbərlii də sğ tərəfiə 8 bcd əlvə edib çısq, bəi sdə çevirələrdə sor lrıq: 6S ( b c d )( c d b)( b d c)( b c d) 6bcd cos b c d p işrə edə. Od soucu bərbərlidə S p p b p c p d Qed. u düsturd d götürsə, S p p p b p c bcd cos Hero düsturu lır. II. Dirə dilidə çəiliş və tərəfləri veriliş dördbucqlıı shəsii tpı. A, C b, CD c, DA d olsu (Şəil 8). 4

41 A və CD tərəflərii utılrıı əsişə öqtəsii F, F, CF işrə edə. CF DA olduğud, AFD və FC üçbucqlrı oşrdır. Od d c d ;. b b urd b dc b d b bbc d., d b b c d p işrə edə. Od Hero düsturu əssə AFD və FC üçbucqlrıı shələrii tp biləri: S AFD d d b d S FD d b Adıdır i, S Deəli, S ACD III. Tərəfləri ACD D p p b p c p d, p p b p c p d. S AFD S. FC p p b p c p d. (5), b, c, d ol və hə riciə, hə də diliə çevrə çəə üü ol dördbucqlıı shəsii tpı. Xriciə çevrə çəə üü olduğud, bu dördbucqlıı shəsi (5) düsturu ilə hesblr. Əgər bu dördbucqlıı diliə də çevrə çəə üü isə, 4 d c A Şəil 8. b C F

42 c b d ollıdır. u şərti əərə lsq, biləri: p c, p b d, p c, p b d. Od (5) düsturu şğıdı şələ düşər: S bcd. 8. İsbt edi i, tərəfləri veriliş dördbucqlılr işərisidə shəsi ə böü ol, riciə çevrə çəə üü ol dördbucqlıdır. (4) düsturud dıdır i, dğrdbucqlıı shəsii ə böü olsı üçü cos ollıdır, əi ollıdır. u isə o deədir i, dördbucqlıı digər ii bucğıı d cəi -dir. Məludur i, qbrıq dördbucqlıı qrşı bucqlrıı cəi bərbər isə, ou riciə çevrə çəə üüdür. Qed. u təlifi hədəsi üsull d, əi (6) düsturud isfdə etədə də isbt etə olr. Li buu üçü bir eçə əlvə təlif isbt etə lıdır. 9. İsbt edi i,perietri veriliş hə diliə, hə də riciə çevrə çəə üü ol dördbucqlılr içərisidə shəsi ə böü olı vdrtdır. (6) düsturuu F S c bd şəlidə q. c b d, c p, b d p olduğud, -ci teoreə əssə, c və bd ifdələri ə böü qiətlərii, uğu olrq, C D 6 b Şəil 9. A E 4

43 p p c, b d olduqd lır, əi dördbucqlı vdrt olduqd shəsi ə böü olur.. ACD prleloqrıı A təpəsidə dü ətti elə eçiri i, prleloqrı bu təpə qrşısıdı tərəflərii utılrıd ırdığı prçlrı cəi ə içi olsu. A, AD b, E, DF işrə edə (şəil 9). AE və ADF üçbucqlrı oşrdır. O görə b, ə b; prçlrı cəi isə b -dir. Deəli, əsələ şərti dilidə b f fusisıı ə içi qiətii tpılsı əsələsiə gətirildi. Ou d həlli (-ci teoreə əssə) həll etə üçü b üçü lıır. f b. Məsələi t i b, b prçlrıı qurq qlır. b b, şərtləri ödədiidə bu prçlrı qurq üçü dietri b ol rıdirə çəib dietri - bərbər ol hissəsidə çevrəi əsəə qədər perpediulr qldırq lıdır..kvdrtı diliə, tərəfləri ou diqollrı prlel ol dübucqlı çəilişdir. Dübucqlıı Şəil. 4

44 tərəflərii ecə seçdidə ou shəsi ə böü olr? Kvdrtı diliə dübucqlı çəə o deədir i, dübucqlıı təpələri vdrtı tərəfləri üəridədir (Şəil ). Kvdrtı tərəfii ilə, dübucqlıı hər hsı təpəsii tərəfi böldüü prçlrı, ilə işrə edə. Adıdır i, və dübucqlıı shəsi S. Deəli, əsələ şərti dilidə f fusisıı ə böü qiətii tpılsı gəlir. -ci teoreə əssə, bu olduqddır. urd,. Deəli, təpələri vdrtı tərəflərii ort öqtələridə olql dilə çəilə vdrtı shəsi ə böü olur.. İti bucğı 45, perietri 4s ol dübucqlı trpesi hüdürlüüü uuluğu əə bərbər olduqd ou shəsi ə böü olr? Şəildəi (Şəil.) işrələrə əssə biləri i, S (*)-d -i tpıb, S -i ifdəsidə rq, -ə əərə həll etsə lrıq: 4 S 4, ( * ),. 45 Şəil. 44

45 cq üsbət qiətlər l bilər. O görə 4 S ollıdır. urd S. Deəli, S -i ə böü qiəti -dir və -i uğu qiəti s s.. Üç tərəfi ol trpeslər içərisidə shəsi ə böü olı dördücü tərəfii tpı. u shə əə bərbərdir? Sdə ühiələrə əssə lırıq i, belə trpes bərbərlı ollıdır və deəli, trıl tərəf trpesi oturcqlrlrıd biridir. Şəil. Şəil -də dıdır i, S. ( ) -cü teoreə əssə S -i ə böü qiəti olduqd lır. urd,. Deəli, trpesi dördücü tərəfi olduqd shəsi ə böü olr və S. Şəil. 4 45

46 4. Tərəfi ol vdrt şəilli dəir lövhəi ücləridə bərbər vdrtlr əsib qtlql qpqsı qutu düəldilir. Kəsilə vdrtlrı tərəfii ecə seçə lıdır i, lı qutuu həci ə böü olsu. Kəsilə vdrtlrı tərəfii ilə işrə edə. (Şəil ) Alı qutuu həci V f fusisıı olr. Deəli, əsələ üçü ə böü qiətii tpılsı gətirilir. Adıdır i, f və olduğud, teore -ə əssə, 4 olduqd lır. urd, əi əsilə 6 vdrtlrı tərəfii 6 f ə böü qiətii uuluqd götürdüdə O lı qutuu həci ə böü olr. 5. Şəildə (Şəil 4) A Şəil 4. göstərilə qdd göstərələ dügü - bucqlı forsıd ol dəir lövhədə oturcğı dügü - bucqlı ol qpqsı qutu düəltə lıdır. Qutuu göstərilə ölçüsüü (əi -i) elə seçi i, tutuu ə böü olsu. Əvvəlcə qutuu lı qdsıı ih edə: A A A h 46

47 A A, A A,..., A A prçlrıd üəə əsfədə bu prçlr prlel prçlr eçirə. u prçlrı əsişə öqtələri,,..., öqtələri olsu. Həi öqtələrdə çobucqlıı tərəfləriə perpediulr ətlər çəiri və əsdidə sor,,..., prçlrı bouc qtlırıq. Nəticədə oturcğı hüdürlüü isə həci olr.... olr. Deəli,... dügü çobucqlısı, h ol pri forlı qutu lrıq. Ou V S... h çobucqlısı dügü olduğud, shəsi və əsələ f h S tg... V tg h fusisıı h prçsıd ə böü qiətii tpılsı gətirilir f ( ) 4 ( h ) şəlidə sq, h h oduğud, -ci teoreə əssə, O O ə böü qiət h A olduğud lrıq i, tutuu ə Şəil 5. böü olsı üçü C D 47

48 A h A, A A,..., A A prçlrı prlel prçlrı əsfədə eçirə lıdır. 6. Dirə diliə çəiliş dübucqlılrd, shəsi ə böü ol vdrtdır. uu isbt edi. Dirəi diliə hər hsı ACD dübucqlısı çəə (Şəil 5). O AC çəə. S ACD S AC AC O AC O. AC R olduğud dilə çəiliş ACD dübucqlısıı shəsii ə böü qiət lsı üçü O ə böü qiət llıdır. bucğı dü olduğud, hə də O AO OC AO OC R olduğud,, O ə böü qiətii AO OC olduqd, əi AO OC R olduqd lır. Od O R və O R. u isə o deədir i, O öqtəsi O ilə üst-üstə düşəlidir (O çevrəi ərəidir), əi O AC ollıdır. Soucu isə ACD dübucqlısı vdrt olduqd üüdür. 7. Kvdrtl üçbucğı shəsi bərbərdir. İsbt edi i, üçbucğı perietri vdrtı perietridə böüdür. Kvdrtı tərəfii ilə işrə edə. İsbt etişi i, shələri ei ol üçbucqlr içərisidə perietri ə içi olı bərbərtərəfli üçbucqdır ( Hədəsə əsələləri övusud -ci əsələ). Odur i, üçbucğı bərbərtərəfli olduğuu fər 48

49 etə olr və ou tərəfii b ilə işrə etsə, shəsi b 4 olr. b Deəli, qəbul edib, isbt etə lıdır i, 4 b 4. uu üçü,, b olduğud, 9b 6 olduğuu göstərə ifətdir. Şərtə görə 4 b olduğud, soucu bərbərsili şrdır. 8. Tillərii uuluqlrı cəi L ol dübucqlı prlelepipedi ölçülərii elə seçi i, t səthi ə böü olsu. Prlelepipedi ölçüləri, b və c olsu. Şərtə görə və S t pr 4 b c L b bc c. bərbərsiliiə əssə, b bc c b c. u b bc c b bc c eilii ilə bərbərsilii toplsq, lrıq i, b bc c b c və bərbərli b c olduqd lıır.deəli, c və S b bc c b L 4 L 4 b bc c, L hə də b c olduqd S. Deəli, tillərii cəi L 4 ol prlelepiped ub olduqd ou t səthi ə böü olur. 49

50 9. Shəsi ol dəir lövhədə dübucqlı prlelepiped şəlidə qutuu elə düəldi i, tutuu ə böü olsu. Prlelepipedi ölçüləri,, olsu. Şərtə görə və həci V. Deəli, əsələ şərti dilidə V fusisıı ə böü qiətii tpılsı gətirilir. Məsələə -ci teorei tətbiq etə üçü V fusisı bq. Həi teorei tətbiq etsə, lrıq i, V fusisı ə böü qiəti, olduqd lır. urd və od şərtidə lırıq i,. Od. V. Üçbucqlı piridı ii əsişəə tiliə prlel üstəvii ecə eçirə lıdır i, lı əsii shəsi ə böü olsu. C ACD piridsıı ii əsişəə tilə prlel üstəvi ilə əsdidə lı MNKL M dördbucqlısı prleloqrdır (Şəil 6). Əgər LKN işrə L etsə, prleloqrı shəsi N D S KN KLsi olr, bucğı çrp A və CD dü ətləri K A rsıdı bucq olub, bütü Şəil 6. əsilər üçü eidir. O görə də, 5

51 əsii shəsi KN KL hsilidə sılıdır. AK işrə edə. AD ilə KND və ALK ilə ACD oşr olduğud, KN A u isbətlərdə AD KL ;. AD CD AD A CD A CD KH KL AD. u hsildə AD AD vuruğu sbit olduğu üçü KN KL hsili ə böü qiətii AD ə böü qiət ldıqd lır. AD AD olduğud, -ci teoreə əssə, AD hsili AD AD olduqd ə böü qiət lır. urd,. Deəli, əsii shəsii ə böü olsı üçü, piridı əsişəə ii tiliə prlel üstəvi AD üçbucğıı (əi piridı oturcğıı) ort əttidə eçəlidir.. Doğurı l ol dü dirəvi ouslr içərisidə həci ə böü olıı tpı. Kousu doğurıı oturcq üstəvi ilə əələ gətirdii bucğı ilə işrə edə (Şəil 7). SA S l olduğud SAO -d S SO h si ; AS l h lsi; cos AO AS r ; l r l cos. V r h A O Şəil 7. 5

52 olduğud lırıq i, V l cos si. Adıdır i, V ( ) ə böü qiəti V cos si ilə ei öqtədə lır. 4 V cos si 4 cos cos si. cos cos si olduğud V fusisı, teore -ə əssə, ə böü qiətii cos si olduqd, əi cos lır. Od si, h l, r l, V l. 9.Rdiusu R ol ürə diliə çəiliş dügü üçbucqlı priı ölçülərii elə seçi i, ou həci ə böü olsu. Priə oturcq üstəvisii ürə ilə əsişəsidə lı dirəi rdiusuu (əi priı olduqd 56' və 5

53 oturcğıı riciə çəiliş çevrəi rdiusuu) r ilə, priı hüdürlüüü h ilə işrə edə (Şəil 8). V S H olduğud, V h olr; burd - priı 4 oturcğıı tərəfidir. Məludur i, r rdiuslu dirəi diliə çəiliş dügü üçbucğı tərəfi r. Od r V h. r 4 h 4 R olduğud, əsələ 4r h 4R şərtii ödəə r və h üçü r h fusisıı və f r h fusisıı ə böü qiətii tpılsı gətirilir. 4 f 4r h r r h və r r h 4R 4 4 olduğud, olduqd lır. Od f fusisı ə böü qiətii 4r 4h 4R r h şərtidə lırıq i, 4 6r 4R, r R, h R, f R..Arı şıı ouqlrı oülülərdə ibrətdir. u ouqlrı lt oturcğı dügü ltıbucqlı, üləri ii bucğı dü ol bərbər trpeslər, üst üü isə bərbər roblrd ibrət ol üçülüdür (şəil 9). Roblrı ortq təpəsidəi üstəvi bucq ecə ollıdır i, ouğu düəldiləsiə ə u sərf olusu? 5

54 Ouğu lt oturcğıı ACDEF ilə işrə edə. Alt oturcğı belə ol priı üst oturcğıı(əi A C D EE i) D, D F, F diqollrıd priı və ouu üəridə ol M öqtəsidə üstəvilər eçirə. M öqtəsi roblrı ortq təpəsidir. A Deəli, əsələ M C D öqtəsii seçəə Şəil 9. gətirilir. (Aslıql isbt etə olr i, belə quruluş ouğu həci AD prisıı həciə bərbərdir). Priı oturcğıı tərəfii, tilii h, üst oturcğıı ərəidə M öqtəsiə qədər əsfəi ilə h h işrə edə. Od ouğu səthii shəsi 6, üst üdəi roblrı shələri cəi 4 DMK -olr. Ouğu lt oturcğıı vəiəti M öqtəsidə sılı deil. O görə lt otucğı shəsii əərə lq olr. eləlilə, trıl shə C K L A M O D F E F E 54

55 S h 6h olr və burd d dıdır i, əsələ fusisı ə içi qiət verə -i tpılsı gətirilib. Yurıd tətbiq olu üsullrı heç biri bu əsələə tətbiq oluur. O görə bşq ford ühiə prq. Həi ifdəə -ə əərə təli ii bıb həll edə: 6 4,. lı həqiqi qiətlər ldığıd ollıdır, əi ollıdır. Deəli, -i ə içi qiəti -dir və bu qiətə - i qiəti uğudur. Od, trıl bucğı belə tp 4 biləri: MD tg L ML 4 4 C Cədvəldə isitifdə etələ burd lrıq i, F O MD 9 8 A Şəil. 55 D

56 u əsələ göstərir i, rı d estreu əsələsi həll edir və deəli o, ifət qədər şı riitçıdır. 4. Rdiusu r ol ürə riciə çəiliş ə içi həcli dü dirəvi ousu hüdürlüüü tpı. Kousu oturcğıı rdiusuu və hüdürlüüü ürəi rdiusu ilə ifdə edi. uu üçü ousu o əsiii götürə. Od dirəi riciə çəiliş bərbərlı üçbucq lrıq (şəil ). u üçbucğı oturcğıı, o ediriliş hüdürlüü -lə, OA işrə edə. Od V ous. r AO -də. tg COF -də Deəli, r r r CO və r. cos cos tg V ous r r. tg tg tg olduğud, -ci teoreə əssə lrıq i, ousu həcii ə içi olsı üçü tg tg ollıdır. urd, tg. Od 4r, 8 V ous r r, urd görüür i, ürəi riciə həci ə içi ol ous tg A O Şəil. 56 C D

57 çəə üçü dietrii öü qədər udıb üç öqtəsii ousu təpə öqtəsi götürə lıdır. 5. Rdiusu r ol ürə diliə cəiliş silidiri hüdürlüüü elə seçi i, ou səthi ə böü olsu. Məsələi həll etə üçü silidri oturcğıı rdiusuu d hüdürlülə ifdə edib ou səthii düsturud rq lı fusiı ə böü qiətii tpq lıdır. uu üçü də silidiri o əsiii götürə ifətdir (Şəil ). O əsiidə lı dübucqlıı otucğı silidiri oturcğlrıı dietri, hüdürlüü isə silidri hüdürlüüdür. Olrı və -lə işrə etsə lrıq i, r. Od S 4 r və deəli əsələ f r r ə böü qiətii tpılsə gəlir. f isə f fusisıı öqtədə ə böü qiət lır. f r r r -lə ei və olduğud, -ci teoreə əssə, ə böü qiət əi r olduqd, r olduqd lıır. Od S r. 6. Dietri R ol silidri forlı şlbd e əsii dübucqlı ol tir düəltə lıdır. E əsiii ölçülərii eçə A O Şəil. X C D 57

58 götürə lıdır i, ou shəsi ə böü olsu? Şlbı uuluğuu bu əsələdə heç bir əhəiəti oldığıd, əsələi belə söləə olr: Rdiusu R ol dirə diliə shəsi ə böü ol dübucqlı çəi. Dübucqlıı tərəflərii, ilə işrə etsə, ou shəsi S 4 olr. Şəildə (Şəil ) dıdır i, R olr. urd və əsələ R R fusisıı ə böü qiətii tpılsı gətirilir. u fusi ə böü qiət verə -i urıd verilə üsullrl tpq olr (vdrt üsəltələ lı fusi -ci teorei şərtlərii ödəir). Li burd bud əvvəli əsələdəi üsulu tətbiq edəcəi. u əqsədlə vdrt üsəldib -ı -lə ifdə edə: 4 4 R R həqiqi qiətlər ldığıd, R 4 4 ollıdır, R R əi ollıdır. Deəli, -i ə böü qiəti - R dir. Od, əi R, R. Deəli, tiri e əsii vdrt olduqd ou shəsi ə böü olr. 7. Dü silidri o əsiii diqolı d -dir. Silidri hüdürlüü ecə olduqd ou həci ə böü olr? Silidri hüdürlüüü -lə işrə etsə, oturcğıı rdiusu d, həci isə V d olr. 4 58

59 f d fusisı ilə f d fusisı siu qiəti ei öqtədə lır. d d olduğud, soucu ə böü qiəti d olduqd lır (-cü teoreə əssə). urd, d. 8. ucq əslı üsbət ol və (-; ) öqtəsidə eçə dü ətti oordit olrı ilə əsişdii öqtələri oordit bşlğıcıd əsfələri cəii l biləcəi ə içi qiət ə qədər ol bilər? (-;) öqtəsidə eçə və bucq əslı ol dü ətləri təlii şəlidədir. u dü ətti oordit olrı ilə əsişdii öqtələr -dir. Şərtə görə bucq əslı üsbət olduğud, bu öqtələrdə oordit bşlğıcı qədər əsfələri cəi, olr və deəli əsələ > şərti dilidə fusisıı ə içi qiətii tpılsı gətirilir. olduğud ə içi qiətii olduqd, əi olduqd lr. urd lıır i, -i l biləcəi ə içi qiət 59

60 9. Üç tərəfi veriliş bərbərlı trpesiı oturcğı bitişi bucğı elə seçi i, shəsi ə böü olsu. Oturcğ bitişi bucğı α ilə, veriliş tərəfləri ilə işrə edə. Şəilə əssə h Şəil. və,.deəli 4 cos si cos si olduğud və α iti bucq olduğud, cos si shəi ə böü olsı üçü, əi 6

61 ollıdır. urd α α Deəli, veriliş shəi ə böü olsı üçü α α ollıdır. Od və 4. Oturcqlrı ei və bir təpədəi bucğı α ol üçbucqlr içərisidə perietri ə böü olı tpı. Üçbucğı oturcğıı ilə, digər tərəflərii b, c ilə işrə edə. Od, qəbul oluuş işrələrə əssə bucqlrı, uğu olrq, α, β, γ ilə (γ= -(α + ) işrə oluur. Şəil 4. Siuslr teoreiə əssə b c si si si Od üçbucğı perietri p si Şəil 4. si si( ) si cos ( cos ) si si ( cos ) si si si cos ( cos ) ( cos ) si cos si( ) si si c b cos si ( cos 6

62 urd görüür i, perietri ə böü olsı üçü α β, əi ollıdır. urd. Piridı oturcğı iti bucğı ol dübucqlı üçbucqdır. Piridı bucğı ol təpədə çı tili oturcğ perpediulrdır, böü tili isə b-ə bərbərdir və oturcql β bucğı əələ gətirir. β-ı hsı qiətidə piridı həci ə böü olr? h h Şəil 5. I üsul. Şəilə əssə biləri: cos, si h b Od piridı həci b, p, b, p b olduğud, -cü teoreə əssə 6

63 olduqd, əi olr. urd olduqd pirdı həci ə böü. Yeə də şələ əssə cos. Deəli, cos b II üsul. Şəilə əssə, bcos, h bsi, si bcos si, bsi si olduğud,( iti bucq olduğud cos, si ) V b 6 cos si si Deəli, V i qiətii ə böü olsı üçü cos si ə böü qiət llıdır. cos si və cos si cos (si ) olduğud, -cü teoreə əssə olduqd urd cos si ə böü qiət lr. 4. Rdiusu R ol rıürə diliə çəilə silidrlər içərisidə həci ə böü olıı ölçülərii tpı. 6

64 Kürəi diliə çəilə silidrlərdə hər hsı birii rdiusuu r, hüdürlüüü h ilə işrə edə. u silidri həci olr. Şəilə əssə istəilə r və h üçü eləlilə, əsələi həlli şərtii ödəə r və h içərisidə fusisı ə böü qiət verəi tpılsı gətirilir. olduğud -cü teoreə əssə bu fusi ə böü qiət verə şərtii ödəəlidir. urd. Od Şəil 6. şərtidə lıır i, və. 64

65 Çlışlr. Perietrləri p ol üşbucqlr içərisidə shəsi ə böü olı hsıdır.(üç tərəfiə görə üçbucğı shəsii tpılsı düsturuu tətbiq edi. Cvb: ərbərtərəfli üçbucq.. Təpə öqtələri A (,), (,), C(, ) ol üçbucq dilidə elə öqtə tpı i, bu öqtədə təpələrə qədər ol əsfələri vdrtlrı cəi ə böü olsu. Cvb: və C öqtələri.. Hüdürlüləri ei ol dübucqlı üçbucqlr içərisidə shəsi ə içi olı tpı. Cvb: ərbərlı dübucqlı üçbucq. Göstəriş: Ktetləri və -lə işrə etsə, S h, S düsturlrıd S h S 4S. 4. Hüdürlüləri ei ol dübucqlı üçbucqlr içərisidə perietri ə içi olı tpı. Cvb: ərbərlı dübucqlı üçbucq. Göstəriş: S pr düsturud və əvvəli əsələdə isitfdə etəli: burd p üçbucğı rıperietri, r diliə çəiliş çevrəi rdiusudur. 5. Dirəi riciə shəsi ə içi ol rob çəi. Cvb: r. 65

66 Göstəriş: Robu tərəfii, diqollrıı d, d dirəi rdiusuu r -lə işrə etsə, robu shəsii d d S, S r düsturlrı ilə hesblq olr. u düsturlrd və d d 4 şərtidə istifdə etəli. 6. Shələri ei ol dübucqlılrd hsıı perietri ə içidir. Cvb: Kvdrt 7. Dietri A R ol rıdirəi üəridə C öqtəsii elə seçi i,bu öqtədə ediriliş CD perpediulrı ilə AC vətərii hsili ə böü olsu. Cvb: 4 AD R götürüb, D öqtəsidə A -ə perpediulr çədidə, ou çevrə ilə əsişdii öqtə C öqtəsidir. 8. Shələri S ol dübucqlılr içərisidə hsıı üç tərəfii cəi ə içidir? Cvb: S, b S ;, b -dübucqlıı tərəfləridir. 9. Oturcğı b, hüdürlüü h ol üçbucğı diliə shəsi ə böü ol dübucqlı çəi. (Dübucqlıı ii təpəsi tərəflər üəridə, oturcğı isə üçbucğı oturcğı üəridə olduqd dilə çəiliş hesb oluur). Cvb: Dübucqlıı hüdürlüü h ollıdır.. Ktetlərii uuluqlrı cəi ei ol dübucqlı üçbucqlr içərisidə shəsi ə böü olı tpı (Fer teorei). 66

67 . ;4 Cvb: ərbərlı dübucqlı üçbucq. N öqtəsidə eçiriliiş dü ətt oordit olrıı prçlrı ilə, birlidə dübucqlı üçbucq əələ gətirir. u üçbucğı böü tetii uuluğu eçə ollıdır i, lıış üçbucğı shəsi ə içi olsu, Cvb: 8 Göstəriş: N ;4 öqtəsidə eçə dü ətləri təlii -dir. u dü ətti oordit olrıı əsdii 4 4 öqtələr ;, ;4. içi verə -ı tpılsı gəlir. Məsələ ə. Müstəvi fiqur dübucqlıd və dübucqlıı urı oturcğı üəridə quruluş bərbərtərəfli üçbucqd ibrətdir. Fiquru perietrii p olduğuu bilərə ölçülərii elə seçi i, ou shəsi ə böü olsu. Cvb: 6 5 p, p. Shəsi əlu ol dübucqlı shəi ölçüləri eçə ollıdır i, ou çəpərləə üçü işlədilə toru uuluğu ə olsu. Cvb: Kvdrt. 4. Qbrıq dördbucqlıı dilidə ou təpələridə əsfələrii cəi ə içi ol öqtə tpı. Cvb: Dördbucqlıı diqollrıı əsişə öqtəsi. 5. Müstəvi üəridə dübucqlı oordit sistei və birici rübdə öqtə verilişdir. u öqtədə dü ətti elə eçirdi i, ou 67

68 oordit lrı ilə birlidə əələ gətirdii üçbucğı shəsi ə içi olsu. b Cvb: tg ; burd ; b öqtəi oorditlrı, isə həi dü ətti bsis ou ilə əələ gətirdii iti bucqdır. 6. Kld bir tərəfdə erləşiş ii şış ətəqəsii cu ilə təhci etə üçü lı shilidə su sosu qoq lıdır. Nsosu hrd qoq lıdır i, od dü ətt bouc ətəqələrə qədər ol əsfələri cəi ə içi olsu? (Yəi sosd ətəqələrə qədər ə boru işləsi). Göstəriş: Mətəqələri üstəvi üəridə öqtələr ii, lı isə dü ətt qəbul edərə öqtələrdə biri ilə həi dü əttə əərə sietri ol öqtəi tpib o biri öqtə ilə dü ətt prçsı ürə birləşdirəli. u prçı dü ətlə əsişə öqtəsi trıl öqtədir (İsbt etəli). 7. Tillərii uuluqlrı cəi ei ol dübucqlı prlelepipedlərdə hsıı həci ə böüdür? Cvb: Kubu. 8. Rdiusu R ol ürə diliə çəiliş və həci ə böü ol ousu oturcğıı rdiusuu tpı. Cvb: R. 9. Kürə diliə çəiliş silidrlər içərisidə həci ə böü ol hsıdır? Cvb: Hüdürlüü R ol. 68

69 . T səthi ol silidri ölçülərii elə seçi i, həci ə böü olsu. Cvb: R, H. Kvdrtl dügü ltıbucqlıı perietri bərbər isə, göstəri i, dügü ltıbucqlıı shəsi vdrtı shəsidə böüdür. Göstəriş: 5-ci əsələə b. Rdiusu R ol rıdirəi diliə shəsi ə böü ol dübucqlı çəi. Cvb: Tərəfi R ol vdrt.. Rdiusu R ol dirə diliə elə dübucqlı çəi i, ou tərəflərii vdrtlrı hsili ə böü olsu. Cvb: Tərəfləri R ol vdrt. 4. Perietri p ol üçbucqlr içərisidə shəsi ə böü olı tpı. Göstəriş: S pp p b p c olduğud ə böü shə p p b p c Cvb: ərbərtərəfli üçbucq. və p sbit ə böü olduqd lır. Vuruqlrı cəi isə sbitdir. 69

70 Cəbr əsələləri. 5 7 olduqd 5 7 hsilii ə böü qiətii tpı. 5 7 olduğud, 5 7 hsili -ci teoreə əssə 5 7 olduqd ə böü qiət lır sisteidə lırıq i, =;. Deəli, İsbt edi i, isə cəi -də içi deil. f fusiı topllrıı hsili sbit olduğud, öüü ə içi qiətii olduqd, əi olduqd lır və f f. Deəli, f.. i,,, şərti dilidə u fusisıı ə böü qiətii tpı. Adıdır i,,,, u cü teoreə əssə,, dəişələrii üsibətlərii ödəə qiəti u - ə böü qiəti verər. 7

71 7 urd, 6 və. 6 6 u 4.,, şərti dilidə ifdəsii ə içi qiətii tpı. Məlu b b bərbərsiliidə istifdə edərə, b, qəbul etsə, lrıq i, ifdəsi ə içi qiətii hsili ə böü qiət ldıqd lır. Məlu bərbərsiliiə əssə lrıq i,. 4 Deəli, olduqd 4 və bərbərli

72 7 olduqd lıır. Od 5 və əi, i və bərbərli olduqd lıır f fusisıı ; prçsıd ə böü qiətii tpı. I üsul. Məsələi həlliə -cü teorei birbş tətbiq etə üü deil, çüi 5 şərti -i heç bir qiətidə ödəir. Teorei tətbiq etə üçü, ədədlərii elə seçə i, cəi sbit olsu və 5, 5 şərtləri ödəsi. olduğud, bu cəi sbit olsı üçü ollıdır. Digər ii şərtdə lrıq i, 5 5 və. 5

73 və -ı elə seçə lıdır i, -i lıış qiətləri bərbər olsu. Od və - əərə 4 5 sisteii lrıq. u sistei həlləri, və, 5 5. Od 7,. Ylı öü 8 ; prçsı dildir və ou uğu olduğu, 5 5 üçü cəi sbit f fusisı ə böü olduğud, -cü teoreə əssə qiəti (, f f olduğuu d əərə lql) olduqd lır: f. II üsul. f şəlidə sq, dıdır i, vuruqlrı cəi sbitdir. Odur i, -ci teoreə əssə ə böü qiət olduqd, əi olduqd lırıq. Qed. Diferesil hesbıı tətbiq etsə böhrə öqtələrii / f ( ) təliii ölərii tpq və f ; prçsıd -i ə böü qiətii təi etə, hər ii üsuld ço vt tələb edir , 5, fusisıı ə böü qiətii tpı. 7

74 Vuruqlr birici teorei şərtlərii ödəir. Acq elə üəə üsbət vuruqlr seçə i, fusiı olr vurduqd o şərt ödəsi: 4 5. Əvvəl, -ı elə seçə i, 4 5 cəi sbit olsu. Adıdır i, olsu. urd görüür i, olduqd, əi olduqd cə sbit olur. -ci teorei şərtiə görə vuruqlr bərbər olduqd, əi 4, 5 Olduqd fusisı ə böü qiət lır. u sistei təlilərii rı-rı həll etsə lrıq: 4 5,. və -ı elə seçə i, -i lıış qiətləri bərbər olsu, əi 4 5 olsu. eləlilə,, - əərə, 4 5 sisteii lrıq. u sistei egə, üsbət həlli 4 vr. Od, deəli 6 fusisı, hə də 74

75 fusisı, veriliş prçd olduqd ə böü qiət lır: fusisıı ə böü qiətii tpı şəlidə q olr. 64 olduğud, -ci teoreə 64 əssə, fusisı ə içi qiətii 64 olduqd, əi 8 olduqd və deəli 64 fuisı ə böü qiətii lır:. 8. fusisıı ə böü qiətii tpı. Adıdır i, fusi ; prçsıd təi oluub və 4 bu fusi ilə və fusilrı -i ei qiətidə ə böü qiət lır. olduğud, -ci teoreə əssə lrıq i, ollıdır. urd,. Od 75

76 6,. 9. u,,, fusisıı ə içi qiətii tpı. Koşi bərbərsiliiə görə və bərbərli olduqd lıır, deəli 4 doğrudur, əi veriliş fusiı ə içi qiəti 4-dir.. İsbt edi i, əfi ol dəişəi cəi sbit isə, olrı vdrtlrı cəi ə içi qiətii bu dəişələr bərbər olduqd lır. Məsələi rii ılışı belədir:...,,,..., şərti dilidə... -i ə içi qiətii tpı. (: əsələ ). -ci teorei isbt seii tətbiq etsə, lrıq: i və urd ( ) i , 76

77 77 Od. i urd lırıq i, və bu qiət olduqd lıır. Od i və bu qiət olduqd lıır. Mühiələri belə dv etdirələ lrıq i,.,,...,, Qed edə i, qouluş əsləi həll etə üçü -i lı üçü hesblq lıdır. Od lırıq i, ) ( və bu qiət ) ( olduqd lıır. u qiəti əərə lsq, dı olr i, və deəli,.,

78 Deəli,,,..., dəişələri..., əi... şərtii ödəəlidir. u isə o deədir i, və götürəlii. Od. u qd ilə, əs istiqətdə dv etdirərə lrıq i,...,,,..., şərti dilidə... cəi ə içi qiəti... olduqd lır və i İsbt edi i, b,,, isə b cəi ə böü qiətii olduqd lır. Məsələi həll etə üçü edə. Od, b l cos, qəbul l şərtiə əssə, lsi olr və 78

79 əsələ l cos b l si,, cəii ə böü qiətii tpılsı gətirilir. b l cos b l si l b cos si b b l b si, si, b cos b b olduğud, l cos b l si cəi ə böü qiəti olduqd lır. urd lırıq i, cos cos si və deəli b b si olduqd l ( cos bsi) cəi ə böü b l qiət lır. u qd ilə seçilə üçü, b lb olur i, burd d,. b b Adıdır i, bu ə böü qiət l b olur..,,,..., şərtləri dilidə... cəii ə böü qiətii tpı....,, işrə etsə, -ci teoredəi isbt sei ilə lrıq i, 79 ( )...

80 8 ) ( və dıdır i, ) ( Od ) ( = -ci əsələə əssə, ə böü qiət olduqd, əi ) ( olduqd lıır və ) ( uu əərə lrq biləri: ) (. Yeə də -ci əsələə əssə ( =, b = ) lırıq i, ə böü qiət olduqd, əi ) ( olduqd lıır və ) ( Od və 4 ) (, 4 ) ( 4 4

81 8 u qd ilə lırıq i, istəilə,...,, üçü ) (, ) ( və üsusi hld ) (, ) (. Li veriliş əsələi həll etə üçü -i lı üçü hesblq lıdır. Deəli,., Od ql dəişələr... şərtii ödəəlidir, əi götürəlii. Odur i,, qəbul etsə, lrıq:,. urd dı olur i,,...,, dəişələri... şərtii ödəəlidir, əi götürəlii. uu əərə lrq götürsə,., u qd ilə dv edərə lrıq i,

82 ,. eləlilə, ldıq i, sd əfi ol dəişələri cəi sbit isə olrı vdrt ölərii cəi ə böü qiətii bu dəişələr bərbər olduqd lır və ə böü qiət - dir. Hsı iti bucğı üçü cos si ifdəsi ə böü qiət lır? cos si si si f işrə edə. iti bucq olduğud ( ) f ilə f ( ) si si üçü ə böü qiət lır. si si ei olduğu si si üçü f fusisı -ı təliidə təi etdidə ə böü qiət lır.urd, rcsi i hsı qiətidə si cos fusisı ə böü qiət lır? si 8, cos olduğud, si si, 4 cos cos və bərbərli, Z 8 4 doğrudur. Od si cos si cos qiət olduqd Deəli fusiı ə böü qiəti -dir və bu, Z olduqd lıır i hsı qiətidə si si fusisı ə böü qiət lır. 8

83 si si Fusiı si si şəlidə sq, si olduğud, o ə böü qiəti si olduqd, əi si olduqd lır. rcsi, və. 4 6.,, -i üçbucğı bucqlrı olduğuu qəbul urd Z edərə f cos cos cos fusisıı ə böü qiətii tpı. olsıı əərə lsq, f cos cos cos cos cos cos cos cos cos si cos cos. Məludur i, cos lıır). O görə (ərbərli olduqd f si cos si cos si si və bərbərli Alıış olduqd üüdür. si ifdəsi ə böü qiəti 8

84 si olduqd, əi olduqd lır. Deəli, f fusisı ə böü qiəti, olduqd, əi olduqd lır və. f 7.,, -i üçbucğı bucqlrı olduğuu qəbul edərə f si si si fusisıı ə böü qiətii tpı. Üçbucğı tərəfləri, b, c olsu. Kosiuslr teoreiə əssə b cos c bc, cos c b c, cos Yurıd isbt etdi i (teoreə, əticə), üsbət b c üçü və bərbərli c b əərə lrq biləri: b c b b, c b c olduqd doğrudur. uu b c b c cos. bc c b bc bc və bərbərli b c olduqd doğrudur. urd, si, si. bc bc Ei qd ilə lrıq i, b c si, si. c b Od 84.

85 b c si si si bc c b və b c olduqd bərbərli lıır. Deəli, f. 8 8.,, -i üçbucğı bucqlrı olduğuu qəbul edərə f fusisıı ə içi qiətii si si si tpı.,, olduğud, si, si, si. O görə də, Əss təliflər boləsidəi () bərbərsiliiə əssə, si si si si si si və si si si olduqd bərbərli lıır. 7-ci əsələə əssə, si si si 8 olduğud lrıq i, 6. si si si 8 Deəli, f i 6 9., şərtləri dilidə, 8, 85

86 tg(,, ) tg tg 5 tg tg 5 tg tg 5 fusisıı ə böü qiətii tpı. Məsələi şərtiə əssə tg Digər tərəfdə Deəli, və tg tg ctg. tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg. (7) eləlilə, veriliş əsələi belə də ifdə etə olr:,, və (7) şərtlərii ödəə,, -i elə seçəli i, f (,, ) fusisı ə böü qiət versi. (7) şərtii ( tg tg 5) ( tg tg 5) ( tg tg 5) 6 şəlidə sq, -ci əsələə əssə lrıq i, f,, öüü ə böü qiətii tg tg tg tg tg tg olduqd, əi = = = 6 olduqd lır və f f,,

87 ....,,,..., şərtləri dilidə f=si + si si cəii ə böü qiətii tpı. Əvvəlcə si fusisıı bir ühü ssəsii isbt edə. Göstərə i, istəilə turl ədədi və,, üçü... si si... si si bərbərsilii doğrudur. götürə. Od, olduğud, biləri: si si si cos si əi si si si və bərbərli lı olduqd üüdür. İdi isə tutq i, (8) bərbərsilii doğrudur və üçü isbt edə: , işrə edə. Od (9) bərbərsiliiə əssə lırıq i,, 8 (9) üçü 87

88 88 si si si si si Fəriəiə görə si... si si... si, si... si si... si bərbərsililəri doğrudur. u bərbərsililəri əərə lrq, biləri: () si... si si si... si si si... si si si... si si si si si "., eləlilə, (8) bərbərsilii şəlidə ol -lr üçü isbt oludu. Tutq i, ədədi şəlidə deil. ədədii elə seçə i, olsu və... işrə edə. Od

89 və isbt etdiiiə görə,... ( ) si si... si ( )si si urd... si si... si si. Deəli, (8) bərbərsilii istəilə turl ədədi üçü doğrudur və bərbərli lı... olduqd üüdür (bu ühiələr O.Koşiə əsusdur). (8) bərbərsiliidə istifdə edərə əsələi həll edə. u bərbərsilidə götürüb... olduğuu və bərbərsilii lı üülüüü əərə lsq, lrıq i, si si...si si... olduqd.... Hsı α iti bucğı üçü α α ifdəsi ə böü qiət lır? Şərtə görə α iti bucq olduğud, α α Odur i, cos.si cos si. Hə də si α α olduğud, -cü teoreə əssə f cos. si fusisı ə böü qiətii cos si 89

90 olduqd lr. urd α- əərə α α təlii lıır. urd d, α ; α ; α.ir tərəfi dş divr olql l uuluqlu torl üəə shəi dübucqlı ford çəpərləə lıdır. Çəpəri ölçülərii elə seçəli i, lı dübucqlıı shəsi ə böü olsu. Dübucqlıı seçiləli ol tərəflərii, ilə işrə etsə, əsələ (Şəil 8.) l şərtii ödəə, -lər(, >, >) içərisidə eləsii seçədə ibrətdir i, S ifdəsi ə böü olsu. Adıdır i, S () şəlidə q olr və olduğud, teore -ə əssə qiəti olduqd lır. şərtidə lıır i,, Şəil 8. -i ə böü Deəli toru rı böldüdə sor bir rısıı d rı bölələ düəldilə dübucqlıı shəsi ə böü olr.. Məri topu lüləsidə bşlğıc sürəti ilə bucğı ltıd tılır. Məri ə çou hsı hüdürlüə qlr? T pu lülə u öq ə rd bşl ğı ı qəbul edərə XOY rd e düəltsə, 9