CÂMPUL ELECTROMAGNETIC CVASISTAŢIONAR ÎN CONDUCTOARE MASIVE

Transcript

1 6 CÂMPUL ELECTROMAGNETC CVASSTAŢONAR ÎN CONDUCTOARE MASVE 6.. ECUAŢLE CÂMPULU ELECTROMAGNETC CVASSTAŢONAR ÎN CONDUCTOARE MASVE MOBLE În mdl conductor mobl, cuţl câmpulu lctromgntc s obţn scrnd lgl gnrl ş d mtrl în următorl potz smplfctor:. potz rlţ rpd srcn lctrc constă dn ngljr, în conductor, dnstăţ d volum srcn lctrc, ρ v. (6.) Într-dvăr, înlocund în cuţ d consrvr srcn lctrc (5.) dnstt d curnt J cu prs dn lg conducţ lctrc pntru md lnr, zotrop ş omogn (5.) ş ţnând sm d rlţ (5.6), s obţn: su Soluţ cuţ (6.3) st: ρv dvj dvd ρv, (6.) ε ε t ρ t v ρ ε v. (6.3) v t τr () t ρ ( t ) ρ, (6.4) und ρ v (t ) st vlor dnstăţ d volum srcn lctrc l momntul t, r ε mărm τ r vând dmnsun tmpulu st numtă constntă d rlţ. Conductvtt mtllor fnd d ordnul 6 Ω - m - ş ε ε /36π 9 F/m, constnt d rlţ r vlor v 7 τ r s. (6.5) π

2 66 În mtl, după un tmp gl cu (3 4)τ r, dnstt d volum srcn lctrc pot f consdrtă nulă. Srcn lctrcă dusă într-un punct dn ntrorul unu conductor s rprtzză prctc nstntnu l suprfţ cstu. Dorc în mjortt plcţlor frcvnţl nu dpăşsc z, rlţ (6.) st stsfăcută în czul conductorlor mtlc în orc rgm. Rlţ (6.4) consttu torm rlţ srcn lctrc. b. potz ngljăr dnstăţ curntulu d dplsr J D D/ t în rport cu dnstt curntulu d conducţ JE, în lg crcutulu mgntc: E ε E (6.6) t L o vrţ snusodlă în tmp câmpulu lctrc E(t) E m snωt, în cr ωπf st pulsţ ş f - frcvnţ, mpltudnl dnstăţlor d curnt fnd J D εωe m, J m E m, condţ (6.6) prsupun ω /ε rspctv, τ r < ω, (6.7) Dorc pntru mtl τ r st d ordnul -7 s, rzultă că l frcvnţ f < 7 z, dnstt curntulu d dplsr în conductor st ngljblă în rport cu dnstt curntulu d conducţ. Dorc în thncă, frcvnţl utlzt nu dpăşsc - z, promţ rgmulu cvsstţonr st în gnrl stsfăcută. c. potz polrzăr nul mtllor. Dtortă polrzţ P trm d mc mtllor, cst s pot nglj, P (6.8) ş nducţ lctrcă în mtl st D ε E. Dn cst motv, în conductor st sufcnt să s dtrmn E, nducţ lctrcă D fnd ngljblă. Conductorl s consdră mobl, lnr, omogn dn punct d vdr fzc ş chmc (E ) ş zotrop. Ecuţl lglor gnrl ş d mtrl în potzl rgmulu cvsstţonr sunt următorl: lg fluulu mgntc, lg fluulu lctrc, dv B ; dv ; (6.9) dv D ; dve ; (6.) lg consrvăr srcn lctrc dv J ; (6.) lg dpndnţ dntr nducţ ş ntnstt în câmp mgntc, B μ; (6.)

3 lg conducţ lctrc 67 J E; (6.3) lg nducţ lctromgntc, lg crcutulu mgntc, rote μ ; (6.4) t rot E ; (6.5) lg nducţ lctromgntc în funcţ d potnţll lctrodnmc A E t grdv. (6.6) Dorc în cst cuţ ntrvn num drvt prţl d ordnul, s numsc cuţ d prmul ordn l câmpulu lctromgntc cvsstţonr în md mobl. El lcătusc un sstm complt d cuţ ş unctt soluţlor rzultă prn prtculrzr pntru rgmul cvsstţonr torm d unctt în rgm vrbl. Dn cuţl d prmul ordn, în cr ntnstăţl ş nducţl câmpurlor lctrc ş mgntc nu ntrvn sprt, s dduc cuţl p cr l stsfc fcr dntr cst mărm. Dorc în cst cuţ ntrvn ş drvt prţl d ordnul l dol, l s numsc cuţ d ordnul l dol l câmpulu lctromgntc cvsstţonr în md mobl. Ecuţ d ordnul do p cr o stsfc E s obţn luând rotorul mblor mmbr cuţ (6.4): rot rote grd dve E μ rot. (6.7) t Ţnând sm d rlţl (6.) ş (6.5), rzultă: su E E μ, (6.8) t E rot rote μ. (6.9) t Multplcând cuţl (6.8, 6.9) cu ş ţnând sm d rlţ (6.3), s obţn cuţ d ordnul do p cr o stsfc dnstt d curnt J: J J μ ; t J rot rotj μ. (6.) t

4 68 Dcă s rotorul mblor mmbr cuţ (6.5) ş s ţn sm d rlţl (6.9, 6.4), s obţn cuţ d ordnul do ntnstăţ câmpulu mgntc: μ ; t rot rot μ. (6.) t Dcă s multplcă mb mmbr cuţlor (6.) cu μ, s dduc cuţ d ordnul do p cr o stsfc nducţ mgntcă: B B μ ; t B rot rotb μ. (6.) t Rzultă că ntnstăţl ş nducţl câmpurlor lctrc ş mgntc, rspctv dnstt d curnt, stsfc cuţ cu drvt prţl d ordnul do d tp prbolc, numtă cuţ dfuz. Fctorul G G μ t G ; η t G G rot rotg μ (6.3) t η t η (6.4) μ s numşt dfuzvtt mgntcă. Dtortă nlog forml p cr o przntă cuţl (6.3) cu cuţl cr dscru fnomnl d dfuz, pătrundr câmpulu lctromgntc cvsstţonr în conductor s m numşt dfuz câmpulu lctromgntc. Ecuţl d tpul (6.3) nu s ntgrză ndpndnt un d lt, dorc soluţl lor sunt lgt prn cuţl d prmul ordn. Pntru rzolvr un problm d câmp lctromgntc s rzolvă un dn cuţl d ordnul do, r clllt mărm s dtrmnă dn cuţl d prmul ordn. P suprfţl d dscontnutt trbu mpus condţl: BBn B n ; D n D n ; J n J n ; E t E t ; t t. (6.5) Prn ntroducr funcţlor ulr A ş V, cuţl d câmp s rduc c număr ş s pot ntgr m smplu. Astfl, înlocund în cuţ (6.5) B/μ, E J/ ş dorc B rota, s obţn: rot rota μj, (6.6) su grd dva A μj. (6.7) Ţnând sm d condţ d tlonr d tp Coulomb (4.9),

5 69 dv A, (6.8) cuţ (6.7) dvn: A μj. (6.9) Prn urmr, potnţlul mgntc vctor A stsfc în conductor o cuţ d tp Posson (6.9) ş în trorul cstor (J ) o cuţ d tp Lplc, Dcă s ţn sm d rlţ (6.6), s obţn: ş înlocund în rlţ (6.7), rzultă: A. (6.3) A J E grdv (6.3) t A grd dva A μ + grdv. (6.3) t mpunând condţ dv A + μv, cuţ (6.3) r form cuţ dfuz (6.3), A A μ. (6.33) t În rgm rmonc prmnnt, ntnstăţl ş nducţl câmpulu lctrc ş mgntc, dnstt curntulu lctrc ş potnţlul vctor sunt funcţ d punct ş snusodl în tmp: ( P, t) F m( P) sn[ ωt + k ( P) F u, (6.34) 3 k K ] în cr F st E,, B, J su A. Ampltudnl F Km (P) ş dfzjl nţl k (P) sunt num funcţ d punct, r u k sunt vrsor sstmulu d coordont. Fcr dntr componntl F k l vctorulu F, funcţ snusodl d tmp, F ( P, t) FK m( P) sn[ ωt + k ( P) ] uk (6.35) pot f rprzntt în compl nsmplfct su smplfct, după rgull stblt l tor crcutlor lctrc. Conform rgul d rprzntr în compl smplfct un funcţ sclr snusodl (t), Xm j () t Xm sn( ωt + ) X, (6.36) k

6 7 s obţn următor rprzntr în compl smplfct componnt F k, numtă mgn în compl smplfct F k, F k ( P, t) F ( P) sn[ ωt + ( P) Funcţ orgnl s dtrmnă cu rlţ: ( P) j ( P) k m k K m k ] Fk. (6.37) F k ( ) { } j ω P, t m F t k F. (6.38) Cu cstă rprzntr, vctorulu snusodl în tmp F(P,t) î corspund mgn în compl smplfct, r vctorul orgnl s dtrmnă cu rlţ: F ( ) 3 3 k m j k F P Fkuk uk, (6.39) k k 3 jωt F ( P, t) m F k uk. (6.4) k Produsulu sclr FG do vctor snusodl în tmp F(P,t) ş G(P,t) î corspund produsul sclr (mărm complă) l mgn în compl vctorulu F prn mgn compl conjugtă vctorulu G*, F G F G *. (6.4) Produsulu vctorl F G î corspund produsul vctorl l mgn în compl vctorulu F prn mgn compl conjugtă vctorulu G*, F G F G *. (6.4) Cu rgull d rprzntr în compl (6.4, 6.4, 6.4), l cr s dugă d rgul d rprzntr oprtorulu d drvr, jω, s obţn forml în dt compl l cuţlor d prmul ordn l câmpulu lctromgntc cvsstţonr rmonc prmnnt: dv B ; dv ; (6.43) dv E ; (6.44) dv J ; (6.45) B μ ; (6.46) J E ; (6.47) rot E jωμ ; (6.48)

7 Ecuţ dfuz (6.3) î corspund form în compl: und, 7 rot J ; (6.49) rote jωa grdv. (6.5) G jωμ G G; rot rot G G, (6.5) ωμ jωμ; ( + j) α; α. (6.5) În rlţl (6.5), s numşt constntă d propgr, r α - constntă d tnur. Ecuţl (6.5) sunt cuţ d tp lmholtz. 6.. NTEGRALA DE ENERGE A CÂMPULU ELECTROMAGNETC CVASSTAŢONAR. PUTER ÎN REGM ARMONC PERMANENT C urmr ngljăr curntulu d dplsr, dnstt d volum nrg lctrc w rzultă mult m mcă dcât dnstt d volum nrg mgntc w m ş cuţ (5.67) dvn: t dt ( ) n da dt E J dv + Σ vσ S vσ t E db dv. (6.53) Rlţ (6.53) rprzntă ntgrl d nrg câmpulu lctromgntc cvsstţonr. L fl c în rgm nstţonr, cu cstă rlţ s dmonstrză torm d unctt în rgm cvsstţonr: ntnstăţl câmpurlor lctrc E(P,t) ş mgntc (P,t) într-un punct P l momntul t sunt unc dtrmnt d vlorl lor nţl E(P,), (P,) ş d componnt tngnţlă, f câmpulu lctrc E t (P Σ,t), f câmpulu mgntc t (P Σ,t), p suprfţ d frontră Σ. În md lnr, putr lctromgntcă st: ( ) n da E J dv + Σ d B E dv. (6.54) dt vσ Cu rgul d rprzntr în compl produsulu vctorl, s dfnşt vctorul compl Poyntng S : vσ S E * (6.55) ş cu rgul d rprzntr produsulu sclr, s dfnşt dnstt d volum putr dzvoltt prn fct lctroclorc:

8 7 p j J E J* EE* E ρj * ρj. (6.56) Pntru drvt în rport cu tmpul dnstăţ d volum nrg mgntc w m B s dduc mărm mgnră dw dt m jω * B ωμ. (6.57) Ţnând sm d rlţl ( ), prs putr lctromgntc (6.54) dvn: * * E n da Sn da p dv + jω B dv (6.58) und: Σ ( ) j Σ vσ * ( ) n da Σ j Σ P E Sn da (6.59) st putr complă trnsmsă suprfţ închs Σ; P R Σ * ( ) n da p j dv vσ E ρ J dv (6.6) rprzntă putr ctvă dzvolttă în conductorl flt în ntrorul suprfţ închs Σ; Q m * ( ) n da ωμ Σ VΣ vσ E dv (6.6) st putr rctvă dzvolttă în conductorl flt în ntrorul suprfţ Σ. vσ 6.3. DFUZA CÂMPULU ELECTROMAGNETC CVASSTAŢONAR ARMONC PERMANENT ÎN SEMSPAŢUL CONDUCTOR S consdră conductorul d prmbltt μ ş conductvtt constnt, ocupând smspţul > (fg. 6.). S lg un sstm d coordont cu O normlă p suprfţ conductorulu. În dlctrcul cr ocupă smspţul < s stblşt dn tror un câmp mgntc unform, tngnţl l suprfţ conductorulu ş snusodl în tmp d pulsţ ω, vând mgn în compl: m sn ωt u (6.6) y

9 73 m. (6.63) Dtortă tns nfnt conductorulu ş unformtăţ câmpulu mgntc nductorc în dlctrc, ntnstăţl câmpurlor lctrc E, ş mgntc, rspctv dnstt d curnt în conductor J, sunt funcţ num d ş t: z O Fg. 6. J( ) ( ) y E E(,t); (,t); JJ(,t). (6.64) Dtortă contnutăţ componntlor tngnţl l ntnstăţ câmpulu mgntc l suprfţ conductorulu, câmpul mgntc în ntrorul cstu st orntt după Oy ş r mgn în compl u. Ecuţ lu lmholtz pntru câmpul mgntc (6.5) st: y rspctv,, (6.65) Soluţ cuţ (6.66) r form următor: d. (6.66) d ( + j) α ( + j) α A + B A + B, (6.67) und A ş B sunt constnt compl d ntgrr, r ş α u prsl (6.5). Trmnul B (+j)α crşt l nfnt odtă cu ş dorc câmpul mgntc plct l suprfţ conductorulu st fnt, rzultă B. Constnt A s dtrmnă dn condţ d contnutt componntlor tngnţl l ntnstăţ câmpulu mgntc l suprfţ conductorulu: Cu cstă vlor, soluţ (6.67) dvn: ( ) A. (6.68)

10 74 ( + j) α om α jα. (6.69) Dn rlţ (6.69) rzultă ntnstt nstntn câmpulu mgntc în conductor: j t α (, t) m{ } sn( ωt α) ( ) sn( ωt α ω ). (6.7) m Eprs (6.7) conţn do fctor: unul dscrscător în rport cu, după o ponnţlă, m m () m -α, (6.7) cr pun în vdnţă tnur vlor mm ntnstăţ câmpulu mgntc; l dstnţ /α δ, măsurtă d l suprfţ conductorulu, mpltudn câmpulu mgntc r vlor m -,377 m, r l dstnţ 4δ scd l,84 m. Cu o ror m mcă d %, câmpul mgntc în ntrorul conductorulu s pot consdr nul; un l dol fctor, o funcţ snusodlă d ş t, sn (ωt - α), (6.7) cr pun în vdnţă propgr câmpulu mgntc în smspţul conductor, în lungul O. Pntru dtrmn vtz d propgr, s mpun condţ c fz l dstnţ ş momntul t să f glă cu fz l dstnţ + d ş momntul t + dt: Dn rlţ (6.73) rzultă vtz d propgr: ωt - α ω(t + dt) - α( +d), (6.73) d ω ω v. (6.74) dt α μ În fgur 6., st rprznttă rprtţ d- lungul O ntnstăţ câmpulu mgntc în momntl t ş t t + t: α (, t ) m sn( ωt α α (, t ) m sn( ωt α ) ; (6.75) ). (6.76) În momntul t ntnstt câmpulu mgntc (, t ) s nulză în punctl l,, 3... în cr ω α πk (k,,...), (6.77) r în momntul t s nulză în punctl l,, 3... în cr t ω α πk (k,,...), (6.78) t

11 Dorc t > t, rzultă dn dfrnţ prslor (6.77) ş (6.78) că >, >,... Prn urmr, (,t) rprzntă o undă mortztă cr în ntrvlul d tmp t t - t s dplsză cu dstnţ în drcţ vlorlor crscător l lu, dc d l suprfţ conductorulu spr ntrorul cstu. Dstnţ prcursă d und (,t) în cursul un prod osclţ s numşt lungm d undă λ, 75 π λ v T. (6.79) α Dnstt curntulu lctrc ndus în conductor, numt curnt turbonr su Foucult, s dtrmnă dn lg crcutulu mgntc ş s obţn: (,t) (y) (,t ) (,t ) m α v J(,t) (z) J(,t ) J(,t ) α m v α λ λ Fg. 6. b u u y uz d J rot uz - uz. (6.8) y z d Vctorul J st orntt după sm ngtvă Oz ş r modulul: Dnstt nstntn d curnt r următor prs: J(, t) m J (+ j) α ( + j) α. (6.8) jωt α π { J } α sn ωt α + m 4. (6.8) S obsrvă că dnstt curntulu ndus r cş vtză, lungm d undă ş constntă d tnur c ş câmpul mgntc, dr dfztă cu π/4 înnt cstu (fg. 6., b). Câmpul lctrc compl în conductor s obţn dn lg conducţ lctrc:

12 76 E J α (+ j) α ( + j). (6.83) Dn rlţ (6.83) s dtrmnă ntnstt nstntn câmpulu lctrc: E(, t) m jωt α π { E } α sn ωt α + m 4. (6.84) Rportul dntr modull vctorlor complcş E ş st clş în orc punct dn conductor ş s numşt mpdnţă d undă, E α Z. (6.85) ( + j) ( + j) δ Prt rlă mpdnţ d undă st rzstnţ d undă R, r prt mgnră st rctnţ d undă X, R ; δ X. (6.86) δ Dn rlţl (6.7), (6.8) ş (6.84) s obsrvă că mpltudnl ntnstăţlor câmpurlor mgntc ş lctrc ş dnstăţ d curnt scd ponnţl în conductor, und G st E,, B su J. Dn rlţ (6.87) rzultă: Dstnţ G α G, (6.87) G ln. (6.88) α G δ (6.89) α măsurtă d l suprfţ conductorulu în cr lng /G, glă cu dstnţ în cr mpltudnl sunt tnut cu npr, s numşt dâncm d pătrundr câmpulu lctromgntc în smspţul conductor. Dn rlţl (6.5 3, 6.89), rzultă: δ α ωμ πfμ. (6.9) Prmtrul δ crctrzză pătrundr cu tnur ponnţlă câmpulu lctromgntc ş scd cu crştr frcvnţ, prmbltăţ su conductvtăţ.

13 Vctorul compl Poyntng p suprfţ conductorulu s clculză cu rlţ (9.33) în cr s înlocusc prsl ntnstăţlor S câmpurlor mgntc ş lctrc (6.69) ş (6.83): 77 O y * α m S E ( + j) u. (6.9) z Dn rlţ (9.67) rzultă că vctorul S st orntt norml Fg. 6.3 p suprfţ conductorulu d l dlctrc cătr conductor (fg. 6.3). Părţl rlă, rspctv mgnră rprzntă putrl ctvă ş rctvă bsorbt p untt d suprfţă: α m α m Ps R{} S ; Qs m{} S. (6.9) 6.4. EFECTELE DFUZE CÂMPULU ELECTROMAGNETC CVASSTAŢONAR ARMONC PERMANENT ÎN CONDUCTOARE MASVE Prncpll fct l dfuz câmpulu lctromgntc cvsstţonr rmonc prmnnt în conductor msv sunt următorl: curnţ turbonr; fctul plculr; fctul d promtt; fctul Fld; fctul d buclă; fctul d crnr lctromgntcă; fctul d lvtţ lctromgntcă Curnţ turbonr În conductorl stut în câmp mgntc vrbl în tmp, s nduc curnţ numţ curnţ turbonr su Foucult. Prn nducr cstor curnţ ş prn câmpul mgntc suplmntr p cr îl stblsc, numt câmp mgntc d rcţ, s modfcă câmpul mgntc nductor. Curnţ turbonr ntrvn în studul fnomnlor dn mzurl fromgntc l mşnlor ş prtlor lctrc d curnt ltrntv, dtrmnând prdr d putr ş înrăutăţr condţlor d funcţonr. Estă însă ş plcţ utl l curnţlor turbonr cum sunt: încălzr prn nducţ, frân ş mbrj lctromgntc tc.

14 78 Curnţ turbonr nduş în plc d tns nfntă. S consdră o plcă conductor nfnt lungă d grosm, stută în câmp mgntc nductor snusodl în tmp sn ωt u m z, unform în lps plăc ş orntt tngnţl l fţl cst (fg. 6.4). Dtortă tns nfnt plăc, mărml d str l câmpulu lctromgntc dpnd num d coordont după grosm plăc. Dn y O z O. b. O contnutt componntlor tngnţl l câmpulu mgntc p suprfţ plăc, în ntrorul cst câmpul mgntc st orntt după Oz ş stsfc cuţ lu lmholz: y O J c. d. Fg. 6.4 cu soluţ: d ; rspctv (6.93) d Dn condţ d smtr ( ) ( ) A + B. (6.94) ş dn condţ p fţl păc, rzultă vlorl constntlor A ş B: A B. (6.95) ch ntroducând (6.95) în (6.94), rzultă: ( + ) A A ch ch. (6.96) ch

15 Dn lg crcutulu mgntc, 79 u uy uz d rot u y J u y Eu y (6.97) y z d s obţn ntnstt câmpulu lctrc, rspctv dnstt curntulu ndus: d sh ; d ch E sh E. (6.98) ch J Pntru dtrmnr vlorlor fctv l ntnstăţlor câmpurlor mgntc ş lctrc ş dnstăţ d curnt, s ţn sm d rlţl: chα cos α sh sh( α + jα) sh( α jα) ; chα + cos α ch ch( α + jα) ch( α jα) ; (6.99) ch ch α + jα ch α jα chα + cos α. Rzultă: m ch α + cos α ; (6.) ch α + cos α ch α cos α J α m. (6.) ch α + cos α Vctorul lu Poyntng S l suprfţ plăc st norml p fţl plăc ş orntt cătr plcă: S sh sh m ( u y uz ) u. (6.) ch ch E m ± ± Părţl rlă, rspctv mgnră putr compl sh sh S ( + j) α (6.3) ch ch

16 8 rprzntă putrl ctvă ş rctvă spcfc: P α sh α sn α ch α + cosα m s ; α m sh α + sn α Qs. (6.4) ch α + cosα Apromţ l frcvnţ jos. Pntru vlor mc l rgumntulu α <<, dcă pntru δ α, δ >>, (6.5) funcţl snusodl ş hprbolc pot f promt prn polnoml d grd n l dzvoltărlor lor în sr. Acst rgm d pătrundr câmpulu lctromgntc s numşt rgm d rfulr slbă. Dn rlţl (6.9) ş (6.5) rzultă că cst rgm s stblşt l vlor mc l lu, μ su f. L vlor dt pntru ş μ, st un rgm d rfulr l frcvnţ jos În promţ d ordnul do, rlţl (6.96, 6.98) dvn: 4 f <<. (6.6) πμ α α + j ; J + j, (6.7) 3 4 r pntru putrl ctvă ş rctvă s obţn prsl: P 4 3 α 6 m s ; α m Q s. (6.8) Dnstt d volum putr ctv p P π f 6 s Bm (6.9) st proporţonlă cu pătrtul frcvnţ, nducţ mm ş grosm plăc. L frcvnţă ş nducţ dt, prdrl d putr ctvă prn curnţ turbonr în plcă s rduc prn mcşorr grosm plăc. Dn cst motv, mzurl mgntc mşnlor ş prtlor lctrc d curnt ltrntv s dvzză în tol d grosm,5,5 mm. Prdrl d putr p fnd proporţonl cu conductvtt, o rducr cstor s m obţn mărnd rzstnţ lctrcă prn dos d slcu. Apromţ l frcvnţ înlt. Dorc l vlor mr l rgumntulu y 4 α, dcă l frcvnţ f >>, sh y ch y, rlţl (6.96, 6.98) dvn: πμ

17 8 ; J. (6.) Câmpul mgntc ş dnstt d curnt sunt nnul num p fâşl d grosm stut p mbl fţ l plăc (fg. 6.4, b, d). Acst rgm d pătrundr câmpulu lctromgntc st un rgm d rfulr ntă. Acst rgm s stblşt l vlor mc l lu, μ su f. L vlor dt pntru ş μ, st un rgm d rfulr l frcvnţ înlt. Cu rlţl (6.) s dtrmnă putrl ctvă ş rctvă: Efctul plculr α m α m P s ; Qs. (6.) Rprtţ în conductor curntulu vrbl în tmp st dfrtă d c curntulu contnuu. D mplu, într-un conductor drpt vlor fctvă dnstăţ curntulu snusodl în tmp st mmă p suprfţ conductorulu ş scd p măsur dpărtăr d suprfţă spr ntrorul conductorulu. Acst fnomn s numşt fct plculr. Efctul plculr dtrmnă mărr rzstnţ lctrc conductorlor ş mcşorr nductvtăţ crcutlor lctrc. Prm conscnţă s dtorză fptulu că nu întrg scţun conductorulu st prcursă d curnt, r c d dou st lgtă d dmnur câmpulu mgntc în ntrorul conductorulu, c c dtrmnă mcşorr nductvtăţ ntror. În tor crcutlor lctrc cu prmtr concntrţ s dmt potz rprtţ unform curntulu lctrc în conductor. În cst condţ, conductorl s consdră flform. În rgm cvsstţonr rmonc prmnnt, mpdnţ unu conductor flform într două punct A ş B s dfnşt cu orcr dntr rlţl: Z UAB S UAB ; ZAB ; Z AB, (6.) S AB und S st putr prntă. Prm dfnţ rzultă dn rlţ lu Ohm ş consttu dfnţ lnră mpdnţ, r clllt două sunt dfnţ nrgtc. Pntru un conductor drpt prcurs d curnt snusodl în tmp, câmpul lctrc vând vlor dfrt p conturul scţun trnsvrsl drpt, nu s pot dfn unvoc o tnsun lctrcă în lungul frulu ş prn urmr prm rlţ (6.) nu pot f utlztă pntru dfnr mpdnţ. În rgm rmonc prmnnt, mpdnţ, rzstnţ ş nductvtt ntroră conductorulu s dfnsc nrgtc cu dou rlţ (6.). Notând cu R rzstnţ în ltrntv ş dntfcând prs putr ctv P bsorbt d un conductor prcurs d curnt snusodl (6.6) cu produsul R, s obţn:

18 8 * ( ) n da p dv ρ J dv R P E. (6.3) R j Σ vσ vσ Dn rlţ (6.3) s dduc prsl rzstnţ în ltrntv: R ρ J dv; R R v Σ Σ * ( ) E n da. (6.4) Dcă s notză cu P putr dzvolttă în curnt contnuu căru ntnstt st glă cu vlor fctvă curntulu snusodl, r cu R rzstnţ în curnt contnuu, s obţn: Rportul P. (6.5) R P R k R (6.6) P R s numşt fctor în ltrntv l rzstnţ. Prn nlog cu rlţ rzstnţ în curnt contnuu unu conductor drpt d lungm l ş r scţun trnsvrsl A, R l A, (6.7) s dfnşt o rlţ smlră pntru R, R l A, (6.8) und A < A st r chvlntă scţun conductorulu în curnt ltrntv. Dn rlţl (6.4, 6.6) rzultă: k R A l A dv R l * ( E ) A da R l J n vσ Σ Σ Sn da. (6.9) Rzstnţ în ltrntv R st m mr dcât rzstnţ în curnt contnuu R ş dc fctorul k R st supruntr. dntfcând rlţ putr rctv (6.6) cu Q X ωl, und X st rctnţ nductvă ntroră conductorulu, s obţn următorl prs l nductvtăţ ntror L : Rportul L μ ω m dv; L VΣ Σ * ( ) E n da. (6.)

19 L 83 k L, (6.) L und L st nductvtt ntroră conductorulu în rgm stţonr (v. pr ) s numşt fctor în ltrntv l nductvtăţ ntror. C urmr fctulu plculr, putr rctvă scd ş dc fctorul k L st subuntr (k L < ).. Efctul plculr în conductorul clndrc crculr. S consdră un conductor clndrc crculr d rză nfnt lung ş zolt d lt conductor (fg. 6.5), prcurs d curntul () t sn ωt. Conductorul r prmbltt μ ş conductvtt constnt. Dtortă tns nfnt z conductorulu ş smtr în rport cu Oz, mărml d câmp dpnd num d coordont rdlă r. Problm st l lctrcă, rspctv trnsvrsl mgntcă, dcă: E E( r) u z ; ( r) u ϕ. (6.) O În trorul conductorulu, câmpul lctrc compl E stsfc cuţ Lplc, Fg. 6.5 E, (6.3) rspctv Soluţ cuţ (6.4) r form: d E dr und A ş B sunt constnt compl d ntgrr. Aplcând lg nducţ lctromgntc, rote u r s obţn câmpul mgntc compl de +. (6.4) r dr E A ln r + B, (6.5) u E r u r E z ϕ jωμ (6.6) de A, (6.7) jωμ dr jωμ r und μ st prmbltt dlctrculu dn trorul conductorulu. Dn lg crcutulu mgntc plctă crculu d rză r > s obţn: Γr dr πr (6.8)

20 84 dntfcând rlţl (6.7) ş (6.9) s obţn constnt A: ş cu cstă vlor ntrodusă în (6.5) rzultă: E. (6.9) πr jωμ A (6.3) π jωμ. (6.3) π () r ln r B + În ntrorul conductorulu, câmpul lctrc compl E stsfc cuţ lmholtz rspctv d E dr E E, (6.3) de r dr + E. (6.33) Ecuţ (6.33) st o cuţ d tp Bssl căr soluţ r form: und n ( r) ş ( r) ( r) + D K ( r) E C, (6.34) K n sunt funcţl modfct Bssl d prm ş dou spţă ş d ordn n, r C ş D sunt constnt compl d ntgrr. Dn lg nducţ lctromgntc ş ţnând sm d rlţl rote u r u E r u r E z ϕ jωμ (6.35) ( ) d ( ) ; d dk d ( ) ( ) s obţn câmpul mgntc compl în ntrorul conductorulu: K, (6.36) de [ C ( r) D K ( r) ]. (6.37) jωμ dr Dorc câmpul mgntc st nul în ă (r ) ş trmnul K () st nfnt, rzultă D. Prn urmr, rlţ (6.37) dvn: ( r) C. (6.38)

21 Dn condţ d contnutt componntlor tngnţl l ntnstăţ câmpulu mgntc l suprfţ conductorulu, () () ş dn rlţl (6.9, 6.38) s obţn: ( ) 85 C. (6.39) π Cu cstă vlor constnt C, soluţl problm ntror sunt: E ( r) ( ) ; π ( r) ( ). (6.4) π Dn contnutt câmpulu lctrc compl p suprfţ conductorulu, E () E (), s dduc constnt B: ( ) μ ln ( ) μ B π. (6.4) Rportul dntr dnstăţl d curnt într-un punct stut l dstnţ r d ă ş p suprfţ conductorulu, s pot scr sub form: J J () r ( ) ( r) ( ) ( α r) ( α ) j[ θ r M M ( α ) θ ( α )] und M n () ş θ n () rprzntă funcţl modul ş rgumnt., (6.4) M(αr)/M(α) O 3 z 5 4 z 5 z 6 z mm θ. b. Fg. 6.6 O mm Prn lgr dnstăţ d curnt l suprfţ conductorulu orgn d fză, fzorul J(r) rzultă dfzt cu unghul θ(r) θ (α) -θ (rα). În fgur 6.6, s-u M ( ) rprzntt l dfrt frcvnţ curbl α r M ( α pntru un fr d cupru vând ) 6 dmtrul d mm, r în fgur 9., b curb θ(r) pntru f z. Curbl pun în vdnţă fctul plculr; pntru f 5 z, dnstt d curnt în ă J() scd sub jumătt dn vlor l suprfţă J() ş pntru f 6 z, st num 6,6% dn J().

22 86 Vctorul compl Poyntng p suprfţ conductorulu s clculză utlzând rlţl (6.4) ( ) ( ) ( ) r r r u E S π (6.43) ş st orntt rdl spr conductor. Dn prs putr compl p untt d lungm, ( ) ( ) da S π Γ n S (6.44) s dtrmnă putrl ntror ctvă ş rctvă: ( ) ( ) ( ) + π α j R P ; ( ) ( ) ( ) + π α j m Q. (6.45) P Ţnând sm d prs putr dzvoltt în curnt contnuu, π /, rzultă fctorul d crştr rzstnţ în ltrntv: ( ) ( ) ( ) + α j R k R. (6.46) Dn prs putr rctv (6.45) s dduc rctnţ X ş nductvtt ntroră L p untt d lungm: ( ) ( ) ( ) + π α j m X ; ω X L. (6.47) Apromţ l fct plculr slb. L vlor mc l rgumntulu δ, funcţl Bssl pot f promt prn polnom d grd n l dzvoltărlor lor în sr. În promţ d ordnul do, rzultă: ( ) ( ) + π + + π π << δ r 4 r r lm E ; (6.48) + π r 4 J ; (6.49)

23 87 lm << π δ ( r) ( ) π r r + + r π + 8 ( r ). (6.5) Dn condţ <<, rzultă că l μ, ş dţ, pntru frcvnţ f <<, s δ πμ obţn promţ l frcvnţ jos su fct plculr slb. Apromţ l fct plculr nt. L vlor mr l rgumntulu δ, funcţl Bssl s înlocusc cu promţl lor smptotc, ş rlţl (6.4) dvn: n () (6.5) π E ( r ) ; π ( r ). (6.5) π P plcul prfrcă d grosm r r, mpltudnl câmpurlor lctrc ş mgntc sunt tnut ponnţl l fl c l smspţul conductor. C urmr, l vlor mr l rportulu δ, pătrundr câmpulu lctromgntc în conductor st prţlă. Pntru μ, ş dţ, l frcvnţ f >> r loc o rfulr πμ ntnsă curntulu l suprfţ conductorulu ş s obţn promţ l frcvnţ înlt su fct plculr nt. Obsrvţ. Efctul plculr dpnd d vlorl rportulu μ f A, und δ A π. Rfulr curntulu st slbă l vlor mc l frcvnţ f, prmbltăţ μ, conductvtăţ su rz conductorulu ş st ntnsă l vlor mr l fcăr dntr cst mărm. L fct plculr nt curntul s rprtzză l prfr c într-un clndru cv vând grosm d ordnul prmtrulu δ. Dn cst motv, l rfulr ntnsă curntulu s prfră conductorl tp fun (lţă), frl fnd răsuct încât să ocup tot pozţl în rport cu fun. b. Efctul plculr în plc d tns nfntă. S consdră o plcă d grosm prcursă d curntul s s sn ωt p untt d lăţm. În sstmul d coordont cu plnul yoz în plnul d smtr l plăc ş cu O normlă p

24 88 fţl cst (fg. 6.7), dnstt d curnt st ornttă după poztvă Oz ş dpnd num d coordont, J J( ) u z. În ntrorul plăc dnstt d curnt z stsfc cuţ lmholtz O Fg. 6.7 y J d d căr soluţ st d form: J (6.53) J A + B. (6.54) Dn condţ d smtr J() J(-), rzultă A B ş soluţ (6.54) dvn: J A ch. (6.55) Fluul dnstăţ d curnt fnd gl cu s, s J d A ch d 4A sh, (6.56) rzultă: s A. (6.57) 4sh Înlocund constnt A, dtă d rlţ (6.57), în prs dnstăţ d curnt (6.55), s obţn: Câmpul lctrc compl în ntrorul plăc st: s ch J. (6.58) sh J s ch E. (6.59) sh Dn lg nducţ lctromgntc u u y uz de rote u y jωμ (6.6) y z d E

25 89 s obţn câmpul mgntc în ntrorul plăc: de sh s. (6.6) jωμ d sh Vctorul Poyntng p fţ / plăc s clculză ţnând sm d rlţl (6.59) ş (6.6): S ch * s E u. (6.6) 4 sh Putrl ctvă P ş rctvă Q p untt d lungm ş lăţm plăc sunt gl cu părţl rlă rspctv mgnră l lu S: P α s shα + sn α 4 chα cosα s ; α s shα sn α Qs. (6.63) 4 chα cosα Apromţ l fct plculr slb. L vlor mc l rgumntulu δ, funcţl hprbolc pot f promt prn polnom d grd n l dzvoltărlor lor în sr. În promţ d ordnul do, rzultă: s J s + + 3! + 3! + 3! ( ) s + jα s α + j 3 4 ; (6.64). (6.65) Apromţ l fct plculr nt. L vlor mr l rgumntulu, δ funcţl hprbolc s înlocusc cu promţl lor smptotc, sh ch ş rlţl (6.58, 6.6) dvn: J s ; s. (6.66)

26 Efctul d promtt Curntul vrbl în tmp dntr-un conductor zolt s rprtzză în cord cu fctul plculr. Dcă în vcnătt conductorulu s găssc lt conductor prcurs d curnţ vrbl în tmp, câmpul lor mgntc nflunţză rprtţ dnstăţ curntulu în conductorul dt. Modfcr dnstăţ curntulu dntr-un conductor d câmpul mgntc nductorc stblt dn trorul cstu s numşt fct d promtt.. Efctul d promtt într două plăc prll prcurs d curnţ în clş sns. S consdră două plăc conductor d tns nfntă în lungm ş lăţm ş d grosm /, dspus prll ş prcurs în clş sns d curnţ snusodl în tmp, vând p untt d lăţm fcăr plăc ntnstt s s sn ωt. Dtortă tns nfnt plăclor, mărml câmpulu lctromgntc dpnd num d coordont după grosm plăclor. În sstmul d coordont crtzn cu plnul yoz prll cu fţl ntror l plăclor l jumătt dstnţ dntr cst ş cu O normlă p plăc (fg. 6.8, ), dnstt d curnt st J J u. Aplcând lg crcutulu mgntc în lungul curb Γ, s obţn: rspctv ( ) y Γ s ds L L, (6.67) s. (6.68) În trorul plăclor câmpul mgntc st unform ş orntt după Oz. Procdând l fl pntru conturul Γ, s obţn: L. (6.69) Prn urmr, în dlctrcul dntr plăc câmpul mgntc st nul,. (6.7) Dorc câmpul mgntc în dlctrcul dn fr plăclor ş într plăc st ndpndnt d dstnţ dntr cst, soluţ problm st cş dcă plăcl sunt cu fţl lor ntror în contct (fg. 6.8, b). Sstmul clor două plăc în contct, fcr d grosm / prcurs în clş sns d curnţ s /, st dntc cu o plcă d grosm prcursă d curntul s. Prn urmr, problm fctulu d promtt într cl două plăc s rduc l problm fctulu plculr în plc d grosm prcursă d curntul s. Dcă s lg orgn pntru coordont p fţ ntroră fcăr dntr plăc, dnstt d curnt J ş câmpul mgntc

27 s clculză cu rlţl (6.58, 6.6), r putrl ctvă ş rctvă cu rlţl (6.63). În fgur 6.8 sunt rprzntt curbl () ş J(); s obsrvă că fctul d 9 / z / z L s / L s / L Γ s / s / L Γ s s J s J s J m J mn J m J m J mn J m promtt pun în vdnţă rfulr curntulu spr fţl tror l plăclor. b. Efctul d promtt într două plăc prll prcurs d curnţ în snsur opus. Aplcând lg crcutulu mgntc în lungul conturulu Γ (fg. 6.9, ) rzultă: dcă în trorul plăclor câmpul mgntc st nul, Procdând l fl pntru conturul Γ, s obţn: rspctv,. b. Fg. 6.8 Γ L, (6.7). (6.7) s ds L L, (6.73) s. (6.74)

28 9 Dorc rprtţ ntnstăţlor câmpurlor lctrc E ş mgntc st cş în mbl plăc, st sufcnt să s rzolv problm ntroră num pntru un dn plăc. Dcă s lg orgn sstmulu d coordont p fţ troră orcăr dntr plăc, problm fctulu d promtt st dntcă cu problm fctulu plculr în jumătt plăc d grosm prcursă d curntul s (v. pr. 6.4., b ş fg. 6.9, b). În fgur 6.9 sunt rprzntt curbl () ş J(); s / z / z L s / L s / L Γ s / s / L Γ s / J s J Jmn J m J m J m J mn obsrvă că fctul d promtt pun în vdnţă rfulr curntulu spr fţl ntror l plăclor Efctul Fld. b. Fg. 6.9 Curntul vrbl în tmp într-un conductor stut în crstătur fctută întrun corp fromgntc msv r o rprtţ dnstăţ dfrtă d rprtţ cr r st în conductorul zolt ş consttu fctul Fld. S consdră o bră conductor drptă cu scţun drptunghulră, prcursă l d curnt snusodl ş stută în crstătur fctută în smspţul fromgntc căru prmbltt s consdră nfntă (fg. 6.). Dtortă prmbltăţ nfnt bloculu fromgntc, lnl câmpulu mgntc sunt p întrg înălţm br norml p fţl crstătur. Notând cu, rspctv s ntnstt câmpulu mgntc p fţ nfroră, rspctv suproră crstătur ş plcând lg crcutulu mgntc p curbl Γ ş Γ, s obţn:

29 Γ ds F 93 ; ds s F. (6.75) Γ Dtortă prmbltăţ nfnt bloculu fromgntc, ntnstt câmpulu mgntc în fr st nulă, F ş dn rlţl (6.75) rzultă:, s, (6.76) dcă p fţ nfroră câmpul mgntc st nul ş p fţ suproră st constnt. S consdră o plcă d tns nfntă în lungm ş lăţm d grosm h ş h prcursă d curntul s p untt d lăţm (fg. 6.), br h J m b h h J h y J mn Γ Γ Γ c L Fg. 6. Fg. 6. drptunghulră dn crstătură fnd num o porţun d lăţm ş grosm h /. Dn lg crcutulu mgntc plctă în lungul conturulu Γ, rzultă : rspctv, s L J m J m J mn L L, (6.77) s. (6.78) În cst condţ, dn rlţl (6.76) ş (6.78), rzultă că problm fctulu Fld în bră st dntcă cu problm fctulu plculr în plc d tns nfntă ş mărml J ş s clculză cu rlţl (6.58) ş (6.6). Dn fgur 6. s obsrvă că dnstt d curnt st m mr spr frstr crstătur ş m mcă spr fundul cst; l rfulr ntă, curntul s concntrză p o fâş d înălţm glă cu dâncm d pătrundr, stută spr fţ br dnspr frstr crstătur. J

30 Efctul d buclă În conductorl buclt, curntul vrbl în tmp r o rprtţ dfrtă d c curntulu contnuu. Într-o spră crculră grosă (fg. 6.) curntul snusodl în tmp s rprtzză cu dnstt m mr p fţ ntroră ş m mcă p fţ troră. Efctul d buclă ntrvn în nstlţl d încălzr ntroră prn nducţ în cr conductorul cr urmză f încălzt st stut în ntrorul bobn nductor (fg. 6.3, ). Dorc dnstt d curnt st m mr p fţ ntroră bobn, s obţn îmbunătăţr condţlor d trnsfr nrg. J mn J m Fg. 6. J m Jmn În nstlţl d încălzr troră, în cr corpul c urmză f încălzt stut în trorul spr nductor, fctul d buclă înrăutăţşt condţl d trnsfr căldur. În fgur 6.3, b st rprznttă încălzr fţ ntror unu clndru cu un nductor d form un spr; dtortă fctulu d buclă, trnsfrul nrg cătr fţ clndrulu s înrăutăţşt o dtă cu rducr rz spr. Rprtţ dnstăţ d curnt s pot îmbunătăţ ntroducând spr într-o mnt fromgntcă (fg. 6.3, c). J m J mn J m J mn b c Fg. 6.3 Dtortă fctulu Fld, curntul st rfult spr fţl tror l spr, compnsând în cst fl fctul d buclă Efctul d crnr lctromgntcă În rgm lctrosttc nulr într-un domnu v Σ câmpulu lctrosttc produs dn trorul suprfţ Σ, s obţn prn mtlzr suprfţ; smlr, o fol fromgntcă Σ d prmbltt nfntă nulză în domnul v Σ câmpul mgntc stţonr produs dn trorul lu Σ ş consttu un crn mgntc. F un conductor msv v Σ stut în câmp mgntc vrbl în tmp produs dn trorul conductorulu (fg. 6.4, ). Rprtţ curnţlor turbonr nduş în conductor, rspctv pătrundr câmpulu mgntc s pot nlz clttv după modul d rfulr l curntulu. Efctul plculr dpnd d vlorl rportulu

31 ρ / δ πf μ ρ (v. pr. 6.4., ), und ρ mn st c m mcă dntr rzl mn mn d curbură l suprfţ Σ. Odtă cu crştr rportulu ρ mn /δ, prn urmr, f lu f, μ, su ρ mn, mărml câmpulu lctromgntc în ntrorul conductorulu scd, r l vlor fort mr l cstor (rfulr ntă) câmpul mgntc ş dnstt d curnt sunt nul. În rgm d rfulr ntă, pătrundr câmpulu lctromgntc în lungul norml ntror, pntru orc punct d p suprfţ Σ r loc l fl c în smspţul conductor; prn urmr, dcă s consdră o fol conductor vând formă Σ ş grosm g glă cu promtv 3-4 or ρ mn, câmpul mgntc în ntrorul fol s nulză (fg. 6.4, b). În cst condţ, fol 95 J J Fg. 6.4 b conductor Σ consttu un crn lctromgntc. Problm crnăr lctromgntc st o problmă d câmp lctromgntc în rgm cvsstţonr, pătrundr câmpulu în domnul c urmză f crnt dpnzând în fră d f, μ, ş d form ş dmnsunl crnulu, prn urmr d grosm cstu. Efcnţ unu crn dn punctul d vdr l rducr câmpulu mgntc nductorc s prcză cu mărm numtă fctor d crnr lctromgntcă k, dfnt d rportul dntr ntnstt câmpulu mgntc în ntrorul domnulu d crnr ş ntnstt câmpulu mgntc dn trorul domnulu d crnt, k. (6.79) Efctul d lvtţ lctromgntcă Un corp încărct cu srcnă lctrcă, su polrzt lctrc, rspctv mgntzt, sub cţun clusv forţlor lctrosttc rspctv mgntosttc, nu pot f mnţont într-o pozţ d chlbru stbl. În schmb, prn ntroducr unu conductor msv în câmp mgntc vrbl în tmp, s pot dtrmn cl puţn o rgun în câmp, în cr rzultnt forţlor d ntrcţun dntr curnţ turbonr ş câmpul nductorc să f glă cu forţ d grvtţ. În cst fl, conductorul în str d chlbru, plutşt în câmp mgntc tror, fnomn numt d lvtţ lctromgntcă.