JOVO STEFANOVSKI NAUM CELAKOSKI

Transcript

1 JOVO STEFNOVSKI NUM CELKOSKI DEVETGODI[NO OSNOVNO ORZOVNIE Skopje, 011

2 Drag u~eniku! Ti si ve}e vo {esto oddelenie i si navlezen vo tajnite na matematikata. So matematikata se sre}ava{ sekojdnevno: na u~ili{te, doma, pa duri i vo tvoite igri. So ovaa kniga }e nau~i{ novi interesni sodrìni od broevite. ]e stekne{ novi soznanija od geometrijata. Vo temata Merewe }e gi izu~i{ mernite edinici za pove}e veli~ini i operaciite so niv. Knigava e podelena na ~etiri tematski celini. Tematskite celini zapo~nuvaat so nivnata sodrìna, a nastavnite edinici vo niv se numerirani. Vo nastavnite edinici ima oznaki vo boja i preku niv se ispi{ani poraki, aktivnosti, obvrski i drugi sugestii, i toa: Potseti se!, Treba da znae{ Proveri se? Nastavnite edinici zapo~nuvaat so ne{to {to ti e poznato. Treba da se potseti{ i da gi re{i{ dadenite barawa. Toa }e ti koristi pri izu~uvaweto na novoto vo lekcijata. So ovie oznaki nastavnata edinica e podelena na delovi (porcii) koi se odnesuvaat na novi poimi. So vakvite oznaki se ozna~eni aktivnostite, pra{awata i zada~ite {to }e gi re{ava{ samostojno ili so pomo{ na tvojot nastavnik. Vo ovoj del go u~i{ novoto vo lekcijata, zatoa treba da bide{ vnimatelen i aktiven za podobro da go nau~i{ i razbere{. Najbitnoto e oboeno so òlta boja. Najbitnoto od lekcijata e izdvoeno vo vid na pra{awa, zada~i ili tvrdewa. Toa treba da go pameti{ i da go koristi{ vo zada~i i prakti~ni primeri. Ovoj del sodrì pra{awa i zada~i so koi moè{ da se proveri{ dali pogolemiot del od izu~enoto go razbira{ za da moè{ da go primenuva{ i da go koristi{ vo sekojdnevniot ìvot. Zada~i Problemi Treba redovno i samostojno da gi re{ava{ ovie zada~i. So toa podobro }e go razbere{ izu~enoto, a toa }e ti bide od golema polza. Potrudi se da gi re{ava{ zada~ite i problemite vo ovoj del. So toa }e znae{ pove}e i }e bide{ pobogat so idei. Koga }e naide{ na te{kotii pri izu~uvaweto na matematikata ne otkaùvaj se, obidi se povtorno, a upornosta }e ti donese rezultat i zadovolstvo. ]e n raduva ako so ovaa kniga ja zasaka{ matematikata pove}e i postigne{ odli~en uspeh. Od avtorite

3 TEM 1. PRIRODNI ROEVI 1. Mnoèstvo. Na~ini na zapi{uvawe. roj na mnoèstvo. Kone~ni mnoèstva 7. Ekvivalentni mnoèstva. Ednakvi mnoèstva. Podmnoèstvo 9. Presek, unija i razlika na mnoèstva 1 5. Podreden par. Dekartov proizvod Niza od prirodnite broevi Dekaden broen sistem 0 8. îtawe i zaokruùvawe na prirodni broevi 9. Instrumenti za pribirawe podatoci Sobirawe Odzemawe 9 1. Zavisnost na zbirot i razlikata od promenata na komponentite 1 1. Mnoèwe 1. Delewe Zavisnost na proizvodot i koli~nikot od promenata na komponentite roen izraz. Ravenki 17. ritmeti~ka sredina Delivost na prirodni broevi. Delivost na zbir i razlika Priznaci za delivost so i so Priznaci za delivost so i so Priznak za delivost so 55. Prosti i sloèni broevi. Pretstavuvawe sloèn broj kako proizvod od prosti mnoìteli 57. Zaedni~ki delitel. Najgolem zaedni~ki delitel 60. Zaedni~ki sodràtel. Najmal zaedni~ki sodràtel 6 5. Slikoven dijagram. Stolbest dijagram U~e{e za prirodni broevi. Proveri go svoeto znaewe 68

4 1 NÎNI N ZPI[UVWE Potseti se! V b a v g Na crteòt se pretstaveni mnoès - tvoto i mnoèstvoto V so Venovi dijagrami. Elementite na mnoèstvoto se cvetovi. [to se elementite na mnoèstvoto V? 1 Neka so D e ozna~eno mnoèstvoto od site denovi vo sedmicata. Zapi{i gi site elementi na mno- èstvoto D. Dali mesecot april e element na mnoèstvoto D? Kolku elementi ima mnoèstvoto D? Iskaì usno edno mnoèstvo i zapi{i gi negovite elementi. Iskaì dva objekta {to ne se elementi na tvoeto mnoèstvo. Da zapomnam! Edno mnoèstvo e opredeleno ako se znae koi se site negovi elementi. Na crteòt e pretstaveno mnoèstvoto S so Venov dijagram. Koi broevi se elementi na mnoèstvoto S? Mnoèstvoto S moè da se zapi{e na tabelaren na~in (so redewe na elementite), taka {to }e se zapi{at me u zagradi site negovi elementi, odvoeni so zapirki, t.e. C = {1,,,, 5, 6, 7} S Elementi na edno mnoèstvo R se broevite: 10, 6,, 8 i. Zapi{i go mnoèstvoto P so Venov dijagram. Zapi{i go mnoèstvoto R na tabelaren na~in, taka {to broevite }e gi podredi{ po~nuvaj}i od najmaliot. Zapi{i go mnoèstvoto R na tabelaren na~in, taka {to broevite }e gi podredi{ po~nuvaj}i od najgolemiot.

5 Pri zapi{uvaweto na mnoèstvo na tabelaren na~in, redosledot na elementite ne e biten. 5 5 Zapi{i go mnoèstvoto Y od site samoglaski vo makedonskata azbuka. Zapi{i go na tabelaren na~in mnoèstvoto od bukvi {to se upotrebeni vo zborot masa. Da zapomnam! Mnoèstvoto {m, a, s, a} pra vilno se zapi{uva {m, a, s}. Istite elementi vo mno èstvoto se zapi{uvaat samo edna{. 6 Semejstvoto cevski go so~inuvaat: tatkoto Petar, majkata iljana, sinot Dragan i }erkata na. Neka so e ozna~eno mnoèstvoto od site ~lenovi na semej - stvoto cevski. Zapi{i go mnoèstvoto na tabelaren na~in. ko bukvata x se upotrebi kako zamena za imiwata na ~leno - vite od semejstvoto cevski, mnoèstvoto moè da se zapi{e: ={x x e ~len na semejstvoto cevski}. Vaka zapi{ano mnoèstvoto velime deka e pretstaveno na opisen na~in. 7 8 Mnoèstvoto S={x x e cifra od brojot 68} zapi{i go: so Venov dijagram; na tabelaren na~in. Na crteòt e dadeno mnoèstvoto R so Venov dijagram. Zapi{i go mnoèstvoto R na tabelaren na~in. So koj od slednite zapisi mnoèstvoto R e pretstaveno na opisen na~in? a) {x x >19} R b) {x x e neparen broj od vtorata desetka}. 15 v) {x x e priroden broj od vtorata desetka} V 9 Razgledaj go mnoèstvoto M zapi{ano so Venoviot dijagram. Elementi na mnoèstvoto M se bukvite od zborot klupa. Velime: ukvata k e element na mnoèstvoto M ili k mu pripa a na M ukvata a e element na mnoèstvoto M ili a mu pripa a na M ukvata e ne e element na mnoèstvoto M ili e ne mu pripa a na M Zapi{uvame: k M a M e M u k p l a M

6 10 6 So koristewe na znacite ili zapi{i to~ni tvrdewa za bukvite i, s, l, u, p i mnoèstvoto M. Na crteòt e pretstavena edna otse~ka a i to~kite:,, C, N, L, K i S. S a S V K 11 Zapi{i to~ni tvrdewa za to~kite ozna~eni na crteòt i za otse~kata a so koristewe na znacite ili. Nacrtaj prava p i ozna~i to~ki R, P, S i L takvi {to: R p; P p; S p i L p; L N Treba da znae{ Da navede{ primeri na mnoèstva; da pretstavi{ dadeno mno - èstvo so Venov dijagram, na opisen i na tabelaren na~in; pravilno da gi koristi{ znacite i. Proveri se! Koga edno mnoèstvo e opredeleno? Zapi{i go mnoèstvoto K ~ii elementi se broevite: 1,, 5, 7 i 9: so Venov dijagram; na tabelaren na~in; na opisen na~in. Koj broj od prvata desetka e element, a koj ne e element na mno èstvoto K? Zapi{i go toa so koristewe na zna cite ili. Zada~i 1. Na crteòt se dadeni mnoèstvata i V. e p k u a b V. Zapi{i go mnoèstvoto na tabelaren na~in, a mnoèstvoto V na opisen na~in. So koristewe na znacite ili zapi{i koja od bukvite: e, u, b, k e element na mno èstvoto V. Nacrtaj edna otse~ka i ozna~i ja so a. Ozna~i to~ki M, N, C, D i Y taka {to: M a, N a, C a, D a i S a. Koi bukvi se elementi na mnoès - tvoto? Od bukvite {to se elementi na mno èstvoto V sostavi zbor (ime na drvo). So Venov dijagram zapi{i mnoèstva i V takvi {to: 1,,,,,, 5, 6, 6, 7, 8, 8 i 9.

7 ROJ N MNO@ESTVO. KONE^NI MNO@ESTV 7 Potseti se! Mnoèstvoto e dadeno so Venov dijagram. a c d b Od koi elementi e sostaveno mno - èstvoto? Izbroj gi elementite na. Kolku elementi ima mnoèstvoto? Zapomni! 1 Razgledaj gi mnoèstvata, V i S i odgovori na pra{awata. = {a, b, c}; = {x x e den vo sedmica}; C = {x x e priroden broj pomal od 100}. Od koi elementi e sostaveno sekoe od mnoèstvata? Kolku elementi ima sekoe od mno - èstvata, V i S? Voo~iv! Mnoèstvoto ima elementi, V ima 7 elementi i mnoèstvoto S ima 99 elementi. rojot na elementite na dadeno mnoèstvo se vika broj na i se ozna~uva so δ. Kolku elementi ima mnoèstvoto devoj~iwa vo tvojata paralelka? Kolku vkupno u~enici ima mnoèstvoto mom~iwa vo tvojata paralelka? Kolkav e brojot na site u~enici vo tvojata paralelka? Voo~i i zapomni! Na sekoe od ovie mnoèstva mu go odredi brojot na negovite elementi. Site ovie mnoèstva se kone~ni mnoèstva. Najvisokata planina vo Republika Makedonija e Korab. Vrvot na Korab e visok 76 metri. Kolku elementi ima mnoèstvoto planini vo Republika Makedonija {to se povisoki od 000 metri? Odredi go brojot na mnoèstvata, V i S. = {juni, juli, januari} C = {x x e mesec vo godinata ~ie ime zapo~nuva so bukvata l}. V Maj

8 8 Voo~uva{ deka mnoèstvoto planini od zada~ata i mnoèstvoto S od zada~ata nemaat nitu eden element. Mnoèstvoto {to nema nitu eden element se vika prazno mnoèstvo i se ozna~uva so znakot. I praznoto mnoèstvo se smeta za kone~no mnoèstvo. M = {x x e planina vo R. Makedonija povisoka od 000 metri} =. δ = 0. 5 Navedi eden primer za prazno mnoèstvo. Treba da znae{ [to e broj na mnoèstvo; da navede{ primeri za kone~no i za prazno mnoèstvo. Proveri se! Zapi{i primer za: kone~no mnoèstvo S takvo {to δs = ; mnoèstvo Y takvo {to δy = 0. Zada~i 1. Odredi go brojot na elementite na. Odredi go brojot na elementite na sekoe mnoèstvoto: od mnoèstvata i V {to se dadeni so L = {,, 6, 8, 10} Venovi dijagrami. S = {x x e u~enik vo V oddelenie povisok od 5 metri} V 1 5 K = 6 7 Tvoi druga ri koi bile na go di {en odmor na pla netata Mars.. Odredi go brojot na elementite na sekoe od mnoèstvata = {,,,..., 99} i = {x x e priroden broj i 8 x < 5}. Problem Dali e kone~no mnoèstvoto: ìteli na Prilep; yvezdi na neboto; zrnca ìto vo edna vre}a; broevi {to moè da se zapi{at so cifrata 1?

9 EKVIVLENTNI EDNKVI 9 Potseti se! Odredi go brojot na elementite na mnoèstvoto: 1 Y Odredi go brojot na elementite na mnoèstvata Y i T. = {,, 6, 8, 10} = {1,, 5, 7, 9} T C = {10, 0, 0, 0, 50}. [to zabeleùva{? Koj od znacite <, = ili > treba da se zapi{e vo kruk~eto na zapisot δt δy? Zapi{i go mnoèstvoto = {x x e bukva od zborot DER} i mnoèstvoto = {x x e neparen broj od prvata desetka} na tabelaren na~in. Odredi gi δ i δv, a potoa sporedi gi. Zapi{i mnoèstvo S {to ima broj na elementi ednakov na δ, odnosno δv. Mnoèstvata {to imaat ednakov broj elementi se vikaat istobrojni ili ekvivalentni mnoèstva. ko mnoèstvata i V se ekvivalentni, zapi{uvame: ~ V. [TO SE UNI[, MNO@ESTVT SE EKVIVLENTNI! Odredi go brojot na sekoe od mnoèstvata: = {1,,,, 5}, C = {a, e, i, o, u}, D = {100}, E = {M,, J}, F = {Δ} i G = {M,, T, E, I, K}. Zapi{i gi ekvivalentnite mnoèstva so znakot ~ Zapi{i mnoèstvo {to }e bide ekvivalentno so mnoèstvoto G. Zapi{i go tabelarno mnoèstvoto ~ii elementi se bukvite na zborot me~ka i mnoèstvoto V ~ii elementi se bukvite na zborot kam~e. Voo~i! Mnoèstvata i V imaat ist broj elementi: δ = δv. Isto taka, mnoèstvoto e sostaveno od istite elementi, kako i mnoèstvoto V.

10 10 Dve mnoèstva i V se ednakvi ako se sostaveni od isti elementi. Zapi{uvame: = V 5 Dali se ednakvi mnoèstvata = {1,, 5, 7} i = {1,, 5, 7}? Za dve mnoèstva i V {to ne se ednakvi, pi{uvame: V. no: {s, t, o, l} = {l, o, s, t} 6 Koi od slednive mnoèstva se ednakvi me u sebe: = {x x > 5 i x < 10}, = {8, 7, 6, 9}, C = {5, 6, 7, 8, 9, 10}, D = {6, 7, 8, 9}? V 7 Razgledaj go crteòt! Elementi na mnoèstvoto M se rozi, a na mnoèstvoto S se crveni rozi. M S Dali sekoj element na mnoèstvoto S e element na mnoès tvoto M? Za mnoèstvoto S velime deka e podmnoèstvo na mnoèstvoto M, ako sekoj element na mnoèstvoto S e element na mnoèstvoto M. Zapi{uvame: S M. ko mnoèstvoto S e podmnoèstvo na mnoèstvoto M i M ima elementi {to ne mu pripa aat na mnoèstvoto S, toga{ S se vika vistinsko podmnoèstvo na M. Zapi{uvame S M. 8 Mnoèstvoto Y e dadeno so Venov dijagram. Dali mnoèstvoto R e podmnoèstvo na mno- èstvoto Y? Obrazloì go svojot odgovor! Dali mnoèstvoto K e vistinsko podmnoèstvo na mnoèstvoto Y? Obrazloì! Koe od slednite tvrdewa e to~no: P S; S S i S S? Y R 1 K Voo~i! Sekoe mnoèstvo e podmnoèstvo samo na sebe.. Primer: {a, b, c} {a, b, c}, zatoa {to sekoj element od prvoto mnoèstvo e element na vtoroto mnoèstvo. Praznoto mnoèstvo e podmnoèstvo na sekoe mnoèstvo..

11 Treba da znae{ Proveri se! 11 Da navede{ primeri za ednakvi, odnosno ekvivalentni mnoèstva; da razlikuva{ ekvivalentni mnoèstva od ednakvi mnoèstva; da znae{ {to e podmnoèstvo i {to e vistinsko podmnoèstvo; da odredi{ podmnoèstvo od dadeno mnoèstvo. Dadeno e mnoèstvoto P = {5, 10, 15, 0}. Zapi{i mnoèstvo K ekvivalentno so mnoèstvoto R. Zapi{i mnoèstvo L ednakvo so mnoèstvoto R. Zapi{i dve podmnoèstva na mnoèstvoto R. Zada~i 1. Na crteòt gi voo~uva{ mnoèstvata D i N.. Neka U e mnoèstvoto u~enici vo tvo - eto u~ili{te, R e mnoèstvoto u~enici D vo {esto oddelenie, K e mnoèstvoto u~e nici od tvojata u~ilnica, a elementot y si ti, u~eniku. 8 6 So Venov dijagram pretstavi gi mno- 10 N èstvata U, P, K i elementot y. Zapi{i go mnoèstvoto D na tabela ren na~in. Zapi{i go mnoèstvoto N na opisen na~in.. ko y K i K R, toga{ y R. Dali e to~no? Zo{to? Dali mnoèstvata D i N se ekvivalentni? Zo{to? [to e to~no za D i N: D N ili N D? Zo{to? Dosetka. Zapi{i gi site podmnoèstva na mnoèstvoto = {a, b, c}. I ova e matemaika! Vo edna prodavnica za metalni proizvodi, me u kupuva~ot i prodava~ot se vodel sledniot razgovor: "Kolku pari e eden?#, pra{al kupuva~ot. "Deset denari#, odgovoril prodava~ot. "Za kolku pari moàm da kupam dvanaeset?#, pra{al kupuva~ot. "Dvaeset denari#, odgovoril prodava~ot. "Dobro, dajte mi toga{ trista i dvanaeset#, kaàl kupuva~ot. "Toa }e ve ~ini, gospodine, trieset denari.# [to kupil kupuva~ot?

12 1 PRESEK, UNIJ I RZLIK N MNO@ESTV Potseti se! S V 1 Dadeni se mnoèstvata = {1,,,, 5} i = {,, 5, 6}. Pretstavi gi mnoèstvata i V so Venov dijagram. Mnoèstvoto zaedni~ki elementi na i V ozna~i go so S. Spored crteòt e mnoèstvo crveni figuri, V e mnoèstvo triagolnici, a S e mnoèstvo crveni triagolnici. Zo{to mnoèstvoto S e presek na mnoèstvata i V? Mnoèstvoto S pretstavi go na tabelaren na~in. Voo~i go re{enieto. C = {,, 5}. 1 C 5 6 Mnoèstvoto S e presek na mno - èstvata i V. Presek na dve mno èstva i V e mnoèstvoto S obrazuvano od elementite {to se zaedni~ki za i V. Zapi{uvame: C = V i ~itame: S e ednakvo na presek V. x V, zna~i: x i x V. Neka = {1,,, }, = {,, 5, 7} i C = {1,, 5}. Opredeli gi mnoèstvata:, C i. Dali mnoèstvata i se ekvivalentni? Dali se razli~ni? Pretstavi gi mnoèstvata, V i S so Venov dijagram, taka {to da moè da se odredat elementite na nivnite preseci. D Na crteòt se dadeni mnoèstvata, V i D. V Zapi{i gi mnoèstvata, V i D na tabelaren na~in. Mnoèstvoto D e unija na mnoèstvata i V

13 Unija na mnoèstvata i V e mnoèstvoto D obrazuvano od site elementi na tie mnoèstva. Zapi{uvame: D = V i ~itame: D e ednakvo na unija V. x V, zna~i: x ili x V. 1 Na crteòt se dadeni mnoèstvata, V i C so Venov dijagram. Zapi{i gi na tabelaren na~in mnoèstvata: V 1 C 1 1, V i C. C, C i., C, i C V 5 Dadeni se mnoèstvata = {1,,,, 5} i V = {,, 6, 8}. Odredi gi mnoèstvata V i V. Dali mnoèstvata V i V se razli~ni? Odredi gi mnoèstvata V i V. Dali mnoèstvata V i V se ednakvi? Voo~uva{ deka: V = V i = Presekot na dve mnoèstva ima komutativno svojstvo. Unijata na dve mnoèstva ima komutativno svojstvo. Pokaì deka za presekot, odnosno za unijata, na mnoèstvata i S od zada~ata vaì komutativnoto svojstvo. 7 Proveri go komutativnoto svojstvo za nivnata unija. Neka = {, 6, 9}, = {,, 6, 8} i C = {1,, 5, 9}. Voo~i! Odredi, a potoa ( ) C. Odredi C, a potoa ( C). Dali ( ) C = ( C)? Proveri dali vaì: ( ) C = ( C). Unijata na tri mnoèstva ima asocijativno svojstvo. Presekot na tri mnoèstva ima asocijativno svojstvo. G Problem Izberi tri mnoèstva, V i S i pokaì deka ( V) S = (V S). ko se znae deka x, dali x? 8 Razgledaj go crteòt. So Venov dijagram se pretstaveni mnoèstvata i V Zapi{i gi na tabelaren na~in mnoèstvata i V. Zapi{i go na tabelaren na~in mnoèstvoto S ~ii elementi se onie elementi od mnoèstvoto {to ne se elementi na mnoèstvoto V.

14 1 Mnoèstvoto S = {1,, 5, 6} dobieno na vakov na~in e razlika na mnoèstvoto i mnoèstvoto V, odnosno S = \ V. Mnoèstvoto S od elementite {to mu pripa aat na mnoèstvoto, a ne mu pripa aat na mnoèstvoto V se vika razlika na mnoèstvoto so mnoèstvoto V. Zapi{uvame: S = \ V i ~itame: S e ednakvo na minus V. x \ zna~i: x i x. 9 Neka = {1,,, }, = {1,,, 5, 7, 9} i C = {, 5, 7, 9, 11}. Zapi{i gi na tabelaren na~in mnoèstvata: \, \, \ C i \ ( \ C). Dali \ = \? Proveri dali e to~no: \ ( \ C) = ( \ ) \ C? Razlikata na mnoèstvata nema ni komutativno ni asocijativno svojstvo. N {TO LI E EDNKV RZLIKT ME U NIV? 10 Neka M = {x x e priroden broj i x < 7}, S = {5, 6, 7, 8, 9} i P = {x x e priroden broj od prvata desetka}. Odredi: M Y. Y R. P \ M. M (R \ Y). Treba da znae{! Da odredi{ presek na dve mnoèstva; da odredi{ razlika na dve mnoèstva; da odredi{ unija na dve mnoèstva; deka presekot, odnosno unijata, ima komutativno i asocijativno svojstvo. Proveri se! Dadeni se mnoèstvata = {a, b, f, g}, = {b, c, e, f, 1, } i C = {b, c, e, 1}. Zapi{i gi mnoèstvata:. \ C. C. 1.. Zada~i Na crteòt se dadeni mnoèstva so Venovi dijagrami pod a, b i v. Koi operacii se pretstaveni so obo enite delovi? a) b) v) Dadeni se mnoèstvata = {m, n, p, k} i M = {s, p, t, k, r} Odredi δ i δm. Zapi{i gi na tabelaren na~in M, M i M \. Odredi: δ( M), δ( M) i δ(m \ ).. Neka R e mnoèstvoto parni broevi, a Y e mnoèstvoto neparni broevi od pr vata desetka. [to pretstavuva: a) unijata na R i Y; v) razlikata na R i Y; b) presekot na R i Y; g) razlikata na Y i R? Obrazloì go svojot odgovor za sekoj od slu~aite pod a, b, v i g.

15 5 PODREDEN PR. DEKRTOV PROIZVOD 15 Potseti se! Dadeni se mnoèstvata {, } i {, }. Tie se dvoelementni, t.e. se sostaveni od par elementi. Dali {, } = {, }? Zo{to? No, vo nekoi slu~ai, redosledot na elementite vo parot ima bitno zna - ~ewe: par rakavici, par ~evli i dr. 1 Na crteòt e pretstavena kino sala. Tretiot stol vo vtoriot red i vtoriot stol vo tretiot red se prazni. Redot i stolot pretstavuvaat eden par. Neka prviot broj od parot go ozna~uva redot (), a vtoriot broj go ozna~uva stolot (). Toa go zapi- {uvame so (, ) i velime deka e podreden par. Dali podredenite parovi (, ) i (, ) ozna~uvaat isto mesto vo salata? Tie ozna~uvaat razli~ni mesta vo salata. Parot (a, b) vo koj to~no se znae koj element e prv, a koj element e vtor se vika podreden par. Vo podredeniot par (a, b), a e prva komponenta, dodeka b e vtora komponenta. Neka mnoèstvoto = {s, p, q}, a mnoèstvoto = {1, }. Zapi{i gi site podredeni parovi ~ija prva komponenta e element na, a vtorata komponenta e element na V. Zapi{i gi site podredeni parovi ~ija prva komponenta e element na V, a vtorata komponenta e element na. Dali podredeniot par (s, 1) e ednakov so (1, s)? Da zapomnam! Podredeniot par (a, b) e ednakov na podredeniot par (c, d) ako a = c i b = d i se zapi{uva (a, b) = (c, d). Neka = {1, } i = {a, b, c}. Formiraj go mnoèstvoto ~ii elementi se site podredeni parovi na koi prvata komponenta e od mnoèstvoto, a vtorata komponenta e od mnoèstvoto V. Mnoèstvoto na koe elementi mu se site podredeni parovi ~ija prva komponenta e element od mnoèstvoto, a vtorata komponenta od mnoèstvoto V se vika Dekartov proizvod na mnoèstvata i V. Se ozna~uva so h V. Se ~ita po V. h V = {(x, y) x i y }. Dadeno e mnoèstvoto S = {1,, } i Dekartoviot proizvod S x P = {(1, a), (, a), (, a)}. Zapi{i go mnoèstvoto R na tabelaren na~in.

16 16 5 Dadeno e mnoèstvoto = {a, b}. Odredi go Dekartoviot proizvod x. Voo~i i zapomni h e Dekartov proizvod na mnoèstvoto. Dekartoviot proizvod h se vika Dekartov kvadrat i se ozna~uva so. Se ~ita: na kvadrat. 6 Odredi go Dekartoviot kvadrat na mnoèstvoto M = {5, p}. Treba da znae{! Da razlikuva{ dvoelementno mnoèstvo od podreden par; da gi odredi{ site podredeni parovi za dve dadeni mnoèstva; {to e Dekartov proizvod; da odredi{ prva i vtora komponenta na podreden par; {to e Dekartov kvadrat. Proveri se! Dadeni se mnoèstvata = {a, b}, = {5, 55} i C = {m, n}. Zapi{i gi site podredeni parovi ~ija prva komponenta e element na mnoè - stvoto, a vtorata komponenta e element na mnoèstvoto S. Zapi{i go mnoèstvoto h V na tabela - ren na~in. Zapi{i go mnoèstvoto V Zada~i Zapi{i gi podredenite parovi na koi prvata komponenta e od mnoèstvoto = {, 5}, a vtorata komponenta od mnoèstvoto V = {a, b, c}. Koj broj treba da stoi na mestoto od za podredenite parovi da bidat ednakvi: a) (5, ) = (5, ); b) (, 6) = (8, 6); v) (, ) = (7, )? e mnoèstvo imiwa: = {Jovan, iljana, Dragan}. V e mnoèstvo glagoli: V = {pee, spie, u~i}. Odredi go Dekartoviot proizvod h V.. Dadeno e mnoèstvoto Y h R = {(0, m), (1, m), (, m)}. Odredi go mnoèstvoto Y. Odredi go mnoèstvoto R. Odredi go Dekartoviot kvadrat na mnoèstvoto Y. Podredenite parovi }e mi bidat prosti re~enici. Na primer: Jovan pee.

17 6 NIZ OD PRIRODNITE ROEVI 17 Potseti se! Kolku klupi ima vo tvojata u~il - nica? Odredi go brojot na mom~iwata vo tvojata paralelka. Pro~itaj gi broevite:, 1005, 07, So koi cifri e zapi{an brojot 81 65? Kolku cifri se koristat za zapi- {uvawe na broevite? Koi se tie? 1 Prirodni broevi! So cifri zapi{i gi broevite: sto pedeset i {est; devetstotini i eden; eden milion. Za sekoj od tie broevi velime deka e priroden broj. roevite: 1,,,, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,..., 99, 100, 101,..., 9 999, ,... se vikaat prirodni broevi, a taka naredeni eden po drug ja obrazuvaat nizata na prirodnite broevi. Mnoèstvoto prirodni broevi se ozna~uva so N; N = {1,,,,...}. rojot 0 ne go smetame za priroden broj. Zatoa 0 N. Mnoèstvoto od site prirodni broevi i brojot 0 se ozna~uva so N 0 ; N 0 = {0, 1,,,,...} Na crteòt voo~uva{ ulica i dva reda ku}i ozna~eni so broevi. So koi broevi se ozna~eni ku}ite od ednata strana na ulicata? So koi broevi se ozna~eni ku}ite od drugata strana na ulicata? roevite: 1,, 5, 7,... se neparni broevi, a,, 6, 8, se parni broevi. Koi od broevite: 6, 1, 1 111, , 99 se parni, a koi se neparni? V Kako }e opredeli{ brojna prava? Raboti spored barawata i sledi go crteòt. Nacrtaj prava a. Na pravata a ozna~i dve to~ki O i. Na to~kata O pridruì go bro jot 0, a na to~kata brojot 1. O 0 1 O 0 1 S a a a

18 18 Otse~kata O ja zemame za edini~na otse~ka, t.e. O = 1. Na polupravata O, od to~kata, prenesi ja edini~nata otse~ka O. Krajnata to~ka ozna~i ja so S i pridruì ñ go brojot. Kako }e odredi{ to~ka {to odgovara na brojot? Voo~i i zapomni! Na ovoj na~in e opredelena prava na koja moè da se pretstavuvaat prirodnite broevi. Taa prava se vika brojna prava. 5 Razgledaj go crteòt: Koj broj e za 1 pomal od brojot 6? Koj broj e za 1 pogolem od brojot 6? rojot 5 e prethodnik, a brojot 7 e sledbenik na brojot 6. Koj e prethodnik, a koj e sledbenik na brojot 100? Kako se dobiva prethodnikot, a kako sledbenikot na eden broj? 7 Zapi{i eden mnogu golem priroden broj. Dodaj go brojot 1 na brojot {to si go zapi{al. Dali ima pogolem broj od brojot {to go dobi? Na koj bilo broj moàm da mu dodadam 1 i }e dobijam pogolem broj. Sekoj broj od nizata na prirodnite broevi, osven 1, se dobiva koga na negoviot prethodnik }e mu se dodade brojot 1. = 1 + 1; = + 1;...; 100 = ;...; 65 = 6 + 1;... Sekoj priroden broj ima sledbenik. Prirodnite broevi se podredeni po golemina: 1 < < <... < 56 < 57 <... < <... Ne postoi najgolem priroden broj. Ima beskone~no mnogu prirodni broevi. Mnoèstvoto N od prirodnite broevi e beskone~no mnoèstvo. Voo~i drug primer za beskone~no mnoèstvo. Mnoèstvoto od prirodni broevi ~ija cifra na edinici e 1, t.e. {1, 11, 1, 1,...}. 8 Koe od slednite mnoèstva e beskone~no? Mnoèstvoto na parni broevi. rojot na ìtelite vo R. Makedonija. Mnoèstvoto na neparni broevi. rojot na zrnca pesok na edna plaà.

19 9 Zapi{i gi podredeni prirodnite broevi na tretata desetka vo pettata stotka. 19 Treba da znae{! Da razlikuva{ {to e cifra, a {to broj; da odredi{ sledbenik i prethodnik na daden priroden broj; da pretstavuva{ prirodni broevi na brojna prava; da navede{ primeri za beskone~no mnoèstvo. JS SUM PRETHODNIK! JS SUM SLEDENIK! Proveri se! Dadeni se cifrite: 7, i 0. Formiraj gi site tricifreni prirodni broevi so koristewe na dadenite cifri. Podredi gi broevite {to gi formira po~nuvaj}i od najgolemiot broj. Zapi{i gi prethodnikot i sledbenikot na najgolemiot broj {to go formira. Navedi primer za beskone~no mnoèstvo. Zada~i 1. Na crteòt ima kniga so skinati. Koi broevi na brojnata prava treba da stranici. se zapi{at na praznite mesta? Zapi{i go so zborovi brojot ozna~en so strelkata Zapi{i gi brevite na stranicite od knigata {to se skinati. So koi cifri se zapi{ani broevite na tie stranici? Zapi{i go mnoèstvoto od parnite broevi na stranicite {to nedostasuvaat vo knigata... Nacrtaj brojna prava i na nea pretstavi gi parnite broevi od 0 do 0. Mnoèstvoto S = {x x e neparen priroden broj}, zapi{i go na tabelaren na~in. Koj element e najmal vo mnoèstvoto Y? Dali mnoèstvoto Y ima najgolem element? Kolku elementi ima mnoèstvoto Y?

20 7 0 DEKDEN ROEN SISTEM Potseti se! Kolku desetki ima brojot 100? Kolku iljadi ima brojot 865? Kolku edinici ima brojot 18 56? Zapi{i go so cifri brojot pretstaven na pozicionata smetalka Odredi go δs. Zapi{i go mno`estvoto S od site cifri so koi se zapi{uvaat prirodnite broevi. Ima deset cifri. SI DI EI S D E Site pri rodni broevi gi zapi {u vame so desette cifri: 0, 1,..., 9. roe vite gi zapi{uvame vo dekaden broen sistem. Razgledaj ja tabelata vo koja e za pi{an brojot Sekoja ci fra na brojot e zapi{ana na odre dena pozicija (mesto). Sekoja grupa od tri cifri, odej}i oddesno nalevo, e zapi{ana vo odredena klasa. KLS MILIONI KLS ILJDI KLS EDINICI SM DM EM SI DI EI S D E Na koja pozicija e zapi{ana cifrata? Pozicionata vrednost na cifrata vo brojot e ~etirieset iljadi. Koja e pozicionata vrednost na cifrata, a koja na cifrata 8? Vo klasata milioni na pozicijata edinici milioni e zapi{ana cifrata 7. Koja e nejzinata poziciona vrednost? Se potsetiv! = Vo zapisot na broevite, sekoja cifra poka`uva broj na edinici ili broj na desetki ili broj na stotki itn., soodvetno na pozicijata (mestoto) na koe e zapi{ana.

21 Razgledaj ja tabelata so podatoci za brojot Cifra Klasa 509 Pozicija na koja e zapi{ana cifrata Poziciona vrednost na cifrata Iljadi DI Iljadi EI Edinici S Edinici D 0 9 Edinici E 9 Nie sme isti Jas vredam pove}e 0 Sostavi tabela za brojot 68 i vo nea zapi{i gi podatocite za sekoja cifra. Voo~i! Za kolku pati se zgolemuva vrednosta na cifrata po~nuvaj}i od pozicijata na edinicite? EI S D E roevite 1, 10, 100, itn. se vikaat dekadni edinici. Zapi{i gi site dekadni edinici do Zapi{i go brojot koj{to ja sodr`i cifrata 1, a po nea se dopi{ani: a) nuli; b) 6 nuli; v) 9 nuli; g) 1 nuli; d) 18 nuli. Kako se vika brojot zapi{an pod a), a kako se vika brojot pod b)? Zapomni! Znam za a) i b). Kako li se vikaat drugite broevi?! rojot, zapi{an: , se vika milijarda; , se vika bilion; , se vika trilion. 6 Zapi{i go so cifri brojot Pedeset milijardi osumstotini milioni i dveste iljadi. Koja e pozicionata vrednost na cifrite: 5; 8; vo brojot ?

22 Treba da znae{! Da odredi{ klasi na pove}ecifren broj; da ja odredi{ pozicionata vrednost na sekoja cifra vo daden broj; deka cifrite se znaci za zapi{uvawe na broevite. Proveri se! Razgledaj go crte`ot! Pro~itaj go brojot pretstaven na pozicionata smetalka i zapi{i go so cifri. Koja cifra ja zapi{a na pozicijata desetki iljadi i koja e nejzinata poziciona vrednost? EM SI DI EI S D E 1.. Zada~i Daden e brojot Za sekoja od cifrite 5; ; 7; 0 odredi: a) vo koja klasa se nao a; b) koja e nejzinata pozicija; v) koja e nejzinata poziciona vrednost. Sostavi tabela od klasi i pozicii vo koja }e gi zapi{e{ cifrite na brojot Zapi{i go so cifri brojot osum bilioni trista i dve milijardi {eeset milioni ~etiristotini iljadi i petstotini. Koj broj }e dobie{ ako na eden trilion ja izbri{e{ sekoja vtora nula? Kako se ~ita brojot 5, a kako cifrata 5? Kako se vika brojot {to ima milion milioni? Problem Sedumcifren broj po~nuva so cifrata 7. Kako i da gi razmesti{ cifrite na toj broj, brojot ne se menuva. Koj e toj broj?

23 8 ÎTWE I ZOKRU@UVWE N PRIRODNI ROEVI Potseti se! Zapi{i go so zborovi brojot: 16; ; 5; 15; 50; 00. Vo koi od zapi{anite broevi go upotrebi svrznikot i? 1 Zapi{i go so zborovi brojot a) 157; b) 16; v) 50. Sporedi go tvoeto zapi{uvawe so dadenoto. a) Sto pedeset i sedum. b) Dveste i {esnaeset. v) Trista i pedeset. Voo~i go ~itaweto na broevi i upotrebata na svrznikot i. Svrznikot i ne se koristi ako brojot e od eden zbor (imeto na klasata ne se smeta). Vo sekoja klasa: edinici, iljadi, milioni,... svrznikot i se koristi me u poslednite dva zbora, t.e. dva broja (imeto na klasata ne se smeta). Svrznikot i se koristi i me u klasi, ako poslednite dva zbora (broja) pripa aat na razli~ni klasi petnaeset; sedumstotini; pedeset iljadi trista i dve iljadi ~etiristotini i trinaeset pet milioni dvaeset iljadi trista i ~etirieset trista iljadi i dveste osum milioni trista i dve iljadi i sto. Zapi{i gi so zborovi broevite: ; ; ; Na eden ko{arkarski natprevar reporterot kaàl deka natprevarot go sledat okolu 000 gleda~i. Reporterot kaàl pri - Dali reporterot go kaàl to~niot blièn broj na gleda~i. broj na gleda~i? roevite, 5 i 7 se pretstaveni na brojna prava. Koi se sosedni desetki za pretstavenite broevite? Odredi ja razlikata na sekoj od broevite do sosednite desetki. Do koja sosedna desetka e poblisku sekoj od broevite?

24 Sogledaj gi odgovorite Za dadenite broevi brojot 0 e pomalata sosedna desetka, a 0 e pogolemata sose dna desetka. - 0 = ; 0 - = 8. rojot e poblisku do = 7; 0-7 =. rojot 7 e poblisku do = 5; 0-5 = 5. rojot 5 e to~no me u broevite 0 i 0. Velime deka rojot e pribli`no ednakov na brojot 0. Zapi{uvame 0. rojot 7 e pribli`no ednakov na brojot 0. Zapi{uvame 7 0. rojot 5 e to~no me u broevite 0 i 0. Po dogovor zapi{uvame 5 0. Ova zapi{uvawe se vika zaokruùvawe na broj na desetki. 5 6 Zaokruì gi na desetki broevite: 18,, 671, 585 i roevite: 5 i 68 se pretstaveni na brojna prava Odredi ja razlikata na sekoj od broevite do sosednite stotki. Do koja sosedna stotka e poblisku sekoj od broevite? Zaokruì go sekoj od broevite na stotki. Sogleda deka 5 e poblisku do 00, a 68 do 500. roevite zaokruèni na stotki se: 5 00; Koga pri zaokruùvaweto na eden broj na stotki cifrata na pozicijata stotki ostanuva ista, a koga se zgolemuva za 1? Cifrata na pozicijata stotki ostanuva ista ako cifrata na pozicijata desetki e broj pomal od 5, a se zgolemuva za 1 ako cifrata na pozicijata desetki e 5 ili broj pogolem od 5. 7 Zaokruì gi na stotki broevite: 1 7, 15, 1 65 i Zaokruì gi na iljadi broevite: a) 1 6; 7 61; 577. b) 80; 1 501;

25 Sogledaj go re{enieto a) ; ; Sogleda deka pri zaokruùvawe na nekoj broj do odredena pozicija (desetki, stotki, iljadi,...) postapuva{ na sledniot na~in: Cifrata na taa pozicija ostanuva ista ako po nea e nekoja od cifrite: 0, 1,, ili, a taa se zgolemuva za 1 ako po nea e nekoja od cifrite 5, 6, 7, 8 ili 9. Site cifri desno od taa pozicija se zamenuvaat so nuli. 9 Zaokruì go brojot 5 78 na: a) desetki; b) stotki; v) iljadi; g) desetki iljadi. Treba da znae{! Pravilno da ~ita{ prirodni broevi, pomali ili pogolemi od milion; da zaokruùva{ prirodni broevi na: desetki, stotki i iljadi. Proveri se! Pro~itaj go brojot: 5 00; Zaokruì go na desetki; stotki; iljadi, brojot: a) 75; b) 750. Zada~i 1.. Zapi{i go so bukvi brojot: 5; 50; Zapi{i go so cifri brojot: Trista milioni dveste i pet iljadi i osumstotini. 7. Dali postoi najgolem priroden broj? Koj e najmaliot priroden broj? Zapi{i ja cenata na avtomobilot so zborovi.. Koj od znacite <, = ili > treba da stoi vo kruk~eto za da bide to~no? ; ; ; den Dali brojot 6 e poblizu a) do 700 ili do 600; b) do 000 ili do 5 000? Zaokruì go brojot 5 75 na: desetki; stotki; iljadi. Zaokruì go brojot na iljadi. Obidi se da re{i{! Ne bi imalo smisla da go kaè{ kako za okruèn broj, brojot na tvojot telefon. Obidi se da najde{ dva primera kade ne bi imalo smisla da gi zaokruì{ broevite.

26 6 9 S O R O T P O D T O C I INSTRUMENTI Z PRIIRWE PODTOCI Pribiraweto na podatoci se vr{i na pove}e na~ini: so anketirawe, nabquduvawe, merewe, broewe, od literatura i dr. Instrumenti (sredstva) za pribirawe podatoci se: pra{alnik, anketen list, objaveni pregledi i drugi statisti~ki podatoci. 1 ngela sprovele istraùvawe za vonnastavnite aktivnosti na u~enicite od svojata paralelka. Tie gi pra{ale u~enicite vo koe dru{tvo ~lenuva sekoj od niv. Podatocite prvo gi zapi{ale so crti~ki, a potoa gi sredile i formirale tabela. Dru{tvo (aktivnost) Delikates (ko{arka) kvaten (tenis) Partizan (gimnastika) Spartak (karate) roj Tabela so crti~ki Dru{tvo (aktivnost) Delikates (ko{arka) kvaten (tenis) Partizan (gimnastika) Spartak (karate) roj Tabela na frekvencii Vo tabelata se dadeni broj na podatoci. Taa se vika tabela na frekvencii. Kolku vkupno u~enici odgovorile na postavenoto pra{awe? Formiraj nova tabela na frek - vencii taka {to podatocite }e gi podredi{ spored goleminata na brojot (po~nuvaj}i od najgolemiot broj). Ilija sprovel istraùvawe za bojata na velosipedite {to naj~esto se sre}ava vo negovoto selo. Pribiral podatoci taka {to gi nabquduval decata so velosipedi vo u~ili{niot dvor i popolnuval lista so crti~ki. oja Sina Crna Crvena roj Formiraj tabela na frekfencii. Podredi gi podatocite po~nuvaj}i od najmaliot. Kolku vkupno velosipedi zabeleàl Ilija? Koja boja na velosipedi e najzastapena? Nabquduvaweto na Ilija e eden od na~inite na koj moè da se priberat podatoci. Podatoci moàt da se priberat na razli~ni na~ini: pra{uvawe po telefon, ispra}awe pra{alnik po po{ta, koristewe knigi, spisanija i dr. Marija pribirala podatoci za omilenoto godi{no vreme na nejzinite sou~enici. Voo~i ja listata: P - prolet; L - leto; E - esen; Z - zima. P P L Z Z E P L E Z Z P L E Z Z P P L L L E Z P E E Z Z P P P L E P P Z L E Pretstavi gi podatocite vo tabela na frekvencii i podredi gi po~nuvaj}i od najomilenoto godi{no vreme.

27 10 SOIRWE 7 Potseti se! Presmetaj: Mare i Mile ìveat vo Ko~ani. Na odmor oti{le vo Struga, no eden den se zadràle kaj baba im vo itola km itola Ko~ani = Struga 190 km Kolku kilometri pominale Mare i Mile od doma do baba im? Kolku kilometri pominale od Ko~ani do Struga? Odredi go zbirot na broevite 5 i. Potseti se i voo~i gi svojstvata na sobiraweto vo mnoèstvoto N 0. ko se promeni mestoto na sobirocite zbirot ostanuva nepromenet. 5 + = 86 ili + 5 = 86 sobiroci zbir sobiroci zbir Trite sobiroci moàt da se grupiraat na dva na~ina. Zbirot ostanuva nepromenet. ( ) + 16 = ili 71 + ( ) = = = 01 Koga eden od sobirocite e nula, toga{ zbirot e ednakov na drugiot sobirok = 58 ili = 58 Promena na mestata na sobirocite ili komutativno svojstvo na sobiraweto. a + b = b + a Grupirawe na sobirocite ili asocijativno svojstvo na sobiraweto. a + (b + c) = (a + b) + c Zatoa, zagradite moè da se izostavat: a + b + c. Nulata pri sobiraweto. a + 0 = 0 + a = a Presmetaj: = = = Koga se koristat svojstvata, sobiraweto e polesno! Primer = = = 89

28 8 Grupiraj gi sobirocite na drug na~in i odredi go zbirot. 5 + (5 + 56) = ( ) + 69 = V 5 Odredi go zbirot na broevite 7,, 6, 8 i 57. Odredi go zbirot na broevite 10, 10, 750, 60 i 90. Na zbirot od broevite 1 i 19 dodaj go zbirot na broevite 61, 55 i 76. Odredi go prethodnikot na sekoj od broevite 7, 16 i 19 i presmetaj go zbirot od prethodnicite. 6 Napravi procenka na zbirot od broevite so zaokruùvawe na stotki: a) 78 i 65; b) 56 i Za kolku se razlikuva pribli`niot rezultat od to~niot zbir na broevite? Treba da znae{! Da odredi{ zbir na dva ili pove}e broevi; da gi primeni{ svojstvata na sobi - ra weto vo ednostavni primeri; da go proceni{ rezultatot od sobira weto. Proveri se! Paralelka Mom~iwa Devoj~iwa VI a 17 1 Vo tabelata se dadeni VI b 1 17 podatocite za brojot VI na u~enici vo VI oddelenie vo edno u~ili{te. v 9 Odredi go vkupniot broj na u~enici vo VI oddelenie vo u~ili{teto. Odredi go brojot na u~enicite vo VI a i VI b, a potoa spo redi gi Zada~i Presmetaj: Vo eden vesnik pi{uva: Na otvoraweto na festivalot prisustvuvale 1 00 posetiteli. Naredniot den pretstavata ja gledale 76 posetiteli. Kolku posetiteli go posetile festivalot vo dvata dena? Grupiraj gi sobirocite i odredi go zbirot: = = = Napravi procenka na zbirot od bro - evite 7 8 i 6 5, zaokruù vaj}i gi na: iljadi; stotki; desetki. Za kolku se razlikuvaat pribli` ni - te rezultati od to~niot zbir na broevite? Problem! rojot e zapi{an sedum pati.,,,,,, Koj e najmaliot zbir {to moè da se dobie od sedum dvojki i dva znaka plus?

29 11 ODZEMWE 9 Potseti se! Presmetaj: Koj broj treba da stoi vo kvadrat~eto za da bide to~no? 1 Letnite olimpiski igri vo 000 godina bea vo Sidnej - vstralija. Olimpiskiot komitet pobaral da bidat rezervirani 80 vleznici za sve ~e noto otvorawe, no slobodni bile 89 sedi{ta. Kolku lu e ostanale bez vleznica? 7 - = = = + 19 = 7 Namalenik Namalitel Razlika Koristi gi podatocite vo tabelata za da odgovori{ na pra{awata. Olimpijada 199 Ekipa Poeni Italija merika Polska Kolku poeni pove}e osvoila polskata ekipa od italijanskata ekipa? Koja e razlikata me u najgolemiot i najmaliot broj poeni? Za da moème da ja presmetame razlikata a - b na broevite a i b vo mnoèstvoto N 0 treba da bide a > b ili a = b. Vo edna furna se pe~at po leba sekoj den. Vo tabelata se dadeni podatocite za prodadeniot leb vo edna sedmica. Den r. lebovi Ponedelnik 1 60 Vtornik 05 Kolku vkupno leb proizveduva furnata za edna sedmica? Spored podatocite vo tabelata presmetaj kolku vkupno neprodaden leb ostanalo. Sreda 78 êtvrtok 916 Petok 010 Sabota 857 Nedela 1 76

30 0 Proceni ja razlikata na broevite 57 i 165 zaokruùvaj}i gi na desetki; stotki. Sporedi gi procenkite so to~nata vrednost na razlikata. Treba da znae{! Da odredi{ razlika na dva broja; da presmeta{ vrednost na broen izraz so operaciite sobirawe i odzemawe so ili bez zagradi; da ja proceni{ razlikata pri odzemaweto. Proveri se! Presmetaj: (6 + 18) - 7 = ; - (6 + 15) = ; (9-195) + (70-6) =. Proceni ja razlikata na broevite 76 i 1 89 zaokruùvaj}i gi na stotki. Zada~i 1. Kon brojot 86 dodaj ja razlikata na broevite 99 i 17. Razlikata na najgolemiot ~etiricifren broj i najmaliot trici fren broj zgolemi ja za Vesna ima 75 denari. Maja ima 10 denari pove}e od Vesna. na ima 85 denari pomalku od Vesna i Maja zaedno. Kolku denari ima Maja? Kolku denari ima na?. Vozot trgnal od itola za Skopje so 89 patnici. Vo Prilep od vozot sleg - le 10 patnici, a se ka~ile 70 patnici.. san imal 1 50 denari. Za da kupi patiki mu trebale 10 denari. san gi zaokruìl parite na stotki. Vo Veles slegle patnici, a se Pomogni mu na san za da odredi ka~ile 98. u{te kolku stotki mu nedostasuvaat. So kolku patnici vozot stignal vo Skopje? Presmetaj to~no kolku pari mu nedo - stasuvaat na san. Obidi se! ko zamisli{ koi bilo tri prirodni broja, dali sekoga{ me u niv }e ima dva ~ij{to zbir e paren broj?

31 1 ZVISNOST N ZIROT I RZLIKT OD PROMENT N KOMPONENTITE 1 Potseti se! Dadeni se zbirot = 70 i razlikata = 10. Koj broj treba da stoi vo kvadrat - ~eto za da bide to~no. (0 + 0) = 70 + ; (0-0) = 70 - ; (0 + 0) + (150-0) = 70 +? 1 Utroto na Denot na drvoto# se doneseni 600 zimzeleni sadnici i 100 listopadni sadnici. a) Kolku sadnici od dvata vida se doneseni toa utro? b) Napladne se doneseni u{te 00 zimzeleni sadnici. Za kolku }e se zgolemi brojot na sadnicite doneseni toa utro? Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. a) = 5 700; utroto se doneseni sadnici. b) ( ) = = = rojot na sadnicite doneseni utroto se zgolemil za 00. Poznato e deka a + b = 00. Neka edniot od sobirocite se zgolemi za 00. Presmetaj go zbirot a + (b + 00). Kako }e se promeni zbirot = 960 a) ako edniot sobirok se namali za 60; b) ako edniot sobirok se namali za 60, a drugiot se zgolemi za 60? a) (0-60) + 60 = = = 900 = ; a) Zbirot se namali za tolku za kolku {to se namali edniot od sobirocite. Sogleda deka b) (0-60) + ( ) = 960; zbirot ne se promeni. Voo~i op{to za zbirot a + b = c ko edniot sobirok se zgolemi za odreden broj, a drugiot ostane ist, toga{ i zbirot }e se zgolemi za istiot toj broj. ko edniot sobirok se namali za odreden broj, a drugiot ostane ist, toga{ i zbirot }e se namali za istiot toj broj. Zbirot nema da se promeni ako edniot sobirok se namali za odreden broj, a drugiot se zgolemi za istiot toj broj. (a + m) + b = c + m (a - m) + b = c - m (a - m) + (b + m) = c

32 Dadena e razlikata = 0. Presmetaj i sogledaj kako se menuva razlikata ako namalenikot a) se zgolemi za 50; b) se namali za 50. Sekako sogleda: a) ( ) - 0 = = = 70 = a) Razlikata se zgolemi za 50, t.e. isto kolku {to be{e zgolemen namalenikot. b) Razlikata }e se namali za Dadena e razlikata = Kako }e se promeni razlikata, ako namali - telot: a) go namali{ za 0; b) go zgolemi{ za 0? Razlikata: a) }e se zgolemi za 0; b) }e se namali za 0. 6 Presmetaj ja razlikata Kako }e se promeni razlikata ako i namale - nikot i namalitelot a) se zgolemat za 10; b) se namalat za 10? Voo~i deka razlikata ostanuva ista. Voo~i op{to za razlikata a - b = d ko namalenikot se zgolemi (odnosno se namali) za odreden broj, a namalitelot ostane ist, toga{ i razlikata }e se zgolemi (odnosno }e se namali) za istiot toj broj. ko namalitelot se zgolemi za odreden broj, a namale - nikot ostane ist, toga{ razlikata }e se namali za toj broj. ko namalitelot se namali za odreden broj, a namale nikot ostane ist, toga{ razlikata }e se zgolemi za istiot toj broj. Razlikata nema da se promeni ako namalenikot i nama - litelot se zgolemat ili se namalat za eden ist broj. (a + m) - b = d + m (a - m) - b = d - m a - (b + m) = d - m a - (b - m) = d + m (a + m) - (b + m) = d (a - m) - (b - m) = d 7 Kako }e se promeni razlikata, ako namalenikot se zgolemi za 10, a namalitelot se namali za 10? Treba da znae{! Kako se menuva zbirot na dva broja, ako edniot sobirok: se zgolemi za daden broj; se namali za daden broj; se zgolemi za daden broj, a drugiot sobirok se namali za toj broj? Kako se menuva razlikata na dva broja: ako namalenikot se zgolemi odnosno se namali za daden broj; ako namalitelot se namali, odnosno se zgolemi za daden broj; ako i namalenikot i namalitelot se zgolemat, odnosno se namalat, za istiot toj broj.

33 Proveri se! Zbirot na dva broja iznesuva 50. Kolku }e iznesuva zbirot ako edniot od sobiro - cite se namali za 10? Razlikata na dva broja iznesuva 70. Kolku }e iznesuva razlikata a) ako namalenikot se namali za 7? b) ako namalitelot se zgolemi za 7? Presmetaj Odredi go x vo ravenkata: (60 + x) - ( ) = 0. Zada~i 1.. Kako }e se promeni zbirot ako eden od sobirocite se zgolemi za? ko = 1 900, toga{ kolku e (1 0-50) + 670? 5. ko a - b = 100, presmetaj: a) (a - 0) - (b - 0); b) (a + 0) - (b + 0); v) (a - 10) - (b + 10); g) (a + 5) - (b - 5);.. Dadena e razlikata = 811. Za koja vrednost na x e to~no ravenstvoto ( 7 - x) = ko namalitelot se zgolemi za 5, {to treba da se napravi so nama - lenikot za da ne se promeni razlikata? 6. Edno utro Milica dobila izvesna suma pari od tatko i izvesna suma pari od majka. Od parite od majka taa potro{ila 100 denari. Ve~erta, tatko i dal u{te 00 denari i taa utvrdila deka ima 700 denari. Kolku denari vkupno utroto dale tatko i majka? Problem Razmisli i obidi se da presmeta{ usno. Kolkava e razlikata me u zbirot na prvite sto parni i zbirot na prvite sto neparni broevi?

34 1 Potseti se! Presmetaj: 5 5 = 80 = = 00 0 = Eden avtomobil tro - 1 {i 7 litri benzin za izminati 100 kilometri pat. 15 = ( 5) 00 = Kolku litri benzin }e potro{i avtomobilot za 00 kilometri pat? Dragan patuval 5 dena so svojot velosiped i sekoj den pominuval po 9 kilometri. Zoran patuval 6 dena so svojot velosiped i sekoj den pominuval po 8 kilometri. Kolku kilometri pove}e pominal Zoran od Dragan? Potseti se i voo~i gi svojstvata na mnoèweto vo mnoèstvoto N 0. ko se promenat mestata na mnoìtelite proizvodot ostanuva nepromenet. 6 = ili 6 = mnoìteli proizvod mnoìteli proizvod Trite mnoìteli moàt da se grupiraat na dva na~ina. Proizvodot ostanuva nepromenet. ( 5) ili (5 ) 10 = 15 0 = 0 ko edniot od mnoìtelite e eden, toga{ proizvodot e ednakov na drugiot mnoìtel = 68 Komutativno svojstvo na mnoèweto. a b = b a socijativno svojstvo na mnoèweto. (a b) c = a (b c) Zatoa, zagradite moè da se izostavat: a b c. Mnoèwe so brojot 1 a 1 = a ko eden od mnoìtelite e nula, toga{ proizvodot e ednakov na nula. 0 5 = 0 Mnoèwe so brojot 0 0 a = 0

35 Presmetaj: (50 9) = (500 7) = Koga se koristat svojstvata, mnoèweto e polesno! Primer 5 50 ( 8) = (7 5) = 7 (5 ) = = 700 Presmetaj: 0 + (10 10) = 96 (0 18) = (80 + ) 8 = 5 Presmetaj: 0 (5 + 5) = i (0 5) + (0 5) = Kakvi se vrednostite na brojnite izrazi? To~kite odat pred crti~kite No, prvo vo zagradite! Proveri dali e to~no? (68-10) 5 = Kako se formiraat izrazite {to gi sporeduva{? Voo~i deka: a (b + c) = a b + a c; (a + b) c = (a c) + (b c); a (b c) = (a b) - (a c); (a b) c = a c - b c. So ovie ravenstva e iskaàno: distributivnoto svojstvo na mnoèweto vo odnos na sobiraweto. distributivnoto svojstvo na mnoèweto vo odnos na odzemaweto. 6 Proceni go proizvodot 8, zaokruùvaj}i gi mnoìtelite na desetki. Za kolku se razlikuva dobienata pribli`na vrednost od to~nata? 0 50 = ; 8 = 15 55; procenkata e za 8 pove}e od to~nata vrednost. 7 Jovan pe{a~el sedmici, po dena sedmi~no, po kilometri na den. Kolku kilometri pominal Jovan? Sogledaj! Proizvodot kratko se zapi{uva, a se ~ita: ~etiri na treti. Zapisot se vika stepen so osnova i stepenov pokazatel.

36 6 Da zapomnam: Proizvodot na ednakvi mnoìteli kratko zapi{an se vika stepen. Kratko zapi{i go mnoèweto i proizvodot. STEPEN STEPENOV POKZTEL OSNOV Mnoèwe Kratok zapis Vrednost Treba da znae{! Da odredi{ proizvod na dva ili pove}e broevi; da gi primenuva{ svojstvata na mnoèweto; da go proceni{ proizvodot od mnoèweto na dva boja; da odredi{ vrednost na stepen. [to pokaùva osnovata na stepenot? [to pokaùva stepenoviot poka zatel? Zapi{i go 10 8 vo vid na mnoèwe. Odredi ja vrednosta na 1. Po dogovor: 5 1 = 5; a 1 = a. Proveri se! Ilija i Jovan kupile po 8 paketi, vo koi imalo po 8 bonbonieri so po 8 bonboni vo sekoja bonboniera. Kolku paketi kupile Ilija i Jovan zaedno? Po kolku bonbonieri imal sekoj od niv? Kolku bonboni imal Jovan? Zapi{i go brojot na bonboni na Ilija vo vid na stepen. 1. Zada~i Presmetaj: = (7 5) = ( ) 100 =. Radiusot na Zemjata iznesuva 6 70 kilometri. Rastojanieto od Zemjata do Mese~inata e pogolemo okolu 60 pati od radiusot. Odredi go rastojanieto od Zemjata do Mese~inata. 50 ( ) = = 7 = =. Proceni go proizvodot zaokruùvaj}i na: a) stotki; b) desetki. Odredi ja razlikata na to~niot i procenetiot proizvod.. Vo eden zbir, brojot 5 se javuva kako sobirok 8 pati. Presmetaj go toj zbir. 5. Koi cifri treba da gi zapi{e{ na mestata od, za mnoè we - to da bide to~no pre - smetano?

37 1 DELEWE 7 Potseti se! Presmetaj: 1 : 7 = 0 : 10 = : = 88 : = 96 : = 1 00 : 60 = Izvr{i proverka na dobienite rezultati. 1 U~enicite sobrale 1 00 denari za da kupat topki. Sekoja topka bila po 5 denari. Kolku topki kupile? 1 00 : 5 = Vkupno 8 u~enici se prijavile za u~ili{niot turnir vo odbojka. Za treneri na ekipite se prijavile 6 nastavnici. delenik delitel koli~nik ko sekoja ekipa e sostavena od 1 u~enici, dali brojot na nastavnici za treneri e dovolen? Potseti se i voo~i gi svojstvata na deleweto vo mno`estvoto N 0. ko delitel e brojot 1, toga{ koli~nikot e ednakov na delenikot. 765 : 1 = 765 ko delenikot e ednakov na delitelot, toga{ koli~nikot e : 76 = 1 ko delenik e brojot 0, toga{ koli~nikot e ednakov na brojot 0. 0 : 16 = 0 rojot 0 ne mo`e da bide delitel. Delewe so brojot 1 a : 1 = a Delewe na broj sam so sebe. a : a = 1, a 0 Delewe na brojot 0. 0 : a = 0, a 0 : 0 nema smisla! Presmetaj: (8 + ) : 1 = : = (0 + 7) 1-5 : 5 = 108 : : 85 = Odredi go delenikot, ako delitelot e 7, a koli~nikot e 10. So koj broj treba da se podeli brojot za da se dobie brojot 1? Sekoga{ sum prv jas a n To~kite odat pred crti~kite =

38 8 Ivan, ojana i eti sobiraat po{tenski marki. Tie imale 71 marka i sakale da si gi podelat podednakvo. Po kolku marki dobil sekoj? Kolku marki ostanale nepodeleni? Voo~i deka 71 = +. Vo deleweto 71 : brojot e koli~nik, a brojot e ostatok. ko vo deleweto a : b, brojot q e koli~nik, a r e ostatok, toga{: a = q b + r 5 ko a = 77 i b = 5, odredi go koli~nikot a : b i ostatokot r. Zapi{i go brojot a vo forma a = b q + r. 6 Odredi gi koli~nikot q i ostatokot r pri deleweto a : b i zapi{i go brojot a vo forma a = b q + r. 16 : ; 50 : 15; 15 : 11. Razmisli i odgovori! Pri deleweto vo koe delitelot e brojot 8, ostatokot mo`e da bide: 1,,,, 5, 6, 7. Zo{to ostatokot ne mo`e da bide brojot 8? Treba da znae{! Da odredi{ koli~nik na dva broja; da go pretstavi{ delenikot so pomo{ na koli~nikot, delitelot i ostatokot. Proveri se! Presmetaj go koli~nikot: 1 58 : 9 = 17 7 : 8 = Presmetaj : 15 = Delenikot pretstavi go so pomo{ na koli~ nikot, delitelot i ostatokot. Zada~i : : 6 : 7 : 1. Podeli so prviot broj, a potoa dobieniot rezultat podeli go so vtoriot broj

39 . Koj broj treba da se zapi{e vo kva - drat ~eto za da bide to~no deleweto? 7 : 9 6 : 9 : : 50 : : 1 Se se}avam: : : = 10 : 5. Edno jato lastovici pri preselbata preletalo 9 okolu kilometri. Najgolemata brzina {to ja dostignalo jatoto bila 0 kilometri na ~as. Kolku najmalku ~asovi letalo jatoto? Eden pol`av so najgolemata negova brzina pominal 1 metri za ~asa. Kolku centimetri pominal pol `a - vot za 1 minuta?. Zapi{i izraz i presmetaj ja negovata vrednost. Odredi go zbirot na brojot 85 i proizvodot na broevite i 15. Na koli~nikot od broevite 10 i 0 dodaj go brojot 700. Koj broj e razlikata me u proizvo - dot na broevite 10 i 6 i nivniot koli ~ nik? 6. Koi cifri treba da gi zapi{e{ na mestata od, za deleweto da bide to~no presmetano : 5 = Vo kvadrat~eto odredi broj za da bide to~no ravenstvoto: 7. Dvajca u~enici delele eden ist broj: prviot so 16, a vtoriot so 19. Prviot dobil koli~nik i ostatok 9. Kolkav koli~nik dobil drugiot u~enik? a) 00 = 15 + ; b) 100 = Zbirot na dva broja e 660. ko na pogolemiot broj mu se izbri{e edna nula oddesno, toga{ tie se ednakvi. Koi se tie broevi?

40 0 15 ZVISNOST N PROIZVODOT I KOLI^NIKOT OD PROMENT N KOMPONENTITE Potseti se! Spored koe svojstvo e to~no ravenstvoto: a) 10 = 10; b) (10 ) 5 = 10 ( 5)? Dadeno e: 80 5 = 00. Zapi{i broj vo kvadrat~eto za da bide to~no ravenstvoto. a) (80 ) 5 = ; b) 80 ( 5) = ; v) 80 (5 ) = ; g) (80 5) =. 96 : = 1 Presmetaj go proizvodot Potoa, zgolemi go prviot mno - ìtel: a) pati; b) pati; v) 7 pati i proveri kolku pati se zgo - lemil proizvodot. [to voo~uva{? Sporedi go tvoeto re{enie so slednoto = 90; a) (15 ) 6 = 0 6 = 180 = 90. Dadeniot proizvod e zgolemen pati. DELENIK DELITEL KOLI^NIK KOMPONENTI Deleweto a : b ima smisla za b 0. Sogleda deka dadeniot proizvod se zgolemil b) pati; v) 7 pati. Neka a b = 50. Presmetaj: a) (a ) b; b) a (b 10). Presmetaj go proizvodot 0 9. Potoa, prviot mnoìtel namali go: a) pati; b) pati; v) 5 pati i sporedi go dobieniot proizvod so dadeniot. [to zabeleùva{? Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. 0 9 = 60; a) (0 : ) 9 = 0 9 = 180 = 60 :. Edniot mnoìtel e nama - len pati i dadeniot pro - izvod e namalen pati. Proizvodot e namalen: b) pati; v) 5 pati. ko a b = 10, presmetaj kolku iznesuva: a) (a : ) b; b) a (b : 5). 5 Dadeno e = 0. Presmetaj gi proizvodite: (15 ) (16 : ); (15 : 5) (16 5), a potoa sporedi gi so dadeniot proizvod. Voo~i deka edniot mnoìtel e zgolemen pati, odnosno 5 pati, a drugiot mnoìtel e namalen pati, odnosno 5 pati. Proizvodot ne se promenil.

41 Op{to za proizvodot a b = p ko edniot mnoìtel se zgolemi odreden broj pati, a drugiot mnoìtel ostane ist, toga{ i proizvodot }e se zgolemi isto tolku pati. ko edniot od mnoìtelite se namali odreden broj pati, a drugiot ostane ist, toga{ i proizvodot }e se namali isto tolku pati. Proizvodot ne se menuva koga edniot mnoìtel se namali odreden broj pati, a drugiot mnoìtel se zgolemi isto tolku pati. 1 (a m) b = p m (a : m) b = p : m (a : m) (b m) = p 6 Poznato ti e deka 7 : 1 = 6. Presmetaj: a) (7 ) : 1 = ; (7 : ) : 1 = ; b) 7 : (1 ) = ; 7 : (1 : ) = ; v) (7 : ) : (1 : ) = ; (7 ) : (7 ) =. Voo~i kolku pati e zgolemen, odnosno namalen: delenikot vo a); delitelot vo b); delenikot i delitelot vo v). Sporedi gi dobienite koli~nici so dadeniot. [to zabeleùva{? Sporedi go tvoeto re{enie so slednovo. a) (7 ) : 1 = 1 : 1 = 1 = 6 ; (7 : ) : 1 = 6 : 1 = = 6 :. Delenikot e zgolemen pati, odnosno namalen pati i ko - li~nikot e zgolemen pati, odnosno e namalen pati. Sogleda vo b) deka delitelot e zgolemen (namalen) pati, a koli~nikot e namalen (zgolemen) pati. Koli~nikot vo v) ne se promeni. 7 Poznato ti e deka a : b = 0. Presmetaj: a) (a ) : b; b) a : (b : ); v) (a : 5) : (b : 5). Op{to za koli~nikot a : b = q ko delenikot se zgolemi (odnosno se namali) odreden broj pati, a delitelot ostane ist, toga{ koli~nikot }e se zgolemi (odnosno }e se namali) isto tolku pati. ko delitelot se zgolemi (odnosno se namali) odreden broj pati, a delenikot ostane ist, toga{ koli~nikot }e se namali (odnosno }e se zgolemi) isto tolku pati. Koli~nikot ne se menuva ako i delenikot i delitelot istovremeno se zgolemat (odnosno se namalat) ist broj pati. (a m) : b = q m (a : m) : b = q : m a : (b m) = q : m a : (b : m) = q m (a m) : (b m) = q (a : m) : (b : m) = q

42 Treba da znae{! Proveri se! Kako se menuva proizvodot na dva broja vo zavisnost od promenata na mnoìtelite; kako se menuva koli~nikot na dva broja vo zavisnost od pro menata na deleni - kot, odnosno na delitelot. Odredi gi nepoznatite broevi p i m, ako: a) 50 = p, (50 m) = p 9; b) 0 1 = p, 0 (1 : m) = p : 6. Znae{ deka 600 : 0 = 0. Presmetaj: a) (600 7) : 0; b) 600 : (0 ); v) 600 : (0 : 5); g) (600 : 10) : (0 : 10). Zada~i 1. Daden e proizvodot a b = 60.. Vo fabrikata za ~okolada, dve ekipi Presmetaj: pakuvale ~okoladi od po 100 g vo a) (a ) b; b) a (b 7); ednakvi kutii. v) (a :) b; g) (a :6) (b 6). Vtorata ekipa spakuvala vkupno ~okoladi, a toa e pati pomalku. kutii otkolku prvata ekipa. Kolku ~okoladi spakuvala prvata ekipa?. Daden e koli~nikot a : b = 90. Presmetaj: a) (a 5) : b; b) a : (b :6); v) (a 7) : (b 7) g) (a : 1) : (b : 1). Dadeno e a (b 5) = 80. Presmetaj: a) a b; b) a (b : ); v) (a 8) (b : 8). 5. Presmetaj go koli~nikot : 0, no prethodno svedi go na delewe so ednocifren delitel, koristej}i go svojstvoto za nepromenlivost na koli~nikot. Zanimliv problem! Edna èna donela na pazar ko{nica so jajca. Na prviot kupuva~ mu prodala polovinata od jajcata i polovina jajce, na vtoriot polovina od ostatokot i polovina jajce, na tretiot polovina od ostatokot i polovina jajce, na ~etvrtiot polovina od ostatokot i polovina jajce. Koga pettiot kupuva~ kupil polovina od ostatokot i polovina jajce, se konstatiralo deka site kupuva~i kupile celi jajca i ènata gi prodala site jajca. Kolku jajca donela ènata na pazar?

43 16 ROEN IZRZ. RVENKI Potseti se! Presmetaj: a) ; b) (9 - : ) -. Zbirot na dva broja e 00, a edniot sobirok e 10. Kolku e drugiot sobirok? Proizvodot na dva broja e 18, a edniot mnoìtel e 6. Kolku e drugiot mnoìtel? 10 x + x x = 00 x = x = 80 6 x x : x = 18 x = 18 : 6 x = 1 Darko imal 10 denari. Majka mu mu dala 00 denari da si gi podelat podednakvo so sestra mu. Vo kniàrnicata kupil tetratki po 5 denari i {estar za 50 denari. Kolku denari mu ostanale na Darko? Sostavi izraz od podatocite i soodvetnite operacii. Presmetaj go dobieniot izraz. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto : = = = = 80. Izrazot {to go sostavi se vika broen izraz. Rezultatot po izvr{uvaweto na site operacii vo nego se vika vrednost na brojniot izraz. Voo~i i zapomni Izrazi se slednive zapisi:, 5, 10; ; 10-8; : 6 - ( ). Ne se izrazi: + + ; 5 -; : (8-); + ( 8). Odredi ja vrednosta na brojniot izraz: a) ; b) 5 1 : ; v) - (16 + ) : 7. Po koj redosled }e gi izvr{uva{ operaciite? Prvo }e gi izvr{am operaciite mnoèwe i delewe, potoa sobirawe i odzemawe; no, pred s - vo zagradite. Sobiraweto i odzemaweto se vikaat operacii od prv red, a mnoèweto i deleweto se operacii od vtor red.

44 Op{to za redosledot na izvr{uvawe na operaciite Operaciite od ist red se izvr{uvaat po redosledot kako {to se zapi{ani vo broj - niot izraz. Prvo se izvr{uvaat operaciite od vtor red, a potoa operaciite od prv red. ko vo brojniot izraz ima zagradi, toga{ prednost ima izvr{uvaweto na operaciite vo zagradite. Presmetaj ja vrednosta na brojniot izraz: a) : 6; b) 5 1 : ; v) 96 + (18-8 : ) - (7-6) :. Rifat zamislil takov priroden broj, koj{to sobran so najgolemiot tricifren broj go dava brojot 1. Koj e toj broj? Voo~i ja postapkata i postapi po barawata. Prvo, baraniot broj ozna~i go so nekoja bukva, na primer so bukvata x. x = 1 Na brojot x dodaj mu go najgolemiot tricifren broj - toa e 999; taka }e go dobie{ zbirot x Spored uslovite na zada~ata, zbirot x e ednakov na 1, pa x = 1. Kako }e go odredi{ nepoznatiot sobirok od ova ravenstvo? Sobirokot x }e go odredam ako od zbirot 1 go odzemam drugiot sobirok 999. Zna~i, x = 1-999; x = 5. Ravenstvoto x = 1 so koe go odredi nepoznatiot broj x se vika ravenka. Nepoznatiot broj x se vika nepoznata. Odreduvaweto na nepoznatiot broj se vika re{avawe na ravenkata. 5 Re{i ja ravenkata a) (x + 1) + 00 = 70; b) 1 + x =

45 6 Dadena e ravenkata: a) x = 80; b) x = Odgovori na pra{awata i re{i ja dadenata ravenka. a) [to e nepoznatiot broj x, a {to se poznatite broevi 1 70 i 80? Kako se odreduva nepoznatiot namalenik pri dadeni namaleitel i razlika? 5 Namalenikot x }e go odredam taka {to na razlikata 80 }e go dodadam namalitelot b) Kako }e go odredi{ nepoznatiot namalitel x vo ravenkata pri dadeniot nama - lenik 8 6 i dadenata razlika 1 19? Namalitelot x }e go odredam taka {to od namalenikot 8 6 }e ja odzemam razlikata Re{i ja ravenkata: a) x - ( ) = 60; b) x = Op{to za ravenkite vo koi se odreduva nepoznat: sobirok, namalenik ili namalitel Nepoznat sobirok, pri poznat zbir i drugiot sobirok, se odreduva taka {to od zbirot se odzema poznatiot sobirok. Nepoznat namalenik, pri poznati namalitel i razlika, se dobiva koga na razlikata se dodade namalitelot. Nepoznat namalitel, pri poznati namalenik i razlika se dobiva taka {to od namalenikot se odzema razlikata x + b = c; x = c - b (b i c se poznati broevi) x - b = d; x = d + b (b i d se poznati broevi) a - x = d; x = a - d (a i d se poznati broevi) 8 Vo edna vinarska vizba vo kutii treba da spakuvaat 1 9 {i{iwa, a vo sekoja kutija treba da ima po 16 {i{iwa. Kolku kutii bile potrebni? ko go ozna~i{ so k brojot na potrebnite kutii, toga{ vo niv }e ima 16 k {i{iwa, pa 16 k = 1 9. rojot 1 9 e proizvod na mnoìtelite 16 i k. Kako }e go odredi{ mnoìtelot k? Mnoìtelot k }e go odredam ako proizvodot 1 9 go podelam so mnoìtelot 16. k = 1 9 : 16; k = 87. [i{iwata bile spakuvani vo 87 kutii. 9 Re{i ja ravenkata: a) 17 y = 595; b) (10 + ) z =

46 6 10 Kako moè{ "da ja pro~ita{# ravenkata x : 5 = 7, t.e. {to se poznatite broevi 5 i 7, a {to e nepoznatata x? Potoa obrazloì go zaklu~okot deka x = 7 5. Koj broj e re{enieto? Proveri go svoeto tvrdewe. 11 "Pro~itaj# ja ravenkata 1 10 : x = 5 i obrazloì go zaklu~okot x = 1 10 : 5. 1 Re{i ja ravenkata a) x : 7 = 6; b) (z + ) : 10 = 8; v) : x = ; g) 50 : (x + ) = 10. Op{to za ravenkite vo koi se odreduva nepoznatiot: mnoìtel, delenik ili delitel. Nepoznatiot mnoìtel, pri poznat proizvod i drugiot mnoìtel, se odreduva taka {to proizvodot }e se podeli so poznatiot mnoìtel. Nepoznatiot delenik, pri poznat delitel i koli~nik, se odreduva taka {to koli~nikot }e se pomnoì so delitelot. Nepoznatiot delitel, pri poznat delenik i koli~nik se odreduva taka {to delenikot }e se podeli so koli~nikot. a x = p; x = p : a (a i p se poznati) x : b = q; x = q b (b i q se poznati) a : x = q; x = a : q (a i q se poznati broevi) Treba da znae{! Da odreduva{ vrednost na daden broen izraz; koi operacii vo broen izraz imaat prednost pri nivnoto izvr{uvawe; da re{ava{ ravenki spored svojstvata na aritmeti~kite operacii. Proveri se! Odredi ja vrednosta na brojniot izraz: 17 + (56-1) - (6-18 : ). Re{i gi ravenkite: a) 5 + x = 50; b) x - 7 = 6; v) x : 15 = 10; g) 65 : x = 15; d) (x + ) 5 = Zada~i Odredi ja vrednosta na brojniot izraz: a) ( : 16); b) 5 - (1 : ). Re{i ja ravenkata: a) x = 5; b) x = 1 10; v) 17 x = 89; g) x : 0 = 0; d) 8 : x = ; ) 50 : (x + ) = Vo edna firma napolnile 1 60 gajbi jabolka, od koi 0 od vidot deli{es, 65 ajdaret, a ostanatite gajbi od vi - dot tetovsko jabolko. Kolku gajbi tetovsko jabolko bile? na ima 11 godini. Pred godini majka imala pati pove}e godini od na. Kolku godini ima sega majka na na? Jana i Jovan imaat po ist broj orevi. Se znae deka zaedno bi imale 10 orevi koga Jana bi imala pati pove - }e, a Jovan 5 pati pove}e. Po kolku orevi imaat Jana i Jovan?

47 17 S O R O T P O D T O C I RITMETI^K SREDIN 7 1 Sa{o e sopstvenik na videoklub i izdava videokaseti. Podatocite za izdadenite kaseti gi zapi{uval vo tabela. Den roj na kaseti Ponedelnik 1 Vtornik 9 Sreda 15 ^etvrtok 6 Petok Voo~i! Koj den Sa{o izdal najmnogu kaseti? Kolku kaseti pove}e bile izdadeni vo petok otkolku vo vtornik? Kolku vkupno kaseti bile izdadeni? Sa{o go interesiralo kolku kaseti iz - daval prose~no na den, a za toa e po - trebno da ja presmeta aritmeti~kata sredina na broevite od tabelata = 65 Vkupno izdadeni kaseti 65 : 5 = 1 Prose~no izdadeni kaseti sekoj den roj na denovi Vo tekot na pette rabotni denovi vo sedmicata Sa{o izdaval pro se~no po 1 video kaseti dnevno. rojot 1 e aritmeti~ka sredina za broevite 1, 9, 15, 6 i. Da zapomnam: ritmeti~ka sredina na dva ili pove}e broevi e koli~ nikot od zbirot na tie broevi i brojot na sobirocite. Presmetaj ja aritmeti~kata sredina na broevite:, 6, ; 657, 890, 1 0, 11, 5. Na testovite po matematika gim gi postignal sledive rezultati: na testot 1 osvoil 89 poeni, na testot osvoil 91 poen, na testot osvoil 100 poeni i na testot osvoil 80 poeni. Pretstavi gi podatocite vo tabela. Kolku poeni prose~no osvoil ce na testovite po matematika?

48 8 18 DELIVOST N PRIRODNI ROEVI. DELIVOST N ZIR I RZLIK Potseti se! Presmetaj: : 6 = 19 : = 65 : 5 = 785 : 8 = Vo koi od delewata ostatokot e 0? 1 Osumnaeset u~enici od VI oddelenie se podgotvuvaat za patroniot praznik. Tie sa - kaat da nastapat taka {to }e se podreduvaat vo redovi so ednakov broj u~enici. Na kolku razli~ni na~ini moè da se podredat u~enicite? Dopolni ja tabelata so podatocite za podreduvawe na u~enicite. Na kolku na~ini moè da se dobie brojot 18 kako proizvod na dva broja? So koi broevi moè da se podeli brojot 18 taka {to ostatok pri deleweto da bide brojot 0 (bez ostatok)? roj na roj na u~enici Vkupno redovi vo sekoj red u~enici So delewe proveri dali: 1 18 brojot 6 e delitel na brojot ; brojot 1 e deliv so brojot 5; brojot e deliv so brojot 6. Da zapomnam: rojot 18 se deli so broevite 1,,, 6, 9 i 18 bez ostatok. Se veli: 18 e deliv so broevite 1,,, 6, 9 i 18. Tie broevi se vikaat deliteli na brojot 18. Se zapi{uva: D 18 = {1,,, 6, 9, 18}. JS SUM DELITEL! Odredi go mnoèstvoto D 1 na site deliteli na brojot 1. Voo~i deka za da gi odredi{ site deliteli na brojot 1 treba postapno da deli{ so 1,,,..., 7. rojot e delitel na brojot 8 ( = 8 ili 8 : = i ostatok 0). Zapi{i 5 broevi {to se delivi so brojot.

49 Site broevi {to se delivi so brojot se vikaat sodràteli na brojot. 9 Mnoèstvoto od site sodràteli na brojot go ozna~uvame so S ; S = {, 8, 1, 16,...}. Prirodniot broj b e delitel na prirodniot broj a, ili a e deliv so b, ako ostatokot pri deleweto na a so b e : 5 = 10 = 5 DELITEL N 10 Prirodniot broj b e delitel na prirodniot broj a, ako a = b k za nekoj priroden broj k. Zapi{uvame: b a. îtame: b e delitel na a. Prirodniot broj a e sodràtel na prirodniot broj b, ako b e delitel na a. 5 e sodràtel na 5, bidej}i 5 5 Sekoj priroden broj e deliv so 1 i sam so sebe. 10 : 1 = 10 i 10 : 10 = 1 a : 1 = a i a : a = 1 Zapi{uvame: îtame: 5 e delitel na Proveri dali se delivi so brojot 7: 8, i 8 + ; 1, 18 i Proveri dali se delivi so brojot : 9, i - 9; 15, i Proveri dali se delivi so brojot : 1, 15 i 1 15; 10, 15 i Voo~iv vo zada~ata! Zbirot e deliv so brojot 7 ako dvata sobiroka se delivi so 7. Razlikata e deliva so brojot ako namalenikot i namalitelot se delivi. Proizvodot e deliv so brojot ako eden od mnoìtelite e deliv so. Op{to ko brojot a e deliv so brojot m i brojot b e deliv so bro jot m, toga{ zbirot (a + b) e deliv so brojot m i (15 + 5) ko brojot a e deliv so brojot m i brojot b e deliv so brojot m, toga{ razlikata (a - b) e deliva so brojot m. 1 i 9 (1-9) ko brojot m e delitel ba rem na eden od broevite a ili b, toga{ m e delitel na proizvo dot (a b). 8 i 15 (8 15) Delivost na zbir m a i m b m (a + b) Delivost na razlika m a i m b m (a - b) Delivost na proizvod m a ili m b m (a b)

50 50 6 Od broevite: 15, 18, 5 i 8 odredi dva broja taka {to: zbirot e deliv so 5; razlikata e deliva so ; proizvodot e deliv so 7, a ne e deliv so 5. 7 Proveri dali zbirot 1 + 8, odnosno razlikata - 9, se delivi so 5. Voo~i deka nieden od sobirocite, odnosno i namalenikot i namalitelot ne se delivi so 5, a zbirot, odnosno razlikata se delivi so 5. Treba da znae{! Koga eden priroden broj e deliv so drug priroden broj; da odredi{ deliteli i sodràteli na daden priroden broj; so primer da ja pokaè{ delivosta na zbir, razlika i proizvod na prirodni broevi. Proveri se! Dadeni se broevite: 5, 8, 0 i 56. Koj od tie broevi e deliv so 6? Zapi{i gi site deliteli na brojot 0. Zapi{i tri sodràteli na 5. Dali brojot 5 e delitel na 58? Proveri bez da presmetuva{ dali e to~no: (8 + 6); 5 (56-0); 5 (0-5); 5 (0 6). Zada~i 1.. Koi od broevite 1,,, 5 ili 7 se deliteli na brojot 70? Odredi gi site deliteli na brojot 6. Proveri dali 1; 6; Zapi{i 7 sodràteli na brojot. Kolku sodràteli ima brojot? Zapi{i po eden primer za da ja pokaè{ delivosta na: zbir na prirodni broevi so broj;.. ez da go presmeta{ zbirot, odnosno razlikata, odredi dali e deliv so 5. a) 0 + 5; b) 7 + 0; v) 50-15; g) 5-9. ez da gi presmetuva{ proizvodite, utvrdi koj od niv e deliv so, a koj so 7. a) 9 5; b) 1 ; v) 5 1; g) razlika na prirodni broevi so broj; proizvod na prirodni broevi so broj. 5. Neka = {6, 7, 1, 16,,, }. Zapi{i go tabelarno mnoèstvoto = {x x i x}.

51 19 PRIZNCI Z DELIVOST SO I SO 5 51 Potseti se! Eden priroden broj e deliv so drug pri roden broj ako ostatokot pri deleweto e 0. Odredi koj od broevite: 7, 6 i 10 e deliv so. Koj od broevite: 65, 800 i 7 e deliv so 5? Voo~i ja postapkata 10 = 5; ( 5), t.e = 7 10; (7 10), t.e = 9 10; (9 10), t.e Za da utvrdi{ dali eden broj e deliv so drug broj, dovolno e da go odredi{ nivniot koli~nik. Delivosta moè da se utvrdi i bez da se vr{i deleweto. Toa go pravime so pomo{ na kriteriumi ili takanare~eni priznaci za delivost. Proveri dali broevite: 10, 70 i 70 se delivi so. Moàm da voo~am! rojot {to zavr{uva na nula, moè da se zapi{e ka - ko proiz vod vo koj eden mno - ì tel e 10. Toj proizvod e deliv so. Sekoj broj na koj cifrata na edinici e 0 e deliv so. Koi od broevite: 1, 5 i 65 se delivi so? Voo~i ja postapkata 1 : = (10 + ) : ; 1, bidej}i 10 i. 5 : = (50 + ) : ; 50, bidej}i 50 i. 65 : = (60 + 5) : ; 65, bidej}i 60 i 5. Moàm da voo~am! Dali eden broj e deliv so ili ne e, zavisi od cifrata na edinicite na toj broj. Zapomni! Eden broj e deliv so, ako cifrata na edinicite na toj broj e 0,,, 6 ili 8. Ova tvrdewe se vika priznak za delivost so. Koj od broevite: 50, 78, 1 6, 1 11 i e deliv so?

52 5 Proveri dali bro e vite: 10, 70 i 60 se delivi so 5. Voo~i ja postapkata 10 : 5 = ( 5) : 5; 5 10 bidej}i 5 i : 5 = (10 7) : 5; 5 70 bidej}i 5 10 i : 5 = (10 6) : 5; 5 60 bidej}i 5 10 i 5 6. Moàm da voo~am! rojot ~ija cifra na edinici e nula moè da se zapi{e kako pro izvod vo koj eden od mnoìtelite e 10. Toj priroden broj e deliv so 5. Sekoj priroden broj na koj cifrata na edinicite e 0 e deliv so 5. Voo~i ja postapkata 5 Koi od broevite: 65, 105 i 6 se delivi so 5? Moàm da voo~am! rojot ~ija cifra na edinici e 5 e deliv so : 5 = (60 + 5) : 5; 5 65, bidej}i 5 60 i : 5 = ( ) : 5; 5 105, bidej}i i : 5 = (60 + ) : 5; 5 6, bidej}i 5 60 i 5. Zapomni! Eden broj e deliv so 5, ako cifrata na edinicite na toj broj e 0 ili 5. Ova tvrdewe se vika priznak za delivost so 5. 6 Koj od broevite: 180,, 55, 0 i 1 75 e deliv so 5? Treba da znae{! Da proveri{ dali nekoj priroden broj e deliv so, odnosno so 5, bez da go izvr{i{ deleweto; da go primeni{ priznakot za delivost so, odnosno so 5, vo zada~i. Proveri se! Koj od broevite: 1,, 15, 57, 155, 850 i e deliv so ; deliv so 5; deliv so i so 5? 1. Zada~i ez da go izvr{i{ deleweto proveri ja delivosta so na broevite: 8, 70, 96, 797, 001 i na imala pove}e od 60, a pomalku od 70 bonboni. Taa gi podelila bonbo ni te na 5 svoi drugarki podednakvo. Kolku bonboni imala na?. Iskaì go priznakot za delivost so 5.. Koi od broevite: 10, 75, 00, 876 i 995 se delivi so 5?

53 0 PRIZNCI Z DELIVOST SO I SO 9 5 Potseti se! Odredi koi od broevite: 9, 66, 171 i 1 se delivi so. Koi od broevite: 18, 999, 1 06 i se delivi so 9? Zapi{i tri broja ~ij zbir na cifrite e deliv so. Proveri dali broevite {to gi zapi {a se delivi so. Mo`am da voo~am! Koga eden broj e deliv so i zbirot na negovite cifri e deliv so. Ova tvrdewe se vika priznak za delivost so. 1 Koi od broevite: 7, 8, 97 i 7 se delivi so brojot? Odredi go zbirot na cifrite na sekoj od broevite. Utvrdi kaj koi od broevite zbi - rot na nivnite cifri e deliv so. Utvrdi koi broevi se delivi so i kaj koi broevi zbirot na ci - frite e deliv so. [to zaklu - ~uva{? Zapomni! Eden broj e deliv so, ako zbirot od cifrite so koi toj e zapi{an e broj deliv so. Koj od broevite: 111, 9, 1 11 i 1 6 e deliv so? Koi od bro e vite: 78, 117, 8, 86 i se delivi so brojot 9? Odredi go zbirot na cifrite na sekoj od broevite. Utvrdi na koi od broevite zbirot na cifrite e deliv so 9? Mo`am da voo~am! Koga eden broj e deliv so 9 i zbirot na negovite cifri e deliv so 9. Zapomni! Eden broj e deliv so 9, ako zbirot od cifrite so koi toj e zapi{an e broj deliv so 9. Ova tvrdewe se vika priznak za delivost so 9. 5 ez da deli{ opredeli koj od broevite: 59, 77, 1 97, 5 60, 6 7 i 7 5 e deliv: so ; so 9; so i so 9.

54 5 Mo`am da voo~am! roevite: 59, 77 i 6 7 se delivi so i so 9. Zapomni! Sekoj broj {to e deliv so 9 e deliv i so. Treba da znae{! Proveri se! Koj priroden broj e deliv so ; da odredi{ dali daden broj e deliv so 9; sekoj priroden broj {to e deliv so 9 e deliv so. Zada~i Koi od broevite: 75, 9, 58 i 7 se delivi so? Koja cifra treba da stoi na mestoto na vo 5 6 za da se dobie broj deliv so 9? Zapi{i eden broj {to e deliv so i so Koi od broevite 8, 51, 1 5 i 6 1 se delivi so? Koi od broevite 79, 9 16 i 50 se delivi so 9? Koja cifra treba da se zapi{e na mestoto ozna~eno so, za dobieniot broj da bide deliv so? 1 7; 6 5 ; 5; Zameni ja yvezdi~kata so cifra, taka dobieniot broj da bide deliv so 9. 8; 6 7; 1 8 ; 5 1. Koja cifra treba da zapi{e{ na mes - toto ozna~eno so vo brojot 7 55 za brojot da bide deliv so i so? ko saka{ da znae{ pove}e! Zo{to eden broj e deliv so 9 koga zbirot na negovite cifri e deliv so 9? Voo~i na sledniov primer: 86 = = = =(99 + 1) + (9 + 1) = (99 ) = ( ) + ( ); Izrazot e deliv so 9 spored praviloto za delivost na proizvod i zbir. Od vrednosta na izrazot zavisi dali brojot 86 e deliv so = 18; 9 86, bidej}i Na sli~en na~in poka`i ja delivosta na brojot 1 so. Obidi se da zaklu~i{! Milica vlegla vo prodavnica da kupi eden sladoled i tri ~okoladi. Znaela deka sladoledot ~ini 60 denari. Prodava~ot i rekol deka treba da plati 0 denari. Taa rekla deka smetkata ne e to~na. Prodava~ot povtorno presmetal i se izvinil. Kako Milica znaela deka smetkata ne e to~na, a ne ja znaela cenata na ~okoladata?

55 1 PRIZNK Z DELIVOST SO 55 Potseti se! 1 Proveri dali broevite: 100, 500 i 1 00 se delivi so. Koj od broevite: 96, 00, 718 i 008 e deliv so? Voo~i ja postapkata 100 = 5 ; 100, bidej}i (5 ). 500 = 100 5; 500, bidej}i (100 5) = 100 1; 1 00, bidej}i (100 1). Moàm da voo~am! rojot na koj cifrite na edi ni cata i desetkata se nuli moèda se zapi{e kako pro izvod vo koj eden od mnoì telite e 100. Toj proizvod e deliv so. Sekoj broj na koj cifrata na edinicite e 0 i cifrata na de setkite e 0 e deliv so. Koi od broevite 1, 916 i 8 se delivi so? Voo~i ja postapkata 1 : = (100 + ) : ; 1, bidej}i 100 i. 916 : = ( ) : ; 916, bidej}i 900 i : = (00 + 8) : ; 8, bidej}i 00 i 8. Moàm da voo~am! Dali nekoj broj e deliv so brojot ili ne, zavisi od dvocifreniot broj formiran od cifrata na edinicite i cifrata na desetkite na toj broj. Zapomni! Daden broj e deliv so, ako negoviot dvocifren zavr{etok e deliv so. Ova tvrdewe se vika priznak za delivost so.

56 56 Utvrdi koj od broevite: 8, 108, 15, 1 0, 7 7 i e deliv so. Treba da znae{! Proveri se! Da odredi{ dali nekoj priroden broj e deliv so bez da go izvr{i{ deleweto. Zapi{i go brojot kako zbir od koj }e utvrdi{ dali e deliv so. Zapi{i dva broja {to se delivi so. Zada~i 1. So cifrite 1,, i, bez nivno povtoruvawe, zapi{i gi site ~etiricifreni broevi {to se delivi so.. Zapi{i tri prirodni broevi {to se delivi so i 5.. Koja cifra treba da se zapi{e na me - stoto ozna~eno so za brojot da bide deliv so? 6 ; 71 ; 5 ; Zapi{i go brojot od vtorata desetka na ~etvrtata stotka {to e deliv so, i. I ova e matematika! Na masa se nao aat 50 grav~iwa. Dva igra~i naizmeni~no zemaat po edno, ili po dve ili po tri grav~iwa. Pobeduva onoj igra~ koj posleden }e zeme. Kolku grav~iwa treba da zeme igra~ot {to po~nuva prv za sigurno da pobedi? Napravi pobedni~ka strategija za igra~ot koj {to zema prv. Napravi pobedni~ka strategija za igra~ot {to zema vtor ako na masata ima 0 grav~iwa. Napravi pobedni~ka strategija ako na masata ima koj bilo broj grav~iwa i igra~ite naizmeni~no zemaat od 1 do ili od 1 do 5 itn. ko ne mo`am da re{am te{ka zada~a, }e probam so sli~na polesna. ]e probam so 10 grav~iwa, potoa so 0 grav~iwa itn.

57 PROSTI I SLO@ENI ROEVI. PRETSTVUVWE SLO@EN ROJ KKO PROIZVOD OD PROSTI MNO@ITELI 57 Potseti se! Sekoj priroden broj e deliv so 1. Sekoj priroden broj e deliv sam so sebe. Zapi{i gi site deliteli na broevite:, 17 i 5. Odredi gi site deliteli na broevite: 6, 1 i Zapi{i tri broevi {to imaat samo dva deliteli. Zapi{i tri broevi {to ima - at pove}e od dva deliteli. Razgledaj ja tabelata. roj Delitel na brojot 1 1 1, 1, 1,, 5 1, 5 6 1,,, 6 Jas sum sloèn Jas!? 1 7 Jas sum prost. Koj broj ima samo eden delitel? Koi od broevite vo tabelata imaat samo dva deliteli? Koi od broevite vo tabelata imaat pove}e od dva deliteli? Zapomni! roevite {to imaat samo deliteli se vikaat prosti broevi. roevite {to imaat ili pove}e deliteli se vikaat sloèni broevi. rojot 1 ne e nitu sloèn nitu prost broj. Vo tabelata broevite:, i 5 se prosti. Vo tabelata broevite i 6 se sloèni. Zapi{i gi na tabelaren na~in mnoèstvata: = {x x N i x < 0}; = {x x i x e prost broj}; C = {x x i x e sloèn broj}. Odredi go proizvodot na prostite broevi:, i 7;, i 5;,, i.

58 58 5 Pretstavi go kako proizvod sekoj od broevite:, 50 i 75. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. Zapomni! = 1 = 7 50 = 5 = 5 5 = 5 75 = 15 5 = 5 5 = 5 Moàm da voo~am! Sloèn broj moàm da pretstavam kako proizvod od prosti broevi. Sekoj sloèn priroden broj moè da se zapi{e kako proizvod od prosti broevi, t.e. da se razloì na prosti mnoìteli. 6 7 Zapi{i go brojot 6 kako proizvod od prosti broevi. Razloì go brojot 10 na prosti mnoìteli. Voo~i ja postapkata za razloùvawe na daden broj na prosti mnoìteli Prvo povlekuvame vertikalna crta do brojot 10. Vertikalnata crta ja zamisluvame kako znak za delewe, a koli~nicite gi zapi{uvame pod delenikot. Deleweto go zapo~nuvame so najmaliot prost delitel na dadeniot broj i prodolùvame so toj delitel s dodeka e mo`no (vo slu~ajov so ). Postapkata ja prodolùvame so sekoj od koli~nicite s dodeka dobieme koli~nik = 5 = 5 So koristewe na istata postapka razloì gi na prosti mnoìteli broevite: 6, 10, 600 i Voo~i go razloùvaweto na brojot = 97 Posledniot koli~nik 97 ne e deliv ni so ni so 5. Proveruvame i utvrduvame deka ne e deliv ni so naredniot prost broj 7. Nema potreba da proveruvame za naredniot prost broj 11, bidej}i 11 > 97. Zna~i, 97 e prost broj.

59 Treba da znae{! Proveri se! 59 Koi prirodni broevi se prosti, a koi sloèni; da razloì{ daden broj na prosti mnoìteli. Koj od broevite 91 i 97 e sloèn broj? Obrazloì! Razloì go brojot 15 na prosti mnoìteli. Zada~i 1.. Razloì gi na prosti mnoìteli broevite: 15,, 8, 75 i rojot na godinite na Sa{o e sloèn broj pomal od 0, a pogolem od 0 i moè da se pretstavi kako proizvod na tri ednakvi prosti mnoìteli. Kolku godini ima Sa{o? Istraì sam!. Edno semejstvo ima neparen broj deca, prost broj doma{ni mileni~iwa, paren broj avtomobili i sloèn broj spalni sobi. Zbirot na site ovie broevi e 10. Koi se tie broevi?. Obidi se da zapi{e{ parni broevi pogolemi od kako zbir na dva prosti broja. Primer: 8 = + 5, 1 = 5 + 7, 8 = Napi{i go kako zbir od prosti broevi brojot: 1; 5. Vo eden hotel imalo 100 svetilki. Na edna tabla imalo prekinuva~i za sekoja svetilka i tie bile ozna~eni so broevi od 1 do 100. ko prekinuva~ot se pritisne edna{, svetilkata se pali, a ako se pritisne po vtor pat taa se gasi. Site svetilki bile izgasnati. Domarot prviot den gi pritisnal site prekinuva~i, t.e. site svetilki gi zapalil. Za da za{tedi elektri~na energija, toj vtoriot den go pritisnal sekoj vtor prekinuva~, tretiot den sekoj tret i na toj na~in stotiot den go pritiskal samo stotiot prekinuva~. Koi svetilki, t.e. svetilkite so koi ozna~eni broevi }e svetat po stotiot den? Moàm sam da istraàm i da go re{am problemot. ]e razmislam prvo za 10 svetilki, potoa za 0, potoa za 0 i taka }e zaklu~am za 100 svetilki.

60 60 ZEDNI^KI DELITEL. NJGOLEM ZEDNI^KI DELITEL Potseti se! Odredi gi site deliteli na brojot 18. Mnoèstvoto deliteli zapi{i go tabelarno i ozna~i go so D 18. Odredi gi site deliteli na brojot. Mnoèstvoto deliteli zapi{i go tabelarno i ozna~i go so D. Odredi gi zaedni~kite deliteli na broevite 18 i, t.e. odredi D 18 D. 1 Mimoza kupila bonboni za 8 de - nari, a Ivan kupil od is tite bonboni za denari. Koja bi moèla da bide cenata na edna bonbona? Koja bi moèla da bide najvisokata cena na edna bonbona? Voo~i ja postapkata i zaklu~i! Site deliteli na brojot 8. D 8 = {1,,, 7, 1, 8} Site deliteli na brojot. D = {1,,, 6, 7, 1, 1, } Zaedni~kite deliteli za broevite 8 i. D 8 D = {1,, 7, 1} Voo~uvam deka: ko D 8 e mnoèstvo deliteli na brojot 8, a D, mno è stvo deliteli na brojot, toga{ D 8 D e mnoèstvoto na za ed ni~kite deliteli na broevite 8 i. Voo~i deka: Cenata na edna bonbona bi moèla da bide: 1, ili, ili 7 ili 1 denari. Najvisokata cena bi moèla da bide 1 denari. rojot 1 e najgolem zaedni~ki delitel za broevite 8 i. Zapomni! Najgolemiot od site zaedni~ki deliteli na broevite m i n se vika najgolem zaedni ~ ki delitel na broevite m i n. Se ozna~uva: NZD(m, n). Odredi go mnoèstvoto zaedni~ki deliteli na broevite 0 i 5. Odredi NZD(0, 5).

61 Odredi go najgolemiot zaedni~ki delitel na broevite: a) i 0; b) 9 i 1. Voo~i! Zaedni~ki delitel za broevite 9 i 1 e brojot 1, a toj e i nivniot najgolem zaedni~ki delitel, t.e. NZD (9, 1) = Zapomni! ko NZD (a, b) = 1, toga{ za broevite a i b velime deka se zaemno prosti broevi. Odredi NZD(168, 180). 168 Voo~i ja postapkata i raboti spored barawata. Razloì gi broevite 168 i 180 na prosti mnoìteli. Pretstavi gi broevite 168 i 180 kako proizvod od prosti broevi = = 5 5 Voo~i! Proizvodot od zaedni~kite prosti de li teli na broevite 168 i 180 e nivniot najgolem zaedni~ki delitel, t.e. NZD(168, 180) = = 1. 5 Odredi NZD(10, 150) i NZD(, 6, 8). Voo~i ja skratenata postapka za odre duvawe NZD. Odredi go najmaliot prost broj {to e delitel na dvata broja. Odredi go najmaliot prost broj {to e delitel na dvata dobieni koli~nici. Postapkata ja prodolùva{ s dodeka dobienite koli~nici stanat zaemno prosti broevi. Proizvodot na zaedni~kite prosti deliteli e najgolemiot zaedni~ki delitel, t.e. NZD(10, 150) = 5 = 0 i NZD(, 6, 8) = 7 = 1. 10, , 75 0, 5, 5, 6, 8 1, 1, 8,, Odredi a) NZD(7, 90); b) NZD (150, 180, 0)

62 6 Treba da znae{! Proveri se! Da odredi{ zaedni~ki delitel na dva broja; koi broevi se zamno prosti broevi; da odredi{ najgolem zaedni~ki de - litel na dva ili pove}e broevi, po skratena postapka. Razloì gi broevite 6 i 60 na prosti mnoìteli, a potoa odredi go nivniot NZD. Dadeni se dve ìci od 8 m i 1 m. Koja e najgolemata dolìna so koja moàt dvete ìci da se podelat na ednakvi delovi? Zada~i 1. Odredi go mnoèstvoto zaedni~ki deliteli na broevite: 0 i 6. Obidi se da re{i{! Odredi: a) NZD(1, 18); v) NZD(60, 90, 10); b) NZD(8, 7); g) NZD(0, 00, 600). Odredi: a) NZD (16, 5); b) NZD(6, 7). Kolku najmnogu ednakvi buketi moè da se napravat od site 8 beli i site 7 crveni karanfili, taka {to vo sekoj buket da ima ist broj karanfili od ista boja? Dadeni se dve ìci. Ednata e dolga 96 m, a drugata 180 m. Kolku metri e najgolemata dolìna so koja moè da se izmerat dvete ìci? Kolku najmnogu ednakvi paket~iwa moè da se napravat od 8 ~okoladi, 7 bajaderi i 10 bonboni, taka {to vo sekoe paket~e da ima po ednakov broj par~iwa od ist proizvod i site proizvodi da bidat upotrebeni? 1 Koristej}i gi dadenite mreì, odredi gi i zapi{i gi na soodvetnite to~ki delitelite na broevite: a) 6 i 5; b) 8, i 98. Spored mreìte odredi: NZD(6, 5) i NZD(8,, 98). 6 NZD NZD 7

63 ZEDNI^KI NJML ZEDNI^KI 6 Potseti se! Mnoèstvoto sodràteli na brojot, zapi{i go na tabelaren na~in i ozna ~i go so S. Mnoèstvoto sodràteli na brojot zapi{i go tabelarno i ozna~i go so S. 1 Dvajca drugari se sretnale vo biblioteka. Edniot odi vo biblio - tekata sekoj ~etvrti den, a drugi - ot sekoj {esti den. Po kolku dena tie povtorno }e se sretnat vo bibliotekata? Zapi{i go mnoèstvoto zaedni~ki sodràteli na broevite i, t.e. odredi go S S. Voo~i ja postapkata i zaklu~i! Mnoèstvoto sodràteli na brojot. S = {, 8, 1, 16, 0,, 8,, 6,...} Mnoèstvoto sodràteli na brojot 6. S 6 = {6, 1, 18,, 0, 6,, 8,...} Mnoèstvoto zaedni~ki sodràteli S S 6 = { 1,, 6,...} na broevite 8 i. Voo~i! Dvajcata drugari vo bibliotekata }e se sretnat po 1 dena, dena, 6 dena itn. Prv pat }e se sretnat po 1 dena. rojot 1 e najmaliot zaedni~ki sodràtel za broevite i 6. Zapomni! Najmaliot priroden broj n koj e sodràtel na prirodnite broevi a i b se vika najmal zaedni~ki sodràtel na broevite a i b. Se ozna~uva: NZS(a, b) = n. Odredi go mnoèstvoto zaedni~ki sodràteli na broevite i 5. Odredi NZS(, 5). Odredi NZS(1, 5). 1 Voo~i ja postapkata za odreduvawe na NZS. Razloì gi broevite 1 i 5 na prosti mnoìteli

64 5 6 rojot 1 razloèn na prosti mnoìteli e proizvodot. rojot 5 razloèn na prosti mnoìteli e proizvodot 5. Site prosti mnoìteli na broevite 1 ili 5 se, i 5. Tie se javuvaat so najgolem stepen kako:, i 5. Najmaliot zaedni~ki sodràtel e nivniot proizvod, t.e. NZS(1, 5) = 5 = 180. Odredi NZS(m, n), ako e poznato deka: m = 5; n = 7. Odredi NZS(60, 7, 90). 6 Voo~i ja skratenata postapka za odreduvawe na NZS so pomo{ na vertikalna crta. Odredi go prostiot delitel, po~nuvaj}i od najmaliot, na eden ili pove}e od dade - nite broevi. Postapkata prodolì ja so dobienite koli~nici i ostanatite prepi{ani broevi {to go nemaat soodvetniot prost delitel. Proizvodot na dobienite prosti deliteli e najmaliot zaedni~ki sodràtel na dadenite broevi, t.e. NZS(60, 7, 90) = 5 = = 60. Odredi NZS na broevite: a) 1 i 15; b) 0 i 0; v) 60, 90 i , 7, 90 0, 6, 5 15, 18, 5 15, 9, 5 5,, 15 5, 1, 5 1, 1, 1 5 Voo~i! ko dva broja se zaemno prosti, toga{ NZS na tie broevi e nivniot proizvod, t.e. NZS(1, 15) = 1 15 = 10; ko od dva broja, edniot e sodràtel na drugiot, toga{ NZS na tie broevi e pogo - lemiot, t.e. NZS(0, 0) = 0. Treba da znae{! Da odredi{ mnoèstvo zaedni~ki sodràteli na dva broja; da odredi{ najmal zaedni~ki sodràtel na dva ili pove}e broevi, po skratena postapka. Proveri se! Pretstavi go sekoj od broevite 9 i 1 kako proizvod na prosti broevi, a potoa odredi go nivniot najmal zaedni~ki sodràtel. Na u~ili{nata zabava se dodeluvale nagradi na sledniot na~in: zna~ka dobival sekoj 10-ti posetitel; sok dobival sekoj 15-ti posetitel. kapa dobival sekoj 0-ti posetitel. Koj e prviot posetitel {to gi dobil site tri nagradi?

65 Zada~i Odredi go mnoèstvoto sodràteli na broevite: 10 i 15, a potoa odredi NZS(10, 15). Odredi: a) NZS(8, 10); v) NZS(80, 10); b) NZS(6, 1, 18); g) NZS(10, 180, 0). 5. Milan imal pomalku od 0 kocki. ko gi redi po vo eden red edna mu osta - nuva. ko gi redi po, isto taka, edna mu ostanuva, no ako gi redi po 5 ne mu ostanuva ni edna kocka. Kolku kocki imal Milan?.. Od ista stanica istovremeno trgnale tri avtobusi. Prviot se vra}a vo sta - nicata sekoi 50 minuti, vtoriot sekoi 60 minuti, a tretiot sekoi 75 minuti. Po kolku najmalku minuti }e se najdat zaedno na po~etnata stanica site tri avtobusi? Dva broda trgnuvaat istovremeno od isto pristani{te. Prviot se vra}a vo pristani{teto sekoi 0 dena, a vtoriot sekoi dena. Po kolku najmalku denovi brodovite }e se najdat vo istoto pristani{te? 6. Tri svetilki so razli~na boja se vklu - ~eni vo isto vreme. Crvenata svetilka se gasi na sekoi 5 sekundi, sinata sve - tilka se gasi na sekoi sekundi, a òltata svetilka se gasi na sekoi 6 sekundi. Na kolku sekundi }e izgasnat site tri svetilki? Istraì sam! Po {to se sli~ni, a po {to se razli~ni broevite 1 i 16? Obidi se da presmeta{! Najmaliot zaedni~ki sodràtel na nekoj broj i brojot 1 e brojot. Koj e nepoznatiot broj? Zanimliv problem! Dvajca bra}a sakale da kupat karti za "Zabaven park#. Se presmetale i na edniot od niv mu nedostasuvale 0 denari za dve karti, a na drugiot za dve karti mu nedostasuval eden denar. Utvrdile deka i nivnite pari vkupno nedostasuvale za dve karti. Kolku pari ~inela edna karta za "Zabavniot park# i kolku denari imal sekoj od niv?

66 S O R O T P O D T O C I SLIKOVEN DIJGRM. STOLEST DIJGRM Slikoven dijagram e na~in na pretstavuvawe na podatoci so koristewe na sliki ili simboli. Vo edna prodavnica e zapi{uvana proda`bata na maici vo 6 sedmici. Podatocite se pretstaveni so slikoven dijagram. Razgledaj go dijagramot. Proda`ba na maici Sedmica 1 Sedmica Sedmica Sedmica Sedmica 5 Sedmica 6 Pretstavi gi podatocite vo tabela. Znakot pretstavuva 10 maici, Vo koja sedmica se prodadeni najgolem broj maici? Kolku pove}e maici se prodadeni vo sedmica od sedmica 1? Kolku vkupno maici se prodadeni vo {este sedmici? a 5 maici. U~enicite vo VI oddelenie pribrale podatoci za toa koga lu eto najmnogu sakaat da slu{aat muzika. Podatocite se pretstaveni vo tabelata. Koga [etawe Doma U~ewe Sportuvawe Na rabota Drugo roj Pretstavi gi podatocite vo tabela so koristewe na simbolot Eden simbol pretstavuva 10 odgovori. (slu{alki). Kade lu eto naj~esto slu{aat muzika? Kolku vkupno odgovorile na postavenoto pra{awe? Voo~i ja tabelata za brojot na pozajmeni knigi od gradskata biblioteka. Pretstavi gi podatocite vo slikoven dijagram ako eden simbol pretstavuva 50 knigi. Zapi{i tri pra{awa vo vrska so podatocite i odgovori gi. Den r. knigi Ponedelnik 50 Vtornik 00 Sreda 150 ^etvrtok 100 Petok 50

67 Okolu na{eto sonce se vrtat 9 planeti. Sedum od pla ne tite imaat svoi sateliti (mese~ini). Vo tabe lava se da deni podatocite za brojot na sate - litite otkrieni do 199 godina. 67 Planeta roj na mese~ini Zemja 1 Mars Jupiter 16 Saturn 18 Uran 15 Neptun 8 Pluton 1 Za da se pretstavat podatocite na stolbest dijagram potrebno e: Da se nacrta horizontalna oska i da se zapi{at imiwata koi se odnesuvaat na podato cite. Da se nacrta vertikalna oska i da se zapi{e vidot na edi ni~nata merka. Da se odlu~i za goleminata na edini~nata merka na skalata taka {to da mo`e da se pretstavat site podatoci i da se formira skalata. Da se nacrtaat stolbovite. Da se zapi{e naslov na stolbestiot dijagram. Mese~ini na planetite broj na mese~ini Z M J S U N P Planeti Voo~i go izborot na skalata. Zo{to ne bi bilo prakti~no da se koristi skala so edini~na merka 5 ili 10 vo ovoj primer? Zo{to e podobro da se pretstavat podatocite na stolbest dijagram otkolku vo tabela? Pretstavi gi podatocite na stolbest dijagram taka {to stolbovite da bidat nacrtani horizontalno. broj na mese~ini broj na mese~ini

68 68 6 UÊ[E Z PRIRODNI ROEVI. PROVERI GO SVOETO ZNEWE 1. Dadeni se mnoèstvata = {x x e neparen broj od vtorata desetka}, = {x x e prost broj od vtorata desetka} i C = {x x N i 15 < x 19}. a) Zapi{i gi, i C na tabelaren na~in. b) Pretstavi gi i C so Venov dijagram i zapi{i go C tabelarno. v) Odredi koi od mnoèstvata,, C, C i \C se ekvivalentni. 9. Eden kow i edno magare nosat tovar. ko od brojot na kilogrami {to go nosi magareto odzeme{ 9 kg, }e dobie{ 19 kg. ko tri pati go namali{ brojot na kilogrami {to go nosi kowot, }e dobie{ 1 kg. Kolku kilogrami tovar nosat kowot i magareto zaedno?. Dadeni se mnoèdstvata = {a, b, c} i = {1, 5}. Odredi go dekartoviot proizvod x i dekartoviot kvadrat.. Dadeni se cifrite 9, 1 i 0. a) Formiraj gi site tricifreni broevi so koristewe na site tri dadeni cifri. b) Podredi gi po golemina broevite {to gi dobi, po~nuvaj}i od najmaliot. v) Zapi{i gi prethodnikot i sledbenikot na najmaliot broj od for miranite broevi.. Zapi{i go brojot dvaeset milijardi trista pedeset milioni pet iljadi i sedumdeset. Vo koja klasa i na koja pozicija e cifrata vo toj broj? Koja e pozicionata vrednost na cifrata? 5. Zaokruì gi broevite 685 i 59 na stotki i najdi go zbirot na zaokru - ènite broevi. Za kolku se razlikuva toj zbir od to~niot zbir? 6. Kako }e se promeni razlikata ako namalitelot se namali za 00, a namalenikot ostane ist? 7. Od dve cevki te~e voda vo bazen, pri {to vo edna sekunda niz ednata cevka se vlevaat 9 l, a niz drugata 6 l. Kolku litri voda }e se vleat vo bazenot niz dvete cevki za 15 min? 8. na i ojan delele eden ist broj: na so 1, a ojan so 18. na dobila koli~nik i ostatok. Koj koli~ nik go dobil ojan? 10. Najdi ja aritmeti~kata sredina na broevite: 7, 586, 86 i Koi od broevite 105, 7, 801, 90 i 5 se delivi so: a) ; b) 5; v) ; g) 9? 1. Koja cifra treba da zapi{e{ na mestoto ozna~eno so * za brojot da bide deliv so : a) 57*; b) 7*? 1. Razloì go brojot 15 na prosti mno - ìteli. 1. Odredi go mnoèstvoto D 68, t.e. mnoèstvoto od site deliteli na brojot Odredi NZD i NZS za broevite 18 i. 16. Kolku najmnogu ekipi so ednakov broj u~enici moè da se sostavat od site 1 devoj~iwa i site 0 mom~iwa, taka {to sekoja ekipa da ima ist broj devoj ~iwa i ist broj mom~iwa? 17. Na edna telefonska linija stolbo - vite bile postaveni na rastojanie od 0 m. Stolbovite treba da se razmestat na rastojanie od 50 m. Koi stolbovi od telefonskata linija }e ostanat na isto mesto?

69 TEM. GEOMETRISKI FIGURI VO RMNIN To~ka i prava. Osnovni svojstva na pravata 70. Zaemna polo`ba na dve pravi 7. Rastojanie me u dve to~ki 75. Poluprava. Otse~ka. Dol`ina na otse~ka Prenesuvawe na otse~ki Iskr{ena linija 8 7. Osnovni i izvedeni poimi Kru`nica i krug Zaemna polo`ba na kru`nica i to~ka. Zaemna polo`ba na kru`nica i prava Zaemna polo`ba na dve kru`nici Poluramnina. gol Sporeduvawe agli. Vidovi agli Sosedni, naporedni i nakrsni agli Centralen agol. Konstrukcija na agol Grafi~ko sobirawe i odzemawe na agli Merewe na agli. glomer ritmeti~ki operacii so agli Zaemno normalni pravi. Rastojanie od to~ka do prava Simetrala na otse~ka. Simetrala na agol Komplementni i suplementni agli Mnoguagolnik 1. Nekoi vidovi mnoguagolnici 15. Perimetar na mnoguagolnik 17. U~e{e za geometriski figuri vo ramnina. Proveri go svoeto znaewe 10

70 70 1 TO^K I PRV. OSNOVNI SVOJSTV N PRVT Potseti se! G a C D H Na crteòt e pretstavena prava a i nekolku to~ki: To~kite:, D i F pripa aat na pravata a. To~kite: V, C, H i G ne pri pa aat na pravata a. Na pravata a ima i mnogu drugi to~ki. Nacrtaj prava b i na nea ozna~i ne - kolku to~ki. Ozna~i i to~ki {to ne pripa aat na pravata b. Kako si ja zamisluva{ pravata? F 1 Razgledaj go crteòt i zapomni go iskaà noto. M N Moème da re~eme deka pravata e mnoèstvo to~ki. Za to~kata M velime deka pripa a na pravata p ili deka pravata p minuva niz to~kata M; kratko zapi{uvame M p. p To~kata N, pak, ne pripa a, t.e. ne leì na pravata p, a mo è da se kaè i deka N leì nadvor od pravata p; kratko zapi{uvame N p. Da zapomnam! To~kata leì na pravata ili to~kata ne leì na pravata. Nacrtaj edna prava i ozna~i ja so m. Potoa ozna~i gi to~kite, V, S, M i N taka {to: m, m, C m, M m i N m. Iskaì gi so zborovi kratkite zapisi m i m. Na crteòt se ozna~eni pravata d i to~kite: d, d, C d, D d, E d, F d i G d. Moè{ li da ozna~i{ i drugi to~ki {to ñ pripa- aat na pravata d? Kolku? Moè{ li da ozna~i{ i drugi to~ki {to ne ñ pripa aat na pravata d? Kolku? C D E F G d Voo~i! Na pravata leàt besko ne~no mnogu to~ki, no ima i to~ki {to ne leàt na taa prava. Ova zapomni go kako prvo osnovno svoj stvo na pravata.

71 Voo~i koi od ozna~enite to~ki na crteòt leàt na ista prava. Voo~i i zapomni! 71 5 Spored crteòt utvrdi dali se to~kite kolinearni: a), R i V; g) M, Y i ; b) M, Y i N; d) i V; v), R i N; ) N, P, S, M. C D E a b Za to~kite {to leàt na ista prava se veli deka se kolinearni. Na crteòt to~kite, S i D se koli - ne ar ni i to~kite V, S i E se kolinearni. To~kite, V i D ne leàt na ista prava, pa tie ne se kolinearni. M S P N m n 6 ukvite i V na crteòt ozna~uvaat ista to~ka. p Zapi{uvame: V i velime: To~kite i V se sovpa aat. ukvite p i q, pak, na crteòt ozna ~uvaat ista prava. Zapi{uvame p q i velime: Pravite p i q se sov pa a at. q Voo~i i zapomni! Koga }e kaème: ozna~i dve to~ki, dadeni se dve pravi, }e podrazbirame deka tie dve to~ki, odnosno tie dve pravi se r a z l i ~ n i. Niv }e gi ozna~uvame so r a z l i ~ n i bukvi. 8 7 Niz to~kite M i N na crteòt minuva pravata p. Dali moè{ da povle~e{ nekoja druga prava {to minuva niz to~kite M i N? p Voo~i i zapomni! Niz to~kite M i N minuva to~no edna prava. Ova zapomni go kako vtoro osnovno svoj stvo na pravata. N Da zapomnam! Od vtoroto osno v no svoj stvo proizleguva deka dve M to~ ki opredeluvaat edna edinstvena prava. Zatoa prava moè da se ozna~i i so dve nej zini to~ki i da se kaè: pravata Ozna~i dve to~ki i i povle ~i MN, namesto pravata p. prava p opredelena so tie dve to~ki. Potoa izberi to~ka S {to ne leì na pravata p. Kolku pravi se opredeleni so tie tri to~ki? Zapi{i gi tie pravi so pomo{ na to~ki.

72 Razgledaj gi crteìte, razmisli 7 9 i za klu~i spored baraweto. a M N b c Voo~uva{ deka se povle ~eni tri pra vi {to minuvaat niz to~ kata M i pet pravi {to minu vaat niz to~kata N. Moè{ li da povle~e{ i drugi pravi taka {to da minuvaat niz to~ka ta M? Kolku? niz to~kata N? Voo~i i zapomni Niz edna to~ka minuvaat besko ne ~no mnogu pravi. Za takva to~ka, kako na crteòt, se veli deka e zaedni~ka to~ka na pravite {to minuvaat niz nea. 10 Ozna~i edna to~ka R. Nacrtaj tri pravi a, b i c, taka {to to~kata R da bide nivna zaedni~ka to~ka. Treba da znae{! Proveri se! Da opredeli{ zaemen odnos na to~ka i prava; da gi iskaùva{ i objasnuva{ prvoto i vtoroto osnovno svojstvo na pravata; da razlikuva{ dali tri ili pove}e to~ki se kolinearni ili se nekolinearni. Zada~i Nacrtaj prava a i ozna~i to~ki, V, M i R {to leàt na pravata a i to~ki C, D, F i N {to ne leàt na pravata a. Ozna~i tri kolinearni to~ki, V i S. Ozna~i to~ka M i povle~i pravi a, b, c i d {to minuvaat niz to~kata M. Kolku pravi moè{ da povle~e{ {to }e minuvaat niz to~kata M? 1... Nacrtaj dve pravi a i b i na sekoja od niv ozna~i po tri to~ki. Ozna~i tri to~ki, V i S i nacrtaj tri pravi a, b i c taka {to pravata a da minuva niz to~kite i V, b niz to~kite V i S i c niz to~kite i S. Koja e zaedni~kata to~ka na pravite a i c? Koi od to~kite na crteòt se:. 5. Na pravata p se ozna~eni to~kite M, N i R. Kako moè na drug na~in da se imenuva pravata p? To~kite, V, S i D se rasporedeni ta ka {to me u niv nema tri to~ki {to se ko linearni. Kolku pravi oprede - luva at tie to~ki? Prikaì go toa na crte`. a) kolinearni; b) nekolinearni? E b D C a

73 ZEMN N DVE PRVI 7 Potseti se! P Pravite a i b na crteòt imaat zaedni~ka to~ka R. Dali moè dve pravi da imaat pove}e od edna zaedni~ka to~ka? Zo{to? a b Dve pravi moè da imaat najmnogu edna zaedni~ka to~ka. Za pravite koi imaat edna zaedni~ka to~ka se veli deka se se~at vo taa to~ka. Zaedni~kata to~ka se vika prese~na to~ka na tie pravi. Na crteòt pravite a i b se se~at i nivna prese~na to~ka e R. Toa kratko se zapi{uva a b = {P} 1 Zapi{i kratko: a) Pravite a i b se se~at vo to~kata M. b) Prese~nata to~ka na pravite c i d e to~kata L. Spored crteòt odredi {to e to~no. a) a b = {}. v) b c = {}. b) a c = {}. g) a c = {C}. v) Zaedni~kata to~ka na pravite m i n e to~kata Y. c C a b Dve pravi moè i da nemaat zaedni~ka to~ka. Takvi se pravite a i b na crteòt. a b Toa prakti~no zna~i: kolku i da gi pro dolùva{, tie ne }e se se~at. Dve pravi koi nemaat zaedni~ka to~ka se vikaat paralelni pravi. Pravite a i b na crteòt se paralelni. Toa kratko se zapi{uva a b. Zaemnata polo`ba na pravite a, b i c na crteòt e slednava: c a i b se paralelni, t.e. a b. a i c se se~at, t.e. a c. b i c se se~at, t.e. b c. b a

74 7 Voo~i i zapomni! Dve pravi ili se se~at; ili se paralelni. Za pravite a i b na koi site to~ki im se zaedni~ki velime deka se sovpa aat. a b Koga nekoi pravi se sovpa aat, toa se sme ta za specijalen slu~aj na paralelnost, pa zatoa mo`e da se ka`e deka sekoja prava e paralelna sama na sebe, t.e. a a. Treba da znae{! Proveri se! Za koi dve pravi se veli deka se se~at; koi dve pravi se vikaat paralelni pravi; deka pravi {to se sovpa aat se smetaat za paralelni. Nacrtaj prava a i ozna~i to~ka R a. Niz to~ - kata R povle~i prava b {to ja se~e pravata a. Nacrtaj tri pravi a, b i c taka {to, par po par, da nemaat zaedni~ki to~ki. Zapi{i gi simboli - ~ki zaemnite polo`bi na tie pravi. Nacrtaj tri pravi a, b i c taka {to a b i b c = {M}. Zada~i 1. Nacrtaj tri pravi a, b i c taka {to da imaat edna zaedni~ka to~ka.. Nacrtaj prava a, a potoa nacrtaj prava b, taka {to a b... Dali trite pravi V, VS i D imaat zaedni~ka to~ka? Koja e taa to~ka? Pretstavi go toa na crte`. Dadeni se to~kite, V i S. Kolku pravi opredeluvaat tie to~ki? Raz - gledaj gi site mo`ni slu~ai vo zavisnost od polo`bata na to~kite. 5. Nacrtaj prava m. Potoa nacrtaj pravi n i p taka {to n m i p m. Vo kakva zaemna polo`ba se pravite n i p?

75 RSTOJNIE ME U DVE TO^KI 75 Potseti se! Dosega pove}e pati si odreduval rastojanie od edno mesto do drugo, od eden objekt do drug, od edna to~ka do druga. Toa rastojanie si go iskaùval so odreden broj centimetri (cm), metri (m), kilometri (km) i sl. Na primer, rastojanieto me u to~kite i V e 5 cm, {to kratko se zapi{uva = 5 cm, rastojanieto od Skopje do Veles e 55 km i sl. Izmeri go rastojanieto me u to~kite S i D vo milimetri i zapi{i go kratko. D C Razgledaj go crteòt i voo~i gi tvrdewata. Rastojanieto od edna to~ka do druga to~ka V e broj pogolem od nula ili ednakov na nula, toj broj go ozna~uvame so V. Zna~i, V 0. rojot V e pogolem od nula koga to~kite se razli~ni i e ednakov na nula koga to~kite se sovpa aat. Spored crteòt: C = 0 cm, zatoa {to to~kite V i S se sovpa aat. C 1 Vo vrska so crteòt odredi gi rastojanijata, C i CD. d D Odredi gi rastojanijata MN i NM, a potoa sporedi gi. Zapi{i go toa simboli~ki. M N C = cm; > 0; D = cm; D > 0; Voo~i! Za koi bilo dve to~ki i V, rastojanieto od do V e ednakvo na rastojanieto od V do, t.e. =. ko rastojanieto CD = 8 cm, toga{ kolkavo e rastojanieto DC? C D a Na crteòt se dadeni nekolinearnite to~ki, V i S. Izmeri gi rastojanijata, C i C. Sporedi gi: so C + C; C so + C; Zaklu~iv deka < C + C; C so + C; C < + C i C < + C. [to zabeleùva{?

76 76 5 To~kite M, N i R na crteòt se kolinearni. Izmeri gi rastojanijata MP, MN, NP i MP sporedi go so MN + NP. [to zaklu~i? Za koi bilo tri to~ki, V i S rastojanieto od do S e pomalo ili e ednakvo na zbi rot od rastojanijata od do V i od V do S, t.e. C + C. M N P Zaklu~iv deka MP = MN + NP. Rastojanie me u dve to~ki i V e broj V so slednive svojstva: 1) 0; ) = ; ) za koja bilo to~ka S vaì: C + C. ko za tri to~ki M, N i R vaì ravenstvoto MP = MN + NP, toga{ tie tri to~ki leàt na ista prava. Vo toj slu~aj se veli deka to~kata N leì me u to~kite M i R. 6 Odredi dali to~kite, V i S leàt na ista prava, ako: C = 8 cm; = 5 cm; C = cm; C = 8 cm; = 5 mm; C = 55 mm. Treba da znae{! Rastojanieto me u dve to~ki e broj pogolem od nula ako to~kite se razli~ni, a e ednakov na nula ako tie se sovpa- aat; za koi bilo dve to~ki i V, = ; za koi bilo tri to~ki, V i S, C + C. Proveri se! Dali to~kite, V i S leàt na ista prava ako C = 56 mm, = cm i C = 6 mm? Zo{to? To~kite M, N i R ne se kolinearni, pri {to MN = cm i NP = 5 cm. Moè li MP da bide 95 mm? Zada~i 1. To~kite, V i S se kolinearni pri {to to~kata V e me u to~kite i S. Presmetaj go rastojanieto me u to~kite i V, ako C = 7 cm i C = mm.. To~kite, V i S leàt na ista prava, pri {to = 5 mm i C = 8 mm. Kolku e C?. Dali se kolinearni to~kite K, L i M ako KL = cm, LM = 5 mm i KM = 8 mm? 5. Na pravata p to~kata R leì me u to~kite M i Y, MP e tripati pomalo od. Nacrtaj prava m i na nea ozna~i to~ki M, N, R i Y, taka {to N da leì me u M i R i M da leì me u N i Y. PS i MS = 1 cm. Presmetaj gi MP i PS.

77 POLUPRV. OTSE^K. N OTSE^K 77 Potseti se! a O Razgledaj go crteòt voo~i i zapomni Na crteòt e dadena pravata a i to~ kata O {to leì na taa prava. Na kolku delovi pravata a e podelena so to~kata O? a O C D Koi od ozna~enite to~ki leàt na ista strana od to~kata O? Ozna~i dve to~ki na pravata a, me u koi leì to~kata O. p Pravata p so to~kata O e po delena na dva dela, taka {to nitu eden od tie de - lovi ne ja sodrì to~kata O. Za to~kata O se veli deka e grani~na to~ka na sekoj od dvata dela. Sekoj od delovite od pravata, zaedno so grani~nata to~ka se vika poluprava. Grani~nata to~ka se vika po~etna to~ka na polupravata. O V Na crteòt e nacrtana poluprava. ko to~kata O e po~etna to~ka, a M e koja bilo to~ka od polupravata, toga{ kratko zapi{uvame: poluprava OM. O M N 1 Nacrtaj prava a i na nea ozna~i dve to~ki i V. Kolku polupravi se ozna~eni na toj na~in? Zapi{i gi kratko tie polupravi. So pomo{ na to~kite M i N na crteòt, zapi{i gi kratko dvete polupravi na koi e razdelena pravata m so to~kata O. m M O N Voo~i! Polupravite OM i ON formiraat edna prava. Takvite polupravi se vikaat sostavni polupravi. Ozna~i dve to~ki M i N. Nacrtaj poluprava taka {to M da bide nejzina po~etna to~ka, a N to~ka {to ñ pripa a na polupravata. Kolku polupravi so po~etna to~ka O se ozna~eni na crteòt? Koi od niv se sostavni polupravi? m O C Pravata i polupravata se mnoèstva to~ki. Sekoe mnoèstvo to~ki u{te se vika geometriska figura.

78 78 5 Imenuvaj gi geometriskite figuri na crteòt. a C O D Na crteòt se ozna~eni pravata p i to~kite M, N i R. Me u koi to~ki leì to~kata R? Ima li drugi to~ki na pravata p {to leàt me u to~kite M i N? Imenuvaj gi otse~kite na crteòt pod a) i b). V a) S b) p M P N Izmeri go rastojanieto me u to~kite i V na crteòt i toa zapi{i go simbo - li~ki. M X N Da zapomnam! Edna otse~ka moè da se ozna~i i so mala bukva. So istata bukva se ozna~uva i dolìnata na taa otse~ka. Na crteòt otse~kata MN e ozna~ena so bukvata m i m = 5 cm. Na crteòt e dadena otse~kata V i na nea to~kata D. Izmeri gi rastojanijata me u to~kite i D i me u to~kite D i V. [to zabe - leùva{? D Voo~i i zapomni! M N Geometriskata figura {to gi sodrì to~kite M i N i site to~ki {to leàt me u niv se vika otse~ka. To~kite M i N se vikaat krajni to~ki na otse~kata MN. To~kata H na crteòt b) i site drugi to~ki {to leàt me u M i N se vikaat vnatre{ni to~ki na otse~kata MN. Voo~i i zapomni! M m N Rastojanieto me u krajnite to~ki M i N na otse~kata MN se vika dolìna na taa otse~ka i se ozna~uva so MN. Voo~i i zapomni! MN = 5 cm Na crteòt D = D. Zna~i to~kata D e podednakvo oddale~ena od krajnite to~ki i V na otse~kata V. Takvata to~ka se vika sredna to~ka ili sredina na taa otse~ka. 10 Nacrtaj otse~ka RY i odredi ja nejzinata sredna to~ka O.

79 11 Izmeri gi dolìnite na otse~kite, CD, EF i GH i sporedi gi. Koi od dadenite otse~ki imaat ednakvi dolìni? C E G D F H 1 Voo~i i zapomni! 79 Od sporeduvaweto na otse~kite, na cr - te òt, moème da utvrdime deka: = EF i CD = GH Za dve otse~ki {to imaat ednakvi dolìni se veli deka se ednakvi ili skladni otse~ki. Nacrtaj otse~ka CD {to e ednakva so otse~kata V na crteòt. Treba da znae{! Da crta{ i da ozna~uva{ poluprava; {to e poluprava; da objasni{ {to e otse~ka; {to e dolìna na otse~ka; za koi dve otse~ki se veli deka se ednakvi ili skladni. Zada~i Proveri se! Koi od ozna~enite to~ki na crteòt pri pa aat na otse~kata V? D C F E Nacrtaj edna otse~ka V, a potoa nacrtaj otse~ka CD {to e ednakva so otse~kata V. G 1. [to e poluprava? 5. Koi dve otse~ki se skladni otse~ki?. Ozna~i tri nekolinearni to~ki O, i V, a potoa nacrtaj gi polupravite O i OV. Nacrtaj poluprava OS, {to e so - stavna na polupravata OV. 6. Ozna~i tri nekolinearni to~ki, V i S. Kolku otse~ki odreduvaat tie to~ki? Imenuvaj gi tie otse~ki... Nacrtaj prava p i na nea ozna~i dve to~ki M i N. Na pravata p ozna~i to~ki R i Y {to pripa aat na otse~kata MN i to~ki K i L {to ne ñ pripa aat na taa otse~ka. [to e dolìna na otse~kata V? Ozna~i tri kolinearni to~ki E, F i G. Kolku otse~ki odreduvaat tie to~ki? Imenuvaj gi. Otse~kite V i CD se skladni. Kolkava e dolìnata na otse~kata CD, ako = cm?

80 80 5 PRENESUVWE N OTSE^KI Potseti se! O Na crteòt e dadena polupravata OM i e ozna~ena to~ kata. Izmeri go rastojanieto me u to~kite O i. Dali na polupravata OM moè{ da odredi{ i druga to~ka {to e odda - le ~ena od to~kata O isto kolku i to~ ka ta? M 1 Postapi spored baraweto i prou~i go iskaànoto. Nacrtaj poluprava OM i na nea odredi dve to~ki i V, takvi {to O = 1 cm i O = cm. Dali ima druga to~ka 1, osven, takva {to O 1 = 1 cm? ko n e broj pogolem od nula, toga{ na polupravata OM leì samo edna to~ka {to e na rastojanie n od to~kata O, t.e. O = n. Voo~i go ova kako edno svojstvo na to~kite od polupravata. Toa svojstvo na to~kite od polupravata moè da se iskoristi za crtawe ednakvi ot se~ki samo so pomo{ na linijar i {estar. Crte` napraven samo so pomo{ na linijar i {estar se vika konstrukcija. Konstruiraj otse~ka {to e ednakva na otse~kata V. Re{enie: O M S Razgledaj go dadenoto re{enie i raboti spored upatstvata i crteìte. Nacrtaj poluprava OY (crte` a). Otvori go {estarot, taka {to negoviot otvor da bide ednakov na dolìnata na otse~kata V, t.e. zemi ja otse~kata V (crte` b). a) O Y Zabodi go {estarot vo po~etokot na polupravata OY i so istiot otvor ozna~i to~ka M (crte` v). Otse~kite V i OM se ednakvi. Ovaa postapka u{te se vika grafi~ko prenesuvawe na otse~ka na dadene poluprava. b) V v) O M Y

81 Nacrtaj otse~ka MN i poluprava OR. Prenesi ja otse~kata MN na polupravata OR. 81 Otse~kite m (t.e. KL) i n (t.e. MN) se pre - neseni na polupravata OT (na crteòt K m L M n N desno) taka {to OP = KL i PS = MN. m n Kolkava e dolìnata na otse~kata OY? O P S T 5 Odredi go, na grafi~ki na~in, zbirot na otse~kite a i b od crteòt. a C b D Raboti spored upatstvata i sledi gi crteìte a) O T Nacrtaj poluprava OT (crt. a). a Prenesi ja otse~kata a na polupravata OT (crt. b). Prenesi ja otse~kata b na polupravata OT, so po~etna to~ka R i krajna to~ka Y (crt. v). Otse~kata OY pretstavuva grafi~ki zbir na otse~kite a i b, koj{to se ozna~uva so a + b (crt. g). b) v) g) O P a b O P S a + b O S T T T 6 Na crteòt se dadeni otse~kite KL i MN i polupravata OT. Otse~kite KL i MN se preneseni na polupravata OT. Na toj na~in na polupravata OT e dobiena otse~ka OY. Kolkava e dolìnata na K M m n N L otse~kata OY? m 7 Odredi ja na grafi~ki na~in razlikata na otse~kite m = KL i n = MN. O S P T n Raboti spored postapkata Nacrtaj poluprava OT. Na polupravata OT prenesi ja otse~kata KL = m taka {to OP = n. Otse~kata MN = n prenesi ja na polupravata OT so po~etok vo to~kata R, kon to~kata O. Taka }e ja dobie{ otse~kata PS, pri {to PS = n. Otse~kata OY e razlika na otse~kite KL i MN, t.e. OS = m n.

82 8 8 Nacrtaj otse~ki a = 6 mm i b = cm, a potoa konstruiraj gi otse~kite a + b i a - b. Treba da znae{! Proveri se! Za sekoj broj n pogolem od nula, na polupravata OY leì samo edna to~ka {to e na rastojanie n od to~kata O, t.e. O = n; kako se prenesuva otse~ka vrz polu pra va; kako grafi~ki se odreduva zbir, odno - sno razlika na dve otse~ki. Nacrtaj otse~ka = 8 mm i poluprava OY. Prenesi ja otse~kata V na polu pravata OY. Konstruiraj gi otse~kite OM = a + b i ON = a b, ako a = cm i b = cm. Zada~i 1. Nacrtaj poluprava OY i na nea ozna~i gi to~kite i V, taka {to O = cm. Konstruiraj gi otse~kite: a + b i a + b, ako a = 5 mm i b = mm. i = cm.. Za koj crte` velime deka e konstrukcija? 5. Konstruiraj gi otse~kite: a - b i a - b, ako a = 7 mm i b = cm.. Konstruiraj gi otse~kite: OM = a i ON = a, ako a = cm. 6. Konstruiraj ja otse~kata: a + b - c, ako a = 5 cm, b = cm i c = cm. Proveri ja svojata sposobnost na voo~uvawe. Proveri so broewe Kolku kvadrati ima vo figurata na crteòt a)? Kolku pravoagolnici ima vo figurata na crteòt b)? Kolku ramnostrani triagolnici ima vo figurata na crteòt v)? a) b) v)

83 6 ISKR[EN LINIJ 8 Potseti se! To~kite i V se krajni to~ki na otse~kata V. [to imaat zaedni~ko otse~ kite V i VS na crteòt? Od crteòt voo~uva{ deka otse~kite V i VS ne leàt na ista C prava. Za dve otse~ki {to imaat zaedni~ka samo kraj na to~ka se veli deka se sosedni otse~ki. M Otse~kite MN i NP na crteòt se sosedni otse~ki. Odgovori na barawata. Na crteìte a) - d) se dadeni otse~ kite V, VS, CD i DE, koi{to se nadovrzuvaat edna na druga na razni na~ini. N P v) Na koi od crteìte dve sosedni otse~ki leàt na ista prava? Na koi od crteìte nema sosedni otse~ ki {to leàt na ista prava? C D Zapomni! E g) D E C a) b) C D E C D E d) C D 1 ko pri nadovrzuvaweto na otse~kite, koi bilo dve sosedni otse~ki ne leàt na ista prava, toga{ dobienata geometriska figura se vika iskr{ena linija. Geometriskite figuri b), g) i d) se iskr{eni linii, a a) i v) ne se. Zo{to? Koi od figurite na crteòt se iskr{eni linii? C E H F a) b) v) g) G K N I M L P R T S

84 8 Na crteòt e dadena edna iskr{ena linija. Otse~kite V, VS i CD se vikaat strani na iskr{enata linija, a nivni te krajni to~ki - temiwa. So koja otse~ka e sosedna otse~kata V, a so koja e so sedna otse~kata VS? D S Sosednite otse~ki na iskr{enata linija se vikaat sosedni strani. Na primer, sosedni strani na iskr{enata linija na crteòt se V i VS, kako i VS i CD. V Koi od stranite na iskr{enata linija na crteòt ne i se sosedni? D Na crteòt e dadena edna iskr{ena linija. Koi se sosedni strani na stranata VS? Koi strani ne se sosedni na stranata CD? E S a) D b) E Razgledaj go crteòt i prosledi go iskaùvaweto S D S Voo~i i zapomni! Za edna iskr{ena linija kaj koja krajnite to~ki se sovpa aat se veli deka e zatvorena. V V E Od crteòt a) moè{ da voo~i{ deka krajnite to~ki i E na iskr{enata linija CDE ne se sovpa aat. Krajnite to~ki i E na iskr{enata linija b) se sovpa aat vo to~kata. S V Stranite na triagolnikot formiraat zatvorena iskr{ena linija. Koja od iskr{enite linii na crteòt nema nesosedni strani {to se se~at? Koja od iskr{enite linii e zatvorena i nema nesosedni strani {to se se~at? a) b) v) g) d) )

85 Voo~i! 85 Iskr{enite linii a), b) i ) nemaat nesosedni strani {to se se~at. Takva linija se vika prosta iskr{ena linija. Iskr{enite linii b) i ) se zatvoreni i nemaat nesosedni strani {to se se~at. Zapomni! Zatvorena prosta iskr{ena linija se vika poligonalna linija. Stranite na ~etiri a gol ni kot CD formiraat poligonalna linija. C D V Presmetaj go zbirot od dol - ì nite na stranite na iskr - {enata linija na crteòt. cm E D mm 5 mm cm C Voo~i i zapomni! Zbirot od dolìnite na stranite na is - kr{enata linija se vika perimetar na iskr{enata linija i se ozna~uva so L. Perimetarot na iskr{enata linija od crteòt e: L = + C + CD + DE L = , t.e. L = 17 mm. 5 Presmetaj go perimetarot na iskr{enata linija KLMNP, ako KL = 8 cm, LM = 6 cm, MN = 5 cm, NP = 7 cm i PK = 6 cm. Treba da znae{! Proveri se! Da objasni{ {to e zatvorena iskr{ena linija; {to e zatvorena prosta iskr{ena linija, t.e. poligonalna linija; {to e perimetar na iskr{ena linija. Nacrtaj zatvorena iskr{ena linija CDE. Presmetaj go perimetarot na zatvorenata iskr{ena linija CDE, ako = 5 cm, C = 8 cm, CD = 6 cm, DE = cm i E = 7 cm.

86 86 Zada~i 1. Ozna~i ~etiri to~ki, V, S i D, taka {to da nema tri to~ki {to leàt na ista prava.. [to e perimetar na iskr{ena linija? Nacrtaj prosta zatvorena iskr{ena linija so temiwa vo to~kite, V, S i D. 5. Dvornata ograda CD ima perimetar L = 1 m. Presmetaj ja dolìnata na stra nata V, ako C = 5 m,. Kolku temiwa i kolku strani ima iskr{enata linija na crteòt? Imenuvaj gi temiwata i stranite. D 6. CD = 70 cm, D = 60 cm. Presmetaj go perimetarot na iskr{e - nata linija pretstavena na crteòt. E C E 5 mm D 8 mm cm C 5 mm. Nacrtaj prosta zatvorena iskr{ena linija so sedum temiwa. cm Obidi se! 1.. ez da go podigne{ vrvot na molivot od hartijata, nacrtaj iskr{ena linija, so koja dadenata figura a) }e ja podeli{ na {est pravoagolni triagolnici. Nacrtaj figura (zatvorena, iskr{ena linija) crt. b) "so eden poteg#, bez krevawe na molivot od hartijata i bez povtorno minuvawe po ve - }e nacrtana linija. Dali e toa mo`no da se napravi so figurata v)? a) b) v)

87 7 OSNOVNI I IZVEDENI POIMI 87 Potseti se! So izu~uvaweto na matematikata, dosega u~e{e za: broj, zbir na dva broja, otse~ka, kru`nica, plo{tina na pravoagolnik i sl. Navedi u{te nekolku raboti {to si gi izu~uval. Zapomni! roj, zbir na dva broja, otse~ka, kru` - nica, plo{tina na pravoagolnik, iskr - {ena linija se matemati~ki poimi. 1 Voo~i gi i potseti se na slednite matemati~ki poimi {to si gi izu~uval. to~ka; rastojanie; poluprava; sredina na otse~ka; prava; ramnina; otse~ka; iskr{ena linija. Potseti se za nekoi od ovie poimi a) Geometriskata figura {to gi sodrì to~kite i V i site to~ki {to leàt me u niv se vika otse~ka. b) To~kata na otse~kata {to e podednakvo oddale~ena od nejzinite krajni to~ki se vika sredina na otse~kata. v) Geometriskata figura od nadovrzani otse~ki, takvi {to koi bilo dve sosedni otse~ki ne leàt na ista prava se vika iskr{ena linija. [to iskaùvaat re~enicite a) - v)? So re~enicata pod a) se opredeluva kakva geometriska figura e otse~kata, t.e. se dava odgovor na pra{aweto [to e otse~ka? Za re~enicata pod a) se veli deka e definicija na poimot otse~ka. Re~enicata pod b) e definicija na poimot sredna to~ka. Re~enicata pod v) e definicija na poimot iskr{ena linija. Kako se definira poimot kolinearni to~ki? Voo~i! Vo definicijata na poimot iskr{ena linija se upotrebeni poimite sosedni otse~ki i prava. Za definirawe na poimot sredina na otse~ka, pak, se upotrebeni poimite to~ka i prava.

88 88 Poimite to~ka i prava ne gi definirame so drugi poimi. Niv samo gi objasnuvame. Prifateno e nekoi poimi da se zemat za po~etni i tie se narekuvaat osnovni poimi. Osnovnite poimi ne se definiraat. Zapomni! Za osnovni poimi vo geometrijata se zemaat poimite: to~ka, prava, ram nina i rastojanie. Za site drugi poimi se dava definicija i tie se vikaat izvedeni poimi. Taka na primer, od geometriskite poimi {to si gi izu~uval izvedeni poimi se: ot se~ - ka, sredna to~ka, iskr{ena linija, prosta iskr{ena linija, perimetar na iskr {ena linija i dr. Iskaì ja definicijata za poluprava. Koi osnovni poimi se upotrebeni pri definiraweto na poimot poluprava? Treba da znae{! To~ka, prava i ramnina se osnovni poimi vo geometrijata; za osnovnite poimi ne se dava definicija; izvedenite poimi se definiraat; poluprava, otse~ka, sredina na otse~ ka, iskr{ena linija se izvedeni poimi. Proveri se! Koi osnovni i koi izvedeni poimi se upotrebuvaat pri definiraweto na poimot za tvorena iskr{ena linija? Zada~i 1. Nabroj gi osnovnite poimi vo geome - trijata.. Iskaì ja definicijata za: a) dolìna na otse~ka;. Koi od navedenite poimi se izvedeni poimi: to~ka, prava, otse~ka, polu - prava, geometriska figura, rastojanie?. b) perimetar na iskr{ena linija. Koi poimi se upotrebeni pri definirawe na poimot geometriska figura?

89 8 I KRUG 89 Potseti se! Pove}e pati dosega si crtal kru`nica so pomo{ na {estar. Za da nacrta{ kru`nica po trebno e da znae{ kade da ja zabode{ iglata i kolku da go otvori{ {estarot. Voo~iv! Kru`nicata e mno - èstvo to~ki i site tie to~ki se na ednakvo rastojanie od to~kata O. 1 Na crteòt e dadena kru`nica k i na nea se ozna~eni to~kite,, C, D, E i F. Razgledaj go crteòt i postapi spored barawata. U{te kolku to~ki moè{ E da ozna~i{ na kru`nicata? F D Na kakvo rastojanie se C O to~kite na kru`nicata od to~kata O? Mnoèstvoto od site to~ki vo ramninata {to se na ednakvo rastojanie od edna izbrana to~ka vo taa ramnina se vika kru`nica. Izbranata to~ka se vika centar na kru`nicata i naj~esto se ozna~uva so O. Nacrtaj kru`nica so centar O i otvor na {estarot 5mm. Na kru`nicata ozna~i to~ki, i C i sekoja od niv povrzi ja so centarot O. Razgledaj go crteòt i odgovori na pra{awata: Kade leàt krajnite to~ki na otse~kite O, O, i OC? Kakvi se tie otse~ki me u sebe po dolìna? r O C Otse~kite O, O i OC go svrzuvaat centarot na kru`nicata so to~ki od kru`nicata i se ednakvi me u sebe. Sekoja otse~ka {to go svrzuva centarot so koja bilo to~ka od kru`nicata se vika radius na kru`nicata; i nejzinata dolìna se voka radius na kru`nicata. Radiusot naj~esto se ozna~uva so bukvata r od latinicata. Na crteòt e dadena kru`nicata k i otse~kite O, O, OC i OD. Koja od dadenite otse~ki e radius na kru`nicata? Zo{to otse~kata OC ne e radius na kru`nicata? D O C k

90 90 Nacrtaj kru`nica so centar O i radius r= cm. Kolku kru`nici moè{ da nacrta{ so centar vo to~kata O i radius cm? So dadena to~ka kako centar i daden radius moè da se nacrta samo edna kru`nica. Edna kru`nica e napolno opredelena ako se dadeni centarot i radiusot na kru`ni - cata. Kru`nicata k so centar O i radius r se ozna~uva so k (O; r). 5 Nacrtaj kru`nica k (O; cm). k D 6 Na crteòt e dadena kru`nica k (O; r) i to~kite,, C i D. Razgledaj go crteòt i odgovori na pra{awata. Na kolku delovi e podelena ramninata so kru`nicata k? Moème da kaème deka to~kite V i D se nadvor od kru`nicata k. Na koj del od ramninata mu pripa aat to~kite i C? O C Kru`nicata k ja deli ramninata na dva dela (oblasti) - vnatre{en (vnatre{na oblast) i nadvore{en (nadvore{na oblast). Geometriskata figura sostavena od edna kru`nica i od nejzinata vnatre{na oblast se vika krug. Centarot i radiusot na kru`nicata k se vikaat centar i radius na krugot. Krugot so centar O i radius r go ozna~uvame so K(O; r). 7 Nacrtaj krug K (O; mm). V 8 Na crteòt e dadena kru`nicata k i na nea se ozna ~eni to~kite,, C i D i se povle~eni otse~kite i CD. Razgledaj go crteòt i odgovori na postavenite pra{awa. Kade leàt krajnite to~ki na otse~kite i CD? Koja od dadenite otse~ki minuva niz centarot O? D d O C k Na kolku radiusi e ednakva otse~kata? Voo~i i zapomni! Otse~ka ~ii{to krajni to~ki ñ pripa aat na kru`nicata se vika tetiva na kru`nicata. Otse~kata V e tetiva {to minuva niz centarot. Tetiva {to minuva niz centarot se vika dijametar na kru`nicata. Dijametarot na kru`nicata naj~esto se ozna~uva so d i d= r.

91 9 Nacrtaj kru`nica k (O; 5 cm). Presmetaj go dijametarot na kru`nicata Nacrtaj kru`nica k (O; r) i na nea ozna~i dve to~ki i. Na kolku delovi e podelena kru`nicata so to~kite i? Zapomni! C O k So to~kite i kru`nicata e podelena na dva dela. Sekoj od tie delovi zaedno so to~kite i se vika kruèn lak i se ozna~uva so V, ako toa e pomaliot. Pogolemiot, pak, se ozna~uva so tri bukvi, t.e. SV. Neka tetivata na kru`nicata pretstavuva dijametar. Sekoj od dobienite kru`ni laci se vika polu kru`nica. 11 Nacrtaj kru`nica k (O; r), tetiva V i dijametar CD Koi od to~kite, V, S i D opredeluvaat polukru`nica? Treba da znae{! Da objasni{ {to e kru`nica; {to e kruèn lak i kako se ozna~uva; {to e centar, a {to radius na kru`nica; so {to e zadadena edna kru`nica; da objasni{ {to e tetiva na kru`nica i koja tetiva se vika dijametar; koja geometriska figura se vika krug. Zada~i Nacrtaj kru`nica k (O; cm). Dali centarot O e to~ka od kru`nicata? [to e radius na kru`nica? Nacrtaj kru`nica k so dijametar d = cm i na nea tetiva = cm. Proveri se! Koi od ozna~enite to~ki na crteòt: a) ñ pripa aat na kru`nicata k? b) pripa aat na krugot K? v) se krajni to~ki na radiusot na kru`nicata? E Kolkav e radiusot na kru`nicata so D dijametar d = mm? O Nacrtaj kru`nica k(o; 5 mm) i na nea ozna~i kruèn lak V, taka {to za soodvetnata tetiva da bide = cm. Presmetaj go dijametarot na kru`ni - cata so radius r = 8 mm. Presmetaj go radiusot na kru`ni cata so dijametar d = 5 cm. k C

92 9 9 ZEMN POLO@ N KRU@NIC I TO^K. ZEMN POLO@ N KRU@NIC I PRV Potseti se! H k D O E C a Na kru`nicata k na crteòt se ozna~e - ni nekolku to~ki, a ozna~eni se i to~ki koi ne leàt na kru`nicata. Koi od ozna~enite to~ki leàt na kru`nicata k? Koi od ozna~enite to~ki leàt vo vnatre{nata oblast na kru`nicata k? Koi od ozna~enite to~ki leàt vo nadvore{nata oblast na kru`nicata k? Koi to~ki se zaedni~ki za kru`nicata k i pravata a? F G 1 G r E Na crteòt se dadeni: kru`nicata k (O; r) i to~kite,, C, D, E, F i G. O So merewe i sporeduvawe utvrdi deka se to~ni dadenite tvrdewa: a) O = r i OD = r; b) O = r i OE = r; v) OC = r i OF = r. Voo~i! To~kite i D leàt na kru`nicata. Niv noto rastojanie do centarot O e ednakvo na r. C F D To~kite i E leàt vo vnatre{nosta na kru`nicata k. Tie se vnatre{ni to~ki. Rastojanieto na tie to~ki do centarot O e pomalo od r. To~kite C, F i G leàt vo nadvore{nosta na kru`nicata k. Tie se nadvore{ni to~ki. Rastojanieto na tie to~ki do centarot O e pogolemo od r. Koja od to~kite,, C, D i E leì na kru`nicata k (O, 5 mm), ako O = cm, O = 5 mm, CO = cm, DO = cm 5 mm, EO = cm 8 mm? Koja od to~kite K, L, M, N i P e nadvore{na, a koja vnatre{na to~ka na kru`nicata k (O, cm), ako OK = 0 mm, OL = 8 mm, OM = cm mm, ON = 8 mm, OP = cm 6 mm? Na crteòt e dadena kru`nica k i pravite a, b i c. b S Razgledaj go crteòt i odgovori na pra{awata. Kolku zaedni~ki to~ki ima pravata a so kru`nicata k? Koja od pravite ima samo edna zaedni~ka to~ka so kru`nicata k? Koja od pravite nema zaedni~ki to~ki so kru`nicata k? c k a O V

93 Voo~i i zapomni! 9 Pravata a i kru`nicata k imaat dve zaedni~ki to~ki. Velime deka pravata a e prese~ka ili sekanta na kru`nicata k. Pravata b i kru`nicata k imaat samo edna zaedni~ka to~ka. Velime deka pravata b e dopirka ili tangenta na kru`nicata k. Pravata c nema nitu edna zaedni~ka to~ka so kru`nicata k. 5 Nacrtaj kru`nica k i na nea ozna~i to~ka R. Nacrtaj prava t {to ja dopira kru`ni - cata k vo to~kata R. Treba da znae{! Da odredi{ to~ka {to leì na dadena kru`nica, vo kru`nicata ili nadvor od nea; koga edna prava e sekanta na dadena kru`nica; koga edna prava e tangenta na dadena kru`nica. Proveri se! Vo kakva zaemna polo`ba se to~kata i kru`nicata k (O, r), ako O = r? Vo kakva zaemna polo`ba se pravata m i kru`nicata k (O, r), ako pravata m minuva niz centarot na kru`nicata? Zada~i 1. Koja od to~kite, V, S i D e vnatre - {na to~ka za kru`nicata k (O; cm), 5. Vo kakva zaemna polo`ba moè da bidat prava i kru`nica? ako O = 5 mm, O = 0 mm, OC = cm i OD = cm? 6. Koja od pravite na crteòt e tangenta na kru`nicata k?. Vo kakva zaemna polo`ba moè da bidat to~ka i kru`nica? b a c O. Nacrtaj kru`nica k (O; 8 mm) i pra va a {to ja se~e kru`nicata.. [to e tangenta na kru`nica? 7. Nacrtaj kru`nica k i na nea ozna~i to~ka. Nacrtaj tangenta t koja kru`nicata ja dopira vo to~kata.

94 9 10 ZEMN N DVE Potseti se! C D k 1 r r 1 k O O 1 1 Na crteòt se dadeni kru`nicite k 1 (O 1 ; r 1 ) i k (O ; r ). Razgledaj go crteòt i odgovori na pra{aweto. Dali kru`nicite k 1 i k imaat za edni~ki to~ki? Na crteòt se dadeni kru`nicite k(o; r) i k 1 (O 1 ; r 1 ). To~kata O e centar na kru`nicata k(o; r), a otse~kata OD e radius na taa kru`nica. Imenuvaj gi centarot i radiusot na kru`nicata k 1. Koi od ozna~enite to~ki pripa- aat na kru`nicata k i na kru`nicata k 1? Voo~i! k r k 1 r 1 O O 1 Kru`nicite k 1 i k nemaat zaedni~ki to~ki. Ednata kru`nica e vo nadvore{nata oblast na drugata kru`nica. Zapomni! Rastojanieto O 1 O me u centrite O 1 i O na kru`nicite k 1 i k rastojanie i naj~esto se ozna~uva so c; c = O 1 O. se vika centralno Razgledaj gi kru`nicite k 1 i k i odgovori na pra{awata. Dali kru`nicite k 1 i k imaat zaedni~ki to~ki? Vo koja oblast na kru`nicata k 1 leì kru`nicata k? Voo~i! Kru`nicite k 1 i k nemaat zaedni~ki to~ki. Ednata kru`nica e vo vnatre{nata oblast na drugata kru`nica. k 1 k r 1 r O O 1 k 1 k Na crteòt se dadeni kru`nicite k 1 (O 1 ; r 1 ) i k (O 1 ; r ). Razgledaj go crteòt i odgovori na pra{awata. [to imaat zaedni~ko kru`nicite k 1 i k? Imaat li kru`nicite k 1 i k zaedni~ki to~ki? r 1 O 1 r

95 Voo~i i zapomni! Kru`nicite k 1 i k imaat zaedni~ki centar i nemaat zaedni~ki to~ki. Za niv velime deka se koncentri~ni kru`nici. 95 Nacrtaj dve koncentri~ni kru`nici k 1 i k so radiusi r 1 = cm i r = cm. 5 Na crteòt se dadeni kru`nicite k 1 (O 1 ; r 1 ) i k (O ; r ). Razgledaj go crteòt i odgovori na pra{aweto: [to imaat zaedni~ko kru`nicite k 1 i k? O 1 r 1 r M O Voo~i i zapomni! Kru`nicite k 1 i k imaat samo edna zaedni~ka to~ka. Se veli deka kru`nicite k 1 i k se dopiraat odnadvor. 6 Nacrtaj kru`nici k 1 (O 1 ; cm) i k (O ; cm) koi se dopiraat odnadvor. 7 Razgledaj gi kru`nicite k 1 (O 1 ; r 1 ) i k (O ; r ) na crteòt i odgovori na pra{aweto. [to imaat zaedni~ko kru`nicite k 1 i k? k 1 r 1 c r O 1 O R k Voo~i i zapomni! Kru`nicite k 1 i k Se veli deka kru`nicite k 1 i k imaat samo edna zaedni~ka to~ka. se dopiraat odnatre. V 8 Razgledaj go crteòt i raboti spored postapkata. Nacrtaj otse~ka O 1 O = cm. Nacrtaj kru`nici k 1 (O 1 ; 5 mm) i k (O ; mm). Ozna~i gi zaedni~kite to~ki na kru`nicite k 1 i k so i. Povle~i gi radiusite r 1 = O 1 i r = O. O 1 O V

96 96 Voo~i i zapomni! Kru`nicite k 1 i k se se~at. imaat dve zaedni~ki to~ki i V, odnosno kru`nicite 9 Nacrtaj kru`nici k 1 i k {to se se~at. Treba da znae{! Vo koi zaemni polo`bi mo`at da se najdat dve kru`nici; da prepoznae{ na crte`: koga dve kru`nici nemaat zaedni~ki to~ki; koga dve kru`nici se dopiraat; koga dve kru`nici se se~at. Proveri se! Mo`e li dve kru`nici da se koncentri~ni i da se se~at? Dve kru`nici so radiusi r 1 i r se dopiraat odnadvor. Na {to e ednakvo nivnoto centralno rastojanie? Zada~i 1. Nacrtaj dve kru`nici k 1 (O 1 ; 18 mm) i k (O ; mm) koi nemaat zaedni ~ki to~ki. Kolku mo`nosti ima?. Nacrtaj dve koncentri~ni kru`nici k 1 (O 1 ; cm) i k (O ; 15 mm).. Nacrtaj dve kru`nici k 1 (O 1 ; r 1 ) i k (O ; r ) taka {to da se dopiraat odnadvor. 5. Nacrtaj dve kru`nici k 1 (O 1 ; 5 mm) i k (O ; 15 mm), koi se dopiraat odnat re.. Vo kakva zaemna polo`ba se kru`nicite k 1 (O 1 ; cm) i k (O ; mm), ako to~kite O 1 i O se sovpa aat? 6. Kru`nicite k 1 (O 1 ; cm) i k (O ; 18 mm) se dopiraat odnatre. Presmetaj go ra stojanieto me u nivnite centri.

97 11 POLURMNIN. GOL 97 Potseti se! Koi od ozna~enite to~ki na crteòt leàt na pravata p, a koi ne leàt na nea? M T p Q N Vo kakva zaemna polo`ba se pravata p i otse~kata MN? [to e to~kata Q za pravata p i otse~kata MN? 1 Na crteòt se ozna~eni pravata p i to~kite,, C, D, E i F {to ne leàt na nea. p C Dali otse~kata ima zaedni~ka to~ka so pravata p? Kakva zaemna polo`ba imaat pravata p i otse~kata EF? D F E Voo~i deka otse~kata nema zaedni~ka to~ka so pravata p, a otse~kata EF ja se~e pravata p. Za to~kite i velime deka se nao aat (leàt) na ista strana, a to~kite E i F - na razli~ni strani od pravata p. Objasni zo{to to~kite C i D leàt na ista strana od pravata p, a to~kite i D leàt na razli~ni strani od nea. Ima li drugi to~ki koi leàt na ista strana, odnosno na razli~na strana od pravata p? Moàm da voo~am deka na ista strana od pravata p ima beskone~no mnogu to~ki. Zapomni! Mnoèstvoto od site to~ki vo ramninata {to leàt na ista strna od dadena prava p, zaedno so to~kite od taa prava, se vika poluramnina. Pravata p se vika rab ili grani~na prava na poluramninata. p So pravata p na crteòt se formirani dve poluramnini od koi ednata e oboena. Koi od ozna~enite to~ki na crteòt leàt vo ista poluram nina so to~kata S? K M S P p N L T

98 98 Nacrtaj dve polupravi OX i OY, kako na crteòt. [to imaat zaedni~ko polupravite OX i OY? II Y I Na kolku delovi e podelena ramninata so tie polupravi? O X Dve polupravi so zaedni~ki po~etok ja razdeluvaat ramninata na dva dela. Geometriskata figura formirana od dve polupravi so zaedni~ka po - ~etna to~ka i edniot del od ramninata, opredelen so niv, se vika agol. Na crteòt se pretstaveni dvata agla {to se obrazuvani od polupravite OX i OY. Sekoj od tie agli e sostaven od polupravite i oboeniot del od ramninata. O Y X O Y X Polupravite OX i OY se vikaat kraci na agolot, a O se vika teme na agolot. Delot od ramninata {to mu pripa a na agolot, bez kracite, se vika vnatre{na oblast (ili kuso oblast) na agolot. Vnatre{nata oblast na agolot se obeleùva so kruèn lak. To~kite {to pripa aat na vnatre{nata oblast se vikaat vnatre{ni to~ki na agolot. Voo~i deka! O Y Vnatre{na oblast X O Nadvore{na Y oblast X glite moàt da se ozna~uvaat: so golema latinska bukva so koja e ozna~eno temeto na agolot i simbolot ❸ pred nea; na primer, ❸O. so mala bukva od gr~kata azbuka, {to se zapi{uva vo oblasta na agolot; pokraj α, se upotrebuvaat i bukvite: β (beta), γ (gama), δ (delta) i dr.; so tri golemi bukvi od latinicata, pri {to bukvata za temeto se pi{uva na sredinata; na primer ❸O. O α Na crteòt e pretstaven agol α i se ozna~eni to~ki: O,,, C, D, E. Koi od tie to~ki mu pripa aat na agolot α? Koi od tie to~ki se vnatre{ni za agolot α? E C α O D 5 Nacrtaj agol so teme S i kraci SP i SR i ozna~i go so kruèn lak. Kako }e go zapi - {e{ so simboli agolot {to go nacrta?

99 6 Imenuvaj go sekoj od aglite na crteòt. S P R M β 99 V 7 Na crteòt se dadeni: ❸MON so to~kite,, C, D od negovata oblast i ❸SQT so to~kite E, F, G, H od negovata oblast. Site to~ki od otse~kata leàt vo oblasta na ❸MON. Kade leàt otse~kite: C, D, C? Voo~i i zapomni! M Za eden agol velime deka e konveksen ako za koi bilo dve to~ki i V od negovata oblast, site to~ki od otse~kata V pripa aat na taa oblast. Na crteòt agolot MON e konveksen, a agolot SQT e nekonveksen. O N D C Q T G F Otse~kata EF ima to~ki {to pripa aat na oblasta i to~ki {to ne pripa aat na oblasta od ❸SQT. Kade pripa aat to~kite od otse~kite: EG, FH, HE? H E S 8 Nacrtaj eden konveksen agol α i agol β {to e nekonveksen. Treba da znae{! [to e poluramnina; {to e agol; {to e vnatre{na oblast na agol; koj agol e konveksen. Proveri se! Koja od figurite na crteòt e agol? Koja od figurite na crteòt e konveksen agol? V T K Zada~i S O R R M L 1. Koi od ozna~enite to~ki na crteòt leàt vo ista poluramnina so to~kata? a C H D. Imenuvaj gi temeto i kra cite na ago lot na crteòt. Koi od ozna ~e - nite to~ki mu pripa aat na agolot, a koi na oblasta? F E G C O V D E.. 5. Nacrtaj agol so teme M i kraci MP i MN. Imenuvaj go toj agol. Nacrtaj eden konveksen agol α i eden agol β {to ne e konveksen. Kolku agli se obrazuvani so polu - pravite: O, O i OC i kru`nite laci na crteòt? Imenuvaj gi tie agli. S O V

100 100 1 SPOREDUVWE GLI. VIDOVI GLI Potseti se! Na crteòt e daden eden agol. P N M Imenuvaj go toj agol. Imenuvaj gi kracite i temeto na agolot. glite, kako i otse~kite moè da se sporeduvaat. 1 Raboti spored barawata, voo~i, zapomni i odgovori. O Na proyirna hartija nacrtaj dva agla, α = ❸O i β = ❸CSD, kako na crte - òt, a potoa izreì gi. D α S β C Postavi go edniot izreàn agol vrz drugiot agol, na primer α vrz β, taka {to temeto O da se sovpadne so temeto S, a krakot O so krakot SC, kako na crteòt. Vo koja oblast se nao a krakot O? Krakot O (od agolot α) leì vo oblasta na agolot β. D β α O S C Voo~i! Ima tri mo`nosti za polo`bata na krakot O od agolot α = ❸O vo odnos na agolot β = ❸CSD, koga α i β se postaveni eden vrz drug. 1) Krakot O se sovpa a so krakot OD - toga{ velime deka aglite α i β se ednakvi (skladni). D ) Krakot O se nao a vo vnatre{nata oblast na agolot β - toga{ velime deka α e pomal od β. D ) Krakot O se nao a vo nadvore{nata oblast na agolot β - toga{ velime deka α e pogolem od β. D α β O S C β α O S C α β O S C Razgledaj go agolot OV na crteòt, razmisli i odgovori. O [to obrazuvaat kracite na agolot O?

101 Voo~i i zapomni! gol ~ii{to kraci obrazuvaat edna prava se vika ramen agol. Koi bilo dva ramni agli se ednakvi. 101 Nacrtaj ramen agol MON, obeleì go so lak i ozna~i to~ki,,c, D vo negovata oblast. Koi od otse~kite, C, C i D celosno leàt vo oblasta na ❸MON? Dali ❸MON e konveksen ili nekonveksen agol? Raboti spored barawata, voo~i, zapomni i odgovori. Na proyirna hartija nacrtaj ramen agol O. Previtkaj go listot vo temeto O, taka {to kracite O i O da se sovpadnat. Potoa odvitkaj go listot. Voo~uva{ deka so linijata na previtkuvawe ramniot agol e podelen na dva skladni, odnosno ednakvi delovi. Sekoj od tie delovi e prav agol. O C Voo~i i zapomni! gol koj e polovina od ramniot agol se vika prav agol. golot OC na crteòt e prav agol. Zapi{i go drugiot prav agol. Voo~i gi pravite agli na tvojot triagolen linijar. 5 Razgledaj go crteòt i postapi spored baraweto. V Nacrtaj poluprava O. Temeto na praviot agol postavi go vo to~kata O, taka {to eden od kracite na pravoagolniot linijar da se sovpa a so polupravata O. Po drugiot krak od praviot agol na triagolniot linijarpovle~i poluprava O. O 6 Na toj na~in nacrta prav agol O. Izmeri so praviot agol na pravoagolniot linijar koj od aglite na crteòt e prav agol. α β γ 7 Razgledaj gi aglite O i MPN na crteòt i sporedi gi so praviot agol. V Koj od dadenite agli e pomal od praviot agol, a koj e pogolem od praviot agol? O α

102 10 Voo~i i zapomni! gol {to e pomal od praviot agol se vika ostar agol. gol {to e pogolem od praviot agol, a pomal od ramniot, se vika tap agol. N R β M 8 Proceni koi od aglite na crteòt se ostri, a koi tapi, a potoa proveri so prav agol od linijarot dali si procenil to~no. α β γ δ V 9 Kakva e zaemnata polo`ba na dve polupravi O i OV, ako to~kata V pripa a na polu - pravata O kako na crteòt? O Dali tie polupravi O i OV ja delat ramninata na dva dela? V ]e prifatime sovpadnatite polupravi da opredeluvaat dva agla. Edniot agol e sostaven od polupra - vite (koi{to se sovpa aat) i ostanatiot del od ramninata - toj agol se vika poln agol; drugiot agol e sostaven od polupra - vite (koi{to se sovpa aat), a negovata oblast e prazno mnoèstvo - toj agol se vika nulti agol (nula - agol). 10 Na crteòt e pretstaven poln agol OV i nulti agol NPM. O V Dali polniot agol e konveksen? Obrazloì go tvojot odgovor. P N M Treba da znae{! Proveri se! Koj agol se vika: ramen agol? prav agol? ostar agol? tap agol? poln agol? nulti agol? Zada~i Koi vidovi agli moè{ da gi pre - poznae{ na crteòt? Imenuvaj gi tie agli. Podredi gi po golemina, po~nu vaj - }i od najmaliot, aglite: α, β, γ i δ, ako α e ramen agol, β e prav agol, γ e ostar agol i δ e tap agol. C O 1.. Koj agol se vika ramen agol? Kakov agol pretstavuva polovinata od praviot agol?. Kakov agol obrazuvaat strelkite na ~asovnikot vo: a) 1 ~asot; b) 15 ~asot; v) 17 ~asot; g) 18 ~asot?

103 Nacrtaj ostar agol O i tap agol MPN. Nacrtaj tri polupravi O, O, i OC, taka {to ❸ O e prav agol i ❸ OC e ostar agol. Od koj vid e ❸ OC? 6. Nacrtaj tap agol MON i ostar agol NOP, taka {to ❸ MOP da bide ramen agol. SOSEDNI, NPOREDNI I NKRSNI GLI 10 Potseti se! C β α O Na crteòt vo potseti se, aglite α i β imaat zaedni~ko teme O i zaedni~ki krak OV. Dva agla so zaedni~ko teme i eden za ed - ni~ki krak, a nemaat zaedni~ki vnatre - {ni to~ki se vikaat sosedni agli. Na crteòt se aglite α i β. Imenuvaj gi kracite i temiwata na aglite α i β. [to imaat zaedni~ko aglite α i β? 1 Koi od aglite na crteòt se sosedni agli? Obrazloì go odgovorot. H D S G N O C F M P a) b) v) E Na pravata S na crteòt e izbrana to~kata O i e povle~ena polupravata OV. [to imaat zaedni~ko ❸O i ❸OC? Kako go vikame takviot par agli? V Kakov agol obrazuvaat kracite O i OS? O S Moè{ da voo~i{ deka aglite OV i VOS se sosedni agli i obrazuvaat ramen agol. Zapomni! Dva sosedni agli {to obrazuvaat ra men agol se vikaat naporedni agli. Nacrtaj eden ostar agol MPN, a potoa nacrtaj agol NPS naporeden na agolot MPN. Od koj vid e agolot NPS? Nacrtaj prav agol α, a potoa nacrtaj agol β naporeden na α. Od koj vid e agolot β?

104 10 V Pravite S i D na crteòt se se~at vo to~kata O. Taka se obrazuvani aglite α, β, γ i δ. Kracite OC i OD na agolot γ se prodol - ènija na kracite O i OV na agolot α. Za takvi agli velime deka se nakrsni agli. Nakrsni agli se i aglite β i δ, na crteòt. Dva agli {to imaat zaedni~ko teme, a kracite na edniot agol se prodolènija na kracite od drugiot agol niz temeto, se vikaat nakrsni agli. C D γ β δ α O 5 Nacrtaj ostar agol OV, a potoa nacrtaj agol MON, taka {to tie dva agli da se nakrsni. G Nacrtaj na hartija ili na karton nakrsni agli kako na crteòt. Ise~i gi vnimatelno nakrsnite agli i postavi gi eden na drug. ]e voo~i{ deka nakrsnite agli pri postavuvaweto eden na drug se sovpa aat. Poradi toa moè{ da kaè{ deka nakrsnite agli se skladni (ednakvi). Na crteòt ❸OD = ❸OC i ❸O = ❸COD. D O C 6 Nacrtaj prav agol MPN, a potoa nacrtaj go negoviot nakrsen agol SPR. Od koj vid se aglite MPS i NPS? Treba da znae{! Da prepoznae{ i da objasni{ koi agli se sosedni agli; da prepoznae{ i objasni{ koi agli se vikaat naporedni agli; da prepoznae{ i da objasni{ koi agli se nakrsni agli. Proveri se! Dali moàt da bidat sosedni aglite OV i CD? glite OV i VOS se naporedni agli. ko ❸OV e prav, toga{ od koj vid e ❸VOS? golot MPN e tap agol. Od koj vid e nakrsniot agol na ❸MPN? 1. Zada~i Imenuvaj gi sosednite agli na crteòt. C. Nacrtaj eden tap agol α, a potoa nacrtaj go negoviot naporeden agol β. Od koj vid e agolot β?. Vnimavaj ima ~e - tiri para sosedni agli! Koj od aglite na crte òt e naporeden na agolot α? Koi drugi dva agli se naporedni? D O β γ α δ. 5. Za koi dva agli se veli deka se nakrsni? Odredi gi paro - vite nakrsni agli na crteòt

105 1 CENTRLEN GOL. KONSTRUKCIJ N GOL 105 Potseti se! Na crteòt e dadena kru` - V k nica k, centar O i na nea se ozna~eni to~kite i V. Na kolku delovi e podelena kru`nicata k so to~ - O kite i V? Kako se vika sekoj od tie dva dela? Kako se ozna~uva pomaliot od dvata kru`ni laci? Kako se vika otse~kata V? 1 Na crteòt e dadena kru` nica k so centar O i aglite α i β. D k β C O V Kade se nao a temeto na agolot: α; β? gol ~ie{to teme se nao a vo centarot na dadena kru`nica se vika centralen agol. α Koj od aglite α, β i γ na crteòt e centra - len agol? Zo{to ago - lot γ ne e centralen? γ β O α Kracite na agolot α (na crteòt) ja se~at kru`nicata k vo to~kite i. Zapi{i go kru`niot lak {to go obrazuvaat kracite na agolot α i leì vo toj agol. Zapi{i go kru`niot lak {to go obrazuvaat kracite na agolot α i ne leì vo toj agol. k C O V α Zapomni! Sekoj centralen agol vo dadena kru`nica opredeluva to~no eden kruèn lak {to leì vo toj agol. Za agolot i za lakot velime deka se soodvetni ili si odgovaraat eden na drug. Na crteòt e dadena kru`nica k i centar O i dva centralni agli, koi{to se skladni. Zamisli deka agolot α se vrti okolu to~kata O vo nasoka na dvi - èweto na strelkite na ~asovnikot, s dodeka to~no go pokrie agolot β. Kade bi padnala to~kata, a kade to~kata V? So koj lak bi se sovpadnal lakot V? Voo~uvam deka lakot V bi se sovpadnal so lakot CD.

106 106 Na skladni centralni agli vo ista kru`nica ili vo razli~ni kru`nici so ednakvi radiusi im odgovaraat skladni kru`ni laci. Na ist na~in moè{ da voo~i{ deka vaì i obratnoto: Na skladni laci vo ista kru`nica ili vo razli~ni kru`nici so ednakvi radiusi im odgovaraat skladni centralni agli. 5 Centralnite agli α i β na crteòt se skladni. Kakvi se soodvetnite laci i CD? Tetivata V mu pripa a na agolot α, a tetivata CD - na β. Kako }e zaklu~i{ deka ovie tetivi se skladni (ednakvi)? Moàm da zamislam deka agolot α, so vrtewe okolu to~kata O, }e se sovpadne so agolot β. Tetivite V i CD }e se sovpadnat, t.e. tie se ednakvi. Vaì op{to! Na skladni centralni agli vo kru`nica ili vo razli~ni kru`nici so ednakvi radi - usi im odgovaraat skladni (t.e. ednakvi) tetivi. 6 Tetivite V i CD vo kru`nicite k 1 i k, so ednakvi radiusi, se ednakvi. Dali centralniot agol α e skladen so centralniot agol β? Voo~i deka α e pomal od ramniot agol, a β e pogolem od ramniot agol. Voo~i deka Na ednakvi tetivi vo ista kru`nica ili vo razli~ni kru`nici so ednakvi radiusi im odgovaraat skladni centralni agli samo koga tetivite: ili dvete pripa aat ili dvete ne pripa aat na soodvetnite agli. 7 Na crteòt se dadeni kru`nicite k 1 i k, so ednakvi radiusi. Vo sekoja od kru`nicite se ozna~eni tetivi: = cm, CD = mm, KL = mm i MN = cm. Koi od ozna~enite agli se ednakvi me u sebe? Zo{to? C α β k 1 D M k δ γ L N K

107 Znae{ deka na ednakvi centralni agli vo kru`nici so ednakvi radiusi odgova raat ednakvi kru`ni laci (odnosno tetivi). Toa moè{ da go iskoristi{ da konstruira{ agol, ednakov na daden agol, samo so pomo{ na linijar i {estar. Kako se pravi toa? Vidi ja slednata zada~a Daden e agolot α = ❸KOL (crt. a). Konstruiraj agol ednakov na agolot α. Sledi ja postapkata ~ekor po ~ekor. Nacrtaj poluprava RT (crt. b). So proizvolen otvor na {estarot, na dadeniot agol a), nacrtaj del od kru` ni cata so centar vo to~kata O {to }e gi prese~e kra cite OK i OL. Taka }e ja dobie{ tetivata V {to odgovara na ❸O (crt. v) So istiot otvor na {estarot, kako pri crt. v, nacrtaj del od kru`nicata so centar vo to~ ka ta R (crt. g). Otvori go {estarot i zemi go so nego rastojanieto od crt. v. Zabodi go {ilecot na {estarot vo to~kata M i so drugiot krak prese~i go prethodno nacrtaniot lak na crt. g; taka }e ja dobie{ to~kata N. Nacrtaj ja polupravata RY {to minuva niz to~kata N (crt. d); so toa }e dobie{ ❸TPS = α. Nacrtaj tap agol α, a potoa konstruiraj agol β ednakov na agolot α. d) b) v) g) a) P α O L L α O N K K T P M T S N Treba da znae{! Da objasni{ koj agol se vika centralen agol; kakov e odnosot me u ednakvite centralni agli i soodvetnite kru`ni laci; deka na ednakvi centralni agli odgovaraat ednakvi tetivi. Zada~i Proveri se! Vo kru`nicata k na crteòt, = MN i > CD. Koi od ozna~enite agli se ednakvi me u sebe? P M T C O D N M 1.. Koj agol se vika centralen agol? Nacrtaj kru`nica k(o; cm) i edna nejzina tetiva = 5 mm. Nacrtaj go centralniot agol α vo koj leì tetivata V... Nacrtaj ostar agol α, a potoa konstrui - raj agol β ednakov so agolot α. Nacrtaj prav agol OV, a potoa nacrtaj agol MPN ednakov so agolot OV.

108 GRFI^KO SOIRWE I ODZEMWE N GLI Potseti se! Kako }e konstruira{ agol β edna kov na daden agol α? Na crteòt e daden agol α i poluprava O. α Konstruiraj agol OV ednakov na agolot α. O 1 Dadeni se aglite α i β. Odredi go grafi~ki nivniot zbir. α Razgledaj go crteòt i raboti spored postapkite. C β α β Nacrtaj dva agla α i β i poluprava O. So ist otvor na {estarot nacrtaj kruèn lak na agolot α, na agolot β i na polupravata O. Konstruiraj agol OV ednakov na agolot α. Konstruiraj agol VOS ednakov na agolot β. Koja operacija ja izvr{i so aglite α i β? Na {to e ednakov agolot OS? Zapi{i go toa simboli~ki. O Od prethodnite aktivnosti moè{e da voo~i{ kako grafi~ki (konstruktivno) se sobiraat agli. So opi{anata postapka dobivme agol OS, koj e ednakov na zbirot od aglite α i β, t.e. ❸OS = α + β. Ovaa postapka se vika grafi~ko sobirawe ili konstrukcija na zbir na dva agla. Nacrtaj ostar agol α i prav agol β, a potoa odredi go grafi~ki nivniot zbir. Dadeni se aglite α i β. Odredi ja grafi~ki nivnata razlika. Razgledaj go crteòt i raboti spored postapkite. α β Nacrtaj tap agol α, ostar agol β i poluprava OM. So ist otvor na {estarot nacrtaj kru`ni laci na aglite α i β i na polupravata OM. Konstruiraj agol MON ednakov na agolot α. Konstruiraj agol NOP ednakov na agolot β taka {to krakot OR da bide vo oblasta na agolot MON. N O R M

109 Taka go dobi agolot MOR. [to pretstavuva agolot MOR za aglite α i β? Koja operacija ja izvr{i so aglite α i β? 109 So opi{anata postapka go dobivme ❸MOR = α - β; so nea e izvr{eno grafi~ko t.e. konstruktivno odzemawe na aglite α i β. Nacrtaj prav agol α i ostar agol β, a potoa odredi ja grafi~ki nivnata razlika. Treba da znae{! Da odredi{ grafi~ki zbir na dva agla; razlika na dva agla. Zada~i Proveri se! Vo vrska so crteòt zapi{i simboli~ki: [to pretstavuva agolot OS za aglite OV i VOS? [to pretstavuva agolot OV za aglite OS i SOV? C O 1. Nacrtaj dva ostri agli α i β i konstruiraj go nivniot zbir.. Nacrtaj eden tap agol α i eden ostar agol β i konstruiraj ja nivnata razlika.. Nacrtaj ostar agol α i konstruiraj go agolot α (α = α + α). 5. Nacrtaj tap agol α i prav agol β i konstruiraj ja nivnata razlika.. Nacrtaj tri ostri agli α, β i γ, a potoa konstruiraj go agolot α + β + γ. 6. Nacrtaj ostar agol α i ostar agol β, β e pomal od α, a potoa konstruiraj go agolot α β. Obidi se! Kolku agli (ozna~eni so lak) ima na crteòt? Koi parovi agli se sosedni? To~kata O leì na pravata E. Koi parovi agli se naporedni? C D O E

110 MEREWE GLI. GLOMER Potseti se! So koja naprava se meri dolìnata na otse~kata? V Nabroj (barem tri) merni edinici za dolìna. Nacrtaj agol α i agol β {to e pogolem od α. Kakvi se me u sebe dva centralni agli ~ii{to soodvetni laci ima se skladni? 1 I aglite moàt da se sporeduvaat i, spored toa, moàt da se merat. Na crteòt, lacite, C i CD se skladni. Kakvi se me u sebe centralnite agli α, β i γ? golot OD e zbir od aglite α, β i γ, koi{to se skladni me u sebe. Kolku pati agolot α se sodrì vo agolot OD? Se veli i: merniot broj na agolot OD vo odnos na agolot α e. Lacite, C, CD, DE i EF na crte- Razgledaj go ramniot agol OV i òt se skladni. Koj e merniot broj na soodvetniot lak - polukru`nicata na agolot: a) OF; b) OC vo odnos na crteòt. agolot α? Voo~i deka polukru`nicata e podelena na 180 delovi. Koj del od ramniot agol e centralniot agol {to mu soodvetstvuva na eden 180-ti del od polukru`nicata? golot koj{to e 180-ti del od ramniot agol se zema za osnovna edinica za merewe agli. Negovata golemina se vika agolen stepen ili kuso stepen. Se ozna~uva: 1 o ; se ~ita "eden stepen#. Voo~iv deka: ako ramen agol se podeli na 180 dela, se do - biva agol so golemina od 1 o. Kolku stepeni ima ramniot agol? Kolku stepeni ima praviot agol?

111 Napravata za merewe agli se vika aglomer. glomerot e prikaàn na crteòt. glomerot moè da bide napraven od tenka me - talna plo~ka, od karton ili od plastika. Toj ima forma na polukrug koj e podelen na 180 ednakvi delovi i sekoj del ozna ~uva eden stepen Na skalata se ozna~eni broevi od 0 do 180, a centarot na polukru`nicata e ozna~en so O. Razgledaj go crteòt na koj e prikaàno mereweto na agolot VS i odgovori: Kade e postavena to~kata O od aglomerot? S Kade leì krakot V od agolot VS? Pro~itaj na aglomerot kolku stepeni ima ❸VS. 0 V 6 Kolku stepeni ima sekoj od aglite na crteòt? S K V M N 0 0 a) b) 7 So pomo{ na aglomer, nacrtaj ❸MPN = 105 o. Nacrtaj poluprava RM so po - ~etna to~ka R. Postavi go aglomerot taka {to to~kata O da se sovpadne so po~etnata to~ka R na polu - pravata RM. Ozna~i to~ka N na mestoto ka - de {to skalata na aglomerot pokaùva 105 o. R P Povle~i poluprava PN. Na toj na~in so pomo{ na aglomer, nacrta ❸MPN = 105 o. 0 M M N R M

112 11 8 So pomo{ na aglomer nacrtaj agol od: a) 8 o ; b) 115 o ; V Pomali edinici od stepenot za merewe agli se agolna minuta ili kuso minuta (se ozna~uva 1 ) i agolna sekunda ili kuso sekunda (se ozna~uva 1 ). Eden stepen ima {eeset minuti, a edna minuta {eeset sekundi. 1 o = 60 ; 1 = 60 ; 1 o = = 600. ko daden agol α ima 5 stepeni, 8 minuti i sekundi, toa se zapi{uva vaka: α = 5 o 8. 9 Pretvori gi vo minuti: a) 5 o ; b) 1 o 5 ; v) 5 o 15. a) 5 o = 5 60 = Pretvori gi vo sekundi: a) o ; b) 10 o 15 ; v) 0 o 0 0. Treba da znae{! Koja e osnovnata edinica za merewe golemina na agol; koi se pomali edinici od stepen; {to e agolen stepen; kolku minuti ima 1 o ; kolku sekundi ima 1. Proveri se! Od koj vid e agolot {to ima 90 o? Od koj vid e agolot {to ima 1 o? Pretvori vo minuti 5 o 17. Pretvori vo sekundi 15 o Zada~i Kolku stepeni ima sekoj od aglite: VOS, OD, COD, OM i MON na crte`ot? M D C. Izmeri gi aglite α i β na crte`ot. N O α β.. Nacrtaj agol od: a) 7 o ; b) 16 o. Pretstavi gi vo minuti: a) 5 o ; b) 0 o Podredi gi po golemina, po~nuvaj}i od najmaliot, aglite: α = 71 o 5 ; β = 6 o 58 0 ; γ = 96 o 5 ; δ = 8 o 5 0.

113 17 RITMETI^KI OPERCII SO GLI 11 Potseti se! Osnovna edinica za merewe agli e stepen. Pomali edinici od stepenot se minuta i sekunda. 1 o = 60 ; 1 = 60 ; 1 o = 600. Pretvori gi vo stepeni: a) 10 ; b) 180. Pretvori gi vo stepeni i minuti: a) 86 ; b) Presmetaj go zbirot na aglite α = 85 o 6 5 i β = o 1 0. Voo~i ja postapkata pri re{avaweto. 1. Soberi gi sekundite: = 5. Soberi gi minutite: = 8. Soberi gi stepenite: 85 o + o = 117 o + 85 o o 117 o α + β = 117 o 8 5. Presmetaj go zbirot na aglite α = 8 o 15 i β = 60 o 8 0. Presmetaj ja razlikata na aglite α = 78 o 8 i β = 6 o Voo~i ja postapkata. 1. Odzemi gi sekundite: - 18 = 78 o 8. Odzemi gi minutite: 8-15 =. Odzemi gi stepenite: 78 o - 6 o = 5 o - 6 o 5 o α - β = 5 o. Presmetaj ja razlikata na aglite α = 108 o 5 6 i β = o Presmetaj go zbirot na aglite α = 8 o 6 0 i β = 5 o 50. Voo~i ja postapkata = 80 = o = 79 = 1 o o + 5 o + 1 o = 10 o + 5 o 10 o α + β = 10 o Presmetaj go zbirot na aglite α = 68 o 5 6 i β = 6 o 5.

114 11 7 Presmetaj ja razlikata na aglite α = 90 o 5 18 i β = 8 o 6 5. Voo~i ja postapkata < 5. Od 5 odzemame 1 ; 1 = 60 ; = 78 ; 78-5 =. < 6. Od 90 o odzemame 1 o ; 1 o = 60 ; + 60 = 8 ; 8-6 = o - 8 o = 61 o 90 o o o 8 α - β = 61 o 8. 8 Presmetaj ja razlikata na aglite α = 105 o 5 0 i β = 68 o 0. 9 Presmetaj ja razlikata na aglite α = 88 o i β = 5 o 8 0. Voo~i ja postapkata = 60 ; 60 0 = 0 88 o. 1 o =60 ; 8 8 = o - 5 o = 6 o - 5 o 6 o α - β = 6 o Presmetaj gi razlikite: a) 90 o - 5 o ; b) 180 o - 65 o 5 5. Z ONIE [TO SKT D ZNT POVE]E 1 Presmetaj α, ako α = 8 o. Voo~i ja postapkata. 1. = 96 = o = 11 o = = 19 = o o + o = 11 o + o = 11 o α = 11 o 9 6. Presmetaj 5α, ako α = 0 o 18 8.

115 Presmetaj α : 6, ako α = 76 o. 115 Voo~i ja postapkata. 76 o : 6 = 1 o o o = 7 o = 60 + = 7-70 = 16 = 60 + = Koj agol e pati pomal od agolot α = 75 o 0? Treba da znae{! gli se sobiraat taka {to po red }e se sobiraat sekundite, odnosno minutite, odnosno stepenite; da sobira{ agli koga zbirot na sekundite, odnosno minutite e pogolem od 60; agli se odzemaat taka {to po red }e se odzemaat sekundite, odnosno minutite, odnosno stepenite; da odzema{ agli koga brojot na minutite ili na sekun dite vo namalenikot e pomal od istiot broj vo namalitelot. Proveri se! Presmetaj α + β i α β, ako α = 68 o 5 i β = 0 o 5 8. Zada~i 1. Presmetaj α + β i α - β, ako α = 88 o 6 i β = 5 o Presmetaj go agolot β koj{to so agolot α dava zbir od 180 o, ako α e: a) α = 78 o 0 ; b) α = 65 o Presmetaj α + β i α - β, ako α = 76 o i β = 0 o Presmetaj go agolot β koj{to so agolot α dava zbir od 90 o, ako α e: a) α = 6 o 0 ; b) α = o. Obidi se! Na crte`ot e nacrtan agol od 19 o. 19 o Kako mo`e bez aglomer, a samo so {estar i linijar, da se konstruira agol od 1 o?

116 ZEMNO NORMLNI PRVI. RSTOJNIE OD TO^K DO PRV Potseti se! a 1 Na crteòt se dadeni pravite m i n. Razgledaj go crteòt i odgo vori na pra{awata: b R n Pravite a i b na crteòt se se~at. β α m Tie imaat samo edna zaedni~ka to~ka. Koja e taa to~ka? Zapomni! Kakva zaemna polo`ba imaat pravite m i n? Kakov agol formiraat aglite α i β? ko α e prav agol, kakov e agolot β? Za dve pravi {to se se~at i obrazuva at pravi agli se veli deka se zaemno normalni pravi ili deka ednata prava e normala na drugata prava. Toa simboli~ki se zapi{uva: m n. Da zapomnam! Pravite m i n se se~at i obrazuvaat pravi agli. Tie se zaemno normalni pravi. Nacrtaj prava p i ozna~i to~ka {to ne leì na taa prava. Nacrtaj prava s {to minuva niz to~kata i e normalna na pravata p. Odredi go najkratkoto rastojanie od to~kata M do pravata p na crteòt. M Razgledaj go crteòt i postapi spored barawata. Izmeri gi rastojanijata M, M, MC, MD i ME i sporedi gi. p C D E Zapomni! Koe od navedenite rastoja - nija e najmalo? Vo kakva zaemna polo`ba se pravata p i pravata MC? Da zapomnam! Moàm da zaklu - ~am deka najmalo e rastojanieto MC, a toa e dolìnata na otse~kata {to e normalna na pravata p. Pod rastojanie od to~ka M do prava p se podrazbira najkusoto rastojanie. Rastojanieto od to~kata M do pravata p go merime po normalata povle~ena niz to~kata M kon pravata p. Rastojanie na to~kata M do pravata p e dolìnata na otse~kata MC, kade {to C e prese~nata to~ka na normalata i pravata p.

117 Odredi go rastojanieto od to~kata do pravata a na cr te - òt. Razgledaj go crteòt a) i raboti spored postapkata. 117 Nacrtaj prava b koja minuva niz to~kata i e normalna na pravata a (koristej}i go praviot agol na tvojot triagolen linijar). Ozna~i ja prese~nata to~ka na pravite a i b. Dolìnata na otse~kata e rastojanieto od to~kata do pravata a. Vo slu~ajov = 7 mm. a a) a b V 5 Koja od otse~kite na crteòt e rastojanie od to~kata P do pravata a? R Izmeri go rastojanieto od to~kata P do pravata a. a C D 6 Nacrtaj prava a i ozna~i to~ka {to e na rastojanie cm od taa prava. Treba da znae{! Za koi dve pravi se veli deka se zaemno normalni; da odredi{ rastojanie od to~ka do prava. Proveri se! Kaj edno selo minuva reka, oddale~ena od nego. Na rekata treba da se postavi most taka {to da bide najblisku do seloto. Objasni, spored toa {to u~e{e, kako }e go odredi{ mestoto kade {to treba da bide postaven mostot na rekata. Zada~i 1... [to e rastojanie od to~ka do prava? Nacrtaj prava m i ozna~i to~ka M {to ne leì na taa prava. Odredi go rastojanieto od to~kata M do pravata m. Odredi go rastojanieto od to~kata do pravata c na crteòt.. 5. Nacrtaj prava p i ozna~i to~ka P {to e na rastojanie cm od pravata p. Nacrtaj prava p i na nea ozna~i to~ka M. Niz to~kata M povle~i prava q, normalna na p. S c D V

118 SIMETRL N OTSE^K. SIMETRL N GOL Potseti se! M V To~kata M e sredna to~ka na otse~kata = cm. Odredi gi M i M. 1 Dadena e otse~kata V. Niz nejzinata sredna to~ka O po - vle~i prava s {to e normalna na otse~kata V. s Pravite a i b na crteòt se zaemno normalni. Od koj vid e agolot α? a α b Niz to~kata O povle~i prava s normalna na. Na kakvi delovi pravata s ja deli otse~kata? Vo kakva zaemna polo`ba se pravata s i otse~kata? Voo~i i zapomni! Pravata s {to ja prepolovuva otse~kata i e normalna na nea vika simetrala na otse~kata. O Nacrtaj otse~ka. Odredi ja srednata to~ka O na otse~kata. V Koja od pravite na crteòt e simetrala na otse~kata MN? M m n R s N Nacrtaj otse~ka CD i potoa nacrtaj ja nejzinata simetrala s. Na crteòt e daden ❸ O = 68 o i vo negovata oblast e povle~ena poluprava OC taka {to ❸ OC = o. Razgledaj go crteòt i odgovori na pra{aweto. C Kolku stepeni ima ❸ CO? Na kakvi delovi polupravata OC go deli agolot O? O Zaklu~iv! Polupravata OC go deli agolot O na dva ednakvi dela. ❸ O = 68 o, ❸ OC = o i ❸ CO = o. Zapomni! Polupravata {to go deli eden agol na dva ednakvi agli se vika simetrala na toj agol.

119 5 Proveri, koja od polupravite: OM, ON i OP na crteòt e simetrala na agolot O. P N Nacrtaj agol od 56 o i so pomo{ na aglomer povle~i ja negovata simetrala. O M Treba da znae{! Da objasni{: {to e simetrala na otse~ - ka i {to e simetrala na agol; da nacrta{: simetrala na dadena otse~ka i simetrala na daden agol. To~no po simetrala! Proveri se! Nacrtaj otse~ka EF = 8 mm kako na crteòt, a potoa nacrtaj ja nejzinata simetrala. Nacrtaj ❸OV = 100 o i potoa povle~i ja negovata simetrala. Kolku simetrali moè da se povle~at: na dadena otse~ka; na daden agol? F E Zada~i 1. Simetralata s ja se~e otse~kata = 5 cm vo to~kata M. Presmetaj go M. 5. Polupravata OP e simetrala na ❸MON = 8 o. Kolku stepeni ima ❸MOP?. Simetralata s ja se~e otse~kata MN vo to~kata P, taka {to MP = 5 mm. Pre smetaj ja dol ì nata na otse~kata MN. 6. Polupravata OC e simetrala na ❸O. Presmetaj go ❸O, ako ❸OC = 5 o.. Nacrtaj otse~ka = 5 cm, a potoa nacrtaj ja nejzinata simetrala. Nacrtaj iskr{ena linija od dve otse~ - ki i C. Nacrtaj gi sime tralite na otse~kite i C. 7. Nacrtaj agol α = 76 o i povle~i ja negovata simetrala.

120 10 0 KOMPLEMENTNI I SUPLEMENTNI GLI Potseti se! Na crte`ot e konstruiran zbirot na aglite α = 0 o i β = 50 o. 1 Koi od parovite agli imaat zbir 90 o? a) α = 5 o i β = 55 o ; b) α = 6 o i β = 6 o ; v) α = 8 o i β = 5 o. α = 0 o β Zapomni! β = 50 o α Za dva agla ~ij zbir iznesuva 90 o se veli deka se komplementni agli. Kolkav agol e zbirot na aglite α i β? Kolku stepeni ima praviot agol? Kolku stepeni ima α + β? Dali aglite α i β se komplementni, ako: a) α = 5 o i β = 65 o ; b) α = o i β = 77 o ; v) α = o i β = 6 o? ko α = o, toga{ kolku iznesuva negoviot komplementen agol β? Izmeri gi aglite α i β i presmetaj go nivniot zbir. Razgledaj go crte`ot i odgovori na pra{awata. Kakov agol e zbirot na aglite α i β? α S β Kolku stepeni ima ramniot agol? Kolku stepeni ima ❸OV, koj{to e zbir od aglite α i β? β O α V Voo~iv! Zbirot na aglite α i β e 180 o, t.e. nivniot zbir pretstavuva ramen agol.

121 Zapomni! Za dva agli ~ij{to zbir iznesuva 180 o se veli deka se suplementni agli Koi od aglite α i β se suplementni: α = 65 o i β = 115 o ; α = 108 o i β = 7 o ; α = 15 o i β = 65 o? 6 ko α = 75 o, toga{ kolku iznesuva negoviot suplementen agol β? Treba da znae{! Za koi dva agla velime deka se komplementni? Za koi dva agla velime deka se suplementni? Proveri se! Neka ❸OV = 6 o. Koj od aglite: α = 8 o ; β = 118 o ; γ = 8 o e: komplementen so agolot OV; suplementen so agolot OV? Zada~i 1. Proveri dali aglite α i β se komplementni, ako: a) α = 8 o i β = 5 o ; b) α = o i β = 58 o ; v) α = 66 o i β = o.. Proveri dali se suplementni aglite α i β, ako: a) α = 105 o i β = 65 o ; b) α = 18 o i β = 5 o ; v) α = 6 o i β = 1 o.. Presmetaj go komplementniot agol na agolot α = 9 o. 5. Presmetaj go suplementniot agol na agolot α = 76 o.. Nacrtaj eden ostar agol, a potoa konstruiraj go negoviot komplementen agol. 6. Nacrtaj tap agol, a potoa konstruiraj go negoviot suplementen agol.

122 1 1 MNOGUGOLNIK Potseti se! Na crteòt se dadeni tri iskr - {eni linii. 1 Na crteòt se dadeni zatvoreni iskr{eni linii KLMNP i CDE. Razgledaj go crteòt i odgovori na pra{awata. P D M a) b) v) Iskr{enata linija pod a) e otvorena, a pod b) i v) e zatvorena. Stranite i C na iskr{enata linija CDE se sosedni. Tie imaat zaedni~ko teme. E Koi od stranite na iskr{enata li nija CDE ne se sosedni so stra nata? Zatvorena iskr{ena linija vo koja nema nesosedni strani {to se se~at se vika poligonalna linija. D C Koi strani na iskr{enata linija KLMNP ja se~at stranata KL? Dali stranite {to ja se~at stranata KL se nejzini sosedni strani? Ima li nesosedni strani vo iskr{enata linija CDE {to se se~at? Navistina vo iskr{enata linija CDE nema neso sedni strani koi se se~at. K N L Nacrtaj poligonalna linija DEFGH. E C Razgledaj ja poligonalnata linija CDEF na crteòt. Na kolku delovi poligonalnata linija ja razdeluva ramninata? C D E F Oboeniot del se vika vnatre{en del ili vnatre{na oblast na poligonalnata linija. Poligonalnata linija i nejzinata vnatre{na oblast obrazu vaat edna geometriska figura.

123 Zapomni! Geometriskata figura obrazuvana od edna poligonalna linija i nejzinata vnatre{na oblast se vika mnoguagolnik. 1 Koja od figurite na crteìte e mnoguagolnik? a) b) v) 5 Na crteòt e daden mnoguagolnikot CDE. D To~kite:,, C, D i E se temiwa na mnoguagolnikot. Temiwata i se sosedni temiwa - leàt na ista strana. E Koi temiwa se sosedni so temeto D? Koi temiwa ne se sosedni na temeto C? Otse~kite:, C, CD, DE i E se vikaat strani na mnoguagolnikot CDE. Za koi strani na mnoguagolnikot CDE temeto e zaedni~ko teme? Stranite i C imaat zaedni~ko teme. Tie se vikat sosedni strani. C 6 7 Koi strani na mnoguagolnikot KLMNP se sosedni strani na stranata MN? Koi strani na mnoguagolnikot KLMNP ne se sosedni strani na stranata KL? P K N L M 8 Razgledaj go mnoguagolnikot KLMNP. So koi polupravi e obrazuvan agolot KLM? Kolku agli obrazuvaat polupravite, na koi leàt stranite na mnoguagolnikot KLMNP, vo negovata vnatre{na oblast?

124 1 Voo~i i zapomni! glite: KLM, LMN, MNP, NPK i PKL se agli na mnoguagolnikot. 9 Nacrtaj mnoguagolnik CD i ozna~i gi negovite agli so α, β, γ i δ. Treba da znae{! Proveri se! [to e poligonalna linija; koja geometriska figura se vika mnoguagolnik; {to e teme, {to e strana i {to e agol na mnoguagolnik; koi se sosedni temiwa, a koi se nesosedni temiwa kaj mnoguagolnik; Zo{to iskr{enata linija na crteòt ne e poligonalna linija? Koi strani na iskr{enata linija CDE ne se sosedni na stranata CD? E C koi se sosedni strani, a koi se nesosedni strani kaj mnoguagolnik. D 1. Zada~i Koja od iskr{enite linii e poligonalna linija?. Koi od temiwata na mnoguagolni - kot CDE ne se sosedni so temeto D? E D C. a) b) Koja od geometriskite figuri na crteòt e mnoguagolnik? 5. Koi strani na mno - gu agolnikot KLMNP, na crteòt, se sosedni na stranata MN? P K L N M. a) b) v) Nacrtaj mnoguagolnik CD. Pomogni mu na gradinarot! Eden gradinar dobil zada~a da posadi 1 sadnici vo 6 reda, po sadnici vo sekoj red. ]e moè li gradinarot da ja izvr{i zada~ata?

125 NEKOI VIDOVI MNOGUGOLNICI 15 Potseti se! Kako se vika geometriskata figura {to e obrazuvana od edna poligonalna linija i nejzinata vnatre{na oblast? To~kite D, E i G leàt na mnogua - golnikot CD. D M H C E F G U{te koi od ozna~enite to~ki leàt na mnoguagolnikot CD? Koi od ozna~enite to~ki ne leàt na mnoguagolnikot CD? 1 Na crteìte a) i b) se dadeni dva mnoguagolni ka i po nekolku otse~ki ~ii{to krajni to~ki pri pa aat na mnoguagolnicite. Razgledaj gi crteìte i odgovori na pra{awata. Y S H R V G T X O T F a) b) Kade leàt site to~ki od otse~ kite FG, HT i XY? Dali site to~ki od otse~kite: OR, ST i UV leàt vo mnoguagolnikot pod b)? U Voo~i! Vo mnoguagolnikot pod a) site to~ki na otse~kite ~ii{to krajni to~ki leàt na mno - guagolnikot, se to~ki od toj mnoguagolnik. Za takvite mnogagolnici se veli deka se konveksni. Vo mnoguagolnikot pod b) nekoi to~ki od otse~kite ~ii{to krajni to~ki leàt na mnoguagolnikot, ne mu pripa aat na mnoguagolnikot. Za toj mnoguagolnik se veli deka e nekonveksen. Koi od mnoguagolnicite na crteòt se konveksni? a) b) v) g) Nacrtaj eden konveksen i eden nekonveksen mnoguagolnik. Potseti se! D Razgledaj go mnoguagolnikot CDE na crteòt. To~kite:,,C, D i E se temiwa, otse~kite, C, CD, DE i E se strani na mnoguagolnikot. E C glite: C, CD, CDE, DE i E se agli na mnoguagolnikot.

126 Razgledaj gi mnoguagolnicite na crteòt i odgovori na pra{awata. Kolku agli, temiwa i strani ima sekoj od tie mnoguagolnici? 16 C H G F P N M Kako se vika mnoguagolnikot VS? Zapomni! E K L Spored brojot na aglite (temiwata ili strani - te) mnoguagolnikot moè da bide: Da, toj ima tri agli i se vika triagolnik.. triagolnik -mnoguagolnik so tri agli (temiwa i strani); ~etiriagolnik -mnoguagolnik so ~etiri agli (temiwa i strani); petagolnik -mnoguagolnik so pet agli (temiwa i strani) Koj mnoguagolnik se vika {estagolnik? Nacrtaj mnoguagolnik so sedum strani. Kako se vika takviot mnoguagolnik? Odredi go vidot na sekoj od mnoguagolnicite na crteòt. a) b) v) Natamu, pod mnoguagolnik }e podrazbirame konveksen mnoguagolnik, ako ne e re~e - no poinaku. Treba da znae{! Koj mnoguagolnik se vika konveksen; koj mnoguagolnik se vika nekonveksen; kako se delat mnoguagolnicite spored brojot na aglite (temiwata, stranite). Proveri se! Zo{to mnoguagolnikot CD na crteòt e nekonveksen? Kako se vika mnogua gol - nikot {to ima 8 strani? D C Zada~i 1. Koj mnoguagolnik se vika konveksen mnoguagolnik?. Nacrtaj petagolnik CDE. Koi temiwa se sosedni na temeto? Koi strani ne se sosedni na stranata C?

127 . Koi od ozna~enite to~ki na. Ozna~i pet to~ki,, C, D i E kako crte òt leàt na mnogu agol - na crteòt, a potoa nacrtaj petagolnik CDE koj e nikot CD? nekonveksen. N D F G E C H D E C 17 M PERIMETR N MNOGUGOLNIK Potseti se! Presmetaj go perimetarot na triagolnikot VS. Presmetaj go perimetarot na kvadrat so strana a = 5 cm. V C 1 Razgledaj go mnoguagolnikot CD na crteòt. Na nego se da - deni dolìni te na otse~kite od koi e sostavena po ligonalnata linija na mnoguagolnikot. D cm cm C cm cm Presmetaj go perimetarot na poligonalnata linija CD. Perimetarot na poligonalnata li nija {to go formira mnoguagolni kot se vika peri - metar na mnogu agolnikot i se ozna~uva so L. Voo~i! Perimetarot na mnoguagolnikot CDE na crteòt e: L = + C + CD + D; L = = 1 cm, t.e. L = 1 cm. Presmetaj go perimetarot na mnoguagolnikot CDE, ako: = cm, C = 5 mm, CD = cm, DE = 5 mm i E = cm. b S a Presmetaj go perimetarot na triagolnikot VS na crteòt ako: a = 8 mm, b = mm i c = 0 mm. c V

128 18 Zapomni! L = + C + C, t.e. L = a + b + c. Presmetaj ja stranata a na triagolnikot VS, ako se dadeni: a) L = cm, b = 9 cm i c = 6 cm; b) L = 0 cm, b = 1 cm i c = 8 cm; Sledi go re{enieto: a) L = a + b + c; = a ; = a + 15, a = - 15; a = 7 cm. Re{i ja zada~ata pod b). Potseti se! Koj triagolnik se vika ramno - krak triagolnik? 5 Presmetaj go perimetarot na ramnokrak triagolnik C so osnova = a = cm i kraci C = C = b = cm. Voo~i ja postapkata: C L = + C + C, L = a + b + c; L = a + b + b, t.e. L = a + b; L = + = + 6 = 10 cm, t.e. L = 10 cm. b a 6 Presmetaj go perimetarot na ramnokrak triagolnik so osnova a = 8 cm i krak b = 6 cm. c 7 Presmetaj ja osnovata a na ramnokrak triagolnik, ako se dadeni: a) perimetarot L = cm i krakot b = 7 cm; b) perimetarot L = 0 cm i krakot b = 9 cm. Sledi go re{enieto na a)! L = a + b + b, L = a + b Zapomni = a + 7; = a + 1; a = - 1; a = 9 cm; F 8 ΔVS e ramnostran triagolnik so strana a = 5 cm. Presmetaj go perimetarot na ΔVS. a a D a E

129 Sledi go re{enieto: Zapomni L = + C + C, L = a + a + a, L = a L = 5; L = 15 cm. 19 Presmetaj go perimetarot na ramnostran triagolnik so strana a = 8 cm. 9 Presmetaj ja stranata na ramnostran triagolnik so perimetar: a) L = 18 cm; b) L = 6 cm. Sledi go re{enieto: L = a; 18 = a; a = 18 : ; a = 6 cm. Treba da znae{! [to e perimetar na mnoguagolnik; da presmeta{ perimetar na mnoguagolnik; da presmeta{ perimetar na triagolnik; da presmeta{ edna strana na mnoguagolnik, ako e daden perimetarot i drugite negovi strani. Proveri se! Presmetaj go perimetarot na ramnokrak triagolnik so osnova a = cm i krak b = 5 cm. Presmetaj ja stranata a na ΔVS, ako L = cm, b = 7 cm i c = 9 cm. Zada~i 1. Presmetaj go perimetarot na mnoguagolnikot CD, ako: = cm, C = mm, CD = 6 mm i D = 5 cm. 6. Ramnokrak tri a golnik so osnova a = 1 cm ima perimetar L = cm. Presmetaj go krakot na toj triagolnik.. Presmetaj go perimetarot na ΔVS, ako: a = 8 cm, b = 1 cm i c = 9 cm. 7. Presmetaj go perimetarot na ramnostran tri a golnik so strana a = 18 cm Presmetaj ja stranata a na ΔVS, ako: L = cm, b = 1 cm i c = 15 cm. Presmetaj go perimetarot na ramno - krak triagolnik so osnova a = 8 cm i krak b = 11 cm. Perimetarot na eden ramnokrak tri a - golnik e cm. Presmetaj ja osnovata a na toj triagolnik, ako krakot b = 1 cm Ramnostran triagolnik ima perimetar L = 7 cm. Presmetaj ja stranata na toj triagolnik. Dol`inite na ~etiri strani od eden petagolnik se: mm, 5 mm, 8 mm i 5 mm, a perimetarot mu e L = 150 mm. Presmetaj ja do`inata na pettata strana.

130 10 UÊ[E Z GEOMETRISKI FIGURI VO RMNIN. PROVERI GO SVOETO ZNEWE 1. Nacrtaj prava p i prava q, i ozna~i to~ki, i C {to leàt na pravata p i to~ki C, D i E {to leàt na pravata q. Zapi{i so simbolite i koi od tie to~ki pripa aat, a koi ne pripa aat na pravata p, odnosno na pravata q.. Dali se kolinearni to~kite, i C, ako = cm, C = 76 mm i C = 6 mm?. [to e otse~ka? 9. Imenuvaj gi site agli ozna~eni so lak, na crteòt. Koi vidovi agli prepoznava{ me u niv? 10. Nacrtaj agol α = ❸O, kako na crteòt. Potoa, nacrtaj agol β {to e naporeden so O.. Nacrtaj dve otse~ki, a i b, kako na crteòt. 11. Nacrtaj tap agol α, a potoa konstruiraj agol β ednakov so agolot α. a b Potoa konstruiraj ja otse~kata: a) a + b; b) a - b. 5. Odredi koi od iskr{enite linii na crteòt se poligonalni. objasni zo{to drugite iskr{eni linii ne se poligonalni. 1. Nacrtaj ostar agol α i prav agol β. Potoa, konstruiraj gi aglite α + β i α - β. 1. Od koj vid e agolot {to ima 90 o 5'? Pretvori gi vo minuti 90 o 5'. 1. Presmetaj go agolot β koj{to so agolot α = 5 o 5' 5 dava zbir 90 o Nacrtaj kru`nica k(o; 7 mm) i na nea ozna~i kruèn lak, taka {to soodvetnata tetiva da bide = 5 mm. Kolku e dijametarot na taa kru`nica? 7. Nacrtaj kru`nica k 1 (O 1 ; 0 mm), a potoa kru`nica k (O ; r ) {to }e ja dopira k 1 odnatre, a centralnoto rastoja - nie da bide 10 mm. 8. a) [to e agol? b) [to e vnatre{na oblast na agol? Nacrtaj prava p i ozna~i to~ka M {to e na rastojanie cm od pravata p. [to e simetrala na otse~ka? Proveri dali aglite α = 105 o 5' i β = 75 o 15' se suplementni. 18. Perimetarot na eden ~etiriagolnik e 6 m, a trite negovi strani imaat dolìni: m, 1 m i 1 m. Kolku e dol - ìnata na ~etvrtata strana?

131 TEM. DROPKI. DECIMLNI ROEVI Dropka. îtawe i pi{uvawe na dropki 1. Vidovi dropki 15. Pretstavuvawe dropki na brojna prava. Ednakvost na dropki 10. Sobirawe i odzemawe na dropki so ednakvi imeniteli 1 5. Pro{iruvawe i skratuvawe na dropki Decimalna dropka. Decimalen broj Svojstva na decimalnite broevi Pretstavuvawe na decimalnite broevi na brojna prava. Sporeduvawe na decimalnite broevi Vidovi dijagrami. Izbor na dijagram Sobirawe na decimalni broevi Odzemawe na decimalni broevi Mnoèwe na decimalni broevi Delewe na decimalni broevi Pretvorawe na dropka vo decimalen broj Zaokruùvawe na decimalen broj Izbor na primerok. naliza i zaklu~ok U~e{e za dropki. Decimalni broevi. Proveri go svoeto znaewe 18

132 1 1 DROPK. ÎTWE I PI[UVWE N DROPKI Potseti se! Na crteòt figurite se podeleni na delovi ednakvi po plo{tina. 1 Vo edna prodavnica ima samo ce li lebovi. Kako }e postapi prodava~ot ako pobara{ da kupi{ polovina leb? Kolku polovini ima edno celo? Kolku tretini ima edno celo? Na kolku ednakvi delovi e podelena sekoja od figurite? Imenuvaj eden del na sekoja od figurite. Iskaì go i zapi{i go oboeniot del na sekoja figura. Sogledaj! Vo edna burek~ilnica ima edna cela pita burek. Kako }e postapi prodava - ~ot ako pobara{ da kupi{ ~etvrtina burek? Pitata burek prodava~ot }e ja podeli na ~etiri ednakvi delovi. Edno celo e podeleno na ~etiri edna kvi de lovi, t.e. odre deno e kolku e 1 :. Koli~nikot 1 : ne e priroden broj, za{to nieden priroden broj pomnoèn so ne dava 1. Sepak, razumno e da kaème deka toj koli~nik e ednakov na edna ~etvrtina i da prifatime deka i edna ~etvrtina e broj. Zapi{uvame 1, t.e. 1 : = 1. Kako tri deca }e podelat podednakvo dve ~okoladi? Razgledaj go crteòt. Na kolku dela e podelena sekoja ~okolada? Koj del od edna ~okolada }e dobie sekoe dete? Kolku dela }e dobie sekoe dete?

133 Voo~i! : = ; se ~ita: dve tretini ili vrz. Moème da kaème deka e broj, zapi{an vo vid na dropka, no ne e pri - roden broj. 1 5 Zapi{i gi koli~nicite 1 : ; : 5 i 11 : 15 vo vid na dropki i pro~itaj gi. 6 Koj od slednite koli~nici ne e priroden broj? a) 6 : ; b) 1 : ; v) 5 : 6; g) 8 :. Vo koj koli~nik delenikot e deliv so delitelot? Voo~i i zapomni! Koli~nicite 1 : i 5 : 6 ne se prirodni broevi. Koli~nikot m : n ne e priroden broj, ako n ne e delitel na m. Koli~nikot m : n go zapi{uvame m. n So toa, pokraj prirodnite broevi, }e izu~uva{ i drugi broevi koi se vikaat dropki. Drop ka e ko li ~nik na dva pri rodni broja. 7 Razgledaj go crteòt i odgovori na pra{awata. Na kolku delovi e podeleno celoto? Zapi{i go so dropka oboeniot del od celoto. Kako se vikaat broevite so koi e zapi{ana dropkata? [to pokaùvaat broevite so koi e zapi{ana dropkata? Op{to Dropkata m e koli~nik na prirodnite broevi m i n. Se ~ita: m vrz n. n roevite so koi e zapi{ana dropkata se vikaat: m - broitel i n - imenitel. Tie se oddeleni so crti~ka koja se vika drobna crta. Taa go zamenuva znakot za delewe. m n broitel drobna crta imenitel Imenitelot n pokaùva na kolku ednakvi delovi e podeleno celoto. roitelot m go pokaùva brojot na tie delovi, odnosno kolku takvi delovi se zemeni od celoto.

134 1 8 [to pokaùva broitelot, a {to imenitelot, vo dropkata 5? 6 9 Zapi{i i pro~itaj dropka koja ozna~uva osum 15-ti delovi od edno celo. Treba da znae{! Da iskaè{ {to pretstavuva edna dropka; da ~ita{ i da zapi{uva{ dropki; da objasni{ {to pretstavuva broi te lot, a {to imenitelot vo edna dropka. Proveri se! Nacrtaj kvadrat i {rafiraj 5 od kvadratot. 8 [to pokaùva broitelot, a {to imenitelot vo dropkata 5? 8 Koj del e 1 cm od 1 m? Zapi{i 7 dl vo l. Zada~i 1. Zapi{i gi koli~nicite vo vid na dropki i pro~itaj gi. 7 : 9; 1 : ; : Zapi{i: a) cm vo dm; b) 8 cm vo m; v) 9 dl vo l; g)15 g vo kg... Zapi{i i pro~itaj tri dropki a, kade {to a, b {7, 9, 8, 105}. b Iskaì {to pokaùva imenitelot, a {to broitelot na dropkite: 5 1 ; 8 ; Nacrtaj kvadrat i {rafiraj go delot Zapi{i: a) 1 m vo cm; b) m vo dm; 5 v) l vo dl; g) 8 kg vo g Od 6 u~enici vo edno oddelenie 1 se odli~ni. Pretstavi go so dropka delot na odli~nite u~enici vo oddelenieto.. Koj del e: a) 1 dm od 1 m b) 1 cl od 1 l v) 1 g od 1 kg g) 1 dm od 1 m 8. Vo 8 ednakvi vre}i~ki ima vkupno 5 kg {e}er. Kolku kilogrami {e}er ima vo sekoja vre}i~ka?

135 VIDOVI DROPKI 15 Potseti se! 1 Zapi{i edno celo vo: polovini; Voo~i! tretini; sedmini. Kolku polovini ima edno celo? Kolku tretini ima edno celo? Kolku polovini ima vo: dve celi, pet celi? = 1, = 1, 7 = 1. 7 n Voop{to, za dropka n, so ednakov broitel i imenitel, kade {to n e priroden broj imame: n = n : n = 1, t.e. n = 1. n n Zapi{i go brojot 1 kako dropka: so imenitel 8; so broitel 1. Presmetaj gi koli~nicite: : 1; 9 : 1 i n : 1 (n e priroden broj) i pretstavi gi kako dropki. Ednakvo Zapi{uva{: 1 = : 1 = ; 9 = 9 : 1= 9; n = n : 1 = n. 1 1 Sekoj priroden broj n moè da se pretstavi kako dropka so broitel n i imenitel 1. Zapi{i go brojot 8 kako dropka so broitel 8. Zapi{i go brojot 15 kako dropka so imenitel 1. 5 Zapi{i dve celi kako dropka so imenitel tri. Sogledaj: = = + = 6. Moème da kaème deka dropkata 6 e ednakva na prirodniot broj. Ovoj na~in na zapi{uvawe priroden broj kako dropka so daden imenitel ne e prakti~en za pogolemi broevi. Voo~i go sledniot pokus na~in. Kako moè{ brojot 5 da go zapi{e{ vo vid na dropka so imenitel? Kolku ~etvrtini ima vo 5 celi? Vo 5 celi ima 5 ~etvrtini, t.e. 5 = 5 0 =.

136 16 Koj bilo priroden broj m moè da se zapi{e vo vid na dropka so imenitel priroden broj n. m = m n n 6 Pretstavi go brojot 8 vo pettini i brojot 1 vo sedmini. Na koja od slednite dropki ime nitelot e delitel na broitelot? Koja od niv e priroden broj: ; ; 15 ; 18 ; ; 5 1 ;? Zapomni! Dropkata a pretstavuva priroden broj ako b e delitel na a. b Dropkata so koja e pretstaven priroden broj se vika prividna dropka. 7 Koi od slednive dropki se prividni dropki: 1 ; ; 5 ; 6 ; ; 1 ; 5 ; ; 1? Sekoj priroden broj moè da se smeta za dropka. Ima dropki koi ne pretstavuvaat priroden broj. Spored toa, mnoès tvoto prirodni broevi e podmnoèstvo od mnoèstvoto dropki. 8 Na crteòt se formirani figuri od ednakvi delovi {to pretstavuvaat od eden krug. 1 I a) b) v) II g) d) ) e) Kolku ~etvrtini ima sekoja figura od prviot red? Kolku ~etvrtini ima sekoja figura od vtoriot red? Koi od figurite pretstavuvaat pomalku od edno celo, a koi pove}e od edno celo? Pretstvi gi so dropki figurite od prviot red. Sporedi gi broitelite so nivnite soodvetni imeniteli. [to zaklu~uva{?

137 Pretstavi gi so dropka figurite od vtoriot red. Sporedi gi broitelite so nivnite soodvetni imeniteli. [to zaklu~uva{? 17 Voo~i! Figurite od prviot red se pretstavuvaat so dropkite: a) 1, b) i v). roitelot na sekoja od ovie dropki e pomal od imenitelot, {to zna~i deka tie sodràt pomalku delovi otkolku {to ima edno celo. Tie dropki se pomali od 1. Takov vid se dropkite:, 7, 9 8, itn. Niv gi vikame pravilni dropki Zapomni za pravilni dropki: Vo koja bilo dropka a (a, b N), ako a < b, toga{ a < 1. b b Figurite od vtoriot red se pretstavuvaat so dropkite: g) 5, d) 6, ) 7 i e) 9. Na sekoja od ovie dropki broitelot e pogolem od imenitelot, {to zna~i, sodrì pove}e delovi otkolku {to ima edno celo. Tie dropki se pogolemi od 1. Od takov vid se dropkite: 9 11, 5, 8, itn. Niv gi vikame nepravilni dropki Zapomni za nepravilni dropki: Vo koja bilo dropka a (a, b N), ako a > b, toga{ a > 1. b b Dropkite pomali od 1 u{te se vikaat ~isti dropki, a dropkite pogolemi od 1 se vikaat ne~isti dropki. 9 Dadeno e mnoèstvoto M = { 1, 5, 5, 7, 5 1, } Zapi{i gi na tabelaren na~in mnoèstvata = {x x M i x < 1} i = {x x M i x > 1}. 10 Od koj vid e dropkata? Zapi{i ja dropkata kako zbir od polovini so dva sobiroka. Zapi{i ja dropkata kako zbir od polovini so tri sobiroka.

138 18 Prosledi go re{enieto Dropkata e pogolema od 1 i moè da se pretstavi kako zbir od polovini, t.e. = = Zbirot kratko se zapi{uva 1 1. Moème da zapi{eme = 1 1. Me{an broj sodrì celo i dropka. îtame: tri polovini e ednakvo na edno celo i edna polovina. Dropkite pogolemi od 1 zapi{ani so celo i ~ista dropka se vikaat me{ani broevi. V 11 Zo{to sekoja dropka pogolema od 1 moè da se zapi{e kako me{an broj? Dropkata 5 da ja zapi{eme kako me{an broj. Sledi go re{enieto: ko go podeli{ broitelot so ime nitelot, toga{ dobieniot koli~nik e celot del na me {aniot broj. Zo{to? : 5 = 6; -0 Dobieniot ostatok e broitel na dropkata pomala od 1, a imenitelot ostanuva ist. 5 = : 5 = = 6 5 ; 5 =6 5 1 Zapi{i ja dropkata vo me{an broj: a) 6 b) 8 15 v) 8 g) 80 d) 1 ) Me{an broj moè da se zapi{e kako dropka. Sledi go re{enieto Me{aniot broj da go zapi{eme kako dropka. Da opredelime kolku ~etvrtini sodrì me- {aniot broj. Kolku ~etvrtini sodràt celi? Dropkata pomala od 1 sodrì u{te ~etvrtini. = + = 11 ~etvrtini + ~etvrtini

139 Me{an broj se pretstavuva kako dropka taka {to imenitelot se mno`i so celoto i toj broj se dodava na broitelot. Toj broj se zapi{uva za broitel, a imenitelot ostanuva ist. 1 Me{anite broevi: 5, 9, 8 zapi{i gi vo vid na dropka Treba da znae{! Da gi prepoznava{ vidovite dropki: dropki pomali od 1 (pravilni dropki), dropki pogolemi od 1 (nepravilni dropki), prividni dropki i me{anite broevi. Da zapi{e{ priroden broj vo vid na dropka so odreden imenitel. Da pretstavi{ dropka pogolema od 1 vo me{an broj i obratno. Zada~i Proveri se! Koja od slednite dropki:,, 6, 9, 8 9, 9 e pomala od 1, pogolema od 1, pri - 10 vidna dropka? 1 Kolku celi ima dropkata? Zapi{i ja kako me{an broj. Kolku pettini ima vo? Zapi{i go 5 me{aniot broj vo vid na dropka. 1. Sekoj od prirodnite broevi:, 5, 7, 8 i 11 zapi{i go vo vid na dropka so imenitel: a) 1; b) ; v) 7.. Zapi{i dve dropki pogolemi od 1 so broitel 1.. Kolku dropki pomali od 1 mo`e{ da zapi{e{ so imenitel 5, a broitel priroden broj? 5. Pretvori gi vo me{ani broevi dropkite: 8, 17, 1, 9, Zapi{i dve dropki pomali od 1 so imenitel Pretvori gi vo dropki me{anite broevi: 1 8, 8, 1, Dosetka! Edno pole go zafatila poplava so voda i sekoj den bilo poplavuvano dvojno pove}e otkolku vo prethodniot den. [estiot den bilo poplaveno celoto pole. Na krajot od koj den bilo poplaveno polovina od poleto?

140 10 PRETSTVUVWE DROPKI N ROJN PRV. EDNKVOST N DROPKI Potseti se! Na crteòt e nacrtana pravata p i na nea ozna~i dve to~ki i. p 0 1 Koj broj e pridruèn na to~kata, a koj na to~kata V? Na crteòt e opredelen brojna prava so edine~na otse~ka = 1. 1 Nacrtaj brojna prava so edini~na otse~ka cm. Na brojot pridruì ja to~kata C. Na brojot 5 pridruì ja to~kata D, a na brojot 7 to~kata E. Odredi ja dolìnata na otse~kata CE. Kolku pati treba da ja prenese{ edi - ni~nata otse~ka za da odredi{ to~ka za brojot 1? Sekoj priroden broj moè da se pretstavi na brojna prava. Nacrtaj otse~ka so dolìna 6 cm. Na otse~kata odredi to~ka C taka {to C =. Odredi ja dolìnata na otse~kata C. Razgledaj go crteòt! Otse~kata e podelena na dela. Sekoj del ima dolìna cm, a otse~kata C ima takvi dela. C = cm. C Kako }e ja odredi{ to~kata D, taka {to D = 1. Odredi ja dolìnata na otse~ - kata D? Dropkite, kako i prirodnite broevi, moàt da se pretstavuvaat na brojna prava. Pretstavi ja dropkata 1 na brojnata prava p. Voo~i deka dropkata 1 e pomala od 1. Kade se nao a dropkata 1 na brojnata prava p? Edini~nata otse~ka od 0 do 1 treba da ja po - deli{ na ednakvi dela. Na krajot od prviot del e to~kata M i na nea e pridruèna dropkata 1. Na brojnata prava pretstavi gi dropkite 1 i. p C 0 1 Dropkata 1 se nao a na otse~kata V. p M C 0 1 1

141 10 Na brojna prava so edini~na otse~ka cm pretstavi ja dropkata. 11 Vo postapkata odgovori na barawata. Nacrtaj brojna prava i na nea odredi to~ki so broevite od 1 do Zapi{i ja dropkata 10 vo me{an broj. Pome u koi broevi }e bide dropkata? Me u koi broevi otse~kata }e ja podeli{ na dela? Kolku delovi }e odvoi{ za da 10 odredi{ to~ka za dropkata 11? Na istata brojna prava pretstavi gi dropkite i. 5 Milica kupila 1 od pita burek, a Teuta od pita burek so ista golemina. 8 Koja od niv kupila pogolem del od pita burek? Postapi spored barawata. Pretstavi gi dvete piti burek so dva kruga so ednakvi radiusi (kako na crteòt). Edniot krug podeli go na dela, a drugiot na 8 dela. Od prviot krug oboj 1, a od vtoriot. Moàm da zaklu~am! 8 1 Sporedi gi oboenite delovi. = Milica oboila delovi na tri ednakvi lenti, a Jovan delovi na tri ednakvi kvadrati. Milica Jovan Na kolku delovi e podelena sekoja od lentite? Na kolku delovi e podelen sekoj od kvadratite? Koj del od sekoja lenta, odnosno sekoj kvadrat e oboen? Sporedi gi oboenite delovi na lentite, odnosno na kvadratite. Oboenite delovi od lentite se ednakvi i dropkite 1, i se ednakvi. 8 Spored toa moème da zapi{eme: 1 = ; 1 = ; =. 8 8

142 1 Oboenite delovi na kvadratite se ednakvi. Spored toa: = 6 = =, vaì: 1 = Da zapomnam! Kaj ednakvite dropki vaì: ako pomnoì{ vkrsteno =, vaì: 8 = ; }e dobie{ ednakvi proizvodi. 8 =, vaì: 6 = ; = 6. Proveri i zapi{i Praviloto vaì za koi bilo ednakvi dropki a i c, t.e. a = c, ako vaì a d = b c. b d b d 7 Koi od slednive dropki se ednakvi: a) i 6 ; b) i 6 11 ; v) i 80 ; g) 90 i? Treba da znae{! Da nacrta{ brojna prava so dadena edini~na otse~ka; da pretstavuva{ dropki na brojna prava; da odredi{ dali dve dropki se ednakvi so pomo{ na praviloto za ednakvost na dropki. Zada~i 1. Koi dropki odgovaraat na to~kite, i C od brojnata prava? C Sogledaj go praviloto {to vaì kaj ednakvite dropki. Nacrtaj brojna prava so edini~na otse~ka cm i na nea pretstavi gi broevite a) 5; b) 7; v) ; g) 6 1. Nacrtaj brojna prava so edini~na otse~ka cm i na nea pretstavi gi dropkite, 9, 9, 7. 8 Proveri se! Koi dropki odgovaraat na to~kite, i C na brojnata prava? C 0 1 Nacrtaj brojna prava so edini~na otse~ka 1 cm i na nea odredi to~ka {to odgovara na dropkata 7. Koj broj treba da bide zapi{an vo kvadrat~eto za da bidat ednakvi dropkite = 6?. 5. So koristewe na praviloto za ednakvost na dropki odredi go x za dropki - te da bidat ednakvi a) = x ; b) 7 5 = ; v) = x 10 ; g) 100 =. 1 x x 6. Koi od slednite dropki se ednakvi: 1 i 5, 1 i 9, 7 8 i ; 9 7 i? Na brojna prava pretstaveni se broevite i 1. Pretstavi gi brevite: 5 ; 1 17 i. 1

143 SOIRWE I ODZEMWE N DROPKI SO EDNKVI IMENITELI 1 Potseti se! iljana i Sa{ko razdelile eden krug na ednakvi delovi. iljana oboila 1 od krugot, a Sa{ko od istiot krug. Koj del od krugot oboile iljana i Sa{ko zaedno? Nacrtaj krug i zapi{i gi oboenite delovi. 1 Najdi go zbirot na dropkite i 5. 5 Voo~i kako }e go objasnime sobiraweto na dropki so ednakvi imeniteli so pomo{ na distributivnoto svojstvo na deleweto vo odnos na sobiraweto. Raboti spored slednite postapki i spo redi go re{enieto. Presmetaj 1 +. Presmetaj kolku pove}e oboil Sa{ko, t.e Primeni go distributivnoto svojstvo na deleweto vo odnos na sobiraweto (1 + 9) : =. Primeni go distributivnoto svojstvo na izrazot ( + ) : 5 = Promeni gi stranite na dobienoto ravenstvo. Zapi{i gi koli~nicite vo vid na dropka. Presmetaj go zbirot i pretstavi go vo me{an broj. ( + ) : 5 = : 5 + : 5 : 5 + : 5 = ( + ) : = 5 = = = Razgledaj go crte`ot i objasni kako e pretstaven zbirot + na brojnata prava = Da zapomnam: Dropki so ednakvi imeniteli se sobiraat vaka: a b a + b + =, c c c a, b, c N, t. e. zbirot od broitelite se pi {uva za broitel, a imenitelot ostanuva ist. Odredi go zbirot

144 1 Voo~i deka zbirot mo`e da se presmeta na dva na~ina. I na~in II na~in Zapi{i go me{aniot broj kako zbir od celite i dropkata pomala od 1. 5 Vo izrazot odredi go zbirot na dropkite pomali od Zapi{i go zbirot + vo me{an broj. 5 Pretvori go me{aniot broj vo dropka pogolema od Odredi go zbirot Zapi{i go zbirot vo me{an broj. 5 Odredi go zbirot + 1 na dva na~ina Odredi go zbirot na dropkite: a) ; b) + 5 ; v) Eden traktorist za eden ~as izoral 8 od edna niva, a vtoriot ~as izoral od 0 0 nivata. Koj del od nivata izoral traktoristot za dvata ~asa? Koj del od nivata ostanal neizoran? 7 Koja dropka treba da se zapi{e namesto x za da va`i: 7 = 5 + x? 9 9 Voo~i! Na dropkata 5 treba da se dodade dropkata za da se dobie dropkata Dropkata e razlika na dropkite 7 i 5 ; zapi{uvame: 7-5 = 7-5 = Da zapomnam: Dropki so ednakvi imeniteli se odzemaat vaka: a - c = a- c, a > c, b b b t.e. razlikata na broitelite se zapi{uva za broitel, a ime nitelot ostanuva ist.

145 11 8 Presmetaj ja razlikata: a) ; b) 11 - ; v) Dolìnata na ednata strana na eden pravoagolnik e 5 cm, 5 a dolìnata na sosednata strana e za 1 cm pomala. 5 Odredi ja dolìnata na sosednata strana. Odredi go perimetarot na pravoagolnikot Treba da znae{! Da odredi{ zbir na dropki so ednakvi imeniteli; da presmeta{ razlika na dropki so ednakvi imeniteli. Zada~i Proveri se! Odredi go zbirot, a potoa zapi{i go vo me{an broj Koj broj e za pomal od brojot? Presmetaj: a) b) v) g) Presmetaj: a) - b) - v) g) Eden bazen se polni od tri cevki. Za 1 eden ~as prvata cevka polni od 1 5 ba zenot, vtorata, a tretata od 1 1 ba zenot. Koj del od bazenot }e go napolnat trite cevka za eden ~as? Koj del od bazenot }e ostane ne napolnet? d) Zbirot na broevite 5 1 i namali go za 5. 7 Eden u~enik prviot den pro~ital od 10 5 edna kniga, a vtoriot den od is ta - 10 ta kniga. Koj del od knigata pro~ital za dvata dena? Koj del od knigata mu ostanal nepro~itan po vtoriot den? 7 Sa{ko ima 10 godini, a iljana go dini. Kolku godini }e ima Sa{ko po godini? Za kolku godini }e bide postara 5 iljana od Sa{ko po godini? 1 5 1

146 16 5 PRO[IRUVWE I SKRTUVWE N DROPKI Potseti se! Koj broj treba da se zapi{e vo kvad - rat~eto za da bide to~no ravenstvoto. 1 : 5 = (1 ) : (5 ). Koe svojstvo na deleweto e primeneto? Proveri dali dropkite se ednakvi: i ; i ; 1 Voo~i gi kvadratite so edna - kvi strani. Na edniot kvadrat 6 oboeniot del e, a na drugiot. 8 Sporedi gi oboenite delovi. 6 6 Sogleda deka oboenite delovi se ednakvi, t.e. =. Isto taka =, 8 8 bidej}i 8 = 6. Moè{ da voo~i{ deka 6 =. Od toa i od = se dobiva deka =. roitelot i imenitelot na dropkata vrednost ne se promeni. se pomnoèni so, a nejzinata 5 roitelot i imenitelot na dropkata pomnoì gi so:, i. Proveri dali 6 5 dobienite dropki se ednakvi so dropkata Voo~i deka = =. Ova ravenstvo vaì bidej}i 5 1 = 6 10; = =. Ova ravenstvo vaì bidej}i 5 18 = Sogledanoto svojstvo na dropkite moè{ da go objasni{ od svojstvoto na deleweto a a n a : b = (a n) : (b n). Spored toa: = ; a, b, n N. b b n Vaì op{to! ko broitelot i imenitelot na edna dropka se pomnoàt so eden ist broj, razli~en od nula, se dobiva dropka ednakva na dadenata. Ovaa postapka se vika pro{iruvawe na dropkite. Pro{iri gi dropkite: a) 5 7 so ; b) so ; v) so

147 roitelot i imenitelot na dropkata podeli gi so Proveri dali dobienata dropka e ednakva so dropkata. 6 : Presmeta deka =, t.e. =. Ova ravenstvo vaì bidej}i = 6. 6 : 6 roitelot i imenitelot na dropkata se podeleni so ist broj, a nejzi - 6 nata vrednost na se promeni roitelot i imenitelot na dropkata podeli gi so nivniot zaedni~ki delitel. 0 Proveri ja ednakvosta na dadenata i dobienite dropki. Sogledanoto svojstvo na dropkite moè{ da go objasni{ od svojstvoto na deleweto za nepromenlivosta na koli~nikot, t.e. a : b = (a : n) : (b : n) kade a, b, n se prirodni broevi i n e delitel na a i b. Spored toa: =. a a : n b b : n Vaì op{to! 6 ko broitelot i imenitelot na edna dropka se podelat so nivniot zaedni~ki delitel (pogolem od eden), toga{ se dobiva dropka ednakva na dadenata. Ovaa postapka se vika skratuvawe na dropkite. Dropkata 6 60 skrati ja postapno so zaedni~kite deliteli na broitelot i imenitelot. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. 6 6 : 18 : 9 : = = = = : 0 : 15 : 5 6 Odredi go najgolemiot zaedni~ki delitel za broitelot i imenitelot na dropkata. 60 Skrati ja dropkata so NZD(6, 60). Presmeta deka NZD(6, 60) = 1. 6 = 6 : 1 = : 1 5 Dropkata ne moè da se skrati, bidej}i broitelot i imenitelot na dropkata se 5 zaemno prosti broevi. Vakva dropka se vika neskratliva dropka. Voo~i deka edna dropka moè{ postap no da ja skrati{ do neskratliva dropka so zaedni~kite deliteli na nejziniot broi tel i imenitel ili poednostavno, broi telot i imenitelot da gi podeli{ so nivniot NZD. Da zapomnam! Skratuvaweto na dropkite se vr{i do neskratliva dropka.

148 18 7 Skrati gi dropkite: a) 1 ; b) 5 ; v) 7 ; g) Treba da znae{! Da pro{iruva{ dropki; da skratuva{ dropki; koja dropka e neskratliva. Zada~i Pro{iri ja so i so 5 dropkata: a) ; b) ; v) ; g) Proveri se! Zapi{i gi dropkite 1 i vo: 5 a) desetinki; b) stotinki. Odredi go x vo ravenstvoto so pomo{ na 1 x skratuvawe na dropki. =. 18 Vo zapisot x odredi go x za dropkata da bide neskratliva i pomala od Koristej}i go svojstvoto za skratuvawe i pro{iruvawe na dropki, odredi go x. a) x 0 = ; b) 7 = x ; v) 8 = ; g) 11 = x 17 x. Napi{i tri dropki ednakvi na dropkata Dropkite i 5 pro{iri gi taka 6 {to da imaat ist imenitel Kolku stotinki ima sekoja od dropkite ; 17 ; ; ; 9? Koi od slednive dropki se neskratlivi ; 17 ; 1 ; 9 ; ; 111? Skrati gi dropkite: 5 ; 8 6 ; ; ; Skrati ja dropkata : 16 a) postapno; b) so NZD(90, 16). Problemi! Vo edna kofa imalo voda, a vo druga vino. Napolneta e ~a{a od kofata so vino i e sipana vo kofata so voda, a potoa istata ~a{a e napolneta od kofata so me{avinata od voda i vino i e sipano vo kofata so vino. [to ima pove}e, voda vo kofata so vino ili vino vo kofata so voda? Milica i Jovan imale vkupno 909 denari. Koga Milica potro{ila od nejzinite pari, a Jovan potro{il 5 od negovite pari, toga{ i na dvajcata im ostanale ista suma pari. Po kolku denari imale na po~etokot?

149 6 DECIMLN DROPK. DECIMLEN ROJ 19 Potseti se! Kako se vikaat broevite: 1, 10, 100, 1 000,...? So koi merni edinici merime dol`ina, a so koi masa? Zapi{i gi slednite pogolemi merni edinici vo pomali: 1 dm vo cm; 5 m vo dm; 8 dag vo g; 1 m vo cm; 7 m vo cm; 1 kg vo g; 9 km vo m. 1 Zapi{i gi slednite pomali merni edinici kako de lovi od pogolemite: 1 cm vo dm; 5 dm vo m; 8 g vo dag; 1 cm vo m; 7 cm vo m; 1 g vo kg; 9 m vo km. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto: cm = dm; 5 dm = m; 8 g = dag; 1 cm = m; 7 cm = m; g = kg; 9 m = km Voo~i i zapomni! Mernite broevi so koi se izrazeni pomalite merni edinici vo pogolemi se dropki. Imenitelite na ovie dropki se dekadnite edinici: 10, 100, 1 000,... Dropkite: 1, 5, 8, 1, 7, 1, 9,... na koi imenitelite se dekadni edinici se vikaat decimalni dropki. Decimalna dropka mo`e skrateno da se zapi{e bez imenitel vo zapis nare~en decimalen zapis ili decimalen broj. Razgledaj gi primerite! Decimalna dropka Se zapi{uva vo decimalen broj Se ~ita decimalniot broj ,1 Nula celi i 1 desetinka ,5 Nula celi i 5 desetinki ,01 Nula celi i 1 stotinka , Edno celo i desetinki

150 150 U{te nekolku primeri: Dropkata Dropkata = = + = sodr`i desetinki i 5 stotinki, t.e. 5 stotinki. se zapi{uva 0,5 i se ~ita nula celi i 5 stotinki = = + = sodr`i stotinki i 9 iljadinki ili 9 iljadinki. se zapi{uva 0,09 i se ~ita: nula celi i 9 iljadinki. 100 = se zapi{uva, i se ~ita celi i stotinki se zapi{uva,07 i se ~ita celi i 7 stotinki. 100 Voo~i go i zapomni go na~inot na zapi{uvawe na decimalna dropka vo decimalen broj. Decimalnite dropki 17 i 9 da gi zapi{eme kako decimalen broj Postapka Za: Prvo se zapi{uvaat celite. Se zapi{uva zapirka, koja se vika decimalna zapirka.,, Se zapi{uva broitelot na decimalnata dropka, ako toj ima tolku cifri kolku {to ima nuli vo imenitelot. Vo vtorata dropka pred broitelot zapi{uvame dve nuli. roi telot treba da ima tolku cifri kolku {to ima nuli imenitelot. 17 =,17; 9 =, ,17,009

151 Zapi{i gi kako decimalni broevi slednite decimalni dropki: ; 5 ; 9 ; 79 ; Da zapomnam! Sekoja decimalna dropka mo`am da ja zapi{am kako decimalen broj. 151 Decimalnata zapirka go deli decimalniot broj na dva dela. Delot pred zapirkata se celite. Delot po zapirkata se vika decimalen del. Mestata na cifrite vo decimalniot del se vikaat decimalni mesta, a cifrite se vikaat decimali. Decimalniot broj,1 ima celi i dve decimali. desetinki stotinki, 1 celi decimali Zapi{uvaweto na decimalnite broevi e prika`ano vo slednata tabela, na primerot 1 17 = 1, KLS ILJDI KLS EDINICI SI DI EI S D E CEL DEL 1, DESETINKI DECIMLN ZPIRK STOTINKI ILJDINKI DESET- ILJDINKI DECIMLEN DEL STO- ILJDINKI MILIONINKI Pro~itaj gi slednite decimalni broevi: 0,5 ;,1 ;,0 ; 17, ,5 : nula celi i 5 desetinki;,1 : tri celi i 1 stotinki; 17,005 : sedumnaeset celi i pet iljadinki. Zapi{i go decimalniot broj,5 kako decimalna dropka. Voo~i ja postapkata: Pro~itaj go i zapi{i go so zborovi brojot,5.

152 15 Treba da dobie{: Treba da dobie{: Tri celi i 5 stotinki. Dobieniot tekst zapi{i go kako decimalna dropka Da zapomnam: Decimalen broj se zapi{uva vo decimalna dropka spored pravilnoto ~itawe. Voo~uva{ deka: Decimalen broj se zapi{uva vo vid na decimalna dropka na sledniot na~in: Celite od decimalniot broj se zapi{uvaat za celi na dropkata. Decimalniot del se zapi{uva za broitel na decimalnata dropka. Za imenitel se zapi{uva dekadna edinica so tolku nuli kolku {to ima decimali. Re{eni primeri: 5 0,5 = ; 10 1, = 1 ; ,017 = 1 ; Treba da znae{! Decimalen broj e poseben zapis na decimalna dropka; da zapi{e{ decimalna dropka vo decimalen broj i obratno; pravilno da ~ita{ decimalni broevi. Proveri se! Zapi{i i pro~itaj decimalen broj koj ima celi i 105 za decimalen del. Zapi{i 7 vo decimalen broj i 0, vo decimalna dropka. Zada~i 1. Koi od slednite dropki se decimalni dropki: a) ; b) ; v) ; g) ; d)? Zapi{i gi decimalnite dropki vo decimalni broevi: a) ; b) ; v) 11 ; g) Zapi{i tri decimalni dropki so broitel 1, a razli~ni imeniteli. 5. Pro~itaj gi decimalnite broevi: a),0; b) 1,015; v) 0,005.. Kolku celi i kolku decimali ima decimalniot broj: a) 6,08; b),001; v)18,05? 6. Zapi{i gi vo decimalni dropki sled - nite decimalni broevi: a) 0,; b) 1,05; v),00; 1,0017.

153 7 SVOJSTV N DECIMLNITE ROEVI 15 Potseti se! Dropkata pro{iri ja so 10, a 10 potoa so 100. Dropkata 0 skrati ja so Moè{ da zapi{e{: 10 1 Dropkata pro{iri ja so 10, i Treba da go dobie{ slednoto re{enie: 10 0 = = ; = = ; Zapi{i gi decimalnite dropki vo deci - malni broevi = = =, t.e. 0, = 0,0 = 0,00 = 0, Voo~i! Decimalnite broevi se ednakvi, a se razlikuvaat po toa {to od desnata strana imaat po edna ili pove}e nuli. Toa e edno svojstvo na decimalnite broevi. Decimalniot broj ne se menuva ako od desnata stra - na mu se dopi{at kolku bilo nuli. Decimalnite broevi zapi{i gi taka {to da imaat ist broj decimali: a) 0,8 ;,5 ; 8,05 ; 6,08; b), ; 0,0 ;,01 ; 5,07. rojot 5 zapi{i go vo vid na dropka so imenitel 1. Taa dropka pro{iri ja so 10, 100 i Dobienite dropki zapi{i gi vo decimalni broevi. Voo~uva{ deka: 5 = = 50 = 5,0; = = 5,00; = = 5, Toa {to go voo~i za brojot 5, vaì za koj bilo priroden broj. Sekoj priroden broj moè da se zapi{e kako decimalen broj na toj na~in {to se oddeluva so zapirka i se dopi{uvaat nuli kako decimali.

154 15 Zapi{i gi prirodnite broevi 6, 1 i 15 kako decimalni broevi a) so edna decimala; b) so dve decimali Decimalnata dropka skrati ja so Dadenata i skratenata dropka zapi{i gi kako decimalni broevi. Si go dobil re{enieto: Voo~i ja istata postapka za dropkata = 80 : 10. = 8 ; 0,80 = 0, : = 00 : 100. = ;,00 =, : Decimalen broj koj oddesno ima nuli, ne se me - nuva, ako tie se izostavat. 6 Izostavi gi nulite, taka {to decimalnite bro - evi da ne ja promenat vrednosta: a),90; b) 0,0500; v) 1,000; g) 8,10000; d) 7,0. Treba da znae{! Dali }e se promeni decimalniot broj ako od desnata strana mu dopi{e{, odnosno izostavi{, edna ili pove}e nuli; da zapi{e{ priroden broj vo decima - len. Proveri se! Zapi{i gi broevite 1, ; 15 i 0,0 so tri decimali. Izostavi gi nulite vo broevite, a niv - nata vrednost da ne se promeni. a),050; b) 1,00; v) 0,1000. Zada~i 1. roevite: 1,00; 0,5; ; zapi {i gi so dve decimali.. roevite; 8; 1,;,5 zapi{i gi taka {to da imaat po tri decimali... Dali }e se promeni vrednosta na bro - jot 1,05 ako se izostavi nulata i se zapi{e 1,5? Vo decimalnite broevi: 0,5000; 0,500; 1,0000 izostavi gi site nuli, a tie da ne ja promenat vrednosta. Problem! ratot i sestrata imaat ist broj orevi. ratot dal na sestrata ~etiri orevi. Kolku orevi ima sestrata pove}e od bratot?

155 8 PRETSTVUVWE N DECIMLNITE ROEVI N ROJN PRV. SPOREDUVWE N DECIMLNITE ROEVI 155 Potseti se! Pretstavi go na brojna prava brojot. Kako se sporeduvaat prirodnite broevi: a) so razli~en broj cifri; b) so ist broj cifri? Decimalnite dropki: 8 1, i 0 pretstavi gi na brojna prava. 100 Razgledaj go re{enieto! Voo~i! 0 0,8 1 1,, Decimalnite broevi gi pretsta vu vame na brojna prava na ist na~in kako i dropkite. 8 Decimalniot broj 0,8 go zapi{uvame kako decimalna dropka, t.e. 0,8 =. 10 Rasto ja nieto od 0 do 1 go delime na 10 ednakvi delovi i decimalniot broj 0,8 go pridru ùvame na to~kata {to go ozna~uva osmiot del. Koe rastojanie go delime na 10 ednakvi delovi za da go pretstavime decimalniot broj 1? Kako }e ja odreduvame to~kata {to mu odgovara? Dropkata moè da se skrati so 10, t.e. =. Kako }e ja odredime to~kata na brojnata prava {to mu odgovara na brojot? 100 Odredi to~ki na brojnata prava (,V i S), na koi im se pridruèni deci - malnite broevi: 0,; 1,9 i,00. Moàm da zaklu~am! Sekoj decimalen broj moè da se pretstavi na brojna prava. Na brojnata prava se dadeni to~kite, V, S i D. Odredi go brojot {to moè da C D se pridruì na sekoja od to~kite. 0 1 Decimalnata dropka 1 pro{iri ja so 10. Potoa, dropkata pro{iri ja so 10 i dropkata 1 pro{iri ja so Dobienite dropki od pro{iruvaweto zapi{i gi vo decimalni broevi.

156 156 Razgledaj go re{enieto i voo~i go toa {to e zaklu~eno = ; = ; =, t.e. 0,1 = 0,10; 0,01 = 0,010; 0,001 = 0, Edna desetinka ima 10 stotinki; edna stotinka ima 10 iljadinki itn. Op{to Pozi ci onata vrednost na sekoja ci fra vo deci mal niot del e 10 pati pogolema od pozi cio na ta vrednost na cifrata zad nea. Toa {to go zaklu~i, koristi go za sporeduvawe na decimalni broevi. 5 Sporedi gi decimalnite broevi: a) 7, i 9,; b) 1,8 i 1,; v) 15,69 i 15,8. Pri sporeduvawe na dva decimalni broja prvo se sporeduvaat celite. roevite 7, i 9, imaat razli~ni celi, t.e. 9 > 7, spored toa 9, > 7,. Kaj broevite koi imaat isti celi, se sporeduva decimalniot del. roevite 1,8 i 1, imaat isti celi, no razli~en decimalen del, t.e. 8 >. Spored toa 1,8 > 1,. rojot 15,8 ima pogolem decimalen del od brojot 15,69, bidej}i 8 stotinki e 80 iljadinki, a 80 > 69. Spored toa, 15,8 > 15,69. 6 Sporedi gi decimalnite broevi: a) 18, i 19,15; b) 5,6 i 5,9; v),1001 i,101. Treba da znae{! Da pretstavuva{ decimalni broevi na brojna prava; od decimalnite broevi {to imaat razli ~ ni celi, pogolem e onoj {to ima pogolem broj celi; ako decimalnite broevi {to se sporedu vaat imaat isti celi, pogolem e onoj {to ima po golem decimalen del; ako dva decimalni broja imaat isti celi i ednakov decimalen del, toga{ tie se ednakvi. Zada~i Proveri se! Na brojna prava pretstavi gi decimalnite broevi 0,5 i 1,00. Sporedi gi decimalnite broevi: a) 5,9 i 6,; b) 17,00 i 17, 0; v) 1,101 i 1, Pretstavi gi na brojna prava slednite. 0 broevi: 0,6; 1,7;. 100 Sporedi gi broevite:,01 i 1,86; 6,9 i 6,17; 9,11 i 9,101; 0,101 i 0,108.

157 . Podredi gi po golemina (po~-. nuvaj}i od najmaliot) broevite: 0,05; 0,050; 5; Na brojnata prava, na to~kata e pri dru`en brojot 11,10, a na to~kata V brojot 11,10. Koja od ovie to~ki e poblisku do to~kata na koja odgovara brojot 100? 157 Problem! Koj znak treba da se postavi me u broevite i za da se dobie broj pogolem od, a pomal od? S O R O T P O D T O C I 9 VIDOVI DIJGRMI. IZOR N DIJGRM 1 Maja i na imaat zelen~ukovi gradini ednakvi po golemina. Sekoja posadila vo gradinata domati, piperki i zelka. Vo tabelata se dadeni podatocite za delot od gradinite zasaden so razli~en vid zelen~uk. Zelen~uk Domati Piperki Zelka Zelen~ukovi gradini Gradinata na Maja Gradinata na na Kolkav del od gradinata na Maja bil posaden so zelen~uk? Kolkav del od gradinata na na bil posaden so zelen~uk? Kolkav del od dvete gradini ostanal neposaden? Vo ~ija gradina neposadeniot del e pogolem? Prvo pretstavi gi podatocite na stolbesti dijagrami. Skalite na dijagramite neka se: edno celo podeleno na 10 ednakvi delovi i edno celo podeleno na 1 ednakvi delovi; Formiraj gi stolbovite, no vnimavaj: = Vo tabelata se dadeni podatoci za tempera turite vo 5 dena, mereni tripati na den.

158 158 Vo VI oddelenie vo edno u~ili{te ima u~enici. Odgovorite na pra {a weto za omileniot vid hrana se zapi{ani vo tabelata. Omilena hrana Vid na roj na Del od hrana u~enici celoto Zelen~uk 16 1 Ovo{je 8 1 Meso 8 1 Koja e prose~nata temperatura vo ponedel nik? Koj den i vo kolku ~asot tempe ratura - ta e najvisoka? Kolkava e prose~nata temperatura vo pette dena napladne? Koj den ima najgolema temperaturna razlika? Dijagramot prikaàn na crteòt se vika sektorski dijagram. Sektorskiot dijagram pokaùva soodnos me u delovite od celoto. So pomo{ na sektorski dijagram pretstavi gi podatocite: Vo edna paralelka ima 8 u~enici. Sok od limon sakaat od u~e ni - cite, a od borovinki sakaat 1 od u~nicite. Temperaturi vo 5 denovi Denovi 7 ~asot 1 ~. 19 ~. Ponedelnik 18 o S o S o S Vtornik o S 9 o S o S êtvrtok 15 o S 17 o S o S Petok 17 o S o S 0 o S Nedela o S 8 o S 5 o S Site u~enici pretstavuvaat edno celo. (Pretstavi go so krug, kako na crteòt.) Podeli go krugot na polovini. Oboj ja ednata polovina zeleno, a drugata podeli ja na dva ednakvi delovi (~e tvrtini). Oboj gi ~etvrtinite. So koja boja e oboen delot od u~enicite {to sakaat zelen~uk? 1 Zelen~uk 1 Ovo{je 1 Meso Omilena hrana na u~enici Za vreme na eden izlet 1 od u~eni ci - 6 te igrale krienka, od u~enicite 6 igrale fudbal, 1 tr~ale niz {umata, 6 a ostanatite sobirale {umski plodovi. So dijagrami se pretstavuvaat podatoci na razni na - ~ini. Dijagramite se lesni za ~itawe i ra zbi rawe. Ima razni vidovi dijagrami: stolbest, slikoven, sektorski, a sekoj od niv ima prednosti i nedo sta - toci. Voo~i! Ova e interesno! ko saka{ pove}e da znae{.

159 roj na u~enici F K R G Omilen sport F K R G Sport F - fudbal; K - ko{arka; R - rakomet; G - gimnastika Kompjuter Sport Eden znak îtawe Omilen sport Film Muzika ozna~uva u~enika Sektorski dijagram Prednosti: Stolbest dijagram Prednosti: lesno se ~itaat podatocite; ednostavno se sporeduvaat goleminite. 159 Nedostatoci: ako stolbovite se so bliska golemina te{ko se ~itaat podatocite; zavisno od skalata moè da se dobie pogre{en vpe~atok na golemite razliki. Slikoven dijagram Prednosti: lesno se ~itaat podatocite; ednostavno se sporeduvaat. Nedostatoci: Za da se pokaè to~en broj mora da se koristat delovi od simboli i znaci; za da se utvrdi to~en broj mo ra da se presmetuva. odli~no se sporeduvaat celoto i delovi od celoto. Nedostatoci: te{ko e da se koristi koga delovite od celoto se mali. 5 Vo tabelata se dadeni podatocite za toa kako Miki go pominuva vremeto vo eden den ( ~asa). Denot na Miki Denovi Vreme vo ~asovi U~ili{te 6 U~ewe Spiewe 9 Jadewe Igrawe Pretstavi gi podatocite so stolbest dijagram. Pretstavi gi podatocite so slikoven dijagram kade {to pretstavuva ~asa. Obidi se podatocite da gi pretstavi{ na sektorski dijagram. 6 Zapi{i gi prednostite i nedostatocite na sekoj od na~inite na koj se pretstaveni podatocite za toa kako Miki go pominuva vremeto.

160 SOIRWE N DECIMLNI ROEVI Potseti se! Pretstavi gi kako decimalni broevi dropkite: 156, i rojot 07,018 zapi{i go vo tabela. EI S D E, d s i di si Kolku centimetri ima vo m? Kolku ima vo m? kolku ima vo: a),5 m? b),6 m? v),58 m? 1 Mimoza kupila,7 m crvena lenta i 1,5 m sina lenta za pa kuvawe na novo - godi{ni po daroci. Kolku metri lenta vkupno kupila Mimoza? Treba da presmeta{:,7 m + 1,5 m Raboti spored slednite barawa i voo~i go re{avaweto. Pretstavi gi mer ni - te broevi kako de - cimal ni dropki. Odredi go nivniot zbir. Zbirot pretstavi go kako decimalen broj. Voo~uva{ deka: 7,7 = ; = =,89 100,7 + 1,5, ,5 = Voo~i go re{avaweto na zada~ata na drug na~in. Pretvori gi metrite vo centimetri Odredi go zbirot na dol`inite na lentite (vo centimetri) Pretvori go zbirot vo metri Voo~i i zapomni!,7 m = 7 cm; 1,5 m = 15 cm 7 cm + 15 cm 89 cm 89 cm =,89 m Poprakti~no Decimalni broevi se sobi - raat kako {to se sobiraat i prirod ni broevi. Pritoa treba deci malnite zapirki vo sobirocite i vo zbi rot da bidat na ista ver ti kal - na prava. + E, d s, 7 1, 5, 8 9 Edinici pod edinici Desetinki pod destinki, stotinki pod stotinki

161 Prakti~no Za da presmeta{ zbir na decimalni broevi treba da gi zapi {e{ eden pod drug, i toa: celi pod celi (edinici pod edinici, desetki pod desetki itn.); decimali pod decimali (desetinki pod desetinki, sto tinki pod stotoinki itn.); decimalnite zapirki na sobirocite i na zbirot da bidat na ista vertikalna prava; cifrite na zbirot odredi gi na ist na~in kako koga sobi ra{ prirodni broevi. Voo~i kako e presmetan zbirot na broevite,6 i 5,91. Na prakti~en na~in presmetaj: 1,6 + 0, D E, d s i, 6 5, , 5 1 1,6 + 5,91 8,51 Poprakti~no 161 vtobus prviot ~as pominal 6, km, vtoriot ~as po - minal,6 km pove}e od prviot ~as. Kolku kilometri pominal avtobusot za dvata ~asa? Potseti se! Proveri dali e to~no: = 8 + 6; = ; = ; (7 + 56) + = 7 + (56 + ). Koi svojstva na sobiraweto na prirodni broevi gi iskoristi? Pretstavi go kako decimalen broj brojot 15. Proveri dali e to~no: 0,5 +, =, + 0,5 Presmetaj gi zbirovite: 0,5 +, i, + 0,5 Zbirot na dva decimalni broja ne se menuva ako sobirocite gi promenat mestata. Ova e komutativno svojstvo na sobiraweto decimalni broevi. 5 Izrazot (, + 1,9) +, ima vrednost 16, +, = 0,5 Presmetaj ja vrednosta na izrazot, + (1,9 +,). Dobienata vrednost sporedi ja so vrednosta 0,5 na prethodniot izraz. Za sobiraweto na decimalni broevi va`i asocijativnoto svojstvo. Iska`i go!

162 16 6 rojot 5,6 zgolemi go za. Treba da go presmeta{ zbirot na broevite 5,6 i. Pretstavi go brojot kako decimalen broj. Zapi{i gi sobirocite eden pod drug i presmetaj go zbirot. 7 - priroden broj decimalni 7,00} broevi Decimalen broj se sobira so priroden broj taka {to prirodniot broj }e se pretvori vo deci ma - len broj, a potoa dvata broja }e se soberat. 7 Presmetaj: 15, (,6 + ) Treba da znae{!,8 + 0,0,8 Da presmeta{ zbir na decimalni bro evi, za - pi{ani vo red ili, pak, eden pod drug; da zapi{e{ priroden broj kako deci malen i da presmeta{ zbir na priro den i decimalen broj; da gi koristi{ komutativnoto i asocijativ - noto svojstvo za olesnuvawe pri sobiraweto na decimalni broevi; Deka zbirot na decimalen broj i 0 e ednakov na decimalniot broj. Zbirot na decimalen broj i nula e ednakov na decimalniot broj. Proveri se! Presmetaj: 0, +,; 56,7 +,8; 9, + 1. Proveri dali e: 6,7 +, =, + 6,7. Iska`i go komutativnoto svojstvo na sobiraweto decimalni broevi. Presmetaj 6, + (1,8 +,6) i (6, + 1,8) +,6. Sporedi gi dobienite rezultati. Iska`i go asoci jativnoto svojstvo na sobiraweto decimalni broevi. Zada~i 1.. rojot 100,075 zgolemi go za: a) 6,; b) 5; v) zbirot na broevite,78 i 56,; g) 0. Presmetaj: 5,6 + 5,8 = 0,1 + 6,71 = +,8 +,886 = 6, ,7 =.. 5. Re{i gi ravenkite x - 156,6 = 1,5; x -,05 = 0,81. Padobranec pa a s so zatvoren pa - dobran. Vo prvata sekunda preletal,9 m, a vo se koja naredna sekunda po 9,8 m pove}e. Kolku metri preletal za tie s? Zapi{i ~etiri broja od koi prviot e,69, a sekoj nare den e za,69 pogolem od prethodniot.

163 11 ODZEMWE N DECIMLNI ROEVI 16 Potseti se! Presmetaj: Proveri dali: 7 = Presmetaj: 5 a) - ; b) v) ; 1 Presmetaj:,78-0, Postapi spored slednite barawa Pretvori gi decimalnite broevi vo 78 decimalni dropki:,78 = ; 0, = Odredi ja nivnata razlika: = Pretvori ja dobienata razlika vo decima - 5 len broj: =, Zna~i:,78-0,,5 Da zapomnam: Deci malni bro evi se od zemaat kako {to se odzemaat priro dni broevi. Pri zapi{uvaweto eden pod drug treba decima l - nite za pirki na nama le - ni kot i namalitelot da bidat na ista verti kal - na prava. Pretprijatieto Gradinar odnelo na pazar,75 t kompiri, a prodalo 1, t. Kolku toni kompiri ostanale neprodadeni? Treba da se odzeme prodadenoto koli~estvo kompiri od vkupnoto. Koi broevi treba da se odzemat? Pretvori gi tonite kompiri vo kilogrami. Odzemi gi mernite broevi {to gi poka`uvaat kilogramite. Pretvori go vo toni dobieniot ostatok. Zapi{i gi decimalnite broevi eden pod drug i presmetaj ja razlikata.,75 t - 1, t, t.e.,75-1,,75 t = 75 kg; 1, t = 1 kg Ostatokot e: 1 kg = 1, t.,75-1, 1,

164 16 Prakti~no: celi pod celi 7,8-0,6 7,1 nasoka na odzemaweto desetinki pod desetinki, stotinki pod stotinki Za da ja presmeta{ razlikata na dva decimalni broja treba da gi zapi{e{ eden pod drug, i toa: celi pod celi (edinici pod edinici, desetki pod desetki itn.); decimali pod decimali (desetinki pod desetinki, stotinki pod stotinki itn.); decimalnite zapirki na namalenikot, namalitelot i razlikata da bidat na ista vertikalna prava. Cifrite na razlikata odredi gi na ist na~in kako {to se odreduvaat pri odzemawe na prirodni broevi. Pe{akot treba da pomine 1 km. Prviot ~as pominal,8 km. U{te kolku kilometri mu ostanale da pomine? Za da presmeta{ kolku kilometri treba da pomine pe{akot, treba pominatiot pat da go odzeme{ od vkupnata dol`ina na patot. Izvr{i go slednoto: namalenikot 1 zapi{i go kako deci - malen broj (so dve nuli zad decimal - nata zapir ka); zapi{i gi decimalnite broevi eden pod drug i izvr{i go odzemaweto. Da zapomnam: Pri odzemawe na priroden broj i deci ma - len broj, prirodniot broj se zapi{uva kako decimalen broj so onolku nuli kolku {to ima decimali deci - mal niot broj. rojot 9,56 namali go za 15. Od decimalen broj treba da odzeme{ priroden broj. Postapi na sledniot na~in: namalitelot 15 zapi{i go kako decimalen broj so nuli kako decimali; zapi{i gi dvata decimalni broja eden pod drug i izvr{i go odzemaweto. 5 Presmetaj 6,8-0. Da zapomnam: Pri od zemawe na 0 od deci malen broj kako raz lika se dobiva istiot toj decimalen broj. Postapi spored slednite barawa. Pretstavi go namalenikot kako decimalen broj i izvr{i go odzemaweto. Dobienata razlika pretvori ja vo decimalen broj. 5, - 0,0 5,

165 Treba da znae{! Pravilno da gi zapi{uva{ nama leni kot i namalitelot eden pod drug i da go izvr {uva{ odzemaweto; koga namalenikot ili namalitelot e pri ro - den broj, nego treba da go pret sta vi{ kako decimalen broj so onolku nuli kolku {to ima decimali deci malniot broj; odzemaweto da go izvr{uva{ oddesno nalevo; koga namalitelot e 0, razlikata e ednakva na namalenikot. Proveri se! 165 Presmetaj: a) 6,7-5,1; b),7-5,89. rojot 7 namali go za 0,7. rojot 6,5 namali go za 5. Zbirot na broevite 8 i 8,8 namali go za 0. Zada~i 1. Presmetaj: 6, - 5, 5,96 -,87 10,07-18,96 -,7. rojot 6 zgolemi go za razlikata na broevite 6, i,6.. 5,68-86,85-0 Za kolku e: 56,6 pogolem od 6,1? 100 pomal od 01,6? 5 pogolem od 5,6?,8 pogolem od 0? 5. Namalenikot e,6, a razlikata e,6. Odredi go namalitelot. Namalitelot e 6,, a razlikata e,6. Odredi go namalenikot. Razlikata e 6,. Taa e za pogo - lema od namalitelot. Odredi go namalenikot.. Vodovodna cevka {to ima dol`ina 6 m e podelena na dela. Dol`inite na dvata dela se:, m i,6 m. Kolku metri e tretiot del? 6. Masloto i {i{eto zaedno imaat 1, kg. [i{eto ima masa 6 g. Kolku kilogrami e masata na masloto? Problemi! Zbirot na eden dvocifren priroden broj i eden decimalen e 6,. Milica pri sobi raweto na tie broevi decimalnata zapirka vo decimalniot broj pogre{no ja posta vila za edno mesto vo levo i dobila zbir 1,. Koi broevi gi sobirala Milica?

166 166 1 MNO@EWE N DECIMLNI ROEVI Potseti se! Presmetaj: 10 56; ; Objasni {to se slu~uva so brojot na nu li - te vo proizvodot pri gornite mnoèwa. 1 Pe{ak za 1 ~as pominuva,65 km. Kolku kilometri }e pomine za 10 ~asa ako se dviì bez zastanu va we i so ista brzina? Treba da presmeta{,65 km 10. Da zapomnam: Decimalen broj se mnoì so 10 taka {to de - cimalnata zapirka na toj broj se pome - stuva nadesno za edno mesto. Pomesti se vdesno za edno mesto! Voo~i gi ~ekorite i re{avaweto. Pretvori gi kilometrite vo metri. Presmetaj go proizvodot so 10 (vo metri). Proizvodot pretvori go vo kilometri. Voo~uva{ deka vo proizvodot decimalnata zapirka e pomestena nadesno za edno mesto.,65 km = 65 m. 65 m 10 = 650 m. 650 m = 6,5 km 6,5 km 10 = 6,5 km Presmetaj go proizvodot na brojot 1,8 so 10, 100 i Moè{ da koristi{ kalkulator (kade {to namesto decimalna zapirka ima decimalna to~ka, a namesto znakot ima h ). So kalkulator se dobiva: 1 0 x 1. 8 = x 1. 8 = x 1. 8 = 18. Voo~i! Pri mnoèwe na decimalen broj so 10, 100, 1000,... negovata decimalna zapirka se po mestuva soodvetno za edno, dve, tri,... mesta nadesno, odnosno za onolku mesta nadesno kolku {to ima nuli dekadnata edinica. Presmetaj usno: 1 0,06; 10 0,06; 100 0,06; ,06; ,006.

167 Potseti se! Presmetaj:, +, +,. Kako moè{ skrateno da go zapi{e{ ovoj zbir? Proveri dali e 0, + 0, + 0, + 0, + 0, + 0, + 0, =,1? êkorot na Zoran ima 0,7 m. Kolku metri pominal Zoran koga napravil ~ekori? Treba da presmeta{ 0,7 m. 167 Raboti spored slednite barawa i voo~uvaj. Pretvori gi metrite vo centimetri. Izvr{i go mnoèweto so (vo cm). Proizvodot pretvori go vo metri. Voo~i kako e dobien proizvodot. 0,7 m = 7 cm 7 cm = 96 cm 96 cm =,96 m 0,7 m =,96 m Zapomni! Decimalen broj se mno - ì so priroden broj ta - ka ka ko {to se mnoàt pri ro dni bro evi. rojot na de ci malite vo pro izvodot e edna kov so brojot na de cimalite vo decimal ni ot broj. 5 Presmetaj go proizvodot na brojot 9 so broevite 00,8; 561,9; 8,7; 0,; 0,9. V 6 Presmetaj ja plo{tinata R na pravoagolnik so strani a =,6 cm i b =, cm. Spored formulata za plo{tina na pravoagolnik (R = a b), treba da go odre - di{ proizvodot na mernite broevi,6 i, i da go zapi{e{ vo kvadratni centimetri. Voo~i gi barawata i na~inot na re{avaweto: Pretvori gi dolìnite na stranite na pravoagolnikot vo milimetri. Presmetaj ja plo{tinata na pravoagolnikot (vo kvadratni milimetri). Pretvori ja plo{tinata vo kvadratni centimetri. Voo~i gi nepresmetaniot i presmetaniot proizvod na mernite bro - evi i objasni kako se mnoàt decimalni broevi.,6 cm = 6 mm, cm = mm 6 = 17 R = 17 mm R = 1,7cm,6, = 1,7 Dva decimalni broja se mnoàt taka kako {to se mnoàt prirodni broevi, a vo proizvodot se oddeluvaat onolku decimalni mesta kolku {to imaat decimali dvata mnoìteli zaedno.

168 168 7 Presmetaj: 0,0 0,. Prosledi go re{enieto! 0, 0,0 = 0,006 Zo{to ima dve nuli pred cifrata 6? rojot na deci ma - li vo pro iz vodot e, a ima samo edna ci fra (ci - frata 6). Za toa, dvete deci malni mesta se do pol - nuvaat so nuli.,56,7 = 16,879 Zbir na brojot na decimali vo mnoìtelite + 1 = roj na deci mali vo proi zvodot Potseti se! Presmetaj: 0,6. 6,1 = 0,6. 9,9 = 0,6. (6,1 + 9,9) = Sporedi gi rezultatite. G 8 Voo~i! Presmetaj: 7,0 0,6; 0,6 7,0 Proizvodot na dva decimalni broja ne se menuva ako mnoìtelite gi razmenat svoite mesta, t.e. za koi bilo dva decimalni broja a i b vaì: a b = b a (komutativno svojstvo). 9 Presmetaj i sporedi gi proizvodite:, (7, 0,1) = ; (, 7,) 0,1 =. Proizvodot na decimalni broevi ne zavisi od na~inot na grupi rawe na mnoì teli - te, t.e. za koi bilo decimalni broevi a, b i c vaì: a (b c) = (a b) c (asocijativno svojstvo). 10 Iskaì go distributivnoto svojstvo na mnoèweto na prirodni broevi vo odnos na sobiraweto. Proveri dali toa svojstvo vaì za decimalnite broevi,8; 1,01 i 5,, t.e. dali (,8 + 1,01) 5, =,8 5, + 1,01 5,. Voo~i! Za koi bilo decimalni broevi a, b i c vaì: (a + b) c = a c + b c; c (a + b) = c a + c b (distributivno svojstvo). 11 Presmetaj: a),76 0; (5, + 8,0) 0; 5,6-0 0,; b) 9,8 1; (7-0,) 1 ;, + 1 (8,7 + )

169 Voo~i! Za koj bilo decimalen broj a e to~no: a 0 = 0 a = 0; a 1 = 1 a = a. 169 Treba da znae{! Proveri se! Da presmeta{ proizvod na decimalen broj i dekadna edinica; da presmeta{ proizvod na decimalen broj i priroden broj; da presmeta{ proizvod na decimalen broj i decimalen broj; da gi primenuva{ svojstvata na mno`eweto. Presmetaj: a), = ; ,0 = ; b),7 7 = ; 6,005 = ; v) 9,6,01 = ; 0,00 6,0 =. Objasni dali e to~no (bez da presmetuva{: 6, 0,1 = 0,1 6,; (1, 5,6) 0,01 = (1, 0,01) 5,6 = 1, (5,6 0,01); (,1 +,5-6) 0,0 =,1 0,0 +,5 0,0-6 0,0. Zada~i 1. Presmetaj: 5. Presmetaj ja vrednosta na izrazite: 0,78 10 = ; 10 9, = ;, ,1-16 = ;,6 100 = ; ,006 = ; 0, =. 0, , =.. Zgolemi go 10 pati sekoj od broevite: 1,8; 0,007; 1 000, Odredi go proizvodot od zbirot i raz - likata na broevite 16,009 i 9,0016. Zgolemi go pati sekoj od broevite:,; 0,007; 96,006. Koj broj e 000 pati pogolem od brojot 000,? 7. Mimoza imala 6000 denari. 0,65 od pa - rite potro{ila za rol{ui, a 0, za te - tratki i u~ili{ten pribor. Kolku pari ñ ostanalo?. Presmetaj: 6,05 7 = ; 15,00 1 = ; 0,006. =. 8. Sporedi gi izrazite:,65 0,5 i 5, 0,65.. Presmetaj ja plo{tinata na podot na u~ilnicata koja ima dimenzii 6,8 m i 9, m. 9. Zapi{i ~etiri broja od koi prviot e 1,6, a sekoj nareden e 1,5 pati pogolem od prethodniot.

170 170 1 DELEWE N DECIMLNI ROEVI Potseti se! Presmetaj:,7 10 = ;, = ; Odredi gi koli~nikot i ostatokot pri deleweto: 65 : 10 = ; 1 : 100 = ; Od ravenstvoto 18 = 0 odredi go ko - li~nikot: 0 : =. 1 Odredi gi proizvodite: 6,5 10 = ; 5, 100 = ; 1, =. Presmeta deka 6,5 10 = 6,5; 5, 100 = 5,; 1, = 1 5,8. Voo~i go brojot na nulite vo dekadnite edinici i pomestuvaweto na decimalnata zapirka vo proizvodot. [to zabele`a? Od dobienite ravenstva odredi gi koli~nicite: 6,5 : 10 = ; 5, : 100 = ; 1 5,8 : =. Voo~i! 6,5 : 10 = 6,5; 5, : 100 = 5,; 1 5,8 : = 1,58. Kako e pomestena zapirkata vo sekoj koli~nik spored delenikot i dekadnata edinica? Voo~iv deka: Deci - malen broj }e pode - lam so 10 taka {to decimalnata zapir - ka }e ja pomestam za edno mesto nalevo. 6,, 5 :10 Zapomni! Koli~nik na decimalen broj i dekadna edinica (10, 100, 1 000,...) se dobiva so pome - stuvawe na zapirkata vo decimalniot broj nalevo za onolku mesta kolku {to ima nuli dekadnata edinica. Presmetaj:,7 : 10 = ; 57,1 : 100 = ; 17 85, : =. Presmetaj: 6, : 10 = i, : 100 =. Voo~i i zapomni! 0,6 10 = 6,; 6, : 10 = 0,6 0,0 100 =,;, : 100 = 0,0 ko pri pomestuvaweto na decimalnata zapirka nalevo nema dovolno mesta, toga{ se dodava potreben broj nuli.

171 Odredi gi koli~nicite na broevite: 685,7;,78; 1 i 0,06 so: 10, 100 i Potseti se! Odredi gi koli~nikot i osta - tokot pri delewe na brojot: a) 78 so 16; b) 61 so. 5 Lenta so dolìna 7, m razdeli ja na ednakvi dela. Odredi ja dolìnata na sekoj del. Treba da presmeta{: 7, : =. Raboti spored barawata. Voo~i go re{avaweto. Dolìnata na lentata pretvori ja vo centrimetri. Presmetaj go koli~nikot vo centimetri. Pretvori go dobieniot koli~nik vo metri. 7, m = 7 cm 7 cm : = 1 cm 1 1 cm =,1 m Voo~uva{ deka: 7, : =,1, zatoa {to,1. = 7,. Kako moè da se presmeta 7, m : ; bez da se pretvoraat metrite vo centimetri? Raboti spored slednite barawa: Izvr{i delewe na 7, so ne obr - nu vaj}i vnimanie na decimalnata zapirka. Po zavr{uvawe so deleweto vo ko - li~nikot stavi zapirka tamu kade {to si zavr{il so delewe na celoto. Zapomni! 7, : =, ,6 : 8 = 16, Prvo ja spu{ta - me pr vata de - cimala......, a potoa vo koli~nikot stavame zapirka. Pri delewe na decimalen broj so priroden broj postapi kako da deli{ prirodni broevi. Koga }e ja spu{ti{ decimalata na desetinkite, toga{ vo koli~nikot stavi zapirka. 6 Presmetaj 9 : 16 bez ostatok. Napravi go slednoto: Pretstavi go delenikot kako decimalen broj. Izvr{i go nazna~enoto delewe, no sega kako delewe na decimalen broj so priroden broj. 56,0 : 5 = 1,

172 17 7 Presmetaj: 78 : = ; 7,8 : = ; 7,8 : =.. 8 Zapomni! ko celoto e pomalo od delitelot, to - ga{ vo koli~nikot se zapi{uva 0 celi. Presmetaj: 10,66 : = 0,9768 : 7 = 0,067 : 9 = Primer:,75 : 6 = 0, Nula celi,5 : 5 = Potseti se! Presmetaj bez ostatok: 65, : 9; 7,0 :. Odredi go koli~nikot na broevite 78 i 1 bez ostatok. Pritoa ima potreba brojot 78 da go pretstavi{ kako decimalen broj (78,0). [to }e se slu~i so koli~nikot ako delenikot i delitelot se pomnoàt so ist broj? V 9 Plo{tinata na eden pra - voagolnik e 1,8 dm, a ne - govata {irina e 0,6 dm. Odredi ja dolìnata na pravoagolnikot. Treba da presmeta{ 1,8 : 0,6 =. Raboti spored barawata. Voo~i go re{avaweto. Pretvori gi kvadratnite decimetri vo kvadratni centimetri, a decimetrite vo centimetri. Odredi ja dolìnata na pravoagolnikot (vo cen - timetri). Pretvori ja dolìnata na pravoagolnikot vo de - cimetri. 1,8 dm = 18 cm ; 0,6 dm = 6 cm 18 cm : 6 = cm cm =, dm Voo~i! 1,8 : 0.6 =,. Presmetavme deka koli~nik na 1,8 i 0,6 e brojot,,t.e., 0,6 = 1,8. rojot, moè da se dobie i bez pretvorawe na decimetrite vo centimetri. Raboti spored barawata Primer:,1 :, = Zgolemi gi 10 pati delenikot i delitelot; idej}i sega delitelot e priroden broj odredi go koli~nikot na decimalniot 1,8 i prirodniot broj 6.,1 10 = 1,;, 10 = ; 1, : = 6,8 7 0

173 Da zapomnam: Decimalen broj se deli so decimalen broj taka {to: de ci malnite zapirki se pomestuvaat nadesno vo delenikot i vo deli telot za tolku mesta kolku {to e potrebno delitelot da stane priroden broj. Potoa se delat dobienite broevi (taka kako {to se deli daden broj so priroden broj) Presmetaj: a), : 0,017 = ; b) 0,6 : 0,00 =. Vnimavaj! rojot na decimalite vo delenikot e pomal od brojot na decimalite vo delitelot. Zatoa razmisli i odgovori: Kolku nuli treba da se dopi{at na delenikot oddesno za da mo`e potoa da se pomestat decimalnite zapirki? Treba da znae{! Da presmeta{ koli~nik na de - cimalen broj i dekadna edinica; da presmeta{ koli~nik na de - cimalen broj i priroden broj; da presmeta{ koli~nik vo koj delitelot e decimalen broj. Zada~i Proveri se! Presmetaj:,6 : 10 = ; 6,85 : 1000 = ; 6,17 : 100 =. Presmetaj 57,5 : 1 i napravi proverka na re{enieto. Za kolku mesta treba da se pomesti decimalnata zapirka nadesno vo delenikot i delitelot za da se presmeta: 1,01 : 1,6 = ;,101 : 0,08 = ; 0,5 : 0,05 =. 1. Koj broj e pomal od brojot,76 a) 10 pati; b) 100 pati; v) pati?. Presmetaj: 6 : 0, = ; 0,75 : 0,15 = ;. Presmetaj: 0,6 : = ; : 5 = ; 75 : 5 = ; 1,95 : 15 = ; 5. 8 : 0,1 = ; 1,86 : 0,0 = ;,17 : 0,85 = ; 0,0 : 0,5 =. Kolku pati 0,1 e pomalo od 0,7? 7 : 1 15 = ;,5 : 7 = na decimali; 1, : 1 = na decimali. 6. Presmetaj i izvr{i proverka na re{enieto: : 0,085 = ; : 1,8 = ;. Presmetaj na 6 decimali: 1 : 7 = ; : 7 = ; : 7 = ; 5 : 7 = ; : 7 = ; 6 : 7 = ; [to zaklu~uva{ za decimalite na koli~nicite? 7. 1, : 0,01 = ; 0,0108 : 1,6 =. Re{i gi ravenkite: 100 x =,16; 156,1 : x = 10; 0,018 = 18 x; 0,065 x =,175.

174 Eden patnik pominal 1,70 km za 5 ~asa. Kolku kilometri, prose~no, pominuval za 1 ~as? Odredi ja vrednosta na izrazite: (6,7 : 0,6 + 1,15 0,8) : 1,1 + 8,75 =,5 + 0,9 : 0,5 + (,1 + 0,058) :, = 10. Vo VI oddelenie imalo u~enici. Na krajot na godinata uspehot po mate ma tika bil sledniot: 15 u~e - nici so odli ~na ocenka, 9 u~enici so mnogu dobra, 7 so dobra i so dovolna ocenka. Presmetaj go sredniot uspeh po ma - te ma tika vo paralelkata na decimali. Z ONIE [TO SKT D ZNT POVE]E 1. Proveri dali se to~ni ravenstvata: (5,6 +,) (5,6 -,) = 5,6 -, ; (5,6 = 5,6 5,6;, =,,) (, - 1,8) =, -, 1,8 + 1,8.. Koj broj moè da se podeli so sekoj decimalen broj razli~en od nula bez ostatok?. Kako }e se promeni: a) zbirot na dva broja ako edniot sobirok go zgolemime za,, a drugiot go zgolemime za,; b) namalitelot ako namalenikot se zgolemi za 5,8, a razlikata se namali za 5,8; v) proizvodot na dva broja ako edniot go pomnoìme so 8,75, a drugiot so 0,7; g) koli~nikot ako delenikot go pomnoìme so 1,5, a delitelot go namalime pati?. Od 1kg bra{no se dobiva 1,5 kg leb. Kolku leb se dobiva od 576 kg bra{no? 5. Kon koj broj treba da se dodade, za da se dobie broj {to e,5 pati pogolem od 9,? 6. Za kolku plo{tinata na kvadrat so strana 15, m e pogolema od plo{tinata na pravoagolnik so strani 16,1 m i 1,0 m? 7. Re{i gi ravenkite: 5,7x +,1x + 0, =,1; x : 8,0 = 5,05;,8 : x = 1,5; (x -,5) : 5,1 = 0,8.

175 1 PRETVORWE N DROPK VO DECIMLEN ROJ 175 Potseti se! Koja operacija ja ozna~uva drobnata crta? Vo dropkata zameni ja drobnata crta so toj znak i izvr{i ja operacijata. Pro~itaj ja dropkata i zapi{i ja 100 kako decimalen broj. Objasni: kako se pretvora decimalna dropka vo decimalen broj. 1 Pretvori ja vo decimalen broj dropkata. Raboti spored barawata: Pro{iri ja dropkata so 5. Dobienata decimalna dropka pretvori ja vo decimalen broj. Sigurno dobi deka = 0,75. Presmetaj :. Sporedi gi dobienite rezultati. So pro{iruvawe ili skratuvawe, slednite dropki pretvori gi vo decimalni dropki, a potoa vo decimalni broevi: 1,, 5 1, 16 i Primer: Dropkata 5 pro{iri ja so Dobienata decimalna dropka pretvori ja vo decimalen broj. Presmetaj 5 : 8 = Koja od dropkite,, i ne moè da se pretvori vo decimalna dropka? Sigurno voo~i deka toa e dropkata 5. 6 Zapomni! Samo neskratliva dropka ~ij imenitel se razloùva na proizvod od mnoìtelite ili 5, moè da se pretstavi kako decimalna dropka. Sekoja dropka koja moè da se pretstavi kako decimalna dropka pretstavuva kone~nodecimalen broj. Koja od dropkite, 7 ili 5 pretstavuva kone~nodecimalen broj? Utvrdi koja od dropkite moè da se pro{iri do decimalna dropka so imenitel 1 000; ili podeli go broitelot so imenitelot i utvrdi koj od dobienite koli~nici e kone~nodecimalen broj.

176 Dropkite, i pretvori gi vo decimalni broevi Raboti spored barawata: Utvrdi dali imenitelite se razlo`uvaat na mno`iteli i 5, odnosno dali decimal - nite broevi }e imaat kone~en broj decimali ili ne. Podeli go broitelot na dropkata so imenitelot. Sigurno dobi: 1 15 = 0,...; = 1,666...; 11 = 0, Dobienite decimalni broevi imaat beskone~no mnogu decimali. Takvi broevi se vikaat beskone~nodecimalni broevi. Voo~i! Vo sekoj od broevite, neposredno po decimalnata zapirka, edna ili pove}e cifri se povtoruvaat po ist redosled. Zapomni! Vakvite decimalni broevi se vikaat ~isto periodi~ni decimalni broevi. rojot {to go obrazuvaat cifrite {to se povtoruvaat se vika period na decimal - niot broj. Vo prviot broj period e, vo vtoriot 6, a vo tretiot 97. 0,... = 0,(). Se ~ita: nula celi i kako period; 1,66... = 1,(6). Se ~ita: edno celo i 6 kako period... V 6 Voo~i! Dropkite 5 679, i 7 pretvori gi vo decimalni broevi Raboti spored slednite barawa: razgledaj gi imenitelite na dropkite i utvrdi dali decimalniot broj e kone~no decimalen; podeli go broitelot so imenitelot i utvrdi dali decimalniot broj e periodi~en. So upotreba na digitron se dobiva: = 0,777...; = 1, ; 7 = 0, Dobienite decimalni broevi se periodi~ni, no pred periodot ima edna ili dve ci - fri. Vakvite decimalni broevi se vikaat me{ano periodi~ni decimalni broevi.

177 ^itame: 0, = 0,(7) - nula celi, dese - tinki i 7 kako period. 1, = 1,(71) - edno celi, dese - tinki i 71 kako period. 0,58... = 0,58() - nula celi, 58 sto - tinki i kako period. Sekoj od broevite, i 58 vo primerite se vika pretperiod. Treba da znae{! Zapomni! ko od desnata strana na eden priroden broj ili nulata, se zapi{e zapirka i potoa se do - pi{at cifri, se dobiva zapis na broj koj{to se narekuva decimalen broj. Proveri se! Da oceni{, spored imenitelot na drop kata, dali taa se pretvora vo kone~no decimalen broj ili, pak, vo beskone ~nodecimalen (periodi~en) broj; koj broj e kone~nodecimalen; da objasni{ {to e period, a {to pret - period; {to e ~isto periodi~en decimalen broj; {to e me{ano periodi~en decimalen broj; deka dropka mo`e da se pretvori: - ili vo kone~nodecimalen broj; - ili vo periodi~en decimalen broj; deka postojat i drugi beskone~nodeci - malni broevi koi ne se periodi~ni. Za niv }e u~i{ vo VIII oddelenie. Zada~i Pro{iri gi ili skrati gi dropkite taka {to vo imenitelot da se pojavi 10, 100 ili 1000, a potoa pretvori gi vo decimalni broevi:, 18, 7, 9,, 11, 8, Pretvori gi vo decimalni broevi dropkite:, 9, 19,,, 1,, 5, Oceni, bez da gi deli{ broitelot so imenitelot, dali dropkata pretstavuva kone~en decimalen broj. 0 Pretvori gi vo decimalen broj dropkite, 7 1, i Odredi gi periodite i pretperiodite vo slednite decimalni broevi:, ; 0, ; 1, ; 16, Odredi gi periodot i pretperiodot vo decimalnite broevi: 0, ; 6, Spored oznakata za period na deci - malen broj zapi{i gi broevite:, ; 0, ;, ;, Zapi{i go kako beskone~nodecimalen broj brojot: a),6(5) ; v) 6,(5) ; b) 0,77(01) ; g) 0,06(51).

178 N DECIMLNI ROEVI Potseti se! rojot 18 zaokruèno na iljadi iznesuva 000, t.e , se ~ita: pribli`no ednakvo so. Zaokruì go brojot 18 na stotki. Kako glasi postapkata za zaokru ù - vawe na priroden broj? Dali treba ili 15 10? Objasni! 1 Edna parcela od 1 m ja ure - duvaat u~enicite od VI a odde - lenie. Vo paralelekata ima u~enici. Po kolku kvadratni metri, vo prosek, ureduva sekoj u~enik? Treba da presmeta{ 1 :. Odredi go koli~nikot; Oceni go prakti~noto zna~ewe na dobienite kvadratni metri po u~enik. Sigurno dobi 1 : =,875, t.e. deka sekoj u~enik treba da uredi po,875 m. rojot ima prakti~no zna~ewe samo do vtorata decimala (vo dm ), t.e. da se izvr{i zaokruùvawe na decimalniot broj na dve decimali. Decimalni broevi so dve decimali {to se najblisku do brojot,875 se:,8 i,85, t.e.,8 <,875 <,85 Zna~i:,875,8 (~itame:,875 e pribli`no ednakov so,8) i,875,85. Odredi gi dvata najbliski decimalni broja na brojot 1,768 {to imaat po edna decimala. Utvrdi kolkava e napravenata gre{ka pri zaokruùvawe na brojot 1,768 na edna decimala. Sigurno utvrdi deka baranite broevi se 1, i 1, t.e. 1, < 1,768 i 1,768 < 1,. Kolkava e napravenata gre{ka pri sekoe od zaokruùvawata: 1,768 1, i 1,768 1,, }e utvrdi{ ako gi sporedi{ razlikite: 1,768-1, = 0,0768 i 1, - 1,768 = 0,07 Do koja od to~kite za broevite 1, ili 1, e 0,0768 0,07 poblisku to~kata na brojot 1,768? 1, 1,768 1, Zapomni! Vo dvata slu~aja napravenata gre{ka e pomala od 0,1. Velime: rojot 1,768 sme go zaokruìle so to~nost do 0,1, odnosno so to~nost na edna decimala. Razlikata {to pokaùva za kolku dadeniot broj e pogolem ili pomal od svojata pribli`na vrednost ja vikame gre{ka na zaokruùvaweto. Pri zaokruùvawe nastojuvaj da napravi{ {to pomala gre{ka.

179 Voo~uva{ deka zaokruùvaweto (zamenuvaweto) na brojot 1,768 so brojot 1, e so pomala gre{ka otkolku so brojot 1,. Pri zaokruùvawe na decimalen broj po~ituvaj go slednoto pravilo na zaokruùvawe: ako prvata ispu{tena cifra e pomala od 5, toga{ poslednata zadràna cifra ne se menuva; ako prvata ispu{tena cifra e 5 ili pogolema od 5, toga{ poslednata zadràna cifra se zgolemuva za rojot,81670 zaokruì go so to~nost: a) na edna decimala, t.e. do 0,1; g) do 0,0001; b) do 0,01; d) do 0,0001. v) do 0,001; Treba da znae{! Da se zaokruì nekoj broj so dadena to~nost zna~i toj broj da se zameni so drug broj {to e pogolem ili pomal od nego, zaradi odredeni prakti~ni potrebi; da zaokruì{ daden broj so odredena to~nost spored praviloto za otfrlawe na cifri od brojot; da objasni{ kako se zaokruùva decimalen broj so odredena to~nost. Proveri se! rojot 0,15 zaokruì go na dve deci - mali. Dropkata 7 pretvori ja vo decimalen broj so to~nost do 0,001. Odredi ja gre{kata na zaokruùvawe to ako 1,7 1,78. Zada~i 1. Zaokruì gi na tri decimali bro -. Presmetaj: evite:,715;,077; 0,015., ,001 so to~nost do 0, Dropkata pretvori ja vo 5. Napravi tabela, zaokruì gi broevite vo nea so nazna~enata to~nost i odredi ja gre{kata na zaokruùvaweto. decimalen broj so to~nost do: 0,1; 0,01; 0, Zbirot na broevite,715 i,91 presmetaj go so to~nost do 0,001. roj 0,07 0,586 6,5 6,011 Zaokru`. so to~n. do 0,01 Gre{ka na zaok. Zaokru`. so to~n. do 0,001 Gre{ka na zaok.

180 R O T S O P O D T O C I IZOR N PRIMEROK. NLIZ I ZKLUÔK Godina Koristi ja tabelata za da odgovori{ na nekolku pra{awa. Razlikata na najgolemite brzini na najbrzata i najbavnata trka zaokruì ja so to~nost do 0,1. Kolku pobavno odel pobednikot na trkata vo 000 godina od pobednikot na trkata vo godina? Koja bi bila prose~nata najgolema brzina na dvete najbrzi trki? Pobednik Mihael [umaher Mihael [umaher Dejvid Kulthard Mika Hakinen Mihael [umaher Najgolema brzina (km/h) 10,6, 6,78 9,06 1,56 Koja e prose~nata najgolema brzina na site pet trki (aritmeti~ka sredina)? Na edna trka vo 191 god. e postignata najgolema brzina koja e pati pomala od najgolemata brzina vo 000 godina. Kolku iznesuva taa brzina? Patni~ki avion postignuva do,5 pati pogolema brzina od najgolemata brzina {to e postignata vo 1999 godina. Vo koi granici se dviì brzinata na avionot so to~nost do edna decimala? naliza na podatocite. Me u koi dve godini raz li - kata na brzinite e: a) najmala; b) najgolema; v) okolu 50 km na ~as? Sostavi stolbest dijagram za brzinite spored podatocite {to se dadeni vo tabelata. Vo u~ili{teto kade {to u~i co ima 1 00 u~enici. co sakal u~ili{teto da ima nov sportski teren. Se obidel da otkrie kolku u~enici se zainteresirani za nov sportski teren. Namesto da go pra{a sekoj u~enik, co odlu~il da pra{a del od u~enicite. co odlu~il da pra{a 100 u~enici od site oddelenija, t.e. izbral primerok. rojot 100 pretstavuva golemina na primerokot. ko co pra{a 1 00 u~enici: ko co pra{a 1 u~enici: ko co pra{a 100 u~enici: Pozitivno ]e znae kolku to~no u~enici sakaat nov teren Za kratko vreme }e gi dobie odgovorite Potro{enoto vreme e optimalno Dobiva dovolen broj odgovori za pravilna procenka Negativno Potrebno e pove}e vreme Dobiva mal broj odgovori, {to ne e dovolno za pravilna procenka

181 Vo izborot na primerok, osven goleminata, va`no e i koj }e go so~inuva primerokot. Zapi{i svoe razmisluvawe za toa {to e pozitivno, a {to e negativno vo slednive slu~ai: ako co pra{a samo u~enici od I do IV oddelenie; ako co pra{a samo u~enici {to se zainteresirani za sport; ako co pra{a slu~ajno izbrani u~enici od site oddelenija od negovoto u~ili{te. 181 Odgovorite na pra{aweto za noviot sportski teren co gi pretstavil vo tabela, napravil analiza i izvel zaklu~ok. Nov sport. teren/prim. Mislewe roj Odnos D = 0,6 100 NE Ne znam 17 Voo~i! co utvrdil deka 0,6 od primerokot sakaat nov sportski teren. Toj presmetal: 0,6 od 1 00 e 0, = 70 co predvidel deka: ako gi pra{al site 1 00 u~enici, pribli`no 70 od niv bi odgovo rile deka se zainteresirani za nov sportski teren. Odredi go odnosot za drugite dva odgovora. Presmetaj kolkav broj od u~enicite bi odgovorile deka ne sakaat nov sportski teren, a kolku u~enici od u~ili{teto bi bile neodlu~ni. Sopstvenikot na eden videoklub sakal da utvrdi koj vid filmovi se najpopu larni vo gradot. Gradot imal ìteli. Prodava~ot zapi{al podatoci za 00 ~lenovi na videoklubot. Najpopularni videokaseti Vid na film roj Detski 0 0:00=0,1 Nau~en 6 Komedija 15 Stari fil. 100 Muzi~ki 7 Odnos Koi broevi treba da se zapi{at vo delot od tabelata so naslov odnos? So pomo{ na presmetanite odnosi odredi go brojot na ìtelite vo gradot za koi moè da se kaè deka bi bile zainteresirani za ra - zli~ni vidovi filmovi. Za {to bi moèle da mu posluàt dobienite informacii na sopstvenikot na videoklubot?

182 18 17 UÊ[E Z DROPKI. DECIMLNI ROEVI. PROVERI GO SVOETO ZNEWE 1. Nacrtaj otse~ka = 6 cm. a) Odredi to~ka C na otse~kata 11. ko namalenikot, se zgolemi za 0,, a namalitelot 0, se namali taka {to: C = za 0,, toga{ razlikata }e se zgolemi za. 0,. Proveri. b) ko D = cm, toga{ koj broj treba da stoi na mestoto na za da bide D =. 1. So sobirawe proveri dali e pra - vilno izvr{eno odzemaweto 59,16-11,11 = 8,106.. Vo osum ednakvi kutii ima vkupno 1 kg bonboni. Kolku kilogrami bonboni ima vo edna kutija? rojot 5 prestavi go kako dropka so broitel 5. imenitel 5. Zapi{i dropka so broitel koja e pogolema od 1. koja e pomala od 1. Pretstavi go na brojna prava zbirot + ; do neskra- Skrati ja dropkata tliva dropka Skrati ja dropkata 56 so 7. 5 so NZD(5, 70) Proveri dali e to~no izvr{eni mnoèweto 1 6 = Potoa, bez da presmetuva{, odredi go proizvodot 1,6. 1,6,. 0,16 0, Presmetaj gi proizvodite 5, 0 i 0,6 1,, a potoa, bez da presme tu - va{ odredi go koli~nikot 106, : 5,. 0,768 : 1, Presmetaj go koli~nikot 55,56 :,. 0,875 : 0,7. Re{i ja ravenkata,5 x = 6,: 1,. x : 0,5 = 1,5 : 0,5. Presmetaj ja brojnata vrednost na izrazot (9,1-0,6) : 1, + 9,5 0, Pro{iri ja dropkata 7 so 8. 8 Presmetaj go zbirot 6, +,6 + 0, Izvr{i go sobiraweto i proveri dali e to~no: 0,68 + 1,91 < 5,96 + 8,08 Odredi ja razlikata na dobienite zbi - rovi. 18. Zapi{i ja kako decimalen broj dropkata Po zaokruùvaweto na brojot,8615 e dobien brojot,861. So kolkava to~nost e zaokruèn ovoj broj? 0. Dropkata 7 pretvori ja vo decimalen broj i zaokruì ja so to~nost do 8 0,01.

183 TEM. MEREWE Merki za dol`ina, masa i te~nost 18. Merki za vreme i temperatura 187. Imenuvan broj 189. Pretvorawe na pove}eimen broj vo ednoimen broj Pretvorawe na ednoimen broj vo pove}eimen broj Operacii so imenuvani broevi Merki za plo{tina Merki za volumen 0 9. Volumen na kvadar i kocka U~e{e za merewe. Proveri go svoeto znaewe 10

184 18 1 MERKI Z DOL@IN, MS I TE^NOST Potseti se! Na linijarot pokaì dol - ì ni od 1 dm, cm, 8 mm i cm 6 mm. Koja merka se koristi za merewe dolìna na pati{tata i rasto janie me u dve naseleni mesta? Kolku dekagrami ima vo 1 kg? Koja merka se koristi za merewe masa na ruda iskopana od rudnik? Kolku dl ima vo 1 l? MERKI Z DOL@IN 1 Proceni gi dolìnite na otse~kite i CD i na iskr{enata linija PQRST, a potoa, so merewe proveri ja to~nosta na tvojata procenka. V Q S D Osnovna merna edinica za dolìna e metar (m). C P R Koi merni edinici gi upotrebi? Nabroj i drugi merki za dolìna {to gi znae{. Pogolemi i pomali merni edinici od metarot se prikaàni vo slednata tabela. T Pogolemi merni edi - nici od metarot se: dekametar (dam) hektometar (hm) kilometar (km) 1 dam 1 hm 1 km m : 10 : 100 : dm 1 cm 1 mm Pomali merni edinici od metarot se: decimetar (dm) centimetar (cm) milimetar (mm) Voo~i gi i zapomni gi vrskite me u merkite za dolìna! 1 km = 10 hm = 100 dam = 1000 m 1 hm = 10 dam = 100 m 1 dam = 10 m 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm 1 dm = 10 cm = 100 mm 1 cm = 10 mm Da zapomnam! Sekoja merna edinica za dolìna e 10 pa - ti pomala od mernata edinica {to e neposredno pogolema od nea. Koja merka bi trebalo da stoi na mestoto na. Za 1 ~as, Petar moè da izodi okolu. Mimoza vo tetratkata nacrtala kvadrat so dolìna na stranata 0. Kolku dekametri ima vo Vo 1 dm ima 0,1 m. Kolku metri ima vo 1 cm? a) 90 m? b) 00 m? v) 1700 m?

185 MERKI Z MS Nabroj gi mernite edinici za masa {to gi znae{. Koja e osnovna merna edinica za masa? Kolku kilogrami ima 1 t? [to e pogolemo 8 dag ili 1 kg? 6 Koja merka za masa bi trebalo da stoi na mestoto od vo slednite re~enici: So kamion e prevezeno 6 jaglen. Koko{kata {to ja kupil Darko ima masa. Osnovna merna edinica za masa e kilogram (kg). Pogolema merka od kilogram e ton (t). 1 t = kg Pomali merni edinici od kilogramot se dadeni vo slednava tabela. 1 kg Voo~i gi i zapomni gi vrskite me u merkite za masa! 1 kg = 10 hg = 100 dag = 1000 g 1 hg = 10 dag = 100 g 1 dag = 10 g 1 g = 10 dg = 100 cg = 1000 mg 1 dg = 10 cg = 100 mg 1 cg = 10 mg 1 hg 1 dag 1 g 1 dg 1 cg 1 mg 1 kg = 10 hg = 100 dag = 1000 g = dg = cg = mg 7 : 10 : 100 : : : : Za da izmeri par~e meso, mesarot na edniot tas od vagata stavil tegovi od 1 kg, kg i 1 kg, a na ta sot so meso teg od 10 g. Kolku e masata na mesoto? Hektogram Dekagram Gram Decigram Centigram Miligram (hg) (dag) (g) (dg) (cg) (mg) Da zapomnam! Sekoja merna edinica za masa e 10 pati po mala od mernata edi - nica {to e ne po sredno pogolema od nea. V MERKI Z TE^NOST 8 Nabroj gi merkite za te~nost {to gi zapozna dosega. Dali zapozna merka za te~nost pogolema od 1 l? Kolku dl ima 1 l? Osnovna merna edinica za te~nost e litar (l). Pogolemi i pomali merni edinici za merewe te~nost se dadeni vo slednava tabela. Pogolemi merni edinici od litar se: Dekalitar (dal) Hektolitar (hl) Kilolitar (kl) 1 dal 1 hl 1 kl l : 10 : 100 : dl 1 cl 1 ml Pomali merni edinici od litar se: Decilitar (dl) Centilitar (cl) Mililitar (ml)

186 186 9 Voo~i gi i zapomni gi vrskite me u merkite za te~nost! 1 kl = 10 hl = 100 dal = l 1 hl = 10 dal = 100 l 1 dal = 10 l 1 l = 10 dl = 100 cl = 1000 ml 1 dl = 10 cl = 100 ml 1 cl = 10 ml 1 l mineralna voda ~ini 0 denari. Kolku denari ~ini dl (edna ~a{a) mineralna voda? Da zapomnam! Sekoja merka za te~ nost e 10 pati pomala od mer ka - ta {to e ne po sre - dno pogolema od nea. 10 Naredi gi po golemina slednite broevi: 6 dal, 5 hl, 8 dl, ml, 9 l, cl. Treba da znae{! Koja e osnovnata edinica za merewe: dolìna; masa; te~nost; da gi navede{ pomalite i pogolemite merki za: dolìna; masa; te~nost; da go objasni{ soodnosot ma u merkite za: dolìna; masa; te~nost. Proveri se! Kolkupati: a) 1 m e pogolem od 1 cm? b) 1 dm e pomal od 1 hm? Kolkupati: a) 1 kg e pogolem od 1 g? b) 1 dag e pomal od 1 hg? Kolkupati: a) 1 hl e pogolem od 1 dal? b) 1 ml e pomal od 1 dl? Zada~i 1.. Nacrtaj otse~ki bez merewe so dolìni: 1 cm, 1 dm, 5 cm i 75 cm. Proveri so merewe i utvrdi za kolku si pogre{il. Izmeri ja dolìnata na tvojot ~ekor vo centimetri. Izmeri go so ~ekori rastojanieto me u dva objekta Podredi gi otse~kite so dolìni 9 dm, m, 8 cm, 9 mm, dm 7 cm, po~nu vaj}i od najkratkata. Podredi gi po golemina: 5 hg, 1 kg, 10 g, 1 mg, 8 dag. Podredi gi po golemina: 5 dal, hl, 6 dl, 8 ml, 1 l. Proceni kolku metri e toa rasto - janie. Proveri ja, so merewe, to~nosta na tvojata procenka. 6. Vo edna ovo{na gradina se nabrani,5 t jabolka i bile prodadeni po 17 denari za eden kilogram. Kolku denari se dobieni?

187 MERKI Z VREME I TEMPERTUR 187 Potseti se! Kolku minuti ima 1 ~as? Navedi dve merki za vreme pogolemi od ~as. Koja merna edinica se koristi za merewe na dnevnata temperatura? Dali vo istata merna edinica se iskaùva i temperaturata na bolniot? Zapomni! 1 MERKI Z VREME Koe vreme poka ùva ~asovnikot vo ~asovi, minuti i sekundi? Navedi gi merkite za vreme {to si gi izu~uval. Koja e najmalata merka za vreme {to si ja izu~uval? Osnovna merna edinica za vreme e sekunda (s). Pogolemi merki od sekunda se: minuta (min), ~as (h), den (d), sedmica, mesec, godina, decenija, vek (stoletie) i milenium. Postojat i pomali merki od sekunda. Voo~i gi vrskite me u merkite za vreme! 1 min = 60 s; 1 h = 60 min = 600 s; 1 d = h = 10 min = 8600 s; 1 sedmica = 7 d = 168 h = min = s. 1 mes. = 0 d; 1 god = 65 d. Pretvori: 5 dena vo ~asovi; 8 ~asa vo minuti; 5 minuti vo sekundi. Voo~i! 1 den ima ~asa; 5 dena imaat 5 ~asa = 10 ~asa. Kolku minuti ima 1 ~as? Kolku sekundi ima 1 minuta? Pretvori 17 ~asa vo denovi i ~asovi. 17 ~asa : = 6 dena i ostatok ~asa Pretvori 5 godini 8 meseci 1 dena vo denovi. MERKI Z TEMPERTUR 5 Pro~itaj ja temperaturata {to e prikaàna na termometarot. Vo koja merna edinica se iskaùva temperaturata?

188 188 Osnovna merna edinica za temperatura e kelvin (K). Vo sekojdnevniot `ivot se upotrebuva mernata edinica celziusov stepen ( o S). [vedskiot fizi~ar i astronom nders Celzius ( ) vovel skala kade {to vodata mrzne na 0 o S, a vrie na 100 o S. Stotiot del od skalata se vika celziusov stepen. Promenata na temperaturata za eden celziusov stepen e ednakva na eden kelvin. No, na temperaturnata skala, na 0 o S odgovaraat 7,16 K. Taka, vodata mrzne na 0 o S, t.e. na 7,16 K, a vrie na 100 o S, t.e. na 7,16 K. Zapoznaj se poop{irno Temperaturata izrazena vo kelvini se vika apsolutna temperatura. Po~etokot na mereweto na apsolutnata temperatura e nula kelvini ili -7,16 o S. Taa najniska mo`na temperatura se vika apsolutna nula. ko temperaturata na nekoe telo e izrazena vo celziusovi stepeni, toga{ apsolutnata temperatura, ozna~ena so T, se presmetuva po formulata T(K) = t ( o C) + 7,16 6 Napravi tabela kako dadenata i popolni ja ( o S - celziusovi stepeni, K - kelvini). o S K 77,16 0,16 1,8 90 0, 6,5 Treba da znae{! Koja e osnovnata merna edinica za vreme; da gi navede{ merkite za vreme pogo - lemi od sekunda i vrskite me u niv; koja e osnovnata merna edinica za temperatura; koja e vrskata me u kelvin i celziusov stepen. Zada~i 1. Vozot, spored vozniot red, stignuva vo 1 h 55 min. ko docni 1 h min, vo kolku ~asot }e stigne?. Za edna priredba bila predvidena programa vo traewe od 1 h 0 min. Izvedbata traela 10 minuti. Kolku minuti pove}e traela izvedbata od planiranoto? Proveri se! Kolku pati 1 s e pomala od: a) 1 min; b) 1 h? Kolku ~asovi ima 1 d? Kolku K odgovaraat na 0 o S na tempe ra - turnata skala? Edno telo ima temperatura od 0 o S. Kolku e apsolutnata temperatura na toa telo?. Ribarski brod isplovil od edno pristani{te na 8 septemvri vo 6 h, a se vratil vo pristani{teto na 17 septemvri vo 18 h (istata godina). Izrazi go vremeto na brodot od isplovuvaweto do vra}aweto: a) vo denovi; b) vo ~asovi; v) vo sedmici i denovi.. Presmetaj 15 god. 8 mes. 9 d vo denovi. 5. Kolku e apsolutnata temperatura na telo {to ima: a) 7 o S; b) -50 o S?

189 IMENUVN ROJ 189 Potseti se! Izbroj gi i zapi{i gi: - brojot na klupite vo tvojata u~il ni ca; - brojot na stol~iwata vo tvojata u~ilnica. Izmeri ja dolìnata na tvojot moliv. Zapi{i go merniot broj i mernata edinica {to se re zultat na tvoeto merewe. Koi se merni edinici za: a) dolìna; b) masa? Voo~i! Sekoj odgovor sodrì meren broj i merna edinica. Merniot broj so mer - nata edi nica se odredeni so broewe ili so merewe. (so broewe: kru{i, ovci,...; so merewe: cm; kg...). Meren broj Imenuvan broj Zapomni! cm Kolku denari? Merna edinica Kolku centi me tri ima otse~kata? Kolku ki - logrami bra{no? Kolku ovci ima? Kolku e ~asot? Na sekoja od numeriranite deset sli ki~ki e postaveno pra{awe. Dadeni se i odgovorite na sekoe od pra{awata. Sostavi tabela i vo nea za sekoja sliki~ka zapi{i go soodvetniot broj. Zapi{i gi vo tabelata odgovorite spored pra{awata vo sliki~kite. =? V Kolku stepeni e agolot? α =? α Kolku voda sobira {i{eto? Kolku kru{i ima? Kolku knigi ima? Kolku e temperaturata? ovci 6 knigi kru{i 6 o 8,5 o S cm 1 l kg ~asot 10 denari Imenuvaniot broj e sostaven od neimenuvan broj i merna edinica zapi{ana do nego. Imenuvaniot broj {to e zapi{an so eden neimenuvan broj i edna merna edinica u{te se vika i ednoimen broj. Zapi{i ednoimen broj {to go pokaùva: brojot na u~enicite vo tvojata paralelka; kolkava e tvojata visina (vo centimetri). brojot na tvoite godini; Dadeni se broevite: a) 5 kg, kg, 16 kg; b) m, 5 kg, 7 l, 15 kanti. [to imaat zaedni~ko broevite pod a)? Kakvi se mernite edinici na broevite pod b)?

190 190 Zapomni! Imenuvani broevi {to se zapi{ani so isti merni edinici se vikaat istoimeni broevi. roevite pod a) se istoimeni. roevite pod b) ne se istoimeni. Pokraj nazivot merna edinica se upotrebuvaat nazivite: edinica za merewe ili skrateno merka. 5 Koi dva od broevite m, 6 km, 6 m, kg se istoimeni? [to treba da stoi na mestoto na vo zapisite, i 17 za tie da bidat istoimeni so brojot 5 km? Dadeni se broevite: l, 6 ml, 9 hl, 116 cl. [to se meri so merkite na tie broevi? Dali vo istite merki e iskaàn i brojot 6 dal? dali brojot 8 cm? Zapomni! Dva ili pove}e imenuvani broja {to se iskaàni so merkite za ista veli~ina se vi - kaat imenuvani broevi od ist vid. roevite l, 6 ml, 9 hl i 116 cl se imenuvani broevi od ist vid. 6 Zapi{i po imenuvani broja od ist vid vo edinicite za merewe: a) dolìna; b) masa. rojot {to sodrì dva ili pove}e ednoimeni broevi od ist vid se vika pove}eimen broj. Edniomenite broevi se vikaat ~lenovi na pove}eimeniot broj. rojot kg cg 5 mg e pove}eimen; kg; cg i 5 mg se negovi ~lenovi. 7 Dolìnata na edna prostorija e m 6 dm, a {irinata m dm 5 cm. So kakvi broevi se zapi{ani dimenziite na prostorijata? 8 Zapi{i po eden pove}eimen broj vo merkite za: a) dolìna; b) masa; v) vreme. Zapomni! Moè{ da zapi{e{: m + 5 cm = m 5 cm kg + dag + 5 g = kg dag 5 g Da zapomnam! Pove}eimen broj pretstavuva zbir na dva ili pove}e ednoimeni broevi od ist vid. 9 Pove}eimeniot broj 6 m dm cm pretstavi go kako zbir. Zbirovite: a) 6 kg + dag + g; b) 5 l + dl + cl pretstavi gi kako pove}eimeni broevi.

191 Treba da znae{! Da razlikuva{ imenuvan od nei me - nuvan broj; da prepoznava{ istoimeni broevi; koi imenuvani broevi se od ist vid; da objasni{ koj broj e ednoimen, a koj pove}eimen. Proveri se! Koj od broevite: knigi, 6 cm,, 7 deca i 8 e imenuvan, a koj neimenuvan? Koi od broevite kg, 6 dm, 8 g, 5 m i dm se: a) istoimeni b) od ist vid? Navedi primer na pove}eimen broj so ~lena vo merkite za te~nost. Zada~i 1.. Zapi{i dva imenuvani i dva neime - nuvani broja. 8. Dadeni se broevite: 5; 7 m; 1 kg dag; m dm; 8 hl; m; 9,6; kg, 6 m 5 dm; 7; kg; 9 hl; 7; 1 l; 8 m ; 5 l; 8; 1; ; 15 m. Napravi tabela i zapi{i gi broevite spored barawata: Izbroj gi knigite na policata. Zapi{i go toa kako imenuvan broj. neimenuvani; pove}eimeni; ednoimeni; istoimeni Zapi{i dva pove}eimeni broja: - edniot vo merkite za vreme; - drugiot vo merkite za te~nost. Kakov broj zapi{a? Zapi{i go vremeto (izra - zeno vo ~asovi, minuti i sekundi) {to go pokaùva ~asovnikot den. den. den. Denarite i denite zapi{i gi kako po ve}eimen broj. Zapi{i dva istoimeni broja. deni Zapi{i tri pove}eimeni broja koi se od ist vid. I ova e matematika! Se sretnale dvajca prijateli To{e i Petar. To{e go pra{al Petar: "Kade si prijatele, ne te gledam ~esto?# Petar odgovoril: "êsto odam vo razli~ni gradovi da gi zapoznaam ubavinite na Makedonija.# To{e pra{al: "Koi gradovi gi poseti?# Petar vedna{ mu odgovoril: "Prvata sabota vo eden mesec bev vo erovo, a vtorata sabota vo istiot mesec po prviot petok bev vo Strumica. Prvata sabota vo sledniot mesec bev vo Debar, a vtorata sabota vo istiot mesec po prviot petok bev vo Ohrid.# "Koj datum be{e vo Ohrid?#, pra{al To{e. Petar go pogle - dnal i odgovoril: "Datumot moè{ sam da go odredi{.# Na koj datum Petar bil vo Ohrid?

192 19 PRETVORWE N POVE]EIMEN ROJ VO EDNOIMEN ROJ Potseti se! 1 m = 10 dm, t.e. 1 m e 10 pati pogolem od od 1 dm. Kolku pati e pogolem: a) 1 m od 1cm? b) 1 kg od 1 g? v) 1 h od 1 min? 1 Pove}eimeniot broj m dm 7 cm pre tvori go vo ednoimen broj. Raboti spored postapkata i sporedi go re{enieto: Voo~i ja najmalata merna edinica vo brojot. ^lenovite so pogolema merna edinica pretvori gi vo najma lata merna edinica. Pretstavi go pove}eimeniot broj vo vid na zbir od istoimeni broevi (vo cm). Izvr{i go nazna~enoto sobirawe. Toa e centimetar (cm) m = 00 cm dm = 0 cm 00 cm + 0 cm + 7 cm 00 cm + 0 cm + 7 cm = 7 cm Voo~i vtor na~in na pretvorawe na pove}eimen vo ednoimen broj koristej}i gi sled - nite dve tvrdewa. Vo merkite za dolìna, masa i te~nost sekoja merna edinica e 10 pati pomala od neposredno pogolemata merna edinica. Vo dekaden broen sistem pozicijata na sekoja cifra e 10 pati pogolema od pozicijata na prethodnata cifra. m dm 7 cm = 7 cm Objasni zo{to 5 hg g = 5 hg 0 dag g = 50 g. Voo~i i zapomni! ko vo pove}eimeniot broj vo merkite za dolìna, masa ili te~nost nedo - sta suva po red nekoja merna edinica, na nejzinoto mesto se stava 0. Da zapomnam! Ovie pove}e ime ni broevi lesno gi zapi{uvam vo ednoimen broj. Gi bri{am pogolemite merni edinici, a ostanuva najmalata. Treba da vnimavam dali treba da stavam 0 i kade. Pretvori go vo ednoimen broj brojot dm 5 mm, primenuvaj}i gi dvete prikaàni postapki.

193 Pretvori gi vo ednoimeni broevi vo najmala edinica: a) 5 god mes. dena; b) mes. sedm. dena 5 ~asa; v) h min 15 s. (1 god = 65 dena, 1 mes. = 0 dena). 19 Voo~i deka pove}eimen broj vo merki za vreme ne moè{ da go pretvori{ vo ednoimen spored prikaàniot vtor na~in. Zo{to? 5 Pretvori go brojot 5 m dm 8 cm vo: a) decimetri; b) metri. Voo~i gi i zapomni gi postapkite! a) Vo decimetri: 5 m = 5 10 dm = 50 dm 8 cm = (8 : 10) dm = 0,8 dm 5 m dm 8 cm = 50 dm + dm + 0,8 dm = = 5,8 dm. b) Vo metri: dm = ( : 10) m = 0. m 8 cm = (8 : 100) m = 0,08 m 5 m dm 8 cm = 5 m + 0, dm + 0,08 m = = 5,8 m. Voo~i go vtoriot (skraten) na~in za pretvorawe na pove}eimen vo ednoimen broj. 5 m dm 8 cm = 5,8 dm. 5 m dm 8 cm = 5,8 m. Zabeleà! Moè{ da gi izbri{e{ mernite edinici, da stavi{ zapirka po merniot broj na mernata edinica vo koja se bara da go pretvori{ pove}eimeniot broj i na krajot da ja zapi{e{ taa merna edinica. ko vo redosledot nedostasuva nekoja merna edinica, na nejzino mesto se stava nula. 6 Pretvori go brojot 8 l 7 dl ml vo decilitri. Da zapomnam! ko pove}eimen broj pretvoram vo ednoimen broj vo merna edinica {to ne e najmala, toga{ merniot broj e decimalen. 7 Pretvori go brojot kg 6 dag 5 g vo kilogrami. Treba da znae{! Da pretvori{ pove}eimen broj vo ednoimen, vo koja bilo merna edinica i da koristi{ poprakti~ni postapki za pretvorawe; deka pri pretvorawe na pove}eimen vo ednoimen broj, vo najmala merna edini - ca od pove}eimeniot broj, merniot broj e priroden broj, a vo drugi slu~ai e decimalen. Proveri se! Pretvori gi vo ednoimeni broevi slednite pove}eimeni broevi: a) m dm 5 mm (vo mm); b) 9h 6 min 5 s (vo sekundi; vo minuti). Pretvori go brojot 6 kg 5g vo ednoimen broj vo: a) g; b) dag.

194 Zada~i Pretvori go vo ednoimen broj (vo najmalata merka vo brojot) brojot: a) 5 km dam 5 m; b) 7 hl 8 dal ml; v) t 6 kg 5 dag; g) 9 dena 8 h 7 min. Korab e visok km 7 hm 6 dam m. Kolku metri e visok Korab? Vremeto me u dve polni mese~ini iznesuva 9 dena 1 h min s. Kolku sekundi ima ovoj period.. Pretvori: a) 8 m dm cm vo dm; b) 8 km 9 dam 7 m vo km; v) 5 t 8 kg 7 hg 5 g vo kg; g) 9 kg 7 dag 5 g 8 mg vo g; d) 8 l 5 dl 6 ml vo dl. Zanimlivo pra{awe ko vo ~asot pa a do`d, dali po 8 ~asovi vremeto mo`e da bide son~evo? PRETVORWE N EDNOIMEN ROJ VO POVE]EIMEN ROJ Potseti se! rojot 8 se zapi{uva vo razviena forma na sledniot na~in: 8 = = Zapi{i gi broevite 76 i 8 05 vo raz vi ena forma. 9 Ednoimeniot broj 6 cm pretvori go vo pove }e - imen broj. Raboti spored postap ka - ta i sporedi go re{e ni - eto. Merniot broj pretstavi go vo razviena forma taka {to imenuvaniot broj da bide zbir na istoimeni broevi (vo cm). Spored razvienata forma na merniot broj pretvori gi centimetrite vo pogolemi merni edi nici i toa zapi{i go kako pove}eimen broj. Voo~i! 6 cm = m 6 dm cm Seto ova e to ~no samo za imenuva ni bro evi vo mer kite za dol`ina, masa i te~nost. Voo~i! 6 cm = 100 cm cm + cm 1 m dm + cm = = m 6 dm cm Poprakti~no! 5 7 mm = mm = 5 m dm cm 7 mm Me u cifrite od brojot treba da se os tavat prazni mesta; do cifrata na pozicijata edinici treba da se za - pi{e najmalata merka (toa e mm); do cifrata na desetki treba da se za pi{e 10 pati pogo lemata merka (toa e cm) itn.

195 Pretvori go vo pove}eimen broj, brojot: a) 50 g; b) 01 dl; v) 6008 mm. Pretvori go brojot 8715 s vo pove}eimen broj. 195 Voo~i ja postapkata i sporedi go re{enieto: ko brojot na sekundite go podeli{ so 60, }e dobie{ minuti i ostatok vo sekundi. ko brojot na minutite go podeli{ so 60, }e dobie{ ~asovi i ostatok vo minuti. ko ~asovite gi podeli{ so, toga{ {to e koli~nikot, a {to ostatokot? 8715 s : 60 = min i ostatok 1 s min : 60 = 1 h i ostatok 9 min 1 h : = 55 dena i ostatok h Voo~i! 8715 s = 55 d h 9 min 1 s. Voo~iv deka: ^lenovi na baraniot pove}eimen broj se: posledniot koli~nik (55 d) i trite ostatoci ( h, 9 min i 1 s) Pretvori gi ednoimenite broevi: min; 56 dena; 66 g; i 1 l vo pove}eime ni broevi. 5 Pretvori go vo metri brojot 8, cm. Voo~i gi postapkite i sporedi go re{enieto. I na~in 8, cm = (8, : 100) m; 8, cm = 0,08 m. II na~in Vnesi go brojot vo tabela so merni edinici. Zapirkata stavi ja zad mernata edinica vo koja pretvorame (m). Zna~i, 8, cm = 0,08 m. km hm dam m dm cm mm ,, 6 Pretvori go brojot 6,8 m vo pove}eimen broj. Sostavi tabela so merni edinici i vo nea vnesi go brojot. Pro~itaj go brojot. km hm dam m dm cm mm , Od tabelata se ~ita: 6,8 m = 6 m dm 8 cm mm. 7 rojot {to e vo tabelata pretstavi go: a) kako pove }eimen broj; b) vo dg; v) vo kg. kg hg dag g dg cg mg

196 196 Treba da znae{! Proveri se! Da pretvori{ ednoimen broj vo pove - }eimen broj i da koristi{ poprakti~ni postapki za pretvorawe. Pretvori go vo poeve}eimen broj brojot: a) 6 75 mm; b) 60 ml; v) 00 s. Zada~i 1. Ednoimeniot broj pretvori go vo pove}eimen:. Pretvori go brojot vo pove}eimen broj bez da koristi{ tabela: a) 0 mm; b) 007 cm; a),05 m; b) 5 0,67 g; v) 7 06 dg; g) 7 6 mg; v),15 l; g) 0,7 kg. d) 1 05 ml; ) dl.. 6 Ednoimeniot broj vnesi go vo tabela, a potoa zapi{i go vo pove}eimen broj: a) 87,5 m; b) 0,0 dam; v) 0,05 g; g) 01,5 dl.. Mese~inata ja obikoluva Zemjata za 551 sekundi. Pretvori go ovoj broj vo pove}eimen (vo: denovi, ~asovi, minuti i sekundi). OPERCII SO IMENUVNI ROEVI Potseti se! Nabroj gi merkite za dolìna, masa, te~ - nost, vreme i temperatura. Koja e osnov na - ta merna edinica za sekoja od merkite? Zapi{i: a) 8 m dm mm vo milimetri; b) 7 kg 5 dag g vo gramovi; v) 7 dal 7 l 5 dl vo decilitri; g) d h 8 min vo minuti. Zapi{i go brojot vo pove}eimen broj: a) 507 g; b) 7 0 dl; v) 005 m; g) 5 0 min. 1 Edna letva ima m 7 dm cm, a druga m cm. Kolkava e vkupnata dolìna na let vite? Potrebno e da se presmeta zbirot od dol - ìnite na dvete letvi. Toa moè da se napravi na dva na~ina. Voo~i ja postapkata i sporedi go re{enieto. I. Zapi{i gi pove}eimenite broevi taka {to istoimenite ~lenovi da bidat eden pod drug Presmetaj go zbirot na sekoj par istoimeni ~lenovi. m 7 dm cm m 0 dm cm m 7 dm cm + m 0 dm cm 5 m 7 dm 6 cm

197 Voo~i! + m 7 dm cm + m cm = 5 m 7 dm 6 cm Zbirot na pove}eimenite broevi go odrediv taka {to sobrav centi - metri so centimetri, decimetri so decimetri i metri so metri. Voo~i go zbi rot na broevite 5 dm 9 cm i dm cm. 5 dm 9 cm + dm cm 8 dm 1 cm = 9 dm cm ko nekoj ~len vo zbirot so drì pogolema merna edi nica, toga{ taa se dodava na ~lenot pred nego. II. Raboti spored barawata i voo~i drug na~in na re{avawe: Pretvori gi pove}eimenite broevi vo ednoimeni bro evi vo najmalata merna edinica taka {to tie da bidat istoimeni. Odredi go zbirot na dobienite ednoimeni broevi. Dobieniot ednoimen broj pretvori go vo pove}eimen broj. Voo~i m 7 dm cm = 7 cm m cm = 0 cm 7 cm +0 cm = 576 cm 576 cm = 5 m 7 dm 6 cm m 7 dm cm + m cm = 7 cm + 0 cm = 576 cm = 5 m 7 dm 6 cm Presmetaj: m 5 dm mm + 7 m 9 cm 8 mm - m dm mm. Raboti spored slednite upatstva: Presmetaj go zbirot na broevite m 5 dm mm i 7 m 9 cm 8 mm. Od presmetaniot zbir odzemi go brojot m dm mm. Voo~i ja razlikata na bro evite 7 dm cm i dm 6 cm. 6 dm 10 cm 7 dm cm - dm 6 cm dm 8 cm Zabeleà deka: cm e pomalo od 6 cm; od 7 dm odzede 1 dm; 1 dm = 10 cm; 10 cm + cm = 1 cm; 1 cm - 6 cm = 8 cm; 6 dm - dm = dm. Presmetaj m cm mm. Moè da se presmeta na dva na~ina: I. Sekoj ~len na pove}eimeniot broj pomnoì go so. ko pri mnoèweto dobie{ broj {to sodrì pogolema merna edinica, nea dodaj ja na soodvetnata pogolema mer na edinica.

198 198 m cm mm = 6 m 1 cm 9 mm = 6 m 1 dm cm 9 mm Voo~i drug na~in na re{avawe. II. Pove}eimeniot broj pretvori go vo ednoimen broj (vo mm); dobieniot ednoimen broj pomnoì go so ; dobieniot proizvod pretvori go vo pove}eimen broj. m cm mm = 0 mm = 619 mm = 6 m 1 dm cm 9 mm. Presmetaj 1 km 9 dam 6 m :. Moè da se presmeta na dva na~ina: I. Sekoj ~len vo pove}eimeniot broj podeli go so ; 1 km 9 dam 6 m : = km dam m Vaka e poprakti~no: II. Pove}eimeniot broj pretvori go vo ednoimen broj; presmetaj go koli~nikot na ednoimeniot broj i brojot ; dobieniot koli~nik pretvori go vo pove}eimen broj. 1 km 9 dam 6 m : = 1096 m : = 0 m = km dam m. 5 Presmetaj: m 5 dm mm - 9 dm 6 cm :. V 6 Presmetaj: 5 kg 7 dag 8 g + 9 hg 8 dag g. Zbirot moè{ da go presmeta{ na dva na~ina. Postapi spored barawata: I. na~in Zapi{i gi pove}eimenite broevi eden pod drug, taka {to istoimeni te broevi da bidat na ista verti kalna prava. Izvr{i go sobiraweto na istoime ni te broevi. ko vo zbirot ima pogolema merna edinica nea dodaj ja na soodvetnata pogolema merna edinica. II. na~in Pretvori gi pove}eimenite broevi vo ednoimeni broevi vo nejmalata merna edinica (vo gramovi). Izvr{i go sobiraweto. Presmetaniot zbir pretvori go vo pove}eimen broj. Zbir ili razlika na pove}eimeni broevi od merkite za masa i od merkite za te~nost se odreduva na ist na~in kako {to se odreduvaat i za pove}eimenite broevi od merkite za dolìna. Na ist na~in se mnoì, odnosno deli, pove}eimen broj od tie merki so imenuvan broj.

199 7 8 Presmetaj: l 5 dl 5 ml + 6 dal dl. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto: 5 l 5 dl 5 ml + 6 dal dl = 6 dal 5 l 9 dl 5 ml. Voo~i deka, za da gi sobere{ dvata pove}eimeni broevi spored vtoriot na~in, potrebno e dvata pove}eimeni broevi da gi pretvori{ vo ednoimeni so ista merna edinica. 5 l 5 dl 5 ml + 6 dal dl = ml ml = ml = 6 dal 5 l 9 dl 5 ml. Odredi ja vrednosta na izrazot: a) kg - 6 dag g + 9 kg 8 hg 5 dag; b) 7 kl 5 dal 6 l 9 dl - 7 hl 8 l 5 dl + 6 kl dal dl rojot 5 t 6 kg 8 dag zgolemi go pati. 5 t 6 kg 8 dag = dag. Izvr{i go mno`eweto i dobieniot ednoimen broj zapi{i go vo pove}eimen. 10 Presmetaj: a) kg hg 5 dag g : 9; b) l 5 cl dal l 6 dl 5 cl : 5. G 11 Mimoza se rodila koga Kire imal 6 g mes 8 dena. Sega Mimoza ima 10 g. 11 mes. dena. Kolku godini ima Kire? Za da ja odredi{ starosta na Kire, treba da postapi{ na sledniot na~in. Odredi go zbirot na pove}eimenite broevi. Pogolemite merni edinici dodaj gi na soodvetnata povisoka merna edinica. 6 g. mes. 8 dena + 10 g. 11 mes. dena 16 g. 1 mes. dena 1 g. mes. 1 mes. dena 17 g. mes. dena 1 Presmetaj: 5 g. 6 mes.1 dena - g. 5 mes. 6 dena : 9. Postapi spored barawata: Pretvori gi pove}eimenite broevi vo ednoimeni (vo denovi). Izvr{i gi nazna~enite operacii so dobienite ednoimeni broevi. Dobieniot rezultat pretvori go vo pove}eimen broj. 5 g. 6 mes. 1 dena = 017 dena g. 5 mes. 6 dena = 151 den 017 dena den : 9 = = 6051 den - 19 dena = 591 dena 591 dena : 65 = 16 g. i ostatok 7 dena 591 dena = 16 g. mes. 1 dena 1 Simo prestojuval vo stranstvo 8 g. 7 mes., a negoviot sin Zoran 5 pati pokuso vreme. Kolku vreme Zoran prestojuval vo stranstvo?

200 00 Treba da znae{! Proveri se! Da presmeta{ zbir i razlika na pove - }eimeni broevi od merkite za dol `i - na, masa te~nost i vreme; sobiraweto i odzemaweto na pove}e - imenite broevi da go izveduva{ na dva na~ini: sobirawe, odnosno odzemawe, na istoimenite ~lenovi ili so pre - tvorawe na pove}eimenite broevi vo ednoimen; da presmeta{ proizvod, odnosno koli - ~nik na pove}eimen broj so neimenuvan broj na dva na~ina: so mno`ewe, odno - sno delewe na ~lenovite na pove}e i - meniot broj so neimenuvaniot, ili so pretvorawe na pove}eimeniot broj vo ednoimen. Presmetaj: 7 m cm 5 mm + m dm cm dm 8 cm 7 mm; 7 t 5 kg 8 g + 5 kg 9 g - t 15 kg; 7 hl 7 l ml + 5 dal l 6 cl; 1 g. 6 mes. 7 den g. 8 mes. 0 den. Presmetaj: 5 m dm cm 7; 9 m 6 cm mm : ; t kg dag : kg dag ; l cl ml 5 - l 5 cl ml : 9; 6 g. 9 mes. + 15g. 8 mes. 9den. : 9. Zada~i 1. Presmetaj: a) m 8 dm + 6 dm cm + 5 cm 9 mm; b) km dam 5 m - 8 dam 6 m; v) 9 m - 6 m dm 5 cm + dm cm. 6. Vo prodavnicata e doneseno 6 hl dal 5 l sok koj }e se prodava po 5 denari za 1 l, i 15 kg jabolka po 0 denari za 1 kg. Kol ku denari ~inat sokot i jabolkata zaedno?. Presmetaj: a) M, ako M = 6 m 7 dm mm; b) P :, ako P = 8 dm 6 cm mm; v) 9 m 7 cm mm : 8; g) (6 cm - dm cm) : Presmetaj: + - C ako: a) = t kg; = 05 dag C = 05 kg 6 dag. b) = l cl; = dal dl C = 1 l dl ml. ko e M = 6 l cl, kolku e: a) M ; b) M - ml; v) M : 9. Pretprijatieto dobilo 8 sandaci stoka. Sekoj sandak ima 1 t 16 kg. Odredi ja masata na nabavenata stoka Presmetaj: 1 kg g : 9; 5 l 7 dl cl : 7; 1 t 6 kg : 8. Doma}inkata potro{ila 1 kg hg dag bra{no za 6 dena. Kolku bra{no prose~no tro{ela dnevno? Kolku bra{no potro{ila prvite 5 dena? Vozot, spored vozniot red stignuva vo 18 h 5 min. ko docni 1 h min, vo kolku ~asot }e stigne?

201 7 MERKI Z PLO[TIN 01 Potseti se! Odredi ja plo{tinata na pra - voagolnikot, spored dade nite dimenzii. 5 cm cm Vo koja merna edinica ja izrazi plo{tinata na pravo - agolnikot? Zapomni 1 Odredi ja plo{tinata na figurata na crte`ot. Vo koja merna edinica ja presmeta plo{tinata na figurata? 1 cm cm 1 cm cm Plo{tinata na Ohridskoto Ezero e 9 km. So koja merka e iska`ana plo {ti nata na Ohridskoto Ezero? Nabroj i drugi merki za plo{tina. Osnovna merna edinica za plo{tina e kvadraten metar (m ). Kvadraten metar e plo{tinata na kvadrat so strana 1 m. Pogolemi i pomali merni edinici od kvadraten metar se navedeni vo slednava tabela. Pogolemi merni edi ni ci od kvadra - ten metar se: Pomali merni edi - ni ci od kvadraten metar se: kvadraten dekametar (dam ) 1 dam 100 :100 1 dm kvadraten decimetar (dm ) kvadraten hektometar (hm ) 1 hm m : cm kvadraten centimetar (cm ) kvadraten kilometar (km ) 1 km : mm kvadraten milimetar (mm ) Za merkite hm i dam se upotrebuvaat imiwata hektar (ha) i ar (a), t.e. 1 ha = 1 hm i 1 a = 1 dam. Voo~i gi i zapomni gi vrskite me u kvadraten metar i drugite merki za plo{tina. 1 km = 100 ha = a = m 1 ha = 100 a = m 1 a = 100 m 1 m = 100 dm = cm = mm 1 dm = 100 cm = mm 1 cm = 100 mm

202 0 Konstruiraj kvadraten decimetar, podeli go na kvadratni centi me tri i oboj go kako na crteòv. Kolku cm ima vo 1 dm? 1 Koja plo{tina e pogolema: 1 m ili 100 dm? Koj meren broj treba da stoi na mestoto na za da bide to~no: 1 m = dm 1 dm = cm 1 m = cm 1 dm = mm 1 m = mm 1 cm = mm 5 6 Da zapomnam! Sekoja merka za plo{tina e 100 pa ti pomala od merkata {to e neposredno po golema od nea. 1 dm mm cm Treba da znae{! Koja e osnovnata merna edinica za plo{tina; da gi nabroi{ pogolemite i pomalite merki za plo{tina od kvadraten metar; koi se vrskite me u mernite edinici za plo{tina. Proveri se! Kolku a) kvadrtani decimetri; b) kvadrtani centimetri ima vo 5 m? Kolku a) kvadrtani hektometri (hm ); b) kvadrtani dekametri (dam ); v) kvadrtani metri (m ) ima vo km? Kolku km ima vo 00 ha? Zada~i 1. Kolku a) kvadratni centimetri; b) kvadratni milimetri ima vo 7 dm?. U~ili{niot dvor so forma na pravoagolnik ima dolìna 65 m i {irina 5 m. Kolku a) kvadratni metri; b) ari ima toj dvor?. Se prodava edna niva od ha. Sopstvenikot ja prodal taka {to za sekoj m dobil po 0 denari. Kolku vkupno dobil za nivata?. Dolìnata na edna pravoagolna soba e 8 m, a {irinata e 6 m. Sobata treba da se poplo~i so kvadratni plo~ki od po 100 cm. Kolku takvi plo~ki se potrebni za poplo~uvawe na sobata?

203 8 MERKI Z VOLUMEN 0 K Potseti se! Kvadratot K na crteòt se sodrì to~no 8 pati vo pravoagolnikot P. P 1 Na crteòt e pretstavena ko c - ka Y i kvadar T. Kvadarot T e sostaven od kocki, ednakvi so kockata Y. T Y Kolku e merniot broj na pravoagolnikot P vo odnos na kvadratot K? Tuka kvadratot K e zemen za edini~en kvadrat, t.e. kako merka za merewe na pravoagolnikot P. [to pretstavuvaat 8-te kvadrati K za pravoagolnikot P? Koi merki za plo{tina znae{? Voo~i! Utvrdi so broewe, od kolku ta k - vi kocki e sostaven kvadarot T (t.e. kolku pati kockata Y se so - drì vo kvadarot T). Kvadarot T zafa}a to~no 6 kocki, edna k - vi so kockata Y, zatoa velime de ka: merniot broj na kvadarot T vo odnos na kockata Y e 6, ili: volumenot na kva da - rot T e 6 vo odnos na kockata Y. Kockata Y e zemena za edini~na kocka, t.e. kako merka za sporeduvawe na zafat ni - nata na kvadarot T so zafatninata na kockata Y. Da zapomnam! Za da iz meram volumen na nekoj kvadar, tre ba da izbrojam kolku edi ni ~ ni kocki moàm da slo àm vo toj kvadar. Zapomni! Kockata {to ja izbravme za merewe na kvadarot se vika edini~na kocka. Merniot broj na toj kvadar vo odnos na edini~nata kocka se vika volumen (ili zafatnina) na kvadarot. Osnovna edinica za merewe volumen e kuben metar. Zapi{uvame: 1 m, ~itame: eden kuben metar. Kuben metar e volumen {to go zafa}a kocka so rab 1 m. Se upotrebuvaat i pomali edi nici od kuben metar. Voo~i ja tabelata. Pomali merni edinici od kuben metar: 1 m : : dm 1 cm kuben decimetar (dm ) kuben centimetar (cm ) : mm kuben milimetar (mm )

204 0 Da zapomnam! Edna mer ka za volumen e pati pogolema od nepo sredno poma lata merka. Vo pregledot e daden odnosot me u mernite edinici za volumen. 1 m = dm 1 dm = cm = cm = mm = mm 1 cm = mm Objasni zo{to 1 dm ima cm. Voo~i go crte`ot i raboti spored postapkata. Kolku kocki so volumen 1 cm mo`e{ da naredi{ edna do druga po rabot na kocka so volumen 1 dm? Kolku takvi redovi ti se potrebni za da ja pokrie{ osnovata na kockata od 1 dm? Kolku takvi sloevi ti se potrebni za da ja ispolni{ kockata od 1 dm?

205 Voo~i! Po rabot moè{ da naredi{ 10 kocki so volumen 1 cm ; ti trebaat 10 redovi po 10 cm ; t.e. 100 cm ; ti trebaat 10 sloevi po 100 cm, t.e cm. 05 So broewe utvrdi od kolku kocki so volumen 1 cm e sostavena ovaa figura (kvadar). Od 1 kocki so volumen 1 cm sostavi kvadar. Toa moè{ da go napravi{ na u{te na~ini pokraj prikaàniot. Obidi se! 1 cm Treba da znae{! Koja e osnovnata merna edinica za volumen; da gi nabroi{ pogolemite i pomalite merki za volumen od eden kuben metar; koi se vrskite me u mernite edinici za volumen. Proveri se! Kolku pati mernata edinica 1 m e pogolema od 1 cm? Kolku pati mernata edinica za volumen e pogolema od neposredno pomalata merna edinica? Kolku a) dm ; b) cm ima vo 5 m? Zada~i 1. Nabroj gi mernite edinici za volumen {to se pomali od m.. Kolku dm ima vo m? Problemi! Ima{ dva sada od l i 5 l. So pomo{ na ovie sadovi izmeri l voda.. Kolku m ima vo: a) dm ; b) 500 dm ; v) cm? l 5 l mm zapi{i gi vo cm.

206 06 9 VOLUMEN N KVDR I KOCK Potseti se! So broewe na kockite od koi e so - staven kvadarot, odredi go negoviot volumen. 1 Presmetaj go volumenot na kva - darot od crteòt, ako dolì - nite na ne govite rabovi se cm, cm i cm. 1 1 cm 1 cm 1 cm 1 cm Kvadarot 1 e sostaven od 1 kocki so volumen 1 cm. Spored toa kvadarot 1 ima volumen V 1 = 1 cm. Odredi gi volumenite na kvadarot i kvadarot. Voo~i i zapomni! Voo~i gi na gornata plo~a ze lenata, òltata i sinata pra~ka. Po kolku edini~ni kocki, t.e. po kolku kubni centimetri ima sekoja? Voo~i deka i vo dolnata ( cr venata ) plo~a ima isto tolku edini~ni kocki, t.e. isto tolku kubni centimetri. Kolku vkupno edini~ni kocki, t.e. ku bni centimetri ima vo kvadarot? Vo kvadarot ima ( ) edini~ni kocki, t.e. ( ) kubni centimetri. Volumenot na kvadarot e edini~ni kocki, odnosno cm. Zapi{uvame: V = cm kade {to V e oznaka za volumen, a e meren broj na volumenot. Sigurno voo~i deka toj e ednakov na proizvodot od mernite broevi na tri sosedni raba na ovoj kvadar; tie se vikaat dolìna, {irina i visina (ili kuso dimenzii) na kvadarot. Odredi go volumenot na kvadar so dimenzii: a) 5 cm, 6 cm i 10 cm; b) 16 cm, dm i 5 dm; v) a cm, b cm i c cm. U~ilnicata ima forma na kvadar so dolìna 11 m, {irina 7 m i visina m. Kolku kubni metri prostor ima u~ilnicata?

207 Zapomni! Volumenot V na kvadar so dolìna na rabovite a, b i c se c b a 07 presmetuva po formulata V = a b c. Voo~iv deka volumen na kvadar }e presmetam, ako gi pomnoàm nego vite dimenzii. Rabovite na eden kvadar se: a = 6 dm, b = 8 dm i c = 9 dm. So pomo{ na formulata presmetaj go volumenot na kvadarot. Potseti se! Figurata na crteòt e formirana od ednakvi kocki so rab 1 cm. Voo~i gi rabovite na figurata. Kakvi se me u sebe? Dali ovaa figura moè da se imenuva kako kvadar so ednakvi dimenzii? Kako e to~no imeto na ovaa figura? So broewe utvrdi od kolku kocki e sostavena taa. 5 Presmetaj go volumenot na kocka so rab 5 cm. Kakvi se rabovite na kockata me u sebe? Voo~i deka kockata e kvadar na kogo rabovite mu se ednakvi a = b = c. Iskoristi ja formulata za volumen na kvadar i so pomo{ na nea presmetaj volu men na kocka. V = a a a ili V = a a se ~ita a na treti ili a na kub. Zapomni! Volumenot V na kocka so dolìna na rabot a se presmetuva po formu - lata V = a. a a a 6 Presmetaj go volumenot na kocka {to ima rab: a) 6 cm; b) 0 cm vo dm ; v) dm vo m. 1 dm Upatstvo: b) a = 0 cm = dm; V = dm, odnosno V = 7 dm. 7 [to ima pogolem volumen - kocka so rab 1 cm ili kvadar so rabovi 1 cm, 1 cm i 15 cm?

208 08 V Potseti se! 1 dm 1 l Kako se vika osnovnata merka za te~nost? Dali kutija vo forma na kocka so rab 1 dm sobira 1 l mineralna voda? Proveri go ova doma, ako ima{ mo`nost. Zapomni! Osnovnata merka za te~nost se vika litar, t.e. litar e drugo ime za kuben decimetar. 8 a) Kolku kubni decimetri ima vo 1 l? b) Kolku litri ima vo 60 dm? Treba da znae{! Kako se presmetuva volumen na kvadar; da presmeta{ volumen na kvadar ako se zadadeni negovite dimenzii; deka kockata e kvadar ~ii{to rabovi se ednakvi me u sebe; da presmeta{ volumen na kocka ako e zadaden eden nejzin rab. Proveri se! Kolku e volumenot na kvadar so rabovi m, m i 10 m? Kolku e volumenot na kocka so rab 7 cm? Kolku litri sobira kutija vo forma na kocka so rab dm? Zada~i 1... Edniot rab na kvadar e 8 cm, a drugite dva se ednakvi i pomali od prviot za cm. Kolkav e volumenot na kvada rot? Najdi kutija za ~evli, izmeri {to e potrebno i presmetaj go nejziniot volumen. Volumenot na edna prostorija vo for - ma na kvadar e 108 m. Dolìnata e 9 m, a {irinata e m. Kolku metri e visinata na prostorijata? Edna kocka ima plo{tina cm. Kolku e nejziniot volumen? Greda od ela ima dolìna 7 m. Na kra - evite ima forma na kvadrat so rab 0 cm. Kolku kubni metri ima gredata? Edna kocka ima volumen 8 dm. Pre - smetaj ja plo{tinata na kockata. kvarium so dolìna 70 cm, {irina 0 cm i visina 5 cm, napolnet e so voda do 0 cm visina. Kolku litri voda ima vo akvariumot?

209 Istra`i sam! 09 1 Edno semejstvo izvr{ilo proverka na tro{ocite za voda vo prvite 9 meseci vo godinata. Vo tabelata e dadena potro{uva~kata na voda za sekoj mesec vo m. Mesec Presmetaj: Januari Fevruari Mart pril Maj Juni Juli vgust Septemvri Potro{uva~ka na voda vo m Kolku kubni metri voda potro{ilo semejstvoto za 9 meseci? Najdi aritmeti~ka sredina na potro{enata voda za devette meseci. Kolku kubni metri voda, prose~no, tro{i semejstvoto sekoj mesec? Napravi tabela na podatoci za potro{eni pari~ni sredstva na semejstvoto za sekoj mesec. Cenata na vodata e 9,5 denari za m. Najdi aritmeti~ka sredina na pari~nite sredstva, {to gi tro{i semejstvoto sekoj mesec? Sostavi stolbest dijagram za potro{uva~kata na voda (vo m ), vo tekot na devette meseci. Pretstavi ja na nego aritmeti~kata sredina. Odredi od dijagramot vo koi meseci potro{uva~kata e povisoka od aritmeti~kata sredina. Presmetaj ja aritmeti~kata sredina (sredna vrednost) na uspehot po matematika vo tvojata paralelka. Presmetaj go tvojot sreden uspeh na krajot na u~ebnata godina.

Δείτε περισσότερα