Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1

Transcript

1 Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni odvodi višjih redov Lokalna linearizacija in totalni diferencial fukcije Verižno pravilo Jacobijeva matrika in posplošitev verižnega pravila Lokalni ekstremi funkcij več spremenljivk Globalni ekstremi funkcij več spremenljivk Vezani ekstremi V prostoru n-teric R n = {x = (x 1, x 2,..., x n ); x i R, i = 1,..., n} definiramo skalarni produkt in razdaljo < (x 1,..., x n ), (y 1,..., y n ) > := d(x, y) = x y = < x y, x y > = n x i y i i=1 n (x i y i ) 2. i=1

2 Naj bo a R n in ε > 0. Množico imenujemo ε-okolica točke a. K ε (a) = {x R n ; d(x, a) < ε} Če je n = 1, je K ε (a) = (a ε, a + ε). Če je n = 2, je K ε (a 1, a 2 ) odprt krog s središčem v (a 1, a 2 ) in polmerom ε. Če je n = 3, je K ε (a 1, a 2, a 3 ) odprta krogla s središčem v (a 1, a 2, a 3 ) in polmerom ε. Točka a je notranja točka množice A R n, če obstaja okolica K ε (a), ki je vsa vsebovana v A. Množico vseh notranjih točk menujemo notranjost množice A. Točka a je zunanja točka množice A R n, če obstaja okolica K ε (a), ki je vsa vsebovana v R n \A. Točka a je robna točka množice A R n, če vsaka okolica K ε (a) seka A in R n \A. Množico vseh robnih točk imenujemo rob množice A. Množica A R n je odprta, če je vsaka njena točka notranja točka. Množica A R n je zaprta, če vsebuje vse svoje robne točke. Množica A R n je omejena, če obstaja tak R > 0, da je A K R (0).

3 Zaporedje točk (T k ) k N R n konvergira k točki T 0 če je lim k T k T 0 = 0. lim T k = T 0, k Trditev Zaporedje točk (T k (x k, y k )) k N R 2 konvergira k točki T 0 (x 0, y 0 ), natanko tedaj ko lim k x k = x 0 in lim k y k = y 0. Predpis f, ki vsaki točki x = (x 1, x 2,..., x n ) D R n priredi natanko določeno realno število f (x), imenujemo funkcija n spremenljivk. Če imamo podan samo predpis f (x) = f (x 1, x 2,..., x n ), imenujemo množico vseh točk v R n za katere lahko izračunamo vrednost naravno definicijsko območje funkcije f in ga označimo z D(f ). Graf funkcije f : D(f ) R n R je množica G(f ) = {(x 1, x 2,..., x n, f (x 1, x 2,..., x n )); (x 1, x 2,..., x n ) D(f )} Množico točk za katero je vrednost funkcije konstantna, f (x) = C, imenujemo nivojnica ali nivojska krivulja.

4 zhx,yl= zhx,yl=x2 +y2 4 - x2 - y zhx,yl= zhx,yl=x2 -y2 x2 + y Limita in zveznost funkcije vec spremenljivk S tevilo λ je limita funkcije f : D Rn R v toc ki a = (a1,..., an ), c e za vsak ε > 0 obstaja tak δ > 0, da velja: c e je 0 < kx ak < δ, potem je f (x) λ < ε. Oznaka: λ = lim f (x) x a Funkcija f : D Rn R je v toc ki a = (a1,..., an ) D zvezna, c e obstaja limita limx a f (x) in c e je limx a = f (a). Funkcija f je zvezna na obmoc ju 4 D, c e je zvezna v vsaki njegovi toc ki.

5 Prav tako kot za funkcije ene spremenjivke tudi za funkcije več spremenljivk velja, da je vsota, razlika, produkt, kvocient in kompozitum zveznih funkcij tudi zvezna funkcija. V nadaljevanju se bomo zaradi lažjega označevanja v večini definicij omejili na funkcije dveh spremenljivk, ki ju bomo označevali z x in y. Vse definicije in izreke se da enostavno posplošiti za funkcije več spremenljivk. Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Naj bo f definirana na neki okolici točke (a, b) R 2. Funkcija f je v točki (a, b) parcialno odvedljiva po spremenljivki x, če obstaja limita lim h 0 f (a + h, b) f (a, b). h Limito imenujemo parcialni odvod funkcije f v točki (a, b) po x in jo označimo z f x (a, b) ali f x(a, b). Torej f x (a, b) f f (a + h, b) f (a, b) x(a, b) := lim. h 0 h

6 Naj bo f definirana na neki okolici točke (a, b) R 2. Funkcija f je v točki (a, b) parcialno odvedljiva po spremenljivki y, če obstaja limita lim k 0 f (a, b + k) f (a, b). k Limito imenujemo parcialni odvod funkcije f v točki (a, b) po y in jo označimo z f (a, b) ali f y (a, b). Torej f (a, b) f f (a, b + k) f (a, b) y (a, b) := lim. k 0 k Funkcijo parcialno odvajamo po eni od spremenljivk tako, da obravnavamo druge spremenljivke kot bi bile konstante. Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Če je f : D R n R parcialno odvedljiva po vseh spremenljivkah, imenujemo vektor (grad f )(x) f := ( f x 1 (x), f x 2 (x),..., f x n (x)) gradient funkcije f v točki x = (x 1,..., x n ) D. Naj bo f : D R n R, x = (x 1,..., x n ) D, s = (s 1,..., s n ) in s = 1. Če obstaja limita f (x + ts) f (x) ( s f )(x) := lim, t 0 t jo imenujemo odvod funkcije f v smeri s.

7 Trditev Naj bo f : D R n R zvezno parcialno odvedljiva po vseh spremenljivkah. Potem velja ( s f )(x) = < (grad f )(x), s >. Posledica ( s f )(x) je največji takrat, ko je s = (grad f )(x) (grad f )(x). Torej je grad f vektor, ki kaže v smeri najhitrejšega naraščanja funkcije f. Parcialni odvodi višjih redov Na odprti množici D R 2 definira preslikava (x, y) f x (x, y) funkcijo dveh spremenjivk, ki jo imenujemo parcialni odvod funkcije f po spremenljivki x. Prav tako definira preslikava (x, y) f (x, y) funkcijo dveh spremenjivk, ki jo imenujemo parcialni odvod funkcije f po spremenljivki y. Če obstajajo, lahko torej definiramo parcialne odvode drugega reda: 2 f x 2 := ( ) f 2 f x x x := ( ) f x 2 f 2 := ( f ) 2 f x := x ( ) f

8 Trditev Če za funkcijo f : D R 2 R, kjer je D odprta množica, obstajata mešana odvoda 2 f x, 2 f x in sta zvezni funkciji, potem sta enaka 2 f (x, y) = 2 x f (x, y). x Obstajajo primeri, ko oba mešana odvoda obstajata, a nista enaka. Analogno definiramo tudi odvode višjih redov. Lokalna linearizacija in totalni diferencial fukcije Izrek Naj za funkcijo f : D R 2 R, kjer je D odprta množica, obstajata parcialna odvoda f f x in, ki sta zvezna v točki (x, y). Potem obstajata taki funkciji ε 1 (h, k) in ε 2 (h, k), ki sta zvezni v točki (0, 0), da je ε 1 (0, 0) = ε 2 (0, 0) = 0, in velja enakost f (x+h, y+k) = f (x, y)+ f f (x, y) h+ x (x, y) k+ε 1(h, k) h+ε 2 (h, k) k za vsako točko (h, k), ki je dovolj blizu točke (0, 0). Zgornjo enakost imenujemo lokalna linearizacija funkcije f okrog točke (x, y). Izraz df = f f (x, y) h + (x, y) k x imenujemo totalni diferencial funkcije f v točki (x, y) pri prirastku (h, k).

9 Izrek (Posplošitev izreka o lokalni linearizaciji za funkcije več spremenljivk) Naj za funkcijo f : D R n R, kjer je D odprta množica, f obstajajo parcialni odvodi x i, ki so zvezni v točki x = (x 1,..., x n ). Potem obstajajo take funkcije ε i (h), h = (h 1,..., h n ), ki so zvezne v točki (0,..., 0), da je ε i (0) = 0, in velja enakost f (x + h) = f (x) + n i=1 f x i (x) h i + n ε i (h) h i i=1 za vsako točko h, ki je dovolj blizu točke 0 = (0,..., 0). Zgornjo enakost imenujemo lokalna linearizacija funkcije f okrog točke x. Verižno pravilo Izrek (Verižno pravilo za funkcijo dveh spremenljivk) Naj za funkcijo f : D R 2 R, kjer je D odprta množica, obstajata oba parcialna odvoda f f x in in naj bosta zvezni funkciji. Naj bosta funkciji x = u(t) in y = v(t) odvedljivi na intervalu (α, β) ter (u(t), v(t)) D za vsak t (α, β). Potem je funkcija g(t) = f (u(t), v(t)) odvedljiva na (α, β) in velja g (t) dg f (t) = dt x (u(t), v(t)) u (t) + f (u(t), v(t)) v (t)

10 Izrek (Posplošitev verižnega pravila za funkcije več spremenljivk) Naj za funkcijo f : D R n R, kjer je D odprta množica, f obstajajo vsi parcialni odvodi x i in naj bodo zvezne funkcije. Naj bodo funkcije x 1 = u 1 (t),..., x n = u n (t) odvedljive na intervalu (α, β) in naj bo (u 1 (t), u 2 (t),..., u n (t)) D za vsak t (α, β). Potem je funkcija g(t) = f (u 1 (t),..., u n (t)) odvedljiva na (α, β) in velja g (t) dg dt (t) = n i=1 f x i (u 1 (t),..., u n (t)) u i(t) Jacobijeva matrika in posplošitev verižnega pravila Naj bo D odprta podmnožica R n in f j : D R n R, j = 1,..., m, funkcije n realnih spremenljivk. Potem imenujemo funkcijo f = (f 1,..., f m ) : D R n R m vektorska funkcija. Vektorsko funkcijo f = (f 1,..., f j ) lahko lineariziramo okrog točke x, če lahko okrog točke x lineariziramo vsako funkcijo f j, j = 1,..., m. To pomeni, da funkcije f j zadoščajo pogojem iz izreka o lokalni linearizaciji.

11 Matriko dimenzije m n (Jac f)(x) = f 1 x 1 (x) f 2 x 1 (x). f m x 1 (x) f 1 x 2 (x) f 2 x 2 (x).... f m x 2 (x) f 1 x n (x) f 2 x n (x).... f m x n (x) imenujemo Jacobijeva matrika funkcije f=(f 1,..., f m ) v točki x. Trditev (Posplošitev verižnega pravila za vektorske funkcije) Naj bo f : A R n R m, g : B R m R k in f(a) B. Če lahko funkcijo f lokalno lineariziramo okrog točke a in funkcijo g okrog točke b = f (a), potem lahko funkcijo g f lokalno lineariziramo okrog točke a in (Jac (g f))(a) = (Jac g)(f(a)) (Jac f)(a). Naj bo f = (u, v) : D R 2 R 2, u = u(x, y) in v = v(x, y). Potem je Jacobijeva matrika funcije f enaka (Jac f)(x, y) = u u x (x, y) v v x (x, y) (x, y) (x, y)

12 Lokalni ekstremi funkcij več spremenljivk Naj bo D odprta podmnožica R n in f : D R n R. Funkcija f ima v točki a D lokalni maksimum ( lokalni minimum), če obstaja taka okolica K ε (a) točke a, da za vsak x K ε (a) velja f (x) f (a) (f (x) f (a)). Točko a D za katero velja (grad f )(a) = 0 imenujemo kritična ali stacionarna točka funkcije f. Trditev Naj bo D odprta podmnožica R n in f : D R n R. Če ima funkcija f ima v točli a D lokalni ekstrem in če je f parcialno odvedljiva po vseh svojih spremenljivkah, je a kritična točka funkcije f. Če je (grad f )(a) = 0, v točki a ni nujno lokalni ekstrem: f (x, y) = y 2 x 2 ima v a = (0, 0) sedlo.

13 Globalni ekstremi funkcij več spremenljivk Naj bo zaprta omejena podmnožica R n in f : R n R. Funkcija f ima v točli a D globalni maksimum ( globalni minimum), če velja f (x) f (a) (f (x) f (a)) za vsak x. Trditev Naj bo zaprta omejena podmnožica R n in f : R n R zvezna na. Potem funkcija f na doseže svoj globalni maksimum in svoj globalni minimum. Če je f tudi parcialno odvedljiva v notranjosti, potem ekstremne vrednosti doseže bodisi v notranjih stacionarne točke bodisi v robnih točkah območja. Vezani ekstremi Trditev (Metoda Lagrangeovih množiteljev) Naj bo D odprta podmnožica R n in funkcije f, g 1,... g m : D R naj bodo na D zvezno parcialno odvedljive po vseh spremenljivkah. Naj bo a D taka točka, da so vektorji (grad g k )(a), k = 1,... m, linearno neodvisni. Če obstaja taka okolica K ε (a), ε > 0, da je ali f (a) = max{f (x); x K ε (a), g 1 (x) =... = g m (x) = 0} f (a) = min{f (x); x K ε (a), g 1 (x) =... = g m (x) = 0}, potem obstajajo taki skalarji (Lagrangeovi množitelji) λ 1,... λ m, da je m grad(f + λ k g k )(a) = 0. k=1