LUCRAREA 1 ERORI DE CALCUL NUMERIC Obiectivele lucrării Aspecte teoretice Moduri de exprimare a erorii

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "LUCRAREA 1 ERORI DE CALCUL NUMERIC Obiectivele lucrării Aspecte teoretice Moduri de exprimare a erorii"

Ἀβειρὼν Καλαμογδάρτης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 LUCRR 1 RORI D CLCUL NUMRIC 1.1. Obictivl lucrării În cdrul lucrării s v vidnți modul în cr roril numric pot i crctrizt, motivl priții cstor, prcum şi mnir în cr cst s propgă. S vor studi roril inrnt (cr provin din simpliicr modlului izic, pntru put i dscris printr-un modl mtmtic), roril d rotunjir (dtort ptului că în clcul, numrl cu un număr ininit d zciml s proximză prin numr cu un număr init d zciml) și roril d trunchir (dtort proximării init unor procs tortic ininit). 1.. spct tortic Moduri d xprimr rorii Prin vlor proximtivă s înţlg proximr numrică uni mărimi numric rl. i vlor xctă uni mărimi numric rl şi vlor proximtivă corspunzător clişi mărimi, rzulttă în urm unui clcul numric su dtrmintă p cl xprimntlă. Dirnţ dintr vlor xctă uni mărimi şi vlor proximtivă corspunzător clişi mărimi s numşt ror bsolută: vlor xct vlor proximtiv (1.1) Dcă > 0, s spun că vlor proximtivă v proxim vlor xctă prin

2 1 Lucrr 1 lipsă, ir dcă < 0, tunci s spun că vlor proximtivă v proxim vlor xctă prin dos. xmplu numric Dcă s considră pntru, vlor xctă, ir pntru vlor stimtă,718, tunci ror bsolută st:, ,718, ror rltivă st dinită c iind modulul rportului dintr ror bsolută şi vlor xctă mărimii considrt: r vlor xct vlor proximtiv (1.) vlor xct În gnrl, s utilizză şi xprimr procntulă rorii rltiv, dinită d rlţi: % vlor xct vlor proximtiv r 100 [%] (1.3) vlor xct xmplu numric Dcă s considră pntru, vlor xctă, ir pntru vlor stimtă,718, tunci ror rltivă st: r 1, Pntru mtodl numric, vlor xctă v i cunoscută în situţi în cr s lucrză cu uncții c pot i rzolvt p cl nlitică. Un stl d cz îl rprzintă nliz tortică stării în cr s găsșt un sistm simplu. Dr, în plicțiil prctic nu s cunoșt priori soluți problmi. În cst situții, o ltrntivă st să s olosscă c mi bună stimr disponibilă vlorii xct. În cdrul mtodlor numric, roril d proximr sunt dtrmint în bsnț unor inormții privind vlor xctă. D xmplu, numit mtod numric olossc un procs itrtiv

3 rori d clcul numric 13 pntru put dtrmin soluți problmi. În cdrul cstor mtod o proximți curntă st clcultă p bz uni proximții ntrior. Procsul st itrtiv, stl încât în icr itrți vor i obținut proximții l căror vlori sunt propit d vlor xctă. ror v i stimtă p bz dirnți dintr vlor curntă și c ntrioră proximții. stl, ror rltivă procntulă v i clcultă cu rlți: r vlor proximtiv curnt vlor proximtiv ntrior 100 [%](1.4) vlor proximtiv curnt Smnul vlorilor corspunzător rorilor bsolută și rltivă obținut cu jutorul rlțiilor (1.1) și (1.) pot i pozitiv su ngtiv. Dcă vlor proximtivă st mi mr dcât vlor xctă, su vlor proximții ntrior st mi mr dcât vlor proximții curnt, ror st ngtivă. În cz contrr ror v v vlor pozitivă. Totodtă, în rlțiil (1.) (1.4), numitorul pot v o vlor mi mică dcât zro, situți în cr ror v v din nou smnul ngtiv. În cdrul mtodlor numric n intrsză dcă vlor bsolută rorii rltiv procntul st mi mică dcât o vlor prstbilită, s. stl, clculul v i rptt până în momntul în cr st stisăcută condiți: r < s (1.5) 1... Tipuri d rori S pot vidnţi următorl tipuri d rori: roril d mtodă (trunchir) sunt lgt xclusiv d mtodl numric utilizt pntru soluţionr modlului mtmtic. cst s dtorză ptului că ormull şi cuţiil xct s înlocuisc cu ormul şi cuţii proximtiv, pntru prmit clculul printr-un număr init d oprţii ritmtic. stl, ror d trunchir nu s pot clcul xct, dr pot i stimtă. O ctgori importntă d procs numric ininit o rprzintă sriil Tylor. cst, iind srii d putri, pot i utilizt l vlur uncțiilor lmntr (sinus,

4 14 Lucrr 1 cosinus, xponnțilă, logritmică tc.) și clor spcil (d xmplu Bssl) prin rducr l oprții ritmtic lmntr d tipul dunării și înmulțirii. D xmplu, dzvoltăril în sri Tylor pntru divrs uncții sunt următorl: x 1 x x! 3 x 3! x4 4! x x x sin( x ) x... (1.6) 3! 5! 7! 4 6 x x x cos( x ) 1...! 4! 6! ( x 1) ln( x ) ( x 1) ( x 1) 3! 3 ( x 1) 4! 4... roril d rotunjir s dtorză ptului că în clcull numrl cu un număr ininit d zciml s proximză prin numr cu un număr init d zciml. P d ltă prt, oric clcultor oprză dor cu un număr init d numr rl (vidnt cu un număr init d zciml), în timp c mulţim numrlor rl st ininită. pr stl o proximr invitbilă numrlor rl cr intrvin în clcul cu numrl rprzntt în clcultor. Modul uzul d rprzntr unui număr rl într-un sistm d clcul st d orm: 10 m (1.7) und: m s numșt mntisă, ir xponnt. Cu xcpți numărului nul, l cr m 0, în rst mntis stisc rlți: 0,1 m 1 (1.8) Dcă prsupunm că numărul xct st rprzntt conorm rlții (1.7 ) ±0,j j j j j i i i ±jj und j și i sunt cir (1,...9), ir modul uzul d rprzntr într-un sistm d clcul st d orm: ±0,j j j j j ±jj

5 rori d clcul numric 15 s pot spun că cirl i sunt pirdut prin rotunjir. stl, ror rltivă d rotunjir dpind d numărul d cir smniictiv olosit în rprzntr numărului rl și nu d vlor numărului. roril inrnt sunt cl cr provin din simpliicr modlului izic, pntru put i dscris printr-un modl mtmtic. cst rori sunt lgt d cunoştr proximtivă unor vlori provnit din măsurători (prtl d măsură lucrză invitbil cu numit btri, citir grşită vlorilor d p scl prtului d înrgistrr, ncunoştr scli prtului d măsură, trnsmitr rontă dtlor, înrgistrr grşită dtlor în tblul d măsurători tc.) su din ptul că vm d- c cu numr irţionl (lgbric su trnscndnt: numrl π,, tc.). stl, numărul π pot i înrgistrt c dtă iniţilă cu vloril: 3,14; 3,14159; 3, , c c însmnă că din strt s pornşt cu o ror inrntă. vidnt, rzulttul oricăror clcul dpind şi d prcizi dtlor introdus iniţil. Dorc în sistml numric d clcul cl mi complict procduri s rduc în inl l oprții ritmtic, trbui nliztă propgr rorilor în czul clor ptru oprții ritmtic lmntr. C rori inrnt pot i considrt şi roril d convrsi ăcut l trcr în bz unor numr cr s introduc în mmori clcultorlor Propgr rorilor Propgr rorilor rprzintă un spct dosbit d importnt pntru clculul numric. O ror cr pot păr l ctur uni oprţii ritmtic s propgă spr următorl oprţii, într-o măsură mi mr su mi mică, în uncţi d lul şi ordin cstor oprţii. i două vlori numric şi, cr proximză mărimil xct şi. roril bsolut şi rltiv l clor două mărimi numric u xprsiil:, (1.9)

6 16 Lucrr 1, (1.10) În cl c urmză s v nliz propgr rorilor pntru cl ptru oprţii ritmtic d bză. dunr. roril bsolută şi rltivă l sumi sunt dt d rlţiil: ( (1.11) ) (1.1) ror rltivă pntru dunr st o sumă pondrtă rorilor introdus l rprzntr în clcultor cntităţii sumt. În cst cz s introduc o ror suplimntră s l rprzntr sumi : T (1.13) s Înmulţir. roril bsolută şi rltivă l produsului sunt dt d rlţiil: )( ) ( (1.14) (1.15) În rlţi (1.14) s- nglijt trmnul, dorc r o vlor cu mult mi mică în rport cu rstul trmnilor. S pot obsrv ptul că roril rltiv introdus iniţil s dună. În ră d cst rori pot păr însă noi rori, dorc produsul pot v, l rândul său, un număr d cir smniictiv mi mr dcât cl dmis, ncsitând o nouă rotunjir

7 rori d clcul numric 17 (simtrică). Notând cu p cstă nouă ror, ror rltivă totlă T l înmulţir două numr v i: p T (1.16) Împărţir. roril bsolută şi rltivă l câtului sunt dt d rlţiil: (1.17) (1.18) În cdrul rlţii (1.17) s- considrt ptul că trmnul r o vlor cu mult mi mr dcât. Din rlţi (1.18) rzultă că ror rltivă l împărţir, dtortă rorilor d rprzntr în clcultor, st glă cu dirnţ rorilor rltiv introdus iniţil în vloril numărătorului şi numitorului. L cst s dugă ror d rotunjir corspunzător rprzntării rportului /, p cr o vom not cu d, stl încât ror rltivă totlă l împărţir două numr şi st: d T (1.19) Scădr. roril bsolută şi rltivă l dirnţi sunt dt d rlţiil: ) ( (1.0) (1.1)

8 18 Lucrr 1 Concluziil rritor l roril bsolută şi rltivă sunt smănător cu cl d l dunr. xprsi rorii rltiv indică o ltrr pronunţtă prcizii în situţiil când ci doi oprnzi u clşi smn şi sunt d vlori propit Dsăşurr lucrării 1. S vor studi următorl spct tortic: dtrminr rorii rltiv d rotunjir sistmului d clcul, propgr rorilor inrnt și nliz rorii d trunchir.. Să s clculz roril bsolută, rltivă și procntulă pntru proximr numrlor π și cu două cir smniictiv xct. 3. i 4,31 ± 1%, b 4,30 ± % și c 3, ± 1%. Să s clculz ( b) c şi să s nlizz rzulttul obținut. 4. Să s studiz propgr rorilor l dunr și înmulțir două numr orcr și b. roril bsolut l clor două numr vor i introdus d l tsttură. 5. Să s vluz vlor uncțiilor sin(x), cos(x), ln(x), x, pntru cr x st introdus d l tsttură, olosind ormull dzvoltării în sri Tylor przntt în Prgrul 1.., în cr s vor considr un număr vribil d trmni. S vor nliz rzulttl obținut.

Σχετικά έγγραφα

7. INTEGRALA IMPROPRIE. arcsin x. cos xdx

7. INTEGRALA IMPROPRIE. arcsin x. cos xdx 7 INTEGRALA IMPROPRIE 7 Erciţii rzolv Erciţiul 7 Să s sudiz nur urăorlor ingrl irorii şi să s drin vloril csor în cz d convrgnţă: d c sin d 3 / rcsin d cos d d sin d > R Soluţii Funcţi f : - R f s ingrilă