2 ΑΛΓΕΒΡΑ. 2.1 Ταυτότητες

Transcript

1 SECTIN ΑΛΓΕΒΡΑ. Ταυτότητες ( ) + ( + ) + + ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( )( + ) 3 3 ( )( + + ) ( + )( + ) 4 4 ( )( + )( + ) ( + )( + + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( )( ) ( + )( ) 6 6 ( )( + )( + )( + + ) ( + )( + ) ( + ) ( + + ) ( + )( + )( + + ) ( + + z) + + z + + z+ z ( + +z) z z + 3z + 3z + 3z + 6z ( + + z + w) + + z + w + + z + w + z+ w + zw Για ακέραιο θετικό έχουµε ( )( ) ( ) ( ) cos kp + k ÁÐÏ

2 SECTIN + k cos ( )p k ( )( ) ( ) ( ) cos kp + + k ( + )( + + ) ( ) ( + ) + cos kp + + k. Τύπος του ιώνυµου Για,, 3, ισχύει ο τύπος του διώνυµου ( ) ( + ) + +! ( )( ) ! 3 3 ή ( ) (Βλέπε και ιωνυµική σειρά) Οι διωνυµικοί συντελεστές ορίζονται µε τη σχέση k k ( )( ) ( + )! k! k!( k)! ÐËÇ όπου, k ακέραιοι µε 0 k, 0! και! 3 4. Ιδιότητες των ιωνυµικών Συντελεστών, k k k + k + + k +

3 SECTIN ( ) m m m [ ] m m m m m m ( ) 3 m m [ m ] m m m m 0 p + p + + p 0 + p ( ) Πίνακας ιωνυµικών Συντελεστών ÐËÇ k

4 4 SECTIN.3 Μιγαδικοί Αριθµοί Αν, πραγµατικοί αριθµοί και i η φανταστική µονάδα, ο z + i είναι ένας µιγαδικός αριθµός. Ο συζυγής µιγαδικός του + i είναι ο i. Το πραγµατικό µέρος και το φανταστικό µέρος του + i είναι αντίστοιχα Re(z) και Im(z). Μιγαδικό επίπεδο Ο µιγαδικός αριθµός + i παρι στά νεται από ένα σηµείο P µε τετµη µένη και τεταγµένη. ÐËÇ P Αν r + είναι το µήκος του διανύσµατος P, τότε η πολική µορφή του µιγαδικού αριθ- r µού είναι + i r(cosθ + isiθ) u όπου r το µέτρο ή η απόλυτη τιµή και θ η γωνία ή το όρισµα του µιγαδικού αριθµού. Σχ. - Πράξεις ( + i) + (c + di) + c + ( + d)i ( + i) (c + di) c + ( d)i ( + i)(c + di) c d + (d + c)i + i c + d + c d c+ di c + d c + d i [r (cosθ + isiθ )][r (cosθ + isiθ )] r r [cos(θ + θ ) + isi(θ + θ )] r(cosu+ isi u) r [cos( u u) + isi( u u r (cosu + isi u ) r )] Θεώρηµα του de Moivre Αν p πραγµατικός αριθµός, τότε [r(cosθ + isiθ)] p r p (cospθ + isipθ) Ρίζες Αν θετικός ακέραιος, τότε οι ρίζες -στής τάξης του µιγαδικού αριθµού είναι / / [ r(cosu+ isi u)] r cos u+ kp + isi u+ kp όπου k 0,,, 3,,. ÐËÇ

5 SECTIN 5.4 υνάµεις και Λογάριθµοι υνάµεις Για πραγµατικούς,, p, q ισχύουν οι εξής σχέσεις (µε την προϋπόθεση ότι κάθε όρος έχει νόηµα και οι παρονοµαστές είναι διάφοροι του µηδενός): p q p+q, p / q p q, q / p, ( p ) q pq p q, 0 ( 0), () p p p, p, p p p ( ), p Λογάριθµοι p p p, p p p Έστω c θετικός αριθµός διάφορος του. Αν c A (A θετικός), τότε ο εκθέτης καλείται λογάριθµος του Α µε βάση το c και συµβολίζεται µε log c A. Αν c 0, έχουµε τους δεκαδικούς λογάριθµους. Αν c e.788, έχουµε τους φυσικούς λογάριθµους, που συµβολίζονται µε l. log c c log c A B log c A + log c B Αλλαγή βάσης (log c )(log c) log A c logc A logcb B log c c, log c 0 log c A p plog c A log A logc A logc loga log c la l0 log 0 A log 0 A log 0 A log 0 e la la

6 6 SECTIN Με µιγαδικούς αριθµούς e iθ cosθ + isiθ siu e iu u i e i e iθ cosθ isiθ cosu e iu u + i e e i(θ+kπ) e iθ + i r(cosθ + isiθ) re iθ (re iθ )(qe iφ ) rqe i(θ+φ) (k ακέραιος, περιοδικότητα) i re i qe r q e u i( u f) f (re iθ ) p r p e ipθ (θεώρηµα του de Moivre) l(re iθ ) lr + iθ + kπi (k ακέραιος).5 Ρίζες Αλγεβρικών Εξισώσεων Εξίσωση πρώτου βαθµού Αν 0, υπάρχει µία ρίζα,. Αν 0 και 0, δεν υπάρχει ρίζα. + 0 Αν 0 και 0, κάθε αριθµός είναι ρίζα. Εξίσωση δεύτερου βαθµού + + c 0 (,, c πραγµατικοί, 0) ιακρίνουσα: D 4c Ρίζες 4c, ± Αν D > 0, έχουµε δύο πραγµατικές και άνισες ρίζες. Αν D 0, έχουµε δύο πραγµατικές και ίσες ρίζες. Αν D < 0, έχουµε δύο συζυγείς µιγαδικές ρίζες.

7 SECTIN 7 Σχέσεις µεταξύ ριζών Άθροισµα ριζών: + Γινόµενο ριζών: c Εξίσωση τρίτου βαθµού Έστω p c 0 q 9 7c 54 3, A q+ p 3 + q, B q p + q A+ B 3 Ρίζες A B ( + ) + i 3( A B) 3 3 ( A+ B) i 3( A B) 3 Αν,, c είναι πραγµατικοί και D p 3 + q η διακρίνουσα, τότε (i) µία ρίζα είναι πραγµατική και δύο µιγαδικές, εάν D > 0, (ii) όλες οι ρίζες είναι πραγµατικές και τουλάχιστον δύο είναι ίσες, εάν D 0, (iii) όλες οι ρίζες είναι πραγµατικές και άνισες, εάν D < 0. Εάν D < 0, οι υπολογισµοί απλουστεύονται. pcos ( u 3 ) 3 Ρίζες για D < 0: p 0 cos( u + 3 ) 3 3 pcos ( u ) 3 Σχέσεις µεταξύ ριζών + + 3, , 3 c, όπου,, 3 είναι οι τρεις ρίζες. όπου cosu q p 3

8 8 SECTIN Εξίσωση τέταρτου βαθµού Ρίζες c + d 0 Αν είναι µια πραγµατική ρίζα της τριτοβάθµιας εξίσωσης 3 + (c 4d) + (4d c d) 0 (ii) τότε οι 4 ρίζες της (i) είναι ρίζες των δύο δευτεροβάθµιων εξισώσεων z z 4d 0 { ± + } + { } (iii) Εάν όλες οι ρίζες της (ii) είναι πραγµατικές, ο υπολογισµός απλοποιείται, εάν χρησιµοποιήσουµε εκείνη τη ρίζα που δίνει πραγµατικούς συντελεστές για τη δευτεροβάθµια εξίσωση (iii). Σχέσεις µεταξύ ριζών (i) c 3 4 d όπου,, 3, 4 είναι οι τέσσερις ρίζες..6 Υπερβολικές Συναρτήσεις Ορισµοί Υπερβολικό ηµίτονο Υπερβολικό συνηµίτονο e sih e cosh e + e Υπερβολική εφαπτόµενη sih e th cosh e cosh e + e Υπερβολική συνεφαπτόµενη coth sih e e H τέµνουσα sech /cosh και η συντέµνουσα csch /sih δε χρησι- µοποιούνται συχνά. e + e

9 SECTIN 9 Ταυτότητες cosh sih sih + cosh cosh sih (sih + cosh) sih + cosh sih( ) sih cosh( ) cosh th( ) th coth( ) coth sih sihcosh cosh cosh + sih cosh sih + th th + th coth coth + coth sih3 3sih + 4sih 3 cosh3 4cosh 3 3cosh 3 3th + th th3 + 3th 3 coth + 3coth coth 3 3coth + sih4 8sih 3 cosh + 4sihcosh cosh4 8cosh 4 8cosh + 3 4th + 4th th th + th th cosh sih sih cosh +

10 0 SECTIN sih!cosh! cosh!cosh +! sih 3 #sih3.sih cosh 3 #cosh3 +.cosh sih 4 'cosh4!cosh + cosh 4 'cosh4 +!cosh + sih( ± ) sihcosh ± coshsih cosh( ± ) coshcosh ± sihsih th ± th th( ± ) ± th th coth coth ± coth( ± ) coth ± coth sih + sih sih!( + )cosh!( ) sih sih cosh!( + )sih!( ) cosh + cosh cosh!( + )cosh!( ) cosh cosh sih!( + ) sih!( ) sih( ± ) th± th coshcosh sih sih sih( + )sih( ) sih + cosh cosh( + )cosh( ) sihsih!{cosh( + ) cosh( )} coshcosh!{cosh( + ) + cosh( )} sihcosh!{sih( + ) + sih( )}

11 SECTIN Γραφικές παραστάσεις 5 5 Σχ. - sih Σχ. -3 cosh Σχ. -4 th Σχ. -5 coth Σχέσεις µε τριγωνοµετρικές συναρτήσεις si(i) isih t(i) ith sih(i) isi th(i) it cos(i) cosh cot(i) icoth cosh(i) cos coth(i) icot sih( ± i) sihcos ± icoshsi cosh( ± i) coshcos ± isihsi sih ± isi th( ± i) cosh + cos sih isi coth( ± i) cosh cos

12 SECTIN Αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις Αν sih, τότε η αντίστροφη συνάρτηση συµβολίζεται µε sih. Όµοια για τις άλλες υπερβολικές συναρτήσεις. Με το συµβολισµό αυτό νοούνται οι πρωτεύοντες κλάδοι, που εκφράζονται µε λογαρίθµους ως εξής: ( ) ( ) sih l + + < < cosh l + [cosh > 0 είναι η πρωτεύουσα τιµή] th coth l l + ( ) + ( ) Ιδιότητες sih ( ) sih cosh ( ) cosh th ( ) th coth ( ) coth coth th (/) Για k ακέραιο sih( + kπi) sih th( + kπi) th < < < ή > cosh( + kπi) cosh coth( + kπi) coth Γραφικές Παραστάσεις 5 5 Σχ. -6 sih Σχ. -7 cosh

13 SECTIN 3 Σχ. -8 th Σχ. -9 coth Σχέσεις µε αντίστροφες τριγωνοµετρικές συναρτήσεις si (i) isih sih (i) isi cos ±icosh cosh ±icos t (i) ith th (i) it cot (i) icoth coth (i) icot