Množico vseh funkcijskih vrednosti, ki jih pri tem dobimo, imenujemo zaloga vrednosti funkcije f. Oznaka: Z f

Transcript

1 Funkcije Funkcija f : A B (funkcija iz množice A v množico B) je predpis (pravilo, postopek, preslikava, formula,..), ki danemu podatku x A priredi funkcijsko vrednost f (x) B. Množica A je množica vseh podatkov, na katerih izvajamo funkcijo f; torej množica vseh podatkov, za katere je funkcija definirana. Imenujemo jo tudi definicijsko območje funkcije f. Oznaka: D f Množico vseh funkcijskih vrednosti, ki jih pri tem dobimo, imenujemo zaloga vrednosti funkcije f. Oznaka: Z f Zaloga vrednosti je lahko enaka množici B, lahko pa je tudi njena prava podmnožica. Funkcija realne spremenljivke je funkcija, ki ima za podatke samo realna števila; torej: D f. Realna funkcija je funkcija, ki ima za funkcijske vrednosti (tj. za rezultate) vedno samo realna števila; torej: Z f. V matematiki najpogosteje srečujemo funkcije, ki imajo za podatke in za rezultate samo realna števila. Pravimo jim realne funkcije realne spremenljivke. Dogovor: Zaradi krajšega izražanja bomo v nadaljevanju uporabljali izraz funkcija v pomenu:»funkcija«=»realna funkcija realne spremenljivke«podajanje funkcije Funkcijo podamo s funkcijsko enačbo ali s funkcijskim predpisom. Oba vsebujeta ime funkcije (ponavadi f ), oznako neodvisne spremenljivke (ponavadi x) in formulo, po kateri izračunamo funkcijsko vrednost. Zgled: Funkcija f naj pomeni pravilo:»podatek kvadriraj in prištej 5«To funkcijo zapišemo s funkcijsko enačbo (beri: f od x je enako x 2 + 5): 1

2 ... oziroma s funkcijskim predpisom (beri: f preslika x v x 2 + 5): Ponazarjanje funkcije Funkcijo ponazorimo s tabelo ali z grafom. Tabela funkcije podaja različne vrednosti spremenljivke x in ustrezne funkcijske vrednosti f (x). Zgled: Dana je funkcija f (x) = x 3 4x. Zapišimo tabelo te funkcije na intervalu [ 3, 3] s korakom 0.5: Graf funkcije je množica točk (x, y), za katere velja med koordinatama zveza y = f (x), torej: G f = {(x, y); y = f (x)} Enačbo y = f (x) imenujemo tudi enačba grafa funkcije. Zgled: Graf funkcije f (x) = x 3 4x (tj. množica točk, za katere velja enačba y = x 3 4x): 2

3 Računanje s funkcijami Najpomembnejši računski postopek, ki ga računamo s funkcijami, je izračun funkcijske vrednosti pri danem podatku (vstavljanje podatka x v funkcijo). Zgled: Dana je funkcija f (x) = x 2 + 5x. Izračunajmo vrednost te funkcije pri x = 3. Dobimo: f (3) = = 24 Poleg tega lahko s funkcijami računamo štiri osnovne računske operacije: Funkciji f in g seštejemo, odštejemo, zmnožimo in delimo tako, da ustrezno računsko operacijo izračunamo za dani funkcijski vrednosti f (x) in g(x), torej: (f + g)(x) = f (x) + g(x) (f g)(x) = f (x) g(x) (f g)(x) = f (x) g(x) Posebna računska operacija, ki jo računamo v množici funkcij, je kompozitum ali sestava funkcij. Kompozitum funkcij f in g označimo f g in ga izračunamo po pravilu: (f g)(x) = f (g(x)) 3

4 To pomeni, da podatek x najprej preslikamo s funkcijo g, tako da dobimo g(x), potem pa tako dobljeni rezultat preslikamo še s funkcijo f, tako da dobimo f (g(x)). Drugače povedano: kompozitum f g dobimo tako, da v enačbo funkcije f namesto spremenljivke x vstavimo g(x). Rezultat kompozituma imenujemo tudi sestavljena funkcija. Zgled: Izračunajmo kompozitum naslednjih dveh funkcij. Iz zgornjega zgleda vidimo, da kompozitum f g ni enak kompozitumu g f (ne velja komutativnost). Izkaže pa se, da za kompozitum treh funkcij velja asociativnostni zakon: f (g h) = (f g) h V množici funkcij obstaja tudi funkcija, ki je nevtralni element za kompozitum. To je identična funkcija f id (x) = x. Velja zakon o nevtralnem elementu: f f id = f id f = f Inverzna funkcija je funkcija, ki deluje ravno obratno kot dana funkcija f. Če dana funkcija f preslika podatek x v rezultat y, potem inverzna funkcija preslika y nazaj v x. Izkaže se, da inverzna funkcija obstaja, samo če je dana funkcija f bijektivna funkcija f : A B. Inverzno funkcijo (če obstaja) označimo f 1 in to je funkcija f 1 : B A (tj. f 1 je funkcija, ki preslikuje iz B v množico A). Inverzna funkcija f 1 deluje ravno obratno kot prvotna funkcija f, zato velja (f f 1 )(x) = (f 1 f )(x) = x Ker inverzna funkcija deluje ravno obratno kot prvotna funkcija f, se pri inverzni funkciji vloga podatka in rezultata zamenjata. Če je f (a) = b, potem je f 1 (b) = a (tj: če funkcija f preslika element a v element b, potem inverzna funkcija f 1 preslika element b v element a). Na tem pravilu je zasnovan tudi postopek določanja enačbe inverzne funkcije: Najprej enačbo prvotne funkcije zapišemo v obliki y = f (x). Potem v tej enačbi zamenjamo črki x in y (zamenjamo vlogo podatka in 4

5 rezultata). Potem iz dobljene enačbe izrazimo y in tako dobimo enačbo inverzne funkcije. Zgled: Poiščimo inverz funkcije f (x) = 2x + 5. Najprej zapišimo: f : y = 2x + 5 Zamenjamo x in y in izrazimo y: f 1 : x = 2y + 5 2y = x + 5 y = x Torej je enačba inverzne funkcije: f 1 (x) = x Kot smo že zapisali, inverz funkcije f obstaja, samo če je funkcija f bijektivna. Kaj pa sicer? Pogosto si pomagamo tako, da funkcijo f omejimo (zožimo) na manjše definicijsko območje in s tem dosežemo, da je zožena funkcija f : A B bijektivna. Potem obstaja inverz f 1 : B A. Tak inverz včasih imenujemo tudi delni inverz. Zgled: Funkcija f (x) = x 2 ni bijektivna (točneje: ni bijektivna funkcija ). Če pa jo zožimo na nenegativna števila, hitro ugotovimo, da je f bijektivna funkcija V smislu te zožitve obstaja tudi inverzna funkcija f 1 : , ki ima enačbo f 1 (x) =. Lastnosti funkcij Naj bo f realna funkcija realne spremenljivke. Oglejmo si nekaj najpomembnejših lastnosti, ki nas zanimajo pri taki funkciji. Injektivnost, surjektivnost, bijektivnost Funkcija je injektivna, če preslika različne podatke v različne rezultate: x 1, x 2 : x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) Funkcija f : A B je surjektivna, če je vsak element množice B slika nekega elementa x iz množice A. To pomeni, da je realna funkcija f surjektivna, če je njena zaloga vrednosti enaka množici vseh realnih števil: Z f = Funkcija je bijektivna, če je injektivna in hkrati surjektivna. Bijektivno funkcijo imenujemo tudi bijekcija ali povratno enolična 5

6 preslikava. (Povratna enoličnost pomeni, da poljubnemu podatku ustreza točno en rezultat, poljubnemu rezultatu pa ustreza točno en podatek.) Naraščanje, padanje, omejenost Funkcija narašča, če ima pri večjem podatku tudi večji rezultat: x 1, x 2 : x 1 > x 2 f (x 1 ) > f (x 2 ) Če zgornja lastnost velja za vsak x 1 in x 2 iz definicijskega območja funkcije f, potem pravimo, da funkcija narašča povsod. Če zgornja lastnost velja za vsak x 1 in x 2 iz neke množice A, potem pravimo, da funkcija narašča na množici A. Če zgornja lastnost velja za vsak x 1 in x 2 iz neke okolice dane točke a, potem pravimo, da funkcija narašča v okolici točke a. (Opomba: Nekateri avtorji v zgornji lastnosti dopuščajo tudi enakost, torej: x 1, x 2 : x 1 > x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) Če želimo ločiti obe varianti, pravimo prvi možnosti strogo naraščanje (>), drugi pa nestrogo naraščanje ( ).) Funkcija pada, če ima pri večjem podatku manjši rezultat: x 1, x 2 : x 1 > x 2 f (x 1 ) < f (x 2 ) Če zgornja lastnost velja za vsak x 1 in x 2 iz definicijskega območja funkcije f, potem pravimo, da funkcija pada povsod. Če zgornja lastnost velja za vsak x 1 in x 2 iz neke množice A, potem pravimo, da funkcija pada na množici A. Če zgornja lastnost velja za vsak x 1 in x 2 iz neke okolice dane točke a, potem pravimo, da funkcija pada v okolici točke a. (Opomba: Nekateri avtorji v zgornji lastnosti dopuščajo tudi enakost, torej: x 1, x 2 : x 1 > x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) Če želimo ločiti obe varianti, pravimo prvi možnosti strogo padanje (<), drugi pa nestrogo padanje ( ).) Funkciji, ki povsod narašča ali povsod pada, pravimo monotona funkcija. Funkcija je navzgor omejena, če obstaja realno število M, tako da velja: x D f : f (x) M Število M, ki nastopa v zgornji lastnosti, imenujemo zgornja meja funkcije. Če je funkcija navzgor omejena, obstaja celo več zgornjih mej. Najmanjši med njimi pravimo natančna zgornja meja ali supremum funkcije. Funkcija lahko natančno zgornjo mejo doseže ali pa tudi ne. (Opomba: Omejenost navzgor nas ponavadi zanima na celotnenem definicijskem območju, lahko pa bi preučevali tudi omejenost na dani množici A.) 6

7 Funkcija je navzdol omejena, če obstaja realno število m, tako da velja: x D f : f (x) m Število m, ki nastopa v zgornji lastnosti, imenujemo spodnja meja funkcije. Če je funkcija navzdol omejena, obstaja celo več spodnjih mej. Največji med njimi pravimo natančna spodnja meja ali infimum funkcije. Funkcija lahko natančno spodnjo mejo doseže ali pa tudi ne. (Opomba: Omejenost navzdol nas ponavadi zanima na celotnenem definicijskem območju, lahko pa bi preučevali tudi omejenost na dani množici A.) Funkcija je omejena, če je navzgor in navzdol omejena. Maksimumi in minimumi Maksimum funkcije je točka T(x M, y M ) na grafu, v kateri je funkcijska vrednost večja kot v drugih točkah. Ločimo različne variante: Če je v tej točki funkcijska vrednost večja kot v katerikoli drugi točki na celotnem definicijskem območju, pravimo, da je T(x M, y M ) globalni maksimum funkcije f. Če je v tej točki funkcijska vrednost večja kot v katerikoli drugi točki iz neke okolice točke T(x M, y M ), pravimo, da je T(x M, y M ) lokalni maksimum funkcije f. Če je v tej točki funkcijska vrednost večja kot v katerikoli drugi točki iz neke dane množice A, pravimo, da je T(x M, y M ) maksimum funkcije f na dani množici A. Minimum funkcije je točka T(x m, y m ) na grafu, v kateri je funkcijska vrednost manjša kot v drugih točkah. Ločimo različne variante: Če je v tej točki funkcijska vrednost manjša kot v katerikoli drugi točki na celotnem definicijskem območju, pravimo, da je T(x m, y m ) globalni minimum funkcije f. Če je v tej točki funkcijska vrednost manjša kot v katerikoli drugi točki iz neke okolice točke T(x m, y m ), pravimo, da je T(x m, y m ) lokalni minimum funkcije f. Če je v tej točki funkcijska vrednost manjša kot v katerikoli drugi točki iz neke dane množice A, pravimo, da je T(x m, y m ) minimum funkcije f na dani množici A. Maksimume in minimume imenujemo tudi ekstremi funkcije. 7

8 Lihost in sodost Funkcija je liha, če za vsak x D f velja: f ( x) = f (x) Graf lihe funkcije je simetričen glede na izhodišče koordinatnega sistema. Funkcija je soda, če za vsak x D f velja: f ( x) = f (x) Graf sode funkcije je simetričen glede na ordinatno os. Ničle, poli, asimptote Ničla funkcije f je število a, za katero velja f (a) = 0. V ničlah graf funkcije seka abscisno os. Glej tudi: Graf polinoma v okolici ničle k-te stopnje Odsek na ordinatni osi dobimo tako, da v enačbo funkcije vstavimo x = 0. Dobljena vrednost f (0) nam pove, kje graf funkcje seka ordinatno os. Asimptota funkcije je premica, ki se ji graf funkcije približuje, ko se oddaljujemo od izhodišča koordinatnega sistema. Pol funkcije je število x, kjer vrednost funkcije ni definirana, v bližnji okolici pa vrednost funkcije narašča ali pada čez vse meje (proti plus ali minus neskončno). V okolici pola se graf funkcije približuje navpični asimptoti. Glej tudi: Graf racionalne funkcije v okolici pola k-te stopnje Risanje grafov funkcij Premiki in raztegi y = f (x) + q... P y q Število q, ki ga prištejemo funkciji, pomeni premik grafa funkcije v smeri osi y za q. Pri tem se y koordinata vsake točke na grafu poveča za q (in x koordinata ostane nespremenjena). Zgled: 8

9 y = a f (x)... R y a Število a s katerim pomnožimo funkcijo, pomeni razteg grafa funkcije v smeri osi y za faktor a. Pri tem se y koordinata vsake točke na grafu pomnoži s številom a (in x koordinata ostane nespremenjena). Zgled: Razteg v smeri osi y za faktor 1 pomeni zrcaljenje grafa funkcije čez abscisno os. 9

10 y = f (x p)... P x p Število p, ki ga odštejemo od neodvisne spremenljivke x, pomeni premik grafa funkcije v smeri osi x za p. Pri tem se x koordinata vsake točke na grafu poveča za p (in y koordinata ostane nespremenjena). Zgled:... R x b Število b s katerim delimo neodvisno spremenljivko x, pomeni razteg grafa funkcije v smeri osi x za faktor b. Pri tem se x koordinata vsake točke na grafu pomnoži s številom b (in y koordinata ostane nespremenjena). Razteg v smeri osi x za faktor 1 pomeni zrcaljenje grafa funkcije čez ordinatno os. 10

11 Zgled: Premik grafa za vektor (p, q) pomeni, da hkrati izvedemo premik v smeri osi x za p in premik v smeri osi y za q. Absolutna vrednost pri grafih y = f (x) Graf y = f (x) dobimo iz grafa funkcije y = f (x) tako, da (1) ohranimo nespremenjene vse tiste dele grafa, kjer je vrednost funkcije f pozitivna ali enaka 0, (2) tiste dele, kjer je funkcija f negativna, pa prezrcalimo čez abscisno os. y = f ( x ) Graf y = f ( x ) dobimo iz grafa funkcije y = f (x) tako, da (1) ohranimo nespremenjen tisti del grafa, kjer je x pozitiven ali enak 0 (desni del grafa), (2) potem pa desni del grafa še prezrcalimo čez ordinatno os (na levo stran). y = f ( x ) Graf y = f ( x ) dobimo tako, da izvedemo oba zgoraj opisana postopka (vseeno po kakšnem vrstnem redu). 11

12 Zgled: Podan je graf funkcije y = f (x) Narišimo grafe: y = f (x) 12

13 y = f ( x ) y = f ( x ) Graf sestavljene funkcije Graf sestavljene funkcije y = f (g(x)) (tj. graf kompozituma f g) lahko narišemo v dveh korakih: (1) najprej narišemo graf prve (notranje) funkcije y 1 = g(x), (2) Potem pa y koordinato vsake točke na tem grafu preslikamo še s funkcijo f, torej: y = f (y 1 ) (koordinata x pa ostane nespremenjena). Zgled: Graf funkcije narišemo tako, da (1) najprej narišemo graf y = sin x + 1, 13

14 (2) potem pa y koordinato vsake točke na grafu korenimo. Graf inverzne funkcije Graf inverzne funkcije y = f 1 (x) lahko narišemo tako, da prezrcalimo graf osnove funkcije y = f (x) čez simetralo lihih kvadrantov. Zgled: Narišimo graf funkcije f (x) = x 3 1, potem pa še graf inverzne funkcije 14

15 Linearna funkcija Linearna funkcija je funkcija, ki jo lahko zapišemo z enačbo oblike f (x) = kx + n, kjer sta koeficienta k in n poljubni realni števili. Graf linearne funkcije Graf linearne funkcije je premica. Ker dve točki natančno določata premico, lahko graf linearne funkcije narišemo tako, da izračunamo koordinate dveh točk. Pogosto si pri risanju pomagamo kar s točkama, ki ju določata koeficienta k in n: Število n pomeni presečišče grafa z ordinatno osjo (f (0) = n). Imenujemo ga odsek na osi y, ali tudi začetna vrednost (s točko N(0, n) začnemo risati graf linearne funkcije). Število k določa smer premice, zato ga imenujemo smerni koeficient. Ustrezno točko dobimo tako, da se iz točke N pomaknemo za eno enoto v desno in za k enot navzgor (oziroma navzdol, če je k negativen). Zgled: Narišimo graf funkcije f (x) = 2x + 1 Če je k > 0, linearna funkcija narašča. Če je k < 0, linearna funkcija pada. Če je k = 0, je linearna funkcija konstantna. Graf je v tem primeru vzporeden abscisni osi. (Torej: Graf konstantne funkcije je vodoravna premica.) 15

16 Enačba premice Graf linearne funkcije je premica, torej lahko enačbo premice zapišemo kot enačbo grafa linearne funkcije: y = kx + n. To obliko enačbe imenujemo eksplicitna oblika enačbe premice. Žal v tej obliki ne moremo zapisati enačbe vsake premice v ravnini. Navpična premica (premica vzporedna ordinatni osi) namreč ni graf nobene funkcije. Enačbo navpične premice lahko zapišemo v obliki: x = m. Če želimo vse premice v ravnini zapisati z enačbo enake oblike, moramo uporabiti implicitno obliko enačbe premice: ax + by + c = 0. Implicitna oblika enačbe premice ni enolično določena. Če enačbo pomnožimo ali delimo s poljubnim od 0 različnim številom, dobimo drugo implicitno enačbo za isto premico. Implicitna oblika enačbe žal tudi nič ne pomaga pri risanju premice. Za lažje risanje uporabljamo tudi segmentno (odsekovno) obliko enačbe premice: Števili m in n pomenita odseka (segmenta), ki ju premica omejuje na abscisni oziroma na ordinatni osi. 16

17 V segmentni obliki lahko zapišemo enačbo vsake premice v ravnini, razen: (1) navpične premice, (2) vodoravne premice, (3) premice, ki poteka skozi izhodišče koordinatnega sistema. Enačba premice skozi dve dani točki Če poznamo koordinati točk A(x 1, y 1 ) in B(x 2, y 2 ), lahko izračunamo smerni količnik premice, ki poteka skozi ti dve točki, po formuli: Število n lahko določimo s pomočjo enačbe y = kx + n (v enačbo vstavimo že izračunani k in koordinati ene od podanih točk). Če je x 1 = x 2, je premica vzporedna ordinatni osi. V tem primeru k ne obstaja (in tudi eksplicitna oblika enačbe ne obstaja), enačbo premice pa lahko zapišemo v obliki x = m (pri tem je seveda m = x 1 = x 2 ). Kot med premicama Naklonski kot premice je kot, ki ga oklepata ta premica in abscisna os. Za naklonski kot premice s smernim koeficientom k velja formula: tg α = k Če je k > 0, je α ostri kot. Če je k < 0, lahko izberemo α na dva načina: ali izberemo topi kot ali pa negativni ostri kot. Če je k = 0, je premica vzporedna abscisni osi. V tem primeru določimo, da je α = 0. Kot med premicama izračunamo s pomočjo naklonskih kotov obeh premic (φ = α 2 α 1 ), lahko pa tudi s pomočjo smernih koeficientov po naslednji formuli: 17

18 Premici p in q sta pravokotni samo, če je imenovalec v zgornjem ulomku enak 0. Torej velja: p q (pogoj pravokotnosti) Če sta premici p in q vzporedni, pravimo, da je kot med njima enak 0. Velja: p q k 2 = k 1 (pogoj vzporednosti) Linearna enačba z eno neznanko Linearna enačba (z eno neznanko) je vsaka enačba, ki jo lahko zapišemo v obliki kx + n = 0 (kjer sta koeficienta k in n poljubni realni števili). Če je k = n = 0, potem je rešitev linearne enačbe vsako realno število: R =. Če je k = 0 in n 0, potem je linearna enačba nerešljiva: R = { }. Če sta števili k in n obe različni od 0, potem ima linearna enačba točno eno rešitev: R =. Sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama Sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama (na kratko: sistem 2 2) je sistem oblike: ax + by = c dx + ey = f (kjer so a, b, c, d, e in f dana realna števila). Enačbi, ki sestavljata sistem 2 2, sta enačbi premic v ravnini. Rešitev sistema 2 2 je par števil (x, y), ki geometrijsko pomeni koordinati presečišča teh dveh premic. Sistem 2 2 ima lahko 0, 1 ali neskončno mnogo rešitev: Če sta premici vzporedni, se ne sekata. V tem primeru je sistem enačb nerešljiv. Če se premici sekata, je rešitev točno ena točka oziroma točno en par števil (x, y), namreč presečišče. Lahko se zgodi tudi, da obe enačbi predstavljata isto premico. V tem primeru je rešitev sistema enačb vsaka točka, ki leži na tej premici. 18

19 Potenčna funkcija Potence s celimi eksponenti Potenco a n definiramo za eksponent n kot produkt n-tih faktorjev, ki so vsi enaki a (a je poljubno realno ali tudi kompleksno število): a n = a a a a (n faktorjev) Za ostale celoštevilske eksponente definiramo potenco z naslednjima zvezama: a 0 = 1, Potence z necelimi eksponenti definiramo s pomočjo korenov. Za potence veljajo naslednja računska pravila: a n a m = a n+m (a n ) m = a nm (ab) n = a n b n Grafi in lastnosti potenčnih funkcij Potenčna funkcija je funkcija, ki jo lahko zapišemo z enačbo oblike f (x) = x n n ). (za Funkciji, ki ju dobimo za n = 0 in n = 1, sta pravzaprav linearni funkciji f (x) = 1 in f (x) = x, zato ju ne uvrščamo med prave potenčne funkcije. Ostale potenčne funkcije lahko razdelimo v naslednje štiri skupine: Potenčne funkcije z lihim pozitivnim eksponentom (večjim od 1): 19

20 Vsaka funkcija iz te skupine ima naslednje lastnosti: - D f =, - Z f =, - je liha, - v okolici točke T(0, 0) je graf vodoraven (ima vodoravni prevoj), - povsod narašča. Potenčne funkcije s sodim pozitivnim eksponentom: 20

21 Vsaka funkcija iz te skupine ima naslednje lastnosti: - D f =, - Z f = [0, ), - je soda, - ima minimum v točki T(0, 0), - pada na intervalu (, 0], - narašča na intervalu [0, ). Potenčne funkcije z lihim negativnim eksponentom: Vsaka funkcija iz te skupine ima naslednje lastnosti: - D f = \ {0}, - Z f = \ {0}, - je liha, - ima pol pri x = 0, - ima navpično asimptoto x = 0, - ima vodoravno asimptoto y = 0, - pada na intervalu (, 0) in na intervalu (0, ). Potenčne funkcije s sodim negativnim eksponentom: 21

22 Vsaka funkcija iz te skupine ima naslednje lastnosti: - D f = \ {0}, - Z f = (0, ), - je vedno pozitivna, - je soda, - ima pol pri x = 0, - ima navpično asimptoto x = 0, - ima vodoravno asimptoto y = 0, - narašča na intervalu (, 0), - pada na intervalu (0, ). Korenska funkcija Funkcijo n-ti koren (za n, n > 1) definiramo kot inverz potenčne funkcije f (x) = x n : n-ti koren iz a je tisto število x, za katero velja, da je x n = a, torej: = x x n = a Pri tem moramo ločiti dva primera: Če je n liho število, je potenčna funkcija f (x) = x n bijektivna funkcija f :, zato inverzna funkcija res obstaja. To pomeni, da za vsak a obstaja točno eno realno število x, ki ustreza enačbi x n = a. Če je n liho število, lahko torej izračunamo za poljuben a. Če je n sodo število, pa potenčna funkcija f (x) = x n ni bijektivna funkcija f :. Inverzno funkcijo lahko dobimo samo, če se omejimo na nenegativna števila. Vidimo namreč, da je enačba x n = a rešljiva samo, če je a nenegativno realno število. Če je a pozitiven, ima enačba celo dve realni rešitvi, ki se razlikujeta samo za predznak. Po dogovoru za rezultat n-tega 22

23 korena izberemo nenegativno rešitev te enačbe. Če je n sodo število, lahko torej izračunamo samo za nenegativen a in tudi rezultat je nenegativno število. Grafi korenskih funkcij Korenska funkcija je vsaka funkcija, ki jo lahko zapišemo z enačbo oblike f (x) = (kjer je n, n > 1). Opomba: Za n = 2 korenski eksponent tudi izpuščamo (f (x) = ). Kot smo že zapisali, ločimo dve vrsti korenskih funkcij: Korenske funkcije z lihim korenskim eksponentom: Vsaka funkcija iz te skupine ima naslednje lastnosti: - D f =, - Z f =, - narašča povsod, - v okolici koordinatnega izhodišča je graf funkcije navpičen. Korenske funkcije s sodim korenskim eksponentom: 23

24 Vsaka funkcija iz te skupine ima naslednje lastnosti: - D f = [0, ), - Z f = [0, ), - narašča povsod, kjer je definirana, - v okolici koordinatnega izhodišča je graf funkcije navpičen. (Za podrobnejšo razlago lastnosti glej poglavji Funkcije in Lastnosti funkcij.) Kvadratna funkcija Kvadratna funkcija je funkcija, ki jo lahko zapišemo z enačbo oblike f (x) = ax 2 + bx + c, kjer so koeficienti a, b in c poljubna realna števila in je vodilni koeficient a različen od 0. Enačbo oblike f (x) = ax 2 + bx + c imenujemo splošna oblika enačbe kvadratne funkcije. Vsako kvadratno funkcijo lahko zapišemo tudi v temenski obliki: f (x) = a(x p) 2 + q. Števili p in q, ki nastopata v tej obliki, sta koordinati temena kvadratne funkcije. Teme je točka T(p, q), v kateri kvadratna funkcija doseže ekstremno vrednost. Temensko obliko lahko dobimo iz splošne po metodi dopolnjevanja do popolnega kvadrata, lahko pa p in q izračunamo naslednjih formulah: Kvadratno funkcijo lahko zapišemo tudi v ničelni obliki: f (x) = a(x x 1 )(x x 2 ). Števili x 1 in x 2 sta ničli kvadratne funkcije. V splošnem sta to kompleksni števili. Ničelno obliko lahko dobimo iz splošne z razcepom, lahko pa x 1 in x 2 izračunamo po naslednji formuli: Število, ki v zgornji formuli nastopa pod korenom, imenujemo diskriminanta 24

25 kvadratne funkcije: D = b 2 4ac. Diskriminanta nam pove, koliko realnih ničel ima kvadratna funkcija: Če je D > 0, sta obe ničli kvadratne funkcije realni (x 1, x 2 ). Če je D = 0, sta števili x 1 in x 2 enaki - kvadratna funkcija ima samo eno realno ničlo (x 1 = x 2 ). Če je D < 0, sta obe ničli kvadratne funkcije nerealni (x 1, x 2 ) - graf funkcije ne seka abscisne osi (v realnem koordinatnem sistemu.) Graf kvadratne funkcije Graf kvadratne funkcije lahko narišemo postopoma: najprej narišemo graf y = x 2, potem ta graf raztegnemo z raztegom v smeri osi y za faktor a nato ga še premaknemo s premikom za vektor (p, q) Zgled: Funkcijo f (x) = 2x 2 12x + 16 najprej preoblikujemo v temensko obliko: f (x) = 2(x 3) 2 2 in potem narišemo: 25

26 Iz zgornjega postopka vidimo, da vodilni koeficient a odloča o tem, kako je obrnjena kvadratna funkcija: Pri risanju grafa kvadratne funkcije si lahko pomagamo tudi s koeficientom c, ki pomeni presečišče grafa z ordinatno osjo (f (0) = c) in z ničlama x 1 in x 2. Zgled: Dana je funkcija f (x) = x 2 2x 3. Iz te oblike razberemo odsek na navpični osi: f (0) = 3. Z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata enačbo funkcije preoblikujemo v temensko obliko: f (x) = x 2 2x 3 f (x) =(x 2 2x + 1) 1 3 f (x) = (x 1) 2 4 Iz te oblike razberemo teme: T(1, 4). Potem enačbo funkcije f še razcepimo, da dobimo ničelno obliko: f (x) = x 2 2x 3 f (x) =(x + 1)(x 3) Iz te oblike razberemo ničli: x 1 = 1, x 2 = 3 in narišemo graf: 26

27 Kvadratna enačba Kvadratna enačba je vsaka enačba, ki jo lahko zapišemo v obliki ax 2 + bx + c = 0, kjer so koeficienti a, b in c poljubna realna števila in je vodilni koeficient a različen od 0. Postopek iskanja rešitev kvadratne enačbe je enak postopku iskanja ničel kvadratne funkcije. Torej lahko kvadratno enačbo rešimo z razcepom, ali pa rešitvi x 1 in x 2 izračunamo po že omenjeni formuli: V obsegu kompleksnih števil je kvadratna enačba vedno rešljiva. Diskriminanta kvadratne enačbe (D = b 2 4ac) nam pove, kako je z rešljivostjo v množici realnih števil: Če je D > 0, ima kvadratna enačba dve realni rešitvi (x 1, x 2 ). Če je D = 0, ima kvadratna enačba samo eno realno rešitev (x 1 = x 2 ). Če je D < 0, kvadratna enačba v realnem ni rešljiva (x 1, x 2 ). Polinomi Polinom stopnje n (n 0) je vsaka funkcija, ki jo lahko zapišemo z enačbo oblike: p(x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 Pri tem so koeficienti a n, a n 1,..., a 2, a 1 in a 0 poljubna realna števila, koeficient a n pa mora biti različen od 0 (polinom je stopnje n samo, če potenca x n v polinomu res nastopa). Koeficient a n (koeficient pri najvišji potenci, ki v polinomu nastopa) se imenuje vodilni koeficient polinoma. Člen a n x n se imenuje vodilni člen polinoma. Koeficient a 0 (koeficient brez x), se imenuje prosti koeficient ali tudi prosti člen polinoma. Stopnjo polinoma p označimo: st(p) Polinom druge stopnje je kvadratna funkcija. Polinom prve stopnje je linearna funkcija. Polinom ničte stopnje je konstantni polinom p(x) = a (za a 0). Kot poseben primer uvrstimo v množico polinomov tudi ničelni polinom - to je polinom, ki je konstantno enak 0. Ničelni polinom nima definirane stopnje (pravimo tudi, da ima stopnjo minus neskončno). 27

28 Računanje s polinomi Če v enačbo polinoma vstavimo dano število a, lahko izračunamo vrednost polinoma p(a) (vrednost polinoma v točki a oziroma vrednost polinoma pri x = a). Polinome lahko seštevamo, odštevamo in množimo (glej računanje s funkcijami). Rezultat vsake od teh računskih operacij je spet polinom. V množici polinomov lahko izvajamo tudi računsko operacijo deljenje z ostankom (primerjaj: deljenje z ostankom v množici naravnih števil). Velja: Osnovni izrek o deljenju polinomov: Poljuben polinom deljenec p lahko delimo s poljubnim neničelnim polinomom deliteljem q in pri tem dobimo polinom količnik k(x) in polinom ostanek o(x), tako da velja p(x) = q(x) k(x) + o(x) (tj. velja preizkus pri deljenju) in st(o) < st(q) (tj. stopnja ostanka je manjša od stopnje delitelja) Pri deljenju polinoma p s polinomom (x a) je ostanek vedno število (ker je stopnja delitelja 1, mora biti stopnja ostanka manjša od 1). Izkaže se, da je to število enako vrednosti polinoma p(a). Deljenje polinoma p s polinomom (x a) lahko zapišemo na krajši način s Hornerjevim algoritmom. Ničle polinoma Če je število a ničla polinoma p, je ostanek pri deljenju polinoma p s polinomom (x a) enak 0 (deljenje se izide brez ostanka). Torej lahko v tem primeru polinom p zapišemo v obliki: p(x) = (x a) k(x) Odgovor na vprašanje, kateri polinomi sploh imajo ničle, podaja Gaußov izrek, ki ga imenujemo tudi Osnovni izrek algebre polinomov: Vsak nekonstanten polinom ima v vsaj eno ničlo. Posledica Gaußovega izreka: Polinom stopnje n (za n > 0) lahko zapišemo v razcepljeni (ničelni) obliki: p(x) = C (x x 1 )(x x 2 ) (x x n ) Števila x 1, x 2,..., x n, ki nastopajo v razcepljeni obliki so ravno vse ničle polinoma p. Če so vsa ta števila med seboj različna, vidimo, da ima polinom stopnje n točno n ničel. Če so nekatera (ali tudi vsa) od teh števil med sabo enaka, je ničel seveda manj kot n. Če ničla x m v razcepljeni obliki nastopa k-krat, pravimo, da je to k-kratna ničla polinoma (oziroma ničla stopnje k). Če vsako ničlo polinoma štejemo tolikokrat, kolikor je njena stopnja, lahko rečemo, da ima polinom stopnje n vedno točno n ničel. Čeprav so koeficienti polinoma realna (ali kar cela) števila, so ničle polinoma v splošnem lahko nerealne. 28

29 Velja pa pravilo: Če ima polinom z realnimi koeficienti nerealne ničle, potem te nastopajo v konjugiranih parih. Iskanje ničel polinoma Žal ne obstaja preprosto splošno pravilo za iskanje ničel polinoma. Pri iskanju ničel najpogosteje uporabljamo naslednje metode (oziroma kombinacijo naslednjih metod): Razcepljanje: Polinom razcepimo po pravilih za razcepljanje izrazov in iz razcepljene oblike razberemo ničle. Inteligentno ugibanje: Ničlo a»uganemo«in s Hornerjevim algoritmom preverimo, da je to res ničla, potem pa polinom razcepimo v obliko: p(x) = (x a) k(x). Da je ugibanje res inteligentno se ravnamo po naslednjih pravilih: (1) Cele ničle polinoma s celimi koeficienti iščemo samo med delitelji prostega člena. (2) Racionalne ničle polinoma s celimi koeficienti iščemo samo med ulomki, ki imajo v števcu delitelj prostega člena, v imenovalcu pa delitelj vodilnega koeficienta. Numerične metode: Če druge metode odpovejo, poiščemo približne vrednosti ničel z numeričnimi metodami. Najbolj znana numerična metoda je metoda bisekcije: Najprej poiščemo interval [a, b], na katerem polinom (oziroma poljubna zvezna funkcija) spremeni predznak (v enem krajišču je funkcija pozitivna, v drugem pa negativna). Potem izračunamo razpolovišče intervala: c = (a + b). Ugotovimo, na katerem od manjših intervalov [a, c] ali [c, b] funkcija spremeni predznak, in postopek nadaljujemo na tem intervalu. Graf polinoma Polinom je zvezna funkcija. To pomeni, da je graf polinoma nepretrgana krivulja. Pri risanju grafa polinoma upoštevamo naslednja pravila: Graf polinoma, ko gre x proti ±, je podoben grafu vodilnega člena tega polinoma (y = a n x n ). Torej je podoben grafu potenčne funkcije y = x n raztegnjene z raztegom v smeri osi y za a n. Graf polinoma v okolici ničle k-te stopnje je podoben kot graf potenčne funkcije y = x k (z ustreznim raztegom in premikom). 29

30 To pomeni, da ločimo tri vrste ničel: (1) enostavne ničle (ničle prve stopnje): graf seka abscisno os pod določenim kotom. (2) ničle sode stopnje (tj. stopnje 2., 4., 6. itd): graf ne prečka abscisne osi, v ničli sode stopnje ima polinom lokalni ekstrem. (3) ničle lihe stopnje večje od 1 (tj. stopnje 3., 5., 7., itd): graf prečka abscisno os, vendar tako, da se ji v okolici ničle zelo lepo prilega (ima vodoravno os za tangento) - pravimo, da ima graf v taki ničli vodoravni prevoj. Torej ugotovimo: Predznak polinoma se spremeni samo v ničlah lihe stopnje. Zgled: Polinom p(x) = (x + 1)x 2 (x 2) 3 ima enojno ničlo pri 1, dvojno ničlo pri 0 in trojno ničlo pri 2. 30

31 Racionalne funkcije Racionalna funkcija je vsaka funkcija, ki jo lahko zapišemo z enačbo oblike: (kjer je p poljuben polinom, q pa poljuben neničelni polinom). Oba polinoma lahko tudi razcepimo (po Gaußovem izreku) in tako dobimo razcepljeno obliko racionalne funkcije: V nadaljevanju bomo izhajali iz predpostavke, da je racionalna funkcija okrajšana, tj. da v razcepljeni obliki ne nastopa isti faktor v števcu in imenovalcu. (Števec in imenovalec bi lahko vsebovala skupni faktor, a v tem primeru bi racionalno funkcijo lahko okrajšali.) Ničle polinoma v števcu so ničle racionalne funkcije. Ničle polinoma v imenovalcu pa so poli racionalne funkcije. Racionalna funkcija je definirana povsod razen v polih. Graf racionalne funkcije Racionalna funkcija je zvezna povsod, kjer je definirana. To pomeni, da se graf racionalne funkcije pretrga samo v polih. Pri risanju grafa racionalne funkcije upoštevamo naslednja pravila: 31

32 Graf racionalne funkcije, ko gre x proti ± : (1) Če je stopnja imenovalca večja od stopnje števca, se graf racionalne funkcije (ko se oddaljujemo od izhodišča koordinatnega sistema) približuje abscisni osi. Torej ima vodoravno asimptoto y = 0. (2) V splošnem pa števec racionalne funkcije delimo z imenovalcem. Pri tem dobimo polinoma količnik in ostanek. Dobljeni količnik imenujemo asimptotski polinom. Grafu tega polinoma se graf racionalne funkcije približuje, ko se oddaljujemo od izhodišča koordinatnega sistema. Pogosto je asimptotski polinom prve ali ničte stopnje in ima za graf premico. V tem primeru to premico imenujemo glavna asimptota racionalne funkcije. Graf racionalne funkcije včasih tudi seka asimptoto (oz. asimptotski polinom) - presečišča so v točkah, kjer je ostanek pri deljenju enak 0. Graf racionalne funkcije v okolici ničle k-te stopnje narišemo enako kot graf polinoma v okolici ničle k-te stopnje. Graf racionalne funkcije v okolici pola k-te stopnje je podoben kot graf potenčne funkcije y = x k (z ustreznim raztegom in premikom). To pomeni, da se graf v okolici pola vedno približuje navpični asimptoti, glede predznaka funkcije pa ločimo dve vrsti polov: (1) V polih lihe stopnje se predznak funkcije spremeni. (2) V polih sode stopnje se predznak funkcije ohrani. Torej ugotovimo: Predznak racionalne funkcije se spremeni samo v polih in ničlah lihe stopnje. 32

33 Zgled: Racionalna funkcija: ničli: 0 (II.) in 2 pola: 1 in 1 glavno asimptoto: y = x + 2 graf jo seka pri: x = 2 odsek na ordinatni osi: f(0) = 0 ima: Eksponentna funkcija Potenco a n smo definirali najprej za cele eksponente, potem pa še za racionalne eksponente. Poljubno realno število lahko aproksimiramo z racionalnimi približki in tako lahko potenco a n definiramo za poljuben realni eksponent n. Da bo vrednost potence res možno izračunati za vsak realni eksponent n, pa mora biti osnova potence pozitivna. In tako lahko definiramo: Eksponentna funkcija je funkcija, ki jo lahko zapišemo z enačbo f (x) = a x je osnova a dano pozitivno realno število). (kjer Eksponentna funkcija je definirana za vsak realni eksponent x, funkcijska vrednost pa je vedno pozitivna (tj.: D f =, Z f = + ). 33

34 Graf eksponentne funkcije Pri osnovi a = 1 dobimo funkcijo f (x) = 1 x = 1, ki pravzaprav ni prava eksponentna funkcija. Ostale eksponentne funkcije lahko razdelimo v dve skupini: Če je osnova a > 1, je graf eksponentne funkcije takle: Taka funkcija: - povsod narašča, - je povsod pozitivna, - ima vodoravno asimptoto y = 0. 34

35 Če je osnova a (0, 1), pa je graf eksponentne funkcije takle: Taka funkcija: - povsod pada, - je povsod pozitivna, - ima vodoravno asimptoto y = 0. Kot poseben primer eksponentne funkcije omenimo naravno eksponentno funkcijo f (x) = e x. To je eksponentna funkcija, ki ima za osnovo Eulerjevo število e = Logaritemska funkcija Logaritemska funkcija je inverz eksponentne funkcije. Logaritem števila b pri osnovi a je tisti eksponent x, za katerega velja a x = b, torej: log a b = x a x = b Zato da x res obstaja, mora biti osnova a pozitivna in različna od 1, logaritmiranec (logaritmand) b pa mora biti pozitiven. V praksi najpogosteje srečamo logaritem z osnovo 10, ki ga imenujemo tudi desetiški logaritem. Pri tem logaritmu lahko indeks tudi izpustimo, torej: log 10 b = log b. Pogosto srečamo tudi naravni logaritem, ki ima za osnovo Eulerjevo število e = Označimo ga: log e b = ln b. Lastnosti logaritmov 35

36 Za poljubna pozitivna števila x, y, a, c (a 1, c 1) veljajo naslednje lastnosti: log a 1 = 0 log a a = 1 log a (a x ) = x Zadnjo lastnost imenujemo prehod na novo osnovo. Ta lastnost nam pove, kako izračunamo logaritem z osnovo c, če znamo izračunati logaritem z osnovo a. Ta lastnost nam tudi omogoča računanje logaritmov s kalkulatorjem. Graf logaritemske funkcije Logaritemska funkcija f (x) = log a x mora imeti osnovo pozitivno in različno od 1, zato se logaritemske funkcije delijo v dve skupini: Če je osnova a > 1, je graf logaritemske funkcije takle: Logaritemska funkcija v tem primeru: - narašča povsod, kjer je definirana, - ima ničlo pri x = 1, - ima navpično asimptoto y = 0, 36

37 +, - D f = - Z f =. Če je osnova a (0, 1), je graf logaritemske funkcije takle: Logaritemska funkcija v tem primeru: - pada povsod, kjer je definirana, - ima ničlo pri x = 1, - ima navpično asimptoto y = 0, - D f = +, - Z f =. Trigonometrijske funkcije Razširitev pojma kot Kot v geometriji definiramo kot del ravnine, omejen z dvema poltrakoma, ki imata skupno izhodišče. Ta definicija je primerna za kote od 0 do 360. Na splošno si kot raje predstavljamo kot zasuk: v koordinatnem sistemu pozitivni del abscisne osi zasukamo okoli koordinatnega izhodišča. Pri taki definiciji kota lahko govorimo tudi o kotih, ki so večji od 360, pa tudi o kotih, ki so manjši od 0 (zasuk v negativni smeri). 37

38 Pozitivni del abscisne osi imenujemo fiksni krak kota, zasukani poltrak pa gibljivi krak kota. Pri sukanju gibljivega kraka okoli izhodišča koordinatnega sistema potuje točka A(1, 0) po enotski krožnici. Dolžina poti (d), ki jo ta točka opravi pri določenem kotu oziroma zasuku, se imenuje velikost kota v radianih. Ker je obseg enotske krožnice enak 2π, vidimo, da je 360 = 2π radianov. Pri radianih po dogovoru izpuščamo oznako enote, torej pišemo kar 360 = 2π 180 = π itd. Definicije trigonometrijskih (kotnih) funkcij Sinus kota je ordinata točke T, v kateri gibljivi krak kota seka enotsko krožnico. Kosinus kota je abscisa točke T, v kateri gibljivi krak kota seka enotsko krožnico. Tangens kota je ordinata točke U, v kateri nosilka gibljivega kraka kota seka navpično premico x = 1. Kotangens kota je abscisa točke V, v kateri nosilka gibljivega kraka kota seka vodoravno premico y = 1. 38

39 Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, tangens kota x označujemo z oznako tg x (ali tudi tan x), kotangens kota x označujemo z oznako ctg x (ali tudi cot x, cotan x, ctan x ali ctn x). (Glej tudi: Definicije kotnih funkcij v pravokotnem trikotniku.) Osnovne zveze med kotnimi funkcijami Med kotnimi funkcijami istega kota x veljajo zveze: Opomba: Potence kotnih funkcij po dogovoru označujemo (v Evropi) na krajši način: (sin x) n = sin n x. Po tem dogovoru pomeni tudi zapis sin 1 x = (sin x) 1 (in ne arkus sinus x, kar ta oznaka pomeni v nekaterih drugih koncih sveta). 39

40 Grafi in lastnosti trigonometrijskih funkcij Opomba: Pri risanju grafov kotnih funkcij vedno privzamemo, da je argument x kot v radianih. Funkcija f (x) = sin x D f = Z f = [ 1, 1] Ničle: x = kπ ; k Maksimumi: M( + 2kπ, 1) ; k Minimumi: m( + 2kπ, 1) ; k Funkcija f (x) = cos x D f = Z f = [ 1, 1] Ničle: x = + kπ ; k Maksimumi: M(2kπ, 1) ; k Minimumi: m(π + 2kπ, 1) ; k Funkcija f (x) = tg x 40

41 D f = \ { + kπ ; k } Z f = Ničle: x = kπ ; k Poli: x = + kπ ; k Funkcija f (x) = ctg x D f = \ {kπ ; k } Z f = Ničle: x = + kπ ; k Poli: x = kπ ; k 41

42 Pomembnejše formule Adicijski izreki sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y sin(x y) = sin x cos y cos x sin y cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y cos(x y) = cos x cos y + sin x sin y Funkcije dvojnih kotov sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos 2 x sin 2 x Faktorizacija kotnih funkcij sin x + sin y = 2 sin cos sin x sin y = 2 sin cos cos x + cos y = 2 cos cos cos x cos y = 2 sin sin Razčlenjevanje kotnih funkcij sin x sin y = cos x cos y = sin x cos y = (cos(x + y) cos(x y)) (cos(x + y) + cos(x y)) (sin(x + y) + sin(x y)) 42

43 Odvod Limita funkcije Imejmo dano funkcijo f in realno število a. Zaporedje x n naj konvergira proti številu a. Sestavimo drugo zaporedje y n po pravilu: y n = f (x n ). Če zaporedje y n vedno konvergira k istemu realnemu številu b (ne glede na to, kako izberemo zaporedje x n, ki konvergira proti a), potem pravimo, da je število b limita funkcije f, ko gre x proti a. To pomeni, da je limita funkcije vrednost, ki se ji približujejo rezultati funkcije, če se podatki približujejo številu a. Limito funkcije f, ko gre x proti a, označimo: Če se graf funkcije v okolici točke a ne pretrga, pravimo, da je funkcija v tej točki zvezna. Velja: Funkcija je v točki a zvezna, če in samo če je limita funkcije, ko gre x proti a, enaka funkcijski vrednosti v tej točki, torej: Funkcija je v točki a zvezna = f (a) Odvod funkcije Tangenta na graf funkcije f v točki T(x, y) je premica, ki se v okolici te točke najbolj prilega grafu funkcije. (Opomba: Tangenta na graf obstaja, samo če je graf v okolici dane točke gladek. V točkah, kjer se graf prelomi, tangenta ne obstaja.) Odvod funkcije f v točki T(x, y) je smerni koeficient tangente na graf te funkcije v tej točki. Označimo ga f '(x). 43

44 Računsko določimo odvod s pomočjo limite: f '(x) = Ker je odvod enak smernemu koeficientu premice, ki se grafu funkcije zelo dobro prilega, nam odvod pove, kakšna je strmina grafa funkcije v dani točki. Če je na nekem intervalu odvod funkcije pozitiven in kvečjemu v posameznih točkah enak 0, potem funkcija na tem intervalu narašča. Če je na nekem intervalu odvod funkcije negativen in kvečjemu v posameznih točkah enak 0, potem funkcija na tem intervalu pada. Naklonski kot grafa funkcije v dani točki definiramo kot naklonski kot tangente na graf te funkcije v tej točki in ga izračunamo po znani formuli: tg α = k Pravila odvajanja Funkcija A f (x) f (x) + g(x) f (x) g(x) Odvod A f '(x) f '(x) + g'(x) f '(x) g(x) + f (x) g'(x) f (g(x)) x n sin x cos x tg x f '(g(x)) g'(x) n x n 1 cos x sin x 44

45 ctg x e x a x ln x e x a x ln a log a x Stacionarne točke Stacionarna točka funkcije je točka, v kateri je odvod funkcije enak 0. To pomeni, da je tangenta v stacionarni točki vodoravna. Poznamo tri vrste stacionanih točk: Lokalni minimum je najnižja točka v neki okolici. Spoznamo ga po tem, da funkcija levo od minimuma pada, desno pa narašča, torej je odvod funkcije levo od minimuma negativen, desno pa pozitiven. Lokalni maksimum je najvišja točka v neki okolici. Spoznamo ga po tem, da funkcija levo od maksimuma narašča, desno pa pada, torej je odvod funkcije levo od maksimuma pozitiven, desno pa negativen. Vodoravni prevoj je točka, v kateri je tangenta vodoravna, vendar pa ni niti minimum niti maksimum. Funkcija je v okolici vodoravnega prevoja monotona (samo narašča ali pa samo pada). Predznak odvoda se v vodoravnem prevoju ne spremeni. 45

46 Integral Nedoločeni integral Nedoločeni integral je operacija, ki deluje obratno kot odvajanje. To pomeni, da je nedoločeni integral funkcije f enak tisti funkciji F, katere odvod je enak dani funkciji f. Nedoločeni integral funkcije f označimo f (x) dx. Torej velja: f (x) dx = F (x) F '(x) = f (x) Funkcijo F, ki jo dobimo kot rezultat integriranja, imenujemo primitivna funkcija. Ker je odvod konstanete enak 0, lahko primitivni funkciji prištejemo poljubno konstanto, pa bo njen odvod še vedno enak f (x). To pomeni, da je rezultat nedoločenega integrala določen samo do aditivne konstante natančno. Zato tudi v zapisu rezultata običajno dodamo člen +C, torej: f (x) dx = F (x) + C Osnovna pravila integriranja A f (x) dx = A f (x) dx (f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx x n dx = (za vsak n, n -1) dx = ln x + C sin x dx = - cos x + C cos x dx = sin x + C tg x dx = - ln cos x + C ctg x dx = ln sin x + C dx = tg x + C dx = - ctg x + C e x dx = e x + C dx = arc tg x + C Določeni integral Imejmo funkcijo f, ki je na intervalu [a, b] nenegativna. Izračunati želimo ploščino lika, ki ga omejuje graf funkcije f skupaj z abscisno osjo in z navpičnima premicama x = a in x = b. 46

47 Izkaže se, da je ploščina tega lika enaka S = F (b) F (a), pri čemer je funkcija F enaka nedoločenemu integralu dane funkcije f. Zato se odločimo, da definiramo določeni integral funkcije f na intervalu [a, b] z Newton-Leibnizevo formulo: Če je funkcija f na intervalu [a, b] pozitivna ali enaka 0, je vrednost določenega integrala enaka ploščini lika, ki ga na tem intervalu omejujeta graf funkcije f in abscisna os. Če je funkcija na tem intervalu negativna, je rezultat določenega integrala enak nasprotni vrednosti ploščine ustreznega lika. Z določenim integralom lahko izračunamo tudi ploščino lika, ki ga omejujeta grafa dveh funkcij: 47

48 48