1.i) 1.ii) v 2. v 1 = (2) (1) + ( 2) ( 1) + (-2) (2) + (0) (-4) v 3. Βρίσκουµε πρώτα µία ορθογώνια βάση: u 1. . u 1 u. u 2

Transcript

1 Τηλ: 979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη..i) v v () () + ( ) ( ) + (-) () + () (-) > v, v, είναι κάθετα µεταξύ τους, δηλ. σχηµατίζουν "ορθή γωνία" στον χώρο R 4 v v () () + ( ) ( ) + (-) () + () (-4) > v, v, είναι κάθετα µεταξύ τους, δηλ. σχηµατίζουν "ορθή γωνία" στον χώρο R 4.ii) Βρίσκουµε πρώτα µία ορθογώνια βάση: u [,, -, ] u v v. u u u. u > u {[,,, -] () () + ( ) ( ) + () (-) + (-) () () + ( ) + (-) (-) + () () [,, -, ]

2 > u {[,,, -] [ ] [,, -, ] > u [,,, - ] v u v. u u u. u v. u u u. u > u {[,,, -4] () () + ( ) + () () + (-4) (-) () + ( ) + () () + (-) (-) () () + ( ) ( ) + () (-) + (-4) () () + ( ) + (-) (-) + () () [,,, - ] [,, -, ] > 7 u {[,,, -4] [ ] [,, -, ] [,,, -] > u, ,, και κατόπιν την κάνουµε κανονική διαιρώντας κάθε διάνυσµα µε το µέτρο του: u e u >

3 u e + + (-) > u e > u e [ ] > e u > e,,, u e u > u e + (- ) > u e >

4 u e [ ] > e u > e,,, u e u > u e > u e 7 > u e > 4

5 e 7 u > e, 4,, 7.iii) Το άθροισµα της διάστασης του W µε την διάσταση του ορθογώνιου συµπληρώµατός του W _ _ είναι ίσο µε την διάσταση του R 4, δηλ. µε 4, άρα η διάσταση του W _ _ είναι. Εποµένως αρκεί να βρούµε ένα διάνυσµα U κάθετο στα v, v, v Έστω U [ x, y, z, w ] U. v U. v U. v <> x+ y z y+ z w x+ y+ z 4 w Γ <--> Γ <> x+ y+ z 4 w y+ z w x+ y z

6 Γ ---> Γ + { Γ <> x+ y+ z 4 w y+ z w z+ 8 w <> x+ y+ z 4 w y+ z w z+ 8 w Γ ---> Γ + { Γ <> x+ z w y+ z w z+ 8 w Γ ---> { Γ <> x+ z w y+ z w

7 z 4 w Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ <> w x w y+ 4 w z <> x w y w z 4 w w w R Άρα µία βάση βρίσκουµε θέτοντας π.χ. w και είναι: U [, -, 4, ] ιαιρώντας µε το µέτρο του U βρίσκουµε την ορθοκανονική βάση: u U [ ] 7

8 u,,, 4.iv) Αρκεί να πάρουµε το άθροισµα των προβολών πάνω στα διανύσµατα της ορθοκανονικής βάσης του W, δηλ.: ( v. e ) e + ( v. e ) e + ( v. e ) e e + e e {,,, {,,, {, 4 +,, {,,, + + {, - -,, {,,, ,,, 7 Το ίδιο και στο ορθογώνιο συµπλήρωµα W _ _ ( v. u ) u u -,,, 7 Παρατηρούµε ότι το άθροισµα των ορθογωνίων προβολών µας δίνει το v: 8

9 {,,, + {,,, [, -,, ] maths@maths.gr, Τηλ: 979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη..i) A -, A T Παρατηρούµε ότι: A A T () ( ) + () ( ) () (- ) + () ( ) + () ( ) () (4 ) + () (-4 ) (-) ( ) + () ( ) + () ( ) (-) (- ) + () ( ) + () ( ) (-) (4 ) + () (-4 ) + () (4 ) (4) ( ) + (-4) ( ) (4) (- ) + (-4) ( ) + (4) ( ) (4) (4 ) + (-4) (-4 ) 8 48 A T A () ( ) + (-) (- ) + (4) (4 ) () ( ) + (-) ( ) + (4) (-4 ) () ( ) + (-) ( ) + (4) (4 ) () ( ) + () (- ) + (-4) (4 ) () ( ) + () ( ) + (-4) (-4 ) () ( ) + () ( ) + (-4) (4 ) () ( ) + () (- ) + (4) (4 ) () ( ) + () ( ) + (4) (-4 ) () ( ) + () ( ) + (4) (4 )

10 άρα ο Α δεν είναι ορθογώνιος.i) ιαιρούµε κάθε διάνυσµα γραµµή µε το µέτρο του κι έχουµε: R R R,,,, 8 8 4,, και έχουµε τον πίνακα: B B B T

11 B T B άρα ο B είναι ορθογώνιος Επίσης ο Β µετά από απλοποιήσεις ριζικών γράφεται: B

12 .iii) Από τη στιγµή που ο πίνακας Β είναι ορθογώνιος τα διανύσµατα στήλες αυτού είναι µια ορθοκανονική βάση του χώρου R Τα διανύσµατα που παράγουν τον V είναι οι πρώτες στήλες του Α, εποµένως µία ορθοκανονική βάση του V είναι οι πρώτες στήλες του Β. Επίσης ο χώρος R γράφεται ως ευθύ άθροισµα του V και του V _ _ άρα για το y αρκεί να βρω την προβολή του x πάνω στις πρώτες στήλες του Β και για το w αρκεί να βρω την προβολή του x πάνω στην η στήλη του Β Η προβολή του x πάνω στον V είναι: y + ( x. B ) B ( x. B ) B + B + B + + +

13 > y Η προβολή του x πάνω στον V _ _ w ( x. B ) B + B >

14 w Παρατηρούµε ότι πράγµατι: y+ w x 4 - όπως και αναµενότανε. maths@maths.gr, Τηλ: 979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη..i) () Έστω κι ένα τρίτο διάνυσµα z [ z, z, z ] (a x + b y) o z ( a [ x, x, x ] + b [ y, y, y ] ) o [ z, z, z ] [ y b+ x a, y b+ x a, y b+ x a ] o [ z, z, z ] ( y b+ x a ) z + ( y b+ x a ) z + ( y b+ x a ) z + ( y b+ x a) z + ( y b+ x a) z (a x + b y) o z z y b+ z x a+ z y b+ z x a+ z y b+ z x a+ z y b + z x a+ z y b+ z x a ( a ) (a x) o z [ x a, x a, x a ] o [ z, z, z ] (a x) o z z x a+ z x a+ z x a+ z x a+ z x a 4

15 ( b ) (b y) o z [ y b, y b, y b ] o [ z, z, z ] (b y) o z z y b+ z y b+ z y b+ z y b+ z y b ( c ) Από (a), (b), (c) έχουµε ότι: (a x) o z + (b y) o z z y b+ z x a+ z y b+ z x a+ z y b+ z x a+ z y b + z x a+ z y b+ z x a > (a x + b y) o z (a x) o z + (b y) o z () x o y x y + x y + x y + x y + x y y o x x y + x y + x y + x y + x y > x o y y o x () Έστω το διάνυσµα x [ x, y, z ] x o x x + 4 y x+ y + z + x y x y z

16 x y y y + x { + + y + z y y x+ + y + z y y x+ + + z y y x+ z το οποίο είναι µεγαλύτερο ή ίσο του µηδενός ως άθροισµα τετραγώνων. (4) x o x <> x + 4 y x+ y + z <> x+ y y + + z <> y x+ y z <> x

17 y z <> x [,, ] Άρα ικανοποιούνται τα αξιώµατα του εσωτερικού γινοµένου και η δοθείσα απικόνιση ορίζει εσωτερικό γινόµενο..ii) Τα στοιχεία του πίνακα του εσωτερικού γινοµένου είναι: a ij e i o e j όπου e i, i,, τα µοναδιαία διανύσµατα του R e [,, ], e [,, ], a e [,, ], e [,, ], a e [,, ], e [,, ], a e [,, ], e [,, ], a e [,, ], e [,, ], a e [,, ], e [,, ], a e [,, ], e [,, ], a e [,, ], e [,, ], a e [,, ], e [,, ], a + + > a a 7

18 a a a a a a a > A Παρατηρούµε ότι ο πίνακας είναι αυστηρά διαγώνια υπέρτερος δηλ. κάθε στοιχείο της διαγωνίου είναι µεγαλύτερο από τα υπόλοιπα στοιχεία στην γραµµή που βρίσκεται άρα ο πίνακας είναι θετικά ορισµένος. maths@maths.gr, Τηλ: 979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη. 4.i) Καταρχήν παρατηρούµε ότι: f (,, ) [, ] Έστω u x x x, x άρα f(u) + x + x x x + 4 x Επίσης v y y y, y και f(v) + y + y y y + 4 y 8

19 Εποµένως λ.u+µ.v λ x + µ y λ x + µ y λ x + µ y λ x f(λ.u+µ.v) + µ y + λ x + µ y + λ x + µ y λx + µy λx µ y + 4λx + 4µy λ ( x λ.f(u)+µ.f(v) + x + x ) + µ ( y + y + y ) λ ( x x + 4 x ) + µ ( y y + 4 y ) λ x λ.f(u)+µ.f(v) + µ y + λ x + µ y + λ x + µ y λx + µy λx µy + 4λx + 4µy > f(λ.u+µ.v) λ.f(u)+µ.f(v) > η f είναι γραµµική 4.ii) f x y z x+ y+ z x y+ 4 z x y z { + { + { x y 4 z { x + + { y - { z 4 Τα διανύσµατα,,, - 4 παράγουν τον χώρο της εικόνας του f. Όµως ο πίνακας µε στήλες αυτά γράφεται ισοδύναµα: - 4 9

20 ~ - 4 Γ ---> Γ + { Γ ~ - Γ ---> { Γ ~ - Γ ---> Γ + { Γ ~ 7 - Βλέπουµε ότι τα δύο πρώτα διανύσµατα στήλες αποτελούν µία βάση του χώρου εκόνας του f, δηλ.:

21 Imf {, - > dimimf 4.iii) > f x y z <> x+ y+ z x y+ 4 z <> <> x+ y+ z x y+ 4 z Γ ---> Γ + { Γ <> x+ y+ z y+ z

22 Γ ---> { Γ <> x+ y+ z z y Γ ---> Γ + { Γ <> x+ y 7 z z x 7 z z y z z R <> x y z 7 z z z

23 { z -7 Άρα µία βάση του kerf είναι: kerf -7 > dimkerf 4.iv) εν υπάρχει ο αντίστροφος µετασχηµατισµός γιατί ο πυρήνας δεν είναι το µηδενικό διάνυσµα. 4.v) Τα στοιχεία του πίνακα ως προς τις κανονικές βάσεις βρίσκονται παίρνοντας τις εικόνες των διανυσµάτων της κανονικής βάσης του R και εκφράζοντάς τις ως γραµµικό συνδυασµό των διανυσµάτων της κανονικής βάσης του R e [,, ], f( e ) [, ], f( e ) () e + () e e [,, ], f( e ) [, -], f( e ) () e + (-) e e [,, ], f( e ) [, 4 ], f( e ) () e + (4) e ( ) Ο πίνακας θα έχει σαν η στήλη τις συντεταγµένες του f e ως προς τα e, e, του R, κ.ο.κ. για τις επόµενες στήλες, δηλ:

24 A maths@maths.gr, Τηλ: 979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη..i) Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε στήλες τα, u, u, u - ~ - Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ ~ Γ ---> { Γ ~ 4

25 - - Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ ~ - Γ ---> { Γ ~ Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ ~

26 άρα τα διανύσµατα στήλες είναι µία βάση του R.ii) Τα στοιχεία του πίνακα αναπαράστασης ως προς την βάση S βρίσκονται παίρνοντας τις εικόνες των διανυσµάτων της βάσης S και εκφράζοντάς τις ως γραµµικό συνδυασµό των διανυσµάτων της βάσης S u [,, ], f( u ) [,, 4 ] u [, -, ], f( u ) [, -, ] u [,, ], f( u ) [, -, ] Πρέπει λοιπόν να εκφράσουµε το τυχόν διάνυσµα (x,y,z) ως προς την βάση S [ x, y, z ] λ u + λ u + λ u <> x y z λ + λ + λ λ λ λ + λ + λ <> <> λ + λ + λ x

27 λ λ y λ + λ + λ z Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ <> λ + λ + λ x λ λ y x λ λ z x Γ ---> { Γ <> λ + λ + λ x λ + λ y x + λ λ z x Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ <> λ + λ x y + λ + λ y x + 7

28 λ x z y Γ ---> { Γ <> λ + λ x y + λ + λ y x + z x λ + + y Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ <> x z λ + λ y x+ z z x λ + + y Άρα τώρα έχουµε: u [,, ], f( u ) [,, 4 ], f( u ) + u u 8

29 u [, -, ], f( u ) [, -, ], f( u ) u + u u u [,, ], f( u ) [, -, ], f( u ) + u u u ( ) Ο πίνακας θα έχει σαν η στήλη τις συντεταγµένες του f u ως προς τα u, u, u, του S κ.ο.κ. για τις επόµενες στήλες, δηλ: A - - Τα στοιχεία του πίνακα αναπαράστασης ως προς την βάση S βρίσκονται παίρνοντας τις εικόνες των διανυσµάτων της βάσης S και εκφράζοντάς τις ως γραµµικό συνδυασµό των διανυσµάτων της βάσης S e [,, ], f( e ) [,, ], f( e ) () e + () e + () e e [,, ], f( e ) [,, ], f( e ) () e + () e + () e e [,, ], f( e ) [, -, ], f( e ) () e + (-) e + () e ( ) Ο πίνακας θα έχει σαν η στήλη τις συντεταγµένες του f e ως προς τα e, e, e, του R, κ.ο.κ. για τις επόµενες στήλες, δηλ: B -.iii) Οι πίνακες Α, Β είναι όµοιοι γιατί αντιπροσωπεύουν 9

30 τον ίδιο γραµµικό µετασχηµατισµό ως προς διαφορετικές βάσεις του R Αν έχουµε µία απεικόνιση f : V --> W και δύο βάσεις (α,α ) του V και (β,β ) του W και εάν: A (f : α, β) είναι ο πίνακας της f ώς προς τις βάσεις (α,β) Β (f : α, β ) είναι ο πίνακας της f ώς προς τις βάσεις (α,β ) τότε ισχύει: ( W : β, β ) A ( V : α, α) Β ( ) µε ( W : β, β ) τον πίνακα αναπαράστασης της ταυτοτικής απεικόνισης από το W στο W ως προς τις βάσεις β, β και ( V : α, α) τον πίνακα αναπαράστασης της ταυτοτικής απεικόνισης από το V στο V ως προς τις βάσεις α, α Στην προκειµένη περίπτωση έχουµε V W R α S, β S α S e, β S e όπου e η κανονική βάση του R Aν θέσουµε Q ( V : α, α) (, R : e S ) κι αν θέσουµε P ( W : β, β ) ( : S, e ) R ( : e, S ) - R > P Q -

31 τότε η σχέση () γίνεται: Q - A Q B δηλαδή ο πίνακας οµοιότητας είναι ο Q (, R : e S ) ο οποίος είναι ο πίνακας αλλαγής βάσης από την κανονική στην S Όταν στο ερώτηµα i) βρήκαµε την αναπαράσταση τυχόντος διανύσµατος (x,y,z) του R, ως προς την βάση S, βρήκαµε ότι: [ x, y, z ] λ u + λ u + λ u <> x z λ + λ y x+ z z x λ + + y <> λ λ λ , x y z <> [ X] Q [ ] S X e εποµένως ο πίνακας αλλαγής βάσης είναι ο:

32 Q ο οποίος είναι και ο πίνακας οµοιότητας των Α,Β. maths@maths.gr, Τηλ: 979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη..i) A A I A ( I A ) ( I A ) ii) Παρατηρούµε ότι: - - det - 4 () det + 4 (-) det (-) det

33 () (- ) (-) (- ) + (-) (- ) > ο πίνακας δεν είναι αντιστρέψιµος. Από την στιγµή που ο Α είναι ταυτοδύναµος έπεται ότι: A 8 A Γ Γ ---> { ~ Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ ~

34 Γ Γ ---> { ~ Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ ~ - > βαθµ ( A 8 ) Επίσης και ο Ι - Α είναι ταυτοδύναµος άρα: ( I A) 8 I A Γ ---> { Γ 4

35 ~ Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ ~ - - > βαθµ ( ( I A) 8 ) tr( A ) () + (4) + (-4) - det - - (-) det () det - () det (-) ( ) () ( ) + () ( ).iii) Εύρεση ιδιοτιµών:

36 λ - - det ( A λι) det - 4 λ - 4 λ ( λ ) det + 4 λ det - 4 λ - det 4 λ - 4 λ - ( λ ) ( + λ ) + ( + λ ) ( + λ ) ( λ ) ( + λ ) ( + λ ) λ ( + λ ) <> λ λ λ Εύρεση ιδιοδιανυσµάτων: Για την ιδιοτιµή λ ( A λι) X O <> x y z x+ 4 y+ z x y 4 z <> x y z x+ 4 y+ z x y 4 z

37 Γ <--> Γ <> x y 4 z x+ 4 y+ z x y z Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ <> x y 4 z y+ z y+ z <> x y 4 z y+ z y+ z Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ <> x z y+ z 7

38 <> x z + y z <> x z y z z z Εποµένως: x y z z z z { z - u - Για την ιδιοτιµή λ ( ) A λι X O <> x y z + + x y z x y z 8

39 <> x y z x+ y+ z x y z Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ <> x y z <> x y z <> x y z <> x y+ z y y z z 9

40 Εποµένως: x y z + y z y z + { y { z u u Άρα ο πίνακας διαγωνοποιείται και ο αντιστρέψιµος πίνακας P είναι: P - Βρίσκουµε τον αντίστροφό του: [ P I ] - - ~ - 4

41 Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ ~ Γ Γ ---> { 4 ~ Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ ~ Γ ---> { 4Γ ~ 4

42 Γ ---> Γ + { 4 Γ Γ ---> Γ + { 4 Γ ~ δηλαδή: P και πράγµατι επαληθεύουµε ότι: P - A P - A P D 4

43 λ λ λ Εποµένως βρίσκουµε ότι: P - A P D > P P - A P P D > A P P D > A P P - P D P - > A P D P -.iv) Από την στιγµή που ο Α είναι ταυτοδύναµος έπεται ότι A A A 7 A 4 A A A 4