Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

Transcript

1 Predizpit, Proseminar A, Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola y = cx 2 gre skozi točko C. Katera urejena trojka (a, b, c) ustreza pravilnim rešitvam za a, b in c? (Obkrožite pravilen rezultat!) A) (2, 4, 8) B) ( 1, 2, 4) C) ( 1, 8, 2) D) ( 1, 2, 1) E) (2, 8, 1 ) F) (2, 8, 4) Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. 2. Določite vrednost a tako, da bo polinom x 3 + 3x 2 + ax + 4 deljiv z x 2. (Obkrožite pravilen rezultat!) A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12 Pojasnite svoj rezultat! 3. Koliko je α 2 + β 2, če sta α in β kompleksni rešitvi kvadratne enačbe 3x 2 + 2x + 1 = 0? (Obkrožite pravilen rezultat!) A) 2 B) 1 C) 3 i 3 D) 3+i 3 E) 1 i 2 F) 1+i Kot med vektorjema a in b z dolžinama a = 2 in b = 3, merjen v radianih, je 2π. 3 Koliko je skalarni produkt a z b? (Obkrožite pravilen rezultat!) A) 2 B) 3 C) 6 2 D) 6 3 E) 6 3 F) 3 Koliko je a + 2 b? (Obkrožite pravilen rezultat!) A) 2 2 B) 2 3 C) 6 D) 2 7 E) 2 13 F) Za katere x-e velja log 3 x 2 < (log 3 x) 2? Ob skici pojasnite svoj odgovor. 6. Izračunajte: t sin(arctan(t)) + cos(arctan(t)) 1 + t 2 = Obkrožite pravilen rezultat! A) 1 1+t 2 B) 1 1+t 2 C) 1+t 1+t 2 D) t 1+t 2 E) 2t 1+t 2 F) 1 In ga utemeljite!

2 1. kolokvij, Proseminar A, Med rešitvami kompleksne enačbe z 3 i = 0 poiščite tisto, ki je najbližje kompleksnemu številu Dan je sistem dveh enačb s kompleksno spremenljivko z: z i = 2 in z (a + i) = 1 (a) Določite vsa realna števila a za katera ima sistem samo eno rešitev. (b) Določite vsa realna števila a za katera ima sistem natanko dve rešitvi. (c) Določite vsa realna števila a za katera ima sistem več kot dve rešitvi. (d) Določite vsa realna števila a za katera sistem nima rešitev. (e) Določite vsa kompleksna števila ω za katera ima sistem dveh enačb natanko eno rešitev. z i = 2 in z ω = 1 3. Dana je kvadratna funkcija f(x) = x 2 + 2x + 3. Preslikave ravnine xr k : (x, y) (kx, y), yr k : (x, y) (x, ky), gr k : (x, y) (kx, ky) imenujemo zaporedoma razteg s faktorjem k v smeri x-osi, razteg s faktorjem k v smeri y-osi in geometrijski razteg s faktorjem k iz točke (0, 0). Ugotovite, da x R 2, y R 2 in g R 2 preslikajo graf funkcije f(x) v grafe ustreznih kvadratnih funkcij x f 2 (x), y f 2 (x) in g f 2 (x). Pod točkami (a), (b) in (c) obkrožite pravilen rezultat. (a) Funkcija x f 2 (x) je podana z izrazom A) 4x 2 4x + 3 B) 2x 2 4x 6 C) x2 x D) 2x 2 4x 6 E) x2 x2 + 2x 6 F) x (b) Določite interval na katerem velja g f 2 (x) f(x)? A) (0, 4) B) ( 1, 3) C) ( 6, 2) D) ( 6, 3) E) ( 6, 6) F) ( 2 3, 3) (c) Določite teme y f 2 (x)? A) (1, 8) B) ( 1, 2) C) (1, 4) 2 D) ( 2, 4) E) ( 2, 8) F) ( 2, 8) (d) Na pregledni skici skicirajte in jasno označite vse štiri parabole. 4. Naj bo f(x) = log x (10 cos x). π (a) Določite realna števila x za katera je f(x) > 1.

3 (b) Katera od naslednjih izjav je pravilna? (Obkrožite!) A) Za vse x > 5π je f(x) definirana in večja od 2. B) Za vse x > 5π, za katere je f(x) definirana, je večja od 2. C) Za vse x > 5π je f(x) definirana in manjša od 1 2. D) Za vse x > 5π, za katere je f(x) definirana, je manjša od 1 2. E) Za vse x > 5π je f(x) definirana in manjša od 2. F) Za vse x > 5π, za katere je f(x) definirana, je večja od 1 2. (c) Utemeljite svoj dogovor pod (b).

4 2. kolokvij, Proseminar A, V ravnini sta podani točki A(1, 2) in B(1, 2) ter premici a : y = 0 in b : y = 20. Določite vse 9 9 točke T za katere velja d(t, A) = d(t, a) in d(t, B) = d(t, b). 2. Določite vse trojice števil (a, b, c) tako, da bo funkcija f(x) soda: (a) f(x) = a (x b) 2 + c (b) f(x) = a (x b) 3 + c (c) f(x) = a cos (2x b) + c (d) f(x) = a sin (2x b) + c 3. Dana je točka P (1, 0, 1) v xyz-prostoru. Za točko Q, naj bo točka R presek nosilke P Q in xy-ravnine. Določite/narišite množico vseh točk R, ko točka Q prepotuje krivuljo z = 1 y, za y > 0 v yz-ravnini. Če točke R v xy ravnini opišemo v obliki (x, f(x)), zapišite funkcijo f(x) in določite njeno definicijsko območje. 4. Točka P (t, t ) leži na grafu funkcije f(x) = x. Krožnica z radijem 2 t se v točki P 3 z zgornje strani dotika grafa funkcije f. Določite funkcijo, na grafu katere ležijo središča krožnic za vse vrednosti t. Skicirajte.

5 1. izpit, Proseminar A, Dana je funkcija f(x) = 1 sin(arctan x 1 x 2 ). Če in kolikor je mogoče funkcijo poenostavite, določite njeno definicijsko območje in skicirajte njen graf. 2. Poiščite vsa kompleksna števila z za katera velja z 6 = (z 3) 6 = Dana je točka P (2, 0, 1) v xyz-prostoru. Za točko Q, naj bo točka R presek nosilke P Q in xy-ravnine. Določite množico vseh točk R v ravnini xy, ko točka Q prepotuje krivuljo y 2 + (z 2) 2 = 1 v yz-ravnini. 4. Točka P (t, 1 t2 2 ) je točka na paraboli 2y + x2 2 = 0. Krožnica z radijem 1 + t 2 se v točki P dotika parabole. a) Določite lego središč krožnic, ki se parabole dotikajo z zgornje strani. b) Določite lego središč krožnic, ki se parabole dotikajo s spodnje strani.

6 2. izpit, Proseminar A, Določite vsa kompleksna števila z, ki ustrezajo enačbama z 8 = 1 in 2z = i. 2. Za funkcijo f(x) = log x 2 ( x + 1) določite: (a) definicijsko območje, (b) področje, kjer je funkcija negativna, (c) področje, kjer je funkcija med 0 in 1, (d) področje, kjer je funkcija večja od 1 in (e) (*) skico grafa. 3. Dani sta premici p : y = 2 3 x + 1 in q : y = 2x + 1. (a) Katera izmed premic vsebuje več celoštevilskih točk (m, n), m, n Z? (b) Znate poiskati točko (m, n), m, n Z, (m, n) p, ki je najbližje premici p? (c) (*) Znate poiskati točko (m, n), m, n Z, (m, n) q, ki je najbližje premici q? 4. Parabolo p : 2x 2 +8x y +8 = 0 prezrcalimo preko premice x y +1 = 0 in dobimo parabolo q. (a) Določite enačbo parabole q. (b) (Brez uporabe odvoda) določite (najmanjšo) razdaljo med parabolama p in q. (c) Določite ustrezni točki A p in B q v katerih se paraboli p in q najbolj približata druga drugi.

7 3. izpit, Proseminar A, Poiščite vsa cela števila n Z za katera je 2n+3 celo število. Zapišite vse take celoštevilske n 1 pare (n, 2n+3 2x+3 ). [Nasvet: Ob grafu racionalne funkcije f(x) = razmislite o možnih n 1 x 1 celoštevilskih točkah na grafu...] 2. Določite vsa kompleksna števila z, za katera velja Re(z) = 2 in z 1 i 2 = 2. Nalogo rešite geometrijsko in algebraično. 3. V koordinatnem sistem leži trikotnik ABC s stranicami a = 5, b = 4 2 in c = 7 in sicer tako, da je oglišče A v izhodišču, oglišče B v točki (7, 0), oglišče C pa je v prvem kvadrantu. P (x) naj bo ploščina preseka trikotnika ABC in polravnine {(t, y) t < x}. Določite funkcijo P (x) za vse x R. Določite minimum in maksimum funkcije. Določite kje funkcija pada in kje narašča. Skicirajte graf funkcije P (x). 4. Dana je točka P (0, 1, 2) v xyz-prostoru. Za točko Q, naj bo točka R presek nosilke P Q in xy-ravnine. Določite množico vseh točk R v ravnini xy, ko točka Q prepotuje krivuljo x 2 + (z 1) 2 = 1 v xz-ravnini.