41. Jednačine koje se svode na kvadratne

Transcript

1 . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k su Primer. Primeri simeričnih jednačina su: - je jedna simerična jednačina. Elemen je središnji elemen i on je simeričan samome sebi; njegovi susedni elemeni polinoma su i i njihovi koeficijeni su jednaki oba koeficijena su -), pa kažemo simerični; rubni elemeni polinoma su i i njihovi koeficijeni su jednaki oba koeficijena su ), pa kažemo da su simerični. Zbog ih parova jednakih koeficijenaa kažemo da je jednačina simerična. Ova simerična jednačina je parnog sepena jer joj je najveći sepen paran broj, a kao šo vidimo ima neparan broj elemenaa u polinomu ima jedan cenralni elemen i parove simeričnih elemenaa). - je akođe simerična jednačina. Ona nema cenralni elemen nego cenralni par sa simeričnim koeficijenima i ; oba koeficijena su ). Oko njih se šire parovi elemenaa sa jednakim koeficijenima par i i par i. Ova simerična jednačina je neparnog sepena jer joj je najveći sepen neparan broj i kao šo vidimo ima paran broj elemenaa u polinomu. Simerične jednačine zovemo još i recipročne zbog osobine da ako imaju rešenje onda imaju i rešenje Posupak rešavanja: Neka je daa jednačina: α,. α

2 o Ako je jednačina neparnog sepena onda ona ima paran broj elemenaa, svi parovi imaju jednake koeficijene, ali su u svakom paru sepeni elemena različie parnosi npr. i : je paran, a je neparan broj; i : je paran, a neparan broj...) i zao ako u polinom uvrsimo broj - dobićemo da je zbir, ) ) ) ) ) ) ), odnosno, jedno rešenje je -. o Podelimo polinom lineranim polinomom ). Osaka neće bii jer je nula polinoma. Količnik deljenja je simerična jednačina parnog sepena. ) ) : o Sada simerična jednačina ima središnji elemen i njime podelimo celu jednačinu. o Grupišemo elemene sa jednakim koeficijenima koeficijene izvučemo ispred zagrade ) o Uvodimo smenu:.

3 Za druge dve zagrade smenu moramo posebno izračunai ransformisai): - ako celu jednačinu kvadriramo kvadriramo celu desnu i celu levu sranu) dobijamo sledeće:, šo će bii smena za drugu zagradu. - ako celu jednačinu sepenujemo na reći sepen dobijamo: šo će bii smena u prvoj zagradi. o Jednačina sada dobija oblik ) )

4 o Rešimo polinom rećeg sepena pogledai: prvi razred srednje škole; nasavna oblas: Polinomi; nasavna jedinica: rešavanje polinoma rećeg sepena) i dobijemo rešenja:. 8 o Vraimo smenu za svaku dobijenu vrednos promenljive : i i ; ; i i ; je rešenje koje smo dobili u koraku o i o je rešenje svake simerične jednačine neparnog sepena. NAPOMENA. Ako reba da rešimo simeričnu jednačinu parnog sepena, počinjemo od koraka o Kososimerične jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo kososimerične jednačine, zbog simeričnosi apsolunih vrednosi koeficijenaa koji su međusobno supronih predznaka koeficijeni uz apsolunih vrednosi ali supronih predznaka). n i c i c respekivno) su jednakih Posupak rešavanja je sličan prehodnom zadaku, s im šo je jedno rešenje kososimeričnih jednačina uvek. Ako polinom kososimerične jednačine podelimo sa

5 ) dobićemo simeričnu jednačinu parnog sepena i posupci rešavanja se od ovog koraka poklapaju. Kod kososimerične jednačine koeficijen cenralnog elemena mora bii! Zašo? Ako posoji cenralni elemen onda je on sam sebi simeričan i ne može bii sam sebi kososimeričan jer ni jedan broj različi od nule) ne može bii isovremeno i poziivan i negaivan. Zao kososimerične jednačine parnog sepena nemaju cenralni elemen koeficijen im je jednak ) i one se rešavaju fakorisanjem. ZADATAK. Rešii jednačinu Rešenje: ) ) ) ) ). ) ) 8