Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Transcript

1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013

2 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 ) in z 2 = r 2 (cosϕ 2 +isinϕ 2 ). Potem je z 1 z 2 = r 1 r 2 (cosϕ 1 cosϕ 2 sinϕ 1 sinϕ 2 +i(cosϕ 1 sinϕ 2 +sinϕ 1 cosϕ 2 )) = r 1 r 2 (cos(ϕ 1 +ϕ 2 )+isin(ϕ 1 +ϕ 2 ))

3 Torej kompleksni števili zmnožimo tako, da zmnožimo njuni absolutni vrednosti, polarna kota pa seštejemo. Podobno z uporabo adicijskih izrekov pokažemo, da je z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(ϕ 1 ϕ 2 )+isin(ϕ 1 ϕ 2 )).

4 V posebnem primeru, ko je z 1 = z 2 = z = r(cosϕ+isinϕ), dobimo oziroma Moivrovo formulo kjer je n N. z 2 = r 2 (cos(2ϕ)+isin(2ϕ)), z n = r n (cos(nϕ)+isin(nϕ)),

5 Abraham de Moivre ( ) Ukvarjal se je s teorijo kompleksnih števil in teorijo verjetnosti. Bil je prijatelj Newtona, Halleya, Sterlinga.

6 Primer Naj bo z = 2 i 2. Izračunajmo z 8. Kompleksno število z najprej zapišemo v polarni obliki: z = ( 2) 2 +( 2) 2 = 2 ϕ = arctan 2 2 = π 4 Sledi z 8 = ( 2 i 2) 8 = 2 8 (cos(8 ( π 4 ))+isin(8 ( π 4 ))) = 256(cos( 2π)+isin( 2π)) = 256.

7 Naj bo z dano kompleksno število. Poiščimo vse rešitve enačbe w n = z. Opomba. Videli bomo, da ima ta enačba n rešitev. Izrazu, da je w n-ti koren števila z se bomo izogibali. Zapišimo kompleksni števili z in w v polarni obliki: z = r(cosϕ+isinϕ), w = ρ(cosψ +isinψ). Potem je po Moivrovi formuli ρ n (cos(nψ)+isin(nψ)) = r(cosϕ+isinϕ).

8 Sledi, da je ρ = r 1 n ψ = ϕ+2kπ n, kjer je k Z. Kljub temu, da je k lahko poljubno celo število, dobimo zaradi periodičnosti funkcij sinus in kosinus samo n različnih vrednosti izraza cos ϕ+2kπ n +isin ϕ+2kπ n.

9 Enačba w n = r(cosϕ+isinϕ) ima n rešitev in sicer ( w k = r 1 n cos ϕ+2kπ +isin ϕ+2kπ ), n n kjer je k = 0,1,...,n 1.

10 Primer Poiščimo vse rešitve enačbe w 4 = 1+i. Kompleksno število 1 + i najprej zapišemo v polarni obliki: 1+i = ( 1) = 2 ϕ = arctan 1 1 = 3π 4

11 Primer Sledi ( w k = 8 3π 4 2 cos +2kπ 3π 4 +isin +2kπ ), 4 4 k = 0,1,2,3. Dobimo štiri rešitve: w 0 = 8 2 ( cos 3π 16 w 1 = 8 2 ( cos 11π 16 w 2 = 8 2 ( cos 19π 16 w 3 = 8 2 ( cos 27π 16 ) 3π +isin 16 +isin 11π 16 +isin 19π 16 +isin 27π 16 ) ) )

12 Definicija zaporedja Definicija Zaporedje realnih števil je predpis, ki vsakemu naravnemu številu priredi realno število n... a 1 a 2 a 3... a n... Realno število a n imenujemo n-ti člen zaporedja, število n pa indeks člena a n. Členi zaporedja so torej urejeni in jih lahko zapišemo po vrsti a 1,a 2,a 3,...

13 Zaporedje a 1,a 2,a 3,... kratko zapišemo {a n } n N, a n imenujemo splošni člen zaporedja. Zaporedje ponavadi še krajše zapišemo {a n }. V nekateri literaturi je zaporedje zapisano (a n ).

14 Zaporedje lahko definiramo na več načinov: splošni člen a n je podan s predpisom odvisnim od n (eksplicitni zapis) naštejemo nekaj začetnih členov, splošni člen a n pa je podan s predpisom odvisnim od prejšnjih členov a n 1, a n 2,... (rekurzivni zapis)

15 Člene zaporedje {a n } lahko zelo nazorno predstavimo tudi s točkami (n,a n ) v ravnini ali s točkami a n na številski premici.

16 Primer 2,5,8,11,... a n = 3n 1 a 1 = 2, a n = a n

17 Aritmetično zaporedje a n+1 = a n +d Razlika poljubnih dveh zaporednih členov je konstantna. To razliko d imenujemo tudi diferenca aritmetičnega zaporedja. a n = a 1 +(n 1)d

18 Primer 1 2, 1 4, 1 8, 1 16,... a n = 1 2 n a 1 = 1 2, a n = 1 2 a n

19 Geometrično zaporedje a n+1 = a n q Količnik poljubnih dveh zaporednih členov je konstanten. Ta količnik q imenujemo tudi kvocient geometričnega zaporedja. a n = a 1 q n 1

20 Primer 1,1,1,1,... a n = 1 a 1 = 1, a n = a n 1

21 Primer ( ) n ( ) n a n = 1,1,2,3,5,... a 1 = 1, a 2 = 1, a n = a n 1 +a n 2 Fibonaccijevo zaporedje

22 Oglejmo si nekaj lastnosti zaporedij. Definicija Zaporedje {a n } je naraščajoče, če je a n+1 a n za vsak n N, in strogo naraščajoče, če je a n+1 > a n za vsak n N. Zaporedje {a n } je padajoče, če je a n+1 a n za vsak n N, in strogo padajoče, če je a n+1 < a n za vsak n N. Zaporedje je monotono, če je naraščajoče ali padajoče.

23 Definicija Zaporedje {a n } je navzgor omejeno, če obstaja tako realno število M, da je a n M za vsak n N. Število M imenujemo zgornja meja zaporedja {a n }. Zaporedje {a n } je navzdol omejeno, če obstaja tako realno število m, da je a n m za vsak n N. Število m imenujemo spodnja meja zaporedja {a n }. Zaporedje je omejeno, če je navzgor in navzdol omejeno.

24 Primer a n = n

25 Opomba Če je M zgornja meja zaporedja {a n }, potem je vsako realno število N > M tudi zgornja meja zaporedja {a n }

26 Definicija Najmanjšo izmed vseh zgornjih mej zaporedja {a n } imenujemo natančna zgornja meja ali supremum zaporedja {a n } in pišemo M 0 = supa n. n N Največjo izmed vseh spodnjih mej zaporedja {a n } imenujemo natančna spodnja meja ali infimum zaporedja {a n } in pišemo m 0 = inf n N a n.

27 Naj bo M 0 natančna zgornja meja. To pomeni, da je to najmanjša izmed vseh zgornjih mej. Če jo torej zmanjšamo za katerokoli, še tako majhno število ε > 0, potem M 0 ε ni več zgornja meja. To pa pomeni, da obstaja vsaj en tak člen a n0 zaporedja {a n }, da je a n0 > M 0 ε. Razmislili smo, da je M 0 supremum zaporedja {a n } natanko tedaj, ko za vsak ε > 0 obstaja tak indeks n 0, da je a n0 > M 0 ε.

28 Podobno velja, da je m 0 infimum zaporedja {a n } natanko tedaj, ko za vsak ε > 0 obstaja tak indeks n 0, da je a n0 < m 0 +ε. Opomba Natančno zgornja meja in natančna spodnja meja nista nujno člena zaporedja.