V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
|
|
- Υγίνος Καρράς
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto, se spomnimo, kaj je permutacija Permutacija je bijektivna preslikava σ : {1,2,,n} {1,2,,n} Množico vseh permutacij n elementov označimo s Π n Signaturo permutacije σ označimo s sgn σ Definicija signature in osnovne lastnosti permutacij, ki jih bomo uporabljali pri obravnavi determinant, so opisane v dodatku A na koncu učbenika Definicija 11 Naj bo a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A a n1 a n2 a nn kvadratna matrika reda n Potem je njena determinanta enaka det A sgn σ a 1σ(1) a 2σ(2) a nσ(n) Determinanta je tako preslikava det : R n n R Determinanto zapišemo tudi s tabelo a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A a n1 a n2 a nn 69
2 70 POGLAVJE IV DETERMINANTA MATRIKE Za zgled izpišimo vsoto iz definicije za n 2, 3 in 4 a 11 a 12 a 21 a 22 a 11a 22 a 12 a 21 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 a 11 a 22 a 33 a 44 + a 11 a 23 a 34 a 42 + a 11 a 24 a 32 a 43 + a 12 a 21 a 34 a a 12 a 23 a 31 a 44 + a 12 a 24 a 33 a 41 + a 13 a 21 a 32 a 44 + a 13 a 22 a 34 a a 13 a 24 a 31 a 42 + a 14 a 22 a 31 a 43 + a 14 a 23 a 32 a 41 + a 14 a 21 a 33 a 42 a 11 a 22 a 34 a 43 a 11 a 23 a 32 a 44 a 11 a 24 a 33 a 42 a 12 a 21 a 33 a 44 a 12 a 23 a 34 a 41 a 12 a 24 a 31 a 43 a 13 a 21 a 34 a 42 a 13 a 22 a 31 a 44 a 13 a 24 a 32 a 41 a 14 a 21 a 32 a 43 a 14 a 22 a 33 a 41 a 14 a 23 a 31 a 42 Ker je število permutacij množice {1,2,,n} enako n!, gotovo ne bo praktično računati determinanto s pomočjo definicije O tem nas prepriča že zgled pri n 4 Preden začnemo s študijem lastnosti determinante, opozorimo na to, da smo determinanti za n 2 in n 3 že srečali v poglavju o vektorjih v R 2 in R 3 Determinanta matrike A R 3 3 je enaka mešanemu produktu vektorjev, ki tvorijo stolpce matrike A Absolutna vrednost det A je potem enaka volumnu paralelepipeda, ki ga določajo stolpci matrike A Podobno je za A R 2 2 absolutna vrednost det A enaka ploščini paralelograma, ki ga določata stolpca matrike A v R 2 2 Razvoj determinante Minor je poddeterminanta determinante a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a n1 a n2 a nn
3 2 RAZVOJ DETERMINANTE 71 ki jo dobimo tako, da izpustimo enako število vrstic in stolpcev Če v determinanti izpustimo i-to vrstico in j-ti stolpec, potem dobljeni minor označimo z m ij Kofaktor k ij je predznačen minor: k ij ( 1) i+j m ij za i,j 1,2,,n Zgled 21 V determinanti poiščimo nekaj minorjev in kofaktorjev: m , m , m , k 11 m 11 3, k 23 m 23 7, k 31 m 31 1 S pomočjo kofaktorjev lahko zapišemo rekurzivne formule za izračun determinante Teh tu ne bomo dokazali Izrek 22 (o razvoju determinante) Za determinanto a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A a n1 a n2 a nn velja: 1) det A a i1 k i1 + a i2 k i2 + + a in k in, i 1,2,,n, je razvoj determinante po i-ti vrstici 2) det A a 1j k 1j + a 2j k 2j + + a nj k nj, j 1, 2,,n, je razvoj determinante po j-tem stolpcu Zgled 23 Izračunajmo z razvojem po prvem stolpcu: ( 3) 0( 4)
4 72 POGLAVJE IV DETERMINANTA MATRIKE Če je v kakem stolpcu ali vrstici veliko ničel, potem je izračun determinante hitrejši, če jo razvijemo po takem stolpcu ali vrstici Zgled 24 Izračunajmo determinanto Z razvojem po tret jem stolpcu dobimo: Z razvojem zadnje determinante po drugem stoplcu dobimo: (2 + 2) 40 Iskana vrednost determinante je tako enaka 40 3 Lastnosti determinante 1) Determinanti matrike in njene transponiranke sta enaki: ( det A det A ) Dokaz Velja: det A sgn σ a 1σ(1) a 2σ(2) a nσ(n) sgn σ a σ 1 (1)1a σ 1 (2)2 a σ 1 (n)n ( det A ) V zgornjem računu smo uporabili dejstvo, da je sgnσ sgn σ 1 2) Če eno vrstico v matriki pomnožimo s skalarjem α, se determinanta pomnoži z α
5 3 LASTNOSTI DETERMINANTE 73 Dokaz Velja: a 11 a 12 a 1n αa i1 αa i2 αa in a n1 a n2 a nn sgn σ a 1σ(1) a iσ(i) a nσ(n) α det A 3) Če en stolpec v matriki pomnožimo s skalarjem α, se determinanta pomnoži z α Dokaz Ker je deta det ( A ) po 1), lastnost 3) sledi iz lastnosti 2) 4) Če matriko pomnožimo s skalarjem, potem velja det(αa) α n det A Dokaz Uporabimo lastnost 2) n-krat 5) Velja: a 11 a 12 a 1n a i 1,1 a i 1,2 a i 1,n a i1 + b i1 a i2 + b i2 a in + b in a i+1,1 a i+1,2 a i+1,n a n1 a n2 a nn a 11 a 12 a 1n a i 1,1 a i 1,2 a i 1,n a i1 a i2 a in a i+1,1 a i+1,2 a i+1,n a n1 a n2 a nn + a 11 a 12 a 1n a i 1,1 a i 1,2 a i 1,n b i1 b i2 b in a i+1,1 a i+1,2 a i+1,n a n1 a n2 a nn
6 74 POGLAVJE IV DETERMINANTA MATRIKE Dokaz Z uporabo razvoja determinante po i-ti vrstici dobimo: a 11 a 12 a 1n a i 1,1 a i 1,2 a i 1,n a i1 + b i1 a i2 + b i2 a in + b in a i+1,1 a i+1,2 a i+1,n a n1 a n2 a nn n n n (a ij + b ij ) k ij a ij k ij + b ij k ij j1 j1 j1 a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n a i 1,1 a i 1,2 a i 1,n a i 1,1 a i 1,2 a i 1,n a i1 a i2 a in + b i1 b i2 b in a i+1,1 a i+1,2 a i+1,n a i+1,1 a i+1,2 a i+1,n a n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn 6) Če v matriki zamenjamo dve vrstici, se njena determinanta pomnoži z ( 1) Dokaz Predpostavimo, da zamenjamo i-to in j-to vrstico, kjer je i < j Če je σ Π n, potem s σ označimo permutacijo, za katero je σ(k), če k i, j σ(k) σ(i), če k j σ(j), če k i Iz lastnosti permutacij vemo, da je sgn σ sgn σ Z uporabo definicije
7 3 LASTNOSTI DETERMINANTE 75 determinante dobimo det A sgn σ a 1σ(1) a iσ(i) a jσ(j) a nσ(n) sgn σ a 1σ(1) a jσ(j) a iσ(i) a nσ(n) sgn σ a 1 σ(1) a i σ(i) a j σ(j) a n σ(n) sgn σ a 1 σ(1) a i σ(i) a j σ(j) a n σ(n) det à Tu smo z à označili matriko, ki jo iz A dobimo tako, da zamenjamo i-to in j-to vrstico 7) Če sta dve vrstici v matriki A enaki, potem je njena determinanta enaka 0 Dokaz Če v matriki enaki vrstici zamenjamo, se matrika ne spremeni Iz lastnosti 6) potem sledi, da je deta det A Zato je deta 0 8) Če v matriki prištejemo skalarni večkratnik ene vrstice drugi vrstici, se determinanta ne spremeni
8 76 POGLAVJE IV DETERMINANTA MATRIKE Dokaz Z uporabo lastnosti 2), 5) in 7) dobimo a 11 a 12 a 1n a j1 + αa i1 a j2 + αa i2 a jn + αa in a n1 a n2 a nn a 11 a 12 a 1n a j1 a j2 a jn a n1 a n2 a nn + a 11 a 12 a 1n αa i1 αa i2 αa in a n1 a n2 a nn a 11 a 12 a 1n a j1 a j2 a jn a n1 a n2 a nn + α a 11 a 12 a 1n a i1 a i2 a in a n1 a n2 a nn a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn
9 4 RAČUNANJE DETERMINANTE 77 9) Velja a 11 a 1,j 1 a 1j + b 1j a 1,j+1 a 1n a 21 a 2,j 1 a 2j + b 2j a 2,j+1 a 2n a n1 a n,j 1 a nj + b nj a n,j+1 a nn a 11 a 1,j 1 a 1j a 1,j+1 a 1n a 21 a 2,j 1 a 2j a 2,j+1 a 2n + a n1 a n,j 1 a nj a n,j+1 a nn a 11 a 1,j 1 b 1j a 1,j+1 a 1n a 21 a 2,j 1 b 2j a 2,j+1 a 2n + a n1 a n,j 1 b nj a n,j+1 a nn 10) Če v matriki zamenjamo dva stolpca, se njena determinanta pomnoži z ( 1) 11) Če sta dva stolpca v matriki enaka, je njena determinanta enaka 0 12) Če v matriki prištejemo skalarni večkratnik enega stolpca drugemu stolpcu, se njena determinanta ne spremeni Lastnosti 9), 10), 11) in 12) sledijo iz lastnosti 5), 6), 7) in 8) z uporabo lastnosti 1) 4 Računanje determinante d d 2 0 Če je D diagonalna matrika, potem je njena determinanta enaka produktu diagonalnih elementov: detd n 0 0 d n i1 d i To sledi iz definicije, saj za vsako neidentično permutacijo σ obstaja tak i {1, 2,,n}, da je σ(i) i Še več, za vsako neidentično permutacijo σ obstaja tak i, da je σ(i) < i To dejstvo uporabimo za dokaz naslednje trditve:
10 78 POGLAVJE IV DETERMINANTA MATRIKE a 11 a 12 a 13 a 1n 0 a 22 a 23 a 2n Trditev 41 Če je A 0 0 a 33 a 3n zgornje-trikotna matrika, a nn potem je deta n i1 a ii Ker je determinanto zgornje-trikotne matrike lahko izračunati, bomo to s pridom uporabili Izkaže se, da lahko s pomočjo elementarnih transformacij na vrsticah tipa I in III kvadratno matriko A preoblikujemo v zgornje trikotno matriko T Pri tem se pri transformaciji tipa I determinanta ne spremeni, pri transformaciji tipa III pa se determinanta pomnoži z ( 1) Zato je det A ( 1) s det T, kjer je s število transformacij tipa III, ki smo jih uporabili v postopku preoblikovanja A v T Zgled 42 Izračunajmo determinanto matrike A Najprej zamenjamo prvo in tretjo vrstico: Prištejemo dvakratnik prve vrstice zadnji vrstici: Prištejemo ( 2)-kratnik tretje vrstice k zadnji vrstici:
11 5 DETERMINANTA PRODUKTA IN PRIREJENKA 79 Prištejemo z ( 1 2 ) pomnoženo drugo vrstico k tretji vrstici: Zamenjamo zadnji dve vrstici: Nazadnje prištejemo trikratnik tretje vrstice k zadnji vrstici in dobimo: T Ker smo uporabili dve transformaciji tipa III, je det A dett 86 5 Determinanta produkta in prirejenka Najprej si oglejmo pravilo, ki velja za determinanto produkta dveh matrik Izrek 51 Če sta A,B Rn n, potem je detab detadet B Dokaz Označimo C AB Naj bodo c 1,c 2,,c n stolpci matrike C, a 1,a 2,,a n stolpci matrike A in b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n B b n1 b n2 b nn
12 80 POGLAVJE IV DETERMINANTA MATRIKE Potem je c j n i j 1 b i j ja ij Z uporabo lastnosti 9), 10), 11) in 1) za determinanto dobimo det C c 1 c 2 c n n i 1 1 b n i 1 1a i1 i 2 1 b i 2 2a i2 n i b n1 i nna in n n n b i1 1a i1 b i2 2a i2 b inna in Posledica 52 i 1 1 i 2 1 n n i 1 1 i 2 1 i n1 n i n1 b σ(1)1 b σ(2)2 b σ(n)n detadet b i1 1b i2 2 b inn a i1 a i2 a in sgn σb σ(1)1 b σ(2)2 b σ(n)n ( B ) detadetb Če je A obrnljiva, potem je det ( A 1) 1 det A a σ(1) a σ(2) a σ(n) a 1 a 2 a n Dokaz Ker velja AA 1 I in deti 1, sledi iz prejšnjega izreka enakost Torej je det ( A 1) 1 det A (deta) ( det ( A 1)) 1 Oglejmo si sedaj še definicijo in uporabo prirejenke Definicija 53 Naj bo a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A Rn n a n1 a n2 a nn S k ij označimo (i, j)-ti kofaktor deta Matriko k 11 k 12 k 1n k 21 k 22 k 2n B A k n1 k n2 k nn
13 5 DETERMINANTA PRODUKTA IN PRIREJENKA 81 imenujemo prirejenka matrike A Naslednji izrek nam poda kriterij za obstoj inverza dane matrike To je za nas najpomemnejši rezultat v poglavju o determinanti Izrek 54 Matrika A R n n je obrnljiva natanko tedaj, ko je det A 0 Tedaj je A 1 1 det A B A Dokaz Če je A obrnljiva, je (deta) ( det ( A 1)) deti 1 Zato je deta 0 Naj bo deta 0 Izračunajmo produkt AB A : (i, j)-ti element matrike AB A je enak n l1 a ilk jl Po izreku o razvoju determinante je ta vsota enaka deta, če je i j Če je i j, potem je ta vsota razvoj determinante, ki ima i-to in j-to vrstico enako in je zato enaka 0 Tako dobimo det A det A 0 AB A 0 0 det A Ker je deta 0, je A ( 1 det A B ) A I Zato je A 1 1 det A B A [ ] a b Zgled 55 Če je A obrnljiva matrika v R c d 2 2, potem je [ ] d b deta ad bc 0 Njena prirejenka je B A in njen inverz je c a Konkretno, če je A A 1 1 ad bc [ d b c a ] [ ] 2 1, potem je det A 1 in A Zgled 56 Poiščimo inverz matrike A s pomočjo prirejenke [ ]
14 82 POGLAVJE IV DETERMINANTA MATRIKE Izračunamo determinanto deta 7 in prirejenko B A Zato je A Posledica 57 Produkt dveh obrnljivih matrik je obrnljiva matrika Dokaz Če sta A in B obrnljivi matriki, potem je deta 0 in detb 0 Zato je tudi detab detadet B 0 in produkt AB je obrnljiva matrika 6 Cramerjevo pravilo Naj bo A R n n obrnljiva matrika in naj bo Ax b sistem linearnih enačb Za j 1,2,,n označimo z A j (b) matriko, ki jo dobimo iz A tako, da j-ti stolpec zamenjamo z vektorjem b Izrek 61 (Cramerjevo pravilo) Če je A obrnljiva matrika v Rn n, potem je rešitev sistema linearnih enačb Ax b podana z x j deta j(b) det A, j 1,2,,n Dokaz Ker je A obrnljiva, iz zveze Ax b sledi x A 1 b 1 det A B Ab Naj b 1 b 2 bo b Potem je j-ta komponenta produkta B Ab enaka n i1 k ijb i Po b n izreku o razvoju determinante je ta vsota enaka deta j (b) Zato je x j det A j(b) det A za j 1, 2,,n Zgled 62 Rešimo sistem linearnih enačb 3x 2y 6 5x + 4y 8
15 6 CRAMERJEVO PRAVILO 83 s pomočjo Cramerjevega pravila Velja: det A Ker je b [ ] 6, je 8 det A 1 (b) in det A 2 (b) Zato je rešitev enaka x 20 in y 27 Zgled 63 S pomočjo Cramerjevega pravila rešimo še sistem linearnih enačb Velja: x y + z 1 y + 2z 0 x + 3z deta Vektor desne strani je b 0, zato je det A x (b) , det A y (b) in det A z (b) Tako dobimo rešitev x 1 2, y 1 in z 1 2
matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραMatrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1
Poglavje II Matrike Matrika je pravokotna tabela realnih števil Na primer: [ ] 1 1 1, 2 3 1 1 0 1 3 2 1, 0 1 4 [ ] 2 7, Matrika je sestavljena iz vrstic in stolpcev Vrstici matrike [ ] 1 1 1 2 3 1 [ ]
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραOsnove linearne algebre
Osnove linearne algebre Matrike Matrika razsežnosti n m je A = a 1 1 a 1 2 a 1 m a 2 1 a 2 2 a 2 m a n 1 a n 2 a n m Če je n = m, tedaj matriko imenujemo kvadratna matrika Elementi matrike so lahko realna
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότεραPodobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραLinearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti
Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih
Διαβάστε περισσότεραUporabna matematika za naravoslovce
Uporabna matematika za naravoslovce Zapiski predavanj Študijski programi: Aplikativna kineziologija, Biodiverziteta Študijsko leto 203/4 doc.dr. Barbara Boldin Fakulteta za matematiko, naravoslovje in
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραMatematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2009/2010
Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 009/00 Izpis: 9 januar 00 KAZALO Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραDiferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA II
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA II Maribor, 2016 Kazalo Uvod v linearno algebro 1 1.1 Matrike................................ 1 1.2 Računanje
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραLastne vrednosti in lastni vektorji
Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραTadeja Kraner Šumenjak MATEMATIKA. Maribor, 2010
Tadeja Kraner Šumenjak in Vilma Šuštar MATEMATIKA Maribor, 2010 2 CIP-kataložni zapis o publikaciji Univerzitetna knjižnica Maribor CIP številka Avtor Naslov publikacije/avtor, kraj, založnik ISBN Naslov
Διαβάστε περισσότεραAlgebraične strukture
Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA II TEORIJA
Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko MTEMTIK. letnik VSŠ MTEMTIK II TEORIJ Maribor, 202 Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko
Linearna algebra Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko 23. februar 205 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 52.64(075.8)(0.034.2) OREL, Bojan
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistemov linearnih enačb
1 / 37 Reševanje sistemov linearnih enačb Meteorologija z geofiziko, I. stopnja http://ucilnica.fmf.uni-lj.si/ 2 / 37 Matrični zapis sistema linearnih enačb Sistem m linearnih enačb z n neznankami a 11
Διαβάστε περισσότερα1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem
Poglavje I Vektorji Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Za lažjo geometrično predstavo si najprej oglejmo, kaj so vektorji v ravnini. Vektor je usmerjena daljica, ki je natanko določena s svojo
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SANDRA BOLTA LASTNE VREDNOSTI GRAFA DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SANDRA BOLTA LASTNE VREDNOSTI GRAFA DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2014 2 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijska smer: Fizika in matematika SANDRA BOLTA
Διαβάστε περισσότεραVektorski prostori s skalarnim produktom
Poglavje IX Vektorski prostori s skalarnim produktom Skalarni produkt dveh vektorjev v R n smo spoznali v prvem poglavju. Sedaj bomo pojem skalarnega produkta razširili na poljuben vektorski prostor V
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότεραDodatna poglavja iz linearne algebre za 1. letnik finančne matematike na FMF. Primož Moravec
Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1 letnik finančne matematike na FMF Primož Moravec 13 september 2017 1 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51264(0758)
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότερα1 Fibonaccijeva stevila
1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih
Διαβάστε περισσότεραOznake in osnovne definicije
Oznake in osnovne definicije B Plestenjak, JKozak: Numerične metode 2011-2012 1 / 53 Sistem n linearnih enačb z n neznankami a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραPoliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009
Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Pri linearnem programiranju imamo opravka s končnim sistemom neenakosti in končno spremenljivkami, torej je množica dopustnih rešitev presek končno mnogo polprostorov.
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II Skripta za vaje iz Matematike II (UNI + VSP) Ljubljana, determinante Determinanta det A je število, prirejeno
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότερα8. Posplošeni problem lastnih vrednosti
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki
Διαβάστε περισσότεραPoglavje 2. Sistemi linearnih enačb
Poglavje 2 Sistemi linearnih enačb Najpogostejši problem, na katerega naletimo pri numeričnem računanju, je reševanje sistema linearnih enačb Tak sistem lahko dobimo direktno iz matematične formulacije
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Mariboru. Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 Priročnik
Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 Priročnik BOJANA ZALAR Celje 2009 Izdala: Fakulteta za logistiko Univerze v Mariboru Naslov: Uporaba matematičnih metod
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK
abc MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK ŠTEVILA PRIBLIŽNO RAČUNANJE PRIBLIŽNO RAČUNANJE Ta fosil dinozavra je star 7 milijonov in šest let, pravi paznik v muzeju.??? Ko sem
Διαβάστε περισσότεραProblem lastnih vrednosti
Problem lastnih vrednosti Naj bo A R n n. Iščemo lastni par, da zanj velja Ax = λx, kjer je x C n, x 0 (desni) lastni vektor, λ C pa lastna vrednost. Vektor y 0, pri katerem je y H A = λy H, je levi lastni
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότεραIzpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Διαβάστε περισσότεραInverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Peter Škvorc Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI
Διαβάστε περισσότερα22. Kdaj sta dva vektorja vzporedna? FGG geodezija UNI Matematika I, 2005/ Kdaj so vektorji a 1, a 2,..., a n linearno neodvisni?
FGG geodezija UNI Matematika I, 2005/06 1. Definicija enakosti množic (funkcij, kompleksnih števil, urejenih n teric)? 2. Definicija kartezičnega produkta množic A in B. Definicija množice R n. 3. Popolna
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότερα1. izpit iz Diskretnih struktur UNI Ljubljana, 17. januar 2006
1. izpit iz Diskretnih struktur UNI Ljubljana, 17. januar 2006 1. Dana je množica predpostavk p q r s, r t, s q, s p r, s t in zaključek t r. Odloči, ali je sklep pravilen ali napačen. pravilen, zapiši
Διαβάστε περισσότεραMATRIČNI ZAPIS MODELA IN OSNOVE MATRIČNE OPERACIJE
Biometrija 1 Poglavje 1 MATRIČNI ZAPIS MODELA IN OSNOVE MATRIČNE OPERACIJE 11 Skalar Skalar je matrika reda 1 x 1 Skalarji so označeni z malimi ali velikimi navadnimi (neodebeljene) črkami kot npr y i
Διαβάστε περισσότεραGimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
Διαβάστε περισσότερα11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE
11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE Hiperbolična kvazi linearna PDE ima obliko au xx + bu xy + cu yy = f, (1) kjer so a, b, c, f funkcije x, y, u, u x in u y, ter velja b 2 4ac > 0. Če predpostavimo,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Διαβάστε περισσότεραAnaliza 2 Rešitve 14. sklopa nalog
Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
Διαβάστε περισσότεραREˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23.
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost. kolokvij 3. januar 08 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Nalog je 6,
Διαβάστε περισσότερα10. poglavje. Kode za overjanje
10. poglavje Kode za overjanje (angl. Authentication Codes) Uvod Računanje verjetnosti prevare Kombinatorične ocene pravokotne škatje (ang. orthogonal arrays, OA) konstrukcije in ocene za OA Karakterizaciji
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότερα1. VAJA IZ TRDNOSTI. (linearna algebra - ponovitev, Kroneckerjev δ i j, permutacijski simbol e i jk )
VAJA IZ TRDNOSTI (lnearna algebra - ponovtev, Kroneckerev δ, permutacsk smbol e k ) NALOGA : Zapš vektor a = [, 2,5,] kot lnearno kombnaco vektorev e = [,,,], e 2 = [,2,3,], e 3 = [2,,, ] n e 4 = [,,,]
Διαβάστε περισσότερα(Ne)rešljiva Rubikova kocka in grupe
(Ne)rešljiva Rubikova kocka in grupe Maša Lah, Sabina Boršić, Klara Drofenik Mentor: Rok Gregorič Matematično raziskovalno srečanje 24. avgust 2016 Povzetek Cilj našega projekta je bil ugotoviti kriterij
Διαβάστε περισσότεραNumerične metode 2 (finančna matematika)
Bor Plestenjak Numerične metode 2 (finančna matematika) delovna verzija verzija:. februar 203 Kazalo Nesimetrični problem lastnih vrednosti 5. Uvod............................................ 5.2 Schurova
Διαβάστε περισσότεραVAJE IZ MATEMATIKE za študente gozdarstva. Martin Raič
VAJE IZ MATEMATIKE za študente gozdarstva Martin Raič OSNUTEK Kazalo 1. Ponovitev 2 2. Ravninska in prostorska geometrija 5 3. Linearna algebra 7 4. Ponavljanje pred kolokvijem 8 M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(GOZDARSTVO)
Διαβάστε περισσότεραProblem lastnih vrednosti 1 / 20
Problem lastnih vrednosti 1 / 20 2 / 20 1 Uvod 2 Potenčna metoda 3 Inverzna iteracija 4 QR iteracija 5 Metode za simetrične matrike Sturmovo zaporedje Jacobijeva iteracija 3 / 20 Uvod Naj bo A R n n. Paru
Διαβάστε περισσότεραMatematično modeliranje. Simpleksna metoda.
Simpleksna metoda. Drago Bokal, Tanja Gologranc Oddelek za matematiko in računalništvo Fakulteta za naravoslovje in matematiko Univerza v Mariboru Kanonična oblika linearnega programa. min c T x p. p.
Διαβάστε περισσότεραIntegralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA III
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 215 ii Kazalo Diferencialni račun vektorskih funkcij 1 1.1 Skalarne funkcije...........................
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραNEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE
NEPARAMETRIČNI TESTI pregledovanje tabel hi-kvadrat test as. dr. Nino RODE Parametrični in neparametrični testi S pomočjo z-testa in t-testa preizkušamo domneve o parametrih na vzorcih izračunamo statistike,
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότεραSpoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.
Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih
Διαβάστε περισσότερα8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 21. april 2008 102 Poglavje 4 Odvod 4.1 Definicija odvoda Naj bo funkcija f definirana na intervalu (a, b) in x 0 točka s tega intervala. Vzemimo
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Διαβάστε περισσότεραVerjetnost 2. Oktober Verjetnost 2 Šesto poglavje. Obratna pot do markovskih verig. Od diskretnega časa proti zveznemu. Stabilnost in eksplozije
Oktober 2010 Vsebina 1 2 3 Osnovne sestavine obratne poti Imejmo markovsko o z diskretnim časom Y s števno množico stanj S, z začetno porazdelitvijo π 0 in prehodno matriko Q, ki ima lastnost, da so vsi
Διαβάστε περισσότεραKanonična oblika linearnega programa. Simpleksna metoda. Bazne rešitve kanoničnega linearnega programa.
Kanonična oblika linearnega programa.. Drago Bokal, Tanja Gologranc Oddelek za matematiko in računalništvo Fakulteta za naravoslovje in matematiko Univerza v Mariboru min c T x p. p. Ax = b x 0 Kako dobimo
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότερα1. Trikotniki hitrosti
. Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca
Διαβάστε περισσότεραINŽENIRSKA MATEMATIKA I
INŽENIRSKA MATEMATIKA I REŠENE NALOGE za izredne študente VSŠ Tehnično upravljanje nepremičnin Marjeta Škapin Rugelj Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Kazalo Števila in preslikave 5 Vektorji 6 Analitična
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,
Διαβάστε περισσότεραII. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NIKA HREN INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 203 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA MATEMATIKA - RAČUNALNIŠTVO NIKA HREN Mentor: izr.
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dveh in več spremenljivk
Poglavje 3 Funkcije dveh in več spremenljivk 3.1 Osnovni pojmi Definicija 3.1.1. Funkcija dveh spremenljivk je preslikava, ki vsaki točki (x, y) ravninske množice D priredi realno število z = f(x, y),
Διαβάστε περισσότεραDefinicija 1. Naj bo f : D odp R funkcija. Funkcija F : D odp R je primitivna funkcija funkcije f, če je odvedljiva in če velja F = f.
Nedoločeni integral V tem razdelku si bomo pogledali operacijo, ki je na nek način inverzna odvajanju. Za dano funkcijo bomo poskušali poiskati neko drugo funkcijo, katere odvod bo ravno dana funkcija.
Διαβάστε περισσότερα11. Posplošeni problemi lastnih vrednosti
11. Posplošeni problemi lastnih vrednosti Dani sta kvadratni n n matriki A in B. Množico vseh matrik oblike A λb, kjer je λ C, imenujemo matrični šop in označimo z (A, B) ali A λb. Karakteristični polinom
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmi nad grafi v jeziku linearne algebre
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Tinkara Toš Algoritmi nad grafi v jeziku linearne algebre DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM
Διαβάστε περισσότεραPROCESIRANJE SIGNALOV
Rešive pisega izpia PROCESIRANJE SIGNALOV Daum: 7... aloga Kolikša je ampliuda reje harmoske kompoee arisaega periodičega sigala? f() - -3 - - 3 Rešiev: Časova fukcija a iervalu ( /,/) je lieara fukcija:
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I Skripta za vaje iz Matematike I (UNI + VSP) Ljubljana, množice Osnovne definicije: Množica A je podmnožica
Διαβάστε περισσότεραAnaliza I. (študijsko gradivo) Matija Cencelj
Analiza I (študijsko gradivo) Matija Cencelj 2. maj 2007 2 Kazalo 1 Uvod 5 1.1 Izjave............................... 5 1.2 Množice.............................. 7 1.3 Relacije..............................
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO. Petra MATEMATIKA I
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek, Matevž Črepnjak Visokošolski učbenik z rešenimi nalogami MATEMATIKA I Maribor 03 Naslov publikacije: Visokošolski
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότεραAFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA
Aleš Vavpetič AFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA Ljubljana 2011 ii naslov: AFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA avtorske pravice: Aleš Vavpetič izdaja: prva izdaja založnik: samozaložba Aleš Vavpetič, Ljubljana
Διαβάστε περισσότερα