Complemente teoretice. Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D; DefiniŃii ale limitei DefiniŃia 1.1.

Transcript

1 Analiza matmatică clasa axi-a, problm rzolvat Complmnt tortic Limit d funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct d acumular a lui D; DfiniŃii al limiti DfiniŃia lim f = l, l R, dacă pntru oric vcinătat V a lui l istă o α vcinătat U a lui α astfl încât D U, α, să rzult f() V DfiniŃia lim f = l, l R, dacă pntru oric şir ( n ) n, n D\{α}, având α lim =α rzultă lim f = l (critriul cu şiruri); n n DfiniŃia n lim f = l, l R, dacă ε >, δ ε > astfl încât D\{α} şi α - α < δ ε rzultă f() - l < ε; DfiniŃia lim f = l, dacă l s = l d =l, und l α = lim f şi l = lim f s <α α d >α α OpraŃii cu limit d funcńii f :D R, g:d R, α - punct d acumular a lui D, lim f = l lim ( f + g) = l + l ; α lim f g = l l ; α lim af = a l ; α l lim f daca, = α g l l α, lim g( ) = l α, l,l R; Limit tip α n n n n + a + + an ) = aα + aα lim ( a + + a n n lim ( a + a + + an ) = lim a ± ± n n n n a + a + + an aα + aα lim = m m m m α b + b + + bm bα + bα + + b n ; + + a n n m

2 n n n a + a + + an a lim = lim ; m m m ± b + b + + bm ± b n n n lim = α, α R+, n N, n ; = α * lim a α = a, α R, a R+ \ { }; a = α lim a =, lim a =, dacă < a < ; α a a + lim, lim n = ; lim, lim a =, dacă a > ; * + > a 5 lim log = log α, α > finita, α R \ { }; limlog = şi lim log = + dacă a >; limloga = + şi lim log = > a dacă <a< ; π 6 lim sin = sinα, lim cos = cosα ; lim tg= tgα, α + πz, lim ctg= ctgα, α πz ; α α α α lim tg=, lim tg= ; limctg=, limctg= ; π π < π π > > < 7 lim arcsin = arcsinα, α [, ], lim arccos = arccosα, α [, ]; α α π lim arctg= arctgα, α R, lim arcctg= arcctgα, α R ; lim arctg=, α α π lim arctg= =π ; lim arcctg, lim arcctg= ; sin tg arcsin arctg 8 lim =, lim =, lim =, lim = ; n a 9 lim =, n Z, a> ; lim = ln a, a>, a (+ ) lim =,lim(+ ) + = ; ± r lim = r, r R ln(+ ) lim = ; Continuitata funcńiilor DfiniŃia Fi f:d R, o D, o punct d acumular a lui D, f st continuã în o, dacã lim f = lim f = lim f = f ( ), iar o s numşt punct d continuitat < > DfiniŃia Fi α D, α st punct d discontinuitat d prima spńã dacã istã şi sunt finit limitl latral în α, dar funcńia nu st continuã în α DfiniŃia Fi α D, α st punct d discontinuitat d spńa a doua dacã nu st d prima spńã Tormã Dacã f:i R, I intrval şi f continuã p I, atunci J = f(i) st intrval (o funcńi continuã p un intrval ar propritata lui Darbou p acl intrval) a

3 FuncŃii drivabil DfiniŃia drivati într-un punct f : E R, o E, o punct d acumular a lui E: f f ( ) lim = f istă şi st finită f f ( ) f s ( ) = lim f d ( ) = < f lim ( ) > f ( ) o funcńi st drivabilă într-un punct f ( ) = f s ( ) = f d ( ) Intrprtara gomtrică: - dacă f ( ) R, atunci acasta rprzintă panta tangnti la graficul funcńii în punctul, m=f ( ) - dacă f ( ) R, y - f( ) = f ( )( ) st cuańia tangnti la graficul funcńii f în punctul A(,f( )); - dacă f st continuă în, f d ( ) = +, f s ( ) =, sau invrs, st punct d întoarcr al graficului; - dacă f st continuă în şi istă drivatl latral în, cl puńin una fiind finită, dar f nu st drivabilă în, st punct unghiular al graficului Rguli d drivar f,g:e R, f,g drivabil în E: (f + g) () = f () + g (); (cf) () = cf (), c R; (f g) () = f () g() + f() g () f f g( ) f g( ) dacă g(), = ; g g 5 drivata funcńii compus: dacă f:i J, g:j R, f drivabilă în I şi g drivabilă în y = f( ), atunci (gbf) ( ) = g (y )f ( ); 6 drivat funcńii invrs: dacă f:i J continuă, bijctivă şi drivabilă în cu f ( ), atunci f - :J I st drivabilă în y = f( ) şi f - (y ) = f ( ) DfiniŃi: Punctl critic al uni funcńii drivabil sunt rădăcinil (zrouril) drivati întâi Drivat d ordin suprior Fi f:idr R, I, o funcńi drivabilă Spunm că f st d două ori drivabilă în dacă istă şi st finită: f f ( ) lim = f ( )

4 Drivatl funcńiilor lmntar Drivatl funcńiilor compus FuncŃia (condińii) Drivata (condińii) c, (constanta) n, n N* n n- r, r R, > r n-, log a, a, a>, > ln, > a, a, a>, > sin cos tg, π (k+ ), k Z ctg, kπ, k Z arcsin, [-,] arcos, [-,] arctg arcctg, > ln a a ln a cos -sin cos sin, (,), (,) + + FuncŃia (condińii) u n, n N* u r, r R, u> u, u log a u, a, a>, u> ln u, u> a u, a, a> u sin u cos u tg u, cos u ctg u, sin u arcsin u, u [-,] arccos u, u [-,] arctg u arcctg u Drivata (condińii) nu n- u u n- u u, u> u u ln a u u u a u ln a u u u cos u u - sin u u u cos u u sin u u, u u (,) u, u u (,) u + u u + u

5 ProprităŃi al funcńiilor drivabil DfiniŃi: Fi f:i R, cu IdR, intrval Spunm că punctul I st un punct d maim local strict pntru f, dacă istă o vcinătat U a lui, astfl încât: f < f ( ), U ( I \{ } ) Spunm că punctul I st un punct d minim local strict pntru f, dacă istă o vcinătat U a lui, astfl încât: f > f ( ), U ( I \{ } ) Torma lui Frmat: Fi f:i R drivabilă p I În oric punct trm local din intriorul lui I, f st nulă Torma lui Roll: Dacă funcńia continuă f:[a,b] R st drivabilă p (a,b) şi f(a) = f(b) atunci istă c (a,b) astfl încât f (c) = Torma lui Lagrang: Dacă funcńia continuă f:[a,b] R st drivabilă p (a,b), atunci istă c (a,b) astfl f ( b) f ( a) încât = f ( c) b a ConscinŃ al Tormi lui Lagrang: Fi f:e R o funcńi drivabilă şi IdE un intrval - Dacă I, avm f ()>, atunci funcńia st strict crscătoar p I - Dacă I, avm f ()<, atunci funcńia st strict dscrscătoar p I Fi f:(a,b) R o funcńi drivabilă şi c(a,b) Dacă f s anulază în c schimbânduşi smnul, atunci c st un punct d trm local pntru f Tormă Dacă funcńia f st continuă şi drivabilă p I (I intrval dschis), atunci: într două rădăcini conscutiv al funcńii istă cl puńin o rădăcină a drivati; într două rădăcini conscutiv al drivati istă cl mult o rădăcină a funcńii Torma lui Cauchy: Dacă f,g:[a,b] R continu p [a,b], drivabil p (a,b) şi g (), (a,b) atunci f ( b) f ( a) f ( c) c (a,b) astfl încât = g( b) g( a) g( c) FuncŃii conv şi funcńii concav O funcńi st convă p un intrval ral (a,b), dacă pntru, (a,b) graficul funcńii p intrvalul (, ) st situat sub sgmntul d draptă car unşt punctl (,f( )) şi (,f( )) O funcńi st concavă p un intrval ral (a,b), dacă pntru, (a,b) graficul funcńii p intrvalul (, ) st situat dsupra sgmntului d draptă car unşt punctl (,f( )) şi (,f( )) PropoziŃia Dacă funcńia f ar drivată d ordinul al doila strict pozitivă (f ()>) p intrvalul (a,b), atunci f st strict convă p (a,b) Dacă funcńia f ar drivată d ordinul al doila strict ngativă (f ()<) p intrvalul (a,b), atunci f st strict concavă p (a,b) 5

6 + Asimptot Asimptot orizontal (f:d R) DfiniŃia Dacă lim f = l sau lim f = l, l R şi/sau l R, drptl y=l şi/sau y=l sunt asimptot orizontal a lui f spr +, rspctiv Asimptot oblic (f:d R) f DfiniŃia Dacă lim = m şi lim [ f m] = n, m, n R drapta y=m+n + st asimptotă oblică a lui f spr + f DfiniŃia Dacă lim = m şi lim [ f m ] = n, m, n R drapta + y=m +n st asimptotă oblică a lui f spr - Asimptot vrtical (f:d R) DfiniŃia Dacă lim f = ±, α - punct d acumular a lui D, drapta =α st α < α asimptotă vrticală la stânga a lui f DfiniŃia 5 Dacă lim f = ±, α - punct d acumular a lui D, drapta =α st α > α asimptotă vrticală la drapta a lui f Rgulil lui l Hospital Fi I un intrval p aa rală şi un punct d acumular al lui I Fi f şi g două funcńii dfinit p I { } Dacă: lim f = lim g = ; f şi g sunt drivabil p I { }; g( ), I \{ } ; lim f istă = l, l R, atunci lim g a) g, I \{ } şi f f b) lim = lim = l g g 6

7 Problm rzolvat = + a) Să s calculz drivata funcńii f b) Să s dtrmin intrvall d monotoni al funcńii f c) Să s dmonstrz că f() pntru oric < R a) FuncŃia st drivabilă p domniul d dfinińi doarc st o funcńi rańională Folosind formula d drivar a unui cât d funcńii drivabil, pntru oric avm S considră funcńia f:r\{ } R, f ( + ) ( + ) ( ) + + ( + ) ( + ) ( ) + f = = = + + = = b) Monotonia funcńii f st dată d smnul drivati f Cum numitorul ( + ) st pozitiv pntru oric din domniu, smnul lui f () st dat d smnul funcńii d gradul doi + Rzolvăm cuańia + =, ( + ) = şi găsim rădăcinil = şi = Tablul d smn al drivati: (+) f () / f() Ma - p intrvalul ( ; ), avm + >, dci f () > f st strict crscătoar p ( ; ] - p intrvalul ( ; ), avm + <, dci f ()< f st strict dscrscătoar p [ ; ) - p intrvalul ( ;), avm + <, dci f () < f st strict dscrscătoar p ( ; ] - p intrvalul (;+), avm + >, dci f () > f st strict crscătoar p [;+) c) Conform punctului b), f în intrvalul ( ; ) ar un maim, punctul = Dci f() f( )=, pntru oric < S considră funcńia f: R R, f() = - f f () a) Să s calculz lim b) Să s arat că funcńia f st crscătoar p R c) Să s calculz S = g() + g() + + g(8), und g: R R, g()=f ()-f () R a) Punctul = st punct d acumular pntru R şi limita st f f () lim = f Calculăm f = +, und 7

8 = = = după formula d drivar ( u u ) = u şi f f () f = + = + =, dci lim = b) În f = + avm şi - sunt strict pozitiv R, atunci şi suma lor f ()>, R şi funcńia st crscătoar p domniul d dfinińi, R c) Doarc f () = -, avm g() = f () f () = - Atunci suma S din nunń st suma primilor 9 trmni ai uni progrsii gomtric d prim trmn g() = - = şi rańi - n q <, Sn = b Dci, S = g() + g() + + g(8)= q ( ) = = = 8 ln S considră funcńia f: (,+ ) R, f = a) Să s calculz drivata funcńii f b) Să s dtrmin intrvall d monotoni al funcńii f 5 c) Să s dmonstrz că < 5 Ra) Folosind formula d drivar a unui cât, avm: ln ( ln ) ln ln ln f = = = = b) Dtrminăm punctl critic: f ()= ln= ln= = ; (,+) > şi > Tablul d smn: + -ln f () P intrvalul (, ), f ()>, atunci f st funcńi strict crscătoar p acst intrval P intrvalul (,+), f ()<, atunci f st funcńi strict dscrscătoar p acst intrval c) Din,7 >,7 =7,9 şi atunci <<5<, adică şi 5(, ), intrval p car ln ln5 funcńia st strict crscătoar (punctual b) Avm: < 5 f () < f (5) < ln< ln5 ln < ln5 şi funcńia logaritm natural fiind strict crscătoar s păstrază ingalitata şi într argumnt, adică 5 < 5 S considră funcńia f:r R, f() = + - a) Să s calculz f (), R b) Să s arat că f st dscrscătoar p (-,] şi crscătoar p [,+ ) c) Să s dtrmin cuańia asimptoti oblic cătr + la graficul funcńii f 8

9 R a) Folosind rgula d drivar a sumi obńinm f ()= - b) Pntru dtrminara monotonii folosim smnul drivati întâi Pntru tablul d smn al drivati dtrminăm punctl critic: f ()= - = - = = + f () P intrvalul (,], f ()< f st funcńi dscrscătoar p (-,]; P intrvalul [,+), f ()> f st funcńi crscătoar p [,+ ) f c) Dacă lim = m, m R şi lim ( f m) = n, n R drapta y = m + n st + + asimptotă oblică spr + la graficul funcńii Calculăm rgula lui l Hospital f f m= lim = = lim = lim = şi n= lim f m = lim + = lim = EcuaŃia asimptoti oblic: y=a+ y= (prima bisctoar) 5 S considră funcńia f :R R, f () = 9 9( ) a) Să s calculz f () + f () b) Să s scri cuańia tangnti la graficul funcńii f în punctul d abscisă = c) Să s arat că funcńia f st convă p [;+ ) Ra) Calculăm f ()=9 8 9; f ()= 9 9( ) =9 =8 şi f ()=9A 8 9= 9 Răspunsul f()+f ()=8 9= b) EcuaŃia tangnti la graficul funcńii st y - f( ) = f ( )( ), und =, f( )=f()=8 şi f ()=8A 7 8= 8 Prin înlocuir s obńin: y 8= 8( ) y= c) Calculăm drivata a doua f ()=(f ())=( 9-9) =9A8 7 Doarc 7, R f () şi atunci f st convă p R + 6 S considră funcńia f: [,+) R, f = a) Să s calculz lim f b) Să s vrific că + f = + ( + ) ( + ), oricar ar fi c) Să s dmonstrz că f < pntru oric [,+) + lim f = lim + lim = lim + lim = + = b) Aplicăm rgula d drivar a sumi şi câtului şi avm: ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) f = + = Ra) ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) = + = + 9

10 c) Pntru dmonstrara ingalităńii utilizăm monotonia funcńii Monotonia s stabilşt cu ajutorul primi drivat S obsrvă că f ()> ca sumă d pătrat, [,+] şi atunci funcńia st crscătoar p domniul d dfinińi, adică + <+ f() f()< lim f Calculăm f () = + = şi din punctul a) avm lim f = Înlocuind s obńin f < + 7 S considră funcńia f:r R, f() = + f f () a) Să s calculz lim b) Să s dmonstrz că funcńia f nu ar asimptotă cătr + c) Să s dmonstrz că funcńia f st convă p R R a) Din dfinińia drivati funcńii în punctul d acumular = s obńin f f () lim = f () Calculăm f ()= + şi f ()= +A=+ S obńin f f () lim = + b) Cătr + funcńia poat să aibă asimptotă orizontală sau oblică Vrificăm asimptota orizontală: lim f = lim + = lim + lim = + = nu ar asimptotă orizontală Vrificăm asimptota oblică: f + m= lim = lim = lim + lim = + = nu ar asimptota oblică c) Pntru dtrminara convităńii n folosim d drivata d ordinul II f " = f = + = + = + Din >, R, obńinm f ()>, R şi funcńia st convă p R 8 S considră funcńia f : (,+ )\{} R, a) Să s calculz lim f + ln f = ln b) Să s vrific că f =, (, )\{} ( ln ) c) Să s dtrmin cuańia asimptoti orizontal cătr + la graficul funcńii f + ln + lim f = f = = = ln ( + ln ) ( ln ) ( + ln ) ( ln ) f = = ln R a) b) Avm: ( ln ) + ( + ln ) ( + ln ) = =

11 ln ln + + = = = ( ln ) ( ln ) ( ln ) l Hospital + ln ( + ln ) c) Calculăm lim f = lim = lim lim = = = şi + + ln + ( ln ) + obńinm asimptota orizontală, drapta y= 9 S S considră funcńia f: R R dfinită prin f()= (a +b + c), und a,b,cr a) Pntru a=,b=c=, să s calculz lim f + b) Să s vrific că f () - f() = b c) Să s dtrmin a,b,cr, astfl încăt f() =, f () = şi f () = R a) Pntru a=,b=c=, f()= şi lim f = lim =+ ( + ) =+ + + b) Calculăm: f = a + b+ c + a + b+ c = a + b+ c + a+ b = ( ) ( ) = a + b+ c+ a+ b = a + a+ b + b+ c f() = (aa + ba + c) = Ac = c şi f () = [aa + A(a + b) + b + c] = b + c ObŃinm: f () - f() = b + c c = b c) Calculăm " f = ( a b c a b) = ( )( a + b+ c+ a+ b) + + a + b+ c+ a+ b = ( ) ( ) ( ) = a + b+ c+ a+ b + a+ b+ a = a + a+ b+ a+ b+ c şi f()= (aa+ba+c) = c; f ()= b+c; f () = a + b + c ObŃinm sistmul: c= c= c= c= b+ c= b+ = b= b= cu soluńia a=b= şi c= a+ b+ c= a+ + = a= a=, S S considră funcńia f:r R, f = +, < a) Să s studiz continuitata funcńii f în punctul = b) Să s calculz f () + f () c) Să s dmonstrz că funcńia f st concavă p (,) R a) Folosim dfinińia funcńii continu şi calculăm limitl latral în punctul = lim f = lim + = + = + = < < lim f = lim = = = > > şi f()= = Din lim f = lim f = f () = rzultă că funcńia st continuă în = < >

12 , > b) Calculăm f =, f st drivabilă p (-,)c(,+) +, < f ()= A+ = şi f () = A = ObŃinm: f ()+ f ()=+= c) Calculăm drivata a doua a funcńii p intrvalul (,) f () = ( + ) = < şi funcńia st concavă p (,) S considră funcńia f: (,+ ) R, f = + ( + ) a) Să s vrific că f =, oricar ar fi (, ) ( + ) b) Să s dmonstrz că funcńia f st dscrscătoar p intrvalul (,+ ) c) Să s calculz lim f + R a) Drivăm ficar fracńi: ( ) ( + ) ( + ) f = + = + ( ) ( + ) ( ) = + ( + ) + = ( + ) ( + ) b) Pntru dtrminara monotonii funcńii dtrminăm smnul drivati: > > < (, + ) ( + ) > < ( + ) şi atunci f ()<, (,+), rzultă că f st strict dscrscătoar p (,+) lim f = lim = lim = c) ( + ) ( ) + = lim = = S considră funcńia f : (,+) R dfinită prin f()= -ln a) Să s calculz f (), (,+) b) Să s dmonstrz că funcńia f st convă p intrvalul (,+) c) Să s dmonstrz că f ln, (,+) R a) f = (ln ) = = = b) Pntru stabilira convităńi dtrminăm smnul drivati a II-a f = = = =, car vidnt st pozitivă p domniul d dfinińi Din f ()> f st convă p (,+)

13 c) Pntru dmonstrara ingalităńii stabilim monotonia funcńii f = = = =, punct critic Tablul d smn al drivati: + f () P (;], f ()< f st funcńi dscrscătoar, iar p [,+), f ()> f st funcńi crscătoar, atunci = st punct d minim local f f () Calculăm () ln ln ln ln ln ln f = = = =, obńinm: f ln S considră funcńia f: R\{ } R, dfinită prin f = + a) Să s vrific că f = oricar ar fi R\{ } ( + ) b) Să s dtrmin cuańia asimptoti cătr - la graficul funcńii f c) Să s dmonstrz că f(), pntru oric > R a) Calculăm drivata după rgula d drivar a funcńii cât ( )( + ) ( + ) ( + ) + f = = = = b) Calculăm lim f = lim = lim = = = şi atunci drapta + ( + ) + y= st asimptotă orizontală spr - c) Pntru dmonstara ingalităńii n folosim d monotonia funcńii f car st dată d smnul drivati f Dtrminăm punctl critic, f ()= = şi tablul d smn al drivati p intrvalul (-,+) + f () P intrvalul (-,], f () f st funcńi dscrscătoar, iar p [,+), f () f st funcńi crscătoar, atunci = st punct d minim local f() f() Calcuăm f () = = = şi s obńin ingaliata crută, f () + ln S considră funcńia f : (,+ ) R dfinită prin f = a) Să s calculz f () b) Să s dtrmin cuańia asimptoti orizontal spr + a graficului funcńii f c) Să s dmonstrz că pntru oric > ln ( ln ) ln ln R a) Calculăm drivata funcńii f = = = ln = = = = iar f ( )

14 l Hospital ln ( ln ) b) Calculăm lim f = lim = lim lim = = = lim = = şi atunci drapta y= st asimptotă orizontală spr + c) Pntru dmonstara ingalităńii n folosim d monotonia funcńii f car st dată d smnul funcńii f Dtrminăm punctl critic, f ()= -ln= ln= = şi tablul d smn al drivati p intrvalul (,+) + f () P intrvalul (,], f () f st funcńi crscătoar, iar p [,+), f () f st funcńi dscrscătoar, atunci = st punct d maim local propf logaritm ln ln f() f() ln ln ln ln pntru oric > 5 S considră funcńiil f n :R R, dat prin f () = - - şi f f n+ = n pntru oric nn a) Să calculz f (), R b) Să s dtrmin cuańia asimptoti orizontal cătr + a graficului funcńii f f + c) Să s calculz lim R a) Dtrminăm f () pntru n=: f = f = = = = = b) Calculăm lim f = lim( ) = lim = = = şi obńinm asimptota orizontală drapta y = c) Calculăm mai întâi, pntru n =, f = f = = = = şi l Hospital + ( ) l Hospital ( + ) f lim = lim = = lim = lim = = = lim = lim = =, < 6 S considră funcńia f: R R d forma f =, und a R + + a, a) Să s dtrmin ar astfl încât funcńia f să fi continuă în punctul = b) Să s scri cuańia tangnti la graficul funcńii în punctul d abscisă c) Să s arat că funcńia f st crscătoar p (; +), oricar ar fi ar R a) Calculăm limitl latral în : l = lim f = lim = = = s < <

15 d lim lim > > l = f = + + a = + + a= a Pntru ca funcńia să fi continuă în = trbui ca l s ()=l d () a= b) EcuaŃia tangnti la graficul funcńii st y f ( ) = f ( )( - ), und = < şi funcńia st f()= Calculăm f f = = =, ( + ) f ( ) = =, înlocuim şi s obńin: y = ( + ) y + = y + = + t : y+ = c) P (; +), f () = + + a şi funcńia f st crscătoar dacă f st pozitivă f = + şi f = >, a R, atunci funcńia f st funcńi Calculăm = =, crscătoar (Sau f () = +, funcńi d gradul I, cu coficintul lui gal cu > şi atunci st crscătoar) 7 S considră funcńia f :R * R, dfinită prin f = a) Să s calculz f (), R * b) Să s dmonstrz că funcńia f st dscrscătoar p (,] c) Să s arat că R a) Drivăm după cât : f = = = = ( ) = b) Dtrminăm smnul drivati p intrvalul (,]: > >, > şi - atunci f () şi f st funcńi dscrscătoar c) Pntru dmonstrara ingalităńii n folosim d punctual b) FuncŃia st dscrscătoar, adică f( ) f( ) Din intrvalul (,] luăm numrl şi obńinm: 8 S considră funcńia f :R R, f() = ( +) +(-) a) Să s vrific că f () = pntru oric R f b) Să s calculz lim + c) Să s dtrmin intrvall d monotoni al funcńii g: R R, g R a) Ridicăm la putr: f()= +++ += + şi apoi drivăm f ()=A+= f + b) lim = lim = lim lim + + = + = + = = f f 5

16 c) Dtrminăm g = g şi calculăm drivata + ( ) ( + ) ( + ) ( + ) = = = = = ( ) 8( ) ( ) = = + + Punctl critic: g = = =±, tabl d smn: + g () P (-,-]c[,+), g () g st dscrscătoar, iar p [-,] g () şi g st crscătoar ln 9 S considră funcńia f :(,+ ) R, f = a) Să s calculz f (), (, ) b) Să s calculz lim f + c) Să s dmonstrz că < f pntru oric, + ) R a) Folosim rgula d drivar a câtului ( ln ) ln ( ) ln ln ( ln ) ln f = = = = = b) l Hospital ln ( ln ) lim f = lim = lim lim = = = lim = = ( ) c) Dtrminăm monotonia funcńii f Aflăm punctl critic: f ()= ln = ln = ln = ln = = = Tablul d smn + f () ObŃinm: f st dscrscătoar p intrvalul, + ), adică <+ ln ln ln lim f <f() f( ) < f, und f ( ) + = = = = S considră funcńia f:[,] R, f = + a) Să s calculz f (), [,] b) Să s arat că f st funcńi crscătoar p [,], 6

17 c) Să s dmonstrz că, pntru oric [,] f R a) Calculăm după rgula d drivar a câtului ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) f = = = = ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) b) Dtrminăm monotonia funcńii p intrvalul [,] S obsrvă că f () doarc sunt numai valori pozitiv şi atunci funcńia st crscătoar p [,] c) Conform dfinińii monotonii funcńi, avm: f () f () f () f şi invrsând rapoartl s obńin, [,] f + + S considră funcńia f:r\{} R, dfinită prin f = =, pntru oric R\{} a) Să s vrific că f ( ) b) Să s dtrmin cuańia asimptoti oblic cătr + la graficul funcńii f c) Să s arat că f f 8, oricar ar fi > R a) Calculăm după rgula d drivar a câtului ( + + ) ( ) ( + + ) ( ) ( + ) ( ) ( + + ) f = = = = = + ( ) ( ) b) Doarc gradul numărătorului st iar gradul numitorului, funcńia nu ar asimptotă orizontală şi atunci poat ava asimptotă oblică d forma y=m+n, und + + f lim lim + + m= = = lim =, doarc numărătorul şi numitorul au grad gal, iar ( ) n= lim ( f m) = lim = lim = = lim = lim = + + Asimptota oblică va ava forma y=+ c) Notăm h:(,+) R, h = f f = = = ( ) 7

18 = = = h ( + ) şi calculăm + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + + ) ( ) ( ) ( + ) ( + + ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) = = = = = Dtrminăm punctl critic p intrvalul (,+): h() = + = = 6 =, =,, = ± Dintr acsta = + > şi tablul d smn: + + h () Punctul = + st punct d minim local, h( ) h ( + ) = = = = ( + )( ) = = = h() 8 f f 8 ( ) S considră funcńia f: (,+ ) R, f() = -ln a) Să s calculz f (), (, ) f b) Să s calculz lim f ( ) c) Să s dtrmin intrvall d monotoni al funcńii f f = ln = ln = = Ra) = 6 8, adică ( ) f l Hospital ln ln ln b) lim = lim = lim = = lim = f ( ) ln + ( ) ( ln ) ln + ( ln ) = lim = lim = lim = ( ln + ) = lim = ln = = c) Dtrminăm punctl critic, f ()=, = = = şi tablul d smn 8

19 + f () P (,], f () f st funcńi dscrscătoar, iar p [,+), f () f st funcńi crscătoar S considră funcńia f:r R, f() = ( +) a) Să s calculz f (), R b) Să s dtrmin punctl d trm al funcńii f f c) Să s calculz lim f R a) S calculază drivata după rgula produsului f = = + + = ( ) ( ) = + + = b) Dtrminăm punctl critic, f ()= şi din tablul d smn aflăm punctl d trm f = = =, =± f () P (+, ], f () f st funcńi crscătoar, iar p [-,+], f () f st funcńi dscrscătoar şi atunci = punct d maim local P [-,+], f () f st funcńi dscrscătoar, iar p [+,+), f () f st funcńi crscătoar şi atunci =+ st punct d minim local FuncŃia ar două punct d trm local, = şi = + f ( ) + c) lim = lim = lim = f ( ) + + = lim lim = = + + f ( )( + ) + sau lim = lim = lim = f + + = lim = lim = lim = S considră funcńia f:(,+ ) R, dfinită prin f = ln a) Să s calculz f (), (, ) b) Să s dtrmin punctl d trm al funcńii f c) Să s dmonstrz că ln pntru oric (,+ ) 9

20 R a) f = ( ln ) = = = b) Aflăm punctl critic, f ()=, = = ( )( + ) = =, =±, dar = nu st în domniul d dfinińi al funcńii şi atunci punct critic st = În tablul d smn contază numai smnul prsii -: f () / / / / / / / / / / / / / / / / / P intrvalul (,], f () f st dscrscătoar, iar p [,+) f () f st crscătoar şi atunci = st punct d trm c) Ingalitata s mai poat scri: ln ln ( ) ln, ca c n arată că s compară f ( ) cu f() Din monotonia funcńi d la pctb) avm funcńia crscătoar p [,+), adică f f ln, car st ingalitata d dmonstrat 5 S considră funcńia f : R R dfinită prin f() = a) Să s calculz f (), R b) Să s dmonstrz că f() pntru oric R c) Să s scri cuańia asimptoti oblic cătr la graficul funcńii f f = = R a) b) Dtrminăm monotonia funcńii şi punctl d trm f = = = = Tablul d smn: + f () f() m = punct d minim pntru f, adică f() f() f() =, pntru oric R c) EcuaŃia asimptoti oblic st y = m + n,und f m= lim = lim = lim = lim = = =, iar n= lim ( f m) = lim( ( ) ) = lim( + ) = lim = = şi asimptota oblică cătr la graficul funcńii va fi y = A + y = 6 S considră funcńia f : R R dfinită prin f() = a) Să s calculz drivata funcńii f b) Să s dtrmin intrvall d monotoni al funcńii f c) Să s arat că + + +, pntru oric R

21 R a) f = = b) Dtrminăm monotonia funcńii Punctl critic f = = = = Tablul d smn: - + f () f() m P intrvalul (-,], f () < f st dscrscătoar, iar p [,+), f ()> f st crscătoar c) Din punctul b) punctul d coordinat (,) st punct d minim, adică f() şi d asmna f( ) Adunăm cl două rlańii: ln 7 S considră funcńia f:(,+) R, f = a) Să s calculz f (), (, ) b) Să s dtrmin intrvall d monotoni al funcńii f c) Să s dtrmin cuańia asimptoti orizontal la graficul funcńii f R a) S calculază drivata funcńii după rgula d drivar a câtului ln ( ln ) ln ln f = = = b) Pntru studira monotonii dtrminăm punctl critic şi facm tablul d smn al ln drivati f = = ln = ln = = + f () P (,], f () atunci funcńia st crscătoar, p [,+), f () şi funcńia st dscrscătoar c) Calculăm limita la +: l Hospital ln ( ln ) lim f = lim = lim lim = = = lim = = şi atunci drapta y=, (aa O) st asimptotă orizontală spr +, 8 S considră funcńia f:r R, f = ln, > a) Să s studiz continuitata funcńii f în punctul = b) Să s dtrmin cuańia asimptoti cătr - la graficul funcńii f c) Să s arat că funcńia f st concavă p (, + )

22 R a) Pntru dtrminara continuităńii calculăm limitl latral în punctual = şi valoara funcńii: ls = lim f = lim = = = > > < < ld = lim f = lim ln = ln=, f = = = Avm l s ()=l d ()=f ()= şi atunci funcńia st continuă în = b) lim f = lim = lim lim = + = = + = = = şi drapta y = st asimptotă orizontală cătr la graficul funcńii f c) Pntru dtrminara concavităńii uni funcńii n folosim d drivat a II-a a funcńii P intrvalul (,+) funcńia st f()=ln şi atunci f =, f, > = > car st ngativă doarc > pntru oric (,+) Dacă f () < atunci funcńia st concavă p (,+ ) 9 S considră funcńia f :(,+ ) R, f () = ln a) Să s arat că f() f ()= b) Să s dtrmin punctul d trm al funcńii f f c) Să s calculz lim + R a) ln f() f ()= = b) = st punct critic şi tablul d variańi la funcńii: + f () f () f = = =, f = ( ln ) = şi f = = = Atunci P (,], f () şi f st dscrscătoar, iar p [, +), f () şi f st crscătoar, atunci A(,) st punct d minim f ln ln L H c) lim = lim = lim = lim = = lim = = S considră funcńia f :R R, f () = + f f a) Să s calculz lim b) Să s arat că funcńia f st convă p R c) Să s rzolv în mulńima numrlor ral cuańia f () f () + f () =

23 f f () f f () R a) lim = lim car st drivata funcńii în punctul = ( f f () f = + ) = + şi f () = + = şi atunci lim = b) Convitata s dtrmină cu ajutorul smnului drivati a II-a: f = + = + = +, f ()>, R şi atunci f st convă p R c) Înlocuim p f şi f d la pcta), rspctiv b) s obńin: f ()-f ()+f() = + (+ )+ + = = ++= (+) =, = S considră funcńia f :(,+ ) R, f ()= ln a) Să s arat că f ()=(ln+), oricar ar fi (,+ ) f b) Să s calculz lim ln c) Să s dmonstrz că f f = ln + ln = ln + R a), pntru oric > ( ln ) = + f ln + ln b) lim = lim = lim + ր = ln ln ln ln c) Dtrminăm monotonia funcńii: f = ( ln + ) = ln + = ln = =, tablul d smn > + f () f() min Punctul =, f = ln = = st punct d minim f, pntru oric > f = a) Să s calculz f()+f () f + f b) Să s calculz lim c) Să s arat că funcńia f st concavă p R R a) f = ( ) = + = + şi f ( ) f + = + + = + + = S considră funcńia f :R R,

24 b) + + f + f + lim = lim = lim = f = + = = <, R f st concavă p R c) S considră funcńia f :[,+ ) R, f a) Să s vrific că f = ( ) ( + ) = +, pntru oric [,+ ) b) Să s dtrmin cuańia asimptoti orizontal cătr + la graficul funcńii f c) Să s arat că f, oricar ar fi + R a) ( + ) ( + ) + f = = = = b) Asimptota orizontală y = l, l= lim lim = = = y = + + c) Dtrminăm monotonia funcńii: f ()= = =, punct d trm Tablul d variańi: + f () f() +, + f = = = f = = = = punct d maim + f () + f = + + S considră funcńia f :R R, a) Să s calculz f (), R b) Să s dtrmin lim f f c) Să s dmonstrz că funcńia f st crscătoar p R R a) f = = = ( 5 ) = + +

25 b) f f lim = f = ( + + 5) = 5 conf df drivati c) f = ( )( + + 5) + ( ) = ( ) = f st = = +, R crscătoar p R 5 S considră funcńia f :(,+ ) R, f = 6 a) Să s vrific că f =, pntru oric (;+ ) b) Să s dtrmin intrvall d monotoni al funcńii f c) Să dmonstrz că f ()+ f( ), pntru oric (;] R a) f = + = + b) Smnul drivati: f ()= 6= = = + f () ) ) 6 = + = P intrvalul (,], f () f st dscrscătoar, iar p [, + ), f () f st crscătoar c) f f lim (,] = <, f = = şi f < [,] f ( ) f + f ( ) f ( ) 5