8 ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

Transcript

1 SECTION 8 ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 8. Ορισµοί Έστω ότι η f () είναι ορισµένη στο διάστηµα. Αν το διάστηµα αυτό χωρισθεί σε ίσα υποδιαστήµατα µε µήκος ( )/ το ορισµένο ολοκλήρωµα της f () από το έως το ορίζεται µε τη σχέση f( ) lim{ f( ) + f( + ) + f( + ) + f( + ( ) ) } Αν η f () είναι τµηµατικά συνεχής (συνεχής σε υποδιαστήµατα του διαστήµατος ολοκλήρωσης) το όριο υπάρχει. Αν f ( ) d g ( ) τότε σύµφωνα µε το θεµελιώδες θεώρηµα του ολοκληρωτικού λογισµού είναι f d ( ) g ( ) g ( ) g ( ) g ( ) Αν το διάστηµα είναι άπειρο ή αν η f () έχει ένα ανώµαλο σηµείο στο διάστηµα ολοκλήρωσης το ορισµένο ολοκλήρωµα λέγεται γενικευµένο ολοκλήρωµα και µπορεί να ορισθεί κατάλληλα µε όρια. Έτσι π.χ. είναι f( ) lim f( ) f( ) lim f( ) f( ) lim f( ) f( ) lim f( ) αν είναι ένα ανώµαλο σηµείο αν είναι ένα ανώµαλο σηµείο Η πρωτεύουσα τιµή του Cuchy (που µπορεί να υπάρχει ακόµα και όταν το γενικευµένο ολοκλήρωµα δεν υπάρχει) ενός γενικευµένου ολοκληρώµατος f ( ) N ορίζεται ως το όριο lim f ( ) N. Όµοια για ένα ανώµαλο σηµείο N c στο εσωτερικό του διαστήµατος ολοκλήρωσης η πρωτεύουσα τιµή του Cuchy c ορίζεται ως το όριο lim ( ) ( ) + f + f. c+

2 SECTION 8. Γενικοί Κανόνες και Ιδιότητες [ f ( ) ± g( ) ± h( ) ± ] f ( ) ± g( ) ± h( ) ± cf ( ) c f ( ) f( ) f( ) f( ) c c f( ) f( ) + f( ) f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) [ολοκλήρωση κατά παράγοντες] f( ) ( ) f( c) για κατάλληλο c µεταξύ των και Αυτό είναι το θεώρηµα της µέσης τιµής για ορισµένα ολοκληρώµατα και ισχύει αν η f () είναι συνεχής στο διάστηµα. f( g ) ( ) fc ( ) g ( ) για κατάλληλο c µεταξύ των και Η σχέση αυτή αποτελεί γενίκευση του θεωρήµατος της µέσης τιµής και ισχύει αν οι f () και g() είναι συνεχείς στο και g(). d d f ( ) f( ) f( ) F F df F ( ) df [κανόνας του + ( f ) F( f ) f ( ) d d Liitz] f( ) f( ) { f ( ) f ( )}l Αυτό είναι το ολοκλήρωµα του Frulli και ισχύει αν η f'() είναι συνεχής και το f( ) f( ) συγκλίνει. f ( ) f ( ) M ( ) για f() M στο < <

3 SECTION ιάφορα Ολοκληρώµατα Με αλγεβρικές συναρτήσεις m ( ) m + ( + ) m+ + ( ) ( ) + l 3 ( m+ ) ( + ) m > > ( m+ + ) l l+ ( ) si( l+ ) < l < 4 ++ m [( m+ ) / ] ( + ) ( ) [( m+ ) / + + ] m m ( + ) ( ) ( ) + m+ ( m) ( ) ( m+ ) l < l < + si( l+ ) ( ) ( + ) m + m ( ) m> > > m + ( + + ) m + + m si[( m+ ) / ] < m+ <

4 4 SECTION 4c + + c cot > > 4c 4c + + si cos si si m ( + ) m ( ) [( m+ )/ ] si[( m+ ) / ]( )! [( m+ )/ + ] + < m+ < Με τριγωνοµετρικές συναρτήσεις Όλα τα γράµµατα-σύµβολα θεωρούνται θετικά εκτός αν δηλωθεί το αντίθετο. / / si cos si 4 cos 4 / si si si 4 4 / cos cos cos 4 4 m si msi m / m cos mcos / m m m m+ si mcos m m/( m ) m+ + si 4 6 ( ) ( ) cos 4 6 (( + )/ ) > ( / + ) / /

5 SECTION 5 / si si t cot < cos( / ) / / / + t 4 / + +. si ( ) / l si / t l si si m si m ( + ) m m > + m+ > m+ > / cos cos m + ( + ) m m > + m+ > m+ > / si cos m cos m ( + ) m m > + m+ > m+ > q + + / q si cos q > q + > cos ( / ) + cos /

6 6 SECTION + si + cos ± cos + ± si cos + ( / )l( ) + < l( + / ) > cos m m < m cos + ( + si ) ( + cos ) ( ) / / 3 > > ( si+ cos ) ± si ± cos ± / / ± si > ( ± si ) ( ± cos ) ( ± ) 3/ 4 ( ± ) / / + t / / + cot / / cos si + cos ( + ) si si + cos ( + ) ± si > > > > > si l t / > si / <

7 SECTION 7 si si q + q l q > q> / > q> si cosq / 4 q > q> > si si q / q > q q/ q> si cos cos cos q q l > q> cos cos q ( q ) q> > + si m 35 ( ) m> ( ) cos m m > m + si m m m > + si m m ( ) > m ( + ) si cos si 3/

8 8 SECTION si si si ( )si( / ) < < cos ( )cos( / ) < < / m > t m m / m < t t q l ( cos ) g + si( ) cos( ) > si( ) ( / ) si > / cos( ) ( / ) cos / > si( )cos cos si ( ) > cos( )cos cos si ( + ) > q

9 SECTION 9 Με εκθετικές συναρτήσεις > > > 3/ >! + 3 > ( + ) > > + [Γ() η συνάρτηση γάµα] l > > 6 + l + ( ) + ( ) ( )! z ( ) B > ( ) z ( ) > > [Γ() η συνάρτηση γάµα ζ() η συνάρτηση ζήτα του Rim] g

10 SECTION ( )! ( ) > ( B ) z ( ) + ( ) ( ) ( ) > > z [Γ() η συνάρτηση γάµα ζ() η συνάρτηση ζήτα του Rim] si + > cos + > si ( + ) > cos > ( + ) si t > ( )si u si / ( + ) > u si + cos + ( )cosu cos / ( + ) + c c+ c si( ) si cos + > + c c c cos( ) si cos + > > u si cos + +

11 SECTION c c si si [ + ( c) ][ + ( + c) ] > ( + c) si cosc > [ + ( c) ][ + ( + c) ] ( + + c ) coscosc > [ + ( c) ][ + ( + c) ] si coth > > si sih( / ) > > + cos l + + si t t ( cos ) cot l( + ) + ( cos ) l c + c (cos cos ) l + > > > > 4 cos / > >

12 SECTION ( + + c) ( c)/ ( ) 4 4 rfc rfc( z) > z + + ( c ) ( 4c )/ 4 ( + / ) > > g [γ ο αριθµός του Eulr] 35 ( ) > +! + > + ( + )/ + > > q ( ) + q + q q > > > Με λογαριθµικές συναρτήσεις l ± ( 3± ) 4 l ( + ) l l l l l l

13 SECTION 3 (l ) ( l ) 8 + (l )l( + ) l (l )l( ) 6 l l g l ( ) + > ( l ) ( + ) > l cot < < + si l ( ) + ( ) + k + + k l + 6 k k ( ) k l( ) + + k k k ( ) l k k l( + ) + ( + k ) 35 k k l( ± ) ( ± 3) > 4

14 4 SECTION! > q + ( ) q + ( l ) ( q + ) > q > q+ ( + ) l + l > q> q + q q si( ql ) + q > cos( ql ) + q > l(si ) l(cos ) l / / 3 [l(si )] [l(cos )] (l ) + 4 / / l(si ) l / / (si ) l(si ) (cos ) l(cos ) l ( ) l( + si ) l( + cos ) l + l( ± cos ) l + > l l( ± cos + ) > l > / l( ± cos ) l ± l ±

15 SECTION 5 / 4 l( + t ) l 8 / l( + t ) l + l / 4 l( t ) l l / l( + cos ) l( + cos ) (cos ) (cos ) cos { } / 4 l(si ) l l / 4 l(cos ) l + l l ( ) ( ) si si si si l( + si ) l( + cos ) l / / / l( si + cos ) l + > > / / l( + t ) l( + cot ) l( + ) > > l g l g l 3g l ( l + g)

16 6 SECTION l ( g + l ) 4 l( ± ) ( ± 3) 4 l l > + l( + ) l + l l ± ± cos si < < si l( + ) si( / ) < q< q+ q q Με υπερβολικές συναρτήσεις > sih 4 > cosh > cosh ( ) z( ) > > sih [Γ() η συνάρτηση γάµα ζ() η συνάρτηση ζήτα του Rim] ( ) > > ( ) + + cosh / sih si si th sih >

17 SECTION 7 cos cosh cosh ( ) > sih t sih q q q < q cosh cosh q qcos( / q) < q si th qsih( / q) q > si th q qth( / q) q > sih + si( / ) sih cot