Lastne vrednosti in lastni vektorji
|
|
- Αἴσωπος Ιωαννίδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja, množenja in množenja s skalarjem so definirane enako in imajo enake lastnosti, kot smo jih opisali za vektorje, matrike, vektorske prostore in linearne preslikave nad realnimi števili. Razlog za tako spremenjen pogled je dejstvo, da ima vsak polinom z realnimi ali kompleksnimi koeficienti ničlo v kompleksnih številih, kar nam pove osnovni izrek algebre. Nad realnimi števili obstajajo polinomi brez realnih ničel, npr. x +. Definicije Naj bo dana matrika A C n n. Definicija. Kompleksno število α imenujemo lastna vrednost za A, če obstaja tak neničeln vektor v C n, da je Av = αv. Vektor v imenujemo lastni vektor za A pri lastni vrednosti α. Po definiciji je α C lastna vrednost za A C n n, če obstaja tak neničeln vektor v C n, da je Av = αv, oziroma da velja (A αi)v =. Tako smo pokazali naslednjo trditev: Trditev. Kompleksno število α je lastna vrednost za A C n n natanko tedaj, ko je ker(a αi). Definicija.3 Če je α C lastna vrednost za A, potem vektorski podprostor ker(a αi) imenujemo lastni podprostor za A pri lastni vrednosti α. 3
2 3 POGLAVJE VIII. LASTNE VREDNOSTI IN LASTNI VEKTORJI Trditev.4 Množica lastnih vektorjev pri lastni vrednosti α skupaj z vektorjem je vektorski podprostor. Dokaz Ta množica je ravno lastni podprostor ker(a αi). Vemo, da je jedro linearne preslikave vektorski podprostor. Iz gornje trditve sledi, da je α lastna vrednost za A natanko tedaj, ko matrika A αi ni obrnljiva, oziroma natanko tedaj, ko je det(a αi) =. Definicija.5 Polinom p A (λ) = det(a λi) v spremenljivki λ imenujemo karakteristični polinom matrike A. Iz pravkar povedanega sledi: Izrek.6 Kompleksno število α je lastna vrednost matrike A natanko tedaj, ko je α ničla karakterističnega polinoma p A (λ). Zgled.7 Poiščimo lastne vrednosti in pripadajoče lastne vektorje za matriko Karakteristični polinom za A je p A (λ) = λ 4 A = [ ]. 4 λ = ( λ) 4 = λ 4λ. Ničli p A (λ) sta α = in α = 4. Pripadajoča lastna vektorja v in v morata rešiti enačbi Av = in (A 4I)v =. [ ] Za rešitvi teh dveh enačb izberemo npr. v = in v = [ ].
3 . DEFINICIJE 33 Zgled.8 Poiščimo še lastne vrednosti in lastne vektorje za matriko [ ] B =. Karakteristični polinom za B je p B (λ) = λ λ = λ +. Lastni vrednosti sta kompleksni števili i in i. Lastni vektor v, ki pripada lastni vrednosti i zadošča zvezi [ ] i (A ii)v = v i =. [ ] Izberemo v =. Podobno za lastni vektor v i, ki pripada lastni vrednosti i in zadošča zvezi [ ] i (A + ii)v = v i =, izberemo v = [ ]. i Opomba.9 Izbira lastnih vektorjev, ki pripadajo dani lastni vrednosti, ni enolična, saj le-ti vedno tvorijo neničeln vektorski podprostor lastni podprostor. Le-ta je natanko določen če poznamo njegovo bazo. Tako bomo v zgledih (in nalogah) rekli, da so v,v,...,v k lastni vektorji pripadajoči dani lastni vrednosti α, če je {v,v,...,v k } baza za lastni podprostor, ki pripada α. Trditev. Če sta matriki A in B podobni matriki, potem imata enaka karakteristična polinoma. Dokaz S P označimo obrnljivo matriko, za katero je B = PAP. Od tod z uporabo lastnosti determinante sledi p B (λ) = det(b λi) = det(pap λi) = det ( P(A λi)p ) = = detp det(a λi) detp = detp det P det(a λi) = = det(a λi) = p A (λ).
4 34 POGLAVJE VIII. LASTNE VREDNOSTI IN LASTNI VEKTORJI Definicija. Naj bo A C n n matrika reda n. Potem vsoto n i= a ii vseh diagonalnih elementov matrike A imenujemo sled matrike A. Označimo jo s sl A. [ ] Zgled. Sled matrike je 4. 4 Trditev.3 Naj bo A C n n. Potem je karakteristični polinom p A (λ) stopnje n. Njegov vodilni koeficient je enak ( ) n, koeficient pri λ n je ( ) n sl A in njegov konstantni člen je enak det A. Dokaz Velja a λ a... a n a a λ... a n p A (λ) = =... a n a n... a nn λ = (a λ)(a λ) (a nn λ) + členi stopnje največ n v λ = = ( ) n λ n +( ) n (a +a + +a nn )λ n + členi stopnje največ n v λ. Pri tem smo upoštevali, da členi v razvoju determinante, ki so različni od produkta vseh diagonalnih elementov, vsebujejo vsaj dva elementa, ki nista diagonalna. Konstantni člen polinoma dobimo tako, da vstavimo vrednost λ =. Potem je p A () = det(a I) = det A. [ ] Zgled.4 Če je A = a a C a a, potem je p A (λ) = λ sl Aλ + deta = λ (a + a )λ + (a a a a ). [ ] 3 Npr. za A = je p A (λ) = λ 3λ +. Definicija.5 Naj bo α lastna vrednost za A. Večkratnost α kot ničle karakterističnega polinoma p A (λ) imenujemo algebraična večkratnost lastne vrednosti α. Označimo jo z a(α). Dimenzijo lastnega podprostora ker(a αi) imenujemo geometrična večkratnost lastne vrednosti α. Označimo jo z g(α).
5 . DEFINICIJE 35 Zgled.6 Poiščimo algebraične in geometrične večkratnosti lastnih vrednosti matrike 3 4 A =. 4 3 Karakteristični polinom za A je p A (λ) = 3 λ 4 λ 4 3 λ = (3 λ) ( λ) (3 λ) + 6λ = = λ 3 + 6λ + 5λ + 8. Opazimo (na primer s pomočjo Hornerjevega algoritma), da je ena ničla p A (α) enaka α =. Potem je p A (λ) = (λ + )( λ + 7λ + 8) = (λ + ) (λ 8). Lastni vrednosti sta α = in α = 8. Njuni algebraični večkratnosti sta a( ) = in a(8) =. Geometrični večkratnosti poiščemo tako, da izračunamo rang matrik (A α j I), j =,. Potem je g(α j ) = 3 r(a α j I). Za α = imamo 4 4 A + I =. 4 4 Ker sta poljubni dve vrstici v A + I linearno odvisni, je rang r(a + I) =. Potem je g( ) = 3 =. Za α = 8 dobimo 5 4 A 8I =
6 36 POGLAVJE VIII. LASTNE VREDNOSTI IN LASTNI VEKTORJI Z uporabo elementarnih transformacij izračunamo: III 5 4 II 5 4 I I 8 9 I 8 9 I 8 9 II I I. Zato je r(a 8I) = in g(8) =. Izrek.7 Vsota vseh algebraičnih večkratnosti lastnih vrednosti za A je enaka n. Dokaz Ker je karakteristični polinom stopnje n, izrek sledi iz osnovnega izreka algebre (glej dodatek C). Trditev.8 Če je A zgornje-trikotna matrika, potem so lastne vrednosti za A ravno vsi diagonalni elementi te matrike. Dokaz Vemo, da je determinanta zgornje-trikotne matrike enaka produktu njenih diagonalnih elementov. Zato je v našem primeru p A (λ) = (a λ)(a λ) (a nn λ). Zgled.9 Poiščimo še algebraične in geometrične večkratnosti lastnih vrednosti matrike A =. Hitro izračunamo, da je p A (λ) = ( λ) 3. Zato je α = edina lastna vrednost matrike A. Njena algebraična večkratnost je a() = 3. Ker je A I =, je r(a I) = in g() =.
7 . DIAGONALIZACIJA 37 Pojme lastna vrednost, lastni vektor, karakteristični polinom defiiramo tudi za linearne preslikave. Kompleksno število α imenujemo lastna vrednost za linearno preslikavo A : V V, če obstaja tak neničeln vektor v V, da je Av = αv. Vektor v imenujemo lastni vektor za A pri lastni vrednosti α. Geometrična večkratnost lastne vrednosti α je enaka dimenziji jedra ker(a αi). Naj bo B baza za V in A B matrika, ki pripada A glede na bazo B. Potem je karakteristični polinom za A definiran kot karakteristični polinom p AB (λ). Označimo ga s p A (λ). Ta definicija je dobra, saj nam trditev. pove, da imata podobni matriki enak karakteristični polinom. Algebraična večkratnost lastne vrednosti α je stopnja ničle α v karakterističnem polinomu. Definicija. Množico vseh lastnih vrednosti matrike A C n n imenujemo spekter matrike A. Označimo ga s σ(a). Množico vseh lastnih vrednosti linearne preslikave A : V V imenujemo spekter linearne preslikave A. Označimo ga pravtako s σ(a). Diagonalizacija Trditev. Naj bodo α,α,...,α k različne lastne vrednosti matrike A in v, v,..., v k pripadajoči lastni vektorji. Potem so vektorji v,v,...,v k linearno neodvisni. Dokaz Vemo, da je Av j = α j v j, j =,,...,k. Linearno neodvisnost vektorjev v,v,...,v k bomo dokazali z indukcijo na k. Za k = trditev velja, saj je v. Privzemimo, da trditev velja za k. Naj bo k j= β jv j = za neke skalarje β j. Potem je k = A β j v j = in = j= k β j α k v j. j= k β j Av j = j= Ko odštejemo izraz (VIII.) od izraza (VIII.), dobimo k = β j (α j α k )v j. j= k β j α j v j j= (VIII.) (VIII.)
8 38 POGLAVJE VIII. LASTNE VREDNOSTI IN LASTNI VEKTORJI Ker so po indukcijski predpostavki vektorji v,v,...,v k linearno neodvisni, mora biti β j (α j α k ) = za vse j =,,...,k. Ker so lastne vrednosti α,...,α k različne, je α j α k. Zato je β = β = = β k =. Ker je v k, je tudi β k =. Zato so vektorji v,v,...,v k linearno neodvisni. Posledica. Če ima matrika A Cn n n različnih lastnih vrednosti, potem imamo v C n bazo B iz lastnih vektorjev za A. V tej bazi pripada A diagonalna matrika. Dokaz Prvi del sledi iz prejšnjega izreka. Če je B = {v,v,...,v n } baza iz lastnih vektorjev, potem je Av j = α j v j, j =,,...,n. Zato ima A v bazi B matriko α... α... A B = α α n 4 Zgled.3 Pokažimo, da ima matrika A = 3 same različne lastne vrednosti. Zato zanjo obstaja baza iz lastnih vektorjev. Karakteristični polinom za A je λ 4 p A (λ) = 3 λ λ = ( λ)( λ)( λ) + + 8( λ) + ( λ) + 3( λ) = = λ 3 + λ + 5λ 6. Opazimo, da je α = ničla p A (λ). Potem je p A (λ) = (λ )( λ + λ + 6) = (λ )(λ 3)(λ + ). Spekter A je zato σ(a) = {, 3, }. Algebraične večkratnosti vseh lastnih vrednosti so enake. Lastne vektorje poiščemo tako, da rešimo sisteme linearnih enačb (A I)v =, (A 3I)v = in (A + I)v 3 =. Podrobnosti
9 . DIAGONALIZACIJA 39 bomo izpustili. Povejmo le, da so možne rešitve v = 4, v = in v 3 =. V bazi B = {v,v,v 3 } ima A matriko A B = 3. Definicija.4 Naj bo dana matrika A C n n. Če v C n obstaja taka baza B, da A pripada diagonalna matrika glede na bazo B, potem rečemo, da se da A diagonalizirati. Ekvivalentno lahko rečemo, da se da A diagonalizirati natanko tedaj, ko obstaja v C n kaka baza iz lastnih vektorjev. Povedano še drugače, matrika A se da diagonalizirati natanko tedaj, ko obstaja taka obrnljiva matrika P, da je D = P AP diagonalna matrika. Pri tem je P prehodna matrika med bazo B iz lastnih vektorjev in standardno bazo S za C n. Postopku iskanja diagonalne matrike za linearno preslikavo ali matriko rečemo diagonalizacija. Izrek.5 Matriko A se da diagonalizirati natanko tedaj, ko je a(α) = g(α) za vse lastne vrednosti α σ(a). Dokaz Denimo, da se A da diagonalizirati. Potem v neki bazi B pripada A diagonalna matrika D C n n. Denimo, da je a = a(α) algebraična večkratnost lastne vrednosti α. Torej se α pojavi na diagonali matrike D natanko a-krat. Potem je rang matrike D αi enak n a. Zato je g(α) = a = a(α). Dokaz obratne trditve smo za primer a(α) = g(α) = za vse α σ(a) že naredili. Dokaz poljubne večkratnosti poteka podobno, le da je indukcijski korak v posplošitvi trditve. bolj tehnično zapleten in ga ne bomo podrobno navedli.
10 4 POGLAVJE VIII. LASTNE VREDNOSTI IN LASTNI VEKTORJI Zgled.6 Poglejmo, ali se da matriko A = diagonalizirati. V zgledu.9 smo izračunali, da je σ(a) = {} in a() = 3 ter g() =. Ker je a() g(), se A ne da diagonalizirati. 3 Schurov izrek Izrek 3. (Schurov izrek) Naj bo dana matrika A C n n. Potem v C n obstaja taka baza B, da je matrika A B za A v bazi B zgornje-trikotna. Pri tem lahko bazo B izberemo tako, da je vrstni red lastnih vrednosti na diagonali matrike A B poljuben. Dokaz Izrek bomo dokazali z indukcijo na n. Če je n =, potem ni potrebno ničesar dokazati. Denimo, da izrek velja za n in ga dokažimo za n. Izberimo lastno vrednost α σ(a). To lahko izberemo poljubno. Naj bo v pripadajoči lastni vektor. Ker je v, obstaja baza B = {v,v,...,v n }, kjer je v prvi lastni vektor. V bazi B ima A bločno matriko A = [ α u B kjer je u C (n ), C (n ) in B C (n ) (n ). Po indukcijski predpostavki obstaja taka baza za C n, da ima B v bazi C zgornje-trikotno matriko C. Potem je B = Q CQ. Naj bo [ ] P = C n n. Q ], Potem je P A B P = = [ ][ ][ ] α u Q = B Q [ ] [ ] α uq α uq Q =. BQ C
11 3. SCHUROV IZREK 4 Ker je C zgornje-trikotna matrika, je tudi P A B P zgornje-trikotna. Iz dokaza zgoraj vidimo, da na vsakem koraku indukcije izberemo katerokoli lastno vrednost, ki je še nismo izbrali. Torej je vrstni red lastnih vrednosti na diagonali dobljene zgornje-trikotne matrike lahko poljuben. Posledica 3. Vsaka matrika je podobna zgornje-trikotni matriki. Zgled 3.3 Poiščimo bazo za C 3, v kateri matriki A = pripada zgornje-trikotna matrika. Karakteristični polinom za A je λ p A (λ) = λ λ = = ( λ) ( λ) + 4 ( λ) + ( + λ) = = ( λ) ( + λ) + 4( + λ) = ( + λ)(λ λ 3) = = ( + λ) (λ 3). Lastni vrednosti sta α = in α = 3. Njuni algebraični večkratnosti sta a() = in a(3) =. Izberimo α = α =. Pripadajoči lastni vektor v reši enačbo (A + I)v =. Izberimo v =. Za bazo B vzemimo vektorje v, e in e 3, kjer sta e in e 3 standardna bazna vektorja. Matriko za A v bazi B označimo z A. Potem je A = P AP, kjer je P = prehodna matrika. Njen inverz je P = in tako je A = = 3.
12 4 POGLAVJE VIII. LASTNE VREDNOSTI IN LASTNI VEKTORJI [ ] 3 Postopek nadaljujemo na matriki B =. Njen karakteristični polinom je p B (λ) = λ λ 3 = (λ + )(λ 3). Izberimo lastno vrednost α = 3. Pripadajoči lastni vektor u reši enačbo Velja [ 3 3 zato izberemo u = [ ]. V bazi C = B = [ (B 3I)u =. ][ 3 ][ ] [ ] =, {[ ] [ ]}, pripada B matrika ][ ] [ ] 3 3 =. V bazi B =,, pripada A zgornje-trikotna matrika A = 3 = 3 3. Izrek 3.4 Naj bo α lastna vrednost za A. Potem je g(α) a(α). Dokaz Če je α lastna vrednost, je ker(a αi). Zato velja g(α) = dim (ker(a αi)). Po Schurovem izreku obstaja taka baza B, da ima A v bazi B zgornjetrikotno matriko C, ki ima prvih a = a(α) diagonalnih elementov enakih α, ostali diagonalni elementi pa so različni od α. Bločno lahko zapišemo [ ] C C C = C n n, C 3 kjer je C C a a in je σ(c ) = {α} ter α / σ(c 3 ). Vemo, da je g(α) = n r(c αi).
13 4. CAYLEY-HAMILTONOV IZREK 43 Ker je α / σ(c 3 ), je rang r(c 3 αi) = n a. Potem je r(c αi) r(c 3 αi) = n a in g(α) = n r(c αi) n n + = a = a(α). Zgled 3.5 Vzemimo spet matriko A = iz zgleda 3.3. Izračunali smo že, da je σ(a) = {, 3}, a( ) = in a(3) =. Potem je g(3) =. Za g( ) imamo dve možnosti, g( ) = ali g( ) =. Katera nastopi, ugotovimo s pomočjo izračuna ranga r(a + I): A + I = III I II. Ker je r(a + I) =, je g( ) =. 4 Cayley-Hamiltonov izrek Naj bo dana matrika A C n n. Potem z A j, j =, 3,... označimo potence matrike A. Dogovorimo se, da je A = I in A = A. Definicijo potence A k lahko razširimo še na polinome: Če je p(λ) = a k λ k + a k λ k + + a λ + a polinom stopnje k in so a k,a k,...,a,a kompleksna števila, potem definiramo na očiten način p(a) = a k A k + a k A k + + a A + a I.
14 44 POGLAVJE VIII. LASTNE VREDNOSTI IN LASTNI VEKTORJI [ ] Zgled 4. Če je A = in je p(λ) = λ 3 λ, potem poiščimo p(a). S potenciranjem matrike A dobimo Tako je A = p(a) = A 3 A I = [ ] 3 [ ] in A 3 = [ ] [ ] [ ] = [ ]. 4 Trditev 4. komutirata: Če sta p(λ) in q(λ) dva polinoma, potem matriki p(a) in q(a) p(a)q(a) = q(a)p(a). Dokaz Če sta p(λ) in q(λ) potenci, npr. p(λ) = λj in q(λ) = λ k, potem je p(a)q(a) = A j A k = A k+j = A k A j = q(a)p(a). (VIII.3) Naj bo sedaj p(λ) = r j= a jλ j in p(λ) = s k= b kλ k. Z uporabo dejstva (VIII.3) potem dobimo ( r s ) p(a)q(a) = a j A j b k A k = = = j= r j= k= ( s k= k= s a j b k A k A j = b k A k ) r j= k= r j= k= s b k a j A k A j = r a j A j = q(a)p(a). j= s a j b k A j A k = Naj bo A C n n dana matrika in v C n neničeln vektor. Potem obstaja najmanjše tako število k, da je množica vektorjev V = {v,av,a v,...,a k v} linearno neodvisna in je množica vektorjev V = {v,av,a v,...,a k v,a k v}
15 4. CAYLEY-HAMILTONOV IZREK 45 linearno odvisna. Torej vektor A k v pripada vektorskemu prostoru L (v,av,...,a k v), ki ima bazo V. Vektor A k v lahko enolično razvijemo po bazi V : A k v = a v + a Av + + a k A k v. Potem je Polinom = A k v a k A k v a k A k v a Av a v = = (A k a k A k a k A k a A a I)v. p A,v (λ) = λ k a k λ k a k λ k a λ a imenujemo minimalni polinom za vektor v glede na matriko A. Z zgoraj opisanim postopkom je p A,v (λ) enolično definiran. Če bo jasno, za katero matriko gre, potem bomo rekli, da je p A,v (λ) minimalni polinom za v. Iz definicije sledi p A,v (A)v =. Zgled 4.3 Če je v lastni vektor za A pri lastni vrednosti α, potem je Av = αv, oziroma (A αi)v =. Minimalni polinom za v je p A,v (λ) = λ α. Zgled 4.4 Vzemimo spet matriko A = iz zgleda 3.3. Poiščimo minimalna polinoma za vektorja v = in w = glede na A. Poračunajmo: 3 5 Av = 3 in A v = 4. 4
16 46 POGLAVJE VIII. LASTNE VREDNOSTI IN LASTNI VEKTORJI Z uporabo vrstičnih elementarnih transformacij na matriki S, katere stolpci so v, Av in A v 3 5 S = poiščemo njeno vrstično kanonično formo S =. Ker je rang matrike S enak, so vektorji v, Av in A v linearno odvisni. Ker sta pivota v S v prvih dveh stolpcih, sta vektorja v in Av linearno x neodvisna. Element a = y v jedru kers, za katerega je z =, nam da z koeficiente minimalnega polinoma p A,v (λ). Rešitev iskane enačbe Sa = je a =. Zato je v + Av + A v = in minimalni polinom p A,v (λ) = λ + λ + = (λ + ). Za vektor w izračunamo 6 Aw = 3, A w = in A 3 w = S T označimo matriko, katere stolpci so vektorji w, Aw, A w in A 3 w: 6 T = Vrstična kanonična forma za T je 3 T = 5.
17 4. CAYLEY-HAMILTONOV IZREK 47 Ker je rang matrike T enak 3, so vektorji w, Aw, A w in A 3 w linearno odvisni (jasno, saj je dimenzija C 3 samo 3). Ker so pivoti v prvih treh stolpcih matrike T, so vektorji w, Aw in A w linearno neodvisni. Element x b = y z t v jedru kert, za katerega je t =, nam da koeficiente minimalnega polinoma p A,w (λ). Iskana rešitev je 3 b = 5. Torej je 3w 5Aw A w + A 3 w = in p A,w (λ) = λ 3 λ 5λ 3. V zgledu 3.3 smo pokazali, da je karakteristični polinom za A enak p A (λ) = λ 3 + λ + 5λ + 3. Torej velja p A,w (λ) = p A (λ). Trditev 4.5 Stopnja minimalnega polinoma p A,v (λ) je enaka največ n. Dokaz Če imamo v Cn množico n+ vektorjev {v,av,...,a n v}, je ta gotovo linearno odvisna. Zato je najmanjši k, za katerega je množica { } v,av,...,a k v linearno neodvisna, množica { } v,av,...,a k v pa linearno odvisna, gotovo manjši ali enak n. Dan je polinom p(λ) = λ k a k λ k a λ a. Njegov vodilni koeficient je enak in k. Potem matriko... a... a... a C(p) = C k k a k... a k
18 48 POGLAVJE VIII. LASTNE VREDNOSTI IN LASTNI VEKTORJI imenujemo pridružena matrika polinoma p. Pri tem se dogovorimo, da za k = velja C(λ a ) = [ a ]. Trditev 4.6 Naj bo p A,v (λ) minimalni polinom za v glede na A in naj bo k njegova stopnja. Potem imamo v C n tako bazo B = {v,av,a v,...,a k v,u,...,u l }, da ima matrika za A glede na B bločno strukturo [ ] C(pA,v ) D A B =. (VIII.4) E Dokaz Naj bo p A,v = λ k a k λ k a λ a. Potem je množica {v,av,...,a k v} linearno neodvisna in jo lahko dopolnimo do baze B = {v,av,...,a k v,u,u,...,u l } za C n. Ker je A(A j v) = A j+ v za j =,,...,k in A(A k+ v) = A k v = a v + a Av + + a k A k v, ima matrika za A glede na bazo B res bločno strukturo (VIII.4). Trditev 4.7 Naj bo p(λ) dan polinom, katerega stopnja je enaka k in ima vodilni koeficient enak. Karakteristični polinom pridružene matrike C(p) je potem enak ( ) k p(λ). Dokaz Trditev dokažemo z indukcijo na k. Za k = trditev očitno drži. Predpostavimo, da trditev velja za k. Determinanto λ... a λ... a p C(p) (λ) = λ... a a k λ razvijemo po prvi vrstici in dobimo: λ... λ... p C(p) (λ) = ( λ)p C(q) (λ) + ( ) k+... a = λ... = ( λ)p C(q) (λ) + ( ) k+ a, (VIII.5)
19 4. CAYLEY-HAMILTONOV IZREK 49 kjer je q(λ) = λ k + a k λ k + + a λ + a polinom stopnje k. Zanj po indukcijski predpostavki velja p C(q) (λ) = ( ) k q(λ). Iz enakosti (VIII.5) nato dobimo p C(p) (λ) = ( ) k (λq(λ) a ) = ( ) k p(λ). Izrek 4.8 Minimalni polinom p A,v (λ) za vektor v deli karakteristični polinom p A (λ). Dokaz Iz trditve 4.6 sledi, da obstaja taka baza, v kateri A pripada matrika [ ] C(pA,v ) D. E Karakteristični polinom p A (λ) je potem enak produktu karakterističnih polinomov p C(pA,v )(λ)p E (λ). Po trditvi 4.7 je p C(pA,v )(λ) = ( ) k p A,v (λ), kjer je k stopnja polinoma p A,v (λ). Torej je p A (λ) = p C(pA,v )(λ)p E (λ) = ( ) k p A,v (λ)p E (λ) in zato p A,v (λ) deli p A (λ). Izrek 4.9 (Cayley-Hamiltonov izrek) Če je p A(λ) karakteristični polinom matrike A C n, potem je p A (A) =. Dokaz Očitno je p A (A) =. Naj bo v C n neničeln vektor in p A,v (λ) njegov minimalni polinom. Po izreku 4.8 polinom p A,v (λ) deli polinom p A (λ). Torej je p A (λ) = q(λ)p A,v (λ) za nek polinom q(λ). Vstavimo A namesto λ in izračunajmo vrednost dobljenega izraza na vektorju v: p A (A)v = q(a)p A,v (A)v =. Torej je p A (A)v = za vse v C n in zato je p A (A) =.
20 5 POGLAVJE VIII. LASTNE VREDNOSTI IN LASTNI VEKTORJI Zgled 4. Za vajo pokažimo, da je p A (A) = za matriko A =. Karakteristični polinom za A smo poiskali v zgledu 3.3 in je enak p A (λ) = λ 3 + λ + 5λ + 3. Z zaporednim množenjem dobimo A = 3 in A 3 = 7 6. (VIII.6) Enostaven račun pokaže, da je A 3 + A + 5A + 3I =. Če je A obrnljiva matrika, potem nam Cayley-Hamiltonov izrek da novo metodo za izračun inverza matrike A. Izrek 4. Naj bo p A (λ) = ( ) n (λ n + a n λ n + + a λ + a ) karakteristični polinom za A. Če je A obrnljiva, je A = a (A n + a n A n + + a A + a I). Dokaz Ker je p A (A) =, je A n + a n A n + + a A + a I =. Ker je A obrnljiva, je a = deta. Torej je a I = A n + a n A n + + a A + a A = = (A n + a n A n + + a A + a I)A. Zadnjo enakost delimo z a in pomnožimo z A. Tako dobimo A = a (A n + a n A n + + a A + a I). Zgled 4. Poiščimo inverz matrike A =.
21 5. MINIMALNI POLINOM 5 Njen karakteristični polinom je enak p A (λ) = λ 3 + λ + 5λ + 3 = ( )(λ 3 λ 5λ 3). Zato je A = 3 (A A 5I). Uporabimo A, ki smo ga izračunali v (VIII.6) in dobimo A 3 3 = Naj bo A : V V linearna preslikava. Potem kompozitum A A označimo z A, kompozitum A A z A 3 itd. Preslikave A j, j =,3,... imenujemo potence linearne preslikave A. Dogovorimo se, da je A = I in A = A. Če je A B matrika za A glede na neko bazo B za V, potem je A j B matrika za A j glede na to bazo, saj je produkt matrik matrika, ki pripada kompozitumu linearnih preslikav. Naj bo dan polinom p(λ) = a k λ k +a k λ k + +a λ+a. Polinom v A definiramo na očiten način: za vse v V in p(a)v = a k A k v + a k A k v + + a Av + a Iv p(a) = a k A k + a k A k + + a A + a I. Preslikava p(a) : V V je linearna, kar zlahka preverimo. Posledica Cayley- Hamiltonovega izreka za matrike je Cayley-Hamiltonov izrek za linearno preslikavo, ki pove, da je p A (A) =. 5 Minimalni polinom Definicija 5. Naj bo dana matrika A C n n. Polinom m A (λ) = λ k + a k λ k + + a λ + a imenujemo minimalni polinom za matriko A, če velja: - m A (A) =, - če za nek polinom q(λ) velja q(a) =, potem m A (λ) deli q(λ). Naj bo A : V V linearna preslikava. Polinom m A (λ) = λ k +a k λ k + +a λ+a imenujemo minimalni polinom za linearno preslikavo A, če velja:
22 5 POGLAVJE VIII. LASTNE VREDNOSTI IN LASTNI VEKTORJI - m A (A) =, - če za nek polinom q(λ) velja q(a) =, potem m A (λ) deli q(λ). Opomba 5. Minimalni polinom je s pogojem, da je njegov vodilni koeficient enak, natanko določen. Zgled 5.3 Če je A = αi za nek skalar α, potem je m A(λ) = λ α. Iz Cayley-Hamiltonovega izreka sledi naslednja trditev: Trditev 5.4 Minimalni polinom deli karakteristični polinom. Trditev 5.5 Minimalni polinom p A,v (λ) za neničeln vektor v deli minimalni polinom m A (λ). Dokaz Minimalni polinom p A,v (λ) je polinom najmanjše stopnje, za katerega je p A,v (A)v =. Ker je m A (A)v =, je stm A (λ) st p A,v (λ). Polinom m A (λ) delimo s p A,v (λ) in dobimo m A (λ) = q(λ)p A,v (λ) + r(λ), (VIII.7) kjer je str < st p A,v (λ). V izraz (VIII.7) vstavimo A in izračunamo vrednost izraza na vektorju v: = m A (A)v = q(a)p A,v (A)v + r(a)v = r(a)v. Ker je st r < st p A,v (λ), mora biti r(λ) =. Posledica 5.6 Če je α lastna vrednost za A, potem λ α deli m A(λ). Karakteristični in minimalni polinom imata iste ničle, lahko z različnimi večkratnostmi. Dokaz Naj bo v lastni vektor za A pri lastni vrednosti α. Potem je p A,v (λ) = λ α. Po prejšnji trditvi potem λ α deli m A (λ). Ker to velja za vse lastne vrednosti, so ničle p A,v (λ) in m A (λ) iste. Zgled 5.7 Naj bo A =. V zgledu 4.4 smo pokazali, da je minimalni polinom p A,w (λ) za vektor w = enak ( )p A (λ). Iz trditev 5.4 in 5.5 sledi, da je m A (λ) = p A,w (λ) = ( )p A (λ).
23 6. SPEKTRALNI RAZCEP 53 5 Zgled 5.8 Poiščimo minimalni polinom za B = 3. Karakteristični 4 polinom za B je enak p B (λ) = (λ 8λ + 6)(4 λ) = ( )(λ 4) 3. Minimalni polinom m B (λ) deli p B (λ) in λ 4 deli m B (λ). Zato je m B (λ) eden od polinomov λ 4, (λ 4) ali (λ 4) 3. Z vstavljanjem vidimo, da B 4I in (B 4I) =. Zato je m B (λ) = (λ 4). 6 Spektralni razcep Trditev 6. Naj bo A C n n matrika in p(λ) nek polinom deljiv z minimalnim polinomom m A, npr. karakteristični polinom p = p A ali p = m A. Če je p(λ) = p (λ)p (λ), kjer sta p in p tuja polinoma, potem je C n = V V, kjer je V j = kerp j (A), j =,. Glede na razcep V V ima A matriko oblike [ A A ]. (VIII.8) Dokaz Ker sta p in p tuja polinoma, obstajata taka polinoma q in q, da je = p (λ)q (λ) + p (λ)q (λ). (VIII.9) Za vektor v C n velja v = p (A)q (A)v + p (A)q (A)v. Označimo v = p (A)q (A)v in v = p (A)q (A)v. Potem je v = v + v. Ker m A deli p, je p(a) =. Tako dobimo p (A)v = p (A)p (A)q (A)v = q (A)p(A)v = in p (A)v = p (A)p (A)q (A)v = q (A)p(A)v =.
24 54 POGLAVJE VIII. LASTNE VREDNOSTI IN LASTNI VEKTORJI Torej je v j ker p j (A), j =,. Tako smo pokazali, da je C n = V + V. Denimo še, da je w V V. Zato je p (A)w = p (A)w =. Uporabimo zvezo (VIII.9) in dobimo w = q (A)p (A)w + q (A)p (A)w =. Vsota V + V je direktna vsota. Ker je Ap j (A)v = p j (A)Av, j =,, slika A vektorje iz V spet v V in vektorje iz V v V. Izrek 6. (o spektralnem razcepu) Naj bo A C n n in naj bo p A (λ) = ( ) n (λ α ) k (λ α ) k (λ α r ) kr razcep na linearne faktorje, kjer so α,α,...,α r vse različne lastne vrednosti za A. Če je V j = ker(a α j I) k j, j =,,...,r, potem je C n = V V V r (VIII.) spektralni razcep za C n glede na A. Glede na razcep (VIII.) ima A matriko oblike A... A... A = A r Pri tem je σ(a j ) = {α j }, j =,,...,r. Dokaz Naj bo p A (λ) = (λ α ) k p (λ). Po prejšnji trditvi je C n = V ker p (A), (VIII.) kjer je V = ker(a α I) k. Glede na razcep (VIII.) ima A matriko oblike [ ] A A = A. Karakteristični polinom za A je enak p (λ) = ( ) k + +k r (λ α ) k (λ α 3 ) k3 (λ α r ) kr. Sedaj prejšnjo trditev uporabimo za A in polinoma (λ α ) k in p 3 (λ), za katera je p (λ) = (λ α ) k p 3 (λ) in dobimo C n = V V ker p 3 (A). (VIII.)
25 6. SPEKTRALNI RAZCEP 55 Glede na razcep (VIII.) ima matrika za A obliko A A = A. A Postopek nadaljujemo in po r korakih dobimo iskani spektralni razcep. V izreku o spektralnem razcepu bi namesto karakterističnega polinoma p A lahko vzeli tudi katerikoli drug polinom deljiv z minimalnim polinomomm A. Zgled 6.3 Vzemimo spet matriko A =. Njen karakteristični polinom je p A (λ) = ( )(λ + ) (λ 3). Poiščimo spektralni razcep za C 3 glede na A. Poiskati moramo bazi za vektorska podprostora V = ker(a + I) in V = ker(a 3I). Matrika (A + I) = ima vrstično kanonično formo. Tako je V = L, 3. Matrika A 3I = 4 ima vrstično kanonično formo. Tako je V = L. V bazi B =, 3, ima A matriko 3 4 A B =. 3
26 56 POGLAVJE VIII. LASTNE VREDNOSTI IN LASTNI VEKTORJI 7 Nekatere posebne vrste matrik in linearnih preslikav Definicija 7. Matriko P C n n imenujemo projektor, če je P = P. Linearno preslikavo P : V V imenujemo projektor, če je P = P. Zgled 7..) V R ali R 3 za pravokotno projekcijo P na premico skozi izhodišče velja P = P. Zato je P projektor..) Preslikavi in I : V V sta projektorja. 3.) Če je P projektor, je tudi I P projektor, saj je (I P) = I P +P = I P. Trditev 7.3 Če je P projektor, P,I, potem je minimalni polinom za P enak m P (λ) = λ λ. Dokaz Iz definicije sledi P P =. Torej m P (λ) deli λ λ. Če je m P(λ) λ λ, mora biti m P (λ) = λ ali m P (λ) = λ. V prvem primeru je P =, v drugem pa P = I. Izrek 7.4 Naj bo P projektor. Potem je ker(i P) = imp. Spektralni razcep za C n glede na P je C n = kerp im P. [ ] Glede na ta razcep ima P matriko oblike. I Dokaz Najprej pokažimo, da je ker(i P) = imp. Za u ker(i P) velja u = Pu. Zato je u im P. Obratno, za u im P velja u = Pv za nek v C n. Potem je (I P)u = u Pu = Pv P v =. Torej je u ker(i P). Iz prejšnje trditve sledi, da je v primeru, ko P,I, m P (λ) = λ λ. Potem je spektralni razcep za P enak Glede na ta razcep ima P matriko C n = kerp ker(p I) = kerp im P. P = [ ]. I
27 7. NEKATERE POSEBNE VRSTE MATRIK IN LINEARNIH PRESLIKAV57 Zgled 7.5 Pokažimo, da je P = projektor in poiščimo spektralni razcep glede na P. Zlahka preverimo, da je P = P. Ker je P,I, je m P (λ) = λ λ in σ(p) = {,}. Ker je P zgornje-trikotna matrika, takoj opazimo, da je g() = in g() =. Izračunamo še V = ker P = L in V = imp = L,. Glede na razcep C 3 = V V ima P matriko. Projektor P je natanko določen, če poznamo njegovo jedro in njegovo sliko. Potem rečemo, da P projicira na V = im P vzdolž V = kerp. Zgled 7.6 Poiščimo {[ matriko ]} v standardni {[ ]} bazi za projektor P : R R, ki projicira na L vzdolž L. (Seveda je tu definicija projektorja nad realnimi števili enaka kot nad {[ kompleksnimi ] [ ]} števili: P R n n je projektor, če je P = P.) V bazi B =, ima P matriko [ ] P B =. Prehodna matrika med standardno bazo S in bazo B je [ ] Q =. Potem je [ ][ ][ ] P S = QP B Q = = [ ].
28 58 POGLAVJE VIII. LASTNE VREDNOSTI IN LASTNI VEKTORJI Definicija 7.7 Matriko A C n n imenujemo involucija, če je A = I. Linearno preslikavo A : V V imenujemo involucija, če je A = I. [ ] Zgled 7.8.) Za A = velja A = I, zato je A involucija..) Za zrcaljenje A prek ravnine skozi v R 3 velja A = I, zato je A involucija. 3.) Preslikavi I in I sta involuciji. Podobno kot smo pokazali za projektorje trditev 7.3 in izrek 7.4, pokažemo tudi naslednje: Izrek 7.9 Če je A involucija, A ±I, potem je m A(λ) = λ. Velja ker(a I) = im(a + I) in ker(a + I) = im(a I). Spektralni razcep glede na A je C n = ker(a I) ker(a + I). Glede na ta razcep ima matrika za A obliko [ ] I A =, I kjer je I j identična matrika ustreznega reda. Definicija 7. Naj bo A C n n dana matrika. Rečemo, da je A nilpotentna matrika, ali na kratko A je nilpotent, če obstaja tako naravno število k, da je A k =. Najmanjši tak k imenujemo red nilpotentnosti matrike A. Za linearne preslikave je definicija podobna. Če je A : V V linearna preslikava, potem rečemo, da je A nilpotentna preslikava ali nilpotent, če obstaja tako naravno število k, da je A k =. Najmanjši tak k imenujemo red nilpotentnosti za A. Izrek 7. Matrika (linearna preslikava) A je nilpotentna natanko tedaj, ko je edina lastna vrednost za A. Dokaz Če je A nilpotentna in k red nilpotentnosti za A, je m A(λ) = λ k. Ker imata minimalni in karakteristični polinom iste ničle, je σ(a) = {}. Obratno, če je σ(a) = {}, je p A (λ) = ( )λ n. Potem je po Cayley- Hamiltonovem izreku A n =. Torej je A nilpotentna. [ ] Zgled 7. Za A = velja A =. Zato je A nilpotent in njegov red nilpotentnosti je.
29 7. NEKATERE POSEBNE VRSTE MATRIK IN LINEARNIH PRESLIKAV59 Trditev 7.3 Naj bo A nilpotentna matrika in v C n neničeln vektor. Potem je p A,v (λ) = λ l za nek l N. Dokaz Vemo, da minimalni polinom za vektor v deli m A (λ). Zgled 7.4 Preverimo, daje A = nilpotent in poiščimo p A,v (λ) za v =. Ker je p A (λ) = λ 3, je A nilpotent. Z zaporednim množenjem z A izračunamo Av = 4, 4 A v = in A 3 v =. 4 Ker je p A,v (λ) = λ l za nek l, je p A,v (λ) = λ 3. V bazi B = {v,av,a v} ima A matriko A B =. Zgled 7.5 Preverimo še, da je A = nilpotent in poiščimo minimalni polinom za vektorja u = in v =. Ker je A =, je A nilpotent in m A (λ) = λ. Z zaporednim množenjem z A dobimo Au =, A u = in Av =. Zato je p A,u (λ) = λ in p A,v (λ) = λ. V bazi B = {u,au,v} ima A matriko A B =.
30 6 POGLAVJE VIII. LASTNE VREDNOSTI IN LASTNI VEKTORJI 8 Funkcije matrik podobnih diagonalnim Naj bo α... α... A = α n diagonalna matrika. Potem za k N {} velja α k... A k α k... = αn k (VIII.3) Nato sledi, da za polinom p(λ) = a k λ k + a k λ k + + a λ + a velja p(α )... p(α )... p(a) = p(α n ) Definicija 8. Naj bo f funkcija, ki je definirana na nekem območju v C, ki vsebuje vse lastne vrednosti diagonalne matrike A iz (VIII.3). Potem definiramo f(α )... f(α )... f(a) = f(α n ) Če pa se matrika A da diagonalizirati, torej je A = PDP, kjer je D diagonalna matrika, potem definiramo f(a) = Pf(D)P. Pri tem je f definirana na območju v C, za katerega velja σ(a).
31 8. FUNKCIJE MATRIK PODOBNIH DIAGONALNIM 6 Zgled 8. Izračunajmo f j (A) [ za funkcije ] f (x) = sinπx, f (x) = cos πx in 3 f 3 (x) = e x ter matriko A =. Karakteristični polinom za A je 4 3 [ ] p A (λ) = λ. Spekter je σ(a) = {,}. Lastna vektorja sta pri [ ] α = in pri α =. Potem je Za D = [ ] izračunamo f (D) = [ ] [ ][ ][ ] A =., f (D) = [ ] in f 3 (D) = [ ] e. e Potem je [ ] [ ] f (A) =, f (A) = in [ ][ ][ ] [ e e e f 3 (A) = = ] e e e e e.
Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότεραLinearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti
Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih
Διαβάστε περισσότεραV tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότεραDiferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραmatrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραMatrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1
Poglavje II Matrike Matrika je pravokotna tabela realnih števil Na primer: [ ] 1 1 1, 2 3 1 1 0 1 3 2 1, 0 1 4 [ ] 2 7, Matrika je sestavljena iz vrstic in stolpcev Vrstici matrike [ ] 1 1 1 2 3 1 [ ]
Διαβάστε περισσότεραVektorski prostori s skalarnim produktom
Poglavje IX Vektorski prostori s skalarnim produktom Skalarni produkt dveh vektorjev v R n smo spoznali v prvem poglavju. Sedaj bomo pojem skalarnega produkta razširili na poljuben vektorski prostor V
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραOsnove linearne algebre
Osnove linearne algebre Matrike Matrika razsežnosti n m je A = a 1 1 a 1 2 a 1 m a 2 1 a 2 2 a 2 m a n 1 a n 2 a n m Če je n = m, tedaj matriko imenujemo kvadratna matrika Elementi matrike so lahko realna
Διαβάστε περισσότεραAlgebraične strukture
Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραDodatna poglavja iz linearne algebre za 1. letnik finančne matematike na FMF. Primož Moravec
Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1 letnik finančne matematike na FMF Primož Moravec 13 september 2017 1 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51264(0758)
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότερα8. Posplošeni problem lastnih vrednosti
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama
Διαβάστε περισσότεραUporabna matematika za naravoslovce
Uporabna matematika za naravoslovce Zapiski predavanj Študijski programi: Aplikativna kineziologija, Biodiverziteta Študijsko leto 203/4 doc.dr. Barbara Boldin Fakulteta za matematiko, naravoslovje in
Διαβάστε περισσότεραPoliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009
Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Pri linearnem programiranju imamo opravka s končnim sistemom neenakosti in končno spremenljivkami, torej je množica dopustnih rešitev presek končno mnogo polprostorov.
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA II
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA II Maribor, 2016 Kazalo Uvod v linearno algebro 1 1.1 Matrike................................ 1 1.2 Računanje
Διαβάστε περισσότεραAnaliza 2 Rešitve 14. sklopa nalog
Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)
Διαβάστε περισσότερα1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem
Poglavje I Vektorji Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Za lažjo geometrično predstavo si najprej oglejmo, kaj so vektorji v ravnini. Vektor je usmerjena daljica, ki je natanko določena s svojo
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότεραIzpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότεραProblem lastnih vrednosti
Problem lastnih vrednosti Naj bo A R n n. Iščemo lastni par, da zanj velja Ax = λx, kjer je x C n, x 0 (desni) lastni vektor, λ C pa lastna vrednost. Vektor y 0, pri katerem je y H A = λy H, je levi lastni
Διαβάστε περισσότεραInverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Peter Škvorc Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SANDRA BOLTA LASTNE VREDNOSTI GRAFA DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SANDRA BOLTA LASTNE VREDNOSTI GRAFA DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2014 2 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijska smer: Fizika in matematika SANDRA BOLTA
Διαβάστε περισσότεραMatematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2009/2010
Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 009/00 Izpis: 9 januar 00 KAZALO Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7
Διαβάστε περισσότεραMatematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.
1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.
Διαβάστε περισσότερα1 Fibonaccijeva stevila
1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NIKA HREN INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 203 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA MATEMATIKA - RAČUNALNIŠTVO NIKA HREN Mentor: izr.
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II Skripta za vaje iz Matematike II (UNI + VSP) Ljubljana, determinante Determinanta det A je število, prirejeno
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko
Linearna algebra Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko 23. februar 205 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 52.64(075.8)(0.034.2) OREL, Bojan
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistemov linearnih enačb
1 / 37 Reševanje sistemov linearnih enačb Meteorologija z geofiziko, I. stopnja http://ucilnica.fmf.uni-lj.si/ 2 / 37 Matrični zapis sistema linearnih enačb Sistem m linearnih enačb z n neznankami a 11
Διαβάστε περισσότεραINŽENIRSKA MATEMATIKA I
INŽENIRSKA MATEMATIKA I REŠENE NALOGE za izredne študente VSŠ Tehnično upravljanje nepremičnin Marjeta Škapin Rugelj Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Kazalo Števila in preslikave 5 Vektorji 6 Analitična
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότεραProblem lastnih vrednosti 1 / 20
Problem lastnih vrednosti 1 / 20 2 / 20 1 Uvod 2 Potenčna metoda 3 Inverzna iteracija 4 QR iteracija 5 Metode za simetrične matrike Sturmovo zaporedje Jacobijeva iteracija 3 / 20 Uvod Naj bo A R n n. Paru
Διαβάστε περισσότεραAFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA
Aleš Vavpetič AFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA Ljubljana 2011 ii naslov: AFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA avtorske pravice: Aleš Vavpetič izdaja: prva izdaja založnik: samozaložba Aleš Vavpetič, Ljubljana
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότεραD f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,
Linearna funkcija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, n ᄀ. k smerni koeficient n začetna vrednost D f, Z f Definicijsko območje linearne funkcije so vsa realna števila. Zaloga
Διαβάστε περισσότεραSpoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.
Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
Διαβάστε περισσότερα22. Kdaj sta dva vektorja vzporedna? FGG geodezija UNI Matematika I, 2005/ Kdaj so vektorji a 1, a 2,..., a n linearno neodvisni?
FGG geodezija UNI Matematika I, 2005/06 1. Definicija enakosti množic (funkcij, kompleksnih števil, urejenih n teric)? 2. Definicija kartezičnega produkta množic A in B. Definicija množice R n. 3. Popolna
Διαβάστε περισσότεραNumerične metode 2 (finančna matematika)
Bor Plestenjak Numerične metode 2 (finančna matematika) delovna verzija verzija:. februar 203 Kazalo Nesimetrični problem lastnih vrednosti 5. Uvod............................................ 5.2 Schurova
Διαβάστε περισσότεραDomače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA
Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA. Naj bo vektorsko polje R : R 3 R 3 dano s predpisom R(x, y, z) = (2x 2 + z 2, xy + 2yz, z). Izračunaj pretok polja R skozi površino torusa
Διαβάστε περισσότερα11. Posplošeni problemi lastnih vrednosti
11. Posplošeni problemi lastnih vrednosti Dani sta kvadratni n n matriki A in B. Množico vseh matrik oblike A λb, kjer je λ C, imenujemo matrični šop in označimo z (A, B) ali A λb. Karakteristični polinom
Διαβάστε περισσότερα11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE
11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE Hiperbolična kvazi linearna PDE ima obliko au xx + bu xy + cu yy = f, (1) kjer so a, b, c, f funkcije x, y, u, u x in u y, ter velja b 2 4ac > 0. Če predpostavimo,
Διαβάστε περισσότεραdiferencialne enačbe - nadaljevanje
12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne
Διαβάστε περισσότεραII. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA II TEORIJA
Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko MTEMTIK. letnik VSŠ MTEMTIK II TEORIJ Maribor, 202 Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK
abc MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK ŠTEVILA PRIBLIŽNO RAČUNANJE PRIBLIŽNO RAČUNANJE Ta fosil dinozavra je star 7 milijonov in šest let, pravi paznik v muzeju.??? Ko sem
Διαβάστε περισσότεραVEKTORJI. Operacije z vektorji
VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,
Διαβάστε περισσότεραVaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 06/7 Vaje iz MATEMATIKE. Vektorji Vektorji: Definicija: Vektor je usmerjena daljica. Oznake: AB, a,... Enakost vektorjev: AB = CD: če lahko vektor AB vzporedno premaknemo
Διαβάστε περισσότεραDragi polinom, kje so tvoje ničle?
1 Dragi polinom, kje so tvoje ničle? Vito Vitrih FAMNIT - Izlet v matematično vesolje 17. december 2010 Polinomi: 2 Polinom stopnje n je funkcija p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, a i R.
Διαβάστε περισσότερα1. VAJA IZ TRDNOSTI. (linearna algebra - ponovitev, Kroneckerjev δ i j, permutacijski simbol e i jk )
VAJA IZ TRDNOSTI (lnearna algebra - ponovtev, Kroneckerev δ, permutacsk smbol e k ) NALOGA : Zapš vektor a = [, 2,5,] kot lnearno kombnaco vektorev e = [,,,], e 2 = [,2,3,], e 3 = [2,,, ] n e 4 = [,,,]
Διαβάστε περισσότεραOznake in osnovne definicije
Oznake in osnovne definicije B Plestenjak, JKozak: Numerične metode 2011-2012 1 / 53 Sistem n linearnih enačb z n neznankami a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b
Διαβάστε περισσότεραMetoda glavnih komponent
Metoda glavnih komponent Metoda glavnih kompnent je ena najpogosteje uporabljenih multivariatnih metod. Osnoval jo je Karl Pearson (1901). Največ zaslug za nadaljni razvoj pa ima Hotelling (1933). Osnovna
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραOdvode odvisnih spremenljivk po neodvisni spremenljivki bomo označevali s piko: Sistem navadnih diferencialnih enačb prvega reda ima obliko:
4 Sisemi diferencialnih enačb V prakičnih primerih večkra naleimo na več diferencialnih enačb, ki opisujejo določen pojav in so medsebojno povezane edaj govorimo o sisemih diferencialnih enačb V eh enačbah
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότεραTadeja Kraner Šumenjak MATEMATIKA. Maribor, 2010
Tadeja Kraner Šumenjak in Vilma Šuštar MATEMATIKA Maribor, 2010 2 CIP-kataložni zapis o publikaciji Univerzitetna knjižnica Maribor CIP številka Avtor Naslov publikacije/avtor, kraj, založnik ISBN Naslov
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραPoglavje 2. Sistemi linearnih enačb
Poglavje 2 Sistemi linearnih enačb Najpogostejši problem, na katerega naletimo pri numeričnem računanju, je reševanje sistema linearnih enačb Tak sistem lahko dobimo direktno iz matematične formulacije
Διαβάστε περισσότεραFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22 junij 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότεραREˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23.
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost. kolokvij 3. januar 08 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Nalog je 6,
Διαβάστε περισσότεραFunkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R.
II. FUNKCIJE 1. Osnovni pojmi 2. Sestavljanje funkcij 3. Pregled elementarnih funkcij 4. Zveznost Kaj je funkcija? Definicija Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi
Διαβάστε περισσότεραKotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότεραvezani ekstremi funkcij
11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad
Διαβάστε περισσότεραTema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE)
Matematične metode v fiziki II 2013/14 Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE Diferencialne enačbe v fiziki Večina osnovnih enačb v fiziki je zapisana v obliki diferencialne enačbe. Za primer
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότεραGimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
Διαβάστε περισσότεραAfina in projektivna geometrija
fina in projektivna geometrija tožnice () kiciraj stožnico v evklidski ravnini R, ki je določena z enačbo 6 3 8 + 6 =. Rešitev: tožnica v evklidski ravnini je krivulja, ki jo določa enačba a + b + c +
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Mariboru. Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 Priročnik
Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 Priročnik BOJANA ZALAR Celje 2009 Izdala: Fakulteta za logistiko Univerze v Mariboru Naslov: Uporaba matematičnih metod
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe (študijsko gradivo) Matija Cencelj 1. maja 2003 2 Kazalo 1 Uvod 5 1.1 Preprosti primeri......................... 8 2 Diferencialne enačbe prvega reda 11 2.1 Ločljivi spremenljivki.......................
Διαβάστε περισσότεραInterpolacija in aproksimacija funkcij
Poglavje 4 Interpolacija in aproksimacija funkcij Na interpolacijo naletimo, kadar moramo vrednost funkcije, ki ima vrednosti znane le v posameznih točkah (pravimo jim interpolacijske točke), izračunati
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I Skripta za vaje iz Matematike I (UNI + VSP) Ljubljana, množice Osnovne definicije: Množica A je podmnožica
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA ZA BIOLOGE
MATEMATIKA ZA BIOLOGE Zapiski predavanj Milan Hladnik Fakulteta za matematiko in fiziko Ljubljana 2006 KAZALO I. DISKRETNA MATEMATIKA 3 1. Množice, relacije, funkcije 3 2. Kombinatorika in verjetnost 9
Διαβάστε περισσότερα8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Διαβάστε περισσότερα5.1 Predpogojevanje. K 1 Ax = K 1 b,
5.1 Predpogojevanje Konvergenca metod podprostorov za reševanje linearnega sistema Ax = b je v veliki meri odvisna od razporeditve lastnih vrednosti (in lastnih vektorjev) matrike A. Kadar je konvergenca
Διαβάστε περισσότεραKontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dveh in več spremenljivk
Poglavje 3 Funkcije dveh in več spremenljivk 3.1 Osnovni pojmi Definicija 3.1.1. Funkcija dveh spremenljivk je preslikava, ki vsaki točki (x, y) ravninske množice D priredi realno število z = f(x, y),
Διαβάστε περισσότερα