Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

Transcript

1 Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke dobvamo sprot z nekega procesa. Obravnaval bomo tr metode:. Eulerjevo metodo. Izboljšano Eulerjevo metodo 3. Metodo Runge-Kutta 44 Numerčno reševanje dferencaln enačb II Obravnaval bomo tr metode:. Eulerjevo metodo. Izboljšano Eulerjevo metodo 3. Metodo Runge-Kutta 45 Numerčno reševanje dferencaln enačb II Pr reševanju dferencaln enačb ščemo neznano funkcjo. Neznano funkcjo lako dobmo v oblk tabele, kar velja pr zgoraj naveden metoda, medtem, ko pr varacjsk metoda lako dobmo končne funkcjske vrste. Funkcjska vrsta je vsota, kjer so posamezn člen funkcje. Če je členov neskončno, govormo o neskončn vrst. Prmer funkcjske vrste: 3 4 e = L! 3! 4! = n= 0 n n! 46

2 Eulerjeva metoda Metoda deluje tako, da v dferencaln enačb odvode nadomestmo z njovm ulomljenm dferencam. Iz nekaj znan začetn vrednost funkcje ( 0,,, ) lako zračunamo začetne ulomljene dference: ( - 0 )/ ( )/ ( )/ ( - )/ ( )/ ( )/ ( 3 - )/ ( )/ ( 4-3 )/ Prmer Eulerjeve metode I Rešmo dferencalno enačbo: ' ( ) = ( ) ( 0) = 0. 5 V dferencalno enačbo vstavmo prvo končno dferenco, k ma splošno oblko: + = Dferencalna enačba dob oblko: + = 48 = + = = ( +) Prmer Eulerjeve metode II Iz enačbe zrazmo funkcjsko vrednost z najvšjm ndeksom. Če je enačba takšna, da to n mogoče, potem te metode ne moremo uporabt. Za prezkus kvaltete dobljen rezultatov, rešmo dferencalno enačbo tud analtčno. Uporabmo separacjo spremenljvk: d ' ( ) = = d d 49

3 d = d Prmer Eulerjeve metode III d = d ln ( ) = + C e C = e + = C e Konstanto C zračunamo tako, da je zpolnjena začetna vrednost: 0 ( ) = 0,5 = C e C 0, 5 0 = = 0,5 e 50 Prmer Eulerjeve metode IV Za korak ntegracje vzamemo vrednost 0,. 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 0,5000 0,556 0,607 0,6749 0,7459 0,844 0,9,0069,8,98,359 EU 0,5000 0,5500 0,6050 0,6655 0,73 0,8053 0,8858 0,9744,078,790,969 ε 0,00% 0,47% 0,93%,40%,86%,3%,77% 3,3% 3,68% 4,3% 4,58% 5 Prmer Eulerjeve metode V,6000,4000,000,0000 0,8000 EU 0,4000 0,000 0,0000 0,0 0, 0,4 0,6 0,8,0 5 3

4 Prmer Eulerjeve metode VI Za korak ntegracje vzamemo dvojno vrednost za prmerjavo natančnost zračuna, torej 0,. 0,0 0, 0,5000 0,607 EU 0,5000 ε 0,00%,75% 0,4 0,7459 0,700 3,47% 0,6 0,9 0,8640 5,7% 0,8,8,0368 6,83%,0,359,44 8,46% 53 Prmer Eulerjeve metode VII,6000,4000,000,0000 0,8000 EU 0,4000 0,000 0,0000 0,0 0, 0,4 0,6 0,8,0 54,6000 Prmer Eulerjeve metode VII,4000,000,0000 0,8000 () () 0,4000 0,000 0,0000 0,0 0, 0,4 0,6 0,8,0, 55 4

5 Izboljšava Eulerjeve metode I Metodo pozkušamo zboljšat z več doslednost. Opazujemo dve točk na krvulj, med katerma je razdalja. 56 Izboljšava Eulerjeve metode I Prblžna vrednost odvoda na ntervalu [, + ] je enaka tangensu naklonskega kota α sekante skoz dve točk. = + ' = tan( α) 57 Izboljšava Eulerjeve metode I Iz slke lako vdmo, da ma krvulja v točk znatno drugačen naklonsk kot β, kot ga ma sekanta. 58 5

6 Izboljšava Eulerjeve metode I Prblžek dferencalne enačbe smo zapsal v točk, saj smo za vrednost funkcje vzel. V tej točk pa je prblžek odvoda slab (α β). ' ( ) = ( ) + = 59 Izboljšava Eulerjeve metode I Tangens naklonskega kota sekante α je enak odvodu funkcje bolj prot sredn ntervala, v točk t. 60 Izboljšava Eulerjeve metode I Ker je prblžek odvoda točen v točk t, je smselno, da vzamemo tud vrednost funkcje v točk t. ( ) + t + Za prblžno vrednost funkcje vzamemo kar srednjo vrednost. 6 6

7 Izboljšava Eulerjeve metode II Govormo centraln prblžk odvodov ter funkcjsk vrednost al pa o robn vrednost. V prejšnjem zgledu je bla vrednost funkcje robna vrednost, vrednost odvoda pa centralna vrednost, zato je napaka zagotovo večja, saj dferenčne enačbe ne razvjemo okrog ste točke. Pr razvoju dferenčne enačbe je potrebno pazt, da jemljemo bods centralne odvode n vrednost funkcje, bods robne odvode n vrednost funkcje. Zapšmo sedaj dferenčno enačbo s samm centralnm prblžk: = 6 Izboljšava Eulerjeve metode III Iz enačbe zrazmo + : = + = = + ( ) = ( ) ( + ) = ( ) 63 Izboljšava Eulerjeve metode IV () ε zb () ε zb 0,0 0,5000 0,5000 0,00% 0,5000 0,00% 0, 0,556 0,5500 0,47% 0,556-0,0% 0, 0,607 0,6050 0,93% 0,608-0,0% 0,3 0,6749 0,6655,40% 0,675-0,03% 0,4 0,7459 0,73,86% 0,746-0,03% 0,5 0,844 0,8053,3% 0,847-0,04% 0,6 0,9 0,8858,77% 0,95-0,05% 0,7,0069 0,9744 3,3%,0075-0,06% 0,8,8,078 3,68%,35-0,07% 0,9,98,790 4,3%,307-0,08%,0,359,969 4,58%,3603-0,08% 64 7

8 ,6000 Izboljšava Eulerjeve metode V,4000,000,0000 0,8000 zb 0,4000 0,000 0,0000 0,0 0, 0,4 0,6 0,8,0, 65 8