ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ. Παραδείγματα για την 9 η παράδοση Συμβολικές πράξεις

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ Μάθημα: Μέθοδοι Επίλυσης με Η/Υ Ακαδ. Έτος: Παρασκευή, 15/05/2015 Διδάσκοντες: Ν.Δ. Λαγαρός (Επικ. Καθηγητής), Μ. Φραγκιαδάκης (Λέκτορας), Α. Στάμος (ΕΔΙΠ) Παραδείγματα για την 9 η παράδοση Συμβολικές πράξεις 1. Υπολογισμός κ.β. και ροπής αδρανείας διατομών Να υπολογιστεί το κέντρο βάρους και οι κεντροβαρικές δευτεροβάθμιες ροπές αδρανείας στις εξής διατομές: α) τριγωνικής (ορθ. Τρίγωνο) h β) ημικυκλικής διατομής ακτίνας α) S y h dy d, c = S y A, A= h 2 S I y h y dyd, y c = S A h 2 dy d, I yc =I y 2 c A I h y 2 dy d, I c =I y c 2 A Κώδικας syms h y S Sy c yc I Iy Ic Iyc; Sy = int(int(, y, 0, h-/*h),, 0, ); S = int(int(y, y, 0, h-/*h),, 0, ); A = *h/2; c = Sy/A yc = S/A Iy = int(int(^2, y, 0, h-/*h),, 0, ); I = int(int(y^2, y, 0, h-/*h),, 0, ); Iyc = Iy - c^2*a Ic = I - yc^2*a

2 Αποτελέσματα c = /3 yc = h/3 Iyc = (^3*h)/36 Ic = (*h^3)/36 β) S y rcos(ϕ)r dr dϕ, c = S y A, A= π 2 2 S rsin(ϕ)r dr d ϕ, yc = S A I y (rcos(ϕ)) 2 r dr d ϕ, I yc =I y c 2 A S (rsin(ϕ)) 2 r dr dϕ I c =I y c 2 A Κώδικας syms r phi S Sy c yc I Iy Ic Iyc; Sy = int(int(r*cos(phi)*r, r, 0, ), phi, 0, pi); S = int(int(r*sin(phi)*r, r, 0, ), phi, 0, pi); A = pi*^2/2; c = Sy/A yc = S/A Iy = int(int((r*cos(phi))^2*r, r, 0, ), phi, 0, pi); I = int(int((r*sin(phi))^2*r, r, 0, ), phi, 0, pi); Iyc = Iy - c^2*a Ic = I - yc^2*a Αποτελέσματα c = 0 yc = (4*)/(3*pi) Iyc = (pi*^4)/8 Ic = (pi*^4)/8 (8*^4)/(9*pi)

3 2. Υπολογισμός απόκρισης μονώροφης οικοδομής σε σεισμό Μικρή μονώροφη οικοδομή έχει μάζα m=13000 kg, δυσκαμψία k=10 7 N/m και απόσβεση c=80000 N/(m s). Η οικοδομή υπόκειται σε σεισμική διέγερση με επιτάχυνση q=ü g που δίνεται από το αρχεία (cm/s με Δt=0.02 sec): earthquake1.dat ( earthquake2.dat ( Να υπολογιστεί το η επιτάχυνση της οικοδομής και να γίνει διάγραμμα με τη σεισμική επιτάχυνση και την επιτάχυνση της οικοδομής. Θεωρώντας u(t) την μετατόπιση της οικοδομής, ισχύει: mu+c u+ku= mq Θεωρώντας γραμμική μεταβολή της επιτάχυνσης (του εδάφους) για το χρόνο Δt μεταξύ δύο διαδοχικών τιμών q j 1 και q j 1 από το αρχείο, η επιτάχυνση μπορεί να γραφεί: q=ü g =a+t, a=q j 1, = q j q j 1 Δ t Έτσι η εξίσωση κίνησης γίνεται: mu+c u+ k u= m(a+t ) με αρχική μετατόπιση u(0)=u o και αρχική ταχύτητα u(0)=v o Κώδικας syms a uo vo u(t) q(t); k=10e6; c=80e3; m=13000; q(t) = a+*t; du = diff(u, t); ddu = diff(u, t, 2); f(t)=dsolve(k*u+c*du+m*ddu==-m*q, u(0)==uo, du(0)==vo) df = diff(f, t); f(0) df(0) fw = fopen('q2', 'w'); fprintf(fw, '%s\n', char(f)); fprintf(fw, '%s\n', char(df)); fclose(fw); as = dlmread('earthquake1.dat'); as = as./ 100; n = length(as); dt = 0.02; ukt = zeros(n, 1); vkt = zeros(n, 1); akt = zeros(n, 1); ukt(1) = 0; vkt(1) = 0; akt(1) = -(k*ukt(1)+c*vkt(1)+m*as(1))/m; j = 1;

4 n = 50; for j=2:n i=j-1; n = (as(j)-as(i))/dt; an = as(i); fn = sus(f, [a,, uo, vo], [an, n, ukt(i), vkt(i)]); dfn = sus(df, [a,, uo, vo], [an, n, ukt(i), vkt(i)]); ukt(j) = fn(dt); vkt(j) = dfn(dt); akt(j) = -(k*ukt(j)+c*vkt(j)+m*as(j))/m; t = dt:dt:dt*n; %plot(t(1:n), ukt(1:n), t(1:n), vkt(1:n), t(1:n), akt(1:n)); plot(t(1:n), as(1:n), t(1:n), akt(1:n)); leg('seismos', 'ktirio'); Υπολογισμός διαγραμμάτων χωρίς τη χρήση συμβολικών συναρτήσεων as = dlmread('earthquake1.dat'); as = as./ 100; dt = 0.02; n = length(as); ukt = zeros(n, 1); vkt = zeros(n, 1); akt = zeros(n, 1); ukt(1) = 0; vkt(1) = 0; akt(1) = -(k*ukt(1)+c*vkt(1)+m*as(1))/m; j = 1; n = 50; for j=2:n i=j-1; n = (as(j)-as(i))/dt; an = as(i); [ukt(j), vkt(j)] = uv(dt, an, n, ukt(i), vkt(i)); akt(j) = -(k*ukt(j)+c*vkt(j)+m*as(j))/m; t = dt:dt:dt*n; %plot(t(1:n), ukt(1:n), t(1:n), vkt(1:n), t(1:n), akt(1:n)); plot(t(1:n), as(1:n), t(1:n), akt(1:n)); leg('seismos', 'ktirio'); function [ fn dfn ] = uv(t, a,, uo, vo) fn=(13*)/ (13*a)/ (13**t)/ ep(-(40*t)/13)*cos((20*321^(1/2)*t)/13)*((13*a)/ (13*)/ uo) + (321^(1/2)*ep(-(40*t)/13)*... sin((20*321^(1/2)*t)/13)*(13000*a * *uo *vo))/ ; dfn=(ep(-(40*t)/13)*cos((20*321^(1/2)*t)/13)*(13000*a * *uo *vo))/

5 (40*ep(-(40*t)/13)*cos((20*321^(1/2)*t)/13)*... ((13*a)/ (13*)/ uo))/13 - (13*)/ (321^(1/2)*ep(-(40*t)/13)*sin((20*321^(1/2)*t)/13)*... (13000*a * *uo *vo))/ (20*321^(1/2)*ep(-(40*t)/13)*sin((20*321^(1/2)*t)/13)*... ((13*a)/ (13*)/ uo))/13; Με αυτόματη παραγωγή κώδικα συνάρτησης syms a uo vo u(t) q(t); k=10e6; c=80e3; m=13000; q(t) = a+*t; du = diff(u, t); ddu = diff(u, t, 2); f(t)=dsolve(k*u+c*du+m*ddu==-m*q, u(0)==uo, du(0)==vo) df = diff(f, t); f(0) df(0) fw = fopen('q2', 'w'); fprintf(fw, '%s\n', char(f)); fprintf(fw, '%s\n', char(df)); fclose(fw); matlafunction(f, df, 'File', 'f1'); as = dlmread('earthquake1.dat'); as = as./ 100; dt = 0.02; n = length(as); ukt = zeros(n, 1); vkt = zeros(n, 1); akt = zeros(n, 1); ukt(1) = 0; vkt(1) = 0; akt(1) = -(k*ukt(1)+c*vkt(1)+m*as(1))/m; j = 1; n = 50; for j=2:n i=j-1; n = (as(j)-as(i))/dt; an = as(i); [ukt(j), vkt(j)] = f1(dt, an, n, ukt(i), vkt(i)); akt(j) = -(k*ukt(j)+c*vkt(j)+m*as(j))/m; t = dt:dt:dt*n; %plot(t(1:n), ukt(1:n), t(1:n), vkt(1:n), t(1:n), akt(1:n)); plot(t(1:n), as(1:n), t(1:n), akt(1:n)); leg('seismos', 'ktirio');

6 function [f,df] = f1(t,a,,uo,vo) %F1 % [F,DF] = F1(T,A,B,UO,VO) % This function was generated y the Symolic Math Toolo version 6.0. % 14-May :13:01 t2 =.*1.04e-5; t3 = sqrt(3.21e2); t6 = t.*(4.0e1./1.3e1); t4 = ep(-t6); t5 = t.*t3.*(2.0e1./1.3e1); t7 = cos(t5); t8 = a.*1.3e-3; t9 = -t2+t8+uo; t10 = a.*1.3e4; t11 =.*4.121e3; t12 = uo.*1.0e7; t13 = vo.*3.25e6; t14 = t10+t11+t12+t13; t15 = sin(t5); f = a.*(-1.3e-3)+t2-.*t.*1.3e- 3+t4.*t7.*t9+t3.*t4.*t14.*t15.* e-10; if nargout > 1 df =.*(-1.3e-3)- t4.*t7.*t9.*(4.0e1./1.3e1)+t4.*t7.*t14.* e-7- t3.*t4.*t9.*t15.*(2.0e1./1.3e1)-t3.*t4.*t14.*t15.* e-9;