Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ

Transcript

1 Web page: Η ποτελεσμτική μάθηση δεν θέλει κόπο λλά τρόπο, δηλδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρί Μθημτικών Α Γυμνσίου Αριθμητική - Άλγερ Γεωμετρί Αριθμητική πράστση ονομάζετι μι πράστση που περιέχει πράξεις μετξύ ριθμών. Αλγερική πράστση ονομάζετι μι πράστση που περιέχει πράξεις μετξύ ριθμών κι μετλητών. Ανγωγή ομοίων όρων ονομάζουμε τη διδικσί με την οποί γράουμε σε πλούστερη μορή μι λγερική πράστση. Κνόνες ισότητς ριθμών Αν = τότε + γ = + γ Αν = τότε γ = γ Αν = τότε γ = γ Αν = κι γ 0 τότε : γ = : γ Εξίσωση ονομάζουμε μι ισότητ που περιέχει ριθμούς κι έν άγνωστο (μι μετλητή). Ονομάζουμε λύση (ή ρίζ) μις εξίσωσης την τιμή του γνώστου που επληθεύει την εξίσωση. Ονομάζουμε επίλυση μις εξίσωσης την διδικσί που κάνουμε γι ν ρούμε την λύση (ρίζ) της. Μι εξίσωση λέγετι δύντη ότν η τελική μορή της είνι 0 x = ( 0) Μι εξίσωση λέγετι όριστη (ή τυτότητ) ότν η τελική μορή της είνι: 0 x = 0 Μονάδες μέτρησης εμδού είνι: Το τετργωνικό μέτρο, (m ) που είνι το εμδόν ενός τετργώνου με πλευρά m. Το τετργωνικό δεκτόμετρο, (dm ) που είνι το εμδόν ενός τετργώνου με πλευρά dm. Το τετργωνικό εκτοστόμετρο, (cm ) που είνι το εμδόν ενός τετργώνου με πλευρά cm. Το τετργωνικό χιλιοστόμετρο, (mm ) που είνι το εμδόν ενός τετργώνου με πλευρά mm. m = 00dm =0000cm =000000mm Άλλες μονάδες μέτρησης εμδού είνι: Το τετργωνικό χιλιόμετρο, (km ) που είνι το εμδόν ενός τετργώνου με πλευρά km. km = km km = 000m 000m = m Το στρέμμ το οποίο ισούτι με 000m κι χρησιμοποιείτι κυρίως γι τη μέτρηση των εμδών οικοπέδων κι κτημάτων. Εμδόν τετργώνου: Ε = Εμδόν ορθογωνίου πρλληλογράμμου: Ε =. Εμδόν πλάγιου πρλληλογράμμου: Ε = υ. υ Εμδόν τριγώνου: Ε = υ υ Εμδόν τρπεζίου : Ε = (Β+) υ υ

2 Το ευθύ Πυθγόρειο θεώρημ κι το ντίστροο του. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμ των τετργώνων των δύο κθέτων πλευρών είνι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσς. Αν σε έν τρίγωνο το τετράγωνο της μεγλύτερης πλευράς είνι ίσο με το άθροισμ των τετργώνων των δύο άλλων πλευρών τότε η γωνί που ρίσκετι πένντι πό τη μεγλύτερη πλευρά είνι ορθή. Ιδιότητες Ανισοτήτων Αν < τότε + γ < + γ κι γ < γ Αν < κι γ > 0 τότε γ < γ Αν < κι γ > 0 τότε : γ < : γ Αν < κι γ < 0 τότε γ > γ Αν < κι γ < 0 τότε : γ > : γ Ανίσωση ονομάζουμε μι νισότητ που περιέχει μι μετλητή κι επληθεύετε γι έν σύνολο τιμών της μετλητής υτής. Ονομάζουμε λύσεις της νίσωσης τις τιμές της μετλητής που επληθεύουν την νίσωση. Ονομάζουμε λόγο δύο ευθυγράμμων τμημάτων, που έχουν μετρηθεί με την ίδι μονάδ μέτρησης, τον λόγο των μηκών τους. Επτομένη οξείς γωνίς ορθογωνίου τριγώνου ονομάζετι ο λόγος της πένντι στην οξεί κάθετης πλευράς προς την προσκείμενη στην οξεί κάθετη πλευρά. Η κλίση της ευθείς με εξίσωση y = x είνι ίση με την επτομένη της γωνίς ω που σχημτίζει η ευθεί με τον άξον x x. Ημίτονο οξείς γωνίς ορθογωνίου τριγώνου ονομάζετι ο λόγος της πένντι στην οξεί κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσ. Συνημίτονο οξείς γωνίς ορθογωνίου τριγώνου ονομάζετι ο λόγος της προσκείμενης στην οξεί κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσ. Μετολή συνημιτόνου οξείς γωνίς ορθογωνίου τριγώνου. Ότν υξάνετι μι οξεί γωνί ελττώνετι το συνημίτονο της. Αιτιολόγηση Στ ορθογώνι Γ τρίγων ΔΑΟ (Δ = 90 ), ΕΒΟ B (Ε = 90 ), ΖΓΟ(Ζ = 90 ), έχουμε: A ω < < θ κι θ συνω = OΔ OA, συν = ω O Z E Δ OE OZ, συνθ = OB OΓ Επειδή ΟΑ = ΟΒ = ΟΓ = κι ΟΔ > ΟΕ > ΟΖ θ είνι: OΔ > OE > OZ, άρ συνω > συν > συνθ Μετολή ημιτόνου οξείς γωνίς ορθογωνίου

3 Τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού κι συμολίζετι, ονομάζετι ένς θετικός ριθμός x που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει τον ριθμό Δηλδή: Αν = x, όπου 0 τότε x 0 κι x = Οι ιδιότητες της ρίζς είνι: 0 = 0 = ( 0) = (, 0) = ( 0, > 0) = ( 0) Ρητοί ονομάζοντι οι ριθμοί της μορής μ, όπου μ,ν κέριοι κι ν 0. ν Άρρητοι ονομάζοντι οι ριθμοί που δεν είνι ρητοί. Πργμτικοί ονομάζοντι οι ρητοί κι οι άρρητοι μζί. Ονομάζετι άξονς των πργμτικών ριθμών μι ευθεί σε κάθε σημείο της οποίς ντιστοιχεί ένς πργμτικός ριθμός κι σε κάθε πργμτικό ριθμό ντιστοιχεί έν σημείο της ευθείς. τριγώνου. Ότν υξάνετι μι οξεί γωνί υξάνετι κι το ημίτονο της. Αιτιολόγηση Στ ορθογώνι τρίγων ΔΑΟ (Δ= 90 ), ΕΒΟ (Ε= 90 ), ΖΓΟ(Ζ= 90 ), έχουμε: ω < < θ κι ημω = AΔ ΟΑ, ημ = BE ΓZ, ημθ = ΟΒ ΟΓ Επειδή ΟΑ = ΟΒ = ΟΓ = κι ΑΔ < ΒΕ < ΓΖ θ είνι AΔ < ΒE < ΓZ, άρ ημω < ημ < ημθ Μετολή επτομένης οξείς γωνίς ορθογωνίου τριγώνου. Ότν υξάνετι μι οξεί γωνί υξάνετι κι η επτομένη της. Αιτιολόγηση Στ ορθογώνι τρίγων ΑΟΒ(Α= 90 ), ΑΟΓ(Α= 90 ), ΑΟΔ(Α= 90 ), έχουμε: ω < < θ κι ΑΒ ΑΟ < ΑΓ ΑΟ < ΑΔ εω< ε < εθ ΑΟ < ω O Z E Δ δηλδή θ Γ B A Συνάρτηση ονομάζετι μι σχέση δύο μετλητών x, y τέτοι ώστε κάθε τιμή της μετλητής x ν ντιστοιχίζετι σε μι μόνο τιμή της μετλητής y. Πίνκς τιμών μις συνάρτησης ονομάζετι ο πίνκς που περιέχει ζεύγη ντιστοίχων τιμών των μετλητών της. Γι το ημίτονο κι το συνημίτονο οξείς γωνίς ω ισχύουν οι νισότητες: 0 < ημω < κι 0 < Δ συνω < Αυτό συμίνει γιτί κάθε κάθετη πλευρά Γ ορθογωνίου τριγώνου είνι μικρότερη πό την υποτείνουσ οπότε οι B λόγοι: θ πένντι κάθετη πλευρά ω υποτείνουσ O A κι

4 προσκείμενη κάθετη πλευρά υποτείνουσ είνι μικρότεροι της μονάδς γι οποιδήποτε οξεί γωνί. Ορθοκνονικό σύστημ ξόνων ονομάζετι (Σύστημ ορθογωνίων ξόνων) έν σύστημ πό δύο κάθετους άξονες με κοινή ρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Συντετγμένες (τετμημένη, τετγμένη ) ονομάζοντι σημείου έν μονδικό γι κάθε σημείο ζευγάρι ριθμών (, ) που ντιστοιχίζετι στο σημείο κι μς επιτρέπει ν προσδιορίσουμε την θέση του στο επίπεδο που είνι εοδισμένο με έν ορθοκνονικό σύστημ ξόνων. Το ονομάζετι τετμημένη κι το τετγμένη του σημείου. Τετρτημόρι ονομάζουμε τις 4 ορθές γωνίες που έν ορθοκνονικό σύστημ ξόνων χωρίζει το επίπεδο. ημ B + συν B = Απόδειξη ημ Β + συν Β = + γ = εb = ημβ συνβ Απόδειξη ημβ συνβ = γ γ + = γ = γ = εβ = γ + γ Β = Ονομάζοντι θμωτά ή μονόμετρ τ μεγέθη που προσδιορίζοντι πλήρως ν δοθεί μόνο το μέτρο τους. Δινυσμτικά ονομάζοντι τ μεγέθη που προσδιορίζοντι πλήρως ν δοθεί το μέτρο τους κι η κτεύθυνση τους. Ονομάζουμε γρική πράστση συνάρτησης σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου με συντετγμένες (x, y). Δύο ποσά λέγοντι νάλογ, εάν μετάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν πολλπλσιάζοντι με τον ίδιο ριθμό. Η γρική πράστση της συνάρτησης y = x είνι μί ευθεί που διέρχετι την ρχή Ο των ξόνων. Ονομάζετι κλίση της ευθείς y = x ο στθερός λόγος y = με x 0. x Τ στοιχεί ενός δινύσμτος Σε έν διάνυσμ AB δικρίνουμε: Τη διεύθυνση που είνι η ευθεί που ορίζουν τ άκρ Α, Β του δινύσμτος κι κάθε άλλη ευθεί πράλληλη προς υτή. Τη ορά που είνι ο τρόπος που κινούμστε γι ν πάμε πό την ρχή Α στο τέλος του Β δινύσμτος. Το μέτρο του που συμολίζετι με ΑΒ κι είνι το μήκος του ευθυγράμμου τμήμτος ΑΒ. Η διεύθυνση κι η ορά μζί κθορίζουν την κτεύθυνση του δινύσμτος Η γρική πράστση της y = x +, 0 είνι μι ευθεί πράλληλη της ευθείς με

5 εξίσωση y = χ, που διέρχετι πό το σημείο (0, ) του άξον y y. Ονομάζετι κλίση της ευθείς y = x + ο ριθμός. Μ εξίσωση της μορής x + y + γ = 0 με 0 κι 0 πριστάνει ευθεί. Μι εξίσωση της μορής x + y = γ πριστάνει ευθεί. ii. Η εξίσωση y = κ πριστάνει ευθεί πράλληλη προς τον άξον x x iii. Η εξίσωση x = λ πριστάνει ευθεί πράλληλη προς τον άξον y y iv. Η ευθεί y = 0 πριστάνει τον άξον x x. Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόως νάλογ, εάν μετάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι με τον ίδιο ριθμό. x με 0 Η γρική της συνάρτησης y = είνι μι κμπύλη γρμμή που ονομάζετι υπερολή κι ποτελείτι πό δύο κλάδους που ρίσκοντι: Στο ο κι στο 3ο τετρτημόριο των ξόνων, ότν > 0. Στο ο κι στο 4ο τετρτημόριο των ξόνων, ότν < 0. Ιδιότητες της υπερολής δεν τέμνει ποτέ τους ημιάξονες Οx κι Οy, διότι οι συντετγμένες των σημείων της δεν πίρνουν ποτέ την τιμή 0. Έχει κέντρο συμμετρίς την ρχή Ο των ξόνων. Άξονες συμμετρίς τις διχοτόμους των γωνιών των ξόνων, δηλδή τις ευθείες με εξισώσεις y = x κι y = x. Ονομάζετι πληθυσμός έν σύνολο του οποίου μελετάμε τ στοιχεί ως προς τουλάχιστον έν χρκτηριστικό. Ονομάζετι μετλητή το χρκτηριστικό Δύο δινύσμτ λέγοντι ίσ, ότν έχουν την ίδι διεύθυνση, την ίδι ορά κι ίσ μέτρ. Δύο δινύσμτ είνι ντίθετ, ότν έχουν την ίδι διεύθυνση, ίσ μέτρ κι ντίθετη ορά. Ονομάζετι μηδενικό διάνυσμ κι συμολίζετι 0 έν διάνυσμ του οποίου η ρχή κι το τέλος (πέρς) τυτίζοντι. Το μηδενικό διάνυσμ είνι έν σημείο, οπότε δεν έχει ούτε διεύθυνση ούτε ορά. Το μέτρο του είνι ίσο με 0. Δηλδή: 0 = 0. Εγγεγρμμένη γωνί ονομάζετι η γωνί που η κορυή της είνι σημείο του κύκλου κι οι πλευρές της τέμνουν τον κύκλο. Ονομάζετι ντίστοιχο τόξο εγγεγρμμένης γωνίς το τόξο που περιέχετι στις πλευρές της. Κάθε εγγεγρμμένη γωνί είνι ίση με το μισό της επίκεντρης γωνίς που έχει ίσο με υτή ντίστοιχο τόξο. Επίσης Κάθε εγγεγρμμένη γωνί σε μοίρες είνι ίση με το μισό του ντίστοιχου τόξου της. Εγγεγρμμένες γωνίες που ίνουν στο ίδιο τόξο ή σε ίσ τόξ είνι ίσες. Κάθε εγγεγρμμένη γωνί που ίνει σε ημικύκλιο είνι ορθή. Κνονικό πολύγωνο ονομάζετι το πολύγωνο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες κι όλες τις γωνίες του ίσες. Περιγεγρμμένος κύκλος κνονικού πολυγώνου Ονομάζετι ο κύκλος που περνά π όλες τις κορυές του. Ονομάζετι κέντρο κνονικού πολυγώνου το κέντρο του περιγεγρμμένου του κύκλου. Κεντρική γωνί κνονικού πολυγώνου ονομάζετι κάθε μι πό τις ν ίσες επίκεντρες γωνίες (ω) με τις οποίες χωρίζουμε τον περιγεγρμμένο στο πολύγωνο κύκλο. Δηλδή είνι ω = 360 ν Απόστημ κνονικού πολυγώνου ονομάζετι η

6 ως προς οποίο μελετάμε τ στοιχεί ενός πληθυσμού. Ονομάζετι δείγμ ενός πληθυσμού το μέρος του πληθυσμού του οποίου τ στοιχεί μελετάμε ως προς τουλάχιστον έν χρκτηριστικό. Ονομάζετι μέγεθος ενός δείγμτος το πλήθος των τόμων του δείγμτος πόστση του κέντρου του πό την πλευρά του. Σχέση που συνδέει τη γωνί κι την κεντρική γωνί ω ενός κνονικού πολυγώνου. Η γωνί ενός κνονικού ν-γώνου είνι πρπληρωμτική της κεντρικής γωνίς ω του. M Απόδειξη Στο τρίγωνο ΟΑΒ θ έχουμε: ω + + = 80, οπότε ω + = 80. O ω A B Γ Απογρή: συγκέντρωση πληροοριών πό το σύνολο του πληθυσμού σε συγκεκριμένες ημερομηνίες. Διρκή εγγρή: κθημερινή συγκέντρωση πληροοριών. Δειγμτοληψί ή δημοσκόπηση: συγκέντρωση πληροοριών πό μέρος του πληθυσμού Συχνότητ μις τιμής της μετλητής λέγετι ο ριθμός που εκράζει πόσες ορές εμνίζετι στο δείγμ η τιμή υτή. Σχετική συχνότητ μις τιμής της μετλητής λέγετι το πηλίκο της συχνότητς της τιμής υτής με το πλήθος όλων των πρτηρήσεων. Ονομάζετι μέση τιμή μις μετλητής x κι συμολίζετι x το πηλίκο του θροίσμτος όλων των τιμών της μετλητής δι του πλήθους τους. Δηλδή: Ότν έχουμε έν δείγμ μεγέθους ν με τιμές x, x, x ν γι τη μετλητή x τότε: x + x x ν x= ν Ονομάζουμε διάμεσο των πρτηρήσεων τη μεσί πρτήρηση ν το πλήθος το πρτηρήσεων είνι περιττό κι το μέσο όρο των δύο μεσίων πρτηρήσεων ν το πλήθος των πρτηρήσεων είνι άρτιο. Μήκος ( L ) κύκλου (Ο, ρ). L = πρ ή L = δπ όπου δ η διάμετρος του κύκλου (Ο, ρ) Oνομάζουμε κτίνιο (rad) σε κύκλο (Ο, ρ) το τόξο μήκους ίσο με την κτίν ρ του κύκλου. Μήκος l ενός τόξου μ. Το τόξο 360 έχει μήκος πρ Το τόξο μ έχει μήκος l Τ ποσά είνι νάλογ κι επομένως έχουμε : μ 360 = l ή l = πρμ πρ 80 Το μήκος l ενός τόξου μετρημένο σε κτίνι δίνετι πό τον τύπο l = ρ Το μέτρο l ενός τόξου μ κι κτινίων(rad) είνι ντίστοιχ: πρμ l = 80 () l = ρ () Από τις σχέσεις (), () προκύπτει ότι πρμ 80 = ρ μ οπότε 80 = π

7 Εδώ μπορείς ν γράψεις κάποιες σημειώσεις σου. Εμδόν ( Ε ) του κυκλικού δίσκου (Ο, ρ) δ Ε = πρ ή Ε = π όπου δ η διάμετρος του 4 κύκλου (Ο, ρ) Κυκλικός τομές ονομάζετι το μέρος του κυκλικού δίσκου που περικλείετε πό μι επίκεντρη γωνί του κι το ντίστοιχο της τόξο. Ο κυκλικός τομές που ντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνί 360 έχει εμδόν πρ Ο κυκλικός τομές που ντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνί μ έχει εμδόν : πρ μ ε = 360 Ο κυκλικός τομές που ντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνί π rad έχει εμδόν πρ Ο κυκλικός τομές που ντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνί rad έχει εμδόν: ρ ε = Δυντές θέσεις δύο διορετικών επιπέδων είνι: Ν είνι πράλληλ, Ν τέμνοντι κτά μί ευθεί. Οι δυντές θέσεις δύο διορετικών ευθειών είνι: Ν είνι πράλληλες, δηλδή ν νήκουν στο ίδιο επίπεδο κι ν μην έχουν κνέν κοινό σημείο. Ν τέμνοντι, δηλδή ν έχουν μόνο έν κοινό σημείο. Ν είνι σύμτες, δηλδή ν νήκουν σε διορετικά επίπεδ κι ν μην έχουν κνέν κοινό σημείο. Δυντές θέσεις ευθείς κι επιπέδου Η ευθεί ν περιέχετι στο επίπεδο. Η ευθεί ν είνι πράλληλη στο επίπεδο. Η ευθεί ν τέμνει το επίπεδο σε έν σημείο. Μι ευθεί είνι κάθετη σε έν επίπεδο, ότν είνι κάθετη σε δύο ευθείες του που διέρχοντι πό το ίχνος της. Ονομάζετι πόστση σημείου πό επίπεδο το μήκος του κάθετου ευθύγρμμου τμήμτος που έρνουμε πό το σημείο προς το επίπεδο. Απόστση δύο πρλλήλων επιπέδων ονομάζετι το μήκος του κάθετου ευθύγρμμου τμήμτος που έρνουμε πό έν σημείο του ενός επιπέδου προς το άλλο επίπεδο.

8 Το εμδόν Ε π της πράπλευρης επιάνεις ενός πρίσμτος ισούτι: Ε π = (περίμετρος άσης) (ύψος) Το ολικό εμδόν ενός πρίσμτος είνι: Ε ολ = Ε π + Ε Το εμδόν Ε π της πράπλευρης επιάνεις ενός κυλίνδρου είνι: Ε π = (περίμετρος άσης) (ύψος) ή Ε π =πρ υ Το ολικό εμδόν Ε ολ ενός κυλίνδρου είνι: Ε ολ = Ε π + Ε Ονομάζετι όγκος ενός στερεού σώμτος ο θετικός ριθμός που δηλώνει με πόσες επνλήψεις ενός κύου ή μέρους του κύου με κμή μήκους μί μονάδ σχημτίζετι το στερεό σώμ Σ. Μονάδες όγκου Ονομάζετι κυικό μέτρο, (m 3 ) ο όγκος ενός κύου με κμή m. Ονομάζετι κυικό δεκτόμετρο, (dm 3 ) ο όγκος ενός κύου με κμή dm. Ονομάζετι κυικό εκτοστόμετρο, (cm 3 ) ο όγκος ο όγκος ενός κύου με κμή cm. Ονομάζετι κυικό χιλιοστόμετρο, (mm 3 ) ο όγκος ενός κύου με κμή mm. m 3 = 000dm 3 =000000cm 3 = mm 3 Όγκος V κ ενός κυλίνδρου ισούτι: V κ = (Εμδόν άσης) (ύψος) Όγκος V π ενός πρίσμτος ισούτι : V π = (Εμδόν άσης) (ύψος) Ονομάζετι πυρμίδ το στερεό, που μί έδρ του είνι έν πολύγωνο κι όλες οι άλλες έδρες του είνι τρίγων με κοινή κορυή. Τ στοιχεί της πυρμίδς είνι: Η έδρ που είνι πολύγωνο κι λέγετι άση της πυρμίδς. Τ τρίγων με κοινή κορυή που λέγοντι πράπλευρες έδρες της πυρμίδς. Το κοινό σημείο των πράπλευρων εδρών που λέγετι κορυή της πυρμίδς. Το κάθετο ευθύγρμμο τμήμ πό την κορυή προς τη άση, που λέγετι ύψος της πυρμίδς. Μι πυρμίδ που έχει ως άση έν τρίγωνο, λέγετι τριγωνική. Την τριγωνική πυρμίδ που έχει τέσσερις τριγωνικές έδρες κι οποιδήποτε έδρ της μπορεί ν θεωρηθεί ως άση, τη λέμε κι τετράεδρο. Μι πυρμίδ που έχει άση τετράπλευρο λέγετι τετρπλευρική.

9 Μι πυρμίδ που έχει άση πεντάγωνο λέγετι πεντγωνική κ.ο.κ. Μι πυρμίδ ονομάζετι κνονική, ν η άση της είνι κνονικό πολύγωνο κι η προολή της κορυής της στη άση είνι το κέντρο του κνονικού πολυγώνου. Εμδόν της ολικής επιάνεις μις πυρμίδς Ε ολ = Ε Π + Ε Το εμδόν Ε Π της πράπλευρης επιάνεις μις κνονικής πυρμίδς είνι: Ε Π = (περίμετρος άσης) πόστημ Το εμδόν Ε ολ της ολικής επιάνεις της κνονικής πυρμίδς είνι: Ε ολ = Ε Π + Ε Ο όγκος V π μις πυρμίδς ισούτι με το 3 του γινομένου του εμδού της άσης του επί το ύψος, δηλδή: V π = 3 (Εμδόν άσης) (ύψος) Κώνος λέγετι το στερεό σχήμ που πράγετι πό την περιστροή ενός ορθογωνίου τριγώνου ΚΟΑ γύρω πό μί κάθετη πλευρά του ΚΟ. Στοιχεί του κώνου είνι: Βάση, ύψος, γενέτειρ Η επιάνει που πράγετι πό την περιστροή της γενέτειρς είνι η πράπλευρη επιάνει του κώνου. Εμδόν Ε π της πράπλευρης επιάνεις κώνου Ε π = (πρ) λ ή Ε π = πρλ Ο όγκος V κ ενός κώνου ισούτι με το 3 του γινομένου του εμδού της άσης του επί το ύψος, δηλδή: V κ = 3 (Εμδόν άσης) (ύψος) = 3 πρ υ

10 Σίρ λέγετι το στερεό σώμ το οποίο πράγετι, ν περιστρέψουμε έν κυκλικό δίσκο (Ο, ρ) γύρω πό μί διάμετρο του. Η πόστση ενός οποιουδήποτε σημείου της επιάνεις μις σίρς πό το κέντρο Ο είνι ίση με την κτίν ρ. Το σημείο Ο λέγετι κέντρο της σίρς κι η κτίν ρ του κύκλου λέγετι κτίν της σίρς. Οι σχετικές θέσεις ενός επιπέδου κι μις σίρς στο χώρο είνι :. Ν μην τέμνοντι μετξύ τους.. Ν εάπτοντι σε έν σημείο, γ. Ν τέμνοντι σε κυκλικό δίσκο. Η επιάνει που δημιουργείτι πό την περιστροή ενός κύκλου (Ο, ρ) γύρω πό μι διάμετρο του, ποτελεί την επιάνει της σίρς. Το εμδόν της επιάνεις μις σίρς είνι: Ε σ = 4πρ 4 Ο όγκος V σ μις σίρς είνι : V σ = 3 πρ 3