2007 m. rudens semestro matematikos istorijos kurso egzamino klausimai. matematika. paprastajai trupmenai išreikšti egiptietiškomis. 6. I.

Transcript

1 2007 m rudens semestro matematikos istorijos kurso egzamino klausimai 1 tema Skaičiai ir skaičiavimai 1 Iš kokiu šaltiniu mes žinome apie egiptiečiu matematika 2 Kaip trupmenas rašė senovės egiptiečiai 3 Kaip egiptiečiai daugindami naudojosi,,dvigubinimo metodu 4 Kokias trupmenas naudojo senovės egiptiečiai ir kaip jas rašė 5 Paaiškinkite,,godu j algoritma paprastajai trupmenai išreikšti egiptietiškomis 6 I rodykite, kad yra be galo daug būdu paprasta ja trupmena išreikšti egiptietiškomis 7 Kokia sistema skaičiams ir trupmenoms rašyti naudojo šumerai ir babiloniečiai 8 Užrašykite nurodyta (pavyzdžiui, 78) kaip rašė babiloniečiai 9 Kaip skaičius rašė senovės graikai 10 Kaip senovės kiniečiai skaičiavimams naudojosi skaičiavimo lenta ir kaip rašė skaičius 11 Kaip skaičius rašė majai 12 Užrašykite nurodyta (pavyzdžiui, 78) kaip rašė majai 13 Kur ir kada buvo sistemingai pradėtas naudoti nulio žymuo 14 Kas yra abakas Kokios tautos naudojosi šiuo instrumentu 15 Kas sugalvojo logaritmus Paaiškinkite, kaip buvo sudaromos pirmosios logaritmu lentelės 16 Kas sugalvojo ir sukonstravo pirmuosius mechaninius skaičiavimo instrumentus 2 tema Antikos graiku matematika 17 Kada buvo parašyti Euklido,,Elementai Kokia jo reikšmė matematikos raidai 18 Kokius teiginius Euklidas vadino aksiomomis, kokius postulatais 19 Kaip Euklidas apibrėžė lygiagrečias tieses 20 Suformuluokite penkta j Euklido postulata 21 Kaip,,Elementuose braižomas duotajam daugiakampiui lygiaplotis lygiagretainis 22 Kaip,,Elementuose rodinėjama Pitagoro teorema 23 Pateikite,,graikiška (geometrine ) sumos kvadrato formulės interpretacija 24 Pateikite,,graikiška (geometrine ) kvadratu skirtumo skaidymo formulės interpretacija 25 Suformuluokite atkarpos dalijimo,,aukso pjūvio santykiu uždavin 1

2 26 Parodykite brėžiniu, kaip sprendžiamas atkarpos dalijimo,,aukso pjūvio santykiu uždavinys 27 Parodykite, kaip gaunama lygtis, kurios sprendinys -,,aukso pjūvio skaičius Kam lygus šis skaičius 28 Parodykite brėžiniu kaip braižomas,,specialus lygiašonis trikampis (kampai prie pagrindo dvigubai didesni už viršūnės kampa ) 29 Kaip braižomas taisyklingasis penkiakampis 30 Paaiškinkite, kaip nubraižyti taisyklinga j penkiolikakamp 31 Penktoje,,Elementu knygoje dėstoma dydžiu santykiu teorija Kodėl jos prisireikė 32 Kokia apibendrintoji Pitagoro teorema išdėstyta,,elementuose 33 Kam graiku matematikai naudojo,,išsėmimo metoda Kokia jo esmė 34 Kokius briaunainius graikai vadino taisyklingaisiais Kiek yra 3 tema Požiūriu begalinius dydžius raida 35 Suformuluokite Zenono dichotomijos paradoksa 36 Suformuluokite Zenono strėlės paradoksa 37 Kokia pažiūra apie begalybe matematikoje suformulavo Aristotelis 38 Ka apie begalinius dydžius matematikoje manė Galilėjus 39 Su kokiais begaliniu dydžiu,,paradoksais susidurdavo matematikai, plėtoje matematinės analizės metodus Pateikite pavyzd 40 Kokia matematinė problema paskatino begaliniu dydžiu sa vokos tyrimus 41 Trumpai apibūdinkite Bolzano aibiu lyginimo idėja naudojant elementu atitikt 42 I rodykite, kad racionaliu ir natūriniu aibės ekvivalenčios 43 I rodykite, kad vienetinio intervalo ir natūriniu aibės nėra ekvivalenčios 44 I rodykite, kad vienetinio kvadrato ir vienetinio intervalo tašku aibės ekvivalenčios 45 Kaip konstruojama Hilberto kreivė 46 Kokias problemas tyrinėdamas Kantoras suformulavo kontinumo hipoteze Ka ji teigia 47 Kaip buvo susietos aibiu lyginimo pagal galias ir visiško sutvarkymo problemos 48 Kam Cantoras vedė kardinalinius skaičius 49 Kaip Cantoras apibrėžė kardinalinio skaičiaus laipsn 50 Su kokiais prieštaravimais buvo susidurta plėtojant aibiu teorija 51 Kas kūrė aibiu teorijos aksiomatika ir kodėl jos prisireikė 2

3 52 Ka teigia,,išrinkimo aksioma 53 Ka teigia Banacho-Tarskio paradoksas 54 Kokia išvada apie aksiomu sistemos neprieštaringumo rodymus suformulavo Giodelis 55 Kok teigin apie kontinumo hipoteze rodė P Cohen 4 tema Bendrasis matas ir realieji skaičiai 56 Kokius dydžius graiku antikos matematikai vadino bendramačiais 57 Kodėl nebendramačiu atkarpu atradimas nesiderino su pitagoriečiu pasaulėžiūra 58 Kaip Euklido bendro didžiausio daliklio radimo algoritma galima taikyti rodymui, kad du dydžiai (atkarpos) yra bendramačiai (nebendramačiai) 59 Euklido metodu rodykite, kad taisyklingojo penkiakampio strižainė ir kraštinė nėra bendramatės 60 I rodykite, kad kvadrato kraštinė ir strižainė yra nebendramatės 61 Kokius dydžius graiku antikos matematiku požiūriu galima lyginti, kokius ne 62 Kokie dydžiu santykiai vadinami lygiais pagal Eudokso apibrėžima 63 Kok būda graikai naudojo dviems dydžiu santykiams dauginti 64 Kaip Theonas bandė pagr sti, kad,,kvadrato strižainės ir kraštinės santykis glūdi skaičiuose 65 Kok požiūr santykiu lygybe suformulavo Omaras Chajamas 66 Kada europiečiai pradėjo naudoti dešimtaines trupmenas Kas apie jas parašė svarbu veikala 67 Kada buvo sukurtos loginiu požiūriu griežtos realiu konstrukcijos Kas jas sukūrė 68 Apibūdinkite Dedekindo realiu konstrukcija naudojant racionaliu pjūvius 5 tema Piramidės tūris 69 Kokiais teiginiais rėmėsi graiku daugiakampiu plotu teorija 70 Suformuluokite teigin apie lygiadalius (ty sudarytus iš baigtinio skaičiaus vienodu daliu ) ir lygiapločius daugiakampius Kas š teigin rodė 71 I rodykite, kad du trikamapiai su vienodais pagrindais ir aukštinėmis yra lygiadaliai 72 Suformuluokite Bolyai-Gerwieno teorema 73 Kaip galima elementariai rodyti, kad dvie prizmiu su vienodais pagrindais ir aukštinėmis tūriai yra lygūs 3

4 74 Suformuluokite 3 Hilberto problema apie piramidės tūr Kas ja išsprendė, koks atsakymas 75 Kaip piramidžiu su vienodais pagrindais ir aukštinėmis tūriu lygybe,,išsėmimo metodu rodinėjo graikai 76 Parodykite brėžiniu, kaip kiniečiai gavo teigin apie nupjautinės taisyklingosios keturkampės piramidės tūr 6 tema Plotu ir tūriu skaičiavimas 77 Paaiškinkite, kaip Archimedas pasinaudojo sverto taisykle skaičiuodamas parabolinio trikampio plota 78 Paaiškinkite, kaip Archimedas pasinaudojo sverto taisykle skaičiuodamas rutulio tūr 79 Suformuluokite Kavalierio principa plotams bei tūriams lyginti 80 Kaip naudojantis Kavalierio principu galima apskaičiuoti cikloidės arkos plota 81 Pateikite pavyzd, kai taikant Kavalieri principa, gaunamas klaidingas rezultatas 82 Kokiais samprotavimais skaičiuodamas plotus ir tūrius naudojosi Kepleris Pateikite pavyzd 83 Kokius uždavinius nagrinėjant buvo sukurtas diferencialinis ir integralinis skaičiavimas 84 Paaiškinkite Fermat ekstremumu radimo metoda 85 Paaiškinkite pavyzdžiu Fermat liestinės radimo metoda 86 Paaiškinkite Robervalio kinematin kreivės liestinės radimo metoda 87 Paaiškinkite, kaip Fermat apskaičiavo figūros, apribotos hiperbole y = x k plota 88 Paaiškinkite brėžiniu Barrow fundamentalia ja teorema 89 Keliais sakiniais apibūdinkite Newtono sukurto diferencialinio-integralinio skaičiavimo ypatybes 90 Keliais sakiniais apibūdinkite Leibnizo sukurto diferencialinio-integralinio skaičiavimo ypatybes 7 tema Pirminiu tyrinėjimo istorija 91 Kokie skaičiai vadinami tobulaisiais Kokie draugiškaisiais 92 Koks teiginys apie tobuluosius skaičius rodytas Euklido,,Pradmenyse 93 Ka apie tobuluosius skaičius teigė Nikomachus,,Aritmetikos vade (apie 100 m po Kr) 94 Kokie skaičiai vadinami nepritekliaus, perviršio skaičiais 95 Kas žinoma apie perviršio kiek 96 Kaip pirminiai skaičiai apibrėžiami Euklido,,Elementuose 4

5 97 Pateikite Euklido rodyma, kad nėra didžiausiojo pirminio skaičiaus 98 Koks algoritmas vadinamas Eratosteno rėčiu 99 Kok funkcijos π(x) neaprėžto didėjimo rodyma sukūrė Euleris Kodėl jis svarbus tolimesnei pirminiu tyrimo raidai 100 Kok funkcijos π(x) kitimo dėsn empiriškai nustatė Ležandras 101 Kokia funkcijos π(x) aproksimacija pasiūlė Gausas 102 Suformuluokite Čebyšovo nelygybe funkcijai π(x) 103 Suformuluokite Bertrando postulata, kuris rodomas pasinaudojus Čebyšovo nelygybe 104 Kok nauja požiūr funkcijos π(x) tyrinėjima savo darbuose suformulavo B Rymanas 105 Suformuluokite dzeta funkcijos nuliu problema Kodėl ji svarbi pirminiu tyrimo uždaviniams 106 Kas rodė asimptotin funkcijos π(x) kitimo dėsn Suformuluokite j 107 Koks pirminiu išsidėstymo reiškinys vadimamas Ulamo spirale 108 Kokie skaičiai vadinami Fermat pirminiais Kokie - Merseno pirminiais 109 Kokios aritmetinės funkcijos vadinamos adityviomis Kodėl funkcija ω(n) yra adityvi 110 Kokie uždaviniai tyrinėjami tikimybinėje teorijoje 8 tema Klasikiniai brėžimo uždaviniai 111 Kaip padvigubinti kvadrata Sokrato metodu 112 Suformuluokite kubo padvigubinimo uždavin Kaip Hipokratas kubo padvigubinimo uždavin pakeitė,,atkarpu terpimo uždaviniu 113 I rodykite, kad kubo padvigubinimo uždavinys, ir Hipokrato uždavinys apie atkarpu terpima yra ekvivalentūs 114 Paaiškinkite Archito kubo padvigubinimo uždavinio naudojant antros eilės paviršius sprendimo idėjas 115 Paaiškinkite, kaip kubo padvigubinimo uždavinys sprendžiamas naudojant Eratosteno mezoliabija 116 Paaiškinkite kubo padvigubinimo uždavinio Platono sprendima 117 Kokia kreivė vadinama Nikomedo konchoide 118 Kokia kreivė vadinama Dioklo cisoide 119 Kaip kubo padvigubinimo uždavin sti pasinaudojus Dioklo cisoide 5

6 120 Kas ir kada rodė, kad kubo padvigubinimo uždavinio vien skriestuvu ir liniuote išspre sti negalima 121 Kaip naudojantis graiku metodu duotajam daugiakampiui sukonstruoti jam lygiaplot stačiakamp, kurio viena kraštinė būtu iš anksto duota 122 Paaiškinkite, kaip Hipokratas išsprendė,,mėnuliuku kvadratūros uždavin 123 Suformuluokite skritulio kvadratūros uždavin 124 Kaip skritulio kvadratūros uždavinys gali būti išspre stas naudojant direktrise 125 Kokia apytiksle skaičiaus π reikšme naudojo Archimedas Paaiškinkite Archimedo metoda apytikslėms π reikšmėms gauti 126 Kokius metodus apytikslėms skaičiaus π reikšmėms rasti naudojo nau laiku europiečiai 127 Užrašykite Oilerio formule, kuri susieja skaičius π, e ir i 128 Kas ir kada rodė, kad skaičius π yra iracionalusis, transcendentinis Ka reiškia teiginys, kad π yra transcendentinis skaičius 129 Kuo skaičiaus π apytiksliu reikšmiu tikslinimui svarbios Ramanujano formulės 130 Suformuluokite kampo trisekcijos uždavin ir paaiškinkite, kaip j sti atkarpos terpimo metodu (neusis) 131 Suformuluokite kampo trisekcijos uždavin ir paaiškinkite, kaip j atkarpos terpimo metodu išsprendė Archimedas 132 Paaiškinkite, kaip kampo trisekcijos uždavin sti naudojant direktrise 133 Paaiškinkite, kaip kampo trisekcijos uždavin sti naudojant Archimedo spirale 134 Nubraižykite,,mechaninio trisekcijos instrumento brėžin 135 Suformuluokite trikampio trisektrisiu savybe 9 tema Paskutinioji Fermat teorema 136 Suformuluokite bent viena uždavin iš Diofanto,,Aritmetikos ir paaiškinkite, kaip Diofantas j sprendė 137 Kok uždavin apie kvadratus sprendė P Fermat Suformuluokite jo rodyta teigin 138 Apibūdinkite bendrais bruožais Fermat,,begalinio nusileidimo metoda 139 Suformuluokite Fermat paskutinia ja teorema 140 Kaip užrašomi visi primityvieji lygties x 2 + y 2 = z 2 sprendiniai (primityvieji Pitagoro trejetai) 6

7 141 Kokia taka Fermat lygties x n + y n = z n padarė Gauso veikalas,,disquisitiones Arithmeticae 142 Koks Sophie Germain našas ieškant paskutiniosios Fermat teoremos rodymo 143 Kuo tyrinėjant Fermat lygt x n + y n = z n nusipelnė E Kummeris 144 Kokiais metodais Fermat lygtis x n + y n = z n tyrinėta antrojoje XX a pusėje 145 Kokios kreivės vadinamos elipsinėmis 146 Kokiu matematiku darbu idėjomis remiasi paskutiniosios Fermat teoremos rodymas 10 tema Euklido penktojo postulato istorija 147 Suformuluokite penkta j Euklido postulata taip, kaip jis suformuluotas Euklido,,Elementuose 148 Paaiškinkite, kaip 5-a j postulata bandė rodyti graiku matematikas Proklas ir nurodykite jo klaida 149 Kok ryš tarp panašiu trikampiu ir penktojo postulato nustatė anglu matematikas J Walis 150 Apibūdinkite Sakerio naša sprendžiant penktojo postulato problema 151 Kokie XIX a matematikai yra naujo požiūrio penktojo postulato problema autoriai 152 Kokia aksioma penkta j postulata pakeitė N Lobačevskis 153 Paaiškinkite Lobačevskio aksioma brėžiniu interpretuodami skritul be krašto kaip plokštuma 154 Paminėkite keleta išvadu iš Lobačevskio aksiomos 155 Suformuluokite keleta teiginiu, ekvivalenčiu penktajam Euklido postulatui 7