E.Q. Orucov TƏTBİQİ FUNKSİONAL ANALİZİN ELEMENTLƏRİ

Transcript

1 E.Q. Orucov TƏTBİQİ FUNKSİONL NLİZİN ELEMENTLƏRİ Baı 8 3

2 Elmi redator: BDU-u Tətbiqi riyaziyyat afedrasıı müdiri, ME-ı aademii Qasımov M.G. Rəyçilər: fizia-riyaziyyat elmləri dotoru, rofessor İsgədərov N.Ş. fizia-riyaziyyadoset Nəbiyev elmləri dotoru, İ.M. Elşar Qurba oğlu Orucov. Tətbiqi fusioal aalizi elemetləri: Baı BDU əşriyyatı, 8, 34 səh. Dərs vəsaiti Riyaziyyat, Tətbiqi riyaziyyat, İqtisadi iberetia və Fizia itisasları üzrə təhsil ala tələbələr və Fusioal aaliz, Tətbiqi fusioal aaliz, di diferesial oeratorları setral əzəriyyəsi, Riyazi fiziaı tərs məsələləri fələrii tədris edə müəllimlər üçü əzərdə tutulmuşdur. Buula yaaşı vəsaitdə metri, ormalı, Baa və Hilbert fəzalarıı ümumi əzəriyyəsii əsas alayışlarıı geiş təhlili verildiyidə, bu fəzalarda lassi və müasir fusioal aaliz metodları və oları tətbiqləri ətraflı təhlil edilərə öyrəildiyidə o, fizii, teii, iqtisadi, idarəetmə və təzimləmə məsələlərii həlli zamaı müasir riyazi-iformativ üsulları tətbiq etmə üçü tətbiqi riyaziyyatçılar və mühədislər tərəfidə də istifadə edilə bilər. 4

3 Müdəricat Giriş...6 I FƏSİL METRİK VƏ XƏTTİ NORMLI FƏZLR. Cəmlər və iteqrallar üçü Hölder və Miovsi bərabərsizliləri...8. Metri fəzalar Metri fəzalarda omat çoluqlar Dolu metri fəza haqqıda Ber teoremi Metri fəzaı doldurulması Sıılmış iias risii. Fredholm tili iteqral təlilər Ümumiləşmiş sıılmış iias risii və ou Volterra tili iteqral təlilərə tətbiqi Xətti ormalı fəzalar Xətti ormalı fəzalarda sıralar...6. Bazisli və searabel fəzalar Hilbert fəzası...7. və L fəzaları...76 L 3. Elemeti qabarıq və qaalı çoluqda ə yaşı yaılaşması

4 4. Beo Levi teoremi. Ortoqoal royesiya. Hilbert fəzasıı ortoqoal ayrılışı Tam elemetlər sistemi. Parseval bərabərliyi Searabel Hilbert fəzalarıda bazisli. Searabel fəzaları izomorfluğu... I I FƏSİL XƏTTİ OPERTORLR VƏ XƏTTİ FUNKSİONLLR 7. Xətti oeratorlar Xətti ormalı fəzada məhdud oeratorlar Məhdud oeratorlar fəzası...4. Xətti oeratoru məhdud tərsii varlığı şərtləri...3. Kəsilməz fusioal və ou Hilbert fəzasıda ümumi şəli Xa Baa teoremi və oda çıa əticələr Xətti ormalı fəzada qoşma oeratorlar Hilbert fəzasıda məhdud oeratoru qoşması Öz-özüə qoşma məhdud oeratorlar Qeyri-məhdud oeratoru qoşması. Simmetri oeratorlar Qaalı oeratorlar Öz-özüə qoşma oeratoru setri və rezolvet 6

5 çoluğu Solu ölçülü oeratorlar Tamam əsilməz oeratorlar Solu ölçülü oeratorlar üçü Fredholm əzəriyyəsi Tamam əsilməz oeratorlar üçü Fredholm əzəriyyəsi Tamam əsilməz oeratoru setri Hilbert fəzasıda ətti oeratoru setri Tamam əsilməz öz-özüə qoşma oeratoru məsusi fusiyalarıı assələri Sosuz aralıqda diferesiallama oeratoruu setri...4 Ədəbiyyat...3 7

6 I FƏSİL METRİK VƏ XƏTTİ NORMLI FƏZLR. Cəmlər və iteqrallar üçü Hölder və Miovsi bərabərsizliləri Tutaq i, itiyari verilmişdir. Göstərə i, >, q > a b ədədləri üçü a a,...,,..., a, b b ədədləri + şərtii öd əyə istəilə q b q q. () Xüsusi halda q olarsa, burada alıır i, a b a b. () () bərabərsizliyiə Hölder bərabərsizliyi, ()-yə isə Koşi-Büyaovsi bərabərsizliyi deyilir. Əvvəlcə aşağıdaı lemmaı isbat edə. Lemma. a >, b > və + q >, q > ədədləri üçü şərtii ödəyə 8

7 q a b ab +. (3) q İsbatı. y ( > ) fusiyasıa baaq. Bu fusiyaı birqiymətli tərsi var və bu tərs y olur. + q bərabərliyidə taırıq i, q. q q Burada q, q q, q. q q Oda y q. XY oordiat m üstəvisi üzəridə y əyrisii və a, y b düz ətlərii çəə. OM fiquruu sahəsii S ilə, OBN -iii isə S ilə işarə edə. y b B S N y - y q- M S a 9

8 a d S a a, S S + ab, ydıdır i, b q q q b dy y S. Nəticədə ab q b a q +. Lemma isbat edildi. İdi () bərabərsizliyii isbat edə. a, q q b B B b a, ədədləri qəbul edə və ə (3) bərabərsizliyii tətbiq edə: q q qb b a B b a +., qiymətləridə alıa bərabərsizliləri cəmləyə:. ; q q q q b a B q B B q b B q a b a B Oda B b a. və B -i qiymətlərii əzərə alsaq, ()-i alarıq. İdi isə () bərabərsizliyidə istifadə edərə aşağıdaı bərabərsizliyi isbat edə:

9 b a b a + +, (4) burada. Bu bərabərsizliyə Miovsi bərabərsizliyi deyilir. > olduqda alıa + a + b b a (5) bərabərsizliyiə Koşi-Miovsi bərabərsizliyi deyilir. ydıdır i, ( ) ( ) ( ) a b a a mləri + b b b a. Sağ tərəfdəi cə hər biriə Hölder bərabərsizliyii tətbiq edə. Nəticədə alırıq i, ( ) ( ) ( ) q q b a a b a ( ) ( ) ( ) ( ) + +. q b a b q q olduğuda q q b a +. Hər tərəfi q -yə vuraq və q olduğuu əzərə alaq:

10 b a +. -ı ifadəsii yeriə yazsaq, (4)-ü alarıq. Hölder və Koşi-Miovsi bərabərsizliləridə şərtilə limitə eçsə, alarıq i, q b, q a b a.,, > q b a b a l Burada fərz edilir i, sağ tərəfdəi sıralar yığılır. Tutaq i, ( ) ( ) q t y fusiyaları ( ) b a, t və itervalıda Lebeq məada iteqrallaadır. Göstərə i, () () () () q b a q b a b a dt t y dt t dt t y t. (5) () b a dt t və () q b a q dt t y B işarə edə. ( ) t və () B t y fusiyalarıa lemmaı tətbiq edə: () ( ) ( ) ( ) q q qb t y t B t y t + Hər tərəfi -da -yə qədər iteqrallayaq: a b

11 B b a q () t y() t dt () t dt + y() t b a q b a q dt +. q və B -i ifadələrii yeriə yazsaq, (5) bərabərsizliyii alarıq. (5) bərabərsizliyidə aşağıdaı bərabərsizli alıır: b a () t + y() t dt () t dt + y() t b a a dt. (6) (5) və (6) bərabərsizliləriə uyğu olaraq Hölder və Koşi Miovsii iteqral bərabərsizliləri deyilir. b. Metri fəzalar Tərif. Əgər X çoluğuu hər bir və y elemetləri cütüə aşağıdaı şərtləri ödəyə həqiqi ( y) ρ ədədii X, qarşı qoymaq mümü olarsa, oda bu çoluq metri fəza adlaır: ) ρ (, y). ρ (, y) yalız və yalız o zama X olur i, X y olsu. ) ρ (, y) ρ ( y, ). X X 3) ρ (, y) + ρ ( y, z) ρ (, z) (üçbucaq X X bərabərsizliyi). X 3

12 ρ (, y) ρ(, y) ədədiə və y elemetləri arasıdaı X məsafə deyilir. deyilir. Əgər Yuarıdaı şərtlərə metria asiomları olduqda ρ(, ) olarsa, oda deyirlər i, X me tri fəzasıı elemeti bu fəzaı,..., ardıcıllığı,... elemetlər ardıcıllığıı limitidir. Teorem. Əgər istəilə { } İsbatı. X metri fəzasıı { } elemetlər X elemetiə yığılırsa, oda bu ardıcıllığı alt ardıcıllığı da həmi elemetə yığılır. { } elemetlər ardıcıllığıı elemetiə yığılması o demədir i, (, ) ρ (, ). Teorem isbat edildi. ρ və burada alırıq i, Teorem. Metri fəzada { } ardıcıllığıı limiti varsa, bu limit yegaədir. İsbatı. Tutaq i, və y. Oda ε > üçü ρ (, y) ρ(, ) + ρ(, y) < ε müasibəti ifayət qədər böyü -lər üçü doğrudur. və y qeyd olumuş elemetlər və ε itiyari olduğuda bu bərabərsizli o zama mümüdür i, ρ (, y), yəi y olsu. Teorem isbat edildi. 4

13 Teorem 3. Əgər { } X ardıcıllığı X elemetiə yığıla rsa, oda ρ (, θ ) olumuş θ X elemeti üçü məhduddur. İsbatı. Doğ ədədləri hər bir qeyd ρ θ ρ ρ, θ ruda da, (, ) (, ) + ( ) ρ (, ) K. Çüi (, ) L + θ ρ ədədi ardıcıllıqları yığıldığıda məhduddur və deməli, (, ) hası L sabitii aşmır. Teorem isbat edildi. Tərif. Əgər ρ ədədləri hər E metri fəzasıı hər bir fudametal ardıcıllığı bu fəzaı elemetiə yığılırsa, oda dolu metri fəza deyilir. Misal. C [ a, b] fəzası. C [ a, b] ilə [ b] E fəzasıa a, arçasıda əsilməz ola bütü mümü fusiyalar çoluğuu işarə edə və orada məsafəi belə təyi edə: ( t), y( t) C[ a, b] üçü ρ (, y) ma ( t) y( t) a t b. salıqla göstərmə olar i, metria asiomlarıı hər üçü ödəilir. Məsələ, üçbucaq bərabərsizliyii göstərə. () t y( t) ( t) z( t) + z( t) y( t) ( t) z( t) + z( t) y( t) olduğuda ma a t b () t y( t) ma ( t) z( t) + ma z( t) y( t) a t b ρ (, y) ρ(, z) + ρ( z, y). a t b, yəi 5

14 Göstərə i, [ b] C a, fəzasıda yığılma mütəzəm yığılma ilə evivaletdir. Tutaq i, C [ a, b] üəyyə C [ a, b] ardıcıllığı bu fəzaı metriasıa görə m -yə yığılır: ρ (, ). Oda ε > ü çü elə ömrəsi var i, > olduqda ρ (, ) ma ( t) ( t) < ε. Burada ε a t b itiyari t [ a, b] üçü ( t) ( t) ( > ) () t lar ardıcıllığı [ a b ] də ( t) i, fusiya, - ε < ε ε. Bu göstərir -yə mütəzəm yığılır. Bu mühaiməi geriyə tə rar etmələ asalıqla göstərilir i, əgər əsilməz yə mütəzəm yığılırsa, oda ρ (, ). Göstərə i, [ a b] [ b] C a, ( t) fusiyalar ardıcıllığı ( t) - C, fəzası dolu fəzadır. İtiyari fudametal ardıcıllığıı götürə. Oda itiyari ε > üçü elə ömrəsi var i, >, m > olduqda ρ (, < ε, yəi m ) ε ( ) ( ) ε ma a t b t, t [ a, b] i, m > olduqda itiyari ε () t ( t) < ε m meyarıa görə m t < ε ε. Burada alırıq üçü. Oda mütəzəm yığılma üçü Koşi ( t) ardıcıllığı müəyyə ( t) fusiyasıa mütəzəm yığılır: ( t) ( t). ydıdır i, ( t) C[ a, b] 6

15 və ρ (, ). Deməli, C a, b -də hər bir fudametal [ ] ardıcıllıq yığılır. Oda C a, b [ ] dolu fəzadır. Misal. Bütü m əhdud { ξ, ξ,...} ardıcıllıqlar çoluğuu götürə və itiyari { η,,... η } üçü i i i y ardıcıllıqları ρ(, y) suξ η qəbul edə. rdıcıllıqlar məhdud olduğu üçü bu suremum soludur. salıqala göstərilir i, təyi etdiyimiz məsafə metria asiomlarıı ödəyir. Deməli, məhdud ardıcıllıqlar çoluğu metri fəza təşil edir. Bu fəzai m hərfi ilə işarə edəcəyi. Göstərə i, m fəzasıda yığılma oordiatlara görə yığılma ilə evivaletdir. Başqa sözlə, ardıcıllığı { ξ,,... ξ } ( ) ( ) { ξ, ξ,...} elemetlər elemetiə yığılarsa və, m olarsa, oda hər bir i üçü ξ ) ξ və tərsiə. ( i i olduğuda itiyari ε ε > üçü elə ömrəsi var i, > ε olduqda ρ ( ) (, ) suξ ξ < ε. Oda itiyari i i i i üçü ( ) ξ ξ < ε i i olar. Bu göstərir i, ( ) limξ ξ. Bu i i mühaiməi tərsiə davam etdirsə, alarıq i, oordiatlara görə yığılmada metriaya görə yığılma çıır. salıqla göstərilir i, m dolu fəzadır. 7

16 Qeyd. və y ( y y,..., ) R -də (,..., ),, y elemetləri arasıdaı məsafəi ρ(, y) i i y i düsturu ilə təyi d(, y) ma i i edirlər. ydıdır i, y i imi də təyi etmə olar. R -də məsafəi Misal 3. S fəzası. S ilə bütü mümü { ξ,,... ξ } ardıcıllıqları çoluğuu işarə edə və itiyari ii { η, η,...} elemetləri arasıdaı məsafəi aşağıdaı, y qayda ilə təyi edə: sıra istəilə ξ η ρ (, y). η i i + ξi i sırası bu sıra üçü majorat sıra olduğuda həmi, y S elemetləri üçü yığılır. -ci və -ci metria asiomlarıı ödəilməsi aydıdır. Üçbucaq t bərabərsizliyii yolayaq. Əvvəlcə göstərə i, ϕ () t + t ( t ) fusiyası artadır. Dogruda da, ϕ ( t) ( + t) >. İdi isə üçücü { ϕ,,... ϕ } z ardıcıllığıı 8

17 götürə. t + η ϕ ϕ ξ η və t ξ ( ) t ϕ t t + fusiyası u arta old ğuda t t t t + +. Deməli,. η ϕ η ϕ + η ϕ ϕ ξ η ϕ ϕ ξ ϕ ξ η ϕ ϕ ξ ϕ ξ η ξ η ξ Burada alırıq i, η ϕ η ϕ ϕ ϕ ξ ξ η ξ η ξ Bu bərabərsizliyi hər ii tərəfii -ya vursaq və -ya görə cəmləsə, alarıq i, ), ( ), ( ), ( y z z y ρ ρ ρ +. Deməli, metri fəzadır. Göstərə i, fəzasıda yığılma oordiatlara görə yığılmadır. Əvv fərz edə i,, yə S S əlcə i ), ( ρ. ydıdır i, hər bir qeyd edilmiş üçü ( ) ( ) ( ), ρ ξ ξ ξ ξ +. olduqda sağ tərəf sıfra yaılaşdığıda hər bir qeyd edilmiş üçü sol tərəf də sıfra yaılaşır. Oda olduqda ( ) ξ ξ. Bu göstərir i,. İdi tərsii ξ ξ ) ( lim 9

18 göstərə. Tutaq i, hər bir qeyd edilmiş üçü ( ) limξ ξ. Göstərə i, ρ (, ). İtiyari N atural ədədii götürə və ρ (, ) məsafəsii aşağıdaı imi yazaq: ρ(, ) σ + σ ξ ( ) ξ N + ( ) + ξ ξ N + ( ) ξ ξ + ξ ( ) ξ İtiyari ε > götürə. σ sırası yığıldığıda N -i elə ε seçmə olar i, σ <. Belə N ömrəsii qeyd edə. σ solu cəmdir və ou tolaalarıı hər biri olduqda sıfra yaılaşır. Oda lim σ və deməli, elə ε ε ömrəsi var i, > ε olduqda σ <. Oda ε ε olduqda ρ (, ) < + ε, yəi ρ (, ). salıqla göstərilir i, S fəzası dolu fəzadır. > ε Misal 4. l fəzası. i mümü həqiqi { ξ,,... ξ } işarə edə və itiyari i ξ < + şərtii ödəyə bütü ardıcıllıqları çoluğuu ilə {,,... }, y η η l elemetləri arasıdaı məsafəi aşağıdaı imi təyi edə: l

19 (, y) i ρ ξ η. () Göstərə i, sağ tərəfdəi sıra yığılır. ( ξi i ) ξ i ηi + η bərabərsizliyidə aydıdır i, i iη i sırası yığılır. ξ η i ξ ( ) i i i ξ η i i ξ ξ η + η müasibətidə aydı olur i, ()-dəi sıra yığılır. ()-lə təyi olumuş məsafə metriaı -ci və -ci asiomlarıı ödəyir. Üçbucaq bərabərsizliyii yolayaq. Sıralar üçü Miovsi bərabərsizliyiə görə i i i i ρ (, y) ξ η ( ξ ϕ ) ( ϕ η ) i i i i i i i i ξ ϕ i i i + ϕ η i i i ρ(, z) + ρ( z, y). İdi göstərə i, fəzasıda ( ) ( ) l { ξ, ξ,...} l ξ, ξ,... l elemetiə yığılması ardıcıllığıı { } aşağıdaı ii şərt ilə evivaletdir:. Hər bir qeyd edilmiş i üçü lim ξ ξ. ( ) i. İtiyari ε > üçü elə N N( ε ) ömrəsi var i, i

20 ( ε ) N > N olduqda i N + ( ) ξ i < ε istəilə,,... üçü ödəilir. Bu şərt oula evivaletdir i, ξ i i sırası -ə görə mütəzəm yığılır. Tutaq i, ( ), yəi ρ (, ). İtiyari ε > ədədii götürə. Oda elə ε ömrəsi var i, > ε olduqda ( ) ε ρ (, ) ξi ξi <. B urada alırıq i, i hər bir qeyd edilmiş i üçü ( ) ε ξ i ξ i <. Bu göstərir i, ( ) limξ ξ. l olduğuda ξ < +. Oda elə i i N ( ε ) ömrəsi var i, N N ( ε ) Miovsi bərabərsizliyiə görə i N + ξ i N + ( ) ( ) i i N + i i > olduqda ( ξ ξ ) < +ξ in ( ) ε ( ξ ξ ) + ξ ρ(, ) + ε. Beləlilə, N N ( ε ) ömrələri üçü i i i i i i N + + ξ i ε i. > olduqda ε +, +,... ε

21 -i qala solu sayda i N + i. ( ) ξ < ε şağıdaı sıraları əzərdə eçirə:,,...,ε qiymətləriə () baaq. () ( ) ε ξ i,..., ξi. (3) i N + i N + (3) sıraları solu saydadır v ə oları hər biri yığılır. Oda elə N ( ε ) ömrəsi taılar i, N N ( ε ) sıralarıı hər biri > olduqda (3) ε -də içi olar. ma { N ( ε ), N ( ε )} N( ε ) qəbul etsə, N( ε ) > olduqda () bərabərsizliyi itiyari üçü ödəilər. Mühaiməi tərsiə tərar etsə, göstərəri i,, l elemetləri yuarıdaı ii şərti ödəyirsə, oda ρ (, ). Göstərə i, l dolu fəzadır. İtiyari l fudametal ardıcıllığıı götürə və göstərə i, bu ardıcıllıq yığılır. fudametal olduğuda itiyari ε > üçü elə ömrəsi var i,, m > olduqda ε ε ( ε ) ( ) ρ (, ) m m ξi ξi <. (4) i 3

22 , m > () ξ i i, Burada alırıq i, ε olduqda hər bir qeyd edilmiş i üçü ) ( m) ξi ξi < olur, yəi bu i üçü ( ε ədədi ardıcıllığı fudametaldır. Oda o yığılır. Tutaq lim ξ ξ. { ξ,,... ξ } qəbul edə və göstərə i, ( ) i i və. (4) şərtidə alırıq i, itiyari N üçü l, m > ε olduqda N i solu cəm olduğuda orada limitə eçmə olar. Oda N ( ε ) ( m) ξ i ξi <. Sol tərəfdəi cəm N i şərtilə limitə eçsə alarıq i, i m şərtilə hədbəhəd ( ε ) ξi ξi alıar. Burada ε ( ) ξ i ξi < ε. (5) i ( ) Deməli, ( ξ ) ( ) ( ) i i ξ sırası yığılır. Digər tərəfdə ξi sırası da yığılır. Çüi l i. Oda Miovsi bərabərsizliyii tətbiq etsə, alırı q i, ξ i sırası yığılır. i Bu göstərir i, l. Digər tərəfdə (5) şərti göstərir i, 4

23 > olduqda ρ (, ) < ε, yəi. Beləlilə, l -də ε hər bir fudametal ardıcıllıq yığılır. Oda Misal 5. l ( > ) fəzası. l dolu fəzadır. l ilə elə { ξ,,... ξ } ədədi ardıcıllıqlar çoluğuu işarə edə i, ξ < + i i olsu. İtiyari, y öqtələri arasıdaı məsafəi l aşağıdaı imi təyi edə: ρ(, y) l i ξ i η i. fəzasıda olduğu imi burada da göstərilir i, təyi etdiyimiz məsafə metria asiomlarıı ödəyir və fəzadır. l dolu 3. Metri fəzalarda omat çoluqlar Riyazi aalizdə itiyari məhdud ədədi ardıcıllıqda yığıla alt ardıcıllığı ayrılması haqda Bolsao-Veyerştrass risiii ecə mühüm rol oyadığıı biliri. İtiyari metri fəzada bu mülahizəi söyləmə olmur. Lai omat çoluqlar adlaa çoluqlar var i, burada bu ayrılmalar mümüdür. 5

24 Tərif. Tutaq i, X itiyari metri fəzadır. M X çoluğu o zama omat adlaır i, bu çoluğu itiyari { } elemetləri ardıcıllığıda yığıla { } ardıcıllığıı ayırmaq mümü olsu. Əgər bu alt ardıcıllıqlarıı limitləri M -ə daildirsə, oda M çoluğua özüdə omat çoluq deyilir. Tərif. N X şəbəə adlaır i, itiyari ρ (, y) < ε bərabərsizliyi ödəilsi. alt çoluğu M çoluğu üçü o zama ε - M üçü elə y N olsu i, Teorem (Xausdorf). X metri fəzasıı M çoluğuu omat olması üçü zəruri, olduqda isə həm də afi şərt itiyari çoluğuu solu ε -şəbəəsii olmasıdır. X fəzası dolu ε > üçü M İsbatı. Zərurili. Tutaq i, M çoluğu omatdır, lai müəyyə ε > ədədi üçü ou solu ε -şəbəəsi yodur. İstəliə M öqtəsi vardır i, M öqtəsii götürə. Oda elə ρ(, ) ε öqtəsi. Əs halda yegaə M -də solu ε -şəbəə əmələ gətirərdi. Tutaq i, ρ(, ) ε, i,,, i i bərabərsizliyii ödəyə,..., M öqtələri müəyyə oluub. Şərtə görə öqtələr çoluğu,..., M -i ε -şəbəəsi olmadığıda elə 6

25 + M öqtəsi vardır i, ρ(, +) ε, ρ, ε,..., ρ(, ) ε. Bu rosesi sosuz davam ( + ) + etdirsə, istəilə m üçü ρ(, ) ε bərabərsizliyii m ödəyə öqtələr ardıcıllığıı alırıq. Bu ardıcıllıqda isə yığıla alt ardıcıllıq ayırmaq mümü deyil. Bu isə M - i omatlığıa ziddir. Kafili. Tutaq i, ε > üçü M çoluğuu solu ε -şəbəəsi var. olduqda ε şərtii ödəyə { ε } ədədi ard ıcıllığıı götürə və hər bir üçü ( ) ( ) ( ) { z z z }, m N,..., ε -şəbəəsii quraq. { } M ardıcıllığıa baaq. olduğuda istəilə N çoluğu M üçü ε-şəbəə M elemeti üçü ( ) ρ (, ) < ε z i bərabərsizliyi heç olmasa bir () z i N üçü ödəilir. Oa görə M elemeti heç olmasa bir ( ) K, ε ) < ε, ( z i i,,...,m ürəsidə yerləşir, yəi bütü M çoluğu və deməli, bütü { } ardıcıllığı bu ürələrdə yerləşir. Bu ürələr solu olduğuda və { } ardıcıllığı sosuz olduğuda bizim ardıcıllığı sosuz özüdə salaya heç olmasa bir ( ) ( ) { } alt ardıcıllığıı K z i, ε ) ürəsi taılacaq. ( 7

26 N M üçü ε -şəbəə olduğuda, əvvəli mühaiməi tərar etsə, alarıq i, biridə yerləşə { ( ) } ardıcıllığıı Bu yolla biz baıla ardıcıllıqda () () ( ), ( ) ( ) ( ), L ( m) ( m) ( m), L, L,, L, L, L, L L L, L, L, L ( ) K ( zi, ε ) ürələridə ( ) { } alt ardıcıllığı var. alt ardıcıllıqlarıı ayırırıq. Be lə i, hər bir soraı alt ardıcıllıq əvvəlii hissəsidir və olaraq müəyyə K ( ) ( z i m m -ci alt ardıcıllıqlar tam, ε ) ürəsidə yerləşir. Diaqoal alt ardıcıllıqlarıı düzəldə: ( ) ( ) (,, L, ), L Göstərə i, bu ardıcıllıq fudametaldır. Həqiqətə, ( ) və ( ) + + > olduqda -cı alt ardıcıllıqlara dail olduğuda və -cı ardıcıllıq ( ) K, ε ) ürəsidə yerləşdiyidə ( z i ( + ) ( ) (, ) ε ρ. +, { } Şərtə görə X fəzası doludur. Oda ( ) fudametal olmasıda ou müəyyə limitə yığılması ardıcıllığıı çıır. Bu isə { } ardıcıllığıda yığıla alt ardıcıllığıı 8

27 ayrılmasıı mümülüyüü isbat ed ir. Yəi M omat çoluqdur. Teorem isbat edildi. Nəticə. Dolu X metri fəzasıda yerləşə M çoluğuu omat olmas ı üçü afi şərt ε > üçü M -i omat ε -şəbəəsii olmasıdır. İsbatı. Göstərmə ifayətdir i, bu halda ε > üçü M -i solu ε -şəbəəsi var. Tutaq i, ε > verilmişdir və ε N çoluğu M üçü omat -şəbəədir. N omat çoluq olduğuda Xausdorf teoremiə görə N üçü N solu ε -şəbəəs i var. salı qla göstərilir i, N çolu ğu M üçü solu ε -şəbəədir. Doğruda da, götürsə, oda elə üçü elə z N var i, Nəticə isbat edildi. ε y N var i, ρ (, y) <. Həmi M y N ε ρ ( y, z) <. Oda ρ ( z, ) < ε. 4. Dolu metri fəza haqqıda Ber teoremi Əvvəlcə bir-birii dailidə yerləşə arçalar risii haqda Kator lemmasıı aaloqu ola aşağıdaı teoremi isbat edə. 9

28 Teorem (bir-birii dailidə yerləşə ürələr risii). Tutaq i, dolu E metri fəzasıda bir-birii dailidə yerləşə və radiusları sıfra yaılaşa qaalı ürələr ardıcıllığı verilmişdir (yəi hər bir soraı ür ə özüdə əvvəli ürəi dailidə yerləşir). Oda bu ürələri hər biriə dail ola yegaə öqtə vardır. ıla ürələr ( ) İsbatı. Ba ardıcıllığıı ( ) a,ε K a,ε, K,..., K(, ε ),... ilə işarə edə. Şərtə görə a ( ) K K... K... K K( a, ε ). Bu ürələri mərəzləridə düzəldilmiş a,..., a K ρ + K olduğuda a K( a, ε ) ( a a ) ε +,. ardıcıllığı fudametaldır. ardıcıllıq,... ardıcıllığıa baaq.. Oa görə a a olduqda ρ (, ) +, yəi a E fəzası dolu olduğuda bu a E elemetiə yığılır. K ( qeyd edilmiş ədəddir) ürəsii götürə. Oda a + +, a,..., a,... bu ürəyə daildir. K qaalı olduğuda a K. Deməli, a bütü ürələrə daildir. İdi tutaq i, bütü ürələrə dail ola a öqtəsidə fərqli öqtəsi vardır. Oda b ρ(, b) δ > a. a və b K,,,... olduğu üçü δ ρ( a, b) ρ( a, a )+ 3

29 ( a, b) ε + ρ. olduqda ε olduğuda bu bərabərsizli mümü deyil, yəi ürələri hər biriə dail ola a ədədi yegaədir. Teorem isbat edildi. İdi tutaq i, E metri fəzadır və M E. Əgər M E isə, oda deyəcəyi i, M çoluğu E -də hər yerdə sıdır. Əgər itiyari K E ürəsii dailidə M ilə əsişməyə K ürəsi varsa, oda deyəcə yi i, M çoluğu E -də K K və K M heç yerdə sı deyil. Deməli, bu halda. ydıdır i, heç yerdə sı olmaya çoluğu daili öqtəsi ola bilməz. Doğruda da, əgər M çoluğuu daili öqtəsidirsə, oda mərəzi -da ola (itiyari K ürəsii dailidə M -i sosuz sayda hədləri yerləşir) elə K ürəsi var i, K M. Bu isə M -i heç yerdə sı olmaya çoluq olmasıa ziddir, yəi M -i daili öqtəsi ola bilməz. Tərif. Hesabi sayda heç yerdə sı olmaya çoluqları birləşməsi şəlidə göstərilə bilə çoluğa birici ateqoriyalı çoluq deyilir. Qala çoluqlara iici ateqoriyalı çoluq deyilir. Teorem (Ber). Hər bir dolu metri fəza iici ateqoriyalı çoluqdur. 3

30 İsbatı. Əsii fərz edə. Tutaq i, E dolu fəzadır və birici ateqoriyalı çoluqdur. Oda E U M şəlidə göstərmə olar, burada M çoluqları E -də heç yerdə sı deyil. M heç yerdə sı olmadığıda radiusu -də içi ola elə K qaalı ürəsi var i, M K. ydıdır i, radiusu -də içi ola elə qaalı K K ürəsi var i, 4 M K və s., bu rosesi sosuz davam etdirə. Nəticədə biz bir-birii dailidə yerləşə K K ürələr ardıcıllığıı alırıq. Oları radiuslarıda təşil edilmiş ardıcıllıq sıfra yığılır və üçü... M K. E dolu olduğuda bir-birii dailidə yerləşə qaalı ürələr risiiə görə oları hər biriə dail ola yegaə E öqtəsi var. K olduğuda M. Deməli, E öqtəsi M çoluqlarıı heç biriə dail deyil. Bu isə E öqtəsi və M çoluqları üçü E U olmasıa ziddir. lıa ziddiyyət göstərir i, ateqoriyalıdır. Teorem isbat edildi. M E iici 3

31 Ber teoremi göstərir i, əgər E U M isə, oda M çoluqlarıı içərisidə daili öqtələri olaı var. İici ateqoriyalı çoluqları bəzə qalıq çoluqlar adladırırlar. Bu çoluqlar hesabi sayda açıq sı çoluqları əsişməsii özüdə salayır. Ber teoremidə çıır i, dolu metri fəzada itiyari qalıq çoluq orada sıdır. Əgər metri fəzada hər hası höm qalıq çoluqda doğrudursa, oda deyirlər i, bu höm sai hər yerdə ödəilir. Deməli, -ci ateqoriyalı çoluqlar sıfır ölçülü çoluqları roluu oyayır. Qeyd edə i, ölçüsü vahid ola -ci ateqoriyalı [,] X çoluğu mövcuddur. Beləlilə, sai hər yerdə alayışı Lebeq və Ber məada fərqlidir. Ber teoremidə birbaşa az istifadə oluur. dətə bu teoremi əticəsi ola gələcədə baacağımız Baa Şteyhaus, Telis Xelliqer və s. teoremlərdə istifadə oluur. 5. Metri fəzaı doldurulması Biliri i, dolu olmaya metri fəzalar var. İdi göstərəcəyi i, belə fəzaya müəyyə yei təbiətli elemetlər əlavə etmələ ou dolu fəzaya çevirmə olar. 33

32 Tutaq i, E və E metri fəzaları verilmişdir. E- dəi məsafəi ρ, E -dəi məsafəi ρ ilə işarə edə. Əgər E ilə E arası da elə f qarşılıqlı birqiymətli uyğuluğu olarsa i, bu uyğuluq məsafəi dəyişməsi, yəi itiyari, y E elemetləri üçü ρ ( f ( ), f ( y) ) ρ(, y) olsu, oda f - ə E -lə E arasıdaı izometriya deyilir. Bu halda və E fəzalarıa izometri fəzalar deyilir. E Metri fəzada daışarə bizi ou elemetlərii təbiəti yo, yalız elemetləri arasıdaı məsafə maraqladırdığıda izometri metri fəzaları tərifidə aydı olur i, izometri metri fəzaları eyiləşdirmə, yəi oları eyi fəza hesab etmə olar. Üçbucaq bərabərsizliyidə çıa bir əticəi qeyd edə: ρ (, y) ρ(, z) + ρ( z, y) müasibətidə alırıq i, ρ(, y) ρ( z, y) ρ(, z). Eyi qayda ilə ρ ( z, y) ρ(, y) ρ(, z). Deməli, ρ(, y) ρ( z, y) ρ(, z) () Tərif. Tutaq i, E metri fəzası verilmişdir. E metri fəzası aşağıdaı şərtləri ödədidə oa E fəzasıı doldurulması deyəcəyi:. E fəzası E -u alt fəzasıdır. 34

33 . E E. 3. E dolu fəzadır. Teorem. Hər bir metri fəzaı doldurulması var və izometriya öqteyi-əzərdə yegaədir, yəi i doldurulmasıdırsa, oda E və E izom İsbatı. E və etridir. E E - E fəzasıı itiyari fudametal { },{ y } (, ) ardıcıllıqlarıı götürə. Əgər lim ρ y deyəcəyi i, bu yazacağıq: { } ~{ y } ardıcıllıqlar evivaletdir yığılırsa, o biri də yığılır. Doğruda da, olarsa, oda və belə. Əgər ii evivalet ardıcıllığı biri isə, oda ρ ( y, ) ρ( y, ) + ρ(, ) müasibətidə çıır i, y. İdi isə ardıcıllıqlarıı E fəzasıı bütü mümü fudametal siiflərə elə bölə i, eyi siifdə yalız və yalız evivalet ardıcıllıqlar yerləşsi. Belə mümü ola siifləri çoluğuu elemeti { } y İtiyari E ilə işarə edə. Deməli, E -i evivalet ardıcıllıqlar sifidir., y E elemetlərii uyğu olaraq { }, ardıcıllıqlarıı götürə və məsafəi təyi edə: E E -da aşağıdaı qayda ilə 35

34 ρ (, y ) lim ρ(, y ). () Göstərə i, () li miti var. s ρ(, y ) ədədi ard ıcıllığıa baaq. Bu ardıcıllığı fudametallığıı araşdıraq. ydıdır i, s s + ρ( m ρ(, y m, y ) ρ( m ) ρ(, y m ). m, y m ) ρ( Burada () bərabərliyidə istifadə edə:, y ) ρ( s sm ρ ( y, ym ) + ρ(, m ),, m, çüi { } və { } s, y m ) + y fudametaldır. Beləlilə, ρ, y ) ədədi ardıcıllığı fudametaldır. Oda Koşi ( meyarıa görə bu ardıcıllıq yığılır. Deməli, () limiti var. Göstərə i, bu limit siiflərdə ardıcıllıqları seçilməsidə asılı deyil. { } və { y } y ardıcıllıqlarıı götürə. Yuarıda tətbiq etdiyimiz üsulla göstərilir i, ρ (, y ) ρ(, y ) ρ( y, y ) + ρ(, ) ( ), çüi eyi sifi ardıcıllıqları evivaletdir. Deməli, (, y ) lim ρ(, y ) lim ρ, yəi () limiti siiflərdəi ardıcıllıqları seçilməsidə asılı deyil. () ilə təyi olua məsafəi metria asiomlarıı ödədiyii yolayaq. 36

35 . ydıdır i, (, y ) oda ~ ρ. Əgər y olarsa, { } { y } və deməli, ρ (, y ) (, y ) ρ. Tərsi əg lim. Yəi ə, ər (, y ) ρ olarsa, oda ρ (, y ), yəi { } ~ { y }, oda y lim { } (, y ) ρ( y, ). ρ olması aydıdır.. 3. İtiyari, y, z E götürə. Oları { }, { } y, z ardıcıllıqlarıı götürə. E -də üçbucaq bərabərsizliyi doğru olduğuda ρ (, y ) ρ(, z ) + ρ( y, z ) şərtilə limitə eçsə, tələb ediləi alarıq. Göstərə i, E fəzası sözlə, göstərə i, E fəzası fəzasıa izometridir. İtiyari E -da elemetii. Burada E fəzasıı alt fəzasıdır. Başqa E fəzasıı müəyyə alt E elemetii götürə. -ə yığıla ardıcıllığı var. Doğruda da,,,... ardıcıllığı -ə yığılır və bu ardıcıllığı dail olduğu sifi atarıla siifdir. Hər bir E elemetiə bu qayda ilə qarşı qoyulmuş bütü siiflər çoluğuu R ilə işarə edə. Yuarıda qurduğumuz uyğuluq E ilə R arasıda qarşılıqlı birqiymətlidir. İtiyari, y E elemetlərii və olara uyğu, y R elemetilərii götürə. İtiyari { } və { } y y ardıcıllıqlarıı 37

36 götürə. Oda, y y. ρ (, y ) ρ( y), ρ (, ) + ρ( y, ) y müasibətidə alıır i, (, y ) ρ(, y) lim ρ E və, yəi (, y ) ρ(, y) ρ. Beləlilə, R E çoluqları izometridir. Oda olduğuu alırıq. Burada qeyd edə i, olduqda (, y ) ρ(, y) lim ρ əsilməzliyi assəsi deyilir. İdi göstərə i, və bu elemeti { }, y E E y müasibətiə məsafəi E E E. İtiyari elemetii ardıcıllığ ıı götürə. Tutaq i, itiyari ε > ədədi verilmişdir. { } ardıcıllığı fudametal olduğuda elə ömrəsi var i,, m > olduqda ε ε ρ (, y m ) < olur. Bu bərabərsizlidə m limitə eçə. Bu limit var, çüi həmi limit öqtəsi ilə elemeti arsıdaı məsafədir. Hər bir ε şərtilə E elemetiə E -u elemeti imi baırıq və bu siifdə ardıcıllıq olaraq,,... stasioar ardıcıllığı götürülür. Nəticədə alırıq i, ε (, y ) ε ρ < müasibəti > ε olduqda ödəilir. Bu göstərir i, lim. Deməli, itiyari E elemetii 38

37 E -i müəyyə elemetləri ardıcıllığıı limiti şəlidə göst ərmə olar. Bu göstərir i, həm də göstərdi i, ardıcıllığı elə E E ( E ) elemetiə yığılır. Nəhayət, göstərə i, ödəilir. Biz burada elemetii { } E dolu fəzadır. İ E fudametal ardıcıll ığıı götürə. Hər hası ömrəsii qeyd edə. tiyari E E olduğuda elə E elemeti vardır i, ρ(, ) < olur. Oda ρ (, m ) ρ(, ) + ρ(, m ) + ρ( m, m ) + ρ(, ) +,, m. < Deməli, m lim m (, ) ρ, yəi fudametal m, m ardıcıllıqdır. Oda bu ardıcıllıq müəyyə E sifii ardıcıllığıdır. Yuarıda qeyd etdiyimizə gör ə olur. Oda (, ) ρ(, ) + ρ(, ) < ρ(, ) ρ + bərabərsiz liyidə çıır i, lim ρ (, ), yəi <. Beləlilə, E -u hə r bir fudametal ardıcıllığı yığılır. Deməli, E dolu metri fəzadır. Beləlilə, E fəzası E fəzasıı doldurulmasıdır. İdi isə ou izometriya 39

38 öqteyi-əzərdə yegaəliyii, yəi izometriya dəqiqliyilə yegaəliyii göstərə. Tutaq i, E fəzasıı E doldurulması da var. Göstərə i, fəzalardır. İtiyari görə E və E -da başqa E izometri E götürə. Doldurulmaı tərifiə E E. Oda elə E ardıcıllığı var i, Deməli, fuda metaldır. Digər tərəfdə. E və E dolu fəzadır. Oda ardıcıllığı E fəzasıda da yığılır. Tutaq i, E -da. Bu qayda ilə biz hər bir E elemetiə E elemetii qarşı qoyuruq və bu elemet yegaədir. Bu qarşıqoymaı ϕ ilə işarə edə, yəi ( ) ϕ ; ϕ uyğuluqdur. E ilə E arasıdaı qarşılıqlı birqiymətli E olduqda alırıq i, ϕ ( ) olur. İdi isə itiyari, y E və olara uyğu, y E elemetlərii götürə. E -daı məsafəi ρ ilə, E -daı məsafəi ρ ilə işarə edə. ϕ -i qurulma qaydasıa görə elə, y E ardıcıllıqları var i,,, y y, ρ y y. Məsafəi əsilməzliyi assəsiə görə (, y ) lim ρ (, y ) lim ρ(, y ) (, y ) lim ρ (, y ) lim ρ(, y ) ρ. 4

39 Burada isə (, ) ρ(, y ) ρ. Dem əli, E və y E fəzaları izometridir. Yuarıdaılar bir ardıcıllığı ii limitə yığılması deyil. O yığılmalar ayrı-ayrı fəzalardadır. Teorem isbat edildi. 6. Sıılmış iias risii. Fredholm tili iteqral təlilər müəyyə Tutaq i, və E metri fəzaları verilmişdir. Əgər E qaydası ilə hər bir E elemetiə yegaə y E elemeti qar şı qoyulmuşsa, oda deyəcəyi i, E fəzasıı E fəzasia iiası və ya oeratoru verilmişdir. Bu halda yazaca ğıq: : E E. İdi tutaq i, : E E və B : E E3 oeratoları verilmişdir. Bu zama hər bir E elemetiə y E elemeti və bu elemetə z By B( ) E3 elemeti qarşı qoyulur. Bu qayda ilə E elemetiə z E3 elemetii qarşı qoya oeratora B və B imi işarə edilir. İtiyari E üçü İdi fərz edə i, özüə təsir edir: oeratorlarıı hasili deyilir və ( ) B( ) B. oeratoru E metri fəzasıda ou : E E. Bu halda imi işarə 4

40 edəcəyi. edəcəyi. məsafəi 3 və s qəbul Tutaq i, : E E oeratoru verilmişdir. E-dəi ρ, E -dəi məsafəi elemetii götürə. Əgər itiyari ε > ρ ilə işarə edə. E ədədi üçü elə δ > ədədi taılarsa i, ρ (, ) < δ olduqda ρ, ) < ε olsu, oda deyəcəyi i, oeratoru ( öqtəsidə əsilm əzdir. salıqla göstərmə olar i, oeratoru öq təsidə yalız o zama əsilməz olar i, -a yığıla itiyari E ardıcıllığı üçü lim olsu. Misal. [ a b] olumuş oeratora baaq: burada C, fəzasıda aşağıdaı düsturla təyi b y λ K(, t) y( t) dt + ϕ(), () λ sabit ədəd, ( t) a K, a, t b düzbucaqlısıda, ϕ () isə a b arçasıda verilmiş əsilməz fusiyalardır. ydıdır i, hər bir y ( t) C[ a, b] düsturu vasitəsilə qarşı qoyula fusiyasıa () y fusiyası əsilməzdir. 4

41 C[ a b] və deməli, oeratoru C [ a, b] y, fəzasıda bu fəzaı özüə təsir edir. Göstərə i, oeratoru C [ a, b] fəzasıda əsilməzdir. İtiyari y ( t) C[ a, b] götürə. ydıdır i, y y ϕ( ) λ K K(, t), t )] dt. fusiyasıı λ K(, t) y( t) dt + ϕ( ) λ K(, t) y b a məhduddur. bərabərlidə y y b a ( əsilməz )[ y(t) λ M ma y( t) y y ( t olduğuda (, t) b a ( t) dt a, t b vadratıda M ma K olsu. Oda aırıcı a b a t b λ K(, t) y( t) y ( t) dt a t b Burada ρ [ a b] ma y y a t b b a b ( t) dt λ M C, fəzasıdaı məsafədir. a ( b a) ρ( y y ) λ M, yəi ρ y y λ M ( b a) ρ( y ), y ( b a) ρ( y, y ).,. Burada aydı olur i, itiyari ε > ədədi verilərsə, ε δ λ M ( b a) qəbul etsə, ρ, y ) < δ y olduqda ρ ( y ) < ε (, y. Deməli, 43

42 oeratoru y elemetidə və deməli, bütü C [ a, b]-də əsilməz oeratordur. oeratorlar deyilir. Tərif. Tutaq i, E metri oeratoru verilmişdir. Əgər < α < ədədi olarsa i, itiyari (, y) αρ( y) Bu şəilli oeratorlara iteqral fəzasıda təsir edə şərtii ödəyə elə α, y E elemetləri üçü ρ, olsu, oda oeratorua sıa oerator deyilir. ydıdır i, sıa oerator bütü fəzada əsilməzdir. Doğruda da, əgər (, ) αρ(, ) isə, yəi ρ (, ) isə, oda ρ bərabərsizliyidə çıır i, (, ) ρ. Deməli,. Misal. Yuarıdaı misalda təyi etdiyimiz iteqral oeratora baaq. Orada göstərmişdi i, itiyari, y C[ a b] elemetləri üçü ρ( y, y ) M λ y, ( b a ) ρ ( ). Burada aydı olur i, λ M ( b a ) < y, y olduqda, yəi λ -ı λ < M ( b a) qiymətləridə b y λ K(, t) y( t) dt + ϕ( ) a oeratoru sıadır. Teorem (sıılmış iias risii). Tutaq i, E dolu metri fəzadır və bu fəzada sıa oeratordur. Oda bu 44

43 oeratoru yegaə tərəməz öqtəsi var, yəi elə yegaə elemeti var i, E olur. İsbatı. İtiyari E ıcıllıq düz elemetii qeyd edə və aşağıdaı qayda ilə ard əldə: ( ),...,...,,, 3 3 Göstərə i, ardıcıllığı fudametaldır. İtiyari və ömrələrii götürə və müəyyəli üçü fərz edə. m i, m > ( ) ( y y,, ) αρ ρ () bərabərsizliyii tətbiq etsə, aşağıdaıları yaza biləri: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (.,...,,,,, m m m m m m ρ α ρ α αρ αρ ρ ρ ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3,,,...,,,,,,,,,...,,,, m m m m m m m ρ α ρ ρ α αρ ρ αρ ρ ρ ρ ρ α ρ α ρ olduğuda alarıq i, ( ) ( ) [ ] ( )( ) ( ).,...,...,, α ρ α α α ρ α α α α ρ α ρ m m (3) 45

44 Burada isə, m olduqda ρ (, m ), yəi fudametal ardıcıllıqdır. E dolu fəza olduğuda ardıcıllıq yığılır. Tutaq i, bu E. sıa oerator olduğuda əsilm əzdir. Oda bərabərliyidə şərtilə limitə eçsə alar ıq i,. Deməli, oeratoru tərəməz öqtəsidir. Bu öqtəi yegaəliyii göstərə. Tutaq i, oeratoruu başqa tərəməz öqtəsi var: (, ) αρ(, ). Oda alırıq i, (, ) αρ(, ), ρ bərabərsizliyidə ρ. α > olduğuda ( α ) ρ(, ) bərabərsizliyidə alırıq i, (, ) Bu yalız və yalız o zama olar i, ρ (, ) olsu. Teorem isbat edildi. ρ., yəi Qeyd. Teoremi isbatıda aydı olur i, oeratoru tərəməz öqtəsi,..., ardıcıllığıı limitidir: lim. Burada E itiyari qeyd edilmiş elemetdir. Tərəməz öqtəi belə taılma qaydasıa ardıcıl yaılaşma üsulu deyilir. -a sıfırıcı,..., -ə -ci yaılaşma deyilir. Qeyd edə i, hər bir ardıcıl yaılaşmasıa tərəməz öqtəsii təqribi qiyməti imi baa biləri. Bu 46

45 zama müəyyə əta buraılacaq. ρ (, ) məsafəsiə mütləq əta deyəcəyi. Bu ətaı qiymətlədirə. (3) bərabərsizliyidə m + şərtilə limitə eçsə alar ıq i, α ρ(, ) ρ(, ),. (4) α Beləlilə, tərəməz öqtəsii -ci ardıcıl yaılaşma ilə əvəz etd idə mütləq əta üçü (4) qiymətlədirməsii al ırıq. ydıdır i, (4)-ü sağ tərəfi olduqda sıfra yaılaşır. İdi isə yuarıda təyi etdiyimiz iteqral oeratoru tərəməz öqtəsii öyrəə. Tərəməz öqtə fəzasıda y y, yəi təliyii həllidir. Burada fusiyalar, y( ) b y λ K(, t) y( t) dt + ϕ( ) a K (, t) və ( ) [ a b] C, (5) ϕ məlum əsilməz isə atarıla əsilməz fusiyadır. (5) təliyiə Fredholm iteqral təliyi deyilir. Yuarıda qeyd etdi i, λ < olduqda iteqral oeratoru sıa M ( b a) oeratordur. Oda (5) təliyii λ -ı göstərilə qiymətləridə C [ a, b] fəzasıda yegaə ( ) y həlli var. (5) təliyi yuarıda söylədiyimiz ardıcıl yaılaşma üsulu ilə 47

46 həll olua bilər. İtiyari əsilməz y ( ) fusiyasıı götürürü və aşağıdaı qayda ilə ardıcıl yaılaşmalar qururuq: y ( ) b y λ a K(, t) y ( t) dt + ϕ( ),..., b y ( ) y λ K(, t) y ( t) dt + ϕ( ). y ardıcıllığıı a C [ a, b] fəzasıda limiti, yəi ( ) fusiyalar ardıcıllığıı mütəzəm limiti ola y y ( ) fusiyası (5) təliyii həllidir. Bəzə (5) təliyiə ardıcıl yaılaşma üsuluu başqa formasıı tətbiq edirlər: y y ( ) ϕ( ), y ( ) ( ) λ K(, t) y ( t) dt,... qəbul edə. ydıdır i, bu fusiyalar əsilməzdir. Fərz edə i, b a b λ K(, t) y a ( t) dt,..., u ( ) sırası [ a, b] arçasıda mütəzəm yığılır və ou cəmii u( ) -lə işarə edə. Bu halda y ( ) fusiyası (5) təliyii həllidir. Doğruda da, ( ) y λ K, t) y ( t) dt bərabərlilərii,,..., b a ( 48

47 qiymətləridə cəmləsə və sağ tərəfə fusioal sıraları hədbəhəd iteqrallaması qaydasıı tətbiq etsə, alarıq i, y λ K(, t)y( t) dt. b ( ) a Bu bərabərliyi hər ii tərəfiə ( ) y ( ) ϕ( ) -i əlavə etsə və ϕ olduğuu əzərə alsaq, aşağıdaı alıar: b y( ) λ K(, t) y( t) dt + ϕ( ). Deməli, a y ( ) (5) təliyii həllidir. 7. Ümumiləşmiş sıılmış iias risii və ou Volterra tili iteqral təlilərə tətbiqi Teorem (ümumiləşmiş sıılmış iias risii). Tutaq i, E dolu metri fəzadır və bu fəzada əsilməz oeratordur. Əgər -ı müəyyə qüvvəti E -də sıa oeratordursa, oda öqtəyə malidir. İsbatı. İtiyari oeratoru yegaə tərəməz E öqtəsii qeyd edə və aşağıdaı qayda ilə ardıcıllığıı tərtib edə:,. ( ),..., 49

48 sıa oerator olduğuda əvvəli mövzudaı teoremi isbatıda aydı olur i, ardıcıllığı fudametaldır. E fəzası dolu olduğuda ardıcıllığı yığılır. Fərz edə i,. oeratoru əsilməz olduğuda. Başqa sözlə, Digər tərəfdə ( ). (). () Şərtə görə sıa oerator olduğuda ρ ( ) ( ) (, ) ρ( ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) αρ(, ) αρ( ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) α ρ(, )... α ρ (, ),. Bu göstərir i, () və () müasibətlərii sol tərəfidəi ardıcıllıqlar evivaletdir. Oda həmi ardıcıllıqlar eyi limitə malidir və deməli, öqtədir., yəi tərəməz İdi isə bu öqtəi yegaəliyii göstərə. Əvvəlcə göstərə i, -ı tərəməz öqtəsi öqtəsidir. -i də tərəməz bərabərliyii hər ii tərəfiə dəfə oeratoru ilə ardıcıl təsir edə: 5

49 3,,...,. sıa oerator olduğuda ou yegaə tərəməz öqtəsi var. Teorem isbat edildi. Fərz edə i, ( t) vadratıda, ϕ ( ) isə [ b] ( ) C[ a b] y, fusiyasıa b y λ K(, t) y( t) dt + ϕ a K, fusiyası a, t b ( ) a, -də əsilməzdir. İtiyari fusiaysıı qarşı qoyaq. Bu fusiya, aydıdır i, dədir. M ma K(, t) qəbul edə. İtiyari y y C[ a, b] a, t b alırıq i, λ a y y K, t) y ( t) y ( t) dt ( [ a b] C, -, üçü ( a) ρ( y, ), λ M ma y( t) y( t) dt λ M y a t b a ( y ) ( y ) λ K(, t) y y y dt λ K(, t) y dt λ K(, t) y y a a a dt, a λ M λ Mρ( y y )( t a) dt λ M ρ( y, y ) ( t a) dt. a 5

50 Deməli, y y ( y y ) ( ) a λ M ρ,. Bu! rosesi davam etdirsə, alarıq i, λ M ρ Burada isə ma y a b yəi ( ) ( a y ) y,!. ( b a) üçü λ M y ρ,! ( y y ) y y, α ( y y ) ρ( y, y ), α λ M ( b a) ρ,!. (3) olduqda α! ifadəsi sıfra yaılaşır. Oda -i ifayət qədər böyü qiymətləridə α! ifadəsi vahiddə içi olur. (3) müasibəti göstərir i, -i bu qiymətləridə sıa oeratordur. Ümumiləşmiş sıılmış iias risiiə görə bu halda y təliyi itiyari y y, başqa sözlə, ( ) λ K(, t) y( t) dt + ϕ( ) a λ üçü [ a b] (4) C, fəzasıda yegaə həllə malidir və həmi həll yeə də ardıcıl yaılaşma üsulu ilə taıla bilər. 5

51 (4) təliyiə Volterra tili iteqral təli deyilir. Beləlilə, əsilməz əmsallı Volterra tili iteqral təliyi həmişə əsilməz həlli var və bu həll yegaədir. Xüsusi halda, y λ K, t y t dt Volterra təliyii yalız deyilir. ( ) ( ) ( ) ( ) a y həlli var. Bu həllə trivial həll Qeyd edə i, Volterra təliyi Fredholm təliyii üsusi halıdır. Doğruda da, t t O K(,t) a b (, t) K, (, t), t < t qəbul etsə, (4)-ü belə yaza biləri: y ( ) λ ( t) y( t) dt + ϕ( ),. a 53

52 Bu isə Fredholm təliyidir. Volterra təliyi λ üçü həllə malidir. Lai Fredholm təliyi bu assəyə mali deyil. İdi isə aşağıdaı siqulyar iteqral təlilər sistemiə baaq: y ( ) f ( ) + λ K( t) Q( t) y( t) dt ( ) Burada y sütu vetor; sütu vetor; a, ( ) colo[ y ( ),..., y ( ) ]. (5) -atarıla ölçülü ( ) colo[ f ( ).., f ( ) ] f,. -məlum ölçülü K (, t) [ K (, t) ], Q( t) [ Q ( t)] j j -əsilməz ölçülü matris; a colo[ a,..., ], X a + oordiatlı sabit ölçülü sütu vetordur j ( j,, X -ifayət qədər böyü ədəddir). Əgər a < + a j olarsa, j I, əgər a + olarsa, j II qəbul edə. j Oda (5)-i belə yazmaq olar: y y j j ( ) f j ( ) + K j (, t) Qs () t ys () t dt, ( j I ) a, s j ( ) f j ( ) + K j (, t) Qs () t ys () t dt, ( j II ), s K (, t) və Q ( t) matrislərii, ümumiyyətlə, omles hesab ediri. (6) 54

53 ω j j Teorem. Tut aq i, (, t) [ K (, t)] m { [ X, ), t [ X, ] }, ( j I ); { [ X, ), t [, ] } ( j II ) ω, K atrisi hər bir oblastıda əsilməz məhdud ( t) malidir, Q ( t) matrisi [ ), j K j, elemetləriə -da əsilməz və mütləq iteqrallaadır, f ( t) vetor fusiya sı [ ), -da əsilməz və məhduddur. Oda X -i ifayət qədər böyü qiymətləridə (5) təlilər sistemi X < olduqda əsilməz məhdud yegaə y ( ) həlliə malidir. İsbatı. ( ) C[ X, ) ϕ, X məhdud vetor fusiyalar çoluğuu R ilə işarə edə. ϕ ( ), φ( ) R fusiyaları arasıdaı məsafəi ρ( ϕ, φ) su ϕ( ) φ( ) imi təyi edə. Burada ϕ maϕ i, i X < K ma başa düşülür. salıqla yolaılır i, R dolu metri fəzadır. R -də belə ətti oeratora baaq: ( ) f ( ) + K( t) Q( t) ϕ( t) dt ( X < ) ϕ, a j K j. (7) Şərtə görə ( t) c < K,. Oda f c < və ϕ c < olduğu üçü 55

54 ϕ ( ) f ( ) + K (, t) Q() t ϕ() t dt c 3 + cc Q() t c <, çüi [, ] [ X, ) Həm də alırıq i, ( ) C[ X, ) ϕ R. a j. ϕ. Deməli, ϕ R və Göstərə i, ϕ sıa oeratordur. Doğruda da, ϕ R və φ R üçü ( ) f ( ) K( t) Q() t ϕ()dt t ϕ +, Burada a ( ) f ( ) K( t) Q( t) φ( t)dt φ +, ϕ a ( ) φ( ) K(, t) Q() t ϕ() t φ() t csu ϕ X ( ) φ( ) Q() t dt. X,. dt Q () t mütləq iteqrallaa olduğuda X ədədii ifayət X qədər böyü götürmələ c Q() t dt α < müasibətii təmi edə biləri. Oda (8)-də alarıq i, su ϕ( ) φ( ) α su ϕ( ) φ( ), yəi ρ( ϕ, φ) 56

55 ( ϕ, φ), α < αρ. Deməli, oeratoru sıa oeratordur. Oda sıılmış iias risiiə görə R -də ϕ ϕ təliyii yegaə həlli vardır, yəi (5) iteqral təlilər sistemi malidir. Teorem isbat edildi. ( ) [ X, )-da əsilməz məhdud ( ) y həlli ardıcıl yaılaşma üsulu ilə taıla bilər: ( ) f ( ) y y, +, a ( ) f ( ) K( t)q( t) y ( t)dt burada,,,..., y ( ) ( ), [ X, ) y. y həlliə 8. Xətti ormalı fəzalar Tutaq i, E ətti fəzadır, yəi bu fəzada ii elemeti cəmi və elemeti itiyari omles ədədə vurulması əməlləri təyi olmuşdur və bu əməllər məlum asiomları ödəyir. Hər bir E elemetiə aşağıdaı şərtləri ödəyə həqiqi ədədii qarşı qoymaq mümüdürsə, oda E -yə ətti ormalı və ya sadəcə ormalı fəza deyilir:.. yalız və yalız o zama olur i, olsu. 57

56 . İtiyari omles λ ədədi üçü λ λ. 3., y E elemetləri üçü + y + y. Bu bərabərsizliyə üçbucaq bərabərsizliyi deyilir. Məsələ, Bu halda ədədiə elemetii orması deyilir. ( ),..., R Evlid fəzası ormalı fəzadır və bu fəzada vetoruu orması belə təyi oluur:. Hər bir ormalı fəza metri fəzadır. Doğruda da, E -də məsafəi (, y) y ρ () şəlidə təyi etsə, bu məsafə metria asiomlarıı üçüü də ödəyir. -ci asiomu ödəilməsi aydıdır. -ci və 3-cü asiomu yolayaq: (, y) y ( ) ( y) ρ y ρ( y, ); ρ (, y) y ( z) + ( z y) z + z y ρ(, z) + ρ( z, y). y () düsturuda üsusi halda alıır i, ρ (,). Deməli, elemeti orması ou sıfır elemetidə ola məsafəsii göstərir. Normaı aşağıdaı bəzi assələrii qeyd edə: 58

57 . y y. ( y) y y y İsbatı Oda y y. və y elemetlərii yerii dəyişsə, y y y olur. Bu ii bərabərsizlidə tələb olua alıır. (ormaı əsilməzliyi assəsi). Əgər isə, yəi ρ(, ) isə, oda olur. İsbatı. -ci assəyə görə. Şərtə görə olduqda sağ tərəf sıfra yaılaşır. Oda alarıq i,. 3 (cəmi əsilməzliyi). Əgə r, y y isə, oda + y y. + İsbatı. ( + y ) ( + y) ( ) + ( y y) + y y. Şərtə görə sağ tərəf sıfra yığılır. Oda sol tərəf də sıfra yığılır, yəi + y y. + 4 (ədədə vurmaı əsilməzliyi). Əgər elemetlər ardıcıllığı elemetiə, yığılarsa, oda λ λ. λ ədədlər ardıcıllığı λ ədədiə 59

58 İsbatı. λ əd ədi ardıcıllığı yığıla olduğuda məhduddur. ydıdır i, λ λ λ λ + λ λ λ ( )+ ( λ) λ + λ + λ λ, yəi λ λ. Yuarıda göstərdi i, or malı fəza metri fəzadır və bu fəzada metria () ilə təyi edilir. Tərif. Əgər E ormalı fəzası bu fəzada təyi olumuş () metriasıa görə dolu fəzadırsa, oda fəzası və ya B -fəza deyil ir. Baa fəzalarıa aid aşağıdaı misalları qeyd edə.. C [ a, b] fəzası. [ a b] belə təyi edilir: ma ( t) E -yə Baa C, fəzasıda elemeti orması a t b. Burada və ümumiyyətlə, aşağıdaı misallar ı hər biridə ρ (, y) y məsafəsi həmi fəzalarda əvvəllər təyi etdiyimiz məsafə ilə üst-üstə düşür.. m fəzası. Burada su imi təyi edilir. 3. l fəzası. Burada ξ imi təyi edilir. 4. l ( > ) fəzası. Burada 6 ξ imi

59 təyi edilir. İdi isə S fəzasıa baaq. S fəzasıda ormaı elə təyi etmə müm ü deyil i, bu ormaya görə məsafə bu fəzada əvvəllər təyi etdiyimiz məsafə ilə eyi olsu. Buu göstərə. Əsii fərz edə. Tutaq i, S fəzasıda elə təyi edilib i, bu ormaya görə məsafə əvvəli məsafə ilə üst-üstə düşür, yəi y ρ, ξ η ( y). + ξ η -ci oordiatı vahid, qala oordiatları sıfır ola elemetiə baaq: {,,...,,,..., } e e. Əvvəli ρ məsafəsiə görə e. Çüi o məsafəyə görə yığılma oordiatlara görə yığılmadır. e olduğuda e. ydıdır i, e. Çüi ardıcıllığı hər bir e həddii bir oordiatda başqa yerdə qala oordiatları sıfırdır. Deməli, e qəbul etsə, alarıq. e Digər tərəfdə e olur. Demə li,, e aldıq. 6

60 Bu isə ormaı əsilməzliyi assəsiə ziddir. lıa ziddiyyət fərziyyəmizi doğru olmadığıı göstərir. Deməli, S fəzasıda ormaı ecə təyi edi risə edə, bu ormaya görə məsafə həmi fəzada əvvəldə təyi etdiyimiz məsafə ilə eyi ola bilməz. 9. Xətti ormalı fəzalarda sıralar Tutaq i, E ətti ormalı fəzadır. İtiyari u E elemetləri ardıcıllığıı götürüb sırasıı düzəldə. Bu sıraı u S u u () üsusi cəmlər ardıcıllığıa baaq. ydıdır i, E. Əgər E -dəi ormaya görə lim u, yəi lim u S S S lim u u olarsa, oda deyəcəyi i, () sırası u elemetiə yığılır və u yazacağıq. ()-i elemetlərii ormalarıda təşil edilmiş aşağıdaı sıraya baaq: u u. () 6

61 Əgər () ədədi sırası yığılırsa, oda deyəcəyi i, () sırası mütləq yığılır. Teorem. Xətti ormalı E fəzasıı dolu olması üçü zəruri və afi şərt o u elemetləridə təşil olumuş istəilə sıraı yığılmasıı çımasıdır. mütləq yığılmasıda sıraı özüü İsbatı. Zərurili. Tutaq i, E dolu fəzadır. Göstərə i, ()-i yığılmasıda ()-i yığılması çıır. () yığıldığıda Koşi meyarıa görə ε > üçü elə ε ömrəsi var i, > olduqda itiyari atural ədədi ε üçü u u + < ε olur. Oda S + S u < ε. Deməli, üsusi cəmlər ardıcıllığı + u + fudametal ardıcıllıqdır. yığılır və deməli, () yığılır. S E dolu olduğuda bu ardıcıllıq Kafili. Tutaq i, E -də mütləq yığıla hər bir sıraı özü də yığılır. Göstərə i, E dolu fəzadır. İstəilə E fudametal ardıcıllığıı götürə. fudametal olduğuda atural ədədi üçü elə və + elemetləri vardır i, <. (3) + 63

62 Beləlilə, verilmiş ardıcıllığı alt ardıcıllığıı alırıq. (3) göstərir i, görə sırası yığılır. Oda fərziyyəmizə + ( ) + cəmlər ardıcıllığ sırası da yığılır. Bu sıraı üsusi olduğuda ardıcıllığı ı yığılır. Beləlilə, fudametal ardıcıllığı yığıla altardıcıllığıa malidir. Bu halda biliri i, bu ardıcıllığı özü də yığılır. Oda E dolu fəzadır. Teorem isbat edildi. sırası Qeyd edə i, () yığılırsa, oda ou u qalıq + olduqda sıfra yığılır.. Bazisli və searabel fəzalar Tutaq i, ətti ormalı E fəzasıda e,..., e,... () elemetləri ardıcıllığı verilmişdir. E elemetii yegaə qayda ilə e şəlidə göstərmə mümüdürsə, oda () elemetlə r sistemiə E -i bazisi, E -yə isə bazisli fəza deyilir. Burada -lər həqiqi ədədlərdir və sağdaı sıra ormaya görə yığılır. Qeyd edə 64

63 i, bazisi elemetləri ətti asılı deyil. Buu göstərə. Əsii fərz edə. Tutaq i, solu sayda elemetləri ətti asılıdır. Bu elemetləri biri, məsələ, e qalaları ilə ətti ifadə edilir: e e,...,e bazis λ e λe. Digər tərəfdə e e. Beləlilə, e -i () elemetləri vasitəsilə ii mütəlif qayda ilə ifadəsii aldıq. Bu isə bazisi tərifiə ziddir, yəi bazisi elemetləri ətti asılı deyil. Misal. l fəzasıda (,,...,,... ), e 3 (,,,...,,... ) (,,...,,... ) e, e elemetləri sistemi bazis təşil edir. Do ğruda da, { ξ,..., ξ,...} l elemetii götürə və göstərə i, ξ e. olduqda e ξ. Çüi şərtə görə ξ l + ξ olduğuda < + və bu sıraı qalıq sırası sıfra yığılır. Bu göst ərir i, lim ξ e, yəi ξ e. Göstərmə olar i, bu ayrılış yegaədir. Deməli, e elemetlər sistem i l -də bazisdir. 65

64 Əgər ətti ormalı E fəzasıda hər yerdə sı hesabi M çoluğu varsa, oda E -yə searabel Deməli,. M hesabidir;. M E E searabel fəzadırsa, oda elə fəza deyilir. M E var i,, yəi E üçü elə M ardıcıllığı vardır i, lim. Misal. R fəzası searabel fəzadır. Çüi rasioal ədədlər çoluğu hesabidir və R -də hər yerdə sıdır. Misal 3. Gö stərə i, [ ] C a, b fəzası searabel fəzadır. Həqiqi əmsallı bütü mümü çohədlilər çoluğuu P ilə, rasioal əmsallı çohədlilər çoluğuu Q ilə işarə edə. [ ] ydıdır i, Q P C a, b. Veyerştrass teoremiə görə hər bir əsilməz ( t) fusiyasıı [ a, b] -də müəyyə ( t) çohədlilər ardıcıllığıı mütəzəm limiti ilə göstərmə olar: ( t) ( t). [ a b] yığılma olduğuda C, -də yığılma oordiatlara görə lim. Bu göstərir i, P çoluğu C [ a, b] -də hər yerdə sıdır, yəi P C[ a, b]. Göstərə i, P Q. Həqiqi əmsallı ( t) a + a t a t çohədlisii götürə. a,...,a həqiqi ədədləri üçü elə r,...,r rasioal ədədləri var i, itiyari > 66 ε üçü

65 a r < ε ( +) j,,, j ma{ a, b}. r ( t) r + + r... + t + r t çohədlisii götürə. () t r( t) ( a ) + ( a r ) t + + ( a r ) t... r a r + a r j a r ε ε ma () t r() t ε, + a t b P və ε > üçü el j ə () t Q ε qəbul etsə, hər bir üçü elə ε ε < r ε. Deməli, r var i, r ε. r Q taılar i, r, yəi lim r. Bu göstərir i, P çoluğuu hər bir elemeti Q -ü limit öqtəsidir və deməli, həmi elemet Q -ü qaamasıa daildir. Q P. Digər tərəfdə Q C[ a, b] olduğuda Q C[ a, b] [ b] P Q C a, alarıq i,, yəi. Bu müasibətdə qaamaya eçsə, Q C[ a b], P Q C[ a, b] P,. Yuarıda göstərildiyi imi P C[ a, b]. Oda alırıq i, Q C[ a, b] Deməli,. Q rasioal əmsallı cohədlilər çoluğu C [ a, b] -də hər yerdə sıdır. Digər tərəfdə, Q hesabi çoluqdur, çüi 67

66 ou elemetləri hesabi sayda vasitəsilə təyi çoluqdur. Beləli r, r,..., arametrləri oluur və həmi arametrlər hesabi lə, [ a b] C, searabel fəzadır. Misal 4. Göstərə i, m fəzası searabel deyil. Qeyd { } m edə i, m -i elemetləri məhduddur. ξ ardıcıllıqları çoluğua baaq. m fəzası searabeldir. Oda elə hesabi m çoluğu var i, m -də hər yerdə sıdır: suξ. Fərz edə i, oordiatları yalız və ola öqtələrdə ibarət bütü mümü elemetlərii götürüb ou J ilə işarə edə. [,] - m. m fəzasıı də yerləşə həqiqi ədədləri iili say sistemidəi ayrılışıda istifadə etsə asalıqla göstərmə olar i, çoluğu həqiqi ədədlər çoluğua evivaletdir. Deməli, çoluğu otiuum güclü çoluqdur. J J -i elemetləri arasıdaı məsafə -ə bərabərdir. Oda J -i hər bir elemetii mərəzi həmi elemetdə yerləşə və radiusu ola açıq ürələrlə əhatə etsə, bu ürələr cüt-cüt əsişmir və olar otiuum gücə malidir. Mərəzi ürəi { }, { } ξ J 3 -da yerləşə y η elemetləri üçü 68

67 ρ (, y) ρ(, ) + ρ(, y) +. Bu isə ola bilməz. Deməli, m Teorem. Bazisli ətti ormalı fəza searabeldir. İsbatı. Tutaq i, fəzası searabel fəza deyil. E bazisli ətti ormalı fəzadır və e,...,e bu fəzaı bazisidir. Göstərə i, E searabel fəzadır. İtiyari atural > ədədi üçü ilə r e şəilli bütü mümü elemetlər çoluğuu işarə edə. Burada r,...,r itiyari rasioal ədədlərdir. Bu çoluq solu sayda r,...,r arametrləri vasitəsilə təyi oluduğuda və hətta arametr hesabi çoluqda dəyişdiyidə bu çoluq hesabi çoluqdur. M U qəbul edə. Başqa sözlə, M r e şəilli bütü mümü elemetlər çoluğu olsu. Hesabi sayda hesabi çoluqları birləşməsi də hesabi çoluq olduğuda M çoluğu hesabidir. İdi göstərə i, M E. İtiyari E elemetii götürə. { e } sistemi bazis olduğuda elə həqiqi λ,...,λ ədədləri var i, λe, başqa sözlə, 69

68 lim λ e. () Hər bir qey d edilmiş ədədi üçü r ( ),, rasioal ədədlərii elə seçə i, ( ) λ r <, r, e olsu. ( ). ( ) ( ) r e (,) qəbul edə. Göstərə i, ( ) ( ) r ( ) e λe + λ e + λ e λ e +. (3) () müasibətiə görə lim. ( ) ( ) ( r λ ) e r ( ) ( λ ) e r λ e < < e e. Bu göstərir i, lim. Oda (3)-də alırıq i, ( ), yəi ( ) lim. Beləlilə, E elemeti üçü elə ( ) M ardıcıllığı var i, ( ) lim. Bu göstərir i, M çoluğu 7

69 E -də hər yerdə sıdır. Digər tərəfdə M hesabidir. Oda E fəzası searabeldir. Teorem isbat edildi. Bu teoremdə aydı olur i, m fəzası bazisə mali deyil. Çüi bu fəzada bazis olsa idi, oda fəza searabel fəza olardı. Qeyd. Teoremi tərsi, ümumiyyətlə, doğru deyil, yəi searabel fəza bazisə mali olmaya da bilər.. Hilbert fəzası Tutaq i, H ətti fəzadır və bu fəzaı itiyari, y elemetləriə aşağıdaı şərtləri ödəyə və bu elemetləri salyar hasili adlaa (, y) omles ədədi qarşı qoyulmuşdur:. (, ). (, ) olsu.. ( y) ( y, ),. 3. İtiyari omles yalız və yalız o zama olur i, λ ədədi üçü (, y) λ(, y) λ. 4. İtiyari, y, z H elemetləri üçü ( + y, z) (, z)+ ( y, z) +. Bu halda H -a uitar fəza deyilir. 7

70 Məsələ, asalıqla yo R lamaq olar i, fəzası uitar fəzadır və bu fəzada salyar hasil aşağıdaı imi təyi oluur: ( y), ξ η. Burada fərz ediri i, öqtələri o ordiatları omles də ola bilər. Əgər fəzaı i tiyari elemetləri üçü ( y), salyar hasili həqiqidirsə və 3-cü asiom həqiqi λ -lar üçü ödəirsə, oda H -a həqiqi uitar fəza deyilir. Salyar hasil i bəzi assələrii qeyd edə.. (, y) λ(, y) λ. İsbatı. (, λ y) ( λy, ) λ( y, ) λ(, y). (, ).. İsbatı. İtiyari y H götürsə, (, ) ( y y, ) (, ) ( y, ) y. 3. İtiyari, y, z H elemetləri və itiyari α, β ( α + βy, z) α(, z) + β ( y, z) ədədləri üçü. 4. Uitar fəzada aşağıdaı düsturla orma təyi edə: ( ), asiomları öd. ydıdır i, bu zama ormaı -ci və -ci λ λ, λ λλ, əilir. Belə i, ( ) ( ) 7