ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 ΠΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ 016 ΜΘΗΜΤΙ Ι ΣΤΟΙΧΕΙ ΣΤΤΙΣΤΙΗΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ ΘΕΜΤ Ι ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΤΣΙΤΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ

2 ΠΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ ΤΕΤΡΤΗ 0 ΜΪΟΥ 016 ΕΞΕΤΖΟΜΕΝΟ ΜΘΗΜ: ΜΘΗΜΤΙ Ι ΣΤΟΙΧΕΙ ΣΤΤΙΣΤΙΗΣ ΘΕΜ A1. ν A και A είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: ΠΝΤΗΣΗ 1: Σχολικό βιβλίο σελ. 150 P(A) 1P(A). (Μονάδες 7) : Να δώσετε τον ορισμό της διαμέσου (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων. (Μονάδες ) ΠΝΤΗΣΗ : Σχολικό βιβλίο σελ. 7 3: Έστω f μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο 0xA (Μονάδες ) ΠΝΤΗΣΗ 3: Σχολικό βιβλίο σελ. 1

3 : Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιο σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) ν και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Β, τότε για τις πιθανότητές τους ισχύει P(A) P(Β). β) Ο σταθμισμένος αριθμητικός μέσος ή σταθμικός μέσος είναι μέτρο διασποράς. γ) ν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες, τότε ισχύει ότι: (f(x) g(x)) f(x)g(x) f(x)g(x) δ) Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής μεταβλητής. ε) ν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f(x)0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. (Μονάδες 10) ΠΝΤΗΣΗ A: α) Σωστό β) Λάθος γ) Σωστό δ) Σωστό ε) Λάθος ΘΕΜ Β x 5 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x) x 6x 1,x R. 3 3 Β1: Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f. (Μονάδες 9) ΠΝΤΗΣΗ Β1: Eίναι : f (x) x 5x 6,x R. Είναι f(x)=0x 5x60x3 ή x

4 x 3 f(x) f H f είναι γνησίως αύξουσα (,] και στο [3, ) ενώ είναι γνησίως φθίνουσα στο [, 3]. 11 Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x1, το f() 3 H f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x3, το f(3) 7 Β: Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της A(0,f(0)) ΠΝΤΗΣΗ Β: (Μονάδες ) H εφαπτομένη έχει (ε): yαxβ (1). Ισχύει ότι αf(0)6, οπότε (ε): y6xβ. Όμως (ε), άρα : f(0)60ββ1. Άρα : (ε) y6x1. Β3. Να υπολογίσετε το όριο f (x) 1 lim 1 x 1 x (Μονάδες ) ΠΝΤΗΣΗ Β3: Είναι : f (x) 1 f (x) 5x 6-1 x lim lim lim x1 x 1 x1 x 1 x1 5x 6 lim x 1 x 1 (x 6)(x 1) x 1 lim (x 6) 7. x1

5 ΘΕΜ Γ Μεταξύ των οικογενειών με τρία παιδιά επιλέγουμε τυχαία μία οικογένεια και εξετάζουμε τα παιδιά της ως προς το φύλο και ως προς τη σειρά γέννησής τους. Γ1. Να προσδιορίσετε το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος χρησιμοποιώντας ένα δενδροδιάγραμμα. ΠΝΤΗΣΗ Γ1: άνουμε το δεντροδιάγραμμα του πειράματος (Mονάδες ) ρχή : γόρι, : ορίτσι 1 ο Παιδί ο Παιδί 3 ο Παιδί Ω {AAA, AAK, AKA, AKK, KAA,, KKA, KKK} (ii) Β {,,,,,, } (iii) Γ {,,, }

6 Γ.. Να παρασταθούν με αναγραφή των στοιχείων τους τα ενδεχόμενα που προσδιορίζονται από την αντίστοιχη ιδιότητα: A: «τo πρώτο παιδί είναι κορίτσι» Β: «ο αριθμός των κοριτσιών υπερβαίνει τον αριθμό των αγοριών» Γ: «τα δύο πρώτα παιδιά είναι του ίδιου φύλου». ΠΝΤΗΣΗ Γ: Tα ενδεχόμενα με αναγραφή των στοιχείων τους είναι : {KAA, KAK, KKA, KKK} BAKK, KAK, KKA, KKK} Γ{,,, } (Μονάδες 6) Γ3: Υποθέτουμε ότι ο δειγματικός χώρος Ω αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. α) Να υπολογίσετε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων: ΔAB, Ε AB, ΖΓ Ε β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων: Η: «δεν πραγματοποιείται κανένα από τα,β» Θ: «πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα,β». ΠΝΤΗΣΗ Γ3: α) τα ενδεχόμενα Δ,Ε,Ζ με αναγραφή των στοιχείων τους είναι: Άρα: Δ=Β={,,} Ε=Β={,,,,} Ζ=ΓΕ={,} Ν(Δ)= 3, Ν(Ε)=5, Ν(Ζ)=, Ν(Ω)= πό τον κλασσικό ορισμό της πιθανότητας είναι: (μονάδες 9 ) (μονάδες 6 ) Μονάδες 15

7 Ρ(Ε)= Ν(Ε) 5 άρα Ρ(Ε)= Ν(Ω) Ρ(Ζ)= Ν(Ζ) άρα Ρ(Ζ)= Ν(Ω) 1 β) Το ενδεχόμενο: «δεν πραγματοποιείται κανένα από τα,β» είναι το (Β). άρα Ρ(Η)=Ρ((Β))=1Ρ(Β) Ρ(Η)=1 5 3 Το ενδεχόμενο: «πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα,β» είναι το (Β)(Β): Ρ(Θ)=Ρ((Β)(Β)) Β,Β ασυμβίβαστ α Ρ(Β)+Ρ(Β) = Ρ()Ρ(Β)+Ρ(Β)Ρ(Β) = Ρ(Β) Ρ(Β) οπότε: Ρ(Θ)= 5 3 1

8 ΘΕΜ Δ Οι χρόνοι (σε λεπτά) που χρειάστηκαν ν υπολογιστές για να τρέξουν ένα πρόγραμμα, έχουν ομαδοποιηθεί σε ισοπλατείς κλάσεις πλάτους c, όπως στον παρακάτω πίνακα: Χρόνος (σε λεπτά) [, ) εντρική Τιμή xi Συχνότητα vi [, ) 1 [, ) [, ) ΣΥΝΟΛΟ Δ1: Να αποδείξετε ότι c=. (Μονάδες ) ΠΝΤΗΣΗ Δ1: Χρόνος (σε λεπτά) εντρική τιμή xi [,+c) [+c,+c) 1 Άρα c c 16 3c c 3c 1 c

9 Δ: ν η μέση τιμή των χρόνων είναι x =1, να αποδείξετε ότι ν=5 (μονάδες ) και στη συνέχεια να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα κατάλληλα συμπληρωμένο (μονάδες ). ΠΝΤΗΣΗ Δ: O πίνακας γίνεται: (Μονάδες 6) Χρόνος (σε εντρική τιμή xi Συχνότητα vi xi * vi λεπτά) [, 1) [1,16) [16, 0) [ 0, ) ν ν ΣΥΝΟΛΟ 5+ ν 590+ ν Οπότε: x 590 v x ivi 1 i1 5 v (5 v )1 590 v 630 1v 0 v v v Άρα ο τελικός πίνακας γίνεται Χρόνος (σε εντρική τιμή xi Συχνότητα vi xi * vi λεπτά) [, 1) [1,16) [16, 0) [ 0, ) ΣΥΝΟΛΟ

10 Δ3: ν οι παρατηρήσεις είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες σε κάθε κλάση, να βρείτε πόσοι υπολογιστές χρειάστηκαν τουλάχιστον 9 λεπτά για να τρέξουν το πρόγραμμα. ΠΝΤΗΣΗ Δ3: Πάνω από 9 λεπτά χρειάστηκαν 3 v 3 v v3 v υπολογιστές 1 (Μονάδες 5) Δ: Να αποδείξετε ότι η τυπική απόκλιση των χρόνων είναι s= και να εξετάσετε αν το δείγμα των χρόνων είναι ομοιογενές. ΠΝΤΗΣΗ Δ: (Μονάδες 6) Χρόνος εντρική Συχνότητα x i x (xi x) (xi x) vi (σε λεπτά) τιμή xi vi [, 1) [1,16) [16, 0) [ 0, ) ΣΥΝΟΛΟ s i 1 (x i x) v v i Άρα s= και CV x s 0, 0,1 ή (%10%) x 1 Άρα το δείγμα είναι ανομοιογενές

11 Δ5: ντικαθιστούμε τον επεξεργαστή κάθε υπολογιστή με έναν ταχύτερο και βρίσκουμε ότι κάθε υπολογιστής τρέχει τώρα το πρόγραμμα στο 0% του χρόνου που χρειαζόταν πριν. Να εξετάσετε ως προς την ομοιογένεια το καινούργιο δείγμα χρόνων. ΠΝΤΗΣΗ Δ5: Έχουμε xi : αρχικός χρόνος yi : τελικός χρόνος Συνδέονται με την σχέση (Μονάδες ) y i y 0,x S y CV 0,x,i {1,,3...50} y i 0, S S y y x 0,s x 0,x To CV παραμένει αμετάβλητο s x x CV x