Συσχέτιση- Correlation

Transcript

1 Συσχέτιση- Correlaton Η συσχέτιση μετρά το βαθμό συνάφειας- αλληλεπίδρασης ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές. Πρακτικά σημαίνει, ότιαπότηντιμήενόςδείκτη(συντελεστήσυσχέτισης) κατανοούμεπόσο έντονη ή χαλαρή είναιη συσχέτιση δύο μεταβλητών. Η διαδικασίασυσχέτισηςπαρουσιάζεταιόχιμόνο σεποσοτικέςμεταβλητές(συντελεστήςpearson) αλλάκαισε ποιοτικέςήκατηγορικέςμεταβλητές. Θαπρέπειναδιακρίνουμε μίαδιαφορά. Τογεγονόςτηςύπαρξηςήμηέντονηςσυνάφειαςσυσχέτισης ανάμεσα σε δύο μεταβλητές, δεν συνεπάγεται απαραίτητακαιτηνύπαρξημίαςσυναρτησιακήςσχέσηςαυτών. ΤοθέμααυτόαναλύεταιστηΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑRegresson. Οισυντελεστέςσυσχέτισηςπουθαδούμεχωρίζονταισεδύο κατηγορίες. Η πρώτη αφορά το συντελεστή γραμμικής συσχέτισης του Pearson και αναφέρεται σε ποσοτικές μεταβλητέςκαιηδεύτερηκατηγορίααφοράτουςσυντελεστές Spearman καιkendall, οιοποίοιχρησιμοποιούνταισεποιοτικές μεταβλητές καικατηγορικές μεταβλητές(δηλαδή μεταβλητές τωνοποίωνοιτιμέςδενεπιδέχονταιιεράρχηση). Συντελεστήςγραμμικήςσυσχέτισης (Pearson) Ο συντελεστής γραμμικής συσχέτισης δύο ποσοτικών μεταβλητώνορίζεταιαπότοπηλίκο όπου cov( x, y r ) cov(x,y) είναιησυνδιακύμανσητωνμεταβλητώνχ,y καισχ, σγοιτυπικές αποκλίσεις(standard devaton) αυτών. x y

2 Ιδιότητες Ο συντελεστής γραμμικής συσχέτισης είναι καθαρός αριθμόςκαιδενέχειμονάδεςμέτρησης. -1 r1 Ότανπαίρνειτηντιμή -1, σημαίνειότιυπάρχει πλήρης(τέλεια) συσχέτισηκαιμάλιστα οιτιμέςτηςμιας μεταβλητήςαυξάνουν, ενώ οιτιμέςτηςάλληςμεταβλητής μειώνονται. Ομοίωςη τιμή +1 σημαίνειπλήρης(τέλεια) συσχέτιση των δύο μεταβλητών και μάλιστα οι τιμέςκαιτωνδύοβαίνουναύξουσεςήφθίνουσες. Καιστις δύο αυτές ακραίες τιμές του συντελεστή γραμμικής συσχέτισηςισχύειανάμεσαστιςδύομεταβλητέςχκαιυη ποσοτική(συναρτησιακή, μαθηματικήσχέσηυ=α+ β Χ Αντίστροφα, ότανοιμεταβλητέςχκαιυσυνδέονταιμετη σχέσηυ=α+ β Χ, τότεr = -1 ανβ>0 καιr=1 ανβ<0. Ανr=0 τότεοιμεταβλητέςχκαιυλέγονταιασυσχέτιστες. Εδώ θαπρέπειναθυμηθούμεάλλοπράγμαεννοούμεμε τονόροανεξάρτητεςμεταβλητέςκαιάλλοπροτίμαμετον όροασυσχέτιστες. Παράδειγμα ΈστωοιμεταβλητέςΧ: ηλικίαενηλίκωνατόμωνκαιυ: τοβάρος αυτών. Oιτιμέςτωνμεταβλητώνδίνονταιστιςδύοπρώτες στήλεςτουπίνακα18.1 X Y X X =608 8 Y =616 8 X = Y =48016 n Y X Y X Y =4733

3 D τύποςορισμούτουσυντελεστήγραμμικήςσυσχέτισηςμπορεί ναμετασχηματισθείσ' ένανάλλοτύπο(υπολογισμού), οοποίος έχειτημορφή r X Y 1 1 XY N 8 8 ( 8 X ) ( 8 Y ) 1 1 X Y 1 N 1 N = = 608* = 0,98 Επειδή ο συντελεστής συσχέτισης είναιπολύ κοντά στη μονάδας(100%) προκύπτειισχυρήγραμμικήσυσχέτισημεταξύ τωνδύομεταβλητοίηλικίαχ) καιβάρος(υ). Ορισμός Ότανοιτιμέςτωνδύομεταβλητώνπουεκφράζουνιδιότητες, σχετίζονταιμετέτοιοντρόποώστεημία-έστωηy (εξαρτημένη) ναμπορείναπροβλεφθείότανηάλληηx (ανεξάρτητη) είναι γνωστή, τότε λέμεότιτα χ καιy σχετίζονται(θετικά ή αρνητικά). Ηαπλούστερημορφήσυσχέτισηςείναιηγραμμική καιμαθηματικά εκφράζεταιαπό τον τύπο y = α+βχ. Ο συντελεστήςαείναιητιμήτουy γιαχ=0 (ntercept) καιτοβ είναιηκλίσητηςευθείας. Εάνηπαρατήρησηy δενυπόκειταισεσφάλματα, δηλαδήαν για κάποια τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής χ, μπορείνα προβλεφθεί ακριβώς το % τότε το μοντέλο καλείται προσδιοριστικό (determnstc). Στηνπραγματικότηταόμωςη τιμήτουy δενμπορείναπροβλεφθείακριβώς.

4 Έναμοντέλοπουδίνειτηδυνατότηταστοy, ναμηβρίσκεται ακριβώςστηνευθείαy = α+βχείναιτο: y = α+βχ+e όπουe είναιένατυχαίοσφάλμακαιπαριστάνειτηδιαφοράτης παρατηρούμενηςτιμήςy, γιαδοσμένοχ, απότηθεωρητικήτιμή α+βχ. Αυτού του είδους τα μοντέλα καλούνταιστοχαστικά (stochastc models, probablstc models). Όσοναφοράτασφάλματαe υποθέτουμεότιείναιτυχαία, με μέσητιμήe(e)=0. Έτσι, αφούταακαιβείναιάγνωστες σταθερέςισχύει: Ε(Υ) = α+βχ Ορισμός Η ευθεία Ε(Υ) = α+βχ ονομάζεται ευθεία γραμμικής παλινδρόμησης. Στο παρακάτω σχήμα φαίνονταιτα σφάλματα e j, δηλ. η διαφοράτηςπραγματικήςτιμήςτουy, απότηνθεωρητικήστο σημείοx. 0 X χ Τοπρόβλημαείναιοπροσδιορισμόςτωνσυντελεστώνακαιβ. Υπάρχουνδιάφοροιμέθοδοιπροσδιορισμούτουεκτιμητήτης ευθείαςε(υ) = α+βχπουπαριστάνεται:

5 y a x η επικρατέστερη όμως είναιη μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων. H μέθοδοςτωνελαχίστωντετραγώνων. Αςυποθέσουμεότιησχέσηπουσυνδέειδύοιδιότητες ενός ατόμου που αντιστοιχούν σε ποσοτικές τ.μ. είναι γραμμική, τηςμορφήςy = α+βχ, όπουοισυντελεστέςακαιβ θα πρέπεινα εκτιμηθούν. Κάνουμεn παρατηρήσειςκαι παίρνουμεταζεύγη(χ, y ) =l,,..., n. Αντομοντέλοήταν προσδιοριστικότότεθαείχαμεyj = α+βχἰ =l,,...,n. Επειδή όμωςοιπαρατηρήσειςυπόκεινταισεσφάλματα(διαφόρων τύπων), ησχέσηπουσυνδέειταx ι μετάy j είναιτηςμορφήςy j = α+βx+ej =l,,...,n όπουej είναιτυχαίασφάλματα. Είναι φυσικό να θέλουμενα έχουμεόσο τοδυνατόνμικρότερα σφάλματα δηλαδή θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε τα σφάλματα: e y ( a x ) Ηελάχιστητιμήγιατασφάλματαe επιτυγχάνεταιγια sxy και a y x s x όπου n 1 sxy x y nx y n 1 και n 1 s x ( x nx ) 1 n 1 1

6