ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

Transcript

1 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Βιολέττα Δάλλα Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών 1

2 Μη γραµµικά υποδείγµατα παλινδρόµησης Έστω µία συνάρτηση f = f(x 1,..., X K ) των µεταβλητών X 1,..., X K. Η συνάρτηση f είναι γραµµική ως προς τις X 1,..., X K, αν για κάθε j = 1,..., K η f X j δεν εξαρτάται από την X j. H συνάρτηση f είναι προσθετική ως προς τις X 1,..., X K, αν για κάθε j = 1,..., K η f X j δεν εξαρτάται από την X l, για κάθε l j, l = 1,..., K. H συνάρτηση f είναι γραµµική και προσθετική ως προς τις X 1,..., X K, αν για κάθε j = 1,..., K η f X j δεν εξαρτάται από τις X 1,..., X K. Το γραµµικό υπόδειγµα παλινδροµήσης είναι γραµµικό και προσθετικό ως προς τις ερµηνευτικές µεταβλητές X 1,..., X K. E (Y ) = f(x 1,..., X K ) = β 0 + β 1 X β K X K 2

3 Τα µη γραµµικά υποδείγµατα πολυµεταβλητής παλινδρόµησης (multiple nonlinear regression models) µε ερµηνευτικές µεταβλητές X 1,..., X K θεωρούν ότι η E (Y ) είναι µη γραµµική ή/και µη προσθετική ως προς τις ερµηνευτικές µεταβλητές X 1,..., X K. Υπάρχουν περιπτώσεις που το µη γραµµικό υπόδειγµα παλινδρόµησης µε ερµηνευτικές µεταβλητές X 1,..., X K µετασχηµατίζεται σε γραµµικό και προσθετικό (όχι όµως απαραίτητα ως προς τις αρχικές ερµηνευτικές µεταβλητές X 1,..., X K και µε την αρχική εξαρτηµένη µεταβλητή Y ). Στο µετασχη- µατισµένο υπόδειγµα εφαρµόζεται η µέθοδος OLS. Αν δεν υπάρχει κατάλληλος µετασχηµατισµός, τότε στο µη γραµµικό υπόδειγµα παλινδρόµησης µε ερµηνευτικές µεταβλητές X 1,..., X K εφαρµόζεται η µέθοδος µη γραµµικών ελαχίστων τετραγώνων NLS (non-linear least squares). 3

4 1. Πολυωνυµική µορφή Y t = β 0 + β 1 X t + β 2 X 2 t... + β K X K t + u t, t = 1,..., T Το υπόδειγµα µη γραµµικό ως προς την ερµηνευτική µεταβλητή X. Το υπόδειγµα µετασχηµατίζεται σε γραµµικό και προσθετικό ως προς τις ερµηνευτικές µεταβλητές X 1,..., X K Y t = β 0 + β 1 X t1 + β 2X t β K X tk + u t, t = 1,..., T ( ) όπου X tj = Xj t, j = 1,..., K Το µετασχηµατισµένο υπόδειγµα ( ) εκτιµάται µε τη µέθοδο OLS. 4

5 2. Αντίστροφη µορφή Y t = β 0 + β 1 1 X t + u t, t = 1,..., T Το υπόδειγµα είναι µη γραµµικό ως προς την ερµηνευτική µεταβλητή X. Το υπόδειγµα µετασχηµατίζεται σε γραµµικό ως προς την ερµηνευτική µεταβλητή X t Y t = β 0 + β 1 X t + u t, t = 1,..., T ( ) όπου X t = 1 X t Το µετασχηµατισµένο υπόδειγµα ( ) εκτιµάται µε τη µέθοδο OLS. 5

6 3. Συνάρτηση σταθερών ελαστικοτήτων Y t = β 0 X β 1 t1... X β K tk u t, t = 1,..., T Το υπόδειγµα είναι µη γραµµικό και µη προσθετικό ως προς τις ερµηνευτικές µεταβλητές X 1,..., X K. Μετασχηµατίζεται σε γραµµικό και προσθετικό ως προς τις ερµηνευτικές µεταβλητές X 1,..., X K Y t = β 0 + β 1X t β KX tk + u t, t = 1,..., T ( ) όπου και Y t = ln(y t ), X tj = ln(x tj), j = 1,..., K, u t = ln(u t) β 0 = ln(β 0) Το µετασχηµατισµένο υπόδειγµα ( ) εκτιµάται µε τη µέθοδο OLS. 6

7 4. Εκθετική µορφή Y t = e β 0+β 1 X t +u t, t = 1,..., T Το υπόδειγµα είναι µη γραµµικό ως προς την ερµηνευτική µεταβλητή X. Μετασχηµατίζεται σε γραµµικό ως προς την ερµηνευτική µεταβλητή X όπου Y t = β 0 + β 1 X t + u t, t = 1,..., T ( ) Y t = ln(y t ) Το µετασχηµατισµένο υπόδειγµα ( ) εκτιµάται µε τη µέθοδο OLS. 7

8 5. Λογιστική καµπύλη Y t = γ 1 + e β 0+β 1 t+u t, t = 1,..., T όπου γ > 0 και β 1 < 0. Το υπόδειγµα δεν είναι γραµµικό ως προς την ερµηνευτική µεταβλητή X, όπου X t = t. Εφόσον γ είναι γνωστό, µετασχηµατίζεται σε γραµµικό ως προς την ερµηνευτική µεταβλητή X όπου Y t = β 0 + β 1 t + u t, t = 1,..., T ( ) Y t = ln γ 1 Y t Το µετασχηµατισµένο υπόδειγµα ( ) εκτιµάται µε τη µέθοδο OLS. 8

9 6. Κατά τµήµατα γραµµική Y t = β 0 + β 1 X t + u t, t = 1,..., T ζ 0 + ζ 1 X t + u t, t = T + 1,..., T όπου T είναι η παρατήρηση µετά την οποία υπάρχει σπάσιµο (break) της παλινδρόµησης. Το υπόδειγµα δεν είναι γραµµικό ως προς την ερµηνευτική µεταβλητή X. Μετασχηµατίζεται σε γραµµικό και προσθετικό ως προς τις ερµηνευτικές µεταβλητές D, X, X D όπου D t = Y t = β 0 + γ 0 D t + β 1 X t + δ 1 (X t D t ) + u t, t = 1,..., T 1, t = T + 1,..., T, ζ 0 = β 0 + γ 0 και ζ 1 = β 1 + δ 1 0, t = 1,..., T ( ) Το µετασχηµατισµένο υπόδειγµα ( ) εκτιµάται µε τη µέθοδο OLS. 9

10 7. Κατά τµήµατα γραµµική Y t = β 0 + β 1 X t + u t, t ισχύει X t X ζ 0 + ζ 1 X t + u t, t ισχύει X t > X όπου X είναι το όριο (threshold) της ερµηνευτικής µεταβλητής X για το οποίο υπάρχει σπάσιµο της παλινδρόµησης. Το υπόδειγµα δεν είναι γραµµικό ως προς την ερµηνευτική µεταβλητή X. Μετασχηµατίζεται σε γραµµικό και προσθετικό ως προς τις ερµηνευτικές µεταβλητές D, X, X D όπου D t = Y t = β 0 + γ 0 D t + β 1 X t + δ 1 (X t D t ) + u t, t = 1,..., T 1, t ισχύει X t > X, ζ 0 = β 0 + γ 0 και ζ 1 = β 1 + δ 1 0, t ισχύει X t X ( ) Το µετασχηµατισµένο υπόδειγµα ( ) εκτιµάται µε τη µέθοδο OLS. 10

11 Τεχνική των ψευδοµεταβλητών Για να περιλάβουµε ποιοτικές µεταβλητές στο υπόδειγµα παλινδρόµησης χρησι- µοποιούµε τις ψευδοµεταβλητές (dummy variables). Αν η ποιοτική µεταβλητή έχει m κατηγορίες, ορίζονται m ψευδοµεταβλητές D t1 = 1, t κατηγορία 1,..., D tm = 0, t / κατηγορία 1 1, t κατηγορία m 0, t / κατηγορία m Οι πολλαπλασιαστικές ψευδοµεταβλητές για την ερµηνευτική µεταβλητή X j είναι το γινόµενο κάθε ψευδοµεταβλητής µε την X j, X j D 1,..., X j D m. Το υπόδειγµα παλινδρόµησης µπορεί να συµπεριλαµβάνει πάνω από µία ποιοτική µεταβλητή και την αλληλεπιδρασή τους. 11

12 Παγίδα των ψευδοµεταβλητών (dummy variable trap): Αν στο υπόδειγµα παλινδρόµησης συµπεριλάβουµε όλες τις m ψευδοµεταβλητές ή όλες τις m πολλαπλασιαστικές ψευδοµεταβλητές για την ερµηνευτική µεταβλητή X j, τότε η υπόθεση Α.2 δεν ισχύει αφού για κάθε t = 1,..., T ισχύει ότι D t D tm = 1 ή X tj D t X tj D tm = X tj. Αν στο υπόδειγµα παλινδρόµησης χρησιµοποιήσουµε ψευδοµεταβλητές, συµπεριλαµβάνουµε τις m 1 ψευδοµεταβλητές D 2,..., D m. Αν στο υπόδειγµα παλινδρόµησης χρησιµοποιήσουµε πολλαπλασιαστικές ψευδο- µεταβλητές για την ερµηνευτική µεταβλητή X j, συµπεριλαµβάνουµε τις m 1 πολλαπλασιαστικές ψευδοµεταβλητές X j D 2,..., X j D m. 12

13 Α. Μεταβολή στον σταθερό όρο (m = 2) Y t = β 0 + γ 0 D t + β 1 X t + u t, t = 1,..., T Για τις παρατηρήσεις t για τις οποίες D t = 0 δίνει Y t = β 0 + β 1 X t + u t Για τις παρατηρήσεις t για τις οποίες D t = 1 δίνει Y t = (β 0 + γ 0 ) + β 1 X t + u t 13

14 Β. Μεταβολή στην κλίση (m = 2) Y t = β 0 + β 1 X t + δ 1 (X t D t ) + u t, t = 1,..., T Για τις παρατηρήσεις t για τις οποίες D t = 0 δίνει Y t = β 0 + β 1 X t + u t Για τις παρατηρήσεις t για τις οποίες D t = 1 δίνει Y t = β 0 + (β 1 + δ 1 ) X t + u t 14

15 Γ. Μεταβολή στον σταθερό όρο και στην κλίση (m = 2) Y t = β 0 + γ 0 D t + β 1 X t + δ 1 (X t D t ) + u t, t = 1,..., T Για τις παρατηρήσεις t για τις οποίες D t = 0 δίνει Y t = β 0 + β 1 X t + u t Για τις παρατηρήσεις t για τις οποίες D t = 1 δίνει Y t = (β 0 + γ 0 ) + (β 1 + δ 1 ) X t + u t 15

16 Σε κάθε από τις περιπτώσεις Α-Γ, το υπόδειγµα παλινδρόµησης µε τις ψευδο- µεταβλητές για όλο το δείγµα είναι ίσοδυναµο µε τα υπόδειγµατα παλινδροµήσης για κάθε στρώµα της ποιοτικής µεταβλητής. Τα πλεονεκτήµατα του υποδείγµατος παλινδρόµησης µε τις ψευδοµεταβλητές είναι Η εκτίµηση του σ 2 είναι πιο ακριβής αν τα σφάλµατα για κάθε στρώµα της ποιοτικής µεταβλητής έχουν την ίδια διακύµανση. Οι στατιστικοί έλεγχοι για τις διαφοροποιήσεις ανάλογα µε τα στρώµατα της ποιοτικής µεταβλητής υπολογίζονται εύκολα βάσει των t και F στατιστικών των συντελεστών των ψευδοµεταβλητών και των πολλαπλασιαστικών µεταβλητών. 16

17 Παραδείγµατα ψευδοµεταβλητών Φύλο D t1 = 1, t είναι άνδρας 0, t είναι γυναίκα, D t2 = 1, t είναι γυναίκα 0, t είναι άνδρας Φυλή D t1 = 1, t είναι λευκός/ή 0, t δεν είναι λευκός/ή, D t2 = 1, t είναι µαύρος/η 0, t δεν είναι µαύρος/η, D t3 = 1, t είναι ασιάτης/ισσα 0, t δεν είναι ασιάτης/ισσα,... 17

18 Διαχρονική επίδραση D t1 = 1, t είναι περίοδος ύφεσης 0, t είναι περίοδος ανάπτυξης, D t2 = 1, t είναι περίοδος ανάπτυξης 0, t περίοδος ύφεσης Εποχική επίδραση D t1 = 1, t είναι χειµώνας 0, t δεν είναι χειµώνας,..., D t4 = 1, t είναι φθινόπωρο 0, t δεν είναι φθινόπωρο Επίδραση ενός γεγονότος D t1 = 1, t = 1,..., T 0, t = T + 1,..., T, D t2 = 1, t = T + 1,..., T 0, t = 1,..., T Επίδραση της τιµής µίας ερµηνευτικής µεταβλητής D t1 = 1, t ισχύει X tj > X, D t2 = 0, t ισχύει X tj X 1, t ισχύει X tj X 0, t ισχύει X tj > X 18

19 Στατιστικοί έλεγχοι: συντελεστές ψευδοµεταβλητών Το υπόδειγµα παλινδρόµησης Y t = β 0 + β 1 X t β K X tk + u t, t = 1,..., T ( ) υποθέτει ότι οι συντελεστές παλινδρόµησης είναι σταθεροί ανά στρώµα i της ποιοτικής µεταβλητής Για να ελεγχθεί αν υπάρχουν διαφοροποιήσεις ανά στρώµα ορίζονται οι ψευδοµεταβλητές D t1 = 1, t στρώµα 1 0, t / στρώµα 1,..., D tm = 1, t στρώµα m 0, t / στρώµα m 19

20 Α. Μεταβολή στον σταθερό όρο Y t = β 0 + m Β. Μεταβολή στην κλίση i=2 γ id ti + K j=1 β jx tj + u t, t = 1,..., T (Α) Y t = β 0 + K j=1 β jx tj + m i=2 K j=1 δ ij ( X tj D ti ) + uit, t = 1,..., T (Β) Γ. Μεταβολή στον σταθερό όρο και στην κλίση Y t = β 0 + m i=2 γ id ti + K j=1 β jx tj + m K δ ij i=2 j=1 ( X tj D ti ) + ut, t = 1,..., T (Γ) 20

21 Στατιστικοί έλεγχοι: διαφοροποίηση στον σταθερό όρο όταν οι κλίσεις δεν διαφοροποιούνται Υποθέσεις: H 0 : γ 2 =... = γ m = 0 έναντι H 1 : τουλάχιστον ένα γ i 0, i = 2,..., m Στατιστική ελέγχου: F = (SSE SSE A )/(m 1) SSE A /(T K m) όπου SSE και SSE A είναι τα SSE των υποδειγµάτων παλινδρόµησης ( ) και (Α),. Κρίσιµη περιοχή: F > F m 1,T K m,α 21

22 Στατιστικοί έλεγχοι: διαφοροποίηση στις κλίσεις όταν ο σταθερός όρος δεν διαφοροποιείται Υποθέσεις: H 0 : δ 21 =... = δ m1 = 0,..., δ 2K =... = δ mk = 0 έναντι H 1 : τουλάχιστον ένα δ ij 0, i = 2,..., m, j = 1,..., K Στατιστική ελέγχου: F = (SSE SSE B )/(m 1)K SSE B /(T mk 1) όπου SSE και SSE B είναι τα SSE των υποδειγµάτων παλινδρόµησης ( ) και (Β). Κρίσιµη περιοχή: F > F (m 1)K,T mk 1,α 22

23 Στατιστικοί έλεγχοι: διαφοροποίηση στις κλίσεις όταν ο σταθερός όρος διαφοροποιείται Υποθέσεις: H 0 : δ 21 =... = δ m1 = 0,..., δ 2K =... = δ mk = 0 έναντι H 1 : τουλάχιστον ένα δ ij 0, i = 2,..., m, j = 1,..., K Στατιστική ελέγχου: F = (SSE A SSE Γ )/(m 1)K SSE Γ /(T mk m) όπου SSE A και SSE Γ είναι τα SSE των υποδειγµάτων παλινδρόµησης (Α) και (Γ). Κρίσιµη περιοχή: F > F (m 1)K,T mk m,α 23

24 Στατιστικοί έλεγχοι: διαφοροποίηση στον σταθερό όρο και στις κλίσεις Υποθέσεις: H 0 : γ 2 =... = γ m = 0, δ 21 =... = δ m1 = 0,..., δ 2K =... = δ mk = 0 έναντι H 1 : τουλάχιστον ένα γ i ή δ ij 0, i = 2,..., m, j = 1,..., K Στατιστική ελέγχου: F = (SSE SSE Γ )/(m 1)(K+1) SSE Γ /(T mk m) όπου SSE και SSE Γ είναι τα SSE των υποδειγµάτων παλινδρόµησης ( ) και (Γ). Κρίσιµη περιοχή: F > F (m 1)(K+1),T mk m,α 24

25 Στατιστικοί έλεγχοι: Chow σταθερότητα των συντελεστών Περιόδος του δείγµατος χωρίζεται σε δύο υποπεριόδους µε T 1 και T 2 παρατηρήσεις. Υποθέσεις: H 0 : συντελεστές είναι σταθεροί τις δύο υποπεριόδους έναντι H 1 : συντελεστές διαφέρουν τις δύο υποπεριόδους Στατιστική ελέγχου: F = [SSE (SSE 1 +SSE 2 )]/(K+1) (SSE 1 +SSE 2 )/(T 1 +T 2 2(K+1)) όπου SSE, SSE 1 και SSE 2 είναι τα SSE των υποδειγµάτων παλινδρόµησης ( ) για όλη την περίοδο, για την πρώτη υποπερίοδο και την δεύτερη υποπερίοδο. Κρίσιµη περιοχή: F > F K+1,T1 +T 2 2(K+1),α Υποθέτει γνώση της χρονικής στιγµής που διαιρεί την περίοδο. Γενικεύεται σε περισσότερο από δύο υποπεριόδους. Υποθέτει ότι T 1, T 2 K

26 Στατιστικοί έλεγχοι: Chow προβλεπτική αποτυχία Υποθέσεις: H 0 : υπόδειγµα έχει προβλεπτική ικανότητα έναντι H 1 : υπόδειγµα δεν έχει προβλεπτική ικανότητα Στατιστική ελέγχου: F = (SSE SSE 1 )/T 2 SSE 1 /(T 1 (K+1)) όπου SSE και SSE 1 είναι τα SSE των υποδειγµάτων παλινδρόµησης ( ) για όλη την περίοδο και για την πρώτη υποπερίοδο. Κρίσιµη περιοχή: F > F T2,T 1 (K+1),α Βασίζεται στις προβλέψεις για τις T 2 παρατηρήσεις που γίνονται µε βάση τo υπόδειγµα παλινδρόµησης των T 1 παρατηρήσεων. Απόρριψη της H 0 συνεπάγεται ότι οι συντελεστές διαφέρουν τις δύο υποπεριόδους. Η µη απόρριψη της H 0 δεν συνεπάγεται γενικά ότι οι συντελεστές είναι σταθεροί τις δύο υποπεριόδους. 26