TUYỂN TẬP ĐỀ THI MÔN TOÁN THCS TỈNH HẢI DƯƠNG

Transcript

1 TUYỂN TẬP ĐỀ THI MÔN TOÁN THCS TỈNH HẢI DƯƠNG Tháng 7.006

2 GIỚI THIỆU Tuyển tập đề thi này gồm tất cả 0 đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Nguyễn Trãi Tỉnh Hải Dương (môn Toán chuyên) và 0 đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Hải Dương. Phần cuối tuyển tập là 30 bài toán được chọn từ các đề thi khác. Cấu trúc tuyển tập như sau: Phần I: Đề thi tuyển sinh vào lớp 0 Phần II: Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Phần III: Một số bài toán từ các đề thi khác Xin chú thích thêm vể các bài toán ở Phần III, đó là các bài toán được chọn từ các đề thi Toán không được giới thiệu toàn bộ trong tuyển tập này. Có nhiều bài toán khó, đề phân loại học sinh trong các cuộc thi, hoặc những bài toán đã được cải biên cho hay hơn, khó hơn. Tuyển tập này không có lời giải, mọi vấn đề hỏi đáp, yêu cầu, góp ý xin xem tại Toán cho học sinh THCS Đề thi-đáp án Tuyển tập đề thi Tỉnh Hải Dương Tuyển tập chắc chắn sẽ không tránh khỏi thiếu sót, mong các bạn thông cảm. hieuchuoi@ Tháng 7.006

3 PHẦN I ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI MÔN THI: TOÁN CHUYÊN 3

4 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC MÔN THI: TOÁN CHUYÊN THỜI GIAN: 50 PHÚT ) Tìm các số tự nhiên a, b thỏa mãn: ) Tìm các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn: ) Tính tổng ab= ( a ) + ( b+ ) x 4y z = 0 S = ) Tính giá trị biểu thức A: A x x x = với x= Ba đường phân giác trong các góc A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại A, B, C. Chứng minh rằng: AA + BB + CC > AB+ BC+ CA Cho hình bình hành ABCD, đường phân giác BAD cắt cạnh BC và CD tại M và N. ) Chứng minh rằng: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác CBD. ) Gọi K là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác CBD. Chứng minh rằng 0 AKC= 90. Câu V: Chứng minh bất đẳng thức: a b b c c a + + c a b Trong đó 997 a, b, c 998 4

5 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - THỜI GIAN: 50 PHÚT Giải hệ phương trình xy y= yz z= zx x= Dãy số a,...,, a an được cho theo quy luật sau: a = ; a = a+ ;...; an = an + a an Chứng minh rằng 7< a45 < Cho tam giác ABC không cân, BD và CE là hai đường phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại I sao cho ID=IE ) Tính độ lớn góc BAC. ) Chứng minh đẳng thức 3 = + AB+ BC+ CA AB+ BC BC+ CA Cho tam giác ABC, M là một điểm bất kì nằm trong tam giác. AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại P, Q, R. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: AM BM CM + + MP MQ MR 5

6 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - THỜI GIAN: 50 PHÚT Giải hệ phương trình x + xy+ y x+ y = x xy y x x = 0 Tìm các số nguyên k, m, n đôi một khác nhau và đồng thời khác 0 để đa thức x( x k)( x m)( x n) + phân tích thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên. Cho đường tròn tâm O và một điểm M nằm ngoài hình tròn. Qua M kẻ cát tuyến cắt đường tròn tại B, C (MC > MB) và tiếp tuyến MA (A là tiếp điểm). ) Gọi E, F là chân đường cao của tam giác ABC kẻ từ B, C. Chứng minh rằng EF luôn song song với một đường thẳng cố định khi cát tuyến MBC thay đổi. ) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên MO. Chứng minh rằng tứ giác BHOC là tứ giác nội tiếp. 3) Tìm quỹ tích trọng tâm tam giác ABC khi cát tuyến MBC thay đổi. Cho đa giác lồi A A A3 A4 A5 A 6 A7 A 8 có các góc ở đỉnh bằng nhau và độ dài các cạnh là những số nguyên. Người ta tô mỗi cạnh bằng một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng bao giờ cũng tồn tại cách tô màu sao cho tổng độ dài các cạnh màu xanh bằng tổng độ dài các cạnh màu đỏ. Câu V: Chứng minh bất đẳng thức: m n n ( 3+ ) với m, n N * 6

7 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - THỜI GIAN: 50 PHÚT Tính giá trị của biểu thức: ) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: x 5y+ + y 4x 3 + x+ y+ + x+ 3y+ 6 = 7 ) Giải phương trình theo tham số m: m m m x = x 3) Cho tứ giác lồi có diện tích bằng. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng các cạnh và hai đường chéo. Chứng minh rằng với bất kì hai số a và b luôn tìm được các số x, y trong đó 0 x,0 y. Thỏa mãn bất đẳng thức: xy ax by 3 Có thể thay số 3 ở bất đẳng thức trên bằng hằng số c khác với c> được 3 không? Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI, O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDI. ) Chứng minh tứ giác OOO I là hình bình hành. ) Một đường thẳng qua I cắt đường tròn tâm O tại M, N, cắt đường tròn tâm O và tâm O thứ tự tại P, Q. Chứng minh rằng PM=QN. 7

8 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC MÔN THI: TOÁN CHUYÊN -THỜI GIAN: 50 PHÚT Chứng minh rằng biểu thức: x+ y x+ y A= xy+ x + xy y Không phụ thuộc vào x và y. ) Giải phương trình ( x ) 4( x ) = ( x+ ) ) Xác định các giá trị của m để phương trình: x 4mx+ 4m + + x 6x + 7 = 0 x m Có một nghiệm duy nhất. ) Cho hai đường tròn tâm O và O tiếp xúc trong tại M (đường tròn tâm O (N khác M), qua N kẻ một O nằm trong), N là một điểm nằm trên ( ) tiếp tuyến với ( O ) cắt ( ) Gọi I là tiếp điểm của tiếp tuyến với ( ) O tại A và B. Đường thẳng MN cắt( O ) tại E. O kẻ từ E. Đường thẳng EI cắt đường tròn ( O ) tại C. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. ) Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác và r, R lần lượt là độ dài bán kính đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là: = a b c Rr Cho n là số tự nhiên lẻ và n có thể biểu diễn không ít hơn hai cách là tổng của hai số chính phương. Chứng minh rằng n là hợp số. 8

9 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - THỜI GIAN: 50 PHÚT Bài I: Cho đa thức f(x) có bậc 000 thỏa mãn điều kiện f ( n) n=,,3,...,00. Tính giá trị f(00). Bài II: ) Giải phương trình 8 x 3 + = 3( x x) ) Cho ba số k, m, n Ν * đồng thời thỏa mãn + + < k m n Xác định số hữu tỉ q nhỏ nhất sao cho + + q. k m n = với n Bài III: ) Cho tam giác nhọn ABC có 0 BAC= 60 và nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi H là trực tâm tam giác đó. Chứng minh rằng OH = AB AC ) Cho tam giác đều ABC và một đường tròn có bán kính bằng cạnh của tam giác đều đó đồng thời đi qua hai đỉnh B và C sao cho đỉnh A nằm ngoài đường trong, M là điểm trên đường tròn (M không trùng với B và C). Chứng minh rằng MA, MB, MC là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Bài IV: ) Cho dãy số tự nhiên được viết theo quy luật sau: u = 4; u = 44; u3= 444;...; u n = (có n chữ số 40. Tìm các số hạng của dãy là số chính phương. ) Lấy các số nguyên từ đến 9 xếp vào các ô của một hình vuông 3x3 ô (mỗi số chỉ lấy lần) sao cho tổng mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo đều là bội của 9. Chứng minh rằng chữ số nằm ở ô của tâm hình vuông là bội của 3. Hãy chỉ ra một cách xếp có số ở ô tâm là 6. 9

10 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - THỜI GIAN: 50 PHÚT Cho hai số dương a và b. Xét tập hợp T bao gồm các số có dạng T = ax+ by; x+ y= ; x> 0; y> 0 { } Chứng minh rằng các số ab và ab đều thuộc tập hợp T. a+ b Cho tam giác ABC, D và E là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các cạnh AB và AC, đường phân giác của góc B cắt đường thẳng DE tại H. Chứng minh tam giác BHC là tam giác vuông. ) Giải hệ phương trình; ( x+ y)( x y ) = 45 ( x y)( x + y ) = 85 ) Tìm các số hữu tỉ a, b, c sao cho các số a+ ; b+ ; c+ là các số nguyên dương. b c a Tìm đa thức f ( x ) và g( x ) hệ số nguyên sao cho: Câu V: Tìm số nguyên tố p để Câu VI: Cho phương trình u n x = x x x n n f g 4 p + và x ax b ( + 7) ( + 7) = 6 p + đều là các số nguyên tố + + = 0 có hai nghiệm là x và x ( x x ). Đặt (n là số tự nhiên). Tìm giá trị a và b sao cho đẳng thức 0

11 ( ) u u u u = đúng với mọi số tự nhiên n, từ đó suy ra u + u = u. 3 n n+ n+ n n+ n n+ n+

12 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - THỜI GIAN: 50 PHÚT Tìm giá trị của a đề phương trình: ( 3) ( 3 3) 3( 3 3) 4 3 a x a a a x = Có vô số nghiệm. Tìm các số tự nhiên a, b, c ( a b c) thỏa mãn đẳng thức: = a b c Cho a, b, c là các số nguyên dương sao cho ) Chứng minh rằng b = ac ) Với b. Chứng minh rằng a b b c 3 3 a + b + c là hợp số. là số hữu tỉ. Cho hình bình hành ABCD, M là điểm nằm trong hình bình hành sao cho 0 AMB+ CMD= 80. Chứng minh rằng MAD = MCD. Câu V: Cho tam giác cân ABC( AB= AC), đường phân giác trong kẻ từ đỉnh B cắt cạnh AC tại D thỏa mãn BC= BD+ DA. ) Tính các góc của tam giác ABC. 3 3 ) Chứng minh rằng a b 3ab AB= AC= b; BC= a. + = ( )

13 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - THỜI GIAN: 50 PHÚT Cho phương trình x 5x+ 3= 0. Gọi hai nghiệm của phương trình là x, x. Tính giá trị của biểu thức: A= x x + ) Giải hệ phương trình: x+ 0+ y 6= 4 x 6+ y+ 0= 4 ) Cho phương trình ( x )( x )( x 3)( x 6) = ( m ) x (ẩn x) Giả sử phương trình có bốn nghiệm là x, x, x3, x 4. Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào m. x x x x 3 4 Cho tam giác ( 0 ABC BAC 90 ) nội tiếp đường tròn tâm O, đường thẳng AB, AC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC tâm I lần lượt tại M và N. Gọi J là điểm đối xứng của I qua MN. Chứng minh rằng: ) Tam giác AMC là tam giác cân. ) AJ vuông góc với BC. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Gọi M, H, K theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ A đến CD, DB, BC. Chứng minh HM=HK khi và chỉ khi các đường phân giác góc BAD, BCD và BD đồng quy. Câu V: Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a b c; abc= và Chứng minh rằng a+ b> ab+ a+ b+ c> + + a b c 3

14 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - THỜI GIAN: 50 PHÚT Rút gọn biểu thức: ) Cho hai đa thức f x = x 3x + 7x 9x + 8x ; g x = x x+ a ( ) ( ) Xác định giá trị của a để tồn tại đa thức ( ) f ( x) = g( x) p( x) với mọi giá trị của x. p x thỏa mãn: 3 ) Gọi α là nghiệm của đa thức f ( x) = x x. Tìm đa thức ( ) số nguyên nhận α + làm nghiệm. h x có hệ Cho phương trình x 4x+ = 0, gọi x, x là hai nghiệm của phương trình. n n x x Đặt an = ; n= ;; Chứng minh rằng a n là một số nguyên với mọi n= ;;3... Cho tam giác nhọn ABC, gọi H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. ) Chứng minh rằng AH=AO khi và chỉ khi 0 BAC= 60 ) BD, CE là hai đường phân giác trong của góc B, C ( D AC, E AB). M là điểm trên BC sao cho tam giác MDE là tam giác đều. Chứng minh rằng AH=AO. Câu V: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn các điều kiện: a< b< c; a+ b+ c= 6; ab+ bc+ ca= 9 Chứng minh rằng 0< a< < b< 3< c< 4 4

15 PHẦN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN 5

16 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN NĂM HỌC THỜI GIAN 50 PHÚT x x ) Cho =. Hãy tính P= 4 x + x+ 4 3 x + x ( x+ y) + xy= 9 ) Giải hệ phương trình: 3xy+ x+ y= 35 Cho ( ) f x = ax + bx+ c. k k ) Giả sử f ( x ) có nghiệm x, x. Kí hiệu P( k) x x Chứng minh rằng ap( k ) bp( k ) cp( k) 0 = =. Áp dụng để tính 9 9 R= ( 0,5+, 5) + ( 0,5,5). ) Cho 0 f ( m) với { 0;;} Chứng minh ( ),5 m. f x với mọi x thỏa mãn x. 3) Cho a=, b và c là các số nguyên. Chứng minh có thể tìm được số tự nhiên n sao cho: f n+ ; f n+ ;...; f n+ 996 đều là hợp số. ( ) ( ) ( ) Cho các số hữu tỉ a, b, c thỏa mãn: abc= a b c b a c + + = b c a a c b Chứng minh rằng trong ba số 3 a; 3 b; 3 c có ít nhất một số là số hữu tỉ. Trên các cạnh AB, BC, CA theo thứ tự lấy F, D, E và dựng về phía ngoài tam giác ABC một tam giác ACK sao cho ACK = DFE ; CAK = FDE. Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF cắt AC tại M (nằm giữa C và E). Chứng minh rằng: ) FM song song AK. ) Tứ giác DBFK và tam giác ABC có diện tích bằng nhau. (còn tiếp ở trang sau) 6

17 Câu V: Cho đường thẳng a cắt đường gấp khúc kín L tại 997 điểm. Có tồn tại một đường thẳng cắt L tại không ít hơn 998 điểm hay không? 7

18 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN NĂM HỌC THỜI GIAN 50 PHÚT ) Giải và biện luận phương trình: m( m ) m 3m+ + = (x là ẩn, m là tham số) x m m x x+ m ) Tìm các số tự nhiên a, b, c thỏa mãn hệ phương trình: a = b + c + 3abc a = ( b+ c) Cho a, b là hai số dương a b ) Chứng minh rằng a + b b + a ab ) Tìm giá trị nhỏ nhất của a + b ab + ab a + b ) Cho tứ giác lồi ABCD, biết góc BAC= 30 ; ADB= 50 ; DCA= 40 ; 0 CDB= 60 ; và 0 ABC+ ADC< 80. Tính các góc của tứ giác ABCD. 0 ) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Một góc 45 quay xung quanh đỉnh A và nằm bên trong hình vuông cắt cạnh BC, CD lần lượt ở M và N. a) Chứng minh rằng ( BM + DN) a+ BM. DN = a. b) Đường thẳng AM cắt đường thẳng CD tại E. Chứng minh + = AM AE a 8

19 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN NĂM HỌC THỜI GIAN 50 PHÚT ) Rút gọn: ) Cho a, b là hai số dương có tổng bằng Chứng minh bất đẳng thức a+ + b+ 9 b a Cho phương trình x x + 4a = 0 (x là ẩn số) ) Giải phương trình khi a =. ) Tìm a để phương trình có 4 nghiệm x, x, x3, x 4. Khi đó tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x + x + x + x 3 4 ) Cho tứ giác ABCD, sao cho AB, CD kéo dài cắt nhau tại M; AD, BC kéo dài cắt nhau tại N, đường phân giác AMD và CND cắt nhau tại P. Chứng minh rằng: Nếu tứ giác ABCD nội tiếp thì tam giác MNP vuông. Điều ngược lại có đúng không? ) Cho tam giác cân ABC ( AB= AC). Trên đường cao AH lấy điểm D và trên cạnh AC lấy điểm E sao cho EBC = ACD và BEC = AED. Tính EBC. 9

20 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN NĂM HỌC THỜI GIAN 50 PHÚT Rút gọn biểu thức A= ( ( ) ( ) ) a + a a + a với a Cho hai số a và b nguyên. Chứng minh rằng phương trình x + 3ax 3 b + = 0 không có nghiệm nguyên. ( ) Cho hai đường tròn tâm O và tâm O cắt nhau tại A và B, qua A kẻ cát tuyến bất kỳ cắt đường tròn tâm O tại C và đường tròn tâm O tại D. ) Đường thẳng AO cắt đường tròn tâm O tại P, đường thẳng AO cắt đường tròn tâm O tại Q. Chứng minh rằng PCA = QDA. ) Gọi M, N là điểm chính giữa cung CB và BD (không chứa A), K là trung điểm đoạn CD. Chứng minh rằng MK vuông góc với NK. m Cho > 0 (m, n là các số tự nhiên khác 0). Chứng minh rằng n m > n 3mn 0

21 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN NĂM HỌC THỜI GIAN 50 PHÚT ) Cho ( x x )( y y ) ) Cho ( x y )( y x ) ) Tìm số nguyên x để =. Tính x+ y =. Chứng minh rằng x+ y= 0. ) Giải hệ phương trình x + 3x 35= p với p là số nguyên tố. x + y = x y = Cho hai điểm C và D nằm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB (C nằm giữa A và D). Đường tròn qua 3 điểm A, C, O cắt đường tròn qua 3 điểm B, D, O tại N. Đường thẳng AD cắt đường thẳng BC ở I. ) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, I, N cùng nằm trên một đường tròn. Và bốn điểm C, D, I, N cũng nằm trên một đường tròn. ) Chứng minh rằng tam giác ONI vuông. Cho hai số thực x và y. Chứng minh rằng luôn tồn tại một số hữu tỉ xen giữa hai số ấy.

22 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN NĂM HỌC THỜI GIAN 50 PHÚT Cho phương trình: x ( m ) x ( m m ) + = 0 ) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm. Gọi x, x là hai nghiệm của phương trình. Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và x không phụ thuộc vào m. ) Tìm giá trị của m để x 3 3 x 36 + =. Giải hệ phương trình x + x+ y 0,75+ y + x+ y 0,75+ x+ y= 4,5 x + x+ y 0,75+ y + x+ y 0,75 x y= Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cai AH ( H BC). Gọi D là điểm đối xừng của A qua H. I là điểm trên HD. Qua I kẻ đường thẳng cắt cạnh AC tại M và CD kéo dài tại N sao cho IM = IN. Chứng minh rằng tam giác BMN là tam giác cân Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab+ bc+ ca+ abc= 4. Chứng minh rằng a+ b+ c ab+ bc+ ca.

23 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN NĂM HỌC THỜI GIAN 50 PHÚT Tình giá trị của biểu thức x= A x x = với ( ) ( ) ( ) ) Cho phương trình ( ) : 3+ x a x a a = 0. Gọi x, x là hai nghiệm ax ax 8 của phương trình. Tìm giá trị của a để + = x x 9 ) Giải hệ phương trình ( 8)( ) y = x+ x + ( ) ( ) = y x x x y Cho đa giác ABCDE nội tiếp trong một đường tròn. Gọi M là giao điểm của AC và BD, N là giao điểm của AD và CE, các tam giác ABM, AMN, AEN, CDM, CDN có diện tích bằng nhau. Chứng minh rằng: ) Tứ giác CMND là hình thang cân ) AB + AC. AE= AD Cho a, b, c là các số thực không âm và a + b + c =. Chứng minh rằng a+ b+ c abc+ 3

24 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN NĂM HỌC THỜI GIAN 50 PHÚT Câu I : Giải phương trình: xy x y+ a + x y + x y+ xy 4b = 0 ( )( ) a= b= Hai phương trình x ( a ) x 0; x ( b ) x c 0 chung, đồng thời hai phương trình x x ( a ) x cx ( b ) có nghiệm chung. Tính giá trị của biểu thức 004a b+ c + + = = có nghiệm + + = 0; = 0 cũng Cho hai đường tròn ( O ) và ( O ) cắt nhau tại A và B. Đường thẳng O A cắt ( O ) tại D. Đường thẳng O A cắt ( O ) tại C. Qua A kẻ đường thẳng song song với CD cắt ( O ) tại M và cắt ( O ) tại N. Chứng minh rằng: ) Năm điểm B, C, D, O, O cùng nằm trên một đường tròn. ) BC+ BD= MN Tìm các số thực x và y thỏa mãn x + y = 3 và x+ y là một số nguyên. 4

25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN NĂM HỌC THỜI GIAN 50 PHÚT ) Gọi x, x là nghiệm của phương trình x + 004x+ = 0 và x3, x 4 là nghiệm của phương trình x + 005x+ = 0. Tính giá trị của biểu thức x + x x + x x x x x ( )( )( )( ) ) Cho a, b, c, d là các số thực và a + b <. Chứng minh rằng phương trình a + b x ac+ bd x+ c + d = 0 luôn có nghiệm. ( ) ( ) m+ n+ Cho hai số tự nhiên m và n thỏa mãn + là số nguyên. Chứng minh n m rằng ước chung lớn nhất của m và n không lớn hơn m+ n. Cho hai đường tròn ( O ) và ( ) đường tròn gần B có tiếp điểm là C và D; C ( O) ; D ( O ) thẳng song song với CD, cắt ( ) O cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến chung của hai O tại M và cắt ( ). Qua A kẻ đường O tại N. Đường thẳng BC, BD cắt đường thẳng MN tại P, Q. Đường thẳng CM và DN cắt nhau tại E. Chứng minh rằng: ) Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD ) Tam giác EPQ là tam giác cân x+ y= Giải hệ phương trình 5 5 x + y = 5

26 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN NĂM HỌC THỜI GIAN 50 PHÚT Rút gọn biểu thức ( ) ( ) 3 a 5a+ a a 9+ a + 3 A= a 3 5 a + a a 9 a 3 Chứng minh rằng 0 5 cos7 = 4 ) Cho phương trình 3x ( p ) x+ p 6 p+ = 0 (p là tham số) Tìm các số hữu tỉ p để phương trình có ít nhất một nghiệm nguyên. ) Giải hệ phương trình ( x y) = 3 y x ( x+ 4y ) + = 5 4xy Cho hai đường tròn ( O),( O ) cắt nhau tại A và B. ) Một điểm M trên ( O ), Qua M kể tiếp tuyến MD với ( ) điểm). Chứng minh rằng biểu thức của M trên ( O ). MD MA. MB O (D là tiếp không phụ thuộc vào vị trí ) Kéo dài AB về phía B lấy điểm C. Từ C kẻ hai tiếp tuyến CE, CF với O bờ đường tròn ( ) O (E, F là các tiếp điểm và F nằm cùng phía với ( ) AB). Đường thẳng BE và BF cắt đường tròn ( ) O tại P và Q. Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh rằng ba điểm E, F, I thẳng hàng. 6

27 PHẦN III MỘT SỐ BÀI TOÁN TỪ CÁC ĐỀ THI KHÁC 7

28 Bài : Cho tam giác cân ABC( AB AC) =. M là điểm chuyển động trên cạnh đáy BC. Dựng đường tròn thứ nhất đi qua M và tiếp xúc với AB tại B, đường tròn thứ hai đi qua M tiếp xúc với AC tại C. Hai đường tròn này cắt nhau tại D. ) Chứng minh đường thẳng DM luôn đi qua điểm cố định ) Chứng minh tổng độ dài hai đường tròn trên không phụ thuộc vào vị trí của M. (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm Môn Toán cho các lớp chuyên KHTN Đã cải biên) Bài : Cho 997 số thực a, a,..., a 997 thỏa mãn a+ a+ a a997 = 0 a + a + a a997 = 997 Chứng minh rằng trong 997 số đó bao giờ cũng tồn tại hai số có tích không vượt quá. (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm Môn Toán cho các lớp chuyên KHTN) Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC. D là một điểm trên cạnh BC. ) Gọi O; O ; O thứ tự làm tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; ABD; ADC. Chứng minh rằng OOO là tam giác cân khi và chỉ khi AD là phân giác BAC. S ABD ) Dựng điểm D sao cho = S ADC (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm Môn Toán cho các lớp chuyên KHTN- Đã cải biên) Bài 4: Tìm các cặp số tự nhiên ( x, y ) thỏa mãn phương trình: x 3xy y + 8= 0 (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm Môn Toán cho các lớp chuyên KHTN) Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, M là điểm chuyển động trên nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B lần lượt ở C và D. Đường thẳng OC cắt AM tại E và đường thẳng OD cắt BM tại F. Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp và xác định vị trí của M để đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD có chu vi nhỏ nhất. (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm Môn Toán cho các lớp chuyên KHTN- Đã cải biên) 8

29 Bài 6: Tìm các số nguyên x, y, z với x< y< z thỏa mãn phương trình: ( ) ( ) ( ) x y + z + y x + z + z x + y + x y z = 50 (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm Môn Toán cho các lớp chuyên KHTN) Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M x y z = + với,, x y z thỏa x+ y z= mãn: 4x+ 3y z= 0 (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm Môn Toán cho các lớp chuyên KHTN) Bài 8: Cho đường tròn ( O ) và dây BC không qua tâm. A là điểm chuyển động trên đường tròn sao cho tam giác ABC nhọn. BM và CN là các đường cao của tam giác ABC. ( M AC; N AB). Chứng minh rằng độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN không đổi. (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm Môn Toán cho các lớp chuyên KHTN- Đã cải biên) Bài 9: Cho x, y, z là các số dương và xy+ yz+ zx=. Chứng minh rằng: x + xy+ y + y + yz+ z + z + zx+ x 3 (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm Môn Toán cho các lớp chuyên KHTN) Bài 0: Chứng minh rằng a + b a + c b c với a, b, c R (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm Môn Toán cho các lớp chuyên KHTN) Bài : Cho đường tròn ( O ) và dây AB, M là điểm chuyển động trên đường tròn. Từ M kẻ MH vuông góc AB ( H AB). Gọi E và F là hình chiếu của H trên MA và MB. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với EF cắt dây AB tại D. ) Chứng minh rằng đường thẳng MD luôn đi qua điểm cố dịnh khi M thay đổi trên đường tròn. MA AH AD ) Chứng minh = MB BD BH (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm Môn Toán cho các lớp chuyên KHTN) 9

30 3 3 3 Bài : Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab> c; a + b = c +. Chứng minh rằng a+ b> c+. (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm Môn Toán cho các lớp chuyên KHTN) Bài 3: Cho đường tròn ( O ) và dây AB không qua tâm. M là điểm trên đường tròn sao cho tam giác ABM nhọn. Phân giác MAB và MBA cắt ( O ) lần lượt tại P và Q. Gọi I và giao điểm của AP và BQ. ) Chứng minh rằng MI vuông góc PQ ) Chứng minh rằng tiếp tuyến chung của đường tròn tâm P tiếp xúc với MB, và đường tròn tâm Q tiếp xúc với MA luôn song song với một đường thẳng cố định khi M thay đổi. (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm Môn Toán cho các lớp chuyên KHTN) O. Góc 0 BAC= 60. H là trực tâm tam giác ABC. Đường thẳng OH cắt AB và AC lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng BM + CN = MN (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm Môn Toán cho các lớp chuyên KHTN Đã cải biên) Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( ) Bài 5: Cho phương trình ax bx c 0( a 0) + + = có hai nghiệm là x, x thỏa 3 mãn ax + bx + c= 0. Tính giá trị của biểu thức M = a c+ ac + b 3abc (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm Môn Toán cho các lớp chuyên KHTN) 5 3 x 4x 3x+ 9 x Bài 6: Tính giá trị của A= với = 4 x + 3x + x + x+ 4 (Đề thi tuyển sinh vào THPT năm học ) Bài 7: Tìm số nguyên m để m + m+ 0 là số hữu tỉ. (Đề thi tuyển sinh vào THPT năm học ) Bài 8: Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá ( ) 7 (Đề thi tuyển sinh vào THPT năm học ) 30

31 Bài 9: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thỏa mãn phương trình: 3 x+ 7 y = 300 (Đề thi tuyển sinh vào THPT năm học 00-00) Bài 0: Tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn điều kiện BC AC( AB AC) +. Giả sử D là một điểm trên BC kéo dài sao cho CAD = ABC. Chứng minh rằng: BD AD AB AD BD AD Bài : Chứng minh bất đẳng thức sau với a, b, c dương: bc ac ab + + a + bc a + ac c + ab (Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Tỉnh Hải Dương vòng Năm học đã cả biên) Bài : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác BCD và ACD. Chứng minh AH, BK cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn. (Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Tỉnh Hải Dương - vòng Năm học ) Bài 3: ) Tìm số có ba chữ số aba sao cho aba= ( a+ b) 3 a+ b ) Tìm các số nguyên a, b thỏa mãn = a ab+ b (Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Tỉnh Hải Dương vòng Năm học ) Bài 4: Cho a, b là các số thực dương và a + b a + b. Chứng minh rằng 3 3 a + b. (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi) Bài 5: Giải phương trình x + x + x x + = x x+. (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi Dự bị) 3 7 (Còn tiếp ở trang sau) 3

32 5 bài toán từ 6 tới 30 là 5 bài toán trong Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi tỉnh Hải Dương năm 997. Bài 6: Tìm tất cả các số tự nhiên k thỏa mãn: Tích các chữ số của k bằng 44k Bài 7: Giải hệ phương trình = 3 3 x y b x y xy = b Bài 8: Tìm mối liên hệ giữa a, b, c biết rằng tích một nghiệm của phương trình x + ax+ = 0 với một nghiệm nào đó của phương trình x + bx+ = 0 là một nghiệm của phương trình x + cx+ = 0. Bài 9: Cho MN là một dây của đường tròn ( O ). Vẽ một tam giác ABC bất kì có AB là đường kính của đường tròn và hai cạnh AC, BC lần lượt đi qua M, N. Chứng minh rằng đường cao hạ từ C của tam giác ABC đi qua một điểm cố định. Bài 30: Trong lục giác lồi ABCDEF độ dài các đường chéo AD, BE, CF đều lớn hơn. Hỏi có thể luôn tìm được ở lục giác đó một cạnh có độ dài lớn hơn hay không? HẾT 3