1.Kompleks ədədlərin ustlü şəkli və onlar üzərində əməllər. 2.Qeyri müəyyən inteqral. Dəyişənin əvəz edilmə üsulu

Transcript

1 1 Sərəst mövzulr: 1.Kompleks ədədlərin ustlü şəkli və onlr üzərində əməllər 2.Qeyri müəyyən inteqrl. Dəyişənin əvəz edilmə üsulu 3.Hissə-hissə inteqrllm üsulu 4.Müəyyən inteqrl,onun əzi tətiqləri 5.Tənliyin köklərinin təklənməsi 6.Fırlnm səthi 7.Norm nlyışı,koşi Bunykovski ərərsizliyi 8.Məhdud və qeyri məhdud çoxluqlr 9. Elementr funksiylrın kəsilməzliyi 10.Silindrik səthlər

2 2 1.Kompleks ədədlərin ustlü şəkli və onlr üzərində əməllər İnsnlrın ilk istifdə etdiyi ədədlər nturl ədədlər çoxluğu olu. Bu ədədlər çoxluğu sym prosesində yrnı. Ən kiçik ünsür vr,1-dir. Ən öyük ünsür isə yoxdur. Burd ylnız toplm və vurm əməllərini yerinə yetirirlər. Kompleks ədədlərin tərifini lmq üçün elə ədədlər üzərində toplm,vurm əməllərini elə verməyə çlışmq lzımdır ki,onlr üçün həqiqi ədədlərlə ğlı oln məlum qnunlr ödənsin. Burdn lınır ki, +i,c+di Kompleks ədədlərinin cəmini,fərqini,vurulmsını uyğun olrq, (+i)+(c+di)=+i+c+di=+c+(+d)i (+i)-(c+di)= -c+(-d)i (1) (+i)(c+di)=c+di+ci+di²=c+(d+c)i+di² qydlrı ilə vermək lzımdır. i ədədinin i²+1=0 şərtini ödədiyini, yəni i²=-1 olmsını qəul etdiyimizdən, sonuncu ərərliyi (+i)(c+di)=c-d+(d+c)i (2) şəklində yz ilərik. Əgər +i,c+di ifdələrinin ərərliyi ylnız və ylnız =c, =d olmsı kimi ş düşülərsə, u ifdələrin cəmi,fərqi və hsili isə (1),(2) qydlrı ilə verilərsə,+i şəklində ifdələrə kompleks ədədlər deyilir. Kompleks ədədlər çoxluğunu C ilə işrə edirik. Kompleks ədədi ir hərflə dətən z ilə işrə etmək qəul olunu: z=+i. Burdn z =z yzmq, z Kompleks ədədinin z kompleks ədədinə ərər olmsı deməkdir. Toplm əməlinin xssələri: 1.İstənilən iki z₁, z 2 Kompleks ədədləri üçün z₁+ z 2 = z 2 +z₁ (yerdəyişmə qnunu) 2.İstənilən z₁, z 2, z 3 kompleks ədədləri üçün (z₁+ z 2 )+ z 3 = z₁+( z 2 + z 3 (qruplşdırm qnunu)

3 3 3. İstənilən z kompleks ədədi üçün z+0=z 4.İstənilən iki z₁, z 2 kompleks ədədi üçün z+z₁= z 2 tənliyini ödəyən yegnə z kompleks ədədi vr. Vurm əməlinin xssələri: 1.İstənilən iki z₁, z 2 kompleks ədədləri üçün z₁ z 2 = z 2 z₁ (yerdəyişmə qnunu) 2.İstənilən z₁, z 2, z 3 kompleks ədədləri üçün (z₁ z 2 ) z 3 = z₁ ( z 2 z 3 (qruplşdırm qnunu) 3..İstənilən z₁, z 2, z 3 kompleks ədədləri üçün z₁( z 2 + z 3 = z₁ z 2 + z₁ z 3 (pylm qnunu) 4. İstənilən z kompleks ədədi üçün z 1=z 5. z₁, z 2 verilmiş kompleks ədədlər və z 0 olrs,z z 2 =z₁ tənliyini ödəyən yegnə z kompleks ədədi vr.

4 4 2.Qeyri müəyyən inteqrl Funksiy verildikdə onun törəməsinin tpmq məsələsi ilə məşğul olduq. İndi isə tərs məsələnin həlli ilə məşğul olq. Törəməsi verilən funksiynın özünü tpmq məsələsini həll edək. Fərz edək ki, f ( x ) və F( x) hər hnsı [, ] prçsınd təyin olunmuş funksiylrdır. Tərif. [,] prçsının ütün nöqtələrində F ' ( x )=f ( x ) (1) və y df ( x)=f ( x)dx (2) ərərliyi ödənilərsə, ond F(x) funksiysın f(x) funksiysının [, ] prçsınd itidi funksiysı deyilir. Aydındır ki, ond F(x) funksiysı f(x) funksiysının itidi funksiysıdırs, ond C sit ədəd olduqd F(x)+c funksiysı d həmin f(x) funksiysının itidi funksiysı olr. Doğrudnd (1) ərərliyinə görə ; [ F ( x )+c ] =F ' ( x )=f (x ) Burdn nəticə olrq cıxır ki, əgər f(x) funksiysının ir F(x) itidi funksiysı vrdırs ond F( x)+c şəklində oln sonsuz syd ütün funksiylr d həmin funksiynın itidi funksiysıdır. Teorem., f ( x ) funksiysının iki F(x) və Ф(х) itidi funksiysı iririndən sit ədədlə fərqlənir. ; Ф(х) =F(x)+c (3) Istı. Doğrudnd, [, ] prçsının x nöqtəsində ödənilən F ' ( x )=f ( x ) və Φ ' ( x )=f ( x ) ərərliklərindən [Φ ( x ) F ( x ) ] =0 münsiəti lınır. Burdn lırıq ki, ; Ф(х) - F(x)=c və y (3) ərərliyi doğrudur. (c sitdir) Bu teorem göstərir ki,f(x) funksiysı f(x) funksiysının hər hnsı itidi funksiysıdırs, ond onun ütün itidi funksiylrı [ F ( x )+ c ] coxluğun dxildir. Tərif. f ( x ) funksiysının [, ] prçsınd ütün itidi

5 5 funksiylrı çoxluğun f ( x ) funksiysının həmin prçd qeyri-müəyyən inteqrlı deyilir və f (x ) dx (4) kimi işrə olunur. Deməli, F(x) funksiysı f(x) funksiysının hər hnsı itidi funksiysıdırs, ond f (x ) dx= {F ( x )+c } u ərərliyi həmişə f (x ) dx=f ( x) +c (5) kimi yzırlr. Burd - işrəsi, x- inteqrllm dəyişəni, f(x) inteqrlltı funksiy, f (x ) dx isə inteqrlltı ifdə dlnır. Təii olrq qrşıy elə ir sul cıx ilər ki, hər ir funksiynın itidi funksiysı vrmı? Hər ir funksiynın itidi funksiysı yoxdur, lkin kəsilməz oln hər ir funksiynın itidi funksiysı (qeyri-müəyyən inteqrlı) vrdır. Həndəsi nöqteyi nəzərdən inteqrl əyrilərini iri digərindən özünə prlel olrq OY oxu oyunc şğı və yuxrı köçürməklə lınır. Beləliklə, itidi funksiy ir-irinə prlel yerləşən əyrilərdir. Misl 1 F ( x )= cos x funksiysı f ( x )=sin x funksiysının itidi funksiysı olduğundn sin dx= cos x+c. Inteqrl qeyri-müəyyən dı verilməsi onun qiymətinin konkret (müəyyən) ir funksiy olmyı, sonsuz syd funksiylr (çoxluğu) olmsı ilə əlqədrdır. Qeyri-müəyyən inteqrlın sdə xssələri f (x ) dx=f ( x) +c (1) F ' ( x )=f ( x ) (2) Xssə 1. Qeyri-müəyyən inteqrlın törəməsi inteqrlltı funksiyy ərərdir; ( f ( x )dx ) =f ( x ) (3) Doğrudn,(1) və (2) ərərliklərinə görə; ( f ( x )dx ) =( F (x )+c ) =F ' ( x)=f ( x )

6 6 Xssə 2.. Qeyri-müəyyən inteqrlın diferensilı inteqrlltı ifdəyə ərərdir. Xssə 3. d ( f ( x ) dx )=f ( x ) dx Hər hnsı funksiy diferensilının qeyri-müəyyən inteqrlı həmin funksiy ilə sitin cəminə ərərdir. df ( x)=f ( x)+c Xssə 4. Sonlu syd funksiylr cəminin qeyri-müəyyən inteqrlı onlrın qeyrimüəyyən inteqrlının cəminə ərərdir ; [ f 1 ( x )+f 2 ( x )+ +f n ( x ) ] dx= f 1 (x ) dx+ f 2 (x ) dx+ + f n ( x )dx (4) Xssə 5. Sit vuruğu inteqrl işrəsi xricinə cıxrmq olr. Af ( x ) dx= A f ( x ) dx (5) Xssə 6. İnteqrlın inteqrllm dəyişəninə nəzərən invrintlıq xssəsi vrdır, yəni f ( x)dx=f (x )+c olrs,ond istənilən diferensillnn u=u(x) funksiysı üçün f (u)du=f(u)+c (7) doğrudn d, (1) münsiətinə görə df ( x)=f ( x)dx olduğundn, diferensil şəklinin invrintlığı xssəsinə əssən df (u)=f (u )du olr. Burdn (7) ərərliyinin doğruluğu ydındır.

7 7 3.Hissə-hissə inteqrllm üsulu Tutq ki, u və v kəmiyyətləri x-in diferensilln ilən funksiylrıdır. Ond (u v ) =u ' v+uv ' (4) eyniliyin hər iki tərəfini[,] prçsınd inteqrllyq ; Burd (uv ) dx=uv+c on görə (5) ərərliyini şəklində yzmq olr. Alırıq ki, Teorem. Tutq ki, (u v ) dx = u ' vdx+ olduğundn (u v ) dx =uv uv = u v ' dx vdu+ udv v du udv=uv Dəyişəni əvəzetmə üsulu. 1) f (x ) funksiylrı [, ] prçsınd kəsilməyəndir ; 2) x=φ(t) funksiysı və onun ϕ ' (t) törəməsi [α, β ] prcsınd kəsilməyəndir ; 3) [α, β ] prcsınd =ϕ ( α ) ϕ (t ) ϕ ( β )= (1) münsiəti ödənilir. Ond β f (x ) dx= f [ϕ (t ) ] ϕ ' (t ) dt α ərərliyi doğrudur. Bu düstur müəyyən inteqrld dəyişəni əvəzetmə düsturu deyilir. (5) (6)

8 8 Misl xⁿ ln x dx=? Burd u=ln x və dv=λⁿdx hes etsək,du= dx x düsturun görə lırıq : və V= xn+1 n+1 olr. Ond (5) xⁿln x dx= +1 xn n+1 ln x- 1 n+1 xⁿdx= xn+1 n+1 ln x- x n+1 (n+1) ² +C

9 9 4.Müəyyən inteqrl,onun əzi tətiqləri Tərif. ƒ(x) funksiysı ücün [,] prçsınd düzəldilmiş f (ξ k ) Δx k inteqrl cəminin λ(t) 0 şərtində sonlu J limiti vrs, ond f(x) funksiysın [,] prçsınd inteqrllnn funksiy, J ədədinə isə onun [,] prçsınd müəyyən inteqrlı deyilir və ilə işrə edilir. f (x ) dx f ( x) dx=lim λ ( T ) 0 n 1 f (ξ k ) k=1 Burd f(x) funksiysı inteqrlltı funksiy, və ədədləri, uyğun olrq, müəyyən inteqrlın şğı və yuxrı sərhədləri, x dəyişəni isə inteqrllm dəyişəni dlnır. Xssələr: Δx k Xssə 1. Sit vuruğu müəyyən işrəsi xricinə çıxrmq olr. A f ( x) dx= A f ( x ) dx Xssə 2. Sonlu syd f 1 (x ),f m (x ) funksiylrının cəminin müəyyən inteqrlı toplnnlrın müəyyən inteqrllrının cəminə ərərdir. Xssə 3. İstənilən c nöqtəsi üçün ərərliyi doğrudur. [ n k=1 c f ( x ) dx= m f k ( x )] dx= k=1 f ( x ) dx+ c Xssə 4. x prçsınd f (x ) 0 olrs, ond f k ( x ) dx f ( x) dx f ( x)dx 0 Xssə 5. x prçsınd kəsilməyən istənilən f (x ) funksiysı üçün ərərsizliyi doğrudur. f ( x)dx f ( x) dx.

10 10 Xssə 6. [,] prçsının ncq ir nöqtəsində sıfırdn fərqli oln funksiynın inteqrlı sıfr ərərdir. 0, x±c, x [, ] μ, x=c f c ( x )= { şəklində funksiynın inteqrlı sıfr ərərdir ; f c ( x ) dx=o Xssə 7. [,] prçsınd inteqrllnn ƒ(x) və φ(x) funksiylrının hsili də həmin prçd inteqrllnndır. Müəyyən inteqrlın vrlığı hqqınd teorem Tutq ki, f(x) sonlu [, ] prçsınd məhdud funksiydır. [, ] prçsının T ölgüsü üçün inteqrl və Dru cəmləri düzəldək ; n 1 J n (T )= k=0 n 1 S n (T )= k=0 n 1 S n (T )= k=0 f (ξ k ) Δx k, m k Δx k, M k Δx k Teorem1. [, ] prçsınd təyin olunmuş məhdud f (x ) funksiysının lim λ (T ) 0 u prçd inteqrllnn olmsı üçün münsiətinin ödənilməsi zəruri və kfi şərtdir [ S n (T ) s n (T ) ]=0

11 11 5.Tənliyin köklərinin təklənməsi Verilmiş f(x)=0 (1) tənliyinin həqiqi köklərini müxtəlif vsitələrlə təkləmək olr. y=f(x) funksiysının qrfikini qurmq mümkün olduqd u qrfikin sis oxunu kəsdiyi nöqtələri təqrii təyin etmək olur. Bu hld həmin nöqtələrin hər irini öz dxilinə ln, yəni onlrı təkləyən prçlrı təyin etmək çətin olmz. Bəzən (1) tənliyini sdə çevirmələrlə φ ₁ (x)= φ ₂ (x) (2) tənıiyi şəklinə gətirirlər. Bu hld (1) tənliyin kökləri, y= φ ₁ (x) və y= φ ₂ (x) funksiylrı qrfiklərinin kəsişmə nöqtəsinin sisləri olr. Ələttə, (1) tənliyinin (2) şəklinə gətirilməsi o zmn əlverişlidir ki,, y= φ ₁ (x) və y= φ ₂ (x) funksiylrı qrfiklərinin qurulmsi y=f(x) funksiysının qrfikinin qurulmsındn sn olsun. φ ₁ (x) və φ ₂ (x) funksiylrını əzən elə seçirlər ki, onlrın qrfikləri əvvəldən məlum oln əyrilər olur. Bu hld, y=f(x) funksiysının sis oxunu kəsdiyi nöqtələr y= φ ₁ (x) və y= φ ₂ (x) funksiylrı qrfiklərinin kəsişmə nöqtələrinin sisləri ilə üst-üstə düşür. Əgər [;] prçsınd kəsilməyən f(x) funksiysı u prçnın uc nöqtələrində müxtəlif işrəli qiymətlər (f() f() <0) lırs, ond həmin prçnın heç olms ir dxili x₀ nöqtəsində sıfr çevrilər. f(x₀) =0 yəni (1) tənliyinin [;] prçsınd heç olms ir x₀ kökü vrdır.bu hld x₀ kökünü [;] prçsının təkləndiyini hökm etmək olmz. Çünki [;] prçsınd (1) tənliyinin x₀ -dn şq d kökü ol ilər. x₀-ın [;] prçsınd yegnə olmsı üçün y=f(x) funksiysı əlvə şərtləri ödəməlidir. Əgər [;] prçsınd kəsilməyən y=f(x) funksiysı həmin prçd monotondurs və. f(x₀) =0 (o <x₀ <) ödənilirsə, ond [;] prçsı x₀ kökünü təkləyən prçdır. Deməli,(1) tənliyinin x₀ kökünü təkləyən [;] prçsı f(x) funksiysının monotonluq prçsı olmlıdır. y=f(x) funksiysının hər ir monotonluq prçsınd f (x) törəməsi öz işrəsini sxlyır: f (x) 0 olduğu prçd f(x) rtn (Şəkil ), f (x)<0 oln prçd isə zln olr. (Şəkil )

12 12 Beləliklə, (1) tənliyinin həqiqi köklərini təkləmək üçün f(x) funksiysının ütün monotonluq prçlrını tpmq lzımdır. Bu prçlrın hər irində f(x)-in ən çoxu ir sıfrı ol ilər. Misl1 x²-12x+3=0 tənliyinin köklərini təkləməli. Aydındır ki, f(x)= x²-12x+3 funksiysı və onun f (x)=3x²-12 törəməsi ütün ədəd oxund kəsilməyəndir. 3x²-12=0 tənliyinin x₁=-2 və x₂=+2 kökləri f(x) funksiysının monotonluq intervllrını təyin edir : (-,-2), (-2,+2) və (2,+ ). Birinci intervld, yəni - <x<-2 olduqd f (x) 0. Deməli, (-,-2) intervlınd lim f ( x)= x f(x) funksiysı rtndır. - və f(-2)=19 olduğundn həmin intervld (3) tənliyinin ir həqiqi x₁ kökü vrdır.f(-4)=-13<0 və f(-3)=12 0 olduğundn x₁ kökünü təkləyən prç olrq [-4,-3]prçsını götürmək olr. İkinci intervld, yəni -2<x<2 olduqd f (x)<0 olur. Bun görədə [-2,2] prçsınd f(x) zlndır.f(-2)=19 0 və f(2)=-13<0 olduğundn (3) tənliyinin [- 2,2] prçsınd yerləşən ir x₂ kökü vrdır. Bu kökü təkləyən prç olrq [0,1] prçsını götürmək olr. Üçüncü intervld (2,+ ) olduqd isə f (x) 0 olduğundn həmin intervld y=f(x) rtn funksiylrdır.həmin intervld (3) tənliyinin x₃ həqiqi kökü vrdır.bu kökü təkləyən prç olrq [3,4] prçsını götürmək olr.

13 13 6.Fırlnm səthi Fərz edək ki, Oyz müstəvisinin sğ yrım hissəsi (y 0) üzərində yerləşən və tənliyi { f ( y, z )=0 x=0 (1) oln L xətti verilmişdir.bu xəttin Oy oxu ətrfınd fırlnmsındn lınn səthin tənliyini tpq. L xətti üzərində ixtiyri N(O,Y,Z) nöqtəsi götürək. L xətti Oy oxu ətrfın fırlnrkən onun üzərindəki N(O,Y,Z) nöqtəsi NMN₁ çevrəsini cızr.bu çevrə y=y müstəvisi üzərindədir və mərkəzi Q(O,Y,O) nöqtəsindədir. Həmin çevrənin tənliyini tpmq üçün Q(O,Y,O) ilə N(O,Y,Z) rsındkı QN=Z məsfəsinin çevrənin rdiusu olduğunu və çevrə üzərindəki ixtiyri M(x,y,z) nöqtəsinin Q-dən oln məsfəsinin də həmin rdius ərər olduğunu nəzərə lmq lzımdır. ond çevrənin tənıiyi: x²+y ² =Z² y=y (2) olr. N(O,Y,Z) nöqtəsi L xətti üzərində olduğundn onun koordintlrı (1) tənliyini ödəyər: f(y,z)=0 (2) ərərliyindəki qiymətləri xırıncı tənlikdə yerinə yzsq: f(y, x²+ y ² =0 (3) (3) tənliyi fırlnmdn lınn səthin tənliyidir.deməli, Oyz müstəvisi üzərində yerləşən L əyrisinin Oy oxu ətrfınd fırlnmsındn lınn səthin tənliyini lmq üçün həmin əyrinin f(y,z) tənliyində z kəmiyyətini x²+ y ² ilə əvəz etmək lzımdır.

14 14 Bu qyd digər koordint oxlrı ətrfınd fırlnmdn lınn səthlər üçün də doğrudur. Oxy müstəvisi üzərində yerləşən və tənliyi φ(x,y)=0 oln əyrinin Ox oxu ətrfınd fırlnmsındn lınn səthin tənliyi φ(x. z²+ y² =0 (4) olr. Həmin əyrinin Oy oxu ətrfınd fırlnmsındn lınn səthin tənliyi isə: φ( x²+z ², y =0 olcqdır. İkitərtili əyrilərin öz simmetriy oxlrı ətrfınd fırlnmsındn lınn fırlnm səthlərinin tənliyini (3)-(5) münsiətinə əssən tpmq olr. 1.Fırlnm ellipsoidləri. Oyz müstəvisi üzərində yerləşən y ² ² + z ² c² =1 ellipsinin Oy oxu ətrfınd fırlnmsındn lınn səthin tənliyi y ² ² + z ²+x ² c ² =1(6) Oz oxu ətrfınd fırlnmsındn lınn səthin tənliyi x ²+ y ² ² + z ² c² =1 (7)olr. 2.Fırlnm hiperoloidləri.oyz müstəvisi üzərində yerləşən hiperolsınn Oy və Oz oxlrı ətrfınd fırlnmsındn lınn və tənlikləri uyğun olrq y ² z ²+x ² x ²+ y ² z ² - =1 və - =1 oln fırlnm səthlərinə uyğun olrq ² c ² ² c² ikioyuqlu və iroyuqlu fırlnm hiperoloidləri deyilir. 3. Fırlnm proloidləri. Oyz müstəvisi üzərində yerləşən və tənliyi y²=2pz oln prolnın Oz simmetriy oxu ətrfınd fırlnmsındn lınn səthin tənliyi x²+y²=2pz olr. Bu səthə fırlnm proloidi deyilir. y ² z ² 4. Fırlnm konusu. Oyz müstəvisi üzərində yerləşən və tənliyi - =0 ² c² oln 2 kəsişən düz xəttin Oz oxu ətrfınd fırlnmsındn lınn səthə fırlnm konusu deyilir. Fırlnm konusunun tənliyi x ²+ y ² ² - z ² c² y ² ² - =0 olr. z ² c² =1

15 15 7.Norm nlyışı.koşi-bunykovski ərərsizliyi. Tutq ki, R həqiqi Evklid fəzsıdır. Bu fəznın istənilən xϵr elementinin uzunluğu və y normsı (x,x) ədədinə deyilir və ǁx ǁ ilə işrə olunur: ǁx ǁ= (x,x) (1) 12 ksiomundn ydındır ki, istənilən xϵr elementinin normsı mənfi olmyn həqiqi ədəddir. Verilmiş elementin normsı ylnız o zmn sıfr ərər olr ki, o sıfır element olsun. Normsı vhidə ərər oln elementə normllşmış element deyilir. İstənilən xϵr və həqiqi λ ədədi üçün ǁxλ ǁ= (λx, λx) = λ ²(x, x) λ = = (x,x) λ ǁx ǁ, yəni ǁxλ ǁ = λ ǁx ǁ (2) ərərliyi doğru olduğundn, hər ir x Ɵ elementini öz normsın ölərək həmişə normsı vhidə ərər oln element lmq olr: x ǁ x ǁ =1 Bu əməliyyt elementin normllşdırılmsı deyilir. Teorem Evklid fəzsının istənilən x və y elementi üçün (x,y)² (x,x)(y,y) (3) ərərsizliyi doğrudur. (3) ərərsizliyinə Koşi-Bunykovski ərərsizliyi deyilir. İstı. Evklid fəzsının 12 ksiomun görə istənilən həqiqi λ və μ ədədləri üçün (λx-μy, λx-μy) 0 ond λ²(x,x)-2λμ(x,y)+μ²(y,y) 0 və λ=(y,y),μ=(x,y) qəul etsək, (y,y)[(x,x)(y,y)-(x,y)²] 0 ərərsizliyini lrıq.

16 16 Deməli, y 0 olduqd (y,y) 0 və un görə də (x,x)(y,y)-(x,y)² 0 yəni (3) ərərsizliyinin doğruluğunu (x, Ɵ)=0 və ( Ɵ, Ɵ) münsiətlərindən ydındır. İst etdiyimiz(3) ərərsizliyini (x,y)² ǁx ǁ² ǁy ǁ ² və y ǁx ( x,y ) ǁ ǁy ǁ (4) şəklində yzmq olr. Nəticə. Evklid fəzsının istənilən x və y elementi üçün ǁx+yǁ ǁx ǁ+ ǁy ǁ (5) ərərsizliyi doğrudur. Doğurdn d, (4) ərərsizliyinə görə: ǁx+y ǁ²=(x+y,x+y)=(x,x)+2(x,y)+(y,y) ǁx ǁ²+2ǁx ǁ ǁy ǁ+ ǁy ǁ²=( ǁx+y ǁ)² Burdn (5) münsiətinin doğruluğu ydındır. (5) ərərsizliyinə üçucq ərərsizliyi deyilir.

17 17 8.Məhdud və qeyri məhdud çoxluqlr. X={x} ədədi çoxluğunun ütün elementləri hər hnsı sit M ədədindən öyük olmdıqd, yəni ixtiyri xєx üçün x M (1) ərərsizliyi ödənildikdə,həmin çoxluğ yuxrıdn məhdud çoxluq deyilir. (1) ərərsizliyini ödəyən sit M ədədinə X çoxluğunun yuxrı sərədi deyilir. X çoxluğunun yuxrı sərədlərinin ən kiçiyinə,yəni şğıdkı iki şərti ödəyən M ₒ ədədinə həmin çoxluğun dəqiq yuxrı sərhədi deyilir: 1) istənilən xєx üçün x M ₒ ərərsizliyi ödənilir. 2)İxtiyri ε 0 ədədi üçün X çoxluğunun elə x ₒ elementi vr ki, xₒ M-ε ərərsizliyi ödənilir. X çoxluğunun dəqiq yuxrı sərhədi M ₒ =sup X ilə işrə olunur, sup işrəsi ltınc mənsı "ən yüksək" oln supremum sözündən götürülmüşdür. X çoxluğunun ütün elementləri hər hnsı sit m ədədindən kiçik olmdıqd,yəni hər ir xєx üçün x M (2) ərərsizliyi ödənildikdə, X çoxluğun şğıdn məhdud çoxluq deyilir. Aşğıdkı 2şərti ödəyən m ₒ ədədinə X çoxluğunun dəqiq şğı sərhədi deyildir: 1.İstənilən xєx üçün x m ₒ ərərsizliyi ödənilir. 2.İxtiyri ε 0 ədədi üçün X çoxluğunun elə x ₒ elementi vr ki, m ₒ +ε xₒ Burdn ydındır ki, X çoxluğunun dəqiq şğı sərhədi onun şğı sərhədlərindən ən öyüyüdür. X çoxluğunun dəqiq şğı sərhədi m ₒ =inf X ilə işrə edilir;inf işrəsi ltınc mənsı "ən şğı" oln infimum sözündən götürülmüşdür. Aşğıdn və yuxrıdn məhdud oln çoxluğ məhdud çoxluq deyilir.burdn ydındır ki, X çoxluğunun ütün x elementləri üçün M x (3) ərərsizliyi və y -M x M (4) münsiəti ödənilir.bunu məhdud çoxluğun tərifi kimi də qəul etmək olr. Doğrudn d, istənilən xєx üçün (4) münsiəti ödənildikdə, X çoxluğu şğıdn və yuxrıdn məhdud olr.

18 18 Məhdud olmyn çoxluğ qeyri-məhdud çoxluq deyilir. Deməli, X çoxluğunun qeyri məhdud olmsı o deməkdir ki, istənilən müsət M ədədi üçün həmin çoxluğun elə xₒ ЄX elementi vr ki, M xₒ olur.çoxluğun şğıdn və y yuxrıdn qeyri-məhdud olmsının tərifini nloji olrq söyləmək olr. Aydındır ki, yuxrıdn qeyri-məhdud çoxluğun dəqiq yuxrı və şğıdn qeyriməhdud çoxluğun dəqiq şğı sərhədi yoxdur. Misl 1. Nturl ədədlər çoxluğu N={1,2,...,n,...} şğıdn məhduddur: n 1 (n=1,2,...) Yuxrıdn isə qeyri-məhduddur.bundn əlvə N çoxluğunun dəqiq yuxrı sərhədi yoxdur. Misl 2. X=[,] və X=(,) (<) çoxluqlrı şğıdn və yuxrıdn və yuxrıdn məhduddur.hər iki çoxluq üçün: =inf X və =sup X

19 19 9. Elementr funksiylrın kəsilməzliyi f(x)=c (sit) və f(x)=x funksiylrı ütün ədəd oxund kəsilməyən olduğundn kəsilməyən funksiylrın hsili hqqındkı teoremə görə f(x)=cxⁿ funksiysı d ütün ədəd oxund kəsilməyən olr.ond P(x)= C ᵣ x ᵏ n k=0 çoxhədlisi də ütün ədəd oxund kəsilməyən funksiydır.hər ir R(x)= ₒ xⁿ+₁ xn ⁿ ₒ x ᵏ+₁ x ᵏ ᵏ rsionl funksiysı isə iki kəsilməyən funksiynın nisəti olduğundn,məxrəcin sıfr çevrilmədiyi ütün nöqtələrdə kəsilməyən olr. f(x)= ˣ ( 0) üstlü funksiysı ütün ədəd oxund, f(x)= log x ( 0, 1) loqrifmik funksiysı isə (0, ) intervlınd kəsilməyəndir. f(x)=sin x və f(x)=cos x funksiylrı ütün ədəd oxund kəsilməyən olduğundn onlrın nisəti oln: f(x)= sin x cos x =tg x və f(x)= cos x sin x = ctg x funksiylrı d məxrəcin sıfr çevrilmədiyi ütün nöqtələrdə kəsilməyən olr. Tərs triqonometrik funksiylrın kəsilməzliyi isə tərs funksiynın kəsilməzliyi hqqındkı teoremdən ydındır. Məsələn,unu φ(x)=rc sin x funksiysı üçün π göstərək.f(x)=sin x funksiysı [- 2, π ] prçsınd təyin olunmuş,kəsilməyən 2 və rtn funksiy olduğundn onun tərs funksiysı [-1,1]prçsınd kəsilməyən olr. Eyni qyd ilə də hiperolik və tərs hiperolik funksiylrın vrlıq olstlrınd kəsilməzliyini yoxlmq olr. Beləliklə, şğıdkı təklifi lrıq: Bütün elementr funksiylr təyin olstlrının hər ir nöqtəsində kəsilməyəndir.

20 20 10.Silindrik səthlər Verilən düz xəttə prlel qln və verilən L xəttini kəsən mütəhərrik düz xəttin cızdığı səthə silindrik səth deyilir.bu hld L xətti səthin yönəldicisi,hərəkət edən düz xəttin ütün mümkün vəziyyətləri isə səthin doğurnlrı dlnır. Əgər verilən düz xətt olrq fəzd koordint oxlrının irini götürsək,ond doğurnlrı həmin ox prlel oln silindrik səth lrıq.verilmiş F(x,y)=0 (1) tənliyi, doğurnlrı Oz oxun prlel oln silindrik səthi təyin edir. Doğrudn d (1)tənliyinin təyin etdiyi səthi (s) ilə və onun istənilən nöqtəsini M ₒ (x ₒ,y ₒ,z ₒ ) ilə işrə etsək,ond istənilən nöqtəsi də həmin səth üzərində yerləşər.bu o deməkdir ki, M ₒ nöqtəsindən keçən və Oz oxun prlel oln düz xətt tmmilə (s) səthi üzərində yerləşir,yəni (s) səthi,doğurnlrı Oz oxun prlel oln silindrik səthdir. (1) tənliyi Oxy müstəvisi üzərində (s) səthinin L yönəldici xəttini təyin edir.bu xəttin fəz koordint sisteminə görə tənliyi, { F ( x, y )=0 z=0 olr. Burdn ydındır ki, F₁(x,y)=0 (2) tənliyi doğurnlrı Oy oxun prlel oln silindrik səthin F2(y,z)=0 tənliyi isə doğurnlrı Ox oxun prlel oln silindrik səthin tənliyidir. Elliptik silindr, x ² ² + y ² ² =1 tənliyi ilə təyin olunmuş və doğurnlrı Oz oxun prlel oln silindrə deyilir. Elliptik silindin yönəldicisi Oxy müstəvisi üzərində yerləşən ellipsdir. x ² ² - y ² ² =1 və y²=2px tənlikləri ilə təyin olunn və doğurnlrı Oz oxun prlel oln silindrik səthlərə uyğun olrq hiperolik və prolik silindrlər deyilir. Elliptik,hiperolik və prolik silindrlərə ikitərtili silindrlər deyilir.

21 21