ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι (ΧΗΜ-048) ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ. 5. Θεωρία Ομάδων Μοριακή συμμετρία. ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ.

Transcript

1 ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι (ΧΗΜ-48) ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ 5. Θεωρία Ομάδων Μοριακή συμμετρία ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

2 Μοριακή Συµµετρία Θεωρία Οµάδων I. Βασικά στοιχεία θεωρίας οµάδων II. III. - Οµάδα, Πράξεις, Μετασχηµατισµοί, Τάξη, Βαθµός Οµάδες Συµµετρίας Σηµείου (Point Groups) - Πράξεις µοριακής συµµετρίας - Οµάδες συµµετρίας σηµείου - Πράξεις συµµετρίας, Πίνακες πράξεων - Πίνακες χαρακτήρων Φασµατοσκοπία - Συµµετρία µοριακών δονήσεων (κανόνες επιλογής, συµµετρία και γεωµετρική απεικόνιση κανονικών τρόπων δόνησης) Μ. Π. Σιγάλας (ΑΠΘ) Μοριακή Συµµετρία και Θεωρία Οµάδων Σηµειώσεις Παραδόσεων Symmetry_Lectures.pdf Βιβλιογραφία για µελέτη ΑtΦΧ_Κεφ., 2.6, ΑtΦΧ2_Κεφ.7, 8.4, 8.5 α ΗΒ_Κεφ., Κεφ. 3 MKT_Κεφ.7 ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

3 Συµµετρίες στη Χηµεία ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

4 ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27) Θεωρία οµάδων Οµάδα είναι µία συλλογή διαφορετικών στοιχείων (π.χ. πράξεων συµµετρίας) που ακολουθούν τους παρακάτω κανόνες σε σχέση µε µία πράξη «*». Ένα µέλος είναι η πράξη της ταυτότητας Ε (Ε*Α Α*Ε Α) 2. Το γινόµενο δύο µελών αποτελεί επίσης µέλος της οµάδας 3. Η πράξη του πολλαπλασιασµού είναι προσεταιριστική Α*(Β*Γ)(Α*Β)*Γ ΠΡΟΣΟΧΗ!! Γενικά : Α*Β Β*Α 4. Για κάθε µέλος (Ζ) της οµάδας υπάρχει αντίστροφος (Ζ ) έτσι ώστε B C TA G J B B C TA G J C C B J G A T T T G BJ C A A A J GB T C G G T AC J B J J A CT B G ΗΒ_Κεφ. Ζ *Ζ Ζ *ZΕ Το στοιχείο της ταυτότητας είναι το Β Υπάρχουν αντίστροφοι, π.χ. Για το J είναι το G διότι J*GG*JB Όλα τα γινόµενα είναι στοιχεία της οµάδας Ισχύει C*(T*G)C*CB και (C*Τ)*GJ*GB άρα C*(T*G) (C*Τ)*G

5 Βαθµός, h (order) µιας οµάδας είναι ο αριθµός των πράξεων συµµετρίας ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27) Θεωρία οµάδων B C TA G J B B C TA G J C C B J G A T T T G BJ C A A A J GB T C G G T AC J B J J A CT B G Υποοµάδα είναι ένα υποσύνολο των πράξεων µιας οµάδας που αποτελούν µικρότερη οµάδα {Β,C} h2 {Β,G,J} h3 B C TA G J B B C TA G J C C B J G A T T T G BJ C A A A J GB T C G G T AC J B J J A CT B G B C TA G J B B C TA G J C C B J G A T T T G BJ C A A A J GB T C G G T AC J B J J A CT B G h6 B G J C TA B B G J C TA G G J B T AC J J B G A CT C C A T B J G T T C A G BJ A A T C J GB ΠΡΟΣΟΧΗ: Ο βαθµός µιας τυχόν υποοµάδας είναι πάντοτε ακέραιος διαιρέτης του βαθµού της κύριας οµάδας π.χ. 6*2*3 δηλ ή 2 ή 3

6 Θεωρία οµάδων Μετασχηµατισµός Οµοιότητας (Similrity Trnsformtion) ορίζεται ως το γινόµενο τριών πράξεων ως εξής : Ζ *Χ*ΖΥ Οι πράξεις Χ και Υ που συνδέονται µε µετασχηµατισµό οµοιότητας ονοµάζονται συζυγείς πράξεις (conjugte opertions). Ένα σύνολο συζυγών πράξεων µιας οµάδας αποτελεί µιά τάξη (clss) B C TA G J B B C TA G J C C B J G A T T T G BJ C A A A J GB T C G G T AC J B J J A CT B G J *C*JG*(C*J)G*TA J *T*JG*(T*J)G*AC J *A*JG*(A*J)G*CT Εποµένως τα Α, C, Τ ανήκουν στην ίδια τάξη (clss) ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

7 Οµάδες συµµετρίας σηµείου (point groups) Πρόβλεψη ιδιοτήτων ατόµων και µορίων Ατοµική - Μοριακή συµµετρία Πρόβλεψη φασµατικών µεταβάσεων Στοιχεία Συµµετρίας Γεωµετρικά στοιχεία (σηµείο, άξονας, επίπεδο συµµετρίας) µε βάση τα οποία πραγµατοποιούντιαι πράξεις συµµετρίας. Πράξεις Συµµετρίας Κινήσεις του µορίου, µε βάση κατάλληλα στοιχεία συµµετρίας, κατά τις οποίες η τελική γεωµετρία του µορίου είναι ισοδύναµη µε την αρχική.. Ταυτότητα E ή C : καµία πράξη 2. Περιστροφή τάξης n, C n : περιστροφή ως προς άξονα κατά γωνία 2π/n E b C 2 b η γωνία περιστροφής είναι 8 ο 2π/2 άρα n 2 ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

8 Οµάδες συµµετρίας σηµείου Πράξεις Συµµετρίας 3. Ανάκλαση ως προς επίπεδο σ : b σ b 4. Ανάκλαση ως προς κέντρο συµµετρίας i (Αναστροφή) : b i b ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

9 Οµάδες συµµετρίας σηµείου Πράξεις Συµµετρίας 5. S n : Περιστροφή C n που ακολουθείται από ανάκλαση ως προς επίπεδο σ κάθετο στον άξονα περιστροφής b C 4 b b σ S 4 ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

10 C : C i : Οµάδες συµµετρίας σηµείου Ανήκουν µόρια µε µόνη πράξη συµµετρίας την ταυτότητα Ε Cl N h F Ανήκουν µόρια µε πράξεις συµµετρίας Ε και i (κέντρο συµµετρίας) F Cl h2 Σύστηµα Schoenflies C S : Cl F Ανήκουν (επίπεδα) µόρια µε πράξεις συµµετρίας Ε και επίπεδο συµµετρίας σ h2 ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27) Ν

11 Οµάδες συµµετρίας σηµείου C n : Ανήκουν µόρια µε πράξεις συµµετρίας Ε και C n (άξονας συµµετρίας) hn C 2 άξονας C 2 C nv : Ανήκουν µόρια µε πράξεις συµµετρίας E, C n και n σ v (κατακόρυφα επίπεδα) δηλ. επίπεδα συµµετρίας που περιέχουν τον κύριο άξονα C n σ v (xz) 2 κατακ. επίπεδα h? z O σ v (yz) C 2v y άξονας C 2 x ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

12 Οµάδες συµµετρίας σηµείου C 2v : Πίνακας πολλαπλασιασµού C 2v E C 2 σ v σ v ' E E C 2 σ v σ v ' C 2 C 2 E σ v σ v σ v ' σ v ' C 2v E C 2 σ v σ v ' E E C 2 σ v σ v ' C 2 *C 2 E σ v '*σ v C 2 O O b b b C 2 O C 2 σ v E b O σ' v b O O b C 2 C 2 σ v σ v C 2 σ v ' σ v ' C 2v E C 2 σ v σ v ' E E C 2 σ v σ v ' C 2 C 2 E σ v ' σ v σ v σ v σ v ' E C 2 σ v ' σ v ' σ v C 2 E C 2 ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27) h(c 2v ) 4 {E, C 2 } : υπο-οµάδα, h 2 Αριθ. Τάξεων : 4

13 Οµάδες συµµετρίας σηµείου C nh : Ανήκουν µόρια µε πράξεις συµµετρίας E, C n και ένα σ h (οριζόντιο) δηλ. επίπεδο συµµετρίας κάθετο στον κύριο άξονα C n Παρατήρηση : εν υπάρχουν επίπεδα σ v h? O O O C 2h Ύπαρξη C 2 και σ h κέντρο συµµετρίας (i) h? O C 3h O ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

14 Οµάδες συµµετρίας σηµείου C 3h O O κύριος άξονας περιστροφής C 3 είναι κάθετος στο επίπεδο της διαφάνειας και διέρχεται από το κέντρο του δακτυλίου O O C 3 O O O C 3 *C 3 *C 3 C 33 Ε C 3 2 Σηµείωση Οι πράξεις C 3 και C 32 που επιτελούνται µε βάση τον άξονα περιστροφής C 3 θεωρούνται ως 2 διαφορετικές πράξεις (στροφή 2 ο και 24 ο (ή -2 ο ) αντίστοιχα). Η πράξη C 33 είναι ισοδύναµη µε την ταυτότητα Ε. O O ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27) O C 3 C 3 *C 3 C 32 C 3 -

15 Οµάδες συµµετρίας σηµείου D n : Ανήκουν µόρια µε πράξεις συµµετρίας E, C n και n άξονες C 2 κάθετους στον κύριο άξονα C n D 3 D nd : Ανήκουν µόρια µε πράξεις συµµετρίας E, C n, n άξονες C 2 κάθετους στον κύριο άξονα C n και n κατακόρυφα δίεδρα επίπεδα σ d (επίπεδα συµµετρίας που περιέχουν τον κύριο άξονα C n ) D 3d ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

16 Οµάδες συµµετρίας σηµείου D 3d O κύριος άξονα περιστροφής C 3 είναι κάθετος στο επίπεδο της διαφάνειας και κατα µήκος του δεσµού C-C C 3 C 3 C άξονες C 2 κάθετοι στον C 3 διέρχονται από το µέσο του δεσµού C-C ()C 2 C 2 ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

17 Οµάδες συµµετρίας σηµείου D 3d (2)C 2 2C 2 3C 2 (3)C 2 ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

18 Οµάδες συµµετρίας σηµείου D nh : Ανήκουν µόρια µε πράξεις συµµετρίας E, C n, n άξονες C 2 κάθετους στον κύριο άξονα C n και οριζόντιο επίπεδο σ h (επίπεδο συµµετρίας κάθετο στον κύριο άξονα C n ) C 3 C 3 C 3 2 Το οριζόντιο επίπεδο σ h ορίζεται από τα 3 άτοµα άνθρακα του δακτυλίου ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

19 Οµάδες συµµετρίας σηµείου Ιδιαίτερες οµάδες D h : Οµοπυρηνικά διατοµικά και γραµµικά µόρια µε άξονα συµµετρίας κάθετο στο δεσµό. Τ d : Τετραεδρικά µόρια C v : Ετεροπυρηνικά διατοµικά και τα υπόλοιπα γραµµικά Ο h : Οκταεδρικά µόρια Ι h : Εικοσαεδρικά µόρια Κ h : Σφαιρική συµµετρία (άτοµα) ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

20 ιάγραµµα Ροής για αναγνώριση Σηµειακής Οµάδας Συµµετρίας Ιδιαίτερη Οµάδα; OXI NAI C v, D h, T d, O h, I h? C n (n>) OXI? σ NAI OXI NAI? C 2 D nh NAI OXI NAI? σ h C s? i? σ h NAI OXI NAI C i C C nh OXI OXI D nd NAI? σ v? σ v NAI C nv OXI OXI D n C n ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

21 Οµάδες συµµετρίας σηµείου ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

22 Οµάδες συµµετρίας σηµείου Παραδείγµατα Αλλένιο C 3 4. Ιδιαίτερη οµάδα? ΟΧΙ 2. Cn (n>)? NAI C 2 κατά µήκος των δεσµών CCC 3. C 2? ΝΑΙ 2 C 2 4. σ h? OXI 5. σ v? NAI 2 σ v ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

23 Οµάδες συµµετρίας σηµείου Παραδείγµατα Αλλένιο C 3 4 D 2d. Ιδιαίτερη οµάδα? ΟΧΙ 2. Cn (n>)? NAI C 2 κατά µήκος των δεσµών CCC 3. C 2? ΝΑΙ 2 C 2 4. σ h? OXI 5. σ v? NAI 2 σ v ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

24 Οµάδες συµµετρίας σηµείου Παραδείγµατα F? OCCO (γραµµικό) Cl O (επίπεδο) Cl C 4 4 C 2 σ h ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

25 Οµάδες συµµετρίας σηµείου Παραδείγµατα F? C v OCCO (γραµµικό) Cl O (επίπεδο) Cl C 4 4 C 2 σ h ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

26 Οµάδες συµµετρίας σηµείου Παραδείγµατα F? C v OCCO (γραµµικό) D h Cl O (επίπεδο) Cl C 4 4 C 2 σ h ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

27 Οµάδες συµµετρίας σηµείου Παραδείγµατα F? C v OCCO (γραµµικό) D h Cl O C s (επίπεδο) Cl C 4 4 C 2 σ h ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

28 Οµάδες συµµετρίας σηµείου Παραδείγµατα F? C v OCCO (γραµµικό) D h Cl O C s (επίπεδο) Cl C 4 4 C 2 σ h D 4h ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

29 ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27) Πράξεις Συµµετρίας και Πίνακες Α(,b,c) Α (',b',c') Μια πράξη συµµετρίας µετακινεί κάποιο άτοµο από κάποια θέση (,b,c) σε κάποια άλλη (',b',c'). Ο γεωµετρικός µετασχηµατισµός περιγράφεται µε τη µορφή γινοµένου : Πίνακας x ιάνυσµα c b R R R R R R R R R c b A R D A ) ( r r Πίνακας Ταυτότητας c b c b c b E D ) ( Πίνακας Ανάκλασης ως προς Επίπεδο xy c b c b c b xy )) D(σ ( z y x

30 ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27) Μη αναγώγιµες αναπαραστάσεις (ΜΑΠ) Οι πίνακες που περιγράφουν τις πράξεις µιάς οµάδας συµµετρίας σηµείου συνιστούν µια Αναπαράσταση της οµάδας και ικανοποιούν τον πίνακα πολλαπλασιασµού της οµάδας. Αναλόγως της χρησιµοποιούµενης βάσης (π.χ. ένα σηµείο στο χώρο, όλα τα άτοµα του µορίου ως σηµεία (x,y,z) στο χώρο, ατοµικά ή µοριακά τροχιακά) προκύπτει διαφορετική αναπαράσταση. Όλες οι αναπαραστάσεις, ανεξαρτήτως βάσης, είναι δυνατό να αναχθούν σε ένα πεπερασµένο (µικρό) αριθµό αναπαραστάσεων οι οποίες δεν απλοποιούνται περαιτέρω και ονοµάζονται µη-αναγώγιµες αναπαραστάσεις (ΜΑΠ) Οι ΜΑΠ είναι οι απλούστερες αναπαραστάσεις των πράξεων µιάς οµάδας σηµείου Οι ΜΑΠ προκύπτουν µε κατάλληλους µετασχηµατισµούς οµοιότητας Ζ *Χ*ΖΥ οι οποίοι µετασχηµατίζουν τους πίνακες µιάς αναπαράστασης σε τετραγωνικώς διαγώνιους (block digonl) πίνακες (κυρίως µίας ή δύο διαστάσεων). N M L K J I G F E D C B A f e d c b f e d c b f e d c b f e d c b f e d c b f e d c b ό ό τητας οµοι ς ισµ µετασχηµατ -D 2-D 3-D

31 Αριθµός ΜΑΠ (Γ, Γ 2,..., Γ i, ) Αριθµός τάξεων (clsses) της οµάδας (l) Για τις διαστάσεις d j των ΜΑΠ ισχύει : l j 2 d j h Χαρακτήρες ΜΑΠ όπου h : βαθµός (order) οµάδας Περαιτέρω απλοποίηση έχουµε χρησιµοποιώντας τους χαρακτήρες των ΜΑΠ Χαρακτήρας Πίνακα Άθροισµα διαγωνίων στοιχείων Ιδιότητες : Tr(AB) Tr(BA) [ D( R ] χ ( R ) Tr ) i R D ii Απόδειξη : Tr( AB) Tr(X) Tr(Y) αν X και Y συζυγείς AB ii Aij B ji Aij B ji B ji Aij BAjj i i j Tr ( Y ) Tr( Z XZ) Tr( Z ZX ) Tr( EX ) Tr( X ) j i j i j Tr( BA) Θεώρηµα ορθοκανονικότητας : h * χ Γ (R)χ Γ (R) hδ i j ij R ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

32 Τάξεις οµάδας Πράξεις Συµµετρίας Πίνακες χαρακτήρων ΜΑΠ (Γ i ) C 4v E 2C 4 C 2 2σ v 2σ d A z z 2 z 3 A 2 R z B x 2 y 2 x(x 2 y 2 ) B 2 xy xyz E 2 2 (x,y), (xz, yz) (xz 2, yz 2 ), (Rx,Ry) [x(x 2 3y 2 ), y(3x 2 y 2 )] χαρακτήρες h(c 4v ) MAΠ Τάξεις 5 A (Σ) : µονοδιάστατες ΜΑΠ συµµετρικές ως προς C n B : µονοδιάστατες ΜΑΠ µη-συµµετρικές ως προς C n Ε (Π), T ( ) : δισδιάστατες, τρισδιάστατες ΜΑΠ, 2 : συµµετρικές / µη-συµµετρικές ΜΑΠ ως προς C 2 (ή προς σ v ) ', '' : συµµετρικές / µη-συµµετρικές ΜΑΠ ως προς σ h l j 2 d j h ,2 [(+), ( )]: συµµετρικές / µη-συµµετρικές ΜΑΠ ως προς σ v g, u : συµµετρικές / µη-συµµετρικές ΜΑΠ ως προς i ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

33 Τάξεις οµάδας Πράξεις Συµµετρίας Πίνακες χαρακτήρων ΜΑΠ (Γ i ) C 4v E 2C 4 C 2 2σ v 2σ d A z z 2 z 3 A 2 R z B x 2 y 2 x(x 2 y 2 ) B 2 xy xyz E 2 2 (x,y), (xz, yz) (xz 2, yz 2 ), (Rx,Ry) [x(x 2 3y 2 ), y(3x 2 y 2 )] χαρακτήρες h(c 4v ) MAΠ Τάξεις 5 Τι είναι τάξη Οι πράξεις Χ και Υ που συνδέονται µε µετασχηµατισµό οµοιότητας ονοµάζονται συζυγείς πράξεις (conjugte opertions). l j 2 d j h Ένα σύνολο συζυγών πράξεων µιας οµάδας αποτελεί µιά τάξη (clss) Οι πράξεις συµµετρίας που ανήκουν σε µιά τάξη αλληλοµετασχηµατίζονται από άλλες πράξεις συµµετρίας της οµάδας ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

34 Τάξεις οµάδας Πράξεις Συµµετρίας Πίνακες χαρακτήρων ΜΑΠ (Γ i ) C 4v E 2C 4 C 2 2σ v 2σ d A z z 2 z 3 A 2 R z B x 2 y 2 x(x 2 y 2 ) B 2 xy xyz E 2 2 (x,y), (xz, yz) (xz 2, yz 2 ), (Rx,Ry) [x(x 2 3y 2 ), y(3x 2 y 2 )] χαρακτήρες h(c 4v ) Έλεγχος ορθοκανονικότητας των χαρακτήρων των ΜΑΠ j 2 d j h MAΠ Τάξεις 5 l h R l * χ (R Γ l)χ i Γ R * R χ Γ (R)χ Γ (R) (Rl )Cl hδ i j j ij Όλες οι πράξεις Σύνολο πράξεων, που ανήκουν σε µία τάξη ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

35 Συµµετρία ατοµικών τροχιακών C 4v E 2C 4 C 2 2σ v 2σ d A z z 2 z 3 A 2 R z B x 2 y 2 x(x 2 y 2 ) B 2 xy xyz E 2 2 (x,y), (xz, yz) (xz 2, yz 2 ), (Rx,Ry) [x(x 2 3y 2 ), y(3x 2 y 2 )] Βάσεις Ατοµικών Τροχιακών x, y, z : αντιστοιχούν σε ατοµικά p-τροχιακά (p x, p y, p z ) z 2, x 2 -y 2 : αντιστοιχούν σε ατοµικά d- τροχιακά (d z 2, d x2-y2 ) z 3 : αντιστοιχούν σε ατοµικά f- τροχιακά Οι ΜΑΠ µετασχηµατίζονται όπως και τα αντίστοιχα ατοµικά τροχιακά υπό τις αντίστοιχες πράξεις συµµετρίας Π.χ. Το p z είναι πλήρως συµµετρικό ως προς κάθε πράξη συµµετρίας στην οµάδα C 4v εποµένως αντιστοιχεί στην ΜΑΠ Α ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27) Ε, C 4, C 2, σ d, σ v

36 Συµµετρία ατοµικών τροχιακών d 2 x y y x 2 στην οµάδα : C 4v Ε Χαρακτήρας + 9 ο y C 4 C 2 x + Ίδιοι Χαρακτήρες µε Β 8 ο Το τροχιακό d x2-y2 αποτελεί σ v σ d + βάση της ΜΑΠ Β στην οµάδα C 4v. ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

37 h l ( Γ i ) χ(r)χ Γ (R) χ(r)χ i Γi h R h R Ανάλυση ΑΠ σε ΜΑΠ Θεωρούµε τις αναγώγιµες αναπαραστάσεις ως γενικευµένα «διανύσµατα» και τους χαρακτήρες των αναπαραστάσεων ως συνιστώσες διανυσµάτων στους «άξονες» του συστήµατος αναφοράς, δηλαδή στις ΜΑΠ. Βρίσκουµε τους συντελεστές κάθε ΜΑΠ της οµάδας στην αναγώγιµη αναπαράσταση (Γ) σύµφωνα µε τα παρακάτω : (R) C R l Μικρό θεώρηµα ορθογωνιότητας α(γ i ) h l Χ(r) χ Γi (R) C l R : συντελεστής της ΜΑΠ Γ i στην αναγώγιµη αναπαράσταση : βαθµός της οµάδας : αριθµός τάξεων της οµάδας : χαρακτήρας της ΑΠ : χαρακτήρας της ΜΑΠ : διάσταση της τάξης (συντελεστής της πράξης συµµετρίας) ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

38 ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27) Ανάλυση ΑΠ σε ΜΑΠ C 2v E C 2 σ v (xy) σ v (yz) A A B - - B Γ 3 3 ( ) ( ) ( ) ) ( 3 ) ( 3 4 ) ( 4 4 ) ( 3 ) ( 3 4 ) ( ) ( ) ( ) ( () ) χ(σ () ) χ(σ 3 () ) χ( () ) χ( 3 4 ) ( 2 2 v v B B A yz xz C E A Γ 2Α + Β R R h R i C h h l l Γ Γ Γ (R) χ(r)χ (R) χ(r)χ ) ( i i

39 Ανάλυση ΑΠ σε ΜΑΠ C 3v E 2C 3 3σ v A A 2 - E 2 - Γ 2 2 h l ( Γ i ) χ(r)χ Γ (R) χ(r)χ i Γi h R h R (R) C R l ( A ) ( A2 ) χ( ) χ( ) χ(σ ) E C3 v 2 () + () (2) + 2 () (3) 6 6 ( ( ) 3) Γ 3Α + Α 2 + 4Ε ( E) ( ( ) ) 4 ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

40 Ευθύ γινόµενο (Direct product) ΜΑΠ D 3 E 2C 3 3C 2 A A 2 - E 2 - A x A A A x A2 - A2 A x E 2 - E A2 x A2 A A2 x E 2 - E E x E 4 A+A2+E Το ευθύ γινόµενο δύο ΜΑΠ είναι µία αναγώγιµη αναπαράσταση η οποία είναι δυνατό να αναχθεί σε γραµµικό συνδυασµό ΜΑΠ Η αναγώγιµη αναπαράσταση του ευθέως γινοµένου προσδιορίζεται από το γινόµενο των χαρακτήρων κάθε τάξης (πράξης συµµετρίας) ΠΡΟΣΟΧΗ! Ο βαθµός της τάξης δεν χρησιµοποιείτε στο ευθύ γινόµενο ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

41 ονήσεις πολυατοµικών µορίων Κανονικοί τρόποι δόνησης (norml modes of vibrtion) Βαθµοί ελευθερίας είναι οι 3Ν συντεταγµένες που χρειάζονται για να προσδιορίσουµε την γεωµετρία/ θέση ενός µορίου αποτελούµενου από Ν άτοµα. Μεταφορικοί Βαθµοί ελευθερίας: 3 συντεταγµένες που απαιτούνται για τον προσδιορισµό της θέσης του κέντρου µάζας του µορίου. Περιστροφικοί Βαθµοί ελευθερίας: Οι συντεταγµένες που απαιτούνται για τον προσδιορισµό της περιστροφής του µορίου (3) για µη γραµµικά µόρια και (2) για γραµµικά. ονητικοί βαθµοί ελευθερίας είναι οι 3Ν 6 ή 3Ν 5 υπόλοιπες συντεταγµένες και ουσιαστικά περιγράφουν τις δονήσεις του µορίου. Κανονικοί τρόποι δόνησης είναι εκείνοι οι δονητικοί βαθµοί ελευθερίας που πληρούν τις σχέσεις : 3N 6 3N dqi V λ q K 2 υναµική Ενέργεια i i ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27) 2 dt Κινητική Ενέργεια

42 ονήσεις πολυατοµικών µορίων Κανονικοί τρόποι δόνησης (norml modes of vibrtion) CO 2 2 O ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

43 Συµµετρία δονήσεων πολυατοµικών µορίων Κάθε κανονικός τρόπος δόνησης αντιστοιχεί σε κάποια ΜΑΠ της σηµειακής οµάδας συµµετρίας του µορίου (αποτελεί βάση της ΜΑΠ) Μέθοδος προσδιορισµού των ΜΑΠ που αντιστοιχούν στους κανονικούς τρόπους δόνησης. Προσδιορίζουµε την οµάδα συµµετρίας του µορίου 2. Για κάθε πράξη συµµετρίας προσδιορίζουµε τον αριθµό των ατόµων που παραµένουν αµετακίνητα (ΑΑ) 3. Υπολογίζουµε την αναπαράσταση Γ x,y,z 4. Πολλαπλασιάζουµε κάθε ΑΑ µε το αντίστοιχο στοιχείο του Πίνακα χαρακτήρων της σειράς Γ x,y,z 5. Αναλύουµε την παράσταση που προκύπτει (Γ totl ) στις συνιστώσες ΜΑΠ 6. Αφαιρούµε από την Γ totl τις ΜΑΠ που αποτελούν βάσεις για x, y, z, R x, R y, R z Γ vib Γ totl - Γ(x, y, z, R x, R y, R z ) 7. Οι ΜΑΠ που αποµένουν εκφράζουν τη συµµετρία των κανονικών τρόπων δόνησης ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

44 Συµµετρία δονήσεων πολυατοµικών µορίων C 2v E C 2 σ v (xz) σ v (yz) A z A R z B - - x, R y B y,r x Γ x,y,z 3 - Aκιν. Ατομα 3 3 Γ totl 9-3 ( A ) ( A ( B ( B 2 2 ) ) ) ( 9 + ( ) ) 2 4 ( 9 + ( ) + 3 ( ) + ( ) ) ( 9 + ( ) ( ) ( ) ) ( 9 + ( ) ( ) + 3 ( ) + ) 2 2 κατακ. επίπεδα y z x O σ v ' άξονας C 2 Γ totl 3Α +Α 2 +3Β +2Β 2 (3*39) σ v Αφαιρούµε τις ΜΑΠ που αντιστοιχούν στα x, y, z, Rx, Ry, Rz : Α +Α 2 +2Β +2Β 2 Γ vib 2Α +Β (3*3 63) ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

45 ονητική Φασµατοσκοπία ιπολική ροπή µετάβασης για µοριακή δόνηση r µ vib r µ '' ' ψ '' ( ˆ µ ˆ µ ψ dτ ψ µ αe ψ dτ υ υ υ ind ) '' '' ( ˆ ˆ ) υ υ υ '' + + ιεργασία απορρόφησης IR r r r µ µ µ + ( ) q +... I eq q eq ιεργασία σκέδασης Rmn α α α + ( ) q +... I eq q eq IR '' ' υ υ Rmn '' ' υ υ ψ υ '' ψ ˆ µψ υ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27) '' υ ˆ µ r r µ dτ ψ '' ( µ ψ υ eq + ( ) eq q) q r µ ( ) eq ψ '' qψ '' dτ υ υ q υ + '' ind ψ υ '' dτ ψ υ ˆ αeψ α ψ '' ( α ψ υ eq + ( ) eq q) E q α E( ) eq ψ '' qψ '' dτ υ υ q υ + '' υ υ '' '' dτ dτ Κανόνες επιλογής υ '' dτ

46 Συµµετρία δονήσεων και κανόνες επιλογής Κανόνες επιλογής φασµατοσκοπίας υπερύθρου (IR) Πιθανότητα µετάβασης : Εκτίµηση της πιθανότητας µετάβασης IR µε βάση τη µοριακή συµµετρία Ένα ολοκλήρωµα είναι διάφορο του µηδενός όταν η συνάρτηση που ολοκληρώνεται είναι άρτια δηλ. f(x)f( x). - Η συµµετρία της δονητικής κυµατοσυνάρτησης είναι αυτή των αντίστοιχων ΜΑΠ των κανονικών τρόπων δόνησης. - Η συµµετρία της διπολικής ροπής ακολουθεί τις βάσεις: x, y, z (περιττή) Μετάβαση IR έχει µη µηδενική πιθανότητα όταν στα ευθέα γινόµενα των ΜΑΠ που αντιστοιχούν στην αρχική και τελική κυµατοσυνάρτηση υπάρχει κάποια ΜΑΠ που έχει ως βάση τα x, y, z. '' ' ψ ˆ µψ Γ( υ ) Γ( x, y, z) Γ( υ ) : πλή ρως συµµετρική υ '' I υ IR ' ' υ υ '' ˆ µψ dτ '' '' Αρα : Γ( x, y, z) Γ( υ ) Γ( υ ) r µ ( q Σηµείωση: Η βασική δονητική ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ κατάσταση Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ είναι πάντα ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ πλήρως συµµετρική (Γ εξ. 27) ψ ' '' ' ) υ υ eq ψ υ '' qψ dτ Άρα για την παρατήρηση δονητικής µετάβασης (απορρόφησης στο IR) η διπολική ροπή πρέπει να µεταβάλλεται µε κάποιο κανονικό τρόπο δόνησης q υ '

47 Συµµετρία δονήσεων και κανόνες επιλογής Κανόνες επιλογής φασµατοσκοπίας Rmn Πιθανότητα µετάβασης : I Rmn ' ' υ υ ψ dτ ˆ αeψ dτ Άρα για την παρατήρηση δονητικής µετάβασης Rmn η πολωσιµότητα πρέπει να µεταβάλλεται µε κάποιο κανονικό τρόπο δόνησης q Εκτίµηση της πιθανότητας µετάβασης Rmn µε βάση τη µοριακή συµµετρία Ένα ολοκλήρωµα είναι διάφορο του µηδενός όταν η συνάρτηση που ολοκληρώνεται είναι άρτια δηλ. f(x)f( x). - Η συµµετρία της δονητικής κυµατοσυνάρτησης είναι αυτή των αντίστοιχων ΜΑΠ των κανονικών τρόπων δόνησης. - Η συµµετρία της πολωσιµότητας ακολουθεί τις βάσεις: x 2, y 2, z 2, xy, xz, yz (άρτια) Μετάβαση Rmn έχει µη µηδενική πιθανότητα όταν στα ευθέα γινόµενα των ΜΑΠ που αντιστοιχούν στην αρχική και τελική κυµατοσυνάρτηση υπάρχει κάποια ΜΑΠ που έχει ως βάση τα : x 2, y 2, z 2 '' ' '' ˆ '', xy, xz, yz. ψ αψ Γ( υ ) Γ( x, y, z...) Γ( υ ) : πλή ρως συµµετρική υ υ '' '' Αρα : Γ( x, y, z...) Γ( υ ) Γ( υ ) Σηµείωση: Η βασική δονητική κατάσταση είναι πάντα πλήρως συµµετρική υ ˆ µ ind ψ υ ψ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27) υ υ α E( q ' '' '' '' '' ) eq ψ υ '' qψ υ '' dτ

48 Συµµετρία δονήσεων πολυατοµικών µορίων ονητικές µεταβάσεις του 2 O IR, Rmn C 2v E C 2 σ v (xy) σ v (yz) A z x 2, y 2, z 2 A R z xy B - - x, R y yz B y,r x xz 2 O Γ vib 2Α +Β (3*3 63) Οι 3 κανονικοί τρόποι δόνησης του Η 2 Ο είναι ενεργοί σε µεταβάσεις IR (A z, B x) και Rmn (A x 2, y 2, z 2, B yz) b 3D-Norml Modes ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

49 Συµµετρία δονήσεων πολυατοµικών µορίων I. Συµµετρία κανονικών τρόπων δόνησης. Αναπαριστάνουµε γεωµετρικά κάθε κανονικό τρόπο δόνησης, µε βάση τη φυσική θεώρηση των µοριακών ταλαντώσεων (προφανές σε 2-ατοµικά, απλό σε 3-ατοµικά µόρια) 2. Έστω Si, ο κάθε τρόπος δόνησης. 3. εδοµένου οτι κάθε τρόπος δόνησης αποτελεί βάση της οµάδας συµµετρίας του µορίου, δηλαδή µεταβάλλεται συµφωνα µε µια ΜΑΠ, Γi, θα ισχύει η ορθοκανονικόταητα. h Rˆ δ i R ( χ (R)S ) Γ j ijsj 4. Πρακτικά, για κάθε ΜΑΠ Γi, εφαρµόζουµε τις πράξεις της οµάδας στον τρόπο δόνησης, πολλαπλασιασµένο µε τον αντίστοιχο χαρακτήρα. Το αποτέλεσµα είναι είτε Si (ο τρόπος δόνησης µεταβάλλεται όπως η Γi ) ή. είτε εδώ για λυµένα παραδείγµατα ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

50 Συµµετρία δονήσεων πολυατοµικών µορίων I. Συµµετρία κανονικών τρόπων δόνησης C 2v E C 2 σ v (xz) σ v (yz) A z A R z B - - x, R y B y,r x Α Κατ αναλογία µε τις δονήσεις τάσης συνάγεται οτι η δόνηση κάµψης είναι συµµετρίας Α Α Β S sym : symmetric stretch Eˆ Eˆ ( χ A ( E) Ssym ) + Cˆ ( A C Ssym ) + ˆv ( ˆ A v Ssym ) + ˆv ( ˆ 2 χ ( ) σ χ ( σ ) σ χ A ( σ v ) Ssym ) Ssym 2 ( χ ( E) S ) + Cˆ ( χ ( C ) S ) + ˆ σ ( χ ( ˆ σ ) S ) + ˆ σ ( χ ( ˆ σ ) S ) B sym v B v sym v B v Eˆ sym 2 B 2 S sym S s : symmetric stretch S sym + ( χ B ( E) Ss ) + Cˆ ( B C Ss ) + ˆv ( ˆ B v Ss ) + ˆv ( ˆ 2 χ ( ) σ χ ( σ ) σ χ B ( σ v ) Ss ) Ss 2 S sym _ S sym sym ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

51 Συµµετρία δονήσεων πολυατοµικών µορίων II. Συµµετρία και γεωµετρική απεικόνιση κανονικών τρόπων δόνησης. ιάκριση µοριακών δονήσεων σε τάσεις δεσµών (bond stretch) και κάµψεις (bond bending) (εντός και εκτός επιπέδου) 2. Προσδιορίζουµε Γ stretch και Γ bend. 3. Προφανώς ισχύει : Γ vib Γ stretch + Γ bend 4. Για τον προσδιορισµό γεωµετρίας αναπαριστάνουµε την τάση δεσµού (κάθε διαφορετικού δεσµού) ως s i και την κάµψη δεσµών ως φ i. 5. Ισχύει : S( Γi ) Rˆ Γi h R ( χ (R) s ) k 6. Πρακτικά, για κάθε ΜΑΠ Γi, της Γ stretch εφαρµόζουµε τις πράξεις της οµάδας στο s i πολλαπλασιασµένο µε τον αντίστοιχο χαρακτήρα. Το αποτέλεσµα είναι η διανυσµατικήγεωµετρική απεικόνιση της δόνησης συµµετρίας Γ i. 7. Επαναλαµβάνουµε µε τον ίδιο τρόπο τη διαδικασία για τις δονήσεις κάµψης (Προσοχή στην καθαρή περιστροφή). ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

52 Συµµετρία δονήσεων πολυατοµικών µορίων II. Συµµετρία και γεωµετρική απεικόνιση κανονικών τρόπων δόνησης α. ιάκριση ταλαντώσεων τάσης και κάµψης C 2v E C 2 σ v (xz) σ v (yz) A z A R z B - - x, R y O B y,r x Γstretch 2 2 Γbend Γ bend ( ) Α Γ stretch (2 2 ) A +Β Άσκηση Να προσδιορίσετε τη συµµετρία των τρόπων δόνησης Γ vib, Γ stretch και Γ bend για τα µόρια φορµαλδεϋδη, BCl 3. και cis- και trns-ν 2 F 2. Ποιοί τρόποι ταλάντωσης είναι ενεργοί στη φασµατοσκοπία IR και Rmn? Γ vib (3 3 ) 2A +Β ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

53 Συµµετρία δονήσεων πολυατοµικών µορίων II. Συµµετρία και γεωµετρική απεικόνιση κανονικών τρόπων δόνησης β. ιανυσµατική-γεωµετρική απεικόνιση C 2v E C 2 σ v (xz) σ v (yz) A z A R z B - - x, R y r O r 2 B y,r x S( Γi ) Rˆ Γi h R ( χ (R) s ) k Γ bend ( ) Α Γ stretch (2 2 ) A +Β Γ vib (3 3 ) 2A +Β O O O O O S(B ) S s S(B ) r - r 2 S s ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)

54 Συµµετρία δονήσεων πολυατοµικών µορίων II. Συµµετρία και γεωµετρική απεικόνιση κανονικών τρόπων δόνησης β. ιανυσµατική-γεωµετρική απεικόνιση Α Α Β ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 27)