Σήµατα και Συστήµατα ΗΜΥ220 24/1/2007. of them occurring as the solution of a problem indicates some inconsistency or absurdity.

Transcript

1 Σήµατα και Συστήµατα ΗΜΥ0 //007 Μιγαδικοί Αριµοί Παναγιώτης Παναγή, ηµήτρης Ηλιάδης, The imaginary expression a and the negative expression b, have this resemblance, that either of them occurring as the solution of a problem indicates some inconsistency or absurdity. As far as real meaning is concerned, both are imaginary, since 0 a is as inconceivable as a. -Augustus De Morgan Που χρησιµεύουν: Από τη εωρία των Σειρών Fourier, γνωρίζουµε πως οποιοδήποτε περιοδικό σήµα ανεξαρτήτως πολυπλοκότητας, µπορεί να προσεγγιστεί ως ένα άροισµα από απλούστερα σήµατα (ηµίτονα και συνηµίτονα). Η σχέση του Euler (78), e = cos + sin( ), που προκύπτει από τη εωρία Μιγαδικών Αριµών και των σειρών Taylor, απλουστεύει σηµαντικά την επίλυση αυτού του προβλήµατος. Ακόµη, οι µηχανικοί χρησιµοποιούν τη εωρία του Μετασχηµατισµού Fourier, οποίος µετατρέπει ένα σήµα από το πεδίο του χρόνου f(t) στο πεδίο της συχνότητας F(ω), και αντίστροφα. Αυτό γίνεται για να απλοποιήσουν τη µαηµατική ανάλυση των σηµάτων και συστηµάτων. Κι εδώ χρησιµοποιείται η εωρία των Μιγαδικών Αριµών. Τέλος ο Μετασχηµατισµός Laplace ο οποίος ανάµεσα σε άλλα χρησιµεύει στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων, χρησιµοποιεί ως εµελιώδη βάση του τους µιγαδικούς αριµούς. Τα πιο πάνω βρίσκουν ευρεία και πρακτική χρήση ανάµεσα σε άλλα στα: Πολυµέσα και στην επεξεργασία ψηφιακής εικόνας και βίντεο ηµιουργία, µετάδοση, συµπίεση και αναπαραγωγή ψηφιακών ήχων µουσικής (Synthesizers, MP3) Ανάλυση τάσεων και ρευµάτων σε κυκλώµατα Αυτόµατο έλεγχο (βιοµηχανία, αεροπλάνα κ.τ.λ.) Συστήµατα Παραγωγής Ηλεκτρικής Ενέργειας (λ.χ. πρόβλεψη κατανάλωσης) Τηλεπικοινωνίες (Ραδιοφωνία ΑΜ-FM, Κεραίες, Ασύρµατη κ.τ.λ.) Ηλεκτροµαγνητισµό και Ηλεκτρικές Μηχανές

2 Σήµατα και Συστήµατα ΗΜΥ0 //007 Α. Εισαγωγή Οι µιγαδικοί αριµοί εισήχηκαν, κατά τον 6 ο αιώνα, για την επίλυση προβληµάτων όπως π.χ. x + = 0. Συµβολίζοντας την µε i τότε µπορούµε να βρούµε την λύση της εξίσωσης: x = ± i. Υπό αυτήν την έννοια, ο σκοπός για τον οποίο εισήχηκαν οι µιγαδικοί αριµοί δεν διαφέρει σε τίποτα από αυτή των αρνητικών αριµών (για την επίλυση εξισώσεων όπως x + a= 0), των ρητών αριµών (για την επίλυση εξισώσεων όπως px + q= 0, p, q ακέραιοι) ή των άρρητων αριµών (για την επίλυση εξισώσεων όπως x = 0 ). Εδώ κάποιος α µπορούσε να ισχυριστεί ότι ο φανταστικός αριµός i =, σε αντίεση µε τους υπόλοιπους αριµούς (αρνητικούς, ρητούς κ.τ.λ.), στερείται παντελώς φυσικής υπόστασης καώς η τετραγωνική ρίζα του - απλά δεν υπάρχει. Παρ όλα αυτά, το ίδιο α µπορούσαµε να πούµε και για τους αρνητικούς αριµούς: µπορεί κάποιος να πει ότι έχει στο χέρι του -5 πέτρες; Εποµένως, η ύπαρξη των µιγαδικών αριµών δεν α πρέπει να εωρηεί ως αποκύηµα της φαντασίας των µαηµατικών που δεν εξυπηρετεί κανένα σκοπό, αλλά ως µια σηµαντική έννοια που µας επιτρέπει να επεκτείνουµε το πεδίο των µαηµατικών προβληµάτων που µπορούµε να επιλύσουµε. God created the integers, all the rest is the work of Man. -Leopold Kronecker Β. Ορισµός Ένας µιγαδικός αριµός ορίζεται ως το διατεταγµένο ζεύγος πραγµατικών αριµών a και b, ώστε: z=( a, b ) () Οι πραγµατικοί αριµοί a και b καλούνται το Πραγµατικό (Real) και Φανταστικό (Imaginary) µέρος του z, και γράφονται ως εξής: Re(z)= a () Im(z)= b (3) Το σύνολο των µιγαδικών αριµών, ορίζεται από την ευρύτερα γνωστή µορφή: z= a + ib () Όπου φυσικά το i αντιστοιχεί στον φανταστικό αριµό. Στην Ηλεκτρολογική Μηχανική, επειδή το σύµβολο i χρησιµοποιείται κατά κύριο λόγο στην ανάλυση Κυκλωµάτων ως το σύµβολο της έντασης, επικράτησε στη να χρησιµοποιείται ένα άλλο σύµβολο που να υποδηλώνει το φανταστικό αριµό, το. Στα παρακάτω α χρησιµοποιούµε το.

3 Σήµατα και Συστήµατα ΗΜΥ0 //007 Γ. Ιδιότητες υο µιγαδικοί αριµοί είναι ίσοι iff (if and only if ) τα πραγµατικά τους µέρη είναι ίσα, καώς και τα φανταστικά τους µέρη είναι ίσα. ηλαδή αν z = a + b και z =c+d, τότε, z =z iff a=c και b=d. Ακόµη, z=a+b=0 iff a=0 και b=0. Εάν z=a+b, ο συζυγής (conugate) µιγαδικός αριµός του ορίζεται ως z*=a-b. Το αποτέλεσµα του πολλαπλασιασµού κάποιου µιγαδικού αριµού µε τον συζυγή του, είναι ένας πραγµατικός αριµός: (a+b)(a-b)=a +b Ισχύουν οι ακόλουες σχέσεις: = 5 =( )= =- 6 =- 3 =( )=- 7 =- =( ) = 8 = Ακόµη το αντίστροφο του είναι, αφού: Παραδείγµατα Βασικών Πράξεων = ίνονται οι µιγαδικοί αριµοί: z =+5, z =6-3, z 3 =+ = = z +z +z 3 = = (+6+) + (-3+)= + z + 5 (+ 5)(6+ 3) ( 5) + (30+ ) = = = = + z 6 3 (6 3)(6+ 3) zz3 (+ 5)(+ ) (6+ 8)(6+ 3) (36 8) + (8+ 68) 6 86 = = = = + z 6 3 (6 3)(6+ 3) z 3 = = = = + (+ )( ) Γραφική Παράσταση των Μιγαδικών Αριµών Είναι δυνατό να απεικονίσουµε τον µιγαδικό αριµό στον χώρο δύο διαστάσεων, αντιστοιχώντας τον πραγµατικό αριµό στον άξονα των x και το φανταστικό αριµό στον άξονα των y. Τα αποτελέσµατα των πράξεων της πρόσεσης και της αφαίρεσης µπορούν να λυούν διανυσµατικά, όπως στο σχήµα: «εάν, και µόνο εάν». Στην ελληνική βιβλιογραφία µπορεί να εµφανιστεί ως «ανν» 3

4 Σήµατα και Συστήµατα ΗΜΥ0 //007 z =z -z Im z z 3=z +z -z z Re Ε. Σχέση του Euler Η σχέση του Euler ορίζει πως: e = cos( ) + sin( ) (5)* Απόδειξη: Είναι γνωστό από τις σειρές Taylor, ο τύπος του Maclaurin: f ( z) = Θυµόµαστε τα αναπτύγµατα που προκύπτουν: n z z z ( f (0) + f '(0) + f ''(0) f! n! 3 x x = + x ! 3! 6 x x x cos( x) +...!! 6! x x x sin( x) x ! 5! 7! n) (0) +... e x (6) = * = * (7) (8) Αν αντί για x στην (6) χρησιµοποιήσουµε x, ισχύει: 3 ( x) ( x) e x = + ( x) ! 3! 3 5 x x x x = + x ! 3!! 5! 3 5 x x x x = x +...!! 3! 5! (9) Συγκεντρώνοντας τους πραγµατικούς και τους φανταστικούς όρους της εξίσωσης (9), παρατηρούµε πως οι µεν πραγµατικοί αποτελούν το δεξί µέρος της εξίσωσης (7), και οι φανταστικοί το δεξί µέρος της εξίσωσης (8). Άρα, ισχύει η εξίσωση (5), η σχέση του Euler. *To είναι σε ακτίνια (radians)

5 Σήµατα και Συστήµατα ΗΜΥ0 //007 Ακόµη ισχύει: e = cos( ) sin( ) (0)* Από την (5) και (0) προκύπτουν οι πολύ χρήσιµες για τη Θεωρία Σηµάτων και Συστηµάτων εξισώσεις: e + e cos( ) = ()* e e sin( ) = ()* Οι εξισώσεις (5), (0), () και () είναι πολύ σηµαντικές. Γενικά οποιοσδήποτε µιγαδικός αριµός µπορεί να εκφραστεί ως ένας πραγµατικός αριµός πολλαπλασιασµένος µε µια εκετική συνάρτηση. Μπορεί να εωρηεί ως µετατροπή από καρτεσιανές σε πολικές συντεταγµένων (Α= πλάτος, = γωνία µε τον πραγµατικό άξονα). Ae = Acos( ) + Asin( ) = a+ b= s (3) Όπου a = Acos( ), b= Asin( ) () Im b Α s=α+b α Re Εποµένως έχουµε τις εξής παραστάσεις των µιγαδικών αριµών: Καρτεσιανές συντεταγµένες: Πολικές συντεταγµένες: s = a+ b () s= Ae (5) Οι σχέσεις µετατροπής από πολικές σε καρτεσιανές δίνονται από τις σχέσεις () και από καρτεσιανές σε πολικές δίνονται από τις σχέσεις: A = ( a + b ) = (Re( s) + Im( s) ) (6) b Im( s) = arctan = arctan (7) a Re( s) Ο µιγαδικός αριµός, πέραν από την εκετική µορφή, µπορεί να εµφανιστεί στη βιβλιογραφία ως A< που ισοδυναµεί µε το Ae. 5

6 Σήµατα και Συστήµατα ΗΜΥ0 //007 Σηµαντική παρατήρηση: Η πρόσεση/αφαίρεση µιγαδικών αριµών γίνεται πιο εύκολα στις καρτεσιανές συντεταγµένες, ενώ ο πολλαπλασιασµός/διαίρεση µιγαδικών αριµών γίνεται πιο εύκολα σε πολικές συντεταγµένες. ΣΤ. Παραδείγµατα Παράδειγµα : Επαλήευση στο MATLAB >> 5*exp(*pi/6) ans = i π 6 o o 5e = 5< π = 5cos(30 ) + 5sin(30 ) = Παράδειγµα : Να µετατραπεί ο z= στην εκετική µιγαδική µορφή. Από τον τύπο (6): A = ( ) + ( ) = α Α b Im Re Από τον τύπο (7): = arctan = arctan() = π Παρατηρούµε πως η φάση βρίσκεται σε άλλο τεταρτηµόριο από αυτή που βρίσκεται το διάνυσµα του µιγαδικού αριµού. Η σωστή φάση που βρίσκεται ο µιγαδικός αριµός είναι: = π + π = 5π (ή = π π = 3π ) 5 Άρα: z= = e π 6