Μιγαδική Ανάλυση. Δρ. Θ. Ζυγκιρίδης

Transcript

1 Μιγαδική Ανάλυση Δρ. Θ. Ζυγκιρίδης

2 2

3 Περιεχόμενα 1 Μιγαδικοί αριθμοί Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Γεωμετρική αναπαράσταση των μιγαδικών αριθμών Πολική μορφή μιγαδικών αριθμών Η εξίσωση z n = w Μιγαδικές συναρτήσεις και παράγωγοι Σημεία και σύνολα στο μιγαδικό επίπεδο Μιγαδικές συναρτήσεις Όρια και συνέχεια Παραγώγιση Πολυωνυμικές και ρητές συναρτήσεις Η συνάρτηση e z Τριγωνομετρικές και υπερβολικές συναρτήσεις Η συνάρτηση log z Μιγαδική ολοκλήρωση Καμπύλες Επικαμπύλια ολοκληρώματα Θεώρημα και ολοκληρωτικοί τύποι auchy i

4 Κεφάλαιο 1 Μιγαδικοί αριθμοί 1.1 Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Ορισμός 1.1 Οι μιγαδικοί αριθμοί ορίζονται ως διατεταγμένα ζεύγη πραγματικών αριθμών, δηλαδή ως z = (x, y), όπου x, y R. Εφόσον το ζεύγος (x, y) είναι διατεταγμένο, έχει σημασία η σειρά των x και y, δηλαδή οι μιγαδικοί αριθμοί (x, y) και (y, x) δεν ταυτίζονται, παρά μόνο όταν x = y: (x, y) = (y, x) x = y Ορισμός 1.2 Αν z = (x, y) είναι ένας μιγαδικός αριθμός, οι πραγματικοί αριθμοί x και y αποτελούν το πραγματικό και το φανταστικό μέρος του z, αντίστοιχα, και γράφουμε: Re(z) = x, Im(z) = y Ορισμός 1.3 Δύο μιγαδικοί αριθμοί (a, b) και (c, d) είναι ίσοι μεταξύ τους, αν και μόνο αν ισχύει a = c και b = d Στην περίπτωση που για το μιγαδικό αριθμό z = (x, y) ισχύει y = 0, δεχόμαστε ότι αυτός είναι πραγματικός¹, με (x, 0) = x R, οπότε γράφουμε z = x. Με άλλα λόγια, για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει Im(x) = 0. Από την άλλη πλευρά, οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός x γράφεται ως μιγαδικός με τη μορφή (x, 0), γεγονός που σημαίνει πως το σύνολο R των πραγματικών αριθμών αποτελεί ένα υποσύνολο του συνόλου των μιγαδικών αριθμών. Οι μιγαδικοί με Re(z) = 0 και Im(z) 0 ονομάζονται φανταστικοί. Αν z 1 = (a, b) και z 2 = (c, d), τότε μεταξύ των δύο μιγαδικών αριθμών ορίζονται οι ακόλουθες στοιχειώδεις πράξεις: Πρόσθεση: z 1 + z 2 = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) Πολλαπλασιασμός: z 1 z 2 = (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) ¹Για να έχει, βέβαια, μια τέτοια παραδοχή νόημα, θα πρέπει οι πράξεις που θα οριστούν στη συνέχεια για τους μιγαδικούς, να δίνουν τα ίδια αποτελέσματα με τις συνήθεις πράξεις, όταν εφαρμόζονται σε πραγματικούς αριθμούς. 1

5 1. Μιγαδικοί αριθμοί Ειδικά στην περίπτωση των πραγματικών αριθμών (a, 0) και (b, 0), διαπιστώνεται ότι: (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) = a + b και (a, 0) (b, 0) = (ab 0, 0 + 0) = ab δηλαδή οι πράξεις που ορίστηκαν παραπάνω οδηγούν στα αναμενόμενα αποτελέσματα. Δεν είναι δύσκολο να δειχτεί ότι ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 z 1 z 2 = z 2 z 1 (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ) (z 1 z 2 ) z 3 = z 1 (z 2 z 3 ) z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 Το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης είναι το 0 = (0, 0), ενώ για τον πολλαπλασιασμό το 1 = (1, 0). Ο αντίθετος του z = (x, y) είναι ο z = ( x, y), έτσι ώστε z + ( z) = (x, y) + ( x, y) = (x x, y y) = (0, 0) Ο αντίστροφος του z = (x, y) (0, 0) είναι ο ( 1 x z = x 2 + y 2, y ) x 2 + y 2 αφού z 1 z ( x = (x, y) x 2 + y 2, y ) x 2 + y 2 ( x 2 = x 2 + y 2 + y2 x 2 + y 2, xy = (1, 0) = 1 x 2 + y 2 + xy ) x 2 + y 2 Για την πράξη της αφαίρεσης γράφουμε ενώ για την πράξη της διαίρεσης έχουμε z 1 z 2 = z 1 + ( z 2 ) z 1 = z 1 1 z 2 z 2 Παράδειγμα 1.1: Αν z 1 = (1, 2) και z 2 = (3, 1), τότε ( ) z 1 3 = (1, 2) z ( 1) 2, ( 1) 2 ( 3 = , ) ( 1 = 10 10, 7 ) 10 ( 3 = (1, 2) 10, 1 ) 10 2

6 1.1 Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Συμβολίζουμε με i το μιγαδικό αριθμό (0, 1), o οποίος ονομάζεται φανταστική μονάδα. Αμέσως διαπιστώνεται ότι: (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = x + yi Άρα οι μιγαδικοί αριθμοί (x, y) γράφονται ισοδύναμα με τη μορφή x + yi = x + iy, ή Ακόμα, προκύπτει ότι z = Re(z) + i Im(z) i 2 = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) δηλαδή i 2 = 1 και ο i αποτελεί τετραγωνική ρίζα του 1 (i = 1). Γενικότερα διαπιστώνεται ότι i 4n = 1, i 4n+1 = i, i 4n+2 = 1 και i 4n+3 = i για n = 0, 1, 2,... Χρησιμοποιώντας το νέο τρόπο γραφής, οι πράξεις μεταξύ δύο μιγαδικών αριθμών z 1 = a + ib και z 2 = c + id μπορούν να διατυπωθούν ως εξής, δίνοντας φυσικά τα ίδια αποτελέσματα με πριν: Πρόσθεση: Αφαίρεση: Πολλαπλασιασμός: z 1 + z 2 = (a + ib) + (c + id) = a + ib + c + id = (a + c) + i (b + d) z 1 z 2 = (a + ib) (c + id) = a + ib c id = (a c) + i (b d) z 1 z 2 = (a + ib) (c + id) = ac + iad + ibc + i 2 bd = (ac bd) + i (ad + bc) Διαίρεση (αν c 0 και d 0): z 1 = a + ib (a + ib) (c id) = z 2 c + id (c + id) (c id) = ac iad + ibc i2 bd c 2 i 2 d 2 = ac + bd ad c 2 + ibc + d2 c 2 + d 2 Ορισμός 1.4 Αν z = x+iy είναι ένα μιγαδικός αριθμός, ορίζουμε το συζυγή του z ως το μιγαδικό αριθμό z = x iy. Μερικές χαρακτηριστικές ιδιότητες είναι οι ακόλουθες: z 1 + z 2 = z 1 + z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 ( ) z1 = z 1, z 2 0 z 2 z 2 z = z Re(z) = 1 (z + z) 2 Im(z) = 1 (z z) 2i Re(iz) = Im(z) Im(iz) = Re(z) 3

7 1. Μιγαδικοί αριθμοί y (0, y) ( x, y) = z Im( z) O Re( z) ( x, 0) x Σχήμα 1.1: Γεωμετρική αναπαράσταση ενός μιγαδικού αριθμού στο μιγαδικό επίπεδο. Παράδειγμα 1.2: Η παράσταση (1 + i) (1 + 2i) (1 + 3i) απλοποιείται ως εξής: (1 + i) (1 + 2i) (1 + 3i) = (1 i) (1 2i) (1 + 3i) = ( 1 3i + 2i 2) (1 + 3i) = (1 + 3i) (1 + 3i) = (1 + 3i) 2 = ( i) = 8 6i 1.2 Γεωμετρική αναπαράσταση των μιγαδικών αριθμών Εφόσον οι μιγαδικοί αριθμοί ορίζονται ως διατεταγμένα ζεύγη πραγματικών αριθμών (x, y), γίνεται αντιληπτό πως υπάρχει μια ένα-προς-ένα αντιστοίχηση με τα σημεία του επιπέδου Oxy, το οποίο σε αυτήν την περίπτωση χαρακτηρίζεται ως μιγαδικό. Αυτή η αναπαράσταση βρίσκεται σε αναλογία με την αναπαράσταση των πραγματικών αριθμών ως σημεία του πραγματικού άξονα. Είναι, επιπλέον, φανερό πως σε κάθε μιγαδικό αριθμό μπορεί να αντιστοιχιστεί ένα διάνυσμα πάνω στο μιγαδικό επίπεδο. Πιο συγκεκριμένα, στο μιγαδικό z = x + iy αντιστοιχεί ένα διάνυσμα θέσης, με αρχή το σημείο O(0, 0) και πέρας το σημείο (x, y) του μιγαδικού επιπέδου (σχήμα 1.1). Το πραγματικό μέρος του z προκύπτει παίρνοντας την προβολή του αντίστοιχου διανύσματος στον άξονα των x (άξονας των πραγματικών αριθμών), ενώ από την προβολή στον άξονα των y (άξονας των φανταστικών αριθμών) προκύπτει το φανταστικό μέρος του z. Επιπλέον, η πρόσθεση και η αφαίρεση δύο μιγαδικών αριθμών μπορεί να παρασταθεί γεωμετρικά από τις πράξεις μεταξύ των αντίστοιχων διανυσμάτων, όπως φαίνεται στο σχήμα 1.2 (κανόνας του παραλληλογράμμου). Ανάλογη περιγραφή για το γινόμενο δύο μιγαδικών θα δοθεί στη συνέχεια. Σημειώνεται, όμως, πως εφόσον το γινόμενο δύο μιγαδικών αριθμών ανήκει στο σύνολο, παριστάνεται με τη βοήθεια ενός διανύσματος πάνω στο μιγαδικό επίπεδο, με αποτέλεσμα να μην αντιστοιχίζεται ούτε στο εσωτερικό, ούτε στο εξωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων που παριστάνουν τους δύο παράγοντες του γινόμενου. Ορισμός 1.5 Μέτρο του μιγαδικού αριθμού z = x + iy ονομάζεται η μη αρνητική τιμή z = x 2 + y 2 Γεωμετρικά, το μέτρο του x + iy αντιστοιχεί στην απόσταση του σημείου (x, y) του μιγαδικού επιπέδου από την αρχή των αξόνων. Αν και δεν ορίζεται διάταξη² στους μιγαδικούς αριθμούς, μια ²Μια σχέση της μορφής z 1 < z 2 έχει νόημα μόνο αν και οι δύο αριθμοί είναι πραγματικοί. 4

8 1.2 Γεωμετρική αναπαράσταση των μιγαδικών αριθμών y z + z 1 2 z 1 z - z 1 2 z 2 O x -z 2 Σχήμα 1.2: Γεωμετρική αναπαράσταση της πρόσθεσης και της αφαίρεσης δύο μιγαδικών αριθμών. σχέση της μορφής z 1 < z 2 έχει νόημα και σημαίνει πως o μιγαδικός z 1 βρίσκεται πιο κοντά στην αρχή των αξόνων, συγκριτικά με το z 2. Αποδεικνύεται ότι ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις: z 1 z 2 = z 1 z 2 z 2 = z z z = z Re(z) z Im(z) z z 1 z 2 z 1 + z 2 z 1 + z 2, (τριγωνική ανισότητα) H τελευταία ανισότητα γενικεύεται στην περίπτωση περισσότερων αριθμών ως εξής: z 1 + z z n z 1 + z z n Επιπλέον, γίνεται εύκολα αντιληπτό ότι το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών αριθμών, δηλαδή η παράσταση z 1 z 2, ισούται με την τιμή της απόστασης των αντίστοιχων σημείων του επιπέδου: z 1 z 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Παράδειγμα 1.3: Έχοντας ως δεδομένο ότι z = 1, θα υπολογιστεί ένα άνω φράγμα της τιμής της παράστασης z 5 + 3z 4 7z + 2 με τη βοήθεια της τριγωνικής ανισότητας. Είναι: z 5 + 3z 4 7z + 2 z z z + 2 = = 13 5

9 1. Μιγαδικοί αριθμοί Αν z = x + iy, τότε ο αντίθετός του z = x iy παριστάνεται στο μιγαδικό επίπεδο από το συμμετρικό, ως προς την αρχή των αξόνων, σημείο, ενώ ο συζυγής του z = x iy αντιστοιχεί στο συμμετρικό, ως προς τον άξονα των πραγματικών αριθμών, σημείο. Παράδειγμα 1.4: Οι μιγαδικοί αριθμοί z = x + iy που ικανοποιούν τη σχέση z z 0 = R (1.1) όπου z 0 = x 0 + iy 0 και R > 0 σχηματίζουν την περιφέρεια ενός κύκλου με ακτίνα R και κέντρο το (0, 0). Αυτό διαπιστώνεται εύκολα από την (1.1), αφού αυτή γράφεται ως (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2 Η γωνία θ που σχηματίζει με τον άξονα των πραγματικών αριθμών το διάνυσμα που αντιστοιχεί σε ένα μιγαδικό z = x + iy αποτελεί μία από τις τιμές του ορίσματος του z, με το τελευταίο να συμβολίζεται με arg(z). Είναι φανερό πως το όρισμα ενός μιγαδικού αριθμού δεν έχει μία μοναδική τιμή (είναι μια πλειότιμη παράσταση), αφού ισχύει arg(z) = θ + 2kπ, k Z με την τιμή θ να ικανοποιεί τις εξισώσεις cos θ = x/ z και sin θ = y/ z (αν z = 0, τότε το όρισμα του z δεν ορίζεται). Ωστόσο, η τιμή του ορίσματος ενός μιγαδικού αριθμού μέσα σε ένα εύρος τιμών ίσο με 2π, δηλαδή όταν απαιτηθεί να ισχύει θ 0 < θ θ 0 + 2π, είναι μοναδική. Ορισμός 1.6 H τιμή του ορίσματος ενός μιγαδικού αριθμού z, η οποία βρίσκεται στο διάστημα ( π, π] αποτελεί το πρωτεύον ή κύριο όρισμα του z και συμβολίζεται με Arg(z). Άρα, μπορούμε να γράψουμε arg(z) = Arg(z) + 2kπ, k Z με Arg(z) ( π, π]. Όπως διαπιστώνεται, το κύριο όρισμα οποιουδήποτε αρνητικού πραγματικού αριθμού είναι ίσο με π. Παράδειγμα 1.5: Για το μιγαδικό αριθμό βρίσκουμε ότι tan θ = 3/2 1/2 z 1 = 1 2 i 3 2 = 3 θ = π 3 Ο z 1 βρίσκεται στο τέταρτο τεταρτημόριο του μιγαδικού επιπέδου, οπότε Arg(z 1 ) = π 3 και arg(z 1 ) = π 3 + 2kπ, k Z 6

10 1.3 Πολική μορφή μιγαδικών αριθμών y z = x + iy r r cos q O q r sin q x Σχήμα 1.3: Πολική μορφή ενός μιγαδικού αριθμού z = x + iy. Αν θεωρήσουμε τον αριθμό διαπιστώνεται ότι z 2 = i 2 ( ) 2/2 arctan = arctan ( 1) = π 2/2 4 Ο z 2 βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο του μιγαδικού επιπέδου, με αποτέλεσμα Arg(z 2 ) = π 4 + π = 3π 4 οπότε arg(z 2 ) = 3π 4 + 2kπ, k Z 1.3 Πολική μορφή μιγαδικών αριθμών Δεδομένου ότι ένα οποιοδήποτε σημείο (x, y) του επιπέδου μπορεί να περιγραφεί με τη βοήθεια των πολικών συντεταγμένων (r, θ), θα αναφερθούμε στον τρόπο που μπορεί να εκφραστεί ένας μιγαδικός αριθμός z = x + iy μέσω των r και θ. Λαμβάνοντας υπόψη ότι η μετατροπή μεταξύ Καρτεσιανών και πολικών συντεταγμένων βασίζεται στις σχέσεις x = r cos θ και y = r sin θ, για ένα τυχαίο μιγαδικό αριθμό προκύπτει ότι: z = x + iy = r cos θ + ir sin θ = r (cos θ + i sin θ) H παραπάνω έκφραση αποτελεί την πολική μορφή του μιγαδικού αριθμού z (σχήμα 1.3). Στη μεταβλητή r είναι επιτρεπτές μόνο μη αρνητικές τιμές z = x 2 + y 2 με αποτέλεσμα αυτή να αντιστοιχεί στο μέτρο του z, ενώ η μεταβλητή θ αντιστοιχεί σε μία τιμή του ορίσματος arg(z). Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, ειδικά στην περίπτωση που z = 0, η μεταβλητή θ δεν έχει καθορισμένη τιμή. Το σύμβολο e iθ ορίζεται με βάση τον τύπο του Euler: e iθ = cos θ + i sin θ 7

11 1. Μιγαδικοί αριθμοί y e ip/2 = (0,1) = i i e p = (- 1, 0) = -1 O r = 1 i 0 e = = (1, 0) 1 x e -ip/2 = (0, - 1) = -i Σχήμα 1.4: Αναπαράσταση των μιγαδικών αριθμών e iθ για i = π/2, 0, π/2, π. Συνεπώς, η πολική μορφή ενός μιγαδικού αριθμού μπορεί να γραφεί και ως z = re iθ Στην περίπτωση των μιγαδικών αριθμών με z = r = 1, η παραπάνω έκφραση μας πληροφορεί ότι αυτοί βρίσκονται στην περιφέρεια κύκλου με κέντρο το (0, 0) και μοναδιαία ακτίνα. Για το μιγαδικό αριθμό z = 1 + i, ο οποίος βρίσκεται στο δεύτερο τεταρ- Παράδειγμα 1.6: τημόριο, έχουμε z = ( 1) 2 = 2 και Arg(z) = π π 4 = 3π 4 Επομένως, μπορούμε να γράψουμε z = ( 2 cos 3π 4 + i sin 3π ) = 2e i 3π 4 4 η οποία είναι μία από τις ισοδύναμες εκφράσεις z = 2e i( 3π 4 +2kπ), k Z Παράδειγμα 1.7: Οι αριθμοί 1, i, 1 και i έχουν, αντίστοιχα, τις παρακάτω πολικές μορφές: 1 = e i0 i = e iπ/2 1 = e iπ i = e i3π/2 = e iπ/2 Όπως διαπιστώνεται (σχήμα 1.4), οι συγκεκριμένοι αριθμοί βρίσκονται τοποθετημένοι σε συμμετρικές θέσεις πάνω στην περιφέρεια ενός κύκλου μοναδιαίας ακτίνας με κέντρο το (0, 0). Αν z 1 = r 1 e iθ 1 και z 2 = r 2 e iθ 2, αποδεικνύονται οι παρακάτω ιδιότητες: 8

12 1.3 Πολική μορφή μιγαδικών αριθμών z z 1 2 y y z z 2 iz q + q 1 2 O q 1 q 2 z 1 x O -iz x -z (α) (β) Σχήμα 1.5: α) Πολλαπλασιασμός μιγαδικών αριθμών. β) Πολλαπλασιασμός ενός μιγαδικού z με i, i 2 = 1, i 3 = i. z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(θ 1+θ 2 ) z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(θ 1 θ 2 ), υπό την προϋπόθεση r z 1 = 1 r 1 e iθ 1, υπό την προϋπόθεση r 1 0 z 1 = r 1 e iθ 1 Για παράδειγμα, στην περίπτωση της πρώτης ιδιότητας, έχουμε: z 1 z 2 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ) r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) = r 1 r 2 [cos θ 1 cos θ 2 sin θ 1 sin θ 2 + i (cos θ 1 sin θ 2 + sin θ 1 cos θ 2 )] = r 1 r 2 [cos (θ 1 + θ 2 ) + i sin (θ 1 + θ 2 )] = r 1 r 2 e i(θ 1+θ 2 ) Από την πρώτη ιδιότητα διαπιστώνεται ότι z 1 z 2 = r 1 r 2 και arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ) (η τελευταία σχέση δηλώνει πως καθένα από τα δύο μέλη της παριστάνει το ίδιο ακριβώς σύνολο αριθμών). Έτσι, με τη βοήθεια των πολικών μορφών, προκύπτει η γεωμετρική αναπαράσταση του γινομένου δύο μιγαδικών αριθμών, όπως φαίνεται στο σχήμα 1.5(α). Ειδικότερα, όταν πολλαπλασιάζεται ένα μιγαδικός αριθμός z με τον i, τότε το διάνυσμα που παριστάνει τον iz προκύπτει από το αντίστοιχο του z, περιστρέφοντάς το κατά +π/2, χωρίς να μεταβληθεί το μέτρο του. Αυτό συμβαίνει διότι iz = e iπ/2 z e iθ = z e i(θ+π/2) Ομοίως, πολλαπλασιασμός με το i 2 = 1 συνεπάγεται περιστροφή κατά π και πολλαπλασιασμός με i 3 = i οδηγεί σε περιστροφή κατά 3π/2 (σχήμα 1.5(β)). Επιπλέον, αν z = re iθ, τότε αποδεικνύεται ότι z n = r n e inθ, n N, σχέση που επεκτείνεται άμεσα και σε αρνητικές ακέραιες τιμές του n. Αν r = 1, προκύπτει ο τύπος de Moivre: (cos θ + i sin θ) n = cos nθ + i sin nθ 9

13 1. Μιγαδικοί αριθμοί Παράδειγμα 1.8: μορφή: Για τον υπολογισμό της τιμής (1 + i) 5, γράφουμε αρχικά τον 1+i σε πολική 1 + i = 2e iπ/4 Επομένως: ( ) (1 + i) 5 5 ( ) = 2e iπ/4 5e = 2 i5π/4 = 4 ( 2 cos 5π 4 + i sin 5π ) 4 = 4 ( 2 cos π 4 i sin π ) 4 = 4 4i Παράδειγμα 1.9: Με τη βοήθεια του τύπου του de Moivre θα βρεθούν ισοδύναμες παραστάσεις για τις sin 4θ και cos 4θ. Είναι: cos 4θ + i sin 4θ = (cos θ + i sin θ) 4 Επομένως: = cos 4 θ + 4i cos 3 θ sin θ 6 cos 2 θ sin 2 θ 4i cos θ sin 3 θ + sin 4 θ = cos 4 θ 6 cos 2 θ sin 2 θ + sin 4 θ + i ( 4 cos 3 θ sin θ 4 cos θ sin 3 θ ) cos 4θ = cos 4 θ 6 cos 2 θ sin 2 θ + sin 4 θ sin 4θ = 4 cos 3 θ sin θ 4 cos θ sin 3 θ 1.4 Η εξίσωση z n = w Δύο μιγαδικοί αριθμοί z 1 και z 2 με πολικές μορφές r 1 e iθ 1 και r 2 e iθ 2 είναι ίσοι, αν και μόνο αν τα μέτρα τους είναι ίσα, r 1 = r 2 και τα ορίσματά τους διαφέρουν κατά 2kπ: θ 1 = θ 2 + 2kπ, k Z Με βάση τα παραπάνω μπορούμε να επιλύσουμε την εξίσωση z n = w, όπου n N. Καταρχήν διαπιστώνεται άμεσα ότι αν z = re iθ, τότε z n = r n και arg (z n ) = arg ( r n e inθ). Επομένως, αν w = r 0 e iθ 0, τότε θα πρέπει { r n = r 0 nθ = θ 0 + 2kπ Τελικά, οι λύσεις της εξίσωσης z n = r 0 e iθ 0 έχουν τη μορφή { ( ) z = n r 0 e i θ0n + 2kπ n 10 r = n r 0 θ = θ 0 n + 2kπ n

14 1.4 Η εξίσωση z n = w y z = wz = w z p z = wz = z e i n O 2p n q0 n z = r e n 0 0 q0 i n 1 x Σχήμα 1.6: Κατανομή των ριζών της εξίσωσης z n = w στο μιγαδικό επίπεδο. Όπως διαπιστώνεται, υπάρχουν n διακριτές ρίζες, αυτές για παράδειγμα που προκύπτουν για k = 0, 1,..., n 1, ενώ για τις υπόλοιπες τιμές του k οι ρίζες απλώς επαναλαμβάνονται (για παράδειγμα, θέτοντας k = n, παίρνουμε τη ρίζα που ήδη υπολογίστηκε για k = 0). Έτσι, αν ονομάσουμε z 0 τη ρίζα που προκύπτει για k = 0 και ω τον όρο e i 2π n, τότε η δεύτερη ρίζα είναι ίση με ωz 0, η τρίτη με ω 2 z 0 και η τελευταία ίση με ω n 1 z 0. Άρα, όλες οι ρίζες βρίσκονται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας n r 0 και, μάλιστα, σε συμμετρικές θέσεις, σε γωνιακές αποστάσεις ίσες με 2π n (σχήμα 1.6). Με άλλα λόγια, οι ρίζες βρίσκονται στις κορυφές ενός κανονικού πολυγώνου με n πλευρές, το οποίο είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο ακτίνας n r 0. Παράδειγμα 1.10: Θα υπολογιστούν οι ρίζες της εξίσωσης z n = 1 (1.2) Σύμφωνα με τα όσα προαναφέρθηκαν, η εξίσωση (1.2) έχει ακριβώς n ρίζες. Γράφοντας με την πολική τους μορφή και τα δύο μέλη της (1.2), έχουμε z n e inθ = 1e i0 Από την ισότητα δύο μιγαδικών αριθμών ισχύουν τα εξής: οπότε Άρα οι n ρίζες της (1.2) είναι οι z = e 2kπ n z n = 1 και nθ = 0 + 2kπ, k Z = cos ( 2kπ n z = 1 και θ = 2kπ n ) + i sin ( 2kπ n ), k = 0, 1,..., n 1 Για άλλες τιμές του k δεν προκύπτουν διαφορετικές ρίζες. Για παράδειγμα, στο σχήμα 1.7 απεικονίζονται οι ρίζες της εξίσωσης z 5 = 1. 11

15 1. Μιγαδικοί αριθμοί y z 1 = i2 /5 e p z 2 = i 4 /5 e p O z 0 = e i 0 x z 3 = i6 /5 e p z 4 = i 8 /5 e p Σχήμα 1.7: Ρίζες της εξίσωσης z 5 = 1. 12

16 Κεφάλαιο 2 Μιγαδικές συναρτήσεις και παράγωγοι Στην αρχή του κεφαλαίου αυτού γίνεται μια σύντομη αναφορά σε τοπολογικά στοιχεία του μιγαδικού επιπέδου και, ακολούθως, περιγράφεται η γενική μορφή των μιγαδικών συναρτήσεων μίας μιγαδικής μεταβλητής. Στη συνέχεια, εισάγονται οι έννοιες του ορίου και της συνέχειας μιγαδικών συναρτήσεων. Έπειτα διατυπώνεται ο ορισμός της παραγώγου μιγαδικής συνάρτησης και διατυπώνονται ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την ύπαρξη της παραγώγου. Τέλος, δίνεται ο ορισμός για τις αναλυτικές συναρτήσεις και το κεφάλαιο ολοκληρώνεται με ξεχωριστή αναφορά σε συγκεκριμένες βασικές μιγαδικές συναρτήσεις και τις ιδιότητές τους. 2.1 Σημεία και σύνολα στο μιγαδικό επίπεδο Ορισμός 2.1 Ανοιχτή περιοχή B(z 0, r) ενός σημείο z 0 του μιγαδικού επιπέδου ονομάζεται το σύνολο {z : z z 0 < r}. Ορισμός 2.2 Ένα σημείο z 0 είναι εσωτερικό ενός συνόλου S, αν υπάρχει μια ανοιχτή περιοχή του z 0 που ανήκει εξολοκλήρου στο S. Ορισμός 2.3 Ένα σημείο χαρακτηρίζεται ως συνοριακό ενός συνόλου S, αν κάθε ανοιχτή περιοχή του σημείου αυτού αποτελείται από σημεία που ανήκουν στο S και σημεία που δεν ανήκουν στο S. Σημεία που δεν είναι ούτε εσωτερικά ούτε συνοριακά ενός συνόλου S, χαρακτηρίζονται ως εξωτερικά του S. Στο σχήμα 2.1 απεικονίζονται αυτές οι κατηγορίες σημείων. To σύνολο των συνοριακών σημείων ενός συνόλου αποτελεί το σύνορο του συνόλου αυτού. Ορισμός 2.4 Ένα σύνολο λέγεται κλειστό, αν ανήκουν σε αυτό όλα τα συνοριακά του σημεία. Αντίθετα, λέγεται ανοιχτό, αν δεν περιέχει κανένα συνοριακό του σημείο. Το συμπλήρωμα ενός κλειστού συνόλου είναι ανοιχτό. Ένα ανοιχτό σύνολο αποτελείται μόνο από εσωτερικά σημεία. Φυσικά υπάρχουν σύνολα που δεν είναι ούτε ανοιχτά, ούτε κλειστά. Ορισμός 2.5 ισχύει για κάθε z S. Ένα σύνολο S λέγεται φραγμένο, αν υπάρχει αριθμός M > 0, τέτοιος ώστε να z M 13

17 2. Μιγαδικές συναρτήσεις και παράγωγοι S z 2 z 3 z 1 Σχήμα 2.1: Εσωτερικά (z 1 ), συνοριακά (z 2 ) και εξωτερικά (z 3 ) σημεία του συνόλου S. Ορισμός 2.6 Ένα σύνολο S λέγεται συνεκτικό, αν δύο οποιαδήποτε σημεία του συνόλου μπορούν να ενωθούν με μια καμπύλη γραμμή, όλα τα σημεία της οποίας ανήκουν στο S. Πρακτικά, τα συνεκτικά σύνολα αποτελούνται από ένα ενιαίο τμήμα. Για παράδειγμα, το {z : z < 2} είναι ένα ανοιχτό συνεκτικό σύνολο. Ορισμός 2.7 Ένα σημείο z 0 ενός συνόλου S ονομάζεται σημείο συσσώρευσης, αν σε κάθε περιοχή του z 0 υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο του S διαφορετικό από το z 0. Αντίθετα, το z 0 S δεν είναι σημείο συσσώρευσης του S, αν υπάρχει τουλάχιστον μία περιοχή του z 0 που δεν περιέχει άλλα σημεία του S, πέρα από το z Μιγαδικές συναρτήσεις Ας θεωρήσουμε ένα σύνολο A του μιγαδικού επιπέδου. Αν σε κάθε z A αντιστοιχεί ένας μιγαδικός αριθμός w(z), τότε ορίζουμε τη μιγαδική συνάρτηση w = f(z), με πεδίο ορισμού το σύνολο A. To σύνολο των αριθμών f(z) με z A αποτελεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης. Επιπλέον, η z αποτελεί την ανεξάρτητη και η w την εξαρτημένη μεταβλητή της συνάρτησης. Σύμφωνα με τα παραπάνω, ο ορισμός της μιγαδικής συνάρτησης προϋποθέτει μονοσήμαντη αντιστοίχηση. Ωστόσο, στη συνέχεια θα αναφερθούμε και στην έννοια των πλειότιμων συναρτήσεων, οι οποίες επιστρέφουν περισσότερες από μία διαφορετικές τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής w για μία τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής z. Ήδη έχουμε δει ορισμένες πλειότιμες συναρτήσεις, όπως για παράδειγμα την f(z) = arg z και την g(z) = z 1/n, n N. Αντικαθιστώντας την ανεξάρτητη μεταβλητή z μιας συνάρτησης f(z) με z = x + iy, η συνάρτηση μπορεί να πάρει τη μορφή f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) Ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή αν δίνονται δύο συναρτήσεις δύο μεταβλητών, η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον ορισμό μιας συνάρτησης μίας μιγαδικής μεταβλητής z = x + iy. Αν τώρα αντικατασταθεί η μεταβλητή z από την πολική μορφή re iθ, θα έχουμε f(re iθ ) = u(r, θ) + iv(r, θ) Παράδειγμα 2.1: Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση f(z) = z 1 + z 14

18 2.3 Όρια και συνέχεια y f ( z) = u + iv v O x O u Σχήμα 2.2: Μία γραφική αναπαράσταση της μιγαδικής συνάρτησης f(z). τότε αυτή γράφεται ως εξής: f(x + iy) = x + iy 1 + x iy = (x + iy)(1 + x + iy) (1 + x iy)(1 + x + iy) x(1 + x) + ixy + iy(1 + x) y2 = (1 + x) 2 + y 2 = x2 y 2 + x (1 + x) 2 + y 2 + i 2xy + y (1 + x) 2 + y 2 δηλαδή και u(x, y) = x2 y 2 + x (1 + x) 2 + y 2 2xy + y v(x, y) = (1 + x) 2 + y 2 Γίνεται αντιληπτό πως η σχεδίαση του γραφήματος μιας μιγαδικής συνάρτησης είναι δύσκολη υπόθεση, αφού απαιτείται για αυτό χώρος τεσσάρων διαστάσεων (αν w = f(x + iy) = u + iv, δύο διαστάσεις δεσμεύονται από τις μεταβλητές x και y και άλλες δύο για τις u και v). Ευκολότερη είναι η σχεδίαση του πεδίου ορισμού (στο επίπεδο xy ή z-επίπεδο) και του συνόλου τιμών (στο επίπεδο uv ή w-επίπεδο) της συνάρτησης (σχήμα 2.2). Εναλλακτικά, μπορεί να γίνει η σχεδίαση (συνήθως μέσω κατάλληλου λογισμικού) των επιφανειών που αντιστοιχούν στις συναρτήσεις δύο πραγματικών μεταβλητών Re(w), Im w ή w, καθώς μεταβάλλεται το z στο μιγαδικό επίπεδο. 2.3 Όρια και συνέχεια Στην παρούσα ενότητα επεκτείνουμε τις έννοιες του ορίου και της συνέχειας συναρτήσεων, οι οποίες μας είναι γνωστές ήδη από τις πραγματικές συναρτήσεις, στις μιγαδικές. Ορισμός 2.8 Έστω μια μιγαδική συνάρτηση f που ορίζεται σε μια περιοχή του z 0, με πιθανή εξαίρεση το z 0. Λέμε πως ο w 0 είναι το όριο της f καθώς το z τείνει στο z 0, αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει δ > 0, τέτοιος ώστε να ισχύει όταν 0 < z z 0 < δ. Τότε γράφουμε f(z) w 0 < ϵ lim z z 0 f(z) = w 0 15

19 2. Μιγαδικές συναρτήσεις και παράγωγοι Ερμηνεύοντας τον παραπάνω ορισμό στο μιγαδικό επίπεδο, διαπιστώνεται πως για να υπάρχει το όριο, θα πρέπει για κάθε αυθαίρετα μικρή περιοχή B(w 0, ϵ) του w-επιπέδου να μπορεί να βρεθεί μια περιοχή B(z 0, δ) του z-επιπέδου, τέτοια ώστε οι εικόνες όλων των σημείων της τελευταίας να ανήκουν στην πρώτη περιοχή. Όπως γίνεται φανερό, δε γίνεται ποτέ z = z 0 και η συνάρτηση δε χρειάζεται να ορίζεται στο z 0. Θεώρημα Αν υπάρχει το όριο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο, τότε αυτό είναι μοναδικό. Υπενθυμίζεται ότι στην περίπτωση συναρτήσεων y = f(x) μίας πραγματικής μεταβλητής, κατά τον υπολογισμό του ορίου της f όταν x x 0, μας ενδιαφέρει η προσέγγιση του x 0 με τιμές του x μεγαλύτερες ή μικρότερες του x 0. Εάν το όριο υπάρχει, η τιμή του είναι η ίδια και για τους δύο τρόπου υπολογισμού. Στην περίπτωση των μιγαδικών συναρτήσεων και ενός ορίου lim z z0 f(z), η προσέγγιση του z 0 μπορεί να γίνει με άπειρους διαφορετικούς τρόπους, αφού βρισκόμαστε πάνω στο μιγαδικό επίπεδο. Είναι φανερό πως όταν υπάρχει το lim z z0 f(z), τότε η τιμή του δεν εξαρτάται από τη διαδρομή που ακολουθεί το z, καθώς πλησιάζει στο z 0. H ιδιότητα αυτή μπορεί να αξιοποιηθεί, όταν χρειάζεται να αποδειχθεί η μη ύπαρξη ενός ορίου. Για τον υπολογισμό των ορίων, πέρα φυσικά από τον ορισμό, μπορεί να χρησιμοποιηθεί το θεώρημα που ακολουθεί: Θεώρημα Έστω η συνάρτηση f(z) = u(x, y) + iv(x, y) και z 0 = x 0 + iy 0, w 0 = u 0 + iv 0. Τότε είναι lim z z 0 f(z) = w 0 αν και μόνο αν ισχύει lim u(x, y) = u 0 και lim v(x, y) = v 0 (x,y) (x 0,y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 ) Επιπλέον, αν lim z z0 f(z) = w 1 και lim z z0 g(z) = w 2, τότε αποδεικνύονται οι παρακάτω ιδιότητες: lim z z0 [f(z) + g(z)] = w 1 + w 2, lim z z0 [f(z) g(z)] = w 1 w 2, f(z) lim z z0 g(z) = w 1, w 2 0, w 2 lim z z0 f(z) = w 1. Παράδειγμα 2.2: Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f(z) = x x + y + + y iy2 x + y Θα δείξουμε ότι το όριο της f όταν z 0 δεν υπάρχει. Αρχικά θεωρούμε ότι το z μεταβάλλεται πάνω στον άξονα των φανταστικών αριθμών, οπότε x = 0. Τότε: ( ) lim f(z) = lim i y2 + y = i lim (y + 1) = i y 0 y y 0 z 0 x=0 16

20 2.3 Όρια και συνέχεια Σχήμα 2.3: Σφαίρα Riemann και στερεογραφική προβολή. Αν, όμως, θεωρήσουμε ότι το z κινείται πάνω στον πραγματικό άξονα, τότε y = 0, με αποτέλεσμα ( x ) lim f(z) = lim = lim 1 = 1 x 0 x x 0 z 0 y=0 Αν υπήρχε το όριο, θα έπρεπε οι δύο παραπάνω τιμές να είναι ίσες. Συνεπώς, συμπεραίνεται πως το όριο lim z 0 f(z) δεν υπάρχει. Στη συνέχεια, μπορούμε να εισάγουμε την έννοια του απείρου ( ) στο μιγαδικό επίπεδο. Για να γίνει ευκολότερα κατανοητή η έννοια αυτή, θα περιγράψουμε ένα διαφορετικό τρόπο αναπαράστασης των μιγαδικών αριθμών, μέσω σημείων πάνω στην επιφάνεια μίας σφαίρας. Ας θεωρήσουμε μια μοναδιαία σφαίρα, η οποία εφάπτεται στο μιγαδικό επίπεδο στο σημείο z = 0. Η διάμετρος της σφαίρας που είναι κάθετη στο μιγαδικό επίπεδο τέμνει την επιφάνειά της στο βόρειο (N) και το νότιο (S) πόλο, με τον τελευταίο να ταυτίζεται με το O. Έστω P ένα σημείο του μιγαδικού επιπέδου. Φέρνοντας την ευθεία NP, αυτή τέμνει τη σφαίρα σε ένα και μόνο σημείο A. Επομένως, σε κάθε μιγαδικό αριθμό αντιστοιχίζεται ένα συγκεκριμένο σημείο της σφαίρας. Για λόγους πληρότητας, ορίζουμε πως το σημείο στο άπειρο ( ) αντιστοιχεί στο βόρειο πόλο της σφαίρας, δεδομένου ότι όσο πιο μακρυά βρίσκεται το P από το O, τόσο περισσότερο πλησιάζει το A στο N. Το σύνολο = { } αποτελεί το εκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο, ενώ η μοναδιαία σφαίρα ονομάζεται σφαίρα Riemann. Τέλος, η αντιστοίχηση που μόλις περιγράφηκε χαρακτηρίζεται ως στερεογραφική προβολή. Έχοντας εισάγει την έννοια του απείρου, θα γράφουμε lim z f(z) = w 0 αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει δ > 0, τέτοιος ώστε να ισχύει f(z) w 0 < ϵ όταν z > 1 δ. Επιπλέον, θα γράφουμε lim z z 0 f(z) = αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει δ > 0, τέτοιος ώστε να ισχύει f(z) > 1 ϵ όταν 0 < z z 0 < δ. Ορισμός 2.9 Μια συνάρτηση f που ορίζεται στο z 0 λέγεται συνεχής στο z 0, όταν υπάρχει το lim f(z) και ισχύει z z 0 lim f(z) = f(z 0 ) z z 0 17

21 2. Μιγαδικές συναρτήσεις και παράγωγοι Mε άλλα λόγια, για να είναι συνεχής μια συνάρτηση σε ένα σημείο, θα πρέπει απαραίτητα να ορίζεται εκεί η συνάρτηση και να υπάρχει το όριό της στο συγκεκριμένο σημείο. Μια συνάρτηση που είναι συνεχής σε κάθε σημείο μιας περιοχής R, λέγεται ότι είναι συνεχής στην περιοχή R. Το άθροισμα και το γινόμενο δύο συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής συνάρτηση. Επιπλέον, το πηλίκο δύο συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής συνάρτηση, υπό την προϋπόθεση ότι ο παρανομαστής είναι μη μηδενικός. Αν η f ορίζεται σε μια περιοχή του z 0 και η εικόνας της περιοχής αυτής περιέχεται στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης g, τότε η σύνθεση g (f(z)) ορίζεται στην περιοχή του z 0. Αν η f είναι συνεχής στο z 0 και η g συνεχής στο f(z 0 ), τότε και η g (f(z)) είναι συνεχής στο z 0. Γενικά, η συνάρτηση f(z) = u(x, y)+iv(x, y) είναι συνεχής στο z 0 = x 0 +iy 0, αν και μόνο αν οι συναρτήσεις u και v είναι συνεχείς στο (x 0, y 0 ). 2.4 Παραγώγιση Ορισμός 2.10 όριο Μια μιγαδική συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη στο z 0, αν υπάρχει το f(z) f(z 0 ) lim z z 0 z z 0 Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο z 0, η τιμή του παραπάνω ορίου συμβολίζεται με f (z 0 ) και αποτελεί την τιμή της παραγώγου της f στο z 0. Το παραπάνω όριο γράφεται και με τη μορφή f(z 0 + z) f(z 0 ) w lim = lim z 0 z z 0 z όπου w = f(z) και z = x + i y. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες σε ένα σημείο z, τότε ισχύουν οι ακόλουθοι κανόνες παραγώγισης: [f(z) + g(z)] = f (z) + g (z), [f(z)g(z)] = f (z)g(z) + f(z)g (z), [ ] f(z) = f (z)g(z) f(z)g (z) g(z) g 2, g(z) 0 (z) Θεώρημα Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει, δηλαδή η συνέχεια σε ένα σημείο δε συνεπάγεται και την ύπαρξη της παραγώγου στο σημείο αυτό. Φυσικά, αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε κάποιο σημείο, τότε αποκλείεται να είναι παραγωγίσισμη εκεί. Παράδειγμα 2.3: Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f(z) = z, για την οποία έχουμε: f(z 0 + z) f(z 0 ) z 0 + z z 0 lim = lim z 0 z z 0 z 18 z = lim z 0 z

22 2.4 Παραγώγιση Το συγκεκριμένο όριο, όμως, δεν υπάρχει, διότι η τιμή του εξαρτάται από τον τρόπο προσέγγισης του z 0. Συγκεκριμένα, αν z = x, η τιμή του ορίου είναι ίση με 1, ενώ αν z = i y, το όριο παίρνει την τιμή 1. Επομένως, η συνάρτηση f(z) = z δεν είναι πουθενά παραγωγίσιμη, αν και είναι παντού συνεχής. Από την εφαρμογή του ορισμού προκύπτουν τα ακόλουθα αποτελέσματα: d c = 0, όπου c σταθερά του, dz d dz z = 1, d dz zn = nz n 1, d dz [cf(z)] = c df dz. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο z 0 και η g στο f(z 0 ), τότε η συνάρτηση g(f(z)) είναι παραγωγίσιμη στο z 0 και ισχύει ο κανόνας της αλυσίδας: d [g (f(z))] dz = g (f(z 0 )) f (z 0 ) z=z0 Αν w = f(z), τότε g(f(z)) = g(w), οπότε μπορούμε να γράψουμε dg dz = dg dw dw dz Στη συνέχεια θα δούμε πως το πραγματικό και το φανταστικό μέρος μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης έχουν πολύ συγκεκριμένες ιδιότητες. Ας θεωρήσουμε αρχικά ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη, δηλαδή υπάρχει το όριο f f(z + z) f(z) (z) = lim z 0 z Γράφοντας τη συνάρτηση ως f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), καθώς και το z ως x + i y, εξετάζουμε δύο διαφορετικούς τρόπους υπολογισμού του παραπάνω ορίου. Στην πρώτη περίπτωση, θεωρούμε ότι z = x. Τότε βρίσκουμε ότι: f (z) = lim x 0 [ u(x + x, y) u(x, y) + i x ] v(x + x, y) v(x, y) = u x (x, y) + iv x (x, y) x Αν, όμως, θεωρήσουμε ότι z = i y, τότε [ ] u(x, y + y) u(x, y) f v(x, y + y) v(x, y) (z) = lim + i = v y (x, y) iu y (x, y) y 0 i y i y Άρα θα πρέπει να ισχύει u x (x, y) + iv x (x, y) = v y (x, y) iu y (x, y) (2.1) Συμπεραίνεται, επομένως, ότι για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f ισχύει u x = v y και u y = v x. Οι δύο αυτές εξισώσεις αποτελούν τις εξισώσεις auchy-riemann. 19

23 2. Μιγαδικές συναρτήσεις και παράγωγοι Θεώρημα Έστω η συνάρτηση f(z) = u(x, y) + iv(x, y), για την οποία υπάρχει η παράγωγος f (z) στο z 0 = x 0 + iy 0. Τότε οι πρώτες μερικές παράγωγοι των u και v ως προς x και y υπάρχουν στο σημείο (x 0, y 0 ) και ικανοποιούν τις εξισώσεις auchy-riemann { ux (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ) στο σημείο αυτό. Επιπλέον, η τιμή f (z 0 ) υπολογίζεται από τις σχέσεις f (z 0 ) = u x (x 0, y 0 ) + iv x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) iu y (x 0, y 0 ) ή Από την εξίσωση (2.1) ισοδύναμα παίρνουμε f x = if y f y = if x όπου f x = u x + iv x και f y = u y + iv y. Εφόσον οι εξισώσεις auchy-riemann είναι αναγκαίες συνθήκες για την ύπαρξη της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο, μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον εντοπισμό σημείων όπου μια συνάρτηση δεν έχει παράγωγο. Από την άλλη πλευρά, μπορεί να διατυπωθεί μια ικανή συνθήκη για την εξασφάλιση της παραγώγου σε ένα σημείο: Θεώρημα Έστω η συνάρτηση f(z) = u(x, y) + iv(x, y), η οποία ορίζεται σε μια περιοχή του σημείο z 0 = x 0 + iy 0. Αν υπάρχουν οι πρώτες μερικές παράγωγοι των u και v ως προς x και y στην περιοχή αυτή, είναι συνεχείς στο (x 0, y 0 ) και ικανοποιούν τις εξισώσεις auchy- Riemann εκεί, τότε η f (z 0 ) υπάρχει. Παράδειγμα 2.4: Έστω η συνάρτηση f(z) = x 3 3xy 2 x + i ( 3x 2 y y 3 y ) Για τη συγκεκριμένη συνάρτηση είναι u(x, y) = x 3 3xy 2 x και v(x, y) = 3x 2 y y 3 y, οπότε Επιπλέον, v(x, y) = 3x 2 y y 3 y, οπότε u x (x, y) = 3x 2 3y 2 1 u y (x, y) = 6xy v x (x, y) = 6xy v y (x, y) = 3x 2 3y 2 1 Επομένως, σε οποιοδήποτε σημείο του μιγαδικού επιπέδου είναι u x (x, y) = v y (x, y) και u y (x, y) = v x (x, y), ενώ είναι συνεχείς και οι παράγωγοι. Επομένως, η συνάρτηση του συγκεκριμένου παραδείγματος είναι παντού παραγωγίσιμη. 20

24 2.4 Παραγώγιση Παράδειγμα 2.5: Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση Τώρα είναι u(x, y) = 1 4 (2x + y)2, άρα Επιπλέον, είναι v(x, y) = 2x y, οπότε f(z) = 1 4 (2x + y)2 + i(2x y) u x (x, y) = 2x + y u y (x, y) = 1 (2x + y) 2 v x (x, y) = 2 v y (x, y) = 1 Εφαρμόζοντας τις εξισώσεις auchy-riemann, παίρνουμε 2x + y + 1 = 0 και 2x + y + 4 = 0. Επομένως, δεν υπάρχει πουθενά η παράγωγος της f. Μετά την εισαγωγή της έννοιας της παραγώγου, δίνουμε τον ορισμό των αναλυτικών συναρτήσεων. Ορισμός 2.11 Μια συνάρτηση λέγεται αναλυτική σε μια περιοχή του μιγαδικού επιπέδου, αν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο της περιοχής αυτής, ενώ χαρακτηρίζεται αναλυτική σε ένα σημείο, αν είναι αναλυτική σε μια περιοχή αυτού. Από τον ορισμό συμπεραίνεται ότι το να υπάρχει η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο δεν εξασφαλίζει την αναλυτικότητα της συνάρτησης στο σημείο εκείνο. Φυσικά και η συνέχεια μιας συνάρτησης αποτελεί αναγκαία, αλλά σίγουρα όχι ικανή συνθήκη για αναλυτικές συναρτήσεις. Παράδειγμα 2.6: Έστω η συνάρτηση f(z) = z 2 = x 2 + y 2 Για την f είναι u(x, y) = x 2 + y 2 και v(x, y) = 0, οπότε u x = 2x, u y = 2y και v x = v y = 0. Από τις συνθήκες auchy-riemann προκύπτει ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη μόνο στο σημείο (0, 0). Συνεπώς, η f δεν είναι πουθενά αναλυτική. Όπως θα δείξουμε στη συνέχεια, το πραγματικό και το φανταστικό μέρος μιας αναλυτικής συνάρτησης έχουν πολύ συγκεκριμένες ιδιότητες. Αν η f(z) = u+iv είναι αναλυτική, θα ικανοποιούνται οι εξισώσεις auchy-riemann, οπότε διαπιστώνεται άμεσα ότι u xx = v yx u yy = v xy Λαμβάνοντας υπόψη τη συνέχεια των μερικών παραγώγων, θα είναι v xy = v yx, οπότε με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει ότι η συνάρτηση u ικανοποιεί την εξίσωση Laplace: u xx + u yy = 0 21

25 2. Μιγαδικές συναρτήσεις και παράγωγοι Ομοίως, μπορεί να δειχτεί ότι v xx + v yy = 0. Οι συναρτήσεις που αποτελούν λύσεις της εξίσωσης Laplace χαρακτηρίζονται ως αρμονικές. Παράδειγμα 2.7: H συνάρτηση ϕ(x, y) = y 2 x 2 είναι αρμονική, διότι ϕ x = 2x, ϕ xx = 2, ϕ y = 2y και ϕ yy = 2, με αποτέλεσμα ϕ xx + ϕ yy = 0 Επομένως, οι συναρτήσεις u και v που αποτελούν το πραγματικό και το φανταστικό μέρος μιας αναλυτικής συνάρτησης είναι αρμονικές και, συχνά, η v αναφέρεται ως η συζυγής αρμονική της u. Επιπλέον, αν μια συνάρτηση v(x, y) είναι συζυγής αρμονική μιας συνάρτησης u(x, y), τότε η συνάρτηση f(z) = u(x, y) + iv(x, y) είναι αναλυτική. Θα πρέπει να σημειωθεί πως αν η v είναι συζυγής αρμονική της u, αυτό δε σημαίνει πως και η u είναι συζυγής αρμονική της v (δηλαδή δεν είναι συμμετρική ιδιότητα). Παράδειγμα 2.8: Ας θεωρήσουμε την πραγματική συνάρτηση u(x, y) = x 2 y 2 2y Στη συνέχεια θα βρούμε (αν υπάρχουν) όλες τις αναλυτικές συναρτήσεις με πραγματικό μέρος ίσο με u. Αυτό που χρειάζεται να βρεθεί είναι η συνάρτηση v(x, y) που είναι συζυγής αρμονική της u(x, y). Είναι u x (x, y) = 2x οπότε από τις εξισώσεις auchy-riemann θα πρέπει να είναι και v y (x, y) = 2x με αποτέλεσμα Επιπλέον, θα πρέπει u y = v x, ή v(x, y) = 2xy + c 1 (x) 2y 2 = 2y c 1(x) απ όπου παίρνουμε c 1 (x) = 2x + c. Επομένως, v(x, y) = 2xy + 2x + c = 2x(y + 1) + c και οι ζητούμενες συναρτήσεις έχουν τη γενική μορφή f(x + iy) = x 2 y 2 2y + i[2x(y + 1) + c] Προχωρώντας στις αντικαταστάσεις x = (z + z)/2 και y = (z z)/(2i), προκύπτει και η έκφραση της συνάρτησης μόνο ως προς z: f(z) = z 2 + 2iz + ic 22

26 2.5 Πολυωνυμικές και ρητές συναρτήσεις u x, y c 1 v x, y c x 2 4 Σχήμα 2.4: Oι καμπύλες της μορφής u(x, y) = c 1 και v(x, y) = c 2 για τη συνάρτηση του παραδείγματος 2.8. Αποδεικνύεται πως οι ισοσταθμικές καμπύλες u(x, y) = c 1 και v(x, y) = c 2 που προκύπτουν για διάφορες τιμές των c 1, c 2 είναι ορθογώνιες (δηλαδή τέμνονται υπό ορθή γωνία), όταν η συνάρτηση v(x, y) είναι συζυγής αρμονική της u(x, y), με πιθανή εξαίρεση τα σημεία όπου είναι f (z) = 0. Όντως, για τις καμπύλες u(x, y) = c 1 ισχύει ότι με αποτέλεσμα η κλίση τους να είναι ίση με u x dx + u y dy = 0 dy dx = u x u y Από την άλλη πλευρά, η κλίση των καμπυλών v(x, y) = c 2 υπολογίζεται ως dy dx = v x v y = u y u x = 1 u x /u y Συνεπώς, στα σημεία τομής των u(x, y) = c 1 και v(x, y) = c 2, οι κλίσεις των δύο καμπυλών έχουν γινόμενο ίσο με 1, δηλαδή τέμνονται κάθετα. Στο σχήμα 2.4 απεικονίζονται οι συγκεκριμένες επίπεδες καμπύλες στην περίπτωση της συνάρτησης του παραδείγματος 2.8, όπου έχει επιλεγεί c = Πολυωνυμικές και ρητές συναρτήσεις Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις p n (z) = a 0 + a 1 z a n z n είναι παντού αναλυτικές, με παράγωγο p n(z) = a na n z n 1 Όταν είναι a n 0, η πολυωνυμική συνάρτηση λέγεται βαθμού n. 23

27 2. Μιγαδικές συναρτήσεις και παράγωγοι Θεώρημα H εξίσωση a 0 + a 1 z a n z n = 0, n > 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα. Από το παραπάνω θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας προκύπτει ότι κάθε πολυώνυμο βαθμού n έχει ακριβώς n ρίζες και γράφεται με τη μορφή p n (z) = a n (z z 1 )(z z 2 )... (z z n ) όπου z 1, z 2,..., z n οι ρίζες του πολυωνύμου. Φυσικά δεν είναι απαραίτητο να ισχύει z i z j για τις διάφορες τιμές των i και j. Ρητές ονομάζονται οι συναρτήσεις της μορφής R(z) = p n(z) q m (z) όπου p(z) και q(z) πολυωνυμικές συναρτήσεις και q(z) 0. Η παράγωγος της ρητής συνάρτησης ισούται με R (z) = p (z)q(z) p(z)q (z) [q(z)] Η συνάρτηση e z Ορισμός 2.12 H μιγαδική εκθετική συνάρτηση ορίζεται ως e z = e x cos y + ie x sin y Προφανώς είναι Re(e z ) = e x cos y και Im(e z ) = e x sin y. To μέτρο και το όρισμα της εκθετικής συνάρτησης προκύπτουν εύκολα και είναι e z = e x arg(z) = y + 2kπ, k Z Δεδομένου ότι πάντα είναι e x > 0, ισχύει e z 0 για κάθε z. Από την άλλη πλευρά, η συνάρτηση e z μπορεί να πάρει και αρνητικές τιμές. Σε αντίθεση με την αντίστοιχη συνάρτηση μίας πραγματικής μεταβλητής, η f(z) = e z είναι περιοδική με φανταστική περίοδο, αφού ισχύει: f(z + 2πi) = e z+2πi = e x [cos(y + 2π) + i sin(y + 2π)] = e x (cos y + i sin y) = e z = f(z) Επομένως, η μιγαδική εκθετική συνάρτηση δεν είναι ένα-προς-ένα. Αποδεικνύεται ότι ισχύει η ιδιότητα όπως και e z 1+z 2 = e z 1 e z 2 e z 1 z 2 = ez 1 e z 2 Αν θέσουμε z 1 = 0 και z 2 = z, τότε διαπιστώνεται ότι 1 e z = e z 24

28 2.7 Τριγωνομετρικές και υπερβολικές συναρτήσεις y p f ( z) = e z v 1 2 x e 2 e u -p Σχήμα 2.5: Απεικόνιση κατακόρυφων ευθύγραμμων τμημάτων μέσω της f(z) = e z. Επιπλέον, είναι πάντα e z 0, αφού το μέτρο της e z καθορίζεται πλήρως από τη μη μηδενική πραγματική συνάρτηση e x. H εκθετική συνάρτηση αποδεικνύεται εύκολα ότι είναι αναλυτική. Για την f(z) = e z, έχουμε και με αποτέλεσμα: u(x, y) = e x cos y v(x, y) = e x sin y u x (x, y) = e x cos y u y (x, y) = e x sin y v x (x, y) = e x sin y v y (x, y) = e x cos y δηλαδή u x = v y και u y = v x. Με βάση τα παραπάνω, η παράγωγος είναι: d dz ez = u x + iv x = e x cos y + ie x sin y = e z Οι μιγαδικοί αριθμοί της μορφής z = x 0 + iy, οι οποίοι βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία παράλληλη με τον άξονα των φανταστικών αριθμών, απεικονίζονται στο uv-επίπεδο, μέσω της e z, στους μιγαδικούς της μορφής w = e x 0 e iy. Οι τελευταίοι βρίσκονται στην περιφέρεια κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ίση με e x 0 (σχήμα 2.5). Μάλιστα, αρκεί η μεταβλητή y να πάρει τιμές σε ένα διάστημα της μορφής [y 0, y 0 + 2π), έτσι ώστε να προκύψουν ως εικόνες όλα τα σημεία της περιφέρειας του κύκλου. Από την άλλη πλευρά, ευθείες παράλληλες με τον άξονα των πραγματικών αριθμών, δηλαδή της μορφής z = x + iy 0, απεικονίζονται μέσω της εκθετικής συνάρτησης στα σημεία w = e x e iy 0, τα οποία βρίσκονται πάνω σε μια ημιευθεία με αρχή το σημείο O, σε διεύθυνση y 0 ως προς τον άξονα των πραγματικών αριθμών (σχήμα 2.6). Αυτό τελικά σημαίνει ότι για να πραγματοποιηθεί απεικόνιση σε όλα τα σημεία του uv-επιπέδου (εξαιρώντας, βέβαια, την αρχή των αξόνων, αφού είναι e z 0), αρκεί να περιοριστούμε στο z-επίπεδο σε μία λωρίδα πλάτους 2πi, δηλαδή μεταξύ δύο ευθειών y = y 0 και y = y 0 + 2π. 2.7 Τριγωνομετρικές και υπερβολικές συναρτήσεις H εκθετική συνάρτηση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον ορισμό τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Λαμβάνοντας υπόψη ότι για κάθε x R ισχύει e ix = cos x+i sin x και e ix = cos x i sin x, 25

29 2. Μιγαδικές συναρτήσεις και παράγωγοι y f ( z) = e z v p p / 4 -p / 2 -p x u Σχήμα 2.6: Απεικόνιση οριζόντιων ευθειών μέσω της f(z) = e z. προκυπτει ότι sin x = (e ix e ix )/(2i) και cos x = (e ix + e ix )/2. Με βάση αυτά τα αποτελέσματα, ορίζουμε τις μιγαδικές συναρτήσεις ημίτονο και συνημίτονο ως εξής: sin z = eiz e iz 2i cos z = eiz + e iz 2 Οι δύο αυτές συναρτήσεις είναι περιοδικές, αφού ισχύουν τα παρακάτω: sin(z + 2π) = sin z cos(z + 2π) = cos z ενώ επιπλέον βρίσκουμε ότι sin( z) = sin z, cos( z) = cos z και sin 2 z + cos 2 z = 1. Το υπερβολικό ημίτονο και το υπερβολικό συνημίτονο ορίζονται με τρόπο αντίστοιχο με την περίπτωση πραγματικών μεταβλητών: sinh z = ez e z 2 cosh z = ez + e z 2 Επομένως, δεν είναι δύσκολο να διαπιστώσει κανείς ότι ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: sinh (iz) = i sin z cosh (iz) = cos z Οι συγκεκριμένες υπερβολικές συναρτήσεις είναι περιοδικές με περίοδο 2πi: sinh (z + 2πi) = sinh z cosh (z + 2πi) = cosh z Άλλες τριγωνομετρικές και υπερβολικές συναρτήσεις μπορούν να οριστούν με τον αναμενόμενο τρόπο, π.χ. tan z = sin z cos z, sinh z tanh z = cosh z 26

30 2.8 Η συνάρτηση log z 2.8 Η συνάρτηση log z Η αναζήτηση της λύσης της εξίσωσης z = e w οδηγεί στον ορισμό της μιγαδικής συνάρτησης λογαρίθμου. Αν z = re iθ και w = u + iv, τότε θα είναι re iθ = e u e iv Για να είναι ίσες οι δύο παραστάσεις, θα πρέπει { r = e u v = θ + 2kπ { u = ln r v = θ + 2kπ Με βάση τα παραπάνω συμπεράσματα, δίνεται ο ακόλουθος ορισμός: Ορισμός 2.13 Η πλειότιμη μιγαδική συνάρτηση log z με z = re iθ ορίζεται ως log z = ln r + i (θ + 2kπ) = ln z + i arg(z) όπου k Z. Ειδικότερα, μπορεί να οριστεί η πρωτεύουσα ή κύρια τιμή του λογαρίθμου ως εξής: Logz = ln r + iθ όπου π < θ π είναι το πρωτεύον όρισμα του z. Συνεπώς, μπορούμε να γράψουμε αλλά και Log z = ln z + iarg z log z = Log z + 2kπi Aν η μεταβλητή z παίρνει μόνο θετικές πραγματικές τιμές, δηλαδή z = r R με r > 0, τότε προκύπτει ότι Log z = ln r Επιπλέον, αν z = re iθ, επιβεβαιώνεται ότι: e log z = e ln r+i(θ+2kπ) = e ln r e i(θ+2kπ) = re iθ = z Από την άλλη πλευρά, για z = x + iy προκύπτει ότι log e z = ln e z + i arg(e z ) = ln e x + i(y + 2kπ) = x + iy + 2kπi δηλαδή με k Z. log e z = z + 2kπi Παράδειγμα 2.9: τότε και Αν z = 3 i = 2e π/6 Log z = ln 2 i π 6 ( log z = ln 2 + i 2kπ π ), k Z 6 27

31 2. Μιγαδικές συναρτήσεις και παράγωγοι Παράδειγμα 2.10: Για την επίλυση της εξίσωσης e z = 2 έχουμε οπότε e z = 2e iπ z = ln 2 + i(π + 2kπ) = ln 2 + i(2k + 1)π, k Z Στον ορισμό του λογαρίθμου, διαφορετικές τιμές του k ορίζουν διαφορετικούς (άπειρους σε πλήθος) κλάδους¹ της συνάρτησης, οι οποίοι είναι μονότιμες συναρτήσεις. Έτσι, για k = 0 προκύπτει ο κύριος κλάδος Log z της συνάρτησης log z. Χαρακτηριστικές ιδιότητες του λογαρίθμου είναι οι εξής: log(z 1 z 2 ) = log z 1 + log z 2 ( ) z1 log = log z 1 log z 2 z 2 Η ορθή ερμηνεία των δύο ιδιοτήτων θα πρέπει να λαμβάνει υπόψη το γεγονός ότι ο λογάριθμος είναι πλειότιμη συνάρτηση. Για παράδειγμα, η πρώτη ιδιότητα σημαίνει ότι αν επιλεγούν συγκεκριμένες (από τις άπειρες) τιμές για τους δύο λογαρίθμους log z 1 και log z 2, τότε προκύπτει μία από τις άπειρες τιμές της παράστασης log(z 1 z 2 ). Επιπλέον, οι παραπάνω ιδιότητες δεν είναι απαραίτητο να ικανοποιούνται από τον κύριο κλάδου του λογαρίθμου. Θα μπορούσαμε, ακόμα, να γράψουμε log z n = n log z, υπό την έννοια ότι οι τιμές του n log z περιλαμβάνονται στις τιμές του log z n. Με τη βοήθεια του λογαρίθμου μπορούν να οριστούν τα μιγαδικά εκθετικά, ως εξής: z α = e α log z Αν ο α είναι ακέραιος αριθμός, τότε η παράσταση z α παίρνει μία και μοναδική τιμή. Αν ο α είναι ρητός αριθμός, τότε το εκθετικό παίρνει πεπερασμένου πλήθους τιμές, ενώ σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση το e α παίρνει άπειρες σε πλήθος τιμές. Η συνάρτηση Log z είναι συνεχής στο μιγαδικό επίπεδο, με εξαίρεση τον ημιάξονα των αρνητικών πραγματικών αριθμών. Η ασυνέχεια στο συγκεκριμένο ημιάξονα οφείλεται στο ότι στα σημεία κοντά σε αυτόν, τα οποία βρίσκονται στο δεύτερο τεταρτημόριο, έχουν φανταστικό μέρος ίσο με π, ενώ στα κοντινά σημεία του τρίτου τεταρτημορίου, το φανταστικό μέρος γίνεται ίσο με π. Από την άλλη πλευρά, μπορεί πάντα να οριστεί ένας κλάδος της συνάρτησης, ο οποίος είναι συνεχής σε ένα συγκεκριμένο σημείο του μιγαδικού επιπέδου (εξαιρώντας, βέβαια, την αρχή των αξόνων). Αν ορίσουμε εκείνο τον κλάδο της log z επιβάλλοντας τον περιορισμό το φανταστικό μέρος να παίρνει τιμές στο διάστημα (a, a + 2π], τότε η ασυνέχεια μετατοπίζεται στην ημιευθεία θ = a, η οποία χαρακτηρίζεται ως τιμή διακλάδωσης. Το σημείο O ονομάζεται σημείο διακλάδωσης, διότι όταν το z πραγματοποιεί μια πλήρη περιστροφή γύρω από αυτό, η πλειότιμη συνάρτηση παίρνει διαφορετικές τιμές. Για την παράγωγο της συνάρτησης Log z, αποδεικνύεται ότι d dz Log z = 1 z ¹Κλάδος μιας πλειότιμης συνάρτησης f ονομάζεται μια μονότιμη συνάρτηση F που είναι αναλυτική σε μια περιοχή του μιγαδικού επιπέδου, σε κάθε σημείο της οποίας η τιμής της F ισούται με μία από τις τιμές της f εκεί. 28

32 2.8 Η συνάρτηση log z και η Log z είναι αναλυτική στο, με εξαίρεση τον ημιάξονα (, 0) των πραγματικών αριθμών. Τέλος, εφαρμόζοντας την ίδια διαδικασία με εκείνη της εκθετικής συνάρτησης, διαπιστώνεται ότι η συνάρτηση Log z: απεικονίζει τον κύκλο z = r στο ευθύγραμμο τμήμα u = ln r, π < v π, απεικονίζει την ημιευθεία arg(z) = θ 0 στην ευθεία v = θ 0, < u < +, απεικονίζει το σύνολο z > 0 στη λωρίδα που ορίζεται από τις ανισότητες < u < + και π < v π. 29

33 2. Μιγαδικές συναρτήσεις και παράγωγοι 30

34 Κεφάλαιο 3 Μιγαδική ολοκλήρωση 3.1 Καμπύλες Ορισμός 3.1 Μια καμπύλη στο μιγαδικό επίπεδο είναι ένα σύνολο σημείων z = (x, y), τέτοια ώστε x = x(t) και y = y(t) με t [a, b], όπου οι συναρτήσεις x(t) και y(t) είναι συνεχείς στο διάστημα [a, b]. Επομένως, μια μιγαδική συνάρτηση z = z(t) με t [a, b] παριστάνει γενικά μια καμπύλη στο μιγαδικό επίπεδο, με αρχικό σημείο το z(a) και τελικό το z(b). Για παράδειγμα, η καμπύλη z(t) = cos t + i sin t με t [0, 2π] είναι ο μοναδιαίος κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων, αφού στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι x(t) = cos t και y(t) = sin t, με αποτέλεσμα x 2 (t) + y 2 (t) = 1 Φυσικά, η παραμετρική περιγραφή που χρησιμοποιείται για κάποια καμπύλη δεν είναι μοναδική. Σε κάθε καμπύλη, ο θετικός προσανατολισμός της (ή φορά διαγραφής) είναι αυτός που προκύπτει για αυξανόμενες τιμές της παραμέτρου t. Παράδειγμα 3.1: Για να προσδιοριστεί η εξίσωση του ευθυγράμμου τμήματος που ορίζεται από δύο σημεία z 1 και z 2 του μιγαδικού επιπέδου, θεωρούμε ένα τυχαίο σημείο z πάνω σε αυτό. Τότε θα πρέπει τα διανύσματα που ορίζονται από τα σημεία z, z 1 και z 1, z 2 να είναι παράλληλα μεταξύ τους. Με άλλα λόγια, θα ισχύει z z 1 = t(z 2 z 1 ), ή z(t) = (1 t)z 1 + tz 2 Περιορίζοντας τις τιμές της παραμέτρου t στο διάστημα [0, 1], προκύπτουν μόνο εκείνα τα σημεία του μιγαδικού επιπέδου που ανήκουν στο ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα z 1, z 2. Ορισμός 3.2 Μια καμπύλη z = z(t) λέγεται απλή, αν ισχύει z(t 1 ) z(t 2 ) όταν t 1 t 2, εξαιρώντας τις τιμές του t που αντιστοιχούν στα άκρα της καμπύλης. Με άλλα λόγια, μια καμπύλη είναι απλή όταν δεν τέμνει τον εαυτό της. Ορισμός 3.3 Αν για μια καμπύλη z(t) με t [a, b] ισχύει t 1 t 2 z(t 1 ) z(t 2 ), αλλά με z(a) = z(b), τότε αυτή η καμπύλη λέγεται απλή κλειστή. 31

35 3. Μιγαδική ολοκλήρωση,,, Σχήμα 3.1: Κατηγορίες καμπυλών. Όπως ειπώθηκε προηγουμένως, σε κάθε καμπύλη αντιστοιχίζεται μια θετική φορά διαγραφής. Ειδικά για μια κλειστή καμπύλη, ως θετική φορά διαγραφής θεωρούμε αυτήν κατά την οποία τα εσωτερικά σημεία αφήνονται στα αριστερά της. Κατά τα γνωστά, η παράγωγος της συνάρτησης z(t) = x(t) + iy(t) είναι: z (t) = x (t) + iy (t) και το αντίστοιχο μέτρο z (t) = [x (t)] 2 + [y (t)] 2 Όταν η z (t) είναι συνεχής και ισχύει z(t) 0 για κάθε t, η καμπύλη που παριστάνεται από τη συγκεκριμένη συνάρτηση λέγεται λεία και δεν παρουσιάζει γωνιακά σημεία. Πρακτικά, κατά μήκος μιας λείας καμπύλης η εφαπτόμενη ευθεία στρέφεται με ομαλό τρόπο. Μια τμηματικά λεία καμπύλη αποτελείται από λείες καμπύλες και ένα πεπερασμένο αριθμό γωνιακών σημείων, τα οποία βρίσκονται στα σημεία όπου συνδέονται τα επιμέρους λεία τμήματα. Τέλος, από το γνωστό τύπο υπολογισμού του συνολικού μήκους l μιας παραμετρικά ορισμένης καμπύλης x = x(t), y = y(t), προκύπτει ότι: b b l = [x (t)] 2 + [y (t)] 2 dt = z (t) dt 3.2 Επικαμπύλια ολοκληρώματα a Αρχικά ορίζουμε το ολοκλήρωμα μιγαδικής συνάρτησης μίας πραγματικής μεταβλητής, το οποίο θα αξιοποιηθεί στον υπολογισμό επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων: a Ορισμός 3.4 ολοκλήρωμα Έστω μια συνάρτηση f : [a, b] R, με f(t) = u(t) + iv(t). Τότε ορίζεται το b a f(t) dt = b a u(t) dt + i b a v(t) dt Η ύπαρξη του παραπάνω ολοκληρώματος είναι εξασφαλισμένη, όταν οι συναρτήσεις u(t) και v(t) είναι τμηματικά συνεχείς στο διάστημα ολοκλήρωσης. Αν μπορούν να βρεθούν δύο συναρτήσεις U και V στο διάστημα ολοκλήρωσης με τις ιδιότητες U (t) = u(t) και V (t) = v(t), τότε ισχύει b a f(t) dt = [U(t) + iv (t)] b a = [U(b) + iv (b)] [U(a) + iv (a)] = U(b) U(a) + i [V (b) V (a)] 32

36 3.2 Επικαμπύλια ολοκληρώματα Παράδειγμα 3.2: Παρακάτω υπολογίζεται το ολοκλήρωμα I = 1 1 (2i + t) 2 dt Είναι: I = = = ( 4 + t 2 + i4t ) dt ( 4 + t 2 ) 1 dt + i 4t dt 1 [ 4t + 1 ] 1 3 t3 + i [ 2t 2] = i0 = 22 3 Στη συνέχεια αξιοποιείται ο ορισμός που διατυπώθηκε προηγουμένως για να οριστούν ολοκληρώματα μιγαδικών συναρτήσεων πάνω σε καμπύλες του μιγαδικού επιπέδου. Έστω μια λεία καμπύλη που περιγράφεται από την εξίσωση z(t) = x(t) + iy(t), με t [a, b] και z(a), z(b) το αρχικό και το τελικό σημείο της καμπύλης. Αν f(z) = u(x, y)+iv(x, y) μια συνεχής μιγαδική συνάρτηση πάνω στη, τότε ορίζουμε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της f πάνω στη ως εξής: b ( ) f(z)dz = f (z(t)) z (t) dt = f a Ένας άλλος συμβολισμός του ολοκληρώματος είναι και ο παρακάτω: z2 z 1 f(z) dz o οποίος χρησιμοποιείται κυρίως σε περιπτώσεις όπου η τιμή του ολοκληρώματος είναι ανεξάρτητη από τη διαδρομή ολοκλήρωσης (διαφορετικά ο προσδιορισμός της καμπύλης όπου λαμβάνει χώρα η ολοκλήρωση είναι απαραίτητος). Δεδομένου ότι f (z(t)) z (t) = [u (x(t), y(t)) + iv (x(t), y(t))] [ x (t) + iy (t) ] = u (x(t), y(t)) x (t) v (x(t), y(t)) y (t) + i [ u (x(t), y(t)) y (t) + v (x(t), y(t)) x (t) ] τελικά ο υπολογισμός του ολοκληρώματος μπορεί να γίνει ως εξής: f(z)dz = u dx v dy + i v dx + u dy = b a ( ux vy ) b ( dt + i vx + uy ) dt Η τιμή ενός τέτοιου ολοκληρώματος (αν υπάρχει) είναι ανεξάρτητη από την παραμετρική περιγραφή της καμπύλης ολοκλήρωσης, αρκεί κάθε αλλαγή της παραμέτρησης να μην αλλάζει τη φορά διαγραφής της καμπύλης. Αν μια καμπύλη περιγράφεται από μια συνάρτηση z = z(t) που ορίζεται 33 a