Kotne in krožne funkcije

Transcript

1 Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete in hipotenuze. Kosinus kota je razmerje kotu priležne katete in hipotenuze. Tangens kota je razmerje kotu nasprotne katete in kotu priležne katete. Kosinus kota je razmerje kotu priležne katete in kotu nasprotne katete. Kotne funkcije v enotski krožnici cot α T(cot α, 1) T(cos α, sin α) T(1, tan α) sin α tan α α cos α α Osnovne zveze in dokazi le-teh 1. sin cos =1 sin cos = a c. tan cot =1 tan cot = a b b a =1 b c = a b c = c c =1 3. tan = sin cos sin cos = a c : b c = a c c b = a b =tan

2 4. cot = cos sin 5. 1tan = 1 cos 6. 1cot = 1 sin cos sin = b c : a c = b c c a = b a =cot 1tan =1 a b = b 1cot =1 b a = a b a b a b = b a b a = a b a Tabela z vrednostmi kotnih funkcij za nekatere kote = c b = b = c a = a α α sin α cos α tan α cot α / 30 π / 6 1/ 3/ 3/ π / 4 / / π / 3 3/ 1/ 3 3/3 90 π / 1 0 / π / 70 - π / -1 0 / 0 Pretvorba med kotnimi funkcijami 1 c 1 c sin =cos cos =sin tan =cot cot =tan Sodost in lihost kotnih funkcij Funkcija kosinus je soda, ostale 3 so lihe. sin = sin cos =cos tan = tan cot = cot Periodičnost kotnih funkcij sin k =sin ; k Z tan k =tan ; k Z cosk=cos ; k Z cot k =cot ; k Z Razširitev kotnih funkcij za poljuben kot. kvadrant =cos 1 =sin 1 sin x=sin x cos x= cos x tan x= tan x cot x= cot x 3. kvadrant sin x= sin x 4. kvadrant sin x= sin x cosx= cos x cos x=cos x

3 Sinus Modra: sin(x) Oranžna: sin(x) Zelena: sin(x) Funkcija sinus je liha funkcija. Funkcija sinus je zvezna funkcija. Ničle: k ; k Z Maksimumi: k ;k Z Minimumi: k ; k Z Z f =[ 1,1] Kosinus Modra: cos(x) Oranžna: sin(x)+0,5 Zelena: cos(x+π/) Funkcija kosinus je soda funkcija. Funkcija kosinus je zvezna funkcija. Ničle: k ;k Z Maksimumi: k ;k Z Minimumi: k ;k Z Z f =[ 1,1]

4 Tangens in kotangens Zelena: tan(x) Rdeča: cot(x) tangensa Funkcija tangens je liha funkcija. Funkcija tangens ni zvezna funkcija. Ničle: k ; k Z Maksimumi in minimumi: funkcija tangens je navzgor in navzdol neomejena. { x ; x= k ;k Z } Z f kotangensa Funkcija kotangens je liha funkcija. Funkcija kotangens ni zvezna funkcija. Ničle: k ;k Z Maksimumi in minimumi: funkcija kotangens je navzgor in navzdol neomejena. { x ; x=k ;k Z } Z f

5 Adicijski izreki sin ±=sin cos ±cos sin tan ±tan tan ±= 1 tan tan cos±=cos cos sin sin cot cot 1 cot ±= cot ±cot Kotne funkcije dvojnih kotov in izpeljava sin =sin=sin cossin cos =sin cos cos =cos=cos cos sin sin =cos sin tan tan tan =tan= 1 tan tan = tan 1 tan cot cot 1 cot =cot = cot cot = cot 1 cot Kotne funkcije trojnih kotov in izpeljava sin 3=sin = =sin coscos sin =sin cos cos cos sin sin = =sin cos sin cos sin 3 =3sin cos sin 3 = =3sin 1 sin sin 3 =3sin 3 sin 3 sin 3 =3sin 4sin 3 cos3=cos= =cos cos sin sin =cos sin cos sin cos sin = =cos 3 sin cos sin cos =cos 3 3sin cos= =cos 3 31 cos cos =cos 3 3cos3cos 3 =4cos 3 3cos Kotne funkcije polovičnih kotov in izpeljava cos=cos sin cos=1 sin sin cos=1 sin sin =1 cos sin = 1 cos sin =± 1 cos cos=cos sin cos=cos 1 cos cos= cos 1 cos =1cos cos =1cos cos =± 1cos Faktorizacija kotnih funkcij sin sin = sin cos coscos =cos cos sin ± tan ±tan = cos cos sin sin =cos sin cos cos = sin sin cot ±cot = sin ± sin sin

6 Arkus sinus Graf funkcije arkus sinus dobimo tako, da preslikamo graf funkcije sinus na intervalu [-π/, π/] čez simetralo lihih kvadrantov. Funkcija arkus sinus je liha funkcija. =[ 1,1] Z f = [, ] Arkus kosinus Graf funkcije arkus kosinus dobimo tako, da preslikamo graf funkcije kosinus na intervalu [0, π] čez simetralo lihih kvadrantov. =[ 1,1] Z f =[0, ] Arkus tangens Graf funkcije arkus tangens dobimo tako, da preslikamo graf funkcije tangens na intervalu (-π/, π/) čez simetralo lihih kvadrantov. Funkcija arkus tangens je liha funkcija. Z f =,

7 Reševanje trigonometričnih enačb 1. Ali lahko povsod kot parameter dobim isti kot? Za ta namen lahko uporabimo formulo za dvojne ali trojne kote.. Ali lahko dobim isto kotno funkcijo? Za ta namen lahko uporabimo spodnji formuli, ki smo ju izpeljali iz osnovne zveze: cos =1 sin sin =1 cos 3. Uporabimo substitucijo Za lažjo predstavitev enačbe lahko zamenjamo posamezne dele z novo spremenljivko, kot na primer: sin 3sin 3= A 3 A3 4. Razcepljanje na produkt A B=0 A=0 B=0 Produkt lahko dobimo z izpostavljanjem ali s formulo za faktorizacijo kotnih funkcij. 5. Zamenjava celih števil Cela števila v enačbi ki bi nam utegnila biti v napoto pri faktorizaciji, lahko zamenjamo: C=C sin cos 6. Deljenje homogenih enačb V primeru enačbe, sestavljene iz členov z enakim številom faktorjev, jo delimo s cos. sin 3sin cos 3cos =0 /:cos tan 3tan 3=0 / A=tan A 3 A3 7. Reševanje z metodo polovičnih kotov Ta tip reševanja enačb lahko uporabimo le za enačbe oblike A sin B cos =C. Na začetku moramo narediti nekaj zamenjav: A sin = A sin cos Naprej uporabimo metodo pod točko 6. B cos= B cos sin C=C sin cos