INŽENIRSKA MATEMATIKA I

Transcript

1 INŽENIRSKA MATEMATIKA I REŠENE NALOGE za izredne študente VSŠ Tehnično upravljanje nepremičnin Marjeta Škapin Rugelj Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo

2

3 Kazalo Števila in preslikave 5 Vektorji 6 Analitična geometrija 8 4 Matrike in sistemi linearnih enačb 9 5 Determinante, lastne vrednosti in lastni vektorji 6 Zaporedja in vrste 7 Limite in zveznost funkcij 5 8 Odvodi in njihova uporaba 7 9 Rešitve 9 9. Števila in preslikave Vektorji Analitična geometrija Matrike in sistemi linearnih enačb Determinante, lastne vrednosti in lastni vektorji Zaporedja in vrste Limite in zveznost funkcij Odvodi in njihova uporaba

4

5 Števila in preslikave. Naj bo M = {4 + n n N}. Določite inf M, sup M, min M in max M.. Določite (f g)(x) in (g f)(x), če je f(x) = e 4x in g(x) = x +.. Naj bo f : R R f R, f(x) = e x+ +. (a) Dokažite, da je preslikava f injektivna. (b) Določite zalogo vrednosti R f in predpis za inverzno preslikavo f : R f R. 4. Naj bo f : D f R f R, f(x) = ln ( x x+4). (a) Določite naravno definicijsko območje D f. (b) Dokažite, da je preslikava f injektivna. (c) Določite zalogo vrednosti R f in predpis za inverzno preslikavo f : R f D f. 5. S pomočjo popolne indukcije pokažite, da je število oblike n deljivo s 4 za vsako naravno število n. 6. Dokažite, da je število oblike n 7n deljivo s za vsako naravno število n. 7. Pokažite s popolno indukcijo, da je število oblike 5 n+ + n+ deljivo s 7 za vsako naravno število n. 8. Pokažite s popolno indukcijo, da za vsako naravno število n velja (4n )(4n + ) = n 4n Pokažite s popolno indukcijo, da za vsako naravno število n velja (n ) = n(n + ).. Naj bo f(x) = x in g(x) = x. Poiščite vsa realna števila x, ki zadoščajo neenačbi (f g)(x) < (g f)(x). Podani imamo fumkciji f, g : R R s predpisoma f(x) = x in g(x) = x +. Za katera realna števila je izpolnjena enačba (f g)(x) (g f)(x).. Poiščite vse rešitve neenačbe x x x. Poiščite vsa realna števila, ki zadoščajo neenačbi x 4 x x 4. Rešite neenačbo x <. 5

6 5. Določite naravno definicijsko območje funkcije f(x) = x 4x + + ln(x x + ). 6. Poiščite naravno definicijsko območje funkcije f(x) = x x + ln( x 4 x ). 7. Določite naravno definicijsko območje funkcije f(x) = ln( x 4 4 x ). 8. Določite naravno definicijsko območje funkcije f(x) = ln(x + ) + x x + x. 9. Določite naravno definicijsko območje funkcije ( ) x f(x) = ln x arcsin(x + ). Poiščite naravno definicijsko območje funkcije f(x) = ln( x + x 5x + 4 ).. Poiščite vse kompleksne rešitve enačbe in jih narišite. ( z 4 6 = ) 4 + ı. Poiščite vse kompleksna števila z, ki zadoščajo enačbama z + 5 ı = z + + ı in z = z + 8ı.. Določite množice A = {z; z + + ı }, B = {z; z = z + ı } in B \ A ter narišite vsako na svoji sliki. 4. V kompleksni ravnini narišite vse točke, ki zadoščajo neenačbama 5. Poiščite kompleksna števila z, ki rešijo enačbo z + ı z + ı in z > 4. z = ( ) 5 + ı + z Vektorji. Naj bodo A(,, ), B(,, ) in C(, 4, 4) oglišča paralelograma ABCD. Naj bo E točka, ki razpolovi daljico DC in F točka, ki razdeli daljico AD v razmerju :. Točka S je presečišče premice skozi točki A in E ter premice skozi točki B in F. (a) Skicirajte sliko. (b) Pokažite, da je paralelogram ABC D romb. (c) Izrazite vektor AS z vektorjema a= AB in b= AD. (č) Določite koordinate točke S. (d) Določite ploščino trikotnika ABS. 6

7 . Naj bodo A(,, ), B(,, ), C(, 4, ), D, E in F so oglišča enakostraničnega šestkotnika ABCDEF. Naj bo G točka, ki razdeli daljico CD v razmerju : ( CG : GD = : ). Točka S je presečišče premice skozi točki A in G ter premice skozi točki B in E. (a) Skicirajte sliko. (b) Izrazite vektor AS z vektorjema a= AB in b= BC. (c) Določite ploščino trikotnika ABS. (č) Izračunajte višino trikotnika ABS na AB.. Naj bodo A(,, ), B(, 5, ) in C(,, ) oglišča paralelograma ABCD. Naj bo E točka, ki razpolovi daljico AD in F točka, ki razdeli daljico DC v razmerju :. Točka S je presečišče premice skozi točki C in E ter premice skozi točki B in F. (a) Skicirajte sliko in določite koordinate točke D. (b) Pokažite, da je paralelogram ABC D romb. (c) Izrazite vektor AS z vektorjema a= AB in b= AD. (č) Določite koordinate točke S. 4. Naj bodo A(,, ), B(,, ) in C(, 5, ) oglišča paralelograma ABCD. Naj bo E točka, ki razpolovi daljico BC in F točka, ki razdeli daljico DC v razmerju :. Točka S je presečišče premice skozi točki A in E ter premice skozi točki B in F. (a) Skicirajte sliko. (b) Izrazite vektor AS z vektorjema a= AB in b= AD. (c) Določite dolžino vektorja AS. 5. Določite kot med vektorjema c in d, če je c = a + b, a = b. d = a b, a b = a b in 6. Naj bo a b=, a = in kot med vektorjema a in b enak π 6. Izračunajte ploščino paralelograma, ki ga napenjata vektorja c = a + b in d= 4 a b. 7. Določite kot med vektorjema c in d, če velja c = a + b, d= 5 b, a = b in a b. 8. Določite kot med vektorjema c = a + b in d= a b, če je vektor a pravokoten na b in a = b. 9. Določite a tako, da bo imel trikotnik z oglišči A(,,), B(,,) in C(a,,) ploščino enako. Določite še razdaljo točke C do premice p, ki gre skozi točki A in B.. Določite α tako, da bo imel paralelepiped, ki ga napenjajo vektorji a= (,, α), c = (,, ) volumen. b = (,, ) in. Določite α tako, da bodo vektorji (, α, ), (,, ) in (,, ) ležali v isti ravnini.. Določite volumen tetraedra, ki ga napenjajo vektorji a= (, m, ), b= (,, m) in c = (, m, m). Pri katerem m so vektorji a, b in c linearno odvisni? 7

8 . Pokaži, da so vektorji a= (,, ), b= (5,, ) in c = (,, ) baza prostora R? 4. Vektorji a, b in c tvorijo bazo prostora. Preverite, če so potem tudi vektorji x = a + b + c, y= a + b + c in z = a b + c baza prostora. Analitična geometrija. Določite B tako, da bosta premica p in ravnina Σ vzporedni: p : x 4 = y+4 = z Σ : x By + 6z = 7. Določite A in B tako, da bosta ravnina Π in premica p pravokotni: Π : Ax + y + Cz = 7 x 4 p : = y 4 = z+. Določite A tako, da bosta premica p in ravnina Σ vzporedni: x+ p : 7 = y = z 4 Σ : x + By z = 4. Določite A in B tako, da bosta ravnini Π in Σ vzporedni: Π : Ax + By z = 5 Σ : x y + z = 7 5. (a) Določite parametrično obliko enačbe premice p : x + y z =, x + y + z =. (b) Poiščite točko P v kateri premica p seka ravnino Σ : x z =. (c) Določite enačbo premice q, ki leži v ravnini Σ in seka premico p pod pravim kotom. 6. (a) Poiščite ravnino Σ, ki je pravokotna na premico p : x = y = z in gre skozi točko A(4,, ). (b) Določite pravokotno projekcijo B točke B(,, ) na ravnino Σ. (c) Kolikšna je ploščina ABB? 7. (a) Zapišite enačbo ravnine Π, ki je pravokotna na premico p : x + = y T (,, ). (b) Poiščite točko P v kateri premica p seka ravnino Π. (c) Izračunajte razdaljo med premico p in točko T. (č) Določite enačbo ravnine Σ, ki vsebuje točko T in premico p. = z+ 8. (a) Poiščite enačbo ravnine Σ, v kateri ležijo točke A(,, ), B(,, ) in C(,, ). (b) Na ravnini Σ poiščite točko T, ki je najbližja točki D(,, ). (c) Koliko je točka D oddaljena od ravnine Σ? 8 in vsebuje točko

9 9. (a) Določite enačbo ravnine Σ, ki vsebuje presek ravnin Ω : x + y + z = in Π : x + y z = ter točko T (,, ). (b) Poiščite pravokotno projekcijo točke A(5,, 4) na ravnino Σ.. (a) Določite ravnino Π, ki gre skozi točke A(4,, ), B(5,, ) in C(, 4, ). (b) Prezrcalite točko T (,, ) čez ravnino Π. Koliko je točka T oddaljena od zrcalne slike?. Naj bo Π ravnina, ki je vzporedna ravnini Σ : x + y z = in gre skozi točko A(,, ). (a) Določite enačbo ravnine Π. (b) Poiščite točko B, ki je pravokotna projekcija točke T (, 4, ) na ravnino Π. (c) Izračunajte ploščino trikotnika OAB.. (a) Napišite enačbo ravnine Π, ki je vzporedna ravnini Σ : x y + z = 5 in gre skozi točko A(,, ). (b) Poiščite presečišče B premice p : x = y = z z ravnino Π. (c) Določite premico q, ki gre skozi točki A in B.. (a) Poiščite ravnino Σ, ki je pravokotna na premico p : x = y = z, in gre skozi točko A(4,, ). (b) Določite pravokotno projekcijo B točke B(,, ) na ravnino Σ. (c) Kolikšna je ploščina ABB? 4. (a) Določite parametrično obliko enačbe premice p : x + y + z = 4, x y + 4z =. (b) Določite enačbo ravnine, ki vsebuje premici p in q : x = y+4 = z. (c) Poiščite presečišče premic p in q. 5. (a) Določite enačbo premice p, ki je dana kot presek ravnin Ω : x y+z = in Σ : x y+z =. (b) Določite presečišče P premice p z ravnino Π : x y + 4z = 7. (c) Poiščite enačbo premice q, ki leži v ravnini Π, je pravokotna na premico p in gre skozi točko P. 6. (a) Določite enačbo premice p skozi točki A(,, 4) in B(5, 6, ). (b) Poiščite ravnino Σ, ki je pravokotna na premico p in gre skozi točko C(4,, ). (c) Določite točko P, ki je presek premice p in ravnine Σ. (č) Poiščite razdaljo med premico p in točko C. 4 Matrike in sistemi linearnih enačb [ 5. Naj bo A = [. Naj bo A = 7 [ ] 5. Naj bo A = in B = ]. Rešite matrično enačbo XA = A T X. ]. Rešite matrično enačbo (A X) = X + A. [ ]. Rešite matrično enačbo AX = B + X. 9

10 4. Naj bo A = 5. Naj bo A = in B = 5. Rešite matrično enačbo AX = A T + X. 6. Rešite matrično enačbo XA = A + X, če je A = 7. Naj bo A =. Rešite matrično enačbo AX = B X. 5. Rešite matrično enačbo AX + A = A T + X. 8. Rešite matrično enačbo A(X + I) = I + A, če je A = 9. Rešite matrično enačbo AX = B T X, če je A = in B = Obravnavajte sistem za različne vrednosti a in zapišite njegove rešitve x + y + z = x + ay + a z = ax + y + z =. Obravnavajte sistem za različne vrednosti a in zapišite njegove rešitve x + y z = x + y z = x + y a z = a + 4. Obravnavajte sistem za različne vrednosti a in zapišite vse njegove rešitve. Dan je sistem linearnih enačb x + y + z = x + ay + az = a x + y + a z = a x + y + z = x + ay + az = ax + y + az = Poiščite tiste vrednosti parametra a za katere sistem nima rešitve. Za vse ostale vrednosti parametra a poišči vse rešitve..

11 4. Obravnavajte sistem za različne vrednosti a in zapišite njegove rešitve 5. Dan je sistem linearnih enačb x + y + z = x + ay + a z = ax + y + z = x + y + z = x + ay + a z = ax + y + az = Poiščite tiste vrednosti parametra a za katere sistem nima rešitve. Za vse ostale vrednosti parametra a poišči vse rešitve. 6. Obravnavajte sistem za različne vrednosti a in zapišite njegove rešitve x + y + az = ax + y + z = x + ay + z = 7. Obravnavajte sistem za različne vrednosti a in zapišite njegove rešitve x + y + z = ax + y z = x + ay + ( a)z = 8. Obravnavajte sistem za različne vrednosti a in zapišite njegove rešitve x + y + z = x + ay + az = a x + (a + )y + (a + a)z = a 9. Obravnavajte sistem za različne vrednosti a in zapišite njegove rešitve x + y z = x + y + az = x + ay + z =. Obravnavajte sistem za različne vrednosti a in zapišite njegove rešitve x + y + z + w = x + ay + z + aw = a x + y + z + a w = a

12 5 Determinante, lastne vrednosti in lastni vektorji [ ] b. Določite b in d tako, da bo matrika A = simetrična z determinanto. d [ ] 4. Določite c in d tako, da bo matrika A = simetrična in neobrnljiva. c d [ ] 4. Določite c in d tako, da bo matrika A = simetrična z determinanto 8. c d 4. Izračunajte determinanto matrike 5. Izračunajte determinanto matrike A = 6. Izračunajte determinanto matrike A = 7. Izračunajte determinanto matrike A = 8. Izračunajte determinanto matrike A = A = 9. Za katere vrednosti parametra a je matrika A = a a neobrnljiva? [ ] [ ] 4 4. Pokažite, da je lastni vektor matrike. Kateri lastni vrednosti pripada? 5 5 [ ] 8. Poiščite lastni vrednosti matrike A = in lastni vektor, ki pripada večji lastni vrednosti. 4 [ ] 5. Poiščite lastne vrednosti in lastna vektorja matrike A =. Če se da matriko A diagonalizirat, 6 4 določite P in D tako, da bo P AP diagonalna matrika D.

13 . Poiščite vse lastne vrednosti in lastni vektor, ki pripada največji lastni vrednosti matrike A =. [ ] 4 4. Poiščite lastni vrednosti in lastne vektorje matrike A =. Ali se matriko A da diagonalizirat? 6 5. Poiščite lastne vrednosti matrike A = in pripadajoče lastne vektorje. Ali se matriko 5 da diagonalizirat? 5 6. Poiščite lastni vrednosti matrike A = in pripadajoče lastne vektorje. Ali se matriko 4 da diagonalizirat? 7. Določite vrednost parametra a tako, da bo λ = lastna vrednost matrike a 8 A =. 4 Poiščite še ostali lastni vrednosti in vse linearno neodvisne lastne vektorje. diagonalizirat, določite še matriki P in D, da bo P AP diagonalna matrika. Če se matriko A da 8. Poiščite vse lastne vrednosti in lastne vektorje matrike A = 4. 5 Ali se matriko A da diagonalizirat? Odgoovor utemeljite. 6 Zaporedja in vrste. Izračunajte limito zaporedja n + 8 n 5 n+ + 4 n+ lim n n + 4 n+ + 8 n.. Pokažite, da je zaporedje a n = n n+ naraščajoče in navzgor omejeno. Utemeljite konvergenco in določi limito. Koliko členov zaporedja leži zunaj okolice s polmerom ε =.?. Pokažite, da je rekurzivno podano zaporedje a = 6, a n+ = 6 + a n naraščajoče in navzgor omejeno s. Utemeljite konvergenco in določite limito. 4. Pokažite, da je rekurzivno podano zaporedje a = 6, a n+ = 4 a n Utemeljite konvergenco in določite limito. navzdol omejeno z in padajoče.

14 5. Pokažite, da je rekurzivno podano zaporedje a =, a n+ = a n + 4 navzgor omejeno s 5 in naraščajoče. Utemeljite konvergenco in določite limito. 6. Izračunajte vsoto vrste n= ( ) n+ n 7. Izračunajte vsoto vrste n= ( ) n+ 7 n 8. Z uporabo Leibnizovega kriterija za konvergenco vrst pokažite, da je vrsta ( ) n n(n+) n= 4 n konvergentna. Izračunajte njeno tretjo delno vsoto s in ocenite s s. Preverite, če je vrsta tudi absolutno konvergentna. 9. S pomočjo Leibnizovega kriterija pokažite, da je vrsta n= ( ) n+ n n konvergentna. Izračunajte njeno četrto delno vsoto s 4 in ocenite napako s s 4. Ali je vrsta tudi absolutno konvergentna?. Z uporabo Leibnizovega kriterija pokažite, da je vrsta n= ( ) n n+ n n konvergentna. Izračunajte njeno tretjo delno vsoto s in ocenite s s. Preverite, če je vrsta tudi absolutno konvergentna.. Z uporabo Leibnizovega kriterija pokažite, da je vrsta ( n + ( ) n n n= konvergentna. Izračunajte drugo delno vsoto s in ocenite napako s s. Ali je vrsta tudi absolutno konvergentna?. Z uporabo kvocientnega kriterija za konvergenco vrst ugotovite, če je vrsta konvergentna.. Z uporabo kvocientnega kriterija ugotovite, konvergentna. n= n= 5 n n! n n 5 n e n n! ) n 4

15 4. Z uporabo korenskega kriterija ugotovite, če je vrsta konvergentna n= n ( ) n n + n 5. Z uporabo korenskega kriterija ugotovite, če je vrsta konvergentna n= 5 n ( ) n + n n 6. Z uporabo korenskega kriterija za konvergenco vrst ugotovite, če je vrsta ( n 5 ) n n= n konvergentna. 7 Limite in zveznost funkcij. Izračunajte limito. Izračunajte. Določite a, da bo funkcija zvezna. ( lim x x e x ). sin x lim x + x x cos x x + x f(x) = x sin x ax x > 4. Določite parametra a in b tako, da bo funkcija b( x x ) x < f(x) = a x = zvezna. xe x sin(x) x cos x x > 5

16 5. Določite a in b tako, da bo funkcija f(x) = sin(x ) +x e x x < b x = zvezna. 9+x ax x > 6. Določite a tako, da bo funkcija zvezna. f(x) = sin x 4 x x a x = 7. Določite parameter a tako, da bo funkcija cos(5x) x x e x f(x) = a x = zvezna. 8. Določite parametra a in b tako, da bo funkcija a + tan(x ) x x < f(x) = b x = zvezna. x 6 x 9 x > 9. Določite vse realne vrednosti a in b da bo funkcija sin(x) x x < f(x) = ax + b x x 5 x+ x > zvezna.. Določite parameter a tako, da boste v limiti e x + e x a e lim x (ln x) lahko uporabili L Hospitalovo pravilo in limito izračunajte.. Utemeljite, da ima funkcija f(x) = e x ničlo na intervalu [, ]. 6

17 8 Odvodi in njihova uporaba. S pomočjo odvoda pokažite, da za vsak x velja + x + x ex. Poiščite globalne ekstreme funkcije f(x) = e x4 +4x x na intervalu [, ].. Največ kolikšna je lahko ploščina trapeza, včrtanega v polkrog s polmerom R? 4. S pomočjo diferenciala določite za koliko odstotkov se približno spremeni volumen stožca, če se polmer osnovne ploskve poveča za %, višina pa zmanjša za 5%. 5. S pomočjo Taylorjevega polinoma reda 4 približno izračunajte vrednost izraza sin.. Ocenite napako, ki jo pri tem zagrešite. 6. S pomočjo Taylorjevega polinoma reda približno izračunajte vrednost izraza ln. Ocenite napako, ki jo pri tem zagrešite. 7. S pomočjo Taylorjevega polinoma reda približno izračunajte vrednost izraza Ocenite napako, ki jo pri tem zagrešite. 8. Naj bo f(x) = x + x Za funkcijo f določite naravno definicijsko območje, ničle, pole, obnašanje na robu definicijskega območja, asimptoto, stacionarne točke, intervale naraščanja in padanja, prevoje, intervale konveksnosti in konkavnosti ter čimbolj natančno narišite njen graf. 9. Dan je funkcijski predpis f(x) = x (x ) Določite definicijsko območje, ničle, asimptoto, ekstreme, prevoje, intervale monotonosti, konveksnosti in konkavnosti funkcije ter funkcijo narišite. Določite še globalni minimum in globalni maksimum na intervalu [, 4].. Dan je funkcijski predpis f(x) = x x +. Določite definicijsko območje, ničle, asimptoto, sodost, lihost, ekstreme, intervale monotonosti, konveksnosti in konkavnosti funkcije ter jo narišite.. Dan je funkcijski predpis (x + )x f(x) = x. Določite definicijsko območje, ničle, asimptoto, ekstreme, intervale monotonosti, konveksnosti in konkavnosti funkcije. Raziščite obnašanje funkcije na krajiščih definicijskega območja in funkcijo narišite. 7

18 . Naj bo f(x) = (x + )e x Za funkcijo f določite naravno definicijsko območje, ničle, obnašanje na robu definicijskega območja, stacionarne točke, intervale naraščanja in padanja, prevoje, intervale konveksnosti in konkavnosti ter čimbolj natančno narišite njen graf.. Dan je funkcijski predpis f(x) = (x ) e x. Določite definicijsko območje, ničle, ekstreme, intervale monotonosti, konveksnosti in konkavnosti funkcije. Raziščite obnašanje funkcije na krajiščih definicijskega območja in funkcijo narišite. 4. Dan je funkcijski predpis f(x) = e x Določite definicijsko območje, ničle, ekstreme, intervale monotonosti, konveksnosti in konkavnosti funkcije. Raziščite obnašanje funkcije na krajiščih definicijskega območja in funkcijo narišite. 5. Dan je funkcijski predpis f(x) = ex x Določite definicijsko območje, ničle, ekstreme, intervale monotonosti, konveksnosti in konkavnosti funkcije. Raziščite obnašanje funkcije na krajiščih definicijskega območja in funkcijo narišite. 6. Dan je funkcijski predpis f(x) = x e x. (a) Določite definicijsko območje, ničle, ekstreme, prevoje, intervale monotonosti, konveksnosti in konkavnosti funkcije. Raziščite obnašanje funkcije na krajiščih definicijskega (b) Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije f(x) na intervalu [, ]. 7. Naj bo f(x) = e x x Za funkcijo f določite naravno definicijsko območje, ničle, asimptoto, stacionarne točke, intervale naraščanja in padanja, prevoje, intervale konveksnosti in konkavnosti ter čimbolj natančno narišite njen graf. 8. Dan je funkcijski predpis f(x) = x 4 e x. Določite definicijsko območje, ničle, obnašanje na robu definicijskega območja, ekstreme, prevoje, intervale monotonosti, konveksnosti in konkavnosti funkcije ter funkcijo narišite. 9. Dan je funkcijski predpis f(x) = x(ln x ). Določite definicijsko območje, ničle, ekstreme, intervale monotonosti, konveksnosti in konkavnosti funkcije. Raziščite obnašanje funkcije na krajiščih definicijskega območja in funkcijo narišite. 8

19 . Dan je funkcijski predpis ln(x + ) f(x) = x +. Določite definicijsko območje, ničle, ekstreme, intervale monotonosti, konveksnosti in konkavnosti funkcije. Raziščite obnašanje funkcije na krajiščih definicijskega območja in funkcijo narišite.. Dan je funkcijski predpis f(x) = arctan x. Določite definicijsko območje, ničle, lihost oz. sodost funkcije, ekstreme, prevoje, intervale monotonosti, konveksnosti in konkavnosti funkcije. Raziščite obnašanje funkcije na krajiščih definicijskega območja in funkcijo narišite.. Dan je funkcijski predpis x f(x) = arctan x. Določite definicijsko območje, ničle, ekstreme, intervale monotonosti, konveksnosti in konkavnosti funkcije. Raziščite obnašanje funkcije na krajiščih definicijskega območja in funkcijo narišite.. Naj bo f(x) = arctan ( x ) + x. Za funkcijo f določite naravno definicijsko območje, ničle, sodost, lihost, obnašanje funkcije na robu definicijskega območja, stacionarne točke, intervale naraščanja in padanja, prevoje, intervale konveksnosti in konkavnosti ter čimbolj natančno narišite njen graf. 9 Rešitve 9. Števila in preslikave. inf M = 4, min M ne obstaja, sup M = max M = 5. (f g)(x) = e 4x +, (g f)(x) = e 8x +. (a) Funkcija je injektivna, ker iz f(x ) = f(x ) sledi x = x. (b) R f = (, ) in f (x) = ln(x ). 4. (a) (, 4) (, ) (b) Pokazati je treba, da velja implikacija: f(x ) = f(x ) x = x. (c) R f = R \ {}, f (x) = +4ex e x 5. Za n = trditev velja, saj je = 8 = 4. Indukcijsko predpostavko za n = k zapišimo v obliki: k = 4m +, m Z. Zdaj si pa poglejmo naš izraz pri n = k + in uporabimo indukcijsko predpostavko: k+ = (4m + ) (po indukcijski predpostavki) = 4 9m + 8 = 4(9m + ). 9

20 6. Za n = trditev velja, saj je 7 = 6 =. Indukcijsko predpostavko za n = k zapišimo v obliki: k = m + 7k, m Z. Zdaj si pa poglejmo naš izraz pri n = k + in uporabimo indukcijsko predpostavko: (k + ) 7(k + ) = k + k + k 7k 7 (po indukcijski predpostavki) = m + 7k + (k + k ) 7k = (m + k + k ). 7. Za n = trditev velja, saj je = 9 = 7. Indukcijsko predpostavko za n = k zapišimo v obliki: 5 k+ = 7m k+, m Z. Zdaj si pa poglejmo naš izraz pri n = k + in uporabimo indukcijsko predpostavko: 5 k+ + k+4 = 5 5 k+ + k+4 (po indukcijski predpostavki) = 5(7m k+ ) + k+4 = 7(5m k+ ). 8. Za n = trditev velja. Zapišimo indukcijsko predpostavko za n = k: (4k )(4k + ) = k 4k +. Z uporabo indukcijske predpostavke pokažimo, da trditev velja tudi za n = k + : (4k )(4k + ) + (4k + )(4k + 5) 9. Za n = trditev velja. Zapišimo indukcijsko predpostavko za n = k: = = k 4k + + (4k + )(4k + 5) k + 4(k + ) (k ) = k(k + ). Z uporabo indukcijske predpostavke pokažimo, da trditev velja tudi za n = k + : (k ) + (k + ) = k(k + ) + (k + ) = (k + )((k + ) + ). Neenačba (f g)(x) < (g f)(x) se prepiše v (x ) < x, ki jo rešijo x (, ) \ {}.. (, ] {}. { } [, ]. (, ] [, ) 4. ( 4, ) (, 6) 5. Funkcija f(x) je definirana, kadar je x 4x + in x x + >. Ker je x 4x + za x (, ] [, ) in ker je x x + > za x (, ), je definicijsko območje funkcije f(x) enako (, ] [, ).

21 6. Funkcija f(x) je definirana, kadar je x x in x 4 x >. Ker je x x za x (, ] [, ) in ker je x 4 x > za x (, ), je definicijsko območje funkcije f(x) enako (, ] [, ). 7. Funkcija f(x) je definirana, kadar je x 4 4 x >. Torej je definicijsko območje funkcije f enako (, ) (, + ) (4, ). 8. Funkcija f(x) je definirana, kadar je x + > in x x + x. Ker je x + > za x (, ) in ker je x x + x za x [, ] {}, je definicijsko območje funkcije f(x) enako (, ] {}. 9. D f = (, ]. (, ) (, ) (5, ). z = + ı, z = + ı, z = ı, z = ı,. z = + 4ı. Množica A je krog s središčem v (, ) in polmerom, množica B pa je krožnica s središčem v (, 4) in polmerom. Torej je množica B \ A tisti del krožnice, ki ne leži v krogu. 4. Rešitev so točke, ki zadoščajo neenačbama y x + in x + y > z = 5 4 ı 9. Vektorji. Označimo a= AB in b= BC. Potem je a= (,, ) in b= (,, ). Ker je a = b, je paralelogram ABC D romb. Vektor AS izrazimo na dva načina kot linearni kombinaciji vektorjev a in b ter z izenačitvijo koeficientov dobimo AS= a + 6 b. Ploščino trikotnika izračunamo z vektorskim produktom pl( ABS) = a AS =.. (b) AS= a + (c) pl( ABS) = (č) v = 6. (a) D(,, ) b.. (b) Ker je a = b, je paralelogram ABCD romb. (c) AS= a b. (č) S(, ). 4. (b) AS= 4 a + 8 b. (c) AS = 5 8

22 5. Iz enačbe a b = a b z uporabo definicije dolžine vektorskega produkta in definicije skalarnega produkta izračunamo, da je kot med vektorjema a in b enak φ = π. Kot α med vektorjema c in d dobimo iz formule ( c ) d α = arccos c = π d φ = arccos.6 8. φ = arccos a =, a = 4, d(c, p) =. α = 4, α = 6. Vektorji bodo koplanarni, če bo njihov mešani produkt enak, torej za α =. V = 4m 6, m = ±. Dovolj je pokazati, da so linearno neodvisni. 4. Niso baza, ker so linearno odvisni: x = y z. 9. Analitična geometrija. Premica p in ravnina Σ bosta vzporedni, če bosta smerni vektor premice s p = (4,, ) in vektor normale ravnine n Σ = (, B, 6) pravokotna. To pomeni, da mora biti njun skalarni produkt enak in torej B =.. Premica p in ravnina Π bosta pravokotni, če bosta smerni vektor premice s p = (,, ) in vektor normale ravnine n Π = (A,, C) vzporedna. To pomeni, da mora biti A = in C =.. Premica p in ravnina Σ bosta vzporedni, če bosta smerni vektor premice s p = (7,, 4) in vektor normale ravnine n Σ = (, B, ) pravokotna. To pomeni, da mora biti njun skalarni produkt enak in torej B = A = 6, B = 5. (a) p : x = + 4λ, y = λ, z = λ, λ R (b) P(,, ) (c) q : r = (,, ) + µ(,, ), µ R 6. (a) Ker je premica p pravokotna na ravnino Σ, lahko za njen vektor normale vzamemo kar smerni vektor premice n Σ = s p = (,, ). Torej je enačba ravnine Σ : x + y z = 7. (b) Določimo premico q, ki gre skozi točko B in je pravokotna na Σ, torej s q = (,, ): q : r = (,, ) + λ(,, ), λ R. Potem je pravokotna projekcija B točke B(,, ) na ravnino Σ ravno presek premice q in ravnine Σ, torej B (,, ).

23 (c) Ker je trikotnik ABB pravokoten, je njegova ploščina pl( ABB ) = AB BB =. 7. (a) Ker je premica p pravokotna na ravnino Π, je s p = n Π. Torej je enačba ravnine Π : x y + z =. (b) Premica p seka ravnino Π v točki P(,, ). (c) Ker je premica p pravokotna na ravnino Π, je razdalja med premico p in točko T kar enaka dolžini vektorja PT = (,, ), (,, ) = 5. (č) Ker ravnina Σ vsebuje točko T in premico p, ima normalni vektor n Σ = s p PT = (, 6, 5) in enačbo x 6y 5z =. 8. (a) Enačbo ravnine Σ dobimo z mešanim produktom [ r r A, r B r A, r C r A ] =, torej Σ : x y + z =. (b) Točka T je pravokotna projekcija točke D. Določimo premico p, ki gre skozi točko D in je pravokotna na Σ, torej s p = (,, ): p : r = (,, ) + λ(,, ), λ R. Potem je pravokotna projekcija T točke D(,, ) na ravnino Σ ravno presek premice p in ravnine Σ, torej T (,, ). (c) Ker je T pravokotna projekcija točke D na ravnino Σ, je d(σ, D) = d(t, D) = T D = (a) Enačbo premice p, ki je presek ravnin Π in Ω dobimo tako, da si koordinato z izberemo za parameter (z = λ) in rešimo sistem x + y = λ, x + y = λ. Tako dobimo enačbo premice v parametrični obliki p : x = + 5λ, y = λ, z = λ. Iz nje razberemo smerni vektor s p = (5,, ) in koordinate točke P(,, ) p. Normalni vektor ravnine n Σ = PT s p = (,, ). Torej ima iskana ravnina enačbo Σ : y + z =. (b) Projekcijo točke A(5,, 4) lahko dobimo kot presek ravnine Σ in premice q : x = 5, y = +µ, z = 4 + µ, ki gre skozi točko A in je pravokotna na ravnino Σ, A = q Σ. Ko vstavimo koordinate premice q v enačbo ravnine Σ, dobimo µ =. Torej je projekcija točke A točka A (5,, ).. (a) Enačbo ravnine Π : x + y + z = lahko dobimo na več načinov (npr. s pomočjo mešanega produkta [ r r A, r B r A, r C r A ]). (b) Premico p skozi točko T (,, ), ki je pravokotna na ravnino Π, zapišemo v parametrični obliki p : x = +λ, y = +λ, z = λ in vstavimo v enačbo ravnine Π. Premica p seka ravnino pri λ =, torej v točki P(4,, ). Zrcalna točka T ima radij vektor OT = OT + T P= (6,, ). Oddaljenost točke T do točke T je enaka T T = 6.. (a) Ker je ravnina Π vzporedna ravnini Σ, imata enak vektor normale n= (,, ). Če upoštevamo, da točka A leži v ravnini, dobimo Π : x + y z = 5. (b) Točko B(,, ) dobimo, če poiščemo presek premice skozi točko T s smernim vektorjem n in ravnine Π. (c) Ploščino trikotniko OAB dobimo z uporabo vektorskega produkta: pl( OAB) = OA OB = 6.

24 . (a) Ker je ravnina Π vzporedna ravnini Σ, imata isti vektor normale n Π = (,, ). Torej je enačba ravnine Π : x y + z =. (b) Premico p zapišemo v parametrični obliki p : x = + λ, y = λ, z = λ in vstavimo v enačbo ravnine Π. Premica p seka ravnino pri λ =, torej v točki B(,, ). (c) Premica q ima smerni vektor s q = AB= (, 5, ) in torej enačbo q : x = + µ, y = 5µ, z = µ, µ R.. (a) Σ : x + y z = 7, (b) B (,, ) (c) pl( ABB ) = 4. (a) Parametrična enačba premice p : x = 7 λ, y = + λ, z = λ, λ R. (b) Ravnina, ki vsebuje premici p in q, ima normalni vektor n= s p s q = ( 4,, ) in enačbo x + y + 5z =. (c) Presek premic p in q je točka T (,, ). 5. (a) p :, x = λ, y = 4 + λ, z = λ, λ R (b) P( 5,, ) (c) q :, x = 5 + 6µ, y = + 5µ, z = + µ, µ R 6. (a) r (λ) = (,, 4) + λ(,, ) (b) Σ : x y + z = 5 (c) P(,, ) (č) d(c, p) = Matrike in sistemi linearnih enačb. Iz matrične enačbe izrazimo X = A T (A + I). [ ] (A + I) 5 = in X = [ ] 4. X = I A = 6 [ ] 7 5. X = (A I) B = 7 [ 4. Iz matrične enačbe izrazimo X = (A + I) B (A+I) = in X = ].. Lahko pa nalogo rešimo tudi hitreje tako, da Gaussov postopek delamo na razširjeni matriki [A + I.B] toliko časa, da dobimo razširjeno matriko [I.X]. 4

25 5. Iz matrične enačbe izrazimo X = (A I) A T. (A I) =, A T = 6. Iz matrične enačbe izrazimo X = A(A I). (A I) = in X =. in X = 7. Iz matrične enačbe izrazimo X = (A I) (A T A) (A I) = in X = X = A + I = 9. X = (A + I) B T = Če je a = ali a =, sistem nima rešitve. Če je a in a, ima sistem natanko eno rešitev x y = a(a ) z. Če je a =, sistem nima rešitve. Če je a =, ima sistem neskončno rešitev oblike x y = + z z Če je a in a, ima sistem natanko eno rešitev x y = + a a + a z 4.., z R.... Če je a =, sistem nima rešitve. Če je a =, ima sistem neskončno rešitev oblike x y = + y + z z, y, z R. 5

26 . Če je a in a, ima sistem natanko eno rešitev x y = a a + z Če je a =, sistem nima rešitve. Če je a, ima sistem natanko eno rešitev x y = a z 4. Če je a =, sistem nima rešitve. Če je a =, ima sistem neskončno rešitev oblike x y = + z z. a a a., z R. Če je a in a, ima sistem natanko eno rešitev x y = a z. 5. Če je a =, sistem nima rešitve. Če je a =, ima sistem neskončno rešitev oblike x y = + y + z z, y, z R. 6. Če je a in a, ima sistem natanko eno rešitev x y = a + a + z Če je a =, sistem nima rešitve. Če je a =, ima sistem neskončno rešitev oblike x y = 4 + z z Če je a in a, ima sistem natanko eno rešitev x y = a z., z R.. 6

27 7. Če je a =, sistem nima rešitve. Če je a =, ima sistem neskončno rešitev oblike x y = + z z, z R. Če je a in a, ima sistem natanko eno rešitev x 4 y = a 4 (a ) z a. 8. Če je a =, sistem nima rešitve. Če je a =, ima sistem neskončno rešitev oblike x y = + y + z z, y, z R. Če je a in a, ima sistem natanko eno rešitev x y = a a + z 9. Če je a =, sistem nima rešitve. Če je a =, ima sistem neskončno rešitev oblike x 5 y = + z 4 z., z R. Če je a in a, ima sistem natanko eno rešitev x y = a + a + z.. Če je a =, sistem nima rešitve. Če je a =, ima sistem neskončno rešitev oblike x y z = + y + z w + w, y, z, w R. Če je a in a, ima sistem neskončno rešitev oblike x y z = a a + + z, z R. w 7

28 9.5 Determinante, lastne vrednosti in lastni vektorji. Da bo matrika simetrična, mora biti b =. Ker je det(a) = d 9, pogoju ustreza d = 6.. Da bo matrika simetrična, mora biti c =. Ker je matrika neobrnljiva, če ima determinanto enako in je det(a) = 4d 4, mora biti d =.. Da bo matrika simetrična, mora biti c =. Ker je det(a) = 4d ( )c = 4d 4, pogoju ustreza d =. 4. Iz drugega stolpca lahko izpostavimo 5, iz četrte vrstice pa. Nadaljujemo z Gaussovim postopkom in dobimo det(a) = det(a) = 6. det(a) = 8 7. det(a) = det(a) = 4 9. Matrika A je neobrnjiva, če je njena determinanta enaka, torej za a = in a = 9.. λ = 6. Lastni vrednosti matrike A sta ničli karakterističnega polinoma det(a [ ] λi). Torej λ = 8 in λ =. 4 Lastni vektor λ je vsak neničeln vektor, ki je vzporeden vektorju.. Lastni vrednosti matrike A sta ničli karakterističnega polinoma det(a λi), torej λ = [ in ] λ =. Lastni vektor lastne vrednosti λ = je vsak neničeln vektor, ki je vzporeden vektorju. Prav [ ] tako je lastni vektor lastne vrednosti λ = je vsak neničeln vektor, ki je vzporeden vektorju. Matriko A se da diagonalizirat, [ ] ker imamo [ dva ] linearno neodvisna vektorja. Torej je ena izmed možnih matrik enaka P = in D =.. Lastne vrednosti so λ =, λ = in λ =. Lastni vrednosti λ = pripada lastni vektor v = [ 4. λ =, v = ] [, λ = 5, v = Matriko A se da diagonalizirat, ker imamo dva linearno neodvisna vektorja. 5. Lastne vrednosti so λ =, λ = in λ =, pripadajoči lastni vektorji pa npr. v =, v = 5 in v =. Ker imamo tri linearno neodvisne lastne vektorje, se matriko da diagonalizirat. ] 8

29 6. Lastne vrednosti λ =, λ, =, pripadajoči lastni vektorji pa so npr. v =, v =. 4 Ker ima matrika A samo dva linearno neodvisna lastna vektorja, se je ne da diagonalizirat. 7. Če je a =, ima matrika A lastne vrednosti λ =, λ, =, pripadajoči lastni vektorji pa so npr. 4 v =, v = in v =. Ker ima A tri linearno neodvisne lastne vektorje, se matriko da diagonalizirat: D = in P = 4 8. Lastne vrednosti λ =, λ, =, pripadajoči lastni vektorji pa so npr. 4 v =, v = in v =. Ker ima A tri linearno neodvisne lastne vektorje, se matriko da diagonalizirat Zaporedja in vrste.. a =, 7. Naraščanje in omejenost pokažemo s popolno indukcijo. Ker je zaporedje naraščajoče in navzgor omejeno, je konvergentno. Limita zaporedja je enaka. 4. Padanje in omejenost pokažemo s popolno indukcijo. Ker je zaporedje padajoče in navzdol omejeno, je konvergentno. Limita zaporedja je enaka. 5. Naraščanje in omejenost pokažemo s popolno indukcijo. Ker je zaporedje naraščajoče in navzgor omejeno, je konvergentno. Limita zaporedja je enaka geometrijska vrsta, q =, a =, ( ) n+ n = n= 7. geometrijska vrsta, q = 7,, a = 7, ( ) n+ 7 n = 7 n= n= n= ( ) n = 4 ( ) n = 7 8 9

30 8. Označimo a n = ( ) n n(n+) 4 in c n n = a n = n(n+) 4. Ker je lim n n c n = in zaporedje (c n ) monotono padajoče, je po Leibnizovem kriteriju vrsta konvergentna. Njena tretja delna vsota je s = 5 6 in s s < c n+ = Ker je lim n a n+ a n = 4, je vrsta tudi absolutno konvergentna. 9. Četrta delna vsota je s 4 = 77 9 in s s 4 < 6. S kvocientnim kriterijem ugotovimo, da je vrsta tudi absolutno konvergentna.. Tretja delna vsota je s = 89 6 in s s < 5 4. S kvocientnim kriterijem ugotovimo, da je vrsta tudi absolutno konvergentna.. Druga delna vsota je s = 7 8 in s s < 5. S korenskim kriterijem ugotovimo, da je vrsta tudi absolutno konvergentna.. Ker je je vrsta konvergentna. lim n 5 n+ (n+)! 5 n n! 5 = lim n n + = <,. Vrsta je konvergentna. 4. Ker je n lim n n ( ) n n + n = lim n ( ) n n + = n lim n ( ) n n + = n lim ( + n ) n n ( n ) n =... = e >, je vrsta divergentna. n 5. Ker je lim n n 6. Ker je lim n 5 n ( n+ n ( n 5 n ) n = 5 lim n ( n+ ) n n = e 5 ) n = e 5 <, je vrsta konvergentna. >, vrsta divergira. 9.7 Limite in zveznost funkcij... Funkcija bo zvezna, če bo lim f(x) = lim f(x) = f(). x x Ker je lim x f(x) = f() = in z uporabo l Hospitalovega pravila dobimo lim x = 6a, bo funkcija zvezna za a = Funkcija bo v zvezna v x =, če bo leva limita lim x b( x x ) = b enaka desni limiti lim x xex sin(x) x cos x = in funkcijski vrednosti f() = a. Temu pogoju je zadoščeno, če je a = in b =.

31 sin(x 5. Funkcija bo v zvezna v x =, če bo leva limita lim ) x = +x e x enaka desni limiti lim x 6a in funkcijski vrednosti f() = b. Temu pogoju je zadoščeno, če je a = in b =. 9+x ax = 6. S pomočjo l Hospitalovega izreka izračunamo, da je lim x =. Torej bo f(x) zvezna, če bo a =. 7. a = 5 8. a = 5 6, b = 6 9. a =, b =. L Hospitalovo pravilo lahko uporabimo, če je lim x (e x + e x ae ) =, torej za a =. Limita je enaka e.. Ker je f zvezna in velja f()f( ) = ( )(e ) <, ima f na [, ] vsaj eno ničlo. 9.8 Odvodi in njihova uporaba. Naj bo f(x) = e x x x. Izračunamo f (x) in f (x). Ker je f (x), je f (x) je naraščajoča. Ker je poleg tega f () =, je f () za x. Ker je f (x), je f(x) naraščajoča. Ker je tudi f() =, je f(x) za x.. (a) Funkcijo odvajamo in dobimo f (x) = x(x )(x + )e x4 +4x x, torej imamo tri stacionarne točke x =, x = in x =. (b) Vrednost funkcije izračunamo samo v x in x, ki ležita na intervalu [, ]: f(x ) = f() = in f(x ) = f() = e 5. (c) Izračunamo še vrednost funkcije v robnih točkah f( ) = e in f() = e (č) S primerjavo vrednosti v stacionarnih točkah z intervala in v robnih točkah dobimo, da je globalni minimum enak f( ) = e in globalni maksimum f() = e.. Ploščina trapeza je enaka pl(x) = (R + x) R x, kjer je x polovica dolžine zgornje stranice trapeza. Z odvajanjem dobimo, da je maksimalna ploščina pri x = R in sicer pl ( ) R = R Volumen stožca se zmanjša za približno %. 5. Taylorjev polinom reda 4 za funcijo sin x je enak T 4 (x; ) = x x 6. Torej je sin Napako lahko ocenimo R 4 (., ) = cos(ξ).5 5! za nek ξ (,.) Če upoštevamo, da je cos ξ, dobimo, da je napaka največ , 4 7..,. 8. D f = R \ {}, f ima ničlo v x = in dvojni pol v x =. Funkcija ima asimptoto y(x) =, lim x f(x) = in lim x f(x) =. Odvod f je f (x) = x+, lokalni minimum ima v x = in x narašča na intervalu (, ). Drugi odvod je f (x) = (x+), torej ima prevoj v točki x = in je x 4 konveksna na intervalih (, ) in (, ). Graf funkcije:

32 x + x 4 Out[857]= D f = R \ {}, f ima trojno ničlo v x = in asimptoto y = x +. V x = ima f pol, lim x f(x) = in lim x f(x) =. Prvi odvod je f (x) = x (x ), lokalni minimum ima v x =, f() = 7 (x ) 4, in narašča na intervalu (, ). Drugi odvod je f (x) = 6x, torej ima f prevoj v x = in je konkavna na (, ). (x ) 4 Graf funkcije: 5 x Hx - L D f = R, f ima ničlo v x =, asimptoto y(x) = in je liha funkcija. Odvod f je f (x) = ( x)(+x) (x +), lokalni minimum ima v x =, lokalni maksimum v x = in narašča na intervalu (, ). Drugi odvod je f (x) = x(x ) (x +), torej ima prevoje v točkah x =, x = in x = ter je konveksna na intervalih (, ) in (, ). Graf funkcije:

33 .5 x x + Out[7]= D f = R \ {}, f ima ničli v x = in x = ter asimptoto y = x + 4. V x = ima f pol, lim x f(x) = in lim x f(x) =. Prvi odvod je f (x) = (x )(x+), lokalni minimum ima v x =, lokalni maksimum (x ) pa v x = in narašča na intervalih (, ) in (, ). Drugi odvod je f (x) = 8, torej je f (x ) konveksna na (, ). Graf funkcije: Hx + L x x - Out[697]= D f = R, f ima ničlo v x =, lim x f(x) = in lim x f(x) =. Prvi odvod je f (x) = (x + )e x, lokalni maksimum ima v x =, f( ) = e, in narašča na intervalu (, ). Drugi odvod je f (x) = (x + )e x, f ima prevoj v x =, f( ) = e, in je konveksna na (, ). Graf funkcije:

34 Hx+Le -x 5 Out[9]= D f = R, f ima dvojno ničlo v x =, lim x f(x) = in lim x f(x) =. Odvod f je f (x) = x(x )e x, lokalni maksimum ima v točki x =, f() = 4, lokalni minimum v točki x =, f() =, in pada na intervalu (, ). Drugi odvod je f (x) = (x )e x, torej ima f prevoja v točkah x = in x = ter je konkavna na intervalu (, ). Graf funkcije: Hx -L x 8 6 Out[847]= D f = R \ {}, f nima ničel, lim x f(x) = in lim x f(x) =. Funkcija ima asimptoto y(x) =. Odvod f je f (x) = e x x, zato funkcija povsod na D f pada. Drugi odvod je f (x) = +x e x 4 x, torej ima prevoj v točki x = in je konveksna na intervalih (, ) in (, ). Graf funkcije: 4

35 5 e x 4 Out[877]= D f = R \ {}, f nima ničel, asimptota je y = in lim x f(x) = lim x f(x) =. Odvod f je f (x) = (x )ex x f (x) = (x 4x+6)e x x 4 Graf funkcije:, lokalni minimumima v x =, f() = e 4, in pada na intervalu (, ). Drugi odvod je, torej je funkcija konveksna na celem definicijskem območju. 6 e x x 5 Out[45]= D f = R \, f nima ničle, lim x f(x) =, lim x f(x) =, lim x f(x) = in lim x f(x) =. Odvod f je f (x) = (x + )e x, lokalni minimum ima v x =, f( ) = 4 e, in funkcija raste na intervalih (, ) in (, ). Drugi odvod je f (x) = (x +x+)e x x Graf funkcije:, torej je funkcija povsod konveksna. 5

36 5 x e - x 4 Out[5]= - - Na intervalu [, ] ima funkcija največjo vrednost v x =, f( ) = e, in najmanjšo vrednost v v x =, f( ) = 4 e. 7. D f = R, f ima ničli v x = in x = in asimptoto y =. Odvod f je f (x) = (x )e x x, lokalni maksimum ima v x =, f() = e, in narašča na intervalu (, ). Drugi odvod je f (x) = x( x)e x x, torej ima prevoj v x =, f() =, in x =, f() =, in je konveksna na intervalu (, ). Graf funkcije: - x-x. Out[8]= D f = R, f ima štirikratno ničlo v x =, lim x f(x) = in lim x f(x) =. Odvod f je f (x) = x (4 x)e x, lokalni minimum ima v x =, f() =, lokalni maksimum ima v x = 4, f(4) = 64e 4, in funkcija raste na intervalu (, 4). Drugi odvod je f (x) = x (x )(x 6)e x, prevoja ima v x =, f() = 6e, in v x = 6, f(6) = 96e 6. Funkcija je konkavna na (, 6), drugod pa je konveksna. Graf funkcije: 6

37 6 x 4 e -x 5 4 Out[48]= D f = (, ), f ima ničlo v x = e, lim x f(x) = in lim x f(x) =. Odvod f je f (x) = ln x, lokalni minimum ima v x = e in narašča na intervalu (e, ). Drugi odvod je f (x) = x, torej f nima prevojev in je konveksna na (, ). Graf funkcije: xhln x - L 8 6 Out[88]= D f = (, ), f ima ničlo v x =, asimptoto y = in lim x f(x) =. Odvod f je f (x) = ln(x+) (x+), lokalni maksimum ima v x = e, f(e ) = e, in narašča na intervalu (, e ). Drugi odvod je f (x) = ln(x+), torej ima prevoj v x = e (x+), f(e ) =, in je konveksna na intervalu (e, ). Graf funkcije: e 7

38 ln Hx + L x + Out[59]= D f = R \, f nima ničle, je liha, lim x f(x) = π in lim x f(x) =. Odvod f je f (x) = +x, torej ves čas pada. Drugi odvod je f (x) = (x (+x ), torej je funkcija konveksna na intervalu (, ). Graf funkcije: arctan x Out[]= D f = R \ {}, f ima ničlo v x =, asimptota y(x) = π 4, lim x f(x) = π in lim x f(x) = π. Prvi odvod je f (x) = x x+, zato funkcija povsod pada. Drugi odvod je f (x) = (x ), f ima prevoj (x x+) v x =, f() = π 4, in je konveksna na (, ). Graf funkcije: 8

39 arctan x x - Out[9]= D f = R\{, } in f nima ničel. Ker je f soda funkcija, je dovolj, če določimo limite lim x f(x) = π, lim x f(x) = π in lim x f(x) = π 4, saj je graf simetričen glede na os z. Odvod f je f (x) = x x 4 +, lokalni maksimum ima v x =, f() = π 4, in funkcija pada na intervalih (, ) in (, ). Drugi odvod je f (x) = (x4 ), torej je funkcija konkavna na intervalu ( (x 4 +) 4, 4 ) in ima prevoja v x = ± 4, f(± 4 ) = arctan +. Graf funkcije: arctan x + x - Out[78]=