13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
|
|
|
- Αμάραντος Φιλιππίδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj / 12
2 Enostranska Jacobijeva metoda Za matriko A R m n bi radi izračunali singularni razcep A = UΣV T. Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj / 12
3 Enostranska Jacobijeva metoda Za matriko A R m n bi radi izračunali singularni razcep A = UΣV T. Delamo s polno matriko A, ideja pa je podobna kot pri enostranski QR iteraciji. Mislimo si, da delamo Jacobijevo metodo za računanje lastnih vrednosti matrike A T A, pri čemer spet ne računamo A T A, temveč le posodobimo A. Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj / 12
4 Enostranska Jacobijeva metoda Za matriko A R m n bi radi izračunali singularni razcep A = UΣV T. Delamo s polno matriko A, ideja pa je podobna kot pri enostranski QR iteraciji. Mislimo si, da delamo Jacobijevo metodo za računanje lastnih vrednosti matrike A T A, pri čemer spet ne računamo A T A, temveč le posodobimo A. En korak Jacobijeve iteracije za A T A je: iz B = A T A dobimo B = R T pqbr pq. Namesto tega pri enostranski Jacobijevi metodi A posodobimo v à = AR pq, da velja ÃT à = B. Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj / 12
5 Podroben algoritem Algoritem A = oneside_jac(a, p, q) izračunaj b pp = (A T A) pp, b pq = (A T A) pq, b qq = (A T A) qq če velja b pq > ɛ b pp b qq, potem τ = bpp bqq 2b pq t = sign(τ) τ +, c = 1 1+τ 2 1+t, s = ct 2 A = AR pq (ϕ) J = JR pq (ϕ) (če potrebujemo tudi singularne vektorje). Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj / 12
6 Podroben algoritem Algoritem A = oneside_jac(a, p, q) izračunaj b pp = (A T A) pp, b pq = (A T A) pq, b qq = (A T A) qq če velja b pq > ɛ b pp b qq, potem τ = bpp bqq 2b pq t = sign(τ) τ +, c = 1 1+τ 2 1+t, s = ct 2 A = AR pq (ϕ) J = JR pq (ϕ) (če potrebujemo tudi singularne vektorje). Pri rotaciji (p, q) se v A spremenita stolpca p in q. Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj / 12
7 Podroben algoritem Algoritem A = oneside_jac(a, p, q) izračunaj b pp = (A T A) pp, b pq = (A T A) pq, b qq = (A T A) qq če velja b pq > ɛ b pp b qq, potem τ = bpp bqq 2b pq t = sign(τ) τ +, c = 1 1+τ 2 1+t, s = ct 2 A = AR pq (ϕ) J = JR pq (ϕ) (če potrebujemo tudi singularne vektorje). Pri rotaciji (p, q) se v A spremenita stolpca p in q. V poštev pride le pragovna varianta, saj bi morali pri klasični izračunati vse elemente A T A, da bi lahko poiskali maksimalni element in ustrezno rotacijo. Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj / 12
8 Podroben algoritem Algoritem A = oneside_jac(a, p, q) izračunaj b pp = (A T A) pp, b pq = (A T A) pq, b qq = (A T A) qq če velja b pq > ɛ b pp b qq, potem τ = bpp bqq 2b pq t = sign(τ) τ +, c = 1 1+τ 2 1+t, s = ct 2 A = AR pq (ϕ) J = JR pq (ϕ) (če potrebujemo tudi singularne vektorje). Pri rotaciji (p, q) se v A spremenita stolpca p in q. V poštev pride le pragovna varianta, saj bi morali pri klasični izračunati vse elemente A T A, da bi lahko poiskali maksimalni element in ustrezno rotacijo. Končamo, ko velja b pq ɛ b pp b qq za vse p q. Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj / 12
9 Kako razberemo singularni razcep Na koncu matrika A skonvergira proti taki matriki, da je A T A diagonalna matrika, ki ima na diagonali kvadrate singularnih vrednosti. Na koncu dobimo: σ i = A(:, i) 2, (to je v bistvu b ii ), U = [u 1 u n ], kjer je u i = 1 σ i A(:, i), V = J (če smo shranjevali produkte). Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj / 12
10 Pomožni rezultati Izrek Naj bo R točna Givensova rotacija (Householderjevo zrcaljenje) in R njena aproksimacija v plavajoči vejici. Potem je fl( RA) = R(A + E), E 2 = O(u) A 2 fl(a R) = (A + F )R, F 2 = O(u) A 2. Izrek Vzemimo zaporedje ortogonalnih transformacij (rotacij ali zrcaljenj) P 1,..., P j in Q 1,..., Q j. Za numerično izračunano matriko B = P j P 1 AQ 1 Q j velja kjer je E 2 = jo(u) A 2. B = P j P 1 (A + E)Q 1 Q j, Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj / 12
11 Relativni Weylov izrek Izrek (za lastne vrednosti) Naj bo A simetrična matrika z lastnimi vrednostmi λ n λ 1 in naj bodo λ n λ 1 lastne vrednosti matrike X T AX. Potem za i = 1,..., n velja kjer je ɛ = X T X I 2. λ i λ i λ i ɛ, Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj / 12
12 Relativni Weylov izrek Izrek (za lastne vrednosti) Naj bo A simetrična matrika z lastnimi vrednostmi λ n λ 1 in naj bodo λ n λ 1 lastne vrednosti matrike X T AX. Potem za i = 1,..., n velja kjer je ɛ = X T X I 2. λ i λ i λ i ɛ, Posledica (za singularne vrednosti) Naj bodo σ 1 σ n singularne vrednosti matrike A in σ 1 σ n singularne vrednosti Y T AX. Potem za i = 1,..., n velja σ i σ i σ i ɛ, kjer je ɛ = max( X T X I 2, Y T Y I 2 ). Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj / 12
13 Stabilnost Izrek Naj bo A = DX, kjer je D nesingularna diagonalna in X nesingularna matrika. Če à dobimo po m korakih enostranske Jacobijeve metode in so σ 1 σ n singularne vrednosti A, σ 1 σ n pa singularne vrednosti Ã, potem velja σ i σ i σ i O(mu)κ(X). Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj / 12
14 Stabilnost Izrek Naj bo A = DX, kjer je D nesingularna diagonalna in X nesingularna matrika. Če à dobimo po m korakih enostranske Jacobijeve metode in so σ 1 σ n singularne vrednosti A, σ 1 σ n pa singularne vrednosti Ã, potem velja Izrek σ i σ i σ i O(mu)κ(X). Če Jacobijevo enostransko metodo zaustavimo, ko za vse j k velja g jk ɛ g jj g kk, kjer je G = A T A, in so σ 1 σ n singularne vrednosti A, α α2 n pa diagonalni elementi G, potem je σ i α i nɛ α i. Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj / 12
15 Visoka relativna natančnost Jacobijeva metoda izračuna singularne vrednosti (in vektorje) z visoko relativno natančnostjo, če lahko zapišemo A = DX, kjer je X dobro pogojena matrika, D pa nesingularna diagonalna matrika. Jacobijeva metoda ponavadi deluje bolje od drugih v primeru, ko ima D elemente, ki se po velikosti bistveno razlikujejo. Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj / 12
16 Visoka relativna natančnost Jacobijeva metoda izračuna singularne vrednosti (in vektorje) z visoko relativno natančnostjo, če lahko zapišemo A = DX, kjer je X dobro pogojena matrika, D pa nesingularna diagonalna matrika. Jacobijeva metoda ponavadi deluje bolje od drugih v primeru, ko ima D elemente, ki se po velikosti bistveno razlikujejo. Za nesingularno bidiagonalno matriko je dqds direktno stabilen algoritem, problem pa je, če imamo na začetku polno matriko. Stabilnost lahko izgubimo pri redukciji na bidiagonalno obliko, kar se pri Jacobijevi metodi, kjer ni začetne redukcije, ne zgodi. Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj / 12
17 Zgled Naj bo kjer je δ = Velja 1 A = δ A = δ δ 0 0 δ 0 δ 0, δ 0 0 δ δ δ δ δ Po prvem koraku bidiagonalizacije dobimo 2δ 1/2 δ/2 1/2 δ/2 1/2 δ/2 0 1/2 + 5δ/6 1/2 δ/6 1/2 δ/6 0 1/2 δ/6 1/2 + 5δ/6 1/2 δ/6, 0 1/2 δ/6 1/2 δ/6 1/2 + 5δ/6 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj / 12
18 Zgled Matrika se zaokroži v 2δ 1/2 δ/2 1/2 δ/2 1/2 δ/2 0 1/2 + 5δ/6 1/2 δ/6 1/2 δ/6 0 1/2 δ/6 1/2 + 5δ/6 1/2 δ/6, 0 1/2 δ/6 1/2 δ/6 1/2 + 5δ/6 2δ 1/2 1/2 1/2 0 1/2 1/2 0 1/2 1/2 1/2 0 1/2 1/2 1/2 in v naslednjem koraku dobimo 2δ 3/ / Singularne vrednosti dobljene bidiagonalne matrike so 3, 3δ, 0, 0, točne singularne vrednosti pa so 3, 3δ, δ, δ. Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj / 12
19 Računanje lastnih vrednosti s.p.d. matrike Če je matrika A s.p.d., lahko lastni razcep izračunamo na naslednji način: a) izračunamo razcep Choleskega A = LL T, Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj / 12
20 Računanje lastnih vrednosti s.p.d. matrike Če je matrika A s.p.d., lahko lastni razcep izračunamo na naslednji način: a) izračunamo razcep Choleskega A = LL T, b) izračunamo singularni razcep L = UΣV T, Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj / 12
21 Računanje lastnih vrednosti s.p.d. matrike Če je matrika A s.p.d., lahko lastni razcep izračunamo na naslednji način: a) izračunamo razcep Choleskega A = LL T, b) izračunamo singularni razcep L = UΣV T, c) A = UΣ 2 U T. Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj / 12
22 Računanje lastnih vrednosti s.p.d. matrike Če je matrika A s.p.d., lahko lastni razcep izračunamo na naslednji način: a) izračunamo razcep Choleskega A = LL T, b) izračunamo singularni razcep L = UΣV T, c) A = UΣ 2 U T. Če za b) uporabimo enostransko Jacobijevo metodo in je L = DX, kjer je D diagonalna matrika in X dobro pogojena, imajo izračunane singularne vrednosti relativno napako omejeno z O(u)κ(X). Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj / 12
23 Računanje lastnih vrednosti s.p.d. matrike Če je matrika A s.p.d., lahko lastni razcep izračunamo na naslednji način: a) izračunamo razcep Choleskega A = LL T, b) izračunamo singularni razcep L = UΣV T, c) A = UΣ 2 U T. Če za b) uporabimo enostransko Jacobijevo metodo in je L = DX, kjer je D diagonalna matrika in X dobro pogojena, imajo izračunane singularne vrednosti relativno napako omejeno z O(u)κ(X). Če upoštevamo še obratno stabilnost razcepa Choleskega v točki a), celotni postopek vrne singularne vrednosti z relativno napako O(u)κ(X) 2. Če je X dobro pogojena, lahko vse lastne vrednosti s.p.d. matrike izračunamo z visoko relativno natančnostjo. Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj / 12
24 Zgled Vzemimo 1 δ δ A = δ 1 10δ, δ 10δ 100δ kjer je δ = Če A reduciramo na tridiagonalno matriko, je točen rezultat 1 2δ T = 2δ 1/2 + 60δ 1/2 50δ, 1/2 50δ 1/2 + 40δ pri numeričnem računanju v dvojni natančnosti pa dobimo T = 1 2δ 2δ 1/2 1/2, 1/2 1/2 ki ni s.p.d., zato smo izgubili relativno točnost najmanjše lastne vrednosti. Razcep Choleskega in nato enostranski Jacobi izračunata vse lastne vrednosti s polno natančnostjo: λ 1 = 1 + δ, λ 2 = 1 δ, λ 3 = 99δ. Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj / 12
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki
Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Problem lastnih vrednosti 1 / 20
Problem lastnih vrednosti 1 / 20 2 / 20 1 Uvod 2 Potenčna metoda 3 Inverzna iteracija 4 QR iteracija 5 Metode za simetrične matrike Sturmovo zaporedje Jacobijeva iteracija 3 / 20 Uvod Naj bo A R n n. Paru
Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Problem lastnih vrednosti
Problem lastnih vrednosti Naj bo A R n n. Iščemo lastni par, da zanj velja Ax = λx, kjer je x C n, x 0 (desni) lastni vektor, λ C pa lastna vrednost. Vektor y 0, pri katerem je y H A = λy H, je levi lastni
11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE
11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE Hiperbolična kvazi linearna PDE ima obliko au xx + bu xy + cu yy = f, (1) kjer so a, b, c, f funkcije x, y, u, u x in u y, ter velja b 2 4ac > 0. Če predpostavimo,
Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
![matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):](/thumbs/87/96579490.jpg "matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):")
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
11. Posplošeni problemi lastnih vrednosti
11. Posplošeni problemi lastnih vrednosti Dani sta kvadratni n n matriki A in B. Množico vseh matrik oblike A λb, kjer je λ C, imenujemo matrični šop in označimo z (A, B) ali A λb. Karakteristični polinom
5.1 Predpogojevanje. K 1 Ax = K 1 b,
5.1 Predpogojevanje Konvergenca metod podprostorov za reševanje linearnega sistema Ax = b je v veliki meri odvisna od razporeditve lastnih vrednosti (in lastnih vektorjev) matrike A. Kadar je konvergenca
Numerične metode 2 (finančna matematika)
Bor Plestenjak Numerične metode 2 (finančna matematika) delovna verzija verzija:. februar 203 Kazalo Nesimetrični problem lastnih vrednosti 5. Uvod............................................ 5.2 Schurova
Oznake in osnovne definicije
Oznake in osnovne definicije B Plestenjak, JKozak: Numerične metode 2011-2012 1 / 53 Sistem n linearnih enačb z n neznankami a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b
Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
3.1 Reševanje nelinearnih sistemov
3.1 Reševanje nelinearnih sistemov Rešujemo sistem nelinearnih enačb f 1 (x 1, x 2,..., x n ) = 0 f 2 (x 1, x 2,..., x n ) = 0. f n (x 1, x 2,..., x n ) = 0. Pišemo F (x) = 0, kjer je x R n in F : R n
Bor Plestenjak. Numerične metode. delovna verzija. verzija: 4. marec 2010
Bor Plestenjak Numerične metode delovna verzija verzija: 4. marec 200 Kazalo Uvod 7. Numerična matematika................................. 7.2 Plavajoča vejica...................................... 0.3
KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Numerična analiza. Bor Plestenjak. Fakulteta za matematiko in fiziko. Jadranska 21, 4. nadstropje, soba 4.04
Numerična analiza Bor Plestenjak Fakulteta za matematiko in fiziko Jadranska 21, 4. nadstropje, soba 4.04 govorilne ure: četrtek 11-12 oz. po dogovoru bor.plestenjak@fmf.uni-lj.si http://www-lp.fmf.uni-lj.si/plestenjak/vaje/vaje.htm
Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Lastne vrednosti in lastni vektorji
Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,
Uvod v numerične metode
Uvod v numerične metode Bor Plestenjak soba 4.04 bor.plestenjak@fmf.uni-lj.si http://www-lp.fmf.uni-lj.si/plestenjak/vaje/vaje.htm asistent: Gašper Jaklič Režim 2 sklopa domačih nalog - 20% pisne ocene
Uvod v numerične metode (matematika)
Bor Plestenjak Uvod v numerične metode (matematika) delovna verzija verzija: 5. oktober 202 Kazalo Uvod 5. Numerična matematika................................. 5.2 Plavajoča vejica......................................
Poglavje 2. Sistemi linearnih enačb
Poglavje 2 Sistemi linearnih enačb Najpogostejši problem, na katerega naletimo pri numeričnem računanju, je reševanje sistema linearnih enačb Tak sistem lahko dobimo direktno iz matematične formulacije
Reševanje sistemov linearnih enačb
1 / 37 Reševanje sistemov linearnih enačb Meteorologija z geofiziko, I. stopnja http://ucilnica.fmf.uni-lj.si/ 2 / 37 Matrični zapis sistema linearnih enačb Sistem m linearnih enačb z n neznankami a 11
Tretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Reševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Splošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Osnove linearne algebre
Osnove linearne algebre Matrike Matrika razsežnosti n m je A = a 1 1 a 1 2 a 1 m a 2 1 a 2 2 a 2 m a n 1 a n 2 a n m Če je n = m, tedaj matriko imenujemo kvadratna matrika Elementi matrike so lahko realna
Uvod v numerične metode
Uvod v numerične metode B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode 2011-2012 1 / 56 Jernej Kozak Jadranska 21, IV. nadstropje, št. 407. Iz dvigala, v desno, do konca hodnika in korak v smeri Krima.
Numerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Analiza 2 Rešitve 14. sklopa nalog
Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)
Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Peter Škvorc Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI
8. Navadne diferencialne enačbe
8. Navadne diferencialne enačbe 8.1. Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogoju y(x 0 ) = y 0, kjer je f dana dovolj gladka funkcija
Navadne diferencialne enačbe
Poglavje 6 Navadne diferencialne enačbe 6.1 Uvod Splošna rešitev navadne diferencialne enačbe n-tega reda F(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 je n-parametrična družina funkcij. Kadar želimo iz splošne rešitve
Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Iterativne numerične metode v linearni algebri
Bor Plestenja Iterativne numerične metode v linearni algebri sripta verzija: 2. januar 204 Kazalo Klasične iterativne metode za linearne sisteme 4. Uvod............................................ 4.2
Kotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1. letnik finančne matematike na FMF. Primož Moravec
Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1 letnik finančne matematike na FMF Primož Moravec 13 september 2017 1 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51264(0758)
1. Trikotniki hitrosti
. Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca
Zbirka rešenih izpitnih nalog iz numeričnih metod
Zbirka rešenih izpitnih nalog iz numeričnih metod Borut Jurčič - Zlobec Andrej Perne Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Ljubljana 6 Kazalo Iterativno reševanje nelinearnih enačb 4 Navadna
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA II
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA II Maribor, 2016 Kazalo Uvod v linearno algebro 1 1.1 Matrike................................ 1 1.2 Računanje
Dragi polinom, kje so tvoje ničle?
1 Dragi polinom, kje so tvoje ničle? Vito Vitrih FAMNIT - Izlet v matematično vesolje 17. december 2010 Polinomi: 2 Polinom stopnje n je funkcija p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, a i R.
DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Uporabna matematika za naravoslovce
Uporabna matematika za naravoslovce Zapiski predavanj Študijski programi: Aplikativna kineziologija, Biodiverziteta Študijsko leto 203/4 doc.dr. Barbara Boldin Fakulteta za matematiko, naravoslovje in
Interpolacija in aproksimacija funkcij
Poglavje 4 Interpolacija in aproksimacija funkcij Na interpolacijo naletimo, kadar moramo vrednost funkcije, ki ima vrednosti znane le v posameznih točkah (pravimo jim interpolacijske točke), izračunati
Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Matrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1
Poglavje II Matrike Matrika je pravokotna tabela realnih števil Na primer: [ ] 1 1 1, 2 3 1 1 0 1 3 2 1, 0 1 4 [ ] 2 7, Matrika je sestavljena iz vrstic in stolpcev Vrstici matrike [ ] 1 1 1 2 3 1 [ ]
Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Specifični faktorji E i bodo imeli majhne variance, če so opazovane spremenljivke blizu faktorju F.
Faktorska analiza Med metodami za pregledovanje podatkov smo omenili metodo glavnih komponent. Cilj te metode je določiti manjše število linearnih kombinacij merjenih spremenljivk tako, da z njimi pojasnimo
Metoda glavnih komponent
Metoda glavnih komponent Metoda glavnih kompnent je ena najpogosteje uporabljenih multivariatnih metod. Osnoval jo je Karl Pearson (1901). Največ zaslug za nadaljni razvoj pa ima Hotelling (1933). Osnovna
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22 junij 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
Lastne vrednosti in vektorji
Poglavje Lastne vrednosti in vetorji Naloga Gerschgorinov izre Naj bo A C n n in C i = {z C i, z a ii n j=,j i a ij } rog v omplesni ravnini, za i =,, n Vse lastne vrednosti matrie A ležijo v uniji rogov
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Linearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti
Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih
Programi v Matlabu za predmet numerične metode
Programi v Matlabu za predmet numerične metode 18. 04 2002 1 1 Reševanje nelinearnih enačb Napisali bomo program za reševanje nelinearnih enačb z uporabo posameznih metod. Rešujete nelinearne enačbe oblike
Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.
POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL
POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL Izdba aje: Ljubjana, 11. 1. 007, 10.00 Jan OMAHNE, 1.M Namen: 1.Preeri paraeogramsko praio za doočanje rezutante nezporedni si s skupnim prijemaiščem (grafično)..dooči
Numerične metode za linearne sisteme upravljanja
Bor Plestenjak Numerične metode za linearne sisteme upravljanja skripta verzija: 3 april 212 Kazalo 1 Uvod 6 11 Sistemi upravljanja 6 12 Lastnosti sistemov 8 13 Laplaceova transformacija 12 14 Prenosna
α i y n i + h β i f n i = 0, Splošni nastavek je k
10.4 Večkoračne metode Splošni nastavek je k α i y n i + h i=0 k β i f n i = 0, kjer je f i = f(x i, y i ), privzamemo pa še α 0 = 1. Če je β 0 = 0, je metoda eksplicitna, sicer pa implicitna. i=0 Adamsove
1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Enočlenske metode veljajo trenutno za najprimernejše metode v numeričnem reševanju začetnih problemov. Skoraj vse sodijo v
Enočlenske metode J.Kozak Uvod v numerične metode - / 4 Enočlenske metode veljajo trenutno za najprimernejše metode v numeričnem reševanju začetnih problemov. Skoraj vse sodijo v skupino Runge-Kutta metod.
INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NIKA HREN INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 203 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA MATEMATIKA - RAČUNALNIŠTVO NIKA HREN Mentor: izr.
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Izpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009
Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Pri linearnem programiranju imamo opravka s končnim sistemom neenakosti in končno spremenljivkami, torej je množica dopustnih rešitev presek končno mnogo polprostorov.
p 1 ENTROPIJSKI ZAKON
ENROPIJSKI ZAKON REERZIBILNA srememba: moža je obrjea srememba reko eakih vmesih staj kot rvota srememba. Po obeh sremembah e sme biti obeih trajih srememb v bližji i dalji okolici. IREERZIBILNA srememba:
UVOD V LINEARNE KONTROLNE SISTEME. Bor Plestenjak
UVOD V LINEARNE KONTROLNE SISTEME Bor Plestenjak Uvod Kontrolni sistemi nastopajo na najrazličnejših področjih. Imamo dinamični sistem, na katerega lahko vplivamo z vhodnimi podatki. Zgledi sistemov so
INŽENIRSKA MATEMATIKA I
INŽENIRSKA MATEMATIKA I REŠENE NALOGE za izredne študente VSŠ Tehnično upravljanje nepremičnin Marjeta Škapin Rugelj Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Kazalo Števila in preslikave 5 Vektorji 6 Analitična
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SANDRA BOLTA LASTNE VREDNOSTI GRAFA DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SANDRA BOLTA LASTNE VREDNOSTI GRAFA DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2014 2 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijska smer: Fizika in matematika SANDRA BOLTA
*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
REˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23.
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost. kolokvij 3. januar 08 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Nalog je 6,
MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
Fazni diagram binarne tekočine
Fazni diagram binarne tekočine Žiga Kos 5. junij 203 Binarno tekočino predstavljajo delci A in B. Ti se med seboj lahko mešajo v različnih razmerjih. V nalogi želimo izračunati fazni diagram take tekočine,
NEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE
NEPARAMETRIČNI TESTI pregledovanje tabel hi-kvadrat test as. dr. Nino RODE Parametrični in neparametrični testi S pomočjo z-testa in t-testa preizkušamo domneve o parametrih na vzorcih izračunamo statistike,
7. VAJA IZ MEHANIKE TRDNIH TELES. (tenzor deformacij II) (tenzor majhnih deformacij in rotacij, kompatibilitetni pogoji)
7. VAJA IZ MEHANIKE TRDNIH TELES (tenzor deformacij II) (tenzor majhnih deformacij in rotacij, kompatibilitetni pogoji) NALOGA 1: Pomik deformabilnega telesa je glede na kartezijski koordinatni sistem
Algebraične strukture
Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice
Osnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ
P P Ó P r r t r r r s 1 r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s Pr s t P r s rr r t r s s s é 3 ñ í sé 3 ñ 3 é1 r P P Ó P str r r r t é t r r r s 1 t r P r s rr 1 1 s t r r ó s r s st rr t s r t s rr s r q s
! "#$ %#&'()* ## # '$ $ +, -# * +./ 0$ # " )"1.0229:3682:;;8)< &.= A = D"# '$ $ A 6 A BE C A >? D
! "#$ %#&'()* ## # '$ $ +, -# * +./ 0$ # "1.0223456728777)"1.0229:3682:;;8)< &.= >&.=*>1#*>.*?*,#*'(!@ 4AB#/ $C A = D"# '$ $ A +, -#)? D "F,%+./-#)
Domača naloga 6: dušeno nihanje
Domača naloga 6: dušeno nihanje Vaje iz predmeta Numerične metode v fiziki Igor Grešovnik Kazalo: 1 Naloga 6a Nihanje... 1.1 Enačbe nihanja... 1. Numerično reševanje problema... 3 1..1 Reševanje sistema
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
MATEMATIČNO-FIZIKALNI PRAKTIKUM 1. naloga: Izračun Gaußovega integrala
MATEMATIČNO-FIZIKALNI PRAKTIKUM 1 naloga: Izračun Gaußovega integrala Marko Petrič markopetric@guestarnessi Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani (Dated: 18 februar 2007) Prva domača
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Vektorski prostori s skalarnim produktom
Poglavje IX Vektorski prostori s skalarnim produktom Skalarni produkt dveh vektorjev v R n smo spoznali v prvem poglavju. Sedaj bomo pojem skalarnega produkta razširili na poljuben vektorski prostor V
PROCESIRANJE SIGNALOV
Rešive pisega izpia PROCESIRANJE SIGNALOV Daum: 7... aloga Kolikša je ampliuda reje harmoske kompoee arisaega periodičega sigala? f() - -3 - - 3 Rešiev: Časova fukcija a iervalu ( /,/) je lieara fukcija: