Stanislovas NORGĖLA MATEMATINĖ LOGIKA

Transcript

1 Stanislovas NORGĖLA MATEMATINĖ LOGIKA Vilnius,

2 ISBN - Recenzavo: dr. R.Alonderis, doc. hab.dr. R.Pliuškevičius, dr. J.Sakalauskaitė 2

3 TURINYS I ι vadas Aibės ir grafai Skaičiosios aibės Pagrindinės grafu ι sa ι vokos Pratimai Teiginiu ι logika Loginės operacijos Ekvivalenčios formulės Loginės išvados Normaliosios formos Logikos algebros funkcijos Kai kurios neklasikinės logikos Dvejetainis sumatorius Pratimai Rekursyviosios funkcijos Intuityvioji algoritmo samprata Primityviai rekursinės funkcijos Minimizacijos operatorius Poru ι numeracija Baigtinumo problema Rekursyviai skačiosios aibės Ackermann funkcijos Universaliosios funkcijos Kanoninis Post skaičiavimas Pratimai Teiginiu ι skaičiavimai Hilberto tipo skaičiavimas Dedukcijos teorema Teiginiu ι skaičiavimo pilnumas G.Gentzen skaičiavimas Natūralioji dedukcija Disjunktu ι dedukcinė sistema Ryšys tarp skaičiavimu ι Pratimai

4 5. Predikatu ι logika Predikatu ι logikos formulės Semantika Pavyzdys formulės, i ι vykdomos begalinėje ir nei ι vykdomos jokioje baigtinėje aibėje Normaliosios priešdėlinės formos Formulės, i ι kurias i ι eina tik vienviečiai predikatiniai kintamieji Aristotelio logika Pratimai Predikatu ι skaičiavimai Formulės su funkciniais simboliais Hilberto tipo predikatu ι skaičiavimas Sekvencinis skaičiavimas Intuicionistinė logika Kompaktiškumas Semantiniai medžiai Rezoliuciju ι metodas Pratimai Modalumo logikos Modalumo logiku ι formuliu ι semantika Modalumo logiku ι skaičiavimai Ekvivalenčios formulės Rezoliuciju ι metodas modalumo logikai S Kvantorinė modalumo logika S Laiko logikos Pratimai Loginės teorijos Pirmosios eilės teorijos Formalioji aritmetika Peano aritmetikos nepilnumas Aksiominė aibiu ι teorija Antrosios eilės logika Tautologijos baigtinėse struktūrose Pratimai Pavardžiu ι rodyklė Dalykinė rodyklė Lietuviu ι -anglu ι kalbu ι žodynas Literatūra

5 I ι vadas Per ilga ι savo gyvavimo istorija ι matematika pergyveno tris gilias krizes. Matematika kaip deduktyvus mokslas susiformavo VI amžiuje prieš Kristu ι. Žymiausi to meto matematikai buvo Pythagoras, Tallis bei ju ι mokiniai. Pythagoras darbai rėmėsi intuityviai aiškiu tvirtinimu, kad bet kurie vienarūšiai dydžiai turi bendra ι mata ι. Pavyzdžiui, bet kurioms dviems atkarpoms atsiras trečioji, telpanti sveika ι ji ι skaičiu ι kartu ι i ι kiekviena ι turima ι atkarpa ι. Buvo manoma, kad visi ilgiai ir plotai tarpusavyje gali būti bendramačiai. Nebendramačiu ι atkarpu ι atradimas buvo didelis smūgis matematiko Phytagoras mokymui. Netikėtas atradimas V amžiuje prieš Kristu ι, kad kvadrato i ι strižainė neturi bendro mato su kraštine, sukėlė matematikos pagrindu ι krize ι. Pasirodo, kvadrato i ι strižainės ir kraštinės santykio negalima išreikšti jokiu tuo metu vartojamu skaičiumi. Vėliau buvo atrasta ir daugiau nebendramačiu ι dydžiu ι. Tai apskritimo ilgis ir jo skersmuo, kvadrato ir apie ji ι apibrėžto skritulio plotai bei kiti dydžiai. Krizė te ι sėsi ilgai. Jos pabaiga, apie 370 metus prieš Kristu ι,siejamasužymaus graiku ι matematiko Eudoxos darbais. Jis sukūrė bendra ι ja ι proporciju ι teorija ι. Ši krizė suvaidino ypatinga ι vaidmeni ι matematinio metodo kūrimui. Be to, buvo i ι vesti nauji skaičiai. Jie nebuvo nei sveiki, nei trupmeniniai. Tai iracionalūs skaičiai ( 2, π,... ). To meto daugelio mokslininku ι jie buvo sutikti su nepasitikėjimu. Šie skaičiai buvo laikomi nesuprantamais, beprasmiais, netikrais, protu nesuvokiamais, t.y. iracionaliais. Antroji krizė siejama su matematine analize ir sukrėtė matematika ι XVII amžiaus pabaigoje. Newton ir Leibnitz mokiniai, kiti ju ι teorijos šalininkai mažai rūpinosi analizės pagrindais. Jie buvo susižavėje ι dideliu galimumu taikyti analize ι praktikoje. Teoremu ι i ι rodymai nebuvo griežti. Rezultatai rėmėsi neaiškiu be galo mažu ι dydžiu ι aiškinimu. Krizė ir kilo dėl šios sa ι vokos neaiškumo. Be galo mažas dydis kartais būdavo prilyginams nuliui ir atmetamas skaičiavimuose, kitais kartais jam būdavo suteikiama reikšmė nelygi nuliui. XIX amžiaus pradžioje Cauchy atsisakė neaiškios be galo mažu ι dydžiu ι teorijos ir pakeitė ja ι griežta ribu ι teorija. Antrosios krizės pabaiga kaip tik ir siejama su šia teorija. I ι domu, kad ir XX amžiuje matematikai gri ι žo prie be galo mažu ι dydžiu ι sa ι vokos patikslinimo m. amerikiečiu ι matematikas A.Robinson pasiūlė kita ι būda ι, kaip galima griežtai pagri ι sti XVII ir XVIII amžiu ι matematine ι analize ι. Jis pasiūlė žiūrėti i ι be galo mažus dydžius ne kaip i ι kintamuosius, o kaip i ι pastovius dydžius. Taip juk buvo ir tada, kai kūrėsi matematinė analizė. Matyt, ir Leibnitz, i ι vesdamas simbolius dx, dy, laikė juos pastoviais ypatingos rūšies dydžiais. Taigi, A.Robinson i ι vedė be galo mažu ι ir be galo dideliu ι skaičiu ι sa ι vokas. Remiantis šiomis sa ι vokomis galima kurti kitokia ι matematine ι analize ι (tiksliau, ja ι pagri ι sti kitu būdu). Ji vadinama nestandartine analize. Trečioji matematikos pagrindu ι krizė prasidėjo 1897 metais, kai spaudoje pasirodė i ι talu ι matematiko Burali-Forti atrasta aibiu ι teorijos antinomija. Kai 5

6 kalbama apie kuria ι nors teorijos antinomija ι, suprantama, kad toje teorijoje i ι rodomi du vienas kitam prieštaraujantys teiginiai, nors teorijos aksiomos bei išvedimo taisyklės atrodo teisingos. Pateiksime pora ι antinomiju ι pavyzdžiu ι. Vienas žmogus pasakė: viskas, ka ι aškalbu melas. Vadinasi, melas ir šitas jo posakis. O tai reiškia, kad ne viskas, ka ι pasako tas žmogus, yra melas. Betgi tai prieštarauja pirmajam teiginiui. Tarkime, a yra mažiausias teigiamas skaičius kuriam apibrėžti reikia daugiau kaip 15 lietuvišku ι žodžiu ι. Kadangi pastara ι ji ι sakini ι sudaro mažiau kaip 15 žodžiu ι,taia nėra taip apibrėžtas skaičius. Taigi, tas sakinys prieštaringas. Deja, panašiu ι paradoksu ι, pasirodo galima rasti ir, griežtoje, tikslioje matematikoje (žiūrėk skyreli ι aksiominė aibiu ι teorija). Taigi, aibiu ι teorijoje buvo aptikta paradoksu ι, o tai reiškia, kad aibiu ι teorijoje ne viskas gerai. Kadangi aibiu ι teorija remiasi ir kitos matematikos šakos, tai susvyravo matematikos pagrindai. Daugelis tyrinėtoju ι laikė, kad paradoksu ι priežastis slypi logikoje. Buvo reikalinga visapusiška logikos pagrindu ι analizė. Logika nagrinėja žmogaus ma ι styma ι, tiksliau ma ι stymo forma ι. Žodis logika kile ι siš senosios graiku ι kalbos žodžio logos, reiškiančio žodis, kalba, protas, samprotavimas. Logika atsirado ir vystėsi kaip filosofijos mokslo šaka. VI-IV a. prieš Kristu ι ji buvo savarankiškai kuriama Graikijoje, Kinijoje ir Indijoje. Žymiausiu tu ι laiku ι logiku buvo graiku ι filosofas Aristotelēs ( m. prieš Kristu ι ), kurio sukurta teorija (žiūrėk skyreli ι Aristotelio logika) suvaidino ypatinga ι vaidmeni ι logikoje. Po Aristotelio sistemos sukurimo sekė stagnacijos periodas, kurio trukmė daugiau kaip du tūkstančiai metu ι. Matematinė logika, naudodama matematika ι, pirmiausia tiria matematinius samprotavimus. Matematinės logikos pradininkais vieni autoriai vadina vokiečiu ι matematika ι G.Leibnitz ( ), kiti airiu ι matematika ι D.Boole ( ) ar vokieti ι G.Frege ( ). Didele ι i ι taka ι ir vieniems, ir kitiems turėjo Aristoteles. Matematikas A.de Morgan iš Londono ( ) kai kurias algebroje galiojančias savybes perkėlė logikos dėsniams. D.Boole stengėsi i ι gyvendinti i ι dėja ι, kad logika taptu ι tiksliuoju mokslu. Vokiečiu ι matematikas E.Schräder ( ) bei Kazanės universiteto (Rusija) profesorius P.S.Poreckij ( ) padėjo pagrindus teiginiu ι ir predikatu ι logikai, dažniausiai siedami ja ι su algebra. Per šimtmečius susikaupė daug atrastu ι logikos dėsniu ι. Pavyzdžiui, vienas ju ι ((p&q) r)&(p& r)) q. Loginiu ι operaciju ι ženklu ι dar nebuvo. Dėsnis buvo užrašytas taip: Jei pirmasis ir antrasis, tai trečiasis. Dabar nėra trečiojo, bet yra pirmasis. Vadinasi, nėra antrojo. 6

7 Kaip gi jie būdavo atrandami? Dažniausiai būdavo iškeliama hipotezė apie dėsni ι ir stengiamasi ji ι paneigti t.y. rasti pavyzdi ι, su kuriuo jis būtu ι klaidingas. Jei tai nepavyksta, tai jis pripaži ι stamas dėsniu. I ι rodymo (matematine prasme) nebūdavo. Logikos dėsniu ι aibe ι pirmasis susistemino vokiečiu ι matematikas Gottlob Frege. Jis 1879 metais pirmasis sukūrė formalia ι ja ι teorija ι teiginiu ι skaičiavima ι ir parodė, kad visi žinomi, bei daugelis nauju ι,išvedami jame (paprastumo dėlei aksiomos parašytos šiu ι laiku ι formalioje kalboje): (1) A (B A) (2) (A (B C)) ((A B) (A C)) (3) (A (B C)) (B (A C)) (4) (A B) ( B A) (5) A A (6) A A Skaičiavime yra formuliu ι keitimo lygiaverčiomis ir modus ponens taisyklės. Vėliau buvo i ι rodyta, kad (3) aksioma nereikalinga. Ji išvedama iš likusiu ι ju ι. I ι domu tai, kad G.Frege aprašėskaičiavima ι anksčiau, negu kad buvo pastebėta, kad logikos dėsnius galima nustatyti ir naudojantis teisingumo lentelėmis. Tik praėjus šešeriems metams, 1885 metais Charles Sanders Peirce (amerikiečiu ι matematikas ir filosofas) sukūrė teisingumo lenteliu ι metoda ι. Pagrindiniai vadovėlyje aprašyti rezultatai ir prasideda G.Frege skaičiavimu bei vėlesniais logiku ι darbais. Logika palaipsniui tampa tiksliuoju mokslu, kurio rezultatu ι supratimui jau reikalingas matematinis išsilavinimas, o pats mokslas pradėtas vadinti tai simboline logika, taiformaliaja ar matematine logika. Galutinai kaip savarankiška matematikos šaka su savo problematika ir metodais logika susiformavo praeito šimtmečio ketvirtajame dešimtmetyje. Ypač prie to prisidėjo austru ι logiko K.Gödel ( ) darbai. Netgi susiformavus matematinei logikai, daugelyje universitetu ι dar ilgai logikos pavadinimu buvo dėstoma tik Aristotelio sistema metais Bertrand Russell knygoje History of western philosophy apie tai rašė: Netgi dabar visi filosofijos kataliku ι bei daugelis kitu ι dėstytoju ι vis dar neigia šiuolaikinės logikos atradimus ir su keistu užsispyrimu prisilaiko aiškiai pasenusios, kaip kad Ptolomėjaus sistema astronomijoje, Aristotelio logikos. Matematika, skirtingai negu kiti mokslai, pagrindiniu tyrinėjimo metodu laiko i ι rodyma ι, o ne eksperimenta ι. Pavyzdžiui, išmatavus daugelio trikampiu ι vidaus kampu ι sumas, galima prieiti išvados, kad trikampio vidaus kampu ι suma lygi 180 laipsniu ι. Bet matematikas tai pripažins matematikos dėsniu (teorema) tik tada, kai bus i ι rodyta, pagri ι sta logiškai. 7

8 Pažvelge ι i ι betkuriosteoremosi ι rodyma ι, pamatysime, kad i ι rodymas susideda iš formuliu ι sekos, kur tarp formuliu ι i ι terpti samprotavimai, paaiškinantys, iš kur gauname prieš arpoeinančia ι formule ι.formulės turi viena ι reikšme ι,osamprotavimai dažnai būna i ι vairiu ι netikslumu ι šaltinis. Ar galima rasti tokias samprotavimu ι (logikos) taisykles, užrašomas formulėmis, kuriomis naudojasi matematikas, i ι rodinėdamas teoremas? Jei pasisektu ι tai padaryti, teoremos i ι rodymas taptu ι seka formuliu ι,tarpkuriu ι stovi skaičiai, nurodantys pagal kuria ι taisykle ι ir iš kokiu ι jau turimu ι formuliu ι gauta sekančioji. Tuomet, turint samprotavimu ι grandine ι, galima patikrinti, ar tai i ι rodymas. Dar Leibnitz buvo iškėle ι sidėja ι sukurti universalia ι kalba ι visai matematikai ir tos kalbos pagalba formalizuoti matematinius i ι rodymus. Ginčus dėl vieno ar kito tvirtinimo teisingumo reikėtu ι suvesti i ι paskaičiavimus. Paėme ι pieštuka ι bei popieriaus ir atlike ι matematinius apskaičiavimus, galėtume nustatyti kas teisus. Formalizavimo entuziazma ι kiek prislopino rezultatai apie formalia ι ja ι aritmetika ι (žiūrėk skyreli ι aritmetikos nepilnumas). Bet tai truko neilgai. Atsiradus kompiuteriams atsivėrė labai didelės logikos taikymu ι perspektyvos. Pirmasis vadovėlis Principia Mathematika, skirtas matematinei logikai ir jos taikymui matematikoje, pasirodė 1910 metais. Jo autoriais buvo B.Russel ir A.Whitehead. Jame yra ir toks sakinys: tas faktas, jog visa matematika yra ne kas kita kaip simbolinė logika didžiausias mūsu ι amžiaus atradimas. Su knygos pasirodymu siejamas naujas matematinės logikos vystymosi etapas. Kito vadovėlio teko laukti pakankamai ilgai. D.Hilbert ir P.Bernays knygos Grundlagen der Mathematik pasirodymas 1939 metais užbaigė logikos, kaipo matematinės disciplinos, formavimosi etapa ι. Atsiradus kompiuteriams ir informatikos mokslui, palaipsniui matematinė logika tampa jau informatikos mokslo šaka. Lietuvoje matematinė logikapradėta dėstyti Vilniaus universitete 1960metais. Tu ι metu ι pavasario bei rudens semestruose J.Kubilius skaitė matematinės logikos specialu ι ji ι kursa ι matematikos specialybės studentams metais V.Kabaila skaitė skaičiavimo matematikos specializacijos trečiakursiams Loginio konstravimo pagrindu ι speckursa ι. Nuo 1964 metu ι Vilniaus universitete reguliariai pradedama matematinė logika skaityti kaipo privaloma disciplina. Iš pradžiu ι ji skaitoma matematikos specialybės, o vėliau, informatikos bei programu ι sistemu ι specialybiu ι studentams. Matematinės logikos tyrimu ι Lietuvoje pradžia siejama su pirmaja 1963 metais Viliaus Matulio apginta daktaro (tuo metu vadinosi fizikos-matematikos mokslu ι kandidato) disertacija tema Apie kai kuriuos klasikinio predikatu ι skaičiavimo su vieninteliu išvedimo medžiu sekvencinius variantus. Po to, 1967 metais Regimantas Pliuškevičius apgynė daktarodisertacija ι tema Konstruktyviosios logikos be struktūriniu ι taisykliu ι variantai bei sekvenciju ι su normalinėmis formulėmis išvedimai, o 2002 metais ir habilituoto daktaro disertacija ι tema Prisotinimo metodas tiesinei laiko logikai. Pamažu formavosi ir Lietuvoje matematinės logikosmokykla. Matematikos institute (dabar Matematikos ir informatikos institutas) 1964 metais buvo i ι kurtas Matematinės logikos ir programavimo sektorius (1967 metais jis pervardintas i ι Matematinės logikos ir algoritmu ι teorijos, o 1993 metais i ι Matematinės logikos skyriu ι ). 8

9 Vadovėlis skirtas vyresniu ι ju ι kursu ι studentams. Knygoje sa ι moningai praleistasskyriusapieturingmašinas (su jomis supažindinama diskrečiosios matematikos kurse). Kadangi studentai, rašydami kursinius, bakalaurinius bei magistrinius darbus, naudojasi, kaip taisyklė, straipsniais anglu ι kalba, tai vadovėlio pabaigoje pateikiamas kai kuriu ι matematinės logikos terminu ι lietuviu ι -anglu ι kalbu ι žodynas. Leidinys skirtas informatikos, programu ι sistemu ι bei matematikos specialybiu ι studentams. 9