HEYDƏR ƏLİYEV AZƏRBAYCAN XALQININ ÜMUMMİLLİ LİDERİ

Transcript

1 l i n ü ç ü HEYDƏR ƏLİYEV p a e d AZƏRBAYCAN XALQININ ÜMUMMİLLİ LİDERİ Ç

2 ali Çap üçün deil.

3 Nama Qəhrəmanova Məhəmməd Kərimov İlham Hüsenov RİYAZİYYAT0 Öìóìòÿùñèë ìÿêòÿáëÿðèíèí 0-úó ñèíôè ö öí Ðèéàçèééàò ôÿííè öçðÿ DƏRSLİK Bu nəşrlə bağlı irad və təkliflərinizi və elektron ünvanlarına göndərməiniz ahiş olunur. Əməkdaşlığınız üçün əvvəlcədən təşəkkür edirik! Radius Bakı - 07 Çap üçün deil

4 . Funksialar Funksia və onun verilmə üsulları...7 Bəzi funksiaların təin oblastı və qimətlər çoluğu... Funksiaların assələri... Cüt funksia, tək funksia...8 Hissə-hissə verilmiş funksialar...0 = n (n N) qüvvət funksiaları... Funksiaların təsnifatı... Qrafiklərin çevrilməsi...5 Funksialar üzərində əməllər... Mürəkkəb funksia... Tərs funksia...7 Ümumiləşdirici tapşırıqlar.... Fəzada nöqtə, düz ətt, müstəvi Fəzada nöqtə, düz ətt və müstəvi... Düz ətlə müstəvinin paralellii...8 Düz əttin müstəviə perpendikularlığı...9 Üç perpendikular teoremi...5 İki müstəvi arasındakı bucaq. İkiüzlü bucaqlar...5 Perpendikular müstəvilər...56 Paralel müstəvilər...59 Proeksialar və məsələ həlli...6 Ümumiləşdirici tapşırıqlar...65 Mündəricat. Bucağın triqonometrik funksiaları Dönmə bucaqları...67 Bucağın radian və dərəcə ölçüsü...69 Qövsün uzunluğu. Sektorun sahəsi...7 Triqonometrik funksialar...76 İstənilən bucağın triqonometrik funksiaları...80 Vahid çevrə və istənilən bucağın triqonometrik funksiaları...8 Çevirmə düsturları...86 Triqonometrik eniliklər...90 Toplama düsturları...9 Toplama düsturlarından alınan nəticələr...97 Triqonometrik ifadələrin sadələşdirilməsi...0 Ümumiləşdirici tapşırıqlar...0. Sinuslar, kosinuslar teoremi Sinuslar teoremi...07 Kosinuslar teoremi... Ümumiləşdirici tapşırıqlar Triqonometrik funksialar Dövri funksialar... = sin və = cos funksialarının qrafikləri... = sin və = cos funksialarının qrafiklərinin çevrilmələri...8 Beş əsas nöqtəsinə görə sinusoidin qurulması...6 Triqonometrik funksialar və periodik hadisələr... = tg və = ctg funksialarının qrafikləri... Tərs triqonometrik funksialar...50 Ümumiləşdirici tapşırıqlar...55 Çap üçün deil

5 6. Çoüzlülər Çoüzlülər...58 Prizmalar...60 Çoüzlülər və onların mütəlif tərəflərdən görünüşləri...6 Prizmanın səthinin sahəsi...66 Prizmanın müstəvi kəsikləri...7 Piramida. Piramidanın an səthinin və tam səthinin sahəsi...7 Piramidanın kəsikləri. Kəsik piramida...80 Ümumiləşdirici tapşırıqlar Üstlü və loqarifmik funksialar Həqiqi üstlü qüvvət... Üstlü funksia...7 Üstlü funksianın qrafikinin çevrilmələri... Üstlü funksia. e ədədi...6 Ədədin loqarifmi...8 Loqarifmik funksia...50 Loqarifmik şkala və məsələ həlli...5 Loqarifmin assələri...5 Üstlü tənliklər...58 Loqarifmik tənliklər...6 Üstlü bərabərsizliklər...65 Loqarifmik bərabərsizliklər...67 Ümumiləşdirici tapşırıqlar Triqonometrik tənliklər Sadə triqonometrik tənliklər...85 Triqonometrik tənliklərin həll üsulları...9 Triqonometrik tənliklərin tətbiqi ilə məsələ həlli...98 Triqonometrik bərabərsizliklər...00 Ümumiləşdirici tapşırıqlar Fiqurların həcmi Prizmanın həcmi... Piramidanın həcmi...8 Fəza fiqurlarının oşarlığı... Oşar fəza fiqurlarının səthləri və həcmləri... Kəsik piramidanın həcmi...6 Müstəvi kəsiklərinə aid məsələlər...8 Fəzada simmetria...9 Ümumiləşdirici tapşırıqlar Kompleks ədədlər Kompleks ədədlər...7 Kompleks ədədlər üzərində əməllər...7 Kompleks ədədin həndəsi təsviri...77 Kompleks ədədin modulu və arqumenti. Kompleks ədədin triqonometrik şəkli...78 Triqonometrik şəkildə verilmiş kompleks ədədlər üzərində əməllər...80 Kompleks ədədin n-ci dərəcədən kökləri...8 Ümumiləşdirici tapşırıqlar...8. Məlumatlar, proqnozlar Külliat və seçim. Təsadüfi seçim və növləri...86 Məlumatın təqdimi...90 Binomial açılışlar...97 Bernuli sınaqları...0 Ümumiləşdirici tapşırıqlar...06 Çap üçün deil

6 Funksialar Funksia və onun verilmə üsulları Bəzi funksiaların təin oblastı və qimətlər çoluğu Funksiaların assələri Cüt funksia, tək funksia Hissə-hissə verilmiş funksialar = n (n N) qüvvət funksiaları Funksiaların təsnifatı Qrafiklərin çevrilməsi Funksialar üzərində əməllər Mürəkkəb funksia Tərs funksia Çap üçün deil 6

7 Funksia və onun verilmə üsulları Ətraf aləmdə baş verən mütəlif proseslərdə kəmiətlərin bəziləri digərlərindən asılı olaraq dəişir və birinin qiməti digərinin qimətini müəən edir. Məsələn, piadanın getdii olun uzunluğu zamandan asılı olaraq dəişir, ərzağa ödənilən pul onun kütləsindən asılı olaraq dəişir. Yol və zaman, kütlə və dəər dəişən kəmiətlərdir. Bu kəmiətlərdən biri sərbəst, digəri isə ondan asılı olaraq dəişir. Məsələn, zaman sərbəst dəişən, gedilən ol isə zamandan asılı dəişən kəmiətdir, ərzağın kütləsi sərbəst, onun dəəri isə asılı dəişən kəmiətdir. Adındır ki, dəişən kəmiətlərin hər biri müəən çoluqdan qimətlər alır. X çoluğunun hər bir elementinə Y çoluğunun müəən bir elementini qarşı qoan qadaa X coluğunda təin olunmuş funksia deilir. Burada sərbəst dəişən və a arqument, isə asılı dəişən və a funksia adlanır. Funksianı adətən f (və a g, və s.) ilə, arqumentin verilmiş qimətinə uğun qimətini isə f() (və a g(), () və s.) ilə işarə edirlər: = f() Arqumentin ala bildii qimətlər çoluğuna funksianın təin oblastı deilir. Arqumentin bu qimətlərinə uğun asılı dəişənin aldığı qimətlər funksianın qimətlər çoluğunu əmələ gətirir. f funksiasının təin oblastı adətən D(f) ilə, qimətlər çoluğu isə E(f) ilə işarə edilir. Funksia mütəlif üsullarla verilə bilər: cədvəllə, uğun qimətlər cütləri ilə, asılılıq əritəsi ilə, qrafiklə, düsturla və s. Təin oblastı sonlu çoluqdursa, arqumentin hər bir qimətinə asılı dəişənin uğun qimətini qarşıqoma qadası olarla göstərilə bilər. Belə təsvir asılılıq əritəsi adlandırılır. Nümunə. X f Y X g X h Y 0 0 Burada f və g uğunluqlarının hər biri funksiadır, çünki X çoluğundan götürülmüş hər bir ədədə Y çoluğundan eganə ədəd qarşı qoulur. h uğunluğu isə funksia deil (niə?). Qarşıqoma qadasına görə aza bilərik: f() = 5, f() = 0, f() = 5 g(0) = 0, g( ) =, g() =, g( ) =, g() = Göstərilən funksiaları arqumentin və funksianın uğun qimətləri cütlərini sadalamaqla da vermək mümkündür. f funksiası: {(; 5), (; 0), (; 5)} g funksiası: {(0; 0), ( ; ), (; ), ( ; ), (; )} Y Çap üçün deil

8 Funksia və onun verilmə üsulları Funksia cədvəllə verilə bilər. Cədvəlin bir sətrində (və a sütununda) sərbəst dəişənin, digər sətrində (və a sütununda) isə asılı dəişənin qimətləri göstərilir. Nümunə. Bir hektardan ığılan taıl məhsulu (tonla) İllər ha-dan ığılan 5 məhsul (tonla) (009; ), (00; ), (0; ), (0; ), (00; 5), (0; ), (05; ) koordinatları hektardan ığılan məhsulun illərə görə dəişməsini göstərir. Təin oblastı (illər): {009; 00; 0; 0; 0; 0; 05} Qimətlər çoluğu (ığılan məhsulun miqdarları): {; ; ; 5} Funksia düsturla - analitik üsulla verilə bilər. Nümunə. f() =, Bu azılış onu göstərir ki, təin oblastı [; ] parçasıdır və bu parçadan götürülmüş hər bir ədədə həmin ədədin kvadratı qarşı qoulur. Məsələn, f() = =, f(,) =, =,, f() = =, f() = = 9 və s. Bu halda f() azılışı mənasızdır, çünki ədədi verilmiş funksianın təin oblastı olan [; ] parçasına dail deil. Arqumentin hər bir D qiməti üçün funksianın uğun = f() qimətini hesablaıb, koordinatları (; ) olan nöqtəni koordinat müstə visində qurmaq olar. Bütün belə nöqtələr çoluğu funksianın qrafikini (; ) (; ) əmələ gətirir. Funksianın qrafiki koordinat müstəvisində absisi (; ) arqumentin, ordinatı isə funksianın uğun qiməti f() f() f() olan bütün nöqtələr çoluğudur. 0 Funksia qrafiklə verilə bilər. İki dəişən kəmiət arasındakı asılılığı koordinat müstəvisində həndəsi olaraq təsvir etmək əlverişlidir. Nümunə. Şəkildə f() = + ətti funksiası intervalında qrafiklə verilmişdir. Uc nöqtələrinin koordinatları (; f()), əni (; ) və (; f()), əni (; 5) olan parça bu funksianın verilən aralıqdakı qrafikidir. Uc nöqtələri qrafikə aiddir. Şəkildə bu nöqtələr rəngli dairəciklərlə qed olunmuşdur. Qimətlər çoluğu: [ ; 5]. 0 Qed: Əgər funksianın qrafiki olan ərinin (və a düz ətt parçasının) ucları üsusi dairəciklə qed edilməibsə, deməli, qrafiki sonsuz davam etdirmək olar (adətən, bu uclardakı olarla göstərilir). Çap üçün deil 8

9 Funksia və onun verilmə üsulları İki kəmiət arasındakı asılılığın funksia olub-olmadığını onları ifadə edən nizamlı cütlərə nöqtələr çoluğunun koordinatlarına görə və a verilən qrafik təsvirə görə müəən etmək olar.. Nöqtələrin koordinatlarına görə. Arqumentin qimətləri arasında (cütün birinci qiməti) təkrarlanan qimətlər varsa, bu asılılıq funksia deildir. {(; A), (; B), (; C), (; D)} nöqtələr çoluğu ilə verilmiş asılılıq funksia deil. {(; A), (; B), (; C), (; C), (5; D)} asılılığı funksiadır.. Qrafik təsvirə görə. Ordinat ouna paralel çəkilmiş istənilən şaquli düz ətt qrafiki ən çou bir nöqtədə kəsərsə, bu asılılıq funksiadır (şəkil a). Ordinat ouna paralel çəkilən və qrafiki iki (və a daha ço) nöqtədə kəsən düz ətt varsa (şəkil b), bu asılılıq funksia deil. Bu onu göstərir ki, arqumentin (-in) eni qi mə tinə funksianın bir neçə qiməti u ğundur. Bu isə funksianın tərifinə ziddir. Örənmə tapşırıqları. Uğunluğun funksia olub-olmadığını müəən edin a) b) 0 5 Nöqtələr çoluğu ilə verilmiş asılılıqların funksia olub-olmadığını müəən edin. a) {(5; ), (; ), (; ), (; )} b) {(0; ), (; 5), (5; ), (0; )}. Cədvəllə verilmiş hansı (; ) asılılığına funksia demək olar? a) 0 0 b) Şaquli ətt çəkməklə verilən asılılıqların hər hansı bir funksianın qrafiki olub-olmadığını olaın. a) b) c) d) 0 0 a) b) Çap üçün deil

10 Funksia və onun verilmə üsulları Aşağıdakı asılılıqlardan hansına funksia demək olar? a) Ramizin həftəlik maaşı ilə satışdan əldə edilən gəlir arasındakı asılılıq. Ramiz həftəlik 50 manat sabit maaş və üstəgəl satışın %-i qədər əlavə alır. b) Əsmər 5 km/saat sürətlə eriirsə, onun getdii olun uzunluğunun zamandan asılılığı. c) Uşaqların aşdan asılı olaraq kompüter oununda topladıqları allar. Aşağıdakı verilənlərə görə = 0 və = qimətlərində -in qimətini hesablaın. Hansı asılılığın funksia olduğunu müəən edin. a) = 5 b) = c) + = 5 Hər bir asılılığı nümunəə uğun olaraq asılılıq əritəsi ilə təqdim edin. Hansı asılılıq funksia deil? Nümunə. {(5; 0), (0; 5), (5; 0), (0; 5)} a) {(5; 0), (0; 5), (5; 0), (0; 5)} c) b) {(5; ), (; 6), (; 0), (; )} d) 8. f() = funksiası verilmişdir. f( ), f(0), f(0,5), f(a + ) qimətlərini tapın. 9. g() = funksiası üçün g() + g( ) cəmini hesablaın {(; ), (; ), (0; 0), (; ), (;)} {(; ), (0; 0), (; ), (; ), (; )} 0. f() = funksiası verilmişdir. Arqumentin hansı qimətində funksianın qiməti: a) ; b) 0; c) olar?. f() = + q funksiası verilmişdir. f(0) = olarsa, f( )-i tapın.. Düsturla və a qrafiklə verilmiş funksiaların hər biri üçün f(0), f(,5), f( ) qimətlərini tapın. a) f() = 5 b) f() = + c) f() = + d) e) f) 0. Verilən təin oblastında funksianın qrafikini qurun. Qrafik üzərində təin oblastını və qimətlər çoluğunu göstərin. a) ƒ() = +, 6 < b) f() =, ( ; ] c) ƒ() =, > d) f() = +, ( ; ] Çap üçün deil

11 Funksia və onun verilmə üsulları. = + b funksiasının qrafiki A(; ) nöqtəsindən keçir. b-ni tapın və funksianın qrafikini qurun. 5. c-nin hansı qimətində f() = + + c funksiasının qrafiki A( ; ) nöqtəsindən keçir? 6. N( ; ) nöqtəsi f() = + m funksiasının qrafiki üzərindədir. f()-ni tapın. 7. Verilmiş funksianın qrafikini qurun və qrafikin koordinat oları ilə kəsişmə nöqtələrini göstərin. a) = b) = 8. Şəkildə =, = +, =, = funksialarının qrafikləri verilmişdir. Hər funksiaa uğun qrafiki göstərin. O O 9. Verilmiş funksianın addımı ilə qimətlər cədvəlini tərtib edin, qrafikini qurun, qimətlər çoluğunu göstərin. a) = + 6, 6 b) =, 0. Qrafiki verilmiş ətti funksianı düsturla f() = k + b şəklində azın. f( ), f(6) qimətlərini tapın.. O f() funksiasının verilmiş qrafikinə görə tapın: a) f( ), f( ), f(0), f() qimətlərini; b) -in f() = və -in f() = bərabərliini ödəən qimətlərini. O O. Aşağıdakı situasialara uğun funksiaları düsturla azın. Situasiaa görə funksianın təin oblastını müəən edin və qrafikini qurun. Qrafikdən funksianın qimətlər çoluğunu tapın. ) Dilarə hər 0 dəqiqədə km olmaqla 0 dəqiqə qaçdı. ) Bir fotoşəklin çap qiməti 5 qəpikdir. n sada fotoşəkilin çap qiməti. ) Hündürlüü 0 sm olan və hər saat andıqda 5 sm kiçilən şam 6 saat andı. ) n sada atı nallamaq üçün lazım olan nalların saı. 5) Bir litr benzinin qiməti 90 qəpikdir. Avtomobilin bakı 0 litr benzin tutur. Çap üçün deil O

12 Bəzi funksiaların təin oblastı və qimətlər çoluğu Analitik üsulla verilmiş funksianın təin oblastı göstərilməibsə, təin oblastı ola raq arqumentin bütün elə qimətləri nəzərdə tutulur ki, bu qimətlərdə funksianı ifa də edən düsturun mənası olsun (arqumentin bu qimətlərini bəzən funksianın təbii təin oblastı adlandırırlar). Bu halda arqumentin hansı qimətləri ala bilmədiini araşdır maq lazım gəlir. Bəzi funksiaların cəbri azılışına görə onun təin oblastını müəən edək.. Funksia sərbəst dəişənə görə çohədli şəklində verilibsə, onun təin oblastı bütün həqiqi ədədlər çoluğudur. Məsələn, f() = + funksiasının təin oblastı ( ; +) çoluğudur.. Rasional funksiaların mərəcindəki ifadənin qiməti sıfra bərabər ola bilməz. Məsələn, g() = rasional funksiasında arqumentin = 0 şərtini ödə ən qimətləri onun təin oblastına dail ola bilməz. Bu qimətlər = və = -dir. g() funksiası (; ) (; ) (; +) çoluğunda təin olunmuşdur.. Kvadrat kök dail olan funksialarda kökaltı ifadə mənfi qimət ala bilməz. Bu halı iki nümunə üzərində nəzərdən keçirək. ) = 6 funksiasının təin oblastı -in 6 0, əni şərtini ödə ən qimətləridir. Deməli, funksianın təin oblastı [; +) aralığıdır. Kvadrat kökün mənası olması üçün 6 0 olmalıdır. Onda 6 0, əni 0 olur. Bu isə o deməkdir ki, = 6 funksiasının qimətlər çoluğu [0; +) aralığıdır. ) = funksiasının təin oblastını və qimətlər çoluğunu tapaq. 0 olmalıdır. Bu bərabərsizliin həllər çoluğu [ ; ] aralığıdır. Deməli, verilmiş funksia [ ; ] parçasında təin olunmuşdur. Təin oblastından götürülmüş istənilən üçün 0 olur. Buradan 0. Yəni 0. Başqa sözlə, funksianın qimətlər çoluğu [0; ] parçasıdır.. Qrafiklə verilmiş funksianın təin oblastının və qimətlər çoluğunun tapılması. Nümunə. Şəkildə = + ətti funksiasının müəən intervalda qurulmuş qrafiki verilmişdir. Qrafikə görə funksianın təin oblastını və qimətlər çoluğunu bərabərsizliklə azın. 6 0 Həlli: Qrafikin uclarının rəngli və a rəngsiz təin oblastı dairəciklə qed olunmasına görə uğun nöqtənin absisinin təin oblastına, ordinatının qimətlər çoluğuna dail edilibedilmədiini müəənləşdirək. (; ) nöqtəsi rəngsiz dairəciklə göstərildiindən = nöqtəsi təin oblastına, = qiməti isə qimətlər çoluğuna dail deil. Təin oblastı: 6 < Qimətlər çoluğu: < 5 Çap üçün deil qimətlər çoluğu

13 Bəzi funksiaların təin oblastı və qimətlər çoluğu Örənmə tapşırıqları.. Funksiaların f( ), f( ), f(0), f(), f() qimətlərini (mümkün olduqda) tapın, tapmaq mümkün olmadıqda isə səbəbini izah edin. a) ƒ() = b) f() = c) d) f() = ( )( + ) e) f() = + f) Hər bir funksianın təin oblastını və qimətlər çoluğunu göstərin. a) f() = b) f() = c) f() = d) e) f() = Funksiaların təin oblastlarını tapın. f() = f() = + f() = + a) = + b) = c) = d) = e) = f) = g) = h) = i) = + Hər bir funksianın təin oblastını və qimətlər çoluğunu tapın. a) ƒ() = b) g() = ( + ) + 6 c) h() = d) () = + 9 e) u() = 9 f) v() = ( ) Funksiaların təin oblastlarını tapın. a) f() = b) f() = c) f() = = m + 8 funksiasının qrafiki M(; ) nöqtəsindən keçir. Funksianın ən kiçik qimətini tapın və qimətlər çoluğunu göstərin. Funksianın qrafikinə görə onun düsturunu azın. Təin oblastını və qimətlər çoluğunu qrafik üzərində göstərin və ikiqat bərabərsizlik şəklində azın. h 6 5 a) b) c) t 0 Açıq tipli sual. Təin oblastı verilmiş çoluq olan hər hansı funksia azın: a) bütün həqiqi ədədlər; b) -dən fərqli bütün həqiqi ədədlər; c) -dən kiçik olmaan bütün həqiqi ədədlər; d) -dən böük olmaan bütün həqiqi ədədlər. Çap üçün deil

14 Funksiaların assələri Funksianın assələrini əani görmək üçün onun qrafiki əlverişlidir. Funksianın sıfırları. Funksianın qrafiki üzərindəki nöqtələrin absislərini müəən etməklə onun təin oblastı tapılır. Funksianın qrafikinin absis ou ilə kəsişmə nöqtələrində f() = 0 olur. Arqumentin funksianı sıfıra çevirən qimətlərinə funksianın sıfırları deilir. = f() = f() = f() (0; f(0)) (; 0) (; 0) (; 0) (0;f(0)) (; 0) (; 0) Sıfırı odur. Üç sıfırı var.,,, İki sıfırı var., f() funksiasının sıfırları f() = 0 tənliinin kökləridir. Funksianın sıfırları onun təin oblastını bir neçə aralığa bölür və bu aralıqların hər birində funksia işarəsini sabit salamaqla müsbət və a mənfi qimətlər alır. Şəkildəki qrafikdə funksianın işarə sabitlii aralıqları sematik olaraq göstərilmişdir. Funksianın sıfırları > 0 < 0 > 0 Funksianın artması və azalması. Təin oblastının müəən aralığından götürü lmüş > şərtini ödəən itiari, üçün f() > f() olarsa, əni arqumentin böük qimətinə funksianın böük qiməti uğundursa, bu aralıqda f()-ə artan, f() < f() olarsa, əni arqumentin böük qimətinə funksianın kiçik qiməti uğundursa, f()-ə bu aralıqda azalan funksia deilir. Funksiasının verilən aralıqda artan olmasını ilə, azalan olmasını isə ilə göstərəcəik. + f () f () artan f () + > f() > f() > f() < f() Əgər f() funksiası müəən aralıqda artandırsa (azalandırsa), f() funksiası bu aralıqda azalandır (artandır). Məsələn, f() = funksiası [0; +) aralığında artan, g() = funksiası isə həmin aralıqda azalandır. Əgər f() funksiası müəən aralıqda sıfırdan fərqli, artan (azalan) və işarəsi dəişməən funksiadırsa, funksiası həmin aralıqda azalandır (artandır). f() f () f () + = 0 azalan Çap üçün deil f ()

15 Funksiaların assələri Məsələn f() = + funksiası [0; +) aralığında artan, g() = siası həmin aralıqda azalandır. + funk - Bucaq əmsalının işarəsinə görə ətti funksianın artan və a azalan olduğunu müəən etmək olar. Bucaq əmsalı müsbət olan ətti Bucaq əmsalı mənfi olan ətti funksialar artandır. funksialar azalandır. = + = + f u n k s i a s ı funksiası artandır azalandır 5 5 f() = k + b funksiasının k > 0 olduqda bütün ədəd ounda artan, k < 0 olduqda azalan funksia olduğunu analitik üsulla göstərək. Arqumentin ( ; +) aralığında götürülmüş və > şərtini ödəən iki qiməti üçün f() f() fərqinə baaq: f() f() = (k + b) (k + b) = k ( ). Şərtə görə > olduğundan f() f() fərqinin işarəsi k-nın işarəsi ilə enidir. Deməli, k > 0 olduqda f() > f(), əni funksia artandır, k < 0 olduqda isə f() < f(), əni funksia azalandır. Verilmiş aralıqda artan və a azalan funksialara həmin aralıqda monoton funksialar deilir. Qrafik üzərində artmanın azalma ilə və a azalmanın artma ilə əvəz olunduğu nöqtələr uğun olaraq, funksianın maksimum və minimumunu göstərir. 0 nöqtəsinin dail olduğu itiarı intervala bu nöqtənin ətrafı deilir. 0-ın müəən ətrafında 0-dan fərqli bütün -lər üçün f() > f(0) olarsa, 0-a f()-in minimum nöqtəsi, f(0)-a isə minimum qiməti deilir. 0-ın müəən ətrafında 0-dan fərqli bütün -lər üçün f() < f(0) olarsa, 0-a f()-in maksimum nöqtəsi, f(0)-a isə maksimum qiməti deilir. Maksimum və minimum nöqtələri ma, min kimi işarə edilir və ekstremum nöqtələri, funksianın bu nöqtələrdəki qimətləri isə ekstremumları adlanır. Qrafiki verilmiş funksia = c nöqtəsində minimuma, = d nöqtəsində isə maksimuma malikdir. Bu belə azılır: qimətlər çoluğu min = c, fmin = f(c), ma = d, fma = f(d). ƏBQ maksimum Bütün təin oblastında funksianın qimətləri içərisində ən böüü ƏBQ, ən c kiçii isə ƏKQ ilə (əgər varsa) işarə edilir. b a d Funksia kəsil məzdirsə (verilmiş aralıqda minimum qrafiki bütöv ətdirsə), ƏKQ ilə ƏBQ ƏKQ arasındakı bütün qimətləri alır. Çap üçün deil 5 0

16 Funksiaların assələri Nümunə. Qrafiki verilmiş funksianın assələrini sadalaın. Həlli:. Funksianın təin oblastı [ ; 5) aralığıdır. = olduqda f( ) = (uğun nöqtə rəngli dairəciklə göstərilib). (5; ) nöqtəsi isə qrafikə aid deil (rəngsiz dairəciklə göstərilib). Funksianın qimətlər çoluğu [ ;] aralığıdır.. Funksianın sıfırları. Qrafikin ou ilə kəsişmə nöqtələrinin absisləri: = və =. Deməli, = və = funksianın sıfırlarıdır: f() = 0, f() = 0 Fun ksianın sıfırları onun təin oblastını funksianın işarəsini sabit saladığı üç aralığa bölür: [ ; ), (; ) və (; 5). Funksia (; ) aralığında mənfi, [ ; ) və (; 5) aralıqlarının hər birində müsbət qimətlər alır.. Funksianın artması və azalması. Qrafikdən görünür ki, -in -dən 0-a kimi artması ilə -in qimətləri -dən -ə kimi artır, -in 0-dan -ə kimi artması ilə -in qimətləri -dən -ə kimi azalır, -in -dən 5-ə qədər artması ilə -in qimətləri -dən -ə kimi artır. Funksia [ ; 0] və [; 5) aralıqlarının hər birində artandır, [0; ] aralığında isə azalandır.. Funksianın ekstremumları maksimumu və minimumu. Qrafik üzərindəki (0; ) və (; ) nöqtələri ekstremum nöqtələridir. Bu nöqtələr uğun olaraq funksianın maksimumunu və minimumunu göstərir: ma = 0, fma =, min =, fmin =. Örənmə tapşırıqları. Funksianın sıfırlarını tapın. a) = 5 b) = ( ) c) = d) =. Sıfırları verilən ədədlər olan hər hansı funksianın qrafikini təsvir edin. a) ; b) ; ;. a) Təin oblastı [; ] olan hər hansı artan funksianı qrafik təsvir edin. b) Təin oblastı [; ] olan hər hansı azalan funksianı qrafik təsvir edin.. Asılılıq əritəsi ilə verilmiş funksiaların: ) təin oblastını, qimətlər çoluğunu göstərin; ) artması və azalması haqqında azın a) 0 5 b) c) 9 d) X Y X Y X Y X Y 6 ( ; ) Qimətlər çoluğu = f() (0; ) (5; ) 0 (; ) Təin oblastı Çap üçün deil

17 6. Funksiaların assələri 5. Qrafiki şəkildə verilmiş funksia üçün: a) təin oblastını; b) sıfırlarını; c) müsbət qimətlər aldığı aralıqları; d) mənfi qimətlər aldığı aralıqları; e) artma və azalma aralıqlarını; f) ekstremumlarını; g) qimətlər çoluğunu göstərin. ) ) = f() funksiası ( ; +) aralığında təin olunmuş və azalan funksiadır. Funksianın qimətlərini artan sırada düzün: a) f(0), f( ), f(); b) f(), f( ), f(); c) f( ), f( ), f( ) 5 7. Cədvəldə A və B şirkətlərinin həftələrə görə satış həcmləri verilmişdir. a) Hər bir şirkət üçün satış həcminin artdığını və a azaldığını müəən edin. b) Hər bir şirkət üçün verilmiş cədvəli qrafik təsvir edin. A şirkəti (on min manatla) B şirkəti (on min manatla) 8. Həftə Satış həcmi 5 7, 8,7 Verilmiş funksianın qrafikini qurun. Artan və a azalan olduğunu göstərin. Funksianın ƏBQ və ƏKQ-ni tapın. a) f() =, b) f() =, 9. Funksianın sıfırlarını tapın, qrafikini sematik təsvir edin. İşarə sabitlii aralıqlarını, artma-azalma aralıqlarını göstərin, ekstremumlarını azın. a) = b) = c) = Qrafiki A(; ) və B(; ) nöqtələrindən keçən f() = k + b funksiasının düsturunu azın. f( ), f( ), f() qimətlərini artan sırada düzün. Arqumentin hansı qimətlərində f() f() olduğunu müəən edin.. Funksianın ən böük və ən kiçik qimətini (əgər varsa) tapın. a) f() = + b) f() = c) f() = +. Verilmiş funksianın verilmiş aralıqda qrafikini qurun. Ekstremumlarını göstərin. Ən böük və ən kiçik qimətlərini tapın. a) =, [ ; ] b) = +, [ ; ] 7 Həftə Satış həcmi 5,6,,8 Çap üçün deil

18 Cüt funksia, tək funksia Təin oblastı = 0 nöqtəsinə nəzərən simmetrik olan funksialara baaq. Təin oblastından götürülmüş itiari üçün f() = f() olarsa, f()-ə cüt funksia deilir. ( ; ) 6 o Cüt funksianın qrafiki ordinat ouna nəzərən simmetrikdir. (; ) Tək funksianın qrafiki koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir. f() tək funksiası = 0 nöqtəsində təin olunubsa, onda f(0) = 0. 8 o ( ; ) Heç də bütün funksialar tək və a cüt funksia olmur. Əgər funksianın təin oblastı = 0 nöqtəsinə nəzərən simmetrik deilsə, funksia nə tək, nə də cütdür. Təin oblastı = 0-a nəzərən simmetrik olan funksia üçün f( ) = f() və f( ) = f() şərtləri pozulduqda da funksia nə tək, nə də cütdür. Nümunə. f() = + funksiasının tək-cütlüünü araşdırın. Həlli: Funksianın təin oblastı olan bütün həqiqi ədədlər çoluğu = 0 nöqtəsinə nəzərən simmetrikdir. Lakin, f( ) = ( ) + ( ) = olduğuna görə f( ) f() və f( ) f(). Deməli, verilən funksia nə tək, nə də cütdür. Nümunə. f() = + funksiasının tək-cütlüünü araşdırın. Həlli: Funksianın təin oblastı bütün həqiqi ədədlər çoluğudur və () f() = () + ( ) ( ) = = = = f() () f() = f() olduğundan verilən funksia tək funksiadır. Nümunə. Funksianın qrafikinə görə tək-cütlüünü araşdırın. a) f() = b) f() = + Funksianın qrafiki ordinat ouna nəzərən simmetrikdir. Cüt funksiadır o Təin oblastından götürülmüş itiari üçün f() = f() olarsa, f()-ə tək funksia deilir. Funksianın qrafiki nə ordinat ouna nəzərən, nə də koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrik deil. Funksia nə tək, nə də cütdür. (; ) - o - Çap üçün deil

19 Cüt funksia, tək funksia Örənmə tapşırıqları. Verilən funksiaların tək-cütlüünü araşdırın. a) f() = 5 + b) f() = f() = c) f() = d) +. Qrafikləri verilən funksiaların tək və a cüt olduğunu müəən edin.. a) b) c) 0 Verilən funksiaların tək-cütlüünü araşdırın. f() = + 6 f() = + f() = 5 0 f() = + f() = + f() = 5 f() 0 9 f() = f() = ( + 5) f() = f() = f() = +. Bütün ədəd ounda təin olunmuş f() funksiası verilmişdir. Tapın: a) f() cüt funksia və f( ) = 7 olarsa, f() qimətini; b) f() tək funksia və f( ) = 7 olarsa, f() qimətini; c) f() cüt funksia və f( ) = 8, f(5) = olarsa, f() + f( 5) cəmini; d) f() tək funksia və f( ) =, f() = 7 olarsa, f() + f(0) + f( ) cəmini. 5. Təin oblastı [ ; ] olan f() funksiasının qrafikinin bir hissəsi verilib. Qrafiki tamamlaın: a) f() cüt funksiadırsa; b) f() tək funksiadırsa Təin oblastı verilmiş aralıq olan funksia tək və a cüt funksia ola bilərmi? a) [ 6; 6]; b) ( 6; 6); c) ( 6; 6]; d) [ 9; 0); e) ( ; ) (; +) 7. f() funksiası bütün ədəd ounda təin olunmuş,cüt funksiadır və [0;+) aralığında artandır. ) Müqaisə edin: a) f() ilə f(); b) f(5) ilə f(7); c) f( ) ilə f( ); d)f( 5) ilə f( 7) ) ( ; 0] aralığında f() funksiası artan, osa azalandır? 8. Təin oblastı [ 6; 6] parçası olan, = nöqtəsində sıfıra çevrilməklə [ 6; 0] aralığında artan hər hansı cüt funksianın qrafikini sematik təsvir edin. -in hansı qimətlərində f() > 0 olar? Çap üçün deil - 0

20 Hissə-hissə verilmiş funksialar Real həati situasialarda dəişən kəmiətlər arasındakı asılılıqlar bir ço hallarda bir deil, bir neçə düstur və bərabərsizliklə ifadə edilir. Məsələ. Topdansatış mağazasında ən azı 0, ən çou 0 idman könəi alanlar üçün bir könəin qiməti manat, 0-dən ço könək alanlar üçün isə bir könəin qiməti manatdır. Satışdan dail olan pulu C, satılan könəklərin saını n qəbul etməklə bu iki kəmiət arasındakı asılılığı azın. Həlli: Bu situasianı C(n) = n, 0 n 0 olduqda və C(n) = n, n > 0 olduqda funksiaları ilə ümumi şəkildə aşağıdakı azılışla ifadə etmək olar: n 0 n 0 C (n) = n n > 0 n = 5, n = 0, n = 0, n = 0 olduqda C(n) funksiasının qimətlərini tapaq. n = 5 və n = 0 qimətləri 0 n 0 şərtini ödədii üçün əldə olunan pulu n düsturu ilə hesablamalııq: C (5) = 5 = 5, C (0) = 0 = 60 n = 0 və n = 0 qimətləri n > 0 şərtinə uğundur: C(0) = 0 = 60, C(0) = 0 = 80. Təin oblastının mütəlif aralıqlarında mütəlif düsturlarla verilən funksialara hissə-hissə verilmiş funksialar deilir. Nümunə. Hissə-hissə verilmiş funksianın qrafikini qurun., < olduqda ƒ() =, olduqda Həlli: Bu funksianın qrafiki = nöqtəsindən solda = düz əttinin, = -dən sağda isə = düz əttinin üzərinə düşür. 0 f() = olduğuna görə verilən funksianın qrafiki (; ) təpəsi (; ) nöqtəsində olan sınıq ətdir. Qələmi vərəqdən aırmadan qrafiki təsvir etmək olursa, funksia kəsilməzdir deilir. Nümunədə verilən funksia kəsilməzdir. Nümunə. Funksianın qrafikini qurun. 0, əgər 0 <, əgər < ƒ() =, əgər < göstərir, əgər < rəngli dairəcik f() = olduğunu Bu funksianın qrafiki pilləvari hissələrdən ibarətdir. Qrafiki qırıq ətt olduğundan funksia kəsiləndir. Hər bir ədədə bu ədədin tam hissəsini qarşı qoan tam hissə funksiası f() = [] kimi azılır. Qurulan qrafik tam hissə funksiasının [0; ) aralığındakı qrafikidir. 0 0 rəngsiz dairəcik f() oldu - ğunu gös tərir Çap üçün deil

21 Hissə-hissə verilmiş funksialar Örənmə tapşırıqları. Hissə-hissə verilmiş funksianın qimətlərini arqumentin verilən qimətlərində hesablaın. f() = + 5 > a) =,5 b) = c) = d) =. f() = 0 funksiası verilmişdir. Tapın: > 0 a) f( ) b) f( ) c) f(0) d) f() e) f(). a) Hissə-hissə verilmiş funksianın qrafikini qurun. Qrafikinə görə funksianın kəsilməzliini araşdırın. f() = +, <, 0 <, b) f() = 5, < c) f() =, <, 6, < 6. Qrafiki verilmiş hissə-hissə fun ksi a nı düsturla azın. a) (,5) b) c) (,) (7,0) M() funksiası çap edilən fotoşəkillərin 0,5, 0 < 5 saından asılı olaraq ödənilən məbləği M() = 0,0, 6 00 (manatla) göstərir. 0,07, ) 0 fotoşəklin çapı üçün ödənən məbləği tapın. 0,05, 50 ) 50 şəkil çapı üçün 0 manatdan az ödəmək lazımdır fikri doğrudurmu? ) 0 manata neçə fotoşəkil çap etmək olar? Avtomobil daanacağında ödəniş şərti: Hər arım saat 0,50 M. Ödənilən məbləğ manata çatdıqdan sonra, avtomobil daanacaqda daha 0 saat qala bilər. a) ödəniş şərtini hissə-hissə funksia ilə ifadə edin; b) funksianın qrafikini qurun; c) təin oblastını və qimətlər çoluğunu azın. Göstəriş: Tələb olunan funksianı f(t) ilə işarə edin və 0,50; ;,5; manat məbləğlərinə uğun zaman intervallarını azın. Şirkət işçilərə maaşı iş saatına görə aşağıdakı şərtlərlə ödəir: Əgər işçi həftə ərzində 0 saata qədər işləərsə, hər iş saatı üçün 8 manat, 0 saatdan artıq hər iş saatı üçün bu normadan,5 dəfə ço məvacib alır. Bu şirkətdə işçiə verilən məvacibi hissə-hissə funksia şəklində azın. Həftədə 8 saat işləmiş işçi neçə manat məvacib almalıdır? 0 Çap üçün deil

22 = n (n N) qüvvət funksiaları n natural ədəd olduqda = n şəklində funksiaa natural üstlü qüvvət funksiası deilir. n =, n =, n = olduqda qüvvət funksialarının qrafikləri aşağıda verilmiş dir. a) = o o b) = c) = o = funksi a sının qrafiki düz ətdir. = funksiasının qrafiki paraboladır. = n funksiasının qrafiki n-in istənilən cüt qimətində ordinat ouna nəzərən simmetrikdir və = parabolasına oşardır. n-in istənilən tək qimətində = n funksiasının qrafiki koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir və n-in -dən böük tək qimətlərində = -nun qrafiki olan kub parabolaa oşardır. D( k )= ( ; + ) E( k )= [0; + ) Sıfrı: = 0 ( ; 0] [0;+) min=0; fmin=0 ( ; ) D( k+ )= ( ; + ) E( k+ )= ( ; + ) Sıfrı: = 0 ( ; + ) ekstremumu odur = funksiasının qrafiki kub paraboladır. n >, n N olduqda n funksiasının qrafiki n tərtibli parabola adlanır. Qrafiklərdən göründüü kimi, n > m olduqda (0; ) aralığında n funksiasının qra fiki m funksiasının qrafikindən aşağıda, (; +) aralığında isə uarıda erləşir. Örənmə tapşırıqları o = 6 = = (; ) Verilmiş funksianın qrafiki verilmiş düz ətlə kəsişirmi? a) =, = ; b) = 6, = ; c) = 5, = ; d) = 7, = f() = və g() = funksiaları verilmişdir. Müqaisə edin: a) f(0,) və g(0,); b) f( ) və g( ); c) f() və g(). o ( ; ) (; ) = = 5 = 0; = ; = 5 nöqtələrində funksiaların qimətlərini sıfırla müqaisə edin. a) f() = 7 b) f() = 6 Verilmiş funksianın qrafiki verilmiş nöqtədən keçirmi? a) =, A( ; 6); b) = 5, B( ; ); c) = 5, C( ; ) = və = 6 funksialarının qrafiklərini eni koordinat müstəvisində qurun və kəsişmə nöqtələrini göstərin. Qrafik təsvirə görə < 6 və > 6 bərabərsizliklərini həll edin. Çap üçün deil

23 Funksiaların təsnifatı Dəişən kəmiətlər olduqca mütəlifdirlər. Lakin ilk baışdan bir-biri ilə əlaqəsi görünməən proseslərdə kəmiətlərin dəişmələri təbiətcə eni olan asılılıqla verilə bilir. Buna görə ən ço rast gəlinən asılılıqlara uğun (ana) funksia əsas götürülür və bu əsas funksianın üzərində aparılan çevrilmələrlə alınan funksialar bir ailədə birləşdirilir. Məsələn, = +, = ( ) +, = funksialarının qrafikləri = parabolası üzərində aparılan çevrilmələrlə alınır. Ona görə də bu funksialar, eləcə də = a( m ) +n düsturu ilə verilən bütün funksialar bir ailəə dail edilir və bu ailənin əsas funksiası isə = hesab edilir. Aşağıdakı cəd vəl də bəzi əsas funksiaların qrafikləri və onlar haqqında bir sıra məlumatlar verilmişdir. Sabit funksia Enilik funksiası f() = c f() = Modul funksiası f() = Rasional funksia f() = O D(f) = ( ; + ) E(f) = {c} Kvadrat funksiası f() = O D(f) = ( ; + ) E(f) = ( ; + ) Sıfrı: = 0 Artan funksiadır Ekstremumu odur D(f)= ( ; + ) E(f)= [0; + ) Sıfrı: = 0 ( ; 0], [0; +) (0; 0) nöqtəsində minimum O D(f) = ( ; + ) E(f) = [0; + ) D(f)=( ; 0) (0; + ) E(f)=( ; 0) (0; + ) Sıfrı: = 0 ( ; 0], [0; +) Sıfrı odur (0; 0) nöqtəsində ( ; 0), (0; +) minimum Ekstremumu odur Kub funksiası f() = D(f)= ( ; + ) E(f)= ( ; + ) Sıfrı: = 0 Artan funksiadır Ekstremumu odur O O O Kvadrat kök funksiası f() = O D(f)= [0; + ) E(f)= [0; + ) Sıfrı: = 0 [0; +) Ekstremumu odur Çap üçün deil

24 Funksiaların təsnifatı Örənmə tapşırıqları. ) Cədvəllə verilmiş funk si a ların qrafiklərini qurun. Hər bir funksia üçün aid olduğu ailənin əsas funksiasını azın. a) Cədvəldə 00-ci ildən baş laaraq sahibkarın əldə etdii illik gəlir (manatla) göstəril mişdir. = qiməti 00-ci ilə uğundur. 08-ci ildə sahibkarın əldə etdii gəlir təminən nə qədər olar? b) Cədvəldə saat 5:00-dan başlaaraq hər növbəti saat ərzində mağazada satılan çörəklərin saı göstərilmişdir = qiməti saat 5:00-a uğundur. Saat 7:0-da satılan çörəklərin saını təmin edin. ) Verilmiş qrafik lərdən hər birinin a) b) uarıdakı situasialardan hansına uğun olduğunu müəən edin.... (; ), (0; 0), (; ) nöqtələr çoluğunu hansı funksia ilə ifadə edərdiniz? a) Əgər (; ) nöqtəsi (; ) nöqtəsi ilə əvəz edilərsə, bu nöqtələr çoluğunu hansı funksia ilə təsvir etmək olar? b) Əgər (; ) nöqtəsi (9; ) nöqtəsi ilə əvəz edilərsə, bu nöqtələr çoluğunu hansı funksia ilə təsvir etmək olar? c) Verilmiş nöqtələrə (; 8) və (; 8) nöqtələri əlavə edilsə, bu nöqtələr çoluğunu hansı funksia ilə ifadə etmək daha doğru olardı? pv T = const (ideal qazın hal tənlii) düsturunda p, V və T kəmi ət lər indən hər hansı birini sabit qəbul edərək, digər ikisi arasındakı asılılığın arakterini müəən edin. Bütün hallara baın. Hər bir hal üçün əsas funksianı göstərin. və dəişənləri arasında asılılığın düz mütənasiblik və a tərs mütənasiblikdən biri olduğu məlumdur. f() = və f() = olduğunu bilərək, = f() funksiasının düsturunu azın və qrafikini qurun. 5. Uzunluğu m olan nərdivan divara sökədilib. Nərdivanın aşağı ucu divardan d metr məsafədə, uarı ucu isə erdən h metr hündürlükdədir. a) h hündürlüünün d məsafəsindən h(d) asılılığının düsturunu azın; b) Funksianın təin oblastını və qimətlər çoluğunu müəən edin, qrafikini qurun; c) d = 0 və d = m olduqda nərdivanın vəziətini təsvir edin. Çap üçün deil h d

25 Qrafiklərin çevrilməsi Praktik məşğələ. ) = parabolası üzərində (0; 0), ( ; ), (; ) nöqtələrini qed edin. ) Bu nöqtələri ; vektoru ilə paralel köçürün. = (0; 0) (; ) ( ; ) (; ) (; ) (6; 5) ) Paralel köçürmədən alınan nöqtələrin = ( ) + parabolası üzərində erləşdiini olaın. Paralel köçürmə Paralel köçürmədə qrafikin bütün nöqtələri verilən istiqamətdə eni məsafə qədər erini dəişir. Qrafikin forması isə dəişmir. = f() funksiasının qrafikinin hər bir nöqtəsini m; n vektoru ilə paralel köçürək: A(a; b) A(a + m; b + n) A nöqtəsinin koordinatları b = f(a) bərabərliini ödədikdə A nöqtəsinin koordinatları n = f( m) bərabərliini ödəir. Yəni = f() funksiasının = f() qrafikini m; n vektoru ilə paralel köçürdükdə = f( m) + n funksiasının qrafiki alınır: verilən qrafik üfüqi istiqamətdə m vahid (m > 0 olduqda O sağa, m < 0 olduqda sola), şaquli istiqamətdə n vahid (n > 0 olduqda uarı, n < 0 olduqda aşağı) sürüşdürülür. n = 0 halında qrafik alnız üfüqi istiqamətdə paralel köçürülür və eni funksia = f( m) olur. Nümunə. = f() O O vahid sağa vahid sola m = 0 halında qrafik alnız şaquli istiqamətdə paralel köçürülür və eni funksia = f() + n olur. Nümunə. = f() + = f( ) 5 ( ; ) = f( + ) = f() = f() vahid O uarı = f() vahid aşağı = f() O. Hər bir funksia üçün m və n-nin qimətini müəən edin. Sürüşmənin üfüqi və a şaquli olduğunu azın. a) = f () b) = f () c) = f ( + ) d) + = f ( 7). Üçhədlidən tam kvadrat aırmaqla, verilən funksiaların qrafiklərinin = funksiasının qrafikindən hansı çevrilmələrlə alındığını izah edin. a) f () = + + b) g() = + (; ) O = ( ) + (; ) (6; 5) (; ) A(a + m; b + n) A(a; b) Çap üçün deil

26 a) Qrafiklərin çevrilməsi Nümunə. f() = funksiasının qrafikindən istifadə etməklə verilən funksiaların qrafiklərini qurun. a) g() = b) h() = c) m() = + b) c) Həlli: f() = funksiasının qrafikini quraq. Funksianın təin oblastı: [0; ). Bu oblastdan tam kvadrat olan üç qimət (0;;) seçməklə cədvəl quraq... (0; 0) 0 (0; 0) 0 (0; 0) 0 (; ) (; ) = f()= (; ) = f()= (; ) (; ) (; ) = f()= f() = f() = funksiasının qrafiki vahid aşağı sürüşdürülür, qrafikin üzərindəki hər bir nöqtənin ordinatından çıılır. g() = f() f() = funksiasının qrafiki vahid sağa sürüşdürülür. h() = f( ) ( ; ) ( ; 0) = m()= f( + ) = + qrafik vahid sola sürüşdürülür. f() = funksiasının qrafikindən istifadə etməklə verilən funksiaların qrafiklərini qurun. Hər bir çevrilməni sözlə azın. a) g() = b) h() = c) m() = + 6 (; ) 0 (0; ) f() (; f()) 0 0 (0; 0) (; ) (; ) qrafik vahid aşağı sürüşdürülür. m() = f(+) m() = f(+) (; 0) (; ) (; ) = g()= (5; ) 0 (; 0) 5 = h()= (; 0) ( ; ) ( ; ) = m()= m() = = + = f() funksiasının qrafikinin üfüqi və şaquli istiqamətlərdə paralel köçürülməsi ilə = f ( m) + n alınmışdır. a) Köçürülmə ardıcıllığının əhəmiət daşımadığını nümunə üzərində göstərin. b) m və n parametrlərinin qimətləri funksianın təin oblastına və qimətlər çoluğuna necə təsir edir? Çap üçün deil

27 Qrafiklərin çevrilməsi ) Qrafiklərinə görə f() funksiasının g() funksiasına çevrilməsini təqdim edin. a) f() və g() funksialarına aid 5 nöqtənin koordinatlarının uğunluğunu azın. b) Çevrilmədən alınan g() funksiasını = f( m) + n şəklində azın. = f() funksiasının qrafikinə görə hər bir çevrilmə üçün: A, B, C, D və E nöqtələrinin çevrildikləri nöqtələrin koordinatlarını müəən edin Çevrilmədən alınan funksianın qrafikini çəkin. a) g() = f () + b) g() = f ( ) c) g() = f ( + ) d) g() = f () Hər bir paralel köçürmə üçün m və n-in qimətini müəən edin və çevrilmədən alınan funksianı = f( m) + n şəklində azın. Hər bir funksianın təin oblastı və qimətlər çoluğu haqqında fikirlərinizi azın. f() = 6 0 g() f()= a) f () =, vahid sola və vahid aşağı; b) f() =, 6 vahid sağa və vahid uarı; c), 5 vahid sola, vahid aşağı. 8. f() = funksiası = 0 nöqtəsində təin olunmaıb. f( ) funksiası hansı nöqtədə təin olunmaıb? f() və f( ) funksialarının qrafiklərini eni koordinat müstəvisində qurun. 9. Rəngsaz evin, sahəsi s olan divarlarını boamaq üçün lazım olan boa miqdarını (n litr) n = f(s) funksiası ilə müəən edə bilər. n = f (s) + 0 və n = f (s + 0) dəişmələrini situasiaa uğun təqdim edin. 0. Ülkər evdən çıdı, velosipedlə şəhər kə - narındakı gölə getdi və geri qaıtdı. O, 0 A B getdii olu və sərf etdii vatı A qrafiki 0 ilə göstərdi. a) Ülkər evdən saat sonra çısadı, bu qrafik necə dəişərdi? 0 b) Şəkildəki B qrafikini situasiaa uğun necə təqdim edərdiniz? t 7 ) Evdən məsafə(km) f() A B s C D 0 g() A' 6 B' B E C' D' = f() C E' 0 D E A Çap üçün deil Vat (saat) 6

28 Qrafiklərin çevrilməsi Əksetmə Ordinat ouna nəzərən Qrafikin hər bir nöqtəsi ouna nəzərən simmetrik nöqtəə çevrilir. Absis ouna nəzərən Qrafikin hər bir nöqtəsi ouna nəzərən sim - met rik nöqtəə çevrilir. (; ) (; ) (; ) Koordinat başlan ğıcına nəzərən. Qrafikin hər bir nöqtəsi koordinat başlan - ğıcına nəzərən simmetrik nöqtəə çevrilir. (; ) O O O (;) (; ) (; ) (; ) (; ) (; ) (; ) (; ) (; ) (; ) (; ) (; ) (; ) (; ) Nöqtənin ordinatı oldu ğu kimi qalır, absisi isə işarəsini dəişir. Nöqtənin absisi olduğu kimi qalır, ordinatı isə işarəsini dəişir. Funksiaların qrafiklərinin əksetməsi. ouna nəzərən ouna nəzərən f() f() f() f() (; ) ( ; ) (; ) ( ; ) = = (; ) = (;) (; ) o o = (; ) 8 Nöqtənin hər iki koor - di na tının işarəsi dəişir. Koordinat başlanğıcına nəzərən f() f() (; ) (; ) = o = (;) (;). Verilmiş nöqtələrin: a) ouna; b) ouna nəzərən əksetmədə çevrildii nöqtələri koordinat müstəvisində qed edin, eni koordinatları azın. A(5; ), B(5; 5), C(0; ), D(6; ), F(9; 0) Nümunə. f() = +. Nümunəni araşdırın. Qrafiklərin koordinat olarına nəzərən əksetməsi ilə f() və f() (; ) funksialarının qrafiklərini təsvir edin. (; ) a) f() = + b) f() = + O c) f() = d) f() = (; ). Hər bir funksia üçün əsas funksianı və çevrilmələri azın. a) = + b) = + c) = d) = f() = + Çap üçün deil f() f(-)

29 Qrafiklərin çevrilməsi. Verilən nöqtələr çoluğuna görə funksiaların qrafiklərini qurun. Qrafikin =, =, =, = funksialarının hansının çevrilmələrinə uğun olduğunu müəən edin. a) {(; 8), (; ), (0; 0), (; ), (; 8)} 5. b) c) d) {(0; 0), (; ), (; ), (9; ), (6; )} {( ; ), ( ; ), (0; 0), (; ), (; )} {(; ), (; ), (0; ), (; ), (; 5)} Cədvəllə verilmiş funksianın qrafikini qurun. Verilmiş funksianın hansı əsas funksiadan və hansı çevrilmələrlə alındığını göstərin. a) 0 0 b) = (+) + funksiasının qrafikinin = parabolasından hansı çevrilmələrlə alındığını addım-addım azın. Hər bir addımı qrafik olaraq təsvir edin. 7. Əsas funksianın qrafikinə görə tələb olunan funksiaların qrafiklərini qurun. ) Əsas funksia: f() = ) Əsas funksia: g() = a) g() = + a) f() = ( + ) b) g() = b) f() = f() = f() = c) g() = c) f() = d) g() = d) f() = ( ) e) g() = e) f() = + 8. Qrafiklərə gorə tapşırıqları erinə etirin. ) Absis ouna nəzərən əksetmədən alınan funksiaları düsturla azın. ) Hər bir funksianın təin oblastını və qimətlər çoluğunu azın. o f() = 9 o a) b) c) o o g() = + o h() = Çap üçün deil

30 Qrafiklərin çevrilməsi Qrafiklərin dartılması və sıılması oundan dəfə dartılma ( ; ) ( ; ) O = = (; ) (; ) (; ) (; ) Qrafik üzərindəki hər bir nöqtə absis oundan dəfə uzaqlaşıb 0 ( ; ) ouna dəfə sıılma = = ( ; ) (; ) O (; ) (; ) (; ) Qrafik üzərindəki hər bir nöqtə absis ouna dəfə aınlaşıb Absis oundan dartılma və sıılmada nöqtənin absisi eni qalmaqla ordinatı dəişir: (a; b) (a; l b) A(a; b) nöqtəsi = f() funksiasının qrafiki üzərindədirsə, b = f(a). Onda A(a; l b) nöqtəsi = l f() funksiasının qrafiki üzərində erləşir. = l f() funksiasının qrafiki f()-in qrafikini l > olduqda absis oundan l dəfə dartmaqla, 0 < l < olduqda isə absis ouna dəfə sımaqla alınır. l oundan dəfə dartılma ouna dəfə sıılma = ( ) ( ; ) ( ; ) O (; ) = (; ) (; ) (; ) ( ; ) Qrafik üzərindəki hər bir nöqtə ordinat oundan dəfə uzaqlaşıb dinat ouna dəfə aınlaşıb Qrafik üzərindəki hər bir nöqtə or- Ordinat oundan dartılma və sıılmada nöqtənin ordinatı eni qalmaqla absisi dəişir: (a; b) (k a; b) A(a; b) nöqtəsi = f() funksiasının qrafiki üzərindədirsə, b = f(a). Onda A(k a; b) nöqtəsi = f( ) funksiasının qrafiki üzərində erləşir. k = f( ) funksiasının qrafiki f()-in qrafikini k > olduqda ordinat oundan k dəfə k dartmaqla, 0 < k < olduqda isə ordinat ouna dəfə sımaqla alınır. k 9. = əsas funksiasına görə: a) =, b) = funksialarının qrafiklərini eni koordinat müstəvisində qurun. Ordinat ouna və absis ouna nəzərən aınlaşma və uzaqlaşmanı izah edin. = = () (; ) ( ; ) O (; ) (; ) (; ) Çap üçün deil

31 Qrafiklərin çevrilməsi 0. Funksiaların qrafiklərini əsas funksiaa görə qurun... a) = b) = () c) = d) = Funksialar bir-birindən müəən çevrilmələrlə alınmışdır. Bu çevrilmələri təsvir edin. f() = g() = h() = + k() = Qrafikləri dəftərinizdə çəkin. g() və h() funksialarına uğun cəbri azılışı müəən edin və qrafikin üzərində azın. a) g() f() =. Hər bir funksianın qrafikinin verilmiş f() əsas funksiasının qrafikindən hansı çevrilmələrlə alındığını azın. ) f() = a) = b) = c) = + ) f() = a) = + b) = ( ) c) = ( ) + ) f() = a) = b) = c) = + ) f() = a) = b) = c) =. Açıq tipli sual. Verilən f() əsas funksiasına görə tələb edilən çevrilmələrlə alınan funksiaları azın. a) Paralel köçürülmüş: sola sağa uarı aşağı b) əks edilmiş: ouna nəzərən ouna nəzərən c) dartılmış: oundan oundan d) sıılmış ouna ouna ) f() = ) f() = ) f() = ) f() = 5. Tətbiqi sənət. Xalçalar üzərində müəən qrafiklərin çevrilmələri ilə aradılan naışları müşahidə etmək olar. Şəkildəki kilimin üzərində hansı funk siaların çevrilmələrini təqdim etmək mümkündür? Bu çevrilmələrdən = f( m) şəklinə uğun gələnini azın. 6. f() = funksiasının qrafikini: a) absis oundan dəfə dartdıqda; b) ordinat ouna dəfə sıdıqda hansı funksianın qrafiki alınar? b) 0 f() = Çap üçün deil h()

32 Funksialar üzərində əməllər Verilən funksialar üzərində hesab əməlləri aparmaqla eni funk sia almaq olar. f() və g() funksiaları üzərində aparılmış toplama, çıma, vurma əməlləri nəticəsində alınan funksianın təin oblastı bu funksiaların hər ikisinin təin olunduğu həqiqi ədədlər çoluğudur. Başqa sözlə, eni funksianın təin oblastı f() və g() funksialarının təin oblastlarının kəsişməsidir: D = D(f ) D(g). Funksiaların nisbəti isə arqumentin D çoluğundan olan və mərəcdəki funksianı sıfırdan fərqli edən qimətləri üçün təin edilir. f() və g() funksiaları müəən həqiqi ədədlər çoluğunda təin olunmuş istənilən funksia olarsa, onlar üzərində toplama, çıma, vurma, bölmə əməlləri aşağıdakı qada ilə erinə etirilir. Əməl Riazi azılış Nümunə f() = + 5 və g() = Toplama (f + g)() = f() + g() ( + 5) + = + 5 Çıma (f g)() = f() g() ( + 5) = + 5 Vurma (f g)() = f() g() ( + 5) = + 5 f f() + 5 Bölmə ( )() =, g() 0 g g() ) İki cüt funksianın cəmi cüt, iki tək funksianın cəmi tək funksiadır. ) İki cüt funksianın və iki tək funksianın hasili (nisbəti) cüt funksia, cüt funksia ilə tək funksianın hasili (nisbəti) tək funksiadır. Nümunə. f() = + və g() = + olduğuna görə (f + g)() -ni tapın. Həlli: f() = + = 5, g() = + =, (f + g)() = f () + g() = 5 + = 9 f Nümunə. f() = və g() = olarsa, ( g )()-i tapın. Həlli: f f() ( ) g () = = = + g() 0 Mərəcdəki funksianın g() 0 şərtinə görə burada olmalıdır. Bu funk - sia nın qrafiki = + düz əttindən (; ) nöqtəsini kənarlaşdırmaqla alınır. Nümunə. f() = və g() = olduğuna görə f a) f + g, f g, f g, b) g funksialarının təin oblastlarını tapın. Həlli: a) f() = funksiasının təin oblastı bütün həqiqi ədədlər çoluğudur. g() = funksiasının təin oblastı 0 bərabərsizliindən tapılır: [ ; +). f + g, f g, f g funksialarının təin oblastı: (; +) [, +) = [ ; +) f b) g funksiasının təin oblastı 0 bərabərsizliinin həllər çoluğu olan ( ; +) aralığıdır. Çap üçün deil

33 Örənmə tapşırıqları Funksialar üzərində əməllər Verilən f() = və g() = + funksialarına görə (f + g)(), (f g)(), (f g)(6) qimətlərini hesablaın. f Verilən f() və g() funksialarına görə f + g, f g, f g, funksialarının g düsturlarını azın və təin oblastını göstərin. a) f () = və g() = b) f () = + və g() = + c) f() = və g() = + 6 d) f() = və g() = + f() və g() funksialarının qrafiklərinə görə h() = (f + g)() funksiasının qrafikini qurun. Məsələni iki üsulla həll edin: f() ) f() və g() funksialarının qrafiklərinə görə müəən edilmiş qimətlər cədvəlindən h()-in 0 qimətlər cədvəlini tərtib etməklə. ) f(), g() funksialarının qrafiklərinə görə g() müəən edil miş düsturlara görə f() + g() funksiasının düsturunu azıb, qimətlər cədvəli tərtib etməklə. f() =, [ ; 9] və g() =, [0; 6] funksiaları verilmişdir. h() = (f + g)() funksiasının təin oblastını tapın və qimətlər cədvəlini tərtib edərək qrafikini qurun. Verilir: f() = və g() = (f g)() 6 g() f() a) (f : g)() funksiasının qimət lər cədvəlini tərtib edin. b) h() = (f : g)() funksiasının qrafikini qurun. 0 c) h() funksiasının təin oblastını və qimətlər çoluğunu müəən edin. Tətbiq tapşırıqları 6. Səmaə anım tikdii naışlı süfrələri satış üçün Əl işi, göz nuru mağazasına verir. O, süfrələri hazırlamaq üçün 0 manatlıq ipək sap almışdır, hər süfrənin parçasına 5 manat ərci çıır və bir süfrəni 0 manata satır. a) n sada süfrənin satışından əldə olunan pula uğun s(n) funksiasını və n sada süfrənin maa dəərinə uğun m(n) funksiasını düsturla azın. b) Bu funksiaların qrafiklərini eni koordinat sistemində qurun. Bu qrafiklərin ortaq nöqtəsini real həati situasiaa uğun təqdim edin. c) Mənfəət malın satışından əldə olunan pul ilə maa dəərinin fərqidir. Süfrələrin satışından əldə olunan mənfəətə uğun funksianı düsturla azın. Çap üçün deil

34 Mürəkkəb funksia Araşdırma. l benzinin qiməti 0,95 manatdır. Fəridin avtomobili hər kilometrə 0,08 l benzin sərf edir. a) 50 km ola sərf olunan benzin üçün Fəridin ərclədii pulu necə hesablaa bilərsiniz? Bu hesablamanı neçə addımda erinə etirmək olar? b) Sərf olunan benzinin qət edilən oldan asılılığını göstərən V(d) funksiasını azın. c) Benzinə ərclənən pulun onun həcmindən asılılığının M(V) funksiasını azın. d) Fəridin qət etdii olda benzinə ərclədii pulu göstərən M(d) funksiasını b) və c) bəndlərindəki funksialardan istifadə etməklə azın. Burada arqumentin qimətlərini hansı dəişənin qimətləri təşkil edir? Bir ço hallarda funksianın arqumentinin ala bildii qimətlər digər funksianın qimətləri ilə müəən edilir. Tutaq ki, f və g funksiaları verilmişdir. İki situasianı sematik təsvirlər üzərində nəzərdən keçirək. g g() f f(g()). ədədləri g funksiasının təin oblastına, g()-lər isə f funksiasının təin oblastına daildir. Bu halda hər D(g) ədədinə f(g()) ədədini qarşı qoan funksiaa f və g funksialarının mürəkkəb funksiası (kompozisiası) deilir və (f g)() kimi azılır: (f g)() = f(g()).. ədədləri f funksiasının təin oblastına, f()- lər isə g funksiasının təin oblastına daildir. f f() g g(f()) Bu halda g və f funksialarının kompozisiası (g f )() kimi olur: (g f )() = g(f()). Diqqət edin! (f g)() və (g f)() azılışları (həmçinin f (g()) və g(f ()) azılışları) iki mütəlif mürəkkəb funksianı ifadə edir. f(g()) kompozisiası E(g) D(f) olduqda, g(f ()) kompozisiası isə E(f) D(g) olduqda qurula bilər. f g g f g() -in təin oblastından 0 5 f() -in təin oblastından g() 5 f() -in təin oblastından f() 0 f (g()) 0 f g = {(;0), (;), (0;)} f (g())-in qimətlər çoluğundan Sematik təsvirdən də göründüü kimi, f g kompozisiası f() funksiasında arqumentinin əvəzinə g() azmaqla alınır. Eni qada ilə g f kompozisiası g() funksiasında arqumentinin əvəzinə f() azmaqla alınır. Nümunə. f() = +, g() = olduqda: a) (f g)() və (g f)() kompozisialarının düsturlarını azın; b) = qimətində (f g)() və (g f)() kompozisialarının qimətlərini hesablaın. g() -in təin oblastından g(f())-in qimətlər g (f()) 5 çoluğundan g f = {(;), (; 5), ( 5;)} Çap üçün deil

35 5. 6. Mürəkkəb funksia Həlli: a) (f g)() = f(g()) = f( ) = + = (g f)() = g(f()) = g( + ) = ( + ) ( + ) = + Deməli, f(g()) = və g(f()) = + b) (f g)() = = (g f)() = + = Nümunə. h() = f (g()) olarsa, verilənlərə görə f () funksiasını düsturla azın. a) h() = ( ) + ( ) + ; g() = b) h() = + ; g() = + Həlli: a) f(g()) = (g()) + g() + olduğundan f() = + + b) f (g()) = g() olduğundan f () = Örənmə tapşırıqları. (f g)() və (g f)() kompozisiaları üçün arqumentin və funksianın uğun qimətləri cütlərini (əgər varsa) müəən edin. f = {(; 8), (; 0), (6; ), (5; )} f = {(; 5), (; ), ( ; ), (; 7)} g = {(8; ), (0; 6), (; 5), (; )} g = {(; ), (5; ), (7; ), (; )}. Cədvəli dəftərinizə köçürün və tamamlaın.. f() = və g() = g- nin f- in f g-nin funksiaları verilmişdir. nöqtələri nöqtələri nöqtələri Tapın: (; ) (; 5) a) f(g()); (; ) (; ) b) g(g(5)); (; ) (0; ) ( ; ) c) g(f()); ( ; ) ( ; ) (0; ) d) g(g()); ( ; ) (; ) (; 7) e) f(f( )).. f() =, g() = və h() = + funksialarına görə hesablaın. a) f(g()) b) h(g()) c) g(f()) d) f(h()) e) g(g( )) f) f(f()) g) (f (h g))() h) (h (g f))( ) i) (f (g h))() f() = + və g() = funksialarına görə mürəkkəb funksiaları düsturla azın. a) f(g()) b) g(f ()) c) f(f ()) d) g(g()) Verilən f() və g() funksiasına görə f (g()) və g(f ()) funksialarını müəən edin. a) f () = və g() = + 5 b) f() = və g() = + c) f () = və g() = + d) f () = + və g() = e) f () = və g() = + f) f () = + + və g() = + 7. a) f () = 5, g () = + olduqda, f (g()) < 0 bərabərsizliini həll edin. b) f () =, g () = + olduqda, f (g()) > 0 bərabərsizliini həll edin. Çap üçün deil 5

36 8. Mürəkkəb funksia f() və g() funksialarının qrafikləri verilmişdir. ) qimətlər cədvəli qurmaqla; ) funksiaların düsturlarını azmaqla: a) f(g()); b) g(f()) mürəkkəb funksiasının qrafikini qurun. Təin oblastını və qimətlər çoluğunu göstərin. = g() = f() 9. f() = və g() = funksiaları verilmişdir. Bu funksiaların: a) = f(g()); b) = g(f()) kompozisialarının qrafiklərini qurun. Təin oblastını və qimətlər çoluğunu göstərin. 0. a) f() = və g() = funksialarına görə f(g()) funksiasının düsturunu müəən edin. b) f(), g(), və f(g()) funksialarının qrafiklərini eni koordinat müstəvisində qurun. c) f(g()) funksiasının qrafikini g() funksiasının qrafikinin çevrilməsi kimi təqdim edin.. İstehsalat. Mebel istehsal edən şirkətin 0-ci ildən etibarən həftəlik istehsal etdii stulların saını N(t) = + 5t düsturu ilə modelləşdirmək olar. Burada t illərlə vatı (t = 0 qiməti 0-ci ilə uğundur), N stulların saını göstərir. İşçi qüvvəsinin həcminin bu halda W(N) = N kimi olduğu müəən edilmişdir. a) İşçi qüvvəsinə tələbatın zamandan asılılıq funksiasını azın. b) Bu funksianın təin oblastını və qimətlər çoluğunu real həati situasiaa uğun təqdim edin.. h() = f(g()) olarsa, verilənlərə görə f() funksiasını düsturla azın. a) h() = ( + ) 5( + ), g() = + b) h() = + +, g() = + c) h() = +, g() = + d) h() = +, g() =. a) f( ) = + olarsa, f(), f(), f( ), f(0) qimətlərini tapın. f() funksiasının düsturunu azın. b) f( + ) = + olarsa, f( ), f(), f(), f(0) qimətlərini tapın. f() funksiasının düsturunu azın.. f() = 5 funksiası verilmişdir. a) f() funksiasının təin oblastını tapın, qimətlər cədvəlini tərtib edərək, qrafikini qurun. b) f() funksiasının ifadəsini azın, təin oblastını tapın. 5. f() funksiasının təin oblastı [ ; ] olarsa, aşağıdakı funksianın təin oblastını tapın. a) f(); b) f( ); c) f( ); d) f( ) Çap üçün deil

37 Tərs funksia Araşdırma: ) Tərəfinin uzunluğu a olan kvadratın sahə düsturunu azın: S = a ) Verilən sahəə görə kvadratın tərəfinin uzunluğunu tapın. ) Yer səthindən v0 sürətilə uarı atılmış cismin erdən məsafəsi h = v0 t düsturu ilə tapılır. h-ın verilmiş qimətinə görə t-ni birqimətli tapmaq olarmı? Nümunə. Şəkildə X çoluğu ilə Y çoluğu arasındakı f uğunluğu olarla ve - rilmişdir. Oların istiqamətini dəişsək, başqa uğunluq Y çoluğu ilə X ço - luğu arasındakı g uğunluğunu alarıq. g uğunluğu f-ə tərs uğunluqdur. Verilən f funksiası üçün tərs uğunluq funksia olarsa, f-ə dönən funksia deilir. f X Y X g Y gt Nümunə. f () = + funksiası ilə f -in təin oblastı f-in qimətlər çoluğu A = {,,, } çoluğundan B = {5, 6, 7, 8} çoluğunun alınmasını aşağıdakı kimi ifadə etmək olar. f() f f () = + : {(; 5), (; 6), (; 7), (; 8)} -in qimətlər çoluğu f -in təin oblastı Bu funksianın tərsi olan və f kimi işarə edilən funksia isə B çoluğundan A çoluğunun elementlərinin alınmasını ifadə edir və onu f () = : {(5; ), (6; ), (7; ), (8; )} kimi ifadə etmək olar. f () və f () qarşılıqlı tərs funksialardır. Sematik təsvirdən və koordinat cütlərindən göründüü kimi, verilən funksianın təin oblastı tərs funksianın qimətlər çoluğu, verilən funksi - anın qimət lər çoluğu isə tərs funksianın təin oblastı olur və əksinə. Yəni, D(f) = E(f ), E(f) = D(f ). Buradan alınır ki, f(f ()) = və f (f()) = Nümunədə verilənlərə görə: f (f ()) = f ( ) = ( ) + = f (f ()) = f ( + ) = ( + ) = İstənilən funksia üçün tərs funksianın varlığı həmişə mümkündürmü? Məsələn, = + 5 münasibətindən -i vasitəsilə birqimətli ifadə etmək müm kündür və bu halda tərs funksia var: = 5. Burada -in hər bir qimətinə -in alnız bir qiməti uğun gəlir. = fun k - siasında isə -in bir qimətinə, məsələn, = 9 qimətinə arqumentin =, və = kimi iki qiməti uğun gəldiin - dən, ( ; +) aralığında bu funksianın tərsi odur. Özünün hər bir qimə tini təin oblastının alnız bir nöqtəsində alan o o funksiaa tərsi olan (dönən) funksia f() = f() = deilir. İstəni lən üfüqi düz ətt funksia - tərsi var tərsi odur nın qrafikini ən çou bir nöqtədə kəsərsə, bu funksianın tərsi var. Çap üçün deil 7

38 Tərs funksia Başqa sözlə, -in mütəlif qimətlərinə -in mütəlif qimətləri uğun olarsa, = f() funksiasının tərsi var. Monoton funksialar üçün olduqda f() f() olduğundan alırıq: ) Təin oblastında artan funksianın tərsi var. ) Təin oblastında azalan funksianın tərsi var. Tutaq ki, = f() tərsi olan funksiadır, əni = f() münasibətindən -i vasitəsilə birqimətli ifadə edərək, = f () kimi azmaq mümkündür. Onda = f () funksiasına = f() funksiasının tərs funksiası deilir. Adətən, arqumenti ilə, funksianı ilə işarə edirlər. Ona görə də = f()-in tərs funksiasını = f () şəklində azırlar. Əgər f funksiası f -in tərs funksiasıdırsa, onda f funksiası da f -in tərs funksiası olur. Yəni, f və f qarşılıqlı tərs funksialardır. Qarşılıqlı tərs funksiaların qrafikləri. (a; b) nöqtəsi verilən funksianın qra fi ki üzərindədirsə, = düz əttinə nəzərən bu nöqtəə simmetrik olan (b; a) nöqtəsi tərs funksianın qrafiki üzərində olacaq. Verilən funksia 0 0 Verilən funksianın qrafiki = ouna nəzərən əksetmə nümunələri Qarşılıqlı tərs funksiaların qrafikləri = düz əttinə nəzərən simmetrikdir. Düsturla verilmiş funksianın tərs funksiasını tapmaq üçün: )Verilmiş bərabərlikdən dəişəni -lə ifadə edilir. f ()= ( + ) f()= )Alınmış bərabərlikdə -in əvəzinə, (, ) -in əvəzinə azılır. (, ) (, ) Nümunə. = funksiasına tərs (, 0) (, ) funksianın düsturunu azın. 0 Həlli: Verilən funksia azılır: = (, ) dəişəni -dən asılı ifadə edilir: = -lə -in eri dəişdirilir: = + ( 5, ) + = (0, ) (, 5) 8 Tərs funksia 0 0 Tərs funksianın qrafiki Çap üçün deil

39 = funksiasının bütün ədəd ounda tərsi odur. Lakin artma və a azalma aralıqlarında bu funksianın tərsi var. Nümunə. =, 0 funksiasının tərsi olan funksianı müə ən edin və qrafiklərini eni koordinat müstəvisində qurun. = = Bu qrafiklər üzərində erləşən bir neçə nöqtənin koordinatlarını azın. (; ) Həlli: Verilən funksia: =, 0. (; ) Tərs funksia: ) =, ) = = (; ) nöqtəsi = funksiasının, (; ) nöqtəsi onun tərsi olan = funksiasının qrafiki üzərində erləşir. O Tərs funksia haqqında aşağıdakı teorem doğrudur: Təin oblastı X, qimətlər çoluğu Y aralığı olan f funksiası artandırsa (azalandırsa), tərsi var və Y aralığında təin olunan f tərs funksiası da artandır (azalandır).. f funksiası nöqtələr çoluğu ilə verilmişdir. Həm də ikinci koordinatları eni olan nöqtələrin olduğu məlumdur (məsələn, (6; 5) və (7; 5) kimi). f funksiasının dönən olub-olmadığını bilmək üçün bu kifaətdirmi? 6. Tərs funksia Örənmə tapşırıqları. Funksia nöqtələr çoluğu ilə verilmişdir: {(8; ), (; ), ( ; ), ( 8; )} 8 Verilən uğunluğu və onun tərsi olan uğunluğu oların köməi ilə göstərin.. Funksia cədvəllə verilmişdir. Tərs funksiaa 5 uğun qimətlər cədvəlini qurun. 5. f() və g() qarşılıqlı tərs funksialardır. = 0 olduqda f() funksiasının qiməti 85 olur. Bu qimətləri g() funksiasına necə aid etmək olar? Əgər f() tərsi olan funksiadırsa və f() = 7; f() = 9, f(6) = olarsa, tərs funksianın f (9); f (7) və f () qimətlərini tapın. Verilən funksialarla qarşılıqlı tərs funksiaları azın. Verilən funksia və onun tərs funksiası artan, osa azalandır? a) = b) = 8 c) = d) = + 5 e) = f) = g) = h) = + i) = Verilən hər bir funksianın və onunla qarşılıqlı tərs funksianın qrafikini eni koordinat müstəvisində qurun. a) f() = b) f() = c) f() =, 0 d) f() =, > 0, Çap üçün deil 9

40 Tərs funksia 8. Funksianın qrafikinə görə, tərs funksianın qrafikini qurun. Təin oblastını və qimətlər çoluğunu müəən edin. a) b) c) 5 = 5 = 5 = = f() = f() = f() 9. Göstərin ki, verilən funksianın tərsi var. Tərs funksianı tapın, onun təin oblastını və qimətlər çoluğunu göstərin, qrafikini qurun. a) f() = b) f() =, 0 0. Verilən funksiaların qrafiklərini qurun. Hər bir funksianın qrafikinə görə onun tərs funksiasının olub-olmadığını müəən edin. a) ƒ() = + b) ƒ() = + c) ƒ() = + d) ƒ() = e) ƒ() = + f) ƒ() = g) ƒ() = + h) ƒ() = ( + )( ) i) ƒ() = Verilən funksiaların qarşılıqlı tərs funksialar olduğunu olaın. a) ƒ() = + 7, g() = 7 b) ƒ() =, g() = + c) ƒ() = +, g() = d) ƒ() = +, g() = + e) ƒ() =, g() = ƒ() =, g() = + + f) g) ƒ() = 8, g() = h) ƒ() = 56, 0; g() =. Verilən funksia ilə qarşılıqlı tərs funksianın düsturunu azın. a) ƒ() = 6, 0 c) ƒ() = 6, 0 e) ƒ() = 7 b) ƒ() =, 0 d) ƒ() = 8 f) ƒ() = C = 9 (F ) düsturu temperaturun Farenhet ölçüsü ilə Selsi ölçüsü ara sın dakı asılılığı göstərir. Bu asılılığa görə, temperaturun Farenhet ölçüsünün Selsi ölçüsündən asılılığını göstərən tərs asılılığın düsturunu azın. Selsi ilə 5, 0, 0 temperaturun Farenhet ölçüsünü tapın.. Hek balıq növüdür. Bu balıqların kütləsi (kq) ilə uzunluğu (sm) arasında aşağıdakı kimi asılılıq var: m = ( )l. Bu cür asılılığa görə tərs funksianı azın. Kütləsi 0,875 kq olan hek balığının uzunluğu təminən neçə santimetr olar? Çap üçün deil 0

41 Ümumiləşdirici tapşırıqlar... f() = əsas funksiasına görə g()=, k() =, h() = + funksialarının çevrilmələrini müəən edin. Bu çevrilmələrdə funksianın təin oblastı və qimətlər çoluğu necə dəişir? a) f() = funksiasının qrafikini üfüqi istiqamətdə neçə vahid paralel köçürsək, alınan qrafik (5; 6) nöqtəsindən keçər? b) f() = funksiasının qrafikini ou bounca neçə vahid sürüşdürsək, alınan qrafik ( ; ) nöqtəsindən keçər? a) f() = funksi - asının g() tərs funksi - asını azın. b) Funksianın qrafi - kinə görə onun tərs funksiasının qrafi - kini çəkin. 0. Funksiaların təin oblastlarını tapın. a) f() = c) f() = e) f() = 5. b) f() = d) f() = + Funksiaların sıfırlarını tapın. f) f() = a) f() = + 6 b) f() = 6 c) f() = e) f() = 5 + d) f() = ) Funksianın tək-cütlüünü araşdırın. a) f() = ( ) + ( + ) b) f() = ( ) ( + ) f() = f( ) + olduğu məlumdur. f()-ni tapın. 8. Təin oblastı [ ; ] olan f() funksiasının qrafikinin bir hissəsi verilmişdir. Tapşırıqları qrafikə görə erinə etirin. a) f()-in tək funksia olduğunu bilərək, qrafiki tamamlaın. Funksianın artma və azalma aralıqlarını göstərin. Funksianın ekstremumlarını azın. b) f()-in cüt funksia olduğunu bilərək, qrafiki tamamlaın. Funksianın artma və azalma aralıqlarını göstərin. Funksianın ekstremumlarını azın. f) f() = ) = + (m ) + funksiasının tək-cütlüünü araşdırın: a) m= olduqda; b) m=0 olduqda. 0 Çap üçün deil

42 9. Ümumiləşdirici tapşırıqlar Hissə-hissə verilmiş funksiaların qrafiklərini qurun., olduqda a) f() = b) f() = +, < olduqda 0. Arqumentin hansı qimətində: < > a) f() = + 6 funksiasının qiməti -ə bərabərdir?. b) f() = 7 funksiasının qiməti f: {(0; ), (; ), (; 5), (; 7)} və g() = + verilmişdir. Dəişənin verilən qimətində mürəkkəb funksiaların qimətini hesablaın. a) (g f )(0) b) (g f )() c) (g f )() d) (g f )() e) (f g )( 0,5) f) (f g)(0) g) (f g)() h) (f g)(0,5). ) Göstərin ki, verilən funksiaların ( ; +) aralığında tərsi odur. a) f() = 6 b) f() = + 0 ) Verilən funksialar dönən funksialardır. Bu funksialara uğun tərs funksiaları azın. a) f() = b) f() = +. f() = funksiası verilmişdir. a) bu funksianın təin oblastını tapın; b) f( ) < 0 bərabərsizliini həll edin.. Rəqqasın bir tam dövr etməsinə sərf olunan zaman (rəqsin periodu) rəqqasın qo lunun uzunlu - ğundan asılıdır. Rəqqasın qolu uzun olduqca bir dövrə sərf olunan zaman artır. a) Verilən məlumata görə qrafik çəkin. b) Qrafikin hansı funksia sinfinə aid olduğunu müəən edin. Rəqqasın qolunun uzunluğu(m) (san.) Vat,8 6,9 8 5,7 0 6, mel bucağı c) Rəqqasın qolu 5 m; m olduqda bir tam dövrə sərf olunan zamanı qrafikdən müəən edin. -ə bərabərdir? Çap üçün deil

43 Fəzada nöqtə, düz ətt, müstəvi Fəzada nöqtə, düz ətt və müstəvi Düz ətlə müstəvinin paralellii Düz əttin müstəviə perpendikularlığı Üç perpendikular teoremi İki müstəvi arasındakı bucaq İkiüzlü bucaqlar Perpendikular müstəvilər Paralel müstəvilər Proeksialar və məsələ həlli Çap üçün deil

44 Fəzada nöqtə, düz ətt və müstəvi Praktik məşğələ. Kağız vərəq üzərində A, B, C, D və E nöqtələrini şəkildəki kimi qed edin. Kağızı A nöqtəsindən keçən düz ətt bounca şəkildə göstərildii kimi qatlaın. E B A Sonra kağızı bir qədər açın. İkiə qatlanmış vərəqin hər D C bir hissəsi bir müstəvi modelidir.. Hansı nöqtə bu müstəvilərin hər ikisinə aiddir? E B. Bu müstəvilərin hər biri üçün ona aid olan və aid olmaan nöqtələri göstərin. D A C Həndəsənin planimetria bölməsində bütün nöqtələri eni müstəvidə olan fiqurlar örənilir. Bu fiqurlara müstəvi fiqurlar deilir. Lakin bizi reallıqda üçölçülü əşalar, obektlər əhatə edir. Onların en, uzunluq və hündürlük (dərinlii) kimi üç ölçüsü var. Bu fiqurlar fəza fiqurları adlanır. Həndəsənin fəza fiqurlarını örənən bölməsi stereo metria adlanır. Nöqtə, düz ətt, müstəvi həm də fəza fiqurları kimi qəbul edilir. Müstəvi sonsuzdur, şərti olaraq adətən, paraleloqram şəklində təsvir B edilir, bir kiçik hərflə və a (bir düz ətt üzərində olmaan üç nöqtəni göstərən) üç hərflə işarə edilir. A C Məsələn, müstəvisi və a ABC müstəvisi. Fəzanın hər bir müstəvisi üzərində planimetriadan məlum olan aksiom və teoremlər doğrudur. Fəzada aşağıdakı əlavə aksiomlar qəbul edilir. Aksiom. İtiari müstəvi üçün bu müstəviə aid olan nöqtələr və ona aid olmaan nöqtələr var. A nöqtəsi α müstəvisinə aiddir.aα Aksiom. İki mütəlif müstəvinin ortaq nöqtəsi varsa, onda onlar bu nöqtədən keçən düz ətt üzrə kəsişirlər. Düz ətt iki nöqtəsi ilə təin edilir, əni iki nöqtədən bir və alnız bir düz ətt keçirmək mümkündür (bəs, bir nöqtədən?). Müstəvini neçə nöqtə təin edir? İki nöqtə müstəvini müəən etmir. Şəkildən göründüü kimi, A və B nöqtələrindən sonsuz sada müstəvi keçirmək β A olar. Lakin onlar arasında elə müstəvi var ki, C nöqtəsi C α məhz onun üzərindədir. Deməli, müstəvini bir düz ətt B üzərində olmaan nöqtə müəən edir. Aksiom. Bir düz ətt üzərində olmaan üç nöqtədən bir və alnız bir müstəvi keçir. P Göstərək ki,düz əttin iki nöqtəsi müstəvi üzərindədirsə, bu düz əttin bütün nöqtələri müstəvi üzərindədir. l B A Doğrudan da, l düz əttinin A və B nöqtələri müstəvisi β üzərində olsun. l düz əttinə və α müstəvisinə aid olmaan P nöqtəsi götürüb, P, A və B nöqtələrindən müstəvisi keçirək. A N N nöqtəsi α müstəvisinə aid deil. Nα Çap üçün deil

45 Fəzada nöqtə, düz ətt və müstəvi və müstəvilərinin kəsişmə ətti A və B nöqtələrindən keçdiinə görə l düz ətti ilə üst-üstə düşür. Kəsişmə əttinin hər bir nöqtəsi α müstəvisinin nöqtəsi olduğundan l düz əttinin də hər bir nöqtəsi α müstəvisinin üzərindədir. Bir düz ətt üzərində erləşən nöqtələrə kollinear nöqtələr de ilir. l C Stereometria aksiomlarından aşağıdakı nəticələr alınır. A B. Düz ətt və bu düz ətt üzərində olmaan nöqtədən l bir və alnız bir müstəvi keçir.. İki kəsişən düz ətdən bir və alnız bir müstəvi keçir.. Mütəlif iki paralel düz ətdən bir və alnız bir müstəvi keçir. Beləliklə, müstəvini: ) düz ətt və onun üzərində olmaan bir nöqtə ilə; ) iki kəsişən düz ətt ilə; ) iki paralel düz ətlə təin etmək olar. ) ) B B ) l C l A l C A Nümunə. Bir düz ətt üzərində olmaan A, B, C nöqtələri və onlarla eni müstəvi üzərində olmaan P nöqtəsi verilmişdir. Hər biri bu nöqtələrin üçündən keçmək şərtilə bütün müstəviləri sadalaın. P Həlli: A, B, C nöqtələrindən müstəvisi keçirək və bu müstəvi üzərində olma an P nöqtəsini qed edək. Bu A C nöqtələrdən ABP, BPC, ABC və APC kimi müstəvi keçirmək olar. B Eni müstəvi üzərində erləşən nöqtələrə komplanar nöqtələr deilir. Nümunədə verilmiş A, B, C, P nöqtələri komplanar deillər. Örənmə tapşırıqları α müstəvisini üç hərflə işarə etmək istəsəniz, E. D hansı üçünü seçə bilməzsiniz? C A a) ABE b) ACE c) BDE d) DAC α B. B, C, D nöqtələri bir düz ətt üzərindədir (kollinear), E A, B, C, D nöqtələri bir müstəvi üzərindədir (komplanar), E nöqtəsi bu müstəvi üzərində A B deil.. Verilmiş nöqtələrdən neçə müstəvi keçir? a) A, B və C; b) B, C və D; c) A, B, C, və D; d) A, B, C və E Fiqurun üzlərini özündə. Üçaaqlı stol erə həmişə möhkəm salaan müstəviləri azın. oturur. Səbəbini izah edin. N A B 5. a) Cüt-cüt kəsişən üç düz ətdən C neçə müstəvi keçirmək olar? M P b) Dörd mütəlif nöqtədən neçə E müstəvi keçirmək olar? Bütün hallara D R F baın. Çap üçün deil 5 l B A C l C D

46 Fəzada nöqtə, düz ətt və müstəvi Fəzada düz ətlərin qarşılıqlı vəziəti Fəzada iki düz ətt paralel ola bilər(üsusi halda üst-üstə düşə bilər). Fəzada iki düz ətt kəsişə bilər. l k k l Məlumdur ki, l və k düz ətləri kəsişirsə və a paraleldirsə, onda onlar bir müstəvi üzərindədirlər. Bu iki hal plani - metriada düz ətlərin kəsişməsi və paralelliinə uğundur. İki kəsişən düz ətti üçüncü düz ətt mütəlif nöqtələrdə kəsərsə, bu düz ətlər bir müstəvi üzərində erləşir. Fəzada iki düz ətt üçüncü düz ətlə bir nöqtədə kəsişirsə, bu düz ətlər eni müstəvi üzərində ola da bilər, olmaa da bilər. Düz ətlər eni müstəvi təlif müstəvilər üzərin də dirlər. Belə düz ətlər komplanar düz ətlər adlanır. üzə rin də dirlər. Bu düz ətlər kom planar deillər. Fəzada paralel olmaan iki düz ətt kəsişməə də bilər. Paralel olmaan və l k n 6 l k n l r k s n Düz ətlər eni müstəvi üzərin də dirlər. Düz ətlər mü - kəsişməən iki düz əttə çarpaz düz ətlər deilir. a və b düz ətlərinin çarpazlığı a b kimi azılır. İki çarpaz düz əttin hər ikisin dən bir müstəvi keçirmək mümkün b deil. İki çarpaz düz ətt arasındakı bucaq, u ğun ola raq, onlara paralel olan iki kəsişən düz ətt arasındakı bucağa deilir. D Nümunə. Kubun modeli üzərində A D B B. A B A D B C olduğundan, A D və B B çarpaz düz ətləri arasındakı bucaq B C və B B düz ətləri arasındakı bucağa D C bərabərdir və bu halda 90 -dir. A B Düz ətlə müstəvinin qarşılıqlı vəziətləri Düz ətlə müstəvinin Ortaq nöqtəsi olmaan Düz əttin iki nöqtəsi müstəvi alnız bir ortaq nöqtəsi düz ətt və müstəviə üzərindədirsə düz ətt bütünlüklə varsa, onda bu düz ətlə paralel düz ətt və müstəvi üzərindədir. l α müstəvi kəsişirlər. l α = A müstəvi deilir. lα l A α l α α b İki düz ətdən biri digərinin erləşdii müstəvini bu düz əttə a A aid olmaan nöqtədə kəsərsə, onda bu düz ətlər çarpazdır. Çap üçün deil a l t C

47 Fəzada nöqtə, düz ətt və müstəvi 6. Kub üzərində kəsişən, paralel və çarpaz ətlərə aid tapşırıqları erinə etirin. a) AB düz əttinə paralel olan düz ətləri azın. b) BC düz ətti ilə kəsişən düz ətləri azın. H G c) EF düz əttinə çarpaz olan düz ətləri azın E F d) B nöqtəsi ilə komplanar olan üç nöqtə göstərin. e) B nöqtəsi ilə komplanar olmaan üç nöqtə göstərin. f) ABC müstəvisini kəsən düz ətləri göstərin. B C g) CDF müstəvisi üzərində erləşən A düz ətləri göstərin. D h) AB və CG düz ətləri arasındakı bucağı tapın. i) AB və DG düz ətləri arasındakı bucağı tapın. B 7. Şəkildə göstərilən parçaları üzərində salaan düz A C ətlərə görə tapşırıqları erinə etirin. a) Paralel düz ətləri sadalaın. D J b) Çarpaz düz ətləri göstərin. K G H c) İki kəsişən düz ətti kəsib onlarla eni müstəvidə F erləşməən düz ətti göstərin. 8. Verilənlərə görə fiquru çəkin: AC düz ətti müstəvisi üzərindədir, BE düz ətti AC ilə komplanardır. Z nöqtəsi A və C nöqtələri ilə, X nöqtəsi isə B və E nöqtələri ilə kollineardır. 9. Dördaaqlı stol adətən erə möhkəm oturmur. Səbəbini izah edin. Müstəvini kəsməən AB parçasının uclarından və A 0. M M orta nöqtəsindən müstəvisini A, B, M B nöqtələrində kəsən paralel düz ətlər çəkilmişdir. a) AA = sm, BB = sm; b) AA = a, BB = b olarsa, MM parçasının uzunluğunu tapın. A M B. AB parçasının A ucu müstəvisi üzərindədir. B Parçanın B ucundan və C nöqtəsindən müs - C tə vi sini, uğun olaraq B və C nöqtələrində kəsən paralel düz ətlər çəkilmişdir. AC : CB = :, BB = 0 sm olarsa, CC parçasının uzunluğunu tapın. A C B. ABCD paraleloqramı və onu kəsməən müstəvisi verilmişdir. Paraleloqramın təpələrindən keçirilmiş paralel düz ətlər müstəvisini A, B, C, D nöqtələrində kəsir. AA = sm, BB = sm, CC = 7 sm olarsa, DD parçasının uzunluğunu tapın.. İsbat edin ki, düz ətt üzərində olmaan nöqtədən bu düz əttə paralel bir və alnız bir düz ətt keçirmək olar. Çap üçün deil 7 E

48 Düz ətlə müstəvinin paralellii Teorem. (Düz əttin müstəviə paralellik əlaməti) Müstəvi üzərində olmaan düz ətt, bu müstəvi üzərindəki hər hansı düz əttə paraleldirsə, müstəvinin özünə də paraleldir. İsbatı: müstəvisi üzərində olmaan a düz ətti a həmin müstəvi üzərindəki b düz əttinə paralel olsun. a və b düz ətlərindən müstəvisi keçirək. və b müstəviləri b düz ətti bounca kəsişəcəklər. a düz ətti müstəvisini kəsərsə, kəsişmə nöqtəsi b düz ətti üzərində olmalıdır. Bu isə a b olduğundan mümkün deil. Deməli, a. Nəticə. Bir müstəvi digər müstəviə paralel olan düz ətdən keçib, onu kəsərsə, onda bu müstəvilərin kəsişmə ətti verilən düz əttə paraleldir. Nəticə. Kəsişən iki müstəvinin hər birinə paralel olan düz ətt bu müstəvilərin kəsişmə əttinə paraleldir. Teorem. Paralel düz ətlərdən keçən iki müstəvi kəsişirsə, onda onların kəsişmə ətti bu düz ətlərə paraleldir. İsbatı: Tutaq ki, a b. a düz əttindən müstəvisi, b düz əttindən müstəvisi keçirək. Bu müstəvilərin kəsişmə c b a ətti c olsun. Düz ətlə müstəvinin paralellik əlamətinə görə a. Buradan a c. Eni ilə b olmasından, b c. Teorem. İki düz ətt üçüncü düz əttə paraleldirsə, onda həmin düz ətlər bir-birinə paraleldir. İsbatı: Düz ətlər bir müstəvi üzərində olduqda təklif c doğrudur. Tutaq ki, a, b, c düz ətləri bir müstəvi üzərində M deil və a c, b c. a və c düz ətlərindən müstəvisini a N keçirək. b c olduğundan, b olacaq. a düz əttinin b üzərində M nöqtəsi götürüb, bu nöqtədən və b düz əttindən müstəvisini keçirək. və müstəvilərinin MN kəsişmə ətti b və c düz ətlərinə paraleldir. M nöqtəsindən c düz əttinə alnız bir paralel düz ətt çəkmək mümkündür. Ona görə MN və a düz ətləri üst-üstə düşür. MN b olmasından a b alınır.. a) Verilən nöqtədən verilən müstəviə paralel düz ətt keçirin. Neçə belə düz ətt keçirmək olar? b) Verilən nöqtədən verilən düz əttə paralel müstəvi keçirin. Neçə belə müstəvi keçirmək olar?. Paraleloqramın tərəflərindən biri müstəvisi üzərindədir. Onun qalan tərəfləri müstəvisi ilə hansı vəziətdədir?. ABC üçbucağının AB tərəfinə paralel olan müstəvi, bu üçbucağın AC tərəfini A nöqtəsində, BC tərəfini B nöqtəsində kəsir. a) AB = 8 sm, AA : AC = : ; b) BC = 6 sm, AB : BC = : ; c) AA = a, AB = b, AC = c olarsa, AB parçasının uzunluğunu tapın. Çap üçün deil 8

49 Düz əttin müstəviə perpendikularlığı Tərif. Müstəvini () kəsən düz ətt (l) müstəvi üzərində olan və kəsişmə nöqtəsindən keçən itiari düz əttə perpendikulardırsa, onda bu düz ətt müstəviə perpendikulardır və bu l kimi azılır. Teorem. (Düz əttin müstəviə perpendikularlıq əlaməti) Müstəvini kəsən düz ətt, onun üzərindəki iki kəsişən düz əttə perpendikulardırsa, müstəvinin özünə də perpendikulardır. l Verilir. a və b kəsişən düz ətləri müstəvisi üzərindədir. A R b Q l a, l b. P m a İsbat edin. l B S Tutaq ki, l düz ətti müstəvisi üzərində P nöqtəsində kəsişən a və b düz ətlərinə perpendikulardır. müstəvisi üzərində P nöqtəsindən keçməklə itiari m düz ətti və a, b, m düz ətlərini uğun olaraq A, B, Q nöqtələrində kəsən düz ətti çəkək. P nöqtəsindən başlaaraq l düz əttinin üzərində PR və PS konqruent parçaları aıraq. İsbatı aşağıdakı addımlarla erinə etirək. ) RPA SPA l TBT AR AS R A Q B P S ) RPB SPB TBT BR BS b A Q m a l ) RAQ SAQ 5) RPQ SPQ TBT R TTT A RQ SQ b RPQ SPQ Q m P a B S B RQS bərabəranlı üçbucağında PQ medianı həm də hündürlükdür. Buradan m l. Tərifə görə alırıq ki, l. Teorem isbat olundu. 9 l R P S ) RBA SBA TTT RAB SAB b A m Q Teorem. Düz ətt üzərində verilmiş nöqtədən bu düz əttə perpendikular olan bir və alnız bir müstəvi keçir. Teorem. Müstəvinin verilmiş nöqtəsindən bu müstəviə bir və alnız bir perpendikular düz ətt keçirmək olar. Teorem -ü isbat edək. Verilir. l düz ətti P nöqtəsində müstəvisinə perpendikulardır. İsbat edin. l düz ətti P nöqtəsində müstəvisinə perpendikular olan eganə ətdir. Çap üçün deil a B Q B A l l R P S l R P S b m a b m a

50 Düz əttin müstəviə perpendikularlığı İsbatı. Teoremi əksini fərz etməklə isbat edək. Fərz edək ki, müstəvisinə P nöqtəsində perpendikular olan l düz əttindən başqa bir z düz ətti də var. l və z düz ətləri müstəvisini b düz ətti bounca kəsən müstəvisi üzərindədirlər. l və z düz ətlərinin l z θ kəsişməsindən bucağı aranır. Düz ətt və müstəvinin P perpendikularlığının tərifinə görə l düz ətti (eləcə də z b düz ətti) müstəvisi üzərində olan istənilən düz əttə, o cümlədən b düz əttinə də perpendikulardır. Onda həm l, həm də z düz ətti müstəvisinə perpendikular olmalıdır. Lakin θ > 80 olduğundan bu mümkün deil. Deməli, müstəvisinə P nöqtəsində perpendikular alnız və alnız bir düz ətt var. Teorem isbat olundu. Fəzanın A nöqtəsindən keçən və P nöqtəsində müstəvisinə perpendikular olan düz əttin AP parçasına A nöqtəsindən müstəvisinə çəkilmiş perpendikular de ilir. A nöqtəsi ilə müstəvisinin qalan nöqtələrini birləşdirən parçalara mail deilir. A AP parçası müstəviə perpendikular, perpendikular mail AB parçası mail, P nöqtəsi perpendikuların oturacağı, P B B nöqtəsi mailin oturacağı, proeksia BP parçası mailin müstəvi üzərində proeksiası adlanır. Müstəvi aricindəki nöqtədən ona perpendikular və maillər çəkilərsə: ) perpendikular maildən kiçikdir; ) proeksiaları bərabər olan maillər bərabərdir; A ) proeksiası böük olan mail böükdür. 0 Nümunə. Fəzanın bir nöqtəsindən müstəviə 0 sm və D sm uzunluqda iki mail çəkilib. Böük mailin 6 C B proeksiası 6 sm-dir. Kiçik mailin proeksiasını tapın. Həlli: AD perpendikular, AB və AC maillər, BD və CD isə onların proeksiaları olsun. ABD-dən Pifaqor teoreminə görə: AD = AB BD = 0 6 = = (sm) ADC-dən Pifaqor teoreminə görə: DC = AC AD = = 5 (sm) Düz ətt və müstəvi arasındakı bucaq l Düz ətlə onun müstəvi üzərindəki proeksiasının əmələ gətirdii bucağa düz ətlə müstəvi arasındakı bucaq deilir. Düz ətlə müstəvi arasındakı bucaq düz əttin müstəvi üzərindəki digər düz ətlərlə əmələ gətirdii bucaqların heç birindən böük deildir. Düz ətt müstəviə perpendikular olduqda düz ətt ilə müstəvi arasındakı bucaq 90 -ə bərabər olur. Çap üçün deil 50

51 Düz əttin müstəviə perpendikularlığı Yeni telefon dirəi quraşdıran usta dirəin er səthində götürülmüş iki kəsişən əttə perpendikular olduğuna əmin olmaqla dirəin perpendikular basdırıldığını qed edir. İsbat edin ki, usta haqlıdır. Üçbucağın təpəsindən keçən düz ətt bu təpədən çıan tərəflərə perpendi - kulardır. Bu düz ətlə üçbucağın üçüncü tərəfi arasındakı bucağı tapın. Şəkildə verilənlərə görə -i tapın. A. Fəzanın bir nöqtəsindən verilən müs təviə 8 sm uzunluqda perpen dikular və 6 sm uzunluqda 7 0 mail çəkilmişdir. a) Mailin proeksiasını; O C b) Perpendikuların mail üzərində 5 B proeksiasını tapın. 5. Uzunluğu 0 sm olan düz ətt parçası müstəvini kəsir. Parçanın ucları müstəvidən 5 sm və sm məsafədədir. Parçanın müstəvi üzərindəki proeksiasını tapın. 6. Uzunluğu 8 sm olan parça müstəvini kəsir. Parçanın ucları müstəvidən sm və sm məsafədədir. Verilmiş parça ilə müstəvi arasındakı bucağı tapın. 7. Düzbucaqlı paralelepipedin otura cağının tərəfləri sm və sm, paralelepipedin hündürlüü 5 smdir. Paralelepipedin diaqonalını və diaqonalla 5 oturacaq müstəvisi ara sındakı bucağı tapın. ABCD kvadratının AD tərəfi müstəvi üzərindədir. AC diaqonalı müstəvi ilə 0º-li bucaq əmələ gətirir. DC tərəfinin müstəvi ilə əmələ gətirdii bucağı tapın. A 9. Müstəvidən a məsafədə olan A nöqtəsindən müstəvi a ilə 5º və 0º-li bucaq, bir-biri ilə isə düz bucaq 0 B D əmələ gətirən AB və AC mailləri çəkilmişdir. 5 Maillərin oturacaqları arasındakı məsafəni tapın. C 0. Bir nöqtədən verilən müstəviə iki bərabər mail çəkilmişdir. Maillər arasındakı bucaq 60º, proeksiaları arasındakı bucaq isə düz bucaqdır. Hər mail ilə öz proeksiası arasındakı bucağı tapın.. Nöqtədən müstəviə iki mail çəkilmişdir. a) Maillərdən biri digərindən 8 sm böük, proeksiaları isə 8 sm və 0 sm; b) Maillərin uzunluqları nisbəti : kimi, proeksiaları isə sm və 7 sm olarsa, bu maillərin uzunluqlarını tapın. Çap üçün deil 5 A B 0º d D C C

52 Üç perpendikular teoremi Teorem. Müstəvi üzərindəki düz ətt müstəviə çəkilmiş mailin proeksiasına perpendikulardırsa, mailin özünə də perpendikulardır. Yəni, müstəvisi üzərində C nöqtəsindən keçən a düz ətti BC-ə perpendikulardırsa, AC-ə də perpendikulardır. Qısa azılış: a BC və BC BA olarsa, a AC Bu teoremin tərsi də doğrudur. Tərs teorem. Müstəvi üzərindəki düz ətt müstəviə çəkilmiş mailə perpendikulardırsa, onun proeksiasına da perpendikulardır. Yəni, müstəvisi üzərində C nöqtəsindən keçən a düz ətti AC-ə perpendikulardırsa, BC-ə də perpendikulardır. Qısa azılış: a AC və BC BA olarsa, a BC Teoremi isbat edək. Verilir: AB AC müstəvisinə çəkilmiş maildir, BC parçası AC mailinin proeksiasıdır. CD, CD BC İsbat etməli: CD AC Təklif CD BC ABCD CD ABC müstəvisi CD AC Tərs teoremi müstəqil isbat edin. Nümunə. Düzbucaqlı ABC üçbucağının düz bucaq təpəsindən üçbucaq müstəvisinə çəkilən CM perpendikularının uzunluğu 7, vahid, üçbucağın düz bucaq təpəsindən hipotenuza çəkilmiş hündürlüünün uzunluğu isə 9,6 vahiddir. M nöqtəsindən üçbucağın hipetonuzuna qədər məsafəni tapın. 5 Əsası mailin pro ek siası Verilir Düz ətlə müstəvinin perpendikularlığı AB və BC ABC müstəvisi üzərində iki kəsişən ətdir və CDAB, CD BC mail CD ABC müstəvisi (düz əttin müstəviə perpendikularlığı) Həlli: Üç perpendikular teoreminə görə CH AB isə, MH AB olur. M nöqtəsindən hipetonuza qədər məsafə MH parçasının uzunluğuna bərabərdir. MCH-dan Pifaqor teoreminə görə alırıq: MH = 7, + 9,6 = vahid. Çap üçün deil 7, C M D C A B 9,6 B A B H a C A

53 Üç perpendikular teoremi Nümunə. Tərəfləri 0; 7; vahid olan üçbucağın böük bucağının təpəsindən üçbucaq müstəvisinə uzunluğu 5 vahid K olan perpendikular qaldırılmışdır. Perpendikuların uc nöqtəsindən böük tərəfə qədər olan məsafəni tapın. Həlli: BF AC olarsa, KF AC. Deməli, KF parçasının uzunluğunu tapmalııq. Əvvəlcə Heron düsturuna görə 5 ΔABC-nin sahəsini tapaq. 7 a + b + c C B p = = = 0 F A S = p(p a)(p b)(p c) = ( 0)( 7)( ) = = 7 = = 7 = 8 S 8 Digər tərəfdən S = AC BF. Buradan BF = = = 8 AC KB parçası BF-ə perpendikular olduğundan ΔKBF düzbucaqlı üçbucaqdır. KF = KB +BF = = 89 = 7. Şəkildə verilənlərə görə tələb olunan təklifi isbat edin D M B F B B E A A A 0 D C 0 C C D DB(ABС) MA(ABС) KB(ABС) DCAС AB = AC, CD = DB AE, CF, - Hündürlüklər MDBС KDAC. Tərəfləri 0 sm, 0 sm, sm olan üçbucağın dailinə çəkilmiş çevrənin mərkəzindən üçbucaq müstəvisinə sm uzunluqda perpendikular qal - dırılmışdır. Perpendikuların ucundan üçbucağın tərəflərinə qədər məsafəni tapın.. Fəzanın M nöqtəsi katetləri 6 sm və 8 sm olan düzbucaqlı ABC üçbucağının təpələrindən eni məsafədədir. MA = MB = MC = sm olarsa, M nöqtəsindən üçbucaq müstəvisinə qədər məsafəni tapın.. Fəzanın M nöqtəsi tərəfləri sm olan düzgün üçbucağın müstəvisindən sm, onun tərəflərindən isə bərabər məsafədədir. M nöqtəsindən üçbucağın tərəflərinə qədər məsafəni tapın. 5. a) b) c) Fəzanın M nöqtəsi tərəfləri sm, sm, 5 sm olan üçbucağın tərəflərindən 5 sm məsafədədir. M nöqtəsindən üçbucaq müstəvisinə qədər məsafəni tapın. Çap üçün deil 5 K

54 İki müstəvi arasındakı bucaq. İkiüzlü bucaqlar Praktik məşğələ. Kağız qatlama. İki kağız vərəq götürün, birinin üzərində M, digərinin üzərində isə N hərfi azın. Vərəqlərin hər ikisini arıa qədər kəsin. Vərəqləri bir-birinə apışqanlı lentlə bərkidin. Tapşırıqları erinə etirin.. Hər iki müstəviə aid olan D və E nöqtələri qed edin.. D və E nöqtələrindən keçən düz ətt çəkin.. Müstəvilərin kəsişməsi haqqında fikirlərinizi söləin. Müstəvilərin qarşılıqlı vəziətləri Paralel müstəvilər Paralel müstəvilərin heç bir ortaq nöqtəsi olmur. Kəsişən müstəvilər İki müstəvi bir düz ətt üzrə kəsişir. və müstəviləri AB düz ətti üzrə kəsişir. A B Ortaq sərhədləri olan iki arımmüstəvinin əmələ gətirdii fiqura ikiüzlü bucaq deilir. Yarımmüstəvilər ikiüzlü bucağın üzləri, onların ortaq sərhədi isə ikiüzlü bucağın tili adlanır. İki müstəvinin kəsişməsindən ikiüzlü bucaq alınır. İkiüzlü bucağın tili üzərində hər hansı bir nöqtə götürüb, bu nöqtədən hər biri arı arımmüstəvilərdə olan perpendikular A şüalar çəksək, alınan bucaq ikiüzlü bucağın ətti bucağı adlanır. O İkiüzlü bucaq özünün ətti bucağı ilə ölçülür. Xətti bucağın O dərəcə ölçüsü ikiüzlü bucağın dərəcə ölçüsünü göstərir. r İkiüzlü bucağın bütün ətti bucaqları paralel köçürmə ilə üstüstə düşür, deməli, dərəcə ölçüləri bərabərdir (eni düz əttə B perpendikular olan düz ətlər paraleldir). Xətti bucağın qiməti onun təpə nöqtəsinin vəziətindən asılı deil. İkiüzlü bucaqların ölçüləri 0º-dən 80º-ə qədər olur. Nümunə. 0 -ə bərabər olan ikiüzlü bucağın bir üzü üzərində götürülmüş nöqtədən digər üzə qədər məsafə a olarsa, bu nöqtədən ikiüzlü bucağın tilinə qədər məsafəni tapın. Həlli: A α verilmiş nöqtə olsun.ab l, AC α endirək. Üç perpendikular teoreminə görə BC l. Deməli, ABC ətti bucaqdır və ABC = 0. Şərtə l görə AC = a və 0 -li bucağın qarşısındakı katet β hipotenuzun arısına bərabər olduğu üçün ABC-dən a = AB. Buradan AB = a 5 B A C N M M Üst-üstə düşən müstəvilər İki müstəvinin bir düz ətt üzərində olmaan üç ortaq nöqtəsi vardır. Çap üçün deil l β

55 İki müstəvi arasındakı bucaq. İkiüzlü bucaqlar İki müstəvinin kəsişməsi zamanı alınan ikiüzlü bucaqlar düz bucaq deilsə, qimətcə kiçik olanı iki müstəvi ara - sındakı bucaq qəbul edilir. Şəkildəki və müstəviləri arasındakı bucaq dedikdə tərəfləri bu müstəvilərin kəsişmə əttinə perpendikular olan bucağı nəzərdə tutulur. ABC üçbucağı və onun müstəvisi aricində T nöqtəsi götürüb, TA, TB, TC şüalarını çəkək. Ortaq təpəsi T olub, bir müstəvi üzərində erləşməən A ATC, ATB, və BTC müstəvi bucaqlarının əmələ B gətirdii fiqura üçüzlü bucaq deilir. Müstəvi bucaqlara üçüzlü bucağın üzləri, onların tərəflərinə üçüzlü bucağın tilləri, ortaq təpəə üçüzlü bucağın təpəsi deilir. Hər bir C til eni zamanda bir ikiüzlü bucağın tilidir. Teorem. Üçüzlü bucağın müstəvi bucaqlarının cəmi 60º-dən kiçikdir. Teorem. Üçüzlü bucağın hər bir müstəvi bucağı o biri iki müstəvi bucağın cəmindən kiçikdir. Nümunə. Müstəvi bucaqlarının dərəcə ölçüləri: a) 0º, 00º, 0º ; b) 70º, 80º, 00º olan üçüzlü bucaq varmı? Həlli: a) odur, çünki 0º+00º+0º= 70º > 60º b) var, çünki 70º+80º+00º < 60º və verilmiş müstəvi bucaqlarının hər biri digər ikisinin cəmindən kiçikdir.. Sinif otağında üçüzlü bucağa nümunələr göstərin. Bu üçüzlü bucağın müstəvi bucaqlarının və ikiüzlü bucaqlarının qimətlərini təmin edin.. Müstəvi bucaqlarının dərəcə ölçüləri verilmiş üçüzlü bucaq varmı? a) 0º; 70º; 50º b) 0º; 50º; 00º c) 60º; 00º; 70º. 5º-ə bərabər olan ikiüzlü bucağın bir üzündə o biri üzündən a məsafədə bir nöqtə götürülmüşdür. Bu nöqtənin tildən olan məsafəsini tapın.. Düzbucaqlı üçbucağın katetləri 6 sm və 8 sm-dir. Üçbucağın müstəvisi ilə 0º-li bucaq əmələ gətirərək, hipotenuzdan keçən müstəvinin düz bucaq təpəsindən olan məsafəsini tapın. 5. Üçüzlü bucağın iki müstəvi bucağından hər biri 5º, üçüncüsü isə 60º-dir. Üçüncü müstəvi bucağın qarşısındakı ikiüzlü bucağı tapın. 6. Tərəfləri AB = 8, BC =, AC = 0 olan ABC üçbucağı verilmişdir. AC tərəfindən üçbucağın müstəvisi ilə 5º-li bucaq əmələ gətirən müstəvisi keçir. B təpəsindən müstəvisinə qədər məsafəni tapın. Çap üçün deil 55 T

56 Perpendikular müstəvilər Praktik məşğələ. Kağız vərəqi karandaşa apışqan lentlə bərkidin. Karandaş düz əttin, kağız vərəq isə müstəvi modelidir. Karandaşı stol müstəvisi üzərində mütəlif vəziətlərdə erləşdirməklə kağız vərəqlə stol müstəvisi arasındakı ikiüzlü bucaqların qiməti haqqında fikirlərinizi söləin. Tərif. İki müstəvinin kəsişməsi ilə alınan ikiüzlü bucaq Q düz bucaq olarsa, bu müstəvilərə perpendikular T müstəvilər deilir. müstəvisi üzərində SQ SR və müstəvisi üzərində TS SR. Üzləri və müstəviləri, tili isə RS olan R S ikiüzlü bucağın ölçüsü QST - ətti bucağın ölçüsü ilə enidir. QST düz bucaqdırsa,. B Teorem. (müstəvilərin perpendikularlıq əlaməti) Müstəvi digər müstəviə perpendikular olan düz ətdən A keçirsə, onda bu müstəvilər perpendikulardır. D Verilir: AB düz ətti müstəvisinə A nöqtəsində pependikulardır. C isə müstəvisi üzərində olmaan hər hansı nöqtədir. İsbat edin: A, B, C nöqtələrindən keçən müstəvisi müstəvisinə perpendikulardır. İsbatı: və müstəvilərinin kəsişməsini AD ilə işarə edək. AD bu müstəvilərin aratdığı ikiüzlü bucağın tilidir. müstəvisi üzərində olmaqla AD-ə perpendikular olan AE əttini çəkək. B C AB olduğundan AB ətti A nöqtəsindən keçən istənilən əttə perpendikulardır. Yəni, AB AD, AB AE. BAE ikiüzlü bucağın ətti bucağıdır, AB AE olduğundan ikiüzlü E A D bucaq düz bucaqdır. Deməli,. Teorem isbat edildi. Düz ətdən keçən istənilən müstəvini müstəvisinin l düz ətti ətrafında fırlanmasından alınan müstəvilər kimi modelləşdirmək olar. n ü Tətbiqi nümunə. Otellərin, ticarət mərkəzlərinin girişindəki fırlanan qapılar Q perpendikular müstəvilərə nümunə ola bilər. Qapının sematik təsvirindən görünür ki, ST düz ətti döşəməə perpendikulardır və qapı bu düz ətt ətrafında fırlandıqca STU, STR müstəviləri də RTU döşəmə müstəvisinə perpendikular olaraq qalırlar. Ç p a ç ü 56 l i e d l S V R T U

57 Perpendikular müstəvilər 7. Evdə və məktəbdə ətrafınızda gördüklərinizə görə perpendikular müstəvilərə aid nümunələr göstərin və onların perpen dikular olduqlarını əsaslandırın. a Nöqtə, perpendikular iki müstəvidən a və b A 8. məsafədədir. Bu nöqtədən müstəvilərin kəsişmə b əttinə qədər məsafəni tapın. 9. a) Kubun ADC müstəvisinə perpendikular olan tillərini azın. H G b) AE tili hansı müstəvilərə perpendikulardır? Cavabınızı düz ətlə müstəvinin perpendikularlığı E F haqqında teoremi azmaqla izah edin. c) Üç cüt perpendikular müstəvinin adını azın. B C Onların perpendikularlığını örəndiiniz teorem - ləri azmaqla izah edin. A D 0. Təsəvvür edin ki, siz sinif otağınızı arakəsmə K lövhələri ilə şəkildə göstərildii kimi iki hissəə aırmalısınız. Sizə kömək edən usta arakəsmə D üzərində təbaşirlə DF, döşəmədə isə FH düz əttini G J çəkdi. F a) Bu iki əttin və günənin köməilə arakəsmənin E H modeli olan EFD müstəvisinin döşəməni göstərən EFH müstə vi sinə perpendikular olduğunu necə müəən edərdiniz? b) Arakəsmənin divara (KGJ) perpendikular olduğuna hansı olamalarla əmin olmaq olar?. a) NML müstəvisini və bu müstəviə perpendikular olan AM düz əttini çəkin. b) AM düz əttindən keçən və NML müstəvisinə perpendikular olan üç müstəvi çəkin.. Hansı fikir doğru, hansı anlışdır? a) Düz ətt üzərində götürülmüş hər hansı nöqtədən bu düz əttə alnız bir perpendikular çəkmək olar. b) A nöqtəsi müstəvisi, B nöqtəsi müstəvisi üzərində olarsa, AB düz əttinin heç bir başqa nöqtəsi müstəvisi üzərində ola bilməz. c) İki kəsişən müstəvinin hər biri üçüncü müstəviə perpendikular olarsa, bu müstəvilər bir-birinə də perpendikulardır. d) AB düz ətti A nöqtəsində müstəvisinə perpendikulardırsa və AB düz ətti müstəvisi üzərində erləşirsə,. e) Düz ətt üzərində verilən nöqtədən bu düz əttə alnız bir perpendikular müstəvi keçirmək olar. f) Müstəvi iki kəsişən düz ətdən birinə perpendikular olarsa, digərinə də perpendikulardır. Çap üçün deil 57

58 Perpendikular müstəvilər. a) PN-nin MNL müstəvisinə perpendikular olması hansı müstəvinin də MNL müstəvisinə peprpendikular olduğunu göstərir? b) Həm RSL, həm də PNL müstəvisinin MNL müstəvisinə perpendikular olması üçün hansı düz ətt MNL müstəvisinə perpendikular olmalıdır? M P R Q N S L. AB parçası müstəvisinə B nöqtəsində per pen - dikulardır. A müstəvisi üzərindəki BC və BD parçaları konqruentdir: BC BD. AC AD olduğunu ikisütunlu cədvəli tamamlamaqla B isbat edin. İsbatı dəftərinizdə azın. C D Verilir: AB, BC BD C və D İsbat edin: AC AD Təklif Əsası. AB, BC BD, C və D. Verilir. AB BC, AB BD.....ABC və ABD düz bucaqlardır. Perpendikuların tərifinə görə. ABC ABD. Hər ikisi düz bucaqdır 5. ΔABC ΔABD AC AD Bərabərtərəfli ABC üçbucağı müstəvisi üzərindədir. AD parçası müstəvisinə perpendikulardır. BD CD olduğunu isbat edin. 6. AB oturacağı ortaq olan ABC və ABD bərabəranlı üçbucaqlarının müstəviləri perpendikulardır. AB = 6 sm, AC = BC = 7 sm, AD BD olarsa, CD məsafəsini tapın. 7. AB parçası müstəvisinə C nöqtəsində perpendikul ar və AC CB. İsbat edin ki, müstəvisi üzərindəki istənilən nöqtə A və B nöqtələrindən eni məsafədədir. 8. Perpendikular iki müstəvi üzərində olan A və B nöqtələrindən müstəvilərin kəsişmə əttinə AC və BD perpendikularları çəkilmişdir. a) AC = 8 sm, BD = 9 sm, CD = sm; b) AD = 6 m, BC = 7 m, CD = m; c) AC = a, BD = b, CD = c olarsa, AB parçasının uzunluğunu tapın. Çap üçün deil 58 D A B C

59 Paralel müstəvilər Teorem. (Müstəvilərin paralellik əlaməti) Bir müstəvinin iki kəsişən düz ətti uğun olaraq, o biri müstəvinin iki kəsişən düz əttinə paralel olarsa, bu müstəvilər bir-birinə paraleldir. a İsbatı: Tutaq ki, kəsişən a və b düz ətləri b müstəvisi, a və b düz ətləri isə müstəvisi üzərindədir və a a, b b. c a Göstərək ki,. Əksini fərz edək. Tutaq ki, və müstəviləri c düz ətti bounca kəsişirlər. Düz ətlə müstəvinin paralellik əlamətinə görə a c və b c. Belə çıır ki, c düz ətti kəsişən a və b düz ətlərinin hər birinə paraleldir. Bu isə mümkün deil. Ziddiət. Teorem isbat edildi. Teorem. İki paralel müstəvi üçüncü müstəvi ilə kəsişirsə, l onda kəsişmə ətləri paraleldir. Yəni, paralel və müstəvilərini müstəvisi kəsərsə, onların l və m kəsişmə ətləri paraleldir. m Qısa azılış: olarsa, müstəvisi və müstəvisini kəsirsə, l m Tətbiqi nümunə. Düzbucaqlı paralelepipeddə ABG və G F DCF müstəviləri paraleldir. Hansı müstəvilər bu müstəviləri kəsərək paralel tilləri aradır? B C Həlli:. ABC müstəvisi ABG və DCF paralel müstəvilərini E H kəsərək AB və CD paralel tillərini aradır: AB CD A D. HGF müstəvisi ABG və DCF paralel müstəvilərini kəsərək GH və FE paralel tillərini aradır: GH FE Teoremin isbatı: Verilir:, müstəvisinin müstəvisi ilə kəsişməsi l, müstəvisi ilə kəsişməsi m düz ətti olsun. İsbat edin: m l İsbatı: m və l düz ətləri müstəvisi üzərində olduqlarından çarpaz ola bilməzlər. Onlar kəsişə də bilməzlər, əks halda və müstəvilərinin ortaq nöqtəsi olardı. Doğrudan da, l və m düz ətləri hər hansı nöqtədə kəsişərlərsə, bu nöqtə l düz ətti üzərində, əni müstəvisi üzərində olmalıdır, həm də m düz ətti üzərində, əni müstəvisi üzərində olmalıdır. Lakin və müstəviləri paraleldir, heç bir ortaq nöqtələri B A odur. Deməli, m l. Teorem isbat edildi. Teorem. Paralel düz ətlərin paralel müstəvilər arasında qalan parçaları bərabərdir. D Teoremi müstəqil isbat edin. C Çap üçün deil 59 b

60 Paralel müstəvilər Teorem. Eni müstəviə perpendikular olan iki düz ətt paraleldir. Verilir: müstəvisi, LA, MB İsbat edin: LA MB L N M Teoremin isbatı üçün LA-a paralel olan BN düz əttini çəkin və bu paralel düz ətlərdən β müstəvisi keçirin. BN və BMətlərinin üst-üstə düşdüünü göstərməliik. Teoremi aşağıdakı addımlarla isbat edin. A B. α müstəvisi üzərində ACAB çəkin və LAC-nin və С D müstəvilərinin əmələ gətirdii düz ikiüzlü bucağın ətti bucağı olduğunu göstərin.. İki paralel düz ətdən biri üçüncü düz əttə perpendikulardırsa, digəri də bu əttə perpendikulardır. LAAB şərtinə görə, NB AB olduğunu göstərin.. müstəvisi üzərində BD AB çəkin. və müstəvilərinin düz ikiüzlü bucağından istifadə etməklə BD NB olduğunu göstərin.. MB-nin müstəvisinə B nöqtəsində çəkilmiş eganə perpendikular olduğunu göstərin. Teorem 5. Eni düz əttə perpendikular olan iki müstəvi paraleldir. Teoremin isbatı: Verilir: müstəvisi AB, müstəvisi AB. A İsbat edin: İsbatı: Əksini fərz edək. Tutaq ki, və müstəviləri kəsişir və R nöqtəsi bu müstəvilərin kəsişmə ətti R üzərində olan nöqtədir. A, B, R nöqtələrindən isə müstəvisi keçir. müstəvisi üzərində RB AB, B RA AB. Lakin müstəvi üzərində eni düz əttə perpendikular olan düz ətlər paralel olmalıdır. Deməli, və müstəvilərinin kəsişməsi haqqındakı fərziə doğru deil. Bu müstəvilər paraleldir:. Teorem isbat edildi. Tətbiqi nümunə. Kərim kartondan avtomobil mo - deli düzəldir. Təkərləri birləşdirən DG ou təkərlərə perpendikular olmalıdır. O hansı ətlərə perpendikular olmalıdır ki, o, təkərlərin paralel olduğuna əmin olsun. Həlli: DG ou EFD müstəvisi üzərində olan ED və FD kəsişən ətlərinə və HGJ müstəvisi üzərində HG və GJ kəsişən ətlərinə perpendikular olarsa, Kərim təkərlərin paralel olduğuna əmin ola bilər. Çap üçün deil 60 E F D H G J

61 Paralel müstəvilər Teorem 6. İki paralel müstəvidən birinə perpendikular olan düz ətt o birinə də perpendikulardır. İsbatı., a olsun. a düz əttindən keçən və müstəviləri verilmiş və müstəvilərini paralel düz ətlər bounca kəsirlər: AC BM, AD BN. a AC, a AD olduğundan, a BM və a BN. Düz ətlə müstəvinin perpendikularlıq əlamətinə görə a olur. Teorem isbat olundu. B a A M C N D. İki paralel müstəvi arasındakı məsafə. İki paralel müstəvi arasındakı məsafə bu müstəvilərdən birinin itiari nöqtəsindən o birinə çəkilmiş perpendikuların uzunluğuna bərabərdir. İki çarpaz düz ətt arasındakı məsafə. İki çarpaz düz əttin hər birindən o birinə paralel müstəvi keçirmək olar. Məsələn, b düz əttindən a düz əttinə paralel müstəvi keçirək. Bunun üçün b düz əttini kəsən və a- A a a paralel olan a düz ətti çəkək. a və b kəsişən düz b ətlərindən müstəvi keçirsək, bu müstəvi a düz əttinə B a paraleldir. a düz əttinin itiari nöqtəsindən bu müstəviə qədər məsafə a və b çarpaz düz ətləri arasındakı məsafəə bərabərdir. b a = B olarsa, müstəvisinə perpendikular olan AB parçası a və b çarpaz düz ətlərinin ortaq perpendikuları olur... Dülgərlər, çilingərlər detalları iki paralel lövhə A (məngənə) arasında sııb, bərkidir və onların B üzərində lazımi işləri erinə etirirlər. F Şəkildə göstərilən və məngənəni atırladan iki C lövhənin bir-birinə paralel olması üçün hansı ətlər perpendikular olmalıdır? AB düz ətti müstəvisinə paralel, müstəvisinə perpendikulardır. CD düz ətti müstəvisi üzərindədir. a) Şərtə uğun şəkil çəkin. b) Hansı doğrudur? a) b) c) AB CD d) CD Verilən şərtləri şəklin üzərində əks etdirin. və müstəviləri CD düz ətti bounca kəsişir. AB düz ətti CD-ni E nöqtəsində kəsir. A, B, C, D, E nöqtələri eni müstəvi üzərindədirlər. Çap üçün deil 6 D M N E

62 Paralel müstəvilər MNO və PQR müstəviləri paralel müstəvilər və MP NQ QR olduğuna görə NO = QR olduğunu söləmək olarmı? Cavabınızı izah edin. Verilən təklifin doğru və a anlış olduğunu şəkildən nümunə gətirməklə izah edin. a) İki müstəvi perpendikulardırsa, bu müstəvilərdən birinə paralel olan düz ətt digərinə də perpendikulardır. b) İki müstəvi eni düz əttə paraleldirsə, bu müstəvilər bir-birinə paraleldir. c) Eni düz əttə perpendikular olan düz ətlər paraleldir. d) Eni müstəviə perpendikular olan iki müstəvi birbirinə paraleldir. e) İki paralel düz ətdən birinə çarpaz olan düz ətt digərinə də çarpazdır. ABC bərabəranlı üçbucağının BC oturacağı müstəvisi üzərindədir. müstəvisinə paralel olan müstəvisi AB tərəfini D nöqtəsində və AC tərəfini E nöqtəsində kəsir. İsbat edin ki, ADE üçbucağı da bərabəranlı üçbucaqdır. İki paralel müstəvi arasındakı məsafə 8 sm-dir. Uzunluğu 0 sm olan düz ətt parçasının ucları bu müstəvilərə sökənir. Parçanın hər iki müstəvi üzərindəki proeksiasını tapın. İki paralel və müstəvisi arasında AC və BD parçaları çəkilmişdir (A,Bα; C,Dβ). AC = 7 sm, BD = 0 sm, AC və BD-nin müstəvilərdən biri üzərində proeksialarının cəmi sm-dir. Bu proeksiaların uzun - luqlarını və müstəvilər arasındakı məsafəni tapın. B C 9. Verilir: düzbucaqlı paralelepiped, AB = AD = 5 sm, AA = 0 sm. A D AC düz ətti ilə AD-ni üzərində salaan düz ətt arasındakı məsafəni tapın. B C Göstəriş: AC diaqonalından AD-ə paralel müstəvi keçirin. A D 0. İki paralel müstəvi arasında m uzunluqda perpendikular və 6 m uzunluqda mail çəkilmişdir. Hər müstəvinin üzərində bunların ucları arasında məsafə m-dir. Perpendikularla mailin ortaları arasındakı məsafəni tapın.. Düz ətt parçasının ucları müstəvidən a və b məsafədədir (a > b). Parçanın orta nöqtəsinin müstəvidən məsafəsini tapın: a) Parça müstəvini kəsmirsə; b) Parça müstəvini kəsirsə.. Müstəvini kəsməən düz ətt parçasının ucları müstəvidən 5 sm və 5 sm məsafədədir. Parçanı : 7 nisbətində bölən nöqtənin müstəvidən məsafəsini tapın (iki hala baın). 6 Çap üçün deil P M P D A H G Q N C J B O R F E

63 Proeksialar və məsələ həlli Məişət əşalarının, sənae avadanlıqlarının, maşın və meanizmlərin istehsalını daha dəqiq təşkil etmək üçün onların mütəlif tərəflərdən şəkillərini çəkməklə formalarının dəqiqləşdirilməsi işi görülür. Bunun üçün əşa və avadanlıqların mütəlif tərəflərdən görünüşlərinin şəkli çəkilir. Fəza fiqurlarını müstəvi üzərində təsvir etməkdən ötrü proeksialamadan istifadə edilir. müstəvisini kəsən itiari l düz ətti götürək. Fiqurun A nöqtəsindən l düz əttinə paralel keçirilən əttin müstəvisi ilə A kəsişmə nöqtəsi A nöqtəsinin təsviri olacaqdır. Bu qada ilə hər bir nöqtəsinin təsvirini qurmaqla, fiqurun təsviri alınar. Bu halda fiqurun paralel parçaları paralel parçalarla təsvir edilir və paralel düz ətt parçalarının nisbəti salanılır. Xüsusi halda, l düz ətti müstəvisinə perpendikular olduqda alınan təsvir fiqurun ortoqonal proeksiası olur. Şəkildə mütəlif vəziətlərdə olan parçanın həm üfüqi, həm də şaquli müstəvi üzərində ortoqonal proeksiasına aid nümunələr verilmişdir. B A A Y B A (B ) A B A A B B 6 A B A A B B A A B A A A A K A K L Parçanın proeksiasının uzunluğunu tapmaq üçün A B = AB cos əlaqəsindən istifadə edilir. A K ABC-nin AC tərəfindən keçən müstəvisi ilə üçbucaq müstəvisi arasındakı bucaq olarsa, bu üçbucağın A müstəvisi üzərində ortoqonal proeksiasının sahəsini B tapaq. B BD AC, BB olarsa, üç perpendikular teoreminə görə BD AC olur. BD A SABC = AC BD BBD-dən cos =, D BD C B BD = BD cos olduğundan S ABC= AC BD = AC BD cos = S cos ABC Ümumi halda, çobucaqlı müstəvisi ilə proeksia müstəvisi arasındakı bucaq olarsa, Sp = Sf cos düsturu doğrudur. Burada Sf - çobucaqlının sahəsi, Sp - ortoqonal proeksianın sahəsidir. Çap üçün deil L B B B l

64 Proeksialar və məsələ həlli Nümunə. Düzbucaqlı prizma uarıdan işıqlandırılır. Tələb olunan parçaların oturacaq müstəvisi üzərindəki proeksialarını çəkin. A a) BD b) NB с) BE d) BX N Oturacaq müstəvisinə proeksiaları: a) BD-nin proeksiası SD-dir. b) NB-nin proeksiası NS-dir. A N B S X M E C D B S X R E c) BE-nin proeksiası SE-dir. d) BX-in proeksiası SX-dir. A N B S X M E C D C D Rəngli hissələrin oturacaq müstəvisinə proeksiasını rəngləməklə göstərin. D H A F B T E M C B E F S M G N M R A Bərabəranlı CAB üçbucağının müstəvisi üzərindəki ortoqonal proeksiası bərabərtərəfli üçbucaqdır. AD α, AE BC, S CAB = 8 sm, AE = 6 sm olarsa, BCD-nin sahəsini tapın. ABC bərabərtərəfli üçbucağının müstəvisi üzərindəki ortoqonal proeksiası BDC düzbucaqlı üçbucağıdır. AC = 8 sm-dirsə, DC-ni tapın. ABC üçbucağının müstəvisi ilə müstəvisi arasındakı bucaq 0 -dir. BC = sm, AA, AA = 8 sm olarsa ABC üçbucağının müstəvisi üzərindəki ortoqonal proeksiasının sahəsini tapın. 6 B B E D A P C C N D C D Tərəfi a olan bərabərtərəfli üçbucaq verilmişdir. Bu üçbucağın onun müstəvisi ilə: a) 0 ; b) 5 ; c) 60 -li bucaq əmələ gətirən müstəvi üzərindəki ortoqonal proeksiasının sahəsini tapın. Çap üçün deil A D B A A C

65 Ümumiləşdirici tapşırıqlar. Şəkilə görə erinə etirin. a) ABC üçbucağının düzbucaqlı üçbucaq olduğunu A C göstərin. B D b) Şəkildə verilən ölçüləri elə dəişin ki, BCD üçbucağı enə düzbucaqlı üçbucaq olsun, ABC üçbucağı isə düzbucaqlı üçbucaq olmasın.. Şəkildə verilənlərə görə -i tapın.. 5m Pilləkanın əl tutalğacı tavana paraleldir. = olarsa, bucağını tapın. Paralel ətlər m Tərəflərinin uzunluğu 6 sm olan bərabərtərəfli üçbucağın mərkəzindən üçbucaq müstəvisinə sm uzunluqda perpendikular qaldırılmışdır. Perpendikuların ucundan üçbucağın tərəflərinə qədər məsafəni tapın. A və B nöqtələri ilə müstəvi arasındakı məsafə uğun olaraq a və b-ə, bu nöqtələrdən müstəviə çəkilmiş perpendikularların oturacaqları arasındakı məsafə c-ə bərabərdir. A və B nöqtələrinin müstəvinin eni və mütəlif tərəflərində ola biləcəklərini nəzərə alaraq AB məsafəsini tapın. a = 7 sm, b = sm, c = sm olduqda AB məsafəsini hesablaın. M Bir tərəfinin uzunluğu a olan bərabərtərəfli üçbucağın O mərkəzindən üçbucaq müstəvisinə qaldırılmış perpendikular üzərində arılmış OM A a parçasının uzunluğu -dir. C a) MA BC olduğunu göstərin. F O a D b) OM = nə qədər olmalıdır ki, ABM və a B ABC müstəviləri arasındakı ikiüzlü bucaq 60 olsun. c) OM = nə qədər olmalıdır ki, MA, MB, MC parçaları cüt-cüt qarşılıqlı perpendikular olsunlar. Aşağıdakı fikirlərdən hansının doğru, hansının səhv olduğunu verilən şəkillərə görə müəən edin. Şəkilləri dəftərinizdə çəkin və cavabınızı azın.. İki müstəvi eni düz əttə perpen -. İki müstəvinin hər biri üçüncü dikulardırsa, bu müstə vilər paraleldir. müstəvilər müstəviə perpendikulardırsa, bu paraleldir. Çap üçün deil P P P 65 P P

66 İstənilən bucağın triqonometrik funksiaları Dönmə bucaqları Bucağın radian və dərəcə ölçüsü Qövsün uzunluğu. Sektorun sahəsi Triqonometrik funksialar İstənilən bucağın triqonometrik funksiaları Vahid çevrə və istənilən bucağın triqonometrik funksiaları Çevirmə düsturları Triqonometrik eniliklər Toplama düsturları Toplama düsturlarından alınan nəticələr Triqonometrik ifadələrin sadələşdirilməsi Çap üçün deil

67 Dönmə bucaqları Dönmə bucağı Biz indiə qədər bucaq dedikdə iki tərpənməz tərəf arasında qalan bucaqlardan danışırdıq. Bucağa dönmənin ölçüsü kimi də bamaq olar. Məsələn, tərpənməz o ətrafında fırlanan təkərin başlanğıcda üfüqi vəziətdə erləşən radiusu müəən müddətdən sonra əvvəlki vəziətlə müəən bucaq əmələ gətirəcək. Həm də bu bucağın qiməti dönmənin hansı istiqamətdə baş verməsindən asılı olacaq. İstənilən bucağa şüanın öz başlanğıc nöqtəsi ətrafında fırlanmasından alınan fiqur kimi bamaq olar. Şüanın başlanğıc vəziəti bucağın bir tərəfinə, şüanın son vəziəti isə bucağın digər tərəfinə uğundur. Koordinat müstəvisi üzərində şüanı koordinat başlan ğıcına nəzərən saat əqrəbinin hərəkəti istiqamətində və a əks istiqamətdə döndərməklə mütəlif ölçülü bucaqlar aratmaq olar. Dönmə bucaqlarının başlanğıc tərəfləri eni olub, absis ounun müsbət istiqaməti ilə üst-üstə düşür. Koordinat başlanğıcına (bucağın təpəsi) nəzərən dönən tərəfi isə son tərəf adlandıraq. Dönmə saat əqrəbi hərəkətinin əksi istiqamətində olduqda bucağın ölçüsü müsbət, saat əqrəbinin hərəkəti istiqamətində olduqda isə mənfi qəbul edilir. 5º müsbət bucaq O 67 0º O son tərəf mənfi bucaq Koordinat oları koordinat müstəvisini rübə aırır. Bucağın son tərəfinin hansı rübdə olmasından asılı olaraq onun qiməti müəən intervalda dəişir. Son tərəf koordinat başlanğıcına nəzərən bir və a bir neçə dəfə dönə bilər. Bir tam dönmə ilə 60-li bucaq aranır. Başlanğıc və son tərəfləri üst-üstə düşən sonsuz sada dönmə bucaqları vardır. Məsələn, 0 -li bucaqla 90 -li bucağın son tərəfləri üst-üstə düşür. Ümumiətlə, º və º + 60º n (burada n istənilən tam ədəddir) dönmə bucaqlarının son tərəfləri eni vəziətdə olub, üst-üstə düşürlər. II III O başlanğıc tərəf 90º < < 80º 0º < < 90º 80º < < 70º 70º < < 60º I 0 IV O 90º Çap üçün deil 0º

68 Dönmə bucaqları Nümunə. Verilən ölçülərdə dönmə bucaqları çəkin, son tərəfinin hansı rübdə olduğunu müəən edin. a) b) 5 c) = Bucağın işarəsi müsbət dir. Bucağın son tərəfi saat əqrəbinin hərəkətinə əks istiqamət də başlanğıc tərəfdən qədər döndər mək lə çəkilir. Son tərəf III rübdədir. Bucağın işarəsi mənfidir. Bu - ca ğın son tərəfi baş lan ğıc və - zi ətdən saat əq rə binin hə rə kəti i s ti qa mə tində dön dər - məklə ab sis ounun müsbət istiqaməti ilə 5-li bucaq əmə lə gətir mək lə çəkilir. Son tərəf IV rübdədir. Bucağın son tərəfi baş - lanğıc tə rəf dən saat əq - rəbi hərə kətinin əks is tiqamətində baş - lanğıc tərəflə 50-li bucaq əmə lə gətirmək - lə çəkilir. Son tərəf II rübdədir. Nümunə. Koordinat müstəvisində 60-li bucaqla son tərəfi üst-üstə düşən iki müsbət, bir mənfi dönmə bucağı göstərin və dərəcə ölçülərini azın = = = 00 O 0 O 5º 50 = º 60º 60º 0º 780º 00º Örənmə tapşırıqları. bucağı hansı rübün bucağıdır? Çəkin, göstərin. a) = 70 b) = 90 c) = 00 d) = 0 e) = º 60º aralığında elə dönmə bucağı göstərin ki, son tərəfi verilən bucaqla üst-üstə düşsün. a) 0º b) 0º c) 0º d) 700º e) 00 Verilən bucaqla son tərəfi üst-üstə düşən bir müsbət, bir mənfi bucağı dərəcə ölçüsü ilə azın və çəkin. a) 00º b) 80º c) 00º d) 0º e) 70 Hansı ölçü hansı bucağa uğundur? ) 0º ) 0º ) 780º a) b) c) Çap üçün deil 68

69 Bucağın radian və dərəcə ölçüsü Bucağın radian ölçüsü Bucağın radian ölçüsü uğun qövsün uzunluğunun r r çevrənin radiusuna nisbətinə deilir. Radian radian uzunluğu radiusa bərabər olan qövsdür. Bu qövsə uğun mərkəzi bucağın ölçüsü bir radian olur. O l Radianın tərifinə görə = (l-qövsün uzunluğudur) r Çevrənin uzunluğu r-dir. Radiusa (r) bərabər qövsə uğun mərkəzi bucaq radiandırsa, r-ə bərabər qövsə uğun mərkəzi bucaq olar. Aşağıda müəən dönmələrə uğun bucaqların radian ölçüləri göstərilib. / dönmə: tam dönmə: radian = / dönmə: = / dönmə: = Bir tam dönmədə aranan bucağın radian ölçüsü, dərəcə ölçüsü isə 60dir. Yəni, radian = 60. Buradan radian və dərəcə ölçüləri arasındakı qarşılıqlı əlaqəni müəən etmək olar. Radianın dərəcəə çevrilməsi: Dərəcənin radiana çevrilməsi: radian = 60 radian = radian = = = 60 = 80 = 0,075 radian radian radian Deməli, rad = 80º. Onda adındır ki, ölçüsü = 90º, = 60º, = 5º, 6 = 0º 90º 0º 60º Birinci rübdə erləşən bəzi bucaqların radian və 5º 5º 50º dərəcə 0º dərəcə ölçülərinin qarşılıqlı qimətlərinə görə bu 80º ölçüsü 0º 0 bucaqların misli olan bucaqların radian ölçüsünü 60º 0º 0º tapmaq olar. 5º 5º 0º 00º 5 Məsələn, 0 = 6 olduğundan 50 = 6 olacaq. 70º Nümunə. Radiusu sm olan çevrənin sm uzunluqda qövsünə uğun mərkəzi bucağı neçə radiandır? Həlli: radian sm uzunluqda qövsə uğundur. sm qövsə uğun bucaq : = radian olacaq Çap üçün deil

70 Bucağın radian və dərəcə ölçüsü Nümunə. Dərəcə ölçüsü ilə verilmiş bucağı radian, radian ölçüsü ilə verilmiş bucağı dərəcə ölçüsü ilə ifadə edin: a) 60 ; 5 b) Həlli: a) 60 = 60 radian = radian,07 radian radian = 80 b) = 560 = 00 Nümunə. Son tərəfi 5 -li bucaqla üst-üstə düşən bucaqları dərəcə və radianla ifadə edin. Həlli: 5li bucaqla 05li və 5-li bucağın son tərəfləri üst-üstə düşür. 05 = ; 5 = 5 60, 5+ 60, 5 60; 5+ 60, 5 60 bucaqları və a 5 ± 60, ± 60, 5 ± 60 və s. kimi sonsuz sada bucaqların son tərəfləri 5-li O O 05 bucağın son tərəfi ilə üst-üstə düşür. Bunu radianla aşağıdakı kimi ifadə etmək olar: ±, ± və s. ümumi şəkildə isə ± n (nn) kimi bucaqların son tərəfləri radian bucağın son tərəfi ilə üst-üstə düşürlər. Örənmə tapşırıqları 5. r radiuslu çevrənin l uzunluqlu qövsünə uğun bucağın radian ölçüsünü tapın. a) r = sm, l = 6 sm b) r = 5 m, l = m c) r =, sm, l = 7, sm 6. Verilən ölçüdə dönmə bucağını koordinat müstəvisi üzərində təsvir edin. a) 0 b) 0 c) 50 d) 50 e) 780 f) g) 5 h) i) 00 j) 7. Dərəcə ölçüsü ilə verilmiş bucağı radianla ifadə edin, üzdəbirlərə qədər uvarlaqlaşdırmaqla təqribi qimətini tapın. a) 60 b) 0 c) 5 d) 50 e) 70 f) 5,5 8. Radian ölçüsü verilmiş bucağın dərəcə ölçüsünü tapın. a) b) c) d) 5 e) f) g) Verilən bucaqla son tərəfi üst-üstə düşən və verilmiş aralıqda erləşən dönmə bucaqları azın. a) 65, 90 θ < 70 b) 0, 80 θ < 60 c) 0, 70 θ < 70 π π π d), π θ < π e), π θ < π f), π θ < π Çap üçün deil 70

71 Bucağın radian və dərəcə ölçüsü Nümunə. a) 65, 90 θ < li bucaqla son tərəfi üst-üstə düşən dönmə bucaqlarını n və n (nn) düsturlarına görə tapa bilərik. n = = = 95 n = = = 655 Göründüü kimi, verilən intervala dail olan alnız 5li bucaqdır. Nümunə. e) π, π θ < π π Verilən bucaqla son tərəfi üst-üstə düşən dönmə bucaqlarını + n və π n (nn) düsturlarına görə tapa bilərik. π π n + n π 9π 7π n 5π π π ) 5º ) 5º 7 5 ) 5 ) 5) 6) 6. Bucağın son tərəfinin verilən dönməsi ilə aranan bucaqların dərəcə və radian ölçülərini azın. ) çevrənin -i ) çevrənin -i ) çevrənin -i ) çevrənin -si 5) çevrənin -si 6) çevrənin -ü 5. Verilən bucaqlarla son tərəfləri üst-üstə düşən və (0; ) intervalında erləşən bucağı radianla ifadə edin. ) ) ) 9 6 ) 7 5 5) 6) 7) 8 8) 5 8. a) Verilən bucaqlarla son tərəfləri üst-üstə düşən dörd bucaq müəən edin. ) ) 7 ) ) 5 6 b) Verilən dönmə bucaqlarından hansı ikisinin son tərəfləri üst-üstə düşür? ) 5, 7 ) 5, 9 ) 0º, 0º ) 7º, 9º 6 6 c) Verilən bucaqlarla son tərəfləri üst-üstə düşən bucaqları ümumi şəkildə azın. ) 60 ) ) ) π θ < π intervalında π bucağı ilə son tərəfi üst-üstə düşən bucaqlar: π, 5π, π 0. Dərəcə ölçüsü ilə verilmiş bucağı radian, radian ölçüsü ilə verilmiş bucağı dərəcə ölçüsü ilə ifadə edin. Çap üçün deil

72 Qövsün uzunluğu. Sektorun sahəsi Qövsün uzunluğu. Sektorun sahəsi Qövsün uzunluğu. Radiusu r olan çevrədə mº-li mərkəzi bucağa uğun m qövsün uzunluğu düsturunu azaq: l = 80 r. Qövsün uzunluğunu bucağın radian ölçüsündən istifadə etməklə daha sadə şəkildə azmaq olar. l r Radianın tərifinə görə = olduğundan qövsün r B D uzunluğu bucağın radian ölçüsü ilə radiusun hasilinə O bərabərdir: l = r l A C Qövsün uzunluğu çevrənin radiusu ilə düz mütənasibdir. m Sektorun sahəsi. mº-li mərkəzi bucağa uğun sektorun sahəsi S = r ; m 60 mº-li mərkəzi bucağın radian ölçüsü olduğunu nəzərə alaraq - i 80 ilə işarə etsək, uğun sektorun sahə düsturu S = r olar. Nümunə. Saatın saniə əqrəbinin uzunluğu sm-dir. Saniə əqrəbinin uc nöqtəsinin 5 saniədə cızdığı qövsün 0 uzunluğunu müəən edin. 9 Həlli. Saniə əqrəbi 60 saniədə bir tam dövr edir. Bu isə radi an dır. 5 saniə tam dönmənin = hissəsinə u ğundur: radian. = Deməli, saniə əqrəbi 5 saniə ərzində radian mərkəzi bucağa uğun qövs cızmış olur. Bu qövsün uzunluğu: l = r = = 6 6,= 8,8 (sm) Nümunə. Radiusu 8 sm olan dairənin rəngli sektorunun sahəsini və bu sektorun peri metri ni tapın. Rəngli hissəə uğun mərkəzi bucaq: π = 5π Sektorunun sahəsi: S = r = 5π 8 = 0 (sm ) Sektorun perimetri = iki radiusun uzunluğu + qövsün uzunluğu P = 8 + 5π 8 = , (sm) Örənmə tapşırıqları. Verilənlərə görə tələb olunan kəmiətləri tapın. Burada r çevrənin radiusu, mərkəzi bucaq, l qövsün uzunluğudur. a) r = 8,5 sm, = 75, l = sm b) r = 5 m, l = m, = radian c) r = mm, =,8 radian, l =,5 mm. Verilən mərkəzi bucağa uğun qövsün uzunluğunu və sektorun sahəsini tapın. 5 a) r = 0 sm; = b) r = m; = 90 c) r =,8 dm; = 7 Çap üçün deil

73 Qövsün uzunluğu. Sektorun sahəsi. Şəkildə göstərilən dairə sektorunun perimetri 6 sm-dir. Uğun dairənin radiusu 5 sm olarsa, A mərkəzi bucağının radian ölçüsünü tapın. A 5 sm 7 Radiusu 0 sm l olan çevrənin l qövsünün uzun - luğu 85 sm-dir. Uğun mərkəzi bu cağın radian ölçüsünü tapın. Xətti sürət və bucaq sürəti Çevrə üzrə hərəkətdə, məsələn, təkərin O nöqtəsi O ətrafinda fırlanması zamanı onun üzərində götürülmüş hər hansı P nöqtəsinin sürətini iki cür qimətləndirmək olar. Bunlardan biri nöqtənin təkərin fırlanması zamanı qət etdii məsafəə görə müəən edilən sürətdir. Bu ətti sürət adlanır. Digəri isə dönmə bucağına (mərkəzi bucaq) görə olan sürət, əni bucaq sürəti adlanır. Cisim çevrə üzrə hərəkət edirsə, ətti sürət gedilən ol ətti sürət = gedilən olun (uğun çevrə qövsünün uzun - zaman r luğunun) zamana olan nisbətinə bərabərdir. v = t Cisim çevrə üzrə hərəkət edirsə, bucaq P dönmə bucağı s bucaq sürəti = zaman sürəti dönmə bucağının zamana olan nisbətinə r O = t bərabərdir. Burada, (radianla) t zamandakı dönmə (fırlanma) bucağıdır. Xətti sürətlə bucaq sürəti arasındakı əlaqəni aşağıdakı kimi ifadə etmək olar: ətti sürət = r bucaq sürəti v = r Nümunə. Karusel dəqiqədə 8 tam dövr edir. a) Karuselin bucaq sürətini tapın. b) Mərkəzdən m məsafədə olan at dəqiqədə neçə metr məsafə qət edir? c) Mərkəzdən m məsafədə olan at dəqiqədə neçə metr məsafə qət edir? Həlli: a) Bir tam dövrə uğun dönmə bucağı -dir. 8 dövrdə bu bucaq 8 = 6 olar. Bir dəqiqədəki bucaq sürəti = = 6 = 6 radian/dəq t b) Mərkəzdən m məsafədə olan at radiusu m olan çevrə üzrə hərəkət edir. Xətti sürət: v = r = 6 = 8 5 m/dəq c) Mərkəzdən m məsafədə olan at radiusu m olan çevrə üzrə hərəkət edir. Xətti sürət: v = r = 6 = 00 m/dəq Göründüü kimi, bucaq sürəti eni olduğu halda, mərkəzdən daha uzaqda olan cisim daha sürətlə hərəkət edir, əni ətti sürəti daha böük olur.. Çap üçün deil

74 Qövsün uzunluğu. Sektorun sahəsi Saatın saniə əqrəbinin uzunluğu 0 sm-dir. a) saniə əqrəbinin bucaq sürətini (rad/san ilə) tapın 0 sm b) dəqiqə 5 saniə ərzində əqrəbin uc nöqtəsi nə qədər məsafə getmiş olar? c) saniə əqrəbinin uc nöqtəsinin ətti sürətini (sm /san ilə) tapın. Avtomobilin təkərinin radiusu 0 sm olarsa, verilən məsafələri qət edənə qədər təkərlərin fırlanması ilə alınan bucaq neçə radiandır? a) 00 m b) 5 m c) km d) 00 m Şəkildəki çevrələr konsentrikdir (mərkəzləri enidir). Kiçik çevrənin radiusu sm, böük çevrənin radiusu isə 6 sm-dir. Rəngli hissənin sahəsini tapın. Suçiləici hər 5 saniədə bir dövrə vurur və ən uzağı 6 m məsafəə su çiləə bilir. a) Suçiləicinin dönmədə suladığı sektorun sa - hə sini tapın. b) Suçiləicinin dəqiqə ərzində fırlanmasındakı bucağı radian və dərəcə ilə ifadə edin. 6 6 m Karusel dəqiqədə,5 dövr edir. a) Karuselin bucaq sürətini tapın. b) Karuselin oundan 5 m məsafədə olan nöqtənin ətti sürətini (m/dəq ilə) tapın Diametri 65 sm olan velosiped təkəri 0,05 saniədə 5º dönür. Velosiped 0 saniədə hansı məsafəni qət edər?. Hər bir şəkildə verilənlərə görə elə hesablamalar aparın ki, bütün dairələr üçün radius, mərkəzi bucaq, qövsün uzunluğu, sektorun sahəsi müəən edilmiş olsun..,5 5 sm 9 sm, r S = 86 mm r 7 S = 7 5 m r m Radiusu m olan çevrə üzrə hərəkət edən cisim hər 0 saniədə 5 m ol gedir. Cismin ətti sürətini və bucaq sürətini tapın. Çap üçün deil 0

75 Qövsün uzunluğu. Sektorun sahəsi. a) Bakı 0º şimal en dairəsində erləşir. Meridian üzrə Bakının ekvatordan məsafəsini tapın. Yer kürəsinin radiusu təminən 600 km-dir. θ Ekvator P b) Meridian üzrə 0º şimal en dairəsində erləşən məntəqə ilə 0º cənub en dairəsində erləşən məntəqə arasındakı məsafəni tapın. Uzunluğu sm olan rəqqasın rəqsi hərəkəti zamanı ucunun cızdığı ən böük qövsün uzunluğu 0,5 sm-dir. Bu zaman rəqqasın qolu neçə dərəcəli bucaq cızır? Karuselin kabinələri -dən 0-a qədər nömrə lən - mişdir. Təsəvvür edin ki, siz nömrəli kabin ədəsiniz. Karuselin 7 dönməsində sizin indi ol duğunuz 0 kabinənin erində neçə nömrəli kabinə olacaq? Hər iki istiqamətdə dönmə halına baın. Təkərlərinin diametri 65 sm olan velosipedin sürəti saatda 0 km olarsa, velosipedin təkərləri dəqiqədə neçə tam dövr edir? 7. Yerdən Günəşə qədər məsafə təminən,5 0 8 km-dir. Yerin Günəş ətrafında çevrə üzrə hərəkətdə 65 günə bir tam dövr etdiini fərz edərək, ətti sürətini (km/saat ilə) müəən edin. 8. Radiusları sm və 8 sm olan iki disk qaış vasitəsilə şəkildə göstərildii kimi birləşdirilmişdir. Kiçik disk dəqiqədə dövr edirsə, böük diskin dəqiqədə neçə dövr etdiini tapın. Göstəriş: hər iki diskin çevrəsi üzə - rindəki nöqtələr eni ətti sürətlə hərəkət edir. 8 sm sm 9. Cismin t zamanda r radiuslu çevrə üzrə 0. Suçiləici bərkidildii bucaq sürəti ilə qət etdii məsafəni tapın. erdən 00 m məsafəə dairəvi olaraq su vura a) r = 6 dm, = rad bilir. Lakin fermer alnız, t = 0 dəq. 5 san 0000 m sahənin b) r = m, = rad, t = 00 san. sulanmasını planlaşdırır. san c) r = 0 sm, = rad Bu sahəni çiləicinin, t = 5 san. 0 san neçə dərəcə bucaq dön - məsi ilə suvarmaq olar? Ekvator Çap üçün deil

76 Triqonometrik funksialar Praktik məşğələ ) Son tərəfi P(; ) nöqtəsindən keçən dönmə bucağı təsvir edin. P nöqtəsinin koordinat başlanğıcından məsafəsini tapın. OP = + = 5 P(8; 6) ) OPK düzbucaqlı üçbucağından iti bucağı 0 üçün triqonometrik nisbətləri azın. sin = P(, ) cos = tg = ) OP şüasını üzərində salaan düz əttin tənliini azın. 0 K K k =, = 8 ) P(8; 6) nöqtəsinin də OP şüası üzərində erləşdiini olaın və OPK-dən bucağı üçün triqonometrik nisbətləri azın. r = OP = = 0 sin = cos = tg = ) -ci və -cü addımlarda azılanlara əsasən izah edin: dönmə bucağının triqonometrik nisbətlərinin qimətləri bucağın tərəfi üzərində hansı nöqtənin qed edilməsindən asılıdırmı? Bucağın triqonometrik nisbətlərinin qimətləri alnız bucağın qimətindən asılıdır. Mərkəzi koordinat başlanğıcında olan, r radiuslu çevrə ilə dönmə bucağının son tərəfinin kəsişmə nöqtəsi P(; ) olsun. 76 P(;) r 0 P nöqtəsinin ordinatının radiusun uzunluğuna nisbətinə bucağının sinusu deilir: sin = r P nöqtəsinin absisinin radiusun uzunluğuna nisbətinə bucağının kosinusu deilir: cos = r P nöqtəsinin ordinatının absisinə nisbətinə bucağının tangensi deilir: tg = (burada 0, əni P nöqtəsi ordinat ou üzərində deil) P nöqtəsinin absisinin ordinatına nisbətinə bucağının kotangensi deilir: ctg = (burada 0, əni P nöqtəsi absis ou üzərində deil) bucağının kosekansı bu bucağın sinusunun tərsidir: r cosec = sin = (burada 0) bucağının sekansı bu bucağın kosinusunun tərsidir: r sec = cos = (burada 0) Çap üçün deil

77 Triqonometrik funksialar Nümunə. A ( ; ) nöqtəsi α dönmə bucağının son tərəfi üzərindədir. a) Məsələnin şərtini əks etdirən şəkil çəkin. b) α bucağı üçün triqonometrik nisbətlərin qimətlərini müəən edin. Həlli: b) r = + = () + = 5 a) A(;) sin α = = cos α = = r 5 r α O tg α = = ctg α = = sec α = r 5 r = Çevrə üzərindəki nöqtənin koordinatları P(r cosα; r sinα) Çevrə üzərində verilmiş P nöqtəsi dönmə bucağının r son tərəfi üzərində erləşirsə, onun koordinatları 0 P(r cosα; r sinα) kimidir. Nümunə. Şəkildə verilənlərə görə P nöqtəsinin P(;) koordinatlarını tapın. P nöqtəsi II rübdə erləşir və kosinusu mənfidir. 6 50º cos 50 = r sin 50 = 0 r cos 0 = 6 sin 0 = 6 = 6 cos0 = = 6 sin0 = Bəzən bucağın son tərəfi koordinat olarından birinin (0; r) 90º üzərində erləşir. Bu halda aranan dönmə bucaqlarının 80º 0º ölçüsü = 0 və a = 0 radian, = 90 və a ( r; 0) (r; 0) (0; r) = ra dian, = 80 və a = ra dian, = 70 və 70º a = ra dian kimi ola bilər. Bu halda və koordinatları a sıfı r, a da mütləq qimətcə çevrənin radiusuna bə ra bər olur. = 0º və a = 90º və a radian = 80º və a radian = 70º və a 0 radian radian O (r; 0) (0; r) O O O ( r; 0) (0; r) Çap üçün deil

78 Triqonometrik funksialar Nümunə. a) = 90 ; b) = 80; c) = 70 olduqda triqonometrik nisbətlərin qimətlərini tapın. a) (0; r) = 90º b) c) = 80º = 70º O ( r; 0) O O (0; r) r sin 90º = = = r r 0 cos 90º = = = 0 r r tg 90º = = r 0 təin edilməib. 0 ctg 90º = = = 0 r 0 sin 80º = = = 0 r r r cos 80º = = = r r tg 80º = 0 = r = 0 ctg 80º = = r 0 təin edilməib. r sin 70º = = = r r 0 cos 70º = = = 0 r r tg 70º = = təin edilməib. ctg 70º = 0 = r = 0 r 0 -nın mümkün olan hər bir qimətinə sin, cos, tg, ctg, sec, cosec - nın eganə qiməti uğundur. Buna görə bu triqonometrik nisbətlər bucağının funksialarıdır. Onları triqonometrik funksialar adlandırırlar. cos = olduğundan kosinusun işarəsi -in işarəsi ilə, sin = r olduğundan sinusun işarəsi -in işarəsi ilə üst-üstə düşür. r 90º < α < 80º 0 < α < 90º II rüb I rüb < α < 0 < α < sin α, cosec α + sin α, cosec α + cos α, sec α cos α, sec α + < 0 > 0 tg α, ctg α tg α, ctg α + > 0 > 0 III rüb sin α, cosec α < 0 > 0 cos α, sec α < 0 < 0 tg α, ctg α 80º <α < 70º 70º <α < 60º; < α < < α < 78 + IV rüb sin α, cosec α cos α, sec α tg α, ctg α Çap üçün deil +

79 Triqonometrik funksialar Örənmə tapşırıqları. ) Son tərəfi verilmiş nöqtədən keçən α dönmə bucağının sinus, kosinus və tangensini müəən edin. a) A(; ) b) B(; ) c) C(; 8) ) Aldığınız nəticələri müqaisə edin.... İfadənin işarəsini müəən edin. a) sin 5 b) cos c) tg 5 d) ctg Son tərəfi verilən nöqtələrdən keçən bucaqlar üçün triqonometrik nisbətlərin qimətlərini hesablaın. ) a)şəkildə verilənlərə görə bucaqları 5º, 5º, 90º və 0º, 60º, 90º olan üçbucaqların tərəfləri nisbətinin uğun olaraq ::, : : olduğunu müəən edin. b) Şəkildə verilmiş üçbucaqlardan 0º, 5º, 60º dərəcəli bucaqların P ( ; ) triqonometrik funksiala rının qi - 0 mət lərini müəən edin. Hər bir bucağa uğun triqonometrik nisbətin işarəsini müəən edin. a) sin 0 b) cos 50 c) cos 00 d) tg 0 e) tg 50 f) sin 0 g) sin 00 h) cos 80 0 P(; ) ( ;5) ) a) (; 9) b) (; ) c) (8; 6) d) (; 0) e) (; ) f) (; ) g) (; ) h) (5; 0) 6. Verilənlərə görə -nın hansı rübün bucağı olduğunu tapın. a) sin > 0 və cos < 0 b) sin < 0 və cos < 0 c) cos < 0 və tg > 0 d) ctg < 0 və sin > 0 7. Damalı vərəqdə damanı vahid qəbul edərək, mərkəzi koordinat başlanğıcında erləşən, radiusu 5 vahid olan çevrə çəkin. a) Sinusu -ə bərabər olan iki mütəlif dönmə bucağı təsvir edin. 5 b) Kosinusu olan dönmə bucaqlarını təsvir edin. 5 c) Sinusu olan dönmə bucaqlarını təsvir edin. 5 d) Kosinusu olan dönmə bucaqlarını təsvir edin ( 6; 8) a c 5 5 a a 5 5 a ( 9; ) 0 0 a a c a a a P (; ) P (; ) 5 60 Çap üçün deil

80 İstənilən bucağın triqonometrik funksiaları İstənilən bucağın triqonometrik funksialarının qimətlərinin uğun iti bucağa görə tapılması Araşdırma. ) r radiuslu çevrə çəkin və son tərəfi mütəlif rüblərdə erləşməklə mütəlif dönmə bucaqlarını şəkildə göstərildii kimi təsvir edin. P(; ) K O K O K O ) Hər bir hal üçün dönmə bucağının əsas triqonometrik funksialarını tərifə görə P(; ) nöqtəsinin koordinatları ilə ifadə edin. sin = r cos = r tg = ctg = ) OPK-da katetlərin uzunluqlarını P(; ) nöqtəsinin koordinatları ilə ifadə edin: PK = OK = ) OPK-da iti bucağı üçün triqonometrik nisbətləri azın: sin = r cos = r tg = ctg = 5) -ci və -cü addımlarda aldığınız nəticələri müqaisə edin. 90-dən böük bucaqlara uğun triqonometrik nisbətləri hesablamaq üçün onlara uğun iti bucaqların triqonometrik nisbətlərindən istifadə etmək əlverişlidir. İstənilən α bucağına uğun iti bucaq α bucağının son tərəfinin absis ou ilə üst-üstə α düşən düz ətlə əmələ gətirdii α iti bucağıdır. 90º < α < 80º; 80º <α < 70º; 70º <α < 60º; < α < < α < < α < α α α P(; ) α = 80º α α α = 80º α = 60º Uğun iti bucaqdan istifadə etməklə istənilən bucağın triqonometrik nisbətlərini müəən etmək olar. Bu qimətlər 0, 5, 60 bucaqlarına görə dəqiq tapıla bilir, iti bucaqların qalan bütün qimətlərində isə kalkulatorun köməilə təqribi olaraq hesablanır. Nümunə. Verilən bucaqlara uğun iti bucaqları müəən edin. a) α = 00 7 b) α = 6 Həlli: a) 00-li bucağın son tərəfi IV rübdə erləşir. Uğun iti bucaq: = 60 b) - li bucağın son tərəfi III rübdə erləşir. Uğun iti bucaq: 6 7 = 6 6 Çap üçün deil 80 α P(; ) O α

81 İstənilən bucağın triqonometrik funksiaları Nümunə. α = 5 -li bucağın əsas triqonometrik funksialarının qimətlərini hesablaın. Həll addımları: 5º. Son tərəfi verilən bucaqla üst-üstə düşən və onu 60 -ə tamamlaan ən kiçik müsbət bucaq tapılır: = 5 5º. 5 -ə uğun iti bucaq tapılır: 5 80 = 5.. Verilən bucağın rübü müəən edilir: 5 -li bucaq III rüb bucağıdır.. 5 -li bucağın triqonometrik funksialarının qimətini və III rübdəki işarələrini nəzərə almaqla verilmiş bucağın triqonometrik funksiaların qimətləri azılır. sin α = cos α = tg α = ctg α = İstənilən bucağın triqonometrik funksi alarını aşağıdakı kimi müəən etmək olar: uğun iti bucağı müəən edin; iti bucağa uğun triqonometrik funksiaların qimətlərini tapın; bucağın hansı rübdə erləşdiinə görə triqonometrik funksiaların işarəsini müəən edin. Bucaq tam sada dövrlər qədər dəişdikdə triqonometrik funksiaların qimətləri dəişmir. Hər hansı α (0 α < 60 ) bucağının triqonometrik funksialarının qiməti son tərəfləri α bucağı ilə üst-üstə düşən α + 60 k (k Z) bucaqlarının triqonometrik funksialarının qiməti ilə enidir. sin(α + 60 k) = sinα cos(α + 60 k) = cosα sin(α + k) = sinα cos(α + k) = cosα Qed edək ki, bucaq tam dövrün arısı qədər dəişdikdə də tangens və kotangensin qimətləri dəişmir. Doğrudan da, dönmə bucağına uğun nöqtə P(a; b) olarsa, + 80º (və a + ) dönmə bucağına uğun nöqtə P ( a; b) olduğundan tgα = a a a və tg(α + ) = = tgα = tg(α + ) b b b α + P(a; b) Ümumi halda (k Z) aşağıdakı bərabərliklər doğrudur: α tg(α + 80 k) = tg α tg(α + k) = tg α ctg(α + 80 k) = ctg α ctg(α + k) = ctg α P ( a; b) Nümunə. sin α = olduğuna görə cosα -nın mümkün qimətlərini tapın. 5 Sinus müsbət olduğundan bucaq a I, a da II rübün bucağıdır. sin α =, deməli, r = 5 olarsa, = Uğun nöqtənin absisi = ± r = ± = ± Onda cos α = 5 və a cos α = 6 5 Çap üçün deil 8 O

82 İstənilən bucağın triqonometrik funksiaları Örənmə tapşırıqları. Verilən bucaqlara görə uğun iti bucaqları çəkin. ) 0º ) 55º ) 70º ) 5º 5) 5 6) 7). Verilən bucaqlar üçün sinα, cosα, tgα, ctgα-nın qimətini hesablaın.. Kalkulatordan istifadə etmədən verilən bucaqlara uğun triqonometrik nisbətləri hesablaın. ) sin 05º ) cos 0º ) tg 05º ) sin 90º 5) cosec 50º 6) ctg 90º 7) sec 0º 8) cos 9) sin 9 0) tg. 60º-li bucağa uğun iti bucaq neçə dərəcədir? cos( 60º), sin( 60º), tg( 60º), ctg( 60º)-ni tapın. 60º və 60º-li bucaqların triqonometrik funksialarının qimətlərini müqaisə edin. 5. İfadənin qimətini kalkulatordan istifadə etmədən tapın a) b) c) d) 50º 00º 5º 60º a) cos( 60 ) b) sin( 0 ) sin 5 0, və cos 5 0,9 olduğuna görə kalkulatordan istifadə etmədən ifadənin təqribi qimətini tapın. a) sin 55 c) cos 5 e) sin 05 cos 55 b) cos 05 d) sin 5 f) cos 85 sin 55 a) sin = və bucağının II rübün bucağı olduğunu bilərək, cos, 5 tg, ctg -nın qimətlərini hesablaın. c) sin( 5 ) d) tg( 0 ) b) cos = və bucağının IV rübün bucağı olduğunu bilərək, sin, tg, ctg -nın qimətlərini tapın. Kalkulatordan istifadə etmədən hesablaın: a) sin 00º sin 0º b) cos 0º tg 00º c) cos 50º tg 0º Qolunun uzunluğu m olan 0º robot əşanı A nöqtəsindən B B nöqtəsinə gətirmişdir. Bu zaman robotun qolu 0 dönmüşdür. A B(r cos, r sin ) Robotun hərəkə tinin dönmə O bucağı kimi təsvirinə görə B m nöqtəsinin koor dinatlarını tapın. 8 e) sin 95 f) cos( 5 ) g) cos 600 h) tg 0 Çap üçün deil

83 Vahid çevrə və istənilən bucağın triqonometrik funksiaları Vahid çevrə və triqonometrik funksialar Triqonometrik funksiaların qimətləri alnız bucağının qimətindən asılı olub, çevrənin radiusundan asılı deil. Ona görə də ümumilii pozmadan R = qəbul edə bilərik. Mərkəzi koordinat başlanğıcında B(; 0) O A erləşən, radiusu -ə bərabər olan çevrəə vahid çevrə deilir. Vahid çevrənin üzərindəki nöqtələrin koordi - natları + = tənliini ödəir. P() = (; ) nöqtəsi bucağının son tərəfinin vahid çevrə ilə kəsişdii nöqtə olarsa, triqonometrik funksialarla nöqtənin koordinatları arasındakı əlaqəni aşağıdakı kimi ifadə etmək olar: sin = = cos = = Deməli, vahid çevrə üzərində dönmə bucağına uğun nöqtənin koordinatlarını P() = (cos; sin) kimi azmaq olar. Həmçinin verilən koordinatlara görə tg, ctg, sec və cosec kimi triqonometrik funksiaları tapmaq olar. tg = = sin, ctg = = cos sec = cosec = cos, =, = sin cos sin = sin, = cos olduğuna görə vahid çevrə üzərindəki müəən dönmələrə uğun nöqtələrin koordinatlarını müəən etmək olar. Bunun üçün aşağıdakı addımları erinə etirək. ) α = 0,,,, dönmə bu caq larına (0; ) ; ( ) 6 ( ; ) uğun nöqtələri vahid çevrə üzərində qed edək və ( bu nöqtələrin koordinatlarını = sin, = cos 0 ; ) 80 0 (; 0) ( ; 0) O 60 düsturlarına görə hesablaaq. 0 ) Vahid radiuslu çevrə üzərindəki hər hansı nöqtəə, 70 0 məsələn, A( ; ) nöqtəsinə uğun simmetrik nöq - (0; ) tə lər in koordinatlarını müəən edək. Şəkildən B ( ; ) A ( göründüü kimi, A nöqtəsi ilə simmetrik olan və II, ; ) III və IV rüblərdə erləşən daha nöqtə var. O B nöqtəsi A nöqtəsi ilə ouna nəzərən, C nöqtəsi koordinat başlanğıcına nəzərən, D nöqtəsi isə ouna ( ; C ) D( ; ) nəzərən simmetrikdir. Bu dörd nöqtənin uğun koordinatlarının mütləq qimətləri bərabərdir, onlar alnız işarələri ilə fərqlənirlər. ) I rübdə müəən edilmiş digər nöqtələrin koordinatlarından bu qada ilə istifadə etməklə eni nöqtələrin koordinatlarını müəən edə bilərik. Nəticədə üzərində dönmə bucaqlarının və uğun nöqtələrin koordinatlarının qed edildii vahid çevrə alınmış olur. 8 P() = (; ) Çap üçün deil

84 Vahid çevrə və istənilən bucağın triqonometrik funksiaları ( ; ) ( ; ) ( ; 0) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) (0; ) ( ; ) (0; ) 5 ( ; ) ( ; ) 6 0, (; 0) 7 6 ( ; ) Nümunə. 5 dönmə bucağı üçün əsas triqonometrik funksiaların qimətlərini tapın. 5 Həlli: radiana uğun dönmədə bucağın tərəfi III rübdə - ( ; ) 5 5 α= dir. Bu bucağa uğun iti bucaq = olar. 5 α = bucağının son tərəfinin vahid çevrə ilə kəsişmə nöqtəsi bucağına uğun olan ( ; ) ( ; ) nöqtəsi ilə koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir. Deməli, 5 bucağının son tərəfi vahid çevrəni ( ; ) nöqtəsində kəsir. Buradan, sin =, cos =, tg =, ctg = Nümunə. Absisi 5 olan və III rübdə erləşən A nöqtəsi vahid çevrə ilə bucağının tərəfinin kəsişmə nöqtəsidir. a) A nöqtəsinin ordinatını tapın. (; 0) 0 b) Məsələnin şərtini əks etdirən şəkil çəkin və bucağı üçün altı triqonometrik funksianın qimətini müəən edin. A ( ; 5 5 ) a) ( ) 5 + =, 9 6 Həlli: = =, = ± Nöqtə III rübdə erləşdii üçün = 5 b) sin = cos = tg = ctg = = sec = cosec = tg Nümunə. + sin ifadəsinin ən böük və ən kiçik qimətlərini tapın. Həlli: sin hər iki tərəfi -ə vuraq sin hər iki tərəfə əlavə edək + + sin + + sin 5 Deməli, + sin ifadəsinin ƏKQ-i -ə, ƏBQ-i 5-ə bərabərdir. ( ; ) ( ; ) 8 Vahid çevrə üzərində istənilən nöqtənin koordinatları şərtini ödədiindən alırıq ki: cos sin Yəni, sin və cos -nın ən böük qiməti -ə, ən kiçik qiməti -ə bərabərdir. Çap üçün deil

85 Vahid çevrə və istənilən bucağın triqonometrik funksiaları Örənmə tapşırıqları a) Vahid çevrə üzərində absisi. olan neçə nöqtə var? Bu nöqtələrin ordi - natlarını tapın. Hər bir nöqtəə uğun dönmə bucağını göstərin. b) Vahid çevrə üzərində ordinatı olan neçə nöqtə var? Bu nöqtələrin absis - lərini tapın. Hər bir nöqtəə uğun dönmə bucağını göstərin bucağının triqonometrik funksialarının qimətlərini vahid çevrədən istifadə etməklə tapın.. bucağının triqonometrik funksialarını tapın. 6. A( 5 ; 5 ) vahid çevrə ilə bucağının tərəfinin kəsişmə nöqtəsidir. Uğun şəkli çəkin, bucağının triqonometrik funksialarının qimətlərini tapın. 5. = 0º olarsa, ifadənin qimətini hesablaın: a) sin b) sin c) cos d) cos 6. sin cos cos + sin ifadəsinin qimətini tapın: a) = 0º olduqda b) = olduqda 7. = 5º olduqda ifadənin qimətini tapın. a) sin( + 5º) + ctg(90º ) b) tg( 5º) cos( + 0º) 8. Bərabərsizlik doğrudurmu? a) sin 5º + cos 60º > b) cos + sin > 9. İfadənin ƏBQ və ƏKQ-ni tapın. a) + sin b) sin c) + cos d) cos 0. İfadənin ƏBQ və ƏKQ-ni tapın. a) + sin b) cos c) + sin d) + cos. Bərabərlik mümkündürmü? 7 a) sin = b) cos = c) sin = 5 d) cos =. Vahid çevrə üzərində verilən şərti ödəən dönmə bucağına uğun nöqtələri göstərin. a) sin = b) cos = c) sin =. Vahid çevrə üzərində sin = şərtini ödəən dönmə bucağına uğun neçə nöqtə var? Bu nöqtələrə uğun dönmə bucaqlarının ümumi ifadəsini azın.. Vahid çevrə üzərində P( ; 7 ) nöqtəsinə uğun dönmə bucağının ol - duğu mə lumdur. Son tərəfi bu bucaqla üst-üstə düşən mənfi bucaq göstərin və həmin bucağın triqonometrik funksialarının qimətlərini tapın. 5. Vahid çevrədən istifadə etməklə [0; ] aralığında sin = bərabərliini ödəən dönmə bucaqlarını göstərin. 85 Çap üçün deil

86 Çevirmə düsturları Praktik məşğələ ) Radiusu 5 olan çevrə üzərində P(; ) nöqtəsini qed edin. ) ouna görə əksetmədə P nöqtəsinin çevrildii P nöqtəsinin koordinatlarını göstərin. ) P nöqtəsi ouna görə əksetmədə hansı nöqtəə çevrilər? ) P və P nöqtələrinin koordinatlarını müqaisə edin. 5) P və P nöqtələri koordinat başlanğıcına görə simmetrikdirlərmi? 6) P nöqtəsi dönmə bucağına uğundursa, P və P nöqtələri hansı dönmə bucaqlarına uğundurlar? P O P(; ) P Koordinat müstəvisi üzərində I rübdəki obektin ouna nəzərən əksetməsi ilə obekt II rübdə erləşir. II rübdə erləşən obektin ouna nəzərən əksetməsi ilə bu obekt III rübdə erləşdirilir. Bu isə I rübdəki ilkin obektin koordinat başlanğıcına nəzərən əksetməsi ilə üst-üstə düşür. Həmçinin diqqət edin ki, ouna nəzərən əksetmə ouna nəzərən əksetmənin 80º dönməsi ilə üst-üstə düşür. ouna nəzərən bucağın son tərəfinin əks etməsi ilə onun üzərindəki nöqtə lərin (; ) (; ) α koordinatları şəkildə r r göstərildii kimi dəişir. α Yəni, ouna əksetmə o α o r α zamanı alnız koor - r (; ) (; ) dinatının işarəsi dəişir. Deməli, kosinus koordinatından asılı olduğun dan dəişmir, sinus isə işarəsini dəişir. Beləliklə, və bucaqlarının triqonometrik funksiaları arasında əlaqə aşağıdakı kimi olur: sin ( α) = sinα tg ( α) = tgα cos ( α) = cosα ctg ( α) = ctgα Yəni, sinus, tangens, kotangens funksiaları tək, kosinus isə cüt funksiadır. Nümunə. sin( 0º) = sin 0º = cos( 5º) = cos 5º = tg( 5º) = tg 5º = ctg( 5º) = ctg 5º = və 60º dönmə bucaqlarının son tərəfləri ouna nəzərən simmetrikdir: (; ) (; ). Buradan alırıq: sin(60º ) = sin cos(60º ) = cos tg(60º ) = tg ctg(60º ) = ctg 86 60º 0 (; ) (; ) Çap üçün deil

87 Çevirmə düsturları İti bucağı olan düzbucaqlı üçbucaqda və 90º iti bucaqları üçün triqonometrik nisbətləri azaq: (; ) sin = r sin(90º = r cos = cos(90º ) = r r r tg = tg(90º ) = α ctg = ctg(90º ) = Bərabərliklərin cüt-cüt müqaisəsinə görə və 90º bucaqlarının triqonometrik funksiaları arasında əlaqə aşağıdakı kimidir: sin ( 90 α) = cosα cos ( 90 α) = sinα tg (90º ) = ctg ctg (90º ) = tg α dönmə bucağının son tərəfini daha 90 döndərək. Bu zaman onun üzərində olan P(; ) nöqtəsi P ( ; ) nöqtəsinə çevrilir. Triqonometrik funksiaların tərifinə görə: sin ( + 90º) = = cos, r ( ; ) cos ( + 90º) = = sin, r r α α tg ( + 90º) = = ctg 90 0 α ctg ( + 90º) = = tg Bu düsturları aşağıdakı şəkildə azaq: sin (90 + α) = cosα cos (90 + α) = sinα tg (90 + α) = ctgα ctg (90 + α) = tgα Şəkildən göründüü kimi, ouna nəzərən ( ; ) 80 əksetmə ouna nəzərən əksetmənin 80 0 α (; ) r dönməsinə ekvivalentdir. Koordinatların r dəişməsini aşağıdakı kimi ifadə etmək olar: r sin (80º α) = sin α cos (80º α) = cos α tg (80º α) = tg α ctg (80º α) = ctg α r Şəkildən göründüü kimi, bucağının son tərəfi 80 döndükdə əks qütbdə olmaqla eni düz ətt üzərində erləşir. sin (80º + ) = sin cos (80º + ) = cos tg (80º + ) = tg ctg (80º + ) = ctg 87 P r ( ; ) Nümunə. sin 0 = sin ( ) = sin 0 = α P 80 0 r 80 0 P (; ) (; ) Çap üçün deil (; )

88 Çevirmə düsturları 70 + α dönmə bucağının triqonometrik funksiaları üçün də oşar düsturları almaq üçün 70 + α = 90 + (80 + α) şəklində azıb, uğun düsturları ardıcıl tətbiq etmək kifaətdir. Məsələn: sin(70º + ) = sin(90 + (80 + α)) = cos(80 + α) = cos cos(70º + ) = cos(90 + (80 + α)) = sin(80 + α) = ( sin) = sin İndi isə 70 α dönmə bucaqları üçün uğun düsturları azaq. Məsələn: sin(70º ) = sin(70 + ( α)) = cos( ) = cos cos(70º ) = cos(70 + ( α)) = sin( ) = sin Aldığımız düsturların köməi ilə istənilən bucağın triqonometrik funksialarının qimətlərinin tapılmasını iti bucağın triqonometrik funksiasının tapılmasına gətirmək olar. Bu düsturlara çevirmə düsturları deilir. Çevirmə düsturları üçün müəən qanunauğunluğun olduğunu asanlıqla izləmək olar. 80º 80º + o 60º 88 90º + 70º o 90º 70º + ) Arqument 90º ± və a 70º ± şəklindədirsə, onda bu arqumentin triqonometrik funksiası arqumentinin qoşma triqonometrik funksiasına çevrilir (əni sinus kosinusa və tərsinə, tangens kotangensə və tərsinə). ) Əgər arqument 80º ±, 60º ± olarsa, bu arqumentin triqonometrik funksiası arqumentinin eni adlı funksiasına çevrilir. Hər iki halda alınan funksianın işarəsi bucağını iti bucaq qəbul etməklə çevrilən funksianın verilən rübdəki işarəsi ilə eni olur. Örənmə tapşırıqları. ) Son tərəfi α = -li bucağın son tərəfinin: a) ouna nəzərən; b) ouna nəzərən; c) koordinat başlanğıcına nəzərən əksetməsi ilə alınan ən kiçik mücbət bucağı tapın. ) eni tapşırıqları α = 0 üçün də erinə etirin.. Bucağın triqonometrik funksialarının qimətlərini iki üsulla hesablaın: ) Son tərəfi verilmiş bucaqla eni olan və [0º; 60º] aralığında erləşən bucağın triqonometrik funksiasına gətirməklə; ) və bucaqlarının triqonometrik funksiaları arasındakı əlaqəni tətbiq etməklə. a) = 0º b) = 0º c) = 60º Çap üçün deil

89 Çevirmə düsturları. Sadələşdirin. a) sin (80º + α) b) cos( α) c) cos (80º + α) d) tg (80º α) e) ctg(90º + α) f) cos ( α). sin (90 + α) = cos α eniliinin doğruluğunu α bucağı I rübdə erləşdii halda isbat etdik. Bucağı II rübdə erləşdirməklə enilii isbat edin. 5. sin (90 + α) = cos α eniliinin 0, 90, 80, 70 bucaqları üçün də doğru olduğunu göstərin. 6. Çevirmə düsturlarını tətbiq edərək, verilmiş ifadəni iti bucağın triqonometrik funksiası ilə ifadə edin və qimətini hesablaın. a) cos 0º b) cos 0º c) sin 50º d) tg 00º e) cos 5 f) tg 7 g) ctg 5 h) sin 6 7. [0º; 60º] aralığında sinusu verilmiş ədədə bərabər olan bütün bucaqları tapın. a) sin = b) sin = c) sin = 8. [0º; 60º] aralığında sinusu verilmiş ədədə bərabər olan bütün bucaqları tapın. a) sin = 0,6 b) sin = 0, c) sin = 0,8 Nümunə. 0 α 60º intervalında sin α = 0,6 olan bütün bucaqları tapın. Həlli: Kalkulatorda asin düməsini basaraq (0.6) ığın, ekranda 7 görsənəcək. Sinus ikinci rübdə də müsbət olduğundan 80 7 = bucağının da sinusu 0,6 olacaq,çünki sin (80º α) = sin α İfadəni sadələşdirin. a) sin (α 80 ) b) cos (α 70 ) c) tg (α 90 ) d) sin (α ) e) cos (α ) d) tg (α ) 0. Sadələşdirin. a) sin ( + α) b) cos (80º α) c) ctg ( 90º + α ). 0º-dən 90º-ə kimi bucağın triqonometrik funksiasına çevirin. a) sin ( 70 ) b) cos ( 60 ) c) tg 0 d) ctg 0. Qonşu bucaqların sinuslarının bərabər, kosinuslarının isə qarşılıqlı əks ədədlər olduğunu göstərin..,, üçbucağın bucaqları olduqda isbat edin: a) sin( + ) = sin b) cos( + ) = cos. İfadəni sadələşdirin. a) sin 80º cos 70º cos 0º b) sin 0º c) tg 0º ctg 50º d) sin 7º cos 8º 5. Sadələşdirin. a) sin(90º ) cos(80º ) + tg(80º ) + ctg(70º ) b) cos(0º ) + sin(50º + ) Çap üçün deil 89

90 Triqonometrik eniliklər Praktik məşğələ Düzbucaqlı üçbucaqda α iti bucağı üçün cos + sin = olduğunu aşağıdakı addımlarla göstərin. c )Pifaqor teoremini azın: a + b = c ) Bərabərliin hər iki tərəfini c -na bölün: a b c a + = c c c a b c ) Qüvvətin assələrini tətbiq edin: ( c ) + ( ) c = ( ) c a ) c = cos b c = sin olduğunu nəzərə alın: cos + sin = Eni bucağın triqonometrik funksiaları arasındakı münasibətlər İstənilən α bucağı üçün cos + sin = eniliinin P(cos; sin) doğruluğunu vahid çevrə üzərində götürülmüş nöqtələrin koordinatlarına görə izah etmək olar. + = r Çevrənin tənlii 0 + = Vahid radiuslu çevrənin tənlii cos + sin = və koordinatlarının triqonometrik funksialarla əvəz edilməsi sin cos 0 şərtini ödəən istənilən bucağı üçün tg = cos cos sin 0 şərtini ödəən istənilən bucağı üçün ctg = sin Bu bərabərliklərdən alırıq ki, eni zamanda cos 0 və sin 0 şərtini ödəən bucaqları üçün tg ctg = enilii doğrudur. sin + cos = bərabərliinin hər iki tərəfini cos -a bölsək, alarıq: sin cos + = əni, + tg cos = cos sin + cos = bərabərliinin hər iki tərəfini sin -a bölsək, alarıq: + ctg = sin Bu bərabərliklərə əsas triqonometrik eniliklər deilir. Əsas triqonometrik eniliklərə görə aza bilərik: sin + cos = tg ctg = sin = cos cos = sin tg = ctg ctg = tg Əsas triqonometrik eniliklərin köməi ilə verilmiş triqonometrik ifadəni sadələşdirmək və triqonometrik funksiaların birinin verilmiş qimətinə görə digərlərinin qimətlərini hesablamaq olur. Çap üçün deil 90 b

91 Triqonometrik eniliklər Nümunə. Əsas triqonometrik eniliklərdən istifadə etməklə isbat edin: + sin cos cos + + sin = cos İsbatı: + sin cos ( + sin ) + cos + sin + sin + cos cos + + sin = cos ( + sin ) = = cos ( + sin ) + sin + + sin ( + sin ) = = = = cos ( + sin ) cos ( + sin ) cos ( + sin ) cos Nümunə. sin = 5 və bucağı III rüb bucağı olduğuna görə digər tri qo - no metrik funksiaların qimətlərini hesablaın. Həlli: sin + cos = düsturundan alırıq ki: cos = sin III rübün bucağı olduğundan cos = sin = ( ) = 5 5 sin 5 Onda tg = cos = = və ctg = tg = 5 Örənmə tapşırıqları. Sadələşdirin. a) sin b) cos c) sin d) cos e) sin cos f) sin + cos + ctg g) tg ctg cos h) cos + cos sin + sin. sin = 0,6 və < < olarsa, cos və tg -nı tapın. cos = 0,8 və 0 < <. olarsa, sin və ctg -nı tapın.. Verilənlərə görə bucağının triqonometrik funksialarının qimətlərini tapın. a) sin = və < < b) cos = və < < 5 c) tg = və < < d) ctg = və < < 5. Sadələşdirin. a) ( cos ) ( + tg ) b) (sin + cos ) + (sin cos ) c) cos + sin cos sin e) + cos : ( + ( + cos ) ) sin sin 9 d) sin + cos + + cos sin f) cos : ( + ( cos ) ) sin sin Çap üçün deil

92 Triqonometrik eniliklər 6. tg = olarsa, verilmiş ifadənin qimətini tapın. a) sin + cos cos b) sin 5 cos sin + cos 7. sin ifadəsini sadələşdirin: a) 0 olduqda b) olduqda. 8. Enilikləri isbat edin. (sin cos) a) + sec = cos sin sin + tg = cosec cos c) ( sin)( + sin) = tg + tg sin + cos = sec 9. İşıqlanma hər hansı mənbədən səthə düşən işıq selinin I miqdarını göstərir və E = R cos kimi müəən edilir. İ burada işığın şiddətini, R isə işıq mənbəindən məsafəni I tg R göstərir. Bu düsturun E = düsturu ilə ekvivalent R sin olduğunu isbat edin. 0. cos = olduqda sin + cos + ctg ifadəsinin qimətini tapın. 5. İfadəni sadələşdirin və verilənlərə görə qimətini tapın. a) cos + + sin sin + + sin cos b) sin + cos cos cos = 0, olduqda sin = olduqda 8. sin + cos = 0,6 olduğunu bilərək, sin cos hasilini tapın. 5. tg + ctg = olduqda, tg + ctg ifadəsinin qimətini tapın.. Verilmiş bərabərlikləri ödəən dönmə bucağı varmı? a) sin = və cos = 5 5 b) sin = və cos = c) tg = və ctg = d) tg = və ctg = 5. İfadəni sadələşdirin. a) ( sin( )) ( sin ) b) cos( ) + cos tg ( ) sin( ) c) + tg( ) d) sin ( ) + tg ctg( ) cos( ) 6. İsbat edin ki, -nın mümkün qimətlərində ifadənin qiməti -dan asılı deil. a) (sin + cos ) + (sin cos ) b) (tg + ctg ) (tg ctg ) 7. İfadənin ən böük və ən kiçik qimətlərini tapın. a) cos sin b) sin sin cos 9 b) d) Çap üçün deil I E

93 Toplama düsturları Praktik məşğələ ) α =, β = olduqda sin (α β) = sinα cosβ cosα sinβ bərabərliinin doğru luğunu aşağıdakı addımlarla göstərin. a) Bərabərliin sol tərəfindəki ifadənin qimətini və -nın verilmiş qimətlərində hesablaın. sin (α β ) = sin( ) = sin = 6 b) Bərabərliin sağ tərəfindəki ifadənin qimətini tapın. sinα cosβ cosα sinβ = sin cos cos sin = 0 = ) 5 -li və 0 -li bucağın triqonometrik funksialarının qimətlərinə görə 5 0º = 5º-li bucağın triqonometrik funksialarını necə hesablamaq olar? İki bucağın cəmi və fərqinin triqonometrik funksiaları sin (α + β ) = sinα cosβ + cosα sinβ sin (α β ) = sinα cosβ cosα sinβ PA = (cos(α β) ) + (sin(α β) 0) (cosα cosβ) + (sinα sinβ) = (cos(α β) ) + (sin(α β) 0) cos α cosα cosβ + cos β + sin α sinα sinβ + sin β = = cos (α β ) cos(α β) + + sin (α β) (cos α + sin α) (cosα cosβ + sinα sinβ) + (cos β + sin β) = = (cos (α β ) + sin (α β)) cos(α β) + (cosα cosβ + sinα sinβ) = cos(α β) (cosα cosβ + sinα sinβ) = cos(α β) bərabərliin assəsi cos(α β) = cosα cosβ + sinα sinβ eniliin doğruluğu isbat edildi. 9 cos (α + β ) = cosα cosβ sinα sinβ cos (α β ) = cosα cosβ + sinα sinβ Əvvəlcə cos (α β ) = cosα cosβ + sinα sinβ eniliini isbat edək. a) şəklində göstərilən α və β bucaqlarının son tərəfləri P = (cos β; sin β) vahid çevrəni, uğun olaraq α P (cosα; sinα) və α β β α β P (cosβ; sinβ) nöqtələrində o o kəsir. α β bucağını b) şəklində a) b) olduğu kimi erləşdirək. α β bucağının son tərəfinin vahid çevrə ilə kəsişmə nöqtəsi P (cos(αβ); sin(αβ)) olsun. POP POA (TBT əlamətinə görə) olduğundan PP PA. PP = (cosα cosβ) + (sinα sinβ) P = (cos α; sin α) P = (cos(α β); sin(α β) A = (; 0) + = + = iki nöqtə arasında məsafə düsturu bərabərliin assəsi mütəsər vurma düsturlarının tətbiqi toplama əməlinin assələrinin və triqonometrik eni lik lərin tətbiqi Çap üçün deil

94 Toplama düsturları cos (α + β ) = cosα cosβ sinα sinβ eniliinin isbatı cos(α + β) = cos(α ( β)) = cosα cos( β) + sinα sin( β) cos(β) = cosβ sin( β) = sinβ olduğunu nəzərə alaq cos(α + β) = cosα cosβ sinα sinβ eniliinin doğruluğu isbat edildi sin (α + β ) = sinα cosβ + cosα sinβ eniliinin isbatı sin (α + β ) = cos ( (α + β)) = cos(( ) ) = çevirmə düsturuna görə qruplaşdırma = cos( ) cos + sin( ) sin = sin cos + cos sin fərqin kosinusu düsturuna görə çevirmə düsturlarını nəzərə almaqla sin (α β ) = sinα cosβ cosα sinβ eniliinin isbatı: sin (α β ) = sin (α + (β)) = sinα cos( β) + cos α sin( β) = = sin α cos β cos α sin β 7 Nümunə. cos ifadəsinin qimətini hesablaın. 7 Həlli: cos = cos ( + ) = cos cos sin sin = = = 6 Nümunə. sinα =, π < α < və cos β =, 0 < β < olduqda 5 sin (α β)-nın qimətini tapın. Həlli: sin (α β) = sinα cosβ cosα sinβ. α-a uğun iti bucaq α olarsa, sinα =. Qarşıdakı katet, hipotenuz isə 5 olduqda, bitişik katet 5 5 = 5 9 = və rüb bucağı olduğundan cosα = olur. 5 5 cos β = olduğundan analoji qada ilə sin β = alarıq. 5 6 sin (α β) = sinα cosβ cosα sinβ = = 65 Tangens və kotangens üçün də toplama düsturlarını azmaq olar: sin (α + β ) sinα cosβ + cosα sinβ tg (α + β ) = = = cos (α + β ) cosα cosβ sinα sinβ tərifə görə toplama düsturlarına görə sin α cos β cos α sin β + cos α cos β cos α cos β tg α + tg β Deməli: = = tg α + tg β cos α cos β sin α sin β tg α tg β tg (α + β ) = cos α cos β tg α tg β cos α cos β sadələşdirmə surət və mərəci cos cos hasilinə bölməklə tg α tg β Oşar qada ilə göstərin ki: tg (α β ) = + tg α tg β 9 Çap üçün deil?

95 Toplama düsturları cos( sin 7 e) ) f) sin( + ) g) h) cos. Sadələşdirin. Qimətini hesablaın. ) sin cos + cos sin ) cos 5 cos + sin 5 sin ) sin cos 5 cos ) 5 sin cos sin sin. Toplama düsturlarını tətbiq edərək, bərabərliklərin doğruluğunu olaın. a) sin(90º ) = cos b) cos( + ) = cos c) sin( + ) = sin d) cos(70º ) = sin. Sadələşdirin. a) sin º cos 8º + cos º sin 8º b) cos 7º cos º sin 7º sin º c) cos 68º cos 8º + cos 8º cos º d) sin º cos 7º + cos 57º cos 97º 5. Sadələşdirin. a) cos(6º + ) cos(º ) sin(6º + ) sin(º ) b) sin( ) cos( + ) + cos( ) sin( + ) 6. İfadənin qimətini tapın. a) sin 0º cos 0º + cos 0º sin 0º cos 66º cos 6º + sin 6º cos º b) sin º cos 9º + cos º sin 9º cos 65º cos 5º + sin 65º sin 5º 7. a) cos = və < < olarsa, sin( + )-nı tapın. 6 b) sin = və < < olarsa, cos( + )-nı tapın Örənmə tapşırıqları. İfadənin qimətini hesablaın. a) sin 75 b) cos 75 c) sin ( 5 ) sin =, cos =, III rübün, isə IV rübün bucağı olarsa, tapın: a) sin( + ) b) cos( ) və III rübün bucaqları və sin = 5, cos = olduqda tapın: 5 a) sin( ) b) cos( + ) 95 cos d) cos 5 0. Üçbucağın iki iti bucağının sinusları uğun olaraq 7 və -ə bərabərdir. 5 5 Üçbucağın üçüncü bucağının kosinusunu tapın. Çap üçün deil

96 Toplama düsturları. Sadələşdirin. a) tg º + tg 7º tg 6º tg º b) tg º tg 7º + tg 6º tg º. tg = olarsa, tg(5º + )-nı tapın.. tg =, tg = olarsa, tapın: a) tg( + ) b) tg( ). İfadənin qimətini hesablaın. a) tg 5º b) tg 75º c) ctg 05º 5. cos 7º sin 8º + cos 8º sin º ifadəsinin qimətini çevirmə düsturlarından və toplama düsturlarından istifadə etməklə hesablaın Sadələşdirin. sin (α + β ) cosα sinβ cos(α + β ) + sinα sinβ a) b) sin (α β)+ cosα sinβ cos(α β)sinα sinβ Sadələşdirin. tg(5º + α) tg a) + tg(5º + α) tg a) tg( + ) =, tg( ) = Tətbiq tapşırıqları k k olarsa tg -nı tapın. b) ctg( + ) =, ctg( ) = olarsa, tg -nı tapın. 9. Kəndirbazın qurğusunda A kəndiri 9 m hündürlüü olan dirəə bağlanmışdır. Kəndirbaz B kəndiri üzərində 5 m hündürlükdə eriir. A və B kəndirləri dirəkdən m aralıda erə bərkidilib. Onlar arasında qalan bucağının sinusunu hesablaın və bu bucağın dərəcə ölçüsünü ondabir dəqiqliklə tapın. 0. Bucaq əmsalları k və k olan iki düz əttin kəsişməsindən alınan bucağını aşağıdakı düsturla müəən etmək olar: b) tg ( ) = + k k a) = və = ; b) = + və = düz ətlərinin kəsiş - məsindən alınan iti bucağı tapın. 96 tg( 8 + α) + tg( 8 α) tg( + α) tg( 8 α) 8 A B m k = tg θ 9 m 5 m k = tg θ Çap üçün deil

97 Toplama düsturlarından alınan nəticələr Praktik məşğələ sin 70º + sin 0º cəmini aşağıdakı addımlarla hasilə çevirin. ) + = 70 { tənliklər sistemini həll etməklə elə iki bucaq tapın ki, cəmi = 0 70º-ə, fərqi 0º-ə bərabər olsun: = 0º = 0º ) 70º = 0º + 0º, 0º = 0º 0º azmaqla verilmiş ifadəni sadələşdirin. sin 70º + sin 0º = sin(0º + 0º) + sin(0º 0º) = sin 0º cos 0º + cos 0º sin 0º + sin 0º cos 0º cos 0º sin 0º = sin 0º cos 0º = sin 0º Cəmin (fərqin) hasilə çevrilməsi = + + olarsa, =, = = sin + sin = sin( + ) + sin( ) = sin cos + cos sin + sin cos cos sin = sin cos. Deməli, + sin + sin = sin cos Oşar qada ilə alırıq: + sin sin = sin cos + cos + cos = cos cos + cos cos = sin sin. Hasilə çevirin: a) sin 5º + sin º b) sin 7º sin º c) cos º + cos º d) cos º cos º. İfadənin qimətini hesablaın. a) cos 0º + sin 80º sin 0º b) sin 0º + sin 0º cos 0º. Cəmi (fərqi) hasilə çevirin. sin6 + sin cos cos sin 5 sin cos 5 + cos. Sadələşdirin. a) sin 8 + sin b) cos 6 cos c) sin + sin cos 8 + cos sin 6 sin cos + cos 5. Aşağıdakı bərabərlikləri şəkillə əlaqələndirin və doğru olduğunu göstərin. = = + (cos β, sin β) (cos α, sin α) (t, s) sin + sin = s = cos sin + α β θ cos + cos = t = cos cos + 6. Hasil şəklində göstərin: a) + sin b) + cos c) cos Çap üçün deil 97

98 Toplama düsturlarından alınan nəticələr Hasili cəmə çevirmə düsturları Bu eniliklərin doğruluğunu toplama düsturlarından istifadə etməklə göstərək: tərəf-tərəfə toplanır sin( + ) = sincos + cos sin + sin( ) = sincos cossin sin cos = (sin( + ) + sin( )) sin sin = (cos( ) cos( + )) cos cos = (cos( + ) + cos( )) Aşağıdakı enilii analoji qada ilə isbat edin. sin sin = (cos( ) cos( + )) tərəf-tərəfə toplanır cos( + ) = coscos sin sin + cos( ) = coscos + sinsin sin( + ) + sin( ) = sincos cos( + ) + cos( ) = coscos sin cos = (sin( + ) + sin( )) cos cos = (cos( + ) + cos( )) 7. Hasilin cəmə çevrilməsi eniliklərini tətbiq etməklə hesablaın. a) sin 5 cos 5 b) sin 05 sin 5 c) cos 75 cos Hasilləri cəm və a fərq şəklində ifadə edin. sin6 sin sin cos cos9 cos cos sin cos7 cos sin8 sin sin cos cos 5 sin sincos = sin( + ) + sin( ) olduğunu isbat edin. Hesablaın. a) cos 0º cos 0º cos 0º b) sin 0º sin 0º + cos 50º İfadənin qimətini tapın. a) sin 5º cos 7º cos 79º cos º sin 86º sin º b) cos 7º cos 7º sin º cos º cos 86º cos º Vuruqlara aırın. a) sin cos sin 6 cos 8 b) cos 5 cos cos cos Çap üçün deil 98

99 Toplama düsturlarından alınan nəticələr İkiqat arqumentin triqonometrik funksiaları Toplama düsturları sin, cos, tg ifadələrini bucağının triqonometrik funksiası ilə ifadə etməə imkan verir. sin = sin( + ) = sin cos + cos sin = sin cos cos = cos( + ) = cos cos sin sin = cos sin tg + tg tg tg = tg( + ) = tg tg = tg Beləliklə, ikiqat bucağın düsturları adlanan enilikləri alırıq: sin = sin cos, cos = cos sin, tg = Yarım arqumentin düsturları cos = cos sin = cos ( cos ) = cos cos = cos sin = sin sin = sin Buradan: + cos cos = sin = Bu düsturlarda -nın əvəzinə cos = + cos sin = cos azmaqla alarıq: cos Yarımqat bucaqlar üçün triqonometrik eniliklər: cos sin = ± cos = ± + cos tg = ± cos + cos α Bu bərabərliklərdə sağ tərəfin işarəsi bucağının hansı rübdə erləş məsin - dən asılıdır. Nümunə. sin cos sin cos ifadəsini sadələşdirin. Həlli: sin cos sin cos = sin cos (cos sin ) = = sin cos (cos sin ) = sin cos = sin Nümunə. Kalkulatordan istifadə etmədən α bucağının IV rübün bucağı və tg α = olduğunu bilərək, sin α və cos α-nın qimətlərini tapın. Həlli: r = ( ) + = 5 sin α = sin α cos α = ( )( ) = sin α = cos α = cos α sin α = ( ) ( ) = 75 cos α = tg = tg = cos + cos cos + cos tg tg Çap üçün deil r

100 Toplama düsturlarından alınan nəticələr Nümunə. cos ifadəsinin qimətini hesablaın. 8 α Həlli:Yarımbucaq eniliklərindən istifadə edək: cos = ± + cosα bucağı I rübdə erləşir və bu rübdə kosinus funksiası müsbətdir. 8 + cos(/) + ( /) cos = cos ( ) = 8 = = Örənmə tapşırıqları. Sadələşdirin. sin cos a) b) cos cos tg cos + sin + cos c) (tg + ctg ) sin d) sin. cos = 0,8, 90º < < 80º olarsa, tapın: a) sin b) cos c) tg 5. sin = və III rübün bucağı olarsa, tapın: a) sin b) cos c) tg 6. Sadələşdirin. sin cos sin cos a) b) + sin cos cos sin 7. İfadənin qimətini hesablaın. a) sin 5º cos 5º b) sin cos 8 8 c) cos sin d) cos sin 8 8 e) tg º 0 f) tg 75º tg º 0 tg 75º 8. Tapın: a) sin º 0 b) cos º 0 c) tg º 0 d) tg 5º e) cos 67,5º 9. cos =, 70º < < 60º olarsa, tapın: 5 a) sin b) cos c) tg 0. Verilənlərə görə sin, cos, tg-nı tapın sin = < < tg = < < cos = 0 < < 5. Verilənlərə görə sin, cos, tg -ni tapın. a) cos =, 0 < < b) sin =, 5 < < ; ; ; Çap üçün deil

101 Toplama düsturlarından alınan nəticələr. İki bucağın cəminin triqonometrik eniliklərindən istifadə etməklə aşağıdakı eniliklərin doğruluğunu isbat edin. a) sin θ = sin θ cos θ b) cos = cos sin < α < 80 və sin α = olduğunu bilərək: 7 a) sin α-nın qimətini tapın; b) cos α-nın qimətini tapın; c) α bucağının radian ölçüsünü kalkulatorun köməilə hesablaın. d) a və b bəndində apardığınız hesablamaların doğruluğunu da kalkulatorla olaın.. Enilikləri isbat edin. cos a) = tg sin Tətbiq tapşırıqları 5. Həndəsə. O mərkəzli vahid çevrə üzərində verilənlərə sin görə tg = eniliinin doğru olduğunu isbat + cos edin. 6. sin b) = tg + cos Dağın hündürlüünü tapmaq üçün planda aralarındakı məsafə 75 m olan A və B nöqtələri seçilmiş və dağın təpəsinə üksəliş bucağı ölçülmüşdür. Bucaqların ölçüləri A = 6 0, B = 0 olmuşdur. Bu plana görə dağın hündürlüü neçə metrdir? 7. Bucaqları A, B,C olan istənilən ABC-də aşağıdakı eniliklərin doğru olduğunu isbat edin (A + B + C = 80 olduğunu nəzərə alın). a) sin (A + B) = sin C b) cos C = sin A sin B cos A cos B A a) Seqmentin sahəsi üçün Sseq = 8. r (α sinα) düsturunun doğru r olduğunu göstərin. α o r b) Radiusu sm olan dairədə sm uzunluqlu vətərin aırdığı seqmentin sahəsini tapın. 9. Radiusları ; ; olan üç çevrə şəkildə göstərildii kimi aricdən tounurlar. Rəngli sahəni hesablaın. 0 B A B º 0 6º 0 75 m Çap üçün deil O A h D P B

102 Triqonometrik ifadələrin sadələşdirilməsi Nümunə. cos (tg sec ) ifadəsini sadələşdirin. Həlli: cos (tg sec ) = = cos tg cos sec = = cos sin cos cos cos = = sin vurmanın palama qanunu tg = sin və sec = cos cos əvəzetməsi sadələşdirmə Nümunə. sin cos + cos ifadəsini vuruqlara aırmaqla sadələşdirin. Həlli: sin cos + cos = = cos (sin + cos ) = ortaq vuruğun mötərizə aricinə çıarılması = cos = cos sin + cos = düsturunun tətbiqi Nümunə. cos + sin + tg ifadəsini sadələşdirin. Həlli: cos + sin + tg = cos + sin + sin cos = tg = sin cos əvəzetməsi cos cos sin = + sin cos + cos + + sin sin = cos + sin + sin = = cos ( + sin ) + sin = = cos ( + sin ) = cos = sec 0 surət və mərəci eni ifadəə vurubbölmə ortaq mərəcə gətirmə sin + cos = düsturunun tətbiqi sadələşdirmə Nümunə. tg ifadəsində mərəci radikaldan azad edin. Həlli: Burada tg > 0 olmalıdır. tg = tg tg tg = tg tg = tg tg Örənmə tapşırıqları. Mötərizədən azad etməklə sadələşdirin. ) (sin cos )(sin + cos ) ) (sin cos ) + sin ) tg (cos + ctg )( sin ) ) ( + tg ) sec. Vuruqlara aırın: ) sin cos + cos ) sin cos ) sin + 7 ) sin + 8sin + 5) ctg + 6ctg + 6) cos + cos Çap üçün deil

103 Triqonometrik ifadələrin sadələşdirilməsi. Sadələşdirin. cos ) sin cos + ) ( cos ) cos ) sin cos sin cos ) cos sin ( sin cos ) 5) sin sin 6) sin 9 0cos + 5 sin cos + sin + 9. İfadələri bir triqonometrik funksia dail olan vuruqların hasili (məsələn, (sin ) ( + sin)) şəklində azın.. ) cos + cos + ) cos sin + ) sin cos 5. Mərəci radikal işarəsindən azad edin. a) cos cos ctg b) c) + cos tg sin 6. Sadələşdirin. a) ( sin + cos + sin cos ) sin (sin + cos) sin b) cos + sin + cos + sin c) sin + sin + sin 5 d) cos + sin cos + cos + cos 5 7. Enilikləri isbat edin. cos sin ) tg + ctg = sin + cos tg ) + tg + = cos tg ctg ) tg + ctg + = sin (sin + cos ) 5) = tg cos ctg sin cos 6) sin tg = cos 8. İfadənin ƏBQ və ƏKQ-ni tapın. a) sin cos b) sin + cos c) sin + cos a b Göstəriş: a sin + b cos ifadəsini c ( sin + cos ) şəklində azın və a b c c = cos, = sin olmaqla köməkçi bucaq dail edin. Burada c = a + b c c Nümunə. sin + cos = ( sin + cos ) = = (cos 60º sin + sin 60º cos ) = sin( + 60º) ƏBQ = ƏKQ = 9. 0 < < olduqda sin + sin ifadəsini sadələşdirin. + sin + sin 0. sin ifadəsini sadələşdirin. cos a) 90º < < 80º olduqda b) 70º < < 60º olduqda. sin 8º cos 6º ifadəsinin qimətini hesablaın. 0 cos ) tg + + sin = sec Çap üçün deil

104 Ümumiləşdirici tapşırıqlar Üçbucağın bucaqları ; ; 5 ədədləri ilə mütənasibdir. Üçbucağın bucaqlarının radian ölçülərini tapın. İfadənin mənası varmı? a) sin 70º b) cos 50º c) tg 00º sin = sin, cos = cos olarsa, hansı rübün bucağıdır? İsbat edin ki, tg º tg º tg º... tg 87º tg 88º tg 89º = sin 0º = a olarsa, a ilə ifadə edin: a) cos 80º b) cos 00º c) sin 70º d) sin 90º Kalkulatordan istifadə etmədən hesablaın. tg 8 a) b) sin cos tg 8 7. Hansı bərabərlik doğru, hansı anlışdır? a) sin 5 = sin 9 b) cos 5 = sin 5 c) tg 5 = tg 5 d) sin 60 = cos 0 e) sin 70 = cos 80 f) cos ( 60 ) = sin İki dişli çardan birinin radiusu 5, sm, digərininki isə sm-dir. Əgər kiçik çar 70º dönürsə, böük çar neçə dərəcə dönməlidir? a) Suçiləici ən çou 0 dönməklə 5 metr məsafəə su çiləir. Sulana bilən hissəni sematik olaraq təsvir edin və sahəsini hesablaın. b) 70 m məsafəə su vuran çiləici ilə 000 m sahəni sulamaq üçün çiləici neçə dərəcə dönməlidir? İsbat edin. sin sin cos cos = ctg sin + sin cos + cos = tg 0 5, sm sin + sin cos + cos = tg cos cos sin sin = tg. = 90º olduqda sin sin cos + cos ifadəsinin qimətini tapın.. İsbat edin ki: a) cos(60º ) = sin(0º + ) b) ctg(80º ) = tg(0º + ).. Göstərin ki: cos 0º cos 50º cos º + sin º = sin 80º sin 70º sin 9º sin 9º Çap üçün deil sm

105 Ümumiləşdirici tapşırıqlar. 8. sin cos = 0, olduqda Sadələşdirin: tg( + ) sin + cos sin cos 5. İfadənin qimətini tapın. a) sin 5º cos 5º(cos 5º sin 5º) b) sin cos sin cos Hesablaın. a) sin 70º sin 0º b) 8 sin 0º cos 0º cos 0º 6 sin cos 0. Sadələşdirin. a) 6 cos 6º b) cos º sin º 05 ifadəsinin qimətini tapın. 6. cos 6º + sin 6º cos º = və = + 5 düz ətləri arasında qalan iti bucağı tapın. 6 o θ = = Maepüskürdücü (çiləici) ilə α bucağı altında d məsafədə olan obektə mae vurulursa, mae çilənən sahəni a) S = d tg α həmçinin S = d ( cosα) düsturları ilə hesablamağın + cosα mümkün olduğunu göstərin. b) Maeçiləici d = 0 sm məsafəə d α = 5 bucaq altında olmaqla mae çiləirsə, nə qədər sahəə mae r vurulmuş olacaq? tg tg. ) Enilikləri isbat edin. a) sin = b) cos = + tg + tg ) tg = olarsa, tapın: cosα =, 0 < α < və sin β =, π < β < qimətlərini tapın. olduqda ifadələrin a) sin (α + β) b) cos (α + β) c) tg (α + β) d) sin (α β) e) cos (α β) f) tg (α β) a) sin b) cos Çap üçün deil

106 Sinuslar və kosinuslar teoremi Sinuslar teoremi Kosinuslar teoremi XII əsrdə aşamış dahi Azərbacan alimi Nəsrəddin Tusi astronomia, riaziat, fəlsəfə elmlərinə böük töhfələr vermişdir. Nəsrəddin Tusi ilk dəfə olaraq triqonometrianı astronomiadan aırmış və sinuslar teoreminin isbatını vermişdir. Çap üçün deil 06

107 Sinuslar teoremi Praktik məşğələ B ) Şəkildə verilənlərə görə ABC-nin AB və BC tərəflərini h h ilə ifadə edin. AB BC 0º 5º ) = bərabərliinin doğruluğunu A sin C sin A D olaın. ) AC tərəfinin uzunluğunu h ilə ifadə edin və B = 80º (0º + 5º) = 05º olduğuna görə sin B-ni hesablaın. AC ) nisbətini tapın və onu -ci bənddəki nisbətlərlə müqaisə edin. sin B 5) ABC-nin tərəfləri ilə qarşı bucaqların sinusları arasında hansı əlaqə vardır? Sinuslar teoremi İstənilən ABC-də a, b, c tərəfləri uğun olaraq, A, B, C C-nin qarşısında duran tərəflər olarsa: a sina b = = sinb c sinc Üçbucağın tərəfləri onun qarşı bucaqlarının sinusları ilə mütənasibdir. İsbatı: Düzbucaqlı üçbucaq üçün teoremin doğruluğunu C özünüz göstərin. İsbatı itibucaqlı və korbucaqlı üçbucaq üçün b a hc erinə etirək. A c B Üçbucağın C təpəsindən AB tərəfinə hc hündürlüü çəksək, itibucaqlı üçbucaq alınmış iki düzbucaqlı üçbucaqdan, C hc b = sina hc və olduğunu aza bilərik. a = sinb b a hc Korbucaqlı üçbucaqdan da A c B 80º B korbucaqlı hc = sin(80 B) = sin B olduğu görünür. üçbucaq a Bu nisbətlərdən hc dəişənini tapaq: hc = b sina, hc = a sinb a b Buradan b sina = a sinb və a = sina sinb b c Analoji qada ilə A təpəsindən BC tərəfinə hündürlük çəkməklə = sinb sinc oldu ğunu göstərmək olar. Bərabərliin assəsinə görə aza bilərik: Bu nisbətlərin üçbu cağın aricinə a b c = = Teorem isbat olundu. çəkilmiş çev rənin diametrinə bərabər sina sinb sinc olduğuna diqqət edin. Nəticə. ) Üçbucaqda bərabər bucaqlar qarşısında duran tərəflərin uzunluqları bərabərdir. ) Üçbucaqda böük bucaq qarşısında böük tərəf və böük tərəf qarşısında böük bucaq durur. Çap üçün deil 07 A b c a B C

108 Sinuslar teoremi Doğrudan da, əgər və bucaqları itidirsə, > olduqda sin > sin olur. sin sin a = olduğundan, a > b alınır. Əgər kor bucaqdırsa, onda (80º ) b iti bucaqdır, həm də (80º ) bucağı üçbucağın bucağına qonşu olmaan arici bucağı olduğundan -dan böükdür. Ona görə sin = sin(80º ) > sin. Buradan da a > b alınır. Üçbucağın iki bucağı və bir tərəfi verildikdə, iki tərəfi və bu tərəflərdən birinin qarşısındakı bucaq verildikdə sinuslar teoremini tətbiq edərək qalan tərəfləri və bucaqları tapmaq mümkündür. I hal. Üçbucağın iki bucağı və bir tərəfi verilir. C Nümunə. ABC-də a = 0, A =, C = 75 b 75º a = 0 Həlli: Üçbucağın daili bucaqlarınınn cəminin 80 º A c B olduğunu bilərək, verilən iki bucağına görə üçüncü bucağını, sinuslar teoreminə görə isə verilməən iki tərəfini tapa bilərik. B = 80 (A +C) = 80 ( + 75 ) = 6 a b asinb = b = 0sin6 00,899,7 sina sinb sina sin 0,656 a c asinc 0sin75 00,966 = sina sinc c = sina sin 0,656,7 II hal. Üçbucağın iki tərəfi və bu tərəflərdən birinin qarşısındakı bucaq verilir. Nümunə. ) ABC-də a = 8, A = 5, b = 0 Həlli: a b = C sina sinb b = 0 a = 8 bsina 0sin5 5º sinb = = 0,70 A c B a 8 0,70 ədədini kalkulatora dail edib sin - düməsini işarələsək, B bucağının,8 olduğunu görərik: B,8 Lakin sin B = sin (80 B) olduğundan, burada B bucağının ikinci bir qiməti də var: B 80,8 = 5, B,8 olduqda C 80 (5 +,8 ) = 0, a c = sina sinc c = asinc sina 8sin0, c sin5 80,98 0 0, 08 B 5, olduqda C 80 (5 + 5, ) = 9,8 a c = sina sinc asinc c = sina c 8sin9,8 80,98, sin5 0, Çap üçün deil

109 Sinuslar teoremi Deməli, verilən qimətlərə uğun iki üçbucaq var.. B,8, C 0,, c 0. B 5,, C 9,8, c, C 0,º b = 0 a = 8 A = 5º c 0 B,8º II hal üçün aşağıdakı vəziəti də nəzərdən keçirək. ) ABC-də a = 5, A = 0, b = olarsa, sinuslar teoreminə görə a b sina = sinb = sin0, bsina sinb = a 5 =, alarıq. İstənilən bucaq üçün sinb olduğundan, sinb =, ola bilməz. Deməli, belə bir üçbucaq qurmaq mümkün deil. Üçbucağın iki tərəfi və bu tərəflərdən birinin qarşısındakı bucaq verildikdə mümkün həllərin üçbucaqların saı bu tərəflərin uzunluğunun ədədi qimətindən və bucağın növündən (dərəcə ölçü sündən) asılı olaraq dəişir. A b C a hc B a) a < hc < b həlli odur e) a = b bir həlli var C b a A B a) a < b həlli odur A > 90 olduqda Örənmə tapşırıqları. Naməlum tərəfi və a bucağı tapın. b a a) = 6 sin 5º sin 0º b) sin 5º = c) sin B = sin 60º d) sina = C 9,8º b = 0 a = 8 A = 5º B 5,º c, A 90 olduqda C C b a b hc a a hc A c B A B B b) a = hc < b bir həlli var c) hc < a < b iki həlli var C b a b f) a > b bir həlli var A c B C b a A B b) a = b həlli odur 0 sin 0º sin 6º C b a b A c C b a A B c) a > b bir həlli var Çap üçün deil B

110 Sinuslar teoremi a) Təpələri M, N, P kimi işarə edilmiş üçbucaq üçün sinuslar teoremini azın. Şəkildə verilənlərə görə bucağının dərəcə ölçüsünü tapın. A a) Naməlum tərəfləri və bucaqları tapın. A B B b) 6 8 0º C 5º A C c 0º C º a Verilənlərə görə hansı halda bir, hansı halda iki üçbucaq qurmaq mümkün - dür, hansı halda məsələnin həlli odur? Hesablamalarla göstərin. ) a = 0, A = 5, B = 5 ) b = 0, B = 75, c = 5 ) A = 0, B = 5, c = 5 ) a = 5, A =, b = 7 5) a = 0, A = 5, c = 0 6) a = 5, A = 7, b = 9 7) a =, A = 9, b = 5 8) a = 5, A = 9, b = 9) a =, A = 50, c = 7 0) a =, A = 50, c = 0 0 = sin60 sin80 bərabərliinə görə üçbucaq çəkin. -in qimətini tapın. Verilənlərə görə ABC-ni çəkin və tələb olunan tərəfi tapın. a) Verilir: ABC, A = 57, B = 7, AB = cm. AC =? c) Verilir: ABC, A = 50, B = 50, AC = 7 m, AB =? B A a) ABC-də AC = 7 sm, AB = cm, B = 5 -dir. C-ni tapın. b) KLM-də LM = 6,8 sm, KM =,5 sm, K= 56 olduğuna görə L-i tapın. Hər iki məsələdə atarılan bucağa bir iti, bir kor bucaq olmaqla iki bucaq uğundur fikri doğrudurmu? 0 M b) C c) 9 95º 5 a B N B 6º 5 70º A b) Verilir: ABC, B = 8, C = 56, BC = 6 cm AB =? d) Verilir: ABC, A =, C = 78, AB = 5 cm, BC =? Çap üçün deil a b P C

111 Sinuslar teoremi 9. Üçbucağın tərəflərindən birinin uzunluğu m, digərininki isə m-dir. Bu tərəflərdən birinin qarşısındakı bucaq 5 -dir. Üçbucağın verilməən tərəfini və bucaqlarını tapın. A A c b D 0. Çevrə dailinə çəkilmiş üçbucaqdan b c B O C istifadə etməklə sinuslar teoremini isbat R R R R O edin. C a/ D a/ B a İsbat üçün plan: Əvvəlcə = R olduğunu, analoji qada ilə b c sina = R və = R olduğunu göstərin. sinb sinc. Bucaqları daha dəqiq ölçmək üçün dərəcə ölçü vahidi ilə anaşı daha kiçik vahidlərdən- dəqiqə ( ) və saniədən ( ) də istifadə edilir. = 60, = 60 olduğunu nəzərə almaqla bucaqların ölçülərini dərəcə ilə onluq kəsr şəklində ifadə edin. a) b) 5 8 c) 0 5. Üçbucağın sahəsi düsturlarına görə: A A S = absin C c b c ha ha b 80º C S = bcsin A B C D B a a C D S = acsin B Verilənlərə görə üçbucaqların sahələrini tapın. ) B = º, a = 6 m, c = 8 m ) A = 7º, b = 0 sm, c = sm ) C = 8º 5, a = dm, b = 6 dm ) C = 75,6º, a =,5 m, b =, m 5) 6) 7) A C A A 65º B º 00º C B B C c. İsbat edin ki, qabarıq dördbucaqlının sahəsi diaqo - a b nalların və onlar arasındakı bucağın sinusu hasilinin d arısına bərabərdir. S = d d sin. a) Paraleloqramın diaqonalları 0sm və sm olub, aralarındakı bucaq 60 - dir. Bu paraleloqramın sahəsini tapın. b) Bərabəranlı trapesianın diaqonalları sm olub, aralarındakı bucaq 5 -dir. Bu trapesianın sahəsini tapın. a/ a/ Çap üçün deil

112 Sinuslar teoremi 5. Sinuslar teoreminin ikisütunlu cədvəllə isbatını dəftərinizdə tamamlaın. Təklif Əsası bcsin A= acsin B = absin C bcsin A = acsin B = absin C bcsin A acsin B absin C abc = abc = abc sin A sin B sin C a = b = c a b c sin A = sin B = sin C 6. Hər bir mümkün hala uğun bir üçbucaq çəkin. a) ABC də A = 0, AC = 50 sm olduqda məsələnin iki həlli olması üçün BC tərəfinin uzunluğu hansı intervalda dəişməlidir? b) A = 60 və AC = sm-dir. BC tərəfinin uzunluğu hansı intervalda dəişsə, üçbucaq qurmaq mümkün olmaz? c) A = 5 və AC = 8 sm olarsa, BC tərəfinin uzunluğunun hansı qimətlərində alnız bir üçbucağın həlli mümkündür? Tətbiq tapşırıqları Nümunə. Su anbarı -cü Təpə aşaış məntəqəsindən 5 şimal-qərb isti - qamətində 5 km, Gənclik aşaış məntəqəsi -cü Təpə a şaış məntə - su anbarı 5º qəsindən şimal şərq istiqamətində 7,5 km Ş 5 km 7,5 km məsa fədə erləşir. Gənclik aşaış Q Ş -cü təpə məntəqəsi su anbarından neçə kilometr C aralıda erləşir? Həlli: Plana uğun üçbucağı enidən çəkək və təpələrini obektlərin adına uğun olaraq Su S t G anbarı S, -cü Təpə T, Gənclik G hərfləri 5 ilə işarələək. Məsafələr isə uğun olaraq s, t g 7,5 km s və g kimi olsun. 5 km T Sinuslar teoreminə görə: s g 5sin5 = 7,5 5 50,6 = sins sing sing = =0,85 sin5 sing 7,5 7,5 G 58 T s t 7,5sin97 7,50,995 = 7,5 t = t sins 7,6 km sint sin5 sin97 sin5 0,6 Gənclik Çap üçün deil

113 Sinuslar teoremi 7. Müşahidə aparılan təarədən gölün iki mütəlif sahilindəki A və B nöqtələrinə eniş bucağı uğun m olaraq, 5 və -dir. Şəkildə verilənlərə görə gölün bu iki nöqtə arasındakı eni təqribən neçə metrdir? 8. Uzunluğu 8 sm olan tata çubuq konstruksianın A B əsasına 60º bucaq əmələ gətirməklə apışdırılmışdır. Uzunluğu 7 sm olan çubuq bu çubuğun digər ucuna və konstruksianın oturacağına bərkidilməlidir. θ 60 konstruksianın əsası Bunun üçün şəkildə göstərilən bucağının mümkün dərəcə ölçüsünü tapın. 9. Naviqasia dəniz və hava ollarında nəq - liatın erini və hərəkət kursunu müəən - etmə işlərini əhatə edir. Naviqasiada istiqamət adətən, azimuta görə müəən edilir. Azimut saat əqrəbinin hərəkəti üzrə olmaqla şimal istiqamət ilə verilən istiqamət arasında qalan bucaqdır. Məsələn, şəkildə 0 azimut təsvir edilmişdir. Ülkərgilin mindii elkənli qaıq Atəngilin mindii qaıqdan şərq istiqamətində 5 m aralıdadır. Atəngil dənizdəki canlılar üzərində müşahidə aparan tədqiqat stansiasını 0 azimutla, Ülkərgil isə 0º azimutla görürlər. Ülkərgil stansiadan təqribən neçə metr aralıdadırlar? 0. Körpü inşaatı. Şəkildə verilənlərə görə quraşdırılmalı olan körpünün uzunluğu neçə metr olmalıdır? C 5m 60 7 A. Çilçıraq tata asılqana uzunluğu,8 m və, m olan zəncirlərlə bərkidilmişdir.,8 m uzun lu - ğundakı zəncir asılqanla 6º bucaq əmələ gətirir. Digər zəncirin asılqanla əmələ gətirdii bucağı tapın. B Q C Şm.. Konstruksia. Şəkildə verilən dişli çar konstruksiasına görə bucağını tapın. r = 8sm 8sm,m 0º Ş Asılqan S r 0º Atən 7sm 0 W 6 B 5 m N S,8m s Çil-çıraq E S Ülkər r = sm r = 6sm Çap üçün deil

114 Kosinuslar teoremi Araşdırma. Verilən ölçülərə görə hər üçbucaq üçün tapşırıqları erinə etirin: ) Üçbucaqların bucaqlarını artan sıra ilə azın. ) Verilməən tərəfi və a bucağı sinuslar teoremini tətbiq etməklə tapmaq mümkündürmü A E J D B L 88 C 0 F K Araşdırma. ) Dəftərinizdə iki tərəfi və bu tərəflər arasındakı bucağı verilmiş üçbucaqlar çəkin və üçüncü tərəfin uzunluğunu ölçün.. a = sm, b = sm, C = 90º B B B. a = sm, b = sm, C = 60º. a = sm, b = sm, C = 0º A C C A C A ) Bu üçbucaqlar üçün aşağıdakı cədvəli doldurun. Üçbucağın tərəfləri (sm-lə) c a + b abcos C a =, b =, c = 5 a =, b =, c = a =, b =, c = ) a + b abcos C və c ifadələrinin qimətlərini müqaisə edin. Kosinuslar teoremi Tərəfləri a, b və c olan istənilən ABC üçbucağında C a = b + c bc cos A b b = a + c ac cos B c = a + b ab cos C A Üçbucağın hər hansı tərəfinin kvadratı bərabərdir: c qalan iki tərəfin kvadratları cəmi, minus bu tərəflərlə onlar arasındakı bucağın kosinusu hasilinin iki misli. İsbatı: Kosinuslar teoremini isbat etmək üçün C(b cos A; b sina) ABC üçbucağını koordinat sistemində şəkildə göstərildii kimi elə erləşdirək ki, A təpəsi koordinat başlanğıcında erləşsin. Bu halda təpə b a nöqtələrinin koordinatları: A(0; 0) c A(0; 0), B(c; 0), C(b cosa; b sina) kimi olacaq. İki nöqtə arasındakı məsafə düsturuna görə aza bilərik: B(c; 0) a = (c b cosa) + (b sina 0) = = c bc cosa + b cos A + b sin A = = c bc cosa + b (cos A + sin A) = b + c bc cosa Çap üçün deil a B

115 Kosinuslar teoremi Beləliklə, a = b + c bc cos A olduğu isbat edildi. Üçbucağın digər tərəfləri üçün olan düsturların da doğruluğunu üçbucağın digər təpə nöqtələrini (B və C) koordinat başlanğıcında erləşdirməklə isbat etmək olar. Qed: Tutaq ki, C = 90. cos 90 = 0 olduğundan c = a + b ab cos C düsturundan c = a + b alınır. Bu isə Pifaqor teoremini ifadə edir. Ona görə də kosinuslar teoreminə bəzən Pifaqor teoreminin ümumiləşməsi də deilir. Nümunə. İki tərəfi və onlar arasında qalan bucağına görə üçbucağın həlli. ABC-də a = sm, c = 6 sm, B = 8 olduğuna görə üçbucağı həll edin. Həlli: b = a + c ac cos B Kosinuslar teoremi b a, c və B-nin qimətləri = cos 8 erinə azılır b ,788 97, Sadələşdirilir b 97, 9,87 (sm) Kvadrat kök alınır Üçbucağın üç tərəfi və bir bucağı məlum olduğundan sinuslar teoremini tətbiq etmək olar. A bucağını tapaq. Verilənlərə görə a tərəfi c tərəfindən kiçik olduğundan onun qarşısında duran bucaq da kiçik olacaq, əni A kor bucaq ola bilməz. a = sina b sinb = sina 9,87 sin8 Kalkulatorda sin - düməsi ilə və 0,785 ədədini dail etməklə, A = sin - (0,785) 8,5 olduğunu hesablamaq olar. Artıq ABC üçbucağının üç tərəfi və iki bucağı məlumdur. Üçüncü bucağı isə üçbucağın daili bucaqlarının cəmi düsturundan tapa bilərik: 80 (8 + 8,5 ) = 9,5 C 9,5 a = sm, b = 9,87 sm, c = 6 sm, A 8,5, B = 8, C 9,5 5 C b A sm 8 6 sm sin8 sina = 0,785 9,87 Nümunə. Üç tərəfinə görə üçbucağın həlli. C ABC-də a = 5 sm, b = 8 sm, c = sm. b = 8 a = 5 Üçbucağı həll edin. A B c = Həlli: a = b + c bc cos A cos A = b + c a 8 cos A = + 5 = 8 0,95 bc 8 9 A cos - (0,95) 8 Oşar qada ilə üçbucağın B və C təpə bucaqları da tapılır. Çap üçün deil B

116 Kosinuslar teoremi Örənmə tapşırıqları. Üçbucağın üç tərəfinə görə bucaqla - rını tapın. Cavabı ondabirlərə qədər uvarlaqlaşdırın.. Üçbucağın iki tərəfinə və on - lar arasında qalan bucağına görə verilməən tərəfini və B bucaqlarını tapın. B 5 5 C A 6 60º C A 8. Verilənlərə görə üçbucaqları həll edin. Cavabı üzdəbirlərə qədər uvarlaq - laş dırın. a) b) c) d) A B 8 sm C B A 0 8sm sm sm C B 8sm C A A B 8 C Verilənlərə görə tələb olunanı tapın. Cavabı ondabirlərə qədər uvar laq - laşdırın. ) Verilir: ΔABC-də ) Verilir: ΔABC, ) Verilir: ΔABC, a = 7, b = a = 8, c = 5 a = 9, b = 0, c =. C = 0, B = 0. Tapın: A Tapın: c tərəfini. Tapın: b tərəfini. ) Verilir: Δ ABC, a = 0, b = 90, c = 05. Tapın: Üçbucağın ən böük bucağını tapın. 5) Verilir: Δ ABC, a = 6, b =, c = 9. Tapın: Üçbucağın ən kiçik bucağını tapın. a) Tərəfləri 5 m, 6 m, 7 m olan üçbucağın böük hündürlüünü tapın. b) Tərəfləri sm, sm, 5 sm olan üçbucağın kiçik hündürlüünü tapın. c) Tərəfləri 0 sm, sm, sm olan üçbucağın medianlarını tapın. ΔABC-ni həll etmək üçün sinuslar, kosinuslar və a Pifaqor teoremindən istifadə edin. Cavabı üzdəbirlərə qədər uvarlaqlaşdırın. a) A = 96, B = 9, b = b) A =, b = 7, c = 8 c) A = 8, B = 5, c = 6 6 d) C = 0, b =, c = e) a = 8, b = 5, c = 6 f) C = 90, a =, b = Çap üçün deil

117 Kosinuslar teoremi a) Tərəfləri 6 sm, 8 sm, iti bucağı 60º olan paraleloqramın diaqonallarını tapın. b) Tərəfləri a, b, diaqonalları d və d olan paraleloqram üçün d + d = (a + b ) olduğunu isbat edin. AD parçası BCD müstəvisinə perpendikuladır. Verilənlərə görə məchulu tapın. A a) b) A c) A B 9 sm 60º 5 sm sm D C Tətbiq tapşırıqları B sm D sm Nümunə. A məntəqəsindən hərəkətə başlaan qatar 60 km gedib C məntəqəsinə çatdıqdan sonra, hərəkət istiqamətini 5º dəişərək, daha 80 km qət etdi. Qatar A məntəqəsindən neçə kilometr aralanmışdır? Həlli: Məsələnin şərtinə uğun şəkil çəkək. Şəkildən görünür ki, üçbucağın iki C 5º 80 km tərəfi və onlar arasında qalan bucağı 60 km 65º B məlumdur. Kosinuslar teoremini tətbiq c A etməklə c tərəfini tapa bilərik: c = a + b ab cos C c = cos 65 97; c 9 km C 7 5 sm B 5 sm C D 6 sm 9. Dağın A və B nöqtələri arasındakı hissəsində tunel tikintisi planlaşdırılır. Şəkildə verilənlərə görə tunelin uzunluğunun neçə metr olduğunu A müəən edin. 0 m 8,º B 70 m C 0. Gəmi 60 km şərqə hərə - kət etdikdən sonra istiqa - N mətini şəkildə gös tə ril dii W E C kimi şimala doğru dəişə - S B rək daha 00 km ol qət 60 km etdi. Şəkildə verilənlərə görə erdəişmənin azimut bucağını (şimal və erdəişmə istiqamətlərinin saat əqrəbinin hərəkəti istiqamətində əmələ gətirdii bucaq) müəən edin. b = 9 km 00 km Çap üçün deil 8 sm

118 Kosinuslar teoremi. A məntəqəsindən hərəkətə başlaan iki gəmidən biri B, digəri isə C məntəqəsinə etişdi. Bu hərəkətləri təsvir edən şəkildən istifadə edərək: a) Gəmilərin hərəkət istiqamətləri arasın - dakı bucağı tapın; b) B və C məntəqələri arasındakı məsafəni tapın. N 0 A 80 7 km A B a =? 9 km C. Binanın həətindən eni vatda hərəkətə başlaan iki avtomobilin hərəkət istiqamətləri 70 bucaq əmələ gətirir. Onlardan biri orta sürəti 5 km/saat, digəri isə 5 km/saat olmaqla hərəkət edir. Avtomobillər 5 dəqiqədən sonra iş erlərinə çatdılar. Bu iki iş eri arasındakı məsafə təqribən neçə kilometrdir?? 70. Lela körpünün üzərində daanaraq, 50 metr hündürlükdən çada hərəkət Şm L edən qaıqları müşahidə edir. A qaığı L 8 5 0º, B qaığı isə 0º azimutla hərə - 50 m 0 50 m kət edir. Lela A qaığını 8º, B qaı - Q Q ğını isə 5º eniş bucağı ilə müşahidə 0 b 0 a A A etdi ini təmin edir. Bu məlumatlara q q B görə qaıqlar arasındakı məsafəni tapın.. Astronomia. İlin müəən vatlarında səhərlər Venera planetini gö üzündə görmək Günəş Günəş G G e = 67 mümkündür. Venera, V v = 9 e = 67 Venera planeti ilə Günəş v = 9 s arasındakı məsafə təqribən s Venera, V Yer, E Yer, E 67 milon mil, Yer planeti ilə Günəş arasındakı məsafə 9 milon mildir. Günəş ilə Venera º bucaq əmələ gətirməklə görünürsə, Yer planeti ilə Venera planeti arasındakı məsafənin təqribən 5 milon mil və a 9 milon mil olduğunu göstərin. 5. Bir-birindən 05 m məsafədə olan A və B nöqtələrindən h hündürlüklü obekt üksəklik bucağı uğun olaraq, 0º və º olmaqla müşahidə edilir. Obektin hündürlüü neçə metrdir? 8 h 0 B A 05 m Çap üçün deil B

119 Ümumiləşdirici tapşırıqlar.. Şəkildə verilənlərə görə dəişənlə işarələnmiş bucağı və a tərəfi tapın. Cavabınızı ondabirlərə qədər uvarlaqlaşdırın. A A A a) b) c) θ,7 sm θ c 0 sm 9 sm 60 7 B, sm C,8 sm C B 0 sm C İki izəkçinin M nöqtəsindən başlanan hərəkəti haqqında məlumatı əks etdirən şəkillərə görə məsələləri həll edin. a) Xizəkçilər arasındakı məsafəni b) Hər bir izəkçinin qət etdii tapın. Ş məsafəni tapın. M M 6 km Şr 60 5 km 8 km.. 5. Youşda bitən ağacın hündürlüünü müəən edin. Youş üfüqlə 5 -li bucaq, Günəş şüaları üfüqi ətlə 57 -li bucaq əmələ gətirir, Ağacın kölgəsinin uzunluğu 7 m-dir. a) Binanın tikintisində istifadə edilən kranın ən üksək nöqtəsi ilə binanın ən üksək nöqtəsinin erdəki müşahidəçinin ölçmələrinə görə üksəliş bucaqları uğun olaraq və -dir. Binanın hündürlüü 7 m-dir. Kranın ən hündür nöqtəsi ilə müşahidəçi arasındakı məsafə neçə metrdir? 9 5 b) Eldar parkdakı barağın hündürlüünü müəən etmək istəir. O, əvvəlcə Q, sonra isə P nöqtəsindən üksəliş bucağını ölçdü. Bu iki nöqtə arasındakı məsafənin 0 m olduğunu bilərək barağın hündürlüünü hesabladı. Q = 8, Q 8 P = 5 olarsa, barağın hündürlüünü siz də 0m P 5 hesablaın. Əhməd və Rəşad eni nöqtədən bir-biri ilə 0 bucaq əmələ gətirən isti - qamət lərdə qaçmağa başladılar. Əhməd saatda 8 km sürətlə, Rəşad isə 7 km sürətlə qaçırdı. 0 dəqiqədən sonra onlar arasındakı məsafə nə qədər olacaq? Məsələni uğun şəkil çəkməklə həll edin. Çap üçün deil 57 7m 7 m

120 Ümumiləşdirici tapşırıqlar 6. İbrahim P nöqtəsindən R nöqtəsinə getmək üçün əvvəlcə Q nöqtəsinə, oradan isə R nöqtəsinə getməli oldu. Şəkildə verilənlərə görə P və R nöqtələri arasındakı məsafəni tapın. P 75m Q 6 m R 7. Şəkildə verilənə görə anğın erindən hər bir stansiaa qədər məsafəni tapın. W N E km Kosinuslar teoremini şəkildə verilmiş üçbucaqlardan istifadə etməklə isbat edin. İsbat üçün plan. ) Üçbucağın hündürlüünün iki düzbucaqlı üçbucağa ( ADB və BDC) görə mütəlif ifadələrini və onların bərabərliini azın. 0 ) Pifaqor teoremindən və cos (80 A) = cosa eniliindən istifadə edin. 9. Paraleloqramın tərəfləri 0 sm və sm-dir. Kiçik diaqonalın 5 sm olduğunu bilərək paraleloqramın iti bucağının dərəcə ölçüsünü tapın. 0. Verilir: ABC, AB=5, BC=, AC= B BM-median, BL-tənbölən. 5 Tapın: ) A ) AM və BM ) AL və BL A L M C. Polis helikopteri 00 m üksəklikdə uçur. Polis məmuru şimala badıqda 0º eniş bucağı ilə qəza törədən avtomobili, cənuba badıqda isə 5º eniş bucağı ilə hadisə erinə gələn təcili ardım maşınını görür. a) Təcili ardım maşını hadisə erindən neçə kilometr aralıdadır? b) Təcili ardım maşınının sürəti saatda 00 km olarsa, neçə dəqiqədən sonra hadisə erinə çatar? İtibucaqlı üçbucağın həllinə aid real həati situasianı əks etdirən bir məsələ qurun. Məsələnizi ümumsinif müzakirəsinə təqdim edin.. A a B b h D b a C Çap üçün deil B h D c A a b C

121 5 Triqonometrik funksialar Dövri funksialar = sin və = cos funksialarının qrafikləri = sin və = cos funksialarının qrafiklərinin çevrilmələri Beş əsas nöqtəsinə görə sinusoidin qurulması Triqonometrik funksialar və periodik hadisələr = tg və = ctg funksialarının qrafikləri Tərs triqonometrik funksialar l i n ü Ç p a ç ü e d

122 Dövri funksialar Dövri funksialar Təbiətdə bir ço hadisələr günəşin doğması və batması, kometlərin görünməsi, mövsümi olaraq temperaturun dəişməsi, okeanda dalğaların qabarması və çəkilməsi və s. kimi təbiət hadisələri periodik olaraq təkrarlanır. Həmçinin istehsal sahələrindəki cihazların işini, avtomobillərin hissələrinin hərəkətini dövri funksialarla modelləşdirmək olar. Dövri dəişməni aşağıdakı nümunə üzərində araşdıraq. Lent kəsən cihazın işi. Ölçmə üçün metr aləti istehsal edən şirkətdə kəsici alət uzunluğu m olan nazik lentlər kəsir və lentlər uvarlanmaqla metr ölçü aləti satış üçün hazırlanır. Cihazın işini göstərən qrafik və izahedici azı divardan asılmışdır. Bir dövrədə işi Bıçağın iş qrafiki Hündürlük (sm) 0,5 0,5 Hündürlük (sm),0,0 Zaman (san) Zaman (san). Bıçaq ən çou 0,5 sm hün dürlüə qalır.. Bıçaq saniə daanır, 0-, -7 saniələrdə və s.. -cü saniədən,5 sani ə ə qədər bıcaq aşağı enir, lenti kəsir.,5 -cü saniədə bıcaq uarı qalır.. Bir tam dövrə saniə sərf edilir. Sizcə bıçaq növbəti dəfə neçənci saniədə lenti kəsəcək? Ölçmə lentini kəsən cihazın işi periodik olaraq təkrarlanır. Bir period saniə davam edir. Cihazın bıçağının səthdən hündürlüünün zamandan asılılığını göstərən qrafik də bir dövrə uğun qrafikin təkrarlanması ilə çəkilmişdir. Növbəti dəfə bıçaq,5-ci saniədə lenti kəsəcək. Bu cür assəə malik funksialar dövri (periodik) funksialardır. Dövri funksiaların qimətləri müəən intervallarda enilə təkrarlanır. Tutaq ki, elə T 0 ədədi var ki, funksianın təin oblastından götürülmüş istənilən üçün T də təin oblastına daildir və f( T) = f() = f( + T) ödənir. Onda f() funksiasına dövrü T olan dövri funksia deilir. T dövrdürsə, onda n T də (n Z) dövrdür. Doğrudan da, məsələn, f( T) = f(( T) T) = f(( T) = f() Funksianın ən kiçik müsbət dövrünə onun əsas dövrü deilir.. Qrafiklərinə görə funksiaların dövri olub-olmadığını göstərin Çap üçün deil 0 8

123 . Karuselin hərəkəti. Diametri 50 m olan sürətli karusel bir tam dövrü dəqiqədə başa vurur. Cədvələ görə h = 0 hündürlüündə kabinə ələşən şəs -ci, 5-ci, 9-cu dəqiqədə erdən hansı hündürlükdə olacaq? Karuseldəki şəsin erdən hündürlüünün zamandan asılılığı cədvəllə və koordinat müstəvisi üzərində səpələnmə diaqramı ilə göstərilmişdir. Cədvəli və diaqramı dəftərinizdə çəkin. Uğun nöqtələri rəngli karandaşlarla karuselin hər tam dövrünü arıca göstərmək şərtilə ardıcıl birləşdirin. t =,5 t =, h = 5. Dövri funksialar t =,5 t =, h = 50 t =,5 t = 0,5 t = h = 5 Triqonometrik funksiaların dövrilii t h h (m) Səpələnmə diaqramı t = 0; h = 0 er səviəsi t (dəq.) Çəndən su müəən müddət aır, sonra əvvəlki səviəə qədər doldurulur və enidən müəən müddət aır və s. Çəndə suun səviəsi ) Çənin bir dəfə dolması və boşalmasına nə qədər vat sərf edilir? 60 ) Bu funksianın qimətlər çoluğunu 0 azın. 0 ) 60-cı dəqiqədə çəndə suun dərinlii nə qədər olacaq? t (dəq. ilə) ) Növbəti dəfə nə vat çəndə suun dərinlii m olacaq? Son tərəfləri üst-üstə düşən dönmə bucaqlarını nəzərdən keçirərkən onların triqonometrik funksialarının qimətlərinin eni olduğunu gördük. Məsələn, -in bütün qimətləri üçün sin( + ) = sin. Deməli, triqonometrik funksianın qimətləri təkrarlanır. Sinus və kosinus funksialarının qimətləri, tangens funksiasının qimətləri isə periodu ilə təkrarlanır. ədədi arqumentinin triqonometrik funksiası radian bucağının eniadlı triqonometrik funksiasına deilir. Bucağın triqonometrik funksialarının bütün assələri (tək-cütlüü, dövrilii və s.) ədədi arqumentin triqonometrik funksiası üçün də enidir. Bu funksiaların qrafikini uzunluğu dövrə bərabər olan parçada qurub, bu hissəni təkrarlamaq kifaətdir. h (sm ilə) Çap üçün deil

124 = sin və = cos funksialarının qrafikləri = sin funksiasının qrafiki f(θ) = sin θ dövri funksiası çevrə üzrə hərəkətdə θ bucağı qədər dönmədə nöqtənin oundan hündürlüünü (şaquli məsafəni) göstərir. Vahid çevrə üzərində hər bir nöqtənin koordinatları + = tənliini ödəməklə (; ) = (cos ; sin ) kimidir. Burada θ bucağı vahid radiusun ounun müsbət istiqaməti ilə əmələ gətirdii bucaqdır. Deməli, (; ) nöqtəsi çevrə üzrə dəişir və onun koordinatını sin θ təin edir. Nöqtənin çevrə qövsü bou hərəkəti ilə + = (, ) = (cos, sin ) f() = sin funksia sının qimətləri arasında = r = birqimətli asılılıq vardır. Vahid çevrənin I rübdə erləşən qövsünü üç bəra bər qövsə 0 aıraq və bölgü nöqtələrindən (0; ; ; ) absis ouna paralel düz 6 ətlər keçirib, bu ətlərin uğun olaraq = 0, = 6, =, = düz ətti ilə kəsiş mə nöqtələrini qed edib, uğun nöqtələri birləşdirsək, şəkildəki qrafiki alarıq. Vahid çevrə bou tam dönmənin 60 və a radian olduğu məlumdur. f() = sin funksiasının qrafikini [0; aralığında analoji qada ilə quraq: + = 0 f() Sinus dövri funksia olduğundan uzunluğu olan aralıqlarda f() = sin funksiasının qrafiki eni ilə təkrarlanır. Arqument üçün, funksia üçün işarələməsindən istifadə etməklə funksianı = sin şəklində azaq. = sin funksiasının [ ; aralığında qrafiki aşağıdakı kimi olacaq: amplitud = f() = sin 5 0 dövr = sin f() = sin funksiasının qrafiki (amplitudu, dövrü olan) sinusoid adlanır. Çap üçün deil

125 = sin funksiasının qrafikini qimətlər cədvəlinin köməi ilə də qurmaq olar. 0 = sin (; ) (0; 0) ( ; ) ( ; ) ( ; ) (; 0) ( ; ) ( ; ) ( ; ) (; 0) (0; 0) Sinus dövri funksia olduğundan qrafikini uzunluğu olan [0; ] parçasında qurmaq kifaətdir. Cədvəldəki nöqtələri koordinat müstəvisi üzərində erləşdirək və səlis əri ilə birləşdirək. Alınan qrafik = sin funksiasının qrafikidir və sinusoid adlanır. = sin və = cos funksialarının qrafikləri ( ; ) ( ; ) 6 5 ( ; ) 6 (; 0) (; 0) ( 7 ; ) 6 ( ; ) ( 6 ; ) Qimətlər cədvəli, həmçinin qrafik göstərir ki, = sin funksiasının qrafiki koordinat başlanğıcından (0; 0) nöqtəsindən keçir. -in qiməti 0-dan - ə qədər artdıqda -in qiməti 0-dan -ə qədər artır; -in qiməti -dən -ə qədər artdıqda -in qimətləri -dən 0-a qədər azalır; -in qiməti -dən -ə qədər artdıqda -in qiməti 0-dan -ə qədər azalır; -in qiməti - dən -ə qədər artdıqda -in qiməti -dən 0-a qədər artır. = sin funksiasının qimətlər cədvəli və qrafiki əsasında onun assələrini sadalaaq:. Təin oblastı bütün həqiqi ədədlər çoluğudur.. Qimətlər çoluğu [ ; ] parçasıdır.. sin funksiası tək funksiadır: sin ( ) = sin. Yəni qrafiki koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir.. Dövrü olan dövri funksiadır: sin( + ) = sin 5. Sinusoid absis ounu..., ; ; 0; ; ;,... və s. nöqtələrində kəsir, əni = n (n Z) olduqda = sin funksiası sıfra çevrilir Sinusoid koordinat başlanğıcından keçir. 6. Funksianın maksimum qiməti -dir və bu qiməti -in..., ; ; 5 ; 9... əni = + n (n Z) qimətlərində alır. 7. Funksianın minimum qiməti -dir və bu qiməti -in..., ; ; 7 ; ;... əni = + n (n Z) qimətlərində alır. Çap üçün deil

126 = sin və = cos funksialarının qrafikləri = cos funksiasının qrafiki = cos funksiasının qrafikini [0; ] parçasında = sin funksiasının qrafikinə analoji qadada vahid çevrədən istifadə etməklə həndəsi üsulla, həmçinin qimətlər cədvəlinə görə qurmaq olar. cos = sin( + ) olduğundan = sin funksiasının qrafikini qədər sola sürüşdürməklə = cos funksiasının qrafiki alınır. = cos 0 ( ; ) (; ) 6 (; ) = cos funksiasının qrafiki əsasında onun assələrini sadalaaq:. Təin oblastı bütün həqiqi ədədlər çoluğudur. R. Qimətlər çoluğu [ ; ] parçasıdır.. = cos funksiası cüt funksiadır (qrafiki ouna nəzərən simmetrikdir).. Əsas dövrü olan dövri funksiadır: cos( + ) = cos 5. Qrafik absis ounu...,,,, 5,... və s. nöqtələrində kəsir, əni = + n (n Z) olduqda = cos funksiası sıfra çevrilir. Qrafik ordinat ounu (0; ) nöqtəsində kəsir. 6. Funksianın maksimum qiməti -dir və bu qiməti -in..., ; 0; ;, 6,... əni = n (n Z) qimətlərində alır. 7. Funksianın minimum qiməti -dir və bu qiməti -in..., ; ; ; 5,... əni = + n (n Z) qimətlərində alır. = sin və = cos funksiasılarının qrafiklərini beş əsas nöqtəə (absis ou ilə kəsişmə nöqtələri və ekstremum nöqtələri) görə qurmaq əlverişlidir. Beş əsas nöqtə = sin funksiası üçün [0; aralığında aşağıdakı ardıcıllıqla növbələşir: sıfrı maksimum nöqtəsi sıfrı minimum nöqtəsi sıfrı Beş əsas nöqtə = cos funksiası üçün [0; aralığında aşağıdakı ardıcıllıqla növbələşir: maksimum nöqtəsi sıfrı minimum nöqtəsi sıfrı maksimum nöqtəsi maksimum kəsişmə minimum kəsişmə kəsişmə minimumkəsişmə maksimum kəsişmə ( ; ) (0; ) maksimum = sin = cos (; ) ( ; ) ( ; 0) ( ; 0) (; 0) (0; 0) dörddə arım (; 0) dörddə tam bir dövr dövr tam bir dövr (; ) dövr Dövr: dövr Dövr: arım dörddə dörddə üç dövr dövr üç dövr = sin Çap üçün deil 5

127 = sin və = cos funksialarının qrafikləri Örənmə tapşırıqları a) = sin funksiasının qrafikini [0; ] parça sında beş əsas nöqtəə görə qurun. b) [0; ] aralığında sin = bərabərliini ödəən neçə ədədi var? a) = cos funksiasının qrafikini [0; ] parça sında beş əsas nöqtəə görə qurun. b) [0; ] aralığında cos = 0,6 bərabərliini ödəən neçə ədədi var? Funksiaların qrafikini verilən aralıqlarda qurun. = sin, 0 = sin, = cos, = sin funksiasının maksimum nöqtələrinə uğun arqumentin üç qimətini azın. = cos və = sin funksialarının qrafiklərini eni koordinat müstəvisində qurun, oşar və fərqli cəhətlərini azın. Diametri m olan diskin hərəkətini tənzimləmək üçün diskin üzərinə işarə qoulmuşdur və müəən zaman anlarında bu işarənin su səthindən hündürlüü olanılır. Bu olamadakı şəkilləri çəkin və riazi hesablamaları siz də erinə etirin. Bunun üçün vahid ra - di uslu çevrəni 5 addımla dönmə bucaqlarına bölün və hər addıma uğun çevrə üzərindəki nöqtənin oundan m məsafəsini müəən edin. Bu işi iki dövr (70 ) üçün O 5 erinə etirin. Daha bir dövr üçün də uğun qimətləri bu olla müəən etməə ehtiac varmı? Ehtiac odursa, bu qimətləri birbaşa azın, varsa hesablaın. a) Diskin 5, 75, 75 dərəcə dönmələrində işarə su səthindən neçə metr hündürlükdə olacaq? b) Vahid çevrə üzərindəki qimətləri koordinat müstəvisi üzərində qed etməklə qrafik qurun. Bu qrafik hansı funksianın qrafikinə oşaır? = sin və = cos funksialarının qrafiki üzərində bir nöqtənin koordinatları qed edilmişdir. Ordinatı verilən nöqtənin ordinatına bərabər olmaqla qrafik üzərində erləşən daha nöqtənin koordinatlarını azın. a) ( b) ; ) ( ; ) = cos, 0 Çap üçün deil

128 = sin və = cos funksialarının qrafiklərinin çevrilmələri Sıılma və dartılma Nümunə. = sin funksiasının qrafiki üzərindəki nöqtənin absisini olduğu kimi salaıb, ordinatını -ə vursaq, = sin funksiasının qrafiki üzərindəki nöqtə alınır. Bu o deməkdir ki, = sin funksiasının qrafiki = sin funksiasının qrafikinin absis oundan dəfə dartılması ilə qurula bilər. = 0,5 sin funksiasının qrafiki isə = sin funksiasının qrafikini absis ouna dəfə sımaqla alınar. sin sin 0,5 sin / O / = a sin və = a cos funksialarının qrafikləri uğun olaraq = sin və = cos funksialarının qrafiklərinin a > ol duq da absis oundan dartılması ilə, a < olduqda isə absis ouna sıılması ilə alınır. a < 0 olduqda funksianın qrafiki ouna nəzərən simmetrik çevrilir. Nümunə. = sin funksiası = sin funksiasını dəfə qabaqlaır. = sin funksiası 0-dan -ə qədər qimətlərini [0; ] parçasında, = sin funksiası isə bu qimətləri [0; ] parçasında alır. = sin funksiasının qrafiki üzərindəki nöqtənin ordinatını dəişməib, absisini -ə vursaq, = sin funksiasının qrafiki üzərindəki nöqtə alınır. = sin funksiasının qrafiki = sin funksiasının qrafikinə nəzərən dəfə sıılmış olur, tam dövrünü [0; ] parçasında tamamlaır. = sin funksiasının qrafiki isə = sin funksiasının qrafikinin ordinat oundan dəfə dartılması ilə alınır, tam dövrünü [0; ] parçasında tamamlaır. = sin = sin = sin O / = sin b və = cos b funksialarının qrafikləri uğun olaraq = sin və = cos funksialarının qrafiklərinin b > olduqda ordinat ouna sıılması ilə, 0 < b < olduqda isə ordinat oundan dartılması ilə alınır. b < 0 olan hal isə sinus funksiasının tək, kosinus funksiasının cüt olması nəzərə alınmaqla uarıdakı hala gətirilir. Çap üçün deil 8

129 = sin və = cos funksialarının qrafiklərinin çevrilmələri b = a sin b ( = a cos b) funksiasının qrafiki = sin ( = cos ) funksiasının qrafikinin koordinat oları bounca ardıcıl dartılması və a sıılması ilə alınan sinusoid olur. a-nın qiməti böüdükcə amplitud artır, kiçildikcə amplitud azalır. b-nin qiməti böüdükcə funksianın dövrü kiçilir, kiçildikcə isə dövrü böüür.g Nümunə. = cos funksiasının qrafikini qurun.. = cos funksiasının qrafiki ordinat oundan dəfə dartılmaqla = cos funksiasının qrafiki qurulur.. Alınmış qrafik absis oundan dəfə dartılır. = cos = cos = cos O / Örənmə tapşırıqları = sin funksiasının qrafikini: a) absis oundan dəfə dartdıqda; b) absis ouna dəfə sıdıqda; c) ordinat oundan dəfə dartdıqda hansı funksianın qrafiki alınar? Funksiaların hər birinin = sin funksiasının qrafikinə nəzərən çevrilməsini sözlə azın. a) = 5 sin b) = sin c) = sin d) = sin 5 Funksiaların hər birinin = cos funksiasının qrafikinə nəzərən çevrilməsini sözlə azın. a) = cos b) = cos c) = cos d) = cos = sin funksiasının [0; ] parçasında qrafikini beş əsas nöqtəə görə qurun. Koordinat olarından dartılmada (sıılmada) bu beş nöqtənin çevrildii nöqtələrə görə uğun funksianın qrafikini təsvir edin. a) = sin b) = sin c) = sin d) = sin = cos funksiasının [0; ] parçasında qrafikini beş əsas nöqtəə görə qurun. Koordinat olarından dartılmada (sıılmada) bu beş nöqtənin çevrildii nöqtələrə görə uğun funksianın qrafikini təsvir edin. a) = cos b) = cos c) = cos d) = cos Çap üçün deil 9

130 Araşdırma. Başlanğıc anda A(a; 0) nöqtəsində olan N(; ) maddi nöqtə radiusu a olan çevrə üzrə bucaq sürəti ilə hərəkət edir. = t A(a; 0) ) Bu nöqtənin koordinatlarını t zamanından asılı ifadə edin. ) Nöqtənin ordinatının və absisinin ən böük və ən kiçik qimətlərini tapın. ) Zamanın bir-birindən qədər fərqli anlarında nöqtənin eni vəziətdə olduğunu əsaslandırın. = asin b, = acos b funksiasının dövrü və amplitudu = sin və = cos funksialarının qrafiklərinin çevrilmələri Teorem: = f() funksiası əsas dövrü T olan dövri funksiadırsa, = a f(b) T funksiası əsas dövrü olan dövri funksiadır (burada a və b sıfırdan b fərqli həqiqi ədədlərdir). Buradan alınır ki, = a sin b (və = a cosb) funksialarının əsas dövrü olur. Doğrudan da, b f() = a sin b = a sin(b + ) = a sin b( + b ) = f( + b ) g() = a cos b = a cos(b + ) = a cos b( + b ) = g( + b ) a amplitudu göstərir. Amplitud maksimum və minimum qimətlərin fərqinin arısına bərabərdir. Nümunə. = sin funksiasının amplitudu və a, əsas dövrü = -dir. Verilən funksiaların amplitudunu və dövrünü tapın. d) = cos e) = sin f) = cos g) = 5 cos h) = sin i) = sin 0 a) b) c) 0,8 - -0,8 ) Amplitud və dövrü verilən = a sin b funksiasının düsturunu azın (burada a > 0, b > 0). a) Amplitudu: b) Amplitudu: c) Amplitudu: Dövrü: π Dövrü: π Dövrü: π Çap üçün deil

131 ) Amplitud və dövrü verilən = a cos b funksiasının düsturunu azın (burada a > 0, b > 0). a) Amplitudu: b) Amplitudu: c) Amplitudu: 5 Dövrü: 5π Dövrü: π Dövrü: 8. Verilən qrafikə uğun funksianın düsturunu = a sin b şəklində azın. 9. = sin və = cos funksialarının qrafiklərinin çevrilmələri a) b) c) Verilən qrafikə uğun funksianın düsturunu = a cos b şəklində azın. a) 0, ,8 b) c) 0, , 8 0. Verilmiş f() və g() funksialarının əsas dövrlərini müəən edin. Onların ortaq dövrünü tapın. a) f() = sin, b) f() = sin, c) f() = sin, g() = cos g() = cos g() = cos 5 Göstəriş: Verilən funksiaların dövrləri T və T, ortaq dövrləri T olarsa, T = nt = nt bərabərliini ödəən ən kiçik natural m və n ədədlərini tapın. Tətbiq tapşırıqları. = sin və = cos funksiaları ilə modelləşdirmə. Fizika. Şəkildə adan asılmış cismin hərəkəti təsvir edil mişdir. Cisim sükunətdə ol duqda sistem tarazlıqdadır. Cismin sükunət halı hərə kətin başlanğıcı olaraq qəbul edilir. a hərəkət başlanğıcından erdəişməni göstərir. Vahid zaman dakı dövrlərin saı tezlik (), cismin tam bir rəqsə sərf etdii zaman rəqsin dövrü, a periodu (T) adlanır. Tezlik və period a t qarşılıqlı tərs kəmiətlərdir: = T Cismin rəqsi hərəkətini = a cos kt funksiası ilə modelləşdirmək olar. Burada aın tarazlıq vəziətindən şaquli erdəişməsini (sm-lə), a başlanğıc erdəişməni, k sabiti aın elastiklik əmsalını, t isə zamanı (saniə ilə) göstərir. a = 0,5 sm və k = 5 olarsa, rəqsi hərəkətin amplitudunu, periodunu və tezliini tapın. Çap üçün deil

132 = sin və = cos funksialarının qrafiklərinin çevrilmələri. Karuselin hərəkəti. Karuselin hər hansı kabinəsində oturmuş olsanız, sizin erdən olan məsafəniz zamandan asılı olaraq periodik dəişəcək. Karuselin ou ilə eni səviədən hərəkətə başlandığını qəbul edək. Karuselin diametri 0 m-dir və dəqiqədə dəfə dövr edir. a) Absis ou üzərində zamanı (saniə ilə), ordinat ou üzərində başlanğıc nöqtədən olan məsafəni qəbul etməklə karuselin hərəkət qrafikini çəkin. b) Karuselin hərəkətinə uğun funksianın əsas dövrünü tapın və düsturunu azın. Həlli: Tezlik, əni bir dəqiqədəki dövrlərin saı -dür. Tezliin tərsi olduğundan period dəqiqənin - ü qədər, əni 5 saniədir. Karuselin kabinəsi başlanğıc vəziətdən 0 : = 0 m uarıda (0) və aşağıda ( 0) olacaq. Bu hərəkətin qrafikinin periodu 5 saniə olan sinusoid olduğunu görərik. h Funksianın düsturunu = a sin b şəklində azaq. 0 0 t T = = 5 b = Amplitud: 0 b b 5 Funksianın düsturu h = 0 sin t kimi olacaq. 5 Rəqqasın hərəkətini d = cos 8t düsturu ilə modelləşdir - mək olar. Burada, d rəqqasın başlanğıc vəziətindən məsafəsini (santimetrlə), t zamanı (saniələrlə) göstərir. Rəqqas başlanğıc vəziətindən ən çou neçə santimetr uzaqlaşır? Rəqsin dövrünü və tezliini tapın. d İnsanın hər ürək döüntüsündə (ürək bir dəfə vurduqda) qanın təziqi ən 60 üksək və ən aşağı qiməti arasında 0 dəişir. Normal qan təziqinin uarı 80 səviəsi tibbdə sistola adlanır və 0 0 mm civə sütunu, aşağı səviəsi isə diastola adlanır və 80 mm civə sütunu səviəsində qəbul edilir. zaman (saniələrlə) 0 0,8,6,, Şəkildəki qrafik bir şəsin qan təziqinin qrafikidir. ) Qrafikə görə periodu (bir ürək döüntüsünə sərf olunan vat) və amplitudu təin edin. ) Bu şəsin bir dəqiqədəki ürək döüntülərinin saını tapın. təziq Çap üçün deil

133 = sin və = cos funksialarının qrafiklərinin çevrilmələri Üfüqi sürüşmə faza. = a sinb( c), = a cosb( c) funksiasında c həddi qrafikin üfüqi sürüşməsini göstərir və faza sürüşməsi adlanır. Nümunə. = cos( ) funksiasının qrafikini qurun. = cos funksiasının qrafikini ordinat oundan dəfə dartmaqla = cos funksiasının qrafiki qurulur. = cos funksiasının qrafikini vahid sağa sürüşdürməklə = cos ( ), əni = cos( ) funksiasının qrafiki alınır. = cos = cos = cos( ) 0 Şaquli sürüşmə. = a sin b + d, = a cos b + d funksialarında d həddi şaquli istiqamətdə sürüşməni göstərir: d > 0 olarsa, funksianın qrafiki uarı, d < 0 olarsa, aşağı sürüşdürülür. Nümunə. = sin funksia sının qrafikini qurun. Həlli: = sin funksiasının qrafikinin = sin = sin funksiasının qrafikinə çevrilmə addımları aşağıdakı kimidir:. Amplitudu dəfə artırılır, = sin qrafiki alınır. =. Bir vahid aşağı sürüşdürülür və orta ətt = sin funksiasının qrafiki alınır. = sin Funksianın qimətlər çoluğu olacaq. = sin funksiasının qrafikinin = düz əttinə nəzərən vahid uarı və aşağı dəişməsi müşahidə edilir. Bu düz əttə orta ətt deilir. maksimum + minimum orta ətt = maksimum = orta ətt + amplitud minimum = orta ətt amplitud orta ətt Çap üçün deil amplitud amplitud

134 = sin və = cos funksialarının qrafiklərinin çevrilmələri amplituda təsir edir Nümunə. = cos( + = a sin b( c) + d əsas dövrə təsir edir ) = cos funksiasının qrafikini ordinat ouna dəfə sımaqla = cos funksiasının qrafiki alınır. şaquli erdəişməə təsir edir üfüqi erdəişməə təsir edir ) + funksiasının qrafikini qurun. 0 = cos = cos ) = cos funksiasının qrafikini vahid sola sürüş - 6 dürməklə = cos ( + ), 6 əni = cos( + ) funksiasının qrafiki qurulur. ) = cos( + ) funksia - sının qrafikini ordinat ou bounca dəfə dartmaqla = cos( + ) funksia - sının qrafiki qurulur. ) = cos( + ) funksia sının qrafikini şaquli istiqamətdə vahid uarı sürüşdürməklə = cos( + ) + funksia sının qrafiki qurulur = cos ( + ) = cos ( + ) = cos Çap üçün deil

135 = sin və = cos funksialarının qrafiklərinin çevrilmələri 5. Funksiaların hər birinin qrafikinin = sin funksiasının qrafikinə nəzərən çevrilməsini sözlə azın. a) = sin( + ) b) = sin ( ) c) = sin( + 60º) 7. Funksiaların maksimum və minimumunu tapın, qimətlər çoluğunu azın. a) = cos( ) + 5 b) = sin c) = cos( + 50º) + 8. Hansı qrafikin hansı funksiaa aid olduğunu müəən edin. ) = + sin( + ) ) = cos( + ) 5) = sin( + ) ) = + cos ) = + cos ( + ) 6) = + sin 6. Funksiaların hər birinin qrafikinin = cos funksiasının qrafikinə nəzərən çevrilməsini sözlə azın a) = cos( ) b) = cos( + ) - a) b) c) d) e) f) 9. Verilənlərə görə funksianın düsturunu = a sin b( c) + d şəklində azın. π a) amplitud, dövrü π, faza sürüşməsi vahid sağa, şaquli erdəişmə 6 vahid aşağı. π b) amplitud 0,5, dövrü π, faza sürüşməsi vahid sola, şaquli erdəişmə vahid uarı. 0. Funksianın qrafikini sematik təsvir edin. π π π a) = sin( ) b) = cos( + ) + c) = sin( + ) + 6. Nərgiz karuseldə. Qrafik Nərgizin karuseldə olarkən erdən hündürlüünün (metrlə) zamandan (saniə ilə) asılılığını əks etdirir. 6 ) Təsvir olunmuş funksianın 0 dövrünü tapın. Bu nəi ifadə edir? zaman ) Bu fuksianın qimətlər çoluğunu azın. ) Nərgiz -0 saniə intervalının hansı anında m hündürlükdə olacaq? hündürlük (m) 5 6 c) = cos( 5º) + Çap üçün deil 6

136 Beş əsas nöqtəsinə görə sinusoidin qurulması Hərəkət və oşarlıq çevrilmələrində ərinin forması salanılır. Ona görə də ancaq sinusun qrafiki deil, eni zamanda olar bounca sıılmanın (dartılmanın) və ardıcıl hərəkətin köməi ilə alınan əri də sinusoid adlanır. = asin b və = acosb şəklində funksiaların assələrinin sinusun (aud kosinusun) assələrinə analoji olması belə funksiaların tədqiqini asanlaşdırır. Başlıcası onların dövrünün və qimətlərinin 0 və a ±a-a bərabər olduğu nöqtələrin tapılmasıdır. = asin b və = acosb funksialarının [0; ] intervalında qra fikini -in b 5 mühüm nöqtədəki qimətinə görə aşağıdakı addımlarla qurmaq olar:. Qrafikin amplitudu müəən edilir.. Funksianın əsas dövrü müəən edilir. = T b. [0; T] parçası bərabər hissəə bölünür: 0, ; ; ; T.. Beş mühüm nöqtə - ou ilə kəsişmə nöqtələri, maksimum və minimum nöqtələridir. -in qed edilmiş qimətlərində -in qimətləri hesablanır. 5. (; ) nöqtələri (5 nöqtə) koordinat müstəvisi üzərində qed edilir. 6. Bu nöqtələr birləşdirilir. Alınan sinusoidal əri uğun funksianın bir tam dövrdəki qrafikidir. Bu qrafiki təkrarlamaqla istənilən parçada verilmiş funksianın qrafikini qurmaq olar. Nümunə. = cos funksiasının qrafikini 5 əsas nöqtəə görə qurun. Həlli: Amplitud: a = Əsas dövr: T = ; b = T = : = b ou üzərində uzunluğu bir tam dövrə bərabər olan parçanı dörd bərabər hissəə bölək. Tam dövrün -i = olduğundan = 0 nöqtəsindən başlamaqla qədər sağda dövrün -nə uğun = nöqtəsini, sonra dövrün -nə uğun = nöqtəsini, daha sonra dövrün -nə uğun = və nəhaət tam dövrə uğun 5 = nöqtələrini qed edək. = 0 6 T T T = = = 5 = Çap üçün deil

137 Beş əsas nöqtəsinə görə sinusoidin qurulması -in qed olunan qimətlərinə uğun = cos funksiasının qimətlərini hesablaaq:. = 0 = (0;) maksimum nöqtəsi. = = cos = cos = 0 ( ;0) absis ou ilə kəsişmə nöqtəsi = cos = cos = ( ; ) minimum nöqtəsi. = = cos = 0 ( ; 0) absis ou ilə kəsişmə nöqtəsi 5. = = cos = cos = ( ; ) maksimum nöqtəsi Bu nöqtələri koordinat müstəvisində qed edib, səlis ətt ilə birləşdirsək, = cos funksiasının [0; ] parçasında qrafikini qururuq. Bu qrafiki absis ou bounca n (n Z) qədər sürüşdürməklə = cos funk - siasının bütün ədəd ounda qrafiki alınır (şəkildə punktirlə göstərilmişdir).. = 0 Nümunə. = sin funksiasının qrafikini qurun. Həlli: Amplitud: a =, -in qiməti və arasında dəişəcək. Əsas dövr: T =, b = ; T = b -in [0; ] parçasını (bir dövrü) bərabər hissəə bölən qimətlərində funksianın uğun qimətlərini tapaq və bunun əsasında qrafiki quraq.. = sin kəsişmə 0 0 maksimum kəsişmə 0 minimum kəsişmə Çap üçün deil

138 Beş əsas nöqtəsinə görə sinusoidin qurulması π Nümunə. = sin ( ) + funksiasının tam dövrünə uğun başlanğıc π və son nöqtələrini tapmaq üçün 0 ( ) bərabərsizlii həll edilir: π π π 0 π Burada başlanğıc nöqtə olmaqla, həm də fazanı göstərir. 6 = sin ( ) + π π [ ; ] parçasını bərabər hissəə bölməklə 5 əsas nöqtəni müəən etmək lazımdır. Verilən funksi anın 5 əsas nöqtəsi üçün -in qimətləri 7π 5π π π 0 π ; ; ; ; olur. 6 π π -in bu qimətlərini = sin ( ) + düsturunda nəzərə almaqla ( ; ) 7π 5π π π ( ; 5) ( ; ) ( ; ) ( ; ) nöqtələri müəən edilir və 6 funksianın qrafiki qurulur. π = sin ( ) + funksiasının: π amplitudu: a =, dövrü:, faza sürüşməsi:, orta ətti: d =, maksimum qiməti: d + a = + =5, minimum qiməti: d a = =, təin oblastı: həqiqi ədədlər çoluğu ( R), qimətlər çoluğu: 5 Örənmə tapşırıqları. f() və g() funksialarının qrafiklərini nümunəə uğun qimətlər cədvəli tərtib etməklə eni koordinat müstəvisində qurun. a) f() = sin və g() = sin b) f () = sin ; g() = sin c) f () = cos ; g() = cos Funksialar f() = sin g() = sin d) f () = cos ; g() = ou ilə cos (0; 0) (0; 0) kəsişmə Maksimum ( ; ) ( ; ) g() = sin f() = sin ou ilə (; 0) (; 0) kəsişmə Minimum ( ; ) ( ; ) ou ilə (; 0) (; 0) kəsişmə Çap üçün deil 8

139 Beş əsas nöqtəsinə görə sinusoidin qurulması. Əsas dövrü T: a) ; b) ; c) ; d) olan = sin b funksiası üçün b-nin qimətini tapın. Uzunluğu dövrə bərabər olan [0; T] parçasını bərabər intervala bölün və -in bu qimətlərində -in uğun qimətlərini hesablaın.. a) = sin funksiasının [0; ] intervalında erləşən 5 əsas nöqtəsinin koordinatlarını azın. b) = sin funksiasının [0; ] parçasında qrafikini 5 əsas nöqtəə görə qurun, artma və azalma aralıqlarını göstərin.. Funksiaların qrafikini uzunluğu bir dövrə bərabər olan parçada 5 əsas nöqtəsini müəən etməklə qurun. a) = sin b) = 5 sin Verilən funksiaların dövrünü radian və dərəcə ilə azın. Qrafiklərini uzunluğu bir dövrə bərabər olan parçada 5 əsas nöqtəə görə qurun. a) = sin b) = sin c) = cos d) = cos f() və g() funksialarının qrafiklərini eni koordinat müstəvisində 5 əsas nöqtəə görə qurun. ) f() = sin ) f() = sin ) f() = cos g() = sin g() = sin g() = cos ) Verilən amplitud və perioda görə funksianın düsturunu = a sin b şəklində azın və qrafikini 5 əsas nöqtəə görə qurun. a) amplitud =,5; dövr = 6 b) amplitud = ; dövr = ) Verilən amplitud və perioda görə funksianın düsturunu = a cos b şəklində azın və qrafikini 5 əsas nöqtəə görə qurun. a) amplitud = 5; dövr = b) amplitud = ; dövr = Açıq tipli sual. Dövrü, amplitudu,5 olan bir sinus və bir kosinus funksiası azın. 9. Funksianın dövrünü, amplitudunu müəən edin. Uzunluğu dövrə bərabər olan parçada qrafikini 5 əsas nöqtəə görə qurun. a) = sin( + ) b) = cos( ) + 9 c) = cos d) = sin Çap üçün deil

140 Beş əsas nöqtəsinə görə sinusoidin qurulması 0... Funksiaların qrafikinə görə əsas dövrünü və amplitudunu müəən edərək, düsturunu = a sin b və = a cos b şəklində azın. Nümunə. A qrafiki: Əvvəlcə amplitudu müəən edək. A ən böük qiməti, ən kiçik qiməti oldu - B ğundan, a = = Dövrü -dir. 0 T = olduğundan, = ; b = b b A qrafiki sinus funksiasının qrafikinə uğundur, burada amplitudun a = və b = olduğunu nəzərə alsaq, = sin olar. B qrafiki: analoji qada ilə amplitudun a = 0,5, əsas dövrün və = bərabərliindən b = olduğunu tapırıq. b Qrafik kosinus funksiasının qrafikinə uğundur. Funksianın düsturu () = 0,5 cos şəklindədir. a) b) 6 c) d) Funksiaların qrafiklərini qurun. ) = + sin ) = 5 cos ) = + cos 5 5 ) = cos( + ) 5) = sin( + ) 6) = sin( ) 7) = 5 cos( ) 8) = sin( ) 9) = + cos( + ) 0 Verilən qrafikə uğun funksianın düsturunu = a cos(b + c) şəklində azın. Funksianın qrafikini ounun müsbət istiqamətində daha bir dövr davam etdirməə imkan verən 5 nöqtənin koordinatlarını azın. 6 5 Çap üçün deil 8

141 Triqonometrik funksialar və periodik hadisələr Təbiətdə, real həati situasialarda çolu sada periodik dəişən hadisələrə rast gəlinir. Yer kürəsinin fırlanması, fəsillərin dəişməsi, insanın nəfəs alması, ürək döünməsi və s. Həmçinin bir ço fiziki hadisələrin (elektrik hadisələri, optika, rəqsi hərəkətlər və s.) tədqiqində dövri funksialardan istifadə edilir. Ən sadə rəqsi hərəkət olan harmonik rəqslər = a sin(b + c) və a = a cos(b + c) şəklində tri - qonometrik funksialarla ifadə edilir. Nümunə. Biologia. Bioloqlar hevanların, quşların çoalmasını araşdırmaq üçün triqonometrik funksialarla modelləşdirir, müəən proqnozlar verirlər. Alimlər eni regionda baquşların və siçanların çoalmasını araşdırmışlar. Onların tədqiqatları əsasında baquşların zamandan (alarla) asılı saını t t B(t) = sin ( ), siçanların saını S(t) = cos ( ) funksiası ilə modelləşdirmək olar. Bu funksiaların qrafiklərinə görə baquşların və onların emi olan siçanların saının dəişməsi haqqında fikir ürütmək mümkündür. a) Hər iki funksianın qrafikini qurun. b) Baquşların və siçanların saının dəişməsi haqqında fikir ürüdün. c) Baquşların saının siçanların saına nisbətinin dəişməsini zamana görə araşdırın. d) Siçanların həatı üçün ən az təhlükəli olan hansı vatlardır? t Həlli: B(t) = sin ( ) Baquşların saına uğun funksianın maksimumu 00, minimumu 900-dür. Amplitudu: 00 Şaquli sürüşmə: c = 000 (ilkin saı) Orta ətt = 000 Dövrü: b = olduğundan : = b Deməli, əsas dövr adır. t S(t) = cos ( ) Siçanların saına uğun funksianın maksimumu 000, minimumu dir. Amplitudu: 000 Şaquli sürüşmə: c = 0000 vahid (ilkin saı) Orta ətt = 0000 Əsas dövrü: b = olduğundan : = b Deməli, bu funksianın da əsas dövrü adır. Çap üçün deil

142 Triqonometrik funksialar və periodik hadisələr Qrafiklər eni miqasla qurulduğundan onları Baquşların çoalması müqaisə etmək olar. Bu müqaisə göstərir ki, B(t) 00 baquşların saı artdıqda siçanların saı azalır və baquşlara em olan siçanların saı minimum 00 qimətə aınlaşır. Siçanların saı baquşların saı azaldıqda artmağa başlaır t c) Cədvəldə hər 6 ada baquşların saının siçanların saına olan nisbəti verilmişdir. Zaman (alar) Vat Baquş Siçan Nisbət 6000 m(t) Siçanların çoalması , , , , ,0 000 t Zaman (alar) Bu nisbət müəən qanunauğunluqla dəişməlidir. Qanunauğunluğu görmək üçün qrafkalkulatorda nisbətə uğun funksianın qrafikini aşağıdakı qada ilə quraq. t Qrafkalkulatora B(t) = sin ( ) funksiasını, = / t S(t) = cos ( ) funksiasını kimi dail etməklə = funk si asının qrafi kini quraq. =, 708 =, Göründüü kimi, bu halda iki dövrü funksianın nisbəti də dövrü funksia olur. Tətbiq tapşırıqları. Hava proqnozu. Cədvəldə verilmiş məlumat alıq orta temperaturu göstərir. Yanvar aını t =, fevral aını t = və s. qəbul etməklə aları üfüqi, temperaturu isə şaquli o üzərində qed edərək cədvələ uğun qrafik qurun. Temperatur dəişməsini triqonometrik funksia ilə modelləşdirin. Alar Orta tempe - ratur (ºC) Yanvar Fevral Mart Aprel Ma Iun Iul Avqust Sentabr Oktabr Noabr Dekabr,8,7 6,8, 9, 5, 7, 5, 9,, 6,7,6 Çap üçün deil Baquşların saı Siçanların saı

143 Triqonometrik funksialar və periodik hadisələr. Sağlamlıq. P = 00 0 cos 5t funksiası ilə sakit daanmış şəsin t (saniə) zamanındakı qan təziqini müəən etmək olar. a) funksianın periodunu müəən edin. b) şəsin dəqiqədəki ürək döüntülərinin saını müəən edin.. Karusel erdən 0 m hündürlükdəki o ətrafında hər 60 saniədə bir dövrə vurur. Sərnişinlər Hündürlük karuselə kabinələr ən aşağıda, erdən m hündürlükdə olduqda minirlər. Şəkildəki qrafik karuselin ilk 50 saniədəki hərəkətini təsvir edir. 0 Zaman a) Karusel hərəkətə başladıqda ən aşağıda erləşən kabinənin istənilən anda erdən olan hündürlüünü müəən edən funksianın düsturunu azın. b) Günel karusel hərəkətə başlaanda ən aşağıdakı kabinədə idi. Hərəkətin,5 dəqiqəsində Günelin erdən təqribən hansı hündürlükdə olduğunu müəən edin.. Biologia. Dovşanların D(t) və çaqqalların Ç(t) saını göstərən riazi modellər: t D(t) = cos t Ç(t) = sin kimidir. Hər iki funksianın qrafikini eni koordinat sistemində qurun və şəkildə göstərilmiş şərti diaqramı qrafik üzərində təqdim edin. 5. Velosipedin gecə düz olda hərəkəti video-qedə alınmışdır. Velosipedin təkərinin üzərində olan işığın mütəlif vatlarda erdən olan hündürlükləri videodan ölçülmüş və cədvəl tərtib edilmişdir. Zaman (t san) 0, 0, 0, 0, 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Hündürlük (H sm) a) Funksianın bir dövrə uğun qrafikini qurun. b) H-ın t-dən asılılığını triqonometrik funksia ilə modelləşdirin. c) Velosipedin təkərinin diametrini tapın. d) Velosiped hansı sürətlə hərəkət edib? Çap üçün deil

144 = tg və = ctg funksialarının qrafikləri Araşdırma. Bucağın tangensinin dəişməsi. ) Damalı vərəqdə koordinat müstəvisi və mərkəzi koordinat başlanğıcında olan vahid radiuslu çevrə çəkin. Çevrəə (;0) nöqtəsində tounan çəkin. ) dönmə bucağının son tərəfinin bu tounanla kəsişmə nöqtəsini K ilə qed edin. OAK-dan tg = AK OA = AK = AK İti dönmə bucağı üçün tg qimətcə AK parçasının uzun - luğuna bərabərdir. ) 5º-li bucağın son tərəfi tounanla hansı nöqtədə kəsişir? ) Transportirin köməilə mütəlif ölçülü daha bir neçə bucaq çəkin və onların tounanla kəsişmə nöqtələrinin ordinatını tapın. 5) bucağı 90º-ə aınlaşdıqca, K nöqtəsinin ordinatı necə dəişir? = 90º olduqda bucağın son tərəfi tounanla kəsişərmi? 6) Dövrü T olan funksianı araşdırmaq üçün uzunluğu T olan intervalda onun dəişməsini örənmək kifaətdir. tg -nin dəişməsini hansı aralıqda örənmək məqsədəuğun olardı? 7) tg = 90º və = 90º olduqda təin olunmaıb. ( 90º; 90º) aralığında təin olunmuşdur. Cədvəli doldurun və tangens funksiasının qrafikini qurun. Bucağın ölçüsü tounan üzərindəki nöqtənin ordinatı 8) = tg funksiasının qrafikini qrafkalkulatorla da qurun. = tg funksiası bucağının tangensinin qiməti koordinat başlanğıcı və vahid çevrə üzərində erləşən (cos ; sin ) nöqtələrindən keçən düz əttin bucaq əmsalının qimətidir. P(cos ; sin) Q(; tg ) Şəkildən göründüü kimi tounanın AQ parçasının uzunluğu Q nöqtəsinin ordinatının qimətinə A(; 0) 0 bərabərdir. Q nöqtəsinin koordinatları (; tg ) kimidir. AQ düz əttinə tangenslər ətti deilir. tg 0 = 0 olduğundan = tg funksiasının qrafiki koordinat başlanğıcından keçir. dəişəni -dən kiçik qalmaqla ona aınlaşdıqca tg artır və +-a aınlaşır. = şaquli düz əttinə, eləcə də = (k + ) (k Z) düz ətlərinə = tg funksiasının qrafikinin şaquli asimptotları deilir. Çap üçün deil O K A

145 = tg və = ctg funksialarının qrafikləri Vahid radiuslu çevrənin I rübünü və [0; ) aralığını bərabər hissəə bölək və tangenslər ətti üzərində qiməti uğun bucaqların tangensinə bərabər olan parçalar quraq. Tangenslər ətti üzərində alınmış hər bir nöqtədən O ou üzərində absisi uğun bucağın qimətinə bərabər olan nöqtədən qaldırılmış perpendikuları kəsənə qədər O ouna paralellər çəkək. Göstərilən kəsişmə nöqtələrini ardıcıl olaraq səlis ətlə birləşdirsək, [0; ) aralığında = tg funksiasının qrafikini alarıq. tg( ) = tg olduğu üçün, alınmış qrafiki koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrik çevirməklə ( ; ) intervalında tg -in qrafiki qurulur = tg dövrü olan dövri funksiadır. Ona görə qurulmuş qrafiki qədər sağa və sola davam etdirməklə tangensoid adlanan əri alırıq. Funksianın qrafiki kəsilməz əri deil, -in 6 və onun tək misillərinə uğun qimətlərində kə silir. 8 Funksianın maksimumu və minimumu odur. Funksianın qimətlər oblastı bütün həqiqi ədədlər çoluğudur. Funksianın əsas dövrü -ə bərabərdir. Funksianın qrafiki ounu = n, (n Z) nöqtələrində kəsir Funksia + n (n Z) qimətlərində təin olunmamışdır. Bu nöqtələrdən keçən və punktirlə çəkilmiş ətlər qrafikin şaquli asimptotlarıdır. = tg funksiasının təin oblastı + n, (n Z) Funksia iki qonşu asimptotu arasında artandır. Tək funksiadır: tg ( ) = tg Örənmə tapşırıqları.. Tangens funksiasının assələrindən istifadə etməklə hesablaın. 5 a) tg( ) b) tg( ) c) tg( ). = tg funksiasının [ ; ] aralığında qrafikini qurun Çap üçün deil

146 = tg və = ctg funksialarının qrafikləri = ctg funksiası Örənmə tapşırıqları... = ctg funksiasının qrafikini qurmaqdan ötrü ctg = tg( + ) eniliindən istifadə edək. ) = tg tangensoidi absis ou bounca qədər sola sürüşdürülür. ) Alınan əri absis ouna nəzərən simmetrik əks etdirilir. = n olduqda tangensin qiməti sıfıra brabərdir, kotangens funksiası isə -in bu qimətlərində təin olunmamışdır: cos ctg = tg = sin Qrafikdən göründüü kimi, tangens və kotangens funksialarının qrafiklərinin ou ilə kəsişmə nöqtələri (sıfırları) və asimptotları erini dəişmişdir. Əsas assələri: Əsas dövrü -dir. Təin oblastı n-dən (n istənilən tam ədəddir) fərqli bütün həqiqi ədədlər çoluğudur. Qimətlər oblastı bütün həqiqi ədədlər çoluğudur. İki asimptotu arasında azalan funksiadır. Tək funksiadır. ctg ( ) = ctg Apardığınız araşdırmaa görə aşağıdakı suallara cavab verin. a) α = 90 və α = 90 olduqda tangens funksiası təin olunmamışdır. Bu qrafikdə özünü necə göstərir? b)tangens funksiasının dövrü neçə radian və a neçə dərəcədir? tg -nı və bucağının dərəcə ölçüsünü tapın. Q(; ) 6 = ctg = tg = ctg 0 = tg Q(; ) = ctg 5 a) b) c) d) Q(;) θ θ θ O O O = ctg θ O = tg Q(;) Çap üçün deil

147 = tg və = ctg funksialarının qrafikləri 5. tg funksiasının qrafikinə görə onun tələb olunan qimətlərini tapın. 7 5 a) tg b) tg c) tg( ) d) tg 0 e) tg f) tg 6. Funksiaların qrafiklərini tələb olunan aralıqda qurun. a) = tg 90 < < 90 c) = tg 90 < < 70 b) = tg < < d) = tg 7. a) α = olduqda tg α 7,6 olduğunu bilərək və tangens funksiasının əsas dövründən istifadə edərək, bu qimətə uğun bucağın daha qimətini azın. b) α =,5 olduqda tg α olduğunu bilərək və tangens funksiasının əsas dövründən istifadə edərək, bu qimətə uğun bucağın daha qimətini azın. c) aralığında -in elə iki qimətini azın ki, bu qimətlərdə = tg funksiası təin olunmasın. 8. = tg funksiasının qrafiki -in 90º-ə aınlaşdığı hissədə sanki şaquli düz ətt formasını alır. Aşağıdakı cədvəllərdə tangensin verilən bucaqlara uğun qimətlərini kalkulatorla hesablaın. bucağı 90º-ə aınlaşdıqca tangensin qiməti necə dəişir? 90º-dən uzaqlaşdıqda necə dəişir? tg tg 89,5º 90,5º 89,9º 90,0º 89,999º 90,000º 89,999999º 90,00000º 9. Hər bir funksianın aralığında: a) sıfırlarını; b) şaquli asimptotlarını tapın. ) = tg ) = ctg 0. aralığında -in elə üç qimətini azın ki, bu qimətlərdə a) kotangens; b) tangens funksiası təin olunmasın.. = tg, = ctg funksialarının qrafiklərini qurun və bu qrafiklərə görə onların tək və a cüt olduqlarını izah edin. Bu fikri cəbri azılışlarla da göstərin Çap üçün deil θ

148 = tg və = ctg funksialarının qrafikləri = a tg b funksiasının qrafiki a və b sıfırdan fərqli həqiqi ədədlər olduqda = a tgb funksiasının qrafikini qurmaq üçün aşağıdakı əsas göstəriciləri müəən etmək lazımdır:. Dövrü:. Məsələn, = tg funksiasının əsas dövrü -dür. b. Şaquli asimptotları: = (n + ), n Z düz ətləridir. b Məsələn, = tg funksiasının şaquli asimptotları n = (n+) = +, n Z düz ətləridir. 6. ou ilə kəsişmə nöqtəsi ilə asimptot arasındakı parçanın orta nöqtəsi müəən edilir. Bu nöqtədə -in qiməti a a, a da a-a bərabər olur. Nümunə. = tg funksiasının qrafikini qurun. Həlli: Period: T=, b = olduğundan b T = Absis ou ilə kəsişmə nöqtəsi: (0; 0) 8 Parçanın orta nöqtəsi Koordinat başlanğıcına ən aın asimptotları: - - =, əni = və =, əni = Period Orta nöqtələr : = (0 + ) : =, = ( + 0) : = və qrafik 8 8 üzərində bunlara uğun nöqtələr ( ; ), ( ; ). 8 8 Nümunə. = tg ( ) funksiasının bir dövrdəki qrafikini qurun. Həlli: tg funksiasının bir dövründə -in qimətləri < < kimidir. tg ( ) funksiasının bir dövrünə uğun aralığı < ( ) < bərabərsizliini həll etməklə tapaq: < < + < < + < < Asimptotlar və nöqtələrindən keçən şaquli ətlərdir. (0; ) və ( ;) qimət lərini nəzərə almaqla, qrafiki sematik olaraq quraq. Çap üçün deil

149 = tg və = ctg funksialarının qrafikləri... Funksiaların asimptotlarını, sıfırlarını və orta nöqtələri tapın. a) = tg b) = tg c) = tg Funksiaların qrafiklərini qurun. = tg ( ) = tg ( + ) = tg ( ) = tg ( + ) 6 Hansı qrafik hansı funksiaa aiddir? ) ) ) a) = ctg b) = ctg ( + ) c) = ctg 5. Nərdivan divardan m aralıdan döşəmə ilə α bucağı əmələ gətirməklə divara sökədilmişdir. Nərdivan divarın h m hündürlüünə çatır. a) h ilə α bucağı arasındakı münasibəti tangens funksiasının köməilə azın. b) Funksianın qrafikini 0 α 70 intervalında qurun. c) α bucağının böüməsi ilə h hündürlüü necə dəişir? d) α = 90 olduqda nə baş verir? 6. Hasarı müşahidə altında salaan təhlükəsizlik kamerası hasarın arısında götürülmüş d təhlükəsizlik nöqtədən 5 m məsafədə quraşdırılmışdır. Kameranın fırlanaraq bir tam dövrə vurması 60 kamerası saniə çəkir. 5 m a) Kameranın hasarın ortasından başlaaraq hasar bou izlədii d uzunluğunun zamandan hasarın arısını asılılıq funksiasını tangens funksiası ilə hasar göstərən nöqtə ifadə edin. Kameranın hasarın orta nöqtəsini izlədii vatı başlanğıc, t = 0 qəbul edin. Göstəriş: Kamera bir tam dövrdə 60 dönür. Bir saniədə neçə dərəcə döndüünü tapın. b) Bu funksianın 5 < t < 5 intervalında qrafikini qurun. c) t = 0 san olduqda hasarın hansı hissəsi izlənmiş olacaq? d) t = 5 olduqda nə baş verəcək? Çap üçün deil 9

150 Tərs triqonometrik funksialar Absis ouna paralel düz ətt sinusoidi sonsuz sada nöqtədə kəsir. Bu o deməkdir ki, bütün ədəd ounda = sin funksiasının tərsi odur. Lakin [ ; ] parçasında = sin artandır və -dən -ə kimi bütün qimətləri alır, həm də hər bir qimətini arqumentin alnız bir qimətində alır. Deməli, [ ; ] parçasında sin funksiası dönəndir və a olduqda sin = a tənliinin [ ; ] parçasında eganə kökü var. [ ; ] aralığından götürülən və sinusu a-a bərabər olan bucağa a ədədinin arksinusu deilir, arcsin a kimi işarə edilir. = arcsin a bərabərlii iki şərtə ekvivalentdir: ) ) sin = a Nümunələr. arcsin =, çünki sin = və [ ; ] arcsin( ) =, çünki sin( ) = və [ ; ] Tərifdən adındır ki, sin(arcsin a) = a Göstərmək olar ki, arcsin( a) = arcsin a Arksinusun köməi ilə [ ; ] parçasında təin olunan və qimətlər çoluğu [ ; ] olan funksia təin etmək olar. Bu funksia = arcsin kimi işarə edilir. = arcsin = arcsin funksiası = sin kimi də işarə edilir. = = sin funksiasının [ ; ] aralığındakı qrafikini = düz əttinə nəzərən simmetrik = sin çevirməklə = arcsin funksiasının qrafiki alınır. o = arcsin funksiasının təin oblastı [ ; ], qimətlər çoluğu [ ; ] olur. Oşar qada ilə göstərilir ki, bütün ədəd ounda = cos funksiasının tərsi odur. Lakin [0; ] parçasında = cos azalandır və [ ; ] parçasına dail olan bütün qimətləri alır. Yəni, [0; ] parçasında = cos funksiası dönəndir və a olduqda cos = a tənliinin [0; ] parçasında eganə kökü var. [0;] parçasından götürülən və kosinusu a-a = cos bərabər olan bucağa a ədədinin arkkosinusu a deilir, arccos a kimi işarə edilir. o arccos a = arccos a bərabərlii iki şərtə ekvivalentdir: ) 0 ) cos = a o = sin a o = a arcsin a 6 = sin Çap üçün deil

151 Tərs triqonometrik funksialar Nümunələr. arccos =, çünki cos = və [0; ] arccos( ) =, çünki cos = cos( ) = cos = və [0; ]. Tərifə görə: cos(arccos a) = a Göstərmək olar ki, arccos( a) = arccos a. [ ; ] parçasında təin olunmuş = arccos funksiası [0; ] parçasında təin olunmuş = cos funksiasının tərsidir. = arccos funksiası = cos kimi də azılır. = cos funksiasının [0; ] parçasındakı qrafikini = düz əttinə nəzərən simmetrik çevirməklə = arccos funksiasının qrafiki alınır. = arccos funksiasının təin oblastı [ ; ], qimətlər çoluğu [0; ] kimidir. = arccos o = = cos = tg funksiası ( ; ) aralığında artandır və ( ; +) aralığındakı bütün qimətləri alır. Ona görə də istənilən a ədədi üçün tg = a tənliinin ( ; ) aralığında eganə kökü var. ( ; ) aralığından götürülən və tangensi a-a bərabər olan bucağa a-nın arktangensi deilir, arctg a kimi işarə edilir. arctg a = bərabərlii iki şərtə ekvivalentdir: ) < < ) tg = a Nümunələr. arctg =, çünki tg = və < <. arctg( ) =, çünki tg( ) = və < <. Tərifə görə: tg(arctg a) = a Göstərmək olar ki, arctg( a) = arctg a. = arctg funksiası ( ; ) aralığında = tg funksiasının tərsidir. = tg funksiasının ( ; ) aralığındakı qrafikini = düz əttinə nəzərən simmetrik çevirməklə = arctg funksiasının qrafiki alınır. = və = düz ətləri = arctg funksiasının üfüqi asimptotlarıdır. 5 O a o arctg a = arctg Çap üçün deil

152 Tərs triqonometrik funksialar Oşar qada ilə arkkotangens anlaışı dail edilir. (0; ) aralığından götürülən və kotangensi a-a bərabər olan ədədə a-nın arkkotangensi deilir, arcctg a kimi işarə edilir. arcctg a = bərabərlii iki şərtə ekvivalentdir: ) 0 < < ) ctg = a Nümunələr. arcctg =, çünki ctg = və (0; ) arcctg( ) =, çünki ctg = ctg( ) = cos = və (0; ). Tərifə görə: ctg(arcctg a) = a Göstərmək olar ki, arcctg( a) = arcctg a.. Örənmə tapşırıqları Verilmiş bərabərlii ödəən və verilmiş aralıqda erləşən t bucağını tapın. a) sin t =, [ ; ] b) sin t =, [ ; ] c) cos t =, [0; ] d) cos t =, [0; ] e) tg t =, ( ; ) f) ctg t =, (0; ) 5 = arcctg funksiası (0; ) aralığında = ctg funksiasının tərsidir. = ctg funksiasının (0; ) aralığındakı qrafikini = düz əttinə nəzərən simmetrik çevirməklə = arcctg funksiasının qrafiki alınır. Absis ou və = düz ətti = arcctg funksiasının üfüqi asimptotlarıdır. = arctg funksiasını = tg kimi, = arcctg funksiasını = ctg kimi də işarə edirlər. o a o arcctg a = arcctg Kalkulatorlarda ctg -, sec -, cosec - kimi dümələr nəzərdə tutulmamışdır. Çünki bu funksiaları tg -, cos -, sin - funksialarının köməilə ifadə etmək mümkündür. Məsələn, = sec - isə deməli, sec = və bu funksianı kosinus ilə ifadə edə bilərik. cos = Buradan: = cos - Deməli, biz = sec - hesablamaq üçün = cos - -i hesablamalııq. demək deil Diqqət edin! sin sin cos = Çap üçün deil

153 . İfadənin qimətini radian və dərəcə ilə ifadə edin.. İfadələrin qimətlərini kalkulatorun köməilə hesablaın. Nəticəni üzdəbirlərə qədər uvarlaqlaşdırın.. 9. Tərs triqonometrik funksialar arcsin arcsin arcsin( ) a) tg,9 b) cos 0, c) sin 0, d) sin 0,75 e) sin ( 0,) f) cos ( 0,6) g) tg ( 0,) h) tg,5 Verilənlərə görə bucağını tapın. a) b) c) d) 7 5. İfadənin qimətini tapın. a) arcsin 0 + arcsin b) arccos( ) arccos 0 c) arcsin( ) + arcsin d) arctg( ) + arcctg( ) 6. d) ctg( arcsin ) e) sin( arcsin ) f) cos( arccos ) 8. Verilən münasibətlərə görə bucağını tapın. a) sin =, 90º < < 80º d) tg =, 80º < < 70º arccos arccos 0 arccos( ) Bərabərliklərin doğruluğunu olaın. b) sin =, 80º < < 70º e) tg =, 70º < < 60º c) cos =, 80º < < 70º f) ctg =, 80º < < 70º α bucağının hansı qimətində bərabərlik doğrudur? Kalkulatorun köməilə hesablaın. a) sin = 0,5; 80º < < 70º c) tg =,; 80º < < 70º b) cos = 0,; 70º < < 60º d) sin = 0,8; 90º < < 80º 5 arctg arctg arctg( ) arctg( ) arcctg arcctg arcctg( ) arcctg 0 a) arcsin + arccos = b) arctg + arcctg = 7. Hesablaın. a) cos(arcsin ) b) sin(arccos( )) c) tg( arctg ) Çap üçün deil

154 Tərs triqonometrik funksialar 0. Nümunə. sin( arcsin ) ifadəsinin qimətini tapın. Həlli: arcsin = olsun. Deməli, sin = və [ ; ]. İti bucağının sinusu olan düzbucaqlı üçbucaqda bucağına bitişik kateti tapaq: b = 5 =. 5 Buradan, cos = olur. İşarələməni nəzərə almaqla aza bilərik: sin( arcsin ) = sin = sin cos = =.. İfadənin qimətini tapın. a) sin(arccos ) b) cos(arcsin( )) c) sin( arccos ) d) cos( arccos ) e) cos(arcsin arccos ) f) sin(arccos + arcsin ) Motorlu ouncaq təarə erdən m hündürlükdə uçur. a) Müşahidəçidən təarəə qədər olan məsafənin üksəliş bucağından asılılığını göstərən funksianı azın. b) Müşahidəçi ilə təarə arasındakı məsafə 5 m olduqda bucağı neçə dərəcə olacaq? Müşahidəçi. Böük çalar üzərində körpülər salınarkən böük gəmilərin keçidini təmin etmək üçün onlar elə konstruksia edilir ki, qaldırılıb endirilə bilsin. Çaın üzərində salınmış belə körpünün hər qanadının 0 m 0 m uzunluğu 0 m -dir. Eni 0 m olan hər hansı hündürlükdə gəminin maneəsiz keçməsi üçün körpünün qanadları ən azı neçə dərəcə bucaq 0 m altında qaldırılmalıdır?. Hesablaın. a) arcsin(sin ) b) arccos(cos ) c) arctg(tg ) arcsin(sin ) ifadəsinin qimətini Ənvər və Lalə aşağıdakı kimi hesabladılar. Ənvər: arcsin(sin ) = b Lalə: arcsin(sin ) = arcsin(sin( )) = arcsin(sin ) = Verilən ifadənin qimətini kim doğru tapmışdır? Cavabınızı əsaslandırın. 5. İfadənin qimətini tapın. 7 6 a) arcsin(sin ) b) arccos(cos ) c) arctg(tg ) Çap üçün deil m

155 Ümumiləşdirici tapşırıqlar. Qrafik üzərində qed edilmiş nöqtələr ou ilə kəsişmə nöqtələrini, maksimum və minimum qimətləri göstərir. a) Qrafik = sin funksiasının qrafikinə uğun B F olub, A nöqtəsinin koordinatları (0; 0) olarsa, B, C, D, E, F nöqtələrinin koordinatlarını tapın. C b) Qrafik = cos funksiasının qrafikinə uğun olub, B nöqtəsinin koordinatları (0; ) olarsa, A,C, D, A E E, F nöqtələrinin koordinatlarını tapın. D c) Qrafik = sin funksiasının qrafikinə uğun olub, A nöqtəsinin koor - dinatları (; 0) olarsa, B, C, D, E, F nöqtələrinin koordinatlarını tapın Təin oblastı bütün həqiqi ədədlər çoluğu{ R}, qimətlər çoluğu [ ; ] parçası olmaqla iki mütəlif sinus və kosinus funksiası azın. Funksiaların əsas dövrünü tapın və qrafikini qurun. ) = 6 sin ) = cos ) = ctg ) = tg 0 m aralıda qoulmuş mənbədən binanın üzərinə vurulmuş reklam azısı işıqlandırılır. a) a məsafəsinin θ bucağından asılılığını triqonometrik funksia ilə ifadə edin. b) Cədvəli a-nın qimətlərini ondabirlərə qədər uvarlaqlaşdırmaqla doldurun. c) Cədvəldən göründüü kimi, θ-nın qimətləri bərabər addımlarla artır. a-nın qimətləri a haqqında da bu fikri demək olarmı? d) 0 θ olarsa, mənbə lövhənin ən ço nə qədər hissəsini işıqlandırır? 9 a) Sinusoidin minimumu (8;), maksimumu (0; 68) nöqtəsində er - ləşir. Bu funksianın amplitudunu tapın. b) Bir dövr ərzində sinusoid maksimumu (; ) nöqtəsində, minimumu isə (; ) nöqtəsində alır. Bu funksianın periodunu tapın. c) Uzunluğu dövrə bərabər olan parçada sinusoidin maksimumu (π;7), π minimumu ( ; ) nöqtəsində erləşir. Bu funksianın düsturunu = d +a cos b şəklində azın. Hesablaın. a) sin(arcsin + arccos ) b) ctg(arcsin + arccos ) m Çap üçün deil 8 9 a 6 9

156 Ümumiləşdirici tapşırıqlar 7. Karuselin üzərindəki aşıl işığın fırlanma mərkəzinə görə istənilən anda erdən məsafəsini triqonometrik funksia ilə modelləşdirin. t = 0 olduqda aşıl işığın ən aşağı səviədə olduğunu qəbul edin. Karusel bir tam dövrəni 00 saniəə başa vurur. 0 m m aşıl işıq 8. Suun dərinlii. Cədvəldə gecə arısından günortaa qədər dənizin çimərlik hissəsində suun dərinliinin dəişməsi haqqında məlumat verilmişdir. a) Suun dərinliinin dəişməsini = d + a cos(bt +c) funksiası ilə modelləşdirin. b) Səhər saat 7-dən saat 9-a qədər dərinlik nə qədər dəişmişdir? Vat, t Dərinlik, Gecə arısı, 0:00 9 0:00,9 06: :00, 0:00 0, Günorta, 9. Temperatur dəişməsi. Cənubi Afrika ölkələrinin iqlimi tropik və subtropik iqlimdir. Yer kürəsinin bu hissəsində iun-avqust qış alarıdır. Cədvəldə Cənubi Afrikada erləşən Kep Taun (Cape Town) şəhərində bir il ərzində alar üzrə maksimum temperatur verilmişdir. Alar Yanv. Fev. Mart Apr. Ma Iun Iul Avq. Sent. Okt. Noabr Dek. Temperatur(ºC) Yanvar aını t =, fevralı t = və s., qəbul etməklə aları üfüqi o üzərində, temperaturu isə şaquli o üzərində qed etməklə cədvələ görə qrafik qurulmuşdur. Cədvəli və qrafiki T (ºC) dəftərinizə köçürün. Yanvar aından başla - 0 araq alıq orta temperaturun təminən enə 0 (0; ) adan bir təkrarlanacağını bilərək, bu 0 t (alar) qrafiki növbəti a üçün davam etdirin. 6 anvar 9 anvar 0. Dalğaların qaldırıb- endirməsi nəticəsində gəminin şaquli erdəiş mə sini (metrlə) d = 0,6 sin πt funksiası ilə model ləş dirmək olar. Burada t vatı (saniə ilə) göstərir. Bu funksianın dövrünü və amplitudunu göstərin, qrafikini çəkin.. Açıq tipli sual. Amplitudu azın və qrafikini qurun., periodu olan triqonometrik funksia Çap üçün deil 56

157 6 Çoüzlülər Çoüzlülər Prizmalar Çoüzlülər və onların mütəlif tərəflərdən görünüşləri Prizmanın səthinin sahəsi Prizmanın müstəvi kəsikləri Piramida. Piramidanın an səthinin və tam səthinin sahəsi Piramidanın kəsikləri. Kəsik piramida Çap üçün deil 57

158 Çoüzlülər Məlumdur ki, müstəvilər fəzada mütəlif qarşılıqlı vəziətdə ola bilərlər. Kəsişən müstəvilər. Üç və daha ço sada müstəvinin Kəsişməən bir ortaq nöqtəsi ola bilər. müstəvilər. l A = l = A Müstəvilərin mütəlif qarşılıqlı vəziəti çoüzlülər adlanan fəza fiqurlarını (cisimlərini) aradır. Çoüzlü - səthi sonlu sada müstəvi fiqurlardan - çobucaqlılardan ibarət olan cisimdir. Çoüzlünü hüdudlandıran çobucaqlılara onun üzləri deilir. Çoüzlünün ən azı üzü var. Üzlərin kəsişdii düz ətt parçaları til, tillərin kəsişdii nöqtələr təpə adlanır. Çoüzlünün səthini təşkil edən qonşu çobucaqlılar bir müstəvi üzərində deildir, üç və daha ço üzə aid olan nöqtə təpə nöqtəsidir. Prizma oturacaq adlanan iki üzü paralel və konqruent çobucaqlı, qalan üzləri isə paraleloqram oturacaq olan ço üzlüdür. Piramida oturacağı çobucaqlı, an üzləri isə ortaq təpəli üçbucaqlar olan çoüzlüdür. oturacaq Prizma və piramida oturacaqlarındakı çobucaqlının adı ilə adlandırılır. üçbucaqlı prizma dördbucaqlı prizma 58 beşbucaqlı prizma altıbucaqlı prizma üçbucaqlı dördbucaqlı beşbucaqlı altıbucaqlı piramida piramida piramida piramida Çoüzlülər qabarıq və çökük olmaqla iki növə arılır. Çoüzlü səthindəki hər bir müstəvi çobucaqlının müstəvisinə görə bir tərəfdə erləşərsə, ona qabarıq ço - üzlü deilir. Qabarıq çoüzlünün istənilən iki nöqtəsini birləşdirən parça onun daili oblastına aid olur. A və B qabarıq, C və D fiqurları çökük çoüzlüdür. A. B. C. D. Çap üçün deil

159 Çoüzlülər Bütün üzləri konqruent düzgün çobucaqlılar olan və hər bir təpəsindən eni sada til çıan qabarıq çoüzlüə düzgün çoüzlü deilir. Bu fiqurlara platonik fiqurlar da deilir. Məsələn, kub düzgün çoüzlüdür. Platonik fiqurların tetraedr, kub, oktaedr, dodekaedr, ikosaedr kimi 5 növü var. düzgün tetraedr kub düzgün oktaedr düzgün dodekaedr düzgün ikosaedr hər biri hər biri kvad - bərabərtərəfli rat olan 6 üzü üç bucaq olan var üzü var hər biri bəra - bərtərəfli üç - bucaq olan 8 üzü var hər biri düzgün beşbucaqlı olan üzü var hər biri bəra - bərtərəfli üç - bucaq olan 0 üzü var. Fiqurlardan hansına çoüzlü demək olar? a) b) c) d) e) f) g)... Hər bir çoüzlünün üzlərinin, təpələrinin, tillərinin saını müəən edin. a) b) c) d) Cədvəli dəftərinizdə doldurun. İstənilən çoüzlünün üzlərinin, til - lərinin və təpələrinin saı ara sın - dakı əlaqə Eler düsturu ilə ifadə olunur: F + V E =, burada F (fase) üzlə rin, V (verte) təpə lə rin, E (edges) tillərin saını göstərir. Eler düsturunu olaın. Çoüzlü tetraedr kub oktaedr dodekaedr ikosaedr 59 Üzünün Təpəsi Üzü (F) Tili (E) forması (V) Nə üçün platonik fiqurların alnız 5 növü vardır? Bu suala cavab vermək üçün bir təpədə kəsişən üç çobucaqlının bu təpədəki bucaqlarının cəminin çoüzlünü təşkil edən fiqurların növündən asılı olaraq necə dəişdiinə diqqət edin. Bu cəm ən çou neçə dərəcə ola bilər? Çoüzlünü təşkil edən çobucaqlılar altıbucaqlı olsa, ortaq təpəli bucaqların cəmi neçə dərəcə olar? Çap üçün deil a 0 a 0 a 0

160 Prizmalar Paralel müstəvilər üzərində erləşən və paralel köçürmədə üst-üstə düşən iki konqruent çobucaqlı və bu çobucaqlıların uğun nöqtələrini birləşdirən bütün parçalardan ibarət fiqur prizma adlanır. Çobucaqlılara prizmanın oturacaqları, oturacaqların uğun təpələrini birləşdirən düz ətt parçalarına prizmanın an tilləri deilir. Yan tillərdən keçən müstəvi hissəə prizmanın an üzləri deilir. Pirizmanın an üzləri paraleloqramlardır. Bu paraleloqramların hər birinin iki tərəfi oturacaqların uğun tərəfləri, digər iki tərəfi isə uğun an tillərdir. B A C P D E G F D C h A B A B C D a) ABC A'B'C' Oturacaqları üçbucaq olan düz prizma Yan tilləri oturacaq müstəvisinə perpendikular olan prizmalar düz prizma, perpendikular olmaanlar isə mail prizma adlanır. Düz prizmanın bütün an üzləri düzbucaqlılardan ibarətdir. Oturacağı düzgün çobucaqlı olan düz prizmaa düzgün prizma deilir. Oturacaq Oturacaq Düz prizma P Prizmanın əsas elementləri Yan tillər Yan üzlər E G F b) DEFG D'E'F'G' Oturacaqları dördbucaqlı olan mail prizma 60 Oturacaq Oturacaq D A Yan tillər Mail prizma C B Yan üzlər Prizmanın oturacaqları n-bucaqlıdırsa, ona n-bucaqlı prizma deilir. Oturacağı paraleloqram olan prizmaa paralelepiped deilir. Paralelepipedin qarşı üzləri paralel və konqruentdir. Oturacağı düzbucaqlı olan düz paralelepipedə düzbucaqlı paralelepiped deilir. Şəkildə ABCDA B C D düzbucaqlı paralelepipeddir. Düzbucaqlı paralelepipedin bir təpəsindən çıan tillərinin uzunluqları onun üç ölçüsünü göstərir. A c B C A a B C Çap üçün deil D D b

161 Prizmalar Prizmanın oturacaq müstəviləri arasındakı məsafəə onun hündürlüü deilir. Düz prizmanın an tili onun hündürlüünə bərabərdir. Prizmanın eni üzündə olmaan iki təpəsini birləşdirən düz ətt parçasına onun diaqonalı deilir. hündürlük hündürlük İzometrik nöqtəli vərəqdə 5 ölçüdə düzbucaqlı paralelepipedi verilən addımlarla çəkin. Prizmanın təpəsini - bir nöq - Prizmanın üst otura - təni seçin, bu nöqtədən cağını göstərən para - vahid aşağı, 5 vahid sola, le loqramı çəkin. vahid sağa düz ətt parça - sı çəkin. Paraleloqramın hər bir təpəsindən uzunluğu vahid olan parçalar çəkin. Parçaların uclarını ardıcıl olaraq birləş - dirin. Görün mə ən tilləri qırıq ətlərlə çəkməi unutmaın.... Tələb edilən ölçülərdə paralelepiped çəkin. a) ölçüdə düzbucaqlı paralelepiped Düzgün altıbucaqlı prizmaa görə suallara cavab verin. a) CDE müstəvisinə paralel olan müstəvi hansıdır? b) Hansı müstəvilər A AB müstəvisinə paralel deil? c) Hansı parçalar ABC müstəvisinə perpendikulardır? d) Nə üçün AA və DD parçalarının uzunluqları bir-birinə bərabərdir? e) Çoüzlünün üzlərinin adlarını azın. 6 b) Tilinin uzunluğu 5 vahid olan kub. Şəkildəki prizmanın iki paralel və konqruent üzləri üçbucaqdır və onun 5 üzü, 9 tili, 6 təpəsi var. Üçbucaqlı prizma mütəlif vəziətlərdə erləşə bilər. Bu prizmaların üzünün üçbucaq, üzünün dördbucaqlı olduğuna diqqət edin. İzometrik vərəqdə göstərilən vəziətlərdə üçbucaqlı prizmalar çəkin. A A F B F C Çap üçün deil B C E E D D

162 Prizmalar. Çoüzlünü tilləri bounca kəsib, müstəvi üzərinə sərsək, ço üzlünün açılışını alarıq. Hər bir açılışın hansı prizmaa aid olduğunu müəən edin. Üzlərinin, tillərinin, təpələrinin saını azın. a) b) c) d) e) f) 5. Şəkildə düzgün altıbucaqlı prizmanın açılışı verilib və an üzlər hərflərlə işarələnib. Bu prizmanın hansı üzü F üzünə paraleldir? A B C D E F 6. Düzbucaqlı paralelepipedin 7. Şəkildəki düzbucaqlı paralelepipedin iki qarşı an üzü tərəfləri sm ölçüləri kimidir. Oturacağın AC diaqonalını və paralelepipedin AC diaqonalını tapın. DF-in uzunluğunu tapın. olan kvadratlardır. AE tili 7 sm-dir. A D 8. B A B D C C Şəkildə göstərilən düzbucaqlı paralelepipedə görə B C tapşırıqları erinə etirin. A D a) ABC və EHG üzlərindəki B və H təpələrini birləşdirən F G diaqonalı çəkilmişdir. Digər mümkün diaqonalları çəkin E H və hansı üzlərdəki təpələri birləşdirdiini azın. b) Prizmanın perpendikular olan hər hansı iki üzünü göstərin və cavabınızı mütəlif teoremlərə və a tərifə görə əsaslandırın. 9. Hər bir prizmanın adını, neçə tili, neçə təpəsi, neçə üzü olduğunu azın. Prizmalar üçün Eler düsturunu olaın. a) b) c) d) e) f) g) Çap üçün deil 6 D A C B H E G F

163 Çoüzlülər və onların mütəlif tərəflərdən görünüşləri Kublarla mütəlif konstruksialar quraşdırmaq olar. Bu cür konstruksialar kuboid də adlandırılır. Kuboidlərin mütəlif tərəflərdən görünüşlərinin (planlarının) çəkilməsinin və a əksinə mütəlif görünüşlərin planına görə kuboidlərin quraşdırılması böük praktiki əhəmiət daşıır. Praktik məşğələ. Aşağıda konstruksianın uarıdan, andan və öndən görünüşünə görə fiqur quraşdırılmış və izometrik kağızda şəkli çəkilmişdir. Nümunə olaraq kub konstruksianın uarıdan, öndən və andan görüntüləri verilmişdir. Siz kublardan mütəlif konstruksialar düzəldin. Konstruksia etdiiniz fiqurun mütəlif nöqtələrdən görünüşünü və izometrik vərəqdə təsvirini çəkin. Yuarıdan görünüş Yandan görünüş Öndən görünüş Yuarıdan görünüşdən isti fadə etməklə fiqurun otura cağını quraşdıraq. Yandan görünüşdən istifadə etməklə quraşdırmanı tamamlaaq -ci və -ci cərgə kub hündürlüündədir. Öndən görünüşlə konst - ru k sianın doğrulu ğunu olaaq. Konstruksianın eni vahiddir Oturacaq ölçüləri vahid (kubla) olan düzbu - caqlı formasındadır. -cü cərgə kub Konstruksianın hündürlüü vahiddir hündürlüündədir. Üçölçülü fiqurları təsvir etmək üçün izometrik nöqtəli vərəqlər əlverişlidir. Məsələn, kubun vahidə bərabər tilləri nöqtələr arasındakı vahid məsafəə bərabərdir. Kubun təpələrini qed edib və ardıcıl birləşdirməklə onun üçölçülü görüntüsünü almaq olar. Analoji qada ilə kuboidi təşkil edən bütün kublar çəkilir.. Mütəlif tərəflərdən görünüşlərə görə konstruksiaları kublardan quraşdırın və izometrik nöqtəli vərəqdə təsvirini çəkin. a) b) Çap üçün deil 6

164 Çoüzlülər və onların mütəlif tərəflərdən görünüşləri. Şəkildəki konstruksianın hansı görünüşü: uarıdan, andan, osa öndən görünüşü konsturksianın eni hündürlüklü olmadığını müəən etməə imkan verir? Çəkin, göstərin. ön an. Şəkildə eni tikiləcək binanın təsviri verilmişdir. Binanın uarıdan, andan və öndən görünüşlərini çəkin. Şəkildəki hər vahid reallıqda 5 m-ə uğundur. Yuarıdan görünüşlə binanın neçə kvadrat metr sahəni tutduğunu müəən edin. ön an. Hər bir konstruksiaa görə tapşırıqları erinə etirin. a) Mütəlif tərəflərdən görünüşlərini çəkin b) Rənglənmiş hissənin sahəsini tapın. c) Konstruksianın ən hündür hissəsinin uzunluğu neçə santimetrdir? Fəri kürsü Pilləkən ön ön Yan an vahid = 0, m vahid = 0,5 m 5. Hər bir konstruksianı izometrik nöqtəli vərəqdə çəkin. Konstruksiaların uarıdan, öndən və andan görünüşlərini çəkin. a) c) b) d) 6. Verilən açılış şəkli hansı 7. fiqura aiddir? a) b) c) d) 6 Kubun üç mütəlif görünü - şünə görə qarşı üzlərdə hansı hərflərin olduğunu müəən edin. T T A M I H O O Çap üçün deil M

165 Çoüzlülər və onların mütəlif tərəflərdən görünüşləri 8. İzometrik nöqtəli vərəqdə tələb olunan prizmaları çəkin. Nümunə. a) Hündürlüü vahid, oturacağındakı düzbucaqlı üçbucaqların katetləri vahid və 5 vahid olan düz b) Hündürlüü vahid, eni vahid, uzunluğu 5 vahid olan düzbucaqlı paralelepiped üçbucaqlı prizma. c) Hündürlüü vahid, oturaca - ğın dakı düzbucaqlı üçbucaqların katetləri vahid və 5 vahid olan düz üçbucaqlı prizma. 9. Təbiətdə minerallar mütəlif formalı kristallar şəklində aşkar edilir. Mineralların ametist, kvars, emerald, florid və s. kimi bahalı olmaan növləri ilə anaşı, almaz, aqut, firuzə, sapfir kimi bahalı növləri var. Şəkildə kristallar və onların formasındakı həndəsi fiqurlar verilmişdir. Kristalların uarıdan və andan görünüşlərini çəkin. 0. Çoüzlülərin öndən, andan və üstdən görünüşlərini çəkin. Nümunə. öndən. a) Evin uarıdan, öndən, andan görünüşlərini çəkin. b) Evin damının ölçülərini tapın.. Verilmiş üç ölçüsünə görə düzbucaqlı paralelepipedin diaqonalını tapın. a) 6; 8; b) ; 6; üstdən. Düz paralelepipedin an tili 5 sm, oturacağı isə tərəfləri 6 sm və 8 sm, diaqonallarından biri sm olan paraleloqramdır. Paralelepipedin diaqonallarını tapın.. Hər tili a və oturacağının iti bucağı 60º olan düz paralelepipedin diaqonallarını tapın. 65 6m andan Çap üçün deil 5m 0m

166 Prizmanın səthinin sahəsi Araşdırma. Ölçüləri a, b, c olan düzbucaqlı paralelepipedin tam səthinin sahəsini tapın. Paralelepipedin açılışı cüt-cüt konqruent düzbucaqlılar olmaqla 6 düzbucaqlıdan ibarətdir. Paralelepipedin tam səthini hesablamaq üçün onun üzlərinin sahələrini hesablaaq. Üzlər Sahəsi b. Sol və sağ: ac + ac = ac. Üst və alt: ab + ab = ab. Ön və ara: bc + bc = bc Bütün üzlərin sahələri cəmi: S = ab + bc +ac Uzunluğu a, eni b, hündürlüü c olan düzbucaqlı paralelepipedin tam səthinin sahəsi S = (ab + ac + bc) düsturu ilə hesablanır. Araşdırma. Hündürlüü h və oturacağındakı üçbucağın tərəfləri a, b, c olan düz üçbucaqlı prizmanın an səthinin və tam səthinin sahəsini hesablaın. a c b 66 a c sol c a ara alt b b ön b üst b a b c h h h c Prizmanın açılışını çəkək. Prizmanın an səthi üç düzbucaqlıdan ibarətdir. Bu düzbucaqlıların sahələri cəmi prizmanın an səthinin sahəsinə bərabərdir. Yan səthini təşkil edən düzbucaqlıların sahələri cəmi: ah + bh + ch = (a + b + c)h = Ph Burada P oturacaqdakı üçbucağın perimetridir. Prizmanın tam səthinin sahəsi an səthinin sahəsi ilə oturacaqları təşkil edən iki üçbucağın sahələri cəminə bərabərdir. Prizmanın tam səthini tapmaq üçün oturacaqlarının sahələrini tapmalııq. Prizmanın oturacaqları bu halda üçbucaqşəkillidir və bu üçbucaqların sahələri Heron düsturu ilə hesablana bilər. Çap üçün deil b a a c sağ c a a

167 Prizmanın səthinin sahəsi Araşdırma. Mail prizma oturacaqları, tərəfləri 0 0 olan iki düzbucaqlıdan, iki an üzü (sağ və sol) ölçülərindən biri 0, digəri isə 8 olan konqruent düzbucaqlılardan, digər iki an üzü (ön və ara) isə ölçüləri 0 və 8, iti bucağı 0º olan paraleloqramlardan ibarətdir. Verilən ölçülərinə görə pirizmanın tam səthinin sahəsini tapın. Prizmanın paraleloqram şəkilli ön və ara üzlərinin sahəsini tapmaq üçün prizmanın hündürlüünü tapaq. h sin 0 = 8 Ön və ara üzlərinin sahələri cəmi: 0 9 = 60 (kv vahid) Sağ və sol üzlərinin sahələri cəmi: 0 8 = 60 (kv vahid) Oturacaqların sahələri cəmi: 0 0 = 00 (kv vahid) Prizmanın tam səthi: = 0 (kv vahid) h = 9 67 h 0 Düz prizmanın an səthinin sahəsi P Düz prizmanın an səthinin sahəsi oturacağındakı çobucaqlının perimetri ilə hündürlüü (an tili) hasilinə bərabərdir. San = Ph Burada P oturacağın perimetrini, h prizmanın hündürlüünü göstərir. Prizmanın tam səthinin sahəsi Prizmanın tam səthinin sahəsi oturacaqları ilə an səthinin sahələri cəminə bərabərdir. Stam = Sot + San Düz prizmanın tam səthinin sahəsi Stam = Sot + Ph düsturu ilə hesablanır. Nümunə. Düz prizmaların tam səthinin sahəsini hesablaın. a) Oturacaqları düzbucaqlı üçbucaq olan düz prizmanın tam səthinin sahəsini tapaq. Stam = Sot+ San = Sot + Ph Sot = 6 8 = 8 (sm ) San = Ph = ( ) 5 = 60 (sm ) Stam = = 08 (sm ) 0 0 sm 8 sm 0 5sm Çap üçün deil 6 sm 8 h

168 Prizmanın səthinin sahəsi b). Oturacaqları trapesia olan düz prizmanın tam səthinin sahəsini tapaq. sm Stam = Sot + San = Sot + Ph Sot = ( (0 + ) ) = 56 (sm ) San = Ph = ( ) 5 = 60 (sm 5sm ) 5sm Stam = = 6 (sm ) sm 0sm Düz prizmaların an və tam səthlərini hesablaın. 5sm 5 sm m m,5 m 0 sm sm 0 sm sm 0 sm m 5 m sm, m 8,5 m 8 sm 7,5 sm 9 m 5 m,8 m 0,5 m. a) Hikmət atları üçün oturacağı trapesia şəkilli olan düz prizma formalı su qabı düzəltməi planlaşdırır. Verilən ölçüdə qab düzəltmək üçün 00 sm ona ən azı nə qədər material lazımdır? 50 sm m 0 sm 50 sm b)hündürlüü 6 m olan düz prizmanın oturacaqları bərabəranlı trapesi - alardır. Trapesianın oturacaqları m və 8 m, an tərəfləri 5 m-dir. Priz - manın tam səthinin sahəsini tapın. Uğun prizmanı çəkin və verilən ölçü lərini üzərində azın. Şəkildəki çadıra ən azı neçə kvadrat metr sm parça işlədilmişdir? 68 0sm 5sm 00sm Tilləri : 7 : 8 nisbətində olan düzbucaqlı paralelepipedin səthi 808 sm - dır. Tilləri tapın. Düz paralelepipedin oturacağının 6 sm və 8 sm olan tərəfləri 0º-li bucaq əmələ gətirir. Yan tilinin 5 sm olduğunu bilərək, bu paralelepipedin tam səthini tapın. Diaqonalı sm, an üzünün diaqonalı isə 0 sm olan düzgün dördbucaqlı prizmanın hündürlüünü və oturacağının sahəsini tapın. Çap üçün deil

169 Prizmanın səthinin sahəsi 7. Şəkildə verilən ölçülərinə görə düzgün prizmaların tam səthinin sahəsini tapın. sm 0sm 8. Düzgün prizmaları və açılış şəkillərini dəftərinizdə çəkin. Uğun ölçüləri açılış şəkilləri üzərində azın. Prizmaların tam səthlərinin sahələrini hesablaın. sm 6 sm a) 8 9 c) b) Şəkildəki pirizmaların tam səthinin sahəsini tapın. düzgün beşbucaqlı 6 sm,5sm düzgün altıbucaqlı sm 69 0sm 8sm düzgün səkkiz bucaqlı 5sm 0. Düz prizmaları və açılış şəkillərini çəkin. Tam səthlərinin sahələrini hesab - laın. 0 sm sm,5m sm 6 sm sm 8 sm 8m 6m 8 sm. Düz prizmanın verilən ölçülərinə görə tapın: a) oturacaqlarının sahəsini; b) an səthinin sahəsini; c) tam səthinin sahəsini. 6 sm 5 m,5m,5m Çap üçün deil m,5 m m

170 Prizmanın səthinin sahəsi. Verilənlərə görə düz prizmaların şəklini çəkin və tam səthinin sahəsini hesablaın. Prizmanın oturacağı Prizmanın hündürlüü a) tərəfləri 8 vahid olan bərabərtərəfli üçbucaq 0 vahid b) tərəfləri ; ; 5 vahid olan üçbucaq vahid c) tərəfləri ; 0; 0 vahid olan bərabəranlı üçbucaq 7 vahid d) tərəfləri 0; 5; ; 5 vahid olan bərabəranlı trapesia 0 vahid e) diaqonalları 8 və 6 vahid olan romb 0 vahid f) tərəfi 8 vahid olan düzgün altıbucaqlı vahid. Şəkildəki qış bağının divarları və damı şəffaf plastik lövhələrlə ortülməlidir. Qapının sahəsinin,8 m olduğunu bilərək, verilən ölçülərə görə qış bağını örtmək üçün neçə kvadrat metr lövhə lazım olduğunu hesablaın. 0,9 m,5 m, m, m m. 0 m sahəni rəngləmək üçün təminən l boa işlədilir. Şəkildəki qarajın üzlərini iki dəfə rəngləmək üçün təminən neçə litr boa lazımdır? Ölçülər metrlə verilmişdir. 5. Düzbucaqlı paralelepiped şəkilli tatadan şəkildə göstərilən hissə kəsilib çıarıl - mışdır. Qalan tata hissəsinin tam səthi - nin sahəsi necə dəişmişdir? Cavabınızı hesablamalarla əsaslandırın. 6. Düzbucaqlı paralelepipedlərdən kəsilib çıarılmaqla alınmış fiqurların tam səthlərinin sahəsini hesablaın. 0,6m,m,m,8m 0,9m 5m m m 5m Çap üçün deil 70 m 8sm m,5 0sm 6sm 0sm 0sm 6sm 0sm 6 5sm 5sm 0sm 8sm 5sm 5sm sm,

171 Prizmanın müstəvi kəsikləri Araşdırma. Pendir düz üçbucaqlı prizma şəklindədir. Siz pendiri necə doğrasanız keçirilmiş kəsik tələb olunan formalarda olar? a) düzbucaqlı b) üçbucaq c) trapesia a) Pendirin öndən və andan gö rüntüsü düzbucaq lı şək lin dədir. Pen diri şa quli ola raq doğrasaq, kəsikdə düzbucaqlı aranacaq. a) Pendirin üstdən görüntüsü üçbucaq şəklin dədir. Pendiri üfüqi olaraq doğrasaq, kəsik üçbucaq şəklində olacaq. Prizmanın müstəvi kəsikləri Prizmaların müstəvi ilə kəsişməsi nəticəsində onun üzərində qalan iz müstəvi kəsiinin formasını müəən edir. Şəkildə düzbucaqlı paralelepipedin müstəvi kəsikləri təsvir edilmişdir. Oturacaq müstə - Oturacaqa perpen - Oturacaq müstəvisi visinə pa ralel müs - dikular müs təvi ilə müəən bucaq tə vi ilə kə siş məsi. ilə kəsiş məsi. əmələ gətirməklə Düz bucaqlı alınır Düzbu caqlı alınır. qarşı üzləri kəsən müstəvi. Para le loqram alınır. 7 a) Pendirin andan görüntüsü düzbucaqlı şəklindədir. Pendiri müəən bucaq altında doğrasaq, kəsik trapesia şəklində olacaq. Oturacaq müstəvisi ilə müəən bucaq əmələ gətirməklə bir təpədən çıan tilləri kəsən müstəvi. Üçbucaq alınır. Diqqət edin! Müstəvi kəsii dedikdə arılan hissə deil, fiqurun üzərində qalan iz nəzərdə tutulur. Prizmanın an tillərinə perpendikular müstəvi ilə kəsişməsindən alınan çobucaqlıa onun perpendikular kəsii deilir. Prizmanın oturacaq müstəvisinə paralel müstəvi ilə kəsii oturacaqlara konqruent çobucaqlıdır. Prizmanın eni üzə aid olmaan iki an tilindən keçən kəsiə diaqonal kəsii deilir. n(n ) n-bucaqlı prizmanın diaqonal kəsiklərinin saı -ə bərabərdir. Diaqonal kəsiklərinin hər biri paraleloqram olduğundan alınır ki, n bucaqlı prizmanın n(n ) sada diaqonalı var. Çap üçün deil

172 Prizmanın müstəvi kəsikləri. Kubun şəkildə göstərilən müstəvi ilə kəsişməsindən hansı çobucaqlı alınır?. Hər bir prizmanın uğun müstəvi ilə kəsişməsini çəkib göstərin. Kəsişmədən alınan çobucaqlının növünü müəən edin. Oturacaq müstə visinə paralel müstəvi ilə Oturacaq müstə visinə perpendi kul ar müstəvi ilə Oturacaq müstə visinə paralel müstəvi ilə Oturacaq müstə visinə per - pendi kul ar müstəvi ilə Oturacaq müstəvisi ilə mü ə ən bucaq əmələ gə - tirməklə bir təpədən çıan üç tili kəsən. Oturacaq müstəvisi ilə müəən bucaq əmələ gətirməklə ön və ara üzləri kəsən müstəvi ilə. ) Tili 6 sm olan kubun şəkildə göstərilən müstəvi kəsiinin perimetrini tapın. ) Kub bir təpədən çıan üç tilin uclarından keçən müstəvi ilə kəsilmişdir. Kəsikdə hansı fiqur alınır? a) Kubun tili sm olarsa, d parçasının uzunluğunu tapın. b) Kubun tili sm olarsa, müstəvi kəsiinin perimetrini tapın.. Düzbucaqlı paralelepipedin ölçüləri verilib: a = 9 sm, b = sm, c = 0 sm. Hər bir müstəvi kəsi in dən alınan fiqurun perimetrini və sahəsini hesablaın. a b b a 5. Düzbucaqlı paralelepipedin oturacağının tərəfləri 7 sm və sm, paralelepipedin hündürlüü isə 8 sm-dir. Diaqonal kəsiinin sahəsini tapın. 6. Düzgün altıbucaqlı prizma verilmişdir. a) Ən böük diaqonal kəsiinin sahəsi sm -dır. Prizmanın an səthini tapın. b) Bu prizmanın neçə diaqonalı var? a b c a b c Çap üçün deil 7 c d c

173 Prizmanın müstəvi kəsikləri 7. Oturacağı romb olan düz prizmanın diaqonal kəsiklərinin sahələri sm və 56 sm -dır. Bu prizmanın an səthinin sahəsini tapın. 8. Diaqonalları 8 sm və 5 sm, hündürlüü sm olan düz prizmanın oturacağı rombdur. Yan səthinin sahəsini tapın. Prizmanın an səthinin sahəsini onun perpendikular kəsiindən istifadə etməklə ümumi şəkildə ifadə etmək olar. Prizmanın an səthinin sahəsi onun perpendikular kəsiinin perimetri ilə an tilinin uzunluğu hasilinə bərabərdir. San = P kəsl Düz prizmanın oturacaqları ilə perpendikular kəsikləri konqruent çobucaqlılardır. Ona görə də düz prizmada perpendikular kəsiin perimetri əvəzinə oturacağın perimetri ifadəsindən istifadə edilir. Perpendikular kəsiin perimetrindən mail prizmanın an səthinin sahəsini taparkən istifadə etmək olar. Mail prizmanın an səthini onun üzlərinin sahələrini arı-arı tapıb cəmləməklə də hesablamaq olar (Araşdırma -də olduğu kimi). Nümunə. Mail prizmanın oturacaq - A B C ları bərabəranlı üçbucaq, ACC A üzü düzbucaqlıdır. AA = sm, A 6 C B AB = BC = 8 sm, AC = 6 sm, α = 0 D 8 F olarsa, prizmanın an səthini tapın. Həlli: Prizmanın an səthi: E E D 6 F E San = P kəsl A C A C Prizmanın perpendikular kəsiində DEF üçbucağı alınır. Məsələnin B B həllini prizmanın açıq şəkli üzərində daha adın görmək olar. DE və FE 0 -li bucaq qarşısındakı katetə bərabər olduqlarından sm olacaqlar. DEF perpendikular kəsiinin perimetri DE + DF + FE = = (sm). San = Pkəs AA = = 68 (sm ) 9. Mail prizmanın oturacağı, tərəfləri 6 sm və sm olan düzbucaqlıdır. Yan üzlərindən ikisi ölçüləri 6 sm 8 sm olan düzbucaqlılar, digər iki an üz isə ölçüləri sm 8 sm, iti bucağı 0 olan paraleloqramdır. Mail prizmanın hər üzünün sahəsini hesablamaqla an səthinin sahəsini tapın. 0. Mail üçbucaqlı prizmanın an tilləri arasındakı məsafələr sm, 6 sm və 8 sm-dir. Prizmanın an səthini sahəsi 90 sm -dır. Prizmanın an tilini tapın. a a. Şəkildəki mail prizmanın oturacaqları bərabərtərəfli üçbucaq, B ACC A üzü düzbucaqlıdır. AA = 0 sm, AB = sm, α = 5 A olarsa, prizmanın an səthini tapın. 7 α α α α 8 A C Çap üçün deil B C

174 Piramida. Piramidanın an səthinin və tam səthinin sahəsi Piramida bir üzü çobucaqlı, qalan üzləri ortaq təpəli üçbucaqlar olan çoüzlüdür. Ortaq təpəli üçbucaqlar piramidanın an üzləri, çobucaqlı isə oturacağıdır. Yan üzlərin ortaq tərəflərinə an tillər deilir. Yan üzlərdəki üçbucaqların ortaq təpə an üz təpəsinə piramidanın təpəsi deilir. an til Piramidanın təpəsindən oturacaq müstəvisinə çəkilmiş perpendikulara piramidanın hündürlüü deilir. Oturacağı düzgün çobucaqlı və hündürlüünün oturacağı bu çobucaqlının mərkəzi ilə üst-üstə düşən piramidaa düzgün piramida deilir. Düzgün piramidanın təpəsindən an üzdəki üçbucağın oturacağının tərəfinə çəkilmiş hündürlüə piramidanın apofemi deilir. 7 apofem oturacaq hündürlük hündürlük Dördbucaqlı piramida oturacaq (düzgün çobucaqlı) Düzgün dördbucaqlı piramida Piramida oturacağındakı çobucaqlının adı ilə adlandırılır. Məsələn, üçbucaqlı piramida, dördbucaqlı piramida və s. Dördbucaqlı piramida Beşbucaqlı piramida Üçbucaqlı piramida Düzgün piramidanın an tilləri konqruentdir. Düzgün piramidanın an üzləri konqruent bərabəranlı üçbucaqlardır. Düzgün üçbucaqlı piramidaa tetraeder də deilir. Tetra unanca dörd deməkdir, əni üzü ( hər biri üçbucaq formasında) olan çoüzlü. Xüsusi halda piramidanı aşağıdakı addımlarla çəkmək olar.. Paraleleoqram və. Diaqonalların kə -. Perpendikuların uc nöq - onun diaqonallarını siş mə nöq təsinə per - təsi ilə paraleloqramın təpə - çəkin. pendikular çəkin. lərini birləşdirin. Çap üçün deil

175 Piramida. Piramidanın an səthinin və tam səthinin sahəsi Düzgün piramidanın an səthinin sahəsi onun an üzlərini təşkil edən konqruent üçbucaqların sahələri cəmidir. Məsələn, şəkildəki altıbucaqlı pirami - danın an səthinin sahəsi onun an səthini təşkil edən 6 konqruent üçbucağın sahələri cəminə bərabərdir. ha a ha ha ha ha ha ha a a a a a a a a a a a S = ahap + ahap + ahap + ahap + ahap + ahap = = hap (a + a + a + a + a + a) = Phap; S = Phap Düzgün piramidanın an səthinin sahəsi Düzgün piramidanın an səthinin sahəsi oturacağın dakı çobucaqlının perimetri ilə piramidanın apofemi hasilinin arısına bərabərdir. San = Phap Burada P oturacağın perimetrini, hap piramidanın apofemini göstərir. Piramidanın tam səthinin sahəsi oturacağı ilə an səthinin sahələri cəminə bərabərdir. S tam = San +Sot Nümunə. Düzgün altıbucaqlı piramidanın oturacağının tərəfinin uzunluğu 6 sm-dir. Apofemi 9 sm olarsa, piramidanın tam səthinin sahəsini tapın. Həlli: Verilir: a = 6 sm, hap = 9 sm Tapın: Stam =? San = Phap= 6 a hap = = 6 (sm ) Oturacağın sahəsini tapmaq üçün əvvəlcə düzgün altıbucaqlının 0 apofemini (r) tapmalııq. Sot = Pr r Düzgün altıbucaqlının mərkəzi bucağı: 60 : 6 = K B Onda AOK = 0. r = tg60 = ; Sot = 6 9,5 (sm ) sm S tam = San +Sot 6 sm + 9,5 sm = 55,5 (sm ) 75 h 6 sm A O hap 9 sm Çap üçün deil

176 Piramida. Piramidanın an səthinin və tam səthinin sahəsi D Nümunə. Düzgün üçbucaqlı piramidanın an tilləri 0 sm, hündürlüü 6 sm-dir. Piramidanın tam səthinin sahəsini 0 6 tapın. Həlli: C Verilir: AD = 0 sm, DO = 6 sm A O E Tapın: Stam =? B Piramidanın an səthini tapmaq üçün oturacağın perimetrini və apofemi tapmalııq. Perimetri tapmaq üçün isə düzgün üçbucağın bir tərəfini tapmaq kifaətdir. ADO-dan AO = AD DO = 0 6 = 6 = 8 (sm) Məlumdur ki, AO = AE (izah edin); AE = 8 (sm); AE = sm AEB-nin bucaları 0, 60, 90 olduğundan (izah edin) A AE 0 BE = = = ; BC = BE = 8 ; P = BC = DOE-dən apofemi tapaq. OE = 8 = (sm) DE = OD + OE = 6 + = 5 = B E San = Phap = = 9 (sm ) 60 Sot = BC AE = 8 = 8 (sm ) S tam = San + Sot = = (sm ) Örənmə tapşırıqları. Bir tərəfi 6 sm, o biri tərəfi 8 sm olan düzbucaqlı piramidanın oturacağıdır. Piramidanın an tillərinin uzunluqları sm-dir. Hündürlüünü tapın.. Düzgün dördbucaqlı piramidanın hündürlüü 7 sm, oturacağının tərəfi 8 sm-dir. Yan tilini tapın.. Şəkildə verilənlərə görə düzgün piramidaların an səthlərinin sahələrini hesablaın.. 8 sm 0sm sm Şəkildə verilənlərə görə düzgün piramidaların an səthlərinin sahələrini hesablaın. 8 m m 5 sm 76 8sm 0 sm 0 sm 8,sm Çap üçün deil m 0 m

177 Piramida. Piramidanın an səthinin və tam səthinin sahəsi Verilən ölçülərə görə düzgün piramidaları çəkin və an səthinin sahəsini tapın: a) oturacağının tərəfi 8 vahid, an tili 5 vahid olan düzgün dördbucaqlı piramida; b) oturacağının tərəfi vahid, apofemi 6 olan düzgün üçbucaqlı piramida; b) oturacağının tərəfi 0 vahid, an tili vahid olan düzgün altıbucaqlı pi- F ramida. 7. Tərəfləri 0 və 8 vahid uzunluğunda olan düzbucaqlı piramidanın oturacağıdır. O nöqtəsi düzbucaqlının mərkəzidir. Piramidanın hündürlüü FO = vahiddir. a) FH və FE-ni tapın; b) Piramidanın an səthinin sahəsini tapın. 0 S an = Pha düsturunu tətbiq etmək olarmı? A 8 8. Düzgün piramidaların an səthlərinin sahəsini tapın. 9. Cədvəldə verilənlərə görə düzgün dördbucaqlı piramidanın tələb olunan ölçülərini tapın. Hündürlük 6?? 6 Apofem 0 5? 5? Oturacağın tərəfi??? 8? Yan səthi??? 6? 0 5sm 5sm 8sm sm 0sm 6sm,sm 77 sm B H 5sm h O m D ha E, m 6.5sm 0sm,5m 5sm sm sm Üçbucaqlı piramidanın an tilləri sm, 6 sm və 8 sm olub, cüt-cüt perpendikulardır. Piramidanın an səthinin sahəsini tapın.,m 0. Piramidanın oturacağı tərəfləri 9 sm və 5 sm olan düzbucaqlıdır. Yan tillərdən biri sm olub, oturacaq müstəvisinə perpendikulardır. Bu piramidanın an səthini tapın. Çap üçün deil h ha C

178 Piramida. Piramidanın an səthinin və tam səthinin sahəsi. Evin dam örtüü dördbucaqlı piramida şəklindədir. Piramidanın oturacağı tərəfləri m və 0 m olan düzbucaqlıdır,an tillərinin hər biri 0 m-dir. Dam örtüünə neçə kvadrat metr material sərf edilmişdir? N. Düzgün dördbucaqlı piramidada verilənlərə görə 8 ha tələb edilənləri tapın. C D a) OM b) ha c) NC 6 d) S NBC e) San f) Stam O 6 M A B. Dünanın böük şəhərlərinin aritekturasında piramidaşəkilli tikililər mühüm er tutur. Bu tikililər arasında nadir abidələr (Misir piramidaları, Romadakı sesti piramidası) də, şəhərlərə müasirlik verən eniləri də var (Parisdə Luvr muze, Bakıda İçərişəhər metro stansiasının girişi kimi). a) Heops və Luvr piramidaları düzgün dördbucaqlı piramıdalardır. Verilən ölçülərinə görə hər birinin an səthinin sahəsini hesablaın. Heops piramidası. Misir Luvr piramidası. Paris Oturacağın tərəfi 0 m, apofemi 86 m Oturacağın tərəfi 5 m, apofemi 8 m b) Şəkildə İçərişəhər metro stansiasının piramidaşəkilli girişinin planı verilmişdir. Planda verilmiş ölçülərə görə piramidanın an səthinin sahəsini hesablaın. İçərişəhər metro piramidası. Düzgün tetraedrdə verilənlərə görə tələb edilənləri ha B tapın. a) OM b) ha c) NC d) S NBC e) San f) Stam 78 9 m 7 m m 66 m A 9 m 7 m N h O C l sm M sm Çap üçün deil

179 Piramida. Piramidanın an səthinin və tam səthinin sahəsi 5. a) Piramidanın apofemi hündürlüündən kiçik deil. Bu fikri əsaslandırın. b) Oturacağının tərəfi 0 sm, an tili sm olan düzgün dördbucaqlı piramidanın hündürlüünü və apofemini tapın. c) Piramidanın oturacağı diaqonanlları sm və 6 sm olan rombdur. Yan üzlər oturacaq müstəvisi ilə 60 bucaq əmələ gətirərlərsə, bu pramidanın tam səthinin sahəsini tapın. 6. Piramidanın oturacağı tərəfləri 6 sm, 6 sm, 8 sm olan bərabəranlı üçbucaqdır. Yan tillərinin hər birinin uzunluğu 5 sm-dir. Bu piramidanın an səthinin sahəsini tapın. 7. Düzgün altıbucaqlı piramidanın bir an üzünün sahəsi 8, oturacağının sahəsi isə kvadrat vahiddir. Piramidanın: a) otu raca ğının tərə finin uzun luğunu; b) apofemini; c) an tili nin uzun luğu nu; d) hündürlüünü tapın. 8. Düzgün dördbucaqlı piramida üzərində araşdırma. a) İzometrik nöqtəli vərəqdə şəkildə verildii kimi oturacağının tərəfi vahid olan düzgün dördbucaqlı piramida çəkin. b) Piramidanın an səthinin sahəsini onun apofemi ; 9 olan hallar üçün hesablaın və cədvəl tərtib edin. c) oturacağın ölçülərini dəişmədən apofemin uzunluğunun dəfə artması ilə an səthin sahəsinin necə dəişdiini azın. d) həm oturacağın tərəfi, həm də apofem dəfə artsa, an səth necə dəişər? 9. Şəkildəki fiqurun (düzgün oktaedrin) səthinin sahəsini hesab laın. 6 sm 0. Düzgün dördbucaqlı piramidanın oturaca - ğının tərəfi 6 sm, an tilin oturacaq müstəvisi ilə əmələ gətirdii bucaq 5 -dir. Piramidanın an səthinin və tam səthinin sahəsini tapın.. Piramidanın oturacağı an tərəfləri 0 sm, oturacağı sm olan bərabəranlı üçbucaqdır. Yan üzlərin oturacaq müstəvisi ilə əmələ gətirdii ikiüzlü bucağın dərəcə ölçüsü 6 sm 60 -dir. Piramidanın apofemini və hündürlüünü tapın. Çap üçün deil 79

180 Piramidanın kəsikləri. Kəsik piramida.. Düzgün dördbucaqlı piramidanın müstəvi ilə kəsiində mütəlif formalı çobucaqlılar aranır. Aşağıdakı halları araşdırın, şəkillə və sözlə azılı olaraq təqdim edin. Oturacağına paralel müs tə vi ilə kəsişməsi. Kəsikdə kvad rat alınır. Oturacaq müstəvisi ilə mü ə ən bucaq altında ol maq la bir təpədə bir - ləşən qonşu üzləri kəsən müstəvi ilə kəsişməsi. Kəsikdə üç bu caq alınır. Piramida və müstəvinin kəsişməsini sözlə azın. a) b) Təpədən keçməklə otura - cağına perpendikular müstəvi ilə kəsişməsi. Kəsikdə bərabər anlı üçbucaq alınır. Oturacaq müstəvisi ilə mü - ə ən bucaq altında olmaqla qarşı üzləri kəsən müs təvi ilə kəsişməsi. Kəsi kdə trapesia alınır.. Üçbucaqlı piramida və müstə - vinin şəkildə göstərilən kəsiş - mələrini sözlə azın. b) a) a) Düzgün dördbucaqlı piramidanın oturacağının tərəfi sm, an tilinin uzunluğu 0 sm-dir. Diaqonal kəsiinin (piramidanın təpə nöqtəsindən və oturacağın diaqonalından keçən müstəvi ilə kəsiinin) sahəsini tapın. b) Hündürlüü vahid, oturacağının tərəfi 8 vahid olan düzgün dördbucaqlı piramidanın iki qarşı an üzünün apofemlərindən keçən müstəvi kəsiindəki çobucaqlının sahəsini tapın. Aşağıdakı təkliflərin doğruluğunu isbat edin. Piramidanı oturacağa paralel müstəvi ilə kəsdikdə: T ) bu müstəvi piramidanın an tillərini və hündürlüünü mütənasib hissələrə bölür; ) Kəsikdə alınan çobucaqlı oturacağa oşar olur; D C A ) Kəsiin və oturacağın sahələri nisbəti onların B təpədən olan məsafələrinin kvadratları nisbətinə D A bərabər olur. B İsbat üçün plan. Piramidanın paralel müstəvi kəsii ilə an üzlərdə aranan ABT və A B T kimi üçbucaqların oşarlıqlarından istifadə edin. Piramidanın hündürlüü bərabər hissəə bölünmüş və bölgü nöqtələrindən oturacağa paralel müstəvilər keçirilmişdir. Oturacağın sahəsinin 00 m olduğunu bilərək, alınan kəsiklərin sahələrini tapın. 80 Çap üçün deil C

181 Piramidanın kəsikləri. Kəsik piramida 7. Piramidanın hündürlüü 6 sm, oturacağın sahəsi 5 sm -dir. Sahəsi 50 sm olan, oturacağa paralel kəsiin oturacaq müstəvisindən məsafəsini tapın. Piramidanı oturacağına paralel müstəvi ilə kəsdikdə bu müstəvi ilə piramidanın oturacağı arasında qalan çoüzlüə kəsik piramida deilir. Kəsik piramidanın paralel üzləri onun oturacaqları, qalan üzləri isə an üzləridir. Oturacaq müstəvilərinə perpendikular olan düz əttin bu müstəvilər arasında qalan parçasına kəsik piramidanın hündürlüü deilir. Düzgün piramidanı oturacağına paralel müstəvi ilə kəs - dikdə alınan kəsik piramida da düzgün kəsik piramidadır. Düzgün kəsik piramidanın an üzləri konqruent bərabəranlı trapesialardır. Bu trapesiaların hündürlüü düzgün kəsik piramidanın apofemidir. Düzgün kəsik piramidanın an səthinin sahəsi a a a San = (P + P)ha düsturu ilə tapılır. ha Burada P və P düzgün kəsik piramidanın h oturacaqlarının perimetrləri, ha - apofemdir. Kəsik piramidanın tam səthinin sahəsi isə an b səthinin, alt və üst oturacaqların sahələri cəmi kimi tapılır. A Stam = San + Salt + Süst Kəsik piramidanın bir üzündə olmaan iki an D tilindən keçən müstəvi kəsii onun diaqonal kəsii adlanır. A Kəsik piramidanı qurma addımları. ) Piramidanın oturacağındakı çobucaqlını çəkin. ) Çobucaqlının mər - kəzinə müə ən uzunluqda perpendikular çə kin və təpəsini otura cağın təpələri ilə birləşdirin. 8 b D ) Piramidanın istənilən tili üzərində bir nöqtədən başlaaraq oturacağın tərəf lərinə paralel parçalarla piramida nın di gər oturacağını çəkin. Yan tillərin təpə dən kiçik oturacağa qədər olan hissə lərini silin Çap üçün deil l h O O b B h l C B h a ha b C l

182 Piramidanın kəsikləri. Kəsik piramida 8. a) Hündürlüü 6 sm, oturacaqlarının tərəflərinin uzunluğu uğun olaraq sm və 6 sm olan düzgün dördbucaqlı kəsik piramida çəkin. b) Hündürlüü 8 sm, oturacaqlarının tərəflərinin uzunluğu uğun olaraq sm və sm olan düzgün altıbucaqlı kəsik piramida çəkin. c) Düzgün dördbucaqlı kəsik piramidanın oturacaqlarının sahələri 6 sm və 6 sm -dır. Piramidanın an tili alt oturacaq müstəvisi ilə 5 -li bucaq əmələ gətirir. Diaqonal kəsiinin sahəsini tapın. 9. Düzgün kəsik piramidanın an A c c c C B B c c B səthinin sahəsi üçün B B A C B ha San = a a (P + P)ha düsturunun A C A C a a a doğru olduğunu şəkildə verilən B b B düzgün piramidalar üzərində göstərin. a 0. Düzgün dördbucaqlı kəsik pira - mi da ların an və tam səthlərinin sahələrini hesablaın.. Hündürlüü 8 sm, oturacağının tərəfi sm olan düzgün dördbucaqlı piramida hündürlüünün ortasından oturacağa paralel keçən müstəvi ilə kəsilmişdir. Alınan kəsik piramidanın ölçülərini müəən edin, şəklini çəkin və tam səthinin sahəsini tapın. S. Düzgün dördbucaqlı piramidanın oturacağının AB tərəfi sm, SO hündürlüü 8 sm-dir. Piramida oturacaqdan D sm məsafədə oturacağa paralel müstəvi ilə C A B kəsilmişdir. Alınan kəsik piramidanın tam səthinin D C sahəsini tapın. A O B. Düzgün dördbucaqlı kəsik piramidanın hündürlüü 8 sm, apofemi 5 smdir. Otu racaqların tərəfləri nisbəti 5: kimidir. Piramidanın tam səthinin sahəsini tapın.. Oturacağının tərəfi 0 sm, hündürlüü 6 sm olan düz - gün dördbucaqlı piramida oturacağına paralel müstəvi - lərlə (təpədən başlaaraq hər sm-dən hündürlüü bou) hissələrə bölünmüş, şüşə lövhələr metal çubuq - larla bərkidilərək zinət əşaları qabı düzəl dilmişdir. Bu konstruksianı bütünlüklə şüşə ilə örtmək üçün: a) ən azı neçə kvadrat santimetr şüşə lövhə lazımdır? b) ən azı neçə santimetr metal çubuq lazımdır? 8 sm Çap üçün deil 5sm 6sm ha ha m m 0m

183 Ümumiləşdirici tapşırıqlar... Verilən açılış şəkillərinə və ölçülərinə ğörə prizma və düzgün piramidaları çəkin. Fiqurların müəən təpələri adlandırılmışdır, digərlərini siz adlandırın və tam səthlərinin sahələrini hesablaın. H B G C 6 7 R 5 6,5 U M R R 6 V Düzgün dördbucaqlı piramidanın əsas ölçüləri oturacağının tərəfi, apofemi - nin uzunluğu, hündürlüü, an səthinin sahəsi və tam səthinin sahəsidir. Verilən iki ölçüə görə digərlərini tapın. a) a = sm, San = 5 sm b) h = m, a = 0 m c) ha = 5 m, San = 60 m d) San = 80 sm, Stam= sm Şəkildə verilənlərə görə düzgün prizma və piramidalardan təşkil olunmuş mürəkkəb fiqurların səthlərinin sahəsini hesablaın. 0m 8sm sm m 8m 5m sm 8sm Tərəfi 6 sm olan kubun A, B, C təpələrindən keçən müstəvi ilə kəsiindən arılan piramidanın an səthinin sahəsini tapın. Düz prizmaların və düzgün piramidanın açılış şəkillərini çəkin. Tam səth - lərinin sahəsini hesablaın. 6 0 Tili a olan ABCDABCD kubu verilmişdir. Oturacağın BD diaqonalından, BC və CD tillərinin orta nöqtələrindən (M və N) keçən müstəvi ilə kəsiinin sahəsini tapın. 8 5sm 5 9m A 5 A 8 5m D C Çap üçün deil A A B B B B M 8 D D N C C C

184 7 Triqonometrik tənliklər Sadə triqonometrik tənliklər Triqonometrik tənliklərin həll üsulları Triqonometrik tənliklərin tətbiqi ilə məsələ həlli Triqonometrik bərabərsizliklər Çap üçün deil 8

185 Sadə triqonometrik tənliklər sin = a, cos = a, tg = a, ctg = a tənlikləri ən sadə triqonometrik tənliklərdir. sin = a tənlii Sinusun dəişmə oblastı [ ; ] parçasıdır. Ona görə də, a > olduqda sin = a tənliinin həlli odur.a olan hallara baaq. Eni koordinat müstəvisində = sin və = a funksialarının qrafiklərini quraq. = sin = a 0 Göründüü kimi, = a düz ətti sinusoidi sonsuz sada nöqtədə kəsir. Bu o deməkdir ki, a olduqda sin = a tənliinin sonsuz sada kökü var. Sinus dövri funksia olduğundan, uzunluğu dövrə bərabər, əni olan hər hansı aralıqda kökləri tapmaq kifaətdir. Qrafikdən görünür ki, a < olduqda sin = a tənliinin a [0; ] parçasında iki kökü var. Nöqtənin çevrə üzrə fırlanma hərəkətinə badıqda da eni 0 nəticəə gəlmək olar: Tam dövr ərzində sinusu eni ədədə bərabər olan iki bucaq tapılır. Dönmə bucaqlarından biri olarsa, digəri olur. sin = a (a < ) tənliinin qalan həlləri isə bu iki həllə dövrün misillərini əlavə etməklə alınır. Deməli, sin = a tənliinin hər hansı həllidirsə, bu tənliin bütün həlləri = + n, = + n (n Z) şəklində azılır. Bu iki həll ailəsini bəzən bir düsturla verirlər: = ( ) k + k, (k Z) k = n (cüt) olduqda I həll ailəsi, k = n + (tək) olduqda II həll ailəsi alınır. a olduqda sin = a tənliinin [ ; ] parçasında kökü = arcsin a olduğundan, bu tənliin bütün həlləri = arcsin a + n, = arcsin a + n (n Z) düsturları ilə tapılır. Bu düsturları birləşdirib, ümumi həlli = ( ) k arcsin a + k (k Z) şəklində azmaq olar. Nümunə. sin = tənliinin [0;] parçasında neçə kökü var? Həlli: Tənliin həllini = ( ) k + k, (k Z) şəklində azıb, k = 0; ; ; qimətlərinə uğun dörd kök tapırıq: 0 =, =, =, =. k parametrinin digər qimətlərinə uğun köklər verilən parçaa aid olmur. Nümunə. sin = tənliini həll edin. Həlli: arcsin( ) = olduğundan = ( ) k ( ) + k = ( ) k + + k, (k Z) Çap üçün deil

186 Sadə triqonometrik tənliklər a = 0, a =, a = olduqda sin = a tənliinin həllərini daha sadə şəkildə göstərmək olar. Nümunə. sin ( + ) = tənliini həll edin. Həlli: + = t əvəz etsək, sin t = tənliini alarıq. Bu tənliin həlli t = + k (k Z) olur. Əvəzləməni nəzərə alaq: + = + k (k Z) Buradan = + k, = + k (k Z) 0 = Bunu vahid çevrə üzərindəki təsvirdən də görmək olar. C() o A(0) o 86 B( ) 6 o = D( ) ordinatı 0 olan nöqtələr A(0) və C() ordinatı olan nöqtə B( ) ordinatı olan nöqtə D( ) sin t = 0 t = k (k Z) sin t = t = + k (k Z) sin t = t = + k (k Z) Nümunə. sin ( 0º) = 0 tənliini həll edin. Həlli: Burada -in dərəcələrlə ifadə edilmiş bucaq olduğu adındır. Ona görə tənliin həllini belə azmaq olar: 0º = 80º k = 0º + 80º k (k Z). Örənmə tapşırıqları. -in verilən qimətlərindən hansı verilmiş tənliin köküdür? Dövriliə əsasən tənliin biri müsbət, biri mənfi olmaqla daha iki kökünü azın və olaın. 5 a) sin =, =, = b) 8 sin = 6, =, = 6 6. Tənliklərin: ) [ ; ] parçasındakı kökünü tapın; ) ümumi həllini azın; )həlli qrafik olaraq təsvir edin. a) sin = b) sin = c) sin = d) sin + = 0 e) sin = f) + sin = 0 g) sin = 0 h) sin = 0. Tənlikləri həll edin. a) sin( + ) = b) sin( ) = 0 c) sin( ) = Çap üçün deil 6

187 Sadə triqonometrik tənliklər cos = a tənlii Oşar qada ilə alırıq ki, a > olduqda cos = a tənliinin həlli odur, a olduqda isə sonsuz sada kökü var. Qrafikdən (eləcə də vahid çevrədən) görünür ki, uzunluğu dövrə (əni -ə) bərabər olan parçada cos = a (a < ) tənliinin iki kökü var. M() = cos = a 0 Əgər cos = a tənliinin köküdürsə, onda da köküdür, çünki cos( ) = cos Beləliklə, cos = a tənliinin bir kökünün olduğu məlum - dursa, bu tənliin həllərini = + n və = + n (n Z) düsturları ilə tapmaq olar. Bu iki düsturu bəzən birləşdirib, = ± + n (n Z) şəklində azırlar. a olduqda cos = a tənliinin [0; ] parçasındakı kökü = arccos a olduğundan bu tənliin bütün həlləri = ± arccos a + n (n Z) şəklində olur. Nümunə 5. cos = tənliini həll edin. Həlli: = tənliin bir köküdür. Onda bütün həlləri = + n və = + n (n Z) olur. Həlli = ± + n (n Z) şəklində aza bilərik. Nümunə 6. cos = o 87 0 a M( ) a = 0, a =, a = olduqda cos = a tənliinin həllərini daha sadə vermək olar. = tənliini həll edin. Həlli: = ± arccos( ) + n (n Z) arccos( ) = arccos = = olduğundan = ± + n (n Z) Bunu vahid çevrə üzərindəki təsvirdən də görmək mümkündür. C( ) A(0) C() o o D( ) absisi 0 olan nöqtələr C( ),D( ) cos t = 0 t = + n, (n Z) absisi olan nöqtə A(0) cos t = t = n, (n Z) o absisi olan nöqtə C() cos t = t = + n, (n Z) Çap üçün deil

188 Sadə triqonometrik tənliklər Nümunə 7. cos ( + ) = tənliini həll edin. + = t əvəz edək: cos t = t = + k (k Z) Əvəzləməni nəzərə alaq: + = + k (k Z) = + + k = + k (k Z). -in verilən qimətlərindən hansı verilmiş tənliin köküdür? Dövriliə əsasən tənliin biri müsbət, biri mənfi olmaqla daha iki kökünü azın və olaın. a) cos + = 0, =, = b) 8 cos =, =, = Tənliklərin: ) [0; ] parçasındakı kökünü tapın; ) ümumi həllini azın; ) həlli qrafiki olaraq təsvir edin. a) cos = b) cos = c) cos = d) cos = e) cos = 0 f) cos + = 0 g) cos = 0 h) cos = 0 Nümunəni araşdırın, həllini dəftərinizdə azın. -ci tapşırığı erinə etirin. ) Tənliklərin [0; parçasındakı həllərini azın. a) sin = b) sin = Hər iki tənliin ümumi şəkli olan sin = tənliinin həl lini nəzərdən keçirək. Vahid çevrə üzərində ordinatı 7 -ə bərabər olan iki nöqtə var. Bu nöqtələr və 6 6 dönmə lərinə uğundur Tənliin həlli: 6 + k və + k (k Z) 6 a) Bu halda = və 0. Bu intervalda tənlii -in alnız 7 7 və qimətləri ödəir. =, b) bu halda =. Əgər 0 şərtini ödəirsə, 0 6 olur və tənliin verilən intervaldakı həlləri aşağıdakılardır: sin = = 7,, 9,,, =,,,,, 5 ) Tənliklərin 0 aralığındakı həllərini azın. cos = cos = cos( ) = a) b) c) + Çap üçün deil

189 Sadə triqonometrik tənliklər tg = a və ctg = a tənliklərinin həlli ( ; ) aralığında tg = a tənliinin həlli = arctg a olur. tg funksiasının əsas dövrünün olduğunu nəzərə alsaq, tg = a tənliinin bütün həllərini = arctg a + n, (n Z) düsturu ilə vermək olar. = tg və = a funksialarının qrafiklərinin kəsişmə nöqtələri də həllin düzgün olduğunu göstərir. Oşar qada ilə göstərmək olar ki, ctg = a tənliinin bütün həlləri = arcctg a + n (n Z) şəklindədir. = tg 0 Nümunə 8. tg ( Həlli: 6 6 = t əvəz etsək ) = tənliini həll edin. tg t = tənliini alarıq. Bu tənliin həlli t = + n (n Z) olur. Əvəzləməni nəzərə alaq: 6 6 = + n (n Z) = + + n, = + n (n Z) Nümunə 9. ctg = tənliini həll edin. Həlli: = t əvəz edək: ctg t = arcctg( ) = olduğuna görə t = + n. Əvəzləməə görə = + n. Buradan hər iki tərəfi -ə bölməklə alırıq ki, ctg = tənliinin bütün həlləri = +, (n Z) şəklindədir. n Nümunə 0. tg = 0,57 tənliini həll edin. Bu tip tənlikləri həll edərkən kalkulatorla hesablamalardan istifadə edin. Kalkulatorun tan düməsi ilə 0,57 ədədini dail etsək, Degree düməsinin anılı olduğu vəziətdə 6,87 qiməti hesablanmış olacaq. Tangens dövri funksia olduğundan, 6, , 6,87 80, 6, , 6,87 60, 6, , 6,87 50 qimətlərində də tangensin qiməti 0,57-ə bərabərdir. Odur ki, tənliin həlli dərəcə ilə ümumi şəkildə = 6, k,(k = 0, ±, ±,±,... ) kimi azılır. Radian düməsinin köməi ilə tənliin həlli A = 0,65 + πk, k Z kimi olacaq. Çap üçün deil 89

190 Sadə triqonometrik tənliklər 9. ctg = a, sec = a, cosec = a şəklində olan tənlikləri ctg =, sec =, cosec = tg cos sin bərabərliklərindən istifadə etməklə həll etmək olar. Nümunə. cosec + = 0 tənliini [0; ] aralığında həll edin. Həlli: cosec = = sin = tənliinin ümumi şəkildə həlli = + n (nz) sin kimi olur. sin = tənliinin [0; ] aralığında həlli = -dir. 7. -in verilən qimətlərindən hansı verilmiş tənliin köküdür? Dövriliə əsasən tənliin biri müsbət, biri mənfi olmaqla daha iki kökünü azın və olaın. a) tg = 0, =, = b) 6 ctg =, =, = 6 8. Tənliklərin: ) ( ; ) aralığındakı kökünü tapın; ) ümumi həllini azın. a) tg = b) tg = c) tg = d) tg = Tənliklərin: ) (0; ) aralığındakı kökünü tapın; ) ümumi həllini azın. a) ctg = b) ctg = c) ctg = d) ctg = 0. tg = tənliini həll edin. Həldən istifadə etməklə aşağıdakı tənliklərin ümumi həllini azın. a) tg( ) = b) tg = c) ctg =. Tənliklərin:) [0; aralığındakı həllini azın; ) həlli ümumi şəkildə azın; ) həlli qrafik olaraq təsvir edin. a) 6 sin = 0 b) cos = c) tg + = 0 d) cos = 0 e) sin = 0 f) tg + = 0. Tənlikləri kalkulatorun köməi ilə həll edin və hər birinin üç kökünü göstərin. a) tg θ = b) sin θ = 0,85 c) cos θ = 0,7 Çap üçün deil 90

191 Sadə triqonometrik tənliklər. Tənliklərin 0 intervalındakı həllərini nümunəə uğun tapın. a) tg = b) sin = c) cos = Nümunə. tg = Həlli: Vahid çevrə üzərində tangens funksiasının -ə bərabər olduğu dönmə bucağına uğun iki nöqtə təsvir edilmişdir:, 5. Lakin dövrü olduğundan, tangens -ə bərabər olan qimətlərini bir-birindən qədər aralı erləşən nöqtələrdə alır, əni tg( + ) = tg. Deməli, tg = tənliinin 0 intervalındakı həllərini aşağıdakı qada ilə tapa bilərik: = + = + = = cos funksiasının qrafikindən istifadə etməklə tənliklərin verilmiş aralıqdakı təqribi həllərini tapın. = cos 0,5 0,5 90º 70º 50º 60º 90º a) cos = 0, 0 50 b) cos = 0, c) cos + = 0 90 d) cos = Tənlikləri həll edin. a) sin( + ) = b) sin( + ) = 0 c) cos( + ) = 0 6. Tənlikləri həll edin. a) sin sin cos cos = b) cos sin = c) sin cos = + sin cos d) sin cos = 0 9 A( ) d) cos( ) = e) tg( ) = f) ctg( ) = 0 6 B( 5 ) 0 Çap üçün deil

192 Sadə triqonometrik tənliklər 7. Tənliin verilmiş aralıqda erləşən köklərini tapın. a) cos sin =, (0; ] b) cos ( + 0º) sin ( + 0º) =, (80º; 70º) c) sin cos =, [ ; ] 9. = cos( + ) funksiasının qrafiki ilə =,5 düz əttinin kəsişmə nöqtələrinin absislərini tapın 0. Tənlikləri həll edin. a) sin( +) = b) cos( ) = c) sin =0 d) cos( ) = 0 e) tg( +) = f) ctg( + ) =. Tənlikləri verilən aralıqda həll edin... Nümunə. a) cos sin =, (0; ] Həlli: Tənlii cos = şəklində azaq. cos = tənliinin ümumi həlli = k, (k Z) olduğundan, alırıq: = k, = k, (k Z) Şərtə görə 0 < olmalıdır. Buradan 0 < k bərabərsizliinin hər iki tərəfini -ə bölsək, 0 < k, (k Z) alırıq. k = ; ; qimətlərini ardıcıl olaraq = k (k Z) həllində azmaqla tənliin verilmiş aralıqdakı köklərini tapırıq: ; ;. 8. Funksiaların verilən aralıqda sıfırlarını tapın. a) = sin, 0º 80º b) = sin( ), 0 sin a) tg + 5 =, 0 π b) cos + =, 0 60 c) sin + = 0, 0 π d) sin + =, 0 60 = 0 tənliinin [0; π] parçasında neçə kökü var? 7 cos = olduğuna görə üçbucağın perimetrini tapın. 5 Çap üçün deil 9

193 Triqonometrik tənliklərin həll üsulları Verilmiş triqonometrik tənliin həlli müəən üsullarla sadə triqonometrik tənliin həllinə gətirilir. Əsas həll üsullarını nümunələr üzərində göstərək. ) Vuruqlara aırma üsulu Nümunə. sin sin = 0 tənliini həll edin. Həlli: sin cos sin = 0 ikiqat bucaq düsturuna görə sin = sin cos sin ( cos ) = 0 ortaq vuruğu mötərizə aricinə çıarma sin = 0 və a cos = 0 hasilin 0 -a bərabər olması şərti = n, n Z cos = = ± + k, k Z Cavab: n, ± + k, n Z, k Z Mütəlif həll ailələrində parametrlərin (n, k) mütəlif hərflərlə işarələnməsinə diqqət edin. Nümunə. sin cos = sin tənliini həll edin və [0; ] parçasındakı köklərini tapın. Həlli: sin cos = sin verilən tənlik sin cos sin = 0 hər iki tərəfdən sin çıılır sin (cos ) = 0 sin mötərizə aricinə çıarılır sin (cos )(cos + ) = 0 kvadratlar fərqi düsturu ilə vuruqlara arılır Hər bir vuruğu sıfıra bərabər etməklə tapılır (əgər mümkünsə). sin = 0 cos = 0 cos + = 0 = k, k Z cos = cos = həlli odur həlli odur Tənliin ümumi şəkildə həlli: = k kimi olar (k Z) Tənliin [0; parçasında kökləri: = 0 ; = ; =. ) Yeni dəişən dailetmə Nümunə. sin cos + = 0 tənliini həll edin. Həlli: ( cos ) cos + = 0 sin = cos eniliinə görə cos cos + = 0 cos + cos = 0 sadələşdirmə a + a = 0 cos = a eni dəişəni dail edək (a + )(a ) = 0 a =,5 a = kvadrat tənliin həlli cos =,5 cos = cos = a əvəzləməsinə görə kökü odur = k, k Z Cavab: = k, (k Z). ) Bircins tənliklərin həlli sin = a, cos = b olduqda tənliin bütün hədləri a və b-ə görə enidərəcəli birhədlilər olarsa, belə tənliə bircins tənlik deilir. Çap üçün deil 9

194 Triqonometrik tənliklərin həll üsulları Nümunələr. sin cos = 0 sin sin cos + cos = 0 Ortaq vuruq odursa, bircins tənlik hər iki tərəfi cos -in böük qüvvətinə bölməklə həll edilir. Nümunə. sin + cos = 0 tənliini həll edin. Həlli: Burada cos = 0 ola bilməz, çünki cos = 0 olduqda tənlikdən sin = 0 alınır ki, bu da sin + cos = eniliinə ziddir. Deməli, cos 0 olmalıdır. Tənliin hər iki tərəfini cos -ə bölə bilərik: tg + = 0 Buradan tg =, = + n, n Z. ) Dərəcəni azaltma düsturlarının tətbiqi Nümunə. cos = tənliini həll edin. Həlli: Burada dərəcəni azaltma ( cos = ) düsturunun tətbiqi əlverişli olur: hər iki tərəfi -ə vuraq = ± + n, n Z 5) Köməkçi bucaq dailetmə a sin ± b cos = d tipli tənlikləri hər iki tərəfi c = a + b ədədinə bölüb, köməkçi bucaq dail etməklə həll etmək əlverişlidir. Nümunə. cos + sin = tənliini həll edin. Həlli: Burada a =, b = olduğundan hər iki tərəfi c = a + b = + = -ə bölək: cos( ) = cos t = + cos = cos = cos t = t = ± + n, n Z 9 hər iki tərəfdən çıaq = t əvəz edək = ± + n, hər iki tərəfi -ə bölək cos + sin = + cos + cos = cos sin arccos( ) = köməkçi bucağı dail edilir toplama düsturuna görə t = əvəz edək olduğuna görə Çap üçün deil

195 Triqonometrik tənliklərin həll üsulları t = + n və a t = + n = + n = + n = + + n = n, n Z = n, n Z Cavab: + n, n, n Z. Nümunə. cos = sin tənliinin [0; ] parçasında neçə kökü var? Həlli: cos sin = sin ikiqat bucaq düsturuna görə sin sin = 0 sin = a əvəz edək a + a = 0 a = və a = kvadrat tənliin həlli sin = sin = = + n = + n, n Z k = 0 olduqda tapılan və verilmiş tənliin [0; ] parçasındakı kökləridir. k parametrinin digər qimətlərinə uğun köklər bu parçada erləşmirlər. Cavab: iki kökü var. = cos və = sin funksialarının qrafiklərinin kəsişmə nöqtələrinə görə də həllin düzgünlüünü olamaq olar. Bu qrafikləri qrafkalkulatorla ( qurmaqla həlli olaaq. 5/ / / ( ; ) (0; ) / = 0 6 = + k və = + k + k = + k, k Z. n parametrinin heç bir qimətində tapılan köklər verilən parçada erləşmir. və (/; 0,5) (5/; 0,5) / / / 5/ Çap üçün deil

196 Triqonometrik tənliklərin həll üsulları Örənmə tapşırıqları -in verilən qimətlərindən hansı tənliin köküdür? ) cos = 0 a) = b) = ) cosec = 0 a) = b) = ) tg = 0 a) = b) = 6 Tənlikləri vuruqlara aırma üsulu ilə həll edin. a) sin sin = 0 b) sin + sin = 0 c) cos cos = 0 d) cos cos = 0 Yeni dəişən dail etməklə tənlikləri həll edin. a) sin sin = 0 b) sin 5 sin + = 0 c) cos cos 5 = 0 d) cos cos + = 0 e) sin cos + = 0 f) cos + sin = 0 g) tg tg + = 0 h) ctg + tg = Bircins tənlikləri həll edin. a) sin + cos = 0 b) sin cos = 0 c) sin sin + cos = 0 Dərəcəni azaltma düsturlarını tətbiq etməklə tənlikləri həll edin a) sin = 0 b) cos = 0 96 ) cos = 0 a) = b) = 5) sin sin = 0 a) = b) = 6) sec sec = 0 a) = b) = 6 6. Tənliin verilmiş aralıqda erləşən köklərini tapın. a) tg = 0, 0 60º b) 6 sin + 5 = 8, 0 π c) cos =, 0 π d) cos + = 0 60º Mütəlif üsulları tətbiq etməklə tənlikləri həll edin. a) cos cos = 0 b) sin + sin = 0 c) sin cos = d) sin + cos = e) sin sin = 0 f) sin = cos g) ( + tg ) cos = 0 h) ( tg ) sin = 0 i) sin +,5 sin = sin j) cos + sin = cos k) cos sin = l) sin = sin Çap üçün deil m) sin cos = n) cos + sin =

197 Triqonometrik tənliklərin həll üsulları 8. Kalkulatordan istifadə etməklə tənliklərin 0 < π intervalında təqribi həllərini tapın. a) tg + = b) 8 cos + = c) sin = sin 5 d) sin + cos = 5 9. Tənlikləri həll edin. ) (ctg )( sin + ) = 0 ) sin = cosec ) tg ctg = 0 ) cosec ctg = 0 5) tg sin tg = 0 6) sec tg = tg 7) 9 sin 6 sin + = 0 0. ) sin( ) = tənliinin: 97 8) (tg )(cos ) = 0 9) tg + = + ctg 0) cos = sin + ) sin cos = cos ) sin cos = 0 ) cos sin = 0 ) cos cos + = 0 a) ən kiçik müsbət kökünü; b) ən böük mənfi kökünü; c) [ ; ] aralığında erləşən köklərini tapın. ) sin cos = + sin cos tənliinin ( ; ) aralığında erləşən köklərini tapın.. Funksiaların qrafiklərini qurun. Qrafiklərin 0 < π intervalında ou ilə kəsişmə nöqtələrini azın. a) = sin + b) = cos. Şəkildə verilmiş qrafikə görə. Cərəan şiddəti. İşıq mənbəi kimi cos (( 60 )) + 6 = istifadə edilən generatorun aratdığı tənliinin həllini (təqribi) azın. elektrik cərəanını I = 0sin80t düsturu ilə ifadə etmək olar. Burada 0 = cos(( 60º)) +6 t zamanı saniə ilə, I cərəan 8 şiddətini amperlə göstərir. t-nin elə ən kiçik müsbət qimətini tapın ki: 6 = a) I = 0 A; b) I = 0 A olsun º 0º 80º 0º00º 60º. Yadan asılmış cismin rəqsi hərəkətini d = sin t düsturu ilə modelləşdirmək olar. Neçənci saniədə aın erdəiş - məsi sm olacaq? Çap üçün deil sm 0 sm sm sm 0 sm sm

198 Triqonometrik tənliklərin tətbiqi ilə məsələ həlli 5. a) Koordinat başlanğıcı ətrafında saat əqrəbi hərəkətinin əksi istiqamətdə qədər dönmədə ( ;) nöqtəsi hansı nöqtəə çevrilər? b) Koordinatları (;) olan nöqtə koordinat başlanğıcı (, ) ətrafında neçə dərəcə dönmədə koordinatları ( ; 6) (, ) olan nöqtəə çevrilər? 6. Besbol topuna vurulan zərbə ilə topun qət etdii olun v0 başlanğıc sürətindən və θ mel θ v0 bucağından asılılığı d = sinθ kimidir. g Burada g sərbəstdüşmə təcilidir. Bes bol to - puna vurulan zərbə ilə top v0 = 0 m/san başlanğıc sürəti ilə hərəkət edərək 70 m aralıda daanmış rəqib ounçu tərəfindən tutulmuşdur. mel bucağını tapın. 7. Mahir velosipedinin təkərinin balansını olamaq istəir. O, təkərin bağları üzərində işarə qoaraq onu fırladır. Təkərin üzərindəki işarənin hərəkətini h(t) = + 8 cos t kimi ifadə etmək olar. Burada h hündürlüü (sm-lə), t zamanı (saniə ilə) göstərir. a) t = 5 san olduqda işarə hansı hündürlükdə olacaq? b) Neçənci saniələrdə işarə 60 sm hündürlükdə olar? 8. Kosmos. Kommunikasia məqsədləri üçün nəzərdə tutulmuş Yerin süni pekinin orbiti er səthindən t mil məsafədədir. Yerin radiusu 960 mildir. Təsəvvür edin ki, pek horizont Yer səthinin müəən hissəsini görüntü - çevrəsi ləir. Şəkildə horizont çevrəsi ilə hüdudlanan bu hissə qara rənglə verilmişdir. A α Horizont çevrəsinə görə bəzi ölçüləri α müəən etmək üçün şəkildən istifadə edin. a) t-nin α-dan asılılıq düsturunu azın. B t b) α = 0 olarsa, t-ni tapın. c) t = 0000 mil olarsa, α-nın qimətini tapın. AB minor qövsünün uzunluğunu hesablaın. Yer kürəsini ekvator ətti bou tam görüntüləmək üçün ən azı neçə belə pek lazımdır? Çap üçün deil 98

199 Triqonometrik tənliklərin tətbiqi ilə məsələ həlli 9. Ədəbiat. İspan azıçısı Migel de Servantesin f(t) məşhur romanının qəhrəmanı Don Kiot özünü ço 6 güclü hesab edirdi və bir gün el dəirmanını daandırmaq fikrinə düşür. Bunu bacarmaan Don 8 Kiot dəirmanın pərlərindən birinə ilişir və havada 0 t fırlanmağa başlaır zaman (san) Triqonometrik funksiaların köməilə Don Kiotun düşdüü vəziəti modelləşdirmək olar. Şəkildəki qrafik pərlə birlikdə fırlanan Don Kiotun erdən hündürlüünün zamandan asılılığını göstərir. ) Tələb olunan göstəriciləri qrafikə görə tapın və real situasiaa uğun izahını azın: a) Amplitud; b) Period. ) Funksianın düsturunu azın. Don Kiotun havada fırlanmasının altı tam dövrünə uğun funksianın təin oblastını və qimətlər çoluğunu azın. ) Don Kiot hansı saniələrdə erdən 0 m hündürlükdə olacaq? ) Pərin sürətinin zəifləməsi sinusoidal qrafikin formasına necə təsir göstərər? 0. Harmonik rəqs. Yadan asılmış cismin ağırlığı ilə aın tarazlıq (sükünət) vəziətindən erdəişməsini = (sint cost) düsturu ilə ifadə etmək olar. Burada t zamanı saniə ilə, erdəişməni metrlə göstərir. Yaın 0 t zaman intervalında tarazlıq nöqtəsində olduğu vatları tapın.. Su çarlarından suun hərəkət enerjisini fadalı enerjiə çevirmək üçün istifadə edilir. Çarın balansını olamaq üçün üzərinə mismar çalındı və fırladıldı. Mismar hərəkətin başlanğıcında ən hündür nöqtədə olmaqla su səthindən,5 m məsafədə, çarın hərəkətilə saniə sonra ən aşağı nöqtədə-su səthindən 0,5 m aşağıda olur. a) Mismarın su səthindən h hündürlüünün zamandan asılılığını göstərən funksianın düsturunu azın. b) Hərəkətə başladıqdan 5 saniə sonra mismar hansı hündürlükdə olacaq? c) Çar hərəkətə başladıqdan necə saniə sonra mismar su səthindən,5 m hündürlükdə olacaq? Çap üçün deil 99 hündürlük (m)

200 Triqonometrik bərabərsizliklər Sadə triqonometrik bərabərsizliklərin həlli vahid çevrənin və a triqonometrik funksiaların qrafiklərinin köməi ilə erinə etirilir. Nümunə. sin > bərabərsizliini 0< < intervalında qrafik üsulla həll edin. Bərabərsizliin ümumi həllini azın. Həlli: Verilən bərabərsizlii həll etmək = sin funksiasının qrafikinin ordi - natı -dən böük olan nöqtələr çoluğunun absislərini müəən etmək de məkdir.. = sin funksiasının qrafikini quraq.. Eni koordinat müstəvisində = funksiasının qrafikini quraq.. Qrafiklərin kəsişmə nöqtələrini qed edək.. Göründüü kimi, = düz ətti = sin funksiasının qrafikini iki hissəə bölür. Qrafikin = düz əttindən uarıda qalan hissəsinə aid nöqtələrin absisləri verilən bərabərsizliin həllidir. Bu nöqtələr 0 < < intervalında absisi > və < olan nöqtələrdir. Yəni bərabərsizliin 0 < < intervalındakı həlli < < şərtini ödəən nöqtələr çoluğudur. 6 6 = sin = / / /6 / 5/6 / 5/ Triqonometrik bərabərsizliin həllini vahid çevrə üzərində təsvirdən də adın görmək olar. Verilən bərabərsizlii ödəən bütün qalan intervallar ( ; ) intervalını -nin mislinə bərabər məsafə qədər sağa və sola sürüşdürməklə alınır. Buna görə də sin > bərabərsizliin həlli + n < < + n (n Z) olar Nümunə. sin < bərabərsizliini həll edin. Həlli: sin = tənliinin kökləri = sin və = funksialarının qrafiklə - rinin kəsişmə nöqtələrinin absisləridir. Tənliin bir həlli = olduğundan, uzun luğu olan [0;] aralığında digər həlli = olur. Qrafik üzərində absisləri və olan kəsişmə nöqtələrini qed edək. 00 Çap üçün deil 5 6 6

201 Triqonometrik bərabərsizliklər 7 Bu nöqtələrdən hər iki tərəfdə daha iki nöqtə göstərək: nöqtəsindən qədər sağda + = və nöqtəsindən qədər solda = nöqtələri də qrafiklərin kəsişmə nöqtələrinin absisləridir. = ( ; ) aralığında = sin funksiasının qrafiki üzərindəki nöqtələrin ordinatı -dən kiçikdir. Dövrilii nəzərə almaqla sin < + n < < + n (n Z) şəklində aza bilərik. Nümunə. cos > Həlli: = cos və = absislərini cos = bərabərsizliini həll edin. funksialarının qrafiklərinin kəsişmə nöqtələrinin tənliindən tapaq: = + n və = + n. (n Z) n = 0 olduqda kəsişmə nöqtələrinin absisləri və olur. Bu nöqtələri qrafik üzə rin də qed edək. Bu nöqtələrdən hər iki tərəfdə daha iki nöqtəni göstərək. 0 bərabərsizliinin həllini Qrafik təsvirdən göründüü kimi ( ; ) aralığında sin > bərabərsizlii ödənilir. sin > bərabərsizliini ödəən qalan intervallar ( ; ) intervalını -nin mislinə bərabər məsafə qədər sağa və sola hərəkət etdirməklə alınır. Deməli, sin > 7 bərabərsizliinin ümumi həlli + n < < + n (n Z) şəklində olur. 0 Çap üçün deil 7 9 =

202 Triqonometrik bərabərsizliklər 7 7 nöqtəsindən qədər sağda + = və nöqtəsindən qədər solda = nöqtələrini də qrafik üzərində qed edək. Verilmiş bərabərsizlii ödəən intervallardan biri uğun tənliin mütləq qimətcə ən kiçik kökləri, əni, və nöqtələri arasındadır. Dövrilii nəzərə almaqla cos > bərabərsizliinin həllini + n < < + n (n Z) şəklində alırıq. Qrafik təsvirə görə cos < bərabərsizliinin həlli + n < < + n (n Z) olur. Nümunə. tg > və tg < bərabərsizliklərini həll edin. Həlli: Eni koordinat müstəvisində = tg və = funksialarının qrafiklərini təsvir edək. tg = tənliindən qrafiklərin ( ; ) aralığında erləşən kəsişmə nöqtəsinin absisini tapaq: = ( ; ) aralığında tg artan funksiadır. = olduqda tg = olduğundan < < olduqda tg <, < < olduqda tg > olar. tg funksiası dövrlü funksia olduğuna görə tg < bərabərsizliin həlli + n < < + n (n Z), tg > bərabərsizliinin həlli isə + n < < + n (n Z) olur. Nümunə 5. ctg > və ctg < bərabərsizliklərini həll edin. Həlli: Eni koordinat müstəvisində = ctg və = funksialarının qrafiklərini təsvir edək. (0; ) aralığında qrafiklərin kəsişmə nöqtəsinin absisini ctg = tənliindən tapırıq: = = (0; ) aralığında ctg azalan funksiadır. o = olduqda ctg = olduğundan 0 < < olduqda ctg >, o 6 = < < olduqda isə ctg < olur. Bu o deməkdir ki, ctg > bərabərsizlii 0 + n < < + n (n Z) şərti ilə, ctg < bərabərsizlii isə + n < < + n (n Z) şərti ilə ödənilir. 6 Çap üçün deil 6

203 Triqonometrik bərabərsizliklər Triqonometrik bərabərsizlikləri həll etmək üçün: ) Bərabərsizliin sağ və sol tərəfinə dail olan funksiaların qrafiklərini eni koordinat müstəvisində qurun; ) Uğun tənlii həll edib, qrafiklərin koordinat başlanğıcına aın bir neçə erdə kəsişmə nöqtəsinin absislərini tapın və qed edin; ) Verilmiş bərabərsizliin ödəndii hər hansı aralığı müəən edin; ) Dövrilii nəzərə almaqla bərabərsizliin həllini azın. Nümunə 6. cos 0 bərabərsizliini 0< < intervalında həll edin. Həlli:. = cos funksiasının qrafikini quraq. ( /,0) ( /6,0) (/6,0) (/,0) (5/6,0) (7/6,0) (/,0) (/6,0) -/ -/ 0 / / 5/ Qrafikdən göründüü kimi, cos-in 0-dan kiçik və a 0-a bərabər olan qimətlərinə qrafikin absis ou ( = 0 düz ətti) üzərində və ondan aşağıda erləşən nöqtələri uğundur. 0< < intervalında bərabərsizliin həlləri 5 7,, aralıqları olur. 6 Nümunə 7. sin ( ) + bərabərsizliini 0< <inter valında həll edin. Həlli: Qrafkalkulatorla = sin + 6 = sin( ) + və = = funksiasının qrafiklərini quraq. Qrafikin = düz ətti üzərində və ondan uarıda qalan hissəsinə aid nöqtələrin absisləri bərabərsizliin həllidir. Bu 0<< inter valında 0 < olan nöqtələrdir. Bərabərsizliin həlli ümumi şəkildə k + k olar. Yolama: Həll intervalından bir nöqtə, məsələn = nöqtəsini sınaq nöqtəsi olaraq seçək və həllin doğruluğunu olaaq: sin ( ) + 5 sin Çap üçün deil

204 Triqonometrik bərabərsizliklər Örənmə tapşırıqları Bərabərsizliin [ ; ] parçasında erləşən həllərini tapın. a) sin > b) sin > c) sin > 0 Bərabərsizliin [ ; ] parçasında erləşən həllərini tapın. a) sin < b) sin < c) sin < 0 Bərabərsizlikləri həll edin. a) sin > b) sin > c) sin < d) sin < e) cos f) cos > g) cos < h) cos i) tg > j) tg > k) tg l) tg < m) ctg > n) ctg > p) ctg q) ctg < Nümunəni araşdırın. Bərabərsizlikləri həll edin. Nümunə. Həlli: 6 sin( + ) > 0 sin( + ) > + = t əvəz edək: sin t > + n < t < + n, n Z + n < + < + n n < < + n, n Z 6 Bərabərsizliin [0; ] parçasında erləşən həllərini tapın. a) cos < b) cos c) cos < 0 Bərabərsizliin [ ; ] parçasında erləşən həllərini tapın. a) cos > 0 b) cos > c) cos > Bərabərsizliin ( ; ) aralığında erləşən həllərini tapın. a) tg > b) tg < c) tg Bərabərsizliin (0; ) aralığında erləşən həllərini tapın. a) ctg < b) ctg > c) ctg 0 a) sin > 0 b) cos 0 c) sin( + ) > 0 d) cos( ) +< Çap üçün deil 6 5 6

205 Triqonometrik bərabərsizliklər 9. Vahid çevrə üzərində aşağıdakı şərtlərin hansı rübdə ödənildiini azın. a) sin > 0, cos < 0 b) cos < 0, tg < 0 0. c) sec > 0, tg > 0 d) tg < 0, sin > 0 Açıq tipli tapşırıq. Vahid çevrənin qırmızı rəngli hissəsini ifadə edən triqonometrik bərabərsizlik azın.. Bərabərsizliin həllinin qrafik təsvirinə görə bərabərsizlii və həll intervalını azın. /6 5 ( ; ) ( ) 5/6 = cos 7/6 /6 7 / / ; =. Şəkildə sin t, sin t bərabər sizlik lərinin həllinin ümumi azılışı və vahid çevrə üzərində təsviri mütəlif rənglərlə nümunə olaraq verilmişdir. = sin t sin t 5 + k t + k, k Z + k t + k, k Z Aşağıdakı bərabərsizliklərin həllini nümunəə uğun təqdim edin. a) sin t b) sin t c) sin t < d) sin t e) sin t = Çap üçün deil

206 Triqonometrik bərabərsizliklər. Nümunədə cos t və cos t bərabərsizliklərinin ümumi həlli və vahid çevrə üzərində təsviri verilmişdir. cos t Aşağıdakı bərabərsizliklərin həllini nümunəə oşar üsulla təqdim edin. a) cos t b) cos t c) cos t 06 cos t 5 + n t + n + n t + n a) sin sin cos cos b) sin cos > c) sin cos + cos sin < 5 =. Triqonometrik eniliklərə görə sadələşdirib, bərabərsizlii həll edin. 5. Bərabərsizliin hər iki tərəfini müəən ədədə bölün, köməkçi bucaq dail edərək sadələşdirin və həll edin. a) sin + cos > b) sin cos < 6. Bərabərsizlii həll edin. a) ( sin ) (sin ) < 0 b) ( cos ) (cos + ) > 0 c) cos + cos < 0 7. Bərabərsizlikləri (0; ) inter valında həll edin. a) cos > b) cos( ) c) sin( + ) d) sin( ) 0 e) cos < f) ctg( ) > g) tg h) sin( ) < 6 Çap üçün deil

207 Triqonometrik bərabərsizliklər Məsələ həllinə nümunə. Radiusu 0 m olan karusel hər 0 saniədə bir tam dövr edir. Ən aşağıda erləşən oturacaq erdən m hündürlükdədir. a) Məsələə uğun qrafik təsviri çəkin. b)hərəkətin başlanğıcında ən aşağıda olan kabinə karuselin bir tam dövrü ərzində hansı saniələrdə erdən m və daha üksək hündürlükdə olacaq? c) Bu oturacağa ələşən şəsin karuseldə fırlanarkən erdən olan hündürlüünün zamandan asılılığını göstərən funksianı h(t) = asinb(t c) + d şəklində azın. Həlli: a) Məsələdə verilənlərə uğun m sematik təsvir çəkək. Karuselin çevrə üzrə hərəkətində hər dörddə bir m fırlanmaa uğun nöqtələri qed edək. Bu nöqtələri birləşdirsək, karuselin bir dövrə uğun (60 ) m qrafikini - sinusoid alarıq b) Qrafikdən göründüü kimi, başlanğıcda ən aşağıda olan kabinə 0-cu saniədən 0-cu saniəə qədər müddət ərzində erdən m və daha üksək hündürlükdə olacaq. c) Məsələdə verilənlərə və qrafikə görə funksianın düsturunu azaq. Dövrə görə tezlii, b-ni tapaq: T = b T = 0 san, = 0 b = = 9 b 0 Məsələdə verilən maksimum və minimuma görə amplitudu və orta ətti tapaq. maksimum minimum a = = = 0 maksimum + minimum d = = + = Faza sürüşməsini, c-ni müəən edək. Sinus funksiası maksimumu dövrün dörddə birində alır. Lakin bu funksianın maksimumu 0 saniə gec (0-ci saniədə) aldığını müşahidə edirik. Faza sürüşməsi c = 0. Deməli, h(t) = 0 sin 9(t 0) +. Çap üçün deil 07

208 Ümumiləşdirici tapşırıqlar.... Kalkulatorla hesablaın. a) cos ( 0,8) b) sin 0,99 c) tg d) cos 0,55 Tənliklərin [0; π) ( və a [0; 60 )) aralığındakı köklərini tapın. a) sin( + 60º) = b) cos( 0º) = c) tg( + 5º) = d) sin( 0º) = e) cos( ) = f) tg( ) = Bərabərsizlikləri 0<< inter valında həll edin. a) cos b) cos > 0 c) sin < 0 d) sin 0 e) tg f) sec g) cos > h) cos 0 i) sin( + ) > j) cos k) cos l) sin 5 5 m) cos n) sec o) ctg Tənlikləri həll edin. a) ctg + = b) 5 sec = 6 sec c) sin sin + = 0 d) tg ctg = 0 08 e) sin + = f) cos cos = g) tg tg + = 0 h) cos = sin + 5. Tural və Hüsen şəkil üzərində qed edildii kimi radiusu 00 m olan çevrə bou qaçırlar. Tural şəkil üzərində 0,05 rad/san qed edilmiş nöqtədən başlaaraq saat Tural buradan qaçışa başlaır r = 00 m əqrə bi hərəkətinin əksi istiqamətdə 0,0 radian/saniə, Hüsen isə qed edil miş nöqtədən saat əqrəbi hərə kəti - 0,0 rad/san nin əksi istiqamətdə 0,05 radian/saniə sürətlə qaçır. Hüsen buradan qaçışa başlaır a) 6-cı saniədə onların olduqları nöqtələrin koordinatlarını müəən edin. b) 8 saniə ərzində onlar nə qədər ol qaçmış olacaqlar? c) Turalın t saniədən sonra hərəkətilə cızdığı dönmə bucağını ifadə edin. d) Tural ilk dəfə neçənci saniədə absisi 50 olan nöqtədə olacaq? e) Hüsen ilk dəfə neçənci saniədə absisi 50 olan nöqtədə olacaq? f) Tural neçənci saniədə ilk dəfə Hüseni ötüb keçəcək? Çap üçün deil

209 Ümumiləşdirici tapşırıqlar 6. Astronomia. Merkuri planeti Günəş Merkuri ətrafında ellips üzrə hərəkət edir. Onun Günəş r hərəkətini aşağıdakı düsturla ifadə etmək olar: r =, 0 7 0,06 cos Orbit bucağının hansı ən kiçik müsbət qimə - tin də Merkuri planeti ilə Günəş arasındakı məsafə 0 7 km olacaq? 7. Seçilmiş ərazidə çöl dovşanlarının saının çoalmasının (onlarla bəslənən t ırtıcıların çoalmasına görə) zamandan asılığını D(t) = 00cos kimi modelləşdirmək olar. D dovşanların saını, t isə 000-ci ildən baş - laaraq zamanı illə göstərir. a) Dovşanların maksimum və minumum saı nə qədər olur? b) Cari il üçün dovşanların saı nə qədər olmalıdır? c) Dovşanların saı hansı ildə təminən 000 olmuşdur. d) Funksianın qrafikini illik dövr üçün çəkin. 8. Bir il ərzində toplanan məlumatların araşdırılması nəticəsində şəhərdə günün uzunluğunun (saatlarla) aşağıdakı asılılıqla dəişdii müəən edilmişdir. 8 π D() = cos 65 Burada ilə günlərin ilin əvvəlindən hesablanan nömrəsi işarə olunub. a) Yanvarın -də, martın -də, noabrın 5-də günün uzunluğu neçə saatdır? b) Hansı tarilərdə günün uzunluğu saatdan çodur? 9. Qrafik = a sin b şəklindəki funk - sianın qrafikidir. a) Qrafikdən a və b -nin qimətlərini tapın. b) = düz ətti ilə kəsişdii P və Q nöqtələrinin koordinatlarını tapın Tənliklərin [0; π) aralığındakı köklərini tapın. P Q = a) cos = sin b) sin 5 sin = 0 c) sin + cos = d) cos cos = cos e) tg( ) = f) sin cos = 8 Çap üçün deil

210 8 Fəza fiqurlarının həcmi Prizmanın həcmi Piramidanın həcmi Fəza fiqurlarının oşarlığı Oşar fəza fiqurlarının səthləri və həcmləri Kəsik piramidanın həcmi Müstəvi kəsiklərinə aid məsələlər Fəzada simmetria Çap üçün deil 0

211 Prizmanın həcmi Araşdırma. Kublarla mütəlif ölçülü prizmalar quraşdırın və a onların şəklini çəkin. Ən azı dörd prizma quraşdırın.. Fərz edin ki, prizmanı təşkil edən hər kubun tərəfinin uzunluğu vahid, hər üzü kvadrat vahid, həcmi kub vahiddir.. Prizmalara görə cədvəldəki məlumatları müəən edin və onu doldurun.. Prizmanın oturacağının sahəsi və hündürlüü ilə həcmi arasında hansı əlaqəni aşkar etdiniz?. Konstruksiaların küncündən bir kubu çıarın, alınan kuboidin üstdən, öndən və andan görünüş şəkillərini çəkin. Prizma Oturacağının sahəsi... Hündürlüü. Cismi sonlu sada üçbucaqlı piramidalara aırmaq olarsa, ona sadə cisim deilir. Sadə cisimlər üçün həcm - ədədi qiməti aşağıdakı assələri ödəən müsbət kəmiətdir: ) Konqruent cisimlərin həcmləri bərabərdir. ) Tili uzunluq vahidinə bərabər olan kubun həcmi kub vahidə bərabərdir. ) Cisim sadə cisimlərlə hissələrə arılırsa, onda bu cismin həcmi onun hissələrinin həcmləri cəminə bərabərdir. Həcmləri bərabər olan cisimlərə müadil (eni böüklükdə) cisimlər deilir. Ölçüləri natural ədədlər olduqda düzbucaqlı paralelepipedin həcmi ədədi qimətcə onu təşkil edən vahid kubların saına bərabərdir. b Ölçüləri istənilən həqiqi ədəd a olduqda da göstərilir ki, düzbucaqlı paralelepipedin həcmi onun üç ölçüsünün hasilinə bərabərdir: V= a b c Həcm düsturunda a b hasili oturacağın sahəsi, c isə hündürlük olduğundan onu belə də ifadə etmək olar: V = Soth Düzbucaqlı paralelepipedin həcmi oturacağının sahəsi ilə hündürlüü hasilinə bərabərdir. Tilinin uzunluğu a olan kubun həcmi: V = a İstənilən düz prizmanın həcmi oturacağının sahəsi ilə hündürlüü hasilinə bərabərdir. Bu təklifin doğru olduğunu oturacağı düzbucaqlı üçbucaq olan düz prizma üzərində göstərək. Həcmi Çap üçün deil

212 Prizmanın həcmi D Oturacaqlardakı düzbucaqlı üç bucaq - B C B C ları düzbucaqlıa tamamla maqla, priz - A manı da düzbucaqlı paralelepi pedə A tamamlaaq. Alınan düz prizmanın D həcmi V = ABACAA olar. B C B C Prizmanın oturacağının diaqonalından A keçən BB C C müstəvisi prizmanı iki A konqruent üçbucaqlı prizmaa bölür. Deməli, oturacağı düzbucaqlı üçbucaq olan düz prizmanın həcmini aşağıdakı kimi aza bilərik: AB AC V = AA = Soth M B C Prizmanın oturacağı istənilən ABC üçbucağı olduqda, bu üçbucağın hündürlük lərindən eləsini çəkək ki, qarşı tərəfi onun A daili nöqtəsində kəssin: AM BC. AA tilindən keçməklə BC tilinə perpendikular olan müstəvi B M C bu prizmanı hündürlükləri eni, oturacaqları düzbucaqlı üçbucaq olan iki prizmaa aırır. Verilən prizmanın həcmi bu A prizmaların həcmləri cəminə bərabərdir. E D Deməli, oturacağı istənilən üçbucaq olan düz prizmanın da həcmi oturacağının sahəsi ilə hündürlüü hasilinə bərabərdir. A C B Düz prizmanın oturacaqları itiari çobucaqlılar olarsa, bu E D prizmanı oturacağı üçbucaq olan düz prizmalara aırıb həcmlərini toplamaqla verilən prizmanın həcmini hesablamaq olar. A C Şəkildəki ABCA B C mail prizmasını onunla eni həcmli olan düz prizmaa çevirək. Bunun üçün: B. Prizmanın an tilinə perpendikular müstəvi kəsii keçirək. N. Müstəvi kəsiindən uarıda qalan hissəsini aıraq. l θ. Arılmış hissəni çevirərək prizmanın müstəvi kəsikdən H aşağıda qalan hissəsinə apışdıraq. B A. Alınan düz prizmanın hündürlüü mail prizmanın an tilidir, C M əni h = l, oturacağı isə mail prizmanın perpendikular kəsiidir. N Bu düz prizmanın həcmi elə mail prizmanın həcmidir. Nəticə: Mail prizmanın həcmi perpendikular kəsiin sahəsi ilə an tilinin hasilinə bərabərdir: V = S l Perpendikular kəsik müstəvisi ilə oturacaq müstəvisi arasındakı bucaq mail prizmanın an tili ilə hündürlüü arasındakı bucağına bərabər olduğundan V = S l=sotcos l =Sot H Beləliklə, prizmanın həcmi oturacağının sahəsi ilə hündürlüü hasilinə bərabərdir. V = Sot H Çap üçün deil A B M

213 Prizmanın həcmi Həcmlər haqqında Kavaleri prinsipi. Oturacaqları eni müstəvi üzərində olub, hündürlükləri bərabər olan iki cismin oturacaqlara paralel istənilən müstəvi kəsiklərinin sahələri bərabərdirsə, həcmləri də bərabərdir. Bu prinsipi italan riaziatçısı Bonaventura Kavaleri (598-67) aşkar etmişdir. S S h Prizmanın həcmi Prizmanın həcmi oturacağının sahəsi ilə hündürlüü hasilinə bərabərdir. V = Soth Düz prizma h Mail prizma h Nümunə. Oturacağının tərəfinin uzunluğu sm, an tilinin uzuznluğu 9 sm olan düzgün beşbucaqlı prizmanın həcmini tapın. Düzgün beşbucaqlının mərkəzi bucağı 60 : 5 = 7 olduğundan apofemi r = tg6 Düzgün çobucaqlının sahəsi perimetri ilə apofemi ha - si linin arısına bərabərdir Sot = Pr = 5 = V = S0 h = 8 (sm tg6 tg6 tg6 ). Cədvəldə verilənlərə görə sual işarəsinin erindəki ölçüləri tapın. Düzbucaqlı paralelepipedin ölçüləri Qimətləri uzunluğu a 6 0? 8 eni b 0 5? 8 hündürlüü c 5?? San??? Stam?????? V?? 60???. 8 sm 5 sm 0 sm ölçüdə düzbucaqlı paralelepiped şəkilli metal blok bütünlüklə sm,5sm sm ölçülü metal lövhələrdən ibarətdir. Metal bloka neçə belə lövhə işlədilmişdir. 9 sm sm r Çap üçün deil

214 Prizmanın həcmi. Şəkildə verilənlərə görə düz prizmaların həcmini hesablaın. 7sm sm mm. 5sm sm,5m Oturacağı kvadrat olan mail prizmanın həcmini tapın. m 5.,8m 0mm mm Mürəkkəb fiqurların həcmlərini hesablaın. sm m m Şəkildəki taıl ambarı hansı fəza fiqurunun formasındadır? Onun neçə üzü, neçə tili var? 6 m Verilən ölçülərinə görə ambarın həcmini hesablaın. 7 m 5 m 0. a) İsbat edin ki, düzbucaqlı paralelepipedin hər hansı diaqonalının kvadratı onun üç ölçüsünün kvadratları cəminə bərabərdir: d = a + b + c b) a =, b =, d= olduqda düzbucaqlı parlelepipedin həcmini tapın.. 5 sm sm Paralelepipedin həcmi necə dəişər? 0sm a) Ölçülərindən biri iki dəfə artsa; b) İki ölçüsünün hər biri iki dəfə artsa; c) Hər üç ölçüsü iki dəfə artsa. Süd məhsulları istehsalı ilə məşğul olan şirkət eni satış kampaniası üçün qimətini salamaqla süd qutularının tutumunu 5% artırmağı planlaşdırır. Qutunun alnız hündürlüünü dəişdirməklə buna necə nail olmaq olar? Ölçüləri şəkildə göstərildii kimi olan qabın içərisinə atılan daşla suun səviəsi 0,5 sm qaldı. Daşın həcmini tapın. sm Uzunluğu 0 m olan hovuzun en kəsiinin şəkildə verilmiş ölçülərinə görə tapın: a) Hovuz neçə ton(m = ton) su tutur? b) Dolu hovuz iki eni boru ilə saata boşaldıldı. Hər boru dəqiqədə neçə kub metr su boşaltdı?,8 m sm 5sm 5 sm m m 6 m 50 sm 6m m SÜD 00% təbii 5 sm Çap üçün deil, m

215 Prizmanın həcmi... Şəkildəki metal blokun sılığının 7860 kq/m olduğunu bilərək, onun ümumi kütləsini hesablaın. Oturacağı düzgün altıbucaqlı olan düz prizmanın həcmini tapın. mm 5sm 0sm 5sm 50 mm,5sm 0sm a) b) a) Şəkildə verilən ölçülərə görə konstruksianın tam səthinin sahəsini hesablaın. b) sm -nun qiməti qəpik olan alüminiumdan hazırlanan bu konstruksia sm -nun qiməti 0 qəpik olan davamlı metaldan hazırlanan konstruksiaa görə neçə manat ucuz olar? 60mm 0mm 0mm 00 sm 0 sm 6 sm 50mm 80mm 70mm 0mm Düzgün üçbucaqlı prizmanın an səthinin sahəsi 8 sm, hündürlüü isə 8 sm-dir. a) Oturacağın tərəfinin uzunluğunu tapın. b) Prizmanın həcmini tapın. Düzgün altıbucaqlı prizmanın oturacağının tərəfi 6 sm, hündürlüü sm-dir. Prizmanın an səthini və həcmini tapın. Mail prizmanın oturacağı tərəfi sm olan bərabərtərəfli üçbucaqdır. Prizmanın an tilinin uzunluğu 0 sm olub,oturacaq müstəvisi ilə 60º bucaq əmələ gətirir. Bu prizmanın həcmini tapın. 8. a) Düzbucaqlı paralelepipedin üç üzünün sahələri sm, sm, 6 sm -dir. Bu paralelepipedin həcmini tapın. b) Ölçüləri sm, sm və 5 sm olan düzbucaqlı paralelepipedin hər tilini sm artırdıqda səthi 5 sm artır. Həcmin nə qədər artdığını tapın. 9. Şəkildəki ABCD düzbucaqlısı formasında olan melli sahənin torpağı çıarılaraq CDEF düzbucaqlısı şəklində düz sahəə çevrilmişdir. AB = 0 m, ED = m-dir. Sahə 0 m azalmışsa, bu ərazidən neçə kub metr torpaq çıarılmışdır? 0. Şəkildəki düz prizmanın oturacağı kvadratdır. SABCD= sm, BEG = 60 olarsa, prizmanın həcmini tapın. 5 A 0 E B F A C A sm C 0sm 60 0 B h B h H Çap üçün deil F A E D G B K C D C

216 Prizmanın həcmi... Sahəsi dm olan romb düz paralelepipedin oturacağıdır. Diaqonal kəsiklərinin sahələri 9 dm və 6 dm -dir. Paralelepipedin həcmini tapın. Yan üzünün diaqonalı 5 m, özünün diaqonalı isə 7 m olan düzgün dördbucaqlı prizmanın həcmini tapın. a) Tərəfi vahid olan kvadrat mail prizmanın oturacağıdır. 5 vahid uz un luqda olan an til oturacaq müstəvisi ilə 60 -li bucaq əmələ gətirir. Prizmanın həcmini tapın. b) Həcmi 6 kub vahid olan düzgün altıbucaqlı mail prizmanın vahid uzunluqdakı an tili oturacaq müstəvisi ilə 0-li bucaq əmələ gətirir. Oturacağın tərəfini tapın a) Düzbucaqlı paralelepipedin diaqonalı oturacağın diaqonalı ilə 0 -li bucaq əmələ gətirir. Şəkildə verilən ölçülərinə görə onun həcmini tapın. 0 0 b) Başqa bir düzbucaqlı paralelepipedşəkilli qutunun da 8 ölçüləri 8 6 ki midir. Lakin onun diaqonalı oturacağının diaqonalı ilə 60 li bucaq aradır. Bu iki paralelepipedin həcmlərinin nisbətinin -ə tg60 tg0 bərabər olduğunu göstərin. Düz prizmanın oturacağı kvadratdır. Onun an tilinin uzunluğu oturacağın tərəfindən dəfə böükdür, tam səthinin sahəsi isə 50 m -dır. Prizmanın həcmini tapın. Düzgün üçbucaqlı prizmanın bütün tillərinin uzunluqları -ə bərabərdir. Onun həcminin V = olduğunu göstərin. Düz üçbucaqlı prizmada oturacağının tərəfləri sm, 5 sm, 7 sm, an tili isə oturacağın böük hündürlüünə bərabərdir. Prizmanın həcmini tapın. Mail üçbucaqlı prizmanın an tilləri 0 sm, perpendikular kəsiinin tərəfləri sm, sm, 5 sm-dir. Prizmanın həcmini tapın. Düzgün altıbucaqlı prizmanın hündürlüü h, oturacağının tərəfi isə a-a bərabərdir. Onun həcminin V = a h olduğunu göstərin. Düzgün üçbucaqlı prizmanın bütün 9 tili eni uzunluqdadır. Prizmanın həcmi 6 sm olarsa, bir tilinin uzunluğu neçə santimetrdir? Düzbucaqlı paralelepipedin en və uzunluq ölçüləri 0% kiçildilmişsə, hündürlüü neçə faiz artırılmalıdır ki, həcmi dəişməsin? Çap üçün deil 6 6

217 Prizmanın həcmi. Kiçik laihə işi. İnformatika. 9sm sm ölçülü kartonun künclərindən kvadratlar kəsilib çıarılır. Qırıq ətlər bou kartonu qatladıqda karton qutu formasını alır. Qutunun maksimum həcmdə olması üçün o hansı ölçülərdə olmalıdır? Qutunun həcmini dəişəni ilə ifadə edək. V = ( ) (9 ) Verilən kartondan qutu düzəltmək üçün -in qimətləri 0 və 9 arasında dəişə bilər: 0 < <,5. Aşağıdakı kompüter proqramı -in 0 qiməti üçün həcmi hesablamışdır. 0 PRİNT X, HƏCM X HƏCM 5 PRİNT FOR X = 0 TO,5 STEP 0,5 0,5 0 LET V = ( *X) (9 *X) *X 70 0 PRİNT X, V, NEXT X END,5 70 Sağ tərəfdə çap edilmiş məlumat -in ilə arasındakı 5 qimətlərində həcmin maksimum olduğunu göstərir.,5 5 Həmçinin həcmin maksimum qimətinin 8 olduğu 6 da tapılmışdır.,5 0 Proqramın icra edilmiş hissəsinə görə aşağıdakıları erinə etirin. a) Daha dəqiq hesablamalar aparmaq üçün proqramın -in qimətlərini dəişən komandasını elə seçin ki, -in qimətləri -dən -ə qədər 0, addımla dəişsin. b) 0-ci komandanı elə dəişin ki, həcmin qiməti 0, sm dəqiqliklə hesablanılsın. c) Həcmin maksimum qimətinə uğun qutunun ölçülərini azın (en, uzunluq, hündürlük). d) Kompüter proqramını kartonun ölçüləri 8 sm 0 sm olan hal üçün azın və kompüterdə işləməsini təmin edin. e) Verilən proqramın (proqramlaşdırma dilini dəişə bilərsiniz) kompüterdə işləməsini təmin etmək üçün lazımı işləri erinə etirin.. Şəkildə qapağı içinə düşmüş qutu təsvir edilmişdir. sm Qapağın sahəsi 5 sm -dır. a) Qutunun -cü ölçüsünü tapın. b) Qapağın qutudan aırdığı kiçik qapalı hissənin həcmini tapın. sm sm c) Qutunun ağzı açıq böük hissəsinin həcmini tapın. 7 5sm 9 9 Çap üçün deil

218 Piramidanın həcmi. Uzunluğu m, eni 8 sm, qalınlığı 5.Fiqurların həcmləri və hündür - sm olan şalban şəkildə göstərilən lük ləri bərabərdir. Priz ma ların qadada 6 hissəə arılmışdır. Hər ilə işarə edilmiş ölçülərini bir hissənin həcmini tapın. müəən edin. 8sm 8sm 8sm 6 sm sm 6 sm 6 8sm 8sm 8sm Araşdırma.. Kubun diaqonalları onu altı konqruent piramidaa aırır. Hər bir piramidanın oturacağı kubun üzüdür, hündürlüü isə a-a bərabərdir. a) Hər bir piramidanın həcminin V = a olduğunu izah edin. 6 b) Hər bir piramidanın həcminin V = Sot h olduğunu izah edin. a Piramidanın həcmi m sm sm Piramidanın həcmi oturacağının sahəsi ilə hündürlüü hasilinin üçdə birinə bərabərdir. V = Soth Tutaq ki, TABC- təpəsi T, oturacağı ABC olan üçbucaqlı piramidadır. Bu piramidanı üçbucaqlı prizmaa tamamlaaq. Alınan prizma üç piramidadan: ) Verilmiş TABC piramidasından, ) TCNM və ) TMBC piramidalarından ibarətdir. -ci və -cü piramidaların T N oturacaqları konqruentdir: CNM MBC və T M təpəsindən çəkilmiş hündürlükləri ortaqdır. Buna görə də onların həcmləri bərabərdir. -ci və -cü piramidaların da oturacaqları konqruentdir: TAB BMT və C təpəsindən çəkilən hündürlükləri ortaqdır. Buna görə onların da həcmləri bərabərdir. Onda verilmiş piramidanın həcmi A C Soth-a bərabərdir. B İtiari piramidanın oturacağını üçbucaqlara aırıb, alınmış üçbucaqlı piramidaların həcmlərini tapıb cəmləməklə verilmiş piramidanın həcmini hesablamaq olar. Beləliklə, itiari piramidanın həcmi oturacağın sahəsi ilə hündürlüü hasilinin üçdə birinə bərabərdir: V = Soth 8 h B sm h B 6sm Çap üçün deil a a

219 Piramidanın həcmi. a) Şəkildə verilənlərə görə düzgün piramidaların həcmlərini tapın. 8 sm m 8,5m Sot = 56m m.,8sm,8sm 0 m b)şəkildə verilənlərə görə pira midaların həcmlərini tapın. Sot = 6m 8 m Verilənlərə görə düzgün piramidaların həcmini tapın., m 5,m 5m,8m Prizma və piramidanın oturacaqları konqruent fiqurlardır. Prizmanın hündürlüü 5 vahid, piramidanın hündürlüü 7 vahiddir. Bu fiqurların həcmləri nisbətini tapın. 8 Yan tillərinin hər biri 5 mm olan piramidanın oturacağı düzbucaqlıdır. Bu düzbucaqlının tərəfləri 8 mm və mm-dir. Piramidanın həcmini tapın. Yan tillərinin hər biri sm olan piramidanın oturacağı tərəfləri 6 sm, 8 sm və 0 sm olan üçbucaqdır. Piramidanın həcmini tapın. Şəkildəki mineral kristalları verilmişdir. Həcmini hesablaın TABC düzgün üçbucaqlı piramidadır. Şəklə görə tapşırıqları erinə etirin. a) AM = 9 və TM = 5 olarsa, h və l-i tapın. b) BC = 6 olarsa, AO və AM-i tapın. c) h =, l = 5 olarsa, BC, OM və AM-i tapın. Yan səthinin sahəsini və həcmini tapın. d) AB =, TA = 0 olarsa, apofemi, an səthinin sahəsini, həcmi tapın. 9 A 5 0 T h ha Çap üçün deil l O B 7 M C

220 Piramidanın həcmi Şaqul adlanan alətdən inşaat işində şaquli ətlərin düzgünlüü olamaq üçün istifadə edilir. Şəkildəki şaqul düzgün altıbucaqlı prizmadan və piramidadan ibarətdir. Alətin həcmini tapın. sm 6 sm sm Oturacağı bərabərtərəfli üçbucaq olan piramidanın apofemi 0 sm, oturacağının tərəfi 6 sm-dir. Piramidanın həcmini tapın. 0. Şəkildə verilənlərə görə düzgün piramidanın həcmini hesablaın. Cavabı ondabirlərə qədər uvarlaqlaşdırın.. Düzgün piramidaların həcmini tapın. Cavabı ondabirlərə qədər uvarlaqlaşdırın Piramidanın oturacağı tərəfi sm olan rombdur. Piramidanın an üzlərinin hər biri oturacaq müstəvisi ilə 5 bucaq əmələ gətirir. San= sm olarsa, piramidanın həcmini tapın.. Üçbucaqlı piramidanın bir tili 6, qalan tillərin hər biri 5-ə bərabərdir. Piramidanın həcmini tapın.. Konqruent kubların dailinə iki mütəlif piramida, F-ABCD və M-ABCD çəkilmişdir. M-ABCD piramidasının M təpəsi EFGH kvadratının mərkəzindədir. a) Hansı piramidanın həcmi daha böükdür? b) Hansı piramidanın tam səthinin sahəsi daha böükdür? H H G G M F E F E A D C D B A B 5. Üçbucaqlı piramidanın bir-birinə perpendikular olan an üzlərinin sahələri dm, 6 dm, dm -dir. Piramidanın həcmini tapın. Çap üçün deil 0 C

221 Piramidanın həcmi 6. Şəkildəki verilənlərə görə fiqurların həcmini hesablaın.,5 m 8 sm m m m sm 5 sm 0 sm Şəkildəki düzgün oktaedrin tillərinin uzunluqları cəmi 8 vahiddir. Oktaedirin: a) hündürlüünü; b) həcmini tapın. B A T C D G nöqtəsi düzgün tetraederin oturacağının ağırlıq mərkə - zidir (medianların kəsişmə nöqtəsi). GH = sm olduğuna görə pirami danın həcmini tapın. İki konqruent kubun dailinə çəkilmiş piramidaların oturacaqları kubun üzləridir. B şəklindəki piramidaların həcminin A şəklindəki piramidanın həcminə nisbətini tapın. Düzgün dördbucaqlı piramidanın dailinə şəkildə göstərildii kimi kub erləşdirilmişdir. Kubun alt oturacağı piramidanın oturacağı ilə eni müstəvi üzərində, üst oturacağının təpələri isə piramidanın tilləri üzərindədir. Oturacağı kubun üst üzündə olan kiçik piramidanın həcmi 6 sm, hündürlüü sm-dir. a) Kubun tilinin uzunluğunu tapın. b) Böük piramidanın oturacağının tərəfini tapın. c) Böük piramidanın həcmini tapın. d) Böük piramidanın an səthinin sahəsini tapın. Çap üçün deil A A G P T C H B B

222 Fəza fiqurlarının oşarlığı Oşar fiqurlar formaca eni olub, uğun ölçüləri mütənasibdir. Məsələn, şəkildəki düzbucaqlı üçbucaqlar oşardır. Çünki, uğun tərəflərinin nisbətləri bərabərdir Şəkildəki düzbucaqlı paralelepipedlər də oşardır. Çünki, uğun ətti ölçüləri nisbətləri bərabər olmaqla uğun üzləri oşar düzbucaqlılardır. Oşar fiqurlar h A D B l C 6 = 8 = h E 5 0 Düzgün çoüzlülər oşardır. Xüsusi halda, bütün kublar oşardır, düzgün tetraedrlər oşardır və s. AB EF = BC = CA FG GE = AD EJ = BD FJ = CD GJ = h h ABC ~ EFG, ABD ~ EFJ, BCD ~ FGJ, ACD ~ EGJ J F l G = l Nümunə. Verilən fiqurların oşar olub-olmadığını göstərin. 0 5 = 0 5 Oşar fiqurlar deil 6 l 8 = = = k = 8 = Çevrilmədə istənilən iki nöqtə arasındakı məsafə eni ədəd dəfə dəişərsə, belə çevrilməə oşarlıq çevrilməsi deilir. Oşarlıq çevrilməsi ilə biri digərinə çevrilən fiqurlara oşar fiqurlar deilir. Oşarlıq əmsalı itiari iki uğun nöqtələr cütü arasındakı məsafələrin nisbətinə bərabərdir. 0sm sm 0sm 5sm sm 5sm m m 8m 6m Uğun ətti ölçülərin nis - bətlərini gös tə rən ədədə oşar lıq əmsalı deilir. m m Oşar fiqurlardır Çap üçün deil

223 Oşar fəza fiqurlarının səthləri və həcmləri Araşdırma. Verilən fiqurların oşar olub-olmadığını göstərin. A və B prizmaları (düzbucaqlı para lele - pi pedləri) oşarlıq əmsalı olan oşar prizmalardır. Bu prizmaların a) tam səthlərinin sahələrinin nisbətini; b) həcmlərinin nisbətini tapın. a) A prizmasının tam səthi Stam = Ph + Sot = = + 8 = 0 (sm ) sm sm B prizmasının tam səthi Stam = Ph + Sot = = = 90 (sm ) sm sm 6sm sm A prizması B prizması A prizmasının tam səthinin B prizmasının tam səthinə olan nisbəti: 0 = = = ( ) 90 9 b) A prizmasının həcmi B prizmasının həcmi V = Soth = 8 = 6 (sm ) V = Soth = 8 = 5 (sm ) A prizmasının həcminin B prizmasının həcminə olan nisbəti: 6 5 Oşar fiqurlar A fiquru B fiquru 8 = = 7 Əgər iki fəza fiqurunun oşarlıq əmsalı a kimi olarsa, bu fiqurların səth lərinin a (an, tam, oturacaq) nisbəti b a kimi, həcmlərinin nisbəti isə kimi olar. b a b Oşarlıq əmsalı: b a b StamA StamB a VA = a b = Piramidanın oturacağına paralel müstəvi ilə kəsilməsindən alınan kiçik piramida verilən piramidaa oşardır. Oşarlıq əmsa - lını istənilən uğun ətti ölçülərinin nisbətinə h h görə tapmaq olar. Məsələn, şəkil dəki pirami - Sh Sh H daların hündürlükləri veril mişdir. Onların səth lərinin, oturacaq larının və a tam səth - SH SH lərinin sahələrinin nisbəti hündür lük lərinin nisbətinin kvadratına bərabərdir. Skiç h = Sbö H VB b ( ) Çap üçün deil

224 Oşar fəza fiqurlarının səthləri və həcmləri. Verilən fiqurların oşar olub-olmadıqlarını oşarlıq əmsallarını müəən etməklə göstərin.. a) b) 8sm 9sm sm sm 5sm sm 0 sm 0 sm d) 5sm 5sm 6mm 0mm mm 9mm 5mm 5mm 7sm sm 8sm sm 5sm 5sm 0sm 0sm İki fiqur oşardır. Verilənlərə görə fiqurların oşarlıq əmsallarını tapın. a) b) e) c) S = sm S = sm V = 6 sm V = sm Fiqurların oşar olduqlarını bilərək, verilənlərə görə tələb edilən ölçüləri tapın. 0,6m,8m,m? S = 6,6m 0,m 0,m İki oşar prizmanın hündürlükləri nisbəti 5 : kimidir. Bu prizmaların: a) an səthlərinin sahələri nisbətini tapın. b) həcmləri nisbətini tapın. A və B düzgün dördbucaqlı piramidaları oşardırlar. A piramidasının oturacağının tərəfi 6 sm, həcmi 8 sm -dur. B piramidasının oturacağının tərəfi sm-dir. a) B piramidasının həcmini tapın. b) Yan səthlərinin nisbətini tapın. c) Hər bir piramidanın tam səthlərinin sahəsini tapın. İki oşar fiqurun səthlərinin sahəsi və böük fiqurun həcmi verilmişdir. Kiçik fiqurun həcmini tapın. a) S = 8 sm b) S = 9 m c) S = 5 dm S = 7 sm S = 78 m S = 08 dm V = sm V = 860 m V = 9 dm İki oşar fiqurun həcmləri və kiçik fiqurun səthinin sahəsi verilmişdir. Böük fiqurun səthinin sahəsini tapın. a) V = 7 sm b) V = 5 m c) V = 5 sm V = 5 sm V = 0 m V = 8 sm S = 6 sm S = m S = 8 sm S =? 9m V =? 7m V = m Çap üçün deil

225 Oşar fəza fiqurlarının səthləri və həcmləri 8. Yuucu toz istehsal edən şirkət eni növ tozun qablaşdırıldığı qutuları müəən miqasla böütməklə tozu mütəlif tutumlu qutulara qablaşdırır. Tutumu 50 qram olan qutunun ölçüləri : miqası ilə mütənasib olaraq böüdülmüşdür. Yeni qutunun tutumunu tapın. 9. İki kubdan birinin diaqonalı sm, digərininki sm-dir. Bu kubların həcmləri fərqini tapın. 0. İki oşar piramidanın həcmləri və 5 kub vahiddir. Aşağıdakı nisbətləri tapın. a) hündürlüklərin b) apofemlərinin c) oturacaqlarının sahələrinin d) tam səthlərinin. Təarə modeli real təarəə görə :00 nisbətində miqasla hazırlanmışdır. Modelə işlənən boanın miqdarı ilə real təarəə işlənən boanın miqdarını müqaisə edin.. Misdən hazırlanmış düzgün altıbucaqlı formasındakı detalmm lar oşardırlar. mm 80 0 Misin sılığı 8,6 q/sm, kq misin qiməti 8 mm mm,55 qəpikdir. Detalı istehsal edən şirkət hər bir detal (böüklüündən asılı olmaaraq) üçün ona sərf olunan materialın qimətinin 5%-i qədər istehsal məsrəfləri əlavə edərək detalın istehsal dəərini müəənləşdirir. Satış qiməti isə istehsal dəərinin üzərinə şirkətin % gəliri əlavə edilməklə formalaşdırılır. Hər detalın satış qimətini tapın.. Yeni avtomobil dizan edilərkən əvvəlcə avtomobilin müəən miqasla gildən modeli hazırlanır. Reallıqda uzunluğu 5 m olan avtomobilin gil modelinin uzunluğu 0 sm-dir. Modelin səthinin sahəsinin real avtomobilin səthinin sahəsinə olan nisbətini tapın. l i e d. Şəkildəki düzgün üçbucaqlı piramidanın oturacağının T tərəfi 8 sm, hündürlüü sm-dir. Piramida T təpəsindən A C başlaaraq sm və 6 sm məsafədə oturacağa paralel O D müstəvi ilə kəsilir. Kəsikdə alınan çobucaqlıların D O F perimetrlərini tapın. E L K H 5. Hündürlüü H olan piramidanın oturacağına paralel və həcmini arıa bölən kəsiinin təpədən məsafəsini tapın. M 6. Oturacağa paralel müstəvilər piramidanın hündürlüünü bərabər hissəə bölmüşdür. Piramidanın həcmi hansı nisbətlərdə bölünmüşdür 7. İki oşar piramidanın hündürlükləri : nisbətindədir. Piramidaların an səthlərinin fərqi 96 m olarsa, kiçik piramidanın an səthinin sahəsini tapın. n ü Ç p a ç ü 5

226 Kəsik piramidanın həcmi Araşdırma. Qədim misirlilər düzgün dördbucaqlı kəsik piramidanın həcminin V = h( + + ) düsturu ilə hesablandığını bilirdilər. Lakin onların bu düsturu necə aldıqları məlum deil. Bu düsturu aşağıdakı addımlarla alın. a) Oturacağının tərəfi vahid olan düzgün dördbucaqlı piramidanın həcmini azın. b) Oturacağı tərəfi vahid olan düzgün dördbucaqlı piramidanın həcmini azın. H c) H və h hündürlükləri arasındakı asılılığın h h H = kimi oldu ğunu göstərin. d) Göstərin ki, kəsik piramidanın həcmi V = h( + + ) düsturu ilə hesablanır. Kəsik piramidanın həcmini verilən tam piramida ilə oturacağa T paralel kəsiklə arılan kiçik piramidanın həcmləri fərqi kimi h tapmaq olar. C D S V = S(h + h) Sh = [(S S)h + Sh] O A B h Burada V kəsik piramidanın həcmi, S və S böük və D kiçik piramidaların oturacaqlarının sahəsidir. h kəsik C piramidanın hündürlüü, h kiçik piramidanın hündürlüüdür. A B S O Bu piramidalar oşar olduqlarına görə sahələri nisbətləri hündürlükləri nisbətinin kvadratına bərabərdir. Bu bərabərlii azaq və kiçik piramidanın hündürlüünü tapaq. S h h S = = h S = (h + h) S S h + h h + h S h S h = ifadəsini V = [(S S)h + Sh] bərabərliində nəzərə S S alaq. h S V = [(S S) + Sh] = [( S + S )h S + Sh]= S S = [( S + S )h S + Sh] = h (S + SS + S) V = h (S + SS + S) Kəsik piramidanın həcmi b Oturacaqlarının sahəsi S və S, hündürlüü h olan kəsik piramidanın həcmi V = h (S + SS + S) düsturu ilə hesablanır. Çap üçün deil 6 a h S S

227 Kəsik piramidanın həcmi. Şəkildə verilənlərə görə düzgün dördbucaqlı kəsik piramidanın an səthini, tam səthini və həcmini tapın. sm h sm Hündürlüü H olan piramidanın oturacağına paralel 8 m müstəvi kəsii nəticəsində alınan kəsik piramidanın ölçüləri şəkildə verildii kimidir. m a) kəsik piramidanın həcmini tapın. H b) Piramidanın H hündürlüünü tapın. c) Şəkildəki ölçüdə su hovuzu tikmək istəniz, qazıb çıarılan torpağı daşımaq üçün neçə m -luq maşın lazımdır? d) Hovuz neçə litr su tutur? e) Hovuz tutumunun arısı qədər su ilə doldurulduqda suun dərinlii nə qədər olur? a) Düzgün üçbucaqlı piramidanın bütün 6 tilinin uzunluğu bərabərdir və -lə işarə edilmişdir. Piramidanın həcmini dəişəni ilə ifadə edin. b) Oturacağı düzgün altıbucaqlı olan piramidanın oturacağının tərəfi, an tili -dir. Piramidanın həcminin dəişəni ilə ifadə edin. Piramidanın oturacağına paralel keçirilən müstəvi onun P H G hündürlüünü təpədən başlamaqla : nisbətində bölür. Alınan E F kəsik piramidanın həcmi 08 kub vahid olarsa, verilən D piramidanın həcmini tapın. 7 sm a) Yan tili 0 sm, oturacağının tərəfi 6 sm olan düzgün altıbucaqlı piramidanın həcmini tapın. b) Düzbucaqlı paralelepipeddən müstəvi kəsii ilə şəkildə göstərildii kimi piramida arılmışdır. Piramidanın həcmi ilə paralelepipedin həcmini müqaisə edin. Düzbucaqlı paralelepipedin ölçüləri AD = 0 sm, AB = 0 sm, AE = 5 sm-dir. a) AFB, BFO, AFO, BOF, AOF, OFC bucaqlarının dərəcə ölçülərini tapın. b) ABO, BOF, AOF üçbucaqlarının sahələrini tapın c) B nöqtəsindən AOF müstəvisinə qədər ən qısa məsafəni tapın. E 5 A B 0 Çap üçün deil 0 m A F O 6 D B C C

228 Müstəvi kəsiklərinə aid məsələlər Nümunə. Şəkildə tili a olan kubun ABCD kəsii göstərilmişdir. D və C nöqtələri uğun tillərin orta nöqtəsi olduğuna görə müstəvi kəsiinin sahəsini tapın. Həlli: Verilir: kub və onun tilinin a uzunluğu D və C nöqtələri tilin orta nöqtələridir. Tapın: SABCD Daha əlverişli görüntü üçün kubu fırladaq və məsələdə verilən məlumatları şəkil üzərində qed edək. BEC-dən Pifaqor teoreminə görə 5 = a +( a) = a = 5a SABCD = a = a( 5a) = 5a Cavab: SABCD = 5a. Düz üçbucaqlı prizmada şəkil üzərində verilənlərə görə a) müstəvi kəsiinin sahəsini; b) müstəvi kəsiinin aırdığı prizmaların həcmini müqaisə edin. c c c c A a D a A a B a D E a/ C a/ B C h h h h... a a a 8 a b b b b b Oturacağı düzgün üçbucaq olan mail prizmanın an tili oturacaq müstəvisi ilə 60 bucaq əmələ gətirir. Oturacağın tərəfinin 6 sm olduğunu bilərək, prizmanın perpendikular kəsiinin sahəsini tapın. Hədiə qutusu şəkildə göstərildii kimi kartonla hissəə bölünmüşdür. Verilən ölçülərə görə qutunu hazırlamaq üçün nə qədər karton lazım olduğunu tapın. Ölçüləri 505 olan düzbucaqlı paralelepiped şəkilli qabdakı suun hündürlüü h-dir. Qabı BCEM üzünə çevirdikdə onun hündürlüü h, ABMN üzünə N çevirdikdə isə h olur. h + h + h = sm olduğuna görə qabda neçə kub metr su olduğunu müəən edin. A D a B ' B 6 A 8 5 A ' C ' Çap üçün deil F E A D B C M B 6 D 0 E 0 E C 5

229 Fəzada simmetria Müstəvidə simmetria Əksetmə (o) simmetriası simmetria ou Simmetria oundan məsa fəni göstərən perpendikular Fırlanma simmetriası A B C A 90 D 0 C 90 0 B E D E firlanma mərkəzi tərtibli tərtibli 5 tərtibli Fəzada simmetria. Fəza fiqurları üzərində də mütəlif simmetrialar müşahidə etmək olar. Paralelepipedin diaqonal kəsikləri paraleloqram olduğundan adındır ki, BD və DB B C diaqonalları bir O nöqtəsində kəsişib, arıa bölünür. A O D Göstərmək olar ki, digər diaqonallar da O nöqtəsində B C kəsişir və arıa bölünürlər. Deməli, paralelepipedin diaqonallarının kəsişmə nöqtəsi onun simmetria A D mərkəzidir. Fəzada nöqtə və düz əttə nəzərən simmetriadan başqa A müstəviə nəzərən simmetriaa da baılır. müstəvisi AA parçasının ortasından keçib, ona perpendikulardırsa, O A və A nöqtələrinə müstəvisinə nəzərən simmetrik A nöqtələr deilir. Fiqurun nöqtələrinə müəən müstəviə görə simmetrik olan nöqtələr də bu fiqura aiddirsə, həmin müstəviə fiqurun simmetria müstəvisi, fiqura isə müstəviə nəzərən simmetrik fiqur deilir. Xətti ölçüləri mütəlif olan düzbucaqlı paralelepipedin simmetria mərkəzindən başqa üç simmetria ou və üç simmetria müstəvisi vardır. Qarşı üzlərin diaqonallarının kəsişmə nöqtəsindən keçən düz ətt onun simmetria oudur, tilinin ortasından keçib, ona perpendikular olan müstəvi simmetria müstəvisidir. İki ətti ölçüsü bərabər olan düzbucaqlı paralelepipedin 5 simmetria müstəvisi var. Bu təsvirləri dəftərinizdə çəkin. Çap üçün deil 9

230 Fəzada simmetria Kubun diaqonallarının kəsişmə nöqtəsi onun simmetria mərkəzidir. Bir üzə aid olmaan paralel tillərin orta nöqtələrindən keçən düz ətlər (bunların saı 6-dır) və qarşı üzlərin mərkəzlərindən keçən düz ətlər (bunların saı -dür) kubun simmetria olarıdır. Kubun 9 simmetria müstəvisi vardır və bunlar şəkildə təsvir edilmişdir. Firlanma simmetriası. Fəza fiqurlarının fırlanma simmetriası da müstəvi fiqurlara oşardır. Lakin fəza fiqurlarında fırlanma simmetriası oa görə təin edilir. Naftalin: C0H8 Fırlanma və əksetmə simmetriası maddələrin molekular quruluşunun örənilməsində geniş tətbiq edilir.. Şəkildə kubun fırlanma oları göstərilmişdir. Bu olar həndəsi olaraq sözlə verilmişdir. Kubun şəkli üzərində mümkün təsvirləri çəkib göstərin. Hər hal üçün bir şəkil nümunə olaraq verilmişdir. a)simmetria (fırlanma) b) Fırlanma ou kubun ou iki qarşı üzün mər- diaqonalını üzərində kə zini birləşdi rir, hər bir salaan düz ətdir, hər halda üst-üstə düşmə bir halda üst-üstə mü şahi də edilir; düşmə müşahidə edilir; 0 c) Fırlanma ou iki qarşı tilin orta larından keçən düz əttdir, hər bir hal da üst-üstə düş mə müşahidə edilir. Çap üçün deil

231 Fəzada simmetria. Kub iki qarşı üzünün mərkəzindən keçən o ətrafında neçə dəfə döndükdə öz-özü ilə üst-üstə düşər?. Şəkildəki düzgün beşbucaqlı prizma oturacaqların mərkəzindən keçən o ətrafında neçə dərəcə döndükdə öz-özü ilə üst-üstə düşər?. Üzərində hərfləri azılmış kubu saat əqrəbinin əksi istiqamətdə dəfə 90º döndərsəniz, hansı tərəfdən (uarıdan, öndən, andan) hansı hərf görünəcək? R İ M A Z P Z P A P R İ 5. Biz müstəvi fiqurlarla sahəni örtmə-parketləməə aid tapşırıqlar erinə etirdik. Analoji olaraq fəza fiqurları ilə həcmi doldurma, müəən fiqur alma məşğələləri praktiki əhəmiət kəsb edir. Bu zaman əksetmə, fırlanma simmetrialarından istifadə edilir. 6. Şəkildə oturacağı bərabərtərəfli üçbucaq olan düz üçbucaqlı prizmadan hazırlanmış detalın üstdən görünüşü təsvir edilmişdir. Bu detallarla oturacağının mərkəzi O nöqtəsində olan düzgün altıbucaqlı prizma quraşdırılmalıdır. Neçə belə detal lazım olar? ) Prizmanın oturacağı 6 konqruent üçbucaqdan ibarət düzgün altıbucaqlıdır. Hər bir üçbucaq prizmalarla doldurulmuşdur. Görünüşə görə bir üçbucağa = 5 prizma qoulmuşdur. Altıbucaqlı düzgün prizma üçün isə 6 5 = 50 belə prizma lazımdır. ) Kiçik prizmaların saı 6 olan hal üçün üstdən görünüşü çəkin. Bu hündürlüü 0 sm olan qutu olarsa, ən kiçik prizmaların tili 0,5 sm olduqda qutunun həcmini tapın. Şəkildə hündürlüü 0 sm olan bir qutua ığılmış düzgün altıbucaqlı prizmaların üstdən görünüşü verilmişdir. Düzgün altıbucaqlının oturacağının tərəfi sm olarsa, qutunun boş qalmış hissəsinin həcmini müəən edin. Çap üçün deil A O B A O O B

232 Ümumiləşdirici tapşırıqlar Şəkildəki qapalı qutu düzgün beşbucaqlı prizma şəklindədir. Qutunun arici oturacağının tərəfi 0 sm, hündürlüü isə sm-dir. Daili oturacağı və hündürlüü isə uğun olaraq 6 sm və sm-dir. Tələb edilən ölçüləri tapın. a) Qutunun arici səthinin (tam) sahəsini b) Qutunun daili səthinin (tam) sahəsini c) Qutunun həcmini Oturacağı kvadrat olan piramidanın içində 60 sm su vardır. Şəkildə verilən ölçülərə görə tapın: a) suun h hündürlüünü; b) Qabın dolması üçün qaba nə qədər su əlavə edilməlidir? İki oşar piramidanın səthlərinin sahələri nisbəti kimidir. Bu pirami - 5 daların həcmləri nisbətini tapın. Hündürlükləri 5 sm olan düz üçbucaqlı prizma və düzgün dördbucaqlı prizmanın həcmləri bərabərdir. Üçbucaqlı prizmanın oturacağı hipotenuzu 8 sm olan bərabəranlı düzbucaqlı üçbucaqdır. Dördbucaqlı prizmanın tam səthinin sahəsini tapın.? Açıq tipli sual. Oşarlıq əmsalı :5 olan iki oşar piramida və iki oşar paralelepiped çəkin. Ölçülərini üzərində azın. Verilənlərə görə piramidanın həcmini tapın. 7. Piramida oturacağına paralel müstəvi ilə həcmləri bərabər olan iki hissəə arılmışdır. Piramidanın hündürlüü sm olarsa, 5 sm uarı hissədəki piramida - nın hündürlüünü tapın. Həcmi 6 sm olan düzbucaqlı paralelepiped formasında qutunun ölçülərinin hansı tam qimətlərində onu hazırlamaq üçün ən az karton işlədilmiş olar? A Variantları araşdırın. Şəkildə oturacağı düzbucaqlı olan piramida və ölçüləri verilmişdir. Piramidanın həcmini və tam səthinin sahəsini tapın. 6sm D A S 6sm P 8 9 sm sm D sm Q V sm B 0sm R hsm D 5 5 o 6 sm C 5 sm Çap üçün deil

233 9 Üstlü və loqarifmik funksia Həqiqi üstlü qüvvət Üstlü funksia Üstlü funksianın qrafikinin çevrilmələri Üstlü funksia. e ədədi Ədədin loqarifmi Loqarifmik funksia Loqarifmik şkala və məsələ həlli Loqarifmin assələri Üstlü tənliklər Loqarifmik tənliklər Üstlü bərabərsizliklər Loqarifmik bərabərsizliklər Areloji qazıntılar zamanı qalıqların aşını tərkibindəki Karbon maddəsinin miqdarını hesablamaqla müəən edirlər. Bunun üçün üstlü tənliklər həll edilir. l i n ü p a e d ç ü Şəmkir şəhərində aparılan qazıntıların üzə çıardığı qədim şəhər Ç

234 Həqiqi üstlü qüvvət Praktik məşğələ ) -nin kalkulatorla tapılmış qimətini azın.,56... ) ) ) Hədləri -nin əskii ilə götürülmüş onluq aınlaşmaları olan ardıcıllıq qurun: ;,;,;,;,;,;,;... Qüvvət üstü bu ardıcıllığın hədləri olmaqla -ün uğun qüvvətləri ardıcıllığını azın: ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;... Bu ardıcıllığın rasional üstlü qüvvət şəklində olan hədlərinin qimətlərini kalkulatorla hesablaın. =,, ,, ,, ,,78790,, ,, ) Qüvvətin üstü -ə daha aın olduqca, uğun qüvvətlərin hər sonrakı addımda əvvəlkindən daha az fərqləndiinə və müəən bir ədədə aınlaşdığına diqqət edin. Bu ədədə -ün (irrasional) üstlü qüvvəti deilir. Kalkulatorla hesablama:, ) Tapşırığı üçün erinə etirin. Oşar qada ilə a irrasional üstlü qüvvətə baılır. irrasional ədədinin ; ; ; onluq aınlaşmaları ardıcıllığına uğun olaraq a ; a ; a ;... ardıcıllığı qurulur və bu ardıcıllığın hədlərinin aınlaşdığı ədəd a ilə işarə olunur. İrrasional üstlü qüvvət də rasional üstlü qüvvət kimi müsbət əsaslar üçün təin olunub. Beləliklə, istənilən həqiqi ədədi üçün a (burada a > 0) həqiqi üstlü qüvvət anlaışı dail edilir. Hesab edilir ki, istənilən üçün = və > 0 olduqda 0 = 0. Rasional üstlü qüvvətin məlum assələri həqiqi üstlü qüvvət üçün də doğrudur. İstənilən, həqiqi ədədləri və a > 0, a b > 0, b ədədləri üçün aşağıdakılar doğrudur: Çap üçün deil

235 Həqiqi üstlü qüvvət Qüvvətin assələri: ) a a = a + ) a : a = a ) (a ) = a ) (ab) = a b 5) 6) a >, > olduqda a > a, 0 < a <, > olduqda a < a 7) a > b, > 0 olduqda a > b, a > b, < 0 olduqda a < b 8) a = a isə, onda = ( a b ) = Örənmə tapşırıqları. İrrasional üstlü qüvvət dail olan ifadənin qimətini təqribi olaraq hesablamaq üçün kalkulatordan istifadə edilir. Qrafkalkulator üzərində klavişi irrasional üstlü qüvvəti də hesablama imkanı verir. Hesablaın: a) 8 ; b) 5 ; c) ( 0) ; d) 9 ; e) 5 5 ; f) ( 7) a b Hər bir qadaa uğun bir nümunə azın. a) a a = a + b) a = a c) (a ) = a d) (a b) = (ab) e) a a ( ) f) a = = b b a 8 b) -nin qüvvəti ilə ifadə edin: 6 c) 5-in qüvvəti ilə ifadə edin: 5 5 a a) -ün qüvvəti ilə ifadə edin: n + n 8 n 5 + Kalkulatorun köməilə verilən ifadələrin təqribi qimətlərini tapın. Vergüldən sonra 5 rəqəm salaın.,,,,,,,,,,, Verilən ifadələr rasional üstlü qüvvətlərdir. Bu ifadələrdən irrasional üstlü qüvvəti hesablamaq üçün necə istifadə etmək olar? Sadələşdirin və qimətini hesablaın. a) (5 ) 8 ; b) ( 6 ) 6 ; c) ( ) + : ; d) 9 + : 7 ; g) ( 7 + ) : 9 7 e) ( + ) 5 h) 0, ( + ) f) 5 ( + ) 5 i) ( ( + ) : ) Çap üçün deil

236 Həqiqi üstlü qüvvət Müqaisə edin. a) 0 5 ilə 0 b) 0, ilə 0, c) ( ) 5 ilə ( ) d) ( ) ilə ( ). Hansı münasibət doğrudur? a) < < 9 b) < < c) < 5 < 5 d) < < 5. Verilmiş ədədləri ilə müqaisə edin. 0 a) ( ) b) ( ) 5 c) ( ) 0 d) Ədədləri artan sıra ilə düzün. c) ( ) 0, ; ( ) 0, 9 9 ; ( ) ; d) ( 6 ) ; ( ) ; ( 6 9 ) 0. İfadənin qimətini hesablaın... a) 8 00 ; 9 50 ; 5 00 b) (0,008) 50 ; (0,09) 75 ; (0,5) 50 a)00 ( ) b) ( 5 ) : ( 9) 5. Artan sıra ilə düzün: a ; a ; a ; a ; a 0 ; a a) a > olduqda b) 0 < a < olduqda c) ( ) d) (8 + ( 9 ) + 5 ) Dəişənlərin müsbət qimətlər aldığını bilərək, rasional üstlü qüvvət şəklində azın və sadələşdirin a) m 6 n b) 8 6 c) a 0 b b Həndəsi silsilədə b = və b = 8 olduğunu bilərək, silsilə vuruğunu tapın.. Tənikləri həll edin. 5 5 a) = 8 b) 6 + = 6 c) = 5, d) + + = 5 d) a a a e) = 0 f) + = g) + = + 5 h) + 7 = Çap üçün deil

237 Üstlü funksia Praktik məşğələ ) = və = ( ) funksiaları üçün qimətlər cədvəli tərtib edin. 0 = = ( ) 8 8 ) Absisi arqumentin, ordinatı funksianın cədvəldəki uğun qimətinə bərabər olan nöqtələri koordinat müstəvisində qurun və bu nöqtələrdən keçməklə səlis əri çəkin. ( ; ) ( ; ) ( ; ) (0; ) 0 (; ) (; ) = (; 8) ( ; 8) = ( ) ( ; ) ( ; ) (0; ) (; ) (; ) (; ) 8 ) İstənilən üçün və ( ) ifadələrinin qimətlərini 0 -la müqaisə edin. ) -in qimətləri böüdükcə, = funksiasının qimətləri böüür, osa kiçilir? -in qimətləri böüdükcə, = ( ) funksiasının qimətləri böüür, osa kiçilir? 5) Qrafiklər ounu hansı nöqtədə kəsir? 6) Qrafikləri müqaisə edin, onların oşar və fərqli cəhətlərini qed edin. 7) Tapşırıqları = və = ( ) funksiaları üçün də erinə etirin. a > 0, a olduqda, = a funksiasına üstlü funksia deilir. ) Üstlü funksianın təin oblastı bütün həqiqi ədədlər çoluğudur. D(a ) = ( ; +) ) Üstlü funksianın qimətlər çoluğu bütün müsbət həqiqi ədədlər çoluğudur. E(a ) = (0; +) ) = 0 olduqda, a 0 = olduğundan üstlü funksianın qrafiki ounu (0; ) nöqtəsində kəsir. ) a > olduqda, a funksiası artan, 0 < a < olduqda a funksiası azalandır. 5) Üstlü funksianın qrafiki absis ounu kəsmir və qrafiki oundan uarı arımmüstəvidə erləşir. = a funksiasına və onun qrafikinə eksponenta deilir. Eksponenta arqumentin dəişməsilə ço sürətlə artır və a ço sürətlə azalır. Çap üçün deil 7

238 Üstlü funksia 6) 0 < a < olduqda -in sonsuz böüməsilə -in uğun qimətləri kiçilir və = a funksiasının qrafiki üzərindəki nöqtələr absis ouna qeri-məhdud aınlaşır. a > olduqda olduqda qrafik üzərindəki nöqtələr absis ouna qeriməhdud aınlaşır. Absis ou üstlü funksianın üfüqi asimptotudur. Eksponensial artan, eksponensial azalan funksialar = a a > = a 0 < a < (0; ) (0; ) 0 0 eksponensial artan eksponensial azalan = c a funksiasına da eksponenta deilir. Məsələn: = 8 funksiasını = = + şəklində azmaq mümkündür. Nümunə: Funksianın qrafikinə görə onun düsturunu azın. Həlli: Qimətlər cədvəlini tərtib edək. f() 0 ( ; 9) 0 8 f() = ( ) 9 6 Qimətlər cədvəlindən göründüü kimi, -in qimətləri ( ; ) (; ) (; 9 ) bir vahid artdıqda, -in qimətləri -in misilləri ilə azalır. (0; ) 0 Deməli, a = Funksianın düsturu: = Nümunə: Dəişənin hansı qimətlərində: a) = 6 bərabərlii; b) > 9 ; c) 0, > 0,6 bərabərsizlii doğrudur? Həlli: a) = 6 bərabərliini = şəklində azaq. Buradan həqiqi üstlü qüvvətin assəsinə görə =. b) > 9 bərabərsizliini > şəklində azaq. Buradan > olduğu adındır. c) 0, > 0,6 bərabərsizliini 0, > 0, (eni əsasın qüvvətləri şəklində) kimi azıb, əsas vahiddən kiçik olduğuna görə alırıq: <. Çap üçün deil 8

239 Üstlü funksia Örənmə tapşırıqları. Ən azı üç nöqtənin koordinatlarını müəən etməklə funksiaların qrafiklərini qurun. ) f() = ) g() = 6 ) m() = ) h() = a) Funksianın artan və a azalan olduğunu göstərin b) Funksianın təin oblastını və qimətlər çoluğunu göstərin. c) Qrafikin ounu kəsdii nöqtəni müəən edin.. Artan, osa azalan funksiadır: a) = 5 ; b) = 0, ; c) = 5 ; d) = ( ) ; e) = ( 5 ).. Funksianın tələb olunan qimətlərini hesablaın. a) f() = f(), f(), f(), f() b) n() = ( 5) h(),h(), h(), h() c) g() = g(0), g(), g( ), g() d) m() = - m(0), m(), m( ), m() 5. Hansı qrafik hansı funksiaa aiddir, ) = 5 ) ) = = a) b) c) = 0 və = funksialarına üstlü funksia demək olarmı? Bəs = () funksiasına necə? 6. = a, = b, = c funksialarının qrafiklərinə görə a, b, c ədədlərini müqaisə edin. c b a b 7. a) b) 0 Qrafiki verilən nöqtələrdən keçən = c a üstlü funksiasının düsturunu azın. a) (0; ) və (; ); b) (0; ) və (; 5); c) (0; 7) və (; 6); d) (0; 5) və (; 5); e) (0; 0) və (; 5); f) (0; 0,) və (5; 96); Çap üçün deil 9 c a 0

240 Üstlü funksia 8. ) Verilən qrafiklərə uğun funksianın düsturunu = a şəklində azın. ) Qimətlər cədvəli tərtib edin və qrafiki dəftərinizdə enidən qurun. a) 00 b) 0 c) d) ( ; 5) 50 (; 6) 5 (; 7 ) ( ; n) (; 6) ( ; n) (; 9 ) (; n) f() = 5, g() =, h() = 5 funksialarından hansının qiməti: a) = 5 olduqda ən böükdür? b) = 5 olduqda ən kiçikdir? c) -in hansı qimətində onların hər üçünün qiməti bərabərdir? 0. f() =,, g() = 0, olarsa, müqaisə edin: a) f(5) ilə f(6); b) f(0,) ilə f(0,5); c) f( ) ilə f( ); d) g(5) ilə g(6); e) g(0,) ilə g(0,5); f) g( ) ilə g( ).. Müqaisə edin: a) ( ) və ( ) 6 ; b) 0, və 0, 8 ; c) və.. Dəişənin hansı qimətində bərabərlik doğrudur? a) + = 7; b) = 6; c) ( ) =.. Dəişənin hansı qimətlərində bərabərsizlik doğrudur? a) > ; b) < 7; c) 0, > 0,0; d) ( < ) 8. Tənlikləri qrafik üsulla həll edin. a) = ; b) ( = + 6 ) 5. Qrafik üsulla tənliin kökünün işarəsini müəən edin. a) 5 = 6; b) 0, = ; c) = ; d) 0, = 0,. 6. Tənlii ödəən iki ədədi şifahi tapın: = Qrafik üsulla tənliin köklərinin saını müəən edin. = və =( 7. ) funksialarının qrafiklərini eni koordinat müstəvisində qurun və qrafiklərinin hansı oa nəzərən simmetrik olduğunu göstərin. Nəticəni ümumiləşdirin. 0 ( ; 5) ( ; 7 ) 6 ( ; 9 ) (; n) Çap üçün deil

241 Üstlü funksia Tətbiq tapşırıqları Maria Küri. Radioaktiv parçalanma bir və a bir neçə hissəciklərin (məsələn: elektronlar, netrino, alfa-hissəciklər, fotonlar) arılması ilə müşaiət olunur. Atomlarının parçalanaraq digər kiməvi maddəə çevrilməsi nəticəsində radioaktiv maddə müəən müddətdə ilkin miqdarının arısını itirir. Bu müddət verilmiş radioaktiv maddə üçün sabitdir və arımparçalanma dövrü (müddəti) adlanır. 898-ci ildə Maria Küri üksək radioaktivliə malik radium və polonium maddələrini kəşf etdi və bu kəşflərinə görə Nobel mükafatına laiq görüldü. Radium elementinin izotopu olan Radium-6-nın arımparçalanma müddəti 60 ildir. Radium-6 arım - parçalanmada Radon- maddəsinə radioaktiv qaza çevrilir. T Radioaktiv maddənin parçalanma qanunu: m = m0( ) m0- maddənin ilkin miqdarı, T- maddənin arımparçalanma dövrü, m- maddənin baılan t anında miqdarı, burada t zamandır, mənfi olmaan qimətlər alır. Nümunə. Radium (Ra-5) maddəsinin arımpar ça - m lanma müddəti 5 gündür. Parçalanma prose sin də,0 onun qalan kütləsinin (qramla) zamandan (5 günlük 0,8 intervallarla) asılılığını üstlü funksia ilə model - 0,6 ləşdirmək olar. Bu fun ksi anın qrafiki şəkildə (; 0,5) verilmişdir. 0, (; 0,5) a) Ra-5 maddəsinin başlanğıc kütləsi neçə qramdır? 0, (; 0,5) Qrafik üzərində qed edilmiş nöqtələrin (5; 0,0) t koordinatlarını situasiaa uğun azılı izah edin. b) Funksianın təin və qimətlər oblastını azın. zaman (5 günlük intervalla) c) Maddənin kütləsinin zamandan asılı dəişməsini üstlü funksia şəklində azın. d) Ra-5 maddəsinin ilkin kütləsinin onun -nə qədər azalmasının hansı 0 zaman müddətində baş verəcəini təmin edin. Həlli: a) Şəkildən göründüü kimi qrafik, t = 0 olduqda ounu (0; ) nöqtəsində kəsir. Yəni radioaktiv maddənin başlanğıc kütləsi m = q-dır. b) Qrafikdən göründüü kimi, funksianın təin oblastı, əni t-nin ala bildii qimətlər t 0 olan həqiqi ədədlər çoluğudur. Funksianın qimətlər çoluğu, əni m-in ala bildii qimətlər 0 < m olan həqiqi ədədlər çoluğudur. c) Radioaktiv maddənin hər 5 gündən bir arısı parçalanır. Deməli, üstlü funksianın əsası, üstü isə 5 günlərin saını göstərən t dəişəni olacaq. m(t) = ( ) t Çap üçün deil t maddənin miqdarı (qramla)

242 Üstlü funksia.... d) Bu məlumatı qrafikə görə də təmini söləmək olar. Qimətlər cədvəli də tərtib etmək olar. İlkin maddə q olduqda onun 0 hissəsi təminən 0,0 q-dır. ou üzərində bu nöqtəni qed edək və bu nöqtədən keçərək qrafiki kəsən üfüqi düz ətt çəkək. Düz ətt qrafiki absisi təminən 5 olan nöqtədə kəsir. Deməli, 5 5 = 75 gündən sonra ilkin radioaktiv maddənin kütləsinin təminən 0 hissəsi qalacaq. İlkin kütləsi q olan Radium-6 radioaktiv maddəsinin parçalanma qanunu m(t) = ( ) t/60 düsturu ilə verilir. Burada m radiumun kütləsini (qramla), t isə zamanı (illə) göstərir. Verilən maddə kütləsindən nə qədər qalacaq? a) 60 ildən sonra; b) 0 ildən sonra; c) 860 ildən sonra. Aşağıdakı situasialardan hər biri üstlü funksia ilə modelləşdirilə bilər. Hansı eksponensial artan (a > ), hansı ekponensial azalan (0 < a < ) situasiadır? a) Bakteriaların etişdirildii Petri boşqabında onların saı hər saatda dəfə artır. b) Aktinium-5 izotopunun arımparçalanma müddəti 0 gündür. c) Gölə düşən işığın miqdarı hər m dərinlikdə 5% azalır. d) Böcək dəstəsindəki böcəklərin saı hər gün dəfə artır. Bank hesabındakı məbləğ illik,5% gəlir gətirir. Bu hesabdakı pulun məbləğini n ildə A = P(+r) n düsturu ilə hesablamaq olar. Burada P ilkin məbləği, r illik artımı (onluq kəsrlə) göstərir. Hesabdakı pulun məbləği A = P(,05) n kimi dəişəcək. a) Hesabdakı ilkin məbləği bir manat qəbul etməklə uğun üstlü funksianın qrafikini qurun. b) Qrafikə görə bu məbləğin neçə ildən sonra ilkin məbləğin üçqatı qədər olacağını təmin edin. Hesabdakı məbləğin üçqat artması müddəti ilkin məbləğin miqdarından asılıdırmı? c) Maliədə illik mürəkkəb faiz artımına görə ilkin məbləğin ikiqat artma müddətini 7 üsulu ilə hesablaırlar. Məsələn, 00 manat pulun neçə ilə 00 manat olacağını tapmaq üçün illərin saının artım faizinə hasili 7-ə bərabər olmalıdır, əni n r = 7 olmalıdır. Bu qadaa və qrafikə görə bir manat pulun,5%-lə neçə ildən sonra təmi - nən manat olacağını tapın və nəticələri müqaisə edin. =, =, və = funksialarının qrafikini qurun. Hər bir funksianın təin oblastını və qimətlər çoluğunu, sıfırlarını (əgər varsa) azın. = ; ; ; qimətlərində bu funksiaların qimətlərini müqaisə edin. Hansı funksianın qimətləri daha sürətlə dəişir? Çap üçün deil

243 Üstlü funksianın qrafikinin çevrilmələri Üstlü funksianın ümumi şəkli f() = l a m + n f() = a funksiası üstlü funksialar ailəsinin əsas funksiasıdır. Bu funksianın mütəlif çevrilmələrinə görə f() = l a, f() = l a n,, f() = l a m + n şəkilli üstlü funksiaların qrafikini qurmaq olar. Qrafik l dəfə oundan şaquli olaraq dartılır. (, ) (, l) Məsələn, = və = = l < 0 olduqda ouna nəzərən əksetmə baş verir. Məsələn, = və = 0 f() = l a m + n funksiasının qrafikini = l a funksiasının qrafikinin paralel köçürülməsi ilə qurmaq olar. = 6 + = 6 = 6 0 = + = = = 0 = m sağa və a sola üfüqi sürüşmə Nümunə: = funksiasının qrafikinin paralel köçürülməsi ilə = + + funksiasının qrafikini qurun.. = funksiasına uğun (0; ), (; 6); (; ) nöqtələrini koordinat müstəvisi üzərində qed edək və bu nöqtələri səlis əri ilə birləşdirək. Funksianın asimptotu = 0 düz əttidir.. = funksiasının qrafikinin bir vahid sola ( + ) və bir vahid uarı ( + +) paralel köçürülməsinə uğun olaraq (sürüşmə vektoru ; ) qed olunan nöqtələrin eni koordi nat - larını müəən edək və koordinat müstəvisi üzə - rin də erləşdirək. Bu nöqtələri səlis əri ilə bir ləşdirsək, = + + funksiasının qrafiki alınar. (0; ) (; ) (; 6) (0; 7) (; ) (; ) = düz ətti funksianın üfüqi asimptotu olacaq. n uarı və a aşağı şaquli sürüşmə 9 = + + (0; 7) (0; 6) 5 (; ) (; 6) (; ) = (0; ) (; ) 0 Çap üçün deil

244 Üstlü funksianın qrafikinin çevrilmələri Örənmə tapşırıqları... a) Cədvələ = funksiasının qimətləri sütununu = = = əlavə etməklə qrafikini qurun. (; ) (; ) (; ) b) = funksiasını = la m (0; ) (0; ) (; ) + n funksiasının (; ) (; 6) (5; 6) parametrləri ilə əlaqələndirməklə hər (; 9) (; 8) (6; 8) bir addımdakı dəişikliin qrafikin (; 7) (; 5) (7; 5) vəziətinə təsirini şərh edin. c) = və = funksialarının hər birinin təin oblastını və qimətlər çoluğunu göstərin. Ən azı üç nöqtəsinin koordinatlarını müəən etməklə funksiaların qrafikini qurun. a) = b) = 5 c) = 0,5 d) = ( ) e) = ( ) f) =,5 5 5 = funksiasının qrafiki şaquli istiqamətdə elə sürüşdürülmüşdür ki, alı - nan qrafiki (; ) nöqtəsindən keçir. Sürüşdürülmüş qrafikə uğun funksi - a nın düsturunu azın. Uğun paralel köçürməni nümunəə uğun azın. Nümunə: f() = və g() = a) f() = və g() = + g() = f( ) olduğundan g() funksiasının qrafiki f() funksiasının qrafikinin vahid sağa b) f() = və g() = 5 sürüşdürülməsi ilə alınmışdır. c) f() = 0 və g() = 0 +. =, = +, = funksialarının qrafiklərini qurun. Bu funksiaların təin oblastları və qimətlər çoluğu, asimptotları haqqında fikirlərinizi söləin. 5. = 0 funksiasını = (5) kimi azmaq olar. Bu funksianın və = 5 funksiasının qrafikini qurun və onları müqaisə edin. 6. Verilən funksiaları = l a şəklində azın. a) = + b) = 5 9 c) = 5 d) = 5 7. Verilən funksiaların qrafiklərini f() = l a üstlü funksiasınınqrafikinin paralel köçürülməsi ilə qurun. Hər bir funksia üçün paralel köçürmə vektorunu azın. a) = ( ) b) = + c) = d) = + e) = + f) = Çap üçün deil

245 Üstlü funksianın qrafikinin çevrilmələri 8. Hansı qrafikin hansı funksiaa aid olduğunu müəən edin. a) b) ) = 5 c) ) =, ( ) (0, ) ) = 5 0, 5 ( ),, ( ) ) = 5) = d) e) 6) = (, ) f) ( 5 ) (0, ) (0, ) 9. Funksianın eksponensial artan və a azalan olduğunu müəən edin. a) = 0,5 b) = c) = 0, ( ) d) = ( 5 ) e) = 0 f) = 0, 5 0. Real həati situasialarda hər hansı kəmiət illik olaraq sabit faizlə artarsa, t ildən sonrakı vəziəti kəmiətcə qimətləndirmək üçün = a( + r) t düsturundan, azalma baş verir sə, = a( r) t düsturundan istifadə edilir. Burada a -ilkin miqdarı, r -artım (azalma) faizini onluq kəsrlə, t -illərin saını göstərir. Bu düstura görə məsələləri həll edin. Nümunə. 000 manata alınmış avtomobilin qiməti hər il % aşağı düşür. Avtomobilin qimətinin istifadə ilindən (t) asılılığını göstərən üstlü funksianın düsturunu azın. Həlli: = a( r) t düsturunda a = 000, r = % = 0,, r = 0,88 olduğunu nəzərə alsaq, verilən situasianı = 000(0,88) t üstlü funksiası ilə modelləşdirmək olar. a) 99-cü ildə internet istifadəçilərinin saı 000 nəfər olmuş və on il ərzində onların saı hər il 00% artmışdır. İnternet istifadəçilərinin t ildən sonra saını göstərən üstlü funksianı azın. 5 ildən sonra istifadəçilərin saı neçə nəfər olub? 000-ci ildə istifadəçilərin saı neçə nəfər olmuşdur? b) Bank hesabına illik 8% mürəkkəb faiz artımı ilə qoulmuş 000 manat pul 6 ildən sonra neçə manat olacaq? c) Təsəvvür edin ki, siz tərkibində 0 milliqram kofein olan qəhvə içmisiniz. Qəbul edilmiş kofenin miqdarı saatda % olmaqla azalır. Orqanizmdə qalan kofenin miqdarını göstərən üstlü funksianın düsturunu azın.. Funksianın təin oblastını və qimətlər çoluğunu göstərin. a) = + ; b) = ; c) = 8 + ; d) = ; e) = + ; f) = ( ). 5 (, ) (0, ) (, ) (, ) Çap üçün deil

246 Üstlü funksia. e ədədi Araşdırma. e ədədi. Təsəvvür edin ki, manat pul illik 00% mürəkkəb faiz artımı ilə bir illiinə banka qoulmuşdur və il ərzində n dəfə hesablama aparılır. Mürəkkəb faiz artımı düsturunda S0 =, r = 00% =, t = qimətlərini erinə azın. r S = S0 (+ ) n nt = (+ ) n = (+ ) n n n n-nin mütəlif qimətlərində funksianın qimətlərini hesablamaqla (+ ) n n qimətinin hansı ədədə aınlaşdığını araşdırın. Hesablama şərti İllik Yarımillik Kvartallıq Alıq Gündəlik Saatlıq n Göründüü kimi bank verilən faizlə pulu daha tez-tez hesablaarsa, gəlir artar. Lakin bankın faizi gündəlik hesablamasından alıq hesablamasına nisbətən əldə edilən gəlir cəmi 0 qəpikdir. Təsəvvür edin ki, bank hesabdakı pula verilən faizə görə ara vermədən hər saniə gəlir hesablaır. Yenə də fərq saatlıq və a gündəlik hesablamadakından ço fərqlənməəcək. S (n) = (+ ) n S(n) funksiasının qrafkalkulatorla n qurulmuş qrafikindən görünür ki, n olduqda S(n) funksiasının üfüqi asimptotu var. S (n) = (+ ) n n e ədədi n Araşdırmalar göstərir ki, n-in qiməti artırdıqca (+ ) ifadəsinin qiməti,7 n n ilə,7 arasında dəişir. Bu ədəd e hərfi ilə işarə edilir və qiməti e =, kimidir. e ədədi də ədədi kimi irrasional ədəddir. Bu ədədlər transendent ədədlərdir. Transendent ədədlər əmsalları tam ədədlər olan heç bir n dərəcəli tənliin kökləri olmaan ədədlərə deilir. Ekponensial artma və a azalmanı e əsasına görə N = N0e kt düsturu ilə ifadə etmək olar. N0 - ilkin miqdarı, t -zamanı göstərir. k -sabit ədəddir. 6 S(n) = (+ ) n n S(n) = (+ ) S(n) = (+ ) S(n) = (+ ) S(n) = (+ ) S(n) = (+ ) S(n) = (+ ) m,5,,88,708,76,78 Çap üçün deil

247 Üstlü funksia. e ədədi = e funksiasının qrafiki. = e funksiasının qrafikini qurmaq üçün mütəlif internet qrafkalkulatorlardan ( həmçinin şəkildə göstərildii kimi Geometer s Sketchpad proqramından istifadə etmək olar = e İfadələrin qimətini vergüldən sonra dörd rəqəm dəqiqlii ilə hesablaın. e düməsi olan internet kalkulatorlardan istifadə edin. a) e b) e 0, c) e 0 Qrafkalkulatorun köməilə = e funksiasının qrafikini qurun. Aşağıdakı funksiaların qrafikini = e funksiasının qrafikinin çevrilmələrinə görə sematik təsvir edin. a) = e b) = e c) = e DDT (CH9Cll5) maddəsini ilk dəfə isveçrə alimi Paul Müller kəşf etmiş və bu kəşfinə görə Nobel mükafatına laiq görülmüşdür. Müharibədən sonrakı dövrdə DDT pestisidi ilə ətrafın dərmanlanması nəticəsində tif və malaria kimi əstəlikləri aan həşəratlar məhv edildi. Lakin araşdırmalar bu maddənin insan orqanizminə də zianı olduğunu göstərir. Tutaq ki, 97-cü ildə 0 9 kq DDT müəən sahənin dezinfeksiası üçün istifadə edilmişdir. k = 0,0 olarsa: a) Verilən ildə bu maddənin qalığını göstərən düsturu N = N0e kt şəklində azın. b) 00-cı ildə bu maddədən nə qədər qalmış olacaq? Kalkulatorla hesablaın. Təcrübə zamanı t saat müddətdən sonra qabdakı bakteriaların N saını N = 00 e 0,69t düsturu ilə müəən etməin mümkün olduğu aşkar edilmişdir. a) Qabdakı bakteriaların ilkin saını tapın. b) 5 saat sonra qabda neçə bakteria olacaq? 5000 manat pul 5 illiinə % illik mürəkkəb faiz artımı ilə banka qoulmuş dur. Gəlirin hesablanması kəsilməz olaraq aparıldıqda əldə olunan gəliri S = S0e rt düsturu ilə, ildə iki dəfə (n = ) faiz hesablanmaqla əldə olunan gəliri S = S0 (+ ) nt düsturu ilə hesablaın. Hansı halda ço gəlir və nə qədər ço gəlir əldə edilər? r n Çap üçün deil 7

248 Ədədin loqarifmi Araşdırma ) -in erinə elə ədədlər azın ki, bərabərlik doğru olsun. a) = 6 b) = 9 c) = 6 ) Arqumentin hansı qimətində = funksiası 6-a bərabər qimət alır? -in bu qiməti eganədirmi? 0 ) -in verilmiş bərabərlii ödəən qiməti hansı iki ardıcıl tam ədədin arasındadır? a) = b) = 8 c) = 56 Loqarifma Nümunə. Loqarifmik azılışları eksponensial azılışlarla əvəz edin ? = b ədədini almaq üçün a ədədinin üksəldildii qüvvət üstünə b ədədinin a əsasdan loqarifmi deilir və = log a b kimi azılır. Burada a üst olmaqla a və b müsbət həqiqi ədədlərdir. = log a azılışı a = bərabərliinin loqarifmik = log a a = azılışıdır və a əksinə a = azılışı = log a əsas bərabərliinin eksponensial azılışıdır. Yəni a = və = log a azılışları ekvivalent azılışlardır. log a = 0, çünki a 0 = log a a =, çünki a = a. log a a =, çünki a = a a log a =, çünki log a = log a a log a = bərabərliinə əsas loqarifmik enilik deilir. a) log 6 = b) log 0 = 000 c) log 8 = 0 Həlli: loqarifmik azılış: eksponensial azılış: a) log 6 = = 6 b) log 0 = = 000 c) log 8 = = Nümunə. Loqarfmik ifadələrin qimətini tapın. a) log 7 b) log a a c) log 5 5 Həlli: log 7 = işarə edək log a a = log 5 5 = = 7 eksponensial azılış a = a 5 = 5 =, = qüvvətin assəsinə görə = = Çap üçün deil

249 Ədədin loqarifmi Örənmə tapşırıqları Bərabərlikləri ekvivalent loqarifmik azılışla əvəz edin. a) = 8 b) 8 / = c) 0,5 = d) b = e) e = f) ( ) = 9 g) ( 5 ) = h) 8 = 5 6 Bərabərlikləri ekvivalent eksponensial azılışla əvəz edin. a) log 5 65 = b) log 5 5 = c) lg(0,000) = d) log 5 ( ) = 5 e) log b 5 = g) log b 8 = h) log 5 = i) log 7 = Əsası 0 və e ədədi olan loqarifmalar uğun olaraq lg və ln kimi işarələnir. Əsası 0 olan loqarifma onluq loqarifma, əsası e olan isə natural loqarifma adlanır. log 0 0,00 lg 0,00 log e c ln c Loqarifmi hesablamaq üçün kalkulatorlardan istifadə etmək olar. Məsələn, kimi virtual kalkulatorlardan istifadə etmək olar. Hesablaın. a) lg 0,00 b) lg (6, 0 5 ) c) lg (0,0005) d) ln(e ) e) ln(8) Kalkuatordan istifadə etmədən loqarifmik ifadələrin qimətlərini tapın. a) log 7 9 b) log 7 c) lg0, d) log ( ) 6 e) log 6 f) log 8 g) log 7 h) log 0,5 i) log 5 j) log 9 9 k) lg0 l) log 7 ) Nümunələr üzərində loqarifmin əsasının 0; və a mənfi ədəd ola bilmədiini izah edin. ) İfadənin mənası varmı? a) log 9; b) lg( 0); c) log ; d) ln 7 ; e) log 6. a və b-nin erinə elə ardıcıl tam ədədlər azın ki, bərabərsizlik doğru olsun. a) a < log 8 < b b) a < log 00 < b c) a < log 5 90 < b Əsas loqarifmik eniliin köməilə ifadələrin qimətini hesablaın. 8 a) log b) 0lg ; + log c) ; lg d) 0 ; log e) 5; log f) 5 5 ; g) log ; h) 6log 7; 8. Hesablaın. a) ( + log 5 ) log 6 ; b) 9 log 7 ; c) (7 5 log 5 ) + log. 9. Bərabərlikdən məchulu tapın. a) log = b) log = e) log 5 = f) log = 0. Statistik göstəricilərə görə düna əhalisi 995-ci ildən başlaaraq ildə,7% artır. 0-ci ildə düna əhalisinin saı 7 milard olmuşdur. Bu artımla 00- ci ildə əhalinin saı təminən neçə nəfər olar? Çap üçün deil 9

250 Loqarifmik funksia Araşdırma. f() = və onun tərsi olan f () funksialarının qi mətlər cədvəlini və qrafiklə ri ni dəftərinizdə siz də qurun. Funksia və tərs funksia haqqında fikirlərinizi azın. f() = Loqarifmik funksia f () = a funksiasının qimətlər oblas tın - dan götürülmüş hər bir qimətə təin oblastından götürülmüş alnız bir qi - mət uğun gəlir. Yəni, = a funksia - sının tərsi olan funksia var və bu funksia = log a funksiasıdır. Deməli, = a funksiasının qrafikini = düz əttinə nəzərən simmetrik çevirsək, = log a funksiasının qrafikini alarıq. ) Loqarifmik funksianın təin oblastı bütün müsbət ədədlər çoluğudur: D(log a ) = (0; +) ) Loqarifmik funksianın qimətlər çoluğu bütün həqiqi ədədlər çoluğudur: E(log a ) = ( ; +) ) Loqarifmik funksia a > olduqda artan, 0 < a < olduqda azalandır. ) = loga funksiasının qrafiki absis ounu (; 0) nöqtəsində kəsir. a > olduqda nümunə olaraq = log, = ln, = log 5 funksialarının qrafikləri verilmişdir. Qrafikləri dəftərinizdə qurun. a > olduqda 0 < < olarsa, loqarifmik funksia mənfi, > olarsa, müsbət qimətlər alır. 0 < a < olduqda nümunə olaraq = log, = log, e = log funksialarının qrafikləri verilmişdir. 5 0 < a < olduqda 0 < < olarsa, loqarifmik funksia müsbət, > olarsa, mənfi qimətlər alır. 50 (0, ) 0 = (, 0) 8 6 f () = = 6 = a = loga = a > 0 < a < o 0 f() = log g() = log e = ln h() = log 5 o h() = log 5 f() = log g() = log e Çap üçün deil

251 Loqarifmik funksia Örənmə tapşırıqları. a-nın verilən qimətlərində = a və = log a funksiasının qrafiklərini eni koordinat sistemində qurun. a) a = b) a = c) a = d) a = e) a =. = log funksiasının qrafikindən hansı simmetrik çevrilmə ilə = log funksiasının qrafikini almaq olar? Qrafikləri eni koordinat sistemində qurun.. Verilmiş funksianın tərs funksiasının düsturunu azın. Verilmiş funksianın və tərs funksianın qrafiklərini qurun. Tərs funksia üçün müəən edin: təin oblastını və qimətlər çoluğunu; asimptotunun tənliini. koordinat oları ilə kəsişmə nöqtələrini; a) = 5 b) = log. = log ( + 9) + funksiasının qrafiki log funksiasının qrafikinin 9; vektoru üzrə icra edilən paralel köçürülməsi ilə alınır. Verilən funksiaların qrafikini hansı funksianın qrafikini və necə sürüşdürməklə almaq olar? a) = log + b) = log ( + ) c) = log ( ) Artan, osa azalan funksiadır? a) = log 5 b) = log Müqaisə edin: a) log 5 və log 7 b) log 5 və log c) log və log 5 ( ; ) nöqtəsi f () = log a funksiasının qrafiki, (; k) nöqtəsi isə bu funk - 8 sianın f - () tərs funksiasının qrafiki üzərindədir. k-nın qimətini tapın. Loqarifmik spiral başlanğıcı P(; 0) nöqtəsində olmaqla P nöqtəsinin saat əqrəbinin hərəkətinin əksi istiqamətdə bucağı qədər(radianla) dönməsi ilə alınır. Bu zaman P nöqtəsinin koordinat başlanğıcından r məsafəsi r = e 0, düsturu ilə müəən edilir. a) dönmədə P nöqtəsinin koordinat başlanğıcından məsafəsini tapın. Cavabınızı üzdəbirlərə qədər uvarlaqlaşdırın. b) r və arasındakı asılılığı loqarifmik azılışla ifadə edin. c) r = olduqda -nın qimətini tapın. Ədədin işarəsini müəən edin: a) log 5 ; b) log 0, ; c) log 0,; d)log 0, 0,6 5 6 o 6 6 P 6 Çap üçün deil

252 Loqarifmik şkala və məsələ həlli. Kima - Ekologia. ph (hidrogen ionlarının aktivlii) məhlulun bir litrindəki hidrogen ionlarının (HO + ) miqdarını mol ilə göstərir. ph şkalasında ph-ın qiməti 0-dan -ə qədər dəişir. ph-ın 7-ə bərabər olan qimətində məhlul netral hesab edilir. 7-dən kiçik qimətlərdə məhlulun turşululuğu, 7-dən böük qimətlərdə qələvilii çodur. Məhlulun ph-nı hesablamaq üçün ph = lg[h + ] düsturundan istifadə edilir. Burada H + məhlulun litrindəki hidrogen ionlarının konsentrasiasını göstərir. Bu düstura görə məhlulda ph göstəricisi vahid artırsa, deməli, məhluldakı hidrogen ionlarının konsentrasiası 0 dəfə artmışdır. M HCl mədə şirəsi portağal şirəsi şərab qəhvə süd təmiz su qan dəniz suu ammonak ağardıcı uucu vasitə M NaOH ph [H] [OH] [H] daha ço turşulu netral daha ço qələvi [OH]. a) Normal ağış HNO SO, NO HSO suunda ph 5,6-a ( ) bərabər olur. Lakin eko - loji cəhətdən çirk lən miş bir ço er lər də turşu - luluğu ço olan ağışlar ph= lg[h + ] ağır. Yağış suunda hidrogen ionlarının konsentrasiası 0,000 mol olarsa, onun ph göstəricisini hesablaın. l b) ph göstəricisi 5,6 olan suun [H + ] konsentrasiasını müəən edin. I Fizika. Səs dalğaları. Səsin gurluğu desibellə ölçülür və L = 0 lg düsturu ilə hesablanır. Burada I səsin intensivlii (vatt/m ), I0 insan qulağının eşidə bildii ən aşağı səs intensivliidir (0 - vat/m qəbul edilir). İnsan qulağı ço geniş diapazonda səsləri eşidə bilir. Bu 0 db-dən (səssizlik) 80 db arasında dəişir. a) Radiodakı musiqi səsinin intensivlii insan qulağının eşidə biləcəi minimum səsin intensivliindən 000 dəfə çodur. Musiqi səsinin gurluğu neçə desibeldir? b) Tahir deir ki, intensivlii 0-8 vatt/m olan səs intensivlii 0-8 vatt/m olan səsdən dəfə gurdur. Siz necə düşünürsünüz? Çap üçün deil 5 I0

253 Loqarifmik şkala və məsələ həlli Zəlzələ. 95-ci ildə Amerika sesmoloqu Çarlz Riter zəlzələnin gücünü hesablamaq üçün M = lg A düsturunu müəən etdi və zəlzələnin gücünü A0 göstərən (Riter şkalası adlanan) loqarifmik şkala aratdı. M - zəlzələnin gücünü (balla), A sesmoqrafın baş vermiş zəlzələdə qed etdii sesmik dalğaların maksimum amplitudunu (mikronla), A0 isə sesmoqrafın qed edə bildii ən zəif zəlzələə uğun (buna sıfır zəlzələ də deilir) sesmik dalğanın amplitududur ( mikron (0 6 m) qəbul edilir). A M = lg düsturunu A = A00 M kimi də azmaq olar. Deməli, Riter şkalası A0 ilə ballıq zəlzələnin sesmik dalğalarının amplitudu ballıq zəlzələdəkindən 0 dəfə böükdür. a)baş vermiş zəlzələnin amplitudunun (A) maksimal qiməti, A0 qi - mətindən 0 7, dəfə böük olmuşdur. Neçə bal gücündə zəlzələ baş vermişdir? b),7 bal gücündəki zəlzələnin sesmik dalğa amplitudu bal gücündəki zəlzələnin amplitudundan neçə dəfə böükdür? c) 906-cı ildə San-Fransiskoda Riter şkalası ilə 8, bal gücündə zəlzələ baş verdi. Eni ildə Kolumbia - Ekvador sərhədində baş verən zəlzələnin amplitudu bu zəlzələnin amplitudundan dəfə böük olmuşdur. Kolumbia-Ekvador sərhəddində baş verən zəlzələ Riter şkalası ilə neçə bal gücündə olmuşdur? d)976-cı il iulun 8-də Çində baş vermiş 8,5 bal gücündə zəlzələ zamanı 0000 nəfər, 990-cı ildə İranda baş verən 7, bal gücündə zəlzələ zamanı isə nəfər həlak olmuşdur. Bu iki zəlzələnin amplitudlarını müqaisə edin. Otaqda qrup şəs hər biri, 0 7 vatt/m intensivlii ilə olmaqla öz aralarında söhbət edir. Bu qrupların aratdığı səs neçə desibeldir? Təsəvvür edin ki, bank hesabındakı 000 manat ilkin məbləğ eksponensial olaraq dəişir. Bu məbləğ 7 ildə iki dəfə artmışdır. t ildə hesabdakı məbləği t A(t) = düsturu ilə hesablamaq olar. Burada t illərin saını, A(t) isə he sab dakı məbləği göstərir. a) 5 ildən; 0 ildən sonra hesabda neçə manat olacaq? b) A(0) və A(8) qimətlərini hesablaın və real situasiaa uğun şərh edin. Biologia. Bioloqlar filin aaq izlərinin ölçüsünə (l) görə onların aşını (a) təmin edə bilirlər. Bunun üçün onlar l = 5 5,7e 0,09a düsturundan istifadə edirlər. Aaq izi 8 sm; 6 sm olan filin aşını hesablaın. Çap üçün deil 5

254 Loqarifmin assələri Araşdırma. ) lg (000 00) (lg 000) (lg 00) olduğunu göstərin. ) Hesablaın. Nəticələri müqaisə edin. a) log + log 8 və log b) log + log 7 və log 8 c) log + log 8 və log Fikirlərinizi log a b + log a c üçün qada ifadə etməklə ümumiləşdirin. b və c müsbət həqiqi ədədlərdir. ) Hesablaın. Nəticələri müqaisə edin. a) log 6 log və log b) log 7 log 9 və log c) log log və log 6 Fikirlərinizi log a b log a c üçün qada ifadə etməklə ümumiləşdirin. b və c müsbət həqiqi ədədlərdir. ) Hesablaın. Nəticələri müqaisə edin. a) log və log 6 b) log və log 9 8 c) lg 00 və lg 0000 Fikirlərinizi b log a c üçün qada ifadə etməklə ümumiləşdirin. c və b müsbət həqiqi ədədlərdir. 5) Qüvvətin assələrini dəftərinizdə sözlə ifadə edin. Hər birini iki nümunə azmaqla izah edin. qüvvətlərin hasili: c c = c c + qüvvətlərin nisbəti: c = c -, c 0 qüvvətlərin qüvvəti: (c ) = c Loqarifmin assələri. Hasilin loqarifmi: log c = log c + log c İki müsbət ədədin hasilinin loqarifmi vuruqların loqarifmləri cəminə bərabərdir. Burada c və c > 0 olmaqla və müsbət həqiqi ədədlərdir.. Nisbətin loqarifmi: log c = log c log c İki müsbət ədədin nisbətinin loqarifmi onların loqarifmləri fərqinə bərabərdir. Burada c və c > 0 olmaqla və müsbət həqiqi ədədlərdir.. Qüvvətin loqarifmi: log c = log c Ədədin qüvvətinin loqarifmi qüvvət üstü ilə həmin ədədin loqarifmi hasilinə bərabərdir. Burada c və c > 0 olmaqla müsbət həqiqi ədəddir. Çap üçün deil 5

255 Loqarifmin assələri Xassə. log c = log c + log c -ci assənin isbatı: log c = m və log c = n, kimi işarə edək. = c m və = c n eksponensial azılışla = (c m )(c n ) və ədədlərinin hasili = c m + n qüvvətlərin hasilinin assəsi log c = m + n loqarifmik azılışla log c = log c + log c m və n-in qimətləri nəzərə alınmaqla Xassə. log c = log c log c -ci assənin isbatı: log c = m və log c = n kimi işarə edək. = c m və = c n eksponensial azılışla = və ədədlərinin nisbəti = c m n qüvvətlərin nisbətinin assəsi c m c n log c = m n loqarifmik azılışla log c = log c log c m və n-in qimətləri nəzərə alınmaqla Xassə. log c = log c -cü assənin isbatı: log c = m kimi işarə edək. = c m = (c m ) = c m log c = m log c = (log c ) log c = log c eksponensial azılışla bərabərliin assəsi qüvvətin qüvvəti loqarifmik azılışla m-in qiməti nəzərə alınmaqla vurmanın erdəişmə qanunu Örənmə tapşırıqları. Loqarifmin assələrindən istifadə etməklə ifadələrin qimətini hesablaın. a) log (6 ) 0,() b) log 8 c) log 5 (5 65) d) log 6 + log 6 e) lg + lg 5 f) log 0,5 6, + log 0,5 0 g) log 8 log h) log 8 log i) lg 0,5 lg 5 Çap üçün deil 55

256 Loqarifmin assələri j) log 8 k) log (97) l) lg 0 m) log 0,5 8 log n) 5 8 log o) 5 log p) 7 6 lg + lg 5 r) log 5 log 5 log 7 + log 7 8 lg lg 0. Loqarifmin assələrindən istifadə etməklə ifadəni,, z müsbət ədədlərinin loqa rifm ləri ilə azın. Nümunə. log z = log + log + log (z) = log + log + log z a) log 6 b) log 5 c) log 9 d) log 5 7 z. e) log 7 z f) log 5 (z) 8 g) log h) log z z Loqarifmin assələrindən istifadə etməklə ifadələri müəən ədədin loqarifmi (log a N ) şəklində azın. Nümunə. 6 0 log log 5 0 log 5 = log 5 = log 5 0 a) log + log 5 b) log 6 log c) log 5 d) lg lg e) lg 6 lg 6 f) lg 6 + lg g) 5 log + log 5 h) lg lg + lg i) log + log 5 log Dəişənlərin müsbət qimətlər aldığını bilərək, ifadəni loqarifmin as - sələrindən istifadə etməklə müəən ifadənin loqarifmi şəklində azın. Nümunə. 5 + log = log 5 + log = log + log = log a) log + log 0 b) log a + log b c) log 5 log d) log + log e) lg + lg f) log 5 + log 5 log 5 z g) log (log + 5 log ) Dəişənlərin mümkün qimətlərində sadələşdirin. 56 h) log 7 + log 7 5 log 7 i) ln+ ln lnz j) log 0 log 5 a) log ( 9) log ( 6) 6. log 5 = a və log 5 = b olduğunu bilərək a və b ilə ifadə edin: a) log 5 6; b) log 5 ; c) log 5 5; d) log b) log 5 ( ) log 5 ( + ) Çap üçün deil

257 Loqarifmin assələri lg a =, lg b =, lg c = 8 isə lg a b ifadəsinin qimətini tapın. c ) Tapın: a) k = log 0 log 5 olduqda k ifadəsinin qimətini; b) n = log 8 olduqda 7 n ifadəsinin qimətini. ) Sadələşdirin: a) e ln0 ln b) log log lg 5 0,699 və lg 5,76 olduğunu nəzərə alaraq ifadələrin qimətini hesablaın. a) lg b) lg 75 c) lg d) lg 5 Bir əsasdan başqa əsasa keçmə Əsas loqarifmik eniliə və qüvvətin loqarifminin assəsinə görə logc b = logc (a loga b ) = log a b log c a Buradan: log a b = log c b Xüsusi halda, c = b olarsa, log a b = log c a log b a Bir ço kalkulatorlarda alnız onluq (lg) və natural loqarifmləri (ln) hesablamaq üçün klaviş mövcuddur. Bu səbəbdən də loqarifmləri daha ço onluq və natural loqarifma şəklində azmaq zərurəti aranır. log a b = lg b log lg a a b = ln b ln a Nümunə. a) onluq loqarifma; b) natural loqarifma ilə azın və hesablaın. log 7 = lg 7 0,85 lg 0,77,77 log 7 = ln 7,96 ln,099,77. Onluq və a natural loqarifmə gətirməklə hesablaın. log 5 7 log 7 log 6 log 9 5 log 6 log 5 log 5 9 log 7 log 5 log 9 ) Bir əsasdan başqa əsasa keçmə düsturunun köməi ilə göstərin ki: p log = q log a b a q bp g) + h) log 6 log 6 log 6 ) Hesablaın. a) log b) log 9 c) log 8 log d) log log 9 e) log log log 5 f) log 5 log 6 5 log 7 6 log 8 7 log log 5 Çap üçün deil

258 Üstlü tənliklər Üstlü tənliklər Üstlü funksiaların assəsi. a, a > 0 şərti ilə a = a bərabərlii alnız və alnız o zaman doğrudur ki, = olsun. Bu assəə görə alırıq: ) a f() = a g() üstlü tənlii f() = g() tənlii ilə enigüclüdür. ) a = c tənliini c > 0 olduqda a = a log a c şəklində azsaq, = log a c alarıq. Verilmiş üstlü tənliklər müəən üsullarla sadə üstlü tənliklərə gətirilib, həll edilir.. Qüvvətin assələrinin tətbiqi Nümunə. = 8 verilən tənlik ( ) = ( ) eni əsaslara gətirilir = 6 = 6 qüvvətin qüvvəti assəsi enigüclü tənliə gətirilir = ; =,5 tənliin həlli Yolama:,5 = 8,5 = 8 ; 6 = 6 Nümunə. + = 5 verilən tənlik = 5 qüvvətin assəsi (6 ) = 5 ortaq vuruğun mötərizə aricinə çıarılması = 9 sadələşdirmə = tənliin həlli. Əsaslar mütəlif olduqda tənliin hər iki tərəfi qüvvətlərdən birinə bölməklə və a tənliin hər iki tərəfini eni əsasa görə loqarifmləməklə həll etmək olar. Nümunə. Nümunə. = 5 - = verilən tənlik tənlii lg - = lg hər iki tərəfi on əsasdan loqarifmlənir ( ) = 5, ( ) lg = lg loqarifmin assəsi 9 = 5 lg lg = lg vurmanın palama assəsi şəklində azıb, lg lg = lg oşar hədlər qruplaşdırılır hər iki tərəfini 5 -ə bölək (lg lg) = lg ortaq vuruq mötərizə aricinə çıarılır ( 9 ) = lg 5 = tənliin həlli Buradan lg lg = 0,7095 tənliin təqribi kökü Çap üçün deil 58

259 Üstlü tənliklər. Yeni dəişən dail etməklə Nümunə = 0 7 = 0 ( ) 6 7 = 0 = 6 7 = 0 ( 9)( + ) = 0 = 9; = = 9 = = verilən tənlik qüvvətin assəsi eni məchul dail edilir kvadrat tənliə gətirilir kvadrat tənliin həlli əvəzləmə nəzərə alınır Cavab: = Yolama: = = 0 0 = 0 Tənliə dail olan qüvvətlərin üstləri eni olub, əsaslar həndəsi silsilənin ardıcıl hədləri olduqda hər iki tərəfi kənar hədlərdən birinə bölüb eni dəişən dail edilir. Nümunə = 0 hər iki tərəfi -ə bölək + ( 9 ) 5 ( ) = 0 + ( ) 5 ( ) = 0 ( ) = əvəz edilir 5 + = 0 kvadrat tənliə gətirilir = = kvadrat tənliin həlli ( ) = ( ) = əvəzləmə nəzərə alınır. = 0 = tənliin həlli Örənmə tapşırıqları.. Qüvvətin assələrini tətbiq etməklə həll edin. a) 5 = 5 b) 9 + = 7 c) ( ) = 8 d) 5 = 5 e) 0,5 = 8 f) = g) + = 5 h) = 0 i) + = 69 Tənlikləri həll edin. ) = 8 ) 7 = 9 ) 5 = 5 + ) 6 = + 5) = + 6) + = 9 7) 5 = 5 8) 6 = ) = 7 0) + 5 = 8 ) 5 = 5 ) 0 = 00 ) 6 = 6 ) 5 8 = 9 5) 9 = 7 5 6) = 7 7) 9 9 = 7 8) 6 6 = 6 Çap üçün deil 59

260 Üstlü tənliklər Yeni dəişən dail etməklə həll edin. a) 5 + = 0 b) = 0 c) = 0 d) = 5 e) + = f) 7 += 0 Tənlikləri həll edin. a)7 = b) = c) 0,5 = + 0,5 0,5 Hər iki tərəfi qüvvətlərdən birinə bölməklə həll edin. a) + 9 = 5 6 b) = 0 c) 7 = + 8 Tənlikləri həll edin. a) 5 = Tənlikləri həll edin. b) 6... = 0,5 0 a) + = 5 b) 9 = c) = d) = 7 e) 0 + = f) = 8. Tənlikləri həll edin. ) 0 = 00 5 ) 5 = 5 ) 7 = 7 ) 6 9 = 6 5) 8 5 = 6 + 6) e = 6 7) = 5 8),e 5 +,6 = 9) 5 = 9. 0) 5e + 9 = 6 ) 0 + = 8 ) 0,5 0,5 = ) + = 5 ) e + = 5) = 00 Maddənin souması zamanı temperaturun zamandan asılılığının Nuton düsturu T = (T0 Tr)e rt + Tr kimidir. Burada T maddənin baılan andakı, T0 başlanğıc andakı temperaturunu, Tr isə ətraf mühitin temperaturunu (otaq tempe raturunu), r souma sürətini (vahid zamanda temperaturun dəişməsini), t zamanı göstərir. Temperaturu 80 C olan çaın temperaturu C olan otaqda 0 dəqiqədən sonra 60 C oldu. a) Maddənin soumasının Nuton düsturuna görə r əmsalını tapın. b) Neçə dəqiqədən sonra çaın temperaturu 5 C olar? 0. Tənlikləri həll edin: a) 9 sin 7 cos =0 b) sin cos + = c) = d) ( + 5) + ( 5) = 6 Çap üçün deil 60

261 Loqarifmik tənliklər Loqarifmik funksianın assəsi a > 0, a, > 0, > 0 olduqda, log a = log a bərabərlii alnız və alnız o zaman doğrudur ki, = olsun. ) log a f() = log a g() tənlii f() > 0 və g() > 0 olmaq şərti ilə f() = g() tənliinə enigüclüdür. f() = g() tənliini həll edib, tapılmış köklərin f() > 0, g() > 0 şərtlərini ödəib-ödəmədii olanılır. ) log a f() = c tənliini ekvivalent eksponensial azılışla əvəz etsək, f() = a c alarıq. Loqarifmik tənliklər müəən üsullarla sadə loqarifmik tənliə gətirilib həll edilir. ) Loqarifmin assələrindən istifadə etməklə sadə loqarifmik tənliə gətirilən tənliklər Nümunə. log = log verilən tənlik log + log = hər iki tərəfə log əlavə edilir log () = loqarifmin assəsinə görə = ekvivalent eksponensial azılış =,5 tənliin həlli ) Yeni dəişən dailetməklə həll olunan tənliklər Nümunə. log 5 log 5 = verilən tənlik log 5 = a a a = 0 əvəzləmə edilir kvadrat tənliə gətirilir (a )(a + ) = 0 kvadrat tənliin həlli a = a = əvəzləmə nəzərə alınır log 5 = log 5 = = 5 = 5 = 5 = 5 ) Eni əsasa gətirməklə həll olunan tənliklər Nümunə. log + log = 6 verilən tənlik log + log = 6 loqarifmlər eni əsasa gətirilir log + log = 6 log = 6 oşar hədlərin islahı log = = eksponensial azılış = 6 tənliin həlli Çap üçün deil 6

262 Loqarifmik tənliklər Loqarifmin assələrinin tətbiqi ilə həll olunan daha bir misala baaq. Nümunə. lg ( + ) + lg ( + ) = lg ( ) lg ( + ) ( + ) = lg ( ) ( + ) ( + ) = ( ) verilən tənlik loqarifmin assəsi cəbri tənliə gətirilir = ; = 5,5 Yolama. Loqarifmaltı ifadələrdə müsbətlik şərti ödənməlidir, əni + > 0, + > 0, > 0 olmalıdır. 5,5 qiməti bu şərtləri ödəmədii üçün kənar kökdür. isə bu şərtləri ödəir, deməli, tənliin köküdür. Cavab: Örənmə tapşırıqları Tənlikləri həll edin. a) log + log = log b) log 6 + log = log c) log log 9 = log d) log 5 + log 5 = log 5 65 e) log 6 log 6 = log 6 f) log 8 + log 9 = log Tənlikləri həll edin. a) log ( ) = b) log ( ) = c) log ( 5) = d) log ( + + ) = e) log ( ) = f) log ( 5 ) = g) log (log (log ( ))) = 0 h) log ( + log ( 7)) = i) log 7 ( 6) = log 7 ( ) j) ln ( ) = ln k) log ( ) = log (5 ) Loqarifmin assələrini tətbiq etməklə həll edin. a) log + log ( ) = log 8 b) log 6 ( 7 + 6) log 6 ( ) = log 6 Yeni dəişən dail etməklə tənlikləri həll edin. a) log = + log b) log 5 log 5 = c) lg (0) lg (0,) = Hər iki tərəfi eni əsasdan loqarifmləməklə tənlikləri həll edin. log log 5 a) = 8 b) = 5 Tənlikləri qrafik üsulla həll edin. a) log ( + ) = b) log = 6 c) lg = 00 Çap üçün deil

263 Loqarifmik tənliklər 7. Tənlikləri həll edin. a) log + log = b) log log = c) log + log = 8. Tənlikləri həll edin. ) log 5 ( 8) log 5 = log 5 7 ) log ( 6) + log ( 8) = ) log ( ) = log ( + ) 9. d) log + log ( ) = e) log 6 + log 6 ( ) = f) log ( ) log ( + ) =. log 8 = və log = + olarsa, və -in qimətlərini tapın.. Fizika. Altimetr adlı cihaz atmosfer təziqini ölçməklə dəniz səviəsindən olan üksəklii müəən etməə imkan verir. Yüksəklik (metrlə) və havanın P təziqi (paskalla) arasındakı əlaqə h = 8005ln 000 kimidir. Dəniz səviəsindən 500 m üksəklikdə havanın təziqi neçə paskaldır? 5. Zəlzələ. Zəlzələnin amplitudu A = A0 0 M düsturu ilə hesablanır. A0 mümkün ən zəif zəlzələnin amplitudu, M isə zəlzələnin Riter şkalası ilə gücüdür. 5, bal gücündə baş verən zəlzələnin amplitudu onun ardından baş verən zəlzələdən (ardıcıl təkandan) 5 dəfə ço idi. Ardıcıl təkanın gücünü müəən edin. 6. Kima. Sirkə turşusunun ph-ı,9-dur. Qarışqa turşusunda isə hidrogen ionlarının konsentrasiası sirkə turşusundan,8 dəfə çodur. Qarışqa turşusundakı hidrogen ionlarının konsentrasiasını tapın. 7. Maliə. m pul 6% artımla banka qoularsa, t ildən sonra bankdakı pulun məbləğini S =,06 t düsturu ilə hesablamaq olar. Bu düsturdakı t dəişənini S dəişəni ilə ifadə edin. İllik 6% artım ilə banka qoulmuş 000m pul neçə ildən sonra 500m olar? 6 ) 7 = + 5),6 = 5 6) 9 = 7 + g) log = log 6 h) log log 9 = i) log + log 8 = a -nın hansı qimətində log a+log 5 = log (a + ) bərabərlii doğrudur? 0. Əvvəlcə tənliə dail olan loqarifmik ifadənin dəişənin hansı qimət - lərində mənalı olduğunu araşdırın, sonra tənlii həll edin. a) log = 6 b) log = 6. Tərkibində hidrogen ionlarının verilən konsentrasiasına görə məhlulun ph-nı tapın. [H+] = 7,90 - [H+] = 8,0-5 [H+] =,0 -. Verilən ph-a malik məhluldakı hidrogen ionlarının konsentrasiasını tapın. ph =, ph = 6,8 ph =,8 Çap üçün deil

264 Loqarifmik tənliklər Karbon- izotopunun radioaktiv parçalanmasından istifadə edərək alimlər mütəlif bitki, hevan qalıqlarının aşını müəən edirlər. Yer planetində daha ço rast gəlinən Karbon- izotopu radioaktiv deil və parçalanmır. Lakin Karbon izotopu radioaktivdir və parçalanır. Karbon- izotopu atmosferə düşən günəş şüaları ilə aranır, fotosintez vasitəsilə bitkilərə dail olur. Karbon- maddəsi bitkilərlə birlikdə onlarla qidalanan hevanların orqanizminə dail olur və s. Bitki və hevanlarda karbon--ün miqdarı karbon atomunun 0 0 faizi qədərdir. Hevan və a bitki öldüü zaman eni karbon- izotopunu alma imkanları da o olur. Bədənindəki isə parçalanmağa başlaır. Bu izotopun arımparçalanma müddəti təminən 570 ildir. Bitki və a hevan qalığındakı karbon--ün miqdarının karbon atomuna nəzərən neçə faiz təşkil etdiini hesablamaqla onların ölüm tariini müəən etmək mümkün olur. 8. t m = m0 ( ) T düsturuna görə məsələləri həll edin. (burada m0 maddənin ilkin kütləsini, T arımparçalanma müddətini, t zamanı göstərir) a) Fil sümüü qalıqlarında karbon--ün 6%-i o olmuşdur. Bu fil neçə il əvvəl aşamışdır? b) Radioaktiv maddənin arımparçalanma müddəti ildir. Bu maddənin ilkin kütləsi 67 q olarsa, neçə ildən sonra bu maddədən 7 q qalar? c) Müəən miqdar uran maddəsinin üçdə iki hissəsinin parçalanma müddəti 0,6 milard ildir. Uran elementinin arımparçalanma müddətini tapın. 9. Banka qoulmuş 000 manat pul 8% mürəkkəb faiz artımı ilə neçə ilə 0000 manat olar? 0. Şəhərdəki əhalinin hər il % azaldığı müşahidə edilir. t ildən sonra bu şəhərdəki əhalinin saı N = N 0 0,97 t düsturu ilə hesablanır. Burada N 0 əhalinin mövcud saıdır. t kəmiətini N ilə ifadə edin.. Bir ölkədə əhalinin saı 990-cı ildən 000-ci ilə qədər 5 milondan 7 milona çatmışdır. a) Əhalinin saının N = N 0 (+r) t qanunu ilə dəişdiini bilərək, illik artım faizini müəən edin. b) Əhalinin sa artımı bu sürətlə davam edərsə, neçə ildən sonra bu ölkədə əhali 0 milon olacaq?. Sərinləşdirici kola tipli içkinin ph-ı,6, südün ph-ı isə 6,6-dır. Kolanın tərkibində hidrogen ionlarının konsentrasiası süddən neçə dəfə çodur? Çap üçün deil 6

265 Üstlü bərabərsizliklər Üstlü bərabərsizliklərin həlli adətən a > a b və a a < a b bərabərsizliklərinin həllinə gətirilir. Burada a > 0, a. Bu bərabərsizliklərin həlli isə = a üstlü funksiasının artan və a azalan olması assəsinin köməilə həll edilir: a > olduqda a f() > a g() bərabərsizlii f() > g() ilə, a f() < a g() bərabərsizlii f() < g() ilə enigüclüdür. 0 < a < olduqda a f() > a g() bərabərsizlii f() < g() ilə, a f() < a g() bərabərsizlii f() > g() ilə enigüclüdür. Nümunə. + > 8 verilən bərabərsizlik + > qüvvətin assəsi + > enigüclü bərabərsizlik > bərabərsizliin həlli Nümunə. 0, > 0,0 verilən bərabərsizlik 0, > 0, qüvvətin assəsi < enigüclü bərabərsizlik < bərabərsizliin həlli c = a log a c eniliinə görə a > c (və a a < c) bərabərsizlii a > a log a c (və a a < a log a c ) bərabərsizliinin həllinə gətirilir Üstlü bərabərsizlikləri müəən üsullarla sadə üstlü bərabərsizliə gətirib həll edirlər. ) Qüvvətin assələrinin tətbiqi Nümunə. a) 8 > b) + + < 0 verilən bərabərsizlik ( ) > + < 0 qüvvətin assəsi + > ( + ) < 0 qruplaşdırma + > > < 0 sadələşdirmə 0 < 9 < < Qüvvət üstləri eni olduqda qüvvətlərdən birinə bölmək əlverişli olur. Nümunə. > verilən bərabərsizlik > 9 : hər iki tərəfi -ə bölək 9 > ( ) 9 ( ) < ( 9 ) 0 a 0 = olduğuna görə < 0 ) Yeni dəişən dailetmə Nümunə < 0 verilən bərabərsizlik ( ) < 0 = a əvəzləmə a 6a + 8 < 0 kvadrat bərabərsizlik (a )(a ) < 0 < a < əvəzləmə nəzərə alınır < < < < Çap üçün deil 65

266 Üstlü bərabərsizliklər Örənmə tapşırıqları Üstlü bərabərsizlikləri həll edin. a) 9 b) 0, 5 c),5,5 d) 0, 0,09 e) > f) < g) < h) 5 > 5 i) 0, + > 0,6 j) < 7 k) < 9 8 l) 0,5 > 8 m) > n) 9 < 6 o) 5 > p) < 8 Qüvvətin assələrini tətbiq edərək bərabərsizlikləri həll edin. a) + < 7 b) + + < 8 c) + < 0 d) ( ) + ( ) > 5 e) ( ) + ( ) Yeni dəişən dail etməklə bərabərsizlikləri həll edin. a) + 8 > 0 b) + > 0 c) 9 + < 0 d) + < e) 5 5 > 6 Funksianın təin oblastını tapın. = 7 ( 9 8 ) 9 a) b) = ( ) 5 + ( ) 5 Bərabərsizlikləri həll edin. a) + < 0 b) + 9 > c) 0, d),6 > Üstlü bərabərsizlikləri həll edin a + 8 ( ) c < c ( ) t + 5 ( ) t b + > 000 ( ) d 8 d + ( 7 ) v + < ( ) 6 6 v Əsas loqarifmik eniliin köməi ilə bərabərsizlikləri həll edin. ) 8 > ) 6 < 9 ) e < 8,5 ) e > 0,5 5) 0 > 0,08 6) 0 < 6,85 7) e 0,0 > 5 8) e 0,0 Üstlü bərabərsizlikləri həll edin. 6 ) 6 0 ) ) e < e e Çap üçün deil

267 Loqarifmik bərabərsizliklər Praktik məşğələ. ) Rəngli analara uğun müqaisə işarəsini azın. a) log log 7 ) Rəngli analara elə ədədlər azın ki, bərabərsizlik doğru olsun. a) log < log 5 c) log 0,5 < log 0,5 b) log > log 5 d) log 0,5 > log 0,5 ) log log 5 bərabərsizliini -in 5-dən böük hər hansı qiməti ödəirmi? -in bu bərabərsizlii ödəən qimətləri haqqında fikir ürüdün. ) -in log 0,5 log 0,5 bərabərsizliini ödəən qimətləri haqqında müzakirələr aparın. Loqarifmik bərabərsizliklər Loqarifmik bərabərsizliklər dəişənin mümkün qimətləri, loqarifmik funksianın artan (və a azalan) olması assəsi nəzərə alınmaqla həll edilir. Nümunə. log ( + ) > log 7 Dəişənin mümkün qimətləri şərtinə görə + > 0, log funksiası artan olduğundan + > 7 olmalıdır. Deməli, + > 0 və + > 7 bərabərsizliini ödəən -ləri tapmalııq. Buradan > 6. Cavab: (6; +) loqarifmik bərabərsizlik log a f() > log a c log a f() > c log a f() < log a c log a f() < c a > olduqda enigüclü bərabərsizlik f() > c f() > a c 0 < f() < c 0 < f() < a c Nümunə. log 5 ( ) < log 5 ( ) bərabəsizlii 0 < < ikiqat bərabərsilii ilə və a >0 bərabərsizliklər sistemi ilə enigüclüdür. < Buradan > və < alınır. Bərabərsizliin həllər çoluğu: < < 67 b) log 0,5 5 log 0,5 7 Nümunə. log 0, ( ) > log 0, Dəişənin mümkün qimətləri şərtinə görə > 0, log 0, funk - siası azalan olduğundan < olmalıdır. Deməli, 0 < < iki - qat bərabərsizliini həll etməliik. Buradan < <. Cavab: (; ) 0 < a < olduqda loqarifmik enigüclü bərabərsizlik bərabərsizlik log a f() > log a c log a f() > c log a f() < log a c log a f() < c 0 < f() < c 0 < f() < a c f() > c f() > a c Çap üçün deil

268 Loqarifmik bərabərsizliklər Nümunə. log log < 0 bərabərsizliini həll edək. Loqarifmaltı ifadənin müsbətlik şərtinə görə > 0 olmalıdır. log = t əvəz etsək, t t < 0 bərabərsizliini alarıq. Bu bərabərsizliin həlli < t < olduğundan əvəzləməə görə < log < alınır. Buradan < < Cavab: ( ; ) Örənmə tapşırıqları. Loqarifmik bərabərsizlikləri həll edin. a) log ( + ) < log b) log ( ) > log 5 c) log 0, ( ) > log 0, d) log ( ) > e) log 5 ( ) < f) log 0, (5 ) > g) log 7 ( ) > log 7 ( + ) h) log 5 ( ) log 5 ( + ) i) log 0,5 ( ) < log 0,5 ( ) j) log 0, ( 8) > log 0, ( ) Bərabərsizlikləri həll edin. ) log 5 ( 9) > ) log 7 ( ) > 0 ) log 7 ( ) < ) log ( + 0) 5 5) log ( + ) 6) lg(5 + 50) 7) log 7 ( 5) 8) log 8 ( + 5) 9) log ( ) Bərabərsizlikləri həll edin. ) log 5 ( ) log 5 ( + ) ) log 0, (0 + ) < log 0, (7 ) ) lg + lg( + ) > lg ) lg + lg( ) < 5) lg lg( ) > 0 6) log ( ) log ( + ) > 0 7) lg( +8) 8) log ( ) < 9) log ( 6) + log 0,5 ( ) < log 0) log ( + ) + log ( ) > log 6 ) log ( 0) log (+) ) log < İctimai təşkilatın üzvlərinin hər il 7% azaldığı müşahidə edilir. N mövcud üzvlərin saı olarsa, t ildən sonra birliin üzvlərinin saını P = N( 0,07) t düsturu ilə hesablamaq olar. Əgər 00-cu ildə bu birliin 5000 nəfər üzvü var idisə, neçə ildən sonra onların saı 500 nəfərdən az olar? Tapılan qalıqda karbon- ün t ildən sonra qalan miqdarını (qramla) C = 0 e 0,0006t düsturu ilə hesablamaq olar. a) Qalıqdakı karbon- ün ilkin miqdarını tapın. b) ildən sonra qalıq karbon- ün miqdarı neçə qram olacaq? c) Təminən neçə ildən sonra bu obektdəki karbon- ün miqdarı 0 qramdan az olacaq? Çap üçün deil 68

269 Loqarifmik bərabərsizliklər 6. Loqarifmik tənlikləri və bərabərsizlikləri həll edin. a) log ( + ) = log ( + ) b) log 6 (7 + ) = log 6 ( ) c) log = log ( + ) d) log 5 ( ) = log 5 ( + 5) e) log (9 + ) > log (8 ) f) log ( 5) log ( + 7) g) log 5 ( + ) < log 5 ( ) h) log = log ( + ) 7. Bərabərsizlikləri həll edin. a) log () + log ( + ) < log b) log 0,6 ( ) log 0,6 log 0,6 ( ) c) log log 6 d) log + log < 0, 0, e) lg + lg > f) log 0 0, g) log (log 0,5 ( )) > 0 h) log (log 5 ( 9)) > i) log < j) log < 8. İllik 8% mürəkkəb faiz artımı ilə bank hesabındakı 000 manat pul neçə ildən sonra ən azı 500 manat olar? (Hesabdakı pul S = S0e rt qanunu ilə dəişir.) Həlli: Hesabdakı pul Ən azı 500m S e 0,08t 500 e 0,08t,5 lne 0,08t ln,5 0,08t ln,5 verilənlərə görə bərabərsizliin hər iki tərəfi 000-ə bölünür bərabərsizliin hər iki tərəfi loqarifmlənir loqarifmin assəsi ln,5 t 0,08 bərabərsizliin hər iki tərəfi 0,08-ə bölünür t 0,05 0,08 t 5,068 t 5, hesablamalar Cavab: təminən 5, ildən sonra hesabdakı pul 500 manatdan ço olacaq. 9. Əhalinin saının zamandan asılı dəişməsini P = P0e kt düsturu ilə hesablamaq olar. Burada P0 mövcud əhalinin saını, k artım sürətini, t illərin saını, P isə t ildəki əhalinin saını göstərir. 000-ci ildə A şəhərindəki 8,5 min nəfər əhali saı artaraq 00-cu ildə 9, min nəfər oldu. a) Əhalinin artım sürətini (k əmsalını) tapın. b) Bu şəhərdə neçənci ildə əhalinin saı 0 min nəfər olacaq? c) Əgər 000-ci ildə B şəhərindəki əhalinin (minlərlə) saını = 9,5e 0,0078t düsturu ilə modelləşdirmək mümkündürsə, neçə ildən sonra A şəhərindəki əhalinin saı B şəhərindəkindən ço olacaq? 0. Yer kürəsinin əhalisinin saı 980-ci ildə təminən,8 milard, 99-cü ildə isə 5,5 milard olmuşdur. Bu artımla neçənci ilə qədər Yer kürəsindəki əhalinin saı 6 milarddan ço olmaıb? Çap üçün deil 69

270 Ümumiləşdirici tapşırıqlar.... Verilən düsturlara görə n-i tapın. a) M = e -n + 5 b) a n = b c) = ae n Mehman daı satdığı evin manat pulunu bir illiinə bankda salamağı düşünür. Bank iki depozit növü təklif edir: bunlardan biri illik 9 % mürəkkəb faiz artımı ilə arımillik hesablamalarla, digəri isə gündəlik hesablamalarla. Bu iki təklif arasında gəlirdə fərq olacaqmı? Təsəvvür edin ki, siz 500 milliqram aspirin qəbul etmisiniz. Aspirinin t saatdan sonra qandakı miqdarını = 500 (0,8) t kimi modelləşdirmək olar. Neçə saatdan sonra qanda 50 milliqramdan az aspirin qalmış olacaq? Hidrogen ionunun konsentrasiasına görə ph-ı müəən edin. a) limon suu: [H+] = 7,9 0 mol/l b) ammoniak: [H+] = 0 mol/l c) sirkə: [H+] = 6,5 0 mol/l d) portağal suu: [H+] =, 0 mol/l Tənlik və bərabərsizlikləri həll edin. ) 6 ) 5 = 5 ) 8 a < ) p = 0 5) 0 = 70 6) = 5 7) 8 n > 5 n + 8) + = 9) log ( + ) = 0) ( ) log 5 ( + ) = 0 ) ( ) log = 0 5 ) log > 0 ) log ( ) < ) ( + ) log ( + ) > 0 Cəmil hazırladığı təqdimatda şəhərdəki əhalinin 50 nəfərdən nəfərə çatdığı və artım sürətinin,% olduğu haqqında cədvəl çəkmişdir. Lakin bu artımın neçə ildə baş verdiini qed etməi unutmuşdur. İllərin saını siz tapın. Sadələşdirin. a) ln b) log 5 ln + ln + ln z e c) 7 log b = 0, olarsa, log b ifadəsinin qimətini tapın. = log 8 funksiasının qrafikini = log funksiasının qrafikindən hansı çevrilmələrlə almaq olar? log t M =,8 və log t N =,7 olduğunu bilərək hesablaın. a) log t N b) log t (MN) c) log t M Qrafiki (;) (; ) nöqtələrindən keçən = ab eksponensial funksiasının düsturunu azın. 9 Çap üçün deil 70 N

271 Ümumiləşdirici tapşırıqlar. Sağlamlıq və fizika. Mütəəssislər 85 db-dən uarı olan səslərdə qulaqlara üsusi səsqoruucu geməi məsləhət görürlər. a) Odundoğraan aparatın səsinin şiddəti 80 db, səs gücləndiricininki (plaer) isə 0 db-dir. Səsgücləndiricinin səsinin intensivlii odundoğraanın səs intensivliindən neçə dəfə çodur? b) Pıçıtının intensivliindən dəfə güclü səs insan səhhəti üçün heç bir təhlükə aratmır. Pıçıltının şiddəti 0 db olarsa, təhlükəsiz hesab edilən səsin şiddətini hesablaın Sosioloqlara görə, eni əbər adamlar arasında eksponensial sürətlə aılır. = 000 ( e 0,0t ) funksiası eni ticarət mərkəzinin açıldığı əbərinin t saatda 000 nəfər arasında aılmasını ifadə edir. a) Yeni ticarət mərkəzinin açılışını saat sonra neçə nəfər biləcək? b) Bu funksianın qrafikini qrafkalkuatorla qurun və neçə saatdan sonra bu adamların 90%-nin bu əbəri eşitdiini təmin edin. Bir fincan su 00C-ə qədər qızdırılmış və otaq temperaturunda 0C-ə qədər soumuşdur. Suun T 00 temperaturu hər dəqiqədən bir ölçülmüş və koor di - 80 nat müstəvisi üzərində temperaturun zamandan 60 asılılığını göstərən nöqtələr qed edilmişdir. Bu 0 nöqtələr birləşdirilmiş və şəkildəki qrafik alınmışdır. 0 Məlum olmuşdur ki, suun temperaturu hər 5 O m dəqiqədə 5% olmaqla eksponensial qadada azalır. Suun temperaturunun zamandan asılı dəişməsini ifadə edən funksianın düsturunu f() = ab h + k şəklində azmaq olar. Qrafikə görə a, b, h, k dəişənlərinə uğun ədədi məlumatları tapın və funksianın düsturunu azın. Semur 5000 manata eni avtomobil aldı. Avtomobilin qiməti hər il 5% aşağı düşür. Neçə ildən sonra Semur avtomobili 000 manatdan ucuz olacaq? Loqarifmin assələrindən istifadə etməklə ifadələri sadələşdirin və qimətini tapın. a) 9 log 9 log log 9 5 b) log 98 log 7 c) log 6 log + log 8 d) log 6 + log log 7. = lg və = lg funksialarının qrafiklərini qurun. Bu funksiaların fərqli və oşar cəhətlərini azın. lg = lg bərabərlii dəişənin hansı qimətlərində doğrudur? Çap üçün deil 7

272 0 Kompleks ədədlər Kompleks ədədlər Kompleks ədədlər üzərində əməllər Kompleks ədədin həndəsi təsviri Kompleks ədədin modulu və arqumenti Kompleks ədədin triqonometrik şəkli Triqonometrik şəkildə verilmiş kompleks ədədlər üzərində əməllər Kompleks ədədin n-ci dərəcədən kökləri Bu maraqlıdır! Fransız alimi Abraham DeMovire (Muavr) (667-75) ehtimal nəzəriəsinə aid işləri və Muavr düsturu ilə tanınır. Onun The Doctrine of Chances: A method of calculating the probabilities of events in pla. (Şanslar doktrinası: ounda hadisələri hesablama metodu) əsəri böük rezonansa səbəb olmuş, dəfələrlə nəşr edilmişdir. Kompleks ədədlərin aranma ronikası Təmini tari Şəs Hadisə 50 Heron, İsgəndəriə 850 Mahavira, Hindistan 55 Kardano, Italia 67 Dekart, Franca 78 Eler, İsveçrə 8 Qauss, Almania Mənfi ədədin kvadrat kökü haqqında ilk məlumata rast gəlinir Mənfi ədədin kvadrat kökü odur, çünki kvadrat mənfi ola bilməz Mənfi ədədin kvadrat kökü kub tənliklərin köklərinə daildir Həqiqi və əali hissələri aırır ədədini i ilə ifadə edir Kompleks ədəd anlaışını istifadə edir Çap üçün deil

273 Kompleks ədədlər Araşdırma ) Nümunələr göstərməklə aşağıdakı təkliflərin doğruluğunu araşdırın. Təklif anlışdırsa, elə dəişin ki, doğru təklif alınsın. a) a və b natural ədədlər olduqda, + a = b tənliinin kökü natural ədəddir. b) a və b tam ədədlər olduqda, a = b tənliinin kökü tam ədəddir. c) a mənfi olmaan rasional ədəddirsə, = a tənliinin kökü rasional ədəddir. d) a mənfi olmaan həqiqi ədəddirsə, = a tənliinin kökü həqiqi ədəddir. ) Kvadratı -ə bərabər olan həqiqi ədəd varmı? ) a) a < 0 olduqda, = a tənliinin həqiqi kökü varmı? b) Həqiqi ədədləri müəən çoluğa qədər genişləndirməklə bu məsələni həll etmək mümkündürmü? ) Həqiqi ədədlər çoluğu ilə ədəd ounun nöqtələri arasında qarşılıqlı birqimətli uğunluq vardır. Bəs koordinat müstəvisinin nöqtələrinə hansı ədədlər qarşı qoula bilər? Həqiqi ədədlər çoluğunda = tənliinin həlli odur. Deməli, həqiqi ədədlər çoluğunu elə genişləndirməliik ki, eni çoluqda bu tənliin kökü olsun. Bu məqsədlə eni i ədədi dail edilərək, qəbul olunmuşdur ki, o, + = 0 tənliinin köküdür, əni i + = 0. Buradan isə i =. Belə qəbuletmədən sonra + = 0 tənliinin kökləri, = ±i olacaqdır. i ədədi əali vahid adlanır. Həqiqi ədədlər çoluğunu elə genişləndirək ki, bütün həqiqi ədədlər və i ədədi bu çoluğa dail olsun, həm də bu çoluqda toplama, vurma əməllərinin assələri salanılsın. a və b istənilən həqiqi ədədlər olduqda eni çoluğa bi hasilini və a + bi cəmini dail edərək, a + bi ifadəsinə şərti olaraq kompleks ədəd deək. a + bi şəklində ifadəə kompleks ədəd deilir. Burada a və b həqiqi ədədlərdir, i isə əali vahiddir. Kompleks ədədləri z, w, və s. kimi işarə edəcəik. Məsələn, z = a + bi. a + bi azılışına kompleks ədədin cəbri şəkli deilir. z = a + bi kompleks ədədində a-a z-in həqiqi hissəsi, b-ə isə əali hissəsi deilir və belə azılır: a = Re z, b = İmz. a = 0 olduqda bi şəklində ədədlər alınır. Belə ədədlərə sırf əali ədədlər deilir. a = 0, b = 0 olduqda kompleks ədəd sıfra bərabər hesab olunur və tərsinə a + bi = 0 olarsa, a = 0 və b = 0 olur. Nəticə: a + bi və c + di kompleks ədədləri üçün a + bi = c + di bərabərlii alnız və alnız a = c, b = d olduqda doğrudur. Nümunə. + i = 5 + ( + )i bərabərliindən və -i tapın. Həlli: Həqiqi və əali hissələrin bərabərliindən alırıq: = 5 = +, əni = 5, =. a + bi və c + di kompleks ədədlərinin cəmi (a + c) + (b + d)i kompleks ədədinə deilir, əni (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Çap üçün deil 7

274 Kompleks ədədlər üzərində əməllər a + bi və c + di kompleks ədədlərinin hasili ac bd + (ad + bc)i kompleks ədədinə deilir, əni (a + bi) (c + di) = ac bd + (ad + bc)i Deməli, iki kompleks ədədi vurmaq üçün onları ikihədlilərin vurulması kimi vurub, i = olduğunu nəzərə almaq lazımdır. Nümunə. ( + i) ( i) = i + i i = 6 + i ( ) = 8 + i Xüsusi halda əali vahidin qüvvətlərinə baaq: i = i i = i i = i i = i 5 = i i = i i 6 = i i = i 7 = i i = i i 8 = i i = Göründüü kimi, i-nin natural qüvvətləri alnız i,, i və ola bilir və bunlar hər dörd addımdan bir təkrarlanır, əni i m + k = (i ) m ik = i k bərabərlii doğrudur. Nümunə. Hesablaın: a) i 58 b) i 6 Həlli: a) i 58 = i + = i = b) i 6 = i 5 + = i = i a bi ədədinə a + bi ədədinin qoşması deilir və z = a bi kimi işarə edilir. Adındır ki, a bi ədədi a + bi ədədinin qoşmasıdırsa, a + bi ədədi də a bi ədədinin qoşmasıdır. Ona görə də z = a + bi və z = a bi ədədlərinə qarşılıqlı qoşma kompleks ədədlər deilir. Qarşılıqlı qoşma ədədlərin həqiqi hissələri bərabərdir, əali hissələri isə əksdir. Qarşılıqlı qoşma kompleks ədədlərin hasili həqiqi ədəddir: z z = (a + bi) (a bi) = a abi + abi (bi) = a + b. Xüsusi halda həqiqi ədədin qoşması özünə, əali ədədin qoşması isə onun ( ) ilə hasilinə bərabərdir. Hər bir z = a + bi kompleks ədədinin əksi olan z kompleks ədədi var və z = a bi. Hər bir sıfırdan fərqli z = a + bi kompleks ədədinin tərsi var. a bi a bi a b z = = = = i a + bi (a + bi)(a bi) a + b a + b a + b surət və mərəci (a bi)-ə vurulur Kompleks ədədlərin çıılması və bölünməsi aşağıdakı bərabərliklərlə təin ounur: z w = z + ( w) z w = z w (w 0) Kompleks ədədlərin nisbətini tapmaq üçün surət və mərəci mərəcin qoşmasına vurmaq əlverişlidir. Nümunə. z = + i və z = i ədədlərinin fərqini və nisbətini tapın. Həlli: z z = ( + i) ( i) = + i z = + i = ( + i) ( + i) = 6 + i + i + i = 6 + 7i = + 7i = z i ( i) ( + i) i = + i = 0,8 +,i 5 5 Çap üçün deil 7

275 Kompleks ədədlər üzərində əməllər Həqiqi ədədlər üzərində aparılan hesab əməllərinin əsas assələri kompleks ədədlər üçün də doğrudur. Nəticə olaraq alırıq ki, istənilən cəbri enilik kompleks ədədlər çoluğunda da doğrudur. Məsələn, z və w kompleks ədədlər olduqda da (z ± w) = z ± zw + w (z + w)(z w) = z w və s. enilikləri doğrudur Örənmə tapşırıqları Tapın. a) i b) i 5 c) i d) i 8 e) i 0. Verilmiş ədədlərin cəmini, fərqini, hasilini və nisbətini tapın. a) z = + i, z = + i b) z = 5 + i, z = + i. və -in hansı həqiqi qimətlərində bərabərlik doğrudur? a) ( + ) + i = ( )i b) + i = + +i. və -in hansı həqiqi qimətlərində verilmiş ədədlər qarşılıqlı qoşma ədədlər olur? a) z = 5 + i, z = + i b) z = ( + ) + i, z = 5 ( )i 5. Əməlləri erinə etirin. a) ( + i) + ( i) b) (5 + i) ( + i) c) ( + i) ( + i) d) ( i) ( + i) e) (i + ) f) ( + i) g) ( + i) ( i) h) ( + i) ( i) i) (i + ) 8 j) (i 8 + i 5 ) (i + ) 6. Vuruqlara aırın. a) m + b) + 9 c) + Nümunə. a) m + =m i = m (i) = (m i) (m + i) Sadələşdirin. + i a) + i + i i b) i + i i + i Tənlii həll edin. a) + = 0 b) + = 0 c) + 6 = 0 9. Verilmiş ədədin qoşmasını tapın. a) z = + i b) z = c) z = ( + i) i Çap üçün deil 75

276 Kompleks ədədlər üzərində əməllər Kompleks ədədin kvadrat kökləri Kvadratı z-ə bərabər olan ədədə z kompleks ədədinin kvadrat kökü deilir və z kimi işarə olunur. Nümunə. i kompleks ədədinin kvadrat kökünü tapın. Həlli: i = + i olsun. Bərabərliin hər iki tərəfini kvadrata üksəldək: i = ( + i) i = + i Həqiqi və əali hissələrin bərabərliindən alırıq: = = Buradan (; ) və ( ; ) həllərini alırıq. Deməli, i = ±( i) Qed: Həqiqi ədədlərdən fərqli olaraq, kompleks ədədin kvadrat kökü dedikdə işarəsi ilə fərqlənən hər iki qiməti başa düşülür. Kompleks ədədlər çoluğunda az + bz + c = 0 (a 0) kvadrat tənliinin kökləri həqiqi ədədlərdə olduğu kimi eni düsturla hesablanır: z = b ± b ac a Nümunə = 0 tənliini həll edin. Həlli: ± = 5 ± ± i = = ± i = = ± i = + i = i Asanlıqla olamaq olar ki, Viet düsturları qüvvəsində qalır və əmsalları həqiqi ədədlər olan kvadrat tənliin kompleks kökləri qarşılıqlı qoşma ədədlər olur. Örənmə tapşırıqları... Tapın. a) 5 b) + i c) 8 + 6i d) i Tənlikləri həll edin. a) + 5 = 0 b) 6 + = 0 c) = 0 d) + = 0 Qoşmasının kvadratına bərabər olan kompleks ədədi tapın (z R).. Hansı ədədin kvadratı i-ə bərabərdir? Çap üçün deil 76

277 Kompleks ədədin həndəsi təsviri z = a + bi kompleks ədədi (a; b) həqiqi ədədlər cütünün vasitəsilə verilir və bu ədədlər cütü koordinat müstəvisində müəən nöqtəə uğundur. z = a + bi ədədinə A(a; b) nöqtəsini qarşı qoaq və A(z) kimi işarə edək. Koordinat müstəvisinin hər bir nöqtəsi bir kompleks ədədi təsvir edir və tərsinə, hər bir kompleks ədəd koordinat müstəvisində bir nöqtəə uğundur. Həqiqi ədədlərə uğun olan nöqtələr absis ou üzərində, sırf əali ədədlərə uğun nöqtələr ordinat ou üzərində erləşir. Ona görə absis ouna həqiqi o, ordinat ouna əali o, koordinat müstəvisinə kompleks müstəvi deilir. Nümunə. (əali o) + i i i + i həqiqi o i i Qoşma kompleks ədədlərə uğun olan nöqtələr absis ouna nəzərən simmetrik erləşirlər. Örənmə tapşırıqları.. z = a + bi kompleks ədədini həndəsi göstərən M(a; b) nöqtəsinə başlanğıcı koordinat başlanğıcında erləşən OM = a; b vektorunun sonu kimi də bamaq olar... Kompleks müstəvidə verilmiş ədədə uğun nöqtəni qurun. a) + i b) + i c) i d) e) i Kompleks müstəvidə z = + i ədədinə uğun A nöqtəsini və z = + i ədədinə uğun B nöqtəsini qed edin. z + z cəmini və OA + OB vektorunu tapın. Nəticələri müqaisə edin. Kompleks müstəvidə verilən şərti ödəən nöqtələr çoluğunu təsvir edin. a) İm z = b) Re z = c) İm z 0 Kompleks müstəvidə z = 0, z = + i, z = + i ədədlərinə uğun A, B, D nöqtələrini qed edin. ABCD paraleloqramının C təpəsinə uğun olan z ədədini tapın. Çap üçün deil 77

278 Kompleks ədədin modulu və arqumenti. Kompleks ədədin triqonometrik şəkli Müstəvi üzərində z = a + bi kompleks ədədinə uğun olan nöqtə M(a; b) olsun. OM məsafəsini R, OM şüasının absis ounun müsbət istiqaməti ilə əmələ gətirdii bucağı ilə işarə edək. OMA-dan Pifaqor teoreminə görə alırıq: R = a + b Buradan R = a + b 0 R a M(a; b) b A Kompleks ədədə uğun nöqtədən koordinat başlanğıcına qədər məsafəə kompleks ədədin modulu deilir və z kimi işarə olunur: z = R = a + b Son tərəfi OM şüası olan dönmə bucağına z = a + bi kompleks ədədinin arqumenti deilir. a b b OMA-dan: cos = sin = tg = R R a Verilmiş z = a + bi ədədinin modulu birqimətli təin olunur, arqumenti isə dəqiqlii ilə tapılır. Yəni, arqumentin qimətlərindən biri -dirsə, digər qimətləri + k (k Z) şəklindədir. Kompleks ədədin arqumenti olaraq, adətən [0; ) aralığına düşən bucağı götürəcəik. Nümunə. z = + i kompleks ədədinin modulunu və arqumentini tapın. Həlli: a =, b = olduğundan R = a + b = ( ) + = z = + i b tg = a = olduğunu və bucağının I rübdə erləşdiini nəzərə almaqla = tapılır. 6 O cos = a, sin = b düsturlarından alırıq: R R a = R cos, b = R sin Onda z = a + bi = R cos + i R sin = R(cos + isin ) z = a + bi kompleks ədədinin z = R(cos + isin ) azılışına onun triqonometrik şəkli deilir. Xüsusi hallarda, z = a + bi ədədinin modulu və arqumenti üçün alırıq: b = 0, a > 0 olduqda R = a, = 0 b = 0, a < 0 olduqda R = a, = a = 0, b > 0 olduqda R = b, = a = 0, b < 0 olduqda R = b, = Çap üçün deil 78 R =

279 Kompleks ədədin modulu və arqumenti. Kompleks ədədin triqonometrik şəkli Nümunə. z = + i kompleks ədədini triqonometrik şəkildə azın. Həlli: R = a + b = ( ) + ( ) = + i b tg = a = = R bucağı II rübün bucağı olduğundan: = = z = + i = (cos + isin ) Örənmə tapşırıqları. Verilən ədədləri kompleks müstəvidə təsvir edin. Modulunu və arqumentini tapın. a) 6i b) i c) i + d) + 6i Verilmiş kompleks ədədin modulunu və arqumentini göstərin. a) i b) i c) i d) i e) f) g) 5 h) i) + i j) i Verilmiş kompleks ədədi triqonometrik şəkildə azın. a) + i b) + i c) i d) i Triqonometrik şəkildə verilmiş kompleks ədədi cəbri şəkildə azın. a) (cos + isin ) b) (cos + isin ) Verilmiş ədədi triqonometrik şəkildə azın. a) i c) (sin + i b) i icos ) + i Həndəsi təsvirlərə görə ədədləri triqonometrik şəkildə azın. a) z = i Xəali o Həqiqi o b) Xəali o c) z = i 79 Həqiqi o Xəali o 6 z = +i Həqiqi o 6 Çap üçün deil

280 Triqonometrik şəkildə verilmiş kompleks ədədlər üzərində əməllər Triqonometrik şəkildə verilmiş z = R(cos + isin ) və z = R(cos + isin) kompleks ədədlərinin hasilini tapaq. z z = R(cos + isin ) R(cos + isin ) = R R (cos cos sin sin+ + i (cos sin + sin cos )) = R R (cos( + ) + i sin( + )) Triqonometrik şəkildə verilmiş iki kompleks ədədin hasilini taparkən, bu ədədlərin modulları vurulur, arqumentləri toplanır. Nümunə. z = (cos + isin ) z = (cos + isin ) olarsa, 6 6 z z = 6(cos( + ) + isin( + )) = 6(cos + isin ) = 6 (0 + i ) = 6i 6 6 İndi isə nisbətini tapaq. z z R(cos + isin ) R (cos + isin ) (cos isin ) = = = z R(cos + isin ) R (cos + isin ) (cos isin ) R cos cos + sin sin + i (sin cos cos sin ) = = cos (i sin ) R R = (cos( ) + isin( )) R z Nisbətin modulu bölünən və bölənin modulları nisbətinə, arqumenti isə bölünən və bölənin arqumentləri fərqinə bərabərdir. Nümunə. z = (cos + isin ) z = (cos + isin ) olarsa, 6 6 z = (cos( ) + isin( )) = (cos + isin ) = ( + i ) = z = + i z = R(cos + isin ) ədədinin n-ci dərəcədən natural qüvvəti hər biri z-ə bərabər olan n sada vuruğun hasili olduğu üçün z n = R n (cos n + isin n) Kompleks ədədin n-ci dərəcədən natural üstlü qüvvətinin modulu əsasın modulunun n-ci qüvvətinə, bu qüvvətin arqumenti isə əsasın arqumentinin n mislinə bərabərdir. Nümunə. z = (cos + isin ) olduqda z = (cos + isin ) = 6(cos + isin ) = 6 ( + i ) = i Çap üçün deil 80

281 Triqonometrik şəkildə verilmiş kompleks ədədlər üzərində əməllər Örənmə tapşırıqları. z = + i və z = + i ədədlərini triqonometrik şəkildə göstərib, z a) z z hasilini b) nisbətini tapın.. Hesablaın. a) ( + i) b) ( i) Hesablaın z z z = cos + i sin, z = i olduqda ( ) 6 -nı tapın. 8 8 z z = cos + i sin, z = + i olduqda (z z) -ni tapın. a) ( + i) (+ b) i)9 ( +i) ( i) 8 (cos + isin ) n = cos n + isin n düsturuna Muavr düsturu deilir. Bu düsturun köməi ilə n-qat bucağın sinus və kosinusunu təkqat bucağın sinus və kosinusu ilə ifadə etmək olar. Məsələn, n = olduqda alırıq: (cos + isin ) = cos + isin Buradan cos sin + isin cos = cos + isin İki kompleks ədədin bərabərlik şərtinə görə alırıq: cos = cos sin sin = sin cos Oşar qada ilə cos, sin üçün düsturları azın. Triqonometrik şəkildə verilmiş kompleks ədədləri cəbri şəkildə azın. a) (cos 0 + isin 0 ) b) 5(cos 5 + isin 5 ) c) (cos 0 + isin 0 ) Əməlləri erinə etirin. Nəticəni triqonometrik şəkildə salaın. [(cos + isin )][(cos a) + isin )] 6 6 b) [ (cos + isin )][6(cos + isin )] cos 50 + isin 50 c) cos 0 + isin 0 d) 5(cos + i sin ) (cos + i sin ) Çap üçün deil

282 Kompleks ədədin n-ci dərəcədən kökləri n ifadəsinin qimətlərini tapaq. = cos 0 + i sin 0 şəklində azaq və n-ci dərəcədən kökünü n cos 0 + i sin 0 = cos + i sin şəklində ataraq. Hər iki tərəfi n-ci dərəcədən qüvvətə üksəldək: cos 0 + i sin 0 = (cos + i sin ) n cos 0 + i sin 0 = cos n + i sin n Buradan cos n = cos 0 sin n = sin 0 Triqonometrik şəkildə verilmiş iki ədəd bərabərdirsə, onların modulları bərabər olub, arqumentləri k ilə fərqlənir. k Odur ki, n = 0 + k = n n k k Beləliklə, = cos n + i sin n Burada k n olduqda alınan ifadələr k-nın ilk n qimətində alınan ifadələrlə eni olur. Vahidin n dərəcədən köklərini 0,,..., n ilə işarə etsək, alarıq: k = 0 0 = cos 0 + i sin 0 = k = = cos + i sin n n k = = cos + i sin n n k = n n = cos (n ) + i sin (n ) n n Göründüü kimi, vahidin n-ci dərəcədən köklərinin modulları -ə bərabər olub, arqumentləri bir-birindən n -in misilləri qədər fərqlənir. Yəni, bu ədədlər mərkəzi koordinat başlanğıcında erləşən vahid radiuslu çevrənin dailinə çəkilmiş düzgün n-bucaqlının təpə nöqtələrinə uğun kompleks ədədlərdir. Nümunə. + i i 0º 0º 0º n = olduqda -in qimətləri 8 + i i 60º 60º 60º 60º 60º 60º + i i n = 6 olduqda 6 -in qimətləri Çap üçün deil

283 Kompleks ədədin n-ci dərəcədən kökləri Nümunə. 8 -in bütün qimətlərini tapın. Həlli: 8 = R(cos + i sin ) olsun. 8 = R (cos + i sin ) 8(cos + i sin ) = R (cos + i sin ) Buradan R = 8, R = + k = + k = (k = 0,, ) k = 0 olduqda w0 = (cos + i sin ) = ( + i) = + i k = olduqda w = (cos + i sin ) = ( + 0 i) = k = olduqda w = (cos 5 + i sin 5 ) = ( i) = i Örənmə tapşırıqları. İfadənin bütün qimətlərini tapın. a) b) 6 c) 8. Vahidin n-ci dərəcədən köklərinə görə aşağıdakı ifadənin bütün qimətlə - rini azın. 6 a) 6 b) 6 c) 7 d) 8. İfadənin bütün qimətlərini tapın. 6 6 a) b) 6 c) 8i d) i. Tənlikləri həll edin. a) z 6 = 0 b) z = 8 c) z + = 0 5. z kompleks ədədinin n-ci dərəcədən kökü elə w ədədinə deilir ki, w n = z. Əgər z 0 olarsa, n-ci dərəcədən kökün n sada mütəlif qimətləri olur. z = R(cos + isin ) w = r(cos + isin ) şəklində azaq. w n = z olduğuna görə alırıq: z = r n (cos n + isin n) = R(cos + isin ) İki kompleks ədədin bərabərliinə görə alırıq: r n n = R, r = R + k n = + k = n (k Z) k > n olduqda alınan qimətlər ilk n sada alınan qimətlərdən ilə fərqlənir. + k Ona görə k = n (k = 0,,..., n ) olmalıdır. Kompleks ədədin n-ci dərəcədən kökü düsturu Əgər z = R(cos + isin ) olarsa, n n + k + k z = R(cos n + isin n ) burada (k = 0,,..., (n )) Tənlikləri həll edin. Çap üçün deil a) z 6 9z + 8 = 0 b) z 8 7z + 6 = 0 8

284 Ümumiləşdirici tapşırıqlar.. Sadələşdirin. Nəticəni a + bi şəklində azın. (5 6i) + ( + i) 5 ( i) (9 + i) ( + 5i)( i) ( i)(8 i) Kompleks ədədlərin kvadrat köklərini tapın. i i i 5i 6i + i + i + i + i i + i i. Tələb olunan dərəcədən köklərini azın. ) Kub köklərini:. a) ( i) b) 6 i c) 7 d) 000 ) -cü dərəcədən köklərini: a) b) i c) 8( + i) i Kompleks ədədləri triqonometrik şəkildə azın. Xəali o Xəali o Xəali o z = + i z = i Həqiqi o 6 Kompleks ədədləri qrafik olaraq təsvir edin və cəbri şəkildə azın. (cos 0 + i sin 0) 8(cos + i sin ) 5(cos 5 + i sin 5) 7(cos 0 + i sin 0) (cos 00 + i sin 00) (cos 5 + i sin 5) Əməlləri erinə etirin. [(cos cos 0 + isin 0 + isin )][6(cos + isin )] cos 0 + isin 0 [ (cos + isin )][(cos + isin )] (cos 0 + isin 0 ) (cos 0 + isin 0 ) 7. E = I Z düsturu elektrik-mühəndis qurğularınım işində istifadə edilir. Burada E gərginlii, I cərəanı, Z kompleks müqaviməti ifadə edir. Hər bir dəişənin qiməti kompleks ədəddir. Verilənlərə görə məchulu tapın. I = 0 + i Z = + i I = + i E = 5 + 5i 8 Həqiqi o Həqiqi o z = E = 5 + i Z = 5 + i E = + i Z = + 0i Çap üçün deil

285 Məlumatlar, proqnozlar Külliat və seçim Təsadüfi seçim və növləri Məlumatın təqdimi Binomial açılışlar Bernulli sınaqları Bu maraqlıdır. The Literar Digest jurnalı Amerikada prezident seçkilərinin nəticələrini əvvəlcədən proqnozlaşdırmaqla böük nüfuz qazanmışdı. Jurnal son 5 prezident seçkisinin nəticələrini az əta ilə seçkidən əvvəl proqnozlaşdırmışdı. Lakin 96-cı ildə resbublikaçıların namizədi Alf Landonun demokratların namizədi Franklin Ruzveltə böük fərqlə qalib gələcəi ilə bağlı proqnozunda böük səhvə ol vermişdi. Səbəbi isə jurnalın sorğuda iştirak edən respondentləri düzgün seçməməsi idi. Belə ki, sorğu jurnalın oucuları arasında aparılmışdı. Sonradan isə məlum olmuşdu ki, oucular arasında Respublikaçılar Partiasından olanlar üstünlük təşkil edir. Çap üçün deil

286 Külliat və seçim. Təsadüfi seçim və növləri Statistika və ehtimala aid əsas anlaışlar müasir dünada prosesləri daha düzgün qimətləndirməə kömək edir. Hər iki sahədə araşdırma aparılarkən obekti əhatə edən külliat və külliatdan seçilmiş nümunələrə və a qısaca olaraq seçim adlanan kiçik qruplar əsas götürülür. Statistikada seçilmiş nümunə əsasında aparılmış tədqiqata görə külliat haqqında fikir ürüdülür. Ehtimalda külliata görə seçilmiş nümunə haqqında fikir ürüdülür. Külliat Statistika Nümunə 86 Seçmə nümunə (seçim) Statistik sorğular apararkən nümunələr adətən təsadüfi seçimlərlə formalaşdırılır. Bu halda külliata dail olan hər bir nümunənin seçim şansı eni olur. Təsadüfi seçim tenikaları da mütəlif olur. Sadə təsadüfi seçim Sistematik təsadüfi seçim Klaster təsadüfi seçim Təbəqəli təsadüfi seçim Sadə təsadüfi seçim. Tutaq ki, sinifdə üç nəfərlik qrup aratmaq lazımdır. Bunun üçün bütün şagirdlərin adları azılmış kartlar qutua ığılır və təsadüfi olaraq üç nəfərin adı çıarılır. Bu halda bütün üçlük qrupların seçilmə şansları eni olur. Sadə təsadüfi seçimdə n elementli seçimin hər bir elementinin seçilmə şansı enidir. Sistematik seçim. Tutaq ki, böük ticarət mərkəzinin rəhbərlii alıcıların mərkəzdə təminən nə qədər vat keçirdii haqqında məlumat toplamaq fikrindədir. Gün ərzində mərkəzə gələnlərin saının təminən 000 nəfər olduğu araşdırılmış və onların 5%-nin (əni 00 nəfərin) nümunə olaraq seçilməsi qərara alınmışdır. Bu şəslər necə seçilsə, daha düzgün olardı? Bu şəslərin seçimi gün ərzində mərkəzə gələnlərin hər 0 nəfərindən birinin fikrinin soruşulması ilə aparıla bilər. Məsələn, ilk 0 nəfərdən 6-cı şəsin fikri soruşulmuşsa, daha sonra, 6-cı, 56-cı və s. şəslərin fikri soruşulacaq. Bu cür seçim sistematık seçim adlanır. Sistematik seçimdə əgər k% seçim nəzərdə tutulmuşdursa, külliatın 00 hər [ ]-cı elementindən istifadə edilir. k Çap üçün deil

287 Külliat və seçim. Təsadüfi seçim və növləri Klaster seçim. Hər birində 5 detal olan 000 qutu detalın kefiəti haq - qında məlumat vermək tələb olunur. Bunun üçün 00 detalın kefiətinin olanılması qərara alınmışdır (5%-nin). Bütün detalları qutulardan çıarmaq, onları qarışdırmaq və təsadüfi seçmə ilə 00-nü aırmaq ço vat və ərc tələb edir. 000 qutudan təsadüfi seçmə ilə 0-sini seçib, bu qutulardakı detalları olamaqla bütün detallar haqqında fikir ürütmək olar. Burada hər qutu bir klasterdir. Bu cür seçimlər klaster seçim adlanır. Düzgün statistik məlumat əldə etmək üçün hər seçilmiş klasterə dail olan bütün elementlər olanılmalıdır. Klaster ilə seçimdə kulliat klasterlərdən ibarət olur. Klasterlərdən təsadüfi seçim aparılır və seçilən klasterin bütün elementləri araşdırılır. Təbəqəli seçim. Tutaq ki, məktəbdə Dərsdən sonra məktəb kitabanasında oturub bədii ədəbiat oumaq istərdinizmi? sualı ilə şagirdlər arasında araşdırma aparmaq planlaşdırılır. Bu sorğunun məktəbin həətindəki təsadüfi seçilmiş şagirdlərlə aparılması məqsədəuğun deil. Çünki fikri so ruşu lan şagirdlər eni sinifdən ola bilər və s. Sorğu hər aş qrupundan olmaqla təsadüfi seçilmiş şagirdlər arasında aparılmalıdır. Bu cür təsadüfi seçim təbəqəli (lalı, qruplu) seçim adlanır. Əgər məktəbdə bu siniflərdə 65 şagird varsa, onlardan 85 nəfəri 8-ci, 50 nəfəri 9-cu, 80 nəfəri 0-cu, 50 nəfəri -ci sinif şagirdi olarsa və 0 % təsadüfi seçilmiş şagirdin fikri örəniləcəksə, hər sinifdən təsadüfi seçmə ilə şagirdlərin 0%-nin fikri örənilməlidir. Bunların 9-nun 8-ci, 5-nin 9-cu, 8-nin 0-cu, 5-nin -ci sinifdən təsadüfi seçilmiş şagirdlər olması məqəsədəuğundur. Təbəqəli seçimdə əvvəlcə külliat təbəqələrə arılır, sonra hər təbəqədən təsadüfi seçimlər aparılır. Bəzən araşdırma üçün təsadüfi seçimlər aparmaq mümkün olmur. Məsələn, dietoloqlar hər hansı diet menusunu təsadüfi seçimlə deil, könüllü olaraq iştirak etmək istəənlər arasından seçməli olurlar. Doğru seçim, səhv seçim Sorğu aparan təşkilatlar mövzua aidiatı olan hər bir şəsin fikrini örənmək üçün maddi və teniki imkanlara malik olmurlar. Bu səbəbdən də kiçik qrupların fikrini örənməklə kifaətlənməli olurlar. Sorğuda iştirak edənlərin düzgün müəən edilməsinin əhəmiəti böükdür. Məsələn, idman mərkəzinə gələn şəslərə görə bütün şəhər əhalisinin həftədə neçə dəfə idmanla məşğul olduqları haqqında doğru fikir ürütmək mümkün deil. Yaud da hər hansı şəsin parlamentin üzvü seçiləcəi haqqında onun işlədii kollektivdə və a aşadığı ərazidə araşdırma aparmaqla fikir ürütmək səhv proqnozla nəticələnər. Çap üçün deil 87

288 Külliat və seçim. Təsadüfi seçim və növləri.. Verilən məlumatlarda külliat və seçimi müəən edin. a) Şəhər meri vəzifəsinə seçkilərdə nəfər namizəddən hansının seçiləcəi haqqında seçicilərdən 000 nəfərin fikri örənilmişdir. b) 00 kq ağ un və 50 kq qara un qarışdırılaraq çörək bişirilir. kq undan çörək bişirilir. 70 çörəkdən nümunə götürülür. c) Fermer hovuzda etişdirdii anı balığının kütlə artımını olamaq üçün hər hovuzdan 0 balığın kütləsini oladı. d) Satıcı mağazaa dail olan hər 0 nəfərdən birinə olmaqla 0 nəfərə eni pendirdən dadmasını təklif edir. e) Həkim-dietoloq qəsəbədə aşaan və aşı 70-dən uarı olan qadından könüllü olaraq iki həftə ərzində hər səhər klinikaa gəlib liflərlə zəngin buterburod eməi ahiş edir. Aşağıdakılardan hansı doğru seçimdir? a) Sinifdə növbətçi seçmək üçün şagirdlərin adları kağıza azılaraq, qutua ığılmış və beş ad qutudan çıarılmışdır. b) 0 a sinfindəki şagirdlərin validenləri arasında aparılan sorğua görə məktəbli formasının rəngi və modeli seçilir. c) Şəhər telefon nömrəsi kitabındakı hər on beş nəfərdən birinə zəng edərək, hansı namizədə səs verəcəi örənilmişdir.. Doğru seçim olan və olmaan situasialara aid bir nümunə azın.. Hər bir situasiada hansı təsadüfi seçim tenikasından istifadə edildiini müəən edin. a) Hava olları şirkəti təarəə dail olan hər beş sərnişindən birinə hədiə təqdim etdi. b) Məktəbin təsadüfi seçilmiş 5 mütəlif sinifindən təsadüfi seçilmiş 0 şagird arasında həmin məktəbdə riaziatın tədrisinin səviəsini olamaq üçün sorğu keçirildi. c) Aviaşirkət idmətin səviıəsini olamaq üçün təsadüfi seçilmiş 5 resdəki bütün sərnişinlərin fikrini örəndi. d) Araşdırma zamanı təsadüfi seçilmiş 5 kişinin və 5 qadının rəi soruşuldu. e) Dietoloqlar 0-0, 0-50, aş qrupunun hər birindən ən azı 5 nəfər arasında müşahidələr apardıqdan sonra aşağı qlükoz tərkibli eni dietlər haqqında fikir söləməin mümkün olacağını bildirdilər. Çap üçün deil 88

289 Külliat və seçim. Təsadüfi seçim və növləri 5. Ev satışı üzrə menecer bir küçədəki 0 ev üçün eni endirim kampaniası haqqında telefonla məlumat verməi planlaşdırır. Küçədə 00 ev var. Menecer əvvəlcə və 0 nömrəli evləri qed etdi və onlardan birinə zəng etdi, məsələn 8-ci evə. Daha sonra isə hər sonrakı 0-cu evə, əni 8-ci, 8-ci və s zəng etdi. a) Menecerin bu cür seçimi hansı təsadüfi seçim tenikasına aiddir. b) Bütün evlərin seçilmə şansları enidirmi? c) Bu tenika sadə seçim tenikasından nə ilə fərqlənir? Məktəb rəhbərlii şagirdlərin riaziat və təbiət fənləri üzrə qimətləri arasında əlaqənin olub olmadığını araşdırmağı planlaşdırır. Məktəbdə təhsil alan 800 şagirddən 50 nəfəri həm riaziat,həm də təbiət fənləri üzrə keçirilən qimətləndirmədə iştirak etmişdir. Onlardan təsadüfi seçmə ilə 70 nəfərinin üsusi qimətləndirməə cəlb edilməsi nəzərdə tutulur. a) Cədvəldə verilmiş məlumata görə təsadüfi seçimlə hansı sinifdən neçə nəfərin seçilməsinin məqsədəuğun olduğunu müəənləşdirin. b) Burada hansı seçim tenikasından istifadə edilir? Qruplar aratmaq üçün -dən 5-ə qədər rəqəmlərin azıldığı kartlar bir nəfər tərəfindən idmançılara palandı. Eni rəqəmləri alan idmançılar bir qrupda birləşdirildi. Bu seçim təsadüfi seçimdirmi? Seçimin ədalətli olduğuna əmin olmaq mümkündürmü? Daha ədalətli olması üçün siz seçimi necə təşkil edərdiniz? Micro Tik şirkəti hər a 500 kompüter prosessoru istehsal edir. Bu a istehsal edilən prosessorların təsadüfi seçilmiş 000 ədədindən 8-nin defektli olduğu aşkar edildi. a) Bu situasiada külliatın, seçimin ölçüsünü müəən edin. b) Verilən məlumata görə bu a istehsal edilmiş prosessorlardan neçəsinin defektli olacağını söləmək olar? Son əbərləri haradan əldə edirsiniz? sorğusunu aparmaq üçün, təsadüfi seçmə ilə Respublikamızın 5 raonu, hər raondan 5 kənd və hər kənddən 0 ev müəən edildi. Küliat və seçimi müəən edin. Bu hansı seçim tenikasına aiddir? 89 Siniflər Şagirdlərin saı 8-ci sinif 90 9-cu sinif 00 0-cu sinif 75 -ci sinif 85 Göstəriş. Hər sinifdən seçimin saı ümumi saa mütənasib olmalıdır. 8-ci sinifi təmsil edənlərin saı: 90 = Çap üçün deil

290 Məlumatın təqdimi Statistik məlumatlar kəmiət və kefiət arakterli olmaqla iki qrupa bölünür. Kəmiət tipli məlumatlar ədədi qimətlərlə ifadə edilir. Məsələn, Neçə saat idmanla məşğul olur, Boları nə qədərdir və s. Kefiət tipli məlumatlar isə kateqorialara arılır. Bu məlumatlara kateqorial məlumatlar da deilir. Məsələn, partiaların adı, gözünün rəngi, avtomobilin markası və s. Diskret ədədi məlumatlara sama ilə müəən edilən məlumatlar aid edilir. Məsələn, avtobusdakı sərnişinlərin saı:,, və s. qimətlərini alır. Kəsilməz ədədi məlumatlar müəən diapazonda dəişən qimətlər alırlar, adətən ölçmənin nəticəsi olaraq aranır. Məsələn, eni doğulmuş körpələrin bou, kütləsi və s. Məlumatları təqdim edərkən uğun qrafik formanın seçilməsi mühümdür. Ona görə də kateqorial və ədədi məlumatları təqdim edərkən düzgün qrafik forma seçilməlidir. Kateqorial məlumat üçün məqsədəugun təqdimat formaları Nümunə. 00 şagird arasında hansı idman növünün daha ço sevildii haqqında araşdırma aparılmışdır. Burada araşdırma idman növünə aid olduğu üçün məlumat kateqorialdır. Məktəbdə adları məlum olan idman bölmələri mövcuddur. Kateqorial məlumatı təqdim etmək üçün əlverişli forma tezlik cədvəli, barqraf, dairəvi qrafik ola bilər. Tezlik cədvəli Barqraf İdman növü Tezlik 60 Güləş Boks 0 0 Futbol Saı 90 kefiət (kateqorial) Məlumat diskret kəmiət Kəmiət tipli məlumatlar - ədədi məlumatlar özləri də iki növə arılır: a) diskret, kəsilən ədədi məlumatlar; b) kəsilməz ədədi məlumatlar Basketbol Güləş Karate Futbol Boks Dairəvi diaqram Futbol Basket. Karate Güləş Boks Güləş Seqmentli barqraf Boks Futbol Basketbol Karate Basketbol Karate 8 Cəmi 00 kəsilməz Hər kateqorianın ümu - minin (vahid qəbul edil - miş) han sı hissəsini təş kil etdii müə ən ləşdirilir. Vahid bu hissə lərə - seqmentlərə bölünür Çap üçün deil

291 Məlumatın təqdimi.. ) Kateqorial hesab etdiiniz məlumata uğun üç kateqoria adı azın. ) Ədədi məlumatların hansı intervalda ola biləcəini təmin edin və azın. a) satılan avtomobillər rənginə görə saı b) gün ərzində günəşli saatların saı c) əstəliə görə buraılan dərs günlərinin saı d) ev tapşırığını erinə etirmək üçün sərf olunan vat(saatla) e) bir adamın gün ərzində qəbul etdii maenin miqdarı Hansı məlumat diskret, hansı kəsilməz ədədi məlumatdır? a) İul aında temperatur dəişməsi b) Kibrit qutusundakı kibrit çöplərinin saı c) Sərnişinlərin özləri ilə təarənin salonuna götürdükləri ükün kütləsi d) Qatarın vaqonlarındakı sərnişinlərin saı e) Küçədəki binaların mərtəbələrin saları f) Komputer qarşısında keçirilən vat.. 5. nəfər arasında Hansı rəngi daha ço oşlaırsınız? sualı ilə sorğu keçirildi. 6 nəfər qırmızı, 8 nəfər qara, nəfər ağ, qalanları isə başqa rəngləri oşladıqlarını sölədilər. Verilən məlumat ədədi məlumatdır, osa kateqorial? Məlumatı tezlik cədvəli (nisbi tezlii göstərməklə), dairəvi diaqram və barqrafla təqdim edin. Fövqəladə Hallar Nazirlii Səbəbi Saı il ərzində baş vermiş an - Nəzarətsiz azaşlı uşaqlar 6 ğın hadisələrinin səbəb ləri haq qında məlumat verdi. Siqaret Məlu matlar sağdakı cəd - Qaz sobası 0 vəl də er alır. Cədvələ görə dairəvi diaq ram və seqmentli barqraf qurun. Bilinməən səbəbdən 8 Təssəvvür edin ki, siz məktəbinizdə şagirdlər arasında Siz şirkətinizin logosu üçün verilən formalardan hansını seçərdiniz? sualı ilə sor - ğu keçirirsiniz. a) Sorğunu hansı üsulla keçirərdiniz? Yazın. b) Külliat olaraq hansı sinifləri seçərdiniz? c) Külliatdan seçimi hansı tenika ilə seçərsiniz? d) Əvvəlcədən hansı formanın logo olaraq seçiləcəini təmin edin. Sorğunun nəticələri ilə sizin təminləriniz üst-üstə düşdümü? e) Məlumatı hansı qrafik forma ilə təqdim etmək əlverişlidir? Şərti məlumatlarla çəkib göstərin. Elektrik Çap üçün deil 9

292 Məlumatın təqdimi Ədədi məlumatları təqdim etmək üçün məqsədəugun formalar Diskret ədədi məlumatlar. Məhdud sada diskret ədədi məlumatları təqdim etmək üçün tezlik cədvəli, barqraf, histoqram və gövdə-budaq kimi təqdimat formalarından istifadə etmək məqsədəuğundur. Nümunə. 50 gənc ailə arasında uşaqlarının saı barədə sorğu keçirilmişdir. Cavablar aşağıdakı kimi olmuşdur Yuarıdakı ədədlər hər bir ailədəki uşaqların saını göstərir. Sorğunun nəticələri aşağıdakı kimi tezlik cədvəli və a barqraf ilə təqdim edilə bilər. Uşaq - ların saı Ailələrin saı (tellə) Tezlik (ailələrin saı) Nisbi tezlik 0 : 50 = 0, 7 7 : 50 = 0, 0 : 50 = 0, : 50 = 0,08 5 : 50 = 0, : 50 = 0,0 0 Qruplaşdırılmış diskret ədədi məlumatlar. Histoqram Nümunə. Aşağıda Azərbacan dili fənni üzrə qimətləndirmədən şagirdlərin topladıqları ballar (00 ballıq sistem üzrə) verilmişdir Ədədi məlumatın dəişmə diapazonu 8-95 kimidir. Məlumatı hər sinfin ölçüsü 0 olmaqla 6 sinifdə qruplaşdırmaq olar: 0-50, 50-60, 60-70, 70-80, 80-90, Məlumata uğun tezlik cədvəli və histoqram aşağıdakı kimi olacaq. Azərbacan dili qimətləndirmə Siniflər Tel Tezlik [0, 50) [50, 60) [60, 70) 7 [70, 80) 6 [80, 90) 6 [90, 00) 9 Ailələrin saı Tezlik Uşaqların saı Azərbacan dili qimətləndirmə Ballar Çap üçün deil

293 Məlumatın təqdimi Şəhərdə qadınlar arasında Həftədə neçə dəfə idman salonuna gedirsiniz? sualı ilə sorğu aparılmışdır. Nəticələr barqrafda verildii kimi olmuşdur. a) Bu məlumat kəsilməz ədədi məlumatdır, osa diskret? b) Bu situasiada külliat və seçimi müəən edin. Seçimin ölçüsünü barqrafa görə tapın. c) Sorğuda 9 nəfər iştirak etmişsə, onların neçə faizinin həftədə ən azı iki dəfə idman zalına getdiklərini demək olar? d) Qadınlar arasından bir nəfər seçilsə, onun idman zalına həftədə bir dəfədən ço gedənlərdən olması ehtimalı nə qədərdir? 0 Qadınların saı Günlərin saı Mağazanın meneceri qablaşdırma və daşıma zamanı umurta qutularından neçəsinin zədələndiini araşdırmaq üçün beş gün mağazaa məhsul qəbulu zamanı hər 000 qutudan 50-cini oladı. a) Məlumata görə külliat və seçimi müəən edin. b) Menecerin seçim tenikası hansı növə aiddir? c) Əgər olamalarla ən azı 5, ən çou 0 qutunun zədəli olduğu aşkar olunmuşsa, ümumilikdə təminən neçə qutu umurtanın zədəli olacağını düşünmək düzgün olardı? d) Bu məlumat üçün iki qrafik forma seçin və təqdim edin. Kompüter oununda Yusifin topladığı ballar aşağıdakı kimi olmuşdur. Məlumatı siniflərdə qruplaşdırın və histoqramla təqdim edin. 580, 90, 50, 650, 50, 600, 60, 590, 90, 0, 670, 80, 00, 0, 560, 50, 0, 670, 90, 70, 580, 680, 590, 70, 70, 50, 90, 660, 500, 600, 90, 50, 00, 50, 600, 50, 50, 0, 80, 560, 0, 90, 50, 50, 580, 50, 70, Cədvəldə işçilərin işə gəlmədii günlər haqqında məlumat verilmişdir. Bu məlumata uğun histoqram qurun. -dən ço -dən az ( - < ) -dən ço 6-dan az ( - < 6) 6 6-dan ço 9-dan az (6 - < 9) 9-dan ço -dən az (9 - < ) 6 -dən ço 5-dən az ( - < 5) Cəmi 60 Çap üçün deil 9

294 Məlumatın təqdimi Gövdə-budaq semi. Bu formadan məlumat az sada olduqda istifadə etmək əlverişlidir. Ədədi məlumatın gövdə-budaq semi ilə təqdimi az vat alır və məlumatın palanma formasını adın görməə imkan verir. Palanma forması bir sıra statistik göstəriciləri (moda, median, ədədi orta, ən böük fərq və s) asanlıqla müəən etməə imkan verir. Nümunə. Aşağıdakı məlumat şagirdlərin qimətləndirmə nəticələrini əks etdirir., 67, 8, 9, 87, 7, 6, 88, 96, 9, 7, 6, 85, 79, 70, 85, 6, 86, 98, 00, 77, 88, 8, 6,, 78, 95, 7, 97, 66 Məlumata uğun gövdə-budaq semi aşağıdakı addımlarla qurulur.. Gövdə və budaq bir-birindən şaquli və a üfüqi düz ətlə arılır.. Ədədi məlumatın aparıcı hissəsi - böük mərtəbədəki (və a mər tə bə lərdəki) rəqəmlərin ifadə etdii məlumat gövdə kimi qəbul edilir. Bu nümunədə gövdə onluqların saını göstərən ədədlərdir.,, 5, 6, 7, 8, 9 və 0 gövdəni təşkil edir və gövdə üçün arılmış hissədə azılır. Növbəti rəqəm budaqları təşkil edir. Bu ədədin təklik mərtəbəsindəki rəqəmlərdir. Hər bir gövdənin qarşısında onun budaqları ardıcıl azılır. Gövdə Budaq = Televizia müsabiqəsinin şərtlərinə görə 7,,,, 9, 8, səsləndirilən suala ilk bir dəqiqə ərzində ən tez 8,,,,,, cavab verən iştirakçı aparıcı ilə arışır. İşti rak -,, 0, 0, 9, 9, çıların sualı cavablandırmağa sərf etdikləri vat 8, 8, 8, 8, 6, 5, (saniələrlə) sağdakı kimi olmuşdur. Məlumatı,,,,, 9, 6 gövdə-budaq semi ilə təqdim edin. Gövdə. Gövdə-budaq semi şirkətdəki işçilərin Budaq aşını göstərir a) Məlumata görə ədədi ortanı, moda və 5 9 medianı tapın. 5 7 b) Məlumatı tezlik cədvəli ilə təqdim 5 0 edin. 6 = aş Çap üçün deil

295 Məlumatın təqdimi Kəsilməz ədədi məlumatların təqdimatı Kəsilməz ədədi məlumatların təqdimat formaları qruplaşdırılmış diskret məlumatların təqdimat forması ilə oşardır. Bəzən kəsilməz ədədi məlumatlar diskret ədədi məlumat (və tərsinə) kimi də qəbul edilir. Yəni bunlar arasında dəqiq sərhədi müəən etmək çətin olur. Nümunə 5. Aparılan araşdırmanın nəticəsində məlum oldu ki, idman klubunda məşğul olan gənclərin kütləsi 0 kq-la 90 kq arasında dəişir. Ətraflı məlumat cədvəllə və histoqramla verilmişdir. Tezlik Kütlə intervalı Tezlik 0 < < < < < 90 7 Kütlə (kq). Şirkətdə işçilərə telefonla ən çou dəqiqə danışmağa icazə verilir. Bir gün ərzində qedə alınan danışıqlar aşağıdakı kimi olmuşdur.,; 0,;,0;,8;,5;,9; 0,7;,0;,5;,; 0,8;,;,0; 0,;,;,0;,; 0,; 0,7;,8; 0,;,0; ;,0;,9; 0,5;,;,0;,8;,; 0,5;,0;,5; 0,9;,8; 0,6; 0,6; 0,7; 0,8; 0,8 a) məlumatı gövdə-budaq semi ilə təqdim edin. b) məlumatı sinifdə qruplaşdırmaqla tezlik cədvəli və histoqramla təqdim edin. c) bir dəqiqədən az davam edən danışıqların saı bütün zənglərin saının hansı hissəsini təşkil edir?. Tezlik cədvəli avtomobillərin daanacaqda qalma müddətlərini göstərir. Cədvələ görə histoqram qurun. Daanma müddəti (dəqiqə) Tezlik. Histoqram satılan avtomobillərin saı və qimətləri haqqında məlumatı əks etdirir. Məlumata görə tezlik cədvəli qurun. Sinifləri 5 - < 8 kimi qed edin. Qiməti 8 min manatdan ço, 7 mindən manatdan az olan avto - mobillər bütün satılan avtomobillərin neçə faizini təşkil edir? Avtomobillərin saı Satış qiməti (min manatla) Çap üçün deil

296 Məlumatın təqdimi 5. Kiçik laihə işi Bakıda Formula- Qran Pri Avropa arışı ilk dəfə 06-cı il iun aında keçirilmişdir. Uzunluğu təminən 6 km olan Bakı treki (bir dövrənin uzunluğu) şəhərin həm qədim, həm də müasir hissəsindən keçir. Cədvəldə Bakıda keçirilən ilk Formula- Qran Pri Avropa arışlarında birinci eri tutanların nəticələri verilmişdir. Mövqe Pilot Komanda 6 Niko Rosberq Mercedes 5 India 5 5 Sebastan Fettel Serio PeresForce Ferrari Dövrələr 5 Vat ::5.66 Xal +6,696 san. 5 +5, san. 8 a) Hər pilot neçə kilometr ol qət etmişdir? 5 b) Cədvəldə arışın qalibinin ümumi ola sərf etdii vat, eləcə də -ci və -cü erləri tutan pilotların çempiondan neçə saniə ço vat sərf etdikləri göstərilmişdir. Hər bir pilotun arış oluna sərf etdii ümumi vatı hesablamaqla cədvəli enidən dəftərinizdə çəkin. c) Hesablamaları kalkulatorla aparmaqla hər bir pilotun orta sürətini tapın. n ü l i e d d) Bakıda Formula- arışları ikinci dəfə 07-ci ildə keçirilmişdir. Birinci üç eri tutan pilotların nəticələrini əks etdirən cədvəl qurun. ç ü e) 06 və 07-ci ilin nəticələrinə uğun pilotların topladığı ballara görə barqraf qurun. p a f) Bakıda keçirilən Qran Pri Formula- arışları haqqında məlumatları əks etdirən təqdimat hazırlaın. Komandalar, arış avtomobilləri, pilotlar haqqında daha geniş məlumat toplamağa çalışın. Ç 96

297 Binomial açılışlar Binom ikihədli deməkdir.binomun mütəlf qüvvətlərinə baaq. İki ədəd cəminin kvadratı və kubunun açılışlarında müəən qanunauğunluq var. (a + b) =a +ab+b (a + b) =a + a b + ab + b Belə ki, birinci həddin qüvvət üstü binomun dərəcəsinə bərabərdir, hər sonrakı həddə a-nin üstü bir vahid azalır, ikinci həddin (b-nin) üstü bir vahid artır. Birinci və sonuncu həddin əmsalı -dir. a və b cəminin qüvvətləri ardıcıllığını binomial açılışların ardıcıllığı kimi da - v am etdirmək olar. Bu açılışların hansı qada ilə arandığını nəzərdən keçirək. (a + b) = (a + b)(a + b)(a + b)(a + b) kimi azmaq olar. Bu hasil hər biri a və a b olan dörd vuruğun bütün mümkün hasillərinin cəminə bərabərdir. Bu variantları ardıcıl olaraq nəzərdən keçirək. b həddini 0 vuruq, a həddini vuruq götürsək, a həddi alınır və bu cür C0 və a hal mümkündür və bu həddin əmsalı -dir. b həddini vuruq, a həddini vuruq götürsək, a b həddi alınır və bu cür C və a hal mümkündür və bu həddin əmsalı -dür. b həddini vuruq, a həddini vuruq götürsək, a b həddi alınır və bu cür C və a 6 hal mümkündür və bu həddin əmsalı 6-dır. b həddini vuruq, a həddini vuruq götürsək, ab həddi alınır və bu cür C və a hal mümkündür və bu həddin əmsalı -dür. b həddini vuruq, a həddini 0 vuruq götürsək, b həddi alınır və bu cür C və a hal mümkündür və bu həddin əmsalı -dir. Binomun qüvvətlərini, binomial açılışları və hədlərin əmsallarını cədvəldə erləşdirək. Binom Binomial ifadələrin açılışı Paskal üçbucağı (a + b) 0 (a + b) a + b (a + b) a + ab + b (a + b) a + a b + ab + b (a + b) a + a b + 6a b + ab + b 6 Göründüü kimi, əmsalların düzülüşü maraqlı riazi assələrə malik üçbucaq aradır. Buna Paskal üçbucağı deilir. Çap üçün deil 97

298 Binomial açılışlar Paskal üçbucağı. Paskal üçbucağı onun aradıcısı olan və XVI əsrdə aşamış böük fransız riaziatçısı, fiziki və filosofu Blez Paskalın şərəfinə adlandırılmışdır. Paskal üçbucağının təpə nöqtələrində daanır. Üçbucağı təşkil edən bütün sətirlər vahidlə başlanır və vahidlə də qurtarır. Hər sonrakı sətirdəki hər bir ədəd əvvəlki sətirdəki iki qonşu ədədin cəminə bərabərdir. Hər sonrakı sətirdəki ədədlərin saı özündən əvvəlkindən bir ədəd çodur n = 0 n = n = n = n = n = Paskal üçbucağı Paskal üçbucağı kombinizonla 0C0 C0 C C0 C C C0 C C C 6 C0 C C C C C0 5C 5C 5C 5C 5C5 5C-nin həqiqiətən Paskal üçbucağının 5-ci sətrinin uğun elementi olduğunu olaaq. 5P 5! 5 5C = = = = 0!!! Binomun Açılışı qüvvəti Paskal üçbucağı (a + b) 0 (a + b) C0a + Cb (a + b) C0a + Cab + Cb (a + b) C0a + Ca + Cab + Cb (a + b) C0a + Ca b + Ca b + Cab + Cb (a + b) 5 5C0a 5 + 5Ca b + 5Ca b + 5Ca b + 5Cab + 5C5b 5 Binomun açılışında hədlərin əmsalları ardıcıl olaraq Paskal üçbucağının uğun sətrindəki ədədlərdir. Soldan sağa -ci həddə a-nın qüvvəti binomun qüvvətinə bərabərdir, hər sonrakı həddə bir vahid azalır, b-nin qüvvəti isə artır Çap üçün deil

299 Binomial açılışlar Paskal üçbucağının növbəti 6-cı sətri aşağıdakı kimi aranır C0 6C 6C 6C 6C 6C5 6C6 Binomial açılış üçün ümumiləşmiş düstur aza bilərik. Binomial açılış İstənilən a, b ədədləri və n 0 ədədi üçün aşağıdakı bərabərlik doğrudur: (a + b) n = nc0a n b 0 + nca n b +nca n - b ncn- a b n + ncna 0 b n siqma işarəsindən istifadə etməklə bu düsturu qısa şəkildə aşağıdakı kimi azmaq olar. (a + b) n n = ncka n-k b k k=0 (a + b) n binomunun açılışında n + sada hədd var. Binomun istənilən (k+)-ci həddi Tk+ = ncka n - k b k şəklindədir, (k = 0,,,..., n) n dərəcəli binomun açılışında n + sada element var binomun istənilən həddini Tk+ = ncka n - k b k düsturu ilə tapmaq olar binomun istənilən həddinin qüvvət üstlərinin cəmi n-ə bərabərdir binomial əmsalların cəmi n -ə bərabərdir: nc0 + nc +nc ncn- + ncn = n Binomun düsturunda a = b = götürməklə sonuncu bərabərlii olaın. Binomun qüvvətinin açılışında toplananın əmsalı ilə binomial əmsal birbirindən fərqlidir. Nümunə. ( + ) 5 = 5C C + 5C + 5C + 5C + 5C5 5 = = Bu arılışda məsələn, üçüncü toplananın əmsalı 0, onun binomial əmsalı isə 5C = 0 olur. Nümunə. (p ) 6 binomunun açılışında -cü həddini azın. Həlli: Burada a = p, b =, n = 6 T = T+ = 6Ca 6 b = 0 (p) ( ) = 60p Çap üçün deil 99

300 Binomial açılışlar Örənmə tapşırıqları. Binomun qüvvətinin açılışında neçə hədd var? a) ( ) 5 b) (z + z ) 7 c) (c + 6) q d) (c + 6) k.. Açılışları azın. a) ( ) b) ( + ) 5 c) ( + c) 6 d) ( i) 5 Binomun tələb olunan həddini tapın. a) 5-ci həddini: ( + ) 8 b) -cü həddini: (a b) 6 c) 7-ci həddini: ( z) d) ortadakı həddini: ( + ) 5 e) sondan ikinci həddini: (u + ) 8 e) sondan həddini: ( ) 0. ( + ) 0 binomunu açmadan tapşırıqları erinə etirin a) Binomun açlışındakı hədlərinin saını azın. b) Binomun açılışında 6-cı həddi azın c) 0Cr binomialəmsalının ən böük qiməti binomun hansı həddinə aiddir? Binomial açılışları (a + b) n, n N şəklində azın. a) C0z + Cz t + Cz t + Czt + Ct b) 5C0m 5 + 5Cm + 5Cm + 5Cm + 5Cm + 5C5 5 a) ( + ) və ( ) binomial açılışılarının oşar və fərqli cəhətlərini azın. Fikirlərinizi ( ) n binomial açılışı üçün ümumiləşdirin. Paskal üçbucağının verilən sətirlərini kombinezonla ifadə edin. a) b) c) İlqar deir ki, Paskal üçbucağının hər bir sətrini n kimi ifadə etmək olar. Bu fikri olaın. 9. Paskal üçbucağına görə erinə etirin. a) Paskal üçbucağının verilən hər bir sətrindəki hədlərin cəmini tapın. b) Paskal üçbucağının 9-cu sətrindəki 6 hədlərin cəmini tapın c) Paskal üçbucağının n-ci sətrindəki hədlərin cəmini tapın. d) Bu assəni binomial açılışda əmsallara tətbiq edin. 0. a) ( +) n binomunun açılışında binomial əmsalların cəmi 6 olarsa, ikinci həddin əmsalını tapın. b) ( + ) 8 -in arılışında -dən asılı olmaan həddi tapın. Çap üçün deil 00

301 Bernulli sınaqları Bernulli semini adınlaşdırmaq üçün aşağıdakı məsələə baaq. Ounda qalib gəlmə ehtimalı isə (aşıl kürənin çıması), məğ - lub olmaq (qırmızı kürənin çıması) ehtimalı = olacaq. ounda qələbə və məğlubiət salarına görə ehtimalları hesablaaq. ) P( ounun hamısında qalib gəlmə ehtimalı) = = 8 56 ) P( ounun hamısında məğlub olma ehtimalı) = = 56 ) oundan -də qalib gəlmə variantları və hər birinin ehtimalı: 7 (Q,Q,Q,M) P(-cüdən başqa hamısında qalib) = = 56 7 (Q,Q,M,Q,) P(-cüdən başqa hamısında qalib) = = 56 7 (Q,M,Q,Q) P(-cüdən başqa hamısında qalib) = = 56 7 (M,Q,Q,Q) P(-cidən başqa hamısında qalib) = = 56 Ounçunun oundan -də qalıb gəlməsinin mümkün variantlarının saını kombinizonla da hesablamaq olar. C = = olacaq. Variantların ehtimalı eni!! olmaqla -ə bərabərdir. Bu hadisənin ehtimalını aşağıdakı kimi hesablamaq olar P( ounun -də qalib) = C = = 6 56 Analoji qada ilə digər situasiaları araşdıraq. ) oundan -də qalib gəlmə ehtimalı 9 P(Q,Q,M,M) = = = 56! oundan -sində qalib gəlməin mümkün variantlarının saı: C = = 6 9!! Yəni 6 halın hər birində qalib gəlmək ehtimalı -dur P( oundan -də qalib) = C =6 = ) oundan -də qalib gəlmə ehtimalı. P(Q,M,M,M) = = = 56 P( oundan -i qalib) = C = = 6 56 Biz komandanın,,,,0 ounda qalib gəlmək ehtimallarını tapdıq. Əgər bu ehtimallar düzgün hesablanmışsa, onların cəmi vahidə bərabər olmalıdır. P( uduş) + P( uduş) + P( uduş)+ P( uduş)+ P(0 uduş) = Yolaaq: = Çap üçün deil 0

302 Bernulli sınaqları Yuarıda təsvir olunan məsələ binomial sınaqlar adlanır. Çünki bu cür məsələlərdə situasiaları uğun binomial açılışın hədləri ilə ifadə etmək mümkündür. Məsələn, nəzərdən keçirdiimiz məsələ (a + b) = C0a + Ca b + Ca b + Cab + Cb binomial açılışa uğundur, Binomial sınaqlara Bernulli sınağı da deilir. Bu açılışı məsələdəki situasiaa uğun p (qalib) və q (məğlub) dəişənləri ilə ifadə etsək, binomial açılışda hər bir həddin real situasiaa uğun gəldiini görmək olar. (p + q) = C0p + Cp q + Cp q + Cpq + Cq Burada p uğurlu hadisənin (aşıl çıma) ehtimalıdır və p =, q uğursuz (qırmızı çıma) hadisənin ehtimalıdır və q =. Bernulli sınağı və ehtimal n sada asılı olmaan sınaqda uğurlu hadisənin ehtimalı p olarsa, onda m uğurlu, n m uğursuz hadisənin ehtimalı P(n sınaqda, m uğurlu) = ncmp m q n-m kimi olacaq. Binomial sınaq və a Bernulli sınağı alnız aşağıdakı şərtlər ödənildikdə doğrudur. Hər bir sınağın alnız iki nəticəsi var. Sınaqların saı məlumdur. Sınaqlar asılı deil Hər sınaq bərabər ehtimallıdır Bernulli sınağını sematik olaraq aşağıdakı nümunə üzərində araşdıraq. Nümunə. Çar bərabər hissədən ibarətdir. hissəsi qırmızı, bir hissəsi ağ rəngdədir. Çar fırlandıqdan sonra a qırmızı hissədə daanır, a da ağ. Üç dəfə fırlandıqda mümkün vəziətlər semlə verilmişdir. Q QQQ P( qırımızı) = Q A QQA P( qırımızı) = Q Q QAQ P( qırımızı) = A A QAA P(0 qırımızı) = A Q AQQ Q Göründüü kimi, əmsallar A AQA Paskal üçbucağının -cü A Q sətirindəki ədədlərlə enidir: AAQ A 0 AAA Həmçinin binomal açılışla da əlaqəni görmək mümkündür. (a + b) = a +a b + ab + b. Burada a = və b = Bu hadisə üçün Bernulli düsturu P(m qırmızı) = Cm m = 0,,,. m-in qimətlərini erinə azmaqla düsturu olaın. 0 m m Çap üçün deil

303 Bernulli sınaqları Nümunə. 5 sualın hər birinin cavab variantı veril - miş dir. Nərgizin 5 sualdan -nə düzgün cavab verməsi ehtima lını hesablaın. Binomun açılışı ilə ehtimalın tapılması arasında əlaqəni araşdırın. Həlli: Nərgizin 5 suala düzgün və a səhv cavab verməsinin neçə mümkün variantı olduğunu tapaq. (d + s) 5 = 5C0d 5 + 5Cd s + 5Cd s + 5Cd s + 5Cds + 5C5s 5 Nərgizin 5 sualdan -nə düzgün cavab s d d d d verməsinin mütəlif 5 variantı olduğu d s d d d semdən görünür. Deməli, bu hadisənin ehtimalı 5Cd s kimi olacaq. Analoji d d s d d olaraq digər situasiaların da binomun hədləri arasındakı əlaqəsini görmək olar. Bu əlaqəni cədvəldə ümumiləşdirək. d d d d d d s d d s Əmsal Hədd Situasiada mənası 5C0 = d 5 5 düzgün cavabın variantı var 5C = 5 d s düzgün səhv cavabın 5 variantı var 5C = 0 d s düzgün səhv cavabın 0 variantı var 5C = 0 d s düzgün səhv cavabın 0 variantı var 5C = 5 ds düzgün səhv cavabın 5 variantı var 5C5 = s 5 5 səhv cavabın variantı var Təsüdüfi seçmə ilə suala düzgün, suala səhv cavab vermək ehtimalını tapaq. Hər düzgün cavabın ehtimalı -dir. Səhv cavabın ehtimalı = 5 P(d, s) = 5d s = 5 = və a,5% 0 Bu qada ilə mümkün situasiaların ehtimalını hesablaın, onları toplaın cəmin vahidə (və a 00%-ə) bərabər olduğunu olaın. Nümunə. Dörd uşaqlı ailədəki uşaqlardan -nün oğlan, -nin qız olması ehtimalını tapın. Hər uşaq üçün iki mümkün hal var: a oğlandır, a da qız. Hər ikisinin ehtimalı -dir. P(n sınaqda, m uğurlu) = ncmp m q n-m n =,m =,p =,q = ; P( uşaqdan,-ü oğlan) = Cp q - = = Deməli, uşaqdan -nün oğlan olması ehtimalı və a 5%-dir. Uğun binomial açılışda situasianı ifadə edən hədd qırmızı rənglə göstərilmişdir. (o + q) = o + o q + 6o q + oq + q P( uşaqdan, -ü oğlan) Çap üçün deil 0